复数的三角形式52309
复数的三角形式
三角形式和指数形式是等价的，可以通过三角恒等式相互转换。
复数三角形式的运算
加法运算
要点一
总结词
要点二
详细描述
复数三角形式的加法运算可以通过直接相加对应部分的方式进行。
对于两个复数 $z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1)$ 和 $z_2 = r_2(cos theta_2 + i sin theta_2)$，其和为 $z_1 + z_2 = (r_1 + r_2)(cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))$。
模
模长$r = sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$分别是复数$z$的实部 和虚部。
复数三角形式的性质
幅角和模的性质
幅角
表示复数在复平面上的角度，其取值范围为$[0, 2pi)$。
模
表示复数在复平面上的距离，即该点到原点的长度。
幅角和模的关系
对于任意复数$z = r(costheta + isintheta)$，其 模为$r$，幅角为$theta$。
总结词
复数三角形式的除法运算可以通过将分母转换为 三角形式后再进行相除的方式进行。
详细描述
对于非零复数 $z_1$ 和 $z_2$，其商为 $frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} (cos(theta_1 -
theta_2) + i sin(theta_1 - theta_2))$。
解释
复数$z$可以用极坐标表示，其中$r$表 示原点到点$z$的距离，$theta$表示从 正实轴逆时针到点$z$的连线所形成的 角度。
复数的三角形式
复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a ＋bi 对应向量，以x 轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ ．说明：不等于零的复数Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a ＋bi 的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a ＋bi 均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r 为Z 的模，θ为Z 的一个辐角． 2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z 1=r 1(cosθ1＋isinθ1)，Z 2=r 2(co sθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。
所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3）i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg ，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
复数的三角形式
复数的三角形式1.复数的三角形式复数的幅角指的是复数Z=a+bi所对应的向量半轴为始边，向量以x轴正方向所在的射线（起点为O）为终边的角度θ，记作ArgZ。
其中，满足0≤θ<2π的辐角θ的值称为辐角的主值，记作argZ。
需要注意的是，不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍。
复数的三角形式指的是r(cosθ+isinθ)，其中r为复数Z=a+bi的模，θ为Z的一个辐角。
任何一个复数Z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。
2.复数的三角形式的运算设Z=r(cosθ+isinθ)，Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：3.应用例1：求下列复数的模和辐角主值1）1+i解：对于1+i，有a=1，b=1，点（1,1）在第一象限，所以r=sqrt(2)，tanθ=1，辐角主值为θ=π/4.2）4-3i解：对于4-3i，有a=4，b=-3，点（4，-3）在第四象限，所以r=5，tanθ=-3/4，辐角主值为θ=11π/6.想一想：如何求复数z=3-4i的辐角？解：对于3-4i，有a=3，b=-4，点（3，-4）在第四象限，所以r=5，tanθ=-4/3，辐角主值为θ=11π/6.复数的三角形式具有以下特征：形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为一个辐角。
下列各式是否为复数的三角形式：1）isinθ+cosθ2）2(cos(π/4)+isin(π/4))3）5(cos(5π/6)+isin(π/6))解：（1）不是，（2）是，（3）是。
例2：把下列复数转化为三角形式1）-1解：-1=cosπ+isinπ，所以r=1，θ=π。
2）2i解：2i=2(cosπ/2+isinπ/2)，所以r=2，θ=π/2.3）3-i解：3-i=2(cos(11π/6)+isin(π/6))，所以r=2，θ=11π/6.总结：将复数的代数形式z=a+bi转化为复数的三角形式的一般方法步骤是：①求复数的模：r=sqrt(a^2+b^2)；②由tanθ=b/a求出复数的辐角主值θ；③将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式。
复数的三角形式
复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。
所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3） i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
《复数的三角形式》课件
调制与解调
在通信系统中，复数的三角形式 用于信号的调制和解调过程。通 过将基带信号转换为高频载波信 号，可以实现远距离传输和高效
的频谱利用。
在量子力学中的应用
波函数的复数表示
在量子力学中，波函数通常用复 数表示。复数的三角形式为描述 粒子的状态和行为提供了方便的
数学工具。
量子态的演化
利用复数的三角形式，可以方便地 描述量子态随时间的演化过程，有 助于理解和计算量子系统的行为。
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《复数的三角形式》 ppt课件
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目 录
• 复数三角形式的定义 • 复数三角形式的运算 • 复数三角形式的应用 • 复数三角形式的扩展 • 复数三角形式的习题与解答
PART 01
复数三角形式的定义
复数三角形式的定义与表示
复数三角形式的性质
01
02
03
模长的性质
模长是非负实数，表示复 数的绝对值。
幅角的性质
幅角可以是任意实数，表 示复数在复平面上的旋转 角度。
共轭复数的性质
若$z = r(costheta + isintheta)$，则其共轭复 数为$z^* = r(cos(theta) + isin(-theta))$。
习题一：计算复数的三角形式
总结词
理解并掌握复数三角形式的计算方法
详细描述
这道题目主要考察了学生对复数三角形式的理解和计算能力。通过这道题目， 学生需要掌握如何将任意复数表示为三角形式，并能够根据给定的模和幅角计 算出对应的复数。
习题二：利用复数的三角形式进行运算
总结词
掌握复数三角形式的运算规则
复数的三角形式与指数形式
复数的三角形式与指数形式复数是由实数和虚数组成的数，可以用不同的形式来表达。
其中，三角形式和指数形式是复数常用的两种表示方法。
本文将针对复数的三角形式与指数形式进行论述，分别从定义、转换关系以及应用方面进行探讨。
一、复数的三角形式复数的三角形式又称极坐标形式，表示为a(cosθ + isinθ)，其中a为复数的模，θ为主角，i为虚数单位。
三角形式将复数表示为一个模长为a的向量，与实轴之间的夹角为θ。
以例子说明，假设有一个复数z = 3 + 4i，其中实部为3，虚部为4。
根据勾股定理，可以计算得出模长a = √(3² + 4²) = 5。
而主角θ可以通过反正切函数得到，即θ = arctan(4/3)。
因此，复数z可以表示为5(cos(arctan(4/3)) + isin(arctan(4/3)))。
复数的三角形式除了提供复数的模和主角信息外，还能够方便地进行复数的运算。
加法、减法、乘法和除法等运算可以在三角形式下进行，并通过对应的三角函数公式实现。
二、复数的指数形式复数的指数形式是指数函数的一种特殊形式，表示为re^(iθ)，其中r为复数的模，θ为主角，e为自然对数的底。
与三角形式类似，指数形式也将复数表示为一个模长为r的向量，与实轴之间的夹角为θ。
但不同之处在于指数形式中使用了指数函数，这使得复数的运算更加简化和方便。
以例子说明，继续使用上述复数z = 3 + 4i，其模长为r = 5，主角为θ = arctan(4/3)。
根据指数函数的定义，复数z可以表示为5e^(i·arctan(4/3))。
在指数形式下，复数的加法、减法、乘法和除法操作可以通过指数幂次运算来实现，利用指数函数的性质简化计算过程。
三、三角形式与指数形式的转换关系三角形式与指数形式之间存在一定的转换关系，让我们通过简单的推导来展示其中的关联性。
首先，假设有一个复数z = a(cosθ + isinθ)，根据欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，我们可以将复数z表示为a·e^(iθ)。
复数的三角形式与乘除运算
复数的三角形式与乘除运算复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别表示实部和虚部。
复数的三角形式是指将复数表示为模长和辐角的形式。
一、复数的三角形式1.模长（绝对值）：复数的模长表示复数到原点的距离，可以用勾股定理求得。
模长的公式为，z，=√(a²+b²)。
2. 辐角：复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，可以用反正切函数求得。
辐角的公式为 arg(z) = arctan(b/a)。
以复数 3 + 4i 为例，它的模长为，z，= √(3² +4²) = √(9 + 16) = √25 = 5，辐角为 arg(z) = arctan(4/3)。
所以这个复数的三角形式可以表示为 5 * cos(arctan(4/3)) + 5 * sin(arctan(4/3)) * i。
二、复数的乘法复数的乘法可以根据分配律进行展开计算，具体步骤如下：1.将两个复数的实部和虚部分别相乘，得到两个部分的结果。
2.对两个部分的结果进行合并，实部与实部相减，虚部与虚部相加，得到最终的结果。
举例说明：设有两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的乘法运算为：z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)根据分配律，可以展开计算：z1*z2=a1*a2+a1*b2i+b1i*a2+b1i*b2i再合并结果：z1*z2=a1*a2-b1*b2+(a1*b2+b1*a2)i可以看出，复数的乘法运算结果也是一个复数，实部和虚部分别由原复数的四个部分相乘得到。
三、复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式来实现。
具体步骤如下：1.将除数和被除数都转换为三角形式。
2.将除数的模长取倒数，辐角取相反数，得到除数的倒数。
3.将两个复数的倒数相乘，得到最终的结果。
举例说明：设有两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的除法运算为：z=z1/z2首先将z1和z2转换为三角形式：z1 = r1 * cos(θ1) + r1 * sin(θ1) * iz2 = r2 * cos(θ2) + r2 * sin(θ2) * i然后计算除数的倒数：1/z2 = 1/r2 * cos(-θ2) + 1/r2 * sin(-θ2) * i最后将除数的倒数乘以被除数，得到最终结果：z=z1*(1/z2)= (r1 * cos(θ1) + r1 * sin(θ1) * i) * (1/r2 * cos(-θ2) +1/r2 * sin(-θ2) * i)= (r1 * 1/r2) * cos(θ1 - θ2) + (r1 * 1/r2) * sin(θ1 - θ2) * i可以看出，复数的除法运算结果也是一个复数，实部和虚部分别由原复数的模长和辐角相除得到。
复数的三角形式与指数形式知识点总结
复数的三角形式与指数形式知识点总结复数是由实部和虚部组成的数，其中虚部是以i表示的（i^2 = -1）。
复数可以用不同的形式来表达，常见的有三角形式和指数形式。
本文将对复数的三角形式和指数形式进行总结。
1. 三角形式（也称为极坐标形式）三角形式表示复数的模和辐角。
设复数为z = a + bi，其中a为实部，b为虚部。
那么复数z的三角形式可以表示为：z = r(cosθ + isinθ)其中，r为复数的模（r = |z| = √(a^2 + b^2)），θ为复数的辐角（θ = arctan(b/a)）。
2. 指数形式（也称为欧拉公式）指数形式利用欧拉公式将复数表示为指数和三角函数的形式。
复数的指数形式可以表示为：z = re^(iθ)其中，r为复数的模，θ为复数的辐角。
3. 三角形式与指数形式的相互转换将复数从三角形式转换为指数形式，可以利用欧拉公式：z = r(cosθ + isinθ)= re^(iθ)将复数从指数形式转换为三角形式，可以分别求出模和辐角：模r = |z| = √(a^2 + b^2)辐角θ = arctan(b/a)4. 三角形式与指数形式的运算使用三角形式和指数形式可以方便地进行复数的运算。
加法和减法：三角形式：直接将实部和虚部分别相加或相减。
指数形式：将两个复数的模相乘，辐角相加或相减。
乘法：三角形式：将两个复数的模相乘，辐角相加。
指数形式：直接将指数相乘。
除法：三角形式：将两个复数的模相除，辐角相减。
指数形式：直接将指数相除。
5. 三角形式和指数形式的应用三角形式和指数形式在电路分析、信号处理、量子力学等领域有广泛应用。
在电路分析中，使用复数形式可以方便地表示电压和电流之间的相位差；在信号处理中，使用复数形式可以方便进行频谱分析；在量子力学中，使用复数形式可以描述波函数的性质。
总结：复数的三角形式和指数形式是表示复数的两种常见形式。
三角形式以实部和虚部的形式表示复数，方便进行加减运算；指数形式以模和辐角的形式表示复数，方便进行乘除运算。
复数的三角形式 ppt课件
)式右端=-2cos (-cos -isin )=-2cos [cos(π+ )]+isin(π+ )]
∴ r=-2cos
< <π ∴ppt课件π<π+ <2π， ∴argZ=10π+
例 4．设 =z+ai(a∈R), z (1 4i)(1 i) 2 4i 且
向量oz所在的射线为终边的角θ，
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3
（二）复数的三角形式：
当a=rCosθ b=rSinθ
∴a+bi=rCosθ+iSinθ = r（Cosθ+iSin θ）
Y r
θ
Oa
Z(a,b)
·
b
X
则z=r（Cosθ+Sinθ）为复数的三角形式。
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4
复数的三角形式条件：
Z= r（Cosθ + i Sinθ ）
复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 1、复数的乘法
z1z2 [r1(cos1 i sin1)][r2(cos2 i sin2 )] r1r2(cos1 cos2 sin1 sin2 ) ir1r2(sin1 cos2 cos1 sin2 ) r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
把下列复数化成三角形式： （1）6 （2）-5 （3）2i （4）-I （5）-2+2i
解 (1)6(cos0+isin 0)
(2)5(cosπ +isiห้องสมุดไป่ตู้π )
32Cos iSin
复数的三角形式
复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(co sθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。
所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角想一想：复数的三角形式有哪些特征下列各式是复数的三角形式吗（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3）i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
复数的三角形式及运算
例
求下列复数的幅角主值：
（1） 3i （3）2 2i （2） 10 （4） 5i
r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin(1 2 )]
即是说，两个复数相乘，积还是一个复数，它的模 等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角 的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：
模数相乘，幅角相加
复数的三角形式乘法法则有如下推论
（1）有限个复数相乘，结论亦成立。即
（3） [2(cos50
i sin 50 )]
4
8 [cos( ) i sin( )] （4） 4 4
课堂小结
2 2 r a bi a b 1、复数的模
2、复数的幅角及幅角主值 arg Z
3、复数的三角形式 r (cos i sin )
4、复数三角形式与代数形式的互化
5、复数三角形式的乘法法则：模数相乘，幅角相加
6、复数三角形式的乘方法则：模数乘方，幅角 n 倍
7、复数三角形式的除法法则：模数相除，幅角相减
作业：
1 (1) (cos i sin ) 6(cos i sin ) 2 3 3 6 6
2 2 (2) 8(cos i sin ) 2(cos i sin ) 3 3
（2）当 Z1 Z 2 Z n Z 时，即
r1 r2 rn r , 1 2 n ，有 Z n [r (cos i sin )]n r n (cosn i sin n )
复数复数的三角表示pptx
在交流电路中，通过使用复数三角 表示，可以更容易地计算出负载和 源之间的阻抗匹配，从而提高电路 的性能。
在信号处理中的应用
信号调制
在信号处理中，可以使用复数三角表示来调制信号，例如使用正 弦和余弦波来调制信号，以实现更高效的信号传输。
滤波器设计
通过使用复数三角表示，可以设计出更精确的滤波器，从而更好 地过滤噪声和干扰。
对复数三角表示的总结
复数三角表示的背景
复数是一种扩展实数系统的数，它包括实数和虚数。三角表示是一种将复数表示为三角函数的形式。
复数三角表示的优点
三角表示具有一些优点，例如它可以方便地表示复数的领域中的应用价值。
复数三角表示的公式和定理
复数三角表示主要包括正弦、余弦和正切等三角函数。这些函数可以用欧拉公式和复数的乘法、加法运算进行表示。此外 ，还有一些关于复数三角表示的基本定理和公式，例如棣美弗定理和欧拉公式。
02
03
纠缠态描述
在量子力学中，纠缠态是一种重要的 概念。通过使用复数三角表示，可以 更容易地描述纠缠态的性质和演化。
04
复数三角表示的进一步讨 论
复数的指数表示
定义
复数z的指数表示形式为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r为z的模，θ为z 的辐角。
性质
指数表示形式具有旋转不变性，即若z=r(cosθ+i sinθ)，则z的旋 转不变量为arg(z)。
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是一个重要的技术。通过使用复数三角表 示，可以将信号转换为频域表示，从而更容易地分析信号的频率成 分。
在量子力学中的应用
量子态描述
在量子力学中，可以使用复数三角表示来描述量子态， 例如使用波函数来描述粒子的状态。
复数的三角形式与指数形式
其次，幅角θ应该占据
y a 中指数x的位置, x
对于虚数单位i，如果放到系数y的位置会怎样？
由于
(i ra x )2 r 2a2x
等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。
因此幅角θ也应该占据指数的位置。
这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）
4.2、复数的指数形式
3、复数的乘方。 利用复数的乘法不难得到
zn r n (cos n i sin n )
这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。
4.1、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
3、复数的乘方。
zn r n (cos n • i sin n )
这个运算在几何上可以用下面的方法进行：
将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角nθ，就得到zn。
•
这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：
对数函数与指数函数
axa y axy
loga ( xy) loga x loga y
前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和 。
从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些：
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
z rai
现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合
4.2、复数的指数形式
z1z2 (r1ai1 )(r2ai2 ) (r1r2 )a i(12 ) z1 z2 (r1ai1 ) (r2ai2 )• (r1 r2 )ai(12 )
zn (rai )n r nai(n )
乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征
4复数的三角形式与指数形式
4复数的三角形式与指数形式复数的三角形式和指数形式是描述复数的两种不同方式。
三角形式主要通过复数的模和辐角来表示，而指数形式则使用复数的指数函数形式表示。
本文将详细介绍这两种表示方法，并通过示例来说明它们的应用。
1.复数的三角形式：复数的三角形式表示为\[z = ，z，(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\]其中，$，z，$表示复数的模，$\theta$表示复数的辐角（也叫幅角或参数角），$i$为虚数单位。
复数的模表示复数的长度，或者可以认为是复数到原点的距离。
复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角（逆时针方向），一般用弧度来表示。
模和辐角可以由复数的实部和虚部计算得到：\[，z， = \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}\]\[\theta = \arctan(\frac{\mathrm{Im}(z)}{\mathrm{Re}(z)})\]其中，$\mathrm{Re}(z)$表示复数的实部，$\mathrm{Im}(z)$表示复数的虚部。
复数的三角形式具有以下性质：- 相等性质：如果复数$z$和$w$的模和辐角分别相等$，z，=，w，$，$\theta = \phi$，那么$z=w$。
- 乘法性质：两个复数$z_1$和$z_2$的乘积的模等于两个复数的模的乘积，辐角等于两个复数的辐角之和：$，z_1z_2，=，z_1，z_2，$，$\theta_{z_1z_2} = \theta_{z_1}+\theta_{z_2}$。
2.复数的指数形式：复数的指数形式表示为\[z = ，z，e^{i\theta}\]其中，$，z，$和$\theta$的定义与三角形式相同。
指数形式表示复数的主要特点是使用指数函数$e^x$来表示复数。
指数函数可以使用级数展开形式\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} + ...\]将$ix$代入级数展开式可得：\[e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} + ...\]因此，复数$，z，(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$可以写成$，z，e^{i\theta}$的形式。
复数运算复数的指数形式与三角形式
复数运算复数的指数形式与三角形式复数运算是数学中一个重要的概念，它在解决实际问题以及在物理、工程等学科中都有广泛的应用。
本文将介绍复数的指数形式与三角形式，并说明它们在复数运算中的作用。
一、复数的指数形式复数的指数形式可以用以下公式表示：z = r * e^(iθ)其中，z 表示复数，r 是模长（也称为复数的大小），e 是自然指数的底数，i 是虚数单位，θ 是辐角。
在指数形式中，复数的模长和辐角可以通过以下公式计算得到：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan(y/x)其中，(x, y) 表示复数的实部和虚部。
指数形式的主要特点是可以将复数表示为一个模长和一个辐角的乘积。
这种形式更方便进行复数的乘除运算，因为乘法可以将模长相乘，辐角相加，而除法可以将模长相除，辐角相减。
二、复数的三角形式复数的三角形式可以用以下公式表示：z = r * (cosθ + isinθ)三角形式采用三角函数的形式表示复数，其中，r 和θ 的计算方法同上述指数形式的计算方法一样。
三角形式的主要特点是可以用三角函数更直观地表示复数的几何特性，特别是在平面直角坐标系中。
在三角形式中，复数可以分解为一个实部和一个虚部，其中实部由余弦函数表示，虚部由正弦函数表示。
三、指数形式与三角形式的转换指数形式和三角形式是可以相互转换的，转换的方法如下：指数形式转换为三角形式：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan(y/x)z = r * (cosθ + isinθ)三角形式转换为指数形式：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan(y/x)z = r * e^(iθ)通过上述转换方法，可以在需要的时候方便地在指数形式和三角形式之间进行转换，以满足不同问题的需要。
综上所述，复数的指数形式与三角形式是复数运算中常用的表示方法。
指数形式适合进行复数的乘除运算，而三角形式则更直观地表示复数的几何特性。
在实际问题中，根据具体情况可以选择合适的形式进行运算和分析，以达到理论与实际相结合的目的。
第17讲 复数的三角形式(讲义)解析版
第17讲 复数的三角形式知识梳理1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值一般地，如果非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应点Z (a ，b )，且r 为向量OZ →的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，则r ＝|z | 根据任意角余弦、正弦的定义可知 cos θ＝a r ，sin θ＝b r.因此a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，如图所示，从而z ＝a ＋b i ＝(r cos θ)＋(r sin θ)i ＝r (cos θ＋isin θ)，上式的右边称为非零复数z ＝a ＋b i 的三角形式(对应地，a ＋b i 称为复数的代数形式)，其中的θ称为z 的辐角．显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z 2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 (1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)×r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n[cos(n θ)＋isin(n θ)].例题解析1.代数形式化为三角形式例1．（2021·浙江高一单元测试）把下列复数的代数形式化成三角形式. （1）； （2）.【答案】（1）（2）【分析】（1）先根据模公式 求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出()11arg 36π=，最后写成三角形式.（2）先根据模公式 求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出)7arg4π=，最后写成三角形式. 【详解】（1）.因为与对应的点在第四象限，所以()11arg 36π-=， 所以.（2）2r ==.因为与对应的点在第四象限，所以)7arg 4π=， 所以.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）复数化成三角形式，正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】直接根据特殊角的三角函数值计算可得; 【详解】解: 因为， 所以 故选：B【点睛】本题考查复数的基本概念，考查了复数的三角形式，属于基础题． 2．（2020·全国高一课时练习）复数的三角形式是 A ． B ． C ． D ． 【答案】A【分析】根据复数的三角形公式(cos sin )z r i θθ=+求解或利用定义直接求解即可. 【详解】解法一：设复数的三角形式为(cos sin )z r i θθ=+,则2r ==,,可取,从而复数的三角形式为.解法二：1⎡-=12222cos sin 2233i ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查了复数的三角形式,属于基础题.3．（2020·全国高一课时练习）复数（i 为虚数单位）的三角形式为（ ）A ．45cos 45)z i ︒︒=-B ．45isin 45)z ︒︒=-C ．D ．45)+sin(45)]z i ︒︒=--【答案】D【分析】复数的三角形式是，根据复数和诱导公式化简，化为复数的三角形式，再结合答案选择．【详解】解：依题意得， 复数对应的点在第四象限，且，因此，arg 315z ︒=，结合选项知D 正确， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的代数形式和三角形式的转化，主要利用诱导公式化简，注意两种形式的标准形式，式子中各个位置的符号，以及三角函数值的符号．总结规律：复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式．提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．2.三角形式化为代数形式例1．（2020·全国高一课时练习）“复数的模与辐角分别相等”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】要对充分性和必要性进行判断，注意辐角可以相差的整数倍即可. 【详解】当复数的模与辐角分别相等时，一定有，充分性成立； 但当时，与的辐角可以相等，也可以相差的整数倍，必要性不成立. 综上，“复数的模与辐角分别相等”是“”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查对复数三角形式的认知，要注意辐角是不唯一的.例2．（2020·河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中)0r θπ=≤<该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值． 【详解】， 所以辐角主值为． 故选：D ．例3．（2020·全国高一课时练习）已知复数z 1＝，z 2＝，则z 1z 2的代数形式是（ ） A ． B ． C ．－i D ．＋i【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解. 【详解】[cos()s in()]112626i ππππ=+++44cossin )i ππ=+ 故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.例4．（2020·全国高一课时练习）复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】化简55sincos 1818z i ππ=-+利用诱导公式化成标准形式再判断即可. 【详解】5577sin cos cos sin 181899z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为. 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的辐角主值的辨析,属于基础题.例5．（2020·全国高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． （1）4； （2）2【分析】（1）复数4为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式；（2）先把复数，转化为三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式；【详解】（1）复数4模r ＝4，辐角的主值为θ＝.4(cossin )66i ππ+4cos 4sin 66i ππ=+.（2），复数的模为2，辐角的主值为θ＝，552cos2sin 33i ππ=+. 【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）； （2）.【答案】（1）不是，（2）不是，.【分析】（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形式，需要借助诱导公式化简；（2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可. 【详解】（1）不是.（2）不是. .【点睛】本题考查复数的三角形式的辨识，以及化简复数为三角形式的能力，需要注意合理利用诱导公式.总结规律：复数的三角形式z ＝rcos θ＋isin θ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，.3.复数三角形式的乘、除运算例1．（2020·全国高一课时练习）计算： （1）； （2）1222cos sin 233i i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）；（2）【分析】直接根据复数代数形式的乘法与除法运算法则计算可得； 【详解】解：（1）223222i i ⎛⎫⎛⎫=-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）1222cos sin 233i i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题. 【巩固训练】2．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π32；(2)2(cos 75°＋isin 75°)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3.[解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π32＝(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 23π＋isin 23π ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)12－12i ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i ＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos 74π＋isin 74π，所以2(cos 75°＋isin 75°)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 512π＋isin 512π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 74π＋isin 74π＝2×22⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋74π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋74π ＝cos 2612π＋isin 2612π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i. (3)因为－12＋32i ＝cos 23π＋isin 23π，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 23π＋isin 23π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＝12⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝14＋34i. 总结规律：1．乘法法则：模相乘，辐角相加． 2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．4.复数三角形式乘、除运算的几何意义例1．（2020·全国高三二模（文））在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】设，根据三角函数的定义可求得、的值，进而可得出复数的值. 【详解】设，由题意知，，，所以， 故选：A ．【点睛】本题考查复数的求解，考查了三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题. 例2．（2020·全国高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是 A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先将复数写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可. 【详解】复数的三角形式是,向量对应的复数是2cos sin 332cos sin 66cos sin 22i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+故选：A【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.例3．（2020·全国高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是 A ．2i B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据复数的三角形式运算求解即可. 【详解】复数的三角形式是,向量对应的复数cos sin 22i ππ⎫=+=⎪⎭故选：B【点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算,属于基础题.例4．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）. 【答案】【分析】根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可. 【详解】与所得向量对应的复数为 = .【点睛】本题考查复数三角形式乘法的意义，属基础题.例5．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求()tan αβ+. 【答案】【分析】根据题意，写出复数的三角形式，由重心坐标的计算公式，可得重心对应的复数的形式，结合题目已知条件，即可求解.【详解】由题意，可知12cos sin ,cos sin z i z i ααββ=+=+. ∵的重心对应的复数为， ∴，即， ∴， ∴，∴()22tan52tan 121tan 2αβαβαβ++==+-.【点睛】本题综合考查复数的三角形式的理解和认知，属三角形式中的中档题.注意本题中还涉及和差化积公式.例6．（2020·全国高一课时练习）设复数12sin cos 42z i ππθθθ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭在复平面上对应向量，将向量绕原点O 按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数()2cos isin z r ϕϕ=+，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出. 【详解】因为，所以1z ⎫=，设cos β=，sin β=，，则cos tan 2sin θβθ=，即r =5cos cos 4πϕβ⎛⎫=+⎪⎝⎭，5sin sin 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故5sin 54tan tan tan 544cos 4πβππϕββπβ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将、化为三角形式然后再计算. 【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【分析】根据复数除法的意义，进行计算即可.【详解】与所得向量对应的复数为()()443cos15sin15i i +÷︒+︒.【点睛】本题考查复数的除法的意义，属基础题.2．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，求复数（用代数形式表示）.【答案】【分析】把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°得到()()cos45isin 45i =︒+︒⨯-z ，再把三角形式转化为代数形式运算，整理为 的形式.【详解】由题意得.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.总结规律：两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量，，然后把向量绕点O 按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量，表示的复数就是积z 1z 2.5.三角形式下复数的乘方与开方【巩固训练】1．（2020·全国）复数（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】由复数的三角形式得2222cos sin 44i i ππ+=+（），=，代入运算可得选项. 【详解】2222cos sin 44i i ππ+=+（），故，4651222552(cos sin)33iππ⎛⎫- ⎪-===-⎝⎭⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查复数的三角形式的运算，属于基础题.2．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：（1）()5cos36sin36i-︒+︒；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】根据复数的乘方及乘法法则计算可得；【详解】解：（1）()5cos36sin36i-︒+︒()5111cos180sin180cos36sin36ii===-︒+︒︒+︒（2）【点睛】本题考查复数代数形式的乘方运算及除法运算，属于中档题. 3．（2020·全国高一课时练习）计算的值.【答案】【分析】根据复数三角形式的乘方运算及代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解:5532sin cos i ππ⎛⎫+ ⎪=)13228i i ⎛⎫ ⎪==-+ 【点睛】本题考查复数三角形式的乘方运算及代数形式的除法运算，属于基础题.反思总结：知识：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等．方法：两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广；(1)有限个复数相乘，结论亦成立．即z 1·z 2…z n ＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)…r n (cos θn ＋isin θn )＝r 1·r 2…r n [cos(θ1＋θ2＋…＋θn )＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn )]．(2)当z 1＝z 2＝…＝z n ＝z 时，即r 1＝r 2＝…＝r n ＝r ，θ1＝θ2＝…＝θn ＝θ，有z n＝[r (cos θ＋isin θ)]n ＝r n [cos(n θ)＋isin(n θ)]，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n 倍．。
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例1：把下列复数代数式化成三角式：
1 3 i
解r 3 1 2 3 i对应的点在第一象限
cos 3 即
2
6
3 i 2 Cos iSin
6
6
21 i
解 r 1 1 2 而1 i对应的点在第四
例2：将下列复数化为三角形式；
① 2 Cos
5
iSin
5
2
Cos
9
5
iSin 9
5
② 2 Sin 3
4
iCos 3
4
2
Cos
7
4
iSin 7
4
③
1 Cos
2
3
iSin
3
1 2
Cos
4
3
iSin 4
3
④ 2 Cos
5
iSin
5
2
Cos
4
5
iSin 4
5
（四）课堂练习：
把下列复数化成三角形式： （1）6 （2）-5 （3）2i （4）-I （5）-2+2i
解 (1)6(5(cosπ +isinπ )
幂，幅角n倍。
三、复数的指数形式
• 欧拉公式：cos i sin ei 指数形式：r(cos i sin ) r ei
复数的三角形式
彭良香
复习引入新课：
①复数的表示的三种方法： 代数式a+bi
点z（a，b） 向量oz
y Z（a，b）
r
b
o
a
x
②Z=a+bi所对应的向量oz a为复数的实部 b为复数的虚部
r=√a2+b2 为复数的模
㈠复数辐角的概念：
Y
·Z(a,b)
r
b
θ
O
a
X
①以x轴的正半轴为始边， 向量oz所在的射线为终边的角θ，
（二）复数的三角形式：
当a=rCosθ b=rSinθ
∴a+bi=rCosθ+iSinθ = r（Cosθ+iSin θ）
Y r
θ
Oa
Z(a,b)
·
b
X
则z=r（Cosθ+Sinθ）为复数的三角形式。
复数的三角形式条件：
Z= r（Cosθ + i Sinθ ）
①r≥0。 ②加号连接。
③Cos在前，Sin在后。
cos
1 i
1 2 7
2
2
4
2 Cos 7 iSin 7
4
4
想一想：代数式化三角式的步骤
（1）先求复数的模 （2）决定辐角所在的象限 （3）根据象限求出辐角 （4）求出复数三角式。
小结：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值这既使 表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值。
32Cos iSin
2
2
4Cos 3 iSin 3
2
2
52 2 Cos 3 iSin 3
4
4
二、复数三角形式的乘法和除法
• 乘法法则：模相乘， 幅角相加。
• 除法法则：模相除，幅角相减。
棣莫佛定理：复数的n次幂，等于模n次