经济数学基础讲义第2章导数与微分
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第2章 导数与微分
2.1 极限概念
研究函数是利用极限的方法来进行;极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年,古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长,显然随着边数的增加,正多边形的边长将无限趋近圆的周长.
例2 讨论当+∞→x 时,x
1
的变化趋势.
例3 讨论一个定长的棒,每天截去一半,随着天数的增加,棒长的变化趋势。 “一尺之棰,日截其半,万世不竭”——庄子•天下
定义2.3 设函数)(x f 在点0x 的邻域(点0x 可以除外)内有定义,如果当x 无限趋于0x (但
0x x ≠)时,)(x f 无限趋近于某个常数A ,则称x 趋于0x 时,)(x f 以A 为极限,记为
A x f x x =→)(lim 0
或A x f →)( )(0x x →
若自变量x 趋于0x 时,函数)(x f 没有一个固定的变化趋势,则称函数)(x f 在0x 处没有极限.
在理解极限定义时要注意两个细节:
1.0x x →时,(0x x ≠)
2.⎩
⎨
⎧→<→>→000
00)()(x x x x x x x x (包括这两种情况)
例1 讨论2x y =时, 2
2
lim x x →=? 解:求极限时,可以利用极限的概念和直观的了解,我们可以借助几何图形来求函数的极限.
由几何图形可以看出,当2→x 时,42→=x y ,即2
2
lim x x →=4 例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限1
1
lim 21--→x x x
解:此函数在1=x 处没有定义,可以借助图形求极限.由
图形得到21
1
lim 21=--→x x x
2.1.3 左极限和右极限
考虑函数x y =,
依照极限的定义,不能考虑0→x 的极限. 因为x y =在0 无定义. 又如函数⎩ ⎨ ⎧>≤=010)(x x x x f ,如果讨论0→x 是的极限,则函数分别在0 如果当x x <0且x 无限于x 0(即x 从x 0的左侧趋于x 0,记为x x →- 0)时,函数f x ()无 限地趋近于常数L ,则称当x 趋于x 0时,f x ()以L 为左极限,记作 = L ; 如果当x x >0且x 无限趋于x 0(即x 从x 0的右侧趋于x 0,记为x x →+0)时,函数f x ()无 限地趋近于常数R ,则称当x 趋于x 0时,f x ()以R 为右极限,记作= R . 极限存在的充分必要条件: 极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是:函数f x ()在0x 处的左,右极限都存在且相等.即 例3 ⎩⎨⎧>≤=0 10)(x x x x f , 求)(lim 0x f x → 解:注意到此函数当x =0的两侧表达式是不同,在0点处分别求左、右极限. 11lim )(lim 0 0==++ →→x x x f ,0lim )(lim 0 ==--→→x x f x x 可见左右极限都存在但不相等;由几何图形易见,由极限的定义知,函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数,因此此函数在0点处极限不存在. 2.1.4 无穷小量 0)(lim 0 =→x f x x 称当0x x →时,)(x f 为无穷小量,简称无穷小. 补充内容: 无穷小量是一个特殊的变量,它与有极限变量的关系是: 变量y 以为A 极限的充分必要条件是:y 可以表示成A 与一个无穷小量的和,即 )0(lim lim =+=⇔=ααA y A y 无穷小量的有以下性质: 性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量; 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量; 性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量:在某个变化过程中,绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量. 例如 因为+∞=+∞ →x x 2lim ,所以,当+∞→x 时,x 2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”: 定理:当0x x →(或∞→x )时,若)(x f 是无穷小(而0)(≠x f ),则 ) (1 x f 是无穷大;反之,若)(x f 是无穷大,则 是无穷小. 例4 2 x y =,当0→x 时,?2→x 解: 由图形可知,当0→x 时,02→x ,当0→x 时,2x 是无穷小量. 2.2 极限的运算 2.2.1 极限的四则运算法则 在某个变化过程中,变量v u ,分别以B A ,为极限,则 B A v u v u ±=±=±lim lim )lim(,B A v u v u ⋅=⋅=⋅lim lim )lim( 例1 求2 2 lim x x → 解:422)lim )(lim ()(lim lim 2 222 2=⨯==⋅=→→→→x x x x x x x x x 例2 求1 1 lim 21--→x x x 解:21) 1(lim 1)1)(1(lim 11lim 1121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x 例3 求x x x x +-∞→2231lim 解:3 1) 13()11(lim 31lim 22222=+- =+-∞→∞→x x x x x x x x x 例4 求x x x 1 1lim -+→