最新初三九年级数学上册数学压轴题专题练习(解析版)

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动点的函数图象问题(压轴题专项讲练)解析版—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(浙教版)

动点的函数图象问题(压轴题专项讲练)解析版—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(浙教版)

动点的函数图象问题数形结合思想:所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关:(1)实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

【典例1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD=2,CD⊥AB于点D,点E、F、G分别是边CD、CA、AD的中点,连接EF、FG,动点M从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向点A方向运动(点M运动到AB的中点时停止);过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P,以PM为斜边作Rt△PMN,点N在AB 上,设运动的时间为t(s),Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S,则S与t之间的函数关系图象大致为()A.B.C.D.本题考查几何动点问题的函数图象,正确分段并分析是解题的关键.根据题意先分段,分为0≤t≤0.5,0.5<t≤1,1<t≤2三段,分别列出三段的函数解析式便可解决,本题也可只列出0≤t≤0.5,1<t≤2两段,用排除法解决.解:分析平移过程,①从开始出发至PM与点E重合,由题意可知0≤t≤0.5,如图,则BM=2t,过点M作MT⊥BC于点T,∵∠B=60°,CD⊥AB,∴BC=2BD=4,CD==BT=12BM=t,∵∠ACB=90°,MP∥BC,∴∠ACB=∠MPA=90°,∴四边形CTMP为矩形,∴PM=CT=BC―BT=4―t,∵∠PMN=∠B=60°,PN⊥AB,∴MN=PM2=4―t2,∴DN=MN―MD=MN―BD+BM=3t2,∵E为CD中点,∴DE=CD2=∴S=DE⋅DN=∴S与t的函数关系是正比例函数;②当0.5<t≤1,即从PM与E重合至点M与点D重合,如图,由①可得QN=ED=DM=2―2t,DN=32t,S矩形EDNQ=∵∠PMN=∠B=60°,CD⊥AB,∴SD==,∴ES=ED―SD=∴ER ==2t ―1,∴S =S 矩形EDNQ ―S △ERS =12(2―2t ―1)=―2+此函数图象是开口向下的二次函数;③当1<t ≤2,即从点M 与点D 重合至点M 到达终点,如图,由①可得DN =32t ,MN =4―t 2,∵AD ==6, DG =12AD =3,∴NG =DG ―DN =3―32t ,∴QF =NG =3―32t ,∴PQ==,∴HQ ==1―12t ,∴S =(HQ+MN )×QN 2==―∴S 与t 的函数关系是一次函数,综上,只有选项A 的图象符合,故选:A .1.(2024·四川广元·二模)如图,在矩形ABCD 中,AB =4cm ,AD =2cm ,动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动,同时动点N 自点A 出发沿折线AD -DC -CB 以每秒2cm 的速度运动,到达点B 时运动同时停止.设△AMN的面积为y (cm2),运动时间为x (秒),则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是( )A.B.C.D.【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象问题;根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键.根据题意,分三段(0<x<1,1≤x<3,3≤x<4)分别求解y与x的解析式,从而求解.【解题过程】解:当0<x<1时,M、N分别在线段AB、AD上,此时AM=x cm,AN=2x cm,y=S△AMN=12×AM×AN=x2,为二次函数,图象为开口向上的抛物线;当1≤x<3时,M、N分别在线段、CD上,此时AM=x cm,△AMN底边AM上的高为AD=2cm,y=S△AMN=12×AM×AD=x,为一次函数,图象为直线;当3≤x<4时,M、N分别在线段AB、BC上,此时AM=x cm,△AMN底边AM上的高为BN=(8―2x)cm,y=S△AMN=12×AM×BN=12x(8―2x)=―x2+4x,为二次函数,图象为开口向下的抛物线;结合选项,只有A选项符合题意,故选:A.2.(22-23九年级上·安徽合肥·期中)如图,在△ABC中,∠C=135°,AC=BC=P为BC边上一动点,PQ∥AB交AC于点Q,连接BQ,设PB=x,S△BPQ=y,则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.【思路点拨】过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E,根据S△BPQ=y=12QE⋅BP列出解析式再判断即可.【解题过程】解:如图,过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E,∵AC =BC =∴∠A =∠ABC∵PQ∥AB ,∴∠CQP =∠A,∠CPQ =∠ABC∴∠CQP =∠CPQ∴CQ =CP =―x .∵∠ACB =135°∴∠ECQ =45°在Rt △CEQ 中,∠ECQ =45°,∴QE ==―x )=2―,∴y =12QE ⋅BP =12x 2x =―2+x =――2+∴当x =y 最大值=故选:C.3.(2024·河北石家庄·二模)如图所示,△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形,点A 从点D 运动到点E 的过程中,AB 和DF 相交于点G ,AC 和EF 相交于点H ,(S △BGF +S △FCH )为纵坐标y ,点A 移动的距离为横坐标x ,则y 与x 关系的图象大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】如图,过G 作GK ⊥BC 于K ,过H 作HT ⊥BC 于T ,证明四边形ACFD 为平行四边形,可得AD =CF =x ,BF =4―x ,求解CT =FT =12x ,TH ==,同理可得:GK =―x ),再利用面积公式建立函数关系式即可判断.【解题过程】解:如图,过G 作GK ⊥BC 于K ,过H 作HT ⊥BC 于T ,由题意可得:AD∥CF ,DF∥AC ,∴四边形ACFD 为平行四边形,∴AD =CF =x ,∴BF =4―x ,∵△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形,AD∥CF ,∴∠D =∠DFB =60°,而∠B =60°,∴△BGF 为等边三角形,同理:△CFH 为等边三角形,∵HT ⊥BC ,∴CT =FT =12x ,TH ==,同理可得:GK =―x ),∴y =12x +12(4―x )⋅―x )=2―+故选B4.(2023·辽宁铁岭·模拟预测)如图,矩形ABCD 中,AB =8cm ,AD =12cm ,AC 与BD 交于点O ,M 是BC 的中点.P 、Q 两点沿着B→C→D 方向分别从点B 、点M 同时出发,并都以1cm/s 的速度运动,当点Q 到达D 点时,两点同时停止运动.在P 、Q 两点运动的过程中,与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是( )A .B .C .D .【思路点拨】本题考查了动点问题函数图象.根据矩形的性质求出点O 到BC 的距离等于4,到CD 的距离等于6,求出点Q 到达点C 的时间为6s ,点P 到达点C 的时间为12s ,点Q 到达点D 的时间为14s ,然后分①0≤t ≤6时,点P 、Q 都在BC 上,表示出PQ ,然后根据三角形的面积公式列式计算即可;②6<t ≤12时,点P 在BC 上,点Q 在CD 上,表示出CP 、CQ ,然后根据S ΔOPQ =S ΔCOP +S ΔCOQ ―S ΔPCQ 列式整理即可得解;③12<t ≤14时,表示出PQ ,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.【解题过程】解:∵矩形ABCD 中,AB =8cm ,AD =12cm ,AC 与BD 交于点O ,∴点O 到BC 的距离=12AB =4,到CD 的距离=12AD =6,∵点M 是BC 的中点,∴CM =12BC =6,∴点Q到达点C的时间为6÷1=6s,点P到达点C的时间为12÷1=12s,点Q到达点D的时间为(6+8)÷1=14s,①0≤t≤6时,点P、Q都在BC上,PQ=6,△OPQ的面积=12×6×4=12;②6<t≤12时,点P在BC上,点Q在CD上,CP=12―t,CQ=t―6,SΔOPQ=SΔCOP+SΔCOQ―SΔPCQ,=12×(12―t)×4+12×(t―6)×6―12×(12―t)×(t―6),=12t2―8t+42,=12(t―8)2+10,③12<t≤14时,PQ=6,△OPQ的面积=12×6×6=18;纵观各选项,只有B选项图形符合.故选:B.5.(2023·江苏南通·模拟预测)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E为AB中点,动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止,动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动,与点P同时出发,同时停止;这两点的运动速度均为每秒1个单位;若设他们的运动时间为x(s),△EPQ的面积为y,则y与x之间的函数关系的图像大致是()A.B.C.D.【思路点拨】先求出点P在BC上运动是时间为6秒,点Q在CD上运动是时间为4秒,再根据中点的定义可得AE =BE =12AB ,然后分①点Q 在CD 上时,表示出BP 、CP 、CQ ,再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ,列式整理即可得解;②点Q 在AD 上时,表示出BP 、AQ ,再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ,列式整理即可得解,再根据函数解析式确定出函数图象即可.【解题过程】解:∵点P 、Q 的速度均为每秒1个单位,∴点P 在BC 上运动的时间为6÷1=6(秒),点Q 在CD 上运动的时间为4÷1=4(秒),∵E 为AB 中点,∴AE =BE =12AB =12×4=2,①如图1,点Q 在CD 上时,0≤x ≤4,则BP =x,CP =6―x,CQ =x ,∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ,=12(2+x )×6―12×2x ―12(6―x )⋅x =12x 2―x +6=12(x ―1)2+112②如图2,点Q 在AD 上时,4<x ≤6,则BP =x,AQ =6+4―x =10―x ,∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ,=12(x +10―x )×4―12×2x ―12(10―x )⋅2=10,综上所述,y =2―x +6(0≤x ≤4)10(4<x ≤6),函数图象为对称轴为直线x =1的抛物线的一部分加一条线段,只有A 选项符合.故选:A .6.(2024·河南开封·一模)如图1,在△ABC 中,∠B =60°,点D 从点B 出发,沿BC 运动,速度为1cm/s .点P 在折线BAC 上,且PD ⊥BC 于点D .点D 运动2s 时,点P 与点A 重合.△PBD 的面积S (cm 2)与运动时间t (s)的函数关系图象如图2所示,E 是函数图象的最高点.当S (cm 2)取最大值时,PD 的长为( )A .B .(1+cm C .(1+cm D .(2+cm【思路点拨】本题考查动点函数图象,二次函数图象性质,三角形面积.本题属二次函数与几何综合题目.先根据点D 运动2s 时,点P 与点A 重合.从而求得PD ==,再由函数图象求得BC =(2+×1=(2+cm ,从而求得DC =BC ―BD =2+2=,得出PD =DC ,然后根据由题图2点E 的位置可知,点P 在AC 上时,S △PBD 有最大值.所以当2≤t ≤2+点P 在AC边上,此时BD =t ×1=t (cm),PD =DC =(2+―t )cm ,根据三角形面积公式求得S △PBD =―12t ―(13)2+2+【解题过程】解:由题意知,点D 运动2s 时,点P ,D 的位置如图1所示.此时,在Rt △PBD 中,BD =2cm ,∠B =60°,PD ⊥BC ,∴PB =2BD =4(cm),∴PD ==.由函数图象得BC =(2+×1=(2+cm ,∴DC =BC ―BD =2+2=,∴PD =DC .由题图2点E 的位置可知,点P 在AC 上时,S △PBD 有最大值.当2≤t ≤2+P 在AC 边上,如图2,此时BD =t ×1=t (cm),PD =DC =(2+―t )cm ,∴S △PBD =12×BD ×PD =12×t ×(2+t )=―12t 2+(1+t .∵S △PBD =――(1+3)2+2+又∵―12<0,∴当t =1+S △PBD 的值最大,此时PD =CD =2+―(1+=(1+cm .故选:B .7.(2024·安徽·一模)如图,在四边形ABCD 中,∠A =60°,CD ⊥AD ,∠BCD =90°, AB =BC =4,动点P ,Q 同时从A 点出发,点Q 以每秒2个单位长度沿折线A ―B ―C 向终点C 运动;点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动,当其中一点运动至终点时,另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒,△APQ 的面积为y 个平方单位,则y 随x 变化的函数图象大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】分当0≤x <2时,点Q 在AB 上和当2≤x ≤4时,点Q 在BC 上,根据三角形的面积公式即可得到结论.【解题过程】解:过Q 作QN ⊥AD 于N ,当0≤x <2时,点Q 在AB 上,∵∠A =60°,∴∠AQN =90°―60°=30°,∴AN = 12AQ =12×2x =x ,∴QN ==,∴y =12×AP ×NQ =12×x ×=2,当2≤x ≤4时,点Q 在BC 上,过点B 作BM ⊥AD 于点M ,∵BM ⊥AD ,∠A =60°,∴∠ABM =30°,∴AM = 12AB =12×4=2,∴BM ==∵CD ⊥AD ,QN ⊥AD ,∴QN ∥CD ,∴∠BQN =∠BCD =90°,∵BM ⊥AD, CD ⊥AD ,∴四边形BMNQ 是矩形,∴QN =BM = ,y =12AP ⋅QN =12x ×=,综上所述,当0≤x <2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分,当2≤x ≤4时,函数图象是直线的一部分,故选:D .8.(23-24九年级上·浙江温州·期末)某兴趣小组开展综合实践活动:在Rt △ABC 中,∠C =90°,CD =,D 为AC 上一点,动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发,在三角形边上沿C→B→A 匀速运动,到达点A 时停止,以DP 为边作正方形DPEF ,设点P 的运动时间为t s ,正方形DPEF 的面积为S ,当点P 由点C 运动到点A 时,经探究发现S 是关于t 的二次函数,并绘制成如图2所示的图象,若存在3个时刻t 1,t 2,t 3(t 1<t 2<t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等,当t 3=5t 1时,则正方形DPEF 的面积为( )A .3B .349C .4D .5【思路点拨】由题意可得:CD =CP =t ,当点P 在BC 上运动时S =t 2+2,由图可得,当点P 与点B 重合时,S =6,求出t=2,即BC=2,当P在BA上时,由图可得抛物线过点2,6,顶点为4,2,求出抛物线解析式为S=(t―2)2+2,从两个函数表达式看,两个函数a相同,都为1,则从图象上看t1,t2关于x=2对称,t2,t3关于x=4对称,t1+t2=4①,t2+t3=8②,结合t3=5t1③,求出t的值即可得出答案.【解题过程】解:由题意可得:CD=CP=t,当点P在BC上运动时,S=DP2=CP2+CD2=t2+2,由图可得,当点P与点B重合时,S=6,∴t2+2=6,∴t=2或t=―2(不符合题意,舍去),∴BC=2,当P在BA上时,由图可得抛物线过点2,6,顶点为4,2,则抛物线的表达式为S=a(t―4)2+2,将2,6代入得:a(2―4)2+2=6,∴a=1,∴抛物线的表达式为:S=(t―4)2+2,从两个函数表达式看,两个函数a相同,都为1,若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2t3)对应的正方形DPEF的面积均相等,则从图象上看t1,t2关于x=2对称,t2,t3关于x=4对称,∴t1+t2=4①,t2+t3=8②,∵t3=5t1③,由①③③解得t1=1,∴S=t2+2=1+2=3,故选:A.9.(22-23九年级上·浙江嘉兴·期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BC=6,点O为AC 中点,点D为线段AB上的动点,连接OD,设BD=x,OD2=y,则y与x之间的函数关系图像大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,先根据直角三角形的性质求得AB =12,AC =OA =12AC =AE ==92可得DE =152―x ,然后再根据勾股定理求得函数解析式,最后确定函数图像即可.【解题过程】解:如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E∵∠C =90°,∠ABC =60°∴∠A =30°∵BC =6∴AB =2BC =12∴AC ===∵点O 为AC 中点∴OA =12AC =∵∠A =30°∴OE =12AO =∴AE ===92∴DE =|152―x |∴OD 2=OE 2+DE 2,即y =+―x 2=x +274当x =0时,y =0―+274=63当x =152时,y =―+274=274当x =12时,y =12+274=27则函数图像为.故选C .10.(2024·广东深圳·三模)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =12,BC =8,点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点,点M 和点N 分别从点A 和点E 出发,沿着A→C→B 方向运动,运动速度都是1个单位/秒,当点N 到达点B 时,两点间时停止运动.设△DMN 的面积为S ,运动时间为t ,则S 与t 之间的函数图象大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】本题主要考查动点问题,依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想,取BC 的中点F,连接DF 根据题意得到DF 和DE ,分三种情况讨论三角形的面积:(1)当0<t ≤6时,得MN =AE =6,结合三角形面积公式求解即可;(2)当6<t ≤12时,得AM ,MC ,CN 和BN ,结合S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN ;(3)当12<t ≤14时,点M 、N 都在BC 上,结合DF 和MN 求面积即可.【解题过程】解:如图,取BC 的中点F ,连接DF ,∴DF ∥AC ,DF =12AC =6∵点D 、E 是中点,∴DE =12BC =4,DF ∥CB ,∵∠C =90°,∴四边形DECF 为矩形,当0<t ≤6时,点M 在AE 上,点N 在EC 上,MN =AE =6,∴S =12MN ⋅DE =12×6×4=12;如图,当6<t ≤12时,点M 在EC 上,点N 在BC 上,∵AM =t ,∴MC =12―t ,CN =t ―6,BN =14―t ,∴S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN=12×8×12―12×4t ―12×6(14―t)―12(12―t)(t ―6)=12t 2―8t +42;如图,当12<t ≤14时,点M 、N 都在BC 上,∴S =12MN ⋅DF =12×6×6=18,综上判断选项A 的图象符合题意.故选:A .11.(2024·河南南阳·二模)如图是一种轨道示意图,其中A 、B 、C 、D 分别是菱形的四个顶点,∠A =60°.现有两个机器人(看成点)分别从A ,C 两点同时出发,沿着轨道以相同的速度匀速移动,其路线分别为A→B→C 和C→D→A .若移动时间为t ,两个机器人之间距离为d .则 d²与t 之间的函数关系用图象表示大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】设菱形的边长为2,根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式,再利用二次函数的性质即可解答.【解题过程】解:①设AD=2,如图所示,∵移动时间为t,∠A=60°,∴CK=1,FT=KB=∴AE=t,CF=2―t,∴FK=2―t―1=1+t,∴ET=2―t―(1+t)=1+2t,∴在Rt△EFT中,EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+2=4t2+4t+4;②设AD=2,如图所示,∵移动时间为t,∠A=60°,∴BM=t―2,CM=2―(t―2)=4―t,CP=1,PD=LQ=∴MQ=CM―CQ=(4―t)―1=―t,∴在Rt△LMQ中,ML2=MQ2+LQ2=(3―t)2+2=t2―6t+12,∴函数图像为两个二次函数图象;③当从A出发的机器人在B点,从C出发的机器人在D点,此时距离是BD;从A出发的机器人在A点,从C出发的机器人在C点,此时距离是AC;∵设AD=2,∠A=60°,∴BD=2,AE=∴AC=2AE=∴BD<AC,∴函数图象的起点和终点高于中间点;综上所述:A项符合题意;故选A.12.(2024·山东聊城·二模)如图,等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中,现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动,平移距离为x,点C到达点F为止,等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S,则S关于x的函数图象大致为()A.B.C.D.【思路点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象,二次函数的图象,等腰三角形的性质等知识,如图,作AQ⊥BC于点Q,可知AQ=0<x≤1或1<x≤2或2<x≤3三种情形,分别求出重叠部分的面积,即可得出图象.【解题过程】解:如图①,设AC与DE交于点H,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=2,BC=1,过点A作AQ⊥BC于点Q,则BQ=CQ=12∴AQ===∵四边形DEFG 是矩形,∴∠DEF =90°,DE =AQ ==OF ―OE =5―2=3,当0<x ≤1时,在Rt △HCE 中,∠ACE =60°,EC =x,∴∠CHE =30°,∴HC =2x ,∴HE ===∴S =12EC ×HE =12x ×=2,所以,S 关于x 的函数图象是顶点为原点,开口向上且在0<x ≤1内的一段;当1<x ≤2时,如图,设AB 与DE 交于点P ,∵EC =x,BC =2,∴BE =BC ―EC =2―x,同理可得,PE =x ―2),∴S =S △ABC ―S △PBE =12×2―12(2―x )⋅―x )=―x ―2)2+所以,图象为1<x ≤2时开口向下的一段抛物线索;当2<x ≤3时,如图,S =12×2×=此时的函数图象是在2<x≤3范围内的一条线段,即S=<x≤3),故选:C13.(2024·河南·模拟预测)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,BD是AC边上的中线,将△BCD 沿射线BA方向匀速平移,平移后的三角形记为△B1C1D1,设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y,平移距离为x,当点B1与点A重合时,△B1C1D1停止运动,则下列图象最符合y与x之间函数关系的是()A.B.C.D.【思路点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合,涉及等腰直角三角形,平移的性质,二次函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用这些性质,学会分类讨论.过点D作DM⊥AB于M,由△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,可设AB=BC=2,可得AD=CD=BD=DM=AM=BM=1,然后分情况讨论:当0<x≤1时,当1<x≤2时,分别求出关于S、x的函数,再数形结合即可求解.【解题过程】解:过点D作DM⊥AB于M,∵△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,∴ AB =BC ,设AB =BC =2,∴ AD =CD =BD =DM =AM =BM =1,当0<x ≤1时,设B 1D 1交AC 于点G ,B 1C 1交BD 于N ,∴ AB 1=AB ―BB 1=2―x ,由平移知B 1G ∥BD ,∠AB 1G =∠ABD ,∴ △AB 1G 是等腰直角三角形,∴ S △AB 1G =12AB 1·12AB 1=14(2―x )2,又∵ S △ABD =12×12×2×2=1,S △BB 1N =12x 2∴ S =S △ABD ―S △AB 1G ―S △BB 1N =1―14(2―x )2―12x 2=―34x 2+x ,当x =―=23时取得最大值,故排除A 、B 选项当1<x ≤2时,B 1D 1交AC 于点G ,B 1C 1交AC 于点H ,∵ B 1H ∥BC ,∴ ∠B 1HG =∠ACB =45°,又∵ ∠D 1B 1C 1=45°,∴ △B 1GH 为等腰三角形,∵ ∠AB 1D 1=∠ABD =45°=∠A ,∴ AB 1G 为等腰三角形,∴ B 1G =1=―x ),∴ S =S △B 1GH =12·―x )―x )=14(2―x )2,即当1<x ≤2时,函数图像为开口向上的抛物线,故排除C 选项故选:D .14.(23-24九年级上·安徽滁州·期末)如图,菱形ABCD的边长为3cm,∠B=60°,动点P从点B出发以3cm/ s的速度沿着边BC―CD―DA运动,到达点A后停止运动;同时动点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动,到达点A后停止运动.设点P的运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象为()A.B.C.D.【思路点拨】根据题意可知分情况讨论,分别列出当点P在BC上时,点P在CD上时,点P在AD上时表达式,再画图得到函数解析式,即可得到本题答案.【解题过程】解:设点P的运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),①当0≤x≤1时,点P在BC上时,过点P作PE⊥BA,,∵根据题知:∠B =60°,PB =3x,BQ =x ,∴BE =32x ,PE =,∴y =12BQ·PE =12x·=2;②当1<x ≤2时,点P 在CD 上时,过点P 作PH ⊥BA ,,∵根据题知:∠B =60°,BC =3,BQ =x ,∴PH =∴y =12BQ·PH =12x·=;③当2<x ≤3时,点P 在AD 上时,过点P 作PF ⊥BA 交DA 延长线于F ,,∵根据题知:∠B =60°,即∠FAD =60°,∵BC +CD +AD =3+3+3=9cm ,BC +CD +DP =3x ,∴AP =(9―3x)cm ,∴PF =9―3x 2·∴y =12BQ·PF =12x·9―3x 2·=―2;∴结合三种情况,图像如下所示:,故选:D.15.(2023·辽宁盘锦·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上,顶点B、C在x轴的正半轴上,D,P(―1,―1).点M在菱形的边AD和DC上运动(不与点A,C重合),过点M作MN∥y轴,与菱形的另一边交于点N,连接PM,PN,设点M的横坐标为x,△PMN的面积为y,则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是()A.B.C.D.【思路点拨】先根据菱形的性质求出各点坐标,分M的横坐标x在0∼1,1∼2,2∼3之间三个阶段,用含x的代数式表示出△PMN的底和高,进而求出分段函数的解析式,根据解析式判断图象即可.【解题过程】解:∵菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上,顶点B 、C 在x 轴的正半轴上,∴ AB =AD =2,OA=∴ OB===1,∴ OC =OB +BC =1+2=3,∴ A ,B (1,0),C (3,0),设直线AB 的解析式为y =kx +b ,将A ,B (1,0)代入,得:k +b = ,解得k =b =∴直线AB 的解析式为y =―+∵ MN∥y 轴,∴N 的横坐标为x ,(1)当M 的横坐标x 在0∼1之间时,点N 在线段AB 上,△PMN 中MN 上的高为1+x ,∴ N (x,―+,∴ MN=(―+=,∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=⋅(1+x)=2+,∴该段图象为开口向上的抛物线;(2)当M 的横坐标x 在1∼2之间时,点N 在线段BC 上,△PMN 中MN =MN 上的高为1+x ,∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x)=(1+x)=∴该段图象为直线;(3)当M 的横坐标x 在2∼3之间时,点N 在线段BC 上,△PMN 中MN 上的高为1+x ,由D ,C (3,0)可得直线CD 的解析式为y =―+∴ M (x,―+,N (x,0),∴ MN =―+∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=12(+⋅(1+x )=―2∴该段图象为开口向下的抛物线;观察四个选项可知,只有选项A 满足条件,故选A .16.(22-23九年级上·安徽蚌埠·期末)如图,在平面直角坐标系中,点A (2,0),点B,点C (―,点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动,点Q从点O出发沿O→C→B的速度运动,当一个点到达终点时另一个点随之停止运动,设y=PQ2,运动时间为t秒,则正确表达y与t 的关系图象是()A.B.C.D.【思路点拨】先分析各个线段的长,在Rt△OAB中,可知,OA=2,OB AB=4,∠BAO=60°,过点C作CM⊥y轴于点M,易得△OBC是等边三角形,OC=BC=OB P在OA上运动用时2s,在AB上运动用时4s,点Q在OC上运动用时2s,在OC上运动用时2s,则点P和点Q共用时4s,可排除D选项;再算出点P在OA上时,y的函数表达式,结合选项可得结论.【解题过程】解:如图,∵点A(2,0),点B(0,∴OA=2,OB∴AB=4,∠BAO=60°,过点C作CM⊥y轴于点M,则OM =BM CM =3,∴OC =BC ∴△OBC 是等边三角形,∠BOC =60°,∴点P 在OA 上运动用时2s ,在AB 上运动用时4s ,点Q 在OC 上运动用时2s ,在OC 上运动用时2s ,即点P 和点Q 共运动4s 后停止;由此可排除D 选项.当点P 在线段OA 上运动时,点Q 在线段OC 上运动,过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ,由点P ,点Q 的运动可知,OP =t ,OQ ,∴QN =12OQ ==32t,∴PN =52t,∴y =PQ 2=(52t)2+2=7t 2.即当0<t <2时,函数图象为抛物线,结合选项可排除A ,C .故选:B .17.(2022·辽宁·中考真题)如图,在等边三角形ABC 中,BC =4,在Rt △DEF 中,∠EDF =90°,∠F =30°,DE =4,点B ,C ,D ,E 在一条直线上,点C ,D 重合,△ABC 沿射线DE 方向运动,当点B 与点E 重合时停止运动.设△ABC 运动的路程为x ,△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ,则能反映S 与x 之间函数关系的图象是( )A.B.C.D.【思路点拨】分三种情形∶①当0<x≤2时,△CDG,②当2<x≤4时,重叠部分为四边形AGDC,③当4<x≤8时,重叠部分为△BEG,分别计算即可.【解题过程】解:过点A作AM⊥BC,交BC于点M,在等边△ABC中,∠ACB=60°,在Rt△DEF中,∠F=30°,∴∠FED=60°,∴∠ACB=∠FED,∴AC∥EF,在等边△ABC中,AM⊥BC,BC=2,AM=∴BM=CM=12BC•AM=∴S△ABC=12①当0<x≤2时,设AC与DF交于点G,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG,由题意可得CD=x,DGCD•DG2;∴S=12②当2<x≤4时,设AB与DF交于点G,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC,由题意可得:CD=x,则BD=4﹣x,DG4﹣x),×(4﹣x)4﹣x),∴S=S△ABC﹣S△BDG=﹣12∴S=2﹣x﹣4)2③当4<x≤8时,设AB与EF交于点G,过点G作GM⊥BC,交BC于点M,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG,由题意可得CD =x ,则CE =x ﹣4,DB =x ﹣4,∴BE =x ﹣(x ﹣4)﹣(x ﹣4)=8﹣x ,∴BM =4﹣12x在Rt △BGM 中,GM 4﹣12x ),∴S =12BE •GM =12(8﹣x )4﹣12x ),∴S x ﹣8)2,综上,选项A 的图像符合题意,故选:A .18.(2023·山东聊城·三模)如图(1)所示,E 为矩形ABCD 的边AD 上一点,动点P ,Q 同时从点B 出发,点P 沿折线BE ―ED ―DC 运动到点C 时停止,点Q 沿BC 运动到点C 时停止,它们运动的速度都是1cm/秒,设P ,Q 同时出发t 秒时,△BPQ 的面积为y cm 2.已知y 与t 的函数关系图像如图(2)(曲线OM 为抛物线的一部分),则下列结论不正确的是( )A .AB:AD =4:5B .当t =2.5秒时,PQ =C .当t =294时,BQ PQ =53D .当△BPQ 的面积为4cm 2时,t 或475秒【思路点拨】先由图2中的函数图像得到当t =5时,点Q 到达点C ,即BC =5cm ,然后由5<t <7时,y =10可知△BPQ的面积是定值10cm 2、BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ,AE ==4cm ,可以判定A ;当0<t ≤5时,根据y =25t 2得到y =2.5cm 2,过点P 作PH ⊥BC 于点H ,根据y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2求得PH =2,设QH =x cm ,根勾股定理计算QH =1cm ,可计算PQ =根据AB =CD =4cm ,得到再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10),确定直线HN 或475秒;当t =294>284=7时,故点Q 在DC 上,把t =294代入直线HN 的解析式计算BQ PQ =43.【解题过程】解:设抛物线的解析式为y =at 2,当t =5时,y =10,∴10=25a ,解得a =25,∴y =25t 2,由图2中的函数图像得当t =5时,点Q 到达点C ,即BC =BE =5cm ,∵5<t <7时,y =10,∴△BPQ 的面积是定值10cm 2且BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ,∴AE =5―2==4cm,AD=BC =5cm ,∴AB:AD =4:5,故A 正确,不符合题意;当0<t ≤5时,∵y =25t 2,t =2.5,∴BP =BQ =2.5cm ,y =2.5cm 2,过点P 作PH ⊥BC 于点H ,∴y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2解得PH =2,设QH =x cm ,则BH =BQ ―QH =(2.5―x )cm ,∴2.52=22+(2.5―x )2,解得x =1,x =4(舍去),∴QH =1cm ,∴PQ==故B 正确,不符合题意;根据AB =CD =4cm ,∴再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10),设直线HN 的解析式为y =kt +b ,根据题意,得11k +b =07k +b =10 ,解得k =―52b =552 ,∴直线HN 的解析式为y =―52t +552,∵△BPQ 的面积为4cm 2,故4=25t 2或4=―52t +552解得t==―t =475,故D 正确,不符合题意;∵t =294>284=7时,故点Q 在DC 上,当t =294时,y =―52×294+552=758,12PQ·BC =758解得PQ=154∴BQ PQ =5154=43.故C错误,符合题意.故选:C.19.(2023·辽宁·中考真题)如图,∠MAN=60°,在射线AM,AN上分别截取AC=AB=6,连接BC,∠MAN 的平分线交BC于点D,点E为线段AB上的动点,作EF⊥AM交AM于点F,作EG∥AM交射线AD于点G,过点G作GH⊥AM于点H,点E沿AB方向运动,当点E与点B重合时停止运动.设点E运动的路程为x,四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S,则能大致反映S与x之间函数关系的图象是()A.B.C.D.【思路点拨】分三种情况分别求出S与x的函数关系式,根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可.【解题过程】解:∵∠MAN=60°,AC=AB=6,∴△ABC是边长为6的正三角形,∵AD平分∠MAN,∴∠MAD=∠NAD=30°,AD⊥BC,CD=DB=3,①当矩形EFGH全部在△ABC之中,即由图1到图2,此时0<x≤3,∵EG∥AC,∴∠MAD=∠AGE=30°,∴∠NAD=∠AGE=30°,∴AE=EG=x,在Rt△AEF中,∠EAF=60°,∴EF==,∴S=2;②如图3时,当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC,x=6,解得x=4,则x+12由图2到图3,此时3<x≤4,如图4,记BC,EG的交点为Q,则△EQB是正三角形,∴EQ=EB=BQ=6―x,∴GQ=x―(6―x)=2x―6,而∠PQG=60°,∴PG==2x―6),∴S=S矩形EFHG―S△PQG=2x 2―12×(2x ―6)×2x ―6)=―2― ③如图6时,x =6,由图3到图6,此时4<x ≤6,如图5,同理△EKB 是正三角形,∴EK =KB =EB =6―x ,FC =AC ―AF =6―12x ,EF =, ∴S =S 梯形EKCF=―x +6―12x 2=―2, 因此三段函数的都是二次函数关系,其中第1段是开口向上,第2段、第3段是开口向下的抛物线, 故选:A .20.(22-23九年级上·安徽滁州·期末)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的边长为4,且点A 与原点O 重合,边AD 在x 轴上,点B 的横坐标为―2,现将菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移,设平移时间为t (秒),菱形ABCD 位于y 轴右侧部分的面积为S ,则S 关于t 的函数图像大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】过点B 作x 轴的垂线,垂足为点E ,如图所示,由菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移,分①当0≤t ≤2时;②当2<t <4时;③当4≤t ≤6时;④当t >6时;四种情况,作图求解S 关于t 的函数解析式,作出图像即可得到答案.【解题过程】解:过点B 作x 轴的垂线,垂足为点E ,如图所示:∵菱形ABCD 的边长为4,且点A 与原点O 重合,边AD 在x 轴上,点B 的横坐标为―2,∴OE =2,OB =4,∴∠OBE =30°,∴∠BOE =60°,BE =①当0≤t ≤2时,如图(1)所示:S =12OA ⋅OF =12×t ×=2;②当2<t <4时,如图(2)所示:S =S △ABE +S 矩形OEBG =12AE ⋅BE +BE ⋅OE =12×2×t ―2)=―③当4≤t ≤6时,如图(3)所示:∵∠C =60°,OD =OA ―AD =t ―4,∴∠KDO =60°,OK=t ―4),∵HO =BE =∴HK =HO ―OK =―t ―4)=―+∵HB =OE =OA ―AE =t ―2,∴CH =BC ―HB =4―(t ―2)=―t +6,S =S 菱形ABCD ―S △CHK =AD ⋅BE ―12CH ⋅HK =4×―12(―t +6)(―+=―2―+=―2―当t >6时,S =S 菱形ABCD =AD ⋅BE=综上所述S =20≤t ≤2―2<t <4t2+―4≤t ≤6t >6 ,∴第一段二次函数部分,开口向上;第二段一次函数部分;第三段二次函数部分,开后向下;第四段平行于x轴的射线,故选:A.。

部编数学九年级上册专题24.5圆(压轴题综合测试卷)(人教版)(解析版)含答案

部编数学九年级上册专题24.5圆(压轴题综合测试卷)(人教版)(解析版)含答案

专题24.5 圆(满分100)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________题号一二三总分得分评卷人得分一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)1.(2022·重庆忠县·九年级期中)如图,点B,C,D在⊙O上,若∠BCD=130°,则∠BOD的度数是( )A.50°B.60°C.80°D.100°【思路点拨】首先圆上取一点A,连接AB,AD,根据圆的内接四边形的性质,即可得∠BAD+∠BCD=180°,即可求得∠BAD 的度数,再根据圆周角的性质,即可求得答案.【解题过程】解:在圆上取一点A,连接AB,AD,∵点A、B,C,D在⊙O上,∠BCD=130°,∴∠BAD=50°,∴∠BOD=100°.故选D.2.(2022·江苏·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )A.点(0,3)B.点(2,3)C.点(5,1)D.点(6,1)【思路点拨】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置,再根据切线的性质得出,∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可。

【解题过程】解:∵过格点A,B,C作一圆弧,∴三点组成的圆的圆心为:O(2,0),∵只有∠OBD+∠EBF=90°时,BF与圆相切,∴当△BOD≌△FBE时,EF=BD=2,F点的坐标为:(5,1),∴点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是:(5,1).故选C.3.(2022·全国·九年级课时练习)如图,在⊙О中,点C在弦AB上移动,连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙О于点D.若AB=2,则CD的最大值是()A.4B.2C D.1【思路点拨】连接OD,如图,利用勾股定理得CD,利用垂线段最短得到当OC⊥AB时,OC最小,再求出CD即可.【解题过程】4.(2022·浙江丽水·模拟预测)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC的长为( )A.B.cm C.或D.或【思路点拨】先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.【解题过程】解:连接AC,AO,∵O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,5.(2022·江苏·九年级)如图,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则⊙O的直径为()A B.C.1D.2【思路点拨】【解题过程】解:如图:过D作DE⊥AB,垂足为E∵AB是直径∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分线BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中6.(2022·全国·九年级课时练习)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以该三角形的三条边为边向形外作正方形,正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为S1,△ABC面积为S2,则S1的值是()S2A.5π2B.3πC.5πD.11π2【思路点拨】【解题过程】7.(2022·全国·九年级专题练习)如图,等边△ABC中,AB=3,点D,点E分别是边BC,CA上的动点,且BD=CE,连接AD、BE交于点F,当点D从点B运动到点C时,则点F的运动路径的长度为()A B C D.【思路点拨】如图,作过A、B、F作⊙O,AFB为点F的轨迹,然后计算出AFB的长度即可.【解题过程】解:如图:作过A、B、F作⊙O,过O作OG⊥AB∵等边ΔABC∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°∵BD=CE∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角∴∠AOB=120°8.(2022·全国·九年级课时练习)如图,在⊙O中,点C在优弧AB上,将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O AB=4,则BC的长是( )A.B.C D【思路点拨】【解题过程】解:连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,如图,∵D为AB的中点,9.(2022·全国·九年级课时练习)如图,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC相切于点D,E,F,已知AB =6,AC=5,BC=7,则DE的长是()A B C D【思路点拨】【解题过程】10.(2022·江苏无锡·九年级期中)我们定义:两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形,根据定义:①等边三角形一定是奇异三角形;②在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形,则a:b:c=12;③如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点(不与点A、B重合),D是半圆ADB的中点,C、D在直径AB的两侧,若在⊙O内存在点E,使AE=AD,CB=CE.则△ACE是奇异三角形;④在③的条件下,当△ACE是直角三角形时,∠AOC=120°,其中,说法正确的有()A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】B【思路点拨】【解题过程】解:设等边三角形的边长为a,则a2+a2=2a2,满足奇异三角形的定义,∴等边三角形一定是奇异三角形,故①正确;在RtΔABC中,a2+b2=c2,∵c>b>a>0,∴2c2>a2+b2,2a2<b2+c2,若△ABC是奇异三角形,一定有2b2=a2+c2,∴2b2=a2+(a2+b2),∴b2=2a2,得b=.∵c2=b2+a2=3a2,∴c,∴a:b:c=1故②错误;在RtΔABC中,a2+b2=c2,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,在RtΔACB中,AC2+BC2=AB2;在RtΔADB中,AD2+BD2=AB2.∵D是半圆ADB的中点,∴AD=BD,∴AD=BD,∴AB2=AD2+BD2=2AD2,又∵CB=CE,AE=AD,∴AC2+CE2=2AE2.∴ΔACE是奇异三角形,故③正确;由③可得ΔACE是奇异三角形,∴AC2+CE2=2AE2.当ΔACE是直角三角形时,由②可得AC:AE:CE=1AC:AE:CE=1,(Ⅰ)当AC:AE:CE=1AC:CE=1AC:CB=1∵∠ACB=90∘,∴∠ABC=30°,∴∠AOC=2∠ABC=60°.(Ⅱ)当AC:AE:CE=1时,AC:CE=1,即AC:CB=1,∵∠ACB=90°,∴∠ABC=60°,∴∠AOC=2∠ABC=120°,∴∠AOC的度数为60°或120°,故④错误;故选:B.评卷人得分二.填空题(本大题共5小题,每小题3分,满分15分)11.(2022·全国·九年级课时练习)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm.【思路点拨】先根据钢珠的直径求出其半径,再构造直角三角形,求出小圆孔的宽口AB的长度的一半,最后乘以2即为所求.【解题过程】12.(2022·全国·九年级课时练习)已知⊙O的直径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB//CD,AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为________cm.【思路点拨】分两种情况考虑:当两条弦位于圆心O同一侧时,当两条弦位于圆心O两侧时;利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度,即可得到答案.【解题过程】解:分两种情况考虑:当两条弦位于圆心O一侧时,如图1所示,13.(2022·山东菏泽·九年级期中)如图,正方形ABCD内接于⊙O,PA,PD分别与⊙O相切于点A和点D,PD的延长线与BC的延长线交于点E.已知AB=2,则图中阴影部分的面积为___________.【思路点拨】【解题过程】14.(2022·全国·九年级课时练习)如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,已知D是⊙O上一动点,连接AD、CD,若圆的半径r=2,则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____.【思路点拨】连接BO并延长交AC于E,交AC于D,根据垂径定理得到点D到AC的距离最大,根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算,得到答案.【解题过程】15.(2022·全国·九年级课时练习)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E为AD上一点,且AE=2,F为BC边上的动点,以为EF直径作⊙O,当⊙O与矩形的边相切时,BF的长为______.【思路点拨】⊙O与矩形的边相切,但没有具体说与哪个边相切,所以该题有三种情况:第一种情况是圆与边AD、BC 相切,此时BF=AE;第二种情况是圆与边AB相切,利用中位线定理以及勾股定理可求出BF的长;第三种是圆与边CD相切,同样利用中位线定理以及勾股定理求得BF.【解题过程】解:①当圆与边AD、BC相切时,如图1所示此时∠AEO=BFO=90°所以四边形AEFB为矩形即BF=AE=2;②当圆与边AB相切时,设圆的半径为R,切点为H,圆与边AD交于E、N两点,与边BC交于M、F两点,连接EM、HO,如图2所示此时OE=OF=OH=R,点O、H分别是EF、AB的中点∴2OH=AE+BF即BF=2R-2∵BM=AE=2∴MF=2R-4在Rt△EFM中,EM2+MF2=EF2∴BF=13.2评卷人得分三.解答题(本大题共9小题,满分55分)16.(2022·全国·九年级课时练习)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知AB,C是弦AB上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):①作线段AC的垂直平分线DE,分别交AB于点D,AC于点E,连接AD,CD;②以点D为圆心,DA长为半径作弧,交AB于点F(F,A两点不重合),连接DF,BD,BF.(2)直接写出引理的结论:线段BC,BF的数量关系.【思路点拨】【解题过程】解:(1)作出线段AC的垂直平分线DE,连接AD,CD;以D为圆心,DA长为半径作弧,交AB于点F,连接DF,BD,BF,如图示:(2)结论:BC=BF.理由如下:由作图可得:DE是AC的垂直平分线,DA=DF,∴DA=DC=DF,∴∠DAC=∠DCA,AD=FD,∴∠DBC=∠DBF,∵四边形ABFD是圆的内接四边形,∴∠DAB+∠DFB=180°,∵∠DCA+∠DCB=180°,∴∠DFB=∠DCB,∵DB=DB,∴△DCB≌△DFB,∴BC=BF.17.(2022·江西上饶·九年级期末)如图,⊙O的直径AB的长为2,点C在圆周上,∠CAB=30°.点D是圆上一动点,DE∥AB交CA的延长线于点E,连接CD,交AB于点F.(1)如图1,当DE与⊙O相切时,求∠CFB的度数;(2)如图2,当点F是CD的中点时,求△CDE的面积.【思路点拨】(1)由题意可求∠AOD=90°,即可求∠C=45°,即可求∠CFB的度数;(2)连接OC,根据垂径定理可得AB⊥CD,利用勾股定理.以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可.【解题过程】解:(1)如图:连接OD∵DE与⊙O相切∴∠ODE=90°∵AB∥DE18.(2022·全国·九年级专题练习)如图,AB是半圆O的直径,点D是半圆O上一点,点C是AD的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC.(1)求证:GP=GD;(2)求证:P是线段AQ的中点;(3)连接CD,若CD=2,BC=4,求⊙O的半径和CE的长.【思路点拨】(1)结合切线的性质以及已知得出∠GPD=∠GDP,进而得出答案;(2)利用圆周角定理得出PA,PC,PQ的数量关系进而得出答案;(3)直接利用勾股定理结合三角形面积得出答案.【解题过程】(1)证明:连接OD,则OD⊥GD,∠OAD=∠ODA,∵∠ODA+∠GDP=90°,∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°,∴∠GPD=∠GDP;∴GP=GD;(2)证明:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵CE⊥AB于E,∴∠CEB=90°,∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°,∴∠ACE=∠ABC=∠CAP,∴PC=PA,∵∠ACB=90°,∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°,∴∠PCQ=∠CQA,∴PC=PQ,∴PA=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点;(3)连接CD,∵弧AC=弧CD,∴CD=AC,∵CD=2,∴AC=2,19.(2022·全国·九年级课时练习)对于平面直角坐标系xOy中的图形P,Q,给出如下定义:M为图形P 上任意一点,N为图形Q上任意一点,如果M,N两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形P,Q 间的“非常距离”,记作d(P,Q).已知点A(−2,2),B(2,2),连接AB.(1)d(点O,AB)=;(2)⊙O半径为r,若d(⊙O,AB)=0,直接写出r的取值范围;(3)⊙O半径为r,若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°),得到点A′.①当α=30°时d(⊙O,A′)=0,求出此时r的值;②对于取定的r值,若存在两个α使d(⊙O,A′)=0,直接写出r的范围.【思路点拨】(1)理解题意后直接利用垂线段最短即可求解.(2)先理解当⊙O与线段有交点时,d(⊙O,AB)=0,利用⊙O与线段相切和⊙O经过A点即可求解.(3)①先确定A′位于x轴上,再求出OA′的长即可求解;②先确定A′的轨迹,再利用存在两个α使d(⊙O,A')=0,确定并求出两个界点值,即可求解.【解题过程】∴∠A′NB=90°,由旋转知BA′=BA=2−(−2)=4,∵∠ABA′=30°,BA′=2,∴A′N=12∴A′位于x轴上,BN=42−22=23,∴A′M=23,∴A′O=23−2,∵对于取定的r值,若存在两个α使d(⊙O,A')=0,∴⊙O与以AH为直径的半圆有两个交点(A点和H点除外),此时有两个界点值,分别是⊙O与该半圆内切时和⊙O由B(2,2),得OB=22+22=22,当⊙O与该半圆内切时,r=4−22,当⊙O经过A点时,r=22,∴4−22<r<22.20.(2022·四川德阳·九年级阶段练习)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径,过点C作CE⊥AB于点E,连接AC.(1)求证:∠CAD=∠ECB;(2)若CE是⊙O的切线,∠CAD=30°,连接OC,如图2.①请判断四边形ABCO的形状,并说明理由;②当AB=2时,求AD,AC与CD围成阴影部分的面积.【思路点拨】【解题过程】解:(1)证明:∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠D+∠ABC=180°,∵∠EBC+∠ABC=180°,∴∠D=∠EBC,∵AD为⊙O直径,∴∠ACD=90°,∴∠D+∠CAD=90°,∵CE⊥AB,∴∠ECB+∠EBC=90°,∴∠CAD=∠ECB;(2)①四边形ABCO是菱形,理由如下:∵CE是⊙O的切线,∴OC⊥EC,∵AB⊥EC,∴∠OCE=∠E=90°,∴∠OCE+∠E=180°,∴OC∥AE,∴∠ACO=∠BAC,∴CF=3,21.(2022·全国·九年级专题练习)如图,以AB为直径的⊙O上有一动点C,⊙O的切线CD交AB的延长线于点D,过点B作BM∥OC交⊙O于点M,连接AM,OM,BC.(1)求证:AM∥CD(2)若OA=5,填空:①当AM=时,四边形OCBM为菱形;②连接MD,过点O作ON⊥MD于点N,若BD=,则ON=.【思路点拨】(1)首先根据圆周角定理可得∠MAB+∠ABM=90°,由切线的性质可得∠DOC+∠CDO=90°,再根据平行线的性质即可证得∠MAB=∠CDO,据此即可证得结论;(2)①根据菱形性质可得OM= OA=MB= 5,即可求得AB,再根据勾股定理即可求得;②首先可证得△ODC 是等腰直角三角形,再根据勾股定理及三角形的面积,即可求解.【解题过程】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠AMB=90°,∴∠MAB+∠ABM=90°,∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD,∴∠DOC+∠CDO=90°,又∵BM∥OC,∴∠ABM=∠DOC,∴∠MAB=∠CDO,∴AM∥CD;(2)解:①若四边形OCBM为菱形,则OM=OA=MB =5,∵AB是⊙O的直径,∴∠AMB=90°,∵BD=52−5,OB=5,∴OD=OB+BD=5+5∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,22.(2022·全国·九年级课时练习)如图,AB是⊙O的直径,P为AB上一点,弦CD与弦EF交于点P,PB平分∠DPF,连DF交AB于点G.(1)求证:CD=EF;(2)若∠DPF=60°,PE∶PF=1∶3,AB=OG的长.【思路点拨】【解题过程】(1)证明:如图,过点O作OM⊥EF于点M,ON⊥CD于点N,连接OF、OD,则∠OMF=∠OND=90°,∵PB平分∠DPF,OM⊥EF,ON⊥CD,∴OM=ON,在Rt△OFM和Rt△ODN中,∵OF=OD OM=ON,∴Rt△OFM≌Rt△ODN(HL),∴FM=DN,∵OM⊥EF,ON⊥CD,23.(2022·全国·九年级课时练习)问题提出:(1)如图1,已知△ABC是边长为2的等边三角形,则△ABC 的面积为______.问题探究:(2)如图2,在△ABC中,已知∠BAC=120°,BC=△ABC的最大面积.问题解决:(3)如图3,某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD,其宽AB=20米,长BC=24米,为了能够监控到礼堂内部情况,现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测,并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域,同时为了观测效果达到最佳,还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°.请你通过所学的知识进行分析,在墙面CD区域上是否存在点M满足要求?若存在,求出MC的长度;若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)作AD⊥BC于D,由勾股定理求出AD的长,即可求出面积;(2)作△ABC的外接圆⊙O,可知点A在BC上运动,当A'O⊥BC时,△ABC的面积最大,求出A'H的长,从而得出答案;(3)以AB为边,在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB,且∠AOB=90°,过O作HG⊥AB于H,交CD于G,利用等腰直角三角形的性质求出OA,OG的长,则以O为圆心,OA为半径的圆与CD相交,从而⊙O上存在点M,满足∠AMB=45°,此时满足条件的有两个点M,过M1作M1F⊥AB于F,作EO⊥M1F 于E,连接OF,利用勾股定理求出OE的长,从而解决问题.【解题过程】24.(2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习)在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CA=CB,点D是△ABC外一动点(点B,点D位于AC两侧),连接CD,AD.(1)如图1,点O是AB的中点,连接OC,OD,当△AOD为等边三角形时,∠ADC的度数是;(2)如图2,连接BD,当∠ADC=135°时,探究线段BD,CD,DA之间的数量关系,并说明理由;(3)如图3,⊙O是△ABC的外接圆,点D在AC上,点E为AB上一点,连接CE,DE,当AE=1,BE=7时,直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长.【思路点拨】【解题过程】即△CDE面积的面积最大值为4,此时,BD。

2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题04 一元二次方程的实际应用(含详解)

2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题04 一元二次方程的实际应用(含详解)

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题04 一元二次方程的实际应用考试时间:120分钟 试卷满分:100分姓名:__________ 班级:__________考号:__________ 题号 一二三总分得分评卷人 得 分一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2022·肥西模拟)在肥西悬主城区,共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放1000辆单车,计划第三个月投放单车数量比第一个月多690辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ,则所列方程正确的为( ) A .()2100011000690x +=+ B .()210001690x += C .()269011000x +=D .()1000121000690x +=+2.(2分)(2022·兖州模拟)欧几里得的《原本》记载,形如22x ax b +=的方程的图解法是:画Rt ABC ∆,使90ACB ∠=,2a BC =,AC b =,再在斜边AB 上截取2aBD =.则该方程的一个正根是( )A .AC 的长B .AD 的长C .BC 的长D .CD 的长3.(2分)(2022八下·余杭月考)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有 x 名同学,根据题意,列出方程为( ) A .()x x 11035+= B .()1x x 110352+= C .()x x 11035-=D .()1x x 110352-=4.(2分)(2022八下·杭州月考)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x 名同学,根据题意,列出方程为( )A .x(x +1)=1035B .x(x -1)=1035C .12 x(x +1)=1035 D .12x(x -1)=1035 5.(2分)()某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示,设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x ,则根据题意可列方程为( )A .180(1-x )2=461B .180(1+x )2=461C .368(1-x )2=442D .368(1+x )2=4426.(2分)(2018九上·孝感月考)如图,某小区计划在一块长为32m ,宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m 2.若设道路的宽为 xm ,则下面所列方程正确的是( )A .()()32203220570x x --=⨯-B .322203220570x x +⨯=⨯-C .2322202570x x x +⨯-=D .()()32220570x x --=7.(2分)某农户种植花生,原来种植的花生亩产量为200千克,出油率为50%(即每100千克花生可加工成花生油50千克).现在种植新品种花生后,每亩收获的花生可加工成花生油132千克,其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的12.则新品种花生亩产量的增长率为( ) A .20%B .30%C .50%D .120%8.(2分)(2020九上·遵化期末)已知 a , b , c 是1,3,4中的任意一个数( a , b ,c 互不相等),当方程 20ax bx c -+= 的解均为整数时,以1,3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是( ) A .轴对称图形 B .中心对称图形C .轴对称图形或中心对称图形D .非轴对称图形或中心对称图形9.(2分)(2022八下·杭州开学考)现有x 支球队参加篮球比赛,比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场,共比赛了45场,则下列方程中符合题意的是( ) A .()11452x x -= B .()11452x x +=C.x(x﹣1)=45 D.x(x+1)=4510.(2分)一个两位数,个位数字比十位数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则方程为()A.x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4 B.x2+(x+4)2=10x+x-4-4C.x2+(x-4)2=10(x+4)+x-4 D.x2+(x-4)2=10x+(x-4)-4评卷人得分二.填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)11.(2分)(2021九上·临江期末)某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有个飞机场12.(2分)(2021九上·太原期中)学校秋季运动会上,九年级准备队列表演,一开始排成8行12列,后来又有84名同学积极参加,使得队列增加的行数比增加的列数多1.现在队列表演时的列数是.13.(2分)(2021九上·阆中期中)某校九年级举行篮球赛(每两班比赛一场),共比赛了15场,则九年级共有个班.14.(2分)(2021九上·海安月考)某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡,若全组共送贺卡20张,设这个小组的同学共有x人,可列方程:.15.(2分)(2021九上·茂南月考)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,点P从点A开始沿AB向B 以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,秒后△PBQ的面积等于8cm2.16.(2分)(2021九上·厦门期中)一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,若主干、支干和小分支的总数是31,每个支干长出个小分支.17.(2分)(2021九上·安义月考)在2021年10月的日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示),若圈出的四个数中,最小数与最大数的乘积为180,则这个最小数为.18.(2分)(2021·甘井子模拟)在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感按此比例,如果雕像的高为3m,那么它的下部应设计为多高?设它的下部设计高度为xm,根据题意,可列方程为.19.(2分)(2021八下·宁波期中)某校准备组织一次篮球比赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,那么共有个队参加.20.(2分)如图,点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上一点,OA,OB(OA<OB)的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根,C(0,3),且S△ABC=6,则∠ABC的度数为.评卷人得分三.解答题(共10小题,满分60分)21.(4分)(2022·大连模拟)第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行.参加比赛的每两队之间都进行一场比赛,共要比赛45场,共有多少个队参加比赛?22.(6分)(2022八下·杭州月考)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件。

最新初三九年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版)

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最新初三九年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版)一、压轴题1.如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,点B 的坐标为(3,4),一次函数23y x b =-+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ,并且满足OD BE =,M 是线段DE 上的一个动点 (1)求b 的值;(2)连接OM ,若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3,求点M 的坐标; (3)设N 是x 轴上方平面内的一点,以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形,求点N 的坐标.2.如图,在四边形ABCD 中,9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===,,点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动,点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动,点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动.点P M N 、、同时出发,当其中一个点到达终点时,其他两个点也随之停止运动,设移动时间为ts . (1)如图①,①当a 为何值时,点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值; ②连接AP BD 、交于点E ,当AP BD ⊥时,求出t 的值; (2)如图②,连接AN MD 、交于点F .当3883a t ==,时,证明:ADF CDF S S ∆∆=.3.点P 为图形M 上任意一点,过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ,记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值,则称其为“图形M 到直线l 的限距离”,记作()max ,D M l ;定义二:若d 存在最小值,则称其为“图形M 到直线l 的基距离”,记作()min ,D M l ; (1)已知直线1:2l y x =--,平面内反比例函数2y x=在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = .(2)已知直线2:33l y x =+,点()1,0A -,点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点,T 的半径为3,点C 在T 上,若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范围,(3)已知直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+,点(),D a b 恒在直线3l 上,点(),28E m m +是平面上一动点,记以点E 为顶点,原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =,若请直接写出m 的取值范围. 4.在平面直角坐标系xOy 中,对于任意三点A ,B ,C ,给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ,B ,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A ,B ,C 的外延矩形.点A ,B ,C 的所有外延矩形中,面积最小的矩形称为点A ,B ,C 的最佳外延矩形.例如,图中的矩形,,都是点A ,B ,C 的外延矩形,矩形是点A ,B ,C 的最佳外延矩形.(1)如图1,已知A (-2,0),B (4,3),C (0,). ①若,则点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为 ;②若点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为24,则的值为 ; (2)如图2,已知点M (6,0),N (0,8).P (,)是抛物线上一点,求点M ,N ,P 的最佳外延矩形面积的最小值,以及此时点P 的横坐标的取值范围;(3)如图3,已知点D (1,1).E (,)是函数的图象上一点,矩形OFEG 是点O ,D ,E 的一个面积最小的最佳外延矩形,⊙H 是矩形OFEG 的外接圆,请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围.5.如图,等边ABC 内接于O ,P 是AB 上任一点(点P 不与点A 、B 重合),连接AP 、BP ,过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M .(1)求APC ∠和BPC ∠的度数; (2)求证:ACM BCP △≌△;(3)若1PA =,2PB =,求四边形PBCM 的面积; (4)在(3)的条件下,求AB 的长度. 6.如图,在平面直角坐标系中,直线l :y =﹣13x +2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,以AB 为斜边作等腰直角△ABC ,使点C 落在第一象限,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,作CE ⊥x 轴于点E ,连接ED 并延长交y 轴于点F .(1)如图(1),点P 为线段EF 上一点,点Q 为x 轴上一点,求AP +PQ 的最小值. (2)将直线l 进行平移,记平移后的直线为l 1,若直线l 1与直线AC 相交于点M ,与y 轴相交于点N ,是否存在这样的点M 、点N ,使得△CMN 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在Rt △AOB 中,∠AOB =90°,tan B =34,OB =8.(1)求OA 、AB 的长;(2)点Q 从点O 出发,沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P 从点A 出发,沿着AB 方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动,设运动时间为t 秒(0<t ≤5)以P 为圆心,PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ,连结CD ,QC .①当t 为何值时,点Q 与点D 重合?②若⊙P 与线段QC 只有一个公共点,求t 的取值范围.8.如图,抛物线y =x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点,其中点A 坐标为(1,0),与y 轴交于点C (0,﹣3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,连接AC ,点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点,点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点,直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N .请问DM +DN 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.(3)如图2,点P 为抛物线上一动点,且满足∠PAB =2∠ACO .求点P 的坐标. 9.如图1(注:与图2完全相同)所示,抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点,与x 轴的另一个交点为A ,与y 轴相交于点C . (1)求抛物线的解析式.(2)设抛物线的顶点为M ,求四边形ABMC 的面积(请在图1中探索)(3)设点Q 在y 轴上,点P 在抛物线上.要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P 的坐标(请在图2中探索)10.如图,已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点,A 点的坐标为(1,0)-,过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH OB ⊥于点H .若5PB t =,且01t <<.(1)点C 的坐标是________,b =________; (2)求线段QH 的长(用含t 的式子表示);(3)依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似?若存在,直接写出所有t 的值;若不存在,说明理由. 11.如图,在边长为5的菱形OABC 中,sin∠AOC=45,O 为坐标原点,A 点在x 轴的正半轴上,B ,C 两点都在第一象限.点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周,设运动时间为t (秒).请解答下列问题: (1)当CP⊥OA 时,求t 的值;(2)当t <10时,求点P 的坐标(结果用含t 的代数式表示);(3)以点P 为圆心,以OP 为半径画圆,当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切时,请直接写出t 的值.12.矩形ABCD 中,AB =2,AD =4,将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF (其中E、G、F分别与A、B、D对应).(1)如图1,当点G落在AD边上时,直接写出AG的长为;(2)如图2,当点G落在线段AE上时,AD与CG交于点H,求GH的长;(3)如图3,记O为矩形ABCD对角线的交点,S为△OGE的面积,求S的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1)b=3;(2)点M坐标为7(1,)3;(3)93(,)42-或3654(,)1313【解析】【分析】(1)首先在一次函数的解析式中令x=0,即可求得D的坐标,则OD=b,则E的坐标即可利用b表示出来,然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程,求得b的值;(2)首先求得四边形OAED的面积,则△ODM的面积即可求得,设出M的横坐标,根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标,进而求得M的坐标;(3)分两种情况进行讨论,①四边形OMDN是菱形时,M是OD的中垂线与DE的交点,M关于OD的对称点就是N;②四边形OMND是菱形,OM=OD,M在直线DE上,设出M 的坐标,根据OM=OD即可求得M的坐标,则根据OD∥MN,且OD=MN即可求得N的坐标.【详解】(1)在23y x b=-+中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b),OD=b,∵OD=BE,∴BE=b,则点E坐标为(3,4-b),将点E代入23y x b=-+中,得:4-b=2+b,解得:b=3;(2)如图,∵OAED S 四边形=11()(31)3622OD AE OA +=⨯+⨯=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13=42ODM OAED S S ∆=四边形 设M 的横坐标是a ,则13322a ⨯=, 解得:1a =, 将1x a ==代入233y x =-+中,得: 27333y =-⨯+=则点M 坐标为7(1,)3;(3)依题意,有两种情况:①当四边形OMDN 是菱形时,如图(1),M 的纵坐标是32, 把32y =代入233y x =-+中,得: 23332x -+=,解得:94x =, ∴点M 坐标为93(,)42, 点N 坐标为93(,)42-;②当四边形OMND 是菱形时,如图(2),OM =OD =3,设M 的坐标2(,3)3m m -+, 由OM=OD 得:222(3)93m m +-+=, 解得:3613m =或m=0(舍去), 则点M 坐标为3615(,)1313, 又MN ∥OD ,MN=OD=3,∴点N 的坐标为3654(,)1313, 综上,满足条件的点N 坐标为93(,)42-或3654(,)1313.【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合,涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识,解答的关键是认真审题,找出相关知识的联系点,运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算. 2.(1)① 2.5t =, 1.1a =或2t =,0.5a =;②1t =;(2)见解析 【解析】 【分析】(1)①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时,分别列出方程即可解决问题; ②当AP BD ⊥时,由ABP BCD ≅△△,推出BP CD =,列出方程即可解决问题; (2)如图②中,连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△,推出OA OC =,可得ADO CDO S S ∆∆=,AFO CFO S S ∆∆=,推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-,即ADF CDF S S ∆∆=;【详解】解:(1)①90ABC BCD ∠=∠=︒,∴当PBM PCN ≅△△时,有BM NC =,即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =, 2.5t =.当MBP PCN ≅△△时,有BM PC =,BP NC =,即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④,由③④可得0.5a =,2t =.综上所述,当 1.1a =, 2.5t =或0.5a =,2t =时,以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等; ②AP BD ⊥, 90BEP ∴∠=︒,90APB CBD ∴∠+∠=︒,90ABC ∠=︒,90APB BAP ∴∠+∠=︒, BAP CBD ∴∠=∠,在ABP △和BCD 中,BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ABP BCD ASA ∴≅△△,BP CD ∴=, 即54t -=, 1t ∴=;(2)当38a =,83t =时,1DN at ==,而4CD =,DN CD ∴<,∴点N 在点C 、D 之间, 1.54AM t ==,4CD =, AM CD ∴=,如图②中,连接AC 交MD 于O , 90ABC BCD ∠=∠=︒, 180ABC BCD ∴∠+∠=︒, //AB BC ∴,AMD CDM ∴∠=∠,BAC DCA ∠=∠, 在AOM 和COD △中, AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()AOM COD ASA ∴≅△△,OA OC ∴=,ADO CDO S S ∆∆∴=,AFO CFO S S ∆∆=, ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-, ADF CDF S S ∆∆∴=.【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题. 3.(1)22+;(2)63103t ≤≤-或103165-≤≤-3)325m ≤-或0m ≥ 【解析】 【分析】 (1)作直线:y x b =-+平行于直线1l ,且与H 相交于点P ,连接PO 并延长交直线1l 于点Q ,作PM ⊥x 轴,根据只有一个交点可求出b ,再联立求出P 的坐标,从而判断出PQ 平分∠AOB ,再利用直线1l 表达式求A 、B 坐标证明OA=OB ,从而证出PQ 即为最小距离,最后利用勾股定理计算即可;(2)过点T 作TH ⊥直线2l ,可判断出T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH +后根据最大距离的范围求出TH 的范围,从而得到FT 的范围,根据范围建立不等式组求解即可;(3)把点P 坐标带入表达式,化简得到关于a 、b 的等式,从而推出直线3l 的表达式,根据点E 的坐标可确定点E 所在直线表达式,再根据最小距离为0,推出直线3l 一定与图形K 相交,从而分两种情况画图求解即可. 【详解】解:(1)作直线:y x b =-+平行于直线1l ,且与H 相交于点P ,连接PO 并延长交直线1l 于点Q ,作PM ⊥x 轴,∵ 直线:y x b =-+与H 相交于点P , ∴2x b x-+=,即220x bx -+=,只有一个解, ∴24120b ∆=-⨯⨯=,解得2b = ∴22y x =-+联立222y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩,解得22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2,2P ,∴2PM OM ==,且点P 在第一、三象限夹角的角平分线上,即PQ 平分∠AOB , ∴Rt POM 为等腰直角三角形,且OP=2,∵直线1l :2y x =--,∴当0y =时,2x =-,当0x =时,2y =-,∴A(-2,0),B(0,-2),∴OA=OB=2,又∵OQ 平分∠AOB ,∴OQ ⊥AB ,即PQ ⊥AB ,∴PQ 即为H 上的点到直线1l 的最小距离,∵OA=OB ,∴45OAB OBA AOQ ∠=∠=∠=︒,∴AQ=OQ ,∴在Rt AOQ 中,OA=2,则OQ=2,∴22PQ OP OQ =+=+,即()1,22min D H l =+;(2)由题过点T 作TH ⊥直线2l ,则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH +∵()max 243,63ABC l D V ≤≤即43363TH ≤∴TH ≤≤由题60HFO ∠=︒,则FT =, ∴610FT ≤≤,又∵FT t =,∴610t ≤≤,解得610t ≤≤1016-≤≤-;(3)∵直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝+-+⎭+, ∴把点P 代入得:2111211184184k k a b c a b c k k --⎛⎫+-+=++ ⎪--⎝⎭, 整理得:()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---, ∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++⎧⎨--+-=---⎩,化简得224801a b c c +-+=⎧⎨=⎩, ∴182b a =-+, 又∵点(),D a b 恒在直线3l 上,∴直线3l 的表达式为:182y x =-+, ∵()min 3,0D K l =,∴直线3l 一定与以点E 为顶点,原点为对角线交点的正方形图形相交,∵(),28E m m +,∴点E 一定在直线28y x =+上运动,情形一:如图,当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时,由题可知E 、F 关于原点对称, ∵(),28E m m +,∴(),28m m F ---,把点F 代入182y x =-+得:18282m m +=--,解得:325m =-, ∵当点E 沿直线向上运动时,对角线变短,正方形变小,无交点, ∴点E 要沿直线向下运动,即325m ≤-;情形二:如图,当点E运动到直线3l上时,把点E代入182y x=-+得:18282m m-+=+,解得:0m=,∵当点E沿直线向下运动时,对角线变短,正方形变小,无交点,∴点E要沿直线向上运动,即0m≥,综上所述,325m≤-或0m≥.【点睛】本题考查新型定义题,弄清题目含义,正确画出图形是解题的关键.4.(1)①18;②t=4或t=-1;(2)48;,或;(3)【解析】试题分析:(1)根据给出的新定义进行求解;(2)过M点作轴的垂线与过N点垂直于轴的直线交于点Q,则当点P位于矩形OMQN内部或边界时,矩形OMQN是点M,N,P的最佳外延矩形,且面积最小;根据当y=0是y=8时求出x的值得到取值范围;(3)根据最佳外延矩形求出半径的取值范围.试题解析:(1)①18;②t=4或t=-1;(2)如图,过M点作轴的垂线与过N点垂直于轴的直线交于点Q,则当点P位于矩形OMQN内部或边界时,矩形OMQN是点M,N,P的最佳外延矩形,且面积最小.∵S矩形OMQN=OM·ON=6×8=48,∴点M,N,P的最佳外延矩形面积的最小值为48.抛物线与轴交于点T(0,5).令,有,解得:x=-1(舍去),或x=5.令y=8,有,解得x=1,或x=3.∴,或.(3).考点:新定义的理解、二次函数的应用、圆的性质.5.(1)∠APC=60°,∠BPC=60°;(2)见解析;(315344)219【解析】【分析】(1)由△ABC是等边三角形,可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,由圆周角定理可知∠APC=∠ABC=60°,∠BPC=∠BAC=60°;(2)利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段利用AAS证得两三角形全等即可;(3)根据CM∥BP说明四边形PBCM是梯形,利用上题证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形,进而求得PH的长,利用梯形的面积公式计算四边形的面积即可;(4)过点B作BQ⊥AP,交AP的延长线于点Q,过点A作AN⊥BC于点N,连接OB,利用勾股定理求出AB的长,在△ABC中,利用等边三角形的性质求出BN,在△BON中利用勾股定理求出OB,最后根据弧长公式求出弧AB的长.【详解】解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,∵=BC BC,=AC AC,∴∠APC=∠ABC=60°,∠BPC=∠BAC=60°;(2)证明:∵CM∥BP,∴∠BPM+∠M=180°,∠PCM=∠BPC,∵∠BPC=∠BAC=60°,∴∠PCM=∠BPC=60°,∴∠M=180°-∠BPM=180°-(∠APC+∠BPC)=180°-120°=60°,∴∠M=∠BPC=60°,又∵A、P、B、C四点共圆,∴∠PAC+∠PBC=180°,∵∠MAC+∠PAC=180°∴∠MAC=∠PBC∵AC=BC,在△ACM和△BCP中,M BPCMAC PBCAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACM≌△BCP(AAS);(3)∵CM∥BP,∴四边形PBCM为梯形,作PH⊥CM于H,∵△ACM≌△BCP,∴CM=CP,AM=BP,又∠M=60°,∴△PCM为等边三角形,∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,在Rt△PMH中,∠MPH=30°,∴PH=332,∴S四边形PBCM=12(PB+CM)×PH=12(2+3)×33=153;(4)过点B作BQ⊥AP,交AP的延长线于点Q,过点A作AN⊥BC于点N,连接OB,∵∠APC=∠BPC=60°,∴∠BPQ=60°,∴∠PBQ=30°,∴PQ=12PB=1,∴在△BPQ 中,BQ=2221=3-,∴在△AQB 中,AB=()()2222=113=7AQ BQ +++,∵△ABC 为等边三角形,∴AN 经过圆心O ,∴BN=12AB=7, ∴AN=2221=2AB BN -, 在△BON 中,设BO=x ,则ON=212x -, ∴222721=x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 解得:x=21, ∵∠BOA =2∠BCA =120°,∴AB =211202213=1809ππ⨯.【点睛】本题考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定,四边形的面积,勾股定理,弧长公式,是一道比较复杂的几何综合题,解题关键是能够掌握并灵活运用全等三角形的判定与性质等知识.6.(1)AP +PQ 的最小值为4;(2)存在,M 点坐标为(﹣12,﹣4)或(12,8).【解析】【分析】(1)由直线解析式易求AB 两点坐标,利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE =CE =4,C 点坐标为(4,4)DB =∠CEB =90︒,可知B 、C 、D 、E 四点共圆,由等腰直角△ABC 可知∠CBD =45︒,同弧所对圆周角相等可知∠CED =45︒,所以∠OEF =45︒,CE 、OE 是关于EF 对称,作PH ⊥CE 于H ,作PG ⊥OE 于Q ,AK ⊥EC 于K .把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题.(2)由直线l 与直线AC 成45︒可知∠AMN =45︒,由直线AC 解析式可设M 点坐标为(x ,122x +),N 在y 轴上,可设N (0,y )构造K 字形全等即可求出M 点坐标. 【详解】解:(1)过A 点作AK ⊥CE ,在等腰直角△ABC 中,∠ACB =90︒,AC =BC ,∵CE ⊥x 轴,∴∠ACK +∠ECB =90︒,∠ECB +∠CBE =90︒,∴∠ACK =∠CBE在△AKC 和△CEB 中,AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△AKC ≌△CEB (AAS )∴AK =CE ,CK =BE ,∵四边形AOEK 是矩形,∴AO =EK =BE ,由直线l :y =﹣13x +2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,可知A 点坐标为(0,2),B (6,0)∴E 点坐标为(4,0),C 点坐标为(4,4),∵∠CDB =∠CEB =90︒,∴B 、C 、D 、E 四点共圆,∵CD CD =,∠CBA =45︒,∴∠CED =45︒,∴FE 平分∠CEO ,过P 点作PH ⊥CE 于H ,作PG ⊥OE 于G ,过A 点作AK ⊥EC 于K .∴PH =PQ ,∵PA +PQ =PA +PH ≥AK =OE ,∴OE =4,∴AP +PQ ≥4,∴AP +PQ 的最小值为4.(2)∵A 点坐标为(0,2),C 点坐标为(4,4),设直线AC 解析式为:y =kx+b把(0,2),(4,4)代入得244b k b =⎧⎨=+⎩解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 解析式为:y =122x +, 设M 点坐标为(x ,122x +),N 坐标为(0,y ). ∵MN ∥AB ,∠CAB =45︒,∴∠CMN =45︒,△CMN 为等腰直角三角形有两种情况:Ⅰ.如解图2﹣1,∠MNC =90︒,MN =CN .同(1)理过N 点构造利用等腰直角△MNC 构造K 字形全等,同(1)理得:SN =CR ,MS =NR .∴41242x y x y -=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得:128x y =-⎧⎨=-⎩, ∴M 点坐标为(﹣12,﹣4)Ⅱ.如解图2﹣2,∠MNC =90︒,MN =CN .过C 点构造利用等腰直角△MNC 构造K 字形全等,同(1)得:MS =CF ,CS =FN . ∴4412442x y x -=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得:1212x y =⎧⎨=⎩, ∴M 点坐标为(12,8)综上所述:使得△CMN 为等腰直角三角形得M 点坐标为(﹣12,﹣4)或(12,8).【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用,题中运用等腰直角三角形的判定和性质,正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,四点共圆,圆周角定理,垂线段最短等知识,解题的关键是中用转化的思想思考问题,学会添加常用辅助线,在平面直角坐标系中构造K字形全等三角形求点坐标解决问题,属于中考压轴题.7.(1)OA=6,AB=10;(2)3011;(3)0<t≤1813或3011<t≤5.【解析】【分析】(1)在Rt△AOB中,tan B=34,OB=8,即可求解;(2)利用△ACD∽△ABO、AD+OQ=OA,即可求解;(3)分QC与圆P相切、QC⊥OA两种情况,求解即可.【详解】解:(1)在Rt△AOB中,tan B=34,OB=8,∴34OAOB=,∴OA=6,则AB=10;(2)OP=AP﹣t,AC=2t,∵AC是圆直径,∴∠CDA=90°,∴CD∥OB,∴△ACD∽△ABO,∴AC ADAB AO=,即:2,106t AD=∴AD=65t,当Q与D重合时,AD+OQ=OA,∴66,5t t+=30.11t∴=(3)当QC与圆P相切时,∠QAC=90°,∵OQ=AP=t,∴AQ=6﹣t,AC=2t,∵∠A=∠A,∠QCA=∠ABO,∴△AQC ∽△ABO ,∴,AQ AC AB AO = 即:62106t t -= ,18.13t ∴= ∴当18013t <≤时,圆P 与QC 只有一个交点, 当QC ⊥OA 时,D 、Q 重合,由(1)知: 30.11t =∴30511t <≤时,圆P 与线段QC 只有一个交点, 故:当圆P 与线段只有一个交点,t 的取值范围为:18013t <≤或30511t <≤. 【点睛】本题为圆的综合题,涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点,(3)是本题的难点,要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解.8.(1)223y x x =+-;(2)是,定值为8;(3)1557,416⎛⎫- ⎪⎝⎭或939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)把点A 、C 坐标代入抛物线解析式即可求得b 、c 的值.(2)设点Q 横坐标为t ,用t 表示直线AQ 、BN 的解析式,把x =1-分别代入即求得点M 、N 的纵坐标,再求DM 、DN 的长,即得到DM +DN 为定值.(3)点P 可以在x 轴上方或下方,需分类讨论.①若点P 在x 轴下方,延长AP 到H ,使AH =AB 构造等腰△ABH ,作BH 中点G ,即有∠PAB =2∠BAG =2∠ACO ,利用∠ACO 的三角函数值,求BG 、BH 的长,进而求得H 的坐标,求得直线AH 的解析式后与抛物线解析式联立,即求出点P 坐标.②若点P 在x 轴上方,根据对称性,AP 一定经过点H 关于x 轴的对称点H ',求得直线AH '的解析式后与抛物线解析式联立,即求出点P 坐标.【详解】解:(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A (1,0),C (0,-3),∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩解得:23b c =⎧⎨=-⎩, ∴抛物线的函数表达式为y =x 2+2x -3.(2)结论:DM +DN 为定值.理由:∵抛物线y =x 2+2x -3的对称轴为:直线x =-1,∴D (﹣1,0),x M =x N =﹣1,设Q (t ,t 2+2t ﹣3)(﹣3<t <1),设直线AQ 解析式为y =dx +e∴2023d e dt e t t +=⎧⎨+=+-⎩解得:33d t e t =+⎧⎨=--⎩,∴直线AQ :y =(t +3)x ﹣t ﹣3,当x =﹣1时,y M =﹣t ﹣3﹣t ﹣3=﹣2t ﹣6,∴DM =0﹣(﹣2t ﹣6)=2t +6,设直线BQ 解析式为y =mx +n ,∴23023m n mt n t t -+=⎧⎨+=+-⎩解得:133m t n t =-⎧⎨=-⎩, ∴直线BQ :y =(t ﹣1)x +3t ﹣3,当x =﹣1时,y N =﹣t +1+3t ﹣3=2t ﹣2,∴DN =0﹣(2t ﹣2)=﹣2t +2,∴DM +DN =2t +6+(﹣2t +2)=8,为定值.(3)①若点P 在x 轴下方,如图1,延长AP 到H ,使AH =AB ,过点B 作BI ⊥x 轴,连接BH ,作BH 中点G ,连接并延长AG 交BI 于点F ,过点H 作HI ⊥BI 于点I .∵当x 2+2x ﹣3=0,解得:x 1=﹣3,x 2=1,∴B (﹣3,0),∵A (1,0),C (0,﹣3),∴OA =1,OC =3,AC 221310+=AB =4,∴Rt △AOC 中,sin ∠ACO =010A AC =,cos ∠ACO =310OC AC =, ∵AB =AH ,G 为BH 中点,∴AG ⊥BH ,BG =GH ,∴∠BAG =∠HAG ,即∠PAB =2∠BAG ,∵∠PAB =2∠ACO ,∴∠BAG =∠ACO ,∴Rt △ABG 中,∠AGB =90°,sin ∠BAG =1010BG AB =, ∴BG 10210AB =, ∴BH =2BG 410, ∵∠HBI +∠ABG =∠ABG +∠BAG =90°,∴∠HBI =∠BAG =∠ACO , ∴Rt △BHI 中,∠BIH =90°,sin ∠HBI =HIBH =10,cos ∠HBI =310BI BH =, ∴HI =10BH =43,BI =310BH =125, ∴x H =411355-+=-,y H =125-,即1112,55H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 设直线AH 解析式为y =kx +a ,∴0111255k a k a +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩,解得:3434k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴直线AH :3344y x =-, ∵2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩解得:10x y =⎧⎨=⎩(即点A )或943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴939,416P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ②若点P 在x 轴上方,如图2,在AP 上截取AH '=AH ,则H '与H 关于x 轴对称.∴1112,55H ⎛'⎫- ⎪⎝⎭, 设直线AH '解析式为y k x a ='+',∴0111255k a k a +='''⎧-'⎪⎨+=⎪⎩,解得:3434k a ⎧=-⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩, ∴直线AH ':3344y x =-+,∵2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩解得:10x y =⎧⎨=⎩(即点A )或1545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴1557,416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上所述,点P 的坐标为939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭或1557,416⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式,解一元二次方程、二元一次方程组,等腰三角形的性质,三角函数的应用.运用到分类讨论的数学思想,理清线段之间的关系为解题关键.9.(1)21322y x x =-++;(2)92;(3)点P 的坐标为:3(2,)2或(4,52-)或(4-,212-). 【解析】【分析】(1)由图可知点B 、点D 的坐标,利用待定系数法,即可求出抛物线的解析式;(2)过点M 作ME ⊥AB 于点E ,由二次函数的性质,分别求出点A 、C 、M 的坐标,然后得到OE 、BE 的长度,再利用切割法求出四边形的面积即可;(3)由点Q 在y 轴上,设Q (0,y ),由平行四边形的性质,根据题意可分为:①当AB 为对角线时;②当BQ 2为对角线时;③当AQ 3为对角线时;分别求出三种情况的点P 的坐标,即可得到答案.【详解】解:(1)根据题意,抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点, 点D 为(2-,52-),点B 为(3,0),则2215(2)22213302b c b c ⎧-⨯--+=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩, 解得:132b c =⎧⎪⎨=⎪⎩, ∴抛物线的解析式为21322y x x =-++; (2)∵22131(1)2222y x x x =-++=--+, ∴点M 的坐标为(1,2)令213022x x -++=, 解得:11x =-,23x =,∴点A 为(1-,0);令0x =,则32y =, ∴点C 为(0,32); ∴OA=1,OC=32, 过点M 作ME ⊥AB 于点E ,如图:∴2ME =,1OE =,2BE =,∴111()222ABMC S OA OC OC ME OE BE ME =•++•+•四边形, ∴131313791(2)122222222442ABMC S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=++=四边形; (3)根据题意,点Q 在y 轴上,则设点Q 为(0,y ),∵点P 在抛物线上,且以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,如图所示,可分为三种情况进行分析:①AB 为对角线时,则11PQ 为对角线;由平行四边形的性质,∴点E 为AB 和11PQ 的中点,∵E 为(1,0),∵点Q 1为(0,y ),∴点P 1的横坐标为2;当2x =时,代入21322y x x =-++, ∴32y =,∴点13(2,)2P ;②当BQ 2是对角线时,AP 也是对角线,∵点B (3,0),点Q 2(0,y ),∴BQ 2中点的横坐标为32,∵点A 为(1-,0),∴点P 2的横坐标为4,当4x =时,代入21322y x x =-++, ∴52y =-, ∴点P 2的坐标为(4,52-); ③当AQ 3为对角线时,BP 3也是对角线;∵点A 为(1-,0),点Q 3(0,y ),∴AQ 3的中点的横坐标为12-, ∵点B (3,0),∴点P 3的横坐标为4-,当4x =-时,代入21322y x x =-++, ∴212y =-, ∴点P 3的坐标为(4-,212-); 综合上述,点P 的坐标为:3(2,)2或(4,52-)或(4-,212-). 【点睛】本题考查了二次函数的性质,平行四边形的性质,解一元二次方程,以及坐标与图形等知识,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题,注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析.10.(1)()90,3,4--;(2)48QH t =- ;(31或732或2532 【解析】【分析】(1)由于直线y =34t x -3过C 点,因此C 点的坐标为(0,-3),那么抛物线的解析式中c=-3,然后将A 点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b 的值;(2)求QH 的长,需知道OQ ,OH 的长.根据CQ 所在直线的解析式即可求出Q 的坐标,也就得出了OQ 的长,然后求OH 的长.在(1)中可得出抛物线的解析式,那么可求出B 的坐标.在直角三角形BPH 中,可根据BP=5t 以及∠CBO 的正弦值(可在直角三角形COB 中求出),得出BH 的长,根据OB 的长即可求出OH 的长.然后OH ,OQ 的差的绝对值就是QH 的长;(3)本题要分①当H 在Q 、B 之间.②在H 在O ,Q 之间两种情况进行讨论;根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t 的值.【详解】(1)由于直线y =34tx -3过C 点,C 点在y 轴上,则C 点的坐标为(0,-3), 将A 点坐标代入解析式中,得0=34-b -3,解得b =-94; 故答案为 ()0,3-,94-; (2)由(1),得y =34x 2-94x -3,它与x 轴交于A ,B 两点,得B (4,0).∴OB =4,又∵OC =3,∴BC =5.由题意,得△BHP ∽△BOC ,∵OC ∶OB ∶BC =3∶4∶5,∴HP ∶HB ∶BP =3∶4∶5,∵PB =5t ,∴HB =4t ,HP =3t .∴OH =OB -HB =4-4t .由y =34tx -3与x 轴交于点Q ,得Q (4t ,0). ∴OQ =4t .①当H 在Q 、B 之间时,QH =OH -OQ=(4-4t )-4t =4-8t .②当H 在O 、Q 之间时, QH =OQ -OH=4t -(4-4t )=8t -4.综合①,②得QH =|4-8t |;(3)存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似.t 121,t 2=732,t 3=2532解析:①当H 在Q 、B 之间时,QH =4-8t , 若△QHP ∽△COQ ,则QH ∶CO =HP ∶OQ ,得48334t t t -=,∴t =732. 若△PHQ ∽△COQ ,则PH ∶CO =HQ ∶OQ ,得34834t t t -=, 即t 2+2t -1=0.∴t 11,t 2=1-(舍去).②当H 在O 、Q 之间时,QH =8t -4.若△QHP ∽△COQ ,则QH ∶CO =HP ∶OQ ,得84334t t t -=, ∴t =2532. 若△PHQ ∽△COQ ,则PH ∶CO =HQ ∶OQ ,得38434t t t -=, 即t 2-2t +1=0.∴t 1=t 2=1(舍去).综上所述,存在t 的值,t 11,t 2=732,t 3=2532.故答案为(1)()90,3,4--;(2)48QH t =- ;(31或732或2532. 【点睛】 本题是二次函数的综合题,此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.11.(1)t =3;(2)P (35t +2,45t ﹣4);(3)t 的值为209秒或4秒或16秒或1609秒 【解析】【分析】(1)如图1,过点C 作CP ⊥OA ,交x 轴于点P .就可以求出OP 的值,由勾股定理就可以求出的OP 值,进而求出结论;(2)t <10时,P 在OA 或AB 上运动,所以分两种情况:①当0≤t≤5时,如图1,点P 在OA 上,OP=t ,可得P 的坐标;②当5<t <10时,如图2,点P 在AB 上,构建直角三角形,根据三角函数定义可得P 的坐标;(3)设切点为G ,连接PG ,分⊙P 与四边相切,其中P 在AB 和BC 时,与各边都不相切,所以分两种情况:①当P 在OA 上时,根据三角函数列式可得t 的值;②当P 在OC 上时,同理可得结论.【详解】(1)如图1,当CP ⊥OA 时,sin ∠AO 45CP C OC==, 4455CP CP 即=,=, 在Rt △OPC 中,OC =5,PC =4,则OP =3, ∴331t ==(2)当0≤t ≤5时,如图1,点P 在OA 上, ∴P (t ,0);当5<t <10时,如图2,点P 在AB 上, 过P 作PH ⊥x 轴,垂足为H ,则∠AOC =∠PAH ,∴sin ∠PAH =sin ∠AO 45C =, 44 4555PH PH t t ∴=-即=﹣, ∴333255HA t OH OA AH t ++=﹣,==,∴34P t+2t 455(,﹣);(3)设切点为G ,连接PG ,分两种情况:①当P 在OA 上时,如图3,⊙P与直线AB相切,∵OC∥AB,∴∠AOC=∠OAG,∴sin∠AOC=sin∠OA45PGGAP==,t45-t5 =,∴209t=;⊙P与BC相切时,如图4,则PG=t=OP=4;②当点P在OC上时,⊙P与AB相切时,如图5,∴OP=PG=4,∴4×5﹣t=4,t=16,⊙P与直线BC相切时,如图6,∴PG⊥BC,∵BC∥AO,∴∠AOC=∠GCP,∴sin∠AOC=sin∠GC45PGPPC==,∵OP=PG=20﹣t,∴42051tt-=-,∴1609t=,综上所述,t的值2016041699为秒或秒或秒或秒【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识,解答时运用等角的三角函数列方程是关键,并注意运用分类讨论的思想,做到不重不漏.12.(1)4﹣23;(2)32;(3)4﹣5≤S≤4+5【解析】【分析】(1)在Rt△DCG中,利用勾股定理求出DG即可解决问题;(2)首先证明AH=CH,设AH=CH=m,则DH=AD﹣HD=4﹣m,在Rt△DHC中,根据CH2=CD2+DH2,构建方程求出m即可解决问题;(3)如图,当点G在对角线AC上时,△OGE的面积最小,当点G在AC的延长线上时,△OE′G′的面积最大,分别求出面积的最小值,最大值即可解决问题.【详解】解:(1)如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=CG=4,∠D=90°,∵AB=CD=2,∴DG=22CDCG-=2242-=23,∴AG=AB﹣BG=4﹣23,故答案为:4﹣23.(2)如图2中,由四边形CGEF是矩形,得到∠CGE=90°,∵点G在线段AE上,∴∠AGC=90°,∵CA=CA,CB=CG,∴Rt△ACG≌Rt△ACB(HL).∴∠ACB=∠ACG,∵AB∥CD∴∠ACG=∠DAC,∴∠ACH=∠HAC,∴AH=CH,设AH=CH=m,则DH=AD﹣AH=5﹣m,在Rt△DHC中,∵CH2=DC2+DH2,∴m2=22+(4﹣m)2,∴m=52,∴AH=52,GH22AH AG-22522⎛⎫-⎪⎝⎭32.(3)在Rt△ABC中,2225AC AB BC=+=,152OC AC,由题可知,G点在以C点为圆心,BC为半径的圆上运动,且GE与该圆相切,因为GE=AB 不变,所以O到直线GE的距离即为△OGE的高,当点G在对角线AC上时,OG最短,即△OGE的面积最小,最小值=12×OG×EG=12×2×(4545当点G在AC的延长线上时,OG最长,即△OE′G′的面积最大.最大值=12×E′G′×OG′=1×2×(4+5)=4+5.2综上所述,455【点睛】本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.(1)比较简单,掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键;(2)能表示Rt△DHC三边,借助方程思想是解决此问的关键;(2)理解线段GE的运动轨迹,得出面积最小(大)时G点的位置是解决此问的关键.。

初三九年级数学上册数学压轴题试题(WORD版含答案)

初三九年级数学上册数学压轴题试题(WORD版含答案)

初三九年级数学上册数学压轴题试题(WORD版含答案)一、压轴题1.如图1,△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=100,D是BC的中点.小明对图1进行了如下探究:在线段AD上任取一点E,连接EB.将线段EB绕点E逆时针旋转80°,点B的对应点是点F,连接BF,小明发现:随着点E在线段AD上位置的变化,点F的位置也在变化,点F可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(1)如图2,当点F在直线AD上时,连接CF,猜想直线CF与直线AB的位置关系,并说明理由.(2)若点F落在直线AD的右侧,请在备用图中画出相应的图形,此时(1)中的结论是否仍然成立,为什么?(3)当点E在线段AD上运动时,直接写出AF的最小值.2.如图①,A(﹣5,0),OA=OC,点B、C关于原点对称,点B(a,a+1)(a>0).(1)求B、C坐标;(2)求证:BA⊥AC;(3)如图②,将点C绕原点O顺时针旋转α度(0°<α<180°),得到点D,连接DC,问:∠BDC的角平分线DE,是否过一定点?若是,请求出该点的坐标;若不是,请说明理由.3.如图,⊙O的直径AB=26,P是AB上(不与点A,B重合)的任一点,点C,D为⊙O 上的两点.若∠APD=∠BPC,则称∠DPC为直径AB的“回旋角”.(1)若∠BPC =∠DPC =60°,则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗?并说明理由;(2)猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系,给出证明(提示:延长CP 交⊙O 于点E );(3)若直径AB 的“回旋角”为120°,且△PCD 的周长为24+133,直接写出AP 的长.4.已知:如图1,在O 中,弦2AB =,1CD =,AD BD ⊥.直线,AD BC 相交于点E .(1)求E ∠的度数;(2)如果点,C D 在O 上运动,且保持弦CD 的长度不变,那么,直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变?试就以下三种情况进行探究,并说明理由(图形未画完整,请你根据需要补全).①如图2,弦AB 与弦CD 交于点F ;②如图3,弦AB 与弦CD 不相交:③如图4,点B 与点C 重合.5.如图,在平面直角坐标系中,直线l :y =﹣13x +2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,以AB 为斜边作等腰直角△ABC ,使点C 落在第一象限,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,作CE ⊥x 轴于点E ,连接ED 并延长交y 轴于点F .(1)如图(1),点P 为线段EF 上一点,点Q 为x 轴上一点,求AP +PQ 的最小值. (2)将直线l 进行平移,记平移后的直线为l 1,若直线l 1与直线AC 相交于点M ,与y 轴相交于点N ,是否存在这样的点M 、点N ,使得△CMN 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,在正方形ABCD 中,P 是边BC 上的一动点(不与点B ,C 重合),点B 关于直线AP 的对称点为E ,连接AE ,连接DE 并延长交射线AP 于点F ,连接BF(1)若BAP α∠=,直接写出ADF ∠的大小(用含α的式子表示).(2)求证:BF DF ⊥.(3)连接CF ,用等式表示线段AF ,BF ,CF 之间的数量关系,并证明.7.抛物线G :2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于C (0,-1),且AB =4OC . (1)直接写出抛物线G 的解析式: ;(2)如图1,点D (-1,m )在抛物线G 上,点P 是抛物线G 上一个动点,且在直线OD 的下方,过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ,当线段PQ 取最大值时,求点P 的坐标;(3)如图2,点M 在y 轴左侧的抛物线G 上,将点M 先向右平移4个单位后再向下平移,使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上,若S △CMN =2,求点M 的坐标.8.如图,抛物线y =ax 2-4ax +b 交x 轴正半轴于A 、B 两点,交y 轴正半轴于C ,且OB =OC =3.(1) 求抛物线的解析式;(2) 如图1,D 为抛物线的顶点,P 为对称轴左侧抛物线上一点,连接OP 交直线BC 于G ,连GD .是否存在点P ,使2GD GO=?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 如图2,将抛物线向上平移m 个单位,交BC 于点M 、N .若∠MON =45°,求m 的值.9.如图1,已知菱形ABCD 的边长为23,点A 在x 轴负半轴上,点B 在坐标原点.点D 的坐标为(−3,3),抛物线y=ax 2+b(a≠0)经过AB 、CD 两边的中点.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移(如图2),过点B 作BE ⊥CD 于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD 平移的时间为t 秒(0<t<3.....) ①是否存在这样的t ,使7FB?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; ②连接FC,以点F 为旋转中心,将△FEC 按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x .轴与..抛物线在....x .轴上方的部分围成的图形中............(.包括边界....).时,求t 的取值范围.(直接写出答案即可) 10.如图,抛物线2)12(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点,交y 轴于点C .直线122y x =-经过点,B C .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线上一动点,过P 作x 轴的垂线,交直线BC 于M .设点P 的横坐标是t .①当PCM ∆是直角三角形时,求点P 的坐标;②当点P 在点B 右侧时,存在直线l ,使点,,A C M 到该直线的距离相等,求直线解析式y kx b =+(,k b 可用含t 的式子表示).11.已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点,且抛物线的对称轴为直线2x =.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线平移,使顶点与原点重合,已知点(,1)M m -,点A 、B 为抛物线上不重合的两点(B 在A 的左侧),且直线MA 与抛物线仅有一个公共点.①如图1,当点M 在y 轴上时,过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ,BQ x ⊥轴于点Q .若APM △与BQO △ 相似, 求直线AB 的解析式;②如图2,当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时,记A 、B 两点的横坐标分别为a 、b .当点M 在y 轴上时,直接写出m a m b--的值为 ;当点M 不在y 轴上时,求证:m a m b--为一个定值,并求出这个值.12.矩形ABCD 中,AB =2,AD =4,将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF (其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应).(1)如图1,当点G 落在AD 边上时,直接写出AG 的长为 ;(2)如图2,当点G 落在线段AE 上时,AD 与CG 交于点H ,求GH 的长;(3)如图3,记O 为矩形ABCD 对角线的交点,S 为△OGE 的面积,求S 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1)//CF AB ,证明见解析;(2)成立,证明见解析;(3)AF 的最小值为4【解析】【分析】(1)结合题意,根据旋转的知识,得BE EF =,80BEF ∠= ,再根据三角形内角和性质,得50BFD ∠=;结合AB=AC=4,D 是BC 的中点,推导得CFD BAD ∠=∠,即可完成解题;(2)由(1)可知:EB=EF=EC ,得到B ,F ,C 三点共圆,点E 为圆心,得∠BCF=12∠BEF=40°,从而计算得ABC BCF ∠=∠,完成求解; (3)由(1)和(2)知,CF ∥AB ,因此得点F 的运动路径在CF 上;故当点E 与点A 重合时,AF 最小,从而完成求解.【详解】(1)∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°,点B 的对应点是点F∴BE EF =,80BEF ∠=∴180502BEF EBF BFE -∠∠=∠== ,即50BFD ∠= ∵AB=AC=4,D 是BC 的中点∴BD DC =,AD BC ⊥ ∴BF CF =,ABD ACD △≌△∴FBD FCD △≌△,1005022BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠=∴50CFD BAD ∠=∠=∴//CF AB(2)如图,连接BE 、EC 、BF 、EF由(1)可知:EB=EF=EC∴B ,F ,C 三点共圆,点E 为圆心∴∠BCF=12∠BEF=40° ∵50BAD ∠=,AD BC ⊥∴9040ABC BAD ∠=-∠=∴ABC BCF ∠=∠∴//CF AB ,(1)中的结论仍然成立(3)由(1)和(2)知,//CF AB∴点F 的运动路径在CF 上如图,作AM ⊥CF 于点M∵8090BEF ∠=<∴点E 在线段AD 上运动时,点B 旋转不到点M 的位置∴故当点E 与点A 重合时,AF 最小此时AF 1=AB=AC=4,即AF 的最小值为4.【点睛】本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识;解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识,从而完成求解.2.(1)点B (3,4),点C (﹣3,﹣4);(2)证明见解析;(3)定点(4,3);理由见解析.【解析】【分析】(1)由中心对称的性质可得OB =OC =5,点C (﹣a ,﹣a ﹣1),由两点距离公式可求a 的值,即可求解;(2)由两点距离公式可求AB ,AC ,BC 的长,利用勾股定理的逆定理可求解;(3)由旋转的性质可得DO =BO =CO ,可得△BCD 是直角三角形,以BC 为直径,作⊙O ,连接OH ,DE 与⊙O 交于点H ,由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC =∠CDE =45°=∠BDE =∠BCH ,可证CH =BH ,∠BHC =90°,由两点距离公式可求解.【详解】解:(1)∵A (﹣5,0),OA =OC ,∴OA =OC =5,∵点B 、C 关于原点对称,点B (a ,a +1)(a >0),∴OB =OC =5,点C (﹣a ,﹣a ﹣1),∴5=()()220+10a a -+-,∴a =3,∴点B (3,4),∴点C (﹣3,﹣4);(2)∵点B (3,4),点C (﹣3,﹣4),点A (﹣5,0),∴BC =10,AB =45 ,AC =25,∵BC 2=100,AB 2+AC 2=80+20=100,∴BC 2=AB 2+AC 2,∴∠BAC =90°,∴AB ⊥AC ;(3)过定点,理由如下:∵将点C 绕原点O 顺时针旋转α度(0°<α<180°),得到点D ,∴CO =DO ,又∵CO =BO ,∴DO =BO =CO ,∴△BCD 是直角三角形,∴∠BDC =90°,如图②,以BC 为直径,作⊙O ,连接OH ,DE 与⊙O 交于点H ,∵DE 平分∠BDC ,∴∠BDE =∠CDE =45°,∴∠HBC=∠CDE=45°=∠BDE=∠BCH,∴CH=BH,∠BHC=90°,∵BC=10,∴BH=CH=,OH=OB=OC=5,设点H(x,y),∵点H在第四象限,∴x<0,y>0,∴x2+y2=25,(x﹣3)2+(y﹣4)2=50,∴x=4,y=3,∴点H(4,﹣3),∴∠BDC的角平分线DE过定点H(4,3).【点睛】本题是几何变换综合题,考查了中心对称的性质,直角三角形的性质,角平分线的性质,圆的有关知识,勾股定理的逆定理,两点距离公式等知识,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.3.(1)∠DPC是直径AB的回旋角,理由见解析;(2)“回旋角”∠CPD的度数=CD的度数,证明见解析;(3)3或23.【解析】【分析】(1)由∠BPC=∠DPC=60°结合平角=180°,即可求出∠APD=60°=∠BPC,进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角;(2)延长CP交圆O于点E,连接OD,OC,OE,由“回旋角”的定义结合对顶角相等,可得出∠APE=∠APD,由圆的对称性可得出∠E=∠D,由等腰三角形的性质可得出∠E=∠C,进而可得出∠D=∠C,利用三角形内角和定理可得出∠COD=∠CPD,即“回旋角”∠CPD的度数=CD的度数;(3)①当点P在半径OA上时,在图3中,过点F作CF⊥AB,交圆O于点F,连接PF,则PF=PC,利用(2)的方法可得出点P,D,F在同一条直线上,由直径AB的“回旋角”为120°,可得出∠APD=∠BPC=30°,进而可得出∠CPF=60°,即△PFC是等边三角形,根据等边三角形的性质可得出∠CFD=60°.连接OC,OD,过点O作OG⊥CD于点G,则∠COD=120°,根据等腰三角形的性质可得出CD=2DG,∠DOG=12∠COD=60°,结合圆的直径为26可得出CD=PCD的周长为DF=24,过点O作OH⊥DF于点H,在Rt△OHD和在Rt△OHD中,通过解直角三角形可得出OH,OP的值,再根据AP=OA﹣OP可求出AP的值;②当点P在半径OB上时,用①的方法,可得:BP=3,再根据AP=AB﹣BP可求出AP的值.综上即可得出结论.【详解】(1)∵∠BPC=∠DPC=60°,∴∠APD=180°﹣∠BPC﹣∠DPC=180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠APD=∠BPC,∴∠DPC是直径AB的回旋角.(2)“回旋角”∠CPD的度数=CD的度数,理由如下:如图2,延长CP交圆O于点E,连接OD,OC,OE.∵∠CPB=∠APE,∠APD=∠CPB,∴∠APE=∠APD.∵圆是轴对称图形,∴∠E=∠D.∵OE=OC,∴∠E=∠C,∴∠D=∠C.由三角形内角和定理,可知:∠COD=∠CPD,∴“回旋角”∠CPD的度数=CD的度数.(3)①当点P在半径OA上时,在图3中,过点F作CF⊥AB,交圆O于点F,连接PF,则PF=PC.同(2)的方法可得:点P,D,F在同一条直线上.∵直径AB的“回旋角”为120°,∴∠APD=∠BPC=30°,∴∠CPF=60°,∴△PFC是等边三角形,∴∠CFD=60°.连接OC,OD,过点O作OG⊥CD于点G,则∠COD=120°,∴CD=2DG,∠DOG=12∠COD=60°,∵AB=26,∴OC=13,∴32 CG∴CD=2×1332=133∵△PCD的周长为24+133,∴PD+PC+CD=24+133,∴PD +PC =DF =24.过点O 作OH ⊥DF 于点H ,则DH =FH =12DF =12. 在Rt △OHD 中,OH =222213125OD DH -=-=, 在Rt △OHP 中,∠OPH =30°, ∴OP =2OH =10,∴AP =OA ﹣OP =13﹣10=3; ②当点P 在半径OB 上时, 同①的方法,可得:BP =3, ∴AP =AB ﹣BP =26﹣3=23. 综上所述,AP 的长为:3或23.【点睛】此题是圆的综合题,考查圆的对称性质,直角三角形、等腰三角形与圆的结合,(3)是此题的难点,线段AP 的长度由点P 所在的位置决定,因此必须分情况讨论.4.(1)60E ∠=︒(2)①结论:直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变,依然是60︒;证明过程见详解.②结论:直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变,依然是60︒;证明过程见详解.③结论:直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变,依然是60︒;证明过程见详解. 【解析】 【分析】(1)根据AD BD ⊥得到AB 是直径,连接OC 、OD ,发现等边三角形,再根据圆周角定理求得30EBD ∠=︒,再进一步求得E ∠的度数;(2)分别画出三种图形,图2中,根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可以求得;图3中,根据三角形的外角的性质和圆周角定理可以求得;图4中,根据切线的性质发现直角三角形,根据直角三角形的两个锐角互余求得. 【详解】解:(1)连接OC 、OD ,如图:∵AD BD ⊥ ∴AB 是直径 ∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形 ∴60COD ∠=︒ ∴30DBE ∠=︒ ∴60E ∠=︒(2)①结论:直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒ 证明:连接OD 、OC 、AC ,如图:∵1OD OC CD === ∴OCD 为等边三角形 ∴60COD ∠=︒ ∴30DAC ∠=︒ ∴30EBD ∠=︒ ∵90ADB ∠=︒ ∴903060E ∠=︒-︒=︒②结论:直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒ 证明:连接OC 、OD ,如图:∵AD BD ⊥ ∴AB 是直径 ∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形 ∴60COD ∠=︒ ∴30DBE ∠=︒∴903060BED ∠=︒-︒=︒③结论:直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒ 证明:如图:∵当点B 与点C 重合时,则直线BE 与O 只有一个公共点∴EB 恰为O 的切线∴90ABE ∠=︒∵90ADB ∠=︒,1CD =,2AD = ∴30A ∠=︒ ∴60E ∠=︒.故答案是:(1)60E ∠=︒(2)①结论:直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变,依然是60︒;证明过程见详解.②结论:直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变,依然是60︒;证明过程见详解.③结论:直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变,依然是60︒;证明过程见详解. 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、圆内接四边形的性质.此题主要是能够根据圆周角定理的推论发现AB 是直径,进一步发现等边COD △,从而根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解.5.(1)AP +PQ 的最小值为4;(2)存在,M 点坐标为(﹣12,﹣4)或(12,8). 【解析】 【分析】(1)由直线解析式易求AB 两点坐标,利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE =CE =4,C 点坐标为(4,4)DB =∠CEB =90︒,可知B 、C 、D 、E 四点共圆,由等腰直角△ABC 可知∠CBD =45︒,同弧所对圆周角相等可知∠CED =45︒,所以∠OEF =45︒,CE 、OE 是关于EF 对称,作PH ⊥CE 于H ,作PG ⊥OE 于Q ,AK ⊥EC 于K .把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题.(2)由直线l 与直线AC 成45︒可知∠AMN =45︒,由直线AC 解析式可设M 点坐标为(x ,122x +),N 在y 轴上,可设N (0,y )构造K 字形全等即可求出M 点坐标.【详解】解:(1)过A 点作AK ⊥CE ,在等腰直角△ABC 中,∠ACB =90︒,AC =BC , ∵CE ⊥x 轴,∴∠ACK +∠ECB =90︒,∠ECB +∠CBE =90︒, ∴∠ACK =∠CBE 在△AKC 和△CEB 中,AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, △AKC ≌△CEB (AAS ) ∴AK =CE ,CK =BE , ∵四边形AOEK 是矩形, ∴AO =EK =BE , 由直线l :y =﹣13x +2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,可知A 点坐标为(0,2),B (6,0)∴E 点坐标为(4,0),C 点坐标为(4,4), ∵∠CDB =∠CEB =90︒, ∴B 、C 、D 、E 四点共圆, ∵CD CD =,∠CBA =45︒, ∴∠CED =45︒, ∴FE 平分∠CEO ,过P 点作PH ⊥CE 于H ,作PG ⊥OE 于G ,过A 点作AK ⊥EC 于K . ∴PH =PQ ,∵PA +PQ =PA +PH ≥AK =OE , ∴OE =4, ∴AP +PQ ≥4, ∴AP +PQ 的最小值为4.(2)∵A 点坐标为(0,2),C 点坐标为(4,4), 设直线AC 解析式为:y =kx+b 把(0,2),(4,4)代入得244bk b =⎧⎨=+⎩解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC解析式为:y=122x+,设M点坐标为(x,122x+),N坐标为(0,y).∵MN∥AB,∠CAB=45︒,∴∠CMN=45︒,△CMN为等腰直角三角形有两种情况:Ⅰ.如解图2﹣1,∠MNC=90︒,MN=CN.同(1)理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等,同(1)理得:SN=CR,MS =NR.∴41242x yx y-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得:128xy=-⎧⎨=-⎩,∴M点坐标为(﹣12,﹣4)Ⅱ.如解图2﹣2,∠MNC=90︒,MN=CN.过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等,同(1)得:MS=CF,CS=FN.∴4412442x yx-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得:1212xy=⎧⎨=⎩,∴M点坐标为(12,8)综上所述:使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为(﹣12,﹣4)或(12,8).【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用,题中运用等腰直角三角形的判定和性质,正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,四点共圆,圆周角定理,垂线段最短等知识,解题的关键是中用转化的思想思考问题,学会添加常用辅助线,在平面直角坐标系中构造K字形全等三角形求点坐标解决问题,属于中考压轴题.6.(1)45°+ ;(2)证明见解析;(3)2BF+CF.【解析】【分析】(1)过点A作AG⊥DF于G,由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD,∠BAP=∠EAF,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG,即可得∠FAG=12∠BAD=45°,∠DAG+∠BAP=45°,根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案;(2)由(1)可得∠FAG=12∠BAD=45°,由AG⊥PD可得∠APG=45°,根据轴对称的性质可得∠BPA=∠APG=45°,可得∠BFD=90°,即可证明BF⊥DF;(3)连接BD、BE,过点C作CH//FD,交BE延长线于H,由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆,根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC,∠DFC=∠DBC=45°,根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH,根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH,由轴对称性质可得BF=EF,可得△BEF是等腰直角三角形,即可得∠BEF=45°,2BF,即可证明∠BEF=∠DFC,可得BH//FC,即可证明四边形EFCH是平行四边形,可得EH=FC,EF=CH,利用等量代换可得CH=BF,利用SAS可证明△ABF≌△BCH,可得AF=BH,即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】(1)过点A作AG⊥DF于G,∵点B关于直线AF的对称点为E,四边形ABCD是正方形,∴AE=AB,AB=AD=DC=BC,∠BAF=∠EAF,∴AE=AD,∵AG⊥FD,∴∠EAG=∠DAG,∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG,∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°,∴∠DAG=45°-α,∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α.(2)由(1)得∠GAF=45°,∵AG⊥FD,∴∠AFG=45°,∵点E、B关于直线AF对称,∴∠AFB=∠AFE=45°,∴∠BFG=90°,∴BF⊥DF.(3)连接BD、BE,过点C作CH//FD,交BE延长线于H,∵∠BFD=∠BCD=90°,∴B、F、C、D四点共圆,∴∠FDC=∠FBC,∠DFC=∠DBC=45°,∵CH//FD,∴∠DCH=∠FDC,∴∠FBC=∠DCH,∵∠ABC=∠BCD=90°,∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH,即∠ABF=∠BCH,∵点E、B关于直线AF对称,∴BF=EF,∵∠BFE=90°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴∠BEF=45°,2BF,∴∠BEF=∠DFC,∴FC//BH,∴四边形EFCH是平行四边形,∴EH=FC,CH=BF,在△ABF和△BCH中,AB BCABF BCHBF CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴2BF+CF.【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质,正确得出B 、F 、C 、D 四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键. 7.(1)2114y x =-;(2)点P 37(,)216-;(3)(222,222M --+ 【解析】 【分析】(1)根据题意得到AB=4,根据函数对称轴x=0,得到OA=OB=2,得到A 、B 坐标,代入函数解析式即可求解;(2)首先求得直线OD 解析式,然后设P (21,14t t -),得到PQ 关于t 的解析式,然后求出顶点式即可求解; (3)设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,然后求得直线CM 的解析式,得到EM 的表达式,然后根据CMNCNEMNESSS=+即可求解.【详解】(1)∵AB =4OC ,且C (0,-1) ∴AB=4∴OA=OB=2,即A 点坐标()2,0-,B 点坐标()2,0 代入A 点坐标得2021a =- 解得14a =∴G 的解析式为2114y x =- 故答案为2114y x =-(2)当1x =-时,34y =-,即:点D 为(31,4--)∴直线OD 为:34y x = 设P (21,14t t -),则Q 为(22141,1334t t --),则: 22214141325()()33333212PQ t t t t t =--=-++=--+∴当32t =时,PQ 取得最大值2512,此时点P 位37(,)216- (3)设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则N ()214,414m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭∵C 点坐标为(0,1)-∴可设直线CM 为1y kx =-,带入M 点坐标得:14k m = ∴直线CM 为114y mx =- 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ,则E 点为()14,414m m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭∴4EN m =-- ∵()()12CMNCNE MNEC N N M S SSx x x x EN ⎡⎤=+=-+-•⎣⎦ ∴()()104=22m m ---∴2440m m +-=解得:1222m =--,2222m =-+(舍去) ∴M ()222,222--+ 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,二次函数综合应用,是二次函数部分的压轴题,题目较难,应画出示意图,然后进行讨论分析. 8.(1)y =x 2-4x +3 ;(2) P(36626--,);(3) 9922m -+= 【解析】 【分析】 (1)把,,代入,解方程组即可.(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG,则点G 在线段BC 上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO 与抛物线的交点即为所求的点P .利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O 顺时针旋转得到,首先证明,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y 得到,由,推出,,M 、N 关于直线对称,所以,设,则,利用勾股定理求出a 以及MN 的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.【详解】 (1),,,代入,得,解得,∴抛物线的解析式为(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K.由题意,,,,,,,将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,,,,是等腰直角三角形,,∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,, ,∴直线OD的解析式为,,∴直线OG的解析式为,由解得或, 点P在对称轴左侧,点P坐标为(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到,,,,,,,,,,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y得到,,,∴M、N关于直线对称,,设,则,,(负根已经舍弃),,,【点睛】本题考查了二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定与性质、根与系数的关系、勾股定理等知识点,解题的关键是灵活运用所学知识,学会利用旋转添加辅助线,构造全等三角形,学会利用方程组及根与系数的关系,构建方程解决问题,本题难度较大.69.(1)y=−x2+3;(2)①2或563⩽t【解析】【分析】(1)根据已知条件求出AB和CD的中点坐标,然后利用待定系数法求该二次函数的解析式;(2)①由D(3,3),则平移后坐标为D´(3,3),F(t,-t2+3);则有DF2=(−3+t-t)2+(-t2+3-3)2;FB2=(-t2+3)2,再根据DF=7FB,即可求得t;②如图3所示,画出旋转后的图形,认真分析满足题意要求时,需要具备什么样的限制条件,然后根据限制条件列出不等式,求出的取值范围,确定限制条件是解题的关键【详解】(1)由题意得AB的中点坐标为(−3,0),CD的中点坐标为(0,3),分别代入y=ax2+b得:3a b0b3+=⎧⎨=⎩,解得a1b3=-⎧⎨=⎩,∴y=−x2+3.(2)①D(−3,3),则平移后坐标为D´(−3+t,3),F(t,-t2+3);DF2=(−3+t-t)2+(-t2+3-3)2;FB2=(-t2+3)2DF=7FB,则(−3+t-t)2+(-t2+3-3)2=7(-t2+3)2解得:t2=2或5,则t=2或t=5;②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴,分别交抛物线、x轴于点M、点N.观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足:EE′⩽BE且MN⩾C′N.∵F(t,3−t2),∴EF=3−(3−t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2,由EE′⩽BE,得2t2⩽3,解得t6∵3∴C′点的横坐标为3∴3)2,又C′N=BE′=BE−EE′=3−2t2由MN⩾C′N,得32⩾3−2t2,解得t63或t⩽63舍去).∴t63t⩽6 2【点睛】本题是动线型中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换(平移与旋转)、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点,难度较大,对考生能力要求很高,灵活应用所学知识是解答本题的关键..10.(1)211242y x x =--;(2)①P (2,−2)或(-6,10),②1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++【解析】 【分析】(1)利用一次函数与坐标轴交点的特征可求出点B ,C 的坐标,根据点B ,C 的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式;(2)①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC≠90°,分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑: (i )当∠MPC=90°时,PC //x 轴,利用二次函数可求出点P 的坐标;(ii )当∠PCM=90°时,设PC 与x 轴交于点D ,易证△BOC ∽△COD ,利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标,根据点C ,D 的坐标,利用待定系数法可求出直线PC 的解析式,联立直线PC 和抛物线的解析式,通过解方程组可求出点P 的坐标;②在ACM 中,如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等,则该直线应为ACM 的中位线,分开求解三条中位线方程即可求解. 【详解】解:(1)因为直线交抛物线于B 、C 两点, ∴当x =0时,y =12x −2=−2, ∴点C 的坐标为(0,−2); 当y =0时,12x −2=0, 解得:x =4,∴点B 的坐标为(4,0).将B 、C 的坐标分别代入抛物线,得:2144022a c c ⎧⨯-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩,解得:142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴抛物线的解析式为211242y x x =--. (2)①∵PM ⊥x 轴,M 在直线BC 上, ∴∠PMC 为固定角且不等于90, ∴可分两种情况考虑,如图1所示:(i )当∠MPC=90时,PC //x 轴, ∴点P 的纵坐标为﹣2, 将y p =-2,代入抛物线方程可得:2112242x x --=-解得: x 1=2,x 2=0(为C 点坐标,故舍去), ∴点P 的坐标为(2,−2);(ii )当∠PCM=90°时,设PC 与x 轴交于点D , ∵∠OBC+∠OCB=90°,∠OCB+∠OCD=90°, ∴∠OBC=∠OCD , 又∵∠BOC=∠COD=90°, ∴BOC ∽COD (AAA ),∴OD OC OC OB =,即OD=2OC OB, 由(1)知,OC=2,OB=4, ∴OD=1,又∵D 点在X 的负半轴 ∴点D 的坐标为(-1,0),设直线PC 的解析式为:y =kx +b (k ≠0,k 、b 是常数), 将C(0,−2),D(-1,0)代入直线PC 的解析式,得:20b k b =-⎧⎨-+=⎩,解得:22k b =-⎧⎨=-⎩, ∴直线PC 的解析式为y =-2x −2, 联立直线PC 和抛物线方程,得: 22122142x x x -=---, 解得:x 1=0,y 1=−2,x 2=-6,y 2=10, 点P 的坐标为(-6,10),综上所述:当PCM 是直角三角形时,点P 的坐标为(2,−2)或(-6,10);②如图2所示,在ACM 中,如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等,则该直线应为ACM 的中位线;(a )当以CM 为底时,过A 点做CM 的平行线AN ,直线AN 平行于CM 且过点A ,则斜率为12,AN 的方程为:1(+2)2y x =,则中位线方程式为:1122y x =-; (b )当以AM 为底时,因为M 为P 点做x 轴垂线与CB 的交点,则M 的横坐标为t ,且在直线BC 上,则M 的坐标为:1,22M t t -(),其中4t >,则AM 的方程为:44+242t t y x t t --=++,过C 点做AM 的平行线CQ ,则CQ 的方程为:4224t y x t -=-+ ,则中位线方程式为:4412424t t y x t t --=+-++; (c )当以AC 为底时,AC 的方程式为:2y x =--,由b 可知M 的坐标为:1,22M t t -(),过M 做AC 的平行线MR ,则MR 的方程为:322y x t =-+-,则中位线方程式为:324y x t =-+-; 综上所述:当点P 在点B 右侧时,存在直线l ,使点,,A C M 到该直线的距离相等,直线解析式为:1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++. 【点睛】本题考查了一次函数坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等,解题的关键是掌握三角形的顶点到中位线的距离相等. 11.(1)214y x x =-;(2)①122y x =-+,②1,见解析,定值为1 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法把点(4,0)、(2,3)-代入解析式,再结合抛物线对称轴方程得到三元一次方程组,解方程组即可.(2)①先求出平移后的抛物线解析式,设出直线MA 的解析式1y kx =-,再联立抛物线解析式2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,得到21104x kx -+=,令210k ∆=-=,求出k 的值,得出APM∆为等腰直角三角形,运用APM ∆与BQO ∆相似得出90BQO APM ∠=∠=,故AB :y mx n =+,则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩即可求出AB 函数关系式.②当M 在y 轴上时,m=0,再根据图像对称性可得A 、B 两点关于y 轴对称,得出a ,b 的关系,即可求出答案;当M 不在与轴上时,设MA :111y k x k m =--,联立抛物线解析式112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩,得出2114440x k x k m -++=,令212=16(1)0k k m ∆--=,同理设出MB ,令22216(1)0k k m ∆=--=,故1k ,2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根,得出12k k m +=,即可求出答案. 【详解】解:(1)设2y=ax +bx+c a (≠0),把点(4,0)、(2,3)-代入 ∵对称轴为x=2∴164042322a b c a b c b a ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1410a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∴抛物线解析式214y x x =-. (2)①(0,1)M -,平移后抛物线214y x = 设MA :1y kx =-则联立2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,21104x kx -+= 210k ∆=-=1k ∴=±又由图,A 在y 轴右侧 故1k =,(2,1)A2AP PM ∴==,APM ∆为等腰直角三角形又APM ∆与BQO ∆相似∴△BQO 为等腰直角三角形,设B (﹣x ,x ),带入抛物线解析式得:214x x = 解得x=4或x=0(舍去) ∴B (﹣4,4)设AB :y mx n =+,把(2,1)A ,B (﹣4,4)带入得:则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩,122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴AB 解析式为:122y x =-+. ②(i )∵214y x =关于y 轴对称,M 在y 轴上,且MA ,MB 与抛物线只有一个交点 ∴A 、B 两点关于y 轴对称, ∴a=﹣b∴m a m b --=0+b0b-=1, 故答案是:1;(ii )设MA :111y k x k m =--,则联立112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩, 2114440x k x k m -++=,此方程仅一个根, 故11422k a k ==, 且212=16(1)0k k m ∆--=,同理设MB :221y k x k m =--, 亦有22b k =,22216(1)0k k m ∆=--=,故1k ,2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根,12k k m +=,()111122122m k m k m am b m m k k m ---∴===----, 即m am b--为一定值1,∴当点M不在y轴上时,m am b--为一个定值1.【点睛】本题考查的是二次函数综合题型,二次函数待定系数法求函数解析式,二次函数与一元二次方程的综合应用,二次函数与相似三角形的综合应用,解题关键在于理解题意,正确分析题目,运用数形结合思想进行解题.12.(1)4﹣23;(2)32;(3)4﹣5≤S≤4+5【解析】【分析】(1)在Rt△DCG中,利用勾股定理求出DG即可解决问题;(2)首先证明AH=CH,设AH=CH=m,则DH=AD﹣HD=4﹣m,在Rt△DHC中,根据CH2=CD2+DH2,构建方程求出m即可解决问题;(3)如图,当点G在对角线AC上时,△OGE的面积最小,当点G在AC的延长线上时,△OE′G′的面积最大,分别求出面积的最小值,最大值即可解决问题.【详解】解:(1)如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=CG=4,∠D=90°,∵AB=CD=2,∴DG=22CDCG-=2242-=23,∴AG=AB﹣BG=4﹣23,故答案为:4﹣23.(2)如图2中,由四边形CGEF是矩形,得到∠CGE=90°,∵点G在线段AE上,∴∠AGC=90°,∵CA=CA,CB=CG,∴Rt△ACG≌Rt△ACB(HL).∴∠ACB=∠ACG,∵AB∥CD∴∠ACG=∠DAC,∴∠ACH=∠HAC,∴AH=CH,设AH=CH=m,则DH=AD﹣AH=5﹣m,在Rt△DHC中,∵CH2=DC2+DH2,∴m2=22+(4﹣m)2,∴m=52,∴AH=52,GH=22AH AG-=22522⎛⎫-⎪⎝⎭=32.(3)在Rt△ABC中,2225AC AB BC=+=,152OC AC,由题可知,G点在以C点为圆心,BC为半径的圆上运动,且GE与该圆相切,因为GE=AB 不变,所以O到直线GE的距离即为△OGE的高,当点G在对角线AC上时,OG最短,即△OGE的面积最小,最小值=12×OG×EG=12×2×(4﹣5)=4﹣5.当点G在AC的延长线上时,OG最长,即△OE′G′的面积最大.最大值=12×E′G′×OG′=12×2×(4+5)=4+5.综上所述,455【点睛】本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.(1)比较简单,掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键;(2)能表示Rt△DHC三边,借助方程思想是解决此问的关键;(2)理解线段GE的运动轨迹,得出面积最小(大)时G点的位置是解决此问的关键.。

2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)

2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)

圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中,对于点P 和线段AB ,若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点,则称点P 为线段AB 的融合点.(1)已知A (3,0),B (5,0),①在点P 1(6,0),P 2(1,-2),P 3(3,2)中,线段AB 的融合点是 P 1,P 3 ;②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点,求t 的取值范围;(2)已知⊙O 的半径为4,A (a ,0),B (a +1,0),直线l 过点T (0,-1),记线段AB 关于l 的对称线段为A B .若对于实数a ,存在直线l ,使得⊙O 上有A B 的融合点,直接写出a 的取值范围.【解答】解:(1)①∵P 1(6,0),A (3,0),∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92,0,∴P 1是线段AB 的融合点;∵P 2(1,-2),B (5,0),设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0),∴(a -1)2+4=(5-a )2,解得a =52,∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52,0,∴P 2不是线段AB 的融合点;∵P 3(3,2),B (5,0),设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0),∴(b -3)2+4=(5-b )2,解得b =3,∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0),∴P 3是线段AB 的融合点;故答案为:P 1,P 3;②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心,AB 为半径的圆及内部,∵A (3,0),B (5,0),∴AB =2,当y =t 与圆相切时,t =2或t =-2,∴-2≤t ≤2时,直线y =t 上存在线段AB 的融合点;(2)由(1)可知,A B 的融合点在以A 、B 为圆心,A B 为圆心的圆及内部,∵A (a ,0),B (a +1,0),∴AB =A B =1,∵⊙O 上有A B 的融合点,∴圆O 与圆A 、B 有交点,∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径,以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域,当a >0时,a 的最大值为62-12=35,最小值为22-12-1=3-1,∴3-1≤a ≤35;当a <0时,a 的最大值为-22-12=-3,最小值为-62-12-1=-35-1,∴-35-1≤a ≤-3;综上所述:a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3.2(2023•西城区校级模拟)在平面内,C 为线段AB 外的一点,若以点A ,B ,C 为顶点的三角形为直角三角形,则称C 为线段AB 的直角点.特别地,当该三角形为等腰直角三角形时,称C 为线段AB 的等腰直角点.(1)如图1,在平面直角坐标系xOy 中,点M 的坐标为(-1,0),点N 的坐标为(1,0),在点P 1(2,1),P 2(-1,2),P 332,12 中,线段MN 的直角点是 P 2、P 3 ;(2)在平面直角坐标系xOy 中,点A ,B 的坐标分别为(t ,0),(0,4).①若t =4,如图2所示,若C 是线段AB 的直角点,且点C 在直线y =-x +8上,求点C 的坐标;②如图3,点D 的坐标为(m ,-2),⊙D 的半径为1,若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点,求出m 的取值范围.【解答】解:(1)∵P 2(-1,2),M (-1,0),∴P 2M ⊥MN ,∴P 2是线段MN 的直角点;∵M (-1,0),N (1,0),∴MN =2,∵P 332,12,∴P 3O =1,∴P 3在以O 为圆心,MN 为直径的圆上,∴∠MP 3N =90°,∴P 3是线段MN 的直角点;故答案为:P 2、P 3;(2)①∵A (4,0),B (0,4),∴OA =OB =4,∴∠OAB =∠OBA =45°.根据题意,若点C 为线段AB 的直角点,则需要分三种情况:当点B 为直角顶点,过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1,过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ,∴∠C 1BM =45°,∴C 1M =BM ,设C 1M =BM =a ,∴C 1(a ,a +4),∴-a +8=a +4,解得a =2,∴C 1(2,6);当点A 为直角顶点,过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2,过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ,∴∠C 2AN =45°,∴C 2N =AN ,设C 2N =AN =b ,∴C 2(b +4,b ),∴-(b +4)+8=b ,解得b =2,∴C 2(6,2);当点C 为直角顶点,取AB 的中点P ,则P (2,2),设C 3的横坐标为t ,则C 3(t ,-t +8),由直角三角形的性质可知,C 3P =BP =AP =22,∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2,解得t =4,∴C3(4,4),综上,点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4).②如图,以AB为边向下作正方形ABC1C2,连接AC1,BC2交于点C3,则C1,C2,C3是线段AB的等腰直角点.根据点A的运动可知,点C1在直线l1:x=-4上运动,C2在直线l2:y=-x-4上运动,C3在直线l3:y=-x上运动.设l2与y=-2相交于点K,l3与y=-2相交于点L,∴K(2,-2),L(2,-2).由此可得出临界情况如图:如图3(1)中,当⊙D与l1相切时,m=-5;如图3(2)中,当⊙D与l2相切时,点F为切点,连接DF,则ΔDFK为等腰直角三角形,且DF=1,∴DK=2;∴D(-2+2,-2),即m=-2+2;如图3(3)中,当⊙D与l3相切时,点G为切点,连接DG,则ΔDGL为等腰直角三角形,且DG=1,∴DL=2;∴D(2-2,-2),即m=2-2;如图3(4)中,当⊙D与l3相切时,点H为切点,连接DH,则ΔDHL为等腰直角三角形,且DH=1,∴DL=2;∴D(2+2,-2),即m=2+2;综上,符合题意的m的取值范围:-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2.3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家,他在三角形、四边形、零和负数的运算规则,二次方程等方面均有建树,他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形,我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”;(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”,则四边形ABCD是③.(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1,RtΔABC中,∠BAC=90°,以AB为弦的⊙O交AC于D,交BC于E,连接DE、AE、BD,AB=6,sin C=35,若四边形ABED是“婆氏四边形”,求DE的长;(3)如图2,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,连接AC,BD,OA,OB,OC,OD,已知∠BOC+∠AOD= 180°,①求证:四边形ABCD是“婆氏四边形”;②当AD+BC=4时,求⊙O半径的最小值.【解答】(1)解:∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠ABC=∠ADC,∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,∵四边形ABCD是“婆氏四边形”,∴AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形,故答案为:③;(2)解:∵∠BAC=90°,AB=6,sin C=35,∴BC=10,AC=8,∴BD为直径,∴∠BED =∠DEC =90°,∵四边形ABED 是“婆氏四边形”,∴AE ⊥BD ,∴AD =DE ,AB =BE =6,设AD =DE =m ,则CD =8-m ,EC =4,在Rt ΔEDC 中,m 2+42=(8-m )2,解得m =3,∴DE =3;(3)①证明:如图2,设AC ,BD 相交于点E ,∵∠DCA =12∠AOD ,∠BDC =12∠BOC ,∠BOC +∠AOD =180°,∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°,∴∠CED =90°,∴AC ⊥BD ,∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”;②解:过点O 作OM ⊥AD 交于M ,过O 作ON ⊥BC 交于N ,∴AM =12AD ,BN =12BC ,∠AMO =∠BNO =90°,∴∠AOM +∠OAM =90°,∵OA =BO =CO =DO ,∴∠AOM =12∠AOD ,∠BON =12∠BOC ,∵∠BOC +∠AOD =180°,∴∠AOM =∠OBN ,∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS ),∴ON =AM =12AD ,∵AD +BC =4,设ON =AM =n ,则AD =2n ,BC =4-2n ,BN =2-n ,在Rt ΔBON 中,BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2,当n =1时,BO 有最小值2,∴⊙O 半径的最小值为2.4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ,Q ,若图形W 上存在两个不重合的点M ,N ,使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合,则称点P 与点Q 关于图形W 双对合.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (-1,-2),B (5,-2),C (-1,4).(1)在点D (-4,0),E (2,2),F (6,0)中,与点O 关于线段AB 双对合的点是 D ,F ;(2)点K 是x 轴上一动点,⊙K 的直径为1,①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合,求t 的取值范围;②当点K 运动时,若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合,直接写出点K 的横坐标k 的取值范围.【解答】解:(1)当A 点是D 点的中点时,对应点为(2,-4);当B 点是D 点的中点时,对应点为(14,-4);当A 点是E 点的中点时,对应点为(-4,-6);当B 点是E 点的中点时,对应点为(8,-6);当A 点是F 点的中点时,对应点为(-8,-4);当B 点是F 点的中点时,对应点为(4,-4);当A 点是O 点的中点时,对应点为(-2,-4);当B 点是O 点的中点时,对应点为(10,-4);∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合,故答案为:D 、F ;(2)①设K(k,0),∵A(-1,-2),T(0,t),∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2),T点关于K点对称点H为(2k,-t),∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合,∴A点关于点K的对称点在以G为圆心,∵⊙K的直径为1,∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心,1为半径的圆上,点T关于点K的对称点在以H为圆心,1为半径的圆上,如图所示,∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合,∴当圆G与圆H有交点,∵GH=1+(t+2)2,∴1+(t+2)2≤2,解得-2-3≤t≤-2+3;②∵A(-1,-2),B(5,-2),C(-1,4),K(k,0),∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2),B点关于K点的对称点E(2k-5,2),C点关于K点的对称点G(2k+1, -4),∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域,∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合,∴阴影区域与圆K有公共交点,∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心,1为半径的圆构成的区域,如图1时,k-(2k+1)=12+1,解得k=-52;如图2时,2k+1-k=12+1,解得k=12;∴-52≤k≤12时,ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合;过点K作KN⊥EG交于N,直线EG交x轴于点M,设直线EG的解析式为y=k x+b,∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ,解得k =-1b=2k-3 ,∴y=-x+2k-3,∴M(2k-3,0),∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行,∴∠KMN=45°,∴KM=2KN=322,如图3时,k-(2k-3)=322,解得k=3-322,如图4时,2k-3-k=322,解得k=3+322,∴3-322≤k≤3+322时,ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合;综上所述:-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时,ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合.5(2022•钟楼区模拟)概念认识:平面内,M为图形T上任意一点,N为⊙O上任意一点,将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”,记作d(T-⊙O).例:如图1,在直线l上有A、C、O三点,以AC为对角线作正方形ABCD,以点O为圆心作圆,与l交于E、F两点,若将正方形ABCD记为图形T,则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”.数学理解:(1)在平面内有A、B两点,以点A为圆心,5为半径作⊙A,将点B记为图形T,若d(T-⊙A)=2,则AB= 3或7.(2)如图2,在平面直角坐标系中,以O(0,0)为圆心,半径为2作圆.①将点C(4,3)记为图形T,则d(T-⊙O)=.②将一次函数y=kx+22的图记为图形T,若d(T-⊙)>0,求k的取值范围.推广运用:(3)在平面直角坐标系中,P的坐标为(t,0),⊙P的半径为2,D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5),将ΔDOE记为图形T,若d(T-⊙P)=1,则t=.【解答】解:(1)如图1中,∵d(T-⊙A)=2,∴CB=CB′=2,∵AC=5,∴AB′=5-2=3,AB=5+2=7.故答案为:3或7.(2)①如图2中,连接OC交⊙O于E.∵C(4,3),∴OC=42+32=5,∵OE=2,∴EC=3,∴d(T-⊙O)=3.故答案为:3.②如图,设直线y=kx+22与⊙O相切于E,K.连接OK,OE.∵OE⊥DE,OK⊥DK,OD=22,OE=OK=2,∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2,DE=OD2?OE2=(22)2-22=2,∴DE=OE=DK=OK,∴四边形DEOK是菱形,∵∠DKO=∠DEO=90°,∴四边形DEOK是正方形,∴∠ODE=∠ODK=45°,∴直线DE的解析式为y=-x+22,直线DK的解析式为y=x+22,∵d(T-⊙O)>0,∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0.(3)如图3-1中,当点P在DE的右边时.∵D(5,5),∴∠DOP=45°,∵d(T-⊙P)=1,∴OP=5+1+2=8∴t=8.如图3-2中,当点P在∠DOE的外侧时,由题意可知OM=1,OP=1+2=3,t=-3.综上所述,满足条件的t的值为8或-3.6(2022秋•昌平区期末)已知:对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O,⊙O的半径为4,交x轴于点A,B,对于点P给出如下定义:过点C的直线与⊙O交于点M,N,点P为线段MN的中点,我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”.(1)若C(-2,0).①点P1(0,0),P2(-1,1),P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是 P1,P2 ;②若直线y=kx+3(k≠0).上只存在一个关于MN的“折弦点”,求k的值;(2)点C在线段AB上,直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”,直接写出b的取值范围.【解答】解:(1)①连接OP,∵P点是弦MN的中点,∴OP⊥MN,∴∠CPO=90°,∴P点在以CO为直径的圆上,∵C(-2,0),∴P点在以(-1,0)为圆心,1为半径的圆上,∵点P1(0,0),P2(-1,1)在该圆上,∴点P1(0,0),P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”,故答案为:P1,P2;②由①可知,P点在以(-1,0)为圆心,1为半径的圆上,设圆心D(-1,0),∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”,∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切,过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F,∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k,0,与y轴交于点G(0,3),∴DE=-1+3k,OF=3k,OG=3,∵∠DFE=∠EOG=90°,∴ΔEGO∽ΔEFD,∴DF GO =ED EG,∴13=3k-13+3k2,解得k=3 3;(2)由(1)可知,P点在以OC为直径的圆上,∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”,∴直线y=x+b与圆D相交或相切,过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F,∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0),与y轴交于点(0,b),当C点与A点重合时,b有最大值,此时D(-2,0),∴(-2+b)2=8,解得b=22+2或b=22+2(舍);当C点与B点重合时,b有最小值,此时D(2,0),∴(-b-2)2=8,解得b=22-2(舍)或b=-22-2;∴-22-2≤b≤22+2时,直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”.7(2022秋•东城区校级月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,过⊙T外一点P引它的两条切线,切点分别为M,N,若60°<∠MPN<180°,则称P为⊙T的环绕点.(1)当⊙O半径为1时,①在P1(2,2),P2(2,0),P3(2,1)中,⊙O的环绕点是 P1 ;②直线y=3x+b与x轴交于点A,y轴交于点B,若线段AB上存在⊙O的环绕点,求b的取值范围;(2)⊙T的半径为2,圆心为(0,t),以-m,33m(m>0)为圆心,33m为半径的所有圆构成图形H,若在图形H上存在⊙T的环绕点,直接写出t的取值范围.【解答】解:(1)①如图,PM,PN是⊙T的两条切线,M,N为切点,连接TM,TN,当∠MPN=60°时,∵PT平分∠MPN,∴∠TPN=∠MPT=30°,∵TM⊥PM,TN⊥PN,∴∠TNP=∠PMT=90°,∴TP =2TM =2,以T 为圆心,TP 为半径作⊙T .观察图象可知:当60°<∠MPN <180°时,⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点),故答案为:P 1;②如图中,设小圆交y 轴的正半轴于F ,当直线y =3x +b 经过点F 时,b =1,当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时,连接OK ,由题意B (0,b ),A -b 3,0,所以OB =b ,OA =b 3,AB =103b ,∵OK =2,12×AB ×OK =12×OA ×OB ,∴b =210,观察图象可知,当1<b <210时,线段AB 上存在⊙的环绕点,根据对称怀可知:当-210<b <-1时,线段AB 上存在⊙的环绕点,综上所述,满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1;(2)如图中,不妨设E -m ,33m (m >0),则点E 直线y =-33x 上,∵m >0,∴点E 在射线OE 上运动,作EM ⊥x 轴;∵E -m ,33m (m >0),∴OM =m ,EM =33m ,以E -m ,33m (m >0)为圆心,33m 为半径的⊙E 与x 轴相切,作⊙E 的切线ON ,观察图象可知:以E -m ,33m (m >0)为圆心,33m 为半径的所有圆构成图形H ,图形H 即为∠MON 的内部,包括射线OM ,ON 上,当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时,假设以T 为圆心,4为半径的圆与射线ON 相切于D ,连接TD ,∵tan ∠EOM =EM OM=33,∴∠EOM =30°,∵OM ,ON 是⊙E 的切线,∴∠EON =∠EOM =30°.∴∠TOD =30°,∴OT =2DT =8,∴T (0,8),当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时,且经过点O (0.0)时,T (0,-4),观察图象可知,当-4<t <8时,在图象上存在⊙T 的环绕点.8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上),给出如下定义:当PA =PB 时,过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段,则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”,垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”.如图所示,线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”,点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”.(1)如图,点M(0,4)、N(2,0),①点P的坐标为(5,4),直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4;②点H为平面直角坐标系中的一点,且HM=HN,则下列四个点:Q1(0,0),Q2(3,3),Q3(1,0),Q4(0,4)中,是点H 关于线段MN的“测度点”的是;(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B,①点G为平面直角坐标系中一点,且GA=GB,若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”,直接写出k的取值范围为;②⊙O的半径为r,点C与点D均在⊙O上,且线段CD=65r.点K与点O位于线段CD的异侧,且KC=KD,若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”,直接写出r的取值范围为.【解答】解:(1)①∵M(0,4)、P(5,4),∴MP⎳x轴,∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4,故答案为:4;②∵过点N作NF⊥MH交于F点,过点M作MG⊥NH交于点G,∵∠MFN=∠MGN=90°,∴F、G点在以MN为直径的圆上,设MN的中点为E,∵点M(0,4)、N(2,0),∴E(1,2),MN=25,∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心,5为半径的圆上,且不与M、N重合,∵Q1(0,0),Q2(3,3),Q3(1,0),Q4(0,4)中,Q1E=5,Q2E=5,Q3E=2,Q4E=5,∴Q1,Q2是点H关于线段MN的“测度点”,故答案为:Q1,Q2;(2)①当x=0时,y=6,∴B(0,6),当y=0时,x=8,∴A(8,0),∴AB的中点F(4,3),AB=10,由(1)可知,点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心,5为半径的圆上,且不与A、B点重合,∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”,∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交,过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K,直线与y轴的交点为T,过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L,过点L作SL⊥KT交于点S,∴LS =FK =5,∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3,∴L (0,-4k +3),T (0,-14k +3),∴TL =-10k ,∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2,∴k =±33,∴-33≤k ≤33时,一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”,故答案为:-33≤k ≤33;②由(1)可知,K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上,且不与C 、D 重合,当CD ⎳AB ,且AB 与圆P 相切时,r 有最小值,由①可得,45=35r 6-r ,解得r =247,当CD 在AB 上时,r 有最大值,r =6,∴247≤r <6时,线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”,故答案为:247≤r <6.9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ,作出如下定义:若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点,则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点;若旋转角小于90°,则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点.如图1,点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点.(1)已知点A (4,0),在点Q 1(0,4),Q 2(2,23),Q 3(-2,23),Q 4(22,-22)中,是点A 关于点O 的锐角旋转点的是 Q 2,Q 4 .(2)已知点B (5,0),点C 在直线y =2x +b 上,若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点,求实数b 的取值范围.(3)点D 是x 轴上的动点,D (t ,0),E (t -3,0),点F (m ,n )是以D 为圆心,3为半径的圆上一个动点,且满足n ≥0.若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点,请直接写出t 的取值范围.【解答】解:(1)如图,∵A (4,0),Q 1(0,4),∴OA =OQ 1=4,∠AOQ 1=90°,∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点;∵Q 2(2,23),作Q 2F ⊥x 轴于点F ,∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ,∵tan ∠Q 2OF =232=3,∴∠Q 2OF =60°,∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点;∵Q 3(-2,23),作Q 3G ⊥x 轴于点G ,则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3,∴∠Q3OG =60°,∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ,∵∠AOQ 3=180°-60°=120°,∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点;∵Q 4(22,-22),作Q 4H ⊥x 轴于点H ,则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1,∴∠Q 4OH =45°,∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ,∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点;综上所述,在点Q 1,Q 2,Q 3,Q 4中,是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2,Q 4,故答案为:Q 2,Q 4.(2)在y 轴上取点P (0,5),当直线y =2x +b 经过点P 时,可得b =5,当直线y =2x +b 经过点B 时,则2×5+b =0,解得:b =-10,∴当-10<b <5时,OB 绕点O 逆时针旋转锐角时,点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上,过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ,垂足G 在第四象限时,如图,则OT =-b ,OS =-12b ,∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ,当OG =5时,b 取得最小值,∵5×-52b =-b ×-12b ,∴b =-55,∴-55≤b <5.(3)根据题意,点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上,设点P 在半圆S 上,点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转),如图3(1),半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分,如图3(2)中,阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ,tan ∠EMG =2,SG =3,过点G 作GI ⊥x 轴于点I ,过点S 作SJ ⊥GI 于点J ,∴∠SGJ =∠EMG ,∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2,∴GJ =355,SJ =655,∴GI =GJ +JI =3+355,∴MI =12GI =32+3510,∴OE =IE +MI -OM =352-32,即x E =t -3=352-32,解得t =352+32,如图3(3)中,阴影部分与HK 相切于点G ,tan ∠OMK =tan ∠EMH =2,EH =6,则MH =3,EM =35,∴x E =t -3=-3-35,解得t =-35,观察图象可知,-35≤t <3+352+32.10(2022秋•姜堰区期中)如图1,在平面内,过⊙T 外一点P 画它的两条切线,切点分别为M 、N ,若∠MPN ≥90°,则称点P 为⊙T 的“限角点”.(1)在平面直角坐标系xOy 中,当⊙O 半径为1时,在①P 1(1,0),②P 2-1,12,③P 3(-1,-1),④P 4(2,-1)中,⊙O 的“限角点”是②④;(填写序号)(2)如图2,⊙A 的半径为2,圆心为(0,2),直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ,若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”,求b 的值.(3)如图3,E (2,3)、F (1,2)、G (3,2),⊙D 的半径为2,圆心D 从原点O 出发,以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动,若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”,请直接写出运动的时间t (s )的取值范围.【解答】解:(1)∵⊙O 半径为1,∴当P 为圆O 的“限角点”时,1<OP ≤2,∵OP 1=1,OP 2=52,OP 3=2,OP 4=5,∴⊙O 的“限角点”是P 2,P 3,故答案为:②③;(2)∵⊙A 的半径为2,∴当P 为圆A 的“限角点”时,2<AP ≤2,设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ,∴PA =2,此时AP ⊥BC ,令x =0,则y =b ,∴C (0,b ),令y =0,则x =43b ,∴B 43b ,0 ,∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ,∴CP =32,∴AC =52,∴|b -2|=52,∴b =92或b =-12;(3)∵圆心D 从原点O 出发,以2个单位/s 的速度沿直线l 移动,∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位,沿y 轴正方向移动t 个单位,∴移动后D 点坐标为(t ,t ),设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”,则2<PD ≤2,在圆D 移动的过程中,当DF =2时,(t -1)2+(t -2)2=4,解得t =3-72或t =3+72,当t =3-72时,ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”,当圆D 移动到E 点在圆上时,DE =2,(t -2)2+(t -3)2=2,解得t =5+32或t =5-32,∴3-72≤t <5-32时,ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”,当圆D 再次移动到点F 在圆上时,DF =2,(t -2)2+(t -1)2=2,解得t =3+32或t 3-32,当t =3+32时,ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”;设直线EG 的解析式为y =kx +b ,直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ,∴2k +b =33k +b=2 ,解得k =-1b =5 ,解得y =-x +5,联立方程组y =-x +5y =x,解得x =52y =52,∴H 52,52,当DH =2时,2t -52 2=4,解得t =2+52或t =-2+52,∴当t =2+52,ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”,∴3+32<t ≤2+52时,ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”;综上所述:3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时,ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”.11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义:将点P绕点M逆时针旋转90°,得到点P ,点P 关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.(1)如图1,若点M在坐标原点,点N(1,1),①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为 (2,0) ;②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3),则点P的坐标为;(2)如图2,已知⊙O的半径为1,M是⊙O上一点,点N(0,2),若P(m,0)(m>1)为⊙O外一点,点Q为点P的“对应点”,连接PQ.①当点M(a,b)在第一象限时,求点Q的坐标(用含a,b,m的式子表示);②当点M在⊙O 上运动时,直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解:(1)①∵P(-2,0),∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2),∵点P 关于点N的对称点为Q,∴Q(2,0);故答案为:(2,0);②∵Q的坐标为(-1,3),∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1),将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P,过P 作P F⊥x轴于点F,过点P作PE⊥x轴于点E,∵∠P OP=90°,∴∠POE+∠FOP =90°,∵∠EPO+∠EOP=90°,∴∠FOP =∠EPO,∵OP=OP ,∴ΔPOE≅△OP F(AAS),∴EO=P F=1,PE=OF=3,∴P(-1.-3),故答案为:(-1,-3);(2)①过点M作EF⊥x轴于点F,过点P 作P E⊥EF交于点E,由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS),∴MF=EP ,FP=ME,∵M(a,b),P(m,0),∴EF=b+m-a,EP =b,∴P (a+b,b+m-a),∵点N(0,2),∴Q(-a-b,4-b-m+a);②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G,∴G(0,m),∵P (a+b,b+m-a),∴GP =2(a 2+b 2),∵M (a ,b )在圆O 上,∴a 2+b 2=1,∴GP =2,∴P 在以G 为圆心,2为半径的圆上,设G 点关于N 点的对称点为H ,则H (0,4-m ),∴QH =2(a 2+b 2)=2,∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上,∴PQ 的最大值为PH +2,PQ 的最小值为PH -2,∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14,故答案为:2m 2-8m +14.12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆;与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆.【初步理解】(1)如图①~③,四边形ABCD 是矩形,⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切,⊙O 2与边AB 相切,⊙O 1和⊙O 3都经过点B ,⊙O 3经过点D ,3个圆都经过点C .在这3个圆中,是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①,是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是.【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6,直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长.【深入研究】(3)如图④,已知矩形ABCD ,用直尺和圆规作图.(保留作图痕迹,并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆;②作它的1个第Ⅱ类圆.【解答】解:(1)由定义可得,①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切,点B 、C 在圆上,∴①是第Ⅰ类圆;②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切,点C 在圆上,∴②是第Ⅱ类圆;故答案为:①,②;(2)如图1,设AD =6,AB =4,切点为E ,过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ,交AD 于E ,连接BO ,设BO =r ,则OE =r ,OF =4-r ,由垂径定理可得,BF =CF =3,在Rt ΔBOF 中,r 2=(4-r )2+32,解得r =258;如图2,设AD =4,BC =6,切点为E ,过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ,交AD 于E ,连接BO ,设BO =r ,则OE =r ,OF =6-r ,由垂径定理可得,BF =CF =2,在Rt ΔBOF 中,r 2=(6-r )2+22,解得r =103;综上所述:第Ⅰ类圆的半径是258或103;如图3,AD =6,AB =4,过点O 作MN ⊥AD 交于点M ,交BC 于点N ,连接OC ,设AB 边与⊙O 的切点为G ,连接OG ,∴GO ⊥AB ,设OM =r ,则OC =r ,则ON =4-r ,∵OG =r ,∴BN =r ,∴NC =6-r ,在Rt ΔOCN 中,r 2=(4-r )2+(6-r )2,解得r =10-43,∴第Ⅱ类圆的半径是10-43;(3)①如图4,第一步,作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ,第二步,连接EC ,第三步,作EC 的垂直平分线交EF 于点O ,第四步,以O 为圆心,EO 为半径作圆,∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆;②如图5,第一步:作∠BAD 的平分线;第二步:在角平分线上任取点E ,过点E 作EF ⊥AD ,垂足为点F ;第三步:以点E 为圆心,EF 为半径作圆E ,交AC 于点G ,连接FG ;第四步:过点C 作CH ⎳FG ,CH 交AD 于点H ;第五步:过点H 作AD 的垂线,交∠BAD 的平分线于点O ;第六步:以点O 为圆心,OH 为半径的圆,⊙O 即为所求第Ⅱ类圆.13(2021秋•海淀区校级期末)新定义:在平面直角坐标系xOy 中,若几何图形G 与⊙A 有公共点,则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形,特别地,若⊙A 的关联图形G 为直线,则称该直线为⊙A 的关联直线.如图,∠M 为⊙A 的关联图形,直线l 为⊙A 的关联直线.(1)已知⊙O 是以原点为圆心,2为半径的圆,下列图形:①直线y =2x +2;②直线y =-x +3;③双曲线y =2x,是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号).(2)如图1,⊙T 的圆心为T (1,0),半径为1,直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ,若直线l 是⊙T 的关联直线,求点N 的横坐标的取值范围.(3)如图2,已知点B (0,2),C (2,0),D (0,-2),⊙I 经过点C ,⊙I 的关联直线HB 经过点B ,与⊙I 的一个交点为P ;⊙I 的关联直线HD 经过点D ,与⊙I 的一个交点为Q ;直线HB ,HD 交于点H ,若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径,请直接写出点H 横坐标h 的取值范围.【解答】解:(1)由题意①③是⊙O的关联图形,故答案为①③.(2)如图1中,∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线,∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2,当临界状态为l1时,连接TM(M为切点),∴TM=1,TM⊥MB,且∠MNO=45°,∴ΔTMN是等腰直角三角形,∴TN=2,OT=1,∴N(1+2,0),把N(1+2,0)代入y=-x+b中,得到b=1+2,同法可得当直线l2是临界状态时,b=-2+1,∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1.(3)如图3-1中,当点Q在点P是上方时,连接BQ,PD交于点H,当圆心I在x轴上时,点H与点C重合,此时H(2,0),得到h的最大值为2,如图3-2中,当点P在点Q是上方时,直线PB,QD交于点H,当圆心I在x轴上时,点H(-6,0)得到h的最小值为-6,综上所述,-6≤h<0,0<h≤2.14(2022春•海淀区校级月考)定义:P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”.已知O(0,0),A(1,1),B(m,n),C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点.(1)根据上述定义,完成下面的问题:①当m=2,n=1时,如图1,线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1.②当m=2时,线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1,则n的取值范围是.(2)如图2,若点B落在圆心为A,半径为1的圆上,当n≥1时,线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d,结合图象,求d的最小值;(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1,线段BC的中点为M.求点M随线段BC运动所走过的路径长.【解答】解:(1)①当m=2,n=1时,B(2,1),C(2,3).线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1.故答案为:1.②当m=2时,点A到直线BC的距离为1.若线段BC与线段OA的冰雪距离是1,则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上,∴n≤1≤n+2,即-1≤n≤1.故答案为:-1≤n ≤1.(2)如图,B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点,B 11-22,1+22满足∠B 1AO =90°.当B 在B 1右侧时,冰雪距离d ≥B 1A =22.当B 在弧B 1B 2上时,冰雪距离d 为点B 到OA 的距离,结合图象可知,当且仅当B 处在点B 2时,d 取最小值22.(3)如图,当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时,线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1.当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时,线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1.当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时,或由B 2G 向上平移到GC 4时,线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1.对应中点M 所走过的路线长为:2π+4+22.15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ,若平面内的点P 满足:射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合),且1≤PAQA ≤2,则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”.已知点O 为坐标原点,⊙O 的半径为1,点A (-1,0).(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”,且点P 在x 轴上,请写出一个符合条件的点P 的坐标 (2,0)(答案不唯一);(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”,且满足∠BAO =30°,求点B 的纵坐标t 的取值范围;(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ,且与y 轴交于点N ,若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”,直接写出b 的取值范围是.【解答】解:(1)根据“生长点”定义,点P 的坐标可以是(2,0),故答案为:(2,0)(答案不唯一);(2)如图,在x 轴上方作射线AM ,与⊙O 交于M ,使得∠OAM =30°,并在射线AM 上取点N ,使AM =MN ,并由对称性,将MN 关于x 轴对称,得M N ,则由题意,线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B .作MH ⊥x 轴于H ,连接MC ,∴∠MHA =90°,即∠OAM +∠AMH =90°.∵AC 是⊙O 的直径,∴∠AMC =90°,即∠AMH +∠HMC =90°.∴∠OAM =∠HMC =30°.∴tan30°=MH AH=HC MH =33,设MH=y,则AH=3y,CH=33y,∴AC=AH+CH=433y=2,解得y=32,即点M的纵坐标为32.又由AN=2AM,A为(-1,0),可得点N的纵坐标为3,故在线段MN上,点B的纵坐标t满足:32≤t≤3,由对称性,在线段M N 上,点B的纵坐标t满足:?3≤t≤?3 2,∴点B的纵坐标t的取值范围是:32≤t≤3或?3≤t≤?32.(3)如图,Q是⊙O上异于点A的任意一点,延长AQ到P,使得PA=2AQ,∵Q的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆,∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心,2为半径的圆,当直线MN与⊙K相切于点R时,连接KR,在RtΔKMR中,∠KRM=90°,∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°,∴∠KMR=60°,KR=2,∴KM=2÷sin60°=433,∴OM=1+433,∴ON=3OM=4+3,∴b=-4-3,当直线MN经过G(0,-1)时,满足条件,此时b=-1,观察图象可知:当-4-3≤b≤-1时,线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”,根据对称性,同法可得当1≤b≤4-3时,也满足条件.故答案为:-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3.16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:若点P在图形M上,点Q在图形N 上,称线段PQ长度的最小值为图形M,N的“近距离”,记为d(M,N).特别地,若图形M,N有公共点,规定d(M,N)=0,如图,点A(-23,0),B(0,2).(1)如果⊙O的半径为2,那么d(A,⊙O)= 23-2 ,d(B,⊙O)=;(2)如果⊙O的半径为r,且d(⊙O,AB)>0,求r的取值范围;(3)如果C(0,m)是y轴上的动点,⊙C的半径为1,使d(⊙C,AB)<1,直接写出m的取值范围为.【解答】解:(1)∵⊙O的半径为2,A(-23,0),B(0,2),∴OB=2,OA=23>2,∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴d(A,⊙O)=23-2,d(B,⊙O)=0,故答案为:23-2;0;(2)如图1,过点O 作OD ⊥AB 于点D ,在Rt ΔAOB 中,∵tan ∠BAO =OB OA =223=33,∴∠BAO =30°.在Rt ΔADO 中,sin ∠BAO =DO OA =12=DO23,∴DO =3,∵d (⊙O ,AB )=0,∴r 的取值范围是0<r <3或r >23;(3)如图2,过点C 作CN ⊥AB 于点N ,由(2)知,∠BAO =30°.∵C (m ,0),当点C 在点B 的上边时,m >2,此时,d (⊙C ,AB )=BC ,∴BC ≤1,即m -2≤1,解得m ≤3;当点C 与点B 重合时,m =2,此时d (⊙C ,AB )=0,当点C 在点B 的下边时,m <2,∴BC =2-m ,∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m ).∵d (⊙C ,AB )<1,⊙C 的半径为1,∴0<32(2-m )<1.∴2-233<m <2.综上所述:2-233<m ≤3.故答案为:2-233<m ≤3.17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中,⊙C 的半径为r ,P 是与圆心C 不重合的点,点P 关于⊙C 的反称点的定义如下:若在射线CP 上存在一点P ′,满足CP +CP ′=2r ,则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点,如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图.(1)当⊙O 的半径为1时,①分别判断点M (3,1),N 32,0,T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在?若存在,直接求其坐标;②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′,点P 在直线y =-x +1上,若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在,且点P ′不在坐标轴上,则点P 的横坐标的取值范围 1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2 ;(2)⊙C 的圆心在x 轴上,半径为1,直线y =-x +12与x 轴,y 轴分别交于点A 、B ,点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位,线段AE 、线段BD 都是水平的,若四边形ABDE 四边上存在点P ,使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部,直接写出圆心C 的横坐标的取值范围.。

初三九年级数学上册上册数学压轴题测试卷 (word版,含解析)

初三九年级数学上册上册数学压轴题测试卷 (word版,含解析)

初三九年级数学上册上册数学压轴题测试卷 (word 版,含解析)一、压轴题1.已知P 是⊙O 上一点,过点P 作不过圆心的弦PQ ,在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ,Q 重合),连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O 的半径;(2)如图2,选接AB ,交PQ 于点M ,点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合),连接ON 、OP ,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB 与ON 的位置关系,并证明.2.已知,如图1,⊙O 是四边形ABCD 的外接圆,连接OC 交对角线BD 于点F ,延长AO 交BD 于点E ,OE=OF.(1)求证:BE=FD ;(2)如图2,若∠EOF=90°,BE=EF ,⊙O 的半径25AO =ABCD 的面积; (3)如图3,若AD=BC ;①求证:22•AB CD BC BD +=;②若2•12AB CD AO ==,直接写出CD 的长.3.如图,已知矩形ABCD 中,BC =2cm ,AB 3cm ,点E 在边AB 上,点F 在边AD 上,点E 由A 向B 运动,连结EC 、EF ,在运动的过程中,始终保持EC ⊥EF ,△EFG 为等边三角形.(1)求证△AEF ∽△BCE ;(2)设BE 的长为xcm ,AF 的长为ycm ,求y 与x 的函数关系式,并写出线段AF 长的范围;(3)若点H 是EG 的中点,试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上,并求在点E 由A 到B 运动过程中,点H 移动的距离.4.如图,Rt △ABC ,CA ⊥BC ,AC =4,在AB 边上取一点D ,使AD =BC ,作AD 的垂直平分线,交AC 边于点F ,交以AB 为直径的⊙O 于G ,H ,设BC =x .(1)求证:四边形AGDH 为菱形;(2)若EF =y ,求y 关于x 的函数关系式;(3)连结OF ,CG .①若△AOF 为等腰三角形,求⊙O 的面积;②若BC =3,则30CG+9=______.(直接写出答案).5.已知抛物线y =﹣14x 2+bx +c 经过点A (4,3),顶点为B ,对称轴是直线x =2.(1)求抛物线的函数表达式和顶点B 的坐标;(2)如图1,抛物线与y 轴交于点C ,连接AC ,过A 作AD ⊥x 轴于点D ,E 是线段AC 上的动点(点E 不与A ,C 两点重合);(i )若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1:3的两部分,求点E 的坐标;(ii )如图2,连接DE ,作矩形DEFG ,在点E 的运动过程中,是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上?若存在,求出此时AE 的长;若不存在,请说明理由.6.如图 1,抛物线21:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ,交y 轴正半轴于C ,且OB OC =.(1)求抛物线1C 的解析式;(2)在图2中,将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ,抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ,若CAP ∆的内心在CAB △内部,求n 的取值范围(3)在图3中,M 为抛物线1C 在第一象限内的一点,若MCB ∠为锐角,且3tan MCB ∠>,直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________7.如图1,已知菱形ABCD 的边长为3A 在x 轴负半轴上,点B 在坐标原点.点D 的坐标为33),抛物线y=ax 2+b(a≠0)经过AB 、CD 两边的中点.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<3.....)①是否存在这样的t,使DF=7FB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x.轴与..抛物线在.....(.包括边界....).时,求t的取值范围.(直接写出答案即可).......成的图形中....x.轴上方的部分围8.如图,在平面直角坐标系中,直线l分别交x轴、y轴于点A,B,∠BAO = 30°.抛物线y = ax2 + bx + 1(a < 0)经过点A,B,过抛物线上一点C(点C在直线l上方)作CD∥BO 交直线l于点D,四边形OBCD是菱形.动点M在x轴上从点E( -3,0)向终点A匀速运动,同时,动点N在直线l上从某一点G向终点D匀速运动,它们同时到达终点.(1)求点D的坐标和抛物线的函数表达式.(2)当点M运动到点O时,点N恰好与点B重合.①过点E作x轴的垂线交直线l于点F,当点N在线段FD上时,设EM = m,FN = n,求n 关于m的函数表达式.②求△NEM面积S关于m的函数表达式以及S的最大值.9.对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角.如图1,对于线段AB及线段AB外一点C,我们称∠ACB为点C关于线段AB的视角.如图2,点Q在直线l上运动,当点Q关于线段AB的视角最大时,则称这个最大的“视角”为直线l关于线段AB的“视角”.(1)如图3,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(2,2),点C坐标为(﹣2,2),点C 关于线段AB 的视角为 度,x 轴关于线段AB 的视角为 度;(2)如图4,点M 是在x 轴上,坐标为(2,0),过点M 作线段EF ⊥x 轴,且EM =MF =1,当直线y =kx (k ≠0)关于线段EF 的视角为90°,求k 的值;(3)如图5,在平面直角坐标系中,P (3,2),Q (3+1,1),直线y =ax +b (a >0)与x 轴的夹角为60°,且关于线段PQ 的视角为45°,求这条直线的解析式.10.()1尺规作图1:已知:如图,线段AB 和直线且点B 在直线上求作:点C ,使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形.作图要求:保留作图痕迹,不写作法,做出所有符合条件的点C .()2特例思考:如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有______个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用:如图,AOB 45∠=,点M ,N 在射线OA 上,OM x =,ON x 2=+,点P 是射线OB 上的点.若使点P ,M ,N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个,求x 的值.11.在平面直角坐标系xOy 中,对于任意三点A ,B ,C ,给出如下定义:如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ,B ,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A ,B ,C 的覆盖矩形.点A ,B ,C 的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A ,B ,C 的最优覆盖矩形.例如,下图中的矩形A 1B 1C 1D 1,A 2B 2C 2D 2,AB 3C 3D 3都是点A ,B ,C 的覆盖矩形,其中矩形AB 3C 3D 3是点A ,B ,C 的最优覆盖矩形.(1)已知A (﹣2,3),B (5,0),C (t ,﹣2).①当t =2时,点A ,B ,C 的最优覆盖矩形的面积为 ;②若点A ,B ,C 的最优覆盖矩形的面积为40,求直线AC 的表达式;(2)已知点D (1,1).E (m ,n )是函数y =4x(x >0)的图象上一点,⊙P 是点O ,D ,E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆,求出⊙P 的半径r 的取值范围.12.矩形ABCD 中,AB =2,AD =4,将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF (其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应).(1)如图1,当点G 落在AD 边上时,直接写出AG 的长为 ;(2)如图2,当点G 落在线段AE 上时,AD 与CG 交于点H ,求GH 的长;(3)如图3,记O 为矩形ABCD 对角线的交点,S 为△OGE 的面积,求S 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1) ☉O 的半径是32;(2)AB ∥ON ,证明见解析. 【解析】【分析】(1) 连接AB ,根据题意可AB 为直径,再用勾股定理即可.(2) 连接OA , OB , OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠,从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ,则有2OPN QOR ∠=∠,再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证.【详解】解:(1)连接AB ,在☉0中,o APQ BPQ 45∠=∠=,o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径.Rt APB ∴∆在中,22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32(2)AB//ON证明:连接OA , OB , OQ ,在☉0中, AQ AQ =, BQ BQ =,Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.又APQ BPQ ∠=∠,AOQ BOQ ∴∠=∠.在AOB ∆中,OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=连接OQ ,交AB 于点C在☉0中,OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ,则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=,NOQ90O∴∠=NOQ OCA180O∴∠+∠= .AB//ON∴【点睛】本题考查了圆周角定理,勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理,是一道综合题,灵活运用相关知识是解题的关键.2.(1)见详解;(2)125;(3)①见详解,②32-6【解析】【分析】(1)如图1中,作OH⊥BD于H.根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可;(2)如图2中,作OH⊥BD于H,连接OB,求出AC,BD,根据S四边形ABCD=12•BD•AM+1 2•BD•CM=12•BD•AC即可求解;(3)①如图3中,连接OB,作OH⊥BD于H.利用等腰直角三角形的性质,完全平方公式等知识即可;②如图3中,连接OB,设DM=CM=x,想办法求出BC,DB,在Rt△BCM中,利用勾股定理构建方程即可.【详解】(1)证明:如图1中,作OH⊥BD于H.∵OE=OF,OH⊥EF,∴EH=HF,∴BH=HD,∴BE=DF;(2)解:如图2中,作OH⊥BD于H,连接OB.∵∠EOF=90°,OE=OF,OA=OC,∴∠OEF=∠OAC=45°,∴∠AME=90°,即AC⊥BD,连接OB.设OH=a,∵BE=EF,∴BE=2EH=2OH=2a,在Rt△BOH中,∵OH2+BH2=OB2,∴a2+(3a)2=(25)2,∴a=2或-2(舍弃),∴BD=BE+EF+DF=6a=62,在Rt△AOC中,AC=2AO=210,∴S四边形ABCD=12•BD•AM+12•BD•CM=12•BD•AC=12×210×62=125;(3)①如图3中,连接OB,作OH⊥BD于H.∵OE=OF,OA=OC,∴∠EOH=12∠EOF=12(∠EAC+∠ACO)=12×2∠OAC=∠OAC,∴AC∥OH,∴AC⊥BD,∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°,∴BM ,DM ,CM=DM ,∴AB•CD+BC 2DM+BM 2+CM 2=(BM+DM )2=BD 2;②如图3中,连接OB ,设DM=CM=x ,∵∠BOC=2∠BDC=90°,∴,∵AB•CD+BC 2=BD 2,AB•CD=AO 2=12,∴12+24=BD 2,∴BD=6(负根已经舍弃),在Rt △BCM 中,∵BC 2=BM 2+CM 2,∴()2=(6-x )2+x 2,∴或∴.【点睛】本题属于圆综合题,考查了垂径定理,等腰三角形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.3.(1)详见解析;(2)21y 2x =-,302AF ≤≤;(3)3. 【解析】【分析】(1)由∠A =∠B =90°,∠AFE =∠BEC ,得△AEF ∽△BCE ;(2)由(1)△AEF ∽BCE 得AF AEBE BC =,y x =,即212y x =-+,然后求函数最值;(3)连接FH ,取EF 的中点M ,证MA =ME =MF =MH ,则A 、E 、H 、F 在同一圆上;连接AH ,证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上,得∠EAH =∠EFH =30°,线段AH 即为H 移动的路径,在直角三角形ABH 中,602AH sin AB =︒=,可进一步求AH. 【详解】解:(1)在矩形ABCD 中,∠A =∠B =90°,∴∠AEF +∠AFE =90°,∵EF ⊥CE ,∴∠AEF +∠BEC =90°,∴∠AFE =∠BEC ,∴△AEF ∽△BCE ;(2)由(1)△AEF ∽BEC 得AF AE BE BC =,232y x x -=, ∴2132y x x =-+, ∵2132y x x =-+=213(3)22x --+, 当3x =时,y 有最大值为32, ∴302AF ≤≤; (3)如图1,连接FH ,取EF 的中点M ,在等边三角形EFG 中,∵点H 是EG 的中点,∴∠EHF =90°,∴ME =MF =MH ,在直角三角形AEF 中,MA =ME =MF ,∴MA =ME =MF =MH ,则A 、E 、H 、F 在同一圆上;如图2,连接AH ,∵△EFG 为等边三角形,H 为EG 中点,∴∠EFH =30°∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°,如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径,在直角三角形ABH 中,3602AH sin AB =︒=, ∵AB =23∴AH =3, 所以点H 移动的距离为3.【点睛】此题主要考查圆的综合问题,会证明三角形相似,会分析四点共圆,会运用二次函数分析最值,会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键.4.(1)证明见解析;(2)y =18x 2(x >0);(3)①163π或8π或(17)π;②21【解析】【分析】(1)根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可;(2)只要证明△AEF∽△ACB,可得AE EFAC BC=解决问题;(3)①分三种情形分别求解即可解决问题;②只要证明△CFG∽△HFA,可得GFAF=CGAH,求出相应的线段即可解决问题;【详解】(1)证明:∵GH垂直平分线段AD,∴HA=HD,GA=GD,∵AB是直径,AB⊥GH,∴EG=EH,∴DG=DH,∴AG=DG=DH=AH,∴四边形AGDH是菱形.(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵AE⊥EF,∴∠AEF=∠ACB=90°,∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴AE EFAC BC=,∴124x yx=,∴y=18x2(x>0).(3)①解:如图1中,连接DF.∵GH垂直平分线段AD,∴FA=FD,∴当点D与O重合时,△AOF是等腰三角形,此时AB=2BC,∠CAB=30°,∴AB=833,∴⊙O的面积为163π.如图2中,当AF=AO时,∵AB=22AC BC+=216x+,∴OA=2 16x +,∵AF=22EF AE+=2221182x⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴216x+=2221182x⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得x=4(负根已经舍弃),∴AB=42,∴⊙O的面积为8π.如图2﹣1中,当点C与点F重合时,设AE=x,则BC=AD=2x,AB=2164x+,∵△ACE∽△ABC,∴AC2=AE•AB,∴16=x•2164x+,解得x2=217﹣2(负根已经舍弃),∴AB2=16+4x2=817+8,∴⊙O的面积=π•14•AB2=(217+2)π综上所述,满足条件的⊙O的面积为163π或8π或(217+2)π;②如图3中,连接CG.∵AC=4,BC=3,∠ACB=90°,∴AB=5,∴OH=OA=52,∴AE=32,∴OE=OA﹣AE=1,∴EG=EH2512⎛⎫-⎪⎝⎭212,∵EF=18x2=98,∴FG 21﹣98,AF22AE EF+158,AH22AE EH+30,∵∠CFG=∠AFH,∠FCG=∠AHF,∴△CFG∽△HFA,∴GF CG AF AH=,∴9281582-= ∴CG=5﹣10,=.故答案为【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.5.(1)y =﹣14x 2+x +3,顶点B 的坐标为(2,4);(2)(i )点E 的坐标为(85,3)或(125,3);(ii )存在;当点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上,此时AE 的长为43. 【解析】【分析】(1)由题意得出21441,43,124b c b ⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩,解得1,3,b c =⎧⎨=⎩,得出抛物线的函数表达式为:y =﹣14x 2+x +3=﹣14(x ﹣2)2+4,即可得出顶点B 的坐标为(2,4); (2)(i )求出C (0,3),设点E 的坐标为(m ,3),求出直线BE 的函数表达式为:y =12m --x +462m m --,则点M 的坐标为(4m ﹣6,0),由题意得出OC =3,AC =4,OM =4m ﹣6,CE =m ,则S 矩形ACOD =12,S 梯形ECOM =15182m -,分两种情况求出m 的值即可; (ii )过点F 作FN ⊥AC 于N ,则NF ∥CG ,设点F 的坐标为:(a ,﹣14a 2+a +3),则NF =3﹣(﹣14a 2+a +3)=14a 2﹣a ,NC =﹣a ,证△EFN ≌△DGO (ASA ),得出NE =OD =AC =4,则AE =NC =﹣a ,证△ENF ∽△DAE ,得出NF NE AE AD =,求出a =﹣43或0,当a =0时,点E与点A重合,舍去,得出AE=NC=﹣a=43,即可得出结论.【详解】(1)∵抛物线y=﹣14x2+bx+c经过点A(4,3),对称轴是直线x=2,∴21441, 43,124b cb⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,3, bc=⎧⎨=⎩∴抛物线的函数表达式为:y=﹣14x2+x+3,∵y=﹣14x2+x+3=﹣14(x﹣2)2+4,∴顶点B的坐标为(2,4);(2)(i)∵y=﹣14x2+x+3,∴x=0时,y=3,则C点的坐标为(0,3),∵A(4,3),∴AC∥OD,∵AD⊥x,∴四边形ACOD是矩形,设点E的坐标为(m,3),直线BE的函数表达式为:y=kx+n,直线BE交x轴于点M,如图1所示:则24,3, k nmk n+=⎧⎨+=⎩解得:1,246,2kmmnm-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,∴直线BE的函数表达式为:y=12m--x+462mm--,令:y=12m--x+462mm--=0,则x=4m﹣6,∴点M的坐标为(4m﹣6,0),∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分,∴点M在线段OD上,点M不与点O重合,∵C(0,3),A(4,3),M(4m﹣6,0),E(m,3),∴OC=3,AC=4,OM=4m﹣6,CE=m,∴S矩形ACOD=OC•AC=3×4=12,S梯形ECOM=12(OM+EC)•OC=12(4m﹣6+m)×3=15182m-,分两种情况:①S ECOMS ACOD梯形矩形=14,即1518212m-=14,解得:m=85,∴点E的坐标为:(85,3);②S ECOMS ACOD梯形矩形=34,即1518212m-=34,解得:m=125,∴点E的坐标为:(125,3);综上所述,点E的坐标为:(85,3)或(125,3);(ii)存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上;理由如下:由题意得:满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方,过点F作FN⊥AC于N,则NF∥CG,如图2所示:设点F的坐标为:(a,﹣14a2+a+3),则NF=3﹣(﹣14a2+a+3)=14a2﹣a,NC=﹣a,∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形,∴∠DAE=∠DEF=∠N=90°,EF=DG,EF∥DG,AC∥OD,∴∠NEF=∠ODG,∠EMC=∠DGO,∵NF∥CG,∴∠EMC=∠EFN,∴∠EFN=∠DGO,在△EFN和△DGO中,∠NEF=∠ODG,EF=DG,∠EFN=∠DGO,∴△EFN≌△DGO(ASA),∴NE=OD=AC=4,∴AC﹣CE=NE﹣CE,即AE=NC=﹣a,∵∠DAE=∠DEF=∠N=90°,∴∠NEF+∠EFN=90°,∠NEF+∠DEA=90°,∴∠EFN=∠DEA,∴△ENF∽△DAE,∴NE NFAD AE=,即43=214a aa--,整理得:34a2+a=0,解得:a=﹣43或0,当a=0时,点E与点A重合,∴a=0舍去,∴AE=NC=﹣a=43,∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上,此时AE的长为43.【点睛】本题是二次函数综合题目,考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识;本题综合性强,属于中考压轴题型.6.(1)()221y x=--;(2)1023n<<;(3)552Mx<<【解析】【分析】(1)由题意可得对称轴方程,有二次函数对称性,由A点坐标可求B点坐标,代入解析式可得;(2)根据函数图像平移可得新抛物线解析式,画出图像可得交点P,由题意可得ACB BCP∠>∠,过点C作//l x轴.作PD l⊥,可得ACO PCD∠=∠,设()2,43P t t t -+,由13tan ACD tan PCD ∠=∠=可得关于t 的方程,解得t, 再将P 代入2C 解析式中得n 的值,根据Q,P 在第一象限内得n 的取值范围;(3) 当MCB ∠为直角时,可求直线CB 的解析式为:y=-x+3,直线CM 的解析式为:y=x+3,运用直线与曲线联立,可求CM 与抛物线的交点M 横坐标为:x=5;当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时,过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN=,设M 点坐标为()2,43t t t -+,直线CB 解析式为y=-x+3,可求直线MN 解析式为:253y x t t =+-+,将直线MN 与直线CB 解析式联立可得:N 221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭, 由两点间距离公式可得2MN = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭;2CN =2215222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭;由3MN CN =可得:52t =,进而可得满足已知条件的点M 横坐标M x 的取值范围.【详解】解:()1对称轴为422a x a-=-= ()3,0B ∴()0,1C ∴代入()224321y x x x ∴=-+=-- ()()222:21C x n ---()2423x n x =-++CAP ∆的内心I 在CAB △内部,ACB BCP ∴∠>∠∴当ACB BCP ∠=∠时过C 作//l x 轴.作PD l ⊥,ACB BCP ∠=∠90,OCD ∠=45,DCB ∠=,ACO PCD ∴∠=∠13tan ACD tan PCD ∠=∠= 设()2,43P t t t -+ 13PD CD ∴= 3p y DP OC +==214333t t t ∴-++= 113t = 将P 代入2C 解析式中 103n ∴=又P 在第一象限内h AB ∴>2n ∴>1023n ∴<<(3) 552M x <<; 当MCB ∠为直角时,如下图所示:由(1)(2)可得:直线CB 的解析式为:y=-x+3,MCB ∠为直角,C(0,3),∴直线CM 的解析式为:y=x+3,则CM 与抛物线的交点坐标M 横坐标为:2343x x x +=-+,解得:x=5或0(舍去),所以,当MCB ∠为直角时,5M x =;当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时,如下图所示:过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN =,设M 点坐标为()2,43t t t -+, MN CB ⊥,直线CB 解析式为y=-x+3,∴MN 解析式可设:y=x+b,将P ()2,43t t t -+代入解析式可得:b=253t t -+,则直线MN 解析式为:253y x t t =+-+,将直线MN 与直线CB 解析式联立可得:N 点坐标为221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭,∴2MN =2222215154332222t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭; 2CN = 222215152222t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2215222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭; 由3MN CN=可得: 2213221522t t t t --=3; 解得:52t =或0(舍去) ; ∴MCB ∠为锐角,且3tan MCB ∠>时,点M 的横坐标M x 的取值范围为:552M x <<. 【点睛】本题综合考查了二次函数的图像和性质,题目较难,熟练掌握二次函数的图像和性质,运用数形结合解决二次函数综合问题是解题的关键.7.(1)y=−x 2+3;(2)①或⩽t⩽2【解析】【分析】(1)根据已知条件求出AB 和CD 的中点坐标,然后利用待定系数法求该二次函数的解析式;(2)①由D (,3),则平移后坐标为D´(,3),F (t ,-t 2+3);则有DF 2=()2+(-t 2+3-3)2;FB 2=(-t 2+3)2,再根据FB ,即可求得t ;②如图3所示,画出旋转后的图形,认真分析满足题意要求时,需要具备什么样的限制条件,然后根据限制条件列出不等式,求出的取值范围,确定限制条件是解题的关键【详解】(1)由题意得AB 的中点坐标为,0),CD 的中点坐标为(0,3), 分别代入y=ax 2+b 得:3a b 0b 3+=⎧⎨=⎩,解得a 1b 3=-⎧⎨=⎩, ∴y=−x 2+3.(2)①D (3),则平移后坐标为D´(+t ,3),F (t ,-t 2+3);DF2=(−3+t-t)2+(-t2+3-3)2;FB2=(-t2+3)2DF=7FB,则(−3+t-t)2+(-t2+3-3)2=7(-t2+3)2解得:t2=2或5,则t=2或t=5;②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴,分别交抛物线、x轴于点M、点N.观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足:EE′⩽BE且MN⩾C′N.∵F(t,3−t2),∴EF=3−(3−t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2,由EE′⩽BE,得2t2⩽3,解得t6∵3∴C′点的横坐标为3∴3)2,又C′N=BE′=BE−EE′=3−2t2由MN⩾C′N,得32⩾3−2t2,解得t63或t⩽63舍去).∴t63t⩽6 2【点睛】本题是动线型中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换(平移与旋转)、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点,难度较大,对考生能力要求很高,灵活应用所学知识是解答本题的关键..8.(1)点D的坐标为(32,12),抛物线的解析式为243?1?3y x x=-++;(2)①313n m=+;②233124S m m=-+,S的最大值为316【解析】【分析】(1)由抛物线的解析式为y = ax2 + bx + 1,得到OB=1,根据菱形的性质结合含30度的直角三角形的性质点A、D、C的坐标,再利用待定系数法即可求解;(2)①在Rt △FEA 中,FB=12FA=2,FD=FB+BD=3,根据题意设此一次函数解析式为:n km b =+,求得3m =时,2n FB ==,23m =时,3n FD ==,代入n km b =+,即可求解;②求得NA 33m =-,过N 作NQ ⊥EA ,得到NQ=12NA=332m -,利用面积公式得到S 关于m 的函数表达式,再利用二次函数的性质即可求解.【详解】(1)∵抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1,∴OB=1,∵∠BAO=30︒,∠BOA=90︒,∴AB=2OB=2,OA=2222AB OB 213-=-=,∠ABO=60︒,∴点A 的坐标为(3,0),又∵四边形OBCD 是菱形,且∠ABO=60︒,∴OD=CD=OB=1,∴△DOB 为等边三角形,∴∠BOD=60︒,∠DOA=30︒,BD=BO=OD=DA=1,延长CD 交OA 于H ,则CH ⊥OA ,∴DH=12OD=12,OH=32,CH=CD+DH=32, ∴点D 的坐标为(32,12),点C 的坐标为(32,32), 将A 30) , C 的坐标为332)代入抛物线的解析式y = ax 2 + bx + 1, 得:33103331422a b a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩,解得:43a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为24 ?1?3y x =-+; (2)①在Rt △FEA 中,∠FAE=30︒,FA=2AB=4,∴FB=12FA=2,FD=FB+BD=3, ∵动点M 、N 同时作匀速直线运动,∴n 关于m 成一次函数,故设此一次函数解析式为:n km b =+,当点M 运动到点O 时,点N 恰好与点B 重合,∴m =2n FB ==,当点M 运动到点A 时,点N 恰好与点D 重合,∴m =3n FD ==,代入n km b =+,得:23b b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩,解得:31k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴此一次函数解析式为:1n =+; ②NA=FA-FN=4- 33n m =-, 过N 作NQ ⊥EA ,则NQ=12NA=32,∴2133226124S m m m m ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,∵012-<,当32m ==⎝⎭时,在0m ≤≤范围内,∴132226216S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭最大.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用,涉及待定系数法、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、函数图象的交点等.本题涉及知识点较多,综合性较强,难度较大.9.(1)45,45;(2)k=33±;(3)y=3x+3﹣2【解析】【分析】(1)如图3,连接AC,则∠ABC=45°;设M是x轴的动点,当点M运动到点O时,∠AOB=45°,该视角最大,即可求解;(2)如图4,以点M为圆心,长度1为半径作圆M,当圆与直线y=kx相切时,直线y=kx (k≠0)关于线段EF的视角为90°,即∠EQF=90°,则MQ⊥直线OE,OQ=1,OM=2,故直线的倾斜角为30°,即可求解;(3)直线PQ的倾斜角为45°,分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R,RQ=RP=1,以点R为圆心以长度1为半径作圆R,由(1)知,设直线与圆交于点Q′,由(1)知,当PQ′Q为等腰三角形时,视角为45°,则QQ=2RQ=2,故点Q′(3-1,1),即可求解.【详解】(1)如图3,连接AC,则∠ABC=45°;设M是x轴的动点,当点M运动到点O时,∠AOB=45°,该视角最大,由此可见:当△ABC为等腰三角形时,视角最大;故答案为:45,45;(2)如图4,以点M为圆心,长度1为半径作圆M,当圆与直线y=kx相切时,直线y=kx(k≠0)关于线段EF的视角为90°,即∠EQF=90°,则MQ⊥直线OE,MQ=1,OM=2,故直线的倾斜角为30°,故k=3±(3)直线PQ的倾斜角为45°,分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R,RQ=RP=1,以点R为圆心以长度1为半径作圆R,由(1)知,设直线与圆交于点Q′,由(1)知,当PQ′Q为等腰三角形时,视角为45°,则QQ=2RQ=2,故点Q′(3﹣1,1),直线y=ax+b(a>0)与x轴的夹角为60°,则直线的表达式为:y=3x+b,将点Q′的坐标代入上式并解得:直线的表达式为:y=3x+3﹣2【点睛】本题考查的是一次函数综合运用,涉及到解直角三角形、圆的基本知识等,此类新定义题目,通常按照题设的顺序求解,一般比较容易.10.(1) 见解析;(2) 2,2 ;(3)0或222-或222x<<.【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义,用分类讨论的思想解决问题即可;()2通过画图分析可得,当190∠=时,符合()1中条件的点C有2个,当160∠=时,符合()1中条件的点C有2个;()3分三种情形讨论求解即可.【详解】解:()1如图1中,点1C,2C,3C,4C即为所求.()2如图一,当190∠=时,符∠=时,符合()1中条件的点C有2个;如图二,当160合()1中条件的点C有2个,当∠1=90°或∠1=60°时,符合条件的点C都是在点B左右各一个,当∠1=60°时,符合条件的点C如图所示:故答案为2,2.()3①如图31-中,当x 0=时,当PM PN =时,有点1P ,当ON OP =时,有点2P ,当NO NP =时,有点3P ,此时有3个P 点.②如图32-中,当N 与OB 相切于点1P 时,1OP N 是等腰直角三角形,1ON 2NP 22∴==,OM ON MN 222∴=-=,此时有3个P 点.③如图33-中,当M 经过点O 时,此时只有2个P 点,如图34-中,M 与OB 相交时,此时有3个P 点,如图35-中,当M与OB相切时,只有2个P点.此时OM22=,综上所述,当2x22<<3个P点.∴满足条件的x的值为0或222或2x22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,尺规作图,直线与圆的位置关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.11.(1)35,5784y x=+;(2172r≤.【解析】【分析】(1)①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C的覆盖矩形.点A,B,C的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A,B,C的最优覆盖矩形,得出最优覆盖矩形的长为:2+5=7,宽为3+2=5,即可得出结果;②由定义可知,t=-3或6,即点C坐标为(-3,-2)或(6,-2),设AC表达式为y=kx+b,代入即可求出结果;(2)OD所在的直线交双曲线于点E,矩形OFEG是点O,D,E的一个面积最小的最优覆盖矩形,OD所在的直线表达式为y=x,得出点E的坐标为(2,2),⊙P的半径最小2,当点E的纵坐标为1时,⊙P的半径最大r=172,即可得出结果.【详解】(1)①∵A(﹣2,3),B(5,0),C(2,﹣2),矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C的覆盖矩形.点A,B,C的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A,B,C的最优覆盖矩形,∴最优覆盖矩形的长为:2+5=7,宽为3+2=5,∴最优覆盖矩形的面积为:7×5=35;②∵点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为40,∴由定义可知,t=﹣3或6,即点C坐标为(﹣3,﹣2)或(6,﹣2),设AC表达式为y=kx+b,∴3223k bk b=-+⎧⎨-=-+⎩或3226k bk b=-+⎧⎨-=+⎩∴513kb=⎧⎨=⎩或5874kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=5x+13或5784y x=-+;(2)①OD所在的直线交双曲线于点E,矩形OFEG是点O,D,E的一个面积最小的最优覆盖矩形,如图1所示:∵点D(1,1),∴OD所在的直线表达式为y=x,∴点E的坐标为(2,2),∴OE=222+2=22,∴⊙P的半径最小r=2,②当DE∥x轴时,即:点E的纵坐标为1,如图2所示:∵点D (1,1).E (m ,n )是函数y =4x (x >0)的图象上一点 ∴1=4x ,解得x =4, ∴OE ═224+1=17, ∴⊙P 的半径最大r =17, ∴1722r ≤≤. 【点睛】 本题是圆的综合题目,考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识;本题综合性强,有一定难度.12.(1)4﹣23;(2)32;(3)4﹣5≤S≤4+5 【解析】【分析】(1)在Rt △DCG 中,利用勾股定理求出DG 即可解决问题;(2)首先证明AH =CH ,设AH =CH =m ,则DH =AD ﹣HD =4﹣m ,在Rt △DHC 中,根据CH 2=CD 2+DH 2,构建方程求出m 即可解决问题;(3)如图,当点G 在对角线AC 上时,△OGE 的面积最小,当点G 在AC 的延长线上时,△OE′G′的面积最大,分别求出面积的最小值,最大值即可解决问题.【详解】解:(1)如图1中,∵四边形ABCD 是矩形,∴BC =AD =CG =4,∠D =90°,∵AB =CD =2,∴DG 22CD CG -2242-3,∴AG =AB ﹣BG =4﹣3故答案为:4﹣3.(2)如图2中,由四边形CGEF是矩形,得到∠CGE=90°,∵点G在线段AE上,∴∠AGC=90°,∵CA=CA,CB=CG,∴Rt△ACG≌Rt△ACB(HL).∴∠ACB=∠ACG,∵AB∥CD∴∠ACG=∠DAC,∴∠ACH=∠HAC,∴AH=CH,设AH=CH=m,则DH=AD﹣AH=5﹣m,在Rt△DHC中,∵CH2=DC2+DH2,∴m2=22+(4﹣m)2,∴m=52,∴AH=52,GH22AH AG-22522⎛⎫-⎪⎝⎭32.(3)在Rt△ABC中,2225AC AB BC=+=,152OC AC,由题可知,G点在以C点为圆心,BC为半径的圆上运动,且GE与该圆相切,因为GE=AB 不变,所以O到直线GE的距离即为△OGE的高,当点G在对角线AC上时,OG最短,即△OGE的面积最小,最小值=12×OG×EG=12×2×(4545当点G在AC的延长线上时,OG最长,即△OE′G′的面积最大.最大值=12×E′G′×OG′=12×2×(55综上所述,455【点睛】本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.(1)比较简单,掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键;(2)能表示Rt△DHC三边,借助方程思想是解决此问的关键;(2)理解线段GE的运动轨迹,得出面积最小(大)时G点的位置是解决此问的关键.。

九年级数学上册数学压轴题练习(Word版 含答案)

九年级数学上册数学压轴题练习(Word版 含答案)

九年级数学上册数学压轴题练习(Word 版 含答案)一、压轴题1.已知P 是⊙O 上一点,过点P 作不过圆心的弦PQ ,在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ,Q 重合),连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O 的半径;(2)如图2,选接AB ,交PQ 于点M ,点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合),连接ON 、OP ,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB 与ON 的位置关系,并证明.2.如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,点B 的坐标为(3,4),一次函数23y x b =-+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ,并且满足OD BE =,M 是线段DE 上的一个动点 (1)求b 的值;(2)连接OM ,若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3,求点M 的坐标; (3)设N 是x 轴上方平面内的一点,以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形,求点N 的坐标.3.如图,点A 和动点P 在直线l 上,点P 关于点A 的对称点为Q .以AQ 为边作Rt ABQ △,使90BAQ ∠=︒,:3:4AQ AB =,作ABQ △的外接圆O .点C 在点P 右侧,4PC =,过点C 作直线m l ⊥,过点O 作OD m ⊥于点D ,交AB 右侧的圆弧于点E .在射线CD 上取点F ,使32DF CD =,以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ,设3AQ x =(1)用关于x 的代数式表示BQ 、DF .(2)当点P 在点A 右侧时,若矩形DEGF 的面积等于90,求AP 的长. (3)在点P 的整个运动过程中,当AP 为何值时,矩形DEGF 是正方形.4.如图,已知AB 是⊙O 的直径,AB =8,点C 在半径OA 上(点C 与点O 、A 不重合),过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ,连结OD ,过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F .(1)若ED =BE ,求∠F 的度数:(2)设线段OC =a ,求线段BE 和EF 的长(用含a 的代数式表示); (3)设点C 关于直线OD 的对称点为P ,若△PBE 为等腰三角形,求OC 的长. 5.如图,在正方形ABCD 中,P 是边BC 上的一动点(不与点B ,C 重合),点B 关于直线AP 的对称点为E ,连接AE ,连接DE 并延长交射线AP 于点F ,连接BF(1)若BAP α∠=,直接写出ADF ∠的大小(用含α的式子表示). (2)求证:BF DF ⊥.(3)连接CF ,用等式表示线段AF ,BF ,CF 之间的数量关系,并证明.6.如图,已知在矩形ABCD 中,AB =2,BC =3P ,Q 分别是BC ,AD 边上的一个动点,连结BQ ,以P 为圆心,PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ,连结PD . (1)若DQ 3且四边形BPDQ 是平行四边形时,求出⊙P 的弦BE 的长;(2)在点P ,Q 运动的过程中,当四边形BPDQ 是菱形时,求出⊙P 的弦BE 的长,并计算此时菱形与圆重叠部分的面积.7.已知抛物线y =﹣14x 2+bx +c 经过点A (4,3),顶点为B ,对称轴是直线x =2.(1)求抛物线的函数表达式和顶点B 的坐标;(2)如图1,抛物线与y 轴交于点C ,连接AC ,过A 作AD ⊥x 轴于点D ,E 是线段AC 上的动点(点E 不与A ,C 两点重合);(i )若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1:3的两部分,求点E 的坐标; (ii )如图2,连接DE ,作矩形DEFG ,在点E 的运动过程中,是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上?若存在,求出此时AE 的长;若不存在,请说明理由. 8.如图,抛物线2)12(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点,交y 轴于点C .直线122y x =-经过点,B C .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线上一动点,过P 作x 轴的垂线,交直线BC 于M .设点P 的横坐标是t .①当PCM ∆是直角三角形时,求点P 的坐标;②当点P 在点B 右侧时,存在直线l ,使点,,A C M 到该直线的距离相等,求直线解析式y kx b =+(,k b 可用含t 的式子表示).9.已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点,且抛物线的对称轴为直线2x =.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线平移,使顶点与原点重合,已知点(,1)M m -,点A 、B 为抛物线上不重合的两点(B 在A 的左侧),且直线MA 与抛物线仅有一个公共点.①如图1,当点M 在y 轴上时,过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ,BQ x ⊥轴于点Q .若APM △与BQO △ 相似, 求直线AB 的解析式;②如图2,当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时,记A 、B 两点的横坐标分别为a 、b .当点M 在y 轴上时,直接写出m am b--的值为 ;当点M 不在y 轴上时,求证:m am b--为一个定值,并求出这个值.10.()1尺规作图1:已知:如图,线段AB 和直线且点B 在直线上求作:点C ,使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形.作图要求:保留作图痕迹,不写作法,做出所有符合条件的点C .()2特例思考:如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有______个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用:如图,AOB 45∠=,点M ,N 在射线OA 上,OM x =,ON x 2=+,点P 是射线OB 上的点.若使点P ,M ,N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个,求x 的值.11.如图1,ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形,点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点,射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ,连结BD 交AC 于点F . (1)求证:ADB CDE ∠=∠;(2)若7BD =,3CD =,①求AD DE •的值;②如图2,若AC BD ⊥,求tan ACB ∠;(3)若5tan 2CDE ∠=,记AD x =,ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ,直接写出y 关于x 的函数关系式.12.如图,PA 切⊙O 于点A ,射线PC 交⊙O 于C 、B 两点,半径OD ⊥BC 于E ,连接BD 、DC 和OA ,DA 交BP 于点F ; (1)求证:∠ADC+∠CBD =12∠AOD ; (2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中相等的线段.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1) ☉O 的半径是32;(2)AB ∥ON ,证明见解析. 【解析】 【分析】(1) 连接AB ,根据题意可AB 为直径,再用勾股定理即可. (2) 连接OA , OB ,OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠,从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ,则有2OPN QOR ∠=∠,再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】 解:(1)连接AB ,在☉0中,o APQ BPQ 45∠=∠=, o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径.Rt APB ∴∆在中,22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32(2)AB//ON证明:连接OA , OB , OQ , 在☉0中,AQ AQ =, BQ BQ =,Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.又APQ BPQ ∠=∠,AOQ BOQ ∴∠=∠.在AOB ∆中,OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=连接OQ ,交AB 于点C 在☉0中,OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ,则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=,NOQ 90O ∴∠=NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .AB//ON ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理,勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理,是一道综合题,灵活运用相关知识是解题的关键.2.(1)b=3;(2)点M 坐标为7(1,)3;(3)93(,)42-或3654(,)1313【解析】 【分析】(1)首先在一次函数的解析式中令x=0,即可求得D 的坐标,则OD=b ,则E 的坐标即可利用b 表示出来,然后代入一次函数解析式即可得到关于b 的方程,求得b 的值;(2)首先求得四边形OAED 的面积,则△ODM 的面积即可求得,设出M 的横坐标,根据三角形的面积公式即可求得M 的横坐标,进而求得M 的坐标;(3)分两种情况进行讨论,①四边形OMDN 是菱形时,M 是OD 的中垂线与DE 的交点,M 关于OD 的对称点就是N ;②四边形OMND 是菱形,OM=OD ,M 在直线DE 上,设出M 的坐标,根据OM=OD 即可求得M 的坐标,则根据OD ∥MN,且OD=MN 即可求得N 的坐标. 【详解】(1)在23y x b =-+中,令x=0,解得y=b , 则D 的坐标是(0,b),OD=b , ∵OD=BE ,∴BE=b ,则点E 坐标为(3,4-b ),将点E 代入23y x b =-+中,得:4-b=2+b,解得:b=3; (2)如图,∵OAED S 四边形=11()(31)3622OD AE OA +=⨯+⨯=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13=42ODM OAED S S ∆=四边形 设M 的横坐标是a ,则13322a ⨯=, 解得:1a =, 将1x a ==代入233y x =-+中,得: 27333y =-⨯+=则点M 坐标为7(1,)3;(3)依题意,有两种情况:①当四边形OMDN 是菱形时,如图(1),M 的纵坐标是32,把32y =代入233y x =-+中,得: 23332x -+=,解得:94x =, ∴点M 坐标为93(,)42, 点N 坐标为93(,)42-;②当四边形OMND 是菱形时,如图(2),OM =OD =3, 设M 的坐标2(,3)3m m -+, 由OM=OD 得:222(3)93m m +-+=, 解得:3613m =或m=0(舍去), 则点M 坐标为3615(,)1313, 又MN ∥OD ,MN=OD=3, ∴点N 的坐标为3654(,)1313, 综上,满足条件的点N 坐标为93(,)42-或3654(,)1313.【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合,涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识,解答的关键是认真审题,找出相关知识的联系点,运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.3.(1)(1)5BQ x =;3FD x =(2)9AP =(3)12AP =或65AP =或3AP = 【解析】 【分析】(1)由:3:4AQ AB =、3AQ x =,易得4AB x =,由勾股定理得BQ ,再由中位线的性质得12AH BH AB ==,求得CD 、FD ; (2)利用(1)的结论,易得CQ 的长,作OM AQ ⊥于点M ,则//OM AB ,由垂径定理得32QM AM x ==,由矩形性质得OD MC =,利用矩形面积求得x ,得出结论; (3)点P 在A 点的右侧时,利用(1)、(2)的结论和正方形的性质得243x x +=,得AP ;点P 在A 点的左侧时,当点C 在Q 右侧,当407x <<时,473x x -=,解得x ,易得AP ;当4273x ≤<时,743x x -=,得AP ;当点C 在Q 的左侧时,即23x ≥,同理得AP . 【详解】解:(1)∵:3:4AQ AB =,3AQ x = ∴4AB x =∴在Rt ABQ △中,5BQ x ==∵OD m ⊥,m l ⊥ ∴//OD l ∵OB OQ = ∴122AH BH AB x === ∴2CD x = ∴332FD CD x == (2)∵点P 关于点A 的对称点为Q ∴3AP AQ x == ∵4PC = ∴64CQ x =+过点O 作OM AQ ⊥于点M ,如图:∵90BAQ ∠=︒∴//OM AB∵O 是ABQ △的外接圆,90BAQ ∠=︒∴点O 是BQ 的中点 ∴1322QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵1522OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形∴13x =,25x =-(不合题意,舍去)∴39AP x ==∴当点P 在点A 右侧时,若矩形DEGF 的面积等于90,AP 的长为:9.(3)若矩形DEGF 是正方形,则DE DF =①点P 在A 点的右侧时,如图:∴243x x +=∴4x =∴312AP x ==②点P 在A 点的左侧时I.当点C 在Q 右侧时i.当 407x <<时,如图:∵47DE x =-,3DF x =∴473x x -=∴25x = ∴635AP x x ==ii.当4273x ≤<时,如图:∵74DE x =-,3DF x =∴743x x -=∴1x =(不合题意,舍去)II. 当点C 在Q 的左侧时,即23x ≥,如图:∵74DE x =-,3DF x =∴743x x -=∴1x =∴33AP x ==∴综上所述,当12AP =或65AP =或3AP =时,矩形DEGF 是正方形. 故答案是:(1)5BQ x =;3FD x =(2)9AP =(3)12AP =或65AP =或3AP = 【点睛】本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等,综合性强,难度大,正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题.4.(1)30°;(2)EF=;(3)CO 的长为或时,△PEB 为等腰三角形.【解析】试题分析:(1)利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可;(2)首先证明△HBO ≌△COD (AAS ),进而利用△COD ∽△CBF ,得出比例式求出EF 的长;(3)分别利用①当PB=PE ,不合题意舍去;②当BE=EP ,③当BE=BP ,求出即可. 试题解析:(1)如图1,连接EO ,∵∴∠BOE=∠EOD ,∵DO ∥BF ,∴∠DOE=∠BEO ,∵BO=EO,∴∠OBE=∠OEB,∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°,∵CF⊥AB,∴∠FCB=90°,∴∠F=30°;(2)如图1,作HO⊥BE,垂足为H,∵在△HBO和△COD中,∴△HBO≌△COD(AAS),∴CO=BH=a,∴BE=2a,∵DO∥BF,∴△COD∽△CBF,∴∴,∴EF=;(3)∵∠COD=∠OBE,∠OBE=∠OEB,∠DOE=∠OEB,∴∠COD=∠DOE,∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上,若△PEB为等腰三角形,设CO=x,∴OP=OC=x,则PE=EO-OP=4-x,由(2)得:BE=2x,①当PB=PE,不合题意舍去;②当BE=EP,2x=4-x,解得:x=,③当BE=BP,作BM⊥EO,垂足为M,∴EM=PE=,∴∠OEB=∠COD,∠BME=∠DCO=90°,∴△BEM∽△DOC,∴,∴,整理得:x2+x-4=0,解得:x=(负数舍去),综上所述:当CO的长为或时,△PEB为等腰三角形.考点:圆的综合题.5.(1)45°+α;(2)证明见解析;(3)2BF+CF.【解析】【分析】(1)过点A作AG⊥DF于G,由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD,∠BAP=∠EAF,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG,即可得∠FAG=12∠BAD=45°,∠DAG+∠BAP=45°,根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案;(2)由(1)可得∠FAG=12∠BAD=45°,由AG⊥PD可得∠APG=45°,根据轴对称的性质可得∠BPA=∠APG=45°,可得∠BFD=90°,即可证明BF⊥DF;(3)连接BD、BE,过点C作CH//FD,交BE延长线于H,由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆,根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC,∠DFC=∠DBC=45°,根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH,根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH,由轴对称性质可得BF=EF,可得△BEF是等腰直角三角形,即可得∠BEF=45°,2BF,即可证明∠BEF=∠DFC,可得BH//FC,即可证明四边形EFCH是平行四边形,可得EH=FC,EF=CH,利用等量代换可得CH=BF,利用SAS可证明△ABF≌△BCH,可得AF=BH,即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】(1)过点A作AG⊥DF于G,∵点B关于直线AF的对称点为E,四边形ABCD是正方形,∴AE=AB,AB=AD=DC=BC,∠BAF=∠EAF,∴AE=AD,∵AG⊥FD,∴∠EAG=∠DAG,∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG,∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°,∴∠DAG=45°-α,∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α.(2)由(1)得∠GAF=45°,∵AG⊥FD,∴∠AFG=45°,∵点E、B关于直线AF对称,∴∠AFB=∠AFE=45°,∴∠BFG=90°,∴BF⊥DF.(3)连接BD、BE,过点C作CH//FD,交BE延长线于H,∵∠BFD=∠BCD=90°,∴B、F、C、D四点共圆,∴∠FDC=∠FBC,∠DFC=∠DBC=45°,∵CH//FD,∴∠DCH=∠FDC,∴∠FBC=∠DCH,∵∠ABC=∠BCD=90°,∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH,即∠ABF=∠BCH,∵点E、B关于直线AF对称,∴BF=EF,∵∠BFE=90°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴∠BEF=45°,2BF,∴∠BEF=∠DFC,∴FC//BH,∴四边形EFCH是平行四边形,∴EH=FC,CH=BF,在△ABF和△BCH中,AB BCABF BCH BF CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴2BF+CF.【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质,正确得出B、F、C、D四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键.6.(1)637;(2)BE=433;菱形与圆重叠部分的面积为833.【解析】【分析】(1)作PT⊥BE于点T,根据垂径定理和勾股定理求BQ的值,再根据相似三角形的判定和性质即可求解;(2)根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长,此时点E和点Q重合,再根据扇形面积公式即可求解.【详解】解:(1)如图:过点P作PT⊥BQ于点T,∵AB=2,AD=BC=3,DQ3∴AQ3在Rt△ABQ中,根据勾股定理可得:BQ7.又∵四边形BPDQ是平行四边形,∴BP=DQ3,∵∠AQB=∠TBP,∠A=∠BTP,∴△AQB∽△TBP,∴3,37 BT BDAQ BQ==即∴BT=33 7,∴BE=2BT=637.(2)设菱形BPDQ的边长为x,则AQ=23﹣x,在Rt△ABQ中,根据勾股定理,得AB2+AQ2=BQ2,即4+(23﹣x)2=x2,解得x=43 3.∵四边形BPDQ为菱形,∴BP=DP=43 3,又CP=BC-BP=233,即DP=2CP,∴∠DPC=60°,∴∠BPD=120°,∴连接PQ,易得△BPQ为等边三角形,∴PQ=BP,∴点Q也在圆P上,圆P经过点B,D,Q,如图.∴点E、Q重合,∴BE 43 3∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积,∴S菱形833.【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式,解决本题的关键是综合运用以上知识.7.(1)y=﹣14x2+x+3,顶点B的坐标为(2,4);(2)(i)点E的坐标为(85,3)或(125,3);(ii)存在;当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上,此时AE的长为43.【解析】【分析】(1)由题意得出21441,43,124b cb⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩,解得1,3,bc=⎧⎨=⎩,得出抛物线的函数表达式为:y=﹣14x2+x+3=﹣14(x﹣2)2+4,即可得出顶点B的坐标为(2,4);(2)(i)求出C(0,3),设点E的坐标为(m,3),求出直线BE的函数表达式为:y=12m--x+462mm--,则点M的坐标为(4m﹣6,0),由题意得出OC=3,AC=4,OM=4m﹣6,CE=m,则S矩形ACOD=12,S梯形ECOM=15182m-,分两种情况求出m的值即可;(ii)过点F作FN⊥AC于N,则NF∥CG,设点F的坐标为:(a,﹣14a2+a+3),则NF=3﹣(﹣14a2+a+3)=14a2﹣a,NC=﹣a,证△EFN≌△DGO(ASA),得出NE=OD=AC=4,则AE=NC=﹣a,证△ENF∽△DAE,得出NF NEAE AD=,求出a=﹣43或0,当a=0时,点E与点A重合,舍去,得出AE=NC=﹣a=43,即可得出结论.【详解】(1)∵抛物线y=﹣14x2+bx+c经过点A(4,3),对称轴是直线x=2,∴21441, 43,124b cb⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,3, bc=⎧⎨=⎩∴抛物线的函数表达式为:y=﹣14x2+x+3,∵y=﹣14x2+x+3=﹣14(x﹣2)2+4,∴顶点B的坐标为(2,4);(2)(i)∵y=﹣14x2+x+3,∴x=0时,y=3,则C点的坐标为(0,3),∵A(4,3),∴AC∥OD,∵AD⊥x,∴四边形ACOD是矩形,设点E的坐标为(m,3),直线BE的函数表达式为:y=kx+n,直线BE交x轴于点M,如图1所示:则24,3, k nmk n+=⎧⎨+=⎩解得:1,246,2kmmnm-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,∴直线BE的函数表达式为:y=12m--x+462mm--,令:y=12m--x+462mm--=0,则x=4m﹣6,∴点M的坐标为(4m﹣6,0),∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分,∴点M在线段OD上,点M不与点O重合,∵C(0,3),A(4,3),M(4m﹣6,0),E(m,3),∴OC=3,AC=4,OM=4m﹣6,CE=m,∴S矩形ACOD=OC•AC=3×4=12,S梯形ECOM=12(OM+EC)•OC=12(4m﹣6+m)×3=15182m-,分两种情况:①S ECOMS ACOD梯形矩形=14,即1518212m-=14,解得:m=85,∴点E的坐标为:(85,3);②S ECOMS ACOD梯形矩形=34,即1518212m-=34,解得:m=125,∴点E的坐标为:(125,3);综上所述,点E的坐标为:(85,3)或(125,3);(ii)存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上;理由如下:由题意得:满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方,过点F作FN⊥AC于N,则NF∥CG,如图2所示:设点F的坐标为:(a,﹣14a2+a+3),则NF=3﹣(﹣14a2+a+3)=14a2﹣a,NC=﹣a,∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形,∴∠DAE=∠DEF=∠N=90°,EF=DG,EF∥DG,AC∥OD,∴∠NEF=∠ODG,∠EMC=∠DGO,∵NF∥CG,∴∠EMC=∠EFN,∴∠EFN=∠DGO,在△EFN和△DGO中,∠NEF=∠ODG,EF=DG,∠EFN=∠DGO,∴△EFN≌△DGO(ASA),∴NE=OD=AC=4,∴AC﹣CE=NE﹣CE,即AE=NC=﹣a,∵∠DAE=∠DEF=∠N=90°,∴∠NEF+∠EFN=90°,∠NEF+∠DEA=90°,∴∠EFN=∠DEA,∴△ENF∽△DAE,∴NE NFAD AE=,即43=214a aa--,整理得:34a2+a=0,解得:a=﹣43或0,当a=0时,点E与点A重合,∴a=0舍去,∴AE =NC =﹣a =43, ∴当点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上,此时AE 的长为43.【点睛】本题是二次函数综合题目,考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识;本题综合性强,属于中考压轴题型.8.(1)211242y x x =--;(2)①P (2,−2)或(-6,10),②1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++ 【解析】【分析】(1)利用一次函数与坐标轴交点的特征可求出点B ,C 的坐标,根据点B ,C 的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式;(2)①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC≠90°,分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑: (i )当∠MPC=90°时,PC //x 轴,利用二次函数可求出点P 的坐标;(ii )当∠PCM=90°时,设PC 与x 轴交于点D ,易证△BOC ∽△COD ,利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标,根据点C ,D 的坐标,利用待定系数法可求出直线PC 的解析式,联立直线PC 和抛物线的解析式,通过解方程组可求出点P 的坐标;②在ACM 中,如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等,则该直线应为ACM 的中位线,分开求解三条中位线方程即可求解.【详解】解:(1)因为直线交抛物线于B 、C 两点,∴当x =0时,y =12x −2=−2, ∴点C 的坐标为(0,−2);当y =0时,12x −2=0, 解得:x =4,∴点B 的坐标为(4,0).将B 、C 的坐标分别代入抛物线,得: 2144022a c c ⎧⨯-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩,解得:142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴抛物线的解析式为211242y x x =--. (2)①∵PM ⊥x 轴,M 在直线BC 上,∴∠PMC 为固定角且不等于90,∴可分两种情况考虑,如图1所示:(i )当∠MPC=90时,PC //x 轴,∴点P 的纵坐标为﹣2,将y p =-2,代入抛物线方程可得:2112242x x --=-解得: x 1=2,x 2=0(为C 点坐标,故舍去),∴点P 的坐标为(2,−2);(ii )当∠PCM=90°时,设PC 与x 轴交于点D ,∵∠OBC+∠OCB=90°,∠OCB+∠OCD=90°,∴∠OBC=∠OCD ,又∵∠BOC=∠COD=90°,∴BOC ∽COD (AAA ),∴OD OC OC OB =,即OD=2OC OB, 由(1)知,OC=2,OB=4,∴OD=1,又∵D 点在X 的负半轴∴点D 的坐标为(-1,0),设直线PC 的解析式为:y =kx +b (k ≠0,k 、b 是常数),将C(0,−2),D(-1,0)代入直线PC 的解析式,得:20b k b =-⎧⎨-+=⎩,解得:22k b =-⎧⎨=-⎩, ∴直线PC 的解析式为y =-2x −2,联立直线PC 和抛物线方程,得:22122142x x x -=---, 解得:x 1=0,y 1=−2,x 2=-6,y 2=10,点P 的坐标为(-6,10),综上所述:当PCM 是直角三角形时,点P 的坐标为(2,−2)或(-6,10); ②如图2所示,在ACM 中,如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等,则该直线应为ACM 的中位线;(a )当以CM 为底时,过A 点做CM 的平行线AN ,直线AN 平行于CM 且过点A ,则斜率为12,AN 的方程为:1(+2)2y x =,则中位线方程式为:1122y x =-; (b )当以AM 为底时,因为M 为P 点做x 轴垂线与CB 的交点,则M 的横坐标为t ,且在直线BC 上,则M 的坐标为:1,22M t t -(),其中4t >,则AM 的方程为:44+242t t y x t t --=++,过C 点做AM 的平行线CQ ,则CQ 的方程为:4224t y x t -=-+ ,则中位线方程式为:4412424t t y x t t --=+-++; (c )当以AC 为底时,AC 的方程式为:2y x =--,由b 可知M 的坐标为:1,22M t t -(),过M 做AC 的平行线MR ,则MR 的方程为:322y x t =-+-,则中位线方程式为:324y x t =-+-; 综上所述:当点P 在点B 右侧时,存在直线l ,使点,,A C M 到该直线的距离相等,直线解析式为:1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++.【点睛】本题考查了一次函数坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等,解题的关键是掌握三角形的顶点到中位线的距离相等.9.(1)214y x x =-;(2)①122y x =-+,②1,见解析,定值为1 【解析】【分析】(1)利用待定系数法把点(4,0)、(2,3)-代入解析式,再结合抛物线对称轴方程得到三元一次方程组,解方程组即可.(2)①先求出平移后的抛物线解析式,设出直线MA 的解析式1y kx =-,再联立抛物线解析式2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,得到21104x kx -+=,令210k ∆=-=,求出k 的值,得出APM ∆为等腰直角三角形,运用APM ∆与BQO ∆相似得出90BQO APM ∠=∠=,故AB :y mx n =+,则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩即可求出AB 函数关系式. ②当M 在y 轴上时,m=0,再根据图像对称性可得A 、B 两点关于y 轴对称,得出a ,b 的关系,即可求出答案;当M 不在与轴上时,设MA :111y k x k m =--,联立抛物线解析式112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩,得出2114440x k x k m -++=,令212=16(1)0k k m ∆--=,同理设出MB ,令22216(1)0k k m ∆=--=,故1k ,2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根,得出12k k m +=,即可求出答案.【详解】解:(1)设2y=ax +bx+c a (≠0),把点(4,0)、(2,3)-代入 ∵对称轴为x=2 ∴164042322a b c a b c b a ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-=⎩解得1410a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∴抛物线解析式214y x x =-. (2)①(0,1)M -,平移后抛物线214y x =设MA :1y kx =- 则联立2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,21104x kx -+= 210k ∆=-=1k ∴=±又由图,A 在y 轴右侧故1k =,(2,1)A2AP PM ∴==,APM ∆为等腰直角三角形又APM ∆与BQO ∆相似∴△BQO 为等腰直角三角形,设B (﹣x ,x ),带入抛物线解析式得:214x x = 解得x=4或x=0(舍去)∴B (﹣4,4)设AB :y mx n =+,把(2,1)A ,B (﹣4,4)带入得: 则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩,122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴AB 解析式为:122y x =-+. ②(i )∵214y x =关于y 轴对称,M 在y 轴上,且MA ,MB 与抛物线只有一个交点 ∴A 、B 两点关于y 轴对称,∴a=﹣b ∴m a m b --=0+b 0b-=1, 故答案是:1;(ii )设MA :111y k x k m =--, 则联立112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩, 2114440x k x k m -++=,此方程仅一个根,故11422k a k ==, 且212=16(1)0k k m ∆--=,同理设MB :221y k x k m =--,亦有22b k =,22216(1)0k k m ∆=--=,故1k ,2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根,12k k m +=,()111122122m k m k m a m b m m k k m---∴===----, 即m a m b --为一定值1, ∴当点M 不在y 轴上时,m a m b--为一个定值1. 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题型,二次函数待定系数法求函数解析式,二次函数与一元二次方程的综合应用,二次函数与相似三角形的综合应用,解题关键在于理解题意,正确分析题目,运用数形结合思想进行解题.10.(1) 见解析;(2) 2,2 ;(3)0或222-或222x <<.【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义,用分类讨论的思想解决问题即可;()2通过画图分析可得,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有2个,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有2个;()3分三种情形讨论求解即可.【详解】解:()1如图1中,点1C ,2C ,3C ,4C 即为所求.()2如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有2个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有2个,当∠1=90°或∠1=60°时,符合条件的点C 都是在点B 左右各一个,当∠1=60°时,符合条件的点C 如图所示:故答案为2,2.()3①如图31-中,当x 0=时,当PM PN =时,有点1P ,当ON OP =时,有点2P ,当NO NP =时,有点3P ,此时有3个P 点.②如图32-中,当N 与OB 相切于点1P 时,1OP N 是等腰直角三角形,1ON 2NP 22∴==,OM ON MN 222∴=-=,此时有3个P 点.③如图33-中,当M 经过点O 时,此时只有2个P 点,如图34-中,M 与OB 相交时,此时有3个P 点,如图35-中,当M 与OB 相切时,只有2个P 点.此时OM 22=, 综上所述,当2x 22<<3个P 点.∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,尺规作图,直线与圆的位置关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.11.(1)证明见解析;(2)①215(3)21029y x =【解析】【分析】 ()1由圆内接四边形性质知ABC CDE ∠∠=,由AB AC =知ABC ACB ∠∠=,从而得ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠===;()2①由BAD DCE ∠∠=,ADB CDE ∠∠=可证ADB ∽CDE.从而得AD DB CD DE =; ②连接AO 并延长交BD 于点M ,连接CM ,证MAF ≌DAF 得MF DF =,据此知BM CM CD 3===,MF DF 2==,求得22CF CD DF 5=-=定义可得答案;()3证ABD ∽AEB 得2AB AD AE.=⋅证ABD ∽CED 得BD CD AD DE.⋅=⋅从而得2ABC BCD 111S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC x sin BAC 222∠∠∠-=⋅⋅-⋅⋅=,再由5tan ABC tan CDE 2∠∠==,可设BM 2a =,知AM 5a =,AB 29a =,由面积法可得BN a 29=,即20sin BAC 29∠=,据此得出答案. 【详解】解:()1四边形ABCD 是圆O 的内接四边形, ABC 180ADC CDE ∠∠∠∴=-=.AB AC =,ABC ACB ∠∠∴=.ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠∴===;()2①四边形ABCD 内接于圆,BAD 180BCD DCE ∠∠∠∴=-=.又ADB CDE ∠∠=,ADB ∴∽CDE .AD DB CD DE∴=, AD DE BD CD 7321∴⋅=⋅=⨯=;②连接AO 并延长交BD 于点M ,连接CM ,AM 平分BAC ∠,AM BC ∴⊥,CAD CBD 90ACB MAF ∠∠∠∠∴==-=. MAF ∴≌()DAF ASA .MF DF ∴=,即AC 是线段MD 的中垂线.BM CM CD 3∴===,MF DF 2∴==,在Rt CDF 中,2222CF CD DF 325=--=, BF tan ACB 5CF 5∠∴===()3BAD EAB ∠∠=,ADB ACB ABE ∠∠∠==,ABD ∴∽AEB ,AB AD AE AB∴=,即2AB AD AE =⋅. CDE ADB ∠∠=,DCE BAD ∠∠=ABD ∴∽CED , BD AD DE CD∴=,即BD CD AD DE ⋅=⋅. ABC BCD 11S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC 22∠∠-=⋅⋅-⋅⋅, ()1sin BAC AD AE AD DE 2∠=⋅-⋅. 21x sin BAC 2∠=,又5tan ABC tan CDE 2∠∠==, 如图2,设BM 2a =,则AM 5a =,AB 29a =, 由面积法可得BN 29=,即20sin BAC 29∠=, 22ABC BCD 12010S S x x 22929y ∴-==⨯=. 【点睛】本题是圆的综合问题,解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点.12.(1)详见解析;(2)详见解析;【解析】【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =,根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠,即可得到结论;()2根据垂径定理得到BE CE =,BD CD =,根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠,根据切线的性质得到90PAO ∠=,求得90OAD DAP ∠+∠=,推出PAF PFA ∠=∠,根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】()1证明:OD BC ⊥,BD CD ∴=,CBD DCB ∴∠=∠,90DFE EDF ∠+∠=,90EDF DFE ∴∠=-∠,OD OA =,()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠, 190902DFE AOD ∴-∠=-∠, 12DEF AOD ∴∠=∠, DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠,12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠; ()2解:OD BC ⊥,BE CE ∴=,BD CD =,BD CD ∴=,OA OD =,ADO OAD ∴∠=∠,PA 切O 于点A ,90PAO ∴∠=, 90OAD DAP ∴∠+∠=, PFA DFE ∠=∠,90PFA ADO ∴∠+∠=,PAF PFA ∴∠=∠,PA PF ∴=.【点睛】本题考查了切线的性质,等腰三角形的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,正确的识别图形是解题的关键.。

初三九年级数学上册上册数学压轴题测试卷(解析版)

初三九年级数学上册上册数学压轴题测试卷(解析版)

初三九年级数学上册上册数学压轴题测试卷(解析版)一、压轴题1.已知在ABC 中,AB AC =.在边AC 上取一点D ,以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠,点E 在AC 的延长线上,ECF ACB ∠=∠.(1)如图(1),当点D 在边AC 上时,请说明①FDC ABD ∠=∠;②DB DF =成立的理由.(2)如图(2),当点D 在AC 的延长线上时,试判断DB 与DF 是否相等?2.如图,⊙O 的直径AB =26,P 是AB 上(不与点A ,B 重合)的任一点,点C ,D 为⊙O 上的两点.若∠APD =∠BPC ,则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”.(1)若∠BPC =∠DPC =60°,则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗?并说明理由;(2)猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系,给出证明(提示:延长CP 交⊙O 于点E );(3)若直径AB 的“回旋角”为120°,且△PCD 的周长为3AP 的长.3.如图①,O 经过等边ABC 的顶点A ,C (圆心O 在ABC 内),分别与AB ,CB 的延长线交于点D ,E ,连结DE ,BF EC ⊥交AE 于点F .(1)求证:BD BE =.(2)当:3:2AF EF =,6AC =,求AE 的长.(3)当:3:2AF EF =,AC a =时,如图②,连结OF ,OB ,求OFB △的面积(用含a 的代数式表示).4.研究发现:当四边形的对角线互相垂直时,该四边形的面积等于对角线乘积的一半,如图1,已知四边形ABCD 内接于O ,对角线AC BD =,且AC BD ⊥.(1)求证:AB CD =;(2)若O 的半径为8,弧BD 的度数为120︒,求四边形ABCD 的面积;(3)如图2,作OM BC ⊥于M ,请猜测OM 与AD 的数量关系,并证明你的结论.5.如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,连接AC 、EC 、EF 、FC ,且EC EF ⊥.(1)求证:AEF BCE ∽;(2)若23AC =AB 的长;(3)在(2)的条件下,求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离?6.如图1,有一块直角三角板,其中AB 16=,ACB 90∠=,CAB 30∠=,A 、B 在x 轴上,点A 的坐标为()20,0,圆M 的半径为33,圆心M 的坐标为(5,33-,圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动,运动时间为t 秒; ()1求点C 的坐标;()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时,求t 的值;()3如图2,点E 、F 分别是BC 、AC 的中点,连接EM 、FM ,在运动过程中,是否存在某一时刻,使EMF 90∠=?若存在,直接写出t 的值,若不存在,请说明理由.7.已知,如图Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 为AC 的中点,Q 从点A 运动到B ,点Q 运动到点B 停止,连接PQ ,取PQ 的中点O ,连接OC ,OB .(1)若△ABC ∽△APQ ,求BQ 的长;(2)在整个运动过程中,点O 的运动路径长_____;(3)以O 为圆心,OQ 长为半径作⊙O ,当⊙O 与AB 相切时,求△COB 的面积.8.如图,Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,4AC =,3BC =.点P 从点A 出发,沿着A C B →→运动,速度为1个单位/s ,在点P 运动的过程中,以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ,点P 的运动时间为t (s )(07t <<).(1)当47t <<时,BP = ;(用含t 的式子表示)(2)求S 与t 的函数表达式;(3)在⊙P 运动过程中,当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时,直接写出t 的值.9.如图,已知AB 是⊙O 的直径,AB =8,点C 在半径OA 上(点C 与点O 、A 不重合),过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ,连结OD ,过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F .(1)若ED =BE ,求∠F 的度数:(2)设线段OC =a ,求线段BE 和EF 的长(用含a 的代数式表示);(3)设点C 关于直线OD 的对称点为P ,若△PBE 为等腰三角形,求OC 的长.10.已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点,且抛物线的对称轴为直线2x =.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线平移,使顶点与原点重合,已知点(,1)M m -,点A 、B 为抛物线上不重合的两点(B 在A 的左侧),且直线MA 与抛物线仅有一个公共点.①如图1,当点M 在y 轴上时,过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ,BQ x ⊥轴于点Q .若APM △与BQO △ 相似, 求直线AB 的解析式;②如图2,当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时,记A 、B 两点的横坐标分别为a 、b .当点M 在y 轴上时,直接写出m a m b--的值为 ;当点M 不在y 轴上时,求证:m a m b--为一个定值,并求出这个值.11.()1尺规作图1:已知:如图,线段AB 和直线且点B 在直线上求作:点C ,使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形.作图要求:保留作图痕迹,不写作法,做出所有符合条件的点C .()2特例思考:如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有______个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用:如图,AOB 45∠=,点M ,N 在射线OA 上,OM x =,ON x 2=+,点P 是射线OB 上的点.若使点P ,M ,N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个,求x 的值.12.一个四边形被一条对角线分割成两个三角形,如果分割所得的两个三角形相似,我们就把这条对角线称为相似对角线.(1)如图,正方形ABCD 的边长为4,E 为AD 的中点,点F ,H 分别在边AB 和CD 上,且1AF DH ==,线段CE 与FH 交于点G ,求证:EF 为四边形AFGE 的相似对角线;(2)在四边形ABCD 中,BD 是四边形ABCD 的相似对角线,120A CBD ∠=∠=,2AB =,6BD =CD 的长;(3)如图,已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,90A ∠=,8AB =,6AD =,点E 是AB 的中点,点F 是射线AD 上的动点,若EF 是四边形AECF 的相似对角线,请直接写出线段AF 的长度(写出3个即可).【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1)见解析;(2)DB DF =【解析】【分析】(1)①直接利用三角形的外角性质,即可得到;②过D作DG BC交AB于点G,由等腰三角形的性质,平行线的性质和等边对等角,得到BG DC=,DGB FCD∠=∠,然后证明三角形全等,即可得到结论成立;(2)连接BF,根据题意,可证得BCF BDF A∠=∠=∠,则B、C、D、F四点共圆,即可证明结论成立.【详解】解:(1)①∵BDC A ABD∠=∠+∠,即BDF FDC A ABD∠+∠=∠+∠,∵BDF A∠=∠,∴FDC ADB∠=∠;②过D作DG BC交AB于点G,∴ADG ACB∠=∠,AGD ABC∠=∠,又AB AC=,∴AABC CB=∠∠,∴AGD ADG∠=∠,∴AD AG=,∴AB AG AC AD-=-,∴BG DC=,又ECF ACB AGD∠=∠=∠,∴DGB FCD∠=∠,在GDB△与CFD△中,,,DGB FCDGB CDGBD FDC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()GDB CFD ASA△≌△∴DB DF=;(2)证明:如图:连接BF,由(1)可知,A ABC CB =∠∠,∵ECF ACB ∠=∠,∴ABC ECF ∠=∠,∵BC A C A BCF E F =∠+∠∠+∠,∴A BCF ∠=∠,∴BDF A BCF ∠=∠=∠,∴B 、C 、D 、F 四点共圆,∴180DCB DFB ∠+∠=︒,DBF ECF ∠=∠,∴ACB DFB ∠=∠,∵BC EC AC A F B =∠=∠∠,∴DBF DFB ∠=∠,∴DB DF =.【点睛】本题考查了四点共圆的知识,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,平行线的性质,以及三角形外角性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确作出辅助线,从而得到角的关系,再进行证明.2.(1)∠DPC 是直径AB 的回旋角,理由见解析;(2)“回旋角”∠CPD 的度数=CD 的度数,证明见解析;(3)3或23.【解析】【分析】(1)由∠BPC =∠DPC =60°结合平角=180°,即可求出∠APD =60°=∠BPC ,进而可说明∠DPC 是直径AB 的回旋角;(2)延长CP 交圆O 于点E ,连接OD ,OC ,OE ,由“回旋角”的定义结合对顶角相等,可得出∠APE =∠APD ,由圆的对称性可得出∠E =∠D ,由等腰三角形的性质可得出∠E =∠C ,进而可得出∠D =∠C ,利用三角形内角和定理可得出∠COD =∠CPD ,即“回旋角”∠CPD 的度数=CD 的度数;(3)①当点P 在半径OA 上时,在图3中,过点F 作CF ⊥AB ,交圆O 于点F ,连接PF ,则PF =PC ,利用(2)的方法可得出点P ,D ,F 在同一条直线上,由直径AB 的“回旋角”为120°,可得出∠APD =∠BPC =30°,进而可得出∠CPF =60°,即△PFC 是等边三角形,根据等边三角形的性质可得出∠CFD =60°.连接OC ,OD ,过点O 作OG ⊥CD 于点G ,则∠COD =120°,根据等腰三角形的性质可得出CD =2DG ,∠DOG =12∠COD =60°,结合圆的直径为26可得出CD =3PCD 的周长为3DF =24,过点O 作OH⊥DF于点H,在Rt△OHD和在Rt△OHD中,通过解直角三角形可得出OH,OP的值,再根据AP=OA﹣OP可求出AP的值;②当点P在半径OB上时,用①的方法,可得:BP=3,再根据AP=AB﹣BP可求出AP的值.综上即可得出结论.【详解】(1)∵∠BPC=∠DPC=60°,∴∠APD=180°﹣∠BPC﹣∠DPC=180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠APD=∠BPC,∴∠DPC是直径AB的回旋角.(2)“回旋角”∠CPD的度数=CD的度数,理由如下:如图2,延长CP交圆O于点E,连接OD,OC,OE.∵∠CPB=∠APE,∠APD=∠CPB,∴∠APE=∠APD.∵圆是轴对称图形,∴∠E=∠D.∵OE=OC,∴∠E=∠C,∴∠D=∠C.由三角形内角和定理,可知:∠COD=∠CPD,∴“回旋角”∠CPD的度数=CD的度数.(3)①当点P在半径OA上时,在图3中,过点F作CF⊥AB,交圆O于点F,连接PF,则PF=PC.同(2)的方法可得:点P,D,F在同一条直线上.∵直径AB的“回旋角”为120°,∴∠APD=∠BPC=30°,∴∠CPF=60°,∴△PFC是等边三角形,∴∠CFD=60°.连接OC,OD,过点O作OG⊥CD于点G,则∠COD=120°,∴CD=2DG,∠DOG=12∠COD=60°,∵AB=26,∴OC=13,∴1332 CG=∴CD=2×133=133.∵△PCD的周长为24+133,∴PD+PC+CD=24+133,∴PD+PC=DF=24.过点O作OH⊥DF于点H,则DH=FH=12DF=12.在Rt△OHD中,OH=222213125OD DH-=-=,在Rt△OHP中,∠OPH=30°,∴OP=2OH=10,∴AP=OA﹣OP=13﹣10=3;②当点P在半径OB上时,同①的方法,可得:BP=3,∴AP=AB﹣BP=26﹣3=23.综上所述,AP的长为:3或23.【点睛】此题是圆的综合题,考查圆的对称性质,直角三角形、等腰三角形与圆的结合,(3)是此题的难点,线段AP的长度由点P所在的位置决定,因此必须分情况讨论.3.(1)证明见解析;(2)1323【解析】【分析】(1)根据△ABC是等边三角形,从而可以得出∠BAC=∠C,结合圆周角定理即可证明;(2)过点A作AG⊥BC于点G,根据△ABC是等边三角形,可以得到BG、AG的值,由BF∥AG可得到AF BGEF EB=,求出BE,最后利用勾股定理即可求解;(3)过点O作OM⊥BC于点M,由题(2)知AF BGEF EB=,CG=BG=1122AC a=,可以得到BM的值,根据BF∥AG,可证得△EBF∽△EGA,列比例式求出BF,从而表示出△OFB的面积.【详解】(1)证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60°,∵∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°, ∴∠DEB=∠D ,∴BD=BE ;(2)解:如图所示,过点A 作AG ⊥BC 于点G ,∵△ABC 是等边三角形,AC=6,∴BG=11322BC AC ==, ∴在Rt △ABG 中,333AG BG ==, ∵BF ⊥EC ,∴BF ∥AG ,∴AF BG EF EB=, ∵AF :EF=3:2, ∴BE=23BG=2, ∴EG=BE+BG=3+2=5,在Rt △AEG 中,()2222335213AE AG EG =+=+=(3)解:如图所示,过点O 作OM ⊥BC 于点M ,由题(2)知AF BG EF EB =,CG=BG=1122AC a =, ∴3=2AF BG EF EB =,∴22113323EB BG a a ==⨯=, ∴EC=CG+BG+BE=11142233a a a a ++=, ∴EM=12EC =23a , ∴BM=EM-BE=211333a a a -=, ∵BF ∥AG , ∴△EBF ∽△EGA , ∴123=11532a BF BE AG EG a a ==+,∵AG ==,∴25BF ==, ∴△OFB的面积=211225330BF BM a a a ⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了圆的综合题,关键是根据等边三角形的性质,勾股定理和相似三角形的判定和性质求解.4.(1)见解析;(2)96;(3)AD=2OM ,理由见解析【解析】【分析】(1)根据弦、弧、圆心角的关系证明;(2)根据弧BD 的度数为120°,得到∠BOD=120°,利用解直角三角形的知识求出BD ,根据题意计算即可;(3)连结OB 、OC 、OA 、OD ,作OE ⊥AD 于E ,如图3,根据垂径定理得到AE=DE ,再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC ,∠AOE=∠ABD ,再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE ,则可证明△BOM ≌△OAE 得到OM=AE ,证明结论.【详解】解:(1)证明:∵AC=BD ,∴AC BD =,则AB DC ,∴AB=CD ;(2)如图1,连接OB 、OD ,作OH ⊥BD 于H ,∵弧BD 的度数为120°,∴∠BOD=120°,∴∠BOH=60°,则BH=32OB=43,∴BD=83,则四边形ABCD的面积=12×AC×BD=96;(3)AD=2OM,连结OB、OC、OA、OD,作OE⊥AD于E,如图2,∵OE⊥AD,∴AE=DE,∵∠BOC=2∠BAC,而∠BOC=2∠BOM,∴∠BOM=∠BAC,同理可得∠AOE=∠ABD,∵BD⊥AC,∴∠BAC+∠ABD=90°,∴∠BOM+∠AOE=90°,∵∠BOM+∠OBM=90°,∴∠OBM=∠AOE,在△BOM和△OAE中,OMB OEAOBM OAEOB OA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BOM≌△OAE(AAS),∴OM=AE,∴AD=2OM.【点睛】本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键.5.(1)详见解析;(2)3)12【解析】【分析】(1)由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=︒,再根据同角的余角相等,得到AFE BEC =∠∠,即可证明相似;(2)根据矩形的性质和相似三角形的性质,得到222AB BC =,再利用勾股定理,即可求出AB 的长度;(3)分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ,利用三角形中位线定理,即可求出MN 的长度.【详解】(1)证明:在矩形ABCD 中,有90EAF CBE ∠=∠=︒,∴90AEF AFE ∠+∠=︒,∵EC EF ⊥,∴90FEC ∠=︒,∴90AEF BEC ∠+∠=︒,∴AFE BEC =∠∠,∴AEF BCE ∽;(2)在矩形ABCD 中,有AD=BC ,∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点,∴22,2AB AE BE AD AF ===;∵AEF BCE ∽, ∴AE AF BC BE=, ∴222AB BC =,在Rt △ABC 中,由勾股定理得,222AB BC AC +=, ∴221122AB AB +=,解得:AB =(3)如图:∵△ABC 是直角三角形, ∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处,同理,△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处,∴线段MN 为△ACF 的中位线,∴1124MN AF AD ==, 由(2)知,22222AB BC AD ==, ∴2AD AB =, ∴22122882MN AB ==⨯=. 【点睛】本题考查了求三角形外接圆的圆心距,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理解直角三角形,三角形中位线定理,解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解.6.(1)()C 8,43;(2)t=18s ;(3)t 1513=±.【解析】【分析】(1)如图1中,作CH ⊥AB 于H .解直角三角形求出CH ,OH 即可.(2)如图1﹣1中,设⊙M 与直线BC 相切于点N ,作MH ⊥AB 于H .求出OH 的长即可解决问题.(3)设M (﹣5+t ,33),EF 12=AB =8,由∠EMF =90°,可得EM 2+MF 2=EF 2,由此构建方程即可解决问题.【详解】(1)如图1中,作CH ⊥AB 于H .∵A (20,0),AB =16,∴OA =20,OB =4.在Rt △ABC 中,∵∠ACB =90°,AB =16,∠CAB =30°,∴BC 12=AB =8,CH =BC •sin60°=43,BH =BC •cos60°=4,∴OH =8,∴C (8,43). (2)如图1﹣1中,设⊙M 与直线BC 相切于点N ,作MH ⊥AB 于H .∵MN =MH 3MN ⊥BC ,MH ⊥BA ,∴∠MBH =∠MBN =30°,∴BH 3==9,∴点M 的运动路径的长为5+4+9=18,∴当点M 在∠ABC 的内部且⊙M 与直线BC 相切时,t 的值为18s .(3)∵C (8,3B (4,0),A (20,0).∵CE =EB ,CF =FA ,∴E (6,3),F (14,3),设M (﹣5+t ,3),EF 12=AB =8. ∵∠EMF =90°,∴EM 2+MF 2=EF 2,∴(6+5﹣t )2+32+(14+5﹣t )2+32=82,整理得:t 2﹣30t +212=0,解得:t =1513【点睛】本题是圆的综合题,考查了平移变换,解直角三角形,切线的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.7.(1)BQ=8.2cm ;(2)5cm ;(3)S △BOC =39625. 【解析】【分析】(1)根据ABC APQ ∆~∆得AC AB AQ AP=,从而得到AQ 的长即可求出BQ 的长; (2)由点Q 与点A 重合和点Q 与点B 重合时,可以确定点O 的位置,再根据点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时,由点O 是PQ 的中点,点F 是PB 的中点可知OF 是PBQ ∆的中位线,从而得到点O 的运动轨迹是APB ∆的 中位线,即线段EF ,即可求得答案;(3)连接AO ,过点O 作ON AC ⊥ ,先证明APQ ABC ∆~∆得到AQ AP PQ AC AB BC == ,所以求得,AQ PQ 的值,且OP OQ =,再证明PON PAQ ∆~∆得到ON PO AQ PA=,求得ON 的值,再根据BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--即可求得答案;【详解】解:(1)如图1所示,∵90,6,8C AC cm BC cm ∠===∴10AB cm =又∵点P 为AC 的中点,∴3AP cm =∵ABC APQ ∆~∆∴AC AB AQ AP = ,即6103AQ = 解之得: 1.8AQ =则8.2BQ AB AQ cm =-=(2)如图2,当点Q 与点A 重合时,点O 位于点E 的位置,当点Q 与点B 重合时,点O 位于点F 的位置,则EF 是△APB 的中位线,∴EF ∥AB ,且EF =12AB =5,152EF AB == 而当点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时,∵点O 是PQ 中点,点F 是PB 的中点,∴OF 是△PBQ 的中位线,∴OF ∥BQ ,∴点O 的运动轨迹是线段EF ,则点O 的运动路径长是5cm ;故答案为5cm .(3)如图3,连接AO ,过点O 作ON AC ⊥于点N ,∵⊙O 与AB 相切,∴PQ AB ⊥ ,即90AQP ∠= ,∵,90PAQ BAC ACB AQP ∠=∠∠=∠=∴APQ ABC ∆~∆ ∴AQ AP PQ AC AB BC == ,即36108AQ PQ == 解之得: 912,55AQ PQ == 则65OP OQ == ∵ON AC ⊥∴90PNO PQA ∠=∠=又∵OPN APQ ∠=∠∴PON PAQ ∆~∆, ∴ON PO AQ PA = ,即65935ON = , 解之得:1825ON = 则BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--111•••222BC AC AB OQ AC ON =-- 11611868106225225=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 39625= 【点睛】本题主要考查了相似三角形和圆的综合问题,掌握圆的切线判定、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、割补法求面积等知识点是解题关键.8.(1)7-t (2)()()()22904;25{1674725t t S t t ππ<≤=-<<(3)516,23t t == 【解析】【分析】(1)先判断出点P 在BC 上,即可得出结论;(2)分点P 在边AC 和BC 上两种情况:利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论;(3)分点P 在边AC 和BC 上两种情况:借助(2)求出的圆P 的半径等于PC ,建立方程求解即可得出结论.【详解】(1)∵AC =4,BC =3,∴AC +BC =7.∵4<t <7,∴点P 在边BC 上,∴BP =7﹣t .故答案为:7﹣t ;(2)在Rt △ABC 中,AC =4,BC =3,根据勾股定理得:AB =5,由运动知,AP =t ,分两种情况讨论:①当点P 在边AC 上时,即:0<t ≤4,如图1,记⊙P 与边AB 的切点为H ,连接PH ,∴∠AHP =90°=∠ACB .∵∠A =∠A ,∴△APH ∽△ACB ,∴PH AP BC AB =,∴35PH t =,∴PH 35=t ,∴S 925=πt 2; ②当点P 在边BC 上时,即:4<t <7,如图,记⊙P 与边AB 的切点为G ,连接PG ,∴∠BGP =90°=∠C .∵∠B =∠B ,∴△BGP ∽△BCA ,∴PG BP AC AB =,∴745PG t -=,∴PG 45=(7﹣t ),∴S 1625=π(7﹣t )2. 综上所述:S 22904251674725t t t t ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩(<)()(<<); (3)分两种情况讨论:①当点P 在边AC 上时,即:0<t ≤4,由(2)知,⊙P 的半径PH 35=t . ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切,即:⊙P 和边BC 相切,∴PC =PH .∵PC =4﹣t ,∴4﹣t 35=t ,∴t 52=秒; ②当点P 在边BC 上时,即:4<t <7,由(2)知,⊙P 的半径PG 45=(7﹣t ). ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切,即:⊙P 和边AC 相切,∴PC =PG .∵PC=t﹣4,∴t﹣445=(7﹣t),∴t163=秒.综上所述:在⊙P运动过程中,当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时,t的值为52秒或163秒.【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键.9.(1)30°;(2)EF=;(3)CO的长为或时,△PEB为等腰三角形.【解析】试题分析:(1)利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可;(2)首先证明△HBO≌△COD(AAS),进而利用△COD∽△CBF,得出比例式求出EF的长;(3)分别利用①当PB=PE,不合题意舍去;②当BE=EP,③当BE=BP,求出即可.试题解析:(1)如图1,连接EO,∵∴∠BOE=∠EOD,∵DO∥BF,∴∠DOE=∠BEO,∵BO=EO,∴∠OBE=∠OEB,∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°,∵CF⊥AB,∴∠FCB=90°,∴∠F=30°;(2)如图1,作HO⊥BE,垂足为H,∵在△HBO和△COD中,∴△HBO≌△COD(AAS),∴CO=BH=a,∴BE=2a,∵DO∥BF,∴△COD∽△CBF,∴∴,∴EF=;(3)∵∠COD=∠OBE,∠OBE=∠OEB,∠DOE=∠OEB,∴∠COD=∠DOE,∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上,若△PEB为等腰三角形,设CO=x,∴OP=OC=x,则PE=EO-OP=4-x,由(2)得:BE=2x,①当PB=PE,不合题意舍去;②当BE=EP,2x=4-x,解得:x=,③当BE=BP,作BM⊥EO,垂足为M,∴EM=PE=,∴∠OEB=∠COD,∠BME=∠DCO=90°,∴△BEM∽△DOC,∴,∴,整理得:x 2+x-4=0,解得:x=(负数舍去), 综上所述:当CO 的长为或时,△PEB 为等腰三角形. 考点:圆的综合题.10.(1)214y x x =-;(2)①122y x =-+,②1,见解析,定值为1 【解析】【分析】 (1)利用待定系数法把点(4,0)、(2,3)-代入解析式,再结合抛物线对称轴方程得到三元一次方程组,解方程组即可.(2)①先求出平移后的抛物线解析式,设出直线MA 的解析式1y kx =-,再联立抛物线解析式2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,得到21104x kx -+=,令210k ∆=-=,求出k 的值,得出APM ∆为等腰直角三角形,运用APM ∆与BQO ∆相似得出90BQO APM ∠=∠=,故AB :y mx n =+,则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩即可求出AB 函数关系式. ②当M 在y 轴上时,m=0,再根据图像对称性可得A 、B 两点关于y 轴对称,得出a ,b 的关系,即可求出答案;当M 不在与轴上时,设MA :111y k x k m =--,联立抛物线解析式112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩,得出2114440x k x k m -++=,令212=16(1)0k k m ∆--=,同理设出MB ,令22216(1)0k k m ∆=--=,故1k ,2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根,得出12k k m +=,即可求出答案.【详解】解:(1)设2y=ax +bx+c a (≠0),把点(4,0)、(2,3)-代入 ∵对称轴为x=2∴164042322a b c a b c b a ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-=⎩解得1410a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∴抛物线解析式214y x x =-. (2)①(0,1)M -,平移后抛物线214y x =设MA :1y kx =- 则联立2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,21104x kx -+= 210k ∆=-=1k ∴=±又由图,A 在y 轴右侧故1k =,(2,1)A2AP PM ∴==,APM ∆为等腰直角三角形又APM ∆与BQO ∆相似∴△BQO 为等腰直角三角形,设B (﹣x ,x ),带入抛物线解析式得:214x x = 解得x=4或x=0(舍去)∴B (﹣4,4)设AB :y mx n =+,把(2,1)A ,B (﹣4,4)带入得: 则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩,122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴AB 解析式为:122y x =-+. ②(i )∵214y x =关于y 轴对称,M 在y 轴上,且MA ,MB 与抛物线只有一个交点 ∴A 、B 两点关于y 轴对称,∴a=﹣b ∴m a m b --=0+b 0b-=1, 故答案是:1;(ii )设MA :111y k x k m =--,则联立112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩, 2114440x k x k m -++=,此方程仅一个根, 故11422k a k ==, 且212=16(1)0k k m ∆--=,同理设MB :221y k x k m =--,亦有22b k =,22216(1)0k k m ∆=--=,故1k ,2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根,12k k m +=, ()111122122m k m k m a m b m m k k m---∴===----, 即m a m b --为一定值1, ∴当点M 不在y 轴上时,m a m b--为一个定值1. 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题型,二次函数待定系数法求函数解析式,二次函数与一元二次方程的综合应用,二次函数与相似三角形的综合应用,解题关键在于理解题意,正确分析题目,运用数形结合思想进行解题.11.(1) 见解析;(2) 2,2 ;(3)0或2或2x <<【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义,用分类讨论的思想解决问题即可;()2通过画图分析可得,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有2个,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有2个;()3分三种情形讨论求解即可.【详解】解:()1如图1中,点1C ,2C ,3C ,4C 即为所求.()2如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有2个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有2个,当∠1=90°或∠1=60°时,符合条件的点C 都是在点B 左右各一个,当∠1=60°时,符合条件的点C 如图所示:故答案为2,2.()3①如图31-中,当x 0=时,当PM PN =时,有点1P ,当ON OP =时,有点2P ,当NO NP =时,有点3P ,此时有3个P 点.②如图32-中,当N 与OB 相切于点1P 时,1OP N 是等腰直角三角形,1ON 2NP 22∴==,OM ON MN 222∴=-=-,此时有3个P 点.③如图33-中,当M 经过点O 时,此时只有2个P 点,如图34-中,M 与OB 相交时,此时有3个P 点,如图35-中,当M 与OB 相切时,只有2个P 点.此时OM 22=,综上所述,当2x 22<<3个P 点.∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,尺规作图,直线与圆的位置关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.12.(1)详见解析;(2)333CD =或3;(3)详见解析.【解析】【分析】(1)只要证明△EAF ∽△FEG 即可解决问题;(2)如图3中,作DE ⊥BA 交BA 的延长线于E .设AE=a .在Rt △BDE 中,利用勾股定理构建方程求出a ,分两种情形构建方程求解即可;(3)①当△AFE ∽△EFC 时,连接BC ,AC ,BD .②当△AFE ∽△FEC 时,作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ,作OM ⊥AD 于M ,连接OA .③当△AFE ∽△CEF 时,分别求解即可,注意答案不唯一.【详解】解:(1)如图1,∵正方形ABCD 中4AB AD CD ===,90A D ∠=∠=,E 为AD 中点∴2AE ED ==,∵1AF DH ==,∴12AF DE AE CD == ∴AEF DCE ∆∆∽∴AEF DCE ∠=∠,AFE DEC ∠=∠∵//AF DH ,∴四边形AFHD 为平行四边形∴AD FH ,∴AEF EFG ∠=∠,DEC EGF AFE ∠=∠=∠∴AEF EFG ∆∆∽∴EF 为四边形AFGE 的相似对角线.(2)如图2,过点D 作DE BA ⊥,垂足为E ,设AE a =∵120A CBD ∠=∠=,∴60EAD ∠=,∴3DE a =∵2AB =,6BD =∴()22236a a ++=312a -=(负根已经舍弃), ∴31AD =-分为两种情况:①如图3,当ABD BCD ∆∆∽时,AD BD BD CD = ∴()316CD -=,∴333CD =+②如图4,当ABD BDC ∆∆∽时,AB BD BD CD= ∴26CD =,∴3CD =综上,333CD =或3(3)①如图5,∵∠FEC=∠A=90°,∠BEF=∠BEC+∠FEC=∠A+∠AEF ,∴AFE BEC ∠=∠,AF EF AF AE EC BE==,∴AFE BEC ∆∆∽,∴90B ∠= 由“一线三等角”得83AF =.②如图,当△AFE ∽△FEC 时,作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ,作OM ⊥AD 于M ,连接OA .∵△AFE ∽△FEC ,∴∠AFE=∠FEC ,∴AD ∥EC ,∴∠CEB=∠DAB=90°,∵∠OMA=∠AHC=90°,∴四边形AEOM ,四边形AECH 都是矩形,∵OM ⊥AD ,∴AM=MD=3,∴AM=OE=3,∵OE ⊥AB ,∴AE=EB=4,∴2234+,∴CE=AH=8,设AF=x ,则FH=8-x ,CH=AE=4,由△AEF ∽△HFC ,可得AF CH =AE FH,∴448xx =-,解得x=4,经检验x=4是分式方程的解,∴AF=4.③如图当△AFE∽△CEF时易证四边形AECF是矩形,AF=EC=8.综上所述,满足条件的AF的长为83或4或8.(答案不唯一)【点睛】本题属于圆综合题,考查正方形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.。

根与系数的关系(压轴题专项讲练)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(人教版)

根与系数的关系(压轴题专项讲练)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(人教版)

根与系数的关系分类讨论思想:当问题所给的对象不能进行统一研究时,我们就需要对研究对象进行分类,然后对每一类分别进行研究,得出每一类的结论,最后综合各类的结果,得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的,而是要遵循以下基本原则:1. 不重(互斥性)不漏(完备性);2. 按同一标准划分(同一性);3. 逐级分类(逐级性)。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是,那么,.注意:它的使用条件为a≠0,Δ≥0.也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知:关于x的一元二次方程kx2+2x+1―2k=0有两个实数根x1,x2.(1)若|x1|+|x2|=k的值;(2)当k取哪些整数时,x1,x2均为整数;(3)当k取哪些有理数时,x1,x2均为整数.(1)分两种情况:①若两根同号,②若两根异号;根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可;(2)根据根与系数的关系可得若x1+x2=―2k为整数,可得整数k=±1,±2,然后结合两根之积、解方程分别验证即可;(3)显然,当k=―1时,符合题意;由两根之积可得k应该是整数的倒数,不妨设k=1m,则方程可变形21xx,abxx-=+21acxx=21为x 2+2mx +m ―2=0,即为(x +m )2=m 2―m +2,再结合整数的意义即可解答.解:(1)∵Δ=22―4k (1―2k )=4―4k +8k 2=8k 2―12k =8k+72>0,∴不论k 为何值,关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0都有两个实数根x 1,x 2,∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1,x 2,∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2kk,分两种情况:①若两根同号,由|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=x 1+x 2=―当x 1+x 2=―2k =k =―当x 1+x 2=――2k =―k =②若两根异号,由|x 1|+|x 2|=(x 1―x 2)2=8,即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=8,∴――4×1―2kk=8,解得:k =1,综上,k 的值为1或 ±(2)∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1,x 2,∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2k k,若x 1,x 2均为整数,则x 1+x 2=―2k 为整数,∴整数k =±1,±2,当k =±2时,x 1x 2=1―2kk不是整数,故应该舍去;当k =1时,此时方程为x 2+2x ―1=0,方程的两个根不是整数,故舍去;当k =―1时,此时方程为―x 2+2x +3=0,方程的两个根为x 1=―1,x 2=3,都是整数,符合题意;综上,当k 取―1时,x 1,x 2均为整数;(3)显然,当k =―1时,符合题意;当k 为有理数时,由于x 1x 2=1―2kk=1k ―2为整数,∴k应该是整数的倒数,不妨设k=1m(m≠0),m为整数,则方程kx2+2x+1―2k=0即为x2+2mx+m―2=0,配方得:(x+m)2=m2―m+2,即x=―m±当m=2即k=12时,方程的两根为x1=0,x2=―4,都是整数,符合题意;当m≠2时,m2―m+2=(m―12)2+74不是完全平方数,故不存在其它整数m的值使上式成立;综上,k=―1或12.1.(22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生)设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2,且1<x1<2< x2<4,那么方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为( )A.12<x3<1B.―4<x3<―2C.―12<x3<―14D.―1<x3<―12【思路点拨】由根与系数的关系得出x1+x2=―ba ,x1⋅x2=ca,再设方程cx2―bx+a=0的为m,n,根据根与系数的关系得出m+n=―(1x2+1x1),mn=x1⋅x2,从而得出方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1,―1x2,然后由1<x1<2<x2<4,求出―1x1,―1x2的取值范围,从而得出结论.【解题过程】解:∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2,∴x1+x2=―ba ,x1⋅x2=ca,设方程cx2―bx+a=0的两根为m,n,则m+n=bc ,mn=ac,∵m+n=bc =―ba⋅(―ac),mn=1x1⋅x2,∴m+n=―(x1+x2)⋅1x1⋅x2=―x1+x2x1⋅x2=―(1x2+1x1),∴方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1,―1x2,∵1<x1<2,2<x2<4,∴12<1x1<1,14<1x2<12,∴―1<―1x1<―12,―12<―1x2<―14,∵―1x1<―1x2,∴方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为―1<x3<―12.故选:D.2.(22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习)若方程x2+2px―3p―2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4―(x22+x23),则实数p的所有值之和为()A.0B.―34C.―1D.―54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1―3p―2=0,x1+x2=―2p,进而推出x13=3px1+2x1―2px12,则x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12,x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22,即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1―2p)(x12+x22)=4,然后代入x1+x2=―2p,x12+x22=(x1+x2)2―4p 得到2p(4p+3)(p+1)=0,再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案.【解题过程】解:∵x1、x2是方程x2+2px―3p―2=0的两个相等的实数根,∴x12+2px1―3p―2=0,x1+x2=―2p,x1x2=―3p―2,∴x12+2px1=3p+2,∴x13+2px12=3px1+2x1,∴x13=3px1+2x1―2px12,∴x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12,同理得x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22,∵x12+x13=4―(x22+x23),∴x12+x13+(x22+x23)=4,∴3px1+2x1―2px12+x12+3px2+2x2―2px22+x22=4,∴(3p+2)(x+x)+(1―2p)(x2+x2)=4,∴(3p+2)(―2p)+(1―2p)(―2p)2―2(―3p―2)=4,∴―6p2―4p+(1―2p)4p2+6p+4=4,∴―6p2―4p+4p2+6p+4―2p4p2+6p+4=4,∴―2p2+2p―2p4p2+6p+4=0,∴―2p4p2+6p+4+p―1=0,∴2p4p2+7p+3=0,∴2p(4p+3)(p+1)=0,,解得p1=0,p2=―1,p3=―34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0,∴p2+3p+2>0,∴(p+1)(p+3)>0,∴p=―1不符合题意,∴p1+p3=―34∴符合题意,故选B.3.(22-23八年级下·安徽合肥·期末)若关于x的一元二次方程x2―2x+a2+b2+ab=0的两个根为x1=m,x2=n,且a+b=1.下列说法正确的个数为( )①m·n>0;②m>0,n>0;③a2≥a;④关于x的一元二次方程(x+1)2+a2―a=0的两个根为x1=m―2,x2=n―2.A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab,利用a+b=1消去b得到mn=a2―a+1=a+34 >0,从而即可对①进行判断;由于x1+x2=m+n=2>0,x1x2=mn>0,利用有理数的性质可对②进行判断;根据根的判别式的意义得到Δ=4―4(a2+b2+ab)≥0,即4―4(a2―a+1)≥0,则可对③进行判断;利用a2+b2+ab=a2―a+1把方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0,由于方程(x―1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0,所以x+2=m或x+2=n,于是可对④进行判断.【解题过程】解:根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab,∵a+b=1,∴b=1―a,>0,所以①正确;∴mn=a2+(1―a)2+a(1―a)=a2―a+1=a―+34∵x1+x2=m+n=2>0,x1x2=mn>0,∴m>0,n>0,所以②正确;∵Δ≥0,∴4―4(a2+b2+ab)≥0,即4―4(a2―a+1)≥0,∴a≥a2,所以③错误;∵a2+b2+ab=a2―a+1,∴方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0,即(x―1)2+a2―a=0,∵方程(x+1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0,∴x+2=m或x+2=n,解得x1=m―2,x2=n―2,所以④正确.故选:C.4.(22-23九年级上·浙江·自主招生)设a、b、c、d是4个两两不同的实数,若a、b是方程x2―8cx―9d=0的解,c、d是方程x2―8ax―9b=0的解,则a+b+c+d的值为.【思路点拨】由根与系数的关系得a+b,c+d的值,两式相加得的值,根据一元二次方程根的定义可得a2―8ac―9d=0,代入可得a2―72a+9c―8ac=0,同理可得c2―72c+9a―8ac=0,两式相减即可得a+c 的值,进而可得a+b+c+d的值.【解题过程】解:由根与系数的关系得a+b=8c,c+d=8a,两式相加得a+b+c+d=8(a+c).因为a是方程x2―8cx―9d=0的根,所以a2―8ac―9d=0,又d=8a―c,所以a2―72a+9c―8ac=0①同理可得c2―72c+9a―8ac=0②①-②得(a―c)(a+c―81)=0.因为a≠c,所以a+c=81,所以a+b+c+d=8(a+c)=648.故答案为648.5.(23-24九年级上·江苏南通·阶段练习)已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4.求|a|+|b|+|c|的最小值【思路点拨】用分类讨论的思想,解决问题即可.【解题过程】解:不妨设a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由题设知a>0,且b+c=2―a,bc=4,a=0的两实根,于是b,c是一元二次方程x2―(2―a)x+4a≥0,即(a2+4)(a―4)≥0,∴Δ=(2―a)2―4×4a所以a≥4.又当a=4,b=c=―1时,满足题意.故a,b,c中最大者的最小值为4.因为abc=4>0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.①若a,b,c均大于0,a,b,c4,这与a+b+c=2矛盾.②若a,b,c为或一正二负,不妨设a>0,b<0,c<0,则|a|+|b|+|c|=a―b―c=a―(2―a)=2a―2,∵a≥4,故2a―2≥6,当a=4,b=c=―1时,满足题设条件且使得不等式等号成立.故|a|+|b|+|c|的最小值为6.故答案为:6.6.(22-23九年级上·四川成都·期末)将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k=0(a≠0,a、h、k均为常数)的形式,如果只有系数a不同,其余完全相同,我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”,且方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根为x1、x2,则b-2c=,ax1+x1x2+ax2的最大值是.【思路点拨】利用ax2+bx+c=0(a≠0)与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”得出b=2a,c=a―2,即可求出b―2c;利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=―2,x1x2=a―2,进而得出ax1+x1x2+ax2=―2a=t(t>0),得a2―t⋅a+1=0,根据方程a2―t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2a+1,设a+1a―4≥0,求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值.【解题过程】解:根据新的定义可知,方程ax2+bx+c=0(a≠0)可变形为a(x+1)2―2=0,∴a(x+1)2―2=ax2+bx+c,展开,ax2+2ax+a―2=ax2+bx+c,可得b=2a,c=a―2,∴b―2c=2a―2(a―2)=4;∵x1+x2=―2,x1x2=a―2,a=―2a++1,∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=―2a+a―2a∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根为x1、x2,∴Δ=b2―4ac=(2a)2―4a(a―2)8a≥0,且a≠0,∴a>0,=t(t>0),得a2―t⋅a+1=0,设a+1a∵方程a2―t⋅a+1=0有正数解,∴Δ=t2―4≥0,≥2,解得t≥2,即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=―2a+1≤―3.故答案为:4,-3.7.(23-24九年级上·山东济南·期末)已知xy+x+y=44,x2y+xy2=484,求x3+y3.【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点,综合应用所学知识成为解题的关键.设xy=m,x+y=n,等量代换后可得44=m+n、484=mn,则m、n为t2―44t+484=0的根,可解得m=n=22,然后再对x3+y3变形后将m=n=22代入计算即可.【解题过程】解:设xy=m,x+y=n,∴44=xy+x+y=m+n,484=x2y+xy2=xy(x+y)=mn,∴m、n为t2―44t+484=0的根,∴m=n=22,∴x3+y3=(x+y)x2+y2―xy=(x+y)(x+y)2―3xy=n[n2―3m]=n3―3mn=9196.8.(2024九年级·全国·竞赛)记一元二次方程x2+3x―5=0的两根分别为x1、x2.(1)求1x1―1+1x2―1的值;(2)求3x21+6x1+x22的值.【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解.在利用根与系数的关系x1⋅x2=ca,x1+x2=―ba时,需要弄清楚a、b、c的意义.(1)利用根与系数的关系求得求1x1―1+1x2―1的值的值;(2)由一元二次方程的解可得x21+3x1―5=0,再利用根与系数的关系求解即可.【解题过程】(1)∵x1+x2=―3,x1x2=―5,∴1x1―1+1x2―1=x2―1+x1―1 (x1―1)(x2―1)=x1+x2―2x1x2―(x1+x2)+1=―3―2―5―(―3)+1=5;(2)∵x1是一元二次方程x2+3x―5=0的根,∴x21+3x1―5=0,∴x21+3x1=5,又∵x1+x2=―3,x1x2=―5,∴3x21+6x1+x22=2x21+3x1+(x1+x2)2―2x1x2=29.9.(23-24九年级下·北京·开学考试)已知关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根.(1)求n的取值范围;(2)若n为符合条件的最小整数,且该方程的较大根是较小根的3倍,求m的值.【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根,Δ=0时方程有两个相等的实数根,Δ<0时方程没有实数根,若方程的两个实数根为x1、x2,则x1+x2=―ba ,x1⋅x2=ca.(1)根据方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0,列出不等式即可得答案;(2)根据(1)中结果得出n值,利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可.【解题过程】(1)解:∵关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(―2m)2―4(m2―n)>0,解得:n>0.(2)设方程的两个实数根为x1、x2,且x1>x2,∴x1+x2=2m,x1⋅x2=m2―n,由(1)可知:n>0,∵n为符合条件的最小整数,∴n=1,∵该方程的较大根是较小根的3倍,∴x1=3x2,∴4x2=2m,3x22=m2―1,∴3×m24=m2―1,解得:m1=―2,m2=2.当m=2时,x2=1,则x1=3x2=3,符合题意,当m=―2时,x2=―1,则x1=3x2=―3<x2,与x1>x2不符,舍去,∴m=2.10.(23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习)若关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0.(1)若α和β分别是该方程的两个根,且αβ=―2,求m的值;(2)当m=1,2,3,⋅⋅⋅,2024时,相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1,α2、β2,⋅⋅⋅,α2024、β2024,求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值.【思路点拨】(1)根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可;(2)根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=―ba ,x1⋅x2=ca可得:1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=2m2+m,进一步可寻找1α2024+1β2024的规律,即可求解.【解题过程】(1)解:∵关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0,α和β分别是该方程的两个根,∴αβ=―m2―m∵αβ=―2,∴―2=―m2―m∴m=1或m=―2;(2)解:设方程x2+2x―m2―m=0的两个根为:x1,x2则x1+x2=―ba =―2,x1⋅x2=ca=―m2―m,∴1 x1+1x2=x1+x2x1·x2=2m2+m=2m(m+1)∴1α1+1β1=21×2,1α2+1β2=22×3,1α3+1β3=23×4…..1α2024+1β2024=22024×2025∴1+1+1+1+⋯+1+1=2×+1+...+=2×1―12+12―13+...+12024=2×1―=4048202511.(22-23九年级上·湖北武汉·期中)已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根(1)直接写出m 的取值范围(2)若满足1α+1β=―1,求m 的值.(3)若α>2,求证:β>2;【思路点拨】(1)根据一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根,得Δ>0,即可列式作答;(2)结合一元二次方程根与系数的关系,得α+β=―(2m +3)和αβ=m 2,因为1α+1β=―1,所以2m+3m 2=1,解得m 1=3,m 2=―1,结合m >―34,即可作答;(3)因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4,结合α+β=―(2m +3)和αβ=m 2,得m 2+2(2m +3)+4=(m +2)2+6,则(α―2)(β―2)≥6>0,又因为α>2,即可证明β>2.【解题过程】(1)解:∵一元二次方程x 2+(3)x +m 2=0的两个不相等的实数根∴Δ=b 2―4ac =(2m +3)2―4×1×m 2=4m 2+12m +9―4m 2=12m +9>0,即m >―34;(2)解:∵1α+1β=βαβ+ααβ=α+βαβ=―1,且α+β=―b a =―(2m +3),αβ=ca =m 2∴2m+3m 2=1整理得m 2―2m ―3=0,解得:m 1=3,m 2=―1∵由(1)知m >―34,∴m =3检验:当m =3时,m 2≠0,即m =3;(3)证明:因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4,把α+β=―(2m+3)和αβ=m2代入上式,得m2+2(2m+3)+4=m2+4m+10=(m+2)2+6,∵(m+2)2≥0,∴(m+2)2+6≥6∴(α―2)(β―2)≥6>0∵α>2,∴α―2>0,∴β―2>0,即β>2.12.(22-23九年级·浙江·自主招生)已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β.(1)求|α―β|的值;(2(3)求作一个新的一元二次方程,使其两根分别等于α、β的倒数的立方.(参考公式:x3+y3=(x+y) x2+y2―xy.【思路点拨】(1α+β=―4,αβ=1,再求得(α―β)2的值,进而求得|α―β|的值.++α+β=―4,αβ=1代(2入计算即可;(3+的值,然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答.【解题过程】(1)解:∵方程x2+4x+1=0的两根是α、β∴α+β=―4,αβ=1∴(α―β)2=(α+β)2―4αβ=12∴|α―β|=(2)解:由(1)可知:α<0,β<0,∵+=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2―2αβαβ+2=16,=4(负值舍去);(3+=(1α+1β)+―=α+βαβ=α+βαβ=―411=―52==1所以新的一元二次方程x2+52x+1=0.13.(22-23九年级上·福建泉州·期末)已知关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有实数根.(1)若方程的两根之和为整数,求m的值;(2)若方程的根为有理根,求整数m的值.【思路点拨】(1)根据关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根,且为实数根,先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围,再根据一元二次方程的根与系数的关系,可知x1+x2=m―1m,若方程的两根之和为整数,即m―1m为整数,即可确定m的值;(2)分两种情况讨论:当m=0时,此时关于x的方程为x+2=0,求解可得x=―2,符合题意;当m≠0时,对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0可有x=m为整数,则Δ=m2―10m+1为某一有理数的平方,据此分析即可获得答案.【解题过程】(1)解:∵关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根,且为实数根,∴m≠0,且Δ=[―(m―1)]2―4m×2=m2―10m+1≥0,根据一元二次方程的根与系数的关系,可知x1+x2=――(m―1)m =m―1m,若方程的两根之和为整数,即m―1m为整数,∵m―1m =1―1m,∴1m是整数,∴m=±1,当m=1时,Δ=1―10+1=―8<0,不符合题意;当m=―1时,Δ=1+10+1=12>0,m―1m =―1―1―1=2,为整数,符合题意;∴m的值为―1;(2)当m=0时,此时关于x的方程为x+2=0,解得x=―2;当m≠0时,对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0的根为:x=若方程的根为有理根,且m为整数,则Δ=m2―10m+1为完全平方数,设m2―10m+1=k2(k为正整数),则:m==5±∵m为整数,设24+k2=n2(n为正整数),∴(k+n)(n―k)=24,∴k+n=12n―k=2或k+n=6n―k=4或k+n=8n―k=3或k+n=24n―k=1,解得:k=5n=7或k=1n=5或k=52n=11(不合题意,舍去)或k=232n=25(不合题意,舍去)∴m 2―10m +1=12=1或m 2―10m +1=52=25;当m 2―10m +1=1时,解得m =10或m =0(舍去);当m 2―10m +1=25时,解得m =―2或m =12,综上所述,若方程的根为有理根,则整数m 的值为0或10或―2或12.14.(22-23九年级下·浙江·自主招生)设m 为整数,关于x 的方程(m 2+m ―2)x 2―(7m +2)x +12=0有两个整数实根.(1)求m 的值.(2)设△ABC 的三边长a,b,c 满足c =2+a 2m ―12a =0,m 2+b 2m ―12b =0.求△ABC 的面积.【思路点拨】(1)设原方程的两个解分别为x 1,x 2,根据两个整数实根,则x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数,进而分类讨论,即可求解;(2)由(1)得出的m 的值,然后代入将m 2+a 2m ―12a =0,m 2+b 2m ―12b =0进行化简,得出a ,b 的值.然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ,b 的值,用三角形的面积公式得出三角形的面积.【解题过程】(1)解:∵m 2+m ―2≠0,∴m ≠―2或m =1,∵方程有两个实数根,∴Δ=b 2―4ac =[―(7m +2)]2―4×12×(m 2+m ―12)=m 2―20m +580=(m ―10)2+480>0设原方程的两个解分别为x 1,x 2∴x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数,∴m 2+m ―2=1,2,3,4,6,12m 2+m ―2=1,解得:m =m 2+m ―2=2,解得:m =m 2+m ―2=3,解得:m =m 2+m ―2=4,解得:m =―3或m =2m 2+m ―2=6,解得:m =m2+m―2=12,解得:m=当m=―3时,7m+2m2+m―2=―21+24=―194不是整数,舍去当m=2时,7m+2m2+m―2=14+24=4符合题意,综上所述,m=2;(2)把m=2代入两等式,化简得a2―6a+2=0,b2―6b+2=0,当a=b时,a=b=3当a≠b时,a、b是方程x2―6x+2=0的两根,而Δ>0,根据根与系数的关系可得,a+b=6>0,ab=2>0,则a>0、b>0,①a≠b,c=a2+b2=(a+b)2―2ab=36―4=32=c2,故△ABC为直角三角形,且∠C=90°,SΔABC=12ab=1;②a=b=3c=2(3―<故不能构成三角形,不合题意,舍去;;③a=b=3c=2(3+>SΔABC=12×=综上,△ABC的面积为1或15.(22-23九年级上·湖南常德·材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=―ba ,x1x2=ca.材料2:已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.解:∵一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m,n,∴m+n=1,mn=―1,则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1.根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:(1)材料理解:一元二次方程x2―3x―1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=___________,x1x2= ___________.(2)类比应用:已知一元二次方程x2―3x―1=0的两根分别为m、n,求nm +mn的值.(3)思维拓展:已知实数s、t满足s2―3s―1=0,t2―3t―1=0,且s≠t,求1s ―1t的值.【思路点拨】(1)直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可;(2)利用一元二次方程根与系数的关系可求出m +n =―ba =3,mn =ca =―1,再根据nm +mn=m 2+n 2mn=(m+n )2―2mnmn,最后代入求值即可;(3)由题意可将s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根,即得出s +t =―b a =3,s ⋅t =ca =―1,从而可求出(t ―s )2=(t +s )2―4st =13,即t ―s =t ―s =―【解题过程】(1)解:∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两个根为x 1,x 2,∴x 1+x 2=―ba =――31=3,x 1⋅x 2=c a =―11=―1.故答案为:3,―1;(2)∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两根分别为m 、n ,∴m +n =―ba =3,mn =ca =―1,∴nm +m n=m 2+n 2mn=(m +n )2―2mn mn =32―2×(―1)―1=―11;(3)∵实数s 、t 满足s 2―3s ―1=0,t 2―3t ―1=0,∴s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根,∴s +t =―ba =3,st =ca =―1,∵(t ―s )2=(t +s )2―4st =32―4×(―1)=13∴t ―s =t ―s =―当t ―s =1s―1t =t―s st==―当t ―s =―1s―1t =t―s st==综上分析可知,1s ―1t 的值为16.(23-24八年级上·北京海淀·期中)小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题,发现当mx +n =0或px +q =0时,多项式A =(mx +n )(px +q )=mpx 2+(mq +np )x +nq 的值为0,把此时x 的值称为多项式A 的零点.(1)已知多项式(3x +1)(x ―2),则此多项式的零点为__________;(2)已知多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1,求多项式B 的另一个零点;(3)小聪继续研究(x ―3)(x ―1),x (x ―4)及x ――x 轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x =2对称,他把这些多项式称为“2系多项式”.若多项式M =(2ax +b )(cx ―5c )=bx 2―4cx ―2a ―4是“2系多项式”,求a 与c 的值.【思路点拨】(1)根据多项式的零点的定义即可求解;(2)根据多项式的零点的定义将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0,求得a =2,再解一元二次方程即可求解;(3)令cx ―5c =0,求得M 的一个零点为5,根据“2系多项式”的定义求得方程bx 2―4cx ―2a ―4=0的两个根为x 1=―1,x 2=5,再利用根与系数的关系即可求解.【解题过程】(1)解:令(3x +1)(x ―2)=0,∴3x +1=0或x ―2=0,∴x =―13或x =2,则此多项式的零点为―13或2;故答案为:―13或2;(2)解:∵多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1,∴将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0,得a ―(a ―1)―a2=0,解得a =2,∴B=2x2―x―1=(x―1)(2x+1),令2x+1=0,解得x=―12,∴多项式B的另一个零点为―12;(3)解:∵M=(2ax+b)(cx―5c)=bx2―4cx―2a―4是“2系多项式”,令cx―5c=0,解得x=5,即M的一个零点为5,∴设M的另一个零点为y,则y+52=2,解得y=―1,即2ax+b=0时,x=―1,则―2a+b=0①,令M=bx2―4cx―2a―4=0,根据题意,方程bx2―4cx―2a―4=0的两个根为x1=―1,x2=5,∴x1+x2=――4cb =5+(―1)=4,x1⋅x2=―2a―4b=5×(―1)=―5,∴c=b②,5b―2a―4=0③,解①②③得c=b=1,a=12,∴a=12,c=1.17.(22-23九年级上·湖北黄石·期末)(1)x1,x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根,且(x1+1)⋅(x2+1)=8,求k的值.(2)已知:α,β(α>β)x2―x―1=0的两个实数根,设s1=α+β,s2=α2+β2,…,s n=αn+βn.根据根的定义,有α2―α―1=0,β2―β―1=0,将两式相加,得α2+β2―(α+β)―2=0,于是,得s2―s1―2=0.根据以上信息,解答下列问题:①直接写出s1,s2的值.②经计算可得:s3=4,s4=7,s5=11,当n≥3时,请猜想s n,s n―1,s n―2之间满足的数量关系,并给出证明.【思路点拨】(1)根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=2(k+1),x1x2=k2+2.由(x1+1)(x2+1)=8,可得x1x2+(x1+x2)+1=8,即得出关于k的一元二次方程,解出k的值,再根据一元二次方程根的判别式验证,舍去不合题意的值即可;(2)①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=―ba =1,αβ=ca=―1,进而可求出s1=α+β=1,s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=3;②由一元二次方程的解的定义可得出α2―α―1=0,两边都乘以αn―2,得:αn―αn―1―αn―2=0①,同理可得:βn―βn―1―βn―2=0②,再由①+②,得:(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0.最后结合题意即可得出s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0,即s n=s n―1+s n―2.【解题过程】解:(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根,∴x1+x2=―ba =――2(k+1)1=2(k+1),x1x2=ca=k2+21=k2+2,∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=k2+2+2(k+1)+1=8,整理,得:k2+2k―3=0,解得:k1=―3,k2=1.当k=―3时,Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2(―3+1)]2―4(―32)+2=―28<0,∴此时原方程没有实数根,∴k=―3不符合题意;当k=1时,Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2×(1+1)]2―4(12+2)=4>0,∴此时原方程有两个不相等的实数根,∴k=1符合题意,∴k的值为1;(2)①∵x2―x―1=0,∴a=1,b=―1,c=―1.∵α,β(α>β)是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根,∴α+β=―ba =1,αβ=ca=―1,∴s1=α+β=1,s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=12―2×(―1)=3;②猜想:s n=s n―1+s n―2.证明:根据一元二次方程根的定义可得出α2―α―1=0,两边都乘以αn―2,得:αn―αn―1―αn―2=0①,同理可得:βn―βn―1―βn―2=0②,由①+②,得:(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0,∵s=α+β,s=α+β,s=α+β,∴s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0,即s n=s n―1+s n―2.18.(23-24九年级上·福建宁德·期中)已知关于x的方程x2―(m+2)x+4m=0有两个实数根x1,x2,其中x1<x2.(1)若m=―1,求x12+x22的值;(2)一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若AB=m的值;(3)边长为整数的直角三角形,其中两直角边的长度恰好为x1和x2,求该直角三角形的面积.【思路点拨】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“Δ=b2―4ac”,根与系数关系“x1+x2=―ba ,x1⋅x2=ca”,一次函数的性质,直角三角形的性质,勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点,解题的关键是分类谈论思想的运用;(1)将m=―1代入方程得出方程,再根据根与系数关系得到x1+x2=―ba =1,x1⋅x2=ca=―4,将x12+x22转化即可求解;(2)根据点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数图像上,得出A x1,3x1+1,B x2,3x2+1,再根据根与系数关系得到x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m,根据AB=(3)根据直角三角形两直角边x1,x2为整数,得出Δ=b2―4ac=m2―12m+4,令m2―12m+4=k2(k为正整数),得出(m+k―6)(m―k―6)=32,又m+k―6>m―k―6,然后分三种情况取值即可解答;【解题过程】(1)当m=―1时,方程为x2―x―4=0,Δ=b2―4ac=(―1)2―4×1×(―4)=17>0,∴x1+x2=―ba =1,x1⋅x2=ca=―4,即x21+x22=(x1+x2)2―2x1x2=12―2×(―4)=9;(2)将A(x1,y1),B(x2,y2)代入y=3x+1可得A x1,3x1+1,B x2,3x2+1,又Δ=(m+2)2―4×4m>0,故x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m,AB2=(x1―x2)2+(y1―y2)2=10(x1―x2)2,即10(x1―x2)2=10,(x1―x2)2=1,(x1―x2)2=(x1+x2)2―4x1x2=1,(m+2)2―4×4m=1,(m―6)2=33,m1=6+2=6―(3)∵直角三角形两直角边x1,x2为整数,∴Δ=b2―4ac=(m+2)2―4×4m=m2―12m+4为平方数,不妨令m2―12m+4=k2(k为正整数),(m―6)2―32=k2,(m+k―6)(m―k―6)=32,m+k―6>m―k―6,当①∴m+k―6=32,m―k―6=1,解得m=452(不合题意舍去);当②m+k―6=16,m―k―6=2,解得m=15,∴方程x2―17x+60=0,x1=12,x2=5,则斜边为13,即S=x1⋅x22=30;当③m+k―6=8,m―k―6=4,解得m=12,∴方程x2―14x+48=0,x1=6,x2=8,则斜边为10,即S=x1⋅x22=24,综上所述:该直角三角形的面积为30或24.19.(22-23九年级上·全国·单元测试)如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=―p,x1x2=q,请根据以上结论,解决下列问题:(1)已知a,b是方程x2+15x+5=0的二根,则ab +ba=?(2)已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.(3)结合二元一次方程组的相关知识,解决问题:已知x =x 1y =y 1 和x =x 2y =y 2是关于x ,y 的方程组x 2―y +k =0x ―y =1的两个不相等的实数解.问:是否存在实数k ,使得y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2?若存在,求出的k 值,若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)根据a ,b 是方程x 2+15x +5=0的二根,求出a +b ,ab 的值,即可求出ab +ba 的值;(2)根据a +b +c =0,abc =16,得出a +b =―c ,ab =16c,a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解,再根据c 2―4×16c≥0,即可求出c 的最小值;(3)运用根与系数的关系求出x 1+x 2=1,x 1x 2=k +1,再解y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2,即可求出k 的值.【解题过程】(1)解:∵a ,b 是方程x 2+15x +5=0的二根,∴a +b =―15,ab =5,∴ab +ba =(a+b )2―2abab=(―15)2―2×55=43,∴ab +b a =43;(2)∵a +b +c =0,abc =16,∴a +b =―c ,ab =16c ,∴a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解,∴c 2―4×16c≥0,∴c 2―43c≥0,∵c 是正数,∴c 3―43≥0,∴c 3≥43,∴c ≥4,∴正数c 的最小值是4;(3)存在,当k =―2时,y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2.理由如下:∵x2―y+k=0①x―y=1②,由①得:y=x2+k,由②得:y=x―1,∴x2+k=x―1,即x2―x+k+1=0,由题意思可知,x1,x2是方程x2―x+k+1=0的两个不相等的实数根,∴(―1)2―4(k+1)>0x1+x2=1x1x2=k+1,则k<―34,∵x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x,y的方程组x2―y+k=0x―y=1的两个不相等的实数解,∴y1y2=(x1―1)(x2―1),∴y1y2―x1x2―x2x1=(x1―1)(x2―1)―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2,∴x1x2―(x1+x2)+1―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2,∴k+1―1+1―1―2(k+1)k+1=2,整理得:k2+2k=0,解得:k1=―2,k2=0(舍去),∴k的值为―2.20.(22-23九年级上·四川资阳·期末)定义:已知x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,若x1<x2<0,且3<x1x2<4,则称这个方程为“限根方程”.如:一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=―10,x2=―3,因―10<―3<0,3<―10―3<4,所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”.请阅读以上材料,回答下列问题:(1)判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”,并说明理由;(2)若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”,且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =―1,求k的值;(3)若关于x的一元二次方程x2+(1―m)x―m=0是“限根方程”,求m的取值范围.【思路点拨】(1)解该一元二次方程,得出x 1=―7,x 2=―2,再根据“限根方程”的定义判断即可;(2)由一元二次方程根与系数的关系可得出x 1+x 2=―k+72,x 1x 2=k 2+32,代入x 1+x 2+x 1x 2=―1,即可求出k 1=2,k 2=―1.再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可;(3)解该一元二次方程,得出x 1=―1,x 2=m 或x 1=m ,x 2=―1.再根据此方程为“限根方程”,即得出此方程有两个不相等的实数根,结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0,m <0且m ≠―1,可求出m 的取值范围.最后分类讨论即可求解.【解题过程】(1)解:x 2+9x +14=0,(x +2)(x +7)=0,∴x +2=0或x +7=0,∴x 1=―7,x 2=―2.∵―7<―2,3<―7―2=72<4,∴此方程为“限根方程”;(2)∵方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0的两个根分比为x 1、x 2,∴x 1+x 2=―k+72,x 1x 2=k 2+32.∵x 1+x 2+x 1x 2=―1,∴―k+72+k 2+32=―1,解得:k 1=2,k 2=―1.分类讨论:①当k =2时,原方程为2x 2+9x +7=0,∴x 1=―72,x 2=―1,∴x 1<x 2<0,3<x 1x 2=72<4,∴此时方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0是“限根方程”,∴k =2符合题意;②当k =―1时,原方程为2x 2+6x +4=0,∴x 1=―2,x 2=―1,∴x 1<x 2<0,x 1x 2=2<3,∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”,∴k=―1不符合题意.综上可知k的值为2;(3)x2+(1―m)x―m=0,(x+1)(x―m)=0,∴x+1=0或x―m=0,∴x1=―1,x2=m或x1=m,x2=―1.∵此方程为“限根方程”,∴此方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,m<0且m≠―1,∴(1―m)2+4m>0,即(1+m)2>0,∴m<0且m≠―1.分类讨论:①当―1<m<0时,∴x1=―1,x2=m,∵3<x1x2<4,∴3<―1m<4,解得:―13<m<―14;②当m<―1时,∴x1=m,x2=―1,∵3<x1x2<4,∴3<m―1<4,解得:―4<m<―3.综上所述,m的取值范围为―13<m<―14或―4<m<―3.。

2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题02 解一元二次方程(解析版)

2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题02 解一元二次方程(解析版)

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题02 解一元二次方程考试时间:120分钟 试卷满分:100分一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2022八下·淮北期末)若实数a ,b ,c 满足0a b c ++=,则( ) A .240b ac -> B .240b ac -< C .240b ac -≥ D .240b ac -≤【答案】C【完整解答】解:∵0a b c ++=, ∴b a c =--,∴()2244b ac a c ac -=---2224a ac c ac =++-222a ac c =-+()20a c =-≥故答案为:C【思路引导】先求出b a c =--,再代入计算求解即可。

2.(2分)(2022八下·柯桥期末)方程(x -2)2= 4(x-2)( ) A .4 B .-2C .4或-6D .6或2【答案】D【完整解答】解:移项得 (x -2)2 - 4(x —2) =0 (x-2)(x-2-4)=0 ∴x -2=0或x-6=0, 解之:x 1=2,x 2=6. 故答案为:D.【思路引导】观察方程的特点:将(x-2)看着整体,方程两边都含有公因式(x-2),因此利用因式分解法解方程.3.(2分)(2022·贵港)若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根,则方程的另一个根及m 的值分别是( )A .0,-2 B .0,0C .-2,-2D .-2,0【答案】B【完整解答】解:根据题意,∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根,把2x =-代入220x x m ++=,则2(2)2(2)0m -+⨯-+=,解得:0m =; ∴220x x +=, ∴(2)0x x +=, ∴12x =-,0x =, ∴方程的另一个根是0x =; 故答案为:B.【思路引导】将x=-2代入方程中可得m 的值,则方程可化为x 2+2x=0,利用因式分解法可得方程的解,据此解答.4.(2分)(2022·仙桃)若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ,2x ,且()()121222217x x x x ++-=,则m =()A .2或6B .2或8C .2D .6【答案】A【完整解答】解:∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根, ∴22Δ=(2)4(41)0m m m ----≥, ∴14m ≥-,∵12 x x ,是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根, ∵21212241x x m x x m m +=⋅=--,,又()()121222217x x x x ++-=∴12122()130x x x x +--=把21212241x x m x x m m +=⋅=--,代入整理得,28120m m -+=解得,1226m m ==,故答案为:A.【思路引导】根据方程有两个实数根可得△≥0,代入求解可得m 的范围,根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2m ,x 1x 2=m 2-4m-1,然后结合已知条件可得m 的值.5.(2分)(2022·雅安)若关于x 的一元二次方程x 2+6x+c =0配方后得到方程(x+3)2=2c ,则c 的值为( ) A .﹣3 B .0 C .3 D .9【答案】C【完整解答】解:x 2+6x+c =0, 移项得:26x x c +=-,配方得:()239x c +=-, 而(x+3)2=2c , 92c c ∴-=,解得:3c =, 故答案为:C.【思路引导】首先将常数项c 移至右边,然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“9”,再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+3)2=9-c ,结合题意可得9-c=2c ,求解可得c 的值. 6.(2分)(2022九下·泉州开学考)已知x ,y 为实数,且满足 2244x xy y -+= ,记224u x xy y =++ 的最大值为M ,最小值为m ,则 M m += ( ).A .403B .6415C .13615D .315【答案】C【完整解答】解:∵2244x xy y -+= , ∴2244x y xy +=+ ,∴22424u x xy y xy =++=+ ,∵()225444xy xy x y =++-()2244x y =+-≥- ,当且仅当 2x y =- ,即 x = , y =,或 5x =, 5y =- 时,等号成立, ∴xy 的最小值为 45-, ∴22424u x xy y xy =++=+ 最小值为:125,即 125m =, ∵()223444xy xy x y =-+-()2424x y =--≤ ,当且仅当 2x y = 时,即 x =, y =,或 3x =-, 3y =- 时等号成立, ∴xy 的最大值为43, ∴22424u x xy y xy =++=+ 的最大值为203, 即 203M = , ∴20121363515M m +=+= , 故答案为:C.【思路引导】利用已知等式可得 22424u x xy y xy =++=+ ,根据 ()225444xy xy x y =++-=()242x y =--,根据偶次幂的非负性知当且仅当2x y =-时,xy 的最小值为 45-,即可得出 22424u x xy y xy =++=+ 最小值为125 ,即 125m = ;根据 ()223444xy xy x y =-+-()242x y =-- ,根据偶次幂的非负性当且仅当 2x y = 时, xy 的最大值为 43,即得M ,再代入计算即可.7.(2分)(2021七下·娄底期中)无论a ,b 为何值代数式a 2+b 2+6b+11﹣2a 的值总是( ) A .非负数 B .0C .正数D .负数【答案】C【完整解答】解:原式=(a 2﹣2a+1)+(b 2+6b+9)+1 =(a ﹣1)2+(b+3)2+1, ∵(a ﹣1)2≥0,(b+3)2≥0, ∴(a ﹣1)2+(b+3)2+1>0,即原式的值总是正数. 故答案为:C.【思路引导】把含a 的放一块,配成完全平方公式,把含b 的放一块,配成完全平方公式,根据平方的非负性即可得出答案.8.(2分)(2020八上·越秀期末)若 a , b , c 是 ABC ∆ 的三边长,且2220a b c ab ac bc ++---= ,则 ABC ∆ 的形状是( )A .等腰三角形B .等腰直角三角形C .等边三角形D .不能确定【答案】C【完整解答】解:∵2220a b c ab ac bc ++---= , ∴2 222222220a b c ab ac bc ++---= , ∴()222()()0a b b c c a -+-+-= , ∴a=b=c∴这个三角形是等边三角形. 故答案为:C .【思路引导】首先利用完全平方公式对等式进行变形,然后利用平方的非负性得出a 、b 、c 的数量关系,即可判定.9.(2分)(2019九上·涪城月考)若点 (),M m n 是抛物线 2223y x x =-+- 上的点,则 m n -的最小值是( ) A .0 B .158C .238D .3- 【答案】C【完整解答】解:根据题意可得: 把 (),M m n 的坐标代入表达式,即:2223n m m =-+- ,∴22(223)23m n m m m m m -=--+-=-+ ,函数的最值为 244ac b a- ,所以代入得 m n - 的最小值为:238;故答案为:C.【思路引导】根据题意把 (),M m n 的坐标代入表达式,得出 2223n m m =-+- ,求 m n - 的最小值即: 22(223)23m n m m m m m -=--+-=-+ ,求出最小值即可.10.(2分)(2022·海陵模拟)已知3x ﹣y =3a 2﹣6a+9,x+y =a 2+6a ﹣10,当实数a 变化时,x 与y 的大小关系是( ) A .x >y B .x =yC .x <yD .x >y 、x =y 、x <y 都有可能【答案】A【完整解答】解:∵3x﹣y =3a 2﹣6a+9,x+y =a 2+6a ﹣10, ∴()()()223369610x y x y a a a a --+=-+-+-,∴()()22222212192691231x y a a a a a -=-+=-++=-+,∵不论a 为何值,()22311a -+≥, ∴220x y ->, ∴22x y >, ∴x y >. 故答案为:A .【思路引导】先求出()()22222212192691231x y a a a a a -=-+=-++=-+,再求出220x y ->,最后求解即可。

初三九年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版)

初三九年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版)

初三九年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版)一、压轴题1.已知P 是⊙O 上一点,过点P 作不过圆心的弦PQ ,在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ,Q 重合),连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O 的半径;(2)如图2,选接AB ,交PQ 于点M ,点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合),连接ON 、OP ,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB 与ON 的位置关系,并证明.2.点P 为图形M 上任意一点,过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ,记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值,则称其为“图形M 到直线l 的限距离”,记作()max ,D M l ; 定义二:若d 存在最小值,则称其为“图形M 到直线l 的基距离”,记作()min ,D M l ; (1)已知直线1:2l y x =--,平面内反比例函数2y x=在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = .(2)已知直线2:33l y x =+,点()1,0A -,点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点,T 3C 在T 上,若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范围,(3)已知直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+,点(),D a b 恒在直线3l 上,点(),28E m m +是平面上一动点,记以点E 为顶点,原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =,若请直接写出m 的取值范围. 3.如图①,O 经过等边ABC 的顶点A ,C (圆心O 在ABC 内),分别与AB ,CB 的延长线交于点D ,E ,连结DE ,BF EC ⊥交AE 于点F .(1)求证:BD BE =.(2)当:3:2AF EF =,6AC =,求AE 的长.(3)当:3:2AF EF =,AC a =时,如图②,连结OF ,OB ,求OFB △的面积(用含a 的代数式表示).4.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=﹣13x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A,以AB为斜边作等腰直角△ABC,使点C落在第一象限,过点C作CD⊥AB于点D,作CE⊥x轴于点E,连接ED并延长交y轴于点F.(1)如图(1),点P为线段EF上一点,点Q为x轴上一点,求AP+PQ的最小值.(2)将直线l进行平移,记平移后的直线为l1,若直线l1与直线AC相交于点M,与y轴相交于点N,是否存在这样的点M、点N,使得△CMN为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图, AB是⊙O的直径,点D、E在⊙O上,连接AE、ED、DA,连接BD并延长至点C,使得DAC AED∠=∠.(1)求证: AC是⊙O的切线;(2)若点E是BC的中点, AE与BC交于点F,①求证: CA CF=;②若⊙O的半径为3,BF=2,求AC的长.6.我们知道,如图1,AB是⊙O的弦,点F是AFB的中点,过点F作EF⊥AB于点E,易得点E是AB的中点,即AE=EB.⊙O上一点C(AC>BC),则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”.(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF⊥AC于点E,求证:点E是“折弦ACB”的中点,即AE=EC+CB.(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变,则上述结论是否仍然成立?若成立说明理由;若不成立,那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系?直接写出,不必证明.(3)如图4,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2,过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H,交AB于点M,当∠PAB=45°时,求AH的长.7.(2015秋•惠山区期末)如图,在平面直角坐标系中,半径为1的⊙A的圆心与坐标原点O重合,线段BC的端点分别在x轴与y轴上,点B的坐标为(6,0),且sin∠OCB=.(1)若点Q是线段BC上一点,且点Q的横坐标为m.①求点Q 的纵坐标;(用含m 的代数式表示) ②若点P 是⊙A 上一动点,求PQ 的最小值;(2)若点A 从原点O 出发,以1个单位/秒的速度沿折线OBC 运动,到点C 运动停止,⊙A 随着点A 的运动而移动.①点A 从O→B 的运动的过程中,若⊙A 与直线BC 相切,求t 的值;②在⊙A 整个运动过程中,当⊙A 与线段BC 有两个公共点时,直接写出t 满足的条件. 8.抛物线G :2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于C (0,-1),且AB =4OC .(1)直接写出抛物线G 的解析式: ;(2)如图1,点D (-1,m )在抛物线G 上,点P 是抛物线G 上一个动点,且在直线OD 的下方,过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ,当线段PQ 取最大值时,求点P 的坐标;(3)如图2,点M 在y 轴左侧的抛物线G 上,将点M 先向右平移4个单位后再向下平移,使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上,若S △CMN =2,求点M 的坐标.9.如图,抛物线2)12(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点,交y 轴于点C .直线122y x =-经过点,B C .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线上一动点,过P 作x 轴的垂线,交直线BC 于M .设点P 的横坐标是t .①当PCM ∆是直角三角形时,求点P 的坐标;②当点P 在点B 右侧时,存在直线l ,使点,,A C M 到该直线的距离相等,求直线解析式y kx b =+(,k b 可用含t 的式子表示).10.()1尺规作图1:已知:如图,线段AB 和直线且点B 在直线上求作:点C ,使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形. 作图要求:保留作图痕迹,不写作法,做出所有符合条件的点C .()2特例思考:如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有______个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用:如图,AOB 45∠=,点M ,N 在射线OA 上,OM x =,ON x 2=+,点P 是射线OB 上的点.若使点P ,M ,N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个,求x 的值. 11.如图,扇形OMN 的半径为1,圆心角为90°,点B 是上一动点,BA ⊥OM 于点A ,BC ⊥ON 于点C ,点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点,GF 与CE 相交于点P ,DE 与AG 相交于点Q . (1)当点B 移动到使AB :OA=:3时,求的长;(2)当点B 移动到使四边形EPGQ 为矩形时,求AM 的长. (3)连接PQ ,试说明3PQ 2+OA 2是定值.12.如图,PA 切⊙O 于点A ,射线PC 交⊙O 于C 、B 两点,半径OD ⊥BC 于E ,连接BD 、DC 和OA ,DA 交BP 于点F ; (1)求证:∠ADC+∠CBD =12∠AOD ; (2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中相等的线段.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1) ☉O 的半径是32;(2)AB ∥ON ,证明见解析. 【解析】 【分析】(1) 连接AB ,根据题意可AB 为直径,再用勾股定理即可. (2) 连接OA , OB ,OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠,从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ,则有2OPN QOR ∠=∠,再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】 解:(1)连接AB ,在☉0中,o APQ BPQ 45∠=∠=, o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径.Rt APB ∴∆在中,22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32(2)AB//ON证明:连接OA , OB , OQ , 在☉0中,AQ AQ =, BQ BQ =,Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.又APQ BPQ ∠=∠,AOQ BOQ ∴∠=∠.在AOB ∆中,OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=连接OQ ,交AB 于点C 在☉0中,OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ,则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=,NOQ 90O ∴∠=NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .AB//ON ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理,勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理,是一道综合题,灵活运用相关知识是解题的关键.2.(1)22+;(2)63103t ≤≤-或103165-≤≤-3)325m ≤-或0m ≥ 【解析】 【分析】(1)作直线:y x b =-+平行于直线1l ,且与H 相交于点P ,连接PO 并延长交直线1l 于点Q ,作PM ⊥x 轴,根据只有一个交点可求出b ,再联立求出P 的坐标,从而判断出PQ 平分∠AOB ,再利用直线1l 表达式求A 、B 坐标证明OA=OB ,从而证出PQ 即为最小距离,最后利用勾股定理计算即可;(2)过点T 作TH ⊥直线2l ,可判断出T 上的点到直线2l的最大距离为TH +后根据最大距离的范围求出TH 的范围,从而得到FT 的范围,根据范围建立不等式组求解即可;(3)把点P 坐标带入表达式,化简得到关于a 、b 的等式,从而推出直线3l 的表达式,根据点E 的坐标可确定点E 所在直线表达式,再根据最小距离为0,推出直线3l 一定与图形K 相交,从而分两种情况画图求解即可. 【详解】解:(1)作直线:y x b =-+平行于直线1l ,且与H 相交于点P ,连接PO 并延长交直线1l 于点Q ,作PM ⊥x 轴,∵ 直线:y x b =-+与H 相交于点P , ∴2x b x-+=,即220x bx -+=,只有一个解, ∴24120b ∆=-⨯⨯=,解得b =∴y x =-+联立2y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P ,∴PM OM ==P 在第一、三象限夹角的角平分线上,即PQ 平分∠AOB ,∴Rt POM 为等腰直角三角形,且OP=2, ∵直线1l :2y x =--,∴当0y =时,2x =-,当0x =时,2y =-, ∴A(-2,0),B(0,-2), ∴OA=OB=2, 又∵OQ 平分∠AOB , ∴OQ ⊥AB ,即PQ ⊥AB ,∴PQ 即为H 上的点到直线1l 的最小距离, ∵OA=OB ,∴45OAB OBA AOQ ∠=∠=∠=︒, ∴AQ=OQ ,∴在Rt AOQ 中,OA=2,则,∴2PQ OP OQ =+=+()1,2min D H l =(2)由题过点T 作TH ⊥直线2l ,则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH + ∵()max 243,63ABC l D V ≤≤ 即43363TH ≤ ∴3353TH ≤≤ 由题60HFO ∠=︒,则3FT =, ∴610FT ≤≤, 又∵3FT t =, ∴6310t ≤≤,解得63103t ≤≤103165-≤≤-; (3)∵直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+,∴把点P 代入得:2111211184184k k a b c a b c k k --⎛⎫+-+=++ ⎪--⎝⎭, 整理得:()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---,∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++⎧⎨--+-=---⎩,化简得224801a b c c +-+=⎧⎨=⎩,∴182b a =-+,又∵点(),D a b 恒在直线3l 上, ∴直线3l 的表达式为:182y x =-+, ∵()min 3,0D K l =,∴直线3l 一定与以点E 为顶点,原点为对角线交点的正方形图形相交, ∵(),28E m m +,∴点E 一定在直线28y x =+上运动,情形一:如图,当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时,由题可知E 、F 关于原点对称, ∵(),28E m m +, ∴(),28m m F ---,把点F 代入182y x =-+得:18282m m +=--,解得:325m =-, ∵当点E 沿直线向上运动时,对角线变短,正方形变小,无交点,∴点E 要沿直线向下运动,即325m ≤-;情形二:如图,当点E 运动到直线3l 上时, 把点E 代入182y x =-+得:18282m m -+=+,解得:0m =, ∵当点E 沿直线向下运动时,对角线变短,正方形变小,无交点, ∴点E 要沿直线向上运动,即0m ≥,综上所述,325m ≤-或0m ≥. 【点睛】 本题考查新型定义题,弄清题目含义,正确画出图形是解题的关键.3.(1)证明见解析;(2)213;(3)2330a 【解析】【分析】(1)根据△ABC 是等边三角形,从而可以得出∠BAC=∠C ,结合圆周角定理即可证明;(2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ,根据△ABC 是等边三角形,可以得到BG 、AG 的值,由BF ∥AG 可得到AF BG EF EB=,求出BE ,最后利用勾股定理即可求解; (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ,由题(2)知AF BG EF EB =,CG=BG=1122AC a =,可以得到BM 的值,根据BF ∥AG ,可证得△EBF ∽△EGA ,列比例式求出BF ,从而表示出△OFB 的面积.【详解】(1)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,∵∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,∴∠DEB=∠D ,∴BD=BE ;(2)解:如图所示,过点A 作AG ⊥BC 于点G ,∵△ABC 是等边三角形,AC=6, ∴BG=11322BC AC ==, ∴在Rt △ABG 中,333AG BG ==,∵BF ⊥EC , ∴BF ∥AG ,∴AF BG EF EB=, ∵AF :EF=3:2, ∴BE=23BG=2, ∴EG=BE+BG=3+2=5,在Rt △AEG 中,()2222335213AE AG EG =+=+=(3)解:如图所示,过点O 作OM ⊥BC 于点M ,由题(2)知AF BG EF EB =,CG=BG=1122AC a =, ∴3=2AF BG EF EB =, ∴22113323EB BG a a ==⨯=, ∴EC=CG+BG+BE=11142233a a a a ++=, ∴EM=12EC =23a , ∴BM=EM-BE=211333a a a -=, ∵BF ∥AG ,∴△EBF ∽△EGA ,∴123=11532a BF BE AG EG a a ==+,∵2AG a ==,∴25BF ==, ∴△OFB的面积=211223BF BM a a ⋅=⨯=. 【点睛】本题主要考查了圆的综合题,关键是根据等边三角形的性质,勾股定理和相似三角形的判定和性质求解.4.(1)AP +PQ 的最小值为4;(2)存在,M 点坐标为(﹣12,﹣4)或(12,8).【解析】【分析】(1)由直线解析式易求AB 两点坐标,利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE =CE =4,C 点坐标为(4,4)DB =∠CEB =90︒,可知B 、C 、D 、E 四点共圆,由等腰直角△ABC 可知∠CBD =45︒,同弧所对圆周角相等可知∠CED =45︒,所以∠OEF =45︒,CE 、OE 是关于EF 对称,作PH ⊥CE 于H ,作PG ⊥OE 于Q ,AK ⊥EC 于K .把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题.(2)由直线l 与直线AC 成45︒可知∠AMN =45︒,由直线AC 解析式可设M 点坐标为(x ,122x +),N 在y 轴上,可设N (0,y )构造K 字形全等即可求出M 点坐标. 【详解】解:(1)过A 点作AK ⊥CE ,在等腰直角△ABC 中,∠ACB =90︒,AC =BC ,∵CE ⊥x 轴,∴∠ACK +∠ECB =90︒,∠ECB +∠CBE =90︒,∴∠ACK =∠CBE在△AKC 和△CEB 中,AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△AKC ≌△CEB (AAS )∴AK =CE ,CK =BE ,∵四边形AOEK 是矩形,∴AO =EK =BE ,由直线l:y=﹣13x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A,可知A点坐标为(0,2),B(6,0)∴E点坐标为(4,0),C点坐标为(4,4),∵∠CDB=∠CEB=90︒,∴B、C、D、E四点共圆,∵CD CD=,∠CBA=45︒,∴∠CED=45︒,∴FE平分∠CEO,过P点作PH⊥CE于H,作PG⊥OE于G,过A点作AK⊥EC于K.∴PH=PQ,∵PA+PQ=PA+PH≥AK=OE,∴OE=4,∴AP+PQ≥4,∴AP+PQ的最小值为4.(2)∵A点坐标为(0,2),C点坐标为(4,4),设直线AC解析式为:y=kx+b把(0,2),(4,4)代入得244bk b=⎧⎨=+⎩解得122 kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC解析式为:y=122x+,设M点坐标为(x,122x+),N坐标为(0,y).∵MN∥AB,∠CAB=45︒,∴∠CMN=45︒,△CMN为等腰直角三角形有两种情况:Ⅰ.如解图2﹣1,∠MNC=90︒,MN=CN.同(1)理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等,同(1)理得:SN=CR,MS =NR.∴41242x yx y-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得:128xy=-⎧⎨=-⎩,∴M点坐标为(﹣12,﹣4)Ⅱ.如解图2﹣2,∠MNC=90︒,MN=CN.过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等,同(1)得:MS=CF,CS=FN.∴4412442x yx-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得:1212xy=⎧⎨=⎩,∴M点坐标为(12,8)综上所述:使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为(﹣12,﹣4)或(12,8).【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用,题中运用等腰直角三角形的判定和性质,正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,四点共圆,圆周角定理,垂线段最短等知识,解题的关键是中用转化的思想思考问题,学会添加常用辅助线,在平面直角坐标系中构造K字形全等三角形求点坐标解决问题,属于中考压轴题.5.(1)详见解析;(2)①详见解析;②8【解析】【分析】(1)先得到90ADB∠=︒,利用圆周角定理得到DBA DAC∠=∠,即可证明AC是切线;(2)①利用等弧所对的圆周角相等,得到BAE DAE ∠=∠,然后得到CFA CAF ∠=∠,即可得到结论成立;②设AC CF x ==,利用勾股定理,即可求出AC 的长度.【详解】(1)证明: ∵AB 是⊙O 的直径,∴90ADB ∠=︒,∴90DBA DAB ∠+∠=︒,∵DEA DBA ∠=∠,DAC DEA ∠=∠,∴DBA DAC ∠=∠,∴90DAC DAB ∠+∠=︒,∴90CAB ∠=︒,∴AC 是⊙O 的切线;(2)① ∵点E 是弧BD 的中点,∴BAE DAE ∠=∠,∵CFA DBA BAE ∠=∠+∠,CAF CAD DAE ∠=∠+∠,∴CFA CAF ∠=∠∴CA CF =;② 设CA CF x ==,在Rt ABC ∆中,2BC x =+,CA x =,6AB =,由勾股定理可得222(2)6x x +=+,解得:8x =,∴8AC =.【点睛】本题考查了切线的判定,等角对等边,以及勾股定理,要证直线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.6.(1)见解析;(2)结论AE =EC+CB 不成立,新结论为:CE =BC+AE ,见解析;(3)AH ﹣1+1.【解析】【分析】(1)在AC 上截取AG =BC ,连接FA ,FG ,FB ,FC ,证明△FAG ≌△FBC ,根据全等三角形的性质得到FG =FC ,根据等腰三角形的性质得到EG =EC ,即可证明.(2)在CA 上截取CG =CB ,连接FA ,FB ,FC ,证明△FCG ≌△FCB ,根据全等三角形的性质得到FG =FB ,得到FA =FG ,根据等腰三角形的性质得到AE =GE ,即可证明.(3)分点P 在弦AB 上方和点P 在弦AB 下方两种情况进行讨论.【详解】解:(1)如图2,在AC 上截取AG =BC ,连接FA ,FG ,FB ,FC ,∵点F 是AFB 的中点,FA =FB ,在△FAG 和△FBC 中,,FA FB FAG FBC AG BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAG ≌△FBC (SAS ),∴FG =FC ,∵FE ⊥AC ,∴EG =EC ,∴AE =AG+EG =BC+CE ;(2)结论AE =EC+CB 不成立,新结论为:CE =BC+AE ,理由:如图3,在CA 上截取CG =CB ,连接FA ,FB ,FC ,∵点F 是AFB 的中点,∴FA =FB , FA FB =,∴∠FCG =∠FCB ,在△FCG 和△FCB 中,,CG CB FCG FCB FC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCG ≌△FCB (SAS ),∴FG=FB,∴FA=FG,∵FE⊥AC,∴AE=GE,∴CE=CG+GE=BC+AE;(3)在Rt△ABC中,AB=2OA=4,∠BAC=30°,∴12232BC AB AC===,,当点P在弦AB上方时,如图4,在CA上截取CG=CB,连接PA,PB,PG,∵∠ACB=90°,∴AB为⊙O的直径,∴∠APB=90°,∵∠PAB=45°,∴∠PBA=45°=∠PAB,∴PA=PB,∠PCG=∠PCB,在△PCG和△PCB中,,CG CBPCG PCBPC PC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCG≌△PCB(SAS),∴PG=PB,∴PA=PG,∵PH⊥AC,∴AH=GH,∴AC=AH+GH+CG=2AH+BC,∴2322AH=+,∴31AH=,当点P在弦AB下方时,如图5,在AC上截取AG=BC,连接PA,PB,PC,PG∵∠ACB=90°,∴AB为⊙O的直径,∴∠APB=90°,∵∠PAB=45°,∴∠PBA=45°=∠PAB,∴PA=PB ,在△PAG和△PBC中,,AG BCPAG PBCPA PB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAG≌△PBC(SAS),∴PG=PC,∵PH⊥AC,∴CH=GH,∴AC=AG+GH+CH=BC+2CH,∴2322CH,=+∴31CH=-,∴()233131AH AC CH=-=--=+,即:当∠PAB=45°时,AH的长为31-或3 1.+【点睛】考查弧,弦的关系,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质等,综合性比较强,注意分类讨论思想方法在解题中的应用.7.(1)①﹣m+8;②PQ最小=OQ最小﹣1=3.8;(2)①t=时,⊙A与直线BC相切;②<t≤5或7≤t≤15时,⊙A与线段BC有两个公共点.【解析】试题分析:(1)①根据正切的概念求出BC=10,OC=8,运用待定系数法求出直线BC的解析式,根据函数图象上点的坐标特征解得即可;②作OQ⊥AB交⊙A于P,则此时PQ最小,根据三角形面积公式计算即可;(2)①根据切线的性质和相似三角形的性质计算即可;②结合图形、运用直线与圆的位置关系定理解答.解:(1)①∵点B的坐标为(6,0),tan∠OCB=,∴BC=10,OC=8,设直线BC的解析式为y=kx+b,,解得,∵点Q的横坐标为m,∴点Q的纵坐标为﹣m+8;②如图1,作OQ⊥AB交⊙A于P,则此时PQ最小,×AB×OQ=×BO×CO,解得,OQ=4.8,∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8;(2)①如图2,⊙A与直线BC相切于H,则AH⊥BC,又∠BOC=90°,∴△BHA∽△BOC,∴=,即=,解得,BA=,则OA=6﹣=,∴t=时,⊙A与直线BC相切;②由(2)①得,t=时,⊙A与直线BC相切,当t=5时,⊙A经过点B,当t=7时,⊙A经过点B,当t=15时,⊙A经过点C,故<t≤5或7≤t≤15时,⊙A与线段BC有两个公共点.考点:圆的综合题. 8.(1)2114y x =-;(2)点P 37(,)216-;(3)(222,222M --+ 【解析】 【分析】(1)根据题意得到AB=4,根据函数对称轴x=0,得到OA=OB=2,得到A 、B 坐标,代入函数解析式即可求解;(2)首先求得直线OD 解析式,然后设P (21,14t t -),得到PQ 关于t 的解析式,然后求出顶点式即可求解; (3)设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,然后求得直线CM 的解析式,得到EM 的表达式,然后根据CMNCNEMNESSS=+即可求解.【详解】(1)∵AB =4OC ,且C (0,-1) ∴AB=4∴OA=OB=2,即A 点坐标()2,0-,B 点坐标()2,0 代入A 点坐标得2021a =- 解得14a =∴G 的解析式为2114y x =- 故答案为2114y x =-(2)当1x =-时,34y =-,即:点D 为(31,4--)∴直线OD 为:34y x = 设P (21,14t t -),则Q 为(22141,1334t t --),则: 22214141325()()33333212PQ t t t t t =--=-++=--+∴当32t =时,PQ 取得最大值2512,此时点P 位37(,)216- (3)设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则N ()214,414m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭∵C 点坐标为(0,1)-∴可设直线CM 为1y kx =-,带入M 点坐标得:14k m = ∴直线CM 为114y mx =- 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ,则E 点为()14,414m m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭∴4EN m =-- ∵()()12CMNCNE MNEC N N M S SSx x x x EN ⎡⎤=+=-+-•⎣⎦ ∴()()104=22m m ---∴2440m m +-=解得:12m =--,22m =-+(舍去) ∴M (2--+ 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,二次函数综合应用,是二次函数部分的压轴题,题目较难,应画出示意图,然后进行讨论分析. 9.(1)211242y x x =--;(2)①P (2,−2)或(-6,10),②1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++【解析】 【分析】(1)利用一次函数与坐标轴交点的特征可求出点B ,C 的坐标,根据点B ,C 的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式;(2)①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC≠90°,分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑: (i )当∠MPC=90°时,PC //x 轴,利用二次函数可求出点P 的坐标;(ii )当∠PCM=90°时,设PC 与x 轴交于点D ,易证△BOC ∽△COD ,利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标,根据点C ,D 的坐标,利用待定系数法可求出直线PC 的解析式,联立直线PC 和抛物线的解析式,通过解方程组可求出点P 的坐标;②在ACM 中,如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等,则该直线应为ACM 的中位线,分开求解三条中位线方程即可求解. 【详解】解:(1)因为直线交抛物线于B 、C 两点, ∴当x =0时,y =12x −2=−2, ∴点C 的坐标为(0,−2); 当y =0时,12x −2=0, 解得:x =4,∴点B 的坐标为(4,0).将B 、C 的坐标分别代入抛物线,得:2144022a c c ⎧⨯-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩,解得:142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴抛物线的解析式为211242y x x =--. (2)①∵PM ⊥x 轴,M 在直线BC 上, ∴∠PMC 为固定角且不等于90,∴可分两种情况考虑,如图1所示:(i )当∠MPC=90时,PC //x 轴, ∴点P 的纵坐标为﹣2, 将y p =-2,代入抛物线方程可得:2112242x x --=-解得: x 1=2,x 2=0(为C 点坐标,故舍去), ∴点P 的坐标为(2,−2);(ii )当∠PCM=90°时,设PC 与x 轴交于点D , ∵∠OBC+∠OCB=90°,∠OCB+∠OCD=90°, ∴∠OBC=∠OCD , 又∵∠BOC=∠COD=90°, ∴BOC ∽COD (AAA ),∴OD OC OC OB =,即OD=2OC OB, 由(1)知,OC=2,OB=4, ∴OD=1,又∵D 点在X 的负半轴 ∴点D 的坐标为(-1,0),设直线PC 的解析式为:y =kx +b (k ≠0,k 、b 是常数), 将C(0,−2),D(-1,0)代入直线PC 的解析式,得:20b k b =-⎧⎨-+=⎩,解得:22k b =-⎧⎨=-⎩, ∴直线PC 的解析式为y =-2x −2, 联立直线PC 和抛物线方程,得: 22122142x x x -=---, 解得:x 1=0,y 1=−2,x 2=-6,y 2=10, 点P 的坐标为(-6,10),综上所述:当PCM 是直角三角形时,点P 的坐标为(2,−2)或(-6,10);②如图2所示,在ACM 中,如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等,则该直线应为ACM 的中位线;(a )当以CM 为底时,过A 点做CM 的平行线AN ,直线AN 平行于CM 且过点A ,则斜率为12,AN 的方程为:1(+2)2y x =,则中位线方程式为:1122y x =-; (b )当以AM 为底时,因为M 为P 点做x 轴垂线与CB 的交点,则M 的横坐标为t ,且在直线BC 上,则M 的坐标为:1,22M t t -(),其中4t >,则AM 的方程为:44+242t t y x t t --=++,过C 点做AM 的平行线CQ ,则CQ 的方程为:4224t y x t -=-+ ,则中位线方程式为:4412424t t y x t t --=+-++; (c )当以AC 为底时,AC 的方程式为:2y x =--,由b 可知M 的坐标为:1,22M t t -(),过M 做AC 的平行线MR ,则MR 的方程为:322y x t =-+-,则中位线方程式为:324y x t =-+-; 综上所述:当点P 在点B 右侧时,存在直线l ,使点,,A C M 到该直线的距离相等,直线解析式为:1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++. 【点睛】本题考查了一次函数坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等,解题的关键是掌握三角形的顶点到中位线的距离相等. 10.(1) 见解析;(2) 2,2 ;(3)0或222或222x << 【解析】 【分析】()1根据等腰三角形的定义,用分类讨论的思想解决问题即可;()2通过画图分析可得,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有2个,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有2个; ()3分三种情形讨论求解即可.【详解】解:()1如图1中,点1C ,2C ,3C ,4C 即为所求.()2如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有2个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有2个,当∠1=90°或∠1=60°时,符合条件的点C 都是在点B 左右各一个,当∠1=60°时,符合条件的点C 如图所示:故答案为2,2.()3①如图31-中,当x 0=时,当PM PN =时,有点1P ,当ON OP =时,有点2P ,当NO NP =时,有点3P ,此时有3个P 点.②如图32-中,当N 与OB 相切于点1P 时,1OP N 是等腰直角三角形,1ON 2NP 22∴==,OM ON MN 222∴=-=-,此时有3个P 点.③如图33-中,当M 经过点O 时,此时只有2个P 点,如图34-中,M 与OB 相交时,此时有3个P 点,如图35-中,当M 与OB 相切时,只有2个P 点.此时OM 22=,综上所述,当2x 22<<3个P 点.∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,尺规作图,直线与圆的位置关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.11.(1)证明见解析(2)当AM的长为(1﹣)时,四边形EPGQ是矩形(3)定值【解析】【分析】(1)先利用三角函数求出∠AOB=30°,再用弧长公式即可得出结论;(2)易得△AED∽△BCE,根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理,即可求得OA的长,即可得出结论;(3)连接GE交PQ于O′,易得O′P=O′Q,O′G=O'E,然后过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′,由△PCF∽△PEG,根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理,即可求得3PQ2+OA2的值.【详解】解:(1)证明:连接OB,如图①,∵四边形OABC是矩形,∴∠AOC=∠OAB=90°,在Rt△AOB中,tan∠AOB==,∴∠AOB=30°,∴==;(2)如图②,∵▱EPGQ是矩形.∴∠CED=90°∴∠AED+∠CEB=90°.又∵∠DAE=∠EBC=90°,∴∠AED=∠BCE.∴△AED∽△BCE,∴.设OA=x,AB=y,则=,得y2=2x2,又 OA2+AB2=OB2,即x2+y2=12.∴x2+2x2=1,解得:x=.∴AM=OM﹣OA=1﹣当AM 的长为(1﹣)时,四边形EPGQ 是矩形;(3)如图③,连接GE 交PQ 于O′, ∵四边形EPGQ 是平行四边形, ∴O′P=O′Q ,O′G=O′E .过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B′、A′. 由△PCF ∽△PEG 得,=2,∴PA′=A′B′=AB ,GA′=GE=OA , ∴A′O′=GE ﹣GA′=OA . 在Rt △PA′O′中,PO′2=PA′2+A′O′2, 即=+,又 AB 2+OA 2=1, ∴3PQ 2=AB 2+,∴OA 2+3PQ 2=OA 2+(AB 2+)=是定值.【点睛】此题是圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理,锐角三角函数,弧长公式等知识,解题的关键是注意准确作出辅助线,注意数形结合思想与方程思想的应用. 12.(1)详见解析;(2)详见解析; 【解析】 【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =,根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠,即可得到结论; ()2根据垂径定理得到BE CE =,BD CD =,根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠,根据切线的性质得到90PAO ∠=,求得90OAD DAP ∠+∠=,推出PAF PFA ∠=∠,根据等腰三角形的判定定理即可得到结论. 【详解】()1证明:OD BC ⊥,BD CD ∴=,CBD DCB ∴∠=∠,90DFE EDF ∠+∠=, 90EDF DFE ∴∠=-∠,OD OA =,()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠,190902DFE AOD ∴-∠=-∠,12DEF AOD ∴∠=∠,DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠,12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠;()2解:OD BC ⊥,BE CE ∴=,BD CD =, BD CD ∴=, OA OD =,ADO OAD ∴∠=∠, PA 切O 于点A ,90PAO ∴∠=, 90OAD DAP ∴∠+∠=,PFA DFE ∠=∠, 90PFA ADO ∴∠+∠=,PAF PFA ∴∠=∠, PA PF ∴=. 【点睛】本题考查了切线的性质,等腰三角形的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,正确的识别图形是解题的关键.。

2022-23学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题09 二次函数的实际应用—拱桥问题(解析版)

2022-23学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题09 二次函数的实际应用—拱桥问题(解析版)

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题09 二次函数的实际应用—拱桥问题考试时间:120分钟 试卷满分:100分一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2021九上·虹口期末)如图所示,一座抛物线形的拱桥在正常水位时,水而AB 宽为20米,拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米.如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ,那么CD 宽为( )A .45米B .10米C .46米D .12米【答案】B【解析】【解答】以O 点为坐标原点,AB 的垂直平分线为y 轴,过O 点作y 轴的垂线,建立直角坐标系,设抛物线的解析式为y=ax 2,∵O 点到水面AB 的距离为4米, ∴A、B 点的纵坐标为-4, ∵水面AB 宽为20米, ∴A(-10,-4),B (10,-4), 将A 代入y=ax 2, -4=100a ,∴125a =-, ∴2125y x =-,∵水位上升3米就达到警戒水位CD , ∴C 点的纵坐标为-1, ∴21125x -=-∴x=±5, ∴CD=10, 故答案为:B .【思路引导】先建立平面直角坐标系,设抛物线的解析式为y=ax 2,再求出解析式,最后利用二次函数的性质求解即可。

2.(2分)(2021九上·安阳期中)有一拱桥洞呈抛物线形,这个桥洞的最大高度是16m ,跨度为40m ,现把它的示意图(如图)放在坐标系中,则抛物线的解析式为( )A .y =125 x 2+ 58x B .y =-125 x 2+ 85x C .y =- 58 x 2- 125x D .y =-125 x 2+ 85x +16 【答案】B【解析】【解答】解:由图可知,该抛物线开口向下,对称轴为x =20, 最高点坐标为(20,16),且经过原点,由此可设该抛物线解析式为 ()22016y a x =-+ , 将原点坐标代入可得 400160a += , 解得: 125a =-, 故该抛物线解析式为 ()22118201625255y x x x =--+=-+. 故答案为:B.【思路引导】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16,将(0,0)代入可得a 的值,据此可得抛物线的解析式.3.(2分)(2021九上·诸暨月考)如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m 时,水面宽4m ,则水面下降1m 时,水面宽度增加( )A .1mB .2mC .( ﹣4)mD .( ﹣2)m【答案】C【解析】【解答】解:如图,建立直角坐标系,设y=a (x-2)(x+2),∴2=a(0-2)(0+2),∴a=-12, ∴y=-12(x-2)(x+2),当水面下降1米时,y=-1, ∴-1=-12(x-2)(x+2), 解得x=±6,∴水平宽度增加:(26-4)m. 故答案为:C.【思路引导】根据题意建立直角坐标系,结合数据求出二次函数解析式,再把y=-1代入抛物线解析式,则可求出此时的水面宽度,即可得出答案.4.(2分)(2020九上·郁南期末)如图所示,赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示,其函数的关系式为2125y x =-,当水面宽度 AB 为20m 时,此时水面与桥拱顶的高度 DO 是( )A .2mB .4mC .10mD .16m【答案】B【解析】【解答】解:根据题意得B 的横坐标为10, 把x=10代入 2125y x =- , 得y=-4, ∴OD=4m, 故答案为:B .【思路引导】将x=10代入函数解析式求出y=-4,再求解即可。

初三九年级数学上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版 含解析)

初三九年级数学上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版 含解析)

初三九年级数学上册上册数学压轴题(培优篇)(Word 版 含解析)一、压轴题 1.问题提出(1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.问题探究(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.问题解决(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.2.如图1:在Rt △ABC 中,AB =AC ,D 为BC 边上一点(不与点B ,C 重合),试探索AD ,BD ,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论.小明同学的思路是这样的:将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°,得到线段AE ,连接EC ,DE .继续推理就可以使问题得到解决.(1)请根据小明的思路,试探索线段AD ,BD ,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论;(2)如图2,在Rt △ABC 中,AB =AC ,D 为△ABC 外的一点,且∠ADC =45°,线段AD ,BD ,CD 之间满足的等量关系又是如何的,请证明你的结论;(3)如图3,已知AB 是⊙O 的直径,点C ,D 是⊙O 上的点,且∠ADC =45°. ①若AD =6,BD =8,求弦CD 的长为 ; ②若AD+BD =14,求2AD BD CD 2⎛⎫⋅+⎪ ⎪⎝⎭的最大值,并求出此时⊙O 的半径.3.如图,点A 和动点P 在直线l 上,点P 关于点A 的对称点为Q .以AQ 为边作Rt ABQ △,使90BAQ ∠=︒,:3:4AQ AB =,作ABQ △的外接圆O .点C 在点P 右侧,4PC =,过点C 作直线m l ⊥,过点O 作OD m ⊥于点D ,交AB 右侧的圆弧于点E .在射线CD 上取点F ,使32DF CD =,以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ,设3AQ x =(1)用关于x 的代数式表示BQ 、DF .(2)当点P 在点A 右侧时,若矩形DEGF 的面积等于90,求AP 的长. (3)在点P 的整个运动过程中,当AP 为何值时,矩形DEGF 是正方形.4.如图,在平面直角坐标系中,直线l :y =﹣13x +2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,以AB 为斜边作等腰直角△ABC ,使点C 落在第一象限,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,作CE ⊥x 轴于点E ,连接ED 并延长交y 轴于点F .(1)如图(1),点P 为线段EF 上一点,点Q 为x 轴上一点,求AP +PQ 的最小值. (2)将直线l 进行平移,记平移后的直线为l 1,若直线l 1与直线AC 相交于点M ,与y 轴相交于点N ,是否存在这样的点M 、点N ,使得△CMN 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图1,有一块直角三角板,其中AB 16=,ACB 90∠=,CAB 30∠=,A 、B 在x 轴上,点A 的坐标为()20,0,圆M 的半径为33,圆心M 的坐标为(5,33-,圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动,运动时间为t 秒;()1求点C 的坐标;()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时,求t 的值;()3如图2,点E 、F 分别是BC 、AC 的中点,连接EM 、FM ,在运动过程中,是否存在某一时刻,使EMF 90∠=?若存在,直接写出t 的值,若不存在,请说明理由.6.如图,⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(﹣3,1),点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(1,﹣3),点D 在x 轴上,且点D 在点A 的右侧. (1)求菱形ABCD 的周长;(2)若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移,菱形ABCD 沿x 轴向左以每秒3个单位长度的速度平移,设菱形移动的时间为t (秒),当⊙M 与AD 相切,且切点为AD 的中点时,连接AC ,求t 的值及∠MAC 的度数;(3)在(2)的条件下,当点M 与AC 所在的直线的距离为1时,求t 的值.7.某校网球队教练对球员进行接球训练,教练每次发球的高度、位置都一致.教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米,与地面的距离为y 米,运行时间为t 秒,经过多次测试,得到如下部分数据: t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米24.565.8465.844.562…(2)网球落在地面时,与端点A 的水平距离是多少? (3)网球落在地面上弹起后,y 与x 满足()256y a x k =-+①用含a 的代数式表示k ;②球网高度为1.2米,球场长24米,弹起后是否存在唯一击球点,可以将球沿直线扣杀到A 点,若有请求出a 的值,若没有请说明理由.8.如图,函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A (m ,0),B (0,n )两点,m ,n 分别是方程x 2-2x -3=0的两个实数根,且m <n .(1)求m ,n 的值以及函数的解析式;(2)设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ,顶点为点D ,连结BD 、BC 、CD ,求△BDC 面积;(3)对于(1)中所求的函数y=-x 2+bx +c , ①当0≤x ≤3时,求函数y 的最大值和最小值;②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ,最小值为q ,若p-q =3,求t 的值. 9.如图,一次函数122y x =-+的图象交y 轴于点A ,交x 轴于点B 点,抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;并求这个抛物线的解析式;(2)作垂直x 轴的直线x =t ,在第一象限交直线AB 于M ,交这个抛物线于N .求当t 取何值时,MN 有最大值?最大值是多少?(3)在(2)的情况下,以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点D 的坐标.10.如图,抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ,(30)B ,.抛物线的对称轴和x 轴交于点M .(1)求这条抛物线对应函数的表达式;(2)若P 点在该抛物线上,求当PAB △的面积为8时,求点P 的坐标.(3)点G 是抛物线上一个动点,点E 从点B 出发,沿x 轴的负半轴运动,速度为每秒1个单位,同时点F 由点M 出发,沿对称轴向下运动,速度为每秒2个单位,设运动的时间为t .①若点G 到AE 和MF 距离相等,直接写出点G 的坐标.②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点,以FG 和FC 为边做矩形FGDC ,直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值. 11.()1尺规作图1:已知:如图,线段AB 和直线且点B 在直线上求作:点C ,使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形. 作图要求:保留作图痕迹,不写作法,做出所有符合条件的点C .()2特例思考:如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有______个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用:如图,AOB 45∠=,点M ,N 在射线OA 上,OM x =,ON x 2=+,点P 是射线OB 上的点.若使点P ,M ,N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个,求x 的值.12.如图,PA 切⊙O 于点A ,射线PC 交⊙O 于C 、B 两点,半径OD ⊥BC 于E ,连接BD 、DC 和OA ,DA 交BP 于点F ; (1)求证:∠ADC+∠CBD =12∠AOD ; (2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中相等的线段.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1)12;(2)53;(3)202. 【解析】 【分析】(1)如图1中,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,通过构造直角三角形,求出BD 利用三角形面积公式求解即可.(2)如图示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M ,确定点P 的位置,利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.(3)解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、,通过轴对称性质的转化,最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】(1)如解图1所示,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,135BAC ∠=,180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=,BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,BAD ∴为等腰直角三角形,且90BDA ∠=,BD AD ∴=,在BAD 中,,90BD AD BDA =∠=,222BD AD AB ∴+=,即222BD AB =,42AB =2222(42)32BD AB ∴===,解得:4BD =,6AC =,11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=.(2)如解图2所示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M ,D 关于AB 的对称点Q ,CQ 交AB 于点P , PD PQ ∴=,PC PD PC PQ CQ ∴+=+=,点P 为AB 上的动点,PC PD CQ ∴+≥,∴当点P 处于解图2中的位置,PC PD +取最小值,且最小值为CQ 的长度,点C 为半圆AB 的中点,90COB ∴∠=,90BOD COD COB ∠+∠=∠=,11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=,10AB =,1110522OD AB ∴==⨯=, 在Rt ODH △中,由作图知,90OHD ∠=,且30HOD BOD ∠=∠=,155,222DH OD QH DH ∴==∴==,2222553522OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭, 由作图知,四边形OMQH 为矩形,553,22OM QH MQ OH ∴====, 515522CM OM OC ∴=+=+=, 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,PC PD ∴+的最小值为53.(3)如解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、, 点P 关于OA 的对称点S ,点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,PE SE ∴=,FP FN =,SOA POA ∠=∠,,NOB POB OS OP ON ∠=∠==,.PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=,SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠, E 为OA 上的点,F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥,∴当点E F 、处于解图3的位置时,PE EF FP ++的长度取最小值,最小值为SN 的长度,45POA POB AOB ∠+∠=∠=, 45SOA NOB ∴∠+∠=,454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=.扇形AOB 的半径为20,20OS ON OP ∴===,在Rt SON 中,90SON ∠=,20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容,理解题意,作出辅助线是做题的关键.2.(1)CD2+BD2=2AD2,见解析;(2)BD2=CD2+2AD2,见解析;(3)①2,②最大值为4414,半径为104【解析】【分析】(1)先判断出∠BAD=CAE,进而得出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,∠B=∠ACE,再根据勾股定理得出DE2=CD2+CE2=CD2+BD2,在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2=2AD2,即可得出结论;(2)同(1)的方法得,ABD≌△ACE(SAS),得出BD=CE,再用勾股定理的出DE2=2AD2,CE2=CD2+DE2=CD2+2AD2,即可得出结论;(3)先根据勾股定理的出DE2=CD2+CE2=2CD2,再判断出△ACE≌△BCD(SAS),得出AE =BD,①将AD=6,BD=8代入DE2=2CD2中,即可得出结论;②先求出CD=2,再将AD+BD=14,CD=2代入2AD BD⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭,化简得出﹣(AD﹣212)2+4414,进而求出AD,最后用勾股定理求出AB即可得出结论.【详解】解:(1)CD2+BD2=2AD2,理由:由旋转知,AD=AE,∠DAE=90°=∠BAC,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,∠B=∠ACE,在Rt△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠ACE=45°,∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°,根据勾股定理得,DE2=CD2+CE2=CD2+BD2,在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2=2AD2,∴CD2+BD2=2AD2;(2)BD2=CD2+2AD2,理由:如图2,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE,连接EC,DE,同(1)的方法得,ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,在Rt△ADE中,AD=AE,∴∠ADE=45°,∴DE2=2AD2,∵∠ADC=45°,∴∠CDE=∠ADC+∠ADE=90°,根据勾股定理得,CE2=CD2+DE2=CD2+2AD2,即:BD2=CD2+2AD2;(3)如图3,过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E,∴∠DCE=90°,∵∠ADC=45°,∴∠E=90°﹣∠ADC=45°=∠ADC,∴CD=CE,根据勾股定理得,DE2=CD2+CE2=2CD2,连接AC,BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,∵∠ADC=45°,∴∠BDC=45°=∠ADC,∴AC=BC,∵∠DCE=∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,①AD=6,BD=8,∴DE=AD+AE=AD+BD=14,∴2CD2=142,∴CD=72,故答案为72;②∵AD+BD=14,∴CD=72,∴22AD BD CD⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭=AD•(BD+22×72)=AD•(BD+7)=AD•BD+7AD=AD(14﹣AD)+7AD=﹣AD2+21AD=﹣(AD﹣212)2+4414,∴当AD=212时,2AD BD CD⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭的最大值为4414,∵AD+BD=14,∴BD=14﹣212=72,在Rt△ABD中,根据勾股定理得,AB=22710 2AD BD+=,∴⊙O的半径为OA=12AB=710.【点睛】本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟记圆的性质和三角形的性质.3.(1)(1)5BQ x =;3FD x =(2)9AP =(3)12AP =或65AP =或3AP = 【解析】【分析】 (1)由:3:4AQ AB =、3AQ x =,易得4AB x =,由勾股定理得BQ ,再由中位线的性质得12AH BH AB ==,求得CD 、FD ; (2)利用(1)的结论,易得CQ 的长,作OM AQ ⊥于点M ,则//OM AB ,由垂径定理得32QM AM x ==,由矩形性质得OD MC =,利用矩形面积求得x ,得出结论; (3)点P 在A 点的右侧时,利用(1)、(2)的结论和正方形的性质得243x x +=,得AP ;点P 在A 点的左侧时,当点C 在Q 右侧,当407x <<时,473x x -=,解得x ,易得AP ;当4273x ≤<时,743x x -=,得AP ;当点C 在Q 的左侧时,即23x ≥,同理得AP .【详解】解:(1)∵:3:4AQ AB =,3AQ x =∴4AB x =∴在Rt ABQ △中,5BQ x == ∵OD m ⊥,m l ⊥∴//OD l∵OB OQ = ∴122AH BH AB x === ∴2CD x = ∴332FD CD x == (2)∵点P 关于点A 的对称点为Q∴3AP AQ x ==∵4PC =∴64CQ x =+过点O 作OM AQ ⊥于点M ,如图:∵90BAQ ∠=︒∴//OM AB∵O 是ABQ △的外接圆,90BAQ ∠=︒∴点O 是BQ 的中点 ∴1322QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵1522OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形∴13x =,25x =-(不合题意,舍去)∴39AP x ==∴当点P 在点A 右侧时,若矩形DEGF 的面积等于90,AP 的长为:9.(3)若矩形DEGF 是正方形,则DE DF =①点P 在A 点的右侧时,如图:∴243x x +=∴4x =∴312AP x ==②点P 在A 点的左侧时I.当点C 在Q 右侧时i.当 407x <<时,如图:∵47DE x =-,3DF x =∴473x x -=∴25x = ∴635AP x x ==ii.当4273x ≤<时,如图:∵74DE x =-,3DF x =∴743x x -=∴1x =(不合题意,舍去)II. 当点C 在Q 的左侧时,即23x ≥,如图:∵74DE x =-,3DF x =∴743x x -=∴1x =∴33AP x ==∴综上所述,当12AP =或65AP =或3AP =时,矩形DEGF 是正方形. 故答案是:(1)5BQ x =;3FD x =(2)9AP =(3)12AP =或65AP =或3AP = 【点睛】本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等,综合性强,难度大,正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题.4.(1)AP +PQ 的最小值为4;(2)存在,M 点坐标为(﹣12,﹣4)或(12,8).【解析】【分析】(1)由直线解析式易求AB 两点坐标,利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE =CE =4,C 点坐标为(4,4)DB =∠CEB =90︒,可知B 、C 、D 、E 四点共圆,由等腰直角△ABC 可知∠CBD =45︒,同弧所对圆周角相等可知∠CED =45︒,所以∠OEF =45︒,CE 、OE 是关于EF 对称,作PH ⊥CE 于H ,作PG ⊥OE 于Q ,AK ⊥EC 于K .把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题.(2)由直线l 与直线AC 成45︒可知∠AMN =45︒,由直线AC 解析式可设M 点坐标为(x ,122x +),N 在y 轴上,可设N (0,y )构造K 字形全等即可求出M 点坐标. 【详解】解:(1)过A 点作AK ⊥CE ,在等腰直角△ABC 中,∠ACB =90︒,AC =BC ,∵CE ⊥x 轴,∴∠ACK +∠ECB =90︒,∠ECB +∠CBE =90︒,∴∠ACK =∠CBE在△AKC 和△CEB 中,AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△AKC ≌△CEB (AAS )∴AK =CE ,CK =BE ,∵四边形AOEK 是矩形,∴AO =EK =BE ,由直线l :y =﹣13x +2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,可知A 点坐标为(0,2),B (6,0)∴E 点坐标为(4,0),C 点坐标为(4,4),∵∠CDB =∠CEB =90︒,∴B 、C 、D 、E 四点共圆,∵CD CD =,∠CBA =45︒,∴∠CED =45︒,∴FE 平分∠CEO ,过P 点作PH ⊥CE 于H ,作PG ⊥OE 于G ,过A 点作AK ⊥EC 于K .∴PH =PQ ,∵PA +PQ =PA +PH ≥AK =OE ,∴OE =4,∴AP +PQ ≥4,∴AP +PQ 的最小值为4.(2)∵A 点坐标为(0,2),C 点坐标为(4,4),设直线AC 解析式为:y =kx+b把(0,2),(4,4)代入得244b k b =⎧⎨=+⎩解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 解析式为:y =122x +, 设M 点坐标为(x ,122x +),N 坐标为(0,y ). ∵MN ∥AB ,∠CAB =45︒,∴∠CMN =45︒,△CMN 为等腰直角三角形有两种情况:Ⅰ.如解图2﹣1,∠MNC =90︒,MN =CN .同(1)理过N 点构造利用等腰直角△MNC 构造K 字形全等,同(1)理得:SN =CR ,MS =NR .∴41242x yx y-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得:128xy=-⎧⎨=-⎩,∴M点坐标为(﹣12,﹣4)Ⅱ.如解图2﹣2,∠MNC=90︒,MN=CN.过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等,同(1)得:MS=CF,CS=FN.∴4412442x yx-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得:1212xy=⎧⎨=⎩,∴M点坐标为(12,8)综上所述:使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为(﹣12,﹣4)或(12,8).【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用,题中运用等腰直角三角形的判定和性质,正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,四点共圆,圆周角定理,垂线段最短等知识,解题的关键是中用转化的思想思考问题,学会添加常用辅助线,在平面直角坐标系中构造K字形全等三角形求点坐标解决问题,属于中考压轴题.5.(1)()C 8,43;(2)t=18s ;(3)t 1513=±.【解析】【分析】 (1)如图1中,作CH ⊥AB 于H .解直角三角形求出CH ,OH 即可.(2)如图1﹣1中,设⊙M 与直线BC 相切于点N ,作MH ⊥AB 于H .求出OH 的长即可解决问题.(3)设M (﹣5+t ,33),EF 12=AB =8,由∠EMF =90°,可得EM 2+MF 2=EF 2,由此构建方程即可解决问题.【详解】(1)如图1中,作CH ⊥AB 于H .∵A (20,0),AB =16,∴OA =20,OB =4.在Rt △ABC 中,∵∠ACB =90°,AB =16,∠CAB =30°,∴BC 12=AB =8,CH =BC •sin60°=43,BH =BC •cos60°=4,∴OH =8,∴C (8,43).(2)如图1﹣1中,设⊙M 与直线BC 相切于点N ,作MH ⊥AB 于H .∵MN =MH 3MN ⊥BC ,MH ⊥BA ,∴∠MBH =∠MBN =30°,∴BH 3==9,∴点M 的运动路径的长为5+4+9=18,∴当点M 在∠ABC 的内部且⊙M 与直线BC 相切时,t 的值为18s .(3)∵C (8,3B (4,0),A (20,0).∵CE =EB ,CF =FA ,∴E (6,3),F (14,3),设M (﹣5+t ,3),EF 12=AB =8. ∵∠EMF =90°,∴EM 2+MF 2=EF 2,∴(6+5﹣t )2+32+(14+5﹣t )2+32=82,整理得:t2﹣30t+212=0,解得:t=15±13.【点睛】本题是圆的综合题,考查了平移变换,解直角三角形,切线的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.6.(1)菱形的周长为8;(2)t=65,∠MAC=105°;(3)当t=1﹣3或t=1+3时,圆M与AC相切.【解析】试题分析:(1)过点B作BE⊥AD,垂足为E.由点A和点B的坐标可知:BE=3,AE=1,依据勾股定理可求得AB的长,从而可求得菱形的周长;(2)记 M与x轴的切线为F,AD的中点为E.先求得EF的长,然后根据路程=时间×速度列出方程即可;平移的图形如图3所示:过点B作BE⊥AD,垂足为E,连接MF,F为 M与AD的切点.由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°,依据菱形的性质可得到∠FAC=60°,然后证明△AFM是等腰直角三角形,从而可得到∠MAF的度数,故此可求得∠MAC的度数;(3)如图4所示:连接AM,过点作MN⊥AC,垂足为N,作ME⊥AD,垂足为E.先求得∠MAE=30°,依据特殊锐角三角函数值可得到AE的长,然后依据3t+2t=5-AE可求得t的值;如图5所示:连接AM,过点作MN⊥AC,垂足为N,作ME⊥AD,垂足为E.依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°,然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=3,最后依据3t+2t=5+AE.列方程求解即可.试题解析:(1)如图1所示:过点B作BE AD⊥,垂足为E,∵(B1,3,()A2,0,∴BE3=AE1=,∴22AB AE BE2=+=,∵四边形ABCD为菱形,∴AB BC CD AD===,∴菱形的周长248=⨯=.(2)如图2所示,⊙M与x轴的切线为F,AD中点为E,∵()M 3,1-,∴()F 3,0-,∵AD 2=,且E 为AD 中点,∴()E 30,,EF 6=, ∴2t 3t 6+=,解得6t 5=. 平移的图形如图3所示:过点B 作BE AD ⊥,垂足为E ,连接MF ,F 为⊙M 与AD 切点, ∵由(1)可知,AE 1=,BE 3= ∴tan EAB 3∠=∴EAB 60∠=︒,∴FAB 120∠=︒,∵四边形ABCD 是菱形,∴11FAC FAB 1206022∠∠==⨯︒=︒, ∵AD 为M 切线,∴MF AD ⊥,∵F 为AD 的中点,∴AF MF 1==,∴AFM 是等腰直角三角形,∴MAF 45∠=︒,∴MAC MAF FAC 4560105∠∠∠=+=︒+︒=︒.(3)如图4所示:连接AM ,过点作MN AC ⊥,垂足为N ,作ME AD ⊥,垂足为E ,∵四边形ABCD 为菱形,DAB 120∠=︒,∴DAC 60∠=︒. ∵AC 、AD 是圆M 的切线∴MAE 30∠=︒,∵ME MN 1==.∴EA 3=,∴3t 2t 53+=-,∴3t 1=-. 如图5所示:连接AM ,过点作MN AC ⊥,垂足为N ,作ME AD ⊥,垂足为E ,∵四边形ABCD 为菱形,DAB 120∠=︒,∴DAC 60∠=︒,∴NAE 120∠=︒,∵AC 、AD 是圆M 的切线,∴MAE 60∠=︒,∵ME MN 1==,∴3EA 3=,∴3t 2t 53+=+,∴t 1=+.综上所述,当t 1=-t 1=+时,圆M 与AC 相切. 点睛:此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结:1、分类讨论思想:研究点、直线和圆的位置关系时,就要从不同的位置关系去考虑,即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想:(1)化“曲面”为“平面”(2)化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想:再与圆有关的计算题中,除了直接运用公式进行计算外,有时根据图形的特点,列方程解答,思路清楚,过程简捷.7.(1)10;(2)10+米;(3)①100k a =-;②不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值;(2)首先求出函数解析式,进而求出网球落在地面时,与端点A 的水平距离;(3)①由(2)得网球落在地面上时,得出对应点坐标,代入计算即可; ②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为110y x =,若要击杀则有(2110010a x a x --=,根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a 的值,继而根据对应x 的值取舍可得.【详解】 (1)由表格中数据可得4t =,(秒),网球达到最大高度,最大高度为6;(2)以A 为原点,以球场中线所在直线为x 轴,网球发出的方向为x 轴的正方向,竖直运动方向为y 方向,建立平面直角坐标系.由表格中数据,可得y 是x 的二次函数,且顶点坐标为(10,6),可设2(10)6y m x =-+,将(0,2)代入,可得:125m =-, ∴21(10)625y x =--+,当0y =,得10x =±(负值舍去),∴网球落在地面上时,网球与端点A 的距离为10+米;(3)①由(2)得网球落在地面上时,对应的点为(10+,0)代入(2y a x k =-+,得100k a =-;②不存在.∵网高1.2米,球网到A 的距离为24122=米, ∴扣杀路线在直线经过(0,0)和(12,1.2)点, ∴扣杀路线在直线110y x =上,令(2110010a x a x --=,整理得:2150010ax x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭, 当0=时符合条件, 221106200010a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭,解得1400a =,2400a =. 开口向下,0a <, ∴1a ,2a 都可以,将1a ,2a 分别代入(2110010a x a x --=,得到得解都是负数,不符合实际. 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用,由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键.8.(1)m =﹣1,n =3,y =﹣x 2+2x +3;(2)S=3;(3)①y 最大值=4;当x =3时,y 最小值=0;②t =﹣1或t =2【解析】【分析】(1)首先解方程求得A 、B 两点的坐标,然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可;(2)根据解方程直接写出点C 的坐标,然后确定顶点D 的坐标,根据两点的距离公式可得BDC ∆三边的长,根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=︒,据此求出 △BDC 面积; (3)①确定抛物线的对称轴是1x =,根据增减性可知:1x =时,y 有最大值,当3x =时, y 有最小值;②分5种情况:1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧;2、当11t +=时;3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧;4、当1t =时,5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧;分别根据增减性可解答.【详解】解:(1)m ,n 分别是方程2230x x --=的两个实数根,且 m n <,用因式分解法解方程:(1)(3)0x x +-=,11x ∴=-,23x =,1m ∴=-,3n =,(1,0)A ∴-,(0,3)B ,把(1,0)-,(0,3)代入得, 103b c c --+=⎧⎨=⎩,解得23b c =⎧⎨=⎩, ∴函数解析式为2y x 2x 3=-++.(2)令2230y x x =-++=,即2230x x --=,解得11x =-,23x =,∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -,(3,0)C ,1OA ∴=,3OC =,∴对称轴为1312x -+==,顶点(1,123)D -++,即 (1,4)D ,∴BC = BD ==DC ==222CD DB CB =+,BCD ∴∆是直角三角形,且90DBC ∠=︒,∴112322S BCD BD BC ==⨯⨯=; (3)∵抛物线y =﹣x 2+2x +3的对称轴为x =1,顶点为D (1,4),①在0≤x ≤3范围内,当x =1时,y 最大值=4;当x =3时,y 最小值=0;②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧,当x t =时取得最小值 223q t t =-++,最大值2(1)2(1)3p t t =-++++,令22(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=,即 213t -+=,解得1t =-.2、当11t +=时,此时4p =,3q =,不合题意,舍去;3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧,此时4p =,令24(23)3p q t t -=--++=,即 2220t t --=解得:11t =),21t = );或者24[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=,即 t =4、当1t =时,此时4p =,3q =,不合题意,舍去;5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧,当x t =时取得最大值 223p t t =-++,最小值2(1)2(1)3q t t =-++++,令2223[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=,解得 2t =.综上,1t =-或2t =.【点睛】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式,抛物线的顶点公式,直角三角形的性质和判定,勾股定理的逆定理,最值问题等知识,注意运用分类讨论的思想解决问题. 9.(1) A (0,2),B(4,0),2722y x x =-++;(2)当t=2时,MN 有最大值4;(3) D 点坐标为(0,6),(0,-2)或(4,4).【解析】【分析】 (1)首先求得A 、B 的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;(2)本问要点是求得线段MN 的表达式,这个表达式是关于t 的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN 的最大值;(3)本问要点是明确D 点的可能位置有三种情况,如答图2所示,其中D 1、D 2在y 轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D 3点在第一象限是直线D 1N 和D 2M 的交点,利用直线解析式求得交点坐标即可.【详解】解:(1)∵122y x =-+的图象交y 轴于点A ,交x 轴于点B 点, ∴A 、B 点的坐标为:A (0,2),B(4,0), 将x=0,y=2代入2y x bx c =-++得c=2,将x=4,y=0,代入2y x bx c =-++得b=72, ∴抛物线解析式为:2722y x x =-++; (2)如答图1所示,设MN 交x 轴于点E ,则E(t ,0),则M(t ,122t -),又N 点在抛物线上,且x N =t ,∴2722N y t t =-++, ∴()22271224=2422N M MN y y t t t t t t ⎛⎫=-=-++--=-+--+ ⎪⎝⎭, ∴当t=2时,MN 有最大值4.(3)由(2)可知A (0,2)、M(2,1)、N(2,5),以A 、M 、N 、D 为顶点做平行四边形,D 点的可能位置有三种情况,如答图2所示,当D 在y 轴上时,设D 的坐标为(0,a ),由AD=MN ,得|a-2|=4,解得a 1=6,a 2=-2,从而D 点坐标为(0,6)或D (0,-2),当D 不在y 轴上时,由图可知D 3为D 1N 与D 2M 的交点,分别求出D 1N 的解析式为:162y x =-+, D 2M 的解析式为:322y x =-, 联立两个方程得:D 3(4,4),故所求的D 点坐标为(0,6),(0,-2)或(4,4).【点睛】本题主要考查的是二次函数综合,经常作为压轴题出现,正确的掌握二次函数的性质是解题的关键.10.(1)243y x x =-+-;(2)点P 坐标为(-1,-8),(5,-8);(3)①G 的坐标.3551+-,3551(---5515(+--,5515--+;②513t +=或513t -= 【解析】【分析】(1)将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式,可确定抛物线解析式;(2)根据A 、B 两点坐标得AB=3-1=2,由三角形面积公式求P 点纵坐标的绝对值,得出P 点纵坐标的两个值,代入抛物线解析式求P 点横坐标;(3)①根据题意,可分为两种情况进行分析:当点G 在对称轴右侧;当点G 在对称轴左侧;结合图像,分别求出点G 的坐标即可;②根据题意,可分为两种情况进行分析:当点G 在对称轴左侧;当点G 在对称轴右侧;结合图像,分别列出方程,求出t 的值即可.【详解】解:(1)把点(1,0)A ,(3,0)B 代入抛物线2y x bx c =-++上,求得:4b =,3c =-,∴243y x x =-+-;(2)依题意,得312AB =-=,设P 点坐标为(,)a n ,当0n >时,则8n =,故2–438x x +-=,即24110x x ++=,∴441111644280∆=-⨯⨯=-=-<2(-),方程24110x x -++=无实数根;当0n <时,则8n =-故2438x x -+-=-,即2450x x -+-=, 解得:11x =-,25x =所求点P 坐标为(-1,-8),(5,-8). (3)①分两种情况当点G 在对称轴右侧,设点G D 的横坐标为m ,则点D 到对称轴的距离为2m -,∵点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -﹐当点D 的坐标为(,2)m m -,有2243m m m -=-+-,解得:135m +=235m -=(不符题意舍去), 此时点D 的坐标为:3551(,)22. 当点D 的坐标为(,2)m m -时,有 2243m m m -=-+-,解得:155m +=255m -= 此时点D 的坐标为:5515(+--.当点G 在对称轴左侧,设点D 的横坐标为m ,则点D 到对称轴的距离为2m -﹐因为点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -,分别代入解析式可求出点D 的坐标分别为:3551(,)---,5515(,)--+. 综上所述点D 的坐标为:3551(,)+-﹐5515(,)+--,3551(,)---,5515(,)--+. ②分两种情况当点G 在对称轴左侧,此时有1EN t =-,2NF t =﹐因为//EN GF ,点E 为CG 的中点,所以222GF EN t ==-,所以点G 的坐标为(42,2)t t --,将(42,2)t t --代入243y x x =-+-中,得 2(42)4(42)3t t t -=--+-2-,解得:1513t +=2513t -=(不合题意舍去). 当点G 在对称轴右侧,此时有1EN t =-,2NF t =,因为//EN GF ,点E 为CG 的中点,所以222GF EN t ==-,所以点G 的坐标为(42,2)t t --,将(42,2)t t --代入243y x x =-+-中,得 2(42)4(42)3t t t -=--+-2-, 解得:1513t +=2513t -=. 综上所述:513t +=或513t -=. 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式,三角形面积公式的运用.关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法,掌握三角形的高与P 点纵坐标的关系,注意运用数形结合和分类讨论的思想进行解题.11.(1) 见解析;(2) 2,2 ;(3)0或222或222x <<【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义,用分类讨论的思想解决问题即可;()2通过画图分析可得,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有2个,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有2个;()3分三种情形讨论求解即可.【详解】解:()1如图1中,点1C ,2C ,3C ,4C 即为所求.()2如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有2个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有2个,当∠1=90°或∠1=60°时,符合条件的点C 都是在点B 左右各一个,当∠1=60°时,符合条件的点C 如图所示:故答案为2,2.()3①如图31-中,当x 0=时,当PM PN =时,有点1P ,当ON OP =时,有点2P ,当NO NP =时,有点3P ,此时有3个P 点.②如图32-中,当N 与OB 相切于点1P 时,1OP N 是等腰直角三角形,1ON 2NP 22∴==,OM ON MN 222∴=-=-,此时有3个P 点.③如图33-中,当M 经过点O 时,此时只有2个P 点,如图34-中,M 与OB 相交时,此时有3个P 点,如图35-中,当M 与OB 相切时,只有2个P 点.此时OM 22=, 综上所述,当2x 22<<3个P 点. ∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,尺规作图,直线与圆的位置关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.12.(1)详见解析;(2)详见解析;【解析】【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =,根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠,即可得到结论; ()2根据垂径定理得到BE CE =,BD CD =,根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠,根据切线的性质得到90PAO ∠=,求得90OAD DAP ∠+∠=,推出PAF PFA ∠=∠,根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】()1证明:OD BC ⊥,BD CD ∴=,CBD DCB ∴∠=∠,90DFE EDF ∠+∠=,90EDF DFE ∴∠=-∠,OD OA =,()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠, 190902DFE AOD ∴-∠=-∠, 12DEF AOD ∴∠=∠, DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠,12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠; ()2解:OD BC ⊥,BE CE ∴=,BD CD =,BD CD ∴=,OA OD =,ADO OAD ∴∠=∠,PA 切O 于点A ,90PAO ∴∠=, 90OAD DAP ∴∠+∠=, PFA DFE ∠=∠,90PFA ADO ∴∠+∠=,PAF PFA ∴∠=∠,PA PF ∴=.【点睛】本题考查了切线的性质,等腰三角形的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,正确的识别图形是解题的关键.。

2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题05 二次函数的图像和性质(含详解)

2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题05 二次函数的图像和性质(含详解)

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间:120分钟试卷满分:100分姓名:__________ 班级:__________考号:__________题号一二三总分得分评卷人得分一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2022春•长沙期末)抛物线y=2x2﹣4x+c经过三点(﹣4,y1),(﹣2,y2),(,y3),则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2>y3>y1B.y1>y2>y3C.y2>y1>y3D.y1>y3>y22.(2分)(2022春•长沙期末)已知二次函数y=(x﹣1)2+1,则关于该函数的下列说法正确的是()A.该函数图象与y轴的交点坐标是(0,1)B.当x>1时,y的值随x值的增大而减小C.当x取0和2时,所得到的y的值相同D.当x=1时,y有最大值是13.(2分)(2022春•岳麓区校级期末)将抛物线y=x2+1向下平移3个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线()A.y=(x+4)2+4 B.y=(x﹣4)2+4 C.y=(x+4)2﹣2 D.y=(x﹣4)2﹣24.(2分)(2022春•岳麓区校级期末)抛物线y=(x+1)2﹣3的对称轴是()A.直线x=﹣1 B.直线x=1 C.直线x=﹣3 D.直线x=35.(2分)(2021秋•雨花区期末)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+b与y=ax+2b(ab≠0)的图象大致如图()A.B.C.D.6.(2分)(2022•长沙模拟)如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P,Q同时从点B出发,点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:①AD=BE=5;②;③当0<t≤5时,;④当秒时,△ABE∽△QBP;其中正确的结论是()A.①②③B.②③C.①③④D.②④7.(2分)(2021秋•长沙月考)我们定义一种新函数:形如y=|ax²+bx+c|(a≠0,b²﹣4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x²﹣2x﹣3|的图象(如图所示),并写出下列结论:①图象与坐标轴的交点为(﹣1,0),(3,0)和(0,3);②图象具有对称性,对称轴是直线x=1;③当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大;④当x=﹣1或x=3时,函数的最小值是0;⑤当x=1时,函数的最大值是4;⑥若点P(a,b)在该图象上,则当b=2时,可以找到4个不同的点P.其中正确结论的个数是()A.6 B.5 C.4 D.38.(2分)(2020秋•岳麓区校级期末)已知抛物线y=x2+(2m﹣6)x+m2﹣3与y轴交于点A,与直线x=4交于点B,当x>2时,y值随x值的增大而增大.记抛物线在线段AB下方的部分为G(包含A、B两点),M为G上任意一点,设M的纵坐标为t,若t≥﹣3,则m的取值范围是()A.m≥B.≤m≤3 C.m≥3 D.1≤m≤39.(2分)(2016•长沙校级一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是()A.abc>0 B.b2﹣4ac<0 C.9a+3b+c>0 D.c+8a<0 10.(2分)(2021春•天心区期中)如图,抛物线G:y1=a(x+1)2+2与H:y2=﹣(x﹣2)2﹣1交于点B(1,﹣2),且分别与y轴交于点D、E.过点B作x轴的平行线,交抛物线于点A、C,则以下结论:①无论x取何值,y2总是负数;②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;③当﹣3<x<1时,随着x的增大,y1﹣y2的值先增大后减小;④四边形AECD为正方形.其中正确的是()A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④评卷人得分二.填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)11.(2分)(2019春•雨花区校级期末)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(﹣5,0)、(﹣2,0).点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上,设点P的横坐标为m.当0≤m≤3时,△PAB的面积S的取值范围是.12.(2分)(2021•岳麓区开学)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c>3b;③3a+c>0;④当x >﹣1时,y的值随x值的增大而增大;⑤4a+2b≥am2﹣bm(m为任意实数).其中正确的结论有.(填序号)13.(2分)(2020•天心区开学)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣,0),对称轴为直线x=1,下列5个结论:①abc<0;②a﹣2b+4c=0;③2a+b>0;④2c﹣3b<0;⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论为.(注:只填写正确结论的序号)14.(2分)(2019秋•浏阳市期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=﹣1,给出下列结果:①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a﹣b+c<0;⑤3a+c>0.其中正确结论的序号是.15.(2分)(2019•雨花区校级开学)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax2﹣2ax+(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M.P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为.16.(2分)(2021春•雨花区期末)如图,P是抛物线y=x2﹣2x﹣3在第四象限的一点,过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A、B,则四边形OAPB周长的最大值为.17.(2分)(2019秋•天心区校级月考)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2﹣4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△PAB的周长最小时,S△PAB=.18.(2分)(2019秋•浏阳市期中)已知抛物线y=ax2+2ax+m(a>0)经过点(﹣4,y1)、(﹣2,y2),(1,y3),则y1、y2、y3的大小关系是.19.(2分)(2017秋•开福区校级期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=﹣1,经过点(0,1)有以下结论:①a+b+c<0;②b2﹣4ac>0;③abc>0;④4a﹣2b+c<0;⑤c﹣a>1,其中所有正确结论的序号是.20.(2分)(2015春•长沙校级期中)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0;其中正确的个数有个.评卷人得分三.解答题(共7小题,满分60分)21.(6分)(2021春•岳麓区校级期末)已知二次函数如图所示,M为抛物线的顶点,其中A(1,0),B(3,0),C(0,3).(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标.(2)求直线CM的解析式.22.(8分)(2021春•天心区校级月考)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x﹣1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)均在直线l上.(1)求出直线l的解析式;(2)当a=﹣1,二次函数y=ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为﹣4,求m的值;(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,求a的取值范围.23.(8分)(2020秋•长沙月考)已知抛物线y=(2m﹣1)x2+(m+1)x+3(m为常数).(1)若该抛物线经过点(1,m+7),求m的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求满足条件的最大整数m;(3)将该抛物线向下平移若干个单位长度,所得的新抛物线经过P(﹣5,y1),Q(7,y2)(其中y1<y2)两点,当﹣5≤x≤3时,点P是该部分函数图象的最低点,求m的取值范围.24.(8分)(2020•雨花区二模)已知抛物线y=ax2+x+c经过点A(﹣2,0)和C(0,),与x轴交于另一点B,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合),且∠DEF=∠DAB,设AE=x,BF=y,求y与x的函数关系式;(3)在(2)问的条件下,△DEF能否为等腰三角形?若能,求出DF的长;若不能,请说明理由.25.(8分)(2021秋•雨花区期末)如图,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为A,交x轴于B、D两点,与y轴交于点C.(1)求线段BD的长;(2)求△ABC的面积;(3)P是抛物线对称轴上一动点,求PC+PD的最小值.26.(10分)(2021•岳麓区开学)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的定顶抛物线,如:y=x2+1是y=x+1的定顶抛物线.(1)若y=x2﹣4是y=﹣x+p的定顶抛物线,求p的值;(2)若二次函数y=﹣x2+4x+7是经过点(1,3)一次函数y=kx+t(k≠0)的定顶抛物线,求直线y=kx+t(k≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积;(3)若函数y=mx﹣3(m≠0)的定顶抛物线y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.27.(12分)(2021春•长沙期末)如图①,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B,与y轴交于点C,若OA=OC=2OB=2.(1)求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式;(2)若P为线段AC上方抛物线上一动点,求△ACP面积的最大值;(3)如图②过点A作AD⊥BC于点D,过D作DH⊥x轴于H,若G为直线DH上的动点,N为抛物线上的动点,在x轴上是否存在点M,使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形?若存在,求出M点坐标,若不存在,请说明理由.2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间:120分钟试卷满分:100分一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2022春•长沙期末)抛物线y=2x2﹣4x+c经过三点(﹣4,y1),(﹣2,y2),(,y3),则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2>y3>y1B.y1>y2>y3C.y2>y1>y3D.y1>y3>y2【思路引导】利用配方法将已知抛物线方程转化为顶点式,根据抛物线的对称性质和增减性比较大小.【完整解答】解:∵y=2x2﹣4x+c=2(x﹣1)2+c﹣2.∴抛物线开口向上,对称轴是直线x=1.∴当x<1时,y随x的增大而减小,∵抛物线y=2x2﹣4x+c经过三点(﹣4,y1),(﹣2,y2),(,y3),﹣4<﹣2<<1,∴y1>y2>y3,故选:B.2.(2分)(2022春•长沙期末)已知二次函数y=(x﹣1)2+1,则关于该函数的下列说法正确的是()A.该函数图象与y轴的交点坐标是(0,1)B.当x>1时,y的值随x值的增大而减小C.当x取0和2时,所得到的y的值相同D.当x=1时,y有最大值是1【思路引导】在y=(x﹣1)2+1中,令x=0得y=2,可判定A不符合题意;由1>0,对称轴直线x=1可判断B不符合题意;根据当x=0时,y=2;当x=2时,y=2,可判定C符合题意;由y=(x﹣1)2+1,根据函数性质可判定D不符合题意.【完整解答】解:令x=0,则y=(0﹣1)2+1=2,∴二次函数y=(x﹣1)2+1的图象与y轴的交点坐标为(0,2),故A不符合题意;∵二次函数y=(x﹣1)2+1的对称轴为x=1,开口向上,∴当x>1时,y随x的增大而增大,故B不符合题意;当x=0时,y=2,当x=2时y=(2﹣1)2+1=2,故C符合题意;∵二次函数y=(x﹣1)2+1的对称轴为x=1,开口向上,∴当x=1时,y有最小值,故D不符合题意.故选:C.3.(2分)(2022春•岳麓区校级期末)将抛物线y=x2+1向下平移3个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线()A.y=(x+4)2+4 B.y=(x﹣4)2+4 C.y=(x+4)2﹣2 D.y=(x﹣4)2﹣2【思路引导】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论.【完整解答】解:根据“上加下减,左加右减”的法则可知,将抛物线y=x2+1向下平移3个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线的表达式是y=(x+4)2+1﹣3,即y=(x+4)2﹣2.故选:C.4.(2分)(2022春•岳麓区校级期末)抛物线y=(x+1)2﹣3的对称轴是()A.直线x=﹣1 B.直线x=1 C.直线x=﹣3 D.直线x=3【思路引导】根据抛物线的顶点式,可以写出该抛物线的对称轴,本题得以解决.【完整解答】解:∵抛物线y=(x+1)2﹣3,∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣1,故选:A.5.(2分)(2021秋•雨花区期末)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+b与y=ax+2b(ab≠0)的图象大致如图()A.B.C.D.【思路引导】根据每一选项中a、b的符号是否相符,逐一判断.【完整解答】解:A、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误;B、由抛物线可知,a<0,b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;C、由抛物线可知a>0,b<0,由直线可知a>0,b>0,故本选项错误;D、由抛物线可知,a<0,b<0,由直线可知,a>0,b<0,故本选项错误.故选:B.6.(2分)(2018秋•天心区校级期末)已知函数y=ax2+bx+c,当y>0时,.则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的()A.B.C.D.【思路引导】当y>0时,,所以可判断a<0,可知﹣=﹣+=﹣,=﹣×=﹣,所以可知a=6b,a=﹣6c,则b=﹣c,不妨设c=1进而得出解析式,找出符合要求的答案.【完整解答】解:因为函数y=ax2+bx+c,当y>0时,所以可判断a<0,可知﹣=﹣+=﹣,=﹣×=﹣所以可知a=6b,a=﹣6c,则b=﹣c,不妨设c=1则函数y=cx2﹣bx+a为函数y=x2+x﹣6即y=(x﹣2)(x+3)则可判断与x轴的交点坐标是(2,0),(﹣3,0),故选:A.7.(2分)(2021秋•长沙月考)我们定义一种新函数:形如y=|ax²+bx+c|(a≠0,b²﹣4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x²﹣2x﹣3|的图象(如图所示),并写出下列结论:①图象与坐标轴的交点为(﹣1,0),(3,0)和(0,3);②图象具有对称性,对称轴是直线x=1;③当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大;④当x=﹣1或x=3时,函数的最小值是0;⑤当x=1时,函数的最大值是4;⑥若点P(a,b)在该图象上,则当b=2时,可以找到4个不同的点P.其中正确结论的个数是()A.6 B.5 C.4 D.3【思路引导】由(﹣1,0),(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2﹣2x﹣3|知①是正确的;从图象可以看出图象具有对称性,对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1,②也是正确的;根据函数的图象和性质,发现当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大,因此③也是正确的;函数图象的最低点就是与x轴的两个交点,根据y=0,求出相应的x的值为x=﹣1或x=3,因此④也是正确的;从图象上看,当x<﹣1或x>3,函数值要大于当x=1时的y=|x2﹣2x﹣3|=4,因此⑤时不正确的;⑥根据图形判断即可;逐个判断之后,可得出答案.【完整解答】解:①∵(﹣1,0),(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2﹣2x﹣3|,∴①是正确的;②从图象可知图象具有对称性,对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1,因此②也是正确的;③根据函数的图象和性质,发现当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大,因此③也是正确的;④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点,根据y=0,求出相应的x的值为x=﹣1或x=3,因此④也是正确的;⑤从图象上看,当x<﹣1或x>3,存在函数值要大于当x=1时的y=|x2﹣2x﹣3|=4,因此⑤是不正确的;⑥从图象上看,若点P(a,b)在该图象上,则当b=2时,可以找到4个不同的点P,因此⑥也是正确的.故答案为:①②③④⑥.故选:B.8.(2分)(2020秋•岳麓区校级期末)已知抛物线y=x2+(2m﹣6)x+m2﹣3与y轴交于点A,与直线x=4交于点B,当x>2时,y值随x值的增大而增大.记抛物线在线段AB下方的部分为G(包含A、B两点),M为G上任意一点,设M的纵坐标为t,若t≥﹣3,则m的取值范围是()A.m≥B.≤m≤3 C.m≥3 D.1≤m≤3【思路引导】根据题意,x=﹣≤2,≥﹣3【完整解答】解:当对称轴在y轴的右侧时,,解得≤m<3,当对称轴是y轴时,m=3,符合题意,当对称轴在y轴的左侧时,2m﹣6>0,解得m>3,综上所述,满足条件的m的值为m≥.故选:A.9.(2分)(2016•长沙校级一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是()A.abc>0 B.b2﹣4ac<0 C.9a+3b+c>0 D.c+8a<0【思路引导】根据二次函数的图象求出a<0,c>0,根据抛物线的对称轴求出b=﹣2a>0,即可得出abc<0;根据图象与x轴有两个交点,推出b2﹣4ac>0;对称轴是直线x=1,与x轴一个交点是(﹣1,0),求出与x轴另一个交点的坐标是(3,0),把x=3代入二次函数得出y=9a+3b+c=0;把x=4代入得出y=16a﹣8a+c=8a+c,根据图象得出8a+c<0.【完整解答】解:A.∵二次函数的图象开口向下,图象与y轴交于y轴的正半轴上,∴a<0,c>0,∵抛物线的对称轴是直线x=1,∴﹣=1,∴b=﹣2a>0,∴abc<0,故本选项错误;B.∵图象与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,故本选项错误;C.∵对称轴是直线x=1,与x轴一个交点是(﹣1,0),∴与x轴另一个交点的坐标是(3,0),把x=3代入二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得:y=9a+3b+c=0,故本选项错误;D.∵当x=3时,y=0,∵b=﹣2a,∴y=ax2﹣2ax+c,把x=4代入得:y=16a﹣8a+c=8a+c<0,故选:D.10.(2分)(2021春•天心区期中)如图,抛物线G:y1=a(x+1)2+2与H:y2=﹣(x﹣2)2﹣1交于点B(1,﹣2),且分别与y轴交于点D、E.过点B作x轴的平行线,交抛物线于点A、C,则以下结论:①无论x取何值,y2总是负数;②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;③当﹣3<x<1时,随着x的增大,y1﹣y2的值先增大后减小;④四边形AECD为正方形.其中正确的是()A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④【思路引导】①由非负数的性质,即可证得y2=﹣(x﹣2)2﹣1≤﹣1<0,即可得无论x取何值,y2总是负数;②由抛物线l1:y1=a(x+1)2+2与l2:y2=﹣(x﹣2)2﹣1交于点B(1,﹣2),可求得a的值,然后由抛物线的平移的性质,即可得l2可由l1向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;③由y1﹣y2=﹣(x+1)2+2﹣[﹣(x﹣2)2﹣1]=﹣6x+6,可得随着x的增大,y1﹣y2的值减小;④首先求得点A,C,D,E的坐标,即可证得AF=CF=DF=EF,又由AC⊥DE,即可证得四边形AECD为正方形.【完整解答】解:①∵(x﹣2)2≥0,∴﹣(x﹣2)2≤0,∴y2=﹣(x﹣2)2﹣1≤﹣1<0,∴无论x取何值,y2总是负数;故①正确;②∵抛物线G:y1=a(x+1)2+2与抛物线H:y2=﹣(x﹣2)2﹣1交于点B(1,﹣2),∴当x=1时,y=﹣2,即﹣2=a(1+1)2+2,解得:a=﹣1;∴y1=﹣(x+1)2+2,∴H可由G向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;故②正确;③∵y1﹣y2=﹣(x+1)2+2﹣[﹣(x﹣2)2﹣1]=﹣6x+6,∴随着x的增大,y1﹣y2的值减小;故③错误;④设AC与DE交于点F,∵当y=﹣2时,﹣(x+1)2+2=﹣2,解得:x=﹣3或x=1,∴点A(﹣3,﹣2),当y=﹣2时,﹣(x﹣2)2﹣1=﹣2,解得:x=3或x=1,∴点C(3,﹣2),∴AF=CF=3,AC=6,当x=0时,y1=1,y2=﹣5,∴DE=6,DF=EF=3,∴四边形AECD为平行四边形,∴AC=DE,∴四边形AECD为矩形,∵AC⊥DE,∴四边形AECD为正方形.故④正确.故选:B.二.填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)11.(2分)(2019春•雨花区校级期末)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(﹣5,0)、(﹣2,0).点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上,设点P的横坐标为m.当0≤m≤3时,△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15 .【思路引导】根据坐标先求AB的长,所以△PAB的面积S的大小取决于P的纵坐标的大小,因此只要讨论当0≤m≤3时,P的纵坐标的最大值和最小值即可,根据顶点坐标D(1,4),由对称性可知:x=1时,P的纵坐标最大,此时△PAB的面积S最大;当x=3时,P的纵坐标最小,此时△PAB的面积S最小.【完整解答】解:∵点A、B的坐标分别为(﹣5,0)、(﹣2,0),∴AB=3,y=﹣2x2+4x+8=﹣2(x﹣1)2+10,∴顶点D(1,10),由图象得:当0≤x≤1时,y随x的增大而增大,当1≤x≤3时,y随x的增大而减小,∴当x=3时,即m=3,P的纵坐标最小,y=﹣2(3﹣1)2+10=2,此时S△PAB=×2AB=×2×3=3,当x=1时,即m=1,P的纵坐标最大是10,此时S△PAB=×10AB=×10×3=15,∴当0≤m≤3时,△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15;故答案为:3≤S≤15.12.(2分)(2021•岳麓区开学)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c>3b;③3a+c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大;⑤4a+2b≥am2﹣bm(m为任意实数).其中正确的结论有①③⑤.(填序号)【思路引导】由抛物线的对称轴为直线x=2可得a与b的关系,从而判断①,由x=﹣3时y>0可判断②,由抛物线经过(﹣1,0)及a与b的关系可判断③,由抛物线对称轴及开口方向可判断④,由x=2时y取最大值可判断⑤.【完整解答】解:∵抛物线对称轴为直线x=﹣=2,∴b=﹣4a,即4a+b=0,①正确.由图象可得x=﹣3时,y=9a﹣3b+c<0,∴9a+c<3b,②错误.∵抛物线经过(﹣1,0),∴a﹣b+c=a+4a+c=5a+c=0,∵抛物线开口向下,∴a<0,∴3a+c=5a+c﹣2a>0,③正确.由图象可得x<2时,y随x增大而增大,∴④错误.∵x=2时,函数取最大值,∴4a+2b+c≥am2﹣bm+c,即4a+2b≥am2﹣bm,⑤正确.故答案为:①③⑤.13.(2分)(2020•天心区开学)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣,0),对称轴为直线x=1,下列5个结论:①abc<0;②a﹣2b+4c=0;③2a+b>0;④2c﹣3b<0;⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论为②⑤.(注:只填写正确结论的序号)【思路引导】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案.【完整解答】解:①函数的对称轴在y轴右侧,则ab<0,而c<0,故abc>0,故①错误,不符合题意;②将点(﹣,0)代入函数表达式得:a﹣2b+4c=0,故②正确,符合题意;③函数的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,故2a+b=0,故③错误,不符合题意;④由②③得:a﹣2b+4c=0,b=﹣2a,则c=﹣,故2c﹣3b=>0,故④错误,不符合题意;⑤当x=1时,函数取得最小值,即a+b+c≤m(am+b)+c,故⑤正确,符合题意;故答案为②⑤.14.(2分)(2019秋•浏阳市期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=﹣1,给出下列结果:①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a﹣b+c<0;⑤3a+c>0.其中正确结论的序号是①④⑤.【思路引导】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴x=﹣1计算2a+b与0的关系;再由根的判别式与根的关系,进而对所得结论进行判断.【完整解答】解:∵图象和x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,∴b2>4ac,∴①正确;∵从图象可知:a>0,c<0,﹣=﹣1,b=2a>0,∴abc<0,∴②错误;∵b=2a>0∴2a+b=4a>0,∴③错误;∵x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,∴④正确;∵x=1时,y>0,∴a+b+c>0,把b=2a代入得:3a+c>0,选项⑤正确;故答案为①④⑤.15.(2分)(2019•雨花区校级开学)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣2ax+(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M.P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为 2 .【思路引导】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴,再根据对称性求出点M坐标,利用点M为线段AB中点,得出点B坐标;用含a的式子表示出点P坐标,写出直线OP 的解析式,再将点B坐标代入即可求解出a的值.【完整解答】解:∵抛物线y=ax2﹣2ax+(a>0)与y轴交于点A,∴A(0,),抛物线的对称轴为x=1∴顶点P坐标为(1,﹣a),点M坐标为(2,)∵点M为线段AB的中点,∴点B坐标为(4,)设直线OP解析式为y=kx(k为常数,且k≠0)将点P(1,)代入得=k∴y=()x将点B(4,)代入得=()×4解得a=2故答案为:2.16.(2分)(2021春•雨花区期末)如图,P是抛物线y=x2﹣2x﹣3在第四象限的一点,过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A、B,则四边形OAPB周长的最大值为.【思路引导】设P(x,x2﹣2x﹣3)根据矩形的周长公式得到C=﹣2(x﹣)2+.根据二次函数的性质来求最值即可.【完整解答】解:设P(x,x2﹣2x﹣3),∵过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A、B,∴四边形OAPB为矩形,∴四边形OAPB周长=2PA+2OA=﹣2(x2﹣2x﹣3)+2x=﹣2x2+6x+6=﹣2(x2﹣3x)+6,=﹣2+.∴当x=时,四边形OAPB周长有最大值,最大值为.故答案为.17.(2分)(2019秋•天心区校级月考)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2﹣4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△PAB的周长最小时,S△PAB=.【思路引导】根据轴对称,可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标,然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度,即可求得△PAB的面积,本题得以解决.【完整解答】解:,解得,或,∴点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),∴AB==3,作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B与y轴的交于P,则此时△PAB的周长最小,点A′的坐标为(﹣1,2),点B的坐标为(4,5),设直线A′B的函数解析式为y=kx+b,,得,∴直线A′B的函数解析式为y=x+,当x=0时,y=,即点P的坐标为(0,),将x=0代入直线y=x+1中,得y=1,∵直线y=x+1与y轴的夹角是45°,∴点P到直线AB的距离是:(﹣1)×sin45°==,∴△PAB的面积是:=,故答案为:.18.(2分)(2019秋•浏阳市期中)已知抛物线y=ax2+2ax+m(a>0)经过点(﹣4,y1)、(﹣2,y2),(1,y3),则y1、y2、y3的大小关系是y2<y3<y1.【思路引导】把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3,再比例其大小即可.【完整解答】解:∵抛物线y=ax2+2ax+m(a>0)经过点(﹣4,y1)、(﹣2,y2),(1,y3),∴y1=16a﹣8a+m=8a+m,y2=4a﹣4a+m=m,y3=a+2a+m=3a+m,∵a>0,∴m<3a+m<8a+m,即y2<y3<y1,故答案为:y2<y3<y1.19.(2分)(2017秋•开福区校级期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=﹣1,经过点(0,1)有以下结论:①a+b+c<0;②b2﹣4ac>0;③abc>0;④4a﹣2b+c<0;⑤c﹣a>1,其中所有正确结论的序号是①②③⑤.【思路引导】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【完整解答】解:①由图象可知:x=1时,y<0,∴y=a+b+c<0,故①正确;②由图象可知:Δ>0,∴b2﹣4ac>0,故②正确;③由图象可知:<0,∴ab>0,又∵c=1,∴abc>0,故③正确;④由图象可知:(0,0)关于x=﹣1对称点为(﹣2,0)∴令x=﹣2,y>0,∴4a﹣2b+c>0,故④错误;⑤由图象可知:a<0,c=1,∴c﹣a=1﹣a>1,故⑤正确;故答案为:①②③⑤20.(2分)(2015春•长沙校级期中)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0;其中正确的个数有 2 个.【思路引导】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点,可得b2﹣4c<0;当x=1时,y=1+b+c=1;当x=3时,y=9+3b+c=3;当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,可得x2+bx+c<x,继而可求得答案.【完整解答】解:∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点,∴b2﹣4ac<0;故①错误;由图象知,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x的交点坐标为(1,1)和(3,3),当x=1时,y=1+b+c=1,故②错误;∵当x=3时,y=9+3b+c=3,∴3b+c+6=0;③正确;∵当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,∴x2+bx+c<x,∴x2+(b﹣1)x+c<0.故④正确.故答案是:2.三.解答题(共7小题,满分60分)21.(6分)(2021春•岳麓区校级期末)已知二次函数如图所示,M为抛物线的顶点,其中A(1,0),B(3,0),C(0,3).(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标.(2)求直线CM的解析式.【思路引导】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式.【完整解答】解:(1)设二次函数解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),将C(0,3)代入得:3=a(0﹣1)(0﹣3),∴a=1,∴y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3,∴顶点坐标M(2,﹣1),(2)设直线CM的解析式为y=kx+b,将C(0,3)、M(2,﹣1)代入得:,∴.∴y=﹣2x+3.22.(8分)(2021春•天心区校级月考)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x﹣1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)均在直线l上.(1)求出直线l的解析式;(2)当a=﹣1,二次函数y=ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为﹣4,求m的值;(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,求a的取值范围.【思路引导】(1)利用待定系数法即可求出直线的解析式;(2)分x在对称轴右侧和左侧两种情况,分别求解即可;(3)分a<0、a>0两种情况,分别求解即可.【完整解答】解:(1)把点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)代入y=kx+b中,得,解得,∴直线l的解析式为y=x﹣;(2)根据题意可得,y=﹣x2+2x﹣1,∵a<0,∴抛物线开口向下,对称轴x=1,∵m≤x≤m+2时,y有最大值﹣4,∴当y=﹣4时,有﹣x2+2x﹣1=﹣4,∴x=﹣1或x=3,①在x=1左侧,y随x的增大而增大,∴x=m+2=﹣1时,y有最大值﹣4,∴m=﹣3;②在对称轴x=1右侧,y随x最大而减小,∴x=m=3时,y有最大值﹣4;综上所述:m=﹣3或m=3;(3))①a<0时,x=1时,y≤﹣1,即a+1≤﹣1,∴a≤﹣2;②a>0时,x=﹣3时,y≥﹣3,即9a﹣7≥﹣3,∴a≥,直线AB的解析式为y=x﹣;抛物线与直线联立:ax2+2x﹣1=x﹣,∴ax2+x+=0,△=﹣2a>0,∴a<,∴a的取值范围为≤a<或a≤﹣2.23.(8分)(2020秋•长沙月考)已知抛物线y=(2m﹣1)x2+(m+1)x+3(m为常数).(1)若该抛物线经过点(1,m+7),求m的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求满足条件的最大整数m;(3)将该抛物线向下平移若干个单位长度,所得的新抛物线经过P(﹣5,y1),Q(7,y2)(其中y1<y2)两点,当﹣5≤x≤3时,点P是该部分函数图象的最低点,求m的取值范围.【思路引导】(1)将点(1,m+7)代入函数解析式即可;(2)设符合题意的两点分别是(x0,y0),(﹣x0,﹣y0),代入解析式,两式相加即可得到2(2m﹣1)x02+6=0,根据二次函数的性质即可求得;(3)当﹣5≤x≤3时,点P是该图象的最低点,①当2m﹣1>0时,﹣≤﹣5②当2m﹣1<0时,﹣>1.【完整解答】解:(1)抛物线经过点(1,m+7),∴m+7=2m﹣1+m+1+3,∴m=2;(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(x0,y0),(﹣x0,﹣y0),代入解析式可得:,∴两式相加可得:2(2m﹣1)x02+6=0,化简得:x02=﹣,又∵x0≠0,∴﹣>0,∴2m﹣1<0,∴m<,故满足条件的最大整数m=0;(3)∵新抛物线经过P(﹣5,y1),Q(7,y2)(其中y1<y2)两点,∵当﹣5≤x≤3时,点P是该图象的最低点,①当2m﹣1>0时,﹣≤﹣5,∴<m≤,②当2m﹣1<0时,﹣>1,∴<m<;综上所述:<m≤且m≠;24.(8分)(2017春•雨花区校级期末)如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P 点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.【思路引导】(1)直接把A点和C点坐标代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程组,然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式;(2)先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣,则D(,0),则利用勾股定理计算出CD=,然后分类讨论:如图1,当CP=CD时,利用等腰三角形的性质易得P1(,4);当DP =DC时,易得P2(,),P3(,﹣);(3)先根据抛物线与x轴的交点问题求出B(4,0),再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2,利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征,设E(x,﹣x+2)(0≤x≤4),则F(x,﹣x2+x+2),则FE=﹣x2+2x,由于△BEF和△CEF共底边,高的和为4,则S△BCF =S△BEF+S△CEF=×4×EF=﹣x2+4x,加上S△BCD=,所以S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+(0≤x≤4),然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大,并得到此时E点坐标.【完整解答】解:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=﹣x2+mx+n得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;(2)存在.抛物线的对称轴为直线x=﹣=,则D(,0),∴CD===,如图1,当CP=CD时,则P1(,4);当DP=DC时,则P2(,),P3(,﹣),综上所述,满足条件的P点坐标为(,4)或(,)或(,﹣);(3)当y=0时,﹣x2+x+2=0,解得x1=﹣1,x2=4,则B(4,0),设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(4,0),C(0,2)代入得,解得,∴直线BC的解析式为y=﹣x+2,设E(x,﹣x+2)(0≤x≤4),则F(x,﹣x2+x+2),∴FE=﹣x2+x+2﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=×4×EF=2(﹣x2+2x)=﹣x2+4x,而S△BCD=×2×(4﹣)=,∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+(0≤x≤4),=﹣(x﹣2)2+当x=2时,S四边形CDBF有最大值,最大值为,此时E点坐标为(2,1).25.(8分)(2021秋•雨花区期末)如图,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为A,交x轴于B、D两点,与y轴交于点C.(1)求线段BD的长;(2)求△ABC的面积;(3)P是抛物线对称轴上一动点,求PC+PD的最小值.【思路引导】(1)分别求出D(﹣1,0),B(3,0),则可求BD;(2)连接AO,求出顶点坐标为(1,﹣4),C(0,﹣3),再由S△CAB=S△OAB+S△OCA﹣S△OCB即可求解;(3)连接BC交对称轴与点P,由题意可知B点与D点关于对称轴x=1对称,则当P、B、C三点共线时,PC+PD的值最小,求出BC=3即为所求.【完整解答】解:(1)当y=0,则0=x2﹣2x﹣3,则(x﹣3)(x+1)=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴D(﹣1,0),B(3,0),∴BD=4;故答案为:4.(2)连接AO,∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣4),当x=0时,y=﹣3,∴C(0,﹣3),∴S△CAB=S△OAB+S△OCA﹣S△OCB=×3×4+×3×1﹣×3×3=3;故答案为:3.(3)连接BC交对称轴与点P,∵y=(x﹣1)2﹣4,∴对称轴为直线x=1,∵B点与D点关于对称轴x=1对称,∴DP=PB,∴PC+PD=PC+BP≥BC,∴当P、B、C三点共线时,PC+PD的值最小,∵B(3,0),C(0,﹣3),∴BC=3,∴PC+PD的最小值即BC=.26.(10分)(2021•岳麓区开学)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的定顶抛物线,如:y=x2+1是y=x+1的定顶抛物线.(1)若y=x2﹣4是y=﹣x+p的定顶抛物线,求p的值;(2)若二次函数y=﹣x2+4x+7是经过点(1,3)一次函数y=kx+t(k≠0)的定顶抛物线,求直线y=kx+t(k≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积;(3)若函数y=mx﹣3(m≠0)的定顶抛物线y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.【思路引导】(1)由抛物线解析式可得顶点坐标,将顶点坐标代入直线解析式求解.(2)由抛物线解析式可得顶点坐标,由抛物线顶点坐标及(1,3)可得直线解析式,进而求解.(3)由线y=x2+2x+n可得抛物线对称轴为直线x=﹣1,由抛物线与x轴两个交点间的距离为4可得抛物线与x轴交点坐标,进而可得n的值,将抛物线顶点坐标代入直线解析式可得m的值.【完整解答】解:(1)∵抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为(0,﹣4),∴(0,﹣4)在直线y=﹣x+p上,∴p=﹣4.(2)∵y=﹣x2+4x+7=﹣(x﹣2)2+11,∴抛物线顶点坐标为(2,11),将(2,11),(1,3)代入y=kx+t得,解得,∴一次函数解析式为y=8x﹣5.将x=0代入y=8x﹣5得y=﹣5,将y=0代入y=8x﹣5得0=8x﹣5,解得x=,∴一次函数与坐标轴交点坐标为(0,﹣5),(,0),∴直线y=8x﹣5与坐标轴围成的三角形面积为×=.(3)∵y=x2+2x+n,∴抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1,∵抛物线与x轴的两个交点之间距离为4,﹣1+2=1,﹣1﹣2=﹣3,∴抛物线经过(1,0),(﹣5,0),将(1,0)代入y=x2+2x+n得0=1+2+n,解得n=﹣3.∴y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴抛物线顶点坐标为(﹣1,﹣4),将(﹣1,﹣4)代入y=mx﹣3得﹣4=﹣m﹣3,解得m=1.27.(12分)(2021春•长沙期末)如图①,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B,与y轴交于点C,若OA=OC=2OB=2.(1)求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式;。

人教版九年级数学上册第24章 圆 压轴题专题练习题(含答案)

人教版九年级数学上册第24章 圆 压轴题专题练习题(含答案)

人教版九年级数学上册第24章圆压轴题专题练习题1.如图,AB是⊙O的直径,E,C是⊙O上两点,且弧EC=弧BC,连接AE,AC.过点C 作CD⊥AE交AE的延长线于点D.(1)判定直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=4,CD2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段A B上,⊙O交AB于点E,交AC于点F.(1)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.3.如图,AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,OC⊥OA,CO交AB于点P,交⊙O于点D,且CP=CB.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若∠A=30°,OP=1,求图中阴影部分的面积.4.如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,⊙O经过点A、C、D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交⊙O于点F.求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;(2)AF=EF.5.在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点P,∠ABC=63°.(Ⅰ)如图①,若∠APC=100°,求∠BAD和∠CDB的大小;(Ⅱ)如图②,若CD⊥AB,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线相交于点E,求∠E 的大小.6.如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两个点,弧AC=弧CD=弧DB,连接AD,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)若直径AB=6,求AD的长.7.如图,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,AD的延长线与过点B的切线交于点C,E为线段AD上的点,过点E的弦FG⊥AB于点H.(1)求证:∠C=∠AGD;(2)已知BC=6,CD=4,且CE=2AE,求EF的长.8.在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点.(Ⅰ)如图①,过点C作⊙O的切线,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小;(Ⅱ)如图②,D为弧AC上一点,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,连接AD,若AD=CD,∠P=30°,求∠CAP的大小.9.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若AC=3CD,BF=2,求⊙O的半径.10.如图1,AB是半圆O的直径,AC是一条弦,D是弧AC上一点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,连结BD交AC于点G,且AF=FG.(1)求证:点D平分弧AC;(2)如图2所示,延长BA至点H,使AH=AO,连结DH.若点E是线段AO的中点.求证:DH是⊙O的切线.11.如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.12.已知在△ABC中,BC⊥AB.AB是⊙O的弦,AC交⊙O于点D,且D为AC的中点,延长CB交⊙O于点E,连接AE.(I)如图①,若∠E=50°,求∠EAC的大小;(1)如图②,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.若CF=2CD,求∠CAB 的大小.13.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连接AC,BC,AD与⊙O相切于点A,交BC的延长线于点D,点E是劣弧BC的中点,连接AE,CE.(1)求证:∠DAC=∠AEC;(2)延长CE,AB交于点G,使得GB=12AB,若AC=2,求⊙O的半径.14.如图所示,△ABC是⊙O的内接三角形,过点B作⊙O的切线,与⊙O的直径CE所在的直线相交于点D,连接BE,其中BE=BD=3,∠D=30°.(1)求∠A的大小;(2)点A在圆上移动时,当△ABC与△BCD恰巧全等,求AE的长.15.点B是⊙O外一点,BP是∠ABC的角平分线,BA与⊙O的一个交点为D,过D作BP 的垂线交BP于E,交BC于F,交⊙O于G.(1)如图1,BC与⊙O交于点M和点N,当点G是弧MN的中点时,求证:BA是⊙O 的切线;(2)如图2,当BC过点O时,画出点O到BP的距离d,猜想线段FG与d有怎样的数量关系,并证明.参考答案1.如图,AB是⊙O的直径,E,C是⊙O上两点,且弧EC=弧BC,连接AE,AC.过点C 作CD⊥AE交AE的延长线于点D.(1)判定直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=4,CD【解答】(1)证明:连接OC,∵=,∴∠CAD=∠BAC,∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO,∴∠CAD=∠ACO,∴AD∥O C,∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线;(2)解:连接OE,连接BE交OC于F,∵弧EC=弧BC,∴OC⊥BE,BF=EF,∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠FED=∠D=∠EFC=90°,∴四边形DEFC是矩形,∴EF=CD∴BE=,∴AE===2,∴AE=12 AB,∴∠ABE=30°,∴∠AOE=60°,∴∠BOE=120°,∵弧EC=弧BC,∴∠COE=∠BOC=60°,连接CE,∵OE=OC,∴△COE是等边三角形,∴∠ECO=∠BOC=60°,∴CE∥AB,∴S△ACE=S△COE,∵∠OCD=90°,∠OCE=60°,∴∠DCE=30°,∴DE=3CD=1,∴AD=3,∴图中阴影部分的面积=S△ACD﹣S扇形COE=3﹣=﹣.2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,⊙O交AB于点E,交AC于点F.(1)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.【解答】解:(1)BC与⊙O相切,理由:连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,∵OD为半径,∴BC是⊙O切线;(2)连接DE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°,∵∠C=90°,∴∠ADE=∠C,∵∠EAD=∠DAC,∴△ADE∽△ACD,∴=,=,∴AC=,∴CD===,∵OD⊥BC,AC⊥BC,∴OD∥AC,∴△OBD∽△ABC,∴,∴=,∴BD=.3.如图,AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,OC⊥OA,CO交AB于点P,交⊙O于点D,且CP=CB.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若∠A=30°,OP=1,求图中阴影部分的面积.【解答】解:(1)CB与⊙O相切,理由:连接OB,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∵CP=CB,∴∠CPB=∠CBP,∵∠CPB=∠APO,∴∠CBP=∠APO,在Rt△AOP中,∵∠A+∠APO=90°,∴∠OBA+∠CBP=90°,即:∠OBC=90°,∴OB⊥CB,又∵OB是半径,∴CB与⊙O相切;(2)∵∠A=30°,∠AOP=90°,∴∠APO=60°,∴∠BPD=∠APO=60°,∵PC=CB,∴△PBC是等边三角形,∴∠PCB=∠CBP=60°,∴∠OBP=∠POB=30°,∴OP=PB=PC=1,∴BC=1,∴OB==,∴图中阴影部分的面积=S△OBC﹣S扇形OBD=1×﹣=﹣.4.如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,⊙O经过点A、C、D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交⊙O于点F.求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;(2)AF=EF.【解答】证明:(1)∵AC=BC,∴∠BAC=∠B,∵DF∥BC,∴∠ADF=∠B,∵∠BAC=∠CFD,∴∠ADF=∠CFD,∴BD∥CF,∵DF∥BC,∴四边形DBCF是平行四边形;(2)连接AE,∵∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,∴∠AEF=∠B,∵四边形AECF是⊙O的内接四边形,∴∠EC F+∠EAF=180°,∵BD∥CF,∴∠ECF+∠B=180°,∴∠EAF=∠B,∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF.5.在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点P,∠ABC=63°.(Ⅰ)如图①,若∠APC=100°,求∠BAD和∠CDB的大小;(Ⅱ)如图②,若CD⊥AB,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线相交于点E,求∠E的大小.【解答】解:(1)∵∠APC是△PBC的一个外角,∴∠C=∠APC﹣∠ABC=100°﹣63°=37°,由圆周角定理得:∠BAD=∠C=37°,∠ADC=∠ABC=63°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB=∠ADB﹣∠ADC=90°﹣63°=27°;(2)连接OD,如图②所示:∵CD⊥AB,∴∠CPB=90°,∴∠PCB=90°﹣∠ABC=90°﹣63°=27°,∵DE是⊙O的切线,∴DE⊥OD,∴∠ODE=90°,∵∠BOD=2∠PCB=54°,∴∠E=90°﹣∠BOD=90°﹣54°=36°.6.如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两个点,==,连接AD,过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)若直径AB=6,求AD的长.【解答】(1)证明:连接OD,∵==,∴∠BOD=180°=60°,∵=,∴∠EAD=∠DAB=BOD=30°,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAB=30°,∵DE⊥AC,∴∠E=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°,∴∠EDA=60°,∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线;(2)解:连接BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠DAB=30°,AB=6,∴BD=AB=3,∴AD==3.7.如图,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,AD的延长线与过点B的切线交于点C,E为线段AD上的点,过点E的弦FG⊥AB于点H.(1)求证:∠C=∠AGD;(2)已知BC=6,CD=4,且CE=2AE,求EF的长.【解答】(1)证明:如图1,连接BD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∵BC是⊙O的切线,∴∠C+∠CAB=90°,∴∠C=∠ABD,∵∠AGD=∠ABD,∴∠AGD=∠C;(2)解:∵∠BDC=∠ABC=90°,∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,∴,∴=,∴AC=9,∴AB==3,∵CE=2AE,∴AE=3,CE=6,∵FH⊥AB,∴FH∥BC,∴△AHE∽△ABC,∴,∴==,∴AH=,EH=2,如图2,连接AF,BF,∵AB是⊙O的直径,∴∠AFB=90°,∴∠AEH+∠BFH=∠AFH+∠F AH=90°,∴∠F AH=∠BFH,∴△AFH∽△FBH,∴=,∴=,∴EF=﹣2.8.在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点.(Ⅰ)如图①,过点C作⊙O的切线,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小;(Ⅱ)如图②,D为上一点,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,连接AD,若AD=CD,∠P=30°,求∠CAP的大小.【解答】解:(Ⅰ)如图①,连接OC,∵⊙O与PC相切于点C,∴OC⊥PC,即∠OCP=90°,∵∠CAB=27°,∴∠COB=2∠CAB=54°,在Rt△AOE中,∠P+∠COP=90°,∴∠P=90°﹣∠COP=36°;(Ⅱ)连接OC,OD,∵AD=CD,∴∠AOD=∠COD,∵OA=OD=OC,∴∠OAD=∠ADO=∠ODC=∠DCO,∵∠P=30°,∴∠P AD+∠ADP=150°,∴∠COP=∠DCO﹣∠P=20°,∵∠CAP=COP,∴∠CAP=10°.9.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AC 于点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若AC=3CD,BF=2,求⊙O的半径.【解答】(1)证明:连接OD,∵AB=AC,∴∠C=∠OBD,∵OD=OB,∴∠1=∠OBD,∴∠1=∠C,∴OD∥AC,∵EF⊥AC,∴EF⊥OD,∴EF是⊙O的切线;(2)∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC,∵AC=AB,∴CD=BD,∵AC=3CD,∴AB=3BD,设BD=x,则AB=3x,∴AD=2x,∵∠BDF+∠1=∠ADO+∠1=90°,∴∠BDF=∠ADO,∵AO=OD,∴∠OAD=∠ADO,∴∠BDF=∠DAF,∵∠F=∠F,∴△ADF∽△DBF,∴=,∴==,∴DF=4,x=2,∴AB=14,∴⊙O的半径为7.10.如图1,AB是半圆O的直径,AC是一条弦,D是上一点,DE⊥AB于点E,交AC 于点F,连结BD交AC于点G,且AF=FG.(1)求证:点D平分;(2)如图2所示,延长BA至点H,使AH=AO,连结DH.若点E是线段AO的中点.求证:DH是⊙O的切线.【解答】证明:(1)如图1,连接AD、BC,∵AB是半圆O的直径,∴∠ADB=90°,∵DE⊥AB,∴∠ADE=∠ABD,又∵AF=FG,即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点,∴DF=AF,∴∠DAF=∠ADF=∠ABD,又∵∠DAC=∠DBC,∴∠ABD=∠DBC,∴=,∴即点D平分;(2)如图2所示,连接OD、AD,∵点E是线段OA的中点,∴,∴∠AOD=60°,∴△OAD是等边三角形,∴AD=AO=AH,∴△ODH是直角三角形,且∠HDO=90°,∴DH是⊙O的切线.11.如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.【解答】(1)证明:∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,在Rt△CBA与Rt△DAB中,,∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL);(2)解:∵BE=BF,由(1)知BC⊥EF,∴∠E=∠BFE,∵BE是半圆O所在圆的切线,∴∠ABE=90°,∴∠E+∠BAE=90°,由(1)知∠D=90°,∴∠DAF+∠AFD=90°,∵∠AFD=∠BFE,∴∠AFD=∠E,∵∠DAF=90°﹣∠AFD,∠BAF=90°﹣∠E,∴∠DAF=∠BAF,∴AC平分∠DAB.12.已知在△ABC中,BC⊥AB.AB是⊙O的弦,AC交⊙O于点D,且D为AC的中点,延长CB交⊙O于点E,连接AE.(I)如图①,若∠E=50°,求∠EAC的大小;(1)如图②,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.若CF=2CD,求∠CAB 的大小.【解答】解:(1)连接ED,如图1,∵△ABC是直角三角形,∴∠ABC=90°,∴∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径,∴ED⊥AC,∵AD=DC,∴AE=CE,∴∠AED=∠CED=AEC==25°,∴∠EAC=90°﹣∠AED=90°﹣25°=65°;(2)连接ED,如图2,∵D为AC的中点,∴∠ABE=90°,∴AE是直径,∵EF是⊙OO的切线,∴∠AEF=90°,∵D为AC的中点,∴AC=2CD,∵CF=2CD,∴AC=CF,∴CE==AC,由(1)得AE=CE,∴AE=CE=AC,∴∠EAC=60°,∵AB⊥EC,∴∠CAB==30°13.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连接AC,BC,AD与⊙O相切于点A,交BC的延长线于点D,点E是劣弧BC的中点,连接AE,CE.(1)求证:∠DAC=∠AEC;(2)延长CE,AB交于点G,使得GB=AB,若AC=2,求⊙O的半径.【解答】(1)证明:∵AD是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴AD⊥AB.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.即AC⊥BD.∴∠DAC=∠ABC=∠AEC.即∠DAC=∠AEC.(2)解:过B作BF∥AC,交CG于F,连接OE.∵BG=AB,AC=2,∴BF=AC=×2=.∵点E是弧BC的中点,∴OE⊥BC.∵AC⊥BD,∴OE∥AC.∵O是AB的中点,∴OE是梯形ABFC的中位线.∴OE=.所以⊙O的半径为.14.如图所示,△ABC是⊙O的内接三角形,过点B作⊙O的切线,与⊙O的直径CE所在的直线相交于点D,连接BE,其中BE=BD=3,∠D=30°.(1)求∠A的大小;(2)点A在圆上移动时,当△ABC与△BCD恰巧全等,求AE的长.【解答】解:(1)∵BE=BD,∠D=30°,∴∠BEC=∠D=30°,∴∠A=∠E=30°;(2)连接OB,∵DB是⊙O的切线,∴∠CBD=∠E=30°,∴BC=CD,当△ABC≌△DCB时,AB=CD,∴AB=BC,∴∠ACB=∠A=30°,∵CE是⊙O的直径,∴∠EBC=90°,∵∠E=30°,∴∠BCE=60°,∴∠ACE=30°,∵CE是⊙O的直径,∴∠EAC=90°,∴AE=EC,在Rt△EBC中,∠E=30°,则BE=EC,∵BE=3,∴EC=2,∴AE=CE=;当△ABC≌△DBC时,同理证得∠ACE=60°,AE=EC=3,综上,AE的长为或3.15.点B是⊙O外一点,BP是∠ABC的角平分线,BA与⊙O的一个交点为D,过D作BP 的垂线交BP于E,交BC于F,交⊙O于G.(1)如图1,BC与⊙O交于点M和点N,当点G是的中点时,求证:BA是⊙O的切线;(2)如图2,当BC过点O时,画出点O到BP的距离d,猜想线段FG与d有怎样的数量关系,并证明.【解答】(1)证明:连接OD,OG,∵BP是∠ABC的角平分线,∴∠DBE=∠FBE,∵DG⊥BP,∴∠BED=∠BEF=90°,∵BE=BE,∴△DBE≌△FBE(ASA),∴∠BDE=∠BFE,∵∠BFE=∠GFN,∴∠GFN=∠BDE,∵点G是的中点,∴OG⊥MN,∴∠G+∠GFN=90°,∵OD=OG,∴∠G=∠ODG,∴∠ODG+∠BDF=90°,∴∠BDO=90°,∴BA是⊙O的切线;(2)解:FG=2d,过O作OH⊥BP于H,交AB于M,∴∠BHM=∠BHO=90°,∵BP是∠ABC的角平分线,∴∠MHB=∠OHB,∵DG⊥BP,∵BH=BH,∴△MBH≌△OBH(ASA),∴OH=HM,∠BMH=∠BOH,∴OM=2OH,连接OD,OG,∵OD=OG,∴∠ODG=∠OGD,∵OM⊥AB,DG⊥AB,∴OM∥DG,∴∠ODG=∠DOM,∠BOM=∠BFD,∴∠DOM=∠G,∴∠BMO=∠DFO,∴∠DMO=∠OFG,∵OD=OG,∴△ODM≌△GOF(AAS),∴OM=FG,∴FG=2OH,即FG=2d,。

九年级上册压轴题数学考试试卷精选含详细答案

九年级上册压轴题数学考试试卷精选含详细答案

九年级上册压轴题数学考试试卷精选含详细答案一、压轴题1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,与轴交于点,的解析式为,若将抛物线平移,使平移后的抛物线经过点, 对称轴为直线,抛物线与轴的另一个交点是,顶点是,连结.(1)求抛物线的解析式; (2)求证:∽(3)半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到,运动速度为1单位/秒,运动时间为秒,⊙绕着点顺时针旋转得⊙,随着⊙的运动,求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.2.已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -,点(3,0)B ,与y 轴交于点(0,3)C ,顶点为点D .(1)求抛物线的解析式;(2)若过点C 的直线交线段AB 于点E ,且:3:5ACECEBS S=,求直线CE 的解析式(3)若点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时,求点P 的坐标; (4)已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫⎪⎝⎭,在抛物线对称轴上找一点F ,使HF AF +的值最小此时,在抛物线上是否存在一点K ,使KF KG +的值最小,若存在,求出点K 的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图,抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ,顶点为B ,对称轴2x =与x 轴相交于点A ,D 为线段BC 的中点.(1)求抛物线的解析式;(2)P 为线段BC 上任意一点,M 为x 轴上一动点,连接MP ,以点M 为中心,将MPC 逆时针旋转90︒,记点P 的对应点为E ,点C 的对应点为F .当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时,求点M 的坐标. (3)MPC 在(2)的旋转变换下,若2PC =(如图).①求证:EA ED =.②当点E 在(1)所求的抛物线上时,求线段CM 的长. 4.二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ,顶点为P ,直线PA 与x 轴交于点B .(1)当m =1时,求顶点P 的坐标; (2)若点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象上,且0b m ->,试求a 的取值范围;(3)在第一象限内,以AB 为边作正方形ABCD . ①求点D 的坐标(用含m 的代数式表示);②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,请直接写出符合条件的整数m 的值.5.已知抛物线2y ax bx c =++经过原点,与x 轴相交于点F ,直线132y x =+与抛物线交于()()2266A B -,,,两点,与x 轴交于点C ,与y 轴交于点D ,点E 是线段OC 上的一个动点(不与端点重合),过点E 作//EG BC 交BF 于点C ,连接DE DG ,.(1)求抛物线的解析式及点F 的坐标; (2)当DEG ∆的面积最大时,求线段EF 的长;(3)在(2)的条件下,若在抛物线上有一点()4H n ,和点P ,使EHP ∆为直角三角形,请直接写出点P 的坐标.6.如图,直线l :y =﹣3x +3与x 轴,y 轴分别相交于A 、B 两点,抛物线y =﹣x 2+2x +b 经过点B .(1)该抛物线的函数解析式;(2)已知点M 是抛物线上的一个动点,并且点M 在第一象限内,连接AM 、BM ,设点M 的横坐标为m ,△ABM 的面积为S ,求S 与m 的函数表达式,并求出S 的最大值; (3)在(2)的条件下,当S 取得最大值时,动点M 相应的位置记为点M '. ①写出点M '的坐标;②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ',当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l '与线段BM '交于点C ,设点B ,M '到直线l '的距离分别为d 1,d 2,当d 1+d 2最大时,求直线l '旋转的角度(即∠BAC 的度数).7.如图1,在Rt ABC △中,90A ∠=︒,AB AC =,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD AE =,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.(1)观察猜想:图1中,线段PM 与PN 的数量关系是_________,位置关系是_________;(2)探究证明:把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断PMN 的形状,并说明理由;(3)拓展延伸:把ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若4=AD ,10AB =,请直接写出PMN 面积的最大值.8.已知抛物线y =ax 2+bx+c(a >0),顶点D 在y 轴上,与x 6 (1)求a 、c 满足的关系式;(2)若直线y =kx-2a 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧),以AB 为直径的圆恒过点D .①求抛物线的解析式;②设直线y =kx-2a 与y 轴交于点M 、直线l 1:y =px+q 过点B ,且与抛物线只有一个公共点,过点D 作x 轴的平行线l 2,l 1与l 2交于点N .分别记BDM 、NDM 的面积为S 1,S 2,求12S S . 9.如图,抛物线26y ax x c =-+交x 轴于, A B 两点,交y 轴于点C .直线5y x =-+经过点,B C .(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ,连接,AC AP ,判定APC △的形状,并说明理由;(3)在直线BC 上是否存在点M ,使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.10.⊙O 是四边形ABCD 的外接圆,OB AC ⊥,OB 与AC 相交于点H ,21012BC AC CD ===,.(1)求⊙O 的半径; (2)求AD 的长;(3)若E 为弦CD 上的一个动点,过点E 作EF//AC ,EG//AD . EF 与AD 相交于点F ,EG 与AC 相交于点G .试问四边形AGEF 的面积是否存在最大值?若存在,求出最大面积;若不存在,请说明理由.11.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数(0)my x x=>的图象上,顶点C 、D 在函数(0)ny x x=>的图象上,其中0m n <<,对角线//BD y 轴,且BD AC ⊥于点P .已知点B 的横坐标为4.(1)当4m =,20n =时,①点B 的坐标为________,点D 的坐标为________,BD 的长为________. ②若点P 的纵坐标为2,求四边形ABCD 的面积. ③若点P 是BD 的中点,请说明四边形ABCD 是菱形.(2)当四边形ABCD 为正方形时,直接写出m 、n 之间的数量关系.12.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4.P是对角线BD上的一个动点(点P不与点B、D 重合),过点P作PF⊥BD,交射线BC于点F.联结AP,画∠FPE=∠BAP,PE交BF于点E.设PD=x,EF=y.(1)当点A、P、F在一条直线上时,求△ABF的面积;(2)如图1,当点F在边BC上时,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域;(3)联结PC,若∠FPC=∠BPE,请直接写出PD的长.13.如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为OC上动点(与点O不重合),作AF⊥BE,垂足为G,交BO于H.连接OG、CG.(1)求证:AH=BE;(2)试探究:∠AGO 的度数是否为定值?请说明理由;(3)若OG⊥CG,BG=32,求△OGC的面积.14.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线AB经过点A(﹣2,0),与y轴的正半轴交于点B,且OA=2OB.(1)求直线AB的函数表达式;(2)点C在直线AB上,且BC=AB,点E是y轴上的动点,直线EC交x轴于点D,设点E的坐标为(0,m)(m>2),求点D的坐标(用含m的代数式表示);(3)在(2)的条件下,若CE:CD=1:2,点F是直线AB上的动点,在直线AC上方的平面内是否存在一点G ,使以C ,G ,F ,E 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点G 的坐标;若不存在,请说明理由.15.如图,在平面直角坐标系xOy 中,过⊙T 外一点P 引它的两条切线,切点分别为M ,N ,若60180MPN ︒︒≤∠<,则称P 为⊙T 的环绕点.(1)当⊙O 半径为1时,①在123(1,0),(1,1),(0,2)P P P 中,⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ,y 轴交于点B ,若线段AB 上存在⊙O 的环绕点,求b 的取值范围;(2)⊙T 的半径为1,圆心为(0,t ),以3,(0)3m m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为圆心,33m 为半径的所有圆构成图形H ,若在图形H 上存在⊙T 的环绕点,直接写出t 的取值范围.16.如图,在直角ABC ∆中,90C ∠=︒,5AB =,作ABC ∠的平分线交AC 于点D ,在AB 上取点O ,以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F (异于点B ).(1)求证:AC 是O 的切线;(2)若点E 恰好是AO 的中点,求BF 的长; (3)若CF 的长为34. ①求O 的半径长;②点F 关于BD 轴对称后得到点F ',求BFF '∆与DEF '∆的面积之比. 17.已知,在平面直角坐标系中,二次函数212y x bx c =++的图象与x 轴交于点A B ,,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为()3,0-,点B 的坐标为()1,0.(1)如图1,分别求b c 、的值;(2)如图2,点D 为第一象限的抛物线上一点,连接DO 并延长交抛物线于点E ,3OD OE =,求点E 的坐标;(3)在(2)的条件下,点P 为第一象限的抛物线上一点,过点P 作PH x ⊥轴于点H ,连接EP 、EH ,点Q 为第二象限的抛物线上一点,且点Q 与点P 关于抛物线的对称轴对称,连接PQ ,设2AHE EPH α∠+∠=,tan PH PQ α=⋅,点M 为线段PQ 上一点,点N 为第三象限的抛物线上一点,分别连接MH NH 、,满足60MHN ∠=︒,MH NH =,过点N 作PE 的平行线,交y 轴于点F ,求直线FN 的解析式.18.在平面直角坐标系xoy 中,点A (-4,-2),将点A 向右平移6个单位长度,得到点B .(1)若抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A ,B ,求此时抛物线的表达式;(2)在(1)的条件下的抛物线顶点为C ,点D 是直线BC 上一动点(不与B ,C 重合),是否存在点D ,使△ABC 和以点A ,B ,D 构成的三角形相似?若存在,请求出此时D 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若抛物线y =-x 2+bx +c 的顶点在直线y =x +2上移动,当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时,求抛物线顶点横坐标t 的取值范围.19.如图①,在矩形ABCD 中,3AB =cm ,AD AB >,点E 从点A 出发,沿射线AC以a (cm/s)的速度匀速移动.连接DE ,过点E 作EF DE ⊥,EF 与射线BC 相交于点F ,作矩形DEFG ,连接CG .设点E 移动的时间为t (s),CDE ∆的面积为S (cm 2), S 与t 的函数关系如图②所示.(1) a = ;(2)求矩形DEFG 面积的最小值; (3)当CDG ∆为等腰三角形时,求t 的值.20.公司经销某种商品,经研究发现,这种商品在未来40天的销售单价1y (元/千克)关于时间t 的函数关系式分别为11602y t =-+(040t <≤,且t 为整数); ()()21030,3033040,20t t t y t t ⎧<≤-+⎪=⎨<≤⎪⎩且为整数且为整数,他们的图像如图1所示,未来40天的销售量m (千克)关于时间t 的函数关系如图2的点列所示.(1)求m 关于t 的函数关系式;(2)那一天的销售利润最大,最大利润是多少?(3)若在最后10天,公司决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”,且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支,求a 的最大值(精确到0.01元).【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1)(2)证明见解析(3)P1的运动路径长为8,运动时间为5秒或7秒。

最新初三九年级上册数学压轴题(Word版 含解析)

最新初三九年级上册数学压轴题(Word版 含解析)

最新初三九年级上册数学压轴题(Word 版 含解析)一、压轴题1.如图,在矩形ABCD 中,AB=20cm ,BC=4cm ,点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动,点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动,如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,当其中一点到达D 时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t (秒)(1)t 为何值时,四边形APQD 为矩形.(2)如图(2),如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ,那么t 为何值时,⊙P 和⊙Q 外切? 2.研究发现:当四边形的对角线互相垂直时,该四边形的面积等于对角线乘积的一半,如图1,已知四边形ABCD 内接于O ,对角线AC BD =,且AC BD ⊥.(1)求证:AB CD =; (2)若O 的半径为8,弧BD 的度数为120︒,求四边形ABCD 的面积;(3)如图2,作OM BC ⊥于M ,请猜测OM 与AD 的数量关系,并证明你的结论. 3.如图,已知矩形ABCD 中,BC =2cm ,AB =23cm ,点E 在边AB 上,点F 在边AD 上,点E 由A 向B 运动,连结EC 、EF ,在运动的过程中,始终保持EC ⊥EF ,△EFG 为等边三角形.(1)求证△AEF ∽△BCE ;(2)设BE 的长为xcm ,AF 的长为ycm ,求y 与x 的函数关系式,并写出线段AF 长的范围;(3)若点H 是EG 的中点,试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上,并求在点E 由A 到B 运动过程中,点H 移动的距离.4.已知,如图Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 为AC 的中点,Q 从点A运动到B ,点Q 运动到点B 停止,连接PQ ,取PQ 的中点O ,连接OC ,OB . (1)若△ABC ∽△APQ ,求BQ 的长;(2)在整个运动过程中,点O 的运动路径长_____;(3)以O 为圆心,OQ 长为半径作⊙O ,当⊙O 与AB 相切时,求△COB 的面积.5. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P 为边BC 上一个动点(可以包括点C 但不包括点B ),以P 为圆心PB 为半径作⊙P 交AB 于点D 过点D 作⊙P 的切线交边AC 于点E ,(1)求证:AE=DE ; (2)若PB=2,求AE 的长;(3)在P 点的运动过程中,请直接写出线段AE 长度的取值范围.6.平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的顶点A ,C 的坐标分别为(2,0),(0,3),点D 是经过点B ,C 的抛物线2y x bx c =-++的顶点. (1)求抛物线的解析式;(2)点E 是(1)中抛物线对称轴上一动点,求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标; (3)平移抛物线,使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动,若平移后的抛物线与射线..BD 只有一个公共点,直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围.7.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx ﹣3与直线y =x +3交于点A (m ,0)和点B (2,n ),与y 轴交于点C .(1)求m ,n 的值及抛物线的解析式;(2)在图1中,把△AOC 平移,始终保持点A 的对应点P 在抛物线上,点C ,O 的对应点分别为M ,N ,连接OP ,若点M 恰好在直线y =x +3上,求线段OP 的长度; (3)如图2,在抛物线上是否存在点Q (不与点C 重合),使△QAB 和△ABC 的面积相等?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.8.抛物线G :2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于C (0,-1),且AB =4OC .(1)直接写出抛物线G 的解析式: ;(2)如图1,点D (-1,m )在抛物线G 上,点P 是抛物线G 上一个动点,且在直线OD 的下方,过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ,当线段PQ 取最大值时,求点P 的坐标;(3)如图2,点M 在y 轴左侧的抛物线G 上,将点M 先向右平移4个单位后再向下平移,使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上,若S △CMN =2,求点M 的坐标.9.如图,抛物线y =x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点,其中点A 坐标为(1,0),与y 轴交于点C (0,﹣3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,连接AC ,点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点,点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点,直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N .请问DM +DN 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.(3)如图2,点P 为抛物线上一动点,且满足∠PAB =2∠ACO .求点P 的坐标. 10.如图,抛物线y =ax 2-4ax +b 交x 轴正半轴于A 、B 两点,交y 轴正半轴于C ,且OB =OC =3.(1) 求抛物线的解析式;(2) 如图1,D 为抛物线的顶点,P 为对称轴左侧抛物线上一点,连接OP 交直线BC 于G ,连GD .是否存在点P ,使2GDGO?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 如图2,将抛物线向上平移m 个单位,交BC 于点M 、N .若∠MON =45°,求m 的值.11.对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角.如图1,对于线段AB 及线段AB 外一点C ,我们称∠ACB 为点C 关于线段AB 的视角. 如图2,点Q 在直线l 上运动,当点Q 关于线段AB 的视角最大时,则称这个最大的“视角”为直线l 关于线段AB 的“视角”.(1)如图3,在平面直角坐标系中,A (0,4),B (2,2),点C 坐标为(﹣2,2),点C 关于线段AB 的视角为 度,x 轴关于线段AB 的视角为 度;(2)如图4,点M 是在x 轴上,坐标为(2,0),过点M 作线段EF ⊥x 轴,且EM =MF =1,当直线y =kx (k ≠0)关于线段EF 的视角为90°,求k 的值;(3)如图5,在平面直角坐标系中,P 3,2),Q 3,1),直线y =ax +b (a >0)与x 轴的夹角为60°,且关于线段PQ 的视角为45°,求这条直线的解析式. 12.矩形ABCD 中,AB =2,AD =4,将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF (其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应).(1)如图1,当点G 落在AD 边上时,直接写出AG 的长为 ; (2)如图2,当点G 落在线段AE 上时,AD 与CG 交于点H ,求GH 的长;(3)如图3,记O为矩形ABCD对角线的交点,S为△OGE的面积,求S的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1)4;(2)t为4s,203s,283s时,⊙P与⊙Q外切.【解析】试题分析:(1)四边形APQD为矩形,也就是AP=DQ,分别用含t的代数式表示,解即可;(2)主要考虑有四种情况,一种是P在AB上,一种是P在BC上时.一种是P在CD上时,又分为两种情况,一种是P在Q右侧,一种是P在Q左侧.并根据每一种情况,找出相等关系,解即可.试题解析:(1)根据题意,当AP=DQ时,四边形APQD为矩形.此时,4t=20-t,解得t=4(s).答:t为4时,四边形APQD为矩形(2)当PQ=4时,⊙P与⊙Q外切.①如果点P在AB上运动.只有当四边形APQD为矩形时,PQ=4.由(1),得t=4(s);②如果点P在BC上运动.此时t≥5,则CQ≥5,PQ≥CQ≥5>4,∴⊙P与⊙Q外离;③如果点P在CD上运动,且点P在点Q的右侧.可得CQ=t,CP=4t-24.当CQ-CP=4时,⊙P与⊙Q外切.此时,t-(4t-24)=4,解得t=203(s);④如果点P在CD上运动,且点P在点Q的左侧.当CP-CQ=4时,⊙P与⊙Q外切.此时,4t-24-t=4,解得t=283(s),∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s,点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s,而283<11,∴当t为4s,203s,283s时,⊙P与⊙Q外切.考点:1.矩形的性质;2.圆与圆的位置关系.2.(1)见解析;(2)96;(3)AD=2OM,理由见解析【解析】【分析】(1)根据弦、弧、圆心角的关系证明;(2)根据弧BD的度数为120°,得到∠BOD=120°,利用解直角三角形的知识求出BD,根据题意计算即可;(3)连结OB、OC、OA、OD,作OE⊥AD于E,如图3,根据垂径定理得到AE=DE,再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC,∠AOE=∠ABD,再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE,则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE,证明结论.【详解】解:(1)证明:∵AC=BD,∴AC BD,则AB DC,∴AB=CD;(2)如图1,连接OB、OD,作OH⊥BD于H,∵弧BD的度数为120°,∴∠BOD=120°,∴∠BOH=60°,则BH=3OB=43,∴BD=83,则四边形ABCD的面积=12×AC×BD=96;(3)AD=2OM,连结OB、OC、OA、OD,作OE⊥AD于E,如图2,∵OE⊥AD,∴AE=DE,∵∠BOC=2∠BAC,而∠BOC=2∠BOM,∴∠BOM=∠BAC,同理可得∠AOE=∠ABD,∵BD⊥AC,∴∠BAC+∠ABD=90°,∴∠BOM+∠AOE=90°,∵∠BOM+∠OBM=90°,∴∠OBM=∠AOE,在△BOM和△OAE中,OMB OEAOBM OAEOB OA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BOM≌△OAE(AAS),∴OM=AE,∴AD=2OM.【点睛】本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键.3.(1)详见解析;(2)21y32x x=-,32AF≤≤;(3)3.【解析】【分析】(1)由∠A=∠B=90°,∠AFE=∠BEC,得△AEF∽△BCE;(2)由(1)△AEF∽BCE得AF AEBE BC=,232y xx=,即2132y x x=-+,然后求函数最值;(3)连接FH,取EF的中点M,证MA=ME=MF=MH,则A、E、H、F在同一圆上;连接AH,证∠EFH=30°由A、E、H、F在同一圆上,得∠EAH=∠EFH=30°,线段AH即为H移动的路径,在直角三角形ABH中,3602AHsinAB=︒=,可进一步求AH.【详解】解:(1)在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,∴∠AEF+∠AFE=90°,∵EF⊥CE,∴∠AEF+∠BEC=90°,∴∠AFE =∠BEC , ∴△AEF ∽△BCE ; (2)由(1)△AEF ∽BEC 得AF AE BE BC =,23y xx -=, ∴2132y x x =-+, ∵2132y x x =-+=213(3)22x --+, 当3x =时,y 有最大值为32, ∴302AF ≤≤; (3)如图1,连接FH ,取EF 的中点M , 在等边三角形EFG 中,∵点H 是EG 的中点, ∴∠EHF =90°, ∴ME =MF =MH ,在直角三角形AEF 中,MA =ME =MF , ∴MA =ME =MF =MH , 则A 、E 、H 、F 在同一圆上; 如图2,连接AH ,∵△EFG 为等边三角形,H 为EG 中点,∴∠EFH =30° ∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°, 如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径,在直角三角形ABH 中,360AH sin AB =︒=, ∵AB =23 ∴AH =3,所以点H 移动的距离为3. 【点睛】此题主要考查圆的综合问题,会证明三角形相似,会分析四点共圆,会运用二次函数分析最值,会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键.4.(1)BQ=8.2cm ;(2)5cm ;(3)S △BOC =39625. 【解析】 【分析】(1)根据ABC APQ ∆~∆得AC ABAQ AP=,从而得到AQ 的长即可求出BQ 的长; (2)由点Q 与点A 重合和点Q 与点B 重合时,可以确定点O 的位置,再根据点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时,由点O 是PQ 的中点,点F 是PB 的中点可知OF 是PBQ ∆的中位线,从而得到点O 的运动轨迹是APB ∆的 中位线,即线段EF ,即可求得答案;(3)连接AO ,过点O 作ON AC ⊥ ,先证明APQ ABC ∆~∆得到AQ AP PQAC AB BC== ,所以求得,AQ PQ 的值,且OP OQ =,再证明PON PAQ ∆~∆得到ON POAQ PA=,求得ON 的值,再根据BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--即可求得答案;【详解】解:(1)如图1所示,∵90,6,8C AC cm BC cm ∠=== ∴10AB cm = 又∵点P 为AC 的中点, ∴3AP cm = ∵ABC APQ ∆~∆ ∴AC AB AQ AP = ,即6103AQ = 解之得: 1.8AQ = 则8.2BQ AB AQ cm =-= (2)如图2,当点Q 与点A 重合时,点O 位于点E 的位置, 当点Q 与点B 重合时,点O 位于点F 的位置, 则EF 是△APB 的中位线, ∴EF ∥AB ,且EF =12AB =5,152EF AB == 而当点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时, ∵点O 是PQ 中点,点F 是PB 的中点, ∴OF 是△PBQ 的中位线, ∴OF ∥BQ ,∴点O 的运动轨迹是线段EF , 则点O 的运动路径长是5cm ; 故答案为5cm .(3)如图3,连接AO ,过点O 作ON AC ⊥于点N ,∵⊙O 与AB 相切,∴PQ AB ⊥ ,即90AQP ∠= , ∵,90PAQ BAC ACB AQP ∠=∠∠=∠= ∴APQ ABC ∆~∆ ∴AQ AP PQ AC AB BC == ,即36108AQ PQ== 解之得: 912,55AQ PQ == 则65OP OQ ==∵ON AC ⊥∴90PNO PQA ∠=∠= 又∵OPN APQ ∠=∠∴PON PAQ ∆~∆,∴ON PO AQ PA=,即65935ON=,解之得:1825ON=则BOC ABC AOB AOCS S S S∆∆∆∆=--111•••222BC AC AB OQ AC ON=--11611868106225225=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯39625=【点睛】本题主要考查了相似三角形和圆的综合问题,掌握圆的切线判定、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、割补法求面积等知识点是解题关键.5.(1)详见解析;(2)AE=194;(3)74≤AE<254.【解析】【分析】(1)首先得出∠ADE+∠PDB=90°,进而得出∠B+∠A=90°,利用PD=PB得∠EDA=∠A进而得出答案;(2)利用勾股定理得出ED2+PD2=EC2+CP2=PE2,求出AE即可;(3)分别根据当D(P)点在B点时以及当P与C重合时,求出AE的长,进而得出AE的取值范围.【详解】(1)证明:如图1,连接PD.∵DE切⊙O于D.∴PD⊥DE.∴∠ADE+∠PDB=90°.∵∠C=90°.∴∠B+∠A=90°.∵PD=PB.∴∠PDB=∠B.∴∠A=∠ADE.∴AE=DE;(2)解:如图1,连接PE,设DE=AE=x,则EC=8-x,∵PB=PD=2,BC=6.∴PC=4.∵∠PDE=∠C=90°,∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2.∴x2+22=(8-x)2+42.解得x=194.∴AE=194;(3)解:如图2,当P点在B点时,此时点D也在B点,∵AE=ED,设AE=ED=x,则EC=8-x,∴EC2+BC2=BE2,∴(8-x)2+62=x2,解得:x=254,如图3,当P与C重合时,∵AE=ED ,设AE=ED=x ,则EC=8-x ,∴EC 2=DC 2+DE 2,∴(8-x )2=62+x 2,解得:x=74, ∵P 为边BC 上一个动点(可以包括点C 但不包括点B ), ∴线段AE 长度的取值范围为:74≤AE <254. 【点睛】本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识,利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键.6.(1)2y x 2x 3=-++;(2)3(1,)2;(3)14m <≤或78m =【解析】【分析】(1)根据题意可得出点B 的坐标,将点B 、C 的坐标分别代入二次函数解析式,求出b 、c 的值即可.(2)在对称轴上取一点E ,连接EC 、EB 、EA ,要使得EAB 的周长最小,即要使EB+EA 的值最小,即要使EA+EC 的值最小,当点C 、E 、A 三点共线时,EA+EC 最小,求出直线AC 的解析式,最后求出直线AC 与对称轴的交点坐标即可.(3)求出直线CD 以及射线BD 的解析式,即可得出平移后顶点的坐标,写出二次函数顶点式解析式,分类讨论,如图:①当抛物线经过点B 时,将点B 的坐标代入二次函数解析式,求出m 的值,写出m 的范围即可;②当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时,将抛物线解析式与射线解析式联立可得关于x 的一元二次方程,要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点,即要使一元二次方程有两个相等的实数根,即0∆=,列式求出m 的值即可.【详解】(1)矩形OABC , ∴OC=AB ,A(2,0),C(0,3),∴OA=2,OC=3,∴B(2,3),将点B ,C 的坐标分别代入二次函数解析式,4233b c c -++=⎧⎨=⎩, ∴23b c =⎧⎨=⎩, ∴抛物线解析式为:2y x 2x 3=-++.(2)如图,在对称轴上取一点E,连接EC 、EB 、EA ,当点C 、E 、A 三点共线时,EA+EC 最小,即EAB 的周长最小,设直线解析式为:y =kx +b ,将点A 、C 的坐标代入可得:203k b b +=⎧⎨=⎩, 解得:323k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴一次函数解析式为:3=32y x -+. 2y x 2x 3=-++=2(1)4x -+-,∴D(1,4),令x =1,y =332-+=32. ∴E(1,32).(3)设直线CD 解析式为:y =kx +b ,C(0,3),D(1,4),∴43k b b +=⎧⎨=⎩, 解得13k b =⎧⎨=⎩, ∴直线CD 解析式为:y =x +3,同理求出射线BD 的解析式为:y =-x +5(x ≤2),设平移后的顶点坐标为(m ,m +3),则抛物线解析式为:y =-(x -m )2+m +3,①如图,当抛物线经过点B 时,-(2-m )2+m +3=3,解得m =1或4,∴当1<m ≤4时, 平移后的抛物线与射线只有一个公共点;②如图,当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时,将抛物线解析式与射线解析式联立可得:-(x -m )2+m +3=-x +5,即x 2-(2m +1)x +m 2-m +2=0,要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点,即要使一元二次方程有两个相等的实数根,∴22[(21)]4(2)0m m m ∆=-+⨯-+=-,解得78m =. 综上所述,14m <≤或78m =时,平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点.【点睛】本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题,一般作为压轴题,主要考查了图形的轴对称、二次函数的平移、函数解析式的求解以及二次函数与一元二次方程的关系,本题关键在于:①将三角形的周长最小问题转化为两线段之和最小问题,利用轴对称的性质解题;②将二次函数与一次函数的交点个数问题转化为一元二次方程实数根的个数问题.7.(1)y=x2+2x﹣3,m=﹣3,n=5;(2)17413)存在;Q点坐标为(﹣1,﹣4)或(3,12)或(﹣4,5),理由见解析【解析】【分析】(1)把点A(m,0)和点B(2,n)代入直线y=x+3,解得:m=﹣3,n=5,A(﹣3,0)、B(2,5),把A、B坐标代入抛物线解析式即可求解;(2)由平移得:PN=OA=3,NM=OC=3,设:平移后点P(t,t2+2t﹣3),则N(t+3,t2+2t﹣3),M(t+3,t2+2t﹣6),根据点M在直线y=x+3上,即可求解;(3)存在.设:直线AB交y轴于D(0,3),点C关于点D的对称点为C′(0,9)按照△QAB和△Q′AB和△ABC的面积相同即可求解.【详解】解:(1)把点A(m,0)和点B(2,n)代入直线y=x+3,解得:m=﹣3,n=5,∴A(﹣3,0)、B(2,5),把A、B坐标代入抛物线解析式,解得:a=1,b=2,∴抛物线解析式为:y=x2+2x﹣3…①,则C(0,﹣3);(2)由平移得:PN=OA=3,NM=OC=3,设:平移后点P(t,t2+2t﹣3),则N(t+3,t2+2t﹣3),∴M(t+3,t2+2t﹣6),∵点M在直线y=x+3上,∴t2+2t﹣6=t+3+3,解得:t=3或﹣4,∴P 点坐标为(3,12)或(﹣4,5),则线段OP 的长度为:317或41;(3)存在.设:直线AB 交y 轴于D (0,3),点C 关于点D 的对称点为C ′(0,9)过点C 和C ′分别做AB 的平行线,交抛物线于点Q 、Q ′,则:△QAB 和△Q ′AB 和△ABC 的面积相同, 直线QC 和Q ′C 的方程分别为:y =x ﹣3和y =x +9…②,将①、②联立,解得:x =﹣1或x =3或x =﹣4,∴Q 点坐标为(﹣1,﹣4)或(3,12)或(﹣4,5).【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.8.(1)2114y x =-;(2)点P 37(,)216-;(3)(222,222M --+ 【解析】【分析】(1)根据题意得到AB=4,根据函数对称轴x=0,得到OA=OB=2,得到A 、B 坐标,代入函数解析式即可求解;(2)首先求得直线OD 解析式,然后设P (21,14t t -),得到PQ 关于t 的解析式,然后求出顶点式即可求解; (3)设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,然后求得直线CM 的解析式,得到EM 的表达式,然后根据CMN CNE MNE S S S =+即可求解.【详解】(1)∵AB =4OC ,且C (0,-1)∴AB=4∴OA=OB=2,即A 点坐标()2,0-,B 点坐标()2,0代入A 点坐标得2021a =- 解得14a = ∴G 的解析式为2114y x =- 故答案为2114y x =-(2)当1x =-时,34y =-,即:点D 为(31,4--) ∴直线OD 为:34y x =设P (21,14t t -),则Q 为(22141,1334t t --),则: 22214141325()()33333212PQ t t t t t =--=-++=--+ ∴当32t =时,PQ 取得最大值2512,此时点P 位37(,)216- (3)设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则N ()214,414m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ ∵C 点坐标为(0,1)-∴可设直线CM 为1y kx =-,带入M 点坐标得:14k m =∴直线CM 为114y mx =- 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ,则E 点为()14,414m m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭∴4EN m =--∵()()12CMN CNE MNE C N N M SS S x x x x EN ⎡⎤=+=-+-•⎣⎦ ∴()()104=22m m --- ∴2440m m +-=解得:1222m =--,2222m =-+(舍去)∴M (222,222--+【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,二次函数综合应用,是二次函数部分的压轴题,题目较难,应画出示意图,然后进行讨论分析.9.(1)223y x x =+-;(2)是,定值为8;(3)1557,416⎛⎫- ⎪⎝⎭或939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)把点A 、C 坐标代入抛物线解析式即可求得b 、c 的值.(2)设点Q 横坐标为t ,用t 表示直线AQ 、BN 的解析式,把x =1-分别代入即求得点M 、N 的纵坐标,再求DM 、DN 的长,即得到DM +DN 为定值.(3)点P 可以在x 轴上方或下方,需分类讨论.①若点P 在x 轴下方,延长AP 到H ,使AH =AB 构造等腰△ABH ,作BH 中点G ,即有∠PAB =2∠BAG =2∠ACO ,利用∠ACO 的三角函数值,求BG 、BH 的长,进而求得H 的坐标,求得直线AH 的解析式后与抛物线解析式联立,即求出点P 坐标.②若点P 在x 轴上方,根据对称性,AP 一定经过点H 关于x 轴的对称点H ',求得直线AH '的解析式后与抛物线解析式联立,即求出点P 坐标.【详解】解:(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A (1,0),C (0,-3),∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩解得:23b c =⎧⎨=-⎩, ∴抛物线的函数表达式为y =x 2+2x -3.(2)结论:DM +DN 为定值.理由:∵抛物线y =x 2+2x -3的对称轴为:直线x =-1,∴D (﹣1,0),x M =x N =﹣1,设Q (t ,t 2+2t ﹣3)(﹣3<t <1),设直线AQ 解析式为y =dx +e∴2023d e dt e t t +=⎧⎨+=+-⎩解得:33d t e t =+⎧⎨=--⎩, ∴直线AQ :y =(t +3)x ﹣t ﹣3,当x =﹣1时,y M =﹣t ﹣3﹣t ﹣3=﹣2t ﹣6,∴DM =0﹣(﹣2t ﹣6)=2t +6,设直线BQ 解析式为y =mx +n ,∴23023m n mt n t t -+=⎧⎨+=+-⎩解得:133m t n t =-⎧⎨=-⎩, ∴直线BQ :y =(t ﹣1)x +3t ﹣3,当x =﹣1时,y N =﹣t +1+3t ﹣3=2t ﹣2,∴DN =0﹣(2t ﹣2)=﹣2t +2,∴DM +DN =2t +6+(﹣2t +2)=8,为定值.(3)①若点P 在x 轴下方,如图1,延长AP 到H ,使AH =AB ,过点B 作BI ⊥x 轴,连接BH ,作BH 中点G ,连接并延长AG 交BI 于点F ,过点H 作HI ⊥BI 于点I .∵当x 2+2x ﹣3=0,解得:x 1=﹣3,x 2=1,∴B (﹣3,0),∵A (1,0),C (0,﹣3),∴OA =1,OC =3,AC 221310+=AB =4,∴Rt △AOC 中,sin ∠ACO =010A AC =,cos ∠ACO =310OC AC =, ∵AB =AH ,G 为BH 中点,∴AG ⊥BH ,BG =GH ,∴∠BAG =∠HAG ,即∠PAB =2∠BAG ,∵∠PAB =2∠ACO ,∴∠BAG =∠ACO ,∴Rt △ABG 中,∠AGB =90°,sin ∠BAG =1010BG AB =,∴BG =10210105AB =, ∴BH =2BG=410, ∵∠HBI +∠ABG =∠ABG +∠BAG =90°, ∴∠HBI =∠BAG =∠ACO , ∴Rt △BHI 中,∠BIH =90°,sin ∠HBI =HI BH =10,cos ∠HBI =310BI BH =, ∴HI =10BH =43,BI =310BH =125,∴x H =411355-+=-,y H =125-,即1112,55H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,设直线AH 解析式为y =kx +a ,∴0111255k a k a +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩,解得:3434k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴直线AH :3344y x =-, ∵2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩解得:10x y =⎧⎨=⎩(即点A )或943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴939,416P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ②若点P 在x 轴上方,如图2,在AP 上截取AH '=AH ,则H '与H 关于x 轴对称.∴1112,55H ⎛'⎫-⎪⎝⎭, 设直线AH '解析式为y k x a ='+',∴0111255k a k a +='''⎧-'⎪⎨+=⎪⎩,解得:3434k a ⎧=-⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩, ∴直线AH ':3344y x =-+, ∵2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩解得:10x y =⎧⎨=⎩(即点A )或1545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴1557,416P ⎛⎫-⎪⎝⎭. 综上所述,点P 的坐标为939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭或1557,416⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式,解一元二次方程、二元一次方程组,等腰三角形的性质,三角函数的应用.运用到分类讨论的数学思想,理清线段之间的关系为解题关键.10.(1)y =x 2-4x +3 ;(2) P(36626--,);(3) 9922m -+= 【解析】 【分析】 (1)把,,代入,解方程组即可.(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG,则点G 在线段BC 上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO 与抛物线的交点即为所求的点P .利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O 顺时针旋转得到,首先证明,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y 得到,由,推出,,M 、N 关于直线对称,所以,设,则,利用勾股定理求出a 以及MN 的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.【详解】 (1),,,代入,得,解得,∴抛物线的解析式为(2)如图1中,连接OD、BD,对称轴交x轴于K.由题意,,,,,,,将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,,,,是等腰直角三角形,,∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,, ,∴直线OD的解析式为,,∴直线OG的解析式为,由解得或, 点P在对称轴左侧,点P坐标为(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到,,,,,,,,,,设,,则, 设平移后的抛物线的解析式为,由消去y得到,,,∴M、N关于直线对称,,设,则,,(负根已经舍弃),,,【点睛】本题考查了二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定与性质、根与系数的关系、勾股定理等知识点,解题的关键是灵活运用所学知识,学会利用旋转添加辅助线,构造全等三角形,学会利用方程组及根与系数的关系,构建方程解决问题,本题难度较大.11.(1)45,45;(2)k=3±;(3)y=3x+3﹣2【解析】【分析】(1)如图3,连接AC,则∠ABC=45°;设M是x轴的动点,当点M运动到点O时,∠AOB=45°,该视角最大,即可求解;(2)如图4,以点M为圆心,长度1为半径作圆M,当圆与直线y=kx相切时,直线y=kx (k≠0)关于线段EF的视角为90°,即∠EQF=90°,则MQ⊥直线OE,OQ=1,OM=2,故直线的倾斜角为30°,即可求解;(3)直线PQ的倾斜角为45°,分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R,RQ=RP=1,以点R为圆心以长度1为半径作圆R,由(1)知,设直线与圆交于点Q′,由(1)知,当PQ′Q为等腰三角形时,视角为45°,则QQ=2RQ=2,故点Q′(3-1,1),即可求解.【详解】(1)如图3,连接AC,则∠ABC=45°;设M是x轴的动点,当点M运动到点O时,∠AOB=45°,该视角最大,由此可见:当△ABC为等腰三角形时,视角最大;故答案为:45,45;(2)如图4,以点M为圆心,长度1为半径作圆M,当圆与直线y=kx相切时,直线y=kx(k≠0)关于线段EF的视角为90°,即∠EQF=90°,则MQ⊥直线OE,MQ=1,OM=2,故直线的倾斜角为30°,故k=3±(3)直线PQ的倾斜角为45°,分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R,RQ=RP=1,以点R为圆心以长度1为半径作圆R,由(1)知,设直线与圆交于点Q′,由(1)知,当PQ′Q为等腰三角形时,视角为45°,则QQ=2RQ=2,故点Q′(3﹣1,1),直线y=ax+b(a>0)与x轴的夹角为60°,则直线的表达式为:y=3x+b,将点Q′的坐标代入上式并解得:直线的表达式为:y=3x+3﹣2【点睛】本题考查的是一次函数综合运用,涉及到解直角三角形、圆的基本知识等,此类新定义题目,通常按照题设的顺序求解,一般比较容易.12.(1)4﹣23;(2)32;(3)4﹣5≤S≤4+5【解析】【分析】(1)在Rt△DCG中,利用勾股定理求出DG即可解决问题;(2)首先证明AH=CH,设AH=CH=m,则DH=AD﹣HD=4﹣m,在Rt△DHC中,根据CH2=CD2+DH2,构建方程求出m即可解决问题;(3)如图,当点G在对角线AC上时,△OGE的面积最小,当点G在AC的延长线上时,△OE′G′的面积最大,分别求出面积的最小值,最大值即可解决问题.【详解】解:(1)如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=CG=4,∠D=90°,∵AB=CD=2,∴DG22CDCG-2242-3,∴AG=AB﹣BG=4﹣3故答案为:4﹣23.(2)如图2中,由四边形CGEF是矩形,得到∠CGE=90°,∵点G在线段AE上,∴∠AGC=90°,∵CA=CA,CB=CG,∴Rt△ACG≌Rt△ACB(HL).∴∠ACB=∠ACG,∵AB∥CD∴∠ACG=∠DAC,∴∠ACH=∠HAC,∴AH=CH,设AH=CH=m,则DH=AD﹣AH=5﹣m,在Rt△DHC中,∵CH2=DC2+DH2,∴m2=22+(4﹣m)2,∴m=52,∴AH=52,GH22AH AG-22522⎛⎫-⎪⎝⎭32.(3)在Rt△ABC中,2225AC AB BC=+=,152OC AC,由题可知,G点在以C点为圆心,BC为半径的圆上运动,且GE与该圆相切,因为GE=AB 不变,所以O到直线GE的距离即为△OGE的高,当点G在对角线AC上时,OG最短,即△OGE的面积最小,最小值=12×OG×EG=12×2×(4545当点G在AC的延长线上时,OG最长,即△OE′G′的面积最大.最大值=12×E′G′×OG′=12×2×(55综上所述,455【点睛】本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.(1)比较简单,掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键;(2)能表示Rt△DHC三边,借助方程思想是解决此问的关键;(2)理解线段GE的运动轨迹,得出面积最小(大)时G点的位置是解决此问的关键.。

初三九年级上册数学压轴题专题练习(解析版)

初三九年级上册数学压轴题专题练习(解析版)

初三九年级上册数学压轴题专题练习(解析版)一、压轴题 1.问题提出(1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.问题探究(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.问题解决(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.2.在平面直角坐标系xOy 中,对于任意三点A ,B ,C ,给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ,B ,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A ,B ,C 的外延矩形.点A ,B ,C 的所有外延矩形中,面积最小的矩形称为点A ,B ,C 的最佳外延矩形.例如,图中的矩形,,都是点A ,B ,C 的外延矩形,矩形是点A ,B ,C 的最佳外延矩形.(1)如图1,已知A (-2,0),B (4,3),C (0,). ①若,则点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为 ;②若点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为24,则的值为 ; (2)如图2,已知点M (6,0),N (0,8).P (,)是抛物线上一点,求点M ,N ,P 的最佳外延矩形面积的最小值,以及此时点P 的横坐标的取值范围;(3)如图3,已知点D(1,1).E(,)是函数的图象上一点,矩形OFEG是点O,D,E的一个面积最小的最佳外延矩形,⊙H是矩形OFEG的外接圆,请直接写出⊙H的半径r的取值范围.3.如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t(秒)(1)t为何值时,四边形APQD为矩形.(2)如图(2),如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时,⊙P和⊙Q外切?4.问题发现:(1)如图①,正方形ABCD的边长为4,对角线AC、BD相交于点O,E是AB上点(点E 不与A、B重合),将射线OE绕点O逆时针旋转90°,所得射线与BC交于点F,则四边形OEBF的面积为.问题探究:(2)如图②,线段BQ=10,C为BQ上点,在BQ上方作四边形ABCD,使∠ABC=∠ADC =90°,且AD=CD,连接DQ,求DQ的最小值;问题解决:(3)“绿水青山就是金山银山”,某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园,图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ADC =90°,AD =CD ,AC =600米.其中AB 、BD 、BC 为观赏小路,设计人员考虑到为分散人流和便观赏,提出三条小路的长度和要取得最大,试求AB +BD +BC 的最大值.5.我们知道,如图1,AB 是⊙O 的弦,点F 是AFB 的中点,过点F 作EF ⊥AB 于点E ,易得点E 是AB 的中点,即AE =EB .⊙O 上一点C (AC >BC ),则折线ACB 称为⊙O 的一条“折弦”.(1)当点C 在弦AB 的上方时(如图2),过点F 作EF ⊥AC 于点E ,求证:点E 是“折弦ACB ”的中点,即AE =EC+CB .(2)当点C 在弦AB 的下方时(如图3),其他条件不变,则上述结论是否仍然成立?若成立说明理由;若不成立,那么AE 、EC 、CB 满足怎样的数量关系?直接写出,不必证明.(3)如图4,已知Rt △ABC 中,∠C =90°,∠BAC =30°,Rt △ABC 的外接圆⊙O 的半径为2,过⊙O 上一点P 作PH ⊥AC 于点H ,交AB 于点M ,当∠PAB =45°时,求AH 的长.6.如图,Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,4AC =,3BC =.点P 从点A 出发,沿着A CB →→运动,速度为1个单位/s ,在点P 运动的过程中,以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ,点P 的运动时间为t (s )(07t <<).(1)当47t <<时,BP = ;(用含t 的式子表示) (2)求S 与t 的函数表达式;(3)在⊙P 运动过程中,当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时,直接写出t 的值.7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P为边BC上一个动点(可以包括点C但不包括点B),以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E,(1)求证:AE=DE;(2)若PB=2,求AE的长;(3)在P点的运动过程中,请直接写出线段AE长度的取值范围.8.如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=8,∠ABC=60°.点P是边BC上一动点,作△PAB的外接圆⊙O交BD于E.(1)如图1,当PB=3时,求PA的长以及⊙O的半径;(2)如图2,当∠APB=2∠PBE时,求证:AE平分∠PAD;(3)当AE与△ABD的某一条边垂直时,求所有满足条件的⊙O的半径.MN=,在劣弧MN和优弧MN上分别有点9.MN是O上的一条不经过圆心的弦,4AM BM.A,B(不与M,N重合),且AN BN=,连接,(1)如图1,AB 是直径,AB 交MN 于点C ,30ABM ︒∠=,求CMO ∠的度数; (2)如图2,连接,OM AB ,过点O 作//OD AB 交MN 于点D ,求证:290MOD DMO ︒∠+∠=;(3)如图3,连接,AN BN ,试猜想AM MB AN NB ⋅+⋅的值是否为定值,若是,请求出这个值;若不是,请说明理由.10.一个四边形被一条对角线分割成两个三角形,如果分割所得的两个三角形相似,我们就把这条对角线称为相似对角线.(1)如图,正方形ABCD 的边长为4,E 为AD 的中点,点F ,H 分别在边AB 和CD 上,且1AF DH ==,线段CE 与FH 交于点G ,求证:EF 为四边形AFGE 的相似对角线;(2)在四边形ABCD 中,BD 是四边形ABCD 的相似对角线,120A CBD ∠=∠=,2AB =,6BD =CD 的长;(3)如图,已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,90A ∠=,8AB =,6AD =,点E 是AB 的中点,点F 是射线AD 上的动点,若EF 是四边形AECF 的相似对角线,请直接写出线段AF 的长度(写出3个即可).11.在平面直角坐标系xOy 中,对于任意三点A ,B ,C ,给出如下定义:如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ,B ,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A ,B ,C 的覆盖矩形.点A ,B ,C 的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A ,B ,C 的最优覆盖矩形.例如,下图中的矩形A 1B 1C 1D 1,A 2B 2C 2D 2,AB 3C 3D 3都是点A ,B ,C 的覆盖矩形,其中矩形AB 3C 3D 3是点A ,B ,C 的最优覆盖矩形. (1)已知A (﹣2,3),B (5,0),C (t ,﹣2). ①当t =2时,点A ,B ,C 的最优覆盖矩形的面积为 ;②若点A ,B ,C 的最优覆盖矩形的面积为40,求直线AC 的表达式;(2)已知点D (1,1).E (m ,n )是函数y =4x(x >0)的图象上一点,⊙P 是点O ,D ,E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆,求出⊙P 的半径r 的取值范围.12.如图,正方形ABCD 中,点O 是线段AD 的中点,连接OC ,点P 是线段OC 上的动点,连接AP 并延长交CD 于点E ,连接DP 并延长交AB 或BC 于点F , (1)如图①,当点F 与点B 重合时,DEDC等于多少; (2)如图②,当点F 是线段AB 的中点时,求DEDC的值; (3)如图③,若DE CF =,求DEDC的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1)12;(2)53;(3)202. 【解析】 【分析】(1)如图1中,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,通过构造直角三角形,求出BD 利用三角形面积公式求解即可.(2)如图示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M ,确定点P 的位置,利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.(3)解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、,通过轴对称性质的转化,最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】(1)如解图1所示,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,135BAC ∠=,180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=,BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,BAD ∴为等腰直角三角形,且90BDA ∠=,BD AD ∴=,在BAD 中,,90BD AD BDA =∠=,222BD AD AB ∴+=,即222BD AB =,42AB =,2222(42)32BD AB ∴===,解得:4BD =,6AC =,11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=.(2)如解图2所示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M ,D 关于AB 的对称点Q ,CQ 交AB 于点P ,PD PQ ∴=,PC PD PC PQ CQ ∴+=+=,点P 为AB 上的动点,PC PD CQ ∴+≥,∴当点P 处于解图2中的位置,PC PD +取最小值,且最小值为CQ 的长度,点C 为半圆AB 的中点,90COB ∴∠=,90BOD COD COB ∠+∠=∠=,11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=,10AB =,1110522OD AB ∴==⨯=, 在Rt ODH △中,由作图知,90OHD ∠=,且30HOD BOD ∠=∠=,155,222DH OD QH DH ∴==∴==,222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭, 由作图知,四边形OMQH 为矩形,553,2OM QH MQ OH ∴====, 515522CM OM OC ∴=+=+=, 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, PC PD ∴+的最小值为53.(3)如解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、, 点P 关于OA 的对称点S ,点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,PE SE ∴=,FP FN =,SOA POA ∠=∠,,NOB POB OS OP ON ∠=∠==,.PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=,SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠, E 为OA 上的点,F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥,∴当点E F 、处于解图3的位置时,PE EF FP ++的长度取最小值,最小值为SN 的长度,45POA POB AOB ∠+∠=∠=,45SOA NOB ∴∠+∠=,454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=.扇形AOB 的半径为20,20OS ON OP ∴===,在Rt SON 中,90SON ∠=,20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202.【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容,理解题意,作出辅助线是做题的关键.2.(1)①18;②t=4或t=-1;(2)48;,或;(3)【解析】试题分析:(1)根据给出的新定义进行求解;(2)过M 点作轴的垂线与过N 点垂直于轴的直线交于点Q ,则当点P 位于矩形OMQN 内部或边界时,矩形OMQN 是点M ,N ,P 的最佳外延矩形,且面积最小;根据当y=0是y=8时求出x 的值得到取值范围;(3)根据最佳外延矩形求出半径的取值范围.试题解析:(1)①18; ②t=4或t=-1; (2)如图,过M 点作轴的垂线与过N 点垂直于轴的直线交于点Q ,则当点P 位于矩形OMQN内部或边界时,矩形OMQN是点M,N,P的最佳外延矩形,且面积最小.∵S矩形OMQN=OM·ON=6×8=48,∴点M,N,P的最佳外延矩形面积的最小值为48.抛物线与轴交于点T(0,5).令,有,解得:x=-1(舍去),或x=5.令y=8,有,解得x=1,或x=3.∴,或.(3).考点:新定义的理解、二次函数的应用、圆的性质.3.(1)4;(2)t为4s,203s,283s时,⊙P与⊙Q外切.【解析】试题分析:(1)四边形APQD为矩形,也就是AP=DQ,分别用含t的代数式表示,解即可;(2)主要考虑有四种情况,一种是P在AB上,一种是P在BC上时.一种是P在CD上时,又分为两种情况,一种是P在Q右侧,一种是P在Q左侧.并根据每一种情况,找出相等关系,解即可.试题解析:(1)根据题意,当AP=DQ时,四边形APQD为矩形.此时,4t=20-t,解得t=4(s).答:t为4时,四边形APQD为矩形(2)当PQ=4时,⊙P与⊙Q外切.①如果点P在AB上运动.只有当四边形APQD为矩形时,PQ=4.由(1),得t=4(s);②如果点P在BC上运动.此时t≥5,则CQ≥5,PQ≥CQ≥5>4,∴⊙P与⊙Q外离;③如果点P在CD上运动,且点P在点Q的右侧.可得CQ=t,CP=4t-24.当CQ-CP=4时,⊙P与⊙Q外切.此时,t-(4t-24)=4,解得t=203(s);④如果点P在CD上运动,且点P在点Q的左侧.当CP-CQ=4时,⊙P与⊙Q外切.此时,4t-24-t=4,解得t=283(s),∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s,点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s,而283<11,∴当t为4s,203s,283s时,⊙P与⊙Q外切.考点:1.矩形的性质;2.圆与圆的位置关系.4.(1)4;(2)52;(3)600(2+1).【解析】【分析】(1)如图①中,证明△EOB≌△FOC即可解决问题;(2)如图②中,连接BD,取AC的中点O,连接OB,OD.利用四点共圆,证明∠DBQ=∠DAC=45°,再根据垂线段最短即可解决问题.(3)如图③中,将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA,首先证明AB+BC+BD=(2+1)BD,当BD最大时,AB+BC+BD的值最大.【详解】解:(1)如图①中,∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,∵∠EOF=90°,∴∠EOF=∠BOC,∴∠EOB=∠FOC,∴△EOB≌△FOC(SAS),∴S△EOB=S△OFC,∴S四边形OEBF=S△OBC=14•S正方形ABCD=4,故答案为:4;(2)如图②中,连接BD,取AC的中点O,连接OB,OD.∵∠ABD=∠ADC=90°,AO=OC,∴OA=OC=OB=OD,∴A,B,C,D四点共圆,∴∠DBC=∠DAC,∵DA=DC,∠ADC=90°,∴∠DAC=∠DCA=45°,∴∠DBQ=45°,根据垂线段最短可知,当QD⊥BD时,QD的值最短,DQ的最小值=22BQ=52.(3)如图③中,将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠BCD+∠BAD=∠EAD+BAD=180°,∴B,A,E三点共线,∵DE=DB,∠EDB=90°,∴BE2BD,∴AB+BC=AB+AE=BE2BD,∴BC+BC+BD2+1)BD,∴当BD最大时,AB+BC+BD的值最大,∵A,B,C,D四点共圆,∴当BD为直径时,BD的值最大,∵∠ADC=90°,∴AC是直径,∴BD=AC时,AB+BC+BD的值最大,最大值=6002+1).【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,四点共圆,圆周角定理,垂线段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.5.(1)见解析;(2)结论AE=EC+CB不成立,新结论为:CE=BC+AE,见解析;(3)AH3﹣13+1.【解析】【分析】(1)在AC 上截取AG =BC ,连接FA ,FG ,FB ,FC ,证明△FAG ≌△FBC ,根据全等三角形的性质得到FG =FC ,根据等腰三角形的性质得到EG =EC ,即可证明.(2)在CA 上截取CG =CB ,连接FA ,FB ,FC ,证明△FCG ≌△FCB ,根据全等三角形的性质得到FG =FB ,得到FA =FG ,根据等腰三角形的性质得到AE =GE ,即可证明. (3)分点P 在弦AB 上方和点P 在弦AB 下方两种情况进行讨论.【详解】解:(1)如图2,在AC 上截取AG =BC ,连接FA ,FG ,FB ,FC ,∵点F 是AFB 的中点,FA =FB ,在△FAG 和△FBC 中,,FA FB FAG FBC AG BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAG ≌△FBC (SAS ),∴FG =FC ,∵FE ⊥AC ,∴EG =EC ,∴AE =AG+EG =BC+CE ;(2)结论AE =EC+CB 不成立,新结论为:CE =BC+AE ,理由:如图3,在CA 上截取CG =CB ,连接FA ,FB ,FC ,∵点F 是AFB 的中点,∴FA =FB , FA FB =,∴∠FCG =∠FCB ,在△FCG 和△FCB 中,,CG CB FCG FCB FC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCG ≌△FCB (SAS ),∴FG =FB ,∴FA =FG ,∵FE ⊥AC ,∴AE =GE ,∴CE =CG+GE =BC+AE ;(3)在Rt △ABC 中,AB =2OA =4,∠BAC =30°, ∴12232BC AB AC ===,, 当点P 在弦AB 上方时,如图4,在CA 上截取CG =CB ,连接PA ,PB ,PG ,∵∠ACB =90°,∴AB 为⊙O 的直径,∴∠APB =90°,∵∠PAB =45°,∴∠PBA =45°=∠PAB ,∴PA =PB ,∠PCG =∠PCB ,在△PCG 和△PCB 中, ,CG CB PCG PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCG ≌△PCB (SAS ),∴PG =PB ,∴PA =PG ,∵PH ⊥AC ,∴AH =GH ,∴AC =AH+GH+CG =2AH+BC ,∴2322AH =+,∴31AH =-,当点P 在弦AB 下方时,如图5, 在AC 上截取AG =BC ,连接PA ,PB ,PC ,PG∵∠ACB =90°,∴AB 为⊙O 的直径,∴∠APB =90°, ∵∠PAB =45°,∴∠PBA =45°=∠PAB ,∴PA =PB ,在△PAG 和△PBC 中,,AG BC PAG PBC PA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAG ≌△PBC (SAS ),∴PG =PC ,∵PH ⊥AC ,∴CH =GH ,∴AC =AG+GH+CH =BC+2CH ,∴2322CH ,=+ ∴31CH =-,∴()233131AH AC CH =-=--=+, 即:当∠PAB =45°时,AH 的长为31- 或3 1.+【点睛】考查弧,弦的关系,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质等,综合性比较强,注意分类讨论思想方法在解题中的应用.6.(1)7-t (2)()()()22904;25{1674725t t S t t ππ<≤=-<<(3)516,23t t ==【解析】【分析】(1)先判断出点P 在BC 上,即可得出结论;(2)分点P 在边AC 和BC 上两种情况:利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论;(3)分点P 在边AC 和BC 上两种情况:借助(2)求出的圆P 的半径等于PC ,建立方程求解即可得出结论.【详解】(1)∵AC =4,BC =3,∴AC +BC =7.∵4<t <7,∴点P 在边BC 上,∴BP =7﹣t .故答案为:7﹣t ;(2)在Rt △ABC 中,AC =4,BC =3,根据勾股定理得:AB =5,由运动知,AP =t ,分两种情况讨论:①当点P 在边AC 上时,即:0<t ≤4,如图1,记⊙P 与边AB 的切点为H ,连接PH ,∴∠AHP =90°=∠ACB .∵∠A =∠A ,∴△APH ∽△ACB ,∴PH AP BC AB =,∴35PH t =,∴PH 35=t ,∴S 925=πt 2; ②当点P 在边BC 上时,即:4<t <7,如图,记⊙P 与边AB 的切点为G ,连接PG ,∴∠BGP =90°=∠C .∵∠B =∠B ,∴△BGP ∽△BCA ,∴PG BP AC AB =,∴745PG t -=,∴PG 45=(7﹣t ),∴S 1625=π(7﹣t )2. 综上所述:S 22904251674725t t t t ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩(<)()(<<); (3)分两种情况讨论:①当点P 在边AC 上时,即:0<t ≤4,由(2)知,⊙P 的半径PH 35=t . ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切,即:⊙P 和边BC 相切,∴PC =PH .∵PC =4﹣t ,∴4﹣t 35=t ,∴t 52=秒; ②当点P 在边BC 上时,即:4<t <7,由(2)知,⊙P 的半径PG 45=(7﹣t ). ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切,即:⊙P 和边AC 相切,∴PC =PG .∵PC =t ﹣4,∴t ﹣445=(7﹣t ),∴t 163=秒.综上所述:在⊙P运动过程中,当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时,t的值为52秒或163秒.【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键.7.(1)详见解析;(2)AE=194;(3)74≤AE<254.【解析】【分析】(1)首先得出∠ADE+∠PDB=90°,进而得出∠B+∠A=90°,利用PD=PB得∠EDA=∠A进而得出答案;(2)利用勾股定理得出ED2+PD2=EC2+CP2=PE2,求出AE即可;(3)分别根据当D(P)点在B点时以及当P与C重合时,求出AE的长,进而得出AE的取值范围.【详解】(1)证明:如图1,连接PD.∵DE切⊙O于D.∴PD⊥DE.∴∠ADE+∠PDB=90°.∵∠C=90°.∴∠B+∠A=90°.∵PD=PB.∴∠PDB=∠B.∴∠A=∠ADE.∴AE=DE;(2)解:如图1,连接PE,设DE=AE=x,则EC=8-x,∵PB=PD=2,BC=6.∴PC=4.∵∠PDE=∠C=90°,∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2.∴x2+22=(8-x)2+42.解得x=194.∴AE=194;(3)解:如图2,当P点在B点时,此时点D也在B点,∵AE=ED,设AE=ED=x,则EC=8-x,∴EC2+BC2=BE2,∴(8-x)2+62=x2,解得:x=254,如图3,当P与C重合时,∵AE=ED,设AE=ED=x,则EC=8-x,∴EC2=DC2+DE2,∴(8-x )2=62+x 2,解得:x=74, ∵P 为边BC 上一个动点(可以包括点C 但不包括点B ), ∴线段AE 长度的取值范围为:74≤AE <254. 【点睛】本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识,利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键.8.(1)PA O 2)见解析;(3)⊙O 的半径为2或5 【解析】【分析】(1)过点A 作BP 的垂线,作直径AM ,先在Rt △ABH 中求出BH ,AH 的长,再在Rt △AHP 中用勾股定理求出AP 的长,在Rt △AMP 中通过锐角三角函数求出直径AM 的长,即求出半径的值;(2)证∠APB =∠PAD =2∠PAE ,即可推出结论;(3)分三种情况:当AE ⊥BD 时,AB 是⊙O 的直径,可直接求出半径;当AE ⊥AD 时,连接OB ,OE ,延长AE 交BC 于F ,通过证△BFE ∽△DAE ,求出BE 的长,再证△OBE 是等边三角形,即得到半径的值;当AE ⊥AB 时,过点D 作BC 的垂线,通过证△BPE ∽△BND ,求出PE ,AE 的长,再利用勾股定理求出直径BE 的长,即可得到半径的值.【详解】(1)如图1,过点A 作BP 的垂线,垂足为H ,作直径AM ,连接MP ,在Rt △ABH 中,∠ABH =60°,∴∠BAH =30°,∴BH=12AB =2,AH =AB •sin60°= ∴HP =BP ﹣BH =1,∴在Rt △AHP 中,AP∵AB 是直径,∴∠APM =90°,在Rt △AMP 中,∠M =∠ABP =60°,∴AM =APsin 60︒=3,∴⊙O的半径为3,即PA⊙O(2)当∠APB=2∠PBE时,∵∠PBE=∠PAE,∴∠APB=2∠PAE,在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠APB=∠PAD,∴∠PAD=2∠PAE,∴∠PAE=∠DAE,∴AE平分∠PAD;(3)①如图3﹣1,当AE⊥BD时,∠AEB=90°,∴AB是⊙O的直径,∴r=12AB=2;②如图3﹣2,当AE⊥AD时,连接OB,OE,延长AE交BC于F,∵AD∥BC,∴AF⊥BC,△BFE∽△DAE,∴BFAD =EFAE,在Rt△ABF中,∠ABF=60°,∴AF=AB•sin60°=BF=12AB=2,∴28,∴EF,在Rt△BFE中,BE5,∵∠BOE=2∠BAE=60°,OB=OE,∴△OBE是等边三角形,∴r;③当AE⊥AB时,∠BAE=90°,∴AE为⊙O的直径,∴∠BPE=90°,如图3﹣3,过点D 作BC 的垂线,交BC 的延长线于点N ,延开PE 交AD 于点Q , 在Rt △DCN 中,∠DCN =60°,DC =4,∴DN =DC •sin60°=23,CN =12CD =2, ∴PQ =DN =23,设QE =x ,则PE =23﹣x ,在Rt △AEQ 中,∠QAE =∠BAD ﹣BAE =30°,∴AE =2QE =2x ,∵PE ∥DN ,∴△BPE ∽△BND ,∴PE DN =BP BN , ∴2323x -=BP 10, ∴BP =10﹣533x , 在Rt △ABE 与Rt △BPE 中,AB 2+AE 2=BP 2+PE 2,∴16+4x 2=(10﹣533x )2+(23﹣x )2, 解得,x 1=63(舍),x 2=3,∴AE =23,∴BE =22AB AE +=224(23)+=27,∴r =7,∴⊙O 的半径为2或47或7.【点睛】此题主要考查圆与几何综合,解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.9.(1)15°;(2)见解析;(3)16【解析】【分析】(1)先求得45AMN BMN ︒∠=∠=,再由OM OB =得到30OMB OBM ︒∠=∠=,于是可解;(2)连接,,OA OB ON .可证AON BON ∠=∠,ON AB ⊥,由//OD AB 可知90DON ︒∠=,在MON ∆中用内角和定理可证明;(3)延长MB 至点M ',使BM AM '=,连接NM ',作NE MM '⊥于点E.证明AMN BM N '≅,得到'MM N ∆是等腰三角形,然后在MNE ∆中用勾股定理即可求出16AM MB AN NB ⋅+⋅=.【详解】(1)AB 是O 的直径,90AMB ︒∴∠=AN BN =45AMN BMN ︒∴∠=∠=OM OB =30OMB OBM ︒∴∠=∠=453015CMO ︒︒︒∴∠=-=(2)连接,,OA OB ON .AN BN =AON BON ∴∠=∠,ON AB ⊥//OD AB90DON ︒∴∠=OM ON =OMN ONM ∴∠=∠180OMN ONM MOD DON ︒∠+∠+∠+∠=290MOD DMO ︒∴∠+∠=(3)延长MB 至点M ',使BM AM '=,连接NM ',作NE MM '⊥于点E.设AM a =,BM b =.四边形AMBN 是圆内接四边形180A MBN ︒∴∠+∠=180NBM MBN '︒∠+∠=A NBM '∴∠=∠AN BN =AN BN ∴=(SAS)AMN BM N '∴≅MN NM '∴=,BM AM a '==,NE MM '⊥于点E.11()22ME EM MM a b ''∴===+, ()2222ME BN BE MN +-=22211()()1622a b BN b a ⎡⎤⎡⎤∴++--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化简得216ab NB +=, 16AM MB AN NB ∴⋅+⋅=【点睛】本题考查了圆的综合题,涉及的知识点有圆周角定理和垂径定理以及圆内接四边形的性质,综合性质较强,能够做出相应的辅助线是解题的关键.10.(1)详见解析;(2)3CD =或3;(3)详见解析.【解析】【分析】(1)只要证明△EAF ∽△FEG 即可解决问题;(2)如图3中,作DE ⊥BA 交BA 的延长线于E .设AE=a .在Rt △BDE 中,利用勾股定理构建方程求出a ,分两种情形构建方程求解即可;(3)①当△AFE ∽△EFC 时,连接BC ,AC ,BD .②当△AFE ∽△FEC 时,作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ,作OM ⊥AD 于M ,连接OA .③当△AFE ∽△CEF 时,分别求解即可,注意答案不唯一.【详解】解:(1)如图1,∵正方形ABCD 中4AB AD CD ===,90A D ∠=∠=,E 为AD 中点∴2AE ED ==,∵1AF DH ==,∴12AF DE AE CD == ∴AEF DCE ∆∆∽∴AEF DCE ∠=∠,AFE DEC ∠=∠ ∵//AF DH ,∴四边形AFHD 为平行四边形∴AD FH ,∴AEF EFG ∠=∠,DEC EGF AFE ∠=∠=∠∴AEF EFG ∆∆∽∴EF 为四边形AFGE 的相似对角线.(2)如图2,过点D 作DE BA ⊥,垂足为E ,设AE a =∵120A CBD ∠=∠=,∴60EAD ∠=,∴3DE a = ∵2AB =,6BD =∴()22236a a ++=312a -=(负根已经舍弃), ∴31AD =-分为两种情况:①如图3,当ABD BCD ∆∆∽时,AD BD BD CD = ∴()316CD -=,∴333CD =+②如图4,当ABD BDC ∆∆∽时,AB BD BD CD= ∴26CD =,∴3CD =综上,333CD =+或3(3)①如图5,∵∠FEC=∠A=90°,∠BEF=∠BEC+∠FEC=∠A+∠AEF ,∴AFE BEC ∠=∠,AF EF AF AE EC BE==,∴AFE BEC ∆∆∽,∴90B ∠= 由“一线三等角”得83AF =.②如图,当△AFE∽△FEC时,作CH⊥AD交AD的延长线于H,作OM⊥AD于M,连接OA.∵△AFE∽△FEC,∴∠AFE=∠FEC,∴AD∥EC,∴∠CEB=∠DAB=90°,∵∠OMA=∠AHC=90°,∴四边形AEOM,四边形AECH都是矩形,∵OM⊥AD,∴AM=MD=3,∴AM=OE=3,∵OE⊥AB,∴AE=EB=4,∴OA=2234+=5,∴CE=AH=8,设AF=x,则FH=8-x,CH=AE=4,由△AEF∽△HFC,可得AFCH=AEFH,∴448xx =-,解得x=4,经检验x=4是分式方程的解,∴AF=4.③如图当△AFE∽△CEF时易证四边形AECF是矩形,AF=EC=8.综上所述,满足条件的AF的长为83或4或8.(答案不唯一)【点睛】本题属于圆综合题,考查正方形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.11.(1)35,5784y x=+;(2r≤.【解析】【分析】(1)①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C的覆盖矩形.点A,B,C的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A,B,C的最优覆盖矩形,得出最优覆盖矩形的长为:2+5=7,宽为3+2=5,即可得出结果;②由定义可知,t=-3或6,即点C坐标为(-3,-2)或(6,-2),设AC表达式为y=kx+b,代入即可求出结果;(2)OD所在的直线交双曲线于点E,矩形OFEG是点O,D,E的一个面积最小的最优覆盖矩形,OD所在的直线表达式为y=x,得出点E的坐标为(2,2),⊙P的半径最小,当点E的纵坐标为1时,⊙P的半径最大,即可得出结果.【详解】(1)①∵A(﹣2,3),B(5,0),C(2,﹣2),矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C的覆盖矩形.点A,B,C的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A,B,C的最优覆盖矩形,∴最优覆盖矩形的长为:2+5=7,宽为3+2=5,∴最优覆盖矩形的面积为:7×5=35;②∵点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为40,∴由定义可知,t=﹣3或6,即点C坐标为(﹣3,﹣2)或(6,﹣2),设AC表达式为y=kx+b,∴3223k bk b=-+⎧⎨-=-+⎩或3226k bk b=-+⎧⎨-=+⎩∴513kb=⎧⎨=⎩或5874kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=5x+13或5784y x=-+;(2)①OD所在的直线交双曲线于点E,矩形OFEG是点O,D,E的一个面积最小的最优覆盖矩形,如图1所示:∵点D (1,1),∴OD 所在的直线表达式为y =x ,∴点E 的坐标为(2,2),∴OE =222+2=22,∴⊙P 的半径最小r =2,②当DE ∥x 轴时,即:点E 的纵坐标为1,如图2所示:∵点D (1,1).E (m ,n )是函数y =4x (x >0)的图象上一点 ∴1=4x ,解得x =4, ∴OE ═224+117, ∴⊙P 的半径最大r =172, 172r ≤. 【点睛】 本题是圆的综合题目,考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识;本题综合性强,有一定难度.12.(1)12;(2)tan EAD ∠=13;(3)51DE CD -= 【解析】【分析】(1)先证明△ADP ≌△CDP ,得到∠DAP=∠DCP ,再证明△ADE ≌△CDO ,得到DE=DO ,根据O 是AD 的中点,AD=CD ,即可得到答案;(2)先证明△AFD ≌△DOC ,得到∠AFD=∠DOC ,进而得到∠OPD=90°,即可得到△OPD ∽△FAD ,根据对应边成比例得到DP OD AD DF =,设AF=OD=x ,则AD=2x ,DF=5x ,得到DP=25x ,求出PF=35x ,再证明△DEP ∽△FAP ,得到23DE AF =,根据AF=12CD ,即可得到答案;(3)先证明△FCD ≌△EDA ,得到∠EAD=∠FDC ,进而得到∠EPD=∠APD=90°,根据直角三角形的性质可得OP=OD=12AD ,设OD=OP=x ,则CD=2x ,OC=5x ,可得PC=OC-OP=5x x -,根据△DPO ∽△FPC ,得到51OD FC +=,进而得到51251CF CD -==+,即可得到结论. 【详解】(1)如图①中,∵四边形ABCD 是正方形,PDA PDC ∴∠=∠,DP DP =,DA DC =,PDA ∴≌()PDC SAS ,DAE DCO ∴∠=∠,90ADE CDO ∠=∠=︒,AD CD =,ADE ∴≌()CDO ASA ,OD DE ∴=,AO OD ∴=,CE DE ∴=,12DE DC ∴=. (2)如图②中,连接OF .设OA OD a ==.AF FB =,OA OD =,AB AD =, AF OD ∴=,AD DC =,90FAD ODC ∠=∠=︒, FAD ∴≌()ODC SAS , FDA OCD ∴∠=∠, 90FDA CDP ∠=∠=︒, ∴ 90OCD CDP ∠=∠=︒, 90CPD ∴∠=︒,90FAO FPO ∠=∠=︒, ∴A ,F ,P ,O 四点共圆, PAO PFO ∴∠=∠,1tan 2OP OPD PD∠==, 5OP ∴=,25PD =, 5DF a =,35PF ∴=, 1tan tan 3OP PFO PAO PF ∴∠=∠==, tan EAD ∴∠= 13DE DE AD CD ==. (3)如图③中,连接EF .设CF DE y ==,EC x =.CF DE =,90FCD EDA ∠=∠=︒,CD DA =,∴ FCD ≌EDA ()SAS ,CDF EAD ∴∠=∠,90CDF ADP ∠=∠=︒,∴ 90DAE ADP ∠+∠=︒,∴ 90APD ∠=︒,OA OD =,∴ OP OA OD ==,∴ OAP OPA CPE ∠=∠=∠,90ECF EPF ∠=∠=︒,∴E ,C ,F ,P 四点共圆,∴ CFE EPC ∠=∠,∴ CFE DCF ∠=∠,ECF DCF ∠=∠,∴ FCE ∽DCF ,∴ 2·CF CE CD =,∴ ()2y x x y =+,∴ 220y xy x --=,∴ 15y x +=15x -(舍弃), ∴ 15y x +=, ∴ 155135DE y CD x y +-===++. 【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定与性质,求根公式法解一元二次方程,锐角三角函数及四点共圆等知识,用到的知识点较多,难度较大,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.。

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最新初三九年级数学上册数学压轴题专题练习(解析版)一、压轴题1.阅读理解:如图,在纸面上画出了直线l 与⊙O ,直线l 与⊙O 相离,P 为直线l 上一动点,过点P 作⊙O 的切线PM ,切点为M ,连接OM 、OP ,当△OPM 的面积最小时,称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”.解决问题:(1)如图1,⊙A 的半径为1,A(0,2) ,分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ,切点分别是M 、P 、Q ,下列三角形中,是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 .(填序号)①ABM ;②AOP ;③ACQ(2)如图2,⊙A 的半径为1,A(0,2),直线y=kx (k≠0)与⊙A 的“最美三角形”的面积为12,求k 的值. (3)点B 在x 轴上,以B 为圆心,3为半径画⊙B ,若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于3,请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围.2.如图,在四边形ABCD 中,9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===,,点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动,点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动,点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动.点P M N 、、同时出发,当其中一个点到达终点时,其他两个点也随之停止运动,设移动时间为ts . (1)如图①,①当a 为何值时,点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值; ②连接AP BD 、交于点E ,当AP BD ⊥时,求出t 的值; (2)如图②,连接AN MD 、交于点F .当3883a t ==,时,证明:ADF CDF S S ∆∆=.3.如图,在矩形ABCD 中,AB=20cm ,BC=4cm ,点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动,点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动,如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,当其中一点到达D 时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t (秒)(1)t 为何值时,四边形APQD 为矩形.(2)如图(2),如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ,那么t 为何值时,⊙P 和⊙Q 外切? 4.如图1,Rt △ABC 两直角边的边长为AC =3,BC =4.(1)如图2,⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ,与边BC 相切于点Y .请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点,以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S ,你认为能否确定S 的最大值?若能,请你求出S 的最大值;若不能,请你说明不能确定S 的最大值的理由.5.已知:在ABC 中,,90AC BC ACB ︒=∠=,点F 在射线CA 上,延长BC 至点D ,使CD CF =,点E 是射线BF 与射线DA 的交点.(1)如图1,若点F 在边CA 上; ①求证:BE AD ⊥;②小敏在探究过程中发现45BEC ︒∠=,于是她想:若点F 在CA 的延长线上,是否也存在同样的结论?请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数. (2)选择图1或图2两种情况中的任一种,证明小敏或你的猜想. 6.问题发现:(1)如图①,正方形ABCD 的边长为4,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是AB 上点(点E 不与A 、B 重合),将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°,所得射线与BC 交于点F ,则四边形OEBF 的面积为 . 问题探究:(2)如图②,线段BQ =10,C 为BQ 上点,在BQ 上方作四边形ABCD ,使∠ABC =∠ADC =90°,且AD =CD ,连接DQ ,求DQ 的最小值; 问题解决:(3)“绿水青山就是金山银山”,某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园,图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ADC =90°,AD =CD ,AC =600米.其中AB 、BD 、BC 为观赏小路,设计人员考虑到为分散人流和便观赏,提出三条小路的长度和要取得最大,试求AB +BD +BC 的最大值.7.翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大,因此初三(5)班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。

你能和小菲一起解决下列各问题吗?(以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。

)(1)如图①,小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片(即△OAB )放在直线l 1上,OA 边与直线l 1重合,然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置,求顶点O 所经过的路程;并求顶点O 所经过的路线;图①(2)小菲进行类比研究:如图②,她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上,OA边与直线l2重合,然后将正方形纸片向右翻转若干次.她提出了如下问题:图②问题①:若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置,求顶点O经过的路程;问题②:正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O经过的路程是412022π+。

(3)①小菲又进行了进一步的拓展研究,若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合(如图3),然后让这个正三角形在正方形上翻转,直到正三角形第一次回到初始位置(即OAB的相对位置和初始时一样),求顶点O所经过的总路程。

图③②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转(如图④),直到正方形第一次回到初始位置,求顶点O所经过的总路程。

图④(4)规律总结,边长相等的两个正多边形,其中一个在另一个上翻转,当翻转后第一次回到初始位置时,该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________。

8.如图,在▱ABCD 中,AB =4,BC =8,∠ABC =60°.点P 是边BC 上一动点,作△PAB 的外接圆⊙O 交BD 于E .(1)如图1,当PB =3时,求PA 的长以及⊙O 的半径; (2)如图2,当∠APB =2∠PBE 时,求证:AE 平分∠PAD ;(3)当AE 与△ABD 的某一条边垂直时,求所有满足条件的⊙O 的半径.9.抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ,作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交于点A 、B ,无论h 、k 为何值,AB 的长度都为4. (1)请直接写出a 的值____________; (2)若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等, ①求b 的值;②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴,交抛物线于M 、N 两点,且4QM QN +=,求c 的取值范围;(3)若1c b =--,2727b -<<AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ,将抛物线绕原点逆时针旋转α,且1tan 2α=,此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点,若点D 在点C 上方,请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上,并求CD 的最大值.10.如图,抛物线y =ax 2-4ax +b 交x 轴正半轴于A 、B 两点,交y 轴正半轴于C ,且OB =OC =3.(1) 求抛物线的解析式;(2) 如图1,D 为抛物线的顶点,P 为对称轴左侧抛物线上一点,连接OP 交直线BC 于G ,连GD .是否存在点P ,使2GDGO=P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 如图2,将抛物线向上平移m 个单位,交BC 于点M 、N .若∠MON =45°,求m 的值.11.如图,一次函数122y x =-+的图象交y 轴于点A ,交x 轴于点B 点,抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;并求这个抛物线的解析式;(2)作垂直x 轴的直线x =t ,在第一象限交直线AB 于M ,交这个抛物线于N .求当t 取何值时,MN 有最大值?最大值是多少?(3)在(2)的情况下,以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点D 的坐标.12.已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点,且抛物线的对称轴为直线2x =.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线平移,使顶点与原点重合,已知点(,1)M m -,点A 、B 为抛物线上不重合的两点(B 在A 的左侧),且直线MA 与抛物线仅有一个公共点.①如图1,当点M 在y 轴上时,过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ,BQ x ⊥轴于点Q .若APM △与BQO △ 相似, 求直线AB 的解析式;②如图2,当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时,记A 、B 两点的横坐标分别为a 、b .当点M 在y 轴上时,直接写出m am b--的值为 ;当点M 不在y 轴上时,求证:m am b--为一个定值,并求出这个值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1)②;(2)±1;(3)23-<B x <3或73-<B x <23-- 【解析】 【分析】(1)本题先利用切线的性质,结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值,了解最美三角形的定义,根据圆心到直线距离最短原则解答本题.(2)本题根据k 的正负分类讨论,作图后根据最美三角形的定义求解EF ,利用勾股定理求解AF ,进一步确定∠AOF 度数,最后利用勾股定理确定点F 的坐标,利用待定系数法求k .(3)本题根据⊙B 在直线两侧不同位置分类讨论,利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB 的度数,继而按照最美三角形的定义,分别以△BND ,△BMN 为媒介计算BD 长度,最后与OD 相减求解点B 的横坐标范围. 【详解】(1)如下图所示:∵PM 是⊙O 的切线, ∴∠PMO=90°,当⊙O 的半径OM 是定值时,22PM OP OM =- ∵1=2PMOSPM OM ••,∴要使PMO △面积最小,则PM 最小,即OP 最小即可,当OP ⊥l 时,OP 最小,符合最美三角形定义.故在图1三个三角形中,因为AO ⊥x 轴,故△AOP 为⊙A 与x 轴的最美三角形. 故选:②.(2)①当k <0时,按题意要求作图并在此基础作FM ⊥x 轴,如下所示:按题意可得:△AEF 是直线y=kx 与⊙A 的最美三角形,故△AEF 为直角三角形且AF ⊥OF . 则由已知可得:111=1222AEFSAE EF EF ••=⨯⨯=,故EF=1. 在△AEF 中,根据勾股定理得:22AF AE ==.∵A(0,2),即OA=2,∴在直角△AFO 中,22=2OF OA AF AF -==, ∴∠AOF=45°,即∠FOM=45°,故根据勾股定理可得:MF=MO=1,故F(-1,1), 将F 点代入y=kx 可得:1k =-. ②当k >0时,同理可得k=1. 故综上:1k =±.(3)记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ,则(3,0)D -,(0,3)C , ①当⊙B 在直线CD 右侧时,如下图所示:在直角△COD 中,有3OC =,3OD =tan 3OCODC OD∠==ODC=60°. ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形, ∴MN ⊥BM ,BN ⊥CD ,即∠BND=90°, 在直角△BDN 中,sin BNBDN BD∠=,故==sin sin 60?3BN BN BD BN BDN =∠.∵⊙B ,∴BM =.当直线CD 与⊙B 相切时,BN BM ==因为直线CD 与⊙B 相离,故BN BD >2,所以OB=BD-OD >2.由已知得:11=22BMNSMN BM MN ••=•=MN <1.在直角△BMN 中,BN ==,此时可利用勾股定理算得BD OB BD OD =- -则2<B x②当⊙B 在直线CD 左侧时,同理可得:3-<B x<2-故综上:2<B x <3或3-<B x <2- 【点睛】本题考查圆与直线的综合问题,属于创新题目,此类型题目解题关键在于了解题干所给示例,涉及动点问题时必须分类讨论,保证不重不漏,题目若出现最值问题,需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度,求解几何线段时勾股定理极为常见.2.(1)① 2.5t =, 1.1a =或2t =,0.5a =;②1t =;(2)见解析 【解析】 【分析】(1)①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时,分别列出方程即可解决问题; ②当AP BD ⊥时,由ABP BCD ≅△△,推出BP CD =,列出方程即可解决问题; (2)如图②中,连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△,推出OA OC =,可得ADO CDO S S ∆∆=,AFO CFO S S ∆∆=,推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-,即ADF CDF S S ∆∆=;【详解】解:(1)①90ABC BCD ∠=∠=︒,∴当PBM PCN ≅△△时,有BM NC =,即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =, 2.5t =.当MBP PCN ≅△△时,有BM PC =,BP NC =,即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④,由③④可得0.5a =,2t =.综上所述,当 1.1a =, 2.5t =或0.5a =,2t =时,以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等; ②AP BD ⊥, 90BEP ∴∠=︒,90APB CBD ∴∠+∠=︒,90ABC ∠=︒,90APB BAP ∴∠+∠=︒, BAP CBD ∴∠=∠,在ABP △和BCD 中,BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ABP BCD ASA ∴≅△△,BP CD ∴=, 即54t -=, 1t ∴=;(2)当38a =,83t =时,1DN at ==,而4CD =,DN CD ∴<,∴点N 在点C 、D 之间, 1.54AM t ==,4CD =, AM CD ∴=,如图②中,连接AC 交MD 于O , 90ABC BCD ∠=∠=︒, 180ABC BCD ∴∠+∠=︒, //AB BC ∴,AMD CDM ∴∠=∠,BAC DCA ∠=∠, 在AOM 和COD △中, AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()AOM COD ASA ∴≅△△,OA OC ∴=,ADO CDO S S ∆∆∴=,AFO CFO S S ∆∆=, ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-, ADF CDF S S ∆∆∴=.【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.3.(1)4;(2)t为4s,203s,283s时,⊙P与⊙Q外切.【解析】试题分析:(1)四边形APQD为矩形,也就是AP=DQ,分别用含t的代数式表示,解即可;(2)主要考虑有四种情况,一种是P在AB上,一种是P在BC上时.一种是P在CD上时,又分为两种情况,一种是P在Q右侧,一种是P在Q左侧.并根据每一种情况,找出相等关系,解即可.试题解析:(1)根据题意,当AP=DQ时,四边形APQD为矩形.此时,4t=20-t,解得t=4(s).答:t为4时,四边形APQD为矩形(2)当PQ=4时,⊙P与⊙Q外切.①如果点P在AB上运动.只有当四边形APQD为矩形时,PQ=4.由(1),得t=4(s);②如果点P在BC上运动.此时t≥5,则CQ≥5,PQ≥CQ≥5>4,∴⊙P与⊙Q外离;③如果点P在CD上运动,且点P在点Q的右侧.可得CQ=t,CP=4t-24.当CQ-CP=4时,⊙P与⊙Q外切.此时,t-(4t-24)=4,解得t=203(s);④如果点P在CD上运动,且点P在点Q的左侧.当CP-CQ=4时,⊙P与⊙Q外切.此时,4t-24-t=4,解得t=283(s),∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s,点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s,而283<11,∴当t为4s,203s,283s时,⊙P与⊙Q外切.考点:1.矩形的性质;2.圆与圆的位置关系.4.(1)作图见解析;(2)49 .【解析】试题分析:(1)作出∠B的角平分线BD,再过X作OX⊥AB,交BD于点O,则O点即为⊙O的圆心;(2)由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定,故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切;⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时;⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论.试题解析:(1)如图所示:①以B为圆心,以任意长为半径画圆,分别交BC、AB于点G、H;②分别以G、H为圆心,以大于23GH为半径画圆,两圆相交于D,连接BD;③过X作OX⊥AB,交直线BD于点O,则点O即为⊙O的圆心.(2)①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时,由角平分线的性质可知,动点P是∠ABC的平分线BM上的点,如图1,在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1(不为∠ABC 的顶点)∵OX=BOsin∠ABM,P1Z=BPsin∠ABM,当BP1>BO时,P1Z>OX即P与B的距离越大,⊙P 的面积越大,这时,BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点;如图2,∵∠BPA>90°,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则E在边AB上,∴以P为圆心、PC为半径作圆,则⊙P与CB相切于C,与边AB相切于E,即这时⊙P是符合题意的圆,时⊙P的面积就是S的最大值,∵AC=1,BC=2,∴5设PC=x,则PA=AC-PC=1-x在直角△APE中,PA2=PE2+AE2,∴(1-x)2=x2+5)2,∴5;②如图3,同理可得:当⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和AC 相切时,设PC=y ,则(2-y )2=y 2+(5-1)2,∴y=512-; ③如图4,同理可得,当⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时,设PF=z ,∵△APF ∽△PBE ,∴PF :BE=AF :PE ,∴, ∴z=49. 由①、②、③可知,49>512->∴z >y >x , ∴⊙P 的面积S 的最大值为π.考点:1. 切线的性质;2.角平分线的性质;3.勾股定理;4.作图—复杂作图.5.(1)①详见解析;②图见解析,猜想∠BEC=45°;(2)详见解析【解析】【分析】(1)①证明△ACD ≌△BCF ,得到∠CAD=∠CBF 即可得到∠AEF=∠BCF=90°即可; ②根据已知条件画图即可;(2)取AB 的中点M ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到点A ,B ,C ,E 四点在同一个圆M 上,再利用圆周角定理即可证明.【详解】解:(1)①∵,90AC BC ACB︒=∠=,CD CF=∴在△ACD与△BCF中,AC BCACD ACBCD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCF(SAS)∴∠CAD=∠CBF又∵∠AFE=∠BFC∴∠AEF=∠BCF=90°,∴BE⊥AD②图如下所示:猜想∠BEC=45°,(2)选择图1证明,连接CE,取AB的中点M,连接MC,ME∵△ABC和△ABE都是直角三角形∴12MC ME AB AM BM====,∴点A,B,C,E四点在同一个圆M上,∴∠BEC=∠BAC=45°,∴∠BEC=45°【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识点,解题的关键是根据已知条件选择全等三角形的判定定理,并充分利用数形结合的思想解答.6.(1)4;(2)52;(3)600(2+1).【解析】【分析】(1)如图①中,证明△EOB≌△FOC即可解决问题;(2)如图②中,连接BD,取AC的中点O,连接OB,OD.利用四点共圆,证明∠DBQ=∠DAC=45°,再根据垂线段最短即可解决问题.(3)如图③中,将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA,首先证明AB+BC+BD=(2+1)BD,当BD最大时,AB+BC+BD的值最大.【详解】解:(1)如图①中,∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,∵∠EOF=90°,∴∠EOF=∠BOC,∴∠EOB=∠FOC,∴△EOB≌△FOC(SAS),∴S△EOB=S△OFC,∴S四边形OEBF=S△OBC=14•S正方形ABCD=4,故答案为:4;(2)如图②中,连接BD,取AC的中点O,连接OB,OD.∵∠ABD=∠ADC=90°,AO=OC,∴OA=OC=OB=OD,∴A,B,C,D四点共圆,∴∠DBC=∠DAC,∵DA=DC,∠ADC=90°,∴∠DAC=∠DCA=45°,∴∠DBQ=45°,根据垂线段最短可知,当QD⊥BD时,QD的值最短,DQ的最小值=22BQ=52.(3)如图③中,将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠BCD+∠BAD=∠EAD+BAD=180°,∴B,A,E三点共线,∵DE=DB,∠EDB=90°,∴BE2BD,∴AB+BC=AB+AE=BE2BD,∴BC+BC+BD2+1)BD,∴当BD最大时,AB+BC+BD的值最大,∵A,B,C,D四点共圆,∴当BD为直径时,BD的值最大,∵∠ADC=90°,∴AC是直径,∴BD=AC时,AB+BC+BD的值最大,最大值=6002+1).【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,四点共圆,圆周角定理,垂线段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.7.(1)43π;(222+,81;(3)283π1892+;(4)最小公倍数.【解析】试题分析:(1)根据正三角形的性质及弧长公式求出点A绕点B、点C旋转的两段弧长相加即可.(2)①根据正方形旋转一周的路径,利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可,②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径,进而得出4120(2222ππ+=+ ,即可得出旋转次数. (3)方法同(2);(4)边长相等的两个正多边形,其中一个在另一个上翻转,当翻转后第一次回到初始位置时,该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的最小公倍数.试题解析:(1)∵点A 所经过的这两段弧所在圆的半径为1,所对圆心角均为120度 ∴点A 所经过的路线长为1201421803ππ⨯⨯=. (2)①顶点O经过的总路线长为:901902218018022⋅+⨯+=+=πππππ②由①:每翻转一周顶点O 经过的总路线长为:π222+4122022++÷=πππ即翻转20周后再翻一次,共翻81次.(3)①每翻三次翻一周,顶点O 所经过的总路线长为:2101721803⋅⨯=ππ 共翻四周回到初始位置,所以顶点O 所经过的总路线长为:728433⨯=ππ. ②每翻四次翻一周,顶点O 所经过的总路线长为:16211628121801804510⋅⨯+=+πππ 共翻5周回到初始位置,所以顶点O 所经过的总路线长为:8118545102+⨯+=π()π(4)最小公倍数 考点: 1.旋转的性质;2.等边三角形的性质;3.正方形的性质;4.弧长的计算;8.(1)PAO2)见解析;(3)⊙O 的半径为2或5【解析】【分析】(1)过点A 作BP 的垂线,作直径AM ,先在Rt △ABH 中求出BH ,AH 的长,再在Rt △AHP 中用勾股定理求出AP 的长,在Rt △AMP 中通过锐角三角函数求出直径AM 的长,即求出半径的值;(2)证∠APB =∠PAD =2∠PAE ,即可推出结论;(3)分三种情况:当AE ⊥BD 时,AB 是⊙O 的直径,可直接求出半径;当AE ⊥AD 时,连接OB ,OE ,延长AE 交BC 于F ,通过证△BFE ∽△DAE ,求出BE 的长,再证△OBE 是等边三角形,即得到半径的值;当AE ⊥AB 时,过点D 作BC 的垂线,通过证△BPE ∽△BND ,求出PE ,AE 的长,再利用勾股定理求出直径BE 的长,即可得到半径的值.【详解】(1)如图1,过点A 作BP 的垂线,垂足为H ,作直径AM ,连接MP ,在Rt △ABH 中,∠ABH =60°,∴∠BAH =30°,∴BH=12AB =2,AH =AB •sin60°= ∴HP =BP ﹣BH =1,∴在Rt △AHP 中,AP∵AB 是直径,∴∠APM =90°,在Rt △AMP 中,∠M =∠ABP =60°,∴AM =APsin 60︒=3,∴⊙O ,即PA ⊙O (2)当∠APB =2∠PBE 时,∵∠PBE =∠PAE ,∴∠APB =2∠PAE ,在平行四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠APB =∠PAD ,∴∠PAD =2∠PAE ,∴∠PAE =∠DAE ,∴AE 平分∠PAD ;(3)①如图3﹣1,当AE ⊥BD 时,∠AEB =90°,∴AB 是⊙O 的直径,∴r =12AB =2; ②如图3﹣2,当AE ⊥AD 时,连接OB ,OE ,延长AE 交BC 于F ,∵AD ∥BC ,∴AF ⊥BC ,△BFE ∽△DAE , ∴BF AD =EF AE,在Rt△ABF中,∠ABF=60°,∴AF=AB•sin60°=BF=12AB=2,∴28,∴EF,在Rt△BFE中,BE5,∵∠BOE=2∠BAE=60°,OB=OE,∴△OBE是等边三角形,∴r=5;③当AE⊥AB时,∠BAE=90°,∴AE为⊙O的直径,∴∠BPE=90°,如图3﹣3,过点D作BC的垂线,交BC的延长线于点N,延开PE交AD于点Q,在Rt△DCN中,∠DCN=60°,DC=4,∴DN=DC•sin60°=CN=12CD=2,∴PQ=DN=设QE=x,则PE=x,在Rt△AEQ中,∠QAE=∠BAD﹣BAE=30°,∴AE=2QE=2x,∵PE∥DN,∴△BPE∽△BND,∴PEDN =BPBN,∴BP 10,∴BP=10x,在Rt△ABE与Rt△BPE中,AB2+AE2=BP2+PE2,∴16+4x2=(10﹣3x)2+(x)2,解得,x 1=63(舍),x 2=3, ∴AE =23, ∴BE =22AB AE +=224(23)+=27, ∴r =7, ∴⊙O 的半径为2或475或7.【点睛】此题主要考查圆与几何综合,解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.9.(1)1;(2)①4b =-;②26c ≤<;(3)D 一定在线段AB 上,5210+=CD 【解析】 【分析】(1)根据题意顶点P (k ,h )可将二次函数化为顶点式:()2y a x k h =-+,又4y k =+与抛物线交于点A 、B ,无论h 、k 为何值,AB 的长度都为4,即可得出a 的值;(2)①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等,可得到顶点P 的横坐标,根据韦达定理结合(1)即可得到b 的值,②根据(1)和(2)①即可得二次函数对称轴为x=2,利用点Q (0,2)关于对称轴的对称点R (4,2)可得QR=4,又QR 在直线y=2上,故令M 坐标(t ,2)(0≤t <2),代入二次函数即求得c 的取值范围;(3)由c=-b-1代入抛物线方程即可化简,将抛物线绕原点逆时针旋转αα,且tanα=2,转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ,且tanα=2,可得到直线l 的解析式,最后联立直线方程与抛物线方程运算求解. 【详解】解:(1)根据题意可知1二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的顶点为P (k ,h ),故二次函数顶点式为()2y a x k h =-+,又4y k =+与抛物线交于点A 、B ,且无论h 、k 为何值,AB 的长度都为4, ∴a=1; 故答案为:a=1.(2)①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等 ∴222b bx a =-=-= ∴4b =-故答案为:4b =-.②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R当2c =时,242y x x =-+ 令2y =,则2242x x =-+ 解得14x =,20x =此时()0,2M ,()4,2N ,4MN QR == ∵4QM QN +=∵QM NR = ∴4QN NR QR +==∴N 在线段QR 上,同理M 在线段QR 上 设(),2M m ,则02m ≤<,224m m c =-+2242(2)6c m m m =-++=--+∵10-<,对称轴为2m =,02m ≤< ∴c 随着m 的增大而增大 ∴26c ≤<故答案为:26c ≤<.(3)∵1c b =--∴21y x bx b =+--将抛物线绕原点逆时针旋转α,且tan 2α=,转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ,且tan 2α=,∴l 的解析式为2y x =221y x y x bx b =⎧⎨=+--⎩∴2(2)10x b x b +---= ∴2224(2)448b ac b b b ∆=-=-++=+∴22b x -+±=∴12D b -++⎝⎭22244124442444AB ac b b b b y k b a ---+-+=+=+==-++124224AB D b y y b b ⎛⎫-+-=-++-++=⎪⎝⎭∵20b ≥∴14104D ABy y -=≥==>∴点1D 始终在直线AB 上方∵222b C b ⎛-+--+-⎝⎭∴222 24448 28244BC Ab b by y b b b⎛⎫-+--+ -=-+-+--++=⎪⎝⎭∴2222448848416 AB Cb b b by y-+++--++-+ -==()2282164b-+-+=∵2727b-<<,即2028b≤<,∴22284b≤+<设28n b=+,224n≤<∴2(2)164AB Cny y--+-=∵14-<,对称轴为2n=∴当224n≤<时,AB Cy y-随着n的增大而减小∴当4n=时,0AB Cy y-=∴当224n≤<时,AB Cy y>∴区域S的边界与l的交点必有两个∵1D ABy y>∴区域S的边界与l的交点D一定在线段AB上∴D ABy y=∴2(2)164D C CABny y y y--+-=-=∴当22n=时,D Cy y-有最大值122+此时1222D Cx x+-=由勾股定理得:()()2252102C CD DCD x x y y+=-+-=,故答案为:5210+=CD . 【点睛】本题考查二次函数一般式与顶点式、韦达定理的运用,以及根与系数的关系判断二次函数交点情况,正确理解相关知识点是解决本题的关键. 10.(1)y =x 2-4x +3 ;(2) P(36626--,);(3) 9922m -+= 【解析】 【分析】 (1)把,,代入,解方程组即可.(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG,则点G 在线段BC 上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO 与抛物线的交点即为所求的点P .利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O 顺时针旋转得到,首先证明,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y 得到,由,推出,,M 、N 关于直线对称,所以,设,则,利用勾股定理求出a 以及MN 的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.【详解】 (1),,,代入,得,解得,∴抛物线的解析式为(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K.由题意,,,,,,,将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,,,,是等腰直角三角形,,∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,, ,∴直线OD的解析式为,,∴直线OG的解析式为,由解得或, 点P在对称轴左侧,点P坐标为(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到,,,,,,,,,,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y得到,,,∴M、N关于直线对称,,设,则,,(负根已经舍弃),,,【点睛】本题考查了二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定与性质、根与系数的关系、勾股定理等知识点,解题的关键是灵活运用所学知识,学会利用旋转添加辅助线,构造全等三角形,学会利用方程组及根与系数的关系,构建方程解决问题,本题难度较大.11.(1) A(0,2),B(4,0),272 2y x x=-++;(2)当t=2时,MN有最大值4;(3) D点坐标为(0,6),(0,-2)或(4,4).【解析】【分析】(1)首先求得A、B的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;(2)本问要点是求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值;(3)本问要点是明确D点的可能位置有三种情况,如答图2所示,其中D1、D2在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D3点在第一象限是直线D1N和D2M的交点,利用直线解析式求得交点坐标即可. 【详解】解:(1)∵122y x =-+的图象交y 轴于点A ,交x 轴于点B 点, ∴A 、B 点的坐标为:A (0,2),B(4,0),将x=0,y=2代入2y x bx c =-++得c=2,将x=4,y=0,代入2y x bx c =-++得b=72, ∴抛物线解析式为:2722y x x =-++; (2)如答图1所示,设MN 交x 轴于点E ,则E(t ,0),则M(t ,122t -),又N 点在抛物线上,且x N =t , ∴2722N y t t =-++, ∴()22271224=2422N M MN y y t t t t t t ⎛⎫=-=-++--=-+--+ ⎪⎝⎭, ∴当t=2时,MN 有最大值4.(3)由(2)可知A (0,2)、M(2,1)、N(2,5),以A 、M 、N 、D 为顶点做平行四边形,D 点的可能位置有三种情况,如答图2所示,当D 在y 轴上时,设D 的坐标为(0,a ), 由AD=MN ,得|a-2|=4,解得a 1=6,a 2=-2, 从而D 点坐标为(0,6)或D (0,-2),当D 不在y 轴上时,由图可知D 3为D 1N 与D 2M 的交点, 分别求出D 1N 的解析式为:162y x =-+, D 2M 的解析式为:322y x =-, 联立两个方程得:D 3(4,4),故所求的D 点坐标为(0,6),(0,-2)或(4,4). 【点睛】本题主要考查的是二次函数综合,经常作为压轴题出现,正确的掌握二次函数的性质是解题的关键. 12.(1)214y x x =-;(2)①122y x =-+,②1,见解析,定值为1 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法把点(4,0)、(2,3)-代入解析式,再结合抛物线对称轴方程得到三元一次方程组,解方程组即可.(2)①先求出平移后的抛物线解析式,设出直线MA 的解析式1y kx =-,再联立抛物线解析式2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,得到21104x kx -+=,令210k ∆=-=,求出k 的值,得出APM ∆为等腰直角三角形,运用APM ∆与BQO ∆相似得出90BQO APM ∠=∠=,故AB :y mx n =+,则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩即可求出AB 函数关系式.②当M 在y 轴上时,m=0,再根据图像对称性可得A 、B 两点关于y 轴对称,得出a ,b 的关系,即可求出答案;当M 不在与轴上时,设MA :111y k x k m =--,联立抛物线解析式112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩,得出2114440x k x k m -++=,令212=16(1)0k k m ∆--=,同理设出MB ,令22216(1)0k k m ∆=--=,故1k ,2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根,得出12k k m +=,即可求出答案. 【详解】解:(1)设2y=ax +bx+c a (≠0),把点(4,0)、(2,3)-代入 ∵对称轴为x=2∴164042322a b c a b c b a ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1410a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∴抛物线解析式214y x x =-. (2)①(0,1)M -,平移后抛物线214y x = 设MA :1y kx =-则联立2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,21104x kx -+=210k ∆=-=1k ∴=±又由图,A 在y 轴右侧 故1k =,(2,1)A2AP PM ∴==,APM ∆为等腰直角三角形又APM ∆与BQO ∆相似∴△BQO 为等腰直角三角形,设B (﹣x ,x ),带入抛物线解析式得:214x x = 解得x=4或x=0(舍去) ∴B (﹣4,4)设AB :y mx n =+,把(2,1)A ,B (﹣4,4)带入得:则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩,122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴AB 解析式为:122y x =-+. ②(i )∵214y x =关于y 轴对称,M 在y 轴上,且MA ,MB 与抛物线只有一个交点 ∴A 、B 两点关于y 轴对称, ∴a=﹣b∴m a m b --=0+b0b-=1, 故答案是:1;(ii )设MA :111y k x k m =--,则联立112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩, 2114440x k x k m -++=,此方程仅一个根, 故11422k a k ==, 且212=16(1)0k k m ∆--=,同理设MB :221y k x k m =--, 亦有22b k =,22216(1)0k k m ∆=--=,故1k ,2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根,12k k m +=,()111122122m k m k m am b m m k k m ---∴===----, 即m am b--为一定值1, ∴当点M 不在y 轴上时,m am b--为一个定值1. 【点睛】本题考查的是二次函数综合题型,二次函数待定系数法求函数解析式,二次函数与一元二次方程的综合应用,二次函数与相似三角形的综合应用,解题关键在于理解题意,正确分析题目,运用数形结合思想进行解题.。

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