坐标的应用(讲义及答案)

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圆的方程及空间直角坐标系(讲义及答案)

X的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛一、圆的方程1. 圆的标准方程： ______________________ ,圆心： ________, 半径：________.2. 圆的一般方程：圆心：二、位置关系的判断(1) 点与圆由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r,则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 ,则计算 _____________________ ,与0比较大小.(2) 直线与圆① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小.② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A <O ,直线与圆相离.A = 0,直线与圆相切.△ >0,直线与圆相交(3)圆与圆利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系判断.三、常见思考角度1. 直线与圆位置关系常见考査角度(1)过定点求圆的切线方程① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程.若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程：若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式利用〃二r 建方程求解.[gl（2）直线与圆相交求弦长结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂22. 圆与圆位置关系常见考査角度（1）两圆相交求公共弦所在直线方程设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0,C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为（0 — D? ）x + （E] — £*2） y + F[—尸2 = 0 -（2）两圆相交求公共弦长求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离，垂径定理、勾股定理结合求弦长.四、轨迹方程在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标（X, y ）满足的关系式.五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.zn六、空间直角坐标系中点的坐标如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀.有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ .-1 -- B»1 "Z C'A' BC>1 \ >1 0 X七、空间两点间的距离公式如图3,设空间直角坐标系中点P 的坐标是（兀，y, Z ）,则 IOPI = ____________________ .如图4,设点£（易，y,, Z,）, RC E ，＞'2»空）是空间中任意两点, 则 IA A1= ___________________ .A/ P 、 Pl精讲精练写出下列圆的标准方程：(I)圆心在C(-3,4” 半径长为^/J•(2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5J)・2 . 下列方程：①W+y2-6x=0 ；②-2%+4 V-6=0 ；③W+y，二。

人教A版2019高中数学必修4讲义：第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示_含答案

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线．又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)，且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0，即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)．又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)，由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

2019学年七年级数学上册-坐标的应用讲义-(新版)鲁教版

课前预习1. 请根据图中标注的线段长或点坐标信息填空：图 1 图 2如图 1，点 A 的坐标为，OB 的长度为．如图 2，△AOB 是等边三角形，△AOC 是等腰直角三角形，若 A B =3，则点 B 的坐标为，点 C 的坐标为．2. 已知正比例函数和一次函数的图象都经过点 M (3，4)，且正比例函数和一次函数的图象与 y 轴围成的面积为15，则此一次2 &函数与 y 轴交点的坐标为．3. 旋转的性质①旋转是全等变换，旋转前后，；②对应点到旋转中心的距离；对应点与旋转中心的连线所成的角等于．4. 折叠的性质①折叠是全等变换，折叠前后，；}②折叠前后对应点所连的线段被对称轴．yA nm！DO x CB (a ，b )y C AO（x3 B33 知识点睛1. 平面直角坐标系中坐标的解题思路：① ； ②．2. 中点坐标公式如图，在平面直角坐标系中，已知 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段 A B 的中点 M 的坐标为．（用x 1，y 1，x 2，y 2 表示）3. 等腰三角形存在性问题（已知两点确定第三点）第一步，确定位置：利用；第二步，算出坐标：利用．精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴的夹角为 60°，且点 A 的坐标为(-2，0)，点 B 在第一象限，设 AB =a ，那么点 B 的坐标为（） A ．( a 2 ，2 2 a )B ．(a2 ， a ) 2 2C ．( a 2 ， a )2 2 D ．( a 2 ， a )2 2yBAO xyBM AOx3 2.将一副直角三角板（含 45°角的直角三角板 OAC 及含 30°角的直角三角板 OA B ）按如图所示方式放在平面直角坐标系中，若点 A 的坐标为( 9 3 ，0)，则图中两块三角板的交点 P的坐标是．第 2 题图第 3 题图3.如图，在平面直角坐标系中，正方形 A BCD 的顶点 A ，B 的坐标分别为 A (-1，0)，B (0，4)，顶点 C ，D 均在第二象限，则 C ，D 两点的坐标分别是，． 4.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为( 2，0)，点 B的坐标为(0，-7)．以 B 为直角顶点，B A 为腰作等腰 R t △ABC ，则点 C 的坐标为．第 4 题图第 5 题图5.如图，在 Rt △ABC 中，∠B =90°，AB 垂直于 x 轴，M 为 A C 的中点．若点 A 的坐标为(3，4)，点 M 的坐标为(-1，1)，则点 B 的坐标为（） A ．(3，-4) B ．(3，-3) C ．(3，-2) D ．(3，-1)6.如图，将△ABC 绕点 C (0，-1)旋转 180°得到△A ′B ′C ，若点 A ′的坐标为(a ，b )，则点 A 的坐标为．yAM Ox CBy AOxCByC BPOA xCy BDA O x3 yBAO xCA'B'3 3 3 7.如图，把一张长方形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，其中 A (2，0)，B (2， 2)，连接 O B ，将纸片 O ABC 沿 O B 折叠，使点 A 落在点 A ′的位置上，则点 A ′的坐标为．第 7 题图第 8 题图8.如图，在平面直角坐标系中，四边形 O ABC 是正方形，点 A 的坐标为(0，2)，E 是线段 B C 上一点，且∠AEB=60°，沿 A E 折叠后点 B 落在点 F 处，则点 F 的坐标是．9.如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标为(3，)，底边 O B 在 x 轴上．将△AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ，若点 A 的对应点 A ′在 x 轴上，则点 O ′的坐标为．10. 如图，已知 A (，1)，B (1， )．将△AOB 绕点 O 旋转 150°得到△A ′OB ′，则此时点A 的对应点A ′的坐标为_．yC BA'OA xFyBAECO xyO'AOB A' xyBAOx311.如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(2，1)，P 是x 轴上的一个动点，则当△AOP 是等腰三角形时，点P的坐标为．12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(-3，4)，P 是x轴上的一个动点，则当△AOP 是等腰三角形时，点P的坐标为．13.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是长方形，已知A(6，0)，C(0，2)，M 是O A 的中点，P 是线段BC 上的一个动点，当△OMP 是腰长为 3 的等腰三角形时，点P 的坐标为．3 3 3 3 3 5 5【参考答案】课前预习 1. (-m ，n )，；( 3 ， 3 3 )，(3 ， 3) 22222.(0，5)或(0，-5)3. ①对应边相等，对应角相等；②相等，旋转角4. ①对应边相等，对应角相等；②垂直平分知识点睛 1.①代入函数解析式求解②作横平竖直的线，坐标与线段长互转 2. ( x 1 x 2 ， y 1 y 2 )2 23. 两圆一线；两腰相等或三线合一精讲精练 1. D 2. (9， 3 3 ) 3. (-4，5)，(-5，1) 4. (7， 7 2 ) 5. C6. (-a ，-2-b )7. (-1，)8. (-1， 2) 9. ( 6 3 ，3)10. (-1，)或(-2，0)11. ( ，0)，( ，0)，(4，0)或( 5，0) 412. (-5，0)，(5，0)，(-6，0)或( 25，0)6 13. ( ，2)，( 3 ，2)或( 35 ，2)%a b55。

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程第一课时坐标系

第1节坐标系与参数方程第一课时坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)答案 B解析由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案 1＋ 2解析直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心(1，0)，半径r ＝1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a |2＝1，又a >0，所以a ＝1＋ 2.考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24＋y ′2＝1解析因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2＋9y 2＝1解析根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1，－1)解析设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以点A ′的坐标为(1，－1).4.双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (－5，0)，(5，0)解析设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，知C ′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋y 2＝0或y ＝1 B.x ＝1C.x 2＋y 2＝0或x ＝1D.y ＝1(2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得，ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ). 考点三求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，如图，将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C 2，C 3，C 4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1，C 2，C 3，C 4的极坐标方程；(2)直线l ：θ＝π3(ρ∈R )交曲线C 1，C 3分别于A ，C 两点，直线l ′：θ＝2π3(ρ∈R )交曲线C 2，C 4分别于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1，得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，设C 1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C 1的方程得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ－π2≤π2，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π，同理，C 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2，C 4的极坐标方程为ρ＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD ＝4S △AOB ，将θ＝π3代入C 1得|OA |＝ρA ＝1，将θ＝2π3代入C 2得|OB |＝ρB ＝3，所以S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×12·|OA |·|OB |·sin π3＝3. 感悟提升求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点四极坐标方程的应用例3 已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C ′上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，转换为普通方程为x 2＋y 2＝4，曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，极坐标方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ ＝8＋12（sin 2θ＋cos 2θ）（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝20（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝201＋3（sin 2θ＋cos 2θ）＋94sin 22θ ＝204＋94sin 22θ≥165. 当sin 2θ＝±1时，|OA |2＋|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式 |P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； (2)当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z ，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t (t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2＝161＋3sin 2θ，得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16，即x 216＋y 24＝1.直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin （θ－α）－9|2≤9＋72，所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化： (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)θ＝π3(ρ∈R )；(4)ρcos 2 θ2＝1； (5)ρ2cos 2θ＝4； (6)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y ＝3x .(4)因为ρcos 2θ2＝1，所以ρ·1＋cos θ2＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以x 2＋y 2＋x ＝2.化简得y 2＝－4(x －1).(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2.在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理，得 |AB |＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |. 解 (1)因为圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4，所以C 1：x 2＋y 2＝2x ，C 2：x 2＋y 2＝－4x ，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以C 1：ρ＝2cos θ，C 2：ρ＝－4cos θ.(2)因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形，所以不妨设A (ρA ，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，θ＋π3，0＜θ＜π2.依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.从而2cos θ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜π2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋3y －6＝0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P (x ，y )在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ，求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－6＝0，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，点Q 的极坐标为(ρ2，θ)，其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |＝ρ1＝6cos θ＋3sin θ，|OQ |＝ρ2＝2cos θ. ∴|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝62cos 2θ＋23sin θcos θ＝61＋cos 2θ＋3sin 2θ＝61＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6.∵0<θ<π2，∴π6<2θ＋π6<7π6，∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝1，即θ＝π6时，|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M (－4，0)，求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，即x 2＋y 2－6y ＝0. 从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ. 设B (ρ，θ)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ，5π6，其中，ρP ＝6sin 5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ，5π6，其中，ρQ ＝－6cos 5π6＝33，则|PQ |＝|ρP －ρQ |＝33－3，则S △MPQ ＝12|PQ |d ＝33－3.。

专题坐标系中的找规律-讲义

坐标系中找规律主讲教师：傲德我们一起回顾1、动点找规律2、图形运动找规律重难点易错点解析动点找规律题一：如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为．（用n表示）图形运动找规律题二：如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转48次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P48的位置，则P48的坐标是．金题精讲题一：一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是．题二：如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第n次变换后得到的三角形A n的坐标是，B n的坐标是．题三：如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），且AB=5，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2014的直角顶点的坐标为．题四：如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（）A．（2，0）B．（-1，1）C．（-2，1）D．（-1，-1）思维拓展题一：如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时角度均为45°，当点P第2015次碰到长方形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）学习提醒重点：动点找规律——分析横、纵坐标与运动次数n的关系图形运动找规律——先分析图形整体位置，再看所研究点的位置坐标系中找规律讲义参考答案重难点易错点解析题一：(2n, 1)点拨：动点找规律，分析横、纵坐标与运动次数n的关系题二：(47, 1)点拨：图形运动找规律：先分析图形整体位置，再看所研究点的位置金题精讲题一：(5, 0) 题二：（2n, 3），（2n+1, 0）题三：(8052, 0) 题四：B思维拓展题一：A。

坐标系讲义

界面主要功能例
坐标转换软件GEOTRANS
主要功能
在相同的参心或地心系统下进行大地坐标, 空间直角坐标和高斯平面坐标相互间的转换。高斯平面坐标的换带、换投影计算。通用墨卡托投影(UTM投影)。
上表中一区取 y0=542800 ， H0=1250 ；二区 y0=621641，H0=850，计算结果均满足要求。根据测区平均纬度及y0值，利用近似公式或利用坐标转换软件计算两区中央子午线经度：一区为117º 31′36″，二区为118º 29′49″。
工程坐标系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
坐标转换软件GEOTRANS
地方坐标系建立需给定的元素
起算点坐标起算方位选定中央子午线投影面高程
隐含参考椭球参数
地方独立坐标系也隐含一个参考椭球体，即该椭球体的中心、轴向、扁率与国家坐标系的参考椭球相同，但其长半径则有一定改进量da。设某地方独立坐标系的投影面高程取为H0，该地区平均高程异常为ζ0，则长半径改正量da= H0+ζ0，长半径a1=a+da。
投影长度变形
高斯投影的长度比是纬度和离开中央子午线距离的函数，计算公式如下：
表一
表二
我国国家坐标系
1954北京坐标系 1980年西安大地坐标系
1954北京坐标系
1954北京坐标系采用克拉索夫斯基椭球体椭球参数为：长半径a=6378245m，扁率α=1/298. 3
1954北京坐标系存在明显缺点
用人为地改变归化高程来使与高斯投影的长度改化相抵偿，但并不改变统一 3°带的投影改化方法，称为抵偿高程面的高斯正形投影统一3°带平面直角坐标系，简称抵偿坐标系经过抵偿修正后的归化高程值计算：

北师大版八年级数学(上册)《位置与坐标》辅导讲义

目录：1、知识总结2——32、巩固知识及时练 43、能力培养步步高 54、经典剖析开阔视野6——75、综合练习再巩固8——106、课后培优继续练11——147、知识、能力更上一层楼15——191、知识总结1.确定位置的方法（1）.行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。

（2）.“极坐标”定位法：运用此法需要两个数据：方位角和距离，两者缺一不可。

（3）.经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。

（4）区域定位法：只描述某点所在的大致位置。

如“小明住在7号楼3层302号”（5）在方格纸上确定物体的位置：在方格纸上，一点的位置由横向格数与纵向格数确定，记作（横向格数，纵向格数）或记作（水平距离，纵向距离），要注意横格数排在前面，纵向格数排在后面。

此种确定位置的方法可看作“平面直角坐标系”中坐标定位法的特例。

2.平面直角坐标系1.平面内确定位置的几种方法:○1有序数对:有两个数据a和b表示,记为_______○2方位角+距离法○3经纬定位法○4区域定位法2.平面直角坐标系:在平面内,两条互相______且具有公共______的数轴组成平面直角坐标系.其中水平方向的数轴叫______或______,向_____为正方向；竖直方向的数轴叫_______或______,向______为正方向。

两条数轴交点叫平面直角坐标系的_______.3.平面内点的坐标:对于平面内任意一点P,过P分别向x轴、y 轴作垂线,x轴上的垂足对应的数a叫P的____坐标,y轴上的垂足对应的数b叫P的_______坐标。

有序数对(a,b),叫点P的坐标。

若P的坐标为(a,b)，则P到x轴距离为_______，到y轴距离为_______．4.平面直角坐标系内点的坐标特征:(1)坐标轴把平面分隔成四个象限。

根据点所在位置填表(2)坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征○1在x轴上的点______坐标为0;○2在y轴上的点______坐标为0;(3)P(a,b)关于x轴、y轴、原点的对称点坐标特征○1点P(a,b)关于x轴对称点P1_____________ ；○2点 P(a,b)关于y轴对称点P2_____________ ；○3点P(a,b)关于原点对称点P3_____________ 。

2019高中数学第三章两条直线的交点坐标、两点间的距离讲义(含解析)

第1课时两条直线的交点坐标、两点间的距离[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P102～P106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？提示：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：①若方程组无解，则l1∥l2；②若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；③若方程组有无数解，则l1与l2重合．(3)已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|?提示：①当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝|x2－x1|；②当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|；③当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝x2－x 12＋y2－y 12.2．归纳总结，核心必记(1)两条直线的交点坐标①求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．②应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系．一般地，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：的解(2)|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12[问题思考]两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22的形式？提示：可以，原因是x2－x12＋y2－y12＝x1－x22＋y1－y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)如何求两条直线的交点坐标，怎样判断两条直线的位置关系？；(2)两点间的距离公式是什么？怎样应用？.观察图形，思考下列问题：[思考1] 在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点．[思考2] 如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联立，求方程组的解即可．[思考3] 两条直线相交的条件是什么？名师指津：两直线相交的条件：(1)将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)若两直线斜率都存在，设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.讲一讲1．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．(链接教材P 103－例2)[尝试解答] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.(1)两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． (2)过两条直线交点的直线方程的求法①常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．②特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．练一练1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0， ①2x ＋2y ＋3＝0， ②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2. 2．(2016·潍坊高一检测)求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c ＝－1，故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二：设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )，即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.观察下面图形：图1图2[思考1] 如何求图1中A 、B 两点间的距离？提示：|AB |＝|x A －x B |.[思考2] 图2中能否用数轴上两点A ，B 间距离求出任意两点间距离？提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解． [思考3] 怎样理解两点间的距离公式？名师指津：对两点间距离公式的理解：(1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22，利用此公式可以将几何问题代数化．(2)当直线P 1P 2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：①直线P 1P 2平行于x 轴时|P 1P 2|＝|x 2－x 1|；②直线P 1P 2平行于y 轴时|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.讲一讲2．已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)，试判断△ABC 的形状． [尝试解答] 法一：∵|AB |＝＋2＋－3－2＝213，|AC |＝＋2＋－2＝213，又|BC |＝－2＋＋2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：∵k AC ＝7－11－－＝32，k AB ＝－3－13－－＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝＋2＋－2＝213， |AB |＝＋2＋－3－2＝213，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形．1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件．练一练3．保持讲2条件不变，求BC 边上的中线AM 的长．解：设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 为BC 的中点，所以x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即点M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM |＝－3－2＋－2＝26，所以BC 边上的中线AM 的长为26.讲一讲3．如图，一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程及光线从O 点到达P 点所走过的路程．[思路点拨] 先求出原点关于l 的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程．[尝试解答] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等．故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78. 由光的性质可知，光线从O 到P 的路程即为AP 的长度|AP |，由A (4,3)，P (－4,3)知，|AP |＝4－(－4)＝8， ∴光线从O 经直线l 反射后到达P 点所走过的路程为8.光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－AB ≠0，A ·x ＋x2＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．(2)常用对称的特例有：①A (a ，b )关于x 轴的对称点为A ′(a ，－b )； ②B (a ，b )关于y 轴的对称点为B ′(－a ，b )； ③C (a ，b )关于直线y ＝x 的对称点为C ′(b ，a )； ④D (a ，b )关于直线y ＝－x 的对称点为D ′(－b ，－a )； ⑤P (a ，b )关于直线x ＝m 的对称点为P ′(2m －a ，b )；⑥Q (a ，b )关于直线y ＝n 的对称点为Q ′(a,2n －b )．练一练3．求点A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点坐标．解：设B (a ，b )是A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，则有AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧12·b －2a －2＝－1，2·a ＋22－4·b ＋22＋9＝0.解得a ＝1，b ＝4.∴所求对称点坐标为(1,4)．—————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用．难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见讲1. (2)计算两点间距离的方法，见讲2. (3)点关于直线对称问题的解决方法，见讲3.3．本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如讲1,3.课下能力提升(二十) [学业水平达标练]题组1 两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x －y －3＝0相交的是( ) A ．2ax －ay ＋6＝0(a ≠0) B ．y ＝2x C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y －3＝0解析：选D 直线2x －y －3＝0的斜率为2，D 选项中的直线的斜率为－2，故D 选项正确．2．(2016·佛山高一检测)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( )A ．6B ．－24C ．±6D ．以上都不对解析：选C 分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m 3，由题意得－12m ＝－m3，解得m ＝±6.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即： 2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线方程为y －1＝－23(x －1)，即： 2x ＋3y －5＝0.题组2 两点间的距离公式5．已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2解析：选D 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－－2＋－2＝42，|CB |＝－2＋－2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.6．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．3＋2 3 C ．6＋3 2 D ．6＋10 解析：选C |AB |＝＋2＋32＝32，|BC |＝＋12＋0＝3，|AC |＝－2＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.7．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________．解析：设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)，∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案：2 58．求证：等腰梯形的对角线相等．证明：已知：等腰梯形ABCD .求证： AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )．则|AC |＝－b ＋a2＋c －2＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋c －2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即等腰梯形的对角线相等．题组3 对称问题9．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．3x －4y ＋5＝0 D ．3x －4y －5＝0解析：选B 令x ＝0，解得y ＝54；令y ＝0，解得x ＝－53，故⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54和⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0是直线3x －4y ＋5＝0上两点，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54关于x 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x ＋4y ＋5＝0.10．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点在直线l 上，且PP ′⊥l .所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝25，y 0＝195.即p ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195. (2)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0，即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.[能力提升综合练]1．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20.2．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175 C.135 D.115解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 3．(2016·阜阳高一检测)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)解析：选A 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．4．已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m ＋1)x ＋y －2＝0和4m 2x ＋(m ＋1)y －4＝0，则m 的值为________．解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则m ＋14m 2＝1m ＋1≠－2－4或(m ＋1)·4m 2＋1·(m ＋1)＝0，解得m ＝－13或－1. 答案：－13或－1 5．若直线l: y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．解析：如图，直线2x ＋3y －6＝0过点A (3,0)，B (0,2)，直线l: y ＝kx －3必过点(0，－3)．当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴上；当直线l 绕C 点逆时针(由位置AC 到位置BC )旋转时，交点在第一象限．根据k AC ＝－3－00－3＝33，得到直线l 的斜率k ＞33.∴倾斜角α的范围为30°<α<90°.答案：30°＜α＜90°6．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．解：法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0,2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋－y 0－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－4，y 0＝2，∴k AP ＝1－20＋4＝－14，故所求直线l 的方程为： y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于A 、B .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0⇒A ⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0⇒B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2. ∵A 、B 的中点为P (0,1)，则有：12⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1＋7k ＋2＝0，∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法三：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得： 2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0⇒A (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法四：同法一，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，2x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1)观察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为： x ＋4y －4＝0.7．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．解：原式可化为y ＝x －2＋－2 ＋x －2＋－2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝－2＋－2－12＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.。

平面直角坐标系复习讲义(知识点+典型例题)

D、第四象限.
【例 3】点 P（m，1）在第二象限内，则点 Q（-m，0）在（）
A．x 轴正半轴上 B．x 轴负半轴上 C．y 轴正半轴上 D．y 轴负半轴上
【例 4】（1）在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，则 a＝，点的坐标为
。
（2）当 b=______时,点 B(-3,|b-1|)在第二、四象限角平分线上.
电量为 8 千瓦时，则应交电费 4.4 元；④若所交电费为 2.75 元，则用电量为 6 千瓦时，其中正确的有（）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【例 7】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出了故障，他只好停下来修车．车修好后，因怕
耽误上课，故加快速度继续匀速行驶赶往学校．如图是行驶路程 S（米）与时间 t（分）的函数图象，那么符合小明骑
D．．
11、星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离 y（千米）与时间 t（分钟）的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
2
2
巩固练习
5
1、下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（）
A．
B．
C．
D．
2、下列平面直角坐标系中的图象，不能表示 y 是 x 的函数的是（）
A．
B．
C．
D．
3、下列四个选项中，不是 y 关于 x 的函数的是（）
A．|y|=x﹣1 B．y=
C．y=2x﹣7 D．y=x2
4、下列四个关系式：（1）y=x；（2） y x2 ；（3） y x3 ；（4） y x ，其中 y 不是 x 的函数的是（）
．
【例 8】在坐标系内，点 P（2，－2）和点 Q（2，4）之间的距离等于

平面直角坐标系(讲义)

平面直角坐标系（讲义）➢课前预习1.在电影票上，“3排6座”与“6排3座”______（填“是”或“不是”）同一个座位，所以在电影院选择座位需要____个数据．2.如图是某市的部分简图，每个小正方形的边长均为500米，我们用(2，6)表示文化宫的位置，请回答下列问题：北东（1）说出体育场与超市的位置．（2）小明家在火车站以东1 000米，再往北500米处；小聪家在超市以北500米，再往西1 500米处，在图中标出小明和小聪家的位置．（3）上周六，小华的活动路线是(1，8)→(2，6)→(7，7)→(7，2)，说一说他这一天去了哪些地方．➢知识点睛1.在平面内，确定一个物体的位置一般需要____个数据．2.在平面内，两条____________、___________的_______组成平面直角坐标系．水平的数轴叫_______或_______，竖直的数轴叫________或_______，______和______统称坐标轴．3.如图，对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴________，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的_______、_______，__________(a，b)叫做点P的坐标．b)4.坐标轴把坐标平面分成了_____个象限，第一象限内点的坐标特征是(+，+)，第二象限内点的坐标特征是__________，第三象限内点的坐标特征是__________，第四象限内点的坐标特征是_________；坐标轴上的点不属于任何象限．5.在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点和它对应．也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．6.坐标特点（1）x轴上的点____坐标等于零；y轴上的点____坐标等于零．（2）平行于x轴的直线上的点____坐标相同；平行于y轴的直线上的点____坐标相同．➢精讲精练1.写出图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标，并指出它们所在的象限．解：A(___，___)，第___象限；B(___，___)，第___象限；C(___，___)，第___象限；D(___，___)，第___象限；E( )，______象限；F( )，______象限．2.在平面直角坐标系中，点(-2，-3)在第____象限；点)在第____象限；点1，1在第___象限；点(-2，a2+1)在第___象限．3.在平面直角坐标系中，若点P(a，b)在第二象限，则点Q(1-a，-b)在第____象限．4.设点A(m，n)在x轴上，位于原点的左侧，则下列结论正确的是（）A．m=0，n为任意数B．m=0，n<0C．m为任意数，n=0 D．m<0，n=05.若点A(n-2，2m-1)在x轴上，点B(n+1，2m+3)在y轴上，则点C(n，m)的坐标为________，在第____象限．6.在坐标平面内，有一点P(a，b)，若ab>0，则点P的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第一象限或第三象限D．第二象限或第四象限7.在坐标平面内，有一点P(a，b)，若ab=0，则点P的位置在（）A．原点B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上8.已知点P(-3，2)，它到x轴的距离为_________，到y轴的距离为_________．9.在平面直角坐标系中，第四象限内有一点P，若点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P的坐标为________．10.点M在x轴的上方，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点M的坐标为____________．11.已知点M到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，则点M的坐标为____________．12.在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．（1）A(-3，5)，B(-7，3)，C(1，3)；（2）D(-6，3)，E(-6，0)，F(0，0)，G(0，3)．观察所描出的图形，解答下列问题：①坐标轴上的点有_______________，且x轴上的点___坐标等于零，y轴上的点____坐标等于零．②线段BC与x轴_______，点B和点C____坐标相同，线段BC上其他点的____坐标都相同．③线段DE与y轴________，点D和点E____坐标相同，线段DE上其他点的____坐标都相同．13.若点A(a+1，a+3)与点B(3，4)所在的直线平行于y轴，则a=_______．14.若点A(x，y)与点B(-3，4)在同一条平行于y轴的直线上，且点A到x轴的距离等于2，则点A的坐标为______________．15.已知点A的坐标为(-1，-3)，AB所在直线与y轴垂直，BC所在直线与y轴平行，且点C到y轴的距离为4，则点B的坐标为______________．16.若过A(4，m)，B(n，-3)两点的直线与x轴平行，且AB=5，则m=_____，n=_______．点的坐标分别为(-2，-2)，(-2，3)，(3，-2)，则第四个顶点的坐标为________．第18题图 18. 长方形ABCD 的边CD 在y 轴上，点O 为CD 的中点．已知AB =4，边AB 交x轴于点E (-5，0)，则点B 的坐标为________．19. 如图，长方形ABCD 的长与宽分别是6，4，建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．D CBA20. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(-1，-2)，“马”位于点(2，-2)，则“兵”位于点(___，___)．炮帅兵马21. 如图所示，建立平面直角坐标系，使点B ，C 的坐标分别为(-2，0)，(2，0)．写出点A ，D ，E ，F ，G 的坐标，并指出它们所在的象限．GEFADCB【参考答案】➢课前预习1.不是，两2.（1）体育场(1，8)；超市(7，2)（2）略（3）他这一天去的地方：体育场、文化宫、宾馆、超市➢知识点睛1.两2.互相垂直，原点重合，数轴x轴，横轴，y轴，纵轴，x轴，y轴3.作垂线，横坐标，纵坐标，有序实数对4.四，(-，+)，(-，-)，(+，-)6.（1）纵，横（2）纵，横➢精讲精练1.(-1，3)，二；(-2，-1)，三；(-1，-2)，三；(3，-2)，四；(3，1)，第一；(2，3)，第一2.三，一，四，二3.四4. D5.112⎛⎫- ⎪⎝⎭，，二6. C7. D8.2，39.(5，-4)10.(-3，2)或(3，2)11.(2，1)或(-2，1)或(-2，-1)或(2，-1)12.图形略①E，F，G；纵；横②平行，纵，纵③平行，横，横13.214.(-3，2)或(-3，-2)15.(-4，-3)或(4，-3)16.-3；-1或917.(3，3)18.(-5，-2)19.坐标系略（以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴）A(0，0)，B(6，0)，C(6，4)，D(0，4)20.(-3，1)21.坐标系略点A(-4，3)，第二象限；点D(4，1)，第一象限；点E(3，3)，第一象限；点F(1，2)，第一象限；点G(-1，5)，第二象限。

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.2 空间向量的坐标讲义(含解析)湘教版选修2-1-湘教版高

3．2空间向量的坐标[读教材·填要点]1．定理1设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．定理2(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1) 向量的加减法：(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法：a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．(3)向量的数量积：(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：|v|＝x2＋y2＋z2.(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：cos α＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．点的坐标与向量坐标(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．(2)两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)的距离d AB 为：d AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．[小问题·大思维]1．空间向量的基是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．2．命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底；命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的什么条件？提示：p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．空间向量基本定理的应用空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG ―→和GH ―→.[自主解答] ∵OG ―→＝OA ―→＋AG ―→，而AG ―→＝23AD ―→，AD ―→＝OD ―→－OA ―→.∵D 为BC 的中点， ∴OD ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)∴OG ―→＝OA ―→＋23AD ―→＝OA ―→＋23(OD ―→－OA ―→)＝OA ―→＋23·12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(a ＋b ＋c )．而GH ―→＝OH ―→－OG ―→，又∵OH ―→＝23OD ―→＝23·12(OB ―→＋OC ―→)＝13(b ＋c )∴GH ―→＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .∴OG ―→＝13(a ＋b ＋c )；GH ―→＝－13a .本例条件不变，若E 为OA 的中点，试用a ，b ，c 表示DE ―→和EG ―→. 解：如图，DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OA ―→－12(OB ―→＋OC ―→) ＝12a －12b －12c . EG ―→＝OG ―→－OE ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝－16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→＝－16a ＋13b ＋13c .用基表示向量时：(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．1.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP ―→；(2)AM ―→. 解：连接AC ，AD 1， (1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA 1―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD 1―→)＝12(AB ―→＋2AD ―→＋AA 1―→) ＝12a ＋b ＋12c . 空间向量的坐标运算已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→.(1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c .(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .[自主解答] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k 为何值？解：∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，设ka ＋b ＝λ(ka －2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λk ＋2，k ＝λk ，2＝－4λ，∴k ＝0.已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．2．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k 的值： (1)(ka ＋b )∥(a －3b )； (2)(ka ＋b )⊥(a －3b )．解：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )，则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.点的坐标与向量坐标在直三棱柱ABO A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．[自主解答] (1)∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1―→＋12（OA ―→＋OB ―→）＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→.又|OO 1―→|＝4，|OA ―→|＝4，|OB ―→|＝2， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．(2)∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→.又|OB ―→|＝2，|OA ―→|＝4，|AA 1―→|＝4， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4)．用坐标表示空间向量的方法步骤为：3．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN ―→的坐标．解：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ， ∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ―→＝2MC ―→，N 为PD 的中点，求满足MN ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AP ―→的实数x ，y ，z 的值．[解] 法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN ―→＝EN ―→－EM ―→.∵EN ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→，EM ―→＝PM ―→－PE ―→＝23PC ―→－12PC ―→＝16PC ―→，连接AC ，则PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝AB ―→＋AD ―→－AP ―→， ∴MN ―→＝－12AB ―→－16(AB ―→＋AD ―→－AP ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使PF ―→＝2FD ―→，连接MF ，则MN ―→＝MF ―→＋FN ―→，而MF ―→＝23CD ―→＝－23AB ―→，FN ―→＝DN ―→－DF ―→＝12DP ―→－13DP ―→＝16DP ―→＝16(AP ―→－AD ―→)， ∴MN ―→＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法三：MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝12PD ―→－23PC ―→＝12(PA ―→＋AD ―→)－23(PA ―→＋AC ―→) ＝－12AP ―→＋12AD ―→－23(－AP ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.[点评] 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为： ①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量； ③写出结论．1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→)＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)．答案：B2．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)解析：b ＝(a ＋b )－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)．答案：B3．a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，故有2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.答案：C4．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→|的值是________．解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP ―→＝2PB ―→，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)，则|PD ―→|＝－1－12＋3－12＋3－12＝12＝2 3. 答案：2 35．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角θ的大小是________．解析：AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)，cos 〈AB ―→，CA ―→〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214·14＝－714＝－12， ∴θ＝〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点且|PN ―→|＝2|NC ―→|，|AM ―→|＝2|MB ―→|，PA ＝AB ＝1，求MN ―→的坐标．解：法一：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→ ＝－23AB ―→＋AP ―→＋23PC ―→＝－23AB ―→＋AP ―→＋23(－AP ―→＋AD ―→＋AB ―→)＝13AP ―→＋23AD ―→＝13k ＋23(－DA ―→) ＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.法二：设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ，连接EN .∵MN ―→＝ME ―→＋EN ―→＝AD ―→＋13DP ―→＝－DA ―→＋13(DA ―→＋AP ―→)＝－i ＋13(i ＋k )＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.一、选择题1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基；同理可判断B 、D 错误．答案：C2．以正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1―→共线的向量的坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1,1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1―→＝(1,1,1)，∴与DB 1―→共线的向量的坐标可以是(2，2，2)．答案：C3．空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→，N 为BC 中点，则MN ―→为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ.解得λ＝－2或255.答案：C 二、填空题5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. 又∵(a ＋b )⊥c ， ∴x ＋4＝0，即x ＝－4. 答案：－46．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a ，b ，c 共面可得c ＝xa ＋yb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：107．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值X 围是________．解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，所以实数x 的取值X 围是(－∞，2)．答案：(－∞，－2)8．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2―→＝4MM 2―→，则向量OM ―→的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M 1M 2―→＝(1，－7，－2)，MM 2―→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M 1M 2―→＝4MM 2―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝43－x ，－7＝4－2－y ，－2＝4－5－z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎪⎫114，－14，－92三、解答题9．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．解：(1)由已知得AB ―→＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)， ∴|AB ―→|＝ 1＋9＋4＝14， |AC ―→|＝4＋0＋64＝217，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝AB ―→·AC ―→|AB ―→|·|AC ―→|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ，则|CD ―→|＝2S △ABC |AB ―→|＝3 6.10.如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD ―→的坐标；(2)设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin 30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即向量OD ―→的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(2)依题意：OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB ―→＝(0，－1,0)，OC ―→＝(0,1,0)．所以AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(0,2,0)．设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，则 cos θ＝AD ―→·BC―→|AD ―→|·|BC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·02＋22＋02＝－210＝－105.∴cos θ＝－105.。

极坐标讲义

第8讲极坐标讲义联系生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预测、地震预报、测量、航空、航海等。

让学生体会极坐标的基本思想。

引入新知识：极坐标系，极坐标，直角坐标与极坐标的转化。

给定几个直角坐标下的点坐标，转化为极坐标，注意极坐标不唯一等一些细节（1)过极点的直线)R (∈=ραθ与曲线12,C C 交于()()12,,,A B ρθρθ，则12=.AB ρρ-(2)在极坐标系中，()()1122,,,A B ρθρθ，则AOB ∆的面积()12121sin 2S ρρθθ=-（其中O 为极点）.二、知识讲解知识点1 常见曲线的极坐标方程知识点2 极坐标的简单运用三、例题精析【题干】（1）在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′y ＝13y′ B .⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x y′＝13y C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′y ＝3y′ D .⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2xy′＝3y 【答案】B【解析】将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y′＝sin x′，横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的13倍，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝13y.【题干】（2）求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标．【答案】F 1(－5,0)，F 2(5,0)【解析】设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1 得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．【题干】（1）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4【答案】A【解析】 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. 例题1例题2【题干】（2）在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( ) A ．2 B . 4＋π29C .1＋π29D . 3【答案】D【解析】由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cosθ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3. 【题干】（3）已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解析】(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0． (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1．化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22．【题干】（4）在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．【解析】(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0．(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．【题干】（1）若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合【答案】A【解析】因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足 ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．【题干】（2）在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求的极坐标方程.（II ）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积【答案】（1）,（2）【解析】(1) 因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（2）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ，|MN |=1ρ－2ρ2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积o 11sin 452⨯=12.xOy 1:2C x =-()()222:121C x y -+-=12,C C 3C ()πR 4θρ=∈23,C C ,M N 2C MN ∆cos 2ρθ=-22cos 4sin 40ρρθρθ--+=12例题3【题干】（3）在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．【答案】3【解析】由ρ＝4sin θ可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a 可得直线的直角坐标方程为y ＝a (a >0)．设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a .在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ，∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝⎛⎭⎫33a 2＋a 2－4a ＝0，即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.所以a ＝3.【题干】（4）以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 【解析】(1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).【题干】（5）极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a >0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝φ＋π2与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D . (1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程；(2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值．【解析】 (1)C 1：ρ2＝22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2ρsin θ＋2ρcos θ，化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.把C 2的方程化为直角坐标方程为y ＝a ，因为曲线C 1关于曲线C 2对称，故直线y ＝a 经过圆心(1,1)，解得a ＝1，故C 2的直角坐标方程为y ＝1.(2)由题意可得，|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，|OB |＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π2＝22cos φ，|OC |＝22sin φ， |OD |＝22cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，所以|OA |·|OC |＋|OB |·|OD | ＝8sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4sin φ＋8cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4cos φ＝8cos π4＝8×22＝4 2.。

高二寒假讲义03 空间向量及其运算的坐标表示

空间向量及其运算的坐标表示（含答案）知识梳理1、在空间直角坐标系Oxyz 中，k j i,,为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA ，且点A 的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组),,(z y x ，使k z j y i x++=。

在单位正交基底},,{k j i 下与向量对应的有序实数组),,(z y x ，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记作),,(z y x A ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标2、空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).3、设),,(1111z y x P ，),,(2222z y x P 是空间中任意两点，则),,(12121221z z y y x x P P ---=，21221221221)()()(||z z y y x x P P -+-+-=，这是空间两点间的距离公式知识典例题型一空间向量的坐标运算例1 设,x y R ∈，向量(,1,1),b (1,,1),c (2,4,2)a x y ===-，c a⊥，c b//，则||a b +=（） A ．22 B 10C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据,c a c b ⊥，结合向量的坐标运算可求得参数,x y 的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解【详解】,241,2,(1,2,1)b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-,a c ⊥()214+20,a c x ∴⋅=+⋅-=1x ∴=，(1,1,1),(2,1,2)a a b ∴=∴+=-，222||2(1)23a b ∴+=+-+=，故选： C.巩固练习1、已知点()2,3,1B -，向量()3,5,2AB =-，则点A 坐标是（） A ．()1,2,3 B ．()1,2,3-C ．()5,8,1-D ．()5,8,1--【答案】D 【分析】设点(),,A x y z ，由点A 和点B 表示出向量AB ，构造等式求解即可. 【详解】设点(),,A x y z ，则向量()()2,3y,1z 3,5,2AB x =----=-，所以233512x y z -=-⎧⎪--=⎨⎪-=⎩⇒581x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以点()5,8,1A --. 故选：D2、（多选）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( ) A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．121212222222111222cos ,x y z a zb x y =++⋅+>+<D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量【详解】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误；对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知121212222222111222cos ,x y z a z b x y =++⋅+>+<，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z ，则2221113a =++=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误. 故选：BD.题型二向量坐标求解直线关系例 2 棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点. （1）求证：EF ⊥CF ；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值；（3）求CE 的长.【答案】（1）证明见解析；（21535. 【分析】建立空间直角坐标系，得出,,,,D E C F G 的坐标，由坐标运算得出,,,EF CF CG CE 的坐标，根据数量积公式证明EF ⊥CF ；由数量积公式求出EF 与CG 所成角的余弦值；再由模长公式得出CE 的长. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz则1111 (0,0,0),0,0,,(0,1,0),,,0,1,1,2222 D E C F G⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1111111,,,,,0,1,0,,0,1,2222222EF CF CG CE⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）证明：因为111110022222EF CF⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以EF CF⊥，即EF⊥CF. （2）因为22211111111310,222242222 EF CG EF⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯+-⨯==++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22215102CG⎛⎫=++=⎪⎝⎭1154cos,=1535EF CGEF CGEF CG⋅∴==⋅⨯.（3）()222150122CE⎛⎫=+-+=⎪⎝⎭巩固练习1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos EAF∠=____，EF=____. 【答案】2562建立空间直角坐标系，利用向量法得出cos ,AE AF ，从而得出cos EAF ∠，最后由模长公式得出EF . 【详解】以A 为原点，AB ，AD，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系设正方体棱长为1，则110,,1,1,0,22E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11110,,1,1,0,,1,,2222AE AF EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴===-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122cos ,=55522AE AF AE AF AE AF⋅∴==⨯ 2222116cos ,||1522EAF EF EF ⎛⎫⎛⎫∴∠===+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：25；6 2、如图，长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2AD =，E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（）A ．0B ．105C ．22D ．155【答案】A建立空间直角坐标系，表示1,A E GF ，然后利用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】如图()()()()12,0,40,0,2,2,2,0,0,4,2A E F G ，所以()()12,0,2,2,2,2A E GF =--=--所以异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值110⋅=A E GF A E GF故选：A巩固提升1、已知向量()1,1,1m λ=-，()2,2,3n λ=-，若()()m n m n +⊥-，则λ=__________ 【答案】7 【分析】根据空间向量的加法和减法的坐标运算,可求得m n +和m n -,结合空间向量垂直的坐标关系,即可求得λ的值. 【详解】向量()1,1,1m λ=-,()2,2,3n λ=- 则()32,3,4m n λ+=-,()1,1,2m n -=---因为()()m n m n +⊥- 所以()()0m n m n +⋅-=,代入可得()()32,3,41,1,20λ-⋅---=即23380λ---=,解得7λ= 故答案为: 72、已知a 、b 是异面直线，且a ⊥b ，12,e e 分别为取自直线a 、b 上的单位向量，且a ＝1223e e +，124b ke e =-，a b ⊥，则实数k 的值为___. 【答案】6 【分析】根据向量垂直其数量积为0，转化为基底的运算，即可得答案；【详解】由a b ⊥，得a b ⋅＝0，又12,e e 分别为取自直线a 、b 上的单位向量，∴120e e ⋅=∴(1223e e +)·(124ke e -)＝0，∴2120k -=，∴6k =. 故答案为：6.3、在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（）A ．9B ．7C ．5D ．3【解析】设(,,)C x y z，B ，(,,)OC x y z =，()BC x y z =，(EF =-，由(()1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅===⋅⋅，整理可得：2x y -=-，由||||3CO CB ==化简得x y +=，以上方程组联立得x y ==，则()(,,)3OC OF x y z =⋅==. 故选：D.4、设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，则有( ) A.AB →·C 1A →＝a 2B ．AB →·A 1C 1→＝2a 2C.BC →·A 1D →＝a 2 D ．AB →·C 1A 1→＝a 2【答案】 C【解析】建系如图．则AB →·C 1A →＝(a,0,0)·(－a ，－a ，－a )＝－a 2， AB →·A 1C 1→＝(a,0,0)·(a ，a,0)＝a 2， BC →·A 1D →＝(0，a,0)·(0，a ，－a )＝a 2，AB →·C 1A 1→＝(a,0,0)·(－a ，－a,0)＝－a 2，故只有C 正确．5、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心．若向量A E →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1【答案】 C【解析】A E →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →=,所以x=y=126、平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( ) A ．5 B ．6 C ．4 D ．8【答案】 A【解析】设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，|AC 1→|2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5.故选A.。

《用坐标方法解决几何问题》讲义

《用坐标方法解决几何问题》讲义一、坐标方法的引入在数学的世界里，几何问题一直是一个重要的研究领域。

从古老的欧几里得几何到现代的各种复杂几何图形，人们一直在探索解决几何问题的有效方法。

而坐标方法的出现，为我们提供了一种强大的工具，使得许多原本复杂的几何问题变得清晰易懂、易于解决。

想象一下，在一个平面上，我们可以为每个点赋予一对数字，这对数字就像是这个点的“地址”，通过这对数字，我们可以准确地找到这个点在平面上的位置。

这就是坐标的基本概念。

二、坐标的基本概念我们先来说说平面直角坐标系。

它由两条互相垂直的数轴组成，一条称为 x 轴，另一条称为 y 轴。

两轴的交点称为原点，通常标记为 O 。

在这个坐标系中，任意一个点 P 都可以用一对有序数（x,y) 来表示，其中 x 称为点 P 的横坐标，y 称为点 P 的纵坐标。

比如，点（3,2) 就表示在 x 轴上距离原点 3 个单位，在 y 轴上距离原点 2 个单位的位置。

有了坐标，我们就可以把几何图形上的点转化为坐标中的数，从而实现几何问题向代数问题的转化。

三、用坐标表示线段的长度接下来，我们看看如何用坐标来表示线段的长度。

假设在平面直角坐标系中有两个点 A(x₁,y₁) 和 B(x₂,y₂) ，那么线段 AB 的长度可以通过勾股定理来计算。

根据勾股定理，线段 AB 的长度 d 为：d ＝√（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²例如，点 A(1,1) 和点 B(4,5) ，那么线段 AB 的长度为：d ＝√（4 1)²＋（5 1)²＝√3² ＋ 4²＝ 5四、用坐标表示三角形的面积再来说说三角形的面积。

如果我们知道三角形三个顶点的坐标A(x₁,y₁) 、 B(x₂,y₂) 、 C(x₃,y₃) ，那么可以通过行列式的方法来计算三角形的面积。

三角形 ABC 的面积 S 为：S ＝ 1/2 ｜x₁ y₁ 1|｜x₂ y₂ 1|｜x₃ y₃ 1|这里的“｜｜”表示行列式。

2019高中数学4.3空间直角坐标系讲义含解析新人教A版必修2

4.3 空间直角坐标系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P134～P137，回答下列问题．(1)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？提示：三条交于一点且两两互相垂直的数轴．(2)建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢？提示：如图所示，设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴，y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．(3)设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M、N.①M、N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？②若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，点P1，P2间的距离如何？提示：①M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|＝x1－x22＋y1－y22.②如图，在Rt△P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.2．归纳总结，核心必记(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．(4)空间两点间的距离公式①点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离，|OP|＝x2＋y2＋z2.②任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离，|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.[问题思考](1)给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？提示：是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．(2)空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？提示：适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的坐标？；(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？.(1)如图数轴上A点、B点．(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q点的位置．(3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？[思考1] 上述(1)中如何确定A、B两点的位置？提示：利用A、B两点的坐标2和－2.[思考2] 上述(2)中如何确定P、Q两点的位置？提示：利用P、Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．[思考3] 对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示．讲一讲1．建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．(链接教材P135—例1)[尝试解答] 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)．空间中点P坐标的确定方法(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y、P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．练一练1．如图所示，VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．讲一讲2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[尝试解答] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．练一练2.保持本解中的点P不变，(1)求点P关于y轴的对称点的坐标；(2)求点P关于yOz平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点N(－5,4,3)的对称点的坐标．解：(1)由于点P关于y轴对称后，它在y轴的分量不变，在x轴、z轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P1(2,1，－4)．(2)由于点P关于yOz平面对称后，它在y轴、z轴的分量不变，在x轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P2(2,1,4)．(3)设所求对称点为P3(x，y，z)，则点N为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得－5＝－2＋x2，4＝1＋y2，3＝4＋z2，即x＝2×(－5)－(－2)＝－8，y＝2×4－1＝7，z＝2×3－4＝2，故P3(－8,7,2).(1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2.(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)．[思考1] 如何求数轴上两点间的距离？提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|.[思考2] 如何求平面直角坐标系中P、Q两点间距离？提示：d＝|PQ|＝a－m2＋b－n2.[思考3] 若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|?提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似．讲一讲3．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，试判断△ABC的形状．[尝试解答]|AB|＝－4＋2＋－1－2＋－9＋2＝49＝7，|BC|＝－10＋2＋＋2＋－6＋2＝98＝72，|AC|＝－4＋2＋－1＋2＋－9＋2＝49＝7，则|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．练一练3．已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)．(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.解：(1)|PQ|＝－2＋－2＋＋2＝22.(2)设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2，∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义，会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标，理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的建立及求相关点的坐标、空间两点间距离公式及其简单运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，见讲1.(2)求空间中对称点坐标的规律，见讲2.(3)空间两点间距离公式的应用，见讲3.3．本节课的易错点是空间中点的坐标的确定，如讲1.课下能力提升(二十六) [学业水平达标练]题组1 空间直角坐标系的建立及坐标表示 1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上 D ．第一象限内解析：选C 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz 平面上．2．在空间直角坐标系中，点P (4,3，－1)关于xOz 平面的对称点的坐标是( ) A ．(4，－3，－1) B ．(4,3，－1) C ．(3，－4,1) D ．(－4，－3,1)解析：选A 过点P 向xOz 平面作垂线，垂足为N ，则N 就是点P 与它关于xOz 平面的对称点P ′连线的中点，又N (4,0，－1)，所以对称点为P ′(4，－3，－1)．3．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________．解析：设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)．答案：(4,0，－1)4．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1，∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.答案：05．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB |＝1，|AD |＝2，|AA 1|＝4，则|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)．6．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.题组2 空间两点间的距离7．(2016·长春高一检测)已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2 解析：选D 由题意得x －2＋－2＋－2＝26，解得x ＝－2或x ＝6.8．在空间直角坐标系中，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1,2)，中心M (0,1,2)，所以C 1(－3,3,2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－－2＋－1－2＋－2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393.答案：2393[能力提升综合练]1．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6解析：选B 由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.2．点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：选B 点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝－2＋＋2＋－2＝4.3．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析：选C BC 的中点坐标为M (1,1,0)，又A (0,0,1)， ∴|AM |＝12＋12＋－2＝ 3.4．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32 D.63解析：选A 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32，∴x 2＋y 2＋z 2＝62.5．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(a ，－1，c －2)，则点P (a ，b ，c )到坐标原点O 的距离|PO |＝________.解析：点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(1，b ，－2)，所以点(a ，－1，c －2)与点(1，b ，－2)重合，所以a ＝1，b ＝－1，c ＝0，所以|PO |＝12＋－2＋02＝ 2.答案： 26．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4187．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，A 1(0,0,2)． ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＋－2＝212. 8．如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0，1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝－2＋－2＋－2＝5，|EF |＝－2＋－2＋－2＝ 6.11。

平面直角坐标系讲义(一)

一、知识要点例题设计：1．定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

2．各个象限内点的特征:第一象限：（＋，＋）点P（x，y），则x＞0，y＞0；第二象限：（－，＋）点P（x，y），则x＜0，y＞0；第三象限：（－，－）点P（x，y），则x＜0，y＜0；第四象限：（＋，－）点P（x，y），则x＞0，y＜0；四个象限的特点：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）在x轴上：（x，0）点P（x，y），则y＝0；在x轴的正半轴：（＋，0）点P（x，y），则x＞0，y＝0；在x轴的负半轴：（－，0）点P（x，y），则x＜0，y＝0；在y轴上：（0，y）点P（x，y），则x＝0；在y轴的正半轴：（0，＋）点P（x，y），则x＝0，y＞0；在y轴的负半轴：（0，－）点P（x，y），则x＝0，y＜0；坐标原点：（0，0）点P（x，y），则x＝0，y＝0；3. 点到坐标轴的距离：点P （x ，y ）到x 轴的距离为|y|，到y 轴的距离为|x|。

4．中点与两点间的距离：已知点A ),(11y x ，B ),(22y x 中点P 的坐标为：)2,2(2121y y x x ++ 5．点的对称：点P(m ，n)，关于x 轴的对称点坐标是(m ，－n)，关于y 轴的对称点坐标是(－m ，n) 关于原点的对称点坐标是(－m ，－n)例题1：点A （－1，2）关于y 轴的对称点坐标是；点A 关于原点的对称点的坐标是。

点A 关于x 轴对称的点的坐标为 6．平行线：平行于x 轴的直线上的点的特征：纵坐标相等；如直线PQ ，P ),(n m Q ),(n p 平行于y 轴的直线上的点的特征：横坐标相等；如直线PQ ，P ),(n m Q ),(p m 例2：已知点)1,5(-m A ，点)1,4(+m B ，且直线y AB //轴，则m 的值为多少？ 7．象限角的平分线：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记作：),(m m P点P(a ，b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b ， a) 第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，可记作：),(m m P - 点P(a ，b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(－b ，－a)例3：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标相等，在平面直角坐标系中表示出点P 的位置.例4：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标互为相反数，在平面直角坐标系中表示出点P 的位置.例5：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标满足|1|-=x y ，在平面直角坐标系中表示出点P 的位置.xyOxyOxyO6．点的平移：在平面直角坐标系中，将点（x ，y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（x ＋a ，y ）；将点（x ，y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x －a ，y ）；将点（x ，y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）；将点（x ，y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。

2020年中考数学人教版专题复习：坐标方法的简单应用讲义设计

2020年中考数学人教版专题复习：坐标方法的简单应用一、学习目标：1.能够用坐标表示地理位置．2.能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的变换，掌握图形在平移过程中各点坐标的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质上就是点坐标的对应变换．二、重点、难点：重点：掌握用坐标的变化规律来描述平移的过程．难点：根据图形的平移过程，探索、归纳出坐标的变化规律．三、考点分析：用几何方法求平面内点的坐标是中考的热点，主要考查用坐标表示地理位置和表示图形的平移，常见题型是选择题、填空题、应用题等，多与其他知识结合在一起，难度居于中、低档．知识梳理1.用坐标表示地理位置利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向．（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度．（3）在坐标平面内画出这些点．（4）写出各点的坐标和各个地点的名称．2.用坐标表示图形的平移在平面直角坐标系中，将点（x0，y0）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x0＋a，y0）或（x0－a，y0）；将点（x0，y0）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x0，y0＋b）或（x0，y0－b）．在平面直角坐标系内，如果把一个图形上各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把一个图形上各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移b个单位长度．典型例题知识点一：用坐标表示地理位置例1.如图所示，A点表示（0，0），则B点可以表示为（1，2），小明从家中C点出发到超市（D点）购买生活用品，他有几种选择方式？请举出其中的一种来．思路分析：题意分析：本题要求的是由点C到D沿着小方格的边走有几种不同的路径，并用点的坐标描述出来．解题思路：根据A点和B点的坐标，建立以A为原点的平面直角坐标系，可知C点和D点的坐标．解答过程：以A为原点建立平面直角坐标系，则C点和D点的坐标分别为（4，1）、（5，4）．他有4种选择方式，如（4，1）→（5，1）→（5，4）．解题后的思考：另3种方式为：（4，1）→（4，4）→（5，4）；（4，1）→（4，2）→（5，2）→（5，4）；（4，1）→（4，3）→（5，3）→（5，4）．例2.如图是逸飞中学校园平面示意图．利用我们所学知识解决下列各题：（1）如果教学楼在校门的正北方向90米处，那么升旗台在教学楼的什么位置？花坛在教学楼的什么位置？图书馆在教学楼的什么位置？（2）建立适当的平面坐标来描述各处的地理位置．（3）拟将花坛迁移到升旗台与校门的正中间，按照问题（2）中确定的坐标平面，花坛新址的坐标是多少？思路分析：题意分析：本题考查用坐标表示地理位置．解题思路：由于图上教学楼与校门的距离是9个单位长度，因此可以断定图上的1个单位长度表示实际距离10米．由题目（1）知，本题应首选教学楼为坐标原点，在确定花坛新址时首先确定升旗台与校门的距离，取其中点并计算出花坛与教学楼的距离．解答过程：（1）升旗台在教学楼的正南方20米处；花坛在教学楼的正南方30米处西侧20米；图书馆在教学楼的正南方30米处西侧50米．（2）以教学楼所在位置为原点，正东方向为横轴正方向，正北方向为纵轴正方向建立平面坐标．教学楼的位置是（0，0），升旗台的位置是（0，－2），花坛的位置是（－2，－3），图书馆的位置是（－5，－3），卫生间的位置是（4，－3），校门的位置是（0，－9）．（3）花坛新址的位置是（0，－5.5）．解题后的思考：解题的关键是坐标原点和单位长度的确定．例3.如图所示，是传说中的一张藏宝图，藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图．现今的寻宝人没有原来的地图，但知道在该图上有两块大石头A（1，－2）、B（2，－8），而藏宝地的坐标是（6，－6）．试设法在地图上找到藏宝地点．思路分析：题意分析：据题意可知本题实际上是要求确定点（6，－6）的位置．解题思路：要解决这个问题，还得从点的坐标的意义入手确定平面直角坐标系，再描出点（6，－6）即可．解答过程：如图所示．解题后的思考：解答本题的关键是如何根据实际情况建立平面直角坐标系．一般情况下，在平面直角坐标系中，水平的数轴是x轴且向右为正，竖直的数轴是y轴且向上为正．小结：用坐标表示地理位置时，选择一个适当的参照点为原点尤为重要．原点的选择、x轴、y轴的确定，直接影响着计算的繁简程度，所以建立直角坐标系时，千万不要盲目行事，要以能简捷地确定平面内点的坐标为原则．知识点二：用坐标表示图形的平移例4.如图所示，小丽想把直角坐标系中的房子图案向左平移10个单位长度，已知房子图案的几个顶点坐标为（2，0）、（8，0）、（8，3）、（9，3）、（5，5）、（1，3）、（2，3），请你帮她作出相应的图案，并写出平移后上述7个点的坐标．思路分析：题意分析：向左平移纵坐标不变，横坐标减去平移的长度．解题思路：将房子图案各顶点坐标的横坐标都减去10，纵坐标不变，可得平移后房子各顶点对应点的坐标．解答过程：如图所示，平移后7个点的坐标是（－8，0）、（－2，0）、（－2，3）、（－1，3）、（－5，5）、（－9，3）、（－8，3）．解题后的思考：左、右平移只是横坐标发生变化，纵坐标不变．例5.（1）将点A（3，2）向右平移2个单位长度，得到A’，则A’的坐标为__________；（2）点B’（6，3）是由点B（－2，3）经过__________得到的；（3）点C（4，3）__________得到C’（6，－4）．思路分析：题意分析：本题考查点的平移与坐标的变化．解题思路：（1）向右平移2个单位长度，即横坐标增加2；（2）横坐标增加了8个单位长度，对应的点向右平移8个单位长度；（3）横坐标和纵坐标都发生了改变，需经过两次平移才能完成．解答过程：（1）（5，2）；（2）向右平移8个单位长度；（3）先向右平移2个单位长度，再向下平移7个单位长度．解题后的思考：解题的关键是掌握平移的方向和坐标变化之间的联系，简单地说，就是：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．例6.如图所示，把图中的三角形ABC经过一定的变换得到三角形A′B′C′，如果图中三角形ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点的对应点P’的坐标为（）A.（a－2，b－3）B.（a－3，b－2）C.（a＋3，b＋2）D.（a＋2，b＋2）思路分析：题意分析：本题重点考查在平面直角坐标系内点的平移和坐标的变化规律．解题思路：由图可知，三角形ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到三角形A′B′C′．则点P（a，b）对应点P′的坐标为（a＋3，b＋2），故选C．解答过程：C解题后的思考：将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）．例7.如图所示，四边形是将坐标（0，0）、（1，2）、（－1，3）、（－2，1）、（0，0）的点用线段依次连接而成的，将这四个点的坐标作如下变化：横坐标分别加3，纵坐标分别减2，再将所得的点用线段依次连接起来，所得图案与原来的图案相比，有什么变化？思路分析：题意分析：本题考查坐标变化与图形变化的规律．解题思路：先根据题目要求描出坐标变化后的各点，将各点用线段依次连接起来，再与原图比较．解答过程：横坐标分别加3，纵坐标分别减2，所得各点的坐标依次为（3，－2）、（4，0）、（2，1）、（1，－1）、（3，－2）．将各点用线段依次连接起来，所得图案如图所示，与原图案相比，这个图案的大小和形状都与原图案一样，只是向右平移了3个单位长度，再向下平移了2个单位长度．解题后的思考：图形的平移具有两大要素：①平移的方向；②平移的距离．本讲中用坐标表示图形的平移，其平移方向为沿x轴左、右移动，沿y轴上、下移动，一般情况下，图形上的点的坐标都增加或减小时，必须要经过两次平移．例8.在平面直角坐标系中描出下列各点：坐标依次为A（3，2）、B（3，－2）、C（－3，－1）、D（－3，1）．并将A、B、C、D、A依次连接起来．（1）你得到了一个什么图形？（2）四边形ABCD 的面积是多少？思路分析：题意分析：先根据题意画出图形，再根据图形特点求面积．解题思路：四边形ABCD 是一个梯形，可根据梯形面积公式求解，或把这个梯形剪拼成长方形再求面积．解答过程：（1）如图所示，得到的图形是梯形；（2）这个梯形的面积是12（2＋4）×6＝18．解题后的思考：在平面直角坐标系中求图形面积时，可根据图形顶点坐标求出某些线段的长度，再求面积．遇到不规则图形，可先将其进行剪拼再求面积．小结：由平移的概念知，“平移”是把一个图形整体沿着某一个方向移动，平移讲求方向性．大家知道，图形平移的方向不一定是水平的，这里所讲的用坐标表示图形的平移，其方向是沿x 轴和y 轴（即左右、上下），其他方向的平移中学阶段不作要求和考虑．提分技巧1. 用坐标表示地理位置时，应先在分析清楚题意的基础上选择适当的点为坐标原点，而通常情况下画坐标轴只有一种情况——水平方向画横轴、竖直方向画纵轴．一般都是选取题目中涉及周边地点最多的地点为原点．而比例尺的选取要与坐标的单位长度相匹配，否则会导致绘制的坐标平面过大，各地点过于分散，或是绘制的坐标平面过小，各地点过于拥挤．2. 本讲的主要内容是平移的变化规律“左减右加”、“上加下减”，应在理解的基础上加以消化掌握，不能死记硬背，只要正确作出图形即可知道变化情况．。

坐标系中的综合应用讲义

坐标的应用（讲义）一、知识点睛1. 平面直角坐标系中坐标的处理原则：①___________________________________________________ ；②___________________________________________________ ^_2. 中点坐标公式如图，在平面直角坐标系中，已知A（x i, y i）, B（X2, y2）,则线段AB的中点M 的坐标为____________________________ （用x i, y i, x2, y2表示）.3. 等腰三角形存在性问题（已知两点确定第三点）第一步，确定位置：利用______________________________ ；第二步，算出坐标：禾寸用____________________________二、精讲精练1. 将一副直角三角板（含45°角的直角三角板OAC及含30°角的直角三角板OAB）按如图所示方式放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（9 3 3 , 0）,则图中两块三角板的交点P的坐标是___________________ :2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与x 轴的夹角为60°且点A 的坐标为(-2, 0)，点B 在x 轴的上方，设AB=a ，那么点B 的坐标为( )3. 第3题图4.5. 第4题图 A 的坐标为(-2.3 , 0),点B 在y 轴负半轴上，其坐标为(0, -7)•以点B 为直角顶点，BA 为腰作等腰Rt A ABC ,则点 C 的坐标为 _____________________ : 如图，△ ABC 为直角三角形，/ B=90° AB 垂直于x 轴， M 为AC 的中点：若点A 的坐标为(3, 4),点M 的坐标为 (-1, 1),则点B 的坐标为( A : B ： C ： D :如图，在平面直角坐标系中，点 (3, (3, (3, (3, -4) -3) -2) -1)6. 如图，把一张矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，其中A（2, 0）, B（2,2.3），连接OB，将纸片OABC沿0B折叠后点A落在点A处，则点A的坐第6题图第7题图7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（0，2），E是线段BC上一点，且/ AEB=60°沿AE折叠后点B落在点F处，则点F的坐标是_____________ .8. 如图，已知A（、一3，1），B（1，.3）•将△ AOB绕点O旋转150°得到△A'OB',则此时点A的对应点A的坐标为 ____________________________ ,点B在第一象限，点P的坐标为（、、3，0），连接AP，并把△ AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ ABD，则点D的坐标为10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2, 1),点A是x轴上的一个动点，当△ PAO 是等腰三角形时，点 A 的坐标为11. 如图，0为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(6, 0)，C(0，2)，点M是0A的中点，点P在线段BC上运动，当△ OMP是腰长为3的等腰三角形时，点P的坐标为________________12. 如图，在平面直角坐标系中，当三角板的直角顶点P的坐标为(3，3)时，设一直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，在三角板绕点P旋转的过程中，若△ POA为等腰三角形，则点B的坐标为【参考答案】一、知识点睛1•①代入表达式求解；②作横平竖直的线，坐标转线段长，利用几何特征求解.2/+X2 力 +丫2、2. ( , )2 23. 两圆一线；两腰相等或三线合一.二、精讲精练1. (9,3.3)2. D3. (-4, 5), (-5, 1)4. (乙-7 2、3)5. C6. ( -1,3)7. (-1,2-、、3)8. (-2,0)或(-1,- 3)9.10. (、、5,0)或(-、、5,0)或(4,0)或(-,0)411. (、5,2)或(3- ,5,2)或(3 、,-,2)12. (0,3)或(0,0)或(0,6-3、2)坐标的应用（随堂测试）1. 如图，在平面直角坐标系中有一长方形ABCD其中A（0, 0），C（-3，.3）.若将△ ABC沿AC所在直线翻折,点B落在点E处，则点E的坐标为______________ .第1题图2. 如图，已知边长为1的正方形OABC在平面直角坐标系中，B，C两点在第二象限内，OA与x轴的夹角为60°则点B的坐标为_________________________ .3. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为____________________________ .【参考答案】3 3.3、2，T)3. (2，4)或(8, 4)或(3, 4)坐标的应用(作业)1. 如图，正方形ABCD的边长为4,点B的坐标为(3, 1), AB平行于x轴，则点D的坐标为_____________ :2. 如图，已知四边形OABC为正方形，点A的坐标为(-1, 3),则点C的坐标为________________ :3. 如图，将△ ABC绕点C(0, -1)旋转180°得到△ A'B'C，设点A'的坐标为(a,b)，则点A的坐标为_______________ :第3题图第4题图4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,. 3)，点B的坐标为(1,0),将厶AOB沿直线AB折叠，点O落在点C处，则点C的坐标为5. 如图，在平面直角坐标系中，Rt A OAB的顶点A的坐标为(虫,1),若将△ OAB绕点O逆时针旋转60后，点B到达点B',则点B'的坐标为_______________ :6. 如图，Rt A OAB的直角边OA在y轴上，点B在第二象限内，OA=2,AB=1.若将△ OAB绕点O旋转90°后，则点B的对应点B的坐标为第6题图第7题图7. 如图，在平面直角坐标系中，分别平行于x轴、y轴的两直线a，b相交于点A(3,4).连接OA，若在直线a上存在点卩，使厶AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是8. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点B的坐标为(5, 4)，点P为BC边上的动点，当△ POA是等腰三角形时，点P 的坐标为_______________________ .y*【参考答案】1. (-1, 5)2. (-、、3，-1)3. (-a , -b-2)6. (2, 1)或(-2, -1)7. (-3, 4)或(-2, 4)或(8,4)或(丄,4) 6 58. (2, 4)或(3, 4)或 (—,4) 5. (症，3)2 2。