椭圆中焦点三角形的性质及应用
椭圆的焦点三角形的性质ppt课件
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简证性质2：
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三、典例解读
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6
三、考察焦点直角三角形
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四、考察焦点三角形的面积
例
1:已知点 F1 、F2 分别是椭圆
x2 2
y2Байду номын сангаас1
1 的左、右
焦点，过
F2
作倾斜角为
4
的直线交椭圆于
A、B
两点，
求 △F1 AB 的面积.
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椭圆的焦点三角形的 性质
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1
一、定义：
• 椭圆上一点和两焦点 组成的三角形叫焦点 三角形；有一个角为 直角的焦点三角形叫 焦点直角三角形
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2
二、几个性质结论
• 1：该三角形一边长为焦距，另两边的和为 定值。
• 2：椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点 到另两点的张角中，以短轴端点到这两点 的张角最大。
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椭圆的性质二 焦点三角形的性质
|｜PF｜2 ｜PF｜1
a
ex
(a
ex)
2ex
2
4 5
x
，
5
x
0
，
∴0＜|F2N|＜8，∴0＜|OM|＜4．
若 P 在椭圆的右半部分时，同样可得出 0＜|OM|＜4，故选：B．
方法二 极限法，当 P 在左端点时，|OM|=4，在 P 上顶点时，|OM|=0，∴0＜|OM|＜4．
三 课后练习：
1.(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，
x2
令椭圆方程为
a2
y2 b2
1(a b 0)
则由椭圆的定义有 | PF1 | | PF2 | 2a , | F1F2 | 2c ,
∴
| PF1 | | PF2 |
| F1F2 | 2c
sin PF2F1 sin PF1F2 sin F1PF2
又 ∵ PF1F2 5PF2F1 ， ∴ PF1F2 750 ， PF2F1 150 ，
4．(2019
南昌模拟)P
为椭圆 x2 ＋y2＝1 25 9
上一点，F1，F2
分别是椭圆的左、右焦点，过
P
点作
PH⊥F1F2
于
点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
A.25
B.8
4
3
C．8
D.9
4
解析：选 D 由椭圆 x2 ＋y2＝1 得 a2＝25，b2＝9， 25 9
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
A. (0, 3 ] 2
椭圆中的焦点三角形
思路
1：当 F1PF2 最大时，由面积公: SF1PF2
b2tan 2源自可知，焦点三角形的面积也达到最大.
所以焦点三角形的面积最大时，P 在短轴的端点处.
思路 2： S 1 ×底×高. 点 P 的纵坐标的绝对值
2
F1F2 2c
当 P 点在椭圆上运动时，纵坐标的绝对值在短轴的端点处取得最大值，
所以 P 在短轴端点处焦点三角形取得面积的最大值.
证明：在 F1PF2 中，由余弦定理得：
cos
PF12 PF22 F1F22 2PF1 • PF2
(PF1 PF2 )2 2PF1 • PF2 4c2 2PF1 • PF2
4a2 4c2 2PF1 • PF2
1 2a2 2c2 PF1 • PF2
1
2a2 2c2 ( PF1 PF2 )2
1. 建构数学
椭圆的焦点三角形：
(1)定义：椭圆上任意一点(异于长轴端点)与椭 圆的两个焦点所组成的三角形叫椭圆的焦点三 角形.
（2）焦点三角形构成要素之间的关系
以椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 为例，两焦点分别为 F1, F2 , 椭圆上
任意一点为 P，设焦点三角形 PF1F2
①焦点三角形的构成： 三边：两条焦半径 PF1, PF2 ，焦距 F1F2 ， 三角：设 F1PF2 , PF1F2 , PF2F1 .
1时，点
P
个数为
0
个
② max
90,
2b2 a2
1时，点
P
个数为
2
个
③ max
90,
2b2 a2
1时，点
P
个数为
4
椭圆中的重要结论
椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
与焦点三角形的有 关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等一•焦点三角形的形状判定及周长、面积计算2 2例1椭圆 ・ 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2的形状. 16 12 性质一： 2 2已知椭圆方程为 笃•爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形 a bPF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
性质三：h 厶 过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2已知椭圆方程为 务•每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形a b2PF 1F 2 中 FfF 2- V,则 COST 一1 — 2e . 2 2一x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上a b存在一点P,使得三F 1PF 2二12。
0,求椭圆的离心率e 的取值范围。
二 b 2 tan —。
2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为F 1, F 2,设焦点三角例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| IF1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
椭圆中焦点三角形的性质及应用探究
２ ． 故 答 案 为 Ｄ．
２ 、ｆ ２
所以 ｌ Ｐ Ｆ ． １ 『 Ｐ Ｆ 。 Ｉ ＝ （ 『 Ｐ Ｆ 『 ＋『 Ｐ Ｆ 。 Ｉ ） －４ ｃ
２ （ １ ＋Ｃ Ｏ Ｓ ０ ）
４ｎ ２— ４ｃ ２ ｂ
性质 四： 已 知 椭 圆 方 程 为 ＋ 一 ｌ （ ｎ＞ ６＞ ｏ） ・ 两 焦 点 分 别 为 Ｆ ， Ｆｚ ， 设 焦 点 三 角 形 ＰＦ Ｆ 中 Ｆ ＰＦ 一 ０， 则
（ 异 于 长 轴 的 端 点） ，则 称
△Ｆ ＰＦ 为 椭 圆 的 焦 点 三
证明 ： 设 Ｐ（ 。 ， Ｙ 。 ） ， 由焦 半 径公 式可 知 ： ｌ Ｐ Ｆ ｌ 一口＋
ｅ ｏ ， ｌ ＰＦ１ 口一ｅ １ ． Ｔ ｏ ．
角形 ．
性质一 ： 过椭圆焦点 的所 有弦 中通 径 （ 垂 直于焦 点的 弦 ） 最短。 通 径 为 ．
ｙ ａ
在
一
一
刚一
一 ４ ｂ
半
一 一
例 １ 设 椭 圆ｘ ｚ
十
一１ （ ｃ ￡ ＞６ ＞０ ） 的右 焦点 为 Ｆ ， 右 准
（ １ Ｐ Ｆ Ｉ ＋ｌ Ｐ Ｆ ： ｛ ） 。 一２ Ｉ Ｐ Ｆ Ｉ Ｉ Ｐ Ｆ ｌ 一４ ｃ ２ ｌ Ｐ Ｆ Ｉ ｌ Ｐ Ｆ
６ ｚ ｔ ａ ｎ 要一 ｔ ａ ｎ ， 所 以 当 △ Ｆ Ｐ Ｆ 的 面 积 最 大 时 ， ０ 为 最 大 ，
这 时 点 Ｐ 为 椭 圆 短 轴 的端 点 ， ０ —１ ２ ０ 。 ．
所 以Ｐ Ｆｌ ・ＰＦ ２ 一ｌ Ｐ Ｆｌ Ｉ・ｆ Ｐ Ｆ ｚ Ｊ Ｃ Ｏ Ｓ ０ 一Ⅱ Ｃ Ｏ Ｓ １ ２ ０ 。 一
ｃ ｏ ｓ ８ ≥１ —２ ｅ 。 ．
高中数学课件-椭圆中的焦点三角形应用
m2 n2 4c2
2 PF1 PF2
2mn
(m n)2 2mn 4c2 4a2 2mn 4c2 4b2 2mn 2b2
1
2mn
2mn
2mn mn
2b2 1 2b2 1
(m n)2
a2
2
(当且仅当m n,即P点与短轴端点重合时" "成立)
考点2 有关角的问题：
例2
椭圆
x2 9
x2 8
y2 4
1的焦点,
在C上满足PF1 PF2的点P的个数为______
椭圆与圆的交点
y F1
P
F2xຫໍສະໝຸດ 考点3 有关离心率的问题：
例3 变式 :（09江西）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF2 0
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _______
0e 2 2
变式 ：已知，椭圆 x 2 y 2 1(a>b>0) 上任意一点P，
1 3
OF1
．
（Ⅰ）证明a 2b；（Ⅱ）略
归纳小结:
基本概念
焦点三角形
性质及应用
思想方法
性质一：当点P从右至左运动时，F1PF2 由锐角变成直角， 又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成
锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，F1 PF2 达到最大。
结论： 椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆 两焦点所成张角中最大的角
观看演示：
cos
PF1 2
PF2 2 F1F2 2
则点P到 x 轴的距离为（ ）
A. 9 B. 9 7 C. 9 D. 9 或 9 7
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4
椭圆中的焦点三角形公示的证明和应用
考点4 有关面积的问题：
例4
x2 y 2 P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4
若F1 PF2
3
, 则PF1 F2的面积等于 _______ 。
怎样改动，使上面Байду номын сангаас是一个错题？
x2 y2 一：P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4 若F1 PF2
解: 设 PF1 m， 2 n，由余弦定理得 PF
m n 2mn cos F1 F2
2 2 2
4c 2 ①
由椭圆定义得m n 2a② 2( a 2 c 2 ) 2b 2 由①得：mn 1 cos 1 cos 1 sin 2 2 S F1PF2 mn sin b b tan 2 1 cos 2
x2 y 2 例3 已知椭圆 2 2 1(a b 0)的两焦点分别为F1 , F2 , a b 若椭圆上存在一点P, 使得F1 PF2 1200 , 求椭圆的离心率e 的取值范围。
由前面考点二的分析，你能得出cos F1 PF2
与离心率e的关系吗？
性质二：已知椭圆方程为
x2 y2 2 1(a b 0), 两焦点分别 2 a b
变式：
1. 2006四川） （ 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P , P2 , P7 七个点，F是椭圆的一个焦点， 1 则 P F P2 F P7 F _________ 1
x2 y 2 2. 已知F1、F2是椭圆 1的左, 右焦点, 点P在 25 9 椭圆上运动,则 PF1 PF2 的最大值是_______
2
高二数学椭圆中焦点三角形的性质及应用
2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。
θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PFθθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0 22a x o ≤∴性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
章显军
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2013(000)014
【摘要】“焦点三角形”问题是考试中比较常见的考题．椭圆“焦点三角形”的定义为：椭圆上的任意一点（除长轴端点外）与两个焦点构成的三角形．通常“焦点三角形”的问题都有意地考查了椭圆的定义、三角形中的正弦、余弦定理、三角形的面积、内角大小等知识，现笔者就椭圆“焦点三角形”的性质及应用举例分析如下．
【总页数】1页(P39)
【作者】章显军
【作者单位】浙江苍南县钱库高级中学 325804
【正文语种】中文
【相关文献】
1.椭圆中焦点三角形的性质及应用探究
2.椭圆焦点三角形的性质探究与应用——椭圆的“第三定义”
3.一个椭圆焦点三角形内心的定值性质、拓展与应用
4.一个椭圆焦点三角形内心的定值性质、拓展与应用
5.椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用
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椭圆焦点三角形性质的探究及应用
椭圆焦点三角形性质的探究及应用
李生兵
【期刊名称】《数学教育研究》
【年(卷),期】2014(000)002
【摘要】在椭圆中，以椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的两个焦点F1，F2，及椭圆上任意一点P（除长轴上两个端点外）为顶点的△F1PF2叫椭圆的焦点三角形．在△F1PF2中，由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜=2a（2a〉2c）和焦距｜F1F2＋=2c都是常数．与焦点三角形有关的问题是高考的热点，题型灵活多样，主要考查椭圆定义、三角形中的的正（余）弦定理、内角和定理、面积公式等，以下探究几个一般性的性质．
【总页数】2页(P63-64)
【作者】李生兵
【作者单位】甘肃省高台县第一中学,734300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.椭圆中焦点三角形的性质及应用探究 [J], 任双宝
2.椭圆焦点三角形性质的探究及应用 [J], 李生兵
3.从一道预赛试题探究椭圆焦点三角形外接圆的性质 [J], 陈良骥
4.椭圆焦点三角形的性质探究与应用——椭圆的“第三定义” [J], 洪汪宝
5.中职数学问题探究"学与教"实践研究——以椭圆焦点三角形性质为例 [J], 王统增
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椭圆焦点三角形性质
椭圆焦点三角形性质是椭圆的一个重要性质，它是椭圆的一种特殊的三角形，它的特点是它的三个顶点都在椭圆的焦点上。
椭圆焦点三角形的性质有以下几点：1、椭圆焦点三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，这是椭圆焦点三角形的最大特点。
2、椭圆焦点三角形的三条边都是椭圆的椭圆轴，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是椭圆的椭圆轴。
3、椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的。
4、椭圆焦点三角形的三条边都是等长的，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是等长的。
5、椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的。
6、椭圆焦点三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，这意味着椭圆焦点三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，而不是在椭圆的椭圆轴上。
7、椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的。
8、椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的。
9、椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的。
10、椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的。
椭圆焦点三角形的性质是椭圆的一个重要性质，它是椭圆的一种特殊的三角形，它的特点是它的三个顶点都在椭圆的焦点上，而不是在椭圆的椭圆轴上。
椭圆焦点三角形的三条边都是等长的，三个内角和三个外角都是相等的，这是椭圆焦点三角形的特点。
椭圆焦点三角形的性质在几何学中有着重要的应用，它可以用来求解椭圆的焦点，以及椭圆的椭圆轴的长度等问题。
此外，椭圆焦点三角形的性质也可以用来求解椭圆的面积，以及椭圆的周长等问题。
总之，椭圆焦点三角形的性质是椭圆的一个重要性质，它的特点是它的三个顶点都在椭圆的焦点上，而不是在椭圆的椭圆轴上，它的三条边都是等长的，三个内角和三个外角都是相等的，它在几何学中有着重要的应用。
椭圆的焦点三角形
椭圆的焦点三角形关键信息项：1、椭圆的方程及相关参数2、焦点三角形的定义及构成要素3、焦点三角形的边长关系4、焦点三角形的面积计算公式5、与焦点三角形相关的几何性质及应用6、涉及焦点三角形的常见题型及解题方法1、椭圆的基本概念11 椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）焦点在 y 轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）其中，＄a$为椭圆的长半轴，＄b$为椭圆的短半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
12 椭圆的焦点焦点在 x 轴上时，焦点坐标为$（＼pm c, 0)＄焦点在 y 轴上时，焦点坐标为$（0, ＼pm c)＄2、焦点三角形的定义21 焦点三角形是指以椭圆的两个焦点$F_1$，＄F_2$和椭圆上任意一点$P$（不与焦点重合）为顶点所构成的三角形，记为$＼triangleF_1PF_2$。
3、焦点三角形的边长关系31 根据椭圆的定义，＄｜PF_1| ＋｜PF_2| ＝ 2a$32 在$＼triangle F_1PF_2$中，由余弦定理可得：＄｜F_1F_2|＾2 ＝｜PF_1|＾2 ＋｜PF_2|＾2 2|PF_1| ｜PF_2| ＼cos ＼theta$，其中$＼theta$为$＼angle F_1PF_2$。
4、焦点三角形的面积计算公式41 ＄S_{＼triangle F_1PF_2} ＝ b^2 ＼tan\frac{＼theta}｛2}＄42 也可以表示为$S_{＼triangle F_1PF_2} ＝＼frac{1}｛2} ｜PF_1| ｜PF_2| ＼sin ＼theta$5、与焦点三角形相关的几何性质及应用51 当点$P$为短轴端点时，＄＼angle F_1PF_2$最大。
52 焦点三角形的内切圆半径$r$与三角形面积和周长之间的关系。
12.4.3焦点三角形的性质及椭圆中的最值问题
F1
O
F2
x
x2 (2)已知直线l : x y m 0与椭圆C : y 2 1, 4 交于A, B两点，求|AB | 的最大值.
4 10 5
(2)当F 1PF 2 60 时，求F 1PF 2的面积；
4 3 3
y
F1
o
F2
x
x2 y 2 变式：已知椭圆 2 2 1 (a b 0), 焦点坐标为F1 , F2 , 点P为椭圆上的动点， a b 2 S△ PF1F2 b tan 若F1PF2 时，求F1PF2的面积； 2
2
xp2
yp2
F1
o
P F2
x
PF1 PF2 2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 ( 5 x p )( 5 x p ) y p 0 | PF1 || PF2 |
4 2 9 3 5 3 5 2 x ( , ) xp 5 y p 0 x p 5 4 x p 0 x p p 9 5 5 5
3. 椭圆上一点到定直线的距离的最值问题
x2 y 2 例1：已知椭圆 1，直线L : 4 x 5 y 40 0， 25 9 椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？ 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l， 则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 由方程组 x y 1 25 9 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0
x2 y 2 2.在椭圆 C： 2 2 1（ a b 0 ）中， F1 和 F2 是椭圆的两个焦 a b
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(原卷版)
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。
性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。
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椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。
性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。
由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。
已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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