第六节 导数和微分在经济学中的简单应用
导数与微分在经济中的简单应用
导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
导数与微分在经济学中的简单应用教学课件
03
微分在经济学中的应用
利用微分分析经济函示因变量y对于自变 量x的变动反应程度，即y对于x的变 化率。
弹性的计算
根据微分的定义，可以将弹性的计算 公式表示为d(y)/d(x)。
弹性的经济学意义
弹性反映了x变化时y的相应程度，对 于经济分析具有重要意义。
利用微分分析经济的价格弹性
微分的定义
函数在某一点的微分
函数在这一点变化率的近似值，表示函数在这一点的变化快慢。
微分的计算公式
根据定义，函数在某一点的微分等于函数值在该点的变化率与自变量在该点的变化率的比值的近似值 。
微分的几何意义
曲线在某一点的曲率
对于一条曲线，在任意一点处的微分就是该点处曲线在该点 的曲率，表示曲线在该点的弯曲程度。
导数与微分在经济学中的简单应用 教学课件
xx年xx月xx日
目 录
• 导数与微分的预备知识 • 导数在经济学中的应用 • 微分在经济学中的应用 • 导数与微分在经济学中的模型应用 • 导数与微分在经济学中的实证分析 • 导数与微分在经济学中的综合应用案例
01
导数与微分的预备知识
导数的定义
函数在某一点的导数
利用导数与微分进行经济周期的预测分析
总结词
经济周期是指经济运行中出现的繁荣、衰退、萧条和复苏等循环现象，对经济的 稳定和持续发展具有重要影响。
详细描述
利用导数与微分进行经济周期的预测分析，需要运用时间序列分析和谱分析等方 法，建立经济周期的数学模型，运用导数和微分的方法分析模型的动态性质，预 测未来经济周期的变化趋势，并制定相应的政策建议。
函数在这一点变化率的极限，表示函数在这一点的变化快慢 。
导数的计算公式
根据定义，函数在某一点的导数等于函数值在该点的变化率 与自变量在该点的变化率的比值。
3.6__导数与微分在经济学中的简单应用
益均无明显影响;
当p 3时, p 3, 为高弹性, 降价总收益将增加.
, 总利润无增加.
二、弹性
弹性是反映一种变量 y 对于另一种变量 x 的微 小百分比变动所作反应的概念，
y y
x x
y 或 lim x 0 y
x x
例4 ( 需求价格弹性) 设人们对某商品的需求量为 Q , 其价格为 p, 则人们对该商品的需求价格弹性 p dQ Ep Q dp
边际利润.
且L( x ) R( x ) C ( x )
边际利润L x0 表示了 在生产量x0基础上, 经济含义：
多卖出一单位 产品所近似增加的利润 .
注： 特殊地, 若R x0 0, 则 在x0基础上多卖出一单位产品, 总收入无增加.
若L x0 0, 则
§3.6 导数与微分在经济学中 的简单应用
一、边际分析
二、弹 性
本节要点提示：
10 深刻理解经济函数的边 际与弹性的经济意义及 数学定义. 2 （） 2 0 熟练求解常见的边际并合理解释其经济含义熟练求解需求 , ;
价格弹性, 正确判定其弹性类型对其结果进行合理经济 （） , 解释. 3
30 了解弹性分析在经济问 题中的一些实际应用 2 （） .
因此
由上例知，
1 p Q . R 1 Ep
当 E p 1时, 提价意味着 p 0 , Q 0 ,
这时 R 0， 说明提价会降低收益 ; 降价意味着 p 0 , Q＞0 , 这时 R 0， 说明降价会增加收益.
例7 设某种商品的需求函数 400 100 p, 求p 1, 2, Q 3时的需求弹性.并给以适当的经济解释 .
微积分在经济学中的应用
微积分在经济学中的应用广泛且深入，其基本概念和方法为经济分析提供了有力的工具。
微积分在经济学中的运用，主要体现在建立经济模型、分析经济变量之间的关系、预测经济趋势、优化经济决策以及与数据分析的结合等方面。
以下是关于微积分在经济学中应用的一些详细内容。
一、微积分的核心概念及其在经济学中的应用微积分主要由极限、导数、积分等核心概念构成。
这些概念在经济学中都有广泛的应用。
1. 极限：在经济学中，极限常常被用来描述经济变量的长期趋势。
例如，在经济增长理论中，极限概念被用来探讨一个国家或地区的经济增长潜力。
2. 导数：导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在经济学中，导数常被用于描述经济变量之间的边际关系，如边际成本、边际收益等。
这些概念在决策分析、定价策略、资源优化等方面有着广泛的应用。
3. 积分：积分是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一区间内的累积变化。
在经济学中，积分常被用于计算总成本、总收入等经济指标。
此外，在经济预测和规划中，积分也发挥着重要作用。
二、微积分在经济模型建立中的应用微积分在经济模型的建立中扮演着至关重要的角色。
通过建立含有导数、积分等微积分元素的经济模型，我们可以更准确地描述经济现象，揭示经济变量之间的关系。
例如，在宏观经济学中，常使用微积分来建立经济增长模型。
通过引入导数来描述经济增长率的变化，可以更准确地预测经济未来的发展趋势。
在微观经济学中，微积分也被广泛用于建立需求曲线、供给曲线等模型，以分析市场价格与数量之间的关系。
三、微积分在优化经济决策中的应用微积分在优化经济决策中也发挥着重要作用。
通过求解含有微积分元素的优化问题，我们可以找到实现经济目标的最优方案。
例如，在生产决策中，企业常使用微积分来优化生产成本。
通过求解边际成本等于边际收益的条件，企业可以确定最佳的生产规模，以实现利润最大化。
在投资决策中，微积分也可帮助投资者分析投资项目的风险和收益，以找到最优的投资组合。
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析第一，微积分的运用可以更好地解释变化率和边际效益。
在经济学中，变化率以及边际效益是非常重要的概念。
例如，在市场经济中，一种产品的价格随着销量的增加而变化，这就需要我们用微积分中的导数来解释。
另外，当我们研究决策者的行为时，边际效益也是一个非常重要的概念，微积分中的微分就可以很好地解释这一现象。
第二，微积分的运用可以更好地解释曲线变化。
在经济学中，很多曲线是非常复杂的，例如收入分配曲线、社会福利曲线等。
微积分中的积分可以帮助我们计算出这些曲线的面积和弧长，这对于我们理解这些曲线的变化非常有帮助。
第三，微积分的运用可以更好地解释最优化问题。
在经济学中，最优化问题是一个非常重要的问题。
例如，在企业投资决策中，企业需要在各种限制条件下最大化收益，这就需要我们用微积分中的极值问题来计算最优解。
另外，在公共政策制定中，最优化问题也是非常重要的，例如在纳税政策制定中，政府需要在税收收入和公共支出之间进行最优化的决策。
第四，微积分的运用可以更好地解释概率与统计问题。
在经济学中，概率与统计问题是非常常见的。
例如，在金融市场中，我们需要计算投资的风险，这就需要我们用微积分中的概率和统计知识来计算。
另外，在经济学研究中，我们也需要进行数据分析，这就需要用到统计知识，包括微积分中的概率和统计知识。
综上所述，微积分在经济学中有着非常重要的应用，它可以帮助我们更好地解释经济学理论，也可以帮助我们更好地解决经济学中的现实问题。
在未来，随着经济学研究的深入，微积分的应用将会更加普及和广泛。
微分与导数的概念及应用
微分与导数的概念及应用微分和导数是高等数学中的重要概念，它们在数学、物理、经济学、工程以及其他领域中都有着广泛的应用。
本文将首先介绍微分和导数的基本概念，然后探讨它们在各个领域中的应用。
微分是描述函数变化率的工具，它用来表示函数在某个点的局部变化情况。
在数学上，如果函数在点x处可微分，那么它在该点的微分就是函数在该点的切线斜率。
微分以 dy/dx 或 f'(x) 的形式表示，其中 dy 表示函数在 x 处的微小变化量，dx表示自变量 x 的微小变化量。
微小变化量 dx 无限接近于零时，对应的函数值的微小变化量 dy 即为函数的微分。
导数是函数变化率的一种度量方式，它是微分的极限形式。
在数学上，导数描述了函数在每个点的变化率。
通过求取函数的导数，可以得到函数的斜率，从而揭示函数的各种性质。
导数常表示为 f'(x) 或 dy/dx 的形式，其中 f'(x) 表示函数 f(x)的导数，dy 表示函数值的微小变化量，dx 表示自变量的微小变化量。
微分和导数在各个领域中都有广泛的应用。
其中一个重要的应用领域是物理学。
在物理学中，微分和导数用于描述物体运动的速度、加速度和力等概念。
例如，当我们求取一个物体的速度时，可以通过对其位置函数求取导数来得到。
同样地，加速度可以通过速度函数的导数获得。
微分和导数的概念在物理学中的广泛应用，使得我们能够精确地描述和预测物体的运动。
在经济学中，微分和导数也有着重要的应用。
经济学研究经济体的生产、消费和投资等诸多方面，而微分和导数则用于了解经济变量之间的关系。
例如，需求曲线和供给曲线的斜率可以通过微分和导数来计算，从而确定价格和数量的变化关系。
此外，微分和导数还可以用于经济学中的边际分析。
边际成本和边际收益都可以通过对相应成本和收益函数求取导数来计算，从而帮助决策者做出合理的决策。
在工程学领域，微分和导数则用于建立模型和解决实际问题。
例如，工程师在设计容器的形状时，可以通过对容器的体积函数求导来确定最佳形状。
3.6导数在经济学中的简单应用
需求价格弹性函数及当p 10时的需求价格弹性
解：
1 p 1400(ln 4) p( ) p 4 p ln 4 E p q( p) 1 p q 1400( ) 4
p 10
Ep
10 ln 4 20 ln 2
【3-6-11】
例2 设某商品的需求价格函数为q=42-5p，求（1）边际需求函数 和需求价格弹性，（2）当p=6时，若价格上涨1%，总收益是增加还是 减少？ 解：
若提价，则有： 若降价，则有：
1 Ep
0
p 0, q 0, 此时R 0, 收益上升
p 0, q 0, 此时R 0, 收益下降
从而企业可以根据具体情况采用降价或提价来增加收益。
【3-6-10】
5 弹性举例
1 p 例1 已知某商品的需求价格函数为q 1400( ) , 求该商品的 4
C (q 1) C (q) C (q)
【3-6-1】
（4）举例
x2 设生产某商品x个单位的成本函数为C ( x ) 100 6 x , 4
求当x 10时的总成本, 平均成本和边际成本
解： 总成本为C (10) 185,
C (10) 平均成本为C (10) 18.5, 10
试求当p 4时的边际需求及需求价格弹性
结束
【3-6-13】
含义为 : 当收入增加一个百分点时,需求量将上升EM 个百分点
【3-6-8】
4 边际与弹性的关系 （1）关系：
R pq( p), dR pdq qdp,
p dq pdq 而E p ,q Ep
dR 1 1 边际收益MR (1 ) p (1 )P dq Ep Ep
导数与微分在经济学中的简单应用教学课件
05
导数与微分在经济学中的实践练习
练习一：利用导数分析函数单调性
总结词
通过导数的符号判断函数的单调性
详细描述
首先，需要了解导数的基本概念及其与函数单调性的关 系。其次，通过实例，展示如何利用导数判断函数的单 调性。
练习二：利用微分求解函数极值
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过微分求解函数的极值点
首先，需要了解微分的基本概念及其与函数极值的关系 。其次，通过实例，展示如何利用微分求解函数的极值 点。
2023
导数与微分在经济学中的 简单应用教学课件
contents
目录
• 导数与微分的概念 • 导数在经济学中的应用 • 微分在经济学中的应用 • 导数与微分在经济学中的案例分析 • 导数与微分在经济学中的实践练习
01
导数与微分的概念
导数的定义
1 2
函数在某一点的导数
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率。
案例一：商品价格与需求量的关系
01
总结词：价格弹性பைடு நூலகம்
02
详细描述：在经济学中，商品 价格与需求量之间的关系可以 用导数来描述。如果需求函数 是线性的，那么它的导数就是 价格弹性，表示价格变动对需 求量变动的影响程度。
03
公式展示：如果需求函数是 Q=a-bP，其中Q是需求量， P是价格，a和b是常数，那么 价格弹性就是-b/a。
导数可以用来寻找最大收入的解，即如何确定销售量以达到最大 收入。
03
微分在经济学中的应用
微分在函数极值中的应用
总结词
找寻经济函数的最大值和最小值
详细描述
通过微分，我们可以求出函数的一阶导数，并找到导数为零的点，这些点就是函数的极值点。在经济学中，我 们常常需要找出一个经济函数的最优解，即经济函数的最大值或最小值。例如，在成本最小化问题中，我们可 以通过微分来找到总成本的最小值点。
导数与微分应用知识点
导数与微分应用知识点导数和微分是微积分中的重要概念，它们在数学以及其他学科中都有广泛应用。
本文将介绍导数与微分的基本概念，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、导数的基本概念导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数 f(x)，它的导数可以表示为 f'(x)，或者 df/dx，其中 d 表示微小的变化量。
导数可以理解为函数曲线上某一点的切线斜率。
常用的导数计算法则有：1. 常数法则：如果 f(x) = C，其中 C 是一个常数，那么 f'(x) = 0。
2. 幂函数法则：对于 f(x) = x^n，其中 n 是一个常数，那么 f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数法则：对于 f(x) = a^x，其中 a 是一个常数，那么f'(x) = a^x * ln(a)，其中 ln 表示自然对数。
4. 对数函数法则：对于f(x) = logₐ(x)，其中 a 是一个常数且a ≠ 1，那么 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、微分的基本概念微分是导数的一个应用，它描述了函数在某一点的线性近似。
对于函数 f(x)，它的微分可以表示为 df(x)，或者 dx。
微分可以理解为函数曲线在某一点的切线方程。
根据微分的定义，我们可以得到微分的主要性质：1. 线性性质：对于函数 f(x) 和 g(x)，以及常数 a 和 b，有 d(af(x) + bg(x)) = a * df(x) + b * dg(x)。
2. 乘法法则：对于函数 f(x) 和 g(x)，有 d(f(x)g(x)) = f(x) * dg(x) + g(x) * df(x)。
三、导数与微分的应用导数和微分在多个学科中都有广泛的应用。
以下是其中一些典型的应用领域：1. 物理学中的运动学问题：导数和微分可以用来描述物体的位移、速度和加速度等运动学参数。
通过求解导数方程，可以计算出物体在不同时刻的运动状态。
导数在经济学中的应用 PPT课件
(2) 由于平均成本为 C (Q )
C (Q )
Q
Q
10
2
160
Q
1 160 C (Q ) 2 10 Q
令C (Q ) 0，得唯一驻点Q 40.
160 C (Q ) 2 160(Q 2 ) 320 Q 3 Q 320 1 C (40) 3 0 40 200
在应用问题中解释弹性具体意义时，常常略去“近似”
二字．
例4 解
Ey Ey 求 y 4 3 x 的弹性函数 及 Ex Ex
Ey x 3x y , y 3, Ex y 4 3x
．
x2
Ey Ex
x2
3 2 0.6． 4 3 2
2、需求弹性 格P的函数：
R(Q ) 平均收益函数为 R P (Q )． Q
dR P (Q ) QP (Q )． 边际收益函数为 R dQ
其经济意义是：在已销售Q个单位商品的基 础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。
目录 上页 下页 返回 结束
二、最大利润原则 设总利润为L，则
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
R(Q ) Q P (Q ) 10Q
Q2
5
,
2Q R(Q ) P (Q ) 10 , R(Q ) 10 , 5 5 所以当 Q 10 时，总收益、平均收益与边际收益分别为：
Q
R(10) 80, R(10) 8, R(10) 6．
目录 上页 下页 返回 结束
Ey x 我们称它为y f ( x)的弹性函数， y 仍为x的函数， Ex y
Ey 当x x0 时， Ex Ef ( x0 ) x0 f ( x0 ) ． Ex f ( x0 )
导数在经济学中的应用
引言近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。
因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。
而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。
在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。
在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。
本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。
1、导数的概念早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建2、经济分析中常用的函数由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。
经济分析中常用的函数主要有以下四类：2.1需求函数需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。
（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Qd =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。
这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。
例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。
解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q +=则b a +=100120；b a +=80200解得4-=a ；520=b所以需求函数为5204+-=P Q 。
论文 导数及微分在经济学中的应用
导数及微分在经济学中的应用这个学期，我学习了经济数学方法这门课程。
在这门课上，我学习到了逻辑、集合、空间、函数、对应、向量、矩阵、导数、微分等知识及其在经济学中的应用。
通过学习，我加深了对以前学习过的经济学知识的理解。
我对导数及微分在经济学中的应用比较感兴趣。
这篇论文，我主要写的是我对这方面的理解。
一、导数在弹性分析中的应用弹性是经济学中一个重要的概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。
设函数可)(x f y =可导, 函数的相对改变量)()()(x f x f x x f y y -∆+=∆，与自变量的相对改变量x x ∆之比xx y y //∆∆, 称为函数)(x f 从x 到x x ∆+两点间的弹性。
下面介绍一下需求弹性。
设某商品市场的需求量为Q ，价格为p ，需求函数Q=(p)可导，则称dpdQ p Q p Ep EQ ⋅=)(为商品的需求价格弹性，简称需求弹性，记为E P 。
它表示需求量Q 对价格p 的反应程度。
由于需求曲线是向右下倾斜的，所以价格平p 上涨或下跌1%，需求量对价格的反应是下降或上升1%。
当E P = - ∞ ，弹性无穷大；E P = -1, 单位弹性；|E P | <1, 弹性不足或缺乏弹性；|E P |>1, 弹性充足或富于弹性；E P = 0，弹性等于零。
下面我们分析一下不同商品的需求弹性。
设生活必需品的需求函数是Q=150-0.5p ，当价格为90时的需求弹性是43.05.01505.0,5.0-=--==-=pp dp dQ Q p Ep dp dQ ，而当价格上涨到110时，需求量由105下降到95，可见生活必需品的需求弹性较小，价格上升对需求量的影响并不明显。
下面探讨一下奢侈品。
设奢侈品的需求函数是Q=240-1.5p ，同样当价格为90时29.15.12405.1,5.1-=--==-=pp dp dQ Q p Ep dp dQ ，而当价格上升至110时。
最新导数在经济学中的应用
导数在经济学中的应用导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00 称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x x x c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
3.6 导数与微分在经济学中的简单应用
一、边际分析
f ′( x )的背景 :
第三章
物理） 物理） 瞬时速度 几 ） 线 率 何 切 斜 经 ） 际 数 济边 函
边 成 ） （ 际 本
设厂商的成本函数为 C = C ( x ) ( x 是产量 ) dC 则边际成本 MC = C ′( x ) = dx C′(x0 )经 含 :当 量 加 单 ,即x : x0 → x0 + 1时, 济 义 产 增 一 位
在产量 x 0 基础上 , 多销售一单位产品 所近似增加的收入 .
边 利 ） （ 际 润 总利润函数 L( x ) =R( x ) − C ( x ), 称L′( x )为在产量 x时的
′ L 边际利润. 且 ′(x) = R(x) −C′(x) 经 含 ： 济 义 边际利润 L′( x0 )表示了 在生产量 x0 基础上 , 多卖出一单位产品， 多卖出一单位产品， 则产品利润近似增加 L′( x 0 )个单位 .
例. 设某产品的需求方程为 p + 0.1 x = 80 ( p是价格 , x 是需求量 ), 成本函数为 C ( x ) = 5000 + 20 x元 , 求边际利润 函数 L' ( x ), 并分别求 x = 150 ,300 和 400时的边际利润 .并 解释其经济含义 . 解 收益函数 R( x ) = px = (80 − 0.1 x ) x = 80 x − 0.1 x 2 ,
思考三种弹性类型的商品的实例
例,电、食盐等商品缺乏弹 性 ,而如猪肉等为高弹性商 品
商品经济中， 商品经济中，商品经营 者关心的是提价 ( ∆ p > 0 )或降价 ( ∆ p < 0 ) 对总收入的影响。利用 需求价格弹性的概念 , 对总收入的影响。 影响销售收入的结论。 可以得出价格变动如何 影响销售收入的结论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
二、边际分析
marginal MC MR
设 可导函 数 y f ( x ) 是一 个经济 函数， 则其导 函数
f ( x ) 称为边际函数， 如边际成本、 边际收益、 边际需求等。 对于经济函数 f ( x ) ，设经济变量 x 在点 x 0 处有一
个改变量 x ，则
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x ,
第六节
导数和微分在经济学中的简单应用
一、经济学中常用的几个函数
1.成本函数
总成本函数 C C(Q) C0 C1(Q) ，其中 Q 为产量，
C0 为固定成本， C1 (Q ) 为变动成本；
C (Q ) AC 平均成本函数 C . Q 2.需求函数 需求函数 Q f ( P ) , 其中 P 为价格；
例如： y x ，
2
当 x 由 10 改变到 12 时，y 由 100 改变到 144，此时
y x 44% 20% ， y x
这表示当 x 10 改变到x 12 时， 产生了 20% 的 x 改变，而 y 相应产生了 44%的改变。
y y 2.2 表示函数 y x 2 的平均相对变化率。 x x
取 x 1 , 则 y f ( x0 ) ,
这说明当 x 在 x0 点改变“一个单位”时，y 相应地近似 改变 f ( x0 ) 个单位. 在实际应用中，经济学家常常略去 “近似”而直接说 y 改变 f ( x0 ) 个单位， 这就是边际函数值 的含义.
3
例1
生产某产品x单位的总成本为 C ( x ) 1100 0.002x 2 (百元)，
7
例3 求函数 y 100 e 3 x 的弹性函数。 解
Ey x y Ex y
y 300e 3 x ，
Ey x 3x 300e 3x . 3x Ex 100e
例4 求幂函数 y x 的弹性函数。
解
y x 1 ，
称幂函数为不变弹性函数。
Ey x 1 x . Ex x
10
则生产单位时的边际成本为 C (1000 ) 4 , 说明： 产量 x 1000 时， 每增加一个单位产量.大约需
增加成本 4(百元)。
2 P 例2 某商品的需求函数为Q 75 P ,求 4 时的边际需求。
解
单位.
Q 2P , Q(4) 8 .
当 说明： P 4 时,价格每上升一个单位,需求大约减少 8 个
4
三、弹性分析
前面所谈的函数改变量和函数变化率是绝对改变 量和绝对变化率，但仅仅研究函数的绝对改变量和绝 对变化率是不够的。 例如，商品甲每单位价格10元，涨价1元；商品 乙每单位价格1000元，也涨价1元。两种商品价格的 绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价 的百分比却有很大的不同，商品甲涨了10%，而商品 乙涨了0.1%。因此我们还有必要研究函数的相对改 变量和相对变化率。 边际函数反映的是函数的变化率，而函数的弹性 则反映的是函数的相对变化率。 5
6
定义 设 y f (x) 是一个经济函数，如果极限
y y lim x 0 x x
Elasticity
Ey 称之为函数 f ( x ) 在点 x 处的弹性，记作 。 Ex
Ey x 计算公式： y Ex y
经济意义：当自变量 x 增加 1%时，因变量 y (近似 地)
Ey 改变 %. Ex
它的反函数 P g (Q ) 有时称为价格函数。
1
3.收益函数
或
revenue
总收益函数 R R( P ) P Q P f ( P )
R R(Q) P Q Q g(Q)
R 平均收益函数 R . Q
4.利润函数
总利润函数 L(Q) R(Q) C (Q)
8
例5 设某商品的需求函数为 Q e
P 5
,求需求弹性函数。
解
1 5 Q e ， 5
EQ PQ 1 P. EP Q 5
P
EQ 1 .2 . 当 P 6 时， EP
解释：当 P 6 时，若价格上涨 1三