经济数学基础讲义第2章导数与微分

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第2章 导数与微分

2.1 极限概念

研究函数是利用极限的方法来进行;极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年,古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长,显然随着边数的增加,正多边形的边长将无限趋近圆的周长.

例2 讨论当+∞→x 时,x

1

的变化趋势.

例3 讨论一个定长的棒,每天截去一半,随着天数的增加,棒长的变化趋势。 “一尺之棰,日截其半,万世不竭”——庄子•天下

定义2.3 设函数)(x f 在点0x 的邻域(点0x 可以除外)内有定义,如果当x 无限趋于0x (但

0x x ≠)时,)(x f 无限趋近于某个常数A ,则称x 趋于0x 时,)(x f 以A 为极限,记为

A x f x x =→)(lim 0

或A x f →)( )(0x x →

若自变量x 趋于0x 时,函数)(x f 没有一个固定的变化趋势,则称函数)(x f 在0x 处没有极限.

在理解极限定义时要注意两个细节:

1.0x x →时,(0x x ≠)

2.⎩

⎧→<→>→000

00)()(x x x x x x x x (包括这两种情况)

例1 讨论2x y =时, 2

2

lim x x →=? 解:求极限时,可以利用极限的概念和直观的了解,我们可以借助几何图形来求函数的极限.

由几何图形可以看出,当2→x 时,42→=x y ,即2

2

lim x x →=4 例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限1

1

lim 21--→x x x

解:此函数在1=x 处没有定义,可以借助图形求极限.由

图形得到21

1

lim 21=--→x x x

2.1.3 左极限和右极限

考虑函数x y =,

依照极限的定义,不能考虑0→x 的极限. 因为x y =在0

无定义.

又如函数⎩

⎧>≤=010)(x x x x f ,如果讨论0→x 是的极限,则函数分别在0x 时不是同一个表达式,必须分别考虑.由此引出左右极限的概念. 定义2.4 设函数f x ()在点x 0的邻域(x 0点可以除外)内有定义,

如果当x x <0且x 无限于x 0(即x 从x 0的左侧趋于x 0,记为x x →-

0)时,函数f x ()无

限地趋近于常数L ,则称当x 趋于x 0时,f x ()以L 为左极限,记作

= L ;

如果当x x >0且x 无限趋于x 0(即x 从x 0的右侧趋于x 0,记为x x →+0)时,函数f x ()无

限地趋近于常数R ,则称当x 趋于x 0时,f x ()以R 为右极限,记作= R .

极限存在的充分必要条件:

极限)(lim 0

x f x

x →存在的充分必要条件是:函数f x ()在0x 处的左,右极限都存在且相等.即

例3 ⎩⎨⎧>≤=0

10)(x x x x f , 求)(lim 0x f x → 解:注意到此函数当x =0的两侧表达式是不同,在0点处分别求左、右极限.

11lim )(lim 0

0==++

→→x x x f ,0lim )(lim 0

==--→→x x f x x

可见左右极限都存在但不相等;由几何图形易见,由极限的定义知,函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数,因此此函数在0点处极限不存在. 2.1.4 无穷小量

0)(lim 0

=→x f x x 称当0x x →时,)(x f 为无穷小量,简称无穷小.

补充内容:

无穷小量是一个特殊的变量,它与有极限变量的关系是:

变量y 以为A 极限的充分必要条件是:y 可以表示成A 与一个无穷小量的和,即

)0(lim lim =+=⇔=ααA y A y

无穷小量的有以下性质:

性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量; 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量;

性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量:在某个变化过程中,绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.

例如 因为+∞=+∞

→x

x 2lim ,所以,当+∞→x 时,x 2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”:

定理:当0x x →(或∞→x )时,若)(x f 是无穷小(而0)(≠x f ),则

)

(1

x f 是无穷大;反之,若)(x f 是无穷大,则

是无穷小.

例4 2

x y =,当0→x 时,?2→x

解: 由图形可知,当0→x 时,02→x ,当0→x 时,2x 是无穷小量. 2.2 极限的运算

2.2.1 极限的四则运算法则

在某个变化过程中,变量v u ,分别以B A ,为极限,则

B A v u v u ±=±=±lim lim )lim(,B A v u v u ⋅=⋅=⋅lim lim )lim(

例1 求2

2

lim x x → 解:422)lim )(lim ()(lim lim 2

222

2=⨯==⋅=→→→→x x x x x x x x x 例2 求1

1

lim 21--→x x x

解:21)

1(lim 1)1)(1(lim 11lim 1121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x

例3 求x

x x x +-∞→2231lim

解:3

1)

13()11(lim 31lim

22222=+-

=+-∞→∞→x

x x x x x x x x 例4 求x

x x 1

1lim

-+→

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