4.5 关系的闭包

是整数集Z上 (小于)关系， 例4.5.5 设R是整数集 上<(小于)关系，因R是传 是整数集 是传 递的， 关系， 递的，于是 st ( R) = s ( R) 是 Z上 ≠ 关系， 上 上的全关系， 但 ts( R) = t (Z上 ≠ 关系) 是 Z上的全关系， 上的全关系 ｓ 故 st ( R) ⊆ ts( R) 且 st ( R) ≠ ts( R)。 特别地, 设 A = {1, 2,3} , R是 A上<(小于)关系,则 特别地 是 上 (小于)关系, R = {(1, 2), (1,3), (2,3)}是传递的,于是 是传递的,
整数集Ｚ ＜（小于 小于） 例4.5.2 整数集Ｚ上＜（小于）关系的对称闭包 是≠（不等于）关系； （不等于）关系； ≤(小于等于)关系的对称闭包是全关系。 (小于等于)关系的对称闭传递闭包的结构) 上的关系， 上的关系，则 t(R) = RU R2 U R3 UL
定理4.5.5 (有限集上的传递闭包的结构)设Ａ是 定理 有限集上的传递闭包的结构) ｎ个元素的集合，Ｒ是其上的关系，则 个元素的集合， 是其上的关系，
t(R) = RU R2 ULU Rn
个元素的集合时， 当Ａ是ｎ个元素的集合时，结合关系矩阵的定 闭包所对应的矩阵： 义可得关系Ｒ闭包所对应的矩阵：
二．闭包的结构
定理4.5.2 (自反闭包的结构)设Ｒ是非空集合Ａ上 自反闭包的结构) 定理 的关系， 的关系，则 r(R) = RU IA 证. 记 R′ = RU IA，则 R′满足定义 满足定义4.5.1的(1)( ), )(2), 的 )( 是自反的， 设 R′′ 是自反的，且 R ⊆ R′′ ，往证 R′ ⊆ R′′ (3), 有二个情形： 对 (a, b) ∈R′，有二个情形： 一、若 (a, b) ∈R，则 (a, b) ∈R′′ ； 二、若 (a, b) ∈IA，即 a = b，则 (a, a) ∈R′′ 总之， 总之，(a, b) ∈R′′ 因此 R′ ⊆ R′′ ， 。
定理4.5.3 (对称闭包的结构)设Ｒ是非空集合Ａ 对称闭包的结构) 定理 上的关系，则 s(R) = RU R−1 上的关系， 满足定义2.5.1中的条件 证. 记 R′ = RUR−1，则 R′ 满足定义 中的条件 (1) (2)。设 R′′ 是对称的，下面证明 R′ ⊆ R′′ ) ) 是对称的， ′ 则有二种情形： 若 (a, b) ∈R，则有二种情形： ( 情形1， 情形 ， a, b) ∈R ，则 (a, b) ∈R′′， (a,b) ∈R−1，则 (b, a) ∈R ，于是 (b, a) ∈R′′ 情形2， 情形 ， 故 (a, b) ∈R′′ 。 综合得， 满足条件( ) 综合得，R′ ⊆ R′′ ，于是 R′ 满足条件(3)从而 R′ 就 的对称闭包。 是Ｒ的对称闭包。
例4.5.1 整数集Ｚ上＜（小于）关系的自反闭包 整数集Ｚ ＜（小于） 小于 是≤（小于等于）关系； （小于等于）关系； 关系的自反闭包是全关系； ≠ 关系的自反闭包是全关系； 空关系的自反闭包是恒等关系； 空关系的自反闭包是恒等关系； 上定义关系： Ｚ上定义关系：R ={(x, y)| x + y = 2} ，则Ｒ的自 反闭包 r(R) ={(x, y)| x + y = 2或x = y}。
用集合形式表示为
t ( R) = {(a , b),(a , c ),(a , d ),(b, c ),(b, d ),(c , c ),(c , d ),(d , c ),(d , d )}。
三、闭包的性质
定理4.5.6 设R是非空集合Ａ上的关系，则 定理 是非空集合 上的关系， 是自反的,那么 也是自反的； （1）如果 是自反的 那么 ）如果R是自反的 那么s(R)和t(R)也是自反的； 和 也是自反的 是对称的,那么 也是对称的； （2）如果 是对称的 那么 ）如果R是对称的 那么r(R)和t(R)也是对称的； 和 也是对称的 是传递的,那么 是传递的。 （3）如果 是传递的 那么 ）如果R是传递的 那么r(R)是传递的。 是传递的
上的全关系。 是 A上的全关系。 上的全关系
′ = RU R2 U R3 L，则 R′满足定义 满足定义2.5.1中 证. 记 R 中 的条件( ) 的条件(1)。 ′ 设 (a, b),(b, c) ∈R，则存在正整数 i, j ，使 (a, b) ∈Ri 且 (b, c) ∈Rj，于是 (a, c) ∈Ri o Rj = Ri+ j ⊆ R′ ，满足条 件(2)， ) 再设 (a, b) ∈R′，则存在 k 使 (a,b) ∈Rk ，于是存在 a1, a2,L, ak−1,使 (ai−1, ai ) ∈R 其中 a0 = a, ak = b ，则有 ， (ai−1, ai ) ∈R′′ ，从而 (a, b) ∈R′′
M r (R) = M R ∨ E
Τ M s(R) = M R ∨ M R
2 n M t (R) = M R ∨ M R ∨ L ∨ M R
例4.5.3 设 A = {a, b, c, d } , A 上的二元关系Ｒ为 R = {(a, b), (b, c), (c, d ), (d , c)} , 求 t ( R ) 解 R的关系矩阵 的关系矩阵
是对称的； 于是 r(R)是对称的； 是对称的 则存在k 对于 t(R) , 若 (a, b) ∈ t ( R) , 则存在 使 (a, b) ∈ R k , 而 (b, a) ∈ ( R k ) −1 = ( R −1 ) k = R k ,于是 于是t(R)是对称的。 是对称的。 于是 是对称的 (3)因R是传递的,故R 2 ⊆ R ,而 因 是传递的 是传递的,
自反, 证. (1)因R自反 故 I A ⊆ R ⊆ s( R) , 于是s(R)是自反的 因 自反 是自反的 也是自反的。 同理 t(R) 也是自反的。 −1 (2)因R是对称的 故 R = R , 而 是对称的, 因 是对称的
− r −1 ( R ) = ( R U I A ) −1 = R −1 U I A1 = R U I A = r ( A)
(3)证.注意到一个事实,若关系 R1 ⊆ R2 ,则有 (3)证 注意到一个事实, t ( R1 ) ⊆ t ( R2 ) 和 s ( R1 ) ⊆ s ( R2 ) 由 R ⊆ s( R) 知 t ( R) ⊆ ts( R) ,进而 st ( R) ⊆ sts ( R) 是对称的, 也是对称的, 再由 s( R) 是对称的,可知 ts( R) 也是对称的, 故 sts( R) = ts( R) ,于是 st ( R) ⊆ ts( R)
0 0 MR = 0 0 1 0 0 0 1 0 , 0 0 1 0 1 0
及
M t ( R ) = M R ∨ M R 2 ∨ M R3 ∨ M R 4
0 0 = 0 0
1 1 1 0 1 1 , 0 1 1 0 1 1
st ( R ) = s ( R) = {(1, 2), (1,3), (2,3), (3, 2), (3,1), (2,1)}
关系， 是 A上≠关系，但 上 关系
ts ( R) = {(1, 2), (1,3), (2,3), (3, 2), (3,1), (2,1), (1,1), (2, 2), (3,3)}
r 2 ( R) = ( R U I A ) 2 = R 2 U I A ⊆ R U I A = r ( R)
于是r(R)是传递的。 是传递的。 于是 是传递的
定理4.5.7 设R是非空集合Ａ上的关系，则 定理 是非空集合 上的关系，
(1) rs(R) = sr(R); (2) rt(R) = tr(R); (3) st(R) ⊆ts(R)。
4.5 关系的闭包
它往往不具有4.4节中讨 集合Ａ上的关系Ｒ，它往往不具有 节中讨 论过的某些性质，考虑适当扩大Ｒ以使其满足要 论过的某些性质， 这一想法就导致闭包概念的引入。 求，这一想法就导致闭包概念的引入。
一、闭包的定义
定义4.5.1 设Ｒ是非空集合Ａ上的关系，若Ａ上 定义 上的关系， 的关系′ 满足下列条件： R 满足下列条件： （1） R ⊆ R′， ） （2） R′是自反的(对称的、传递的)， ） 是自反的(对称的、传递的) 是自反的(对称的、传递的) （3）若 R′′是自反的(对称的、传递的)且 R ⊆ R′′ ） ， 就有 R′ ⊆ R′′ 。 的自反(对称、传递)闭包， 则称 R′是Ｒ的自反(对称、传递)闭包，记为 r(R) t )。 ( s(R)、 (R))。 并且具有自反(对称、传递) • 闭包是包含Ｒ并且具有自反(对称、传递)性质的 最小关系， 是自反(对称、传递) 最小关系，并且关系Ｒ是自反(对称、传递)的当 的自反(对称、传递) 本身。 且仅当Ｒ的自反(对称、传递)闭包就是Ｒ本身。