啤酒瓶换啤酒问题

啤酒瓶换啤酒问题 Prepared on 24 November 2020
啤酒瓶换啤酒问题
青岛开发区初级实验初中孙艺格指导老师：葛岩岩
一.问题的提出
在日常生活中,我们经常会遇到用空啤酒瓶换啤酒的问题。

喝完了啤酒还能用空瓶换啤酒继续喝，那么你研究过到底你能换多少啤酒吗怎么合算呢如果你没有经历过这种事情，下面这道数学题应该见到过吧：
现有10瓶啤酒，每三个空瓶可以换一瓶新的啤酒。

问总共能喝到多少瓶啤酒呢
就这个问题，大部分人给的答案通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4个空瓶。

然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。

最后剩下2个空瓶。

共10+3+1=14瓶）。

然而有些更聪明的人却认为正确答案应该是15瓶。

他们认为剩下的那两个空瓶仍然能够被利用，先借来一瓶啤酒，喝完后，连同剩下的两个空瓶一起还给人家，这样就可以喝15瓶了。

我思考再三也觉得这就是这道题的正确答案。

最近老师布置了作业，我突然又想到了这个问题，它能不能被深入地推广到一般情况呢下面就是我对这个问题的思考与研究。

二.数学模型建立
下表列出了原有啤酒瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：
通过观察，我把上表整理如下，大家能发现什么规律吗
根据归纳总结，我发现有这样一条规律：
①当原有啤酒瓶数X为偶数时，则实际能喝到原来倍瓶数的啤酒。

②当原有啤酒瓶数X为奇数时，则实际喝到原来倍瓶数取整数的啤酒。

这是简单的一般归纳得出的结论，但能普遍用于一般情况吗那就要通过下面的分析来解决。

三.数学模型分析与问题的解决
经过仔细分析，我发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用前面提到的“借瓶子”的方法再喝一瓶啤酒。

我们可以这样处理那些剩余的空瓶：把所有空
瓶分为两个两个一组，每一组等于一瓶“没有空瓶”的啤酒（只可以喝，但不能得到空瓶）。

这样把问题简化了，就可描述如下：
当原有瓶数X为偶数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组，每组个正好分完。

每组又是一瓶。

共喝掉X+=X瓶。

当原有瓶数X为奇数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组，每组（X-1）个，还剩一个空瓶，浪费掉。

共喝X+（X—1）=瓶。

通过这两个式子，算出来的结果与上面整理过的表格完全一一对应。

这也进一步验证了我们不完全归纳得出的结论。

通过这种思想，我们能不能进一步再推广呢如果是4个、5个或更多空瓶换一瓶啤酒，又会怎么样呢
四.数学模型的进一步推广
现有X瓶啤酒，每Y个空瓶可以换一瓶新的啤酒。

问总共能喝到多少瓶啤酒呢由上面的推导过程来看，如果是Y个空瓶可以换一瓶啤酒，那么每拥有（Y —1）个空瓶，就可以用“借瓶子”法得到一瓶啤酒。

所以当喝完X瓶啤酒得到X 个空瓶之后，又能喝到[X/（Y—1）]瓶啤酒。

总共就是[X+X/（Y—1）]瓶啤酒(若除不尽时则向下取整数).整理该式子，就得到了最后的结论：可以喝到[XY/（Y—1）]瓶啤酒(若除不尽则向下取整数)。

五.论文总结：
问题：现有X瓶啤酒，每Y个空瓶可以换一瓶新的啤酒。

问总共能喝到多少瓶啤酒呢
通过上面的分析，那么我们可知总共可以喝到[XY/（Y—1）]瓶啤酒(若除不尽则向下取整数)。