第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版

第二章 导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.本节主要内容1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线2 导数的定义3 左右导数4 用导数计算导数5 导数的几何意义6 函数的可导与连续的关系讲解提纲：一、 引例：引例1：变速直线运动的瞬时速度000()()limt t f t f t v t t →-=-；引例2 平面曲线的切线000()()lim x x f x f x k x x →-=-.二、 导数的定义：xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim)(00000 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值xy∆∆是函数y 在以0x 和x x ∆+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0|x x y ='则是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 三、左右导数:'0()f x -=0()()limh f x h f x h -→+-'0()f x +=0()()limh f x h f x h+→+-定理1 函数)(x f y =在点0x 处可导的充要条件是：函数)(x f y =在点0x 处的左、右导数均存在且相等.四、用定义计算导数:根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1． 求函数的增量： );()(x f x x f y -∆+=∆2． 求两增量的比值： xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; 3． 求极限 .lim0xy y x ∆∆='→∆五、导数的几何意义:函数()y f x =在点0x 处的导数'0()f x 在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线的斜率，即'0()f x tan α=，其中α是切线的倾角。

如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =.六、函数的可导性与连续性的关系定理2 如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则它在0x 处连续.注：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.例题选讲：导数概念的应用例1 求函数210y x =在1x =-处的导数.解：'0(1)(1)(1)lim x f x f f x∆→-+∆---=∆22010(1)10(1)lim x x x∆→-+∆--=∆2010201010lim x x x x∆→-∆+∆-=∆202010lim x x x x∆→-∆+∆=∆lim(2010)20x x ∆→=-+∆=-.例2 试按导数定义观察下列各极限，指出A 表示什么(假设各极限均存在).(1) 000()()lim;x f x x f x A x∆→-∆-=∆(2) 000()()lim h f x h f x h A h→+--=.解：（1） 000000()()()()lim lim[]x x f x x f x f x x f x A x x∆→∆→-∆--∆-==-∆-∆'0000[()]()lim ()x f x x f x f x x-∆→+-∆-=-=--∆；（2） 000()()lim h f x h f x h A h→+--=00000[()()][()()]limh f x h f x f x h f x h→+----= 000000()()()()lim limh h f x h f x f x h f x h h →→+---=- '''000()[()]2()f x f x f x =--=.用定义计算导数例3 求函数C x f =)((C 为常数)的导数. 解： '0()()()limlim 0x x f x x f x C Cf x x x∆→∆→+∆--===∆∆； 例4 设函数,sin )(x x f = 求)(sin 'x 及4|)(sin π='x x .解: '0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆=0sin()sin()lim x x x x x∆→+∆-∆01lim 2cos()sin22x x xx x ∆→∆∆=⋅+∆ 0sin()2lim cos()cos 22x x x x x x ∆→∆∆=+⋅=∆ 4|)(sin π='x x＝cos 42π=例5 求函数n x y =(n 为正整数)在x a =处的导数.解： '()()()lim lim n nx a x a f x f a x a f a x ax a →→--==--1211lim()n n n n x ax ax a na ----→=+++=例6 求函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数.解： '00()()()lim lim x h xh h f x h f x a a f x h h+→→+--==01limh xh a a h→-=ln x a a = 例7 求函数 ()1,0log ≠>=a a x y a 的导数解： '00log ()log ()()()lim lima a h h x h x f x h f x f x h h →→+-+-== 0011lim log lim log (1)a a h h x h x hh x x h x→→+==⋅+0log (1)11limln a h hx h x x a x →+== 例8 求cos y x =在点1,32π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解：切线斜率'33sin sin3x x y x πππ===-=-=， 故在1,32π⎛⎫⎪⎝⎭处，切线方程为：1()223y x π-=--；法线斜率：－(1/-==法线方程：1)233y x π-=-- 左右导数例9 函数 ⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f 00≥<x x ，求()'f x .解：当0x =时，'00()(0)sin (0)limlim 1x x f x f xf x x-→-→--==='00()(0)(0)lim lim 10x x f x f x f x x +→+→+-===-由'(0)f -='(0)1f +=知()'01f =故()'cos ,01,01,0x x f x x x <⎧⎪==⎨⎪>⎩，即()'cos ,01,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩例10 已知2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，求'(0),f -'(0)f +解： '00()(0)0(0)lim lim 1x x f x f x f x x-→-→----===-2'000()(0)0(0)limlim lim 00x x x f x f x f x x x+→+→+→+--====- 由于''(0)(0),f f -+≠所以'(0)f 不存在。

例11 讨论函数()sin f x x =在0=x 处的连续性与可导性. 解：因为0lim ()lim sin 0x x f x x →+→+==lim ()lim(sin )0x x f x x →-→-=-=(0)sin 00f ==所以0lim ()x f x →+=0lim ()x f x →-=(0)f ，于是()sin f x x =在0=x 处连续'00()(0)sin 0(0)limlim 1x x f x f x f x x-→-→----===-'00()(0)sin 0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+→+→+--===-由于''(0)(0),f f -+≠所以()sin f x x =在0=x 处不可导。

例12 讨论21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0=x 处的连续性与可导性. 解：因为2001lim ()lim sin 0(0)x x f x x f x→→===所以函数在0=x 处连续。

又由2'0001sin 0()(0)1(0)lim lim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x→→→--==== 所以函数在0=x 处可导。