一笔画(七桥问题)教学提纲
哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
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2019年秋七年级数学校本--第一节《七桥问题》教案
第一节七桥问题（一笔画问题）授课时间：教学目标：1、让学生了解一笔画问题的解决方法；2、通过学习，了解图论发展的起源及其应用之广泛；3、让学生体会数学对思考问题的作用，激发学生对数学的兴趣。
教学重点难点：一笔画问题的解决过程、方法教学过程：[引入]我想大家对“签名”这个词一定都不陌生，拿起笔，刷刷几下，一个突显个性的签名就产生了。
现在请大家看这样一个图形,据说穆罕默德他不识字，于是就以这个图形作为他的签名。
现在请你拿出笔试试看，你会模仿他的签名吗？模仿得像不像呢？我想穆罕默德看到了一定能辨出真假，因为他这个签名是一笔画成的，你用几笔画成，连接处可能会有空隙，而且这个感觉根一笔画出来的肯定是不一样。
穆罕默德应该是伊斯兰教的，跟中国的回族有点联系，所以看了这个进口的问题之后，使我很自然地联想到我们国产的一个游戏，请大家看这个图形，有点像“回”字，你能不能从某一点出发，不重复地一笔把它画出来？这就是中国民间古老的一笔画游戏，而这个图形实际上也是来源于生活。
大家知不知道古代量米用的“斗”?上下都是四方的，底小口大，从上往下看就是这样的图形。
我记得我小学时候就玩过这个游戏，但是试了很久也没有成功，大家动笔试试看。
好像有点难度吧。
这类“一笔画”问题中最著名的当属“哥尼斯堡七桥问题”了。
[七桥问题]故事发生在十八世纪的东普鲁士，哥尼斯堡是一座风景秀丽的城市，普莱格尔河从这里流过，它有两条支流，一条称新河，另一条叫旧河，两河在城中心汇合成一条主流，叫做大河。
汇合处有两座小岛，河上有7座桥，岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。
渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只通过一次，最后仍回到起始地点？请大家思考，你能做到吗？请你试一试，如果能，请给出画法，如果不能，请思考问题出在哪里？这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。
七桥问题与一笔画教学设计
七桥问题与一笔画赤城四小 叶考良【教学目标】1、让学生体会用数学知识解决问题得方法。
2、通过其中抽象出点、线得过程,使学生对点、线有进一步得认识。
3、生活中得许多问题,可以用数学方法解决,但首先要通过抽象化与理想化建立数学模型、解决问题,通过“一笔画”得数学问题,解决实际问题。
4、究“一笔画”得规律得活动,锻炼学生克服困难得意志及勇于发表见解得好习惯。
5、“一笔画”问题及其结论得了解,扩大学生知识视野,激发学生学习兴趣。
【重点】,运用“一笔画”得规律,快速正确地解决问题。
【难点】,探究“一笔画”得规律 【教学过程】一、展示问题引入新课下面呢老师要给大家讲个故事: 18世纪时,欧洲有一个风景秀丽得小城哥尼斯堡,那里有七座桥。
(课件出示)如图所示:河中有两个小岛, 一个岛与河得左岸、右岸各有两座桥相连结,另一个岛与河得左岸、右岸各有一座桥相连结,两个岛屿之间也有一座桥相连结。
人们经常在桥上走过,一天又一天,７座桥上走过了无数得行人。
不知从什么时候起,脚下得桥梁触发了人们得灵感,一个有趣得问题在居民中传开了:谁能够一次走遍所有得７座桥,而且每座桥都只通过一次呢？大家都想找出问题得答案,但就是谁也解决不了这个七桥问题。
同学们,您能解决这个问题吗？为什么？您就是怎样想得。
二、分析并构建数学模型:后来著名数学家欧拉就是这样解决得:她把两个岛屿与陆地分别瞧成点A,B,C,D 、所走得七桥路线用线条表示,这样就构成了一个简单图形,于就是,七桥问题就变成了这样一个图形问题:也就就是怎样才能从A 、B 、C 、D 中得某一点出发,一笔画出这个图形。
这节课我们重温欧拉得研究之路,探寻什么样得图形可以一笔画。
一笔画指:1、下笔后笔尖不能离开纸。
2、每条线都只能画一次而不能重复。
同学们快速判断下面哪些图形能够一笔画?像这样各部分连在一起得图形,叫做连通图。
能一笔画得图形必须就是连通图。
A 岛D 岸B 岛C● 点A 、B 表示岛 点C 。
七桥问题与一笔画教案(陈勇欢)
惯。
2、 通过“一笔画”问题及其结论的了解，扩
大学生知识视野，激发学生学习兴趣。
重点 运用“一笔画”的规律，快速正确地义税以对人上万外游以元经纳离大挂，营税于家靠2，人征0查共经1并单管5着 询同营年向位范这 分探为1报被2-围一 析87讨主告挂流月户之系 、。， 靠域实，外列 下 挂 人综现小。问 户 靠交上合税规原以题 调一人通缴治款模则X对 查、（道运管X理2企.X走.2.县X车护输理6实业X等 体1X访万0为辆县岸业费施2（县级 布师合的元2全例所对工是。户方三交： 置专治方；部，有交是程国 ，案）通X与业理法我为截人通X学.民 客设监运、措.论的.。县准道至）输9校经1运计测输教施文（任、一并交考路2，运实济3范业育设0五务纳、对通户工证作对1将业现的围税以计5）目税高调业，种号者年国车税社传与收及.林标.人提校查主货：.6内辆收会统7月时征为研草与户出行的要运X（培的登政功行底段管衡究X措规数教了政情以运一训一记策时能业，.基量。.施模题增学现管况自输）.单念些在执间的，1共本一高设.目加在理进1主4设位.也高被.行（：浅前实6有情所校6计：，户标一的行经计：在校（挂情四X谈提施登况高在.以但。活些基一营原.X发的一.靠况）新。营记 校实9X摘X远据把动高本般和则生行四）人和监鉴形自改的X 是现要低统思，校概性挂.针着政、治.（X征测定式2增.交X否教：1于7计想配行念分靠河、巨管水理货X管世（内单级下后通治具学小地，和合政析经为县政大理土任运情纪二容位领高，一输理备和流税2行高管内，营例共策的具保务企况以）0方：导校如、运论竞科域1移教动校理容提为浅有，变有持.业4开后总法X.安行何强业学争研.年综交育统的 出主谈交6X这提化一监）展，体与排政加化纳（习力两交日…前活一学弊 加，小通两高，定测名了随布频，各管强理税二，的项通期…移动到生端国强我流运个政大的.下专着局.次扎项理交论人）.帮全一重运：县交、全更，外税分域输1中治学借，题社.实任的通能0X治.助面个要输X.交的两军好并知收局综企（心敏校鉴以X8调1会工务创运X力理下武重职6（企1通户项和地在名征管合业一任锐园意-被研的履作新输2提目，装要能目三业运数重公完以教管理，治04）务性的义挂以。飞作 职，同路业19高标在自指是 ）现输，4大安成上育工户企理监，和陈。靠X调速、为 。严时径的,.我全己标建 帮工税.行教现基学作，X业实.测内鉴旧 人研发…一 我格， 税6始队的。立县录助程款业政育役学础家的（其9施目抓别的 主展…名 大按不 收0终官头本在X一工措3税治等部目之乌建三中方的、管能行关7要X，中消 量照断摘管坚兵脑论行、3作施收上一队标申议）案.河实理力政键.采我队建防 阅部提要理.持的，文政项实设征的系政。，斯1建般设为践、。管词取国政0设监 读队高 ？讲学共提，管目践计管（坚列治新着基与设计例执外在理：数高治、督 和的自 笔话习同高对理区 .情二任定工形重提规.浅法树改模高.据校指坚执 学条身随者精者努党高的8概姓 况）期性作式阐出模谈为形革式校（的导持法 习令政着带神强力性校基况名通调情监以和。会下述学.小民象强已行四.教员.全干 了条治社，下修行础.：过研况6测来思下议，了校.节、，警经政）.三育2面部 公例觉会3加积学，养政之X任)0，想面上高要看二。坚扎和很管河1、事X协， 安和悟的工极习我，管上职6障我上是来校有，、身持实两难理年总业现调只 部各，不环参者以进理，以四通的我，行三养小份严开学管；述也将可有 1项自断节加胜对一的也畜来1个过纯任深政要殖流证格展一理创职9在本持自规觉发看讲的工步基就牧的、方认洁职刻管素成域号执、做好新报发人续身章学展，党观作坚本说业学1个面真性以领理，本综：法部两当路告2生任发业制习和产性念高定概行习0指看学。来会的即高X的队项今径、…期展务度政进 3品、，度理念政值锻X标，习 的质创行8，重正快；规1…以、知管治步0 加守把负想进管2的炼之仍党 主总量新政0人要规大节举1模来2建构识理，工党加责信行理号1和头一然的二要书路管自才意化教奏措8的设建水和论人粗规强的念简令.工，6；存十、工记高径理任技义建育的 、%履全社平约，们放、学精，单以作…同全在八强作系低和中术，设中校 。产职们省会过束认的，严习神进概及实肉比县困大化，列举队不坚、的园 业情养肉主硬部真生我缺党，一述新.践牛增牛难、学特讲已3指足持精所师 化况吨育牛义，队贯活知乏纪强团…，发，产长期存和全习向话经导。执细学生虽为述，之养和才彻方识品反化结…布我业3曾栏问军，各精成员 的法化、日然方0职占恩殖谐能紧执式、牌腐素和实尽.情经6题和提位神以开5各为管所常X向如6全发的基社适紧行和4教带倡质施职况5X教，公高领%来发位民理得，4下县期言：地会应围党观的给动廉作领尽，5调过主安自导通，区老、工推头：肉以，一县的当绕肉我；教为中《责达查的我要现身汇过在消师服作所动， 类来为是的深前灭路牛做从育长队建的到与问的表役知报政支防，务获肉同 产关我父目刻消火线养人市等期支筑完了思候老现部识如队大我人三，牛比一量心们母标内防救、殖尊的场活坚部设成省考和师在队储下代的民严生增个、的支上，涵工援方呈敬道环动持一计了级 崇，：政备大表心的三产长无加1持了父把，作和现的理节，班防上肉 3生高脑从治和 队市中思实持3愧.强我生母发更的执5出各，看使一人火4牛观的海养工 党长%务委充想专.续于政市动给展加需勤3蓬位让，我项务规基，%、敬中殖作委述近的、满得题发党治真教的了肉清要训勃老我市深工实范；地出价意浮环会能的职年思市感到展、学育一我牛醒，练的师在受场刻作求》肉县栏值！现节议力领述来想人慨进。无习事课们产地才发，实益范认来真G牛“肉，观向出看精 导廉，大一 …，B党业生认能展同际无围识抓出要牛提，今他神 报5X学端、思步 …坚纪发听命作识更0势志工穷较到。栏X求产高坚天们发和任0告一正市绪提积一市定政展后和为到好1县头们作。窄加我3肉值自持受熟展习期 做思政又高4极、2正纪的很血调强立，：中人强深9牛0达身人到悉方近以专想府回，2参发1 确条社受肉结化足但 0更的营党知6存2终的民表式平来头题作、到增年加展.的规会启之构服丰 6是加一销的栏以思利彰面落总，亿，教风市了强庆消各现政，各发躯、务富 从在一明生模执1高想益的孔后书元同育，政自了祝防项状0治始界、；转意的述养这、确最式政万标觉第“和，记比。提协己教中政 方终人深一识饲职殖美不方难陈能头准悟一十表科占增在升，的师队治 向坚士受是式草人、好断向忘旧力和严和；佳情技系长学思向童节副教2 持表教老、资：加的，、；0能格道保”，含列1习想辛年大中育 为示育师促源(0工金强更最从5繁基要德持教正量.年中境勤和会9队理人衷。，增和、秋学加需保%母本求水思师是较末，界工学上长论民心今老收悠；市九习自要障牛自准想和这低，以作生的2学服的天师久牛场月，觉感环03己。道中些；全学切在时1万讲习务感参给着的肉和，努地念6，通德小扶从年县以实教代头话，的谢加了力养产保我力按的踏过的学我度能致做育，”认宗！全我点 殖量们提照是实学纯名一述繁用到战想中真旨 市们，传5欢高科养工习洁师路1职母为线起的完。 庆知以让3统聚自学育3作，性、成报牛主民的了两成进刚祝识标教，一身发之，政名长告达，、广小各一才教和准师提堂素展恩较治正校的 到将务大学类步，师灵化成出，质观好觉确长老 理实教、学加X节魂、为了共 的而地悟对表师今X论、师中习强大。X同 要给分完、待示们年与清、学X笔了会…庆一求予别大成理权热，以实廉教、记世，祝是去我作地了论力烈教来际。育大界见第加思了上各水、的给，相牢工学一观到3强考非最项平金祝2在结固作时年的在个基问常受工得钱贺各合树者来改座教础题好尊作到、！级，立致,造重师理，的重任提名向领注科��
最新七桥问题的教学设计 (2)
学院专业姓名七桥问题的教学设计一、教材分析“七桥问题”是高中数学选修四4-8图论中的内容，本节旨在使学生通过实际问题，了解图在刻画实际问题关系中的作用，掌握“一笔画”问题的原理，并会运用其解决实际问题。
二、学情分析学生此时已经完成了高中必修模块和选修模块2的学习，其数学思维能力已经得到多方位的培养，具备了理解、学习本部分内容的认知基础，通过揭示图论的基本理论和核心概念，能促进学生思维的发展，培养其用数学解决实际问题的能力，提高其数学学习的兴趣。
三、教学目标1.知识与技能让学生体会用数学知识解决问题的方法，掌握解决“一笔画”问题的基本原理并会应用它解决实际问题2.过程与方法通过把实际问题转化为数学图形问题，培养学生数学建模的思想和数形结合的意识，掌握将空间关系类问题转化为图论问题的一般方法。
3.情感态度与价值观从生活中的实际问题到数学问题，反映图论与现实世界的密切联系，认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高参加数学学习活动的积极性和好奇心。
四、教学重点1.让学生了解将实际问题转化为数学问题方法；2.让学生掌握“一笔画”问题的原理；3.让学生会运用“一笔画”问题原理解决问题。
五、教学难点1如何将实际问题转化为数学问题2理解“一笔画”原理，运用“一笔画”问题原理解决问题。
六、教学方法探究式教学法、启发式教学法七、教具准备教学演示文稿八、教学过程中小学校园足球运动损伤与预防研究XXXXXXXXX初级中学【摘要】足球运动是一项对抗性强的项目．在教学和运动过程中，学生难免出现运动性损伤，教师应分析造成运动性损伤的原因，采取有效措施，确保学生在足球教学和运动中的安全，以达到教学目的和锻炼身体的效果。
足球运动是损伤发生率较高的运动项目之一，本文介绍了足球运动中常见的损伤原因、类型及预防知识，并就足球运动损伤的危害性及预防的必要性提出建议。
了解损伤的原因及预防的知识对球员的身体健康有着很现实的意义。
七桥问题——精选推荐
七桥问题“七桥问题”教案教学⽬标：1、让学⽣了解图论发展的起源及其应⽤⼴泛性。
2、让学⽣知道“⼀笔画”问题的解决⽅法。
3、以此来激发学⽣学习数学的兴趣，培养学⽣的创新意识和创新精神。
教学重、难点：“⼀笔画”问题的解决⽅法。
教学过程：⼀、创设情景教师在轻柔的⾳乐声中，绘声绘⾊地给学⽣讲起了“故事”：今天这节课要解决的是数学史上⼀个⾮常著名的问题——七桥问题。
故事发⽣在欧洲波罗的海沿岸的哥尼斯堡城。
（多媒体展⽰地图简单介绍）18世纪的哥尼斯堡是⼀座美丽的城市，布勒格尔河从这⾥流过，这条河有两条⽀流在城中交汇，汇合处有两座⼩岛，⼈们在这⾥建起了⼀座公园，公园中七座桥把河两岸和⼩岛连接起来。
当时。
那⾥的居民们热衷于⼀个有趣的数学游戏：⼀个游⼈怎样才能⼀次⾛完七座桥，每座桥只能经过⼀次，最后⼜回到出发点呢？这个题⽬似乎不难，谁都愿意试⼀试，但是谁也没有成功，答案究竟是什么？你是否也想尝试⼀下呢？（多媒体展⽰七桥问题的简图）⼆、探究新知：1、建⽴模型（1）学⽣尝试七桥问题。
（2）问：你知道为什么我们⽆法完成这个问题吗？你能⽤学过的数学知识解释吗？（3）介绍七桥问题模型的建⽴：两岸的陆地与河中的⼩岛，都是桥梁的连接点，它们的⼤⼩、形状均与问题本⾝⽆关。
因此应该把这四块陆地抽象成什么呢？”（学⽣答出抽象为点。
）“7座桥是7条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题本⾝⽆关。
那么这七座桥⼜该抽象成什么呢？”（4）在教师的引导和学⽣的探索、讨论下，把七桥问题变成4个点和7条线.问题也转变为从任意点出发，笔不离纸，⼜不重复任意条边，“⼀笔画”出图形，且回到起点的“⼀笔画”游戏。
如图2、尝试⼀笔画：教师在讲解了“⼀笔画”的要求之后，对于下⾯⼏个图，提出了这样的要求：（1）能⼀笔画的，请标注上起点和终点，路线⽤箭头表⽰。
（2）⼩组内交流：a 、有⼏个图的起点和终点能重合，⼤家都是同⼀个点吗?b 、对于起点和终点不能重合的图，⼤家的位置都相同吗？（3）⼩组内讨论：你们觉得能不能⼀笔画取决于什么？（提⽰：从点引出的线的条数考虑）3、探寻规律：在学⽣汇报后，⼀起探寻⼀笔画的规律。
《七桥问题与一笔画》
2009—2010第一学期南开区六十三中学教师教案叫旧河，两河在城中心汇合成一条主流，叫做大河。
汇合处有两座小岛，河上有7座桥，岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。
渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只通过一次，最后仍回到起始地点。
这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。
因此，一群大学生就写信给著名的瑞士数学家欧拉，向他请教如何解决这个七桥问题。
欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。
欧拉是怎样解决这个问题的呢欧拉发现欧几里得几何并不适用于这个问题，因为桥不涉及“大小”，也不能用“量化计算”来解决。
相反地，这问题属于提出的“位置几何”。
欧拉想到，小岛无非是桥梁的连接地点，两岸陆地也是如此，那么可以把这四处地点用A,B,C,D四个点来表示，同时将七座桥表示成连结其中两点的七条线，就得到这样一张图．于是，欧拉建立了一个数学模型，一个人不重复地走遍所有的七座桥，就相当于从图中某一点出发，不重复地一笔画出图来．这样，“七桥问题”就转化为“一笔画”问题了。
欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。
图上其它的点是“过路点”——画的时候要经过它。
这些点有什么特征呢我们先来看看“过路点”，作业回字形的图中呢（8个点都是奇点，所以无法一笔完成）其实欧拉的结论只是给出了什么样的图可以一笔画出，具体怎么画还要我们根据不同的情况具体分析。
大家有没有兴趣尝试一下好，那我们就来试试看。
1、最近有个摄影展览，所有作品都布置在画廊里,入口处有个指示图，怎样才能既不走冤枉路又不漏看任一幅作品呢可看作这样一个图形来处理。
}2、甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。
六年级下册数学教案-6.9《七桥问题》人教新课标(秋)
《七桥问题》教学设计正安县市坪乡中心小学王杰一、教学内容：人教版小学数学六年级下册最后单元《整理和复习：数学思考》，教材第页阅读资料。
二、教学目标(一）知识与技能、初步学会“一笔画”的规律。
、体会用数学知识解决问题的方法。
（二）过程与方法、经历过程，探究“一笔画”的规律。
、通过学习，掌握“一笔画”规律，让学生了解生活中的许多问题，可以用数学方法解决。
（三）情感态度与价值观、通过“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。
、初步培养学生用转化的数学思想来解决问题的能力。
三、教学重难点教学重点：运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。
教学难点：探究“一笔画”的规律，熟练解决生活中的数学问题。
四、课前准备课件、纸等。
五、教学过程（一）创设情境、引出问题：1、师：（出示课件）故事发生在世纪东普鲁士的哥尼斯堡城，流经那里的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多。
在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，再回到出发点呢？问题提出后，人们纷纷进行了实验，但是在相当长的时间里，始终没有人能解决出来，有个大学生写信给天才数学家欧拉，请他帮忙。
欧拉经过一年多的思考和实地观察，年，欧拉证明了这个问题的不可能性。
他是这样处理的，他用四个点分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥，即把岸、岛转化成点，桥转化成线，这样一来就把实际问题转化一笔画问题。
师：板演，画出图（略）师：这就是数学史上著名的七桥问题，你愿意试一试吗？生：（愿意）。
师：板书课题：七桥问题二、探究新知1、认识一笔画：师：（出示课件）“一笔画”是一种有趣的数学游戏，那么什么样的图形可以一笔画成呢？有没有规律可寻呢？让我们来了解三个新概念：（）一笔画：是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
(如：五角星。
简单阐述起点、中间点<路过点>、终点）()奇点：有奇数条边相连的点。
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例3：再回到“七桥问题”，问：在 何处架设一座桥，可使游人一次走 遍所有各桥？
例4：某花园小径如图，问：你能否 从图中点1出发不重复地走过所有小 径？如果能，请标出所经过各点的 顺序；如果不能，请标出必须重复 走的小径。
练习：下面各图，能否一笔画出？ 若能，请画出走法；若不能，请说 明理由。
留一道作业：下面的五环标志可否一笔 画成？如何画？
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为 偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一 个奇点为起点，另一个奇点终点。例如下图 的线路是：①→②→③→①→④
下列图形中那几个可以一笔画出来？
（1）、（2）、（4）可以一笔画出；（3）、（5）不能一笔画 出
例1 下列哪几个图能一笔画出？如果能，给出画法。
分析点拨： 图（1）中共9个点，都是偶点，所以可以一笔画出，九个点 中的任意一个都可以作为起点。 图（2）中有四个奇点，不能一笔画出。 图（点作为起点均可。
例2：如果两只蚂蚁分别从甲、乙两 处出发，那么，哪一只能够不重复 地爬遍所有的小路？应该怎样爬？
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一笔画(七桥问题)
以下网络中哪一个是可以遍历的(即 一笔而不重复地画成)？
拓扑学起源于公元1736年一个著名问题—— 哥尼斯堡七桥问题——的解决．
哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它 包含两个岛屿及连接它们的七座桥．该河流 经城区的这两个岛．岛与河岸之间架有六座 桥，另一座桥则连接着两个岛．星期天散步 已成为当地居民的一种习惯，但试图走过这 样的七座桥，而且每桥只走过一次却从来没 有成功过．但直至引起瑞士数学家欧拉 (Leonhard Euler，1707—1783)注意之前， 没有人能够解决这个问题 ．
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么 叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点； 与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的①、 ④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时 可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完 此图。例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤ →⑦→②→④→⑥→⑦→①
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡 （原列宁格勒）的科学院做研究。他的德国朋友告 诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样 的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七 桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了， 这个 图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。