高三上学期期中考试数学理
宁夏六盘山高级中学2023届高三(提升班)上学期期中考试数学(理)试题
宁夏六盘山高级中学2023届高三（提升班）上学期期中考试数学（理）试题1.已知集合，，则为（）A ．B ．C ．D ．2.“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件为（）A．B．C ．D ．或3.已知，则（）D．2 A．B．C．4.已知等腰直角，，为边上一个动点，则的值为（）A．1 B．2 C．D．5.已知在等比数列中，，，则（）A．B．C．D．6.定义为a，b，c中的最小值，设，则M的最大值是（）A．B．C．1 D．27.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（）A．4.5尺B．5尺C．5.5尺D．6尺8.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在上（）A．是减函数，且B．是增函数，且C．是减函数，且D．是增函数，且9.在△ABC中，若22=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形10.已知函数，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．11.已知函数，若存在实数（且），使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，给出下列命题①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3；其中正确的命题有（）A．①②③B ．①②④C．②③④D ．①③④13.已知平面向量，，若，则________．14.已知数列的前项和，那么它的通项公式为__．15.若，，且，，则的值是______．16.已知函数，且，给出下列命题：①；②；③当时，；④，其中正确的命题序号是_____．17.已知数列各项均为正数，且．(1)求的通项公式；(2)记数列前项的和为，求的取值范围．18.已知向量，，函数．将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．(1)求函数的零点；(2)若锐角的三个内角的对边分别是，，，且，求的取值范围．19.在中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)如图，若为外一点，且，，，，求的面积．20.函数，．(1)求的单调递增区间；(2)对，，使成立，求实数的取值范围．21.已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)求证：.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．(1)写出的直角坐标方程和的普通方程；(2)设的交点为P，Q，点M在上，当的面积最大时，求点M的直角坐标．23.函数的最大值为4，．（1）求的值；（2）若，，为正实数，且，求证：．。
吉林省2024-2025学年高三上学期10月期中考试(第78届联考)数学试题含答案
2024-2025学年度友好学校高三期中考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，则A B = （）A.{}0,2 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1,2- D.{}1,0,1,2,3-【答案】A 【解析】【分析】根据交集定义求解.【详解】因为{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，所以A B = {}0,2，故选:A.2.已知命题p ：x R ∃∈，2e 1x x <-，那么命题p ⌝为（）A.x R ∃∈，2e 1x x ≥-B.x R ∀∈，2e 1x x <-C.x R ∀∈，2e 1x x ≥-D.x R ∀∈，2e 1x x >-【答案】C 【解析】【分析】利用特称命题的否定变换形式即可求解.【详解】p ：x R ∃∈，2e 1x x <-，则p ⌝：x R ∀∈，2e 1x x ≥-.故选：C3.函数()2ln 6f x x x =+-的零点所在区间为（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,3【答案】D 【解析】【分析】利用零点存在定理可判断出函数()y f x =的零点所在的区间.【详解】易知函数()y f x =在 ꌸध 上单调递增，又()150f =-<，()2ln 220f =-<，()3ln 330f =+>，故函数()y f x =的零点所在区间为()2,3．故选：D.【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题.4.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()30330m,-在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）62.(sin15)4-︒=A.30mB.60mC.303mD.603m【答案】D 【解析】【分析】在ACM △中，利用正弦定理，得sin15sin 30AM CM ︒=︒，再结合锐角三角函数的定义，求得AM ，CD ，得解．【详解】由题意知，45CAM ∠=︒，1801560105AMC ∠=︒-︒-︒=︒，所以1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒，在Rt ABM 中，sin sin15AB ABAM AMB ==∠︒，在ACM △中，由正弦定理得，sin 30sin 45AM CM=︒︒，所以sin 45sin 45sin 30sin15sin 30AM AB CM ︒︒==︒︒⋅︒，在Rt DCM中，()30sin 45sin 60sin 6060sin15sin 30AB CD CM -⋅︒⋅︒=⋅︒==︒⋅︒所以小明估算索菲亚教堂的高度为米．故选：D ．5.设π02θ<<，若()2sin cos 3θθθ++=，则sin2θ=（）A.32B.12C.2D.34【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出πsin(2)13θ+=，结合角的范围求得θ，即可求得答案.【详解】由题意()2sin cos 3θθθ++=，则12sin cos 3θθθ++=，即sin22θθ+=，故π2sin(2)23θ+=，即πsin(2)13θ+=，由于π02θ<<，所以ππ4π2(,333θ+∈，则ππ232θ+=，即π12θ=，故π1sin2sin 62θ==，故选：B6.曲线2e x y x =在点()1,e 处的切线方程为（）A.e 2e 0x y +-=B.3e 4e 0x y +-= C.3e 2e 0x y --= D.e 32e 0x y -+=【答案】C 【解析】【分析】用导数几何意义去求切线方程即可.【详解】由2e x y x =，得22e e e (2)x x x y x x x x '=+=+，所以该曲线在点(1,e)处的切线斜率为3e k =，故所求切线方程为e 3e(1)y x -=-，即3e 2e 0x y --=．故选：C.7.已知4log 2a =，8log 3b =，1215c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.a b c << B.c a b<< C.a c b<< D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】由题意可得12a =，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出12b >和12c <即可得解.【详解】由题41log 22a ==，又由3log y x =是增函数可知881log 3log 2b =>=，121152c ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，∴c a b <<，故选：B.8.函数f(x)＝2log ,02,0x x x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a<0B.0<a<C.<a<1D.a≤0或a>1【答案】A 【解析】【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在 时，2log y x =存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件.【详解】当 时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2x x a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集，【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件B.221log 4y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最大值为2-C.若22cos sin 1αβ+=，则αβ=D.命题“()0,x ∀∈+∞，11x x +>”的否定是“()0,x ∀∈+∞，11x x+≤”【答案】AB 【解析】【分析】利用特殊值判断A ，根据对数函数的性质判断B ，利用平方关系及诱导公式判断C ，根据含有一个量词命题的否定判断D.【详解】对于A ：若0a =，1b =-，满足a b >，但是22a b <，故充分性不成立，若1a =-，0b =，满足22a b >，但是a b <，故必要性不成立，即“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故A 正确；对于B ：由2104x -+>，解得1122x -<<，所以函数221log 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，又211044x <-+≤，所以当0x =时函数221log 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最大值，且max 21log 24y ==-，故B 正确；对于C ：因为22cos sin 1αβ+=，又22cos sin 1ββ+=，所以22cos cos αβ=，所以πk βα=+，Z k ∈，故C 错误；对于D ：命题“()0,x ∀∈+∞，11x x +>”的否定是“()0,x ∃∈+∞，11x x+≤”，故D 错误；10.下列说法正确的是（）A.函数()f x =()g x =是相同的函数B.函数()f x =的最小值为6C.若函数()313xxk f x k -=+⋅在定义域上为奇函数，则1k =D.已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()f x 的定义域为[]1,3-【答案】AD 【解析】【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A ，由基本不等式即可求解B ，根据奇函数的性质即可求解C ，由抽象函数定义域的性质即可求解D.【详解】对于A ，由题意可得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，所以()f x =[1-，1]．由210x -≥得11x -≤≤，所以()g x =[1-,1]．又因为()()f x g x =，故函数()f x 与()g x 是相同的函数，故A 正确．对于B,()6f x ==2169x +=方程无解，故等号不成立，故B 错误．对于C,若()313xxk f x k -=+⋅在定义域上为奇函数，当0k <时，x 需要满足01313xxkk +≠≠-⋅⇒，则由奇函数定义域关于原点对称，可得0131k k-=⇒=-，此时()()133031131x x x x f x x --==≠-+-，()()13313131x x x xf x f x ---===--++-，为奇函数，所以1k =-满足题意；若0k ≥，可得函数的定义域为R ,故()1001k f k-==+，解得1k =，经检验符合题意，所以1k =±，故C 错误，对于D ，对于已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则11x -≤≤，故1213x -≤+≤，则函数()f x 的定义域为[]1,3-，D 正确，故选：AD ．11.已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =++的图象为C ，以下说法中正确的是（）A.函数()f x 的最大值为12+B.图象C 关于π8,0⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C.函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数D.函数()f x 图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移π4可得到2sin 12y x =+【答案】CD 【解析】【分析】根据降幂公式、二倍角正弦公式，结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、图象变换性质逐一判断即可.【详解】()211cos 2112πsin sin cos sin 2sin 21222224x f x x x x x x -⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭.A ：函数()f x 的最大值为12+，因此本选项不正确；B ：因为π2ππsin 2118284f ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图象C 不关于π8,0⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，因此本选项不正确；C ：当π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππ2,422x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，因此本选项正确；D ：函数()f x 图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到2πsin 124y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移π4可得到2sin 12y x =+，所以本选项正确，故选：CD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.设1x >-，则函数461y x x =+++的最小值是__________.【答案】9【解析】【分析】根据题意，化简4461511y x x x x =++=+++++，结合基本不等式，即可求解.【详解】由1x >-，可得10x +>，则446155911y x x x x =++=+++≥+=++，当且仅当411x x +=+时，即1x =时，等号成立，所以函数461y x x =+++的最小值是最小值为9.故答案为：9.13.已知集合2}71|0{2A x x x =++≤，集合{}|122B x m x m =-<<其中x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则m 的取值范围是________________．【答案】5,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由条件可得AB ，化简集合A ，根据集合的包含关系列不等式可求m 的取值范围.【详解】因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以AB ，因为不等式27120x x ++≤的解集为{}43x x -≤≤-，所以{}43A x x =-≤≤-，所以23124m m >-⎧⎨-<-⎩，所以52m >，所以m 的取值范围是5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.14.关于函数()22sin cos f x x x x =-，有如下命题：（1）3x π=是()f x 图象的一条对称轴；（2）,06π（）是()f x 图象的一个对称中心；（3）将()f x 的图象向左平移6π，可得到一个奇函数的图象．其中真命题的序号为______________．【答案】(2)(3)【解析】【分析】将函数的解析式化为()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后对给出的三个命题分别进行验证后可得正确的命题．【详解】由题意得()sin22cos 26f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，对于（1），当3x π=时，22cos 2336f πππ⎛⎫⎛⎫=+≠± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3x π=不是函数图象的对称轴，所以（1）不正确．对于（2），6x π=时，2cos 0636f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06（）是()f x 图象的一个对称中心，所以（2）正确．对于（3），将()f x 的图象向左平移6π后所得图象对应的解析式为()2cos 266f x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦2cos 2222x sin x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，为奇函数，所以（3）正确．综上可得（2）（3）为真命题．故答案为（2）（3）．【点睛】本题考查三角函数的性质和图象变换，解题的关键是将函数的解析式化为()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的形式后，将26x π+作为一个整体，并结合余弦函数的性质求解，属于基础题．四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集U R =，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ð；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<I ð；（2）[]3,0-【解析】【分析】（1）分别求出U B ð和A ,再取交集，即可．（2）因为B A ⊆且11m m -<+恒成立，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解出即可．【详解】解：（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<ð或 h ，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤<I ð．（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得[]3,0m ∈-．【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．16.已知函数()ln sin f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值．【答案】（1）()1cos1sin1cos11y x =++--（2）sin1【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义结合给定条件求解切线方程即可.（2）利用导数结合零点存在性定理求出函数单调性，再求解最值即可.【小问1详解】由题意得，()1cos f x x x+'=，所以()11cos1f =+'，又()1sin1f =，所以曲线 y m 在点 ꌸm 处的切线方程为()()sin11cos11y x -=+-，即()1cos1sin1cos11y x =++--；【小问2详解】由上问得()1cos f x x x +'=，因为1y x =和cos y x =均在区间[]1,e 上单调递减，所以m 在区间[]1,e 上单调递减，因为()11cos10f +'=>，()112π11e cose cos 0e e 3e 2f =+<+=-<'，所以()0f x '=在()1,e 上有且只有一个零点，记为0x ，所以[)01,x x ∈时，m ；(]0,e x x ∈时，m ，所以()f x 在[)01,x 上单调递增，在(]0,e x 上单调递减，因为()()1sin1,e 1sine f f ==+，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为sin1．17.已知函数()22sin .f x x x =+（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）最小正周期T π=，单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）[]0,3.【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简()2216f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式计算得()f x 的最小正周期，由222262k x k πππππ-≤-≤+，Z k ∈可解得函数()f x 的单调增区间；（2）由x 的范围求出26x π-的范围，进一步求出sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得结果．【详解】（1）()22sin 1cos2f x x x x x=+=+-12sin2cos212sin 21226x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()f x \的最小正周期22T ππ==，令222262k x k πππππ-≤-≤+，Z k ∈，得63k x k ππππ-＃+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为1-()2216f x sin x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3．【点睛】方法点睛：函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>，把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；18.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =.（1）求A ；（2）求2b c a +的最大值.【答案】（1）π3A =（2）2213.【解析】【分析】（1）方法1，利用正弦定理边化角，进而可得tan A =，结合角的范围即可求解；方法2，利用余弦定理进行边角的互化，进而可得tan A =，结合角的范围即可求解；（2）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式进而可得()23b c B a ϕ+=+，结合正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】方法1：由sin cos b A B +=及正弦定理可得：()sin sin cos B A A B C A B +==+，所以sin sin cos cos sin B A A B A B A B +=+，故sin sin sin B A A B =，因为0πB <<，即sin 0B >，故sin 0A A =>，所以tan A =，又0πA <<，所以π3A =.方法2：由sin cos b A B +=及余弦定理可得：()222sin2a c b b A ac +-+=，所以)222sin 02b c a A A bc +-==>，所以tan A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由正弦定理可知22sin sin sin b c B C a A++=，即()2232π23532212sin sin sin cos sin 333223b c B B B B B a ϕ⎛⎫+⎡⎤⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，其中πtan 52ϕϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，2π7π0,036B B ϕ<<∴<+< ,故当π2B ϕ+=时，2b c a +19.设函数()2ln 25f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的极小值；（2）若关于x 的方程()()226f x x m x =+-在区间2[1,e ]上有唯一实数解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）极小值为()13f =-；（2）222{|11,=1}m m m e e≤<++或．【解析】【分析】（1）根据导函数的符号判断出单调性，然后可求出函数的极小值；（2）由题意并结合分离参数法得到方程2ln 11,e x m x ⎡⎤=+⎣⎦在区间上有唯一解，设()ln 1x g x x=+，然后得到函数()g x 的单调性和最值，进而得到其图象，最后根据y m =和函数()g x 的图象可得到所求的范围．【详解】（1）依题意知()f x 的定义域为()0,+∞，∵()2ln 25f x x x x =+-，∴()()()2411145145x x x x f x x x x x---+='=+-=，令()0,f x '=解得1,x =或14x =则()()1010,4x x f x f x '当或时，单调递增，()1104x f x <<<'当时，，()f x 单调递减．∴所以当 y 时函数()f x 取得极小值，且极小值为()13f =-．（2）()()()226ln 1f x x m x x m x =+-=-由得，0x >又，所以ln 1x m x=-，()()22261,e ,f x x m x ⎡⎤=+-⎣⎦要使方程在区间上有唯一解只需2ln 11,e x m x ⎡⎤=+⎣⎦在区间上有唯一解．令()ln 1(0)x g x x x =+>，则()21ln x g x x -'=，由()0g x '≥，得1x e ≤≤；由()0g x '≤，得2e x e ≤≤∴()g x 在区间[]1,e 上是增函数，在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数.∴当x e =时函数()g x 有最大值，且最大值为()11g e e =+，又()()2222ln 211,11e g g ee e ==+=+，∴当11m e =+或2211m e ≤<+时，ln 1x m x =+在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有唯一解，∴实数m 的取值范围为222{|11,=1}m m m e e≤<++或．【点睛】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数的大致图象，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的展现．。
陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.
福建省部分达标高中2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学含答案
高三半期考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{13}A x x =-<≤∣，{}1,2,3,4B =，则A B = （）A ．{}2,3B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}12．函数41tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4B ．22πC ．8D ．24π3．在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知复数()32z =-+，则z 的虚部为（）A ．-B ．C ．10-D ．105．在梯形ABCD 中，5BC AD = ，AC 与BD 交于点E ，则ED =（）A ．1166AD AB-B ．1177AD AB-C ．1166AB AD-D ．1177AB AD-6．将函数()cos y x ϕ=+图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象．若()y f x =的图象关于点7,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则ϕ的最小值为（）A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π7．已知22111x y+=，则221169x y --的最大值为（）A ．35-B ．49-C ．42-D ．48-8．若2sin cos 2tan3sin cos 1tan 3αααααα-=+-，则α的值可以为（）A ．12π-B ．20π-C ．10πD ．5π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若()f x 与()g x 分别为定义在R 上的偶函数、奇函数，则函数()()()h x f x g x =的部分图象可能为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在ABC 中，3AB AC ==，2BC =，点D ，G 分别边AC ，BC 上，点E ，F 均在边AB 上，设DG x =，矩形DEFG 的面积为S ，且S 关于x 的函数为()S x ，则（）A ．ABC 的面积为B ．()13S =C ．()S x 先增后减D ．()S x 11．已知向量a ，b ，c 满足6a = ，1b = ，,3a b π= ，()()3c a c b -⋅-= ，则（）A ．a b -=B ．cC ．a c - 的最小值为2D ．a c - 的最大值为62三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．log =________．13．已知14ω>，函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,ωπ上单调递增，则ω的最大值为________．14．已知函数()e x x f x m =-，()2exg x m =-，若()f x 与()g x 的零点构成的集合的元素个数为3，则m 的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos sin sin c A B a B C =．（1）求角B ；（2）若3a =，ABC 的面积为92，求b ．16．（15分）已知函数()3f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程；（2）若()ln f x m >恒成立，求m 的取值范围．17．（15分）已知函数()14sin sin 3f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭．（1）将()f x 化成()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的形式；（2）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（3）将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()h x 的图象，求不等式()0h x ≥的解集．18．（17分）已知函数()f x ，()g x 满足()2e exxf x ax -=-+，()()()2212e 1e 2e 2e x x f x g x a -⎛⎫+=-+-+ ⎪⎝⎭．（1）若()f x 为R 上的增函数，求a 的取值范围．（2）证明：()f x 与()g x 的图象关于一条直线对称．（3）若a ≥-，且关于x 的方程()()()e 22xf x f mg x +-=-在[]1,1-内有解，求m 的取值范围．19．（17分）若存在有限个0x ，使得()()00f x f x -=，且()f x 不是偶函数，则称()f x 为“缺陷偶函数”，0x 称为()f x 的偶点．（1）证明：()5h x x x =+为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．（2）对任意,x y ∈R ，函数()f x ，()g x 都满足()()()()22f x f y g x g y x y++-=+①若()g x y x=是“缺陷偶函数”，证明：函数()()F x xg x =有2个极值点．②若()32g =1x >时，()()21ln 12g x x >-．参考数据：1ln0.4812+≈ 2.236≈．高三半期考数学试卷参考答案1．C因为{13}A x x =-<≤∣，{}1,2,3,4B =，所以{}1,2,3A B = ．2．D 函数41tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期244T πππ==．3．B若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必不属于六畜；若甲的生肖不属于六畜，则甲的生肖一定不是马．故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件．4．A因为()()()321210z =-+=--+=+，所以z的虚部为-．5．A 因为5BC AD = ，所以AD BC ，且15DE AD BE BC ==，所以()11116666ED BD AD AB AD AB ==-=- ．6．A 依题意可得()1cos 2f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭．因为()y f x =的图象关于点7,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()17232k k ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，即()53k k πϕπ=+∈Z ，所以ϕ的最小值为5233πππ-=．7．D因为22111x y+=，所以()2222222222119161691692525249y x x y x y xy x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2222916y x x y=，即274x =，273y =时，等号成立．故221169x y --的最大值为14948-=-．8．B因为sin cos tan 1tan sin cos tan 14αααπαααα--⎛⎫==-⎪++⎝⎭，22tan3tan61tan 3ααα=-，且2sin cos 2tan3sin cos 1tan 3αααααα-=+-，所以()64k k πααπ-=+∈Z ，所以()205k k ππα=--∈Z ，所以α的值可以为20π-．9．AC因为()f x 与()g x 分别为定义在R 上的偶函数、奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()()()h x f x g x h x -=--=-，则()h x 为奇函数，其图象关于原点对称，故选AC ．10．ACD取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥，且AN ==，所以ABC的面积为122⨯⨯=，A 正确．过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，设CH 与DG 交于点M ，由等面积法可得1 2AB CH⋅=3CH=．由CM DGCH AB=，得9CH DGCMAB⋅==，则3MH CH CM=-=9-，所以()()2233992S x DG DE DG MH x x x⎛⎫=⋅=⋅=-=--+<⎪⎝⎭3)x<，则()19S=，则() S x在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()S x，B错误，C，D均正确．11．BC a b-==A错误．建立平面直角坐标系xOy，不妨假设()6,0a OA==，1,22b OB⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，设(),c OC x y==，则()6,c a x y-=-，1,22c b x y⎛-=--⎝⎭，代入()()3c a c b-⋅-=，整理得221343444x y⎛⎛⎫-+-=⎪⎝⎭⎝⎭，所以点C在以13,44M⎛⎫⎪⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆上．因为该圆经过坐标原点，所以cB正确．因为22133143604444⎛⎛⎫-+-=<⎪⎝⎭⎝⎭，所以点A在圆M内，因为a c AC-=，2AM=，所以a c-的最小值为43312，a c-的最大值为43312+，C正确，D错误．12．1525221515log log8log8222===．13．34因为[]0,x ωπ∈，所以,444x πππωπ⎡⎤-∈--⎢⎣⎦，又14ω>，所以04πωπ->，所以42ππωπ-≤，解得34ω≤，则ω的最大值为34．14．222210,,e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令()0f x =，得e x x m =，令()0g x =，得2e xm =．设()e x x h x =，()1exxh x -='，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max11e h x h ==．当0x >时，()0h x >，所以结合()h x ，()2exk x =的图象（图略）及()()22122e e h k ==<，得m 的取值范围是222210,,e e e ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．解：（1）因为sin cos sin sin c A B a B C =，所以sin sin cos sin sin sin C A B A B C =，2分因为sin 0A >，sin 0C >，所以cos sin B B =，4分所以tan 1B =．6分又()0,B π∈，所以4B π=．7分（2）因为193sin 242c π⨯=，所以c =，9分所以2222cos 918292b ac ac B =+-=+-⨯=，12分解得3b =．13分16．解：（1）()231f x x=--'2分所以()4481146f =--='．3分因为()4644852f =--=，所以曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程为()52464y x -=-，即46132y x =-．6分（2）()231f x x=--'()0,+∞上单调递增．8分因为()10f '=，9分所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，11分所以()()min ln 14m f x f <==-，13分解得410e m <<，故m 的取值范围为410,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．15分17．解：（1）()2114sin 4sin 12sin cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=-⨯-⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1分1cos212cos22sin 226xx x x x π-⎛⎫=-⨯+=+=+ ⎪⎝⎭．4分（2）由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．5分当266x ππ+=时，()f x 取得最小值，最小值为2sin 16π=；6分当262x ππ+=时，()f x 取得最大值，最大值为2sin 22π=．7分故()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2．8分（3）由题意可得()2sin 22sin 22cos26662h x f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11分则不等式()0h x ≥即为2cos20x ≥，得()22222k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，13分解得()44k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，即不等式()0h x ≥的解集为(),44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．15分18．（1）解：因为()f x 为R 上的增函数，所以()2e e 0x x f x a -=++≥'恒成立，2分因为()f x a a ≥='，3分当且仅当2e e xx-=，即1ln22x =-时，等号成立，4分所以0a ≥，即a ≥-，a 的取值范围为)⎡-+∞⎣．5分（2）证明：因为()2e exxf x ax -=-+，()()()2212e 1e 2e 2e x x f x g x a -⎛⎫+=-+-+ ⎪⎝⎭，所以()222e e 2x x g x a ax --=-+-，7分所以()()()()222ee 22x xg x a x f x ---=-+-=-，9分则()f x 与()g x 的图象关于直线1x =对称．10分（3）解：因为()()()e 22xf x f mg x +-=-，所以由（2）知()()()e 2xf x f m f x +-=，即()()e xf m f x -=．12分由（1）知，当a ≥-时，()f x 为R 上的增函数，所以e xm x -=，即e x m x =-．13分设()()e 11x h x x x =--≤≤，则()()e 111x h x x '=--≤≤，当10x -≤<时，()0h x '<，当01x <≤时，()0h x '>，14分所以()()min 01h x h ==，又()111eh -=+，()()11e 1h h =-+>-，所以()()max 1e 1h x h ==-．16分故m 的取值范围是[]1,e 1-．17分19．证明：（1）由()()h x h x -=，得()55x x x x -+-=+，则()()542210x xx x +=+=，1分解得0x =，所以()h x 只有1个偶点，且偶点为0，所以()5h x x x =+为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．3分（2）由题意得()()()()22f x g x x f y g y y +-=-++对,x y ∈R 恒成立，4分所以存在常数a ，使得()()()()22f x g x x f y g y y a +-=-++=．5分令y x =，得()()()()2,2,f x g x x a f x g x x a ⎧+-=⎪⎨-++=⎪⎩解得()223x x a g x -+=．6分①()21333g x x a y xx ==+-，由()()g x g x x x -=-，得2033x ax+=，即()220x a x =-≠，则20a ->，即0a <．7分()()3223x x ax F x xg x -+==，()23223x x aF x -+='，因为4240a ∆=->，所以()0F x '=必有两根1x ，2x （设12x x <），8分当1x x <或2x x >时，()0F x '>，当12x x x <<时，()0F x '<，所以函数()()F x xg x =有2个极值点1x ，2x ．9分②若()62323ag +==，则0a =，()23x x g x -=，10分当1x >时，要证()()21ln 12g x x >-，只需证()223ln 12x x x ->-，因为()()223420x x x x ---=-≥，所以234x x x -≥-，所以只需证()2334ln 12x x ->-．12分设函数()()()2334ln 112p x x x x =--->，则()()()()22231631121x x xp x x x x '--=-=>--，当112x <<时，()0p x '<，当12x +>时，()0p x '>，14分所以()min12p x p ⎛+= ⎝⎭，211122⎛++-= ⎝⎭，所以()min 3353153 2.236534ln 0.4810.132522222p x ++⨯-=--≈-⨯=，16分所以()min 0p x >，从而()()2334ln 102p x x x =--->，故当1x >时，()()21ln 12g x x >-．17分。
江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷(含解析)
镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷2024.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的元素个数为A．1B．2C．3D．42．设复数，则的虚部是A．1B．C．i D．3．等比数列的各项均为正数，若，，则A．588B．448C．896D．2244．已知向量，，则向量在上的投影向量为A．B．C．D．5．已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围A．B．C．D．6．已知为第一象限角，且，则A．9B．3C．D．7．设无穷等差数列的公差为，其前项和为．若，则“有最小值”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．在中，角，，的对边分别为，，若，则的最小值为AB．CD．{}1,2,3,4A=(){}2|log12B x x=-≤A B21i izi--=+z1-i-{}na1237a a a++=4322a a a=+789a a a++= a=()1,1b=-a b+=ab11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,2-()2,2-11,22⎛⎫-⎪⎝⎭a∈R()()e,0,ln1,0x a xf xx a x⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩R a()0,+∞()1,+∞[){}1,0+∞(){}1,0+∞θtan tan03⎛⎫++=⎪⎝⎭πθθ1cos21cos2+=-θθ1319{}na d nnS1a<nS0d≥ABC△A B C a b c22BC BC AB=⋅cos A1213二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．的最大值为D ．在上单调递增10．已知函数的导函数为A ．只有两个零点B ．C ．是的极小值点D ．当时，恒成立11．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则A ．存在，使得B ．当时，存在，使得平面C ．当，时，四面体D ．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为________米．，答案保留整数）()cos sin f x x x =⋅()f x ()f x π()f x 12()f x 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π()()2(1)44f x x x =--+()f x '()f x ()()4f x f x -'='1x =()f x 0x ≥()0f x ≥SO SAB △C AB 2AC CB =SM SC = λ(01,01)SN SB =<<<<μλμ()0,1∈λBC AM ⊥23=μ()0,1∈λ//AM ONC 13=λ23=μSAMN AN SC ⊥57=μED A D 45︒ED B D 60︒E 30︒ 1.7≈13．已知数列是单调递增数列，其前项和为（，为常数），写出一个有序数对________，使得数列是等差数列．14．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角三角形中，角，，所对的边分别是，，，已知．（1）求的值；（2）若，求的值．16．（15分）已知函数，．（1）求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线；（2）请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值．17．（15分）已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．18．（17分）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，．{}n a n 2n S An Bn =+A B (),A B =R ()g x ()212y g x =+-()g x ()*123211111n n a g g g g n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N {}n a ABC △A B C a b c cos 3cos22A A +=-cos A 23b c =sin C ()21f x x x =+-()e x g x =1y x =+()y f x =()y g x =()()f x g x +()()f x g x ⋅()()f xg x ()yh x =()h x *n ∈N {}n a n n S 21n n S a =-{}n b 12b =112n nb b +=-{}n a λ1n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭λλ2n n nb a ≥n P ABCD -90ABC ACD ∠=∠=︒30BCA CDA ∠=∠=︒PA ⊥ABCD E F PD PC 1AB =（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离；（3）若二面角．19．（17分）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．PAC ⊥AEF 2PA =F ACE A PD C --PA ()ln f x ax x x =-1a =()f x 1x >()1f x <-a *n ∈N ()111ln 11nni i n i ==>+>+∑镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】，共3个元素，选C ．2．【答案】B 【解析】，虚部为，选B ．3．【答案】B 【解析】，∴，∴或（舍），选B ．4．【答案】D 【解析】，∴在上的投影向量，选D ．5．【答案】D 【解析】时，无解，∴或；时，无解，∴则，选D ．6．【答案】C 【解析】，∴，，选C ．7．【答案】A 【解析】“有最小值”“”，∴“有最小值”是“”的充分不必要条件选A ．8．【答案】A 【解析】，∴，∴，∴ ，选A ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC 【解析】为偶函数，A 对．，∴为奇函数，B 错．，C 对．，，在单调递增，单调递减，D 错．10．【答案】ABD 【解析】，或3，在单调递减，单调递{|15}B x x =<≤{}2,3,4A B = 21(1)2122i i i z ii ---====-+1-4322a a a =+22q q =+2q =1-()6678912372448a a a a a a q ++=++=⨯=222282212a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= 1a b ⋅=a b 2111,222||a b b b b ⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭0x ≤e x a =0a ≤1a >0x >()ln 1x a +=-0a ≥(){}1,0a ∈+ ∞tan tan 03⎛⎫++= ⎪⎝⎭πθθ3=πθ111cos21211cos2312-+==-+θθn S ⇔0d >n S 0d ≥22BC BC AB =⋅ 22cos a BC AB B =-⋅222222222a c b a ac a c b ac +-=-⋅=--+2222a b c =-22222222211132222cos 222b c b c b c b c a A bc bc bc ⎛⎫+--+ ⎪+-⎝⎭===≥=()f x ()()()()cos sin cos sin |f x x x x x f x +=++=-=-πππ()f x ()11sin cos sin222f x x x x ≤=≤0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π()1sin cos sin22f x x x x ==()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ()()()3130f x x x =--='1x =()f x (),1-∞()1,3增，单调递减，，，∴有且仅有两个零点，A 对．关于对称，B 对．是极大值点，C 错．时，，恒成立，D 对．11．【答案】BCD 【解析】，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A 错．对于B ，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对．对于D ，如图建系，，，， ，，，，∴，∴，D 对．时，，时，到平面的距离是到平面距离的，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C 对，选BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】31 【解析】如图，，，，设，则，，，，∴．13．【答案】（1，0）【解析】，为等差数列，即可以是．()3,+∞()()14f x f ==极大值()()30f x f ==极小值()f x ()f x '2x =1x =0x ≥()00f =()0f x ≥BC AC ⊥BC AM BC AM ⊥BC ⊥SAC BC SA ⊥BC ⊥SAB SN P //AP ON P //PM CN SC M M SC //APM ONC //AM ONC B ()0,A -()B ()0,0,6S (),66N -μ()6AN =+-μ()C 6)SC =- 0AN SC ⋅=6636360+-+=μμ57=μ23=μ23ASN SAB S S =△△13=λM SAB C SAB 1311213333M SAN SAN SAB V S h S h -='=⋅⋅△△h 'M SAB h C SAB 22122113627939932M SAN ABS SAB S ABC V S h S h --==⋅==⨯⨯⨯⨯=△△45DAC ∠=︒60DBC ∠=︒30EBC ∠=︒20AB =BC x =CE x =DC DC AC =20x =+x =31DE ==1A =0B =n =(),A B ()1,014．【答案】 【解析】关于对称，则∴，则关于对称，（第一空），∴，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1），∴，而为锐角三角形，，∴．（2），∴，∴，．16．【解析】（1）设与切于，，∴∴切线方程为，令 此时在处的切线方程为，即是的切线 联立，∴，∴在处的切线为∴也是的切线．（2）①中时，，显然无最大值．若选②，，，在上单调递减；上单调递增，上单调递减，时，且，，，∴．若选③， 在上单调递增；上单调递减；上单调递增 时，且，，，∴．17．【解析】（1）①，②，②-①，∴，而，∴∴成首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）假设存在，∴42n a n =+()212y g x =+-()0,0()()2122120g x g x -+-++-=()()12124g x g x -++=()g x ()1,21221111n n a g g g n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121111n n n a g g g n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()212444421n n a n +=++⋅⋅⋅+=+共个42n a n =+()2cos 32cos 12A A +-=-26cos cos 10A A +-=()()2cos 13cos 10A A +-=ABC △cos 0A >1cos 3A =()12sin 3sin 2sin 3sin 2sin 3sin 3B C A C C C C C ⎫=⇒+=⇒⋅+=⎪⎪⎭7sin C C =tan C =sin C =1y x =+()e x g x =()00,e x P x ()e x g x '=0e x k =()000e e x x y x x =-+00e 10x x =⇒=()e x g x =0x =1y x =+1y x =+()g x 211y x y x x =+⎧⎪⎨=+-⎪⎩200x x =⇒=()f x 0x =1y x =+1y x =+()f x x →+∞()h x →+∞()h x ()()21e x h x x x =+-()()()()()22121e 2e 21e x x x h x x x x x x x x =-++-=--+=-+-'()h x (),2--∞()2,1-()1,+∞x →-∞()0h x <()0h x →()1e h =e 0>max ()e h x =()21e xx x h x +-=()()()22212e 1e 3e e x x x x x x x x x h x -='-+--=()h x (),0-∞()0,3()3,+∞x →+∞()0h x <()0h x →()01h =10>max ()1h x =21n n S a =-1121n n S a ++=-1122n n n a a a ++⇒=-12n n a a +=1121a a =-110a =≠{}n a 12n n a -=()1111111212n n n n n n nb b b b b b b --=-=---------λλλλλλ为常数，∴ 解得，∴存在使成等差数列，且公差为1．（3）由（2）知，∴ ∴令， ∴在上单调递减，注意到，，∴时，，∴．18．【解析】（1）证明：∵平面，∴，又∵，∴ ，∴平面，又∵，分别为，的中点 ∴，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）如图建系∵，，，∴，，，∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，∴，∴到平面的距离．（3）仿（2）建系，设，∴，，，，设平面和平面的一个法向量分别为，∴，显然二面角平面角为锐角，∴∴，即．()()()()()2221212121n n n n n n n n n b b b b b b b b b ---+-+==⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦λλλλλλ()121221==--+λλλλ1=λ1=λ11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭()11111n n n b =+-⋅=-11n b n =+122112121212n n n n n n n ---+⎛⎫+≥⇒+≥⇒≥ ⎪⎝⎭212n n n c -+=1121210222n n n n n n n n c c +---++--=-=<{}n c *n ∈N 4514c =>5618c =<5n ≥51n c c ≤<max 4n =PA ⊥ABCD PA CD ⊥90ACD ∠=︒CD AC ⊥PA AC A = CD ⊥PAC E F PD PC //EF CD EF ⊥PAC EF ⊂AEF AEF ⊥APC 1AB =30BCA CDA ∠=∠=︒90ABC ACD ∠=∠=︒2AC =BC =4AD =CD =()0,2,0A ()0,0,0C ()D ()0,2,2P )E()0,1,1F ()0,2,0CA =)CE =ACE (,,)n x y z = (201,0,0y n y z =⎧⇒=++= ()0,1,1CF = F ACE CF n d n⋅==PA m =(0,2,)P m (0,0,)AP m =()2,PD m =-- ()CD = APD PDC ()1111,,n x y z =()2222,,n x y z = ()11111020mz n y mz =⎧⎪⇒=⎨--=⎪⎩ ()22222200,,20z mz n m ⎧--=⎪⇒=-⎨=⎪⎩A PD C --1212cos n n n n ⋅=== θ2m =2PA =19．【解析】（1）时，，，令当时，，单调递减；当时，，单调递增．（2）对恒成立对恒成立而，，当时，，∴．（3）先证右边，证只需证：，由（1）知当时，（当且仅当时取“=”）∴，令，∴此时右边得证再证左边：易知时，，∴∴，∴，左边得证！综上：不等式得证！1a =()ln f x x x x =-()lnf x x '=()01f x x ='⇒=01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x ()1f x <-1x ∀>1ln 1ln x ax x x a x x -⇒-<-⇒<1x ∀>10ln x x x->1x >x →+∞10ln x x x-→0a ≤⇔()()()11ln 1ln ln ln 1ln 2ln11ni n n n n i =<+-+--+⋅⋅⋅+-+∑()11ln 1ln ln1n n n n n +<+-=+1a =()ln 1f x x x x =-≥-1x =1ln 1x x ≥-11n x n +=>11ln 111n n n n n +>-=++()()11ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 11ni n n n i =<-+-+⋅⋅⋅++-=++∑1x >11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭1122<=1ln n n +<()ln 1ln n n >+-()()1ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 1ni n n n =>-+-+⋅⋅⋅++-=+。
北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷含答案
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断.
【详解】对于 A，函数 y 2x 为指数函数，不具备奇偶性，故 A 错误；
对于 B，函数 y ln | x | 的定义域为{x | x 0}，
由于 f (x) ln | x | ln | x | f (x) 为偶函数，故 B 错误；
所以 A B x 1 x 2 .
故选：A.
2. 若函数 f (x) x 4 (x 0) 在 x a 处取得最小值，则 a （ ） x
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】因为 x 0 ，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值点为 x 2 ，得出结果 a 2 . 【详解】∵ x 0 ，∴ 4 0 ，
对于 C，函数 y tan x ，由正切函数的性质可知 y tan x 为奇函数，
且在
π 2
kπ,
π 2
kπ
,
k
Z
单调递增，故
C
错误；
对于 D，函数 y x 2 的定义域为{x | x 0}， x
由
f
(x)
x
2 x
x
2 x
(x
2) x
f
(x)
，故函数
y
x
2 x
为奇函数，
因为
f (x) 1
然后得出 u 的值.
【详解】如图，棱 OA ， OB ， OC 两两垂直， 可以 O 为坐标原点， AO 为 x 轴， OB 为 y 轴， OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系.
b2 c2 1
设 P a,b, c ，由题意可得： a2 c2 4 ，∴ a2 b2 c2 9 ，
湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（答案在最后）考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，三角函数，平面向量，复数，解三角形，数列.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“2,420x x x ∃∈++>R ”的否定为A.2,420x x x ∀∈++>R B.2,420x x x ∀∈++R C.2,420x x x ∃∈++R D.2,420x x x ∃∈++<R2.设集合{{2}M x y N x x =∈==Z ∣∣ ，则M N ⋂=A.{0,1}B.{1,1}- C.{1,0,1}- D.{1,0,1,2}-3.已知复数z 满足(1i)5i z z +=-，则|1|z +=B.2C. D.4.已知x ，y 为实数，则“0xy >”是“||||||x y x y +=+”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45624,48a a S +==，则17S =A.510B.408C.62D.166.荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同，学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（参考数据：lg101 2.0043,lg20.3010≈≈）A.60天B.65天C.70天D.75天7.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且22n n S a =-，若22log 3n n a a λ+ 对任意正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为A.4B.72 C.3 D.528.在平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD AB AD ==⊥，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，且34PB PC ⋅=- ，则AP AC ⋅ 的取值范围是A.535,44⎣⎦B.553,322⎡-+⎢⎣⎦C.[3-+D.535,22⎣⎦二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，m 都是负数，且a b <，则A.11a b< B.b a a b< C.a m b m+>+ D.b m ba m a+>+10.已知函数21()2sin 22f x x x =-+，则下列说法正确的是A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象的一条对称轴方程为π3x =C.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得到D.函数()f x 在区间π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若(31)f x +是偶函数，且(2)(2)f x f x +--=x ，令()()g x f x '=，则下列说法正确的是A.函数1(2)2y x f x =-+是奇函数 B.(1)0g =C.函数()g x 的图象关于点(3,1)对称D.26i 1325(i)2g ==∑三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，已知3,DC BD P = 为线段AD 的中点，若BP BA BC λμ=+ ，则11λμ+=_________.13.已知函数π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[0，m ]上有且仅有3个零点，则m 的最小值为_________.14.设函数31()221x f x =-+，正实数a ，b 满足()(1)2f a f b +-=，则2212b a a b +++的最小值为______.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知向量(1,3),(,2)a b x =-= ，且(2)a b a -⊥.（1）求||a b +;（2）求a b - 与a的夹角.16.（本小题满分15分）已知ππ3π,sin 445αα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭.（1）求cos α的值;（2）若ππ50,cos 4413ββ⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值.17.（本小题满分15分）已知函数11()33xx f x a -=⋅+是定义域为R 的偶函数.（1）求a 的值;（2）若2()99()1xxg x mf x m -=+++-，求函数()g x 的最小值.18.（本小题满分17分）已知ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c ，其中2,sin sin 2sin a B C A =+=.（1）若4cos 5A =，求ABC 的面积;（2）若ABC 是锐角三角形，D 为BC 的中点，求AD 长的取值范围.19.（本小题满分17分）设任意一个无穷数列{}n a 的前n 项之积为n T ，若{}*,n n n T a ∀∈∈N ，则称{}n a 是T 数列.（1）若{}n a 是首项为-2，公差为1的等差数列，请判断{}n a 是否为T 数列？并说明理由；（2）证明：若{}n a 的通项公式为2nn a n =⋅，则{}n a 不是T 数列；（3）设{}n a 是无穷等比数列，其首项15a =，公比为(0)q q >，若{}n a 是T 数列，求q 的值.宜昌市协作体高三期中考试⋅数学参考答案、提示及评分细则1.B 存在量词命题改写为否定形式的格式为存在量词改为全称量词，结论改为原结论的反面，故原命题的否定为x ∀∈2,420x x ++R .故选B.2.C因为{{1,0,1}M x y =∈==-Z ∣，所以{1,0,1}M N ⋂=-.故选C.3.D由(1i)5i z z +=-，得(2i)5i z +=，所以5i 5i (2i)12i 2i 5z ⋅-===++，所以|1||(12i)1|z +=++=.故选D.4.A 当0xy >时，x ，y 同号，所以||||||x y x y +=+，所以“0xy >”是“||||||x y x y +=+”的充分条件；若0x =时，||||||x y x y +=+，此时0xy =，所以“0xy >”不是“||||||x y x y +=+”的必要条件，所以“0xy >”是“||||||x y x y +=+”的充分不必要条件.故选A.5.A 设等差数列{}n a 的公差为d ，则451612724,61548,a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩解得12,4,a d =-⎧⎨=⎩所以9117824830,a a d S =+=-+⨯==()117917175102a a a +==.故选A.6.C 不妨设经过x 天后，学生甲的“学习能力值”是学生乙的2倍，则(11%)2x+=，所以1.01lg 2log 2lg1.01x ===lg 20.301070lg101lg100 2.00432≈=--.故选C.7.D由22n n S a =-，令1n =，解得12a =，当2n 时，由1122,22n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩得1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12(n n a n a -= 2），所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以22.2log 3n n n n a a a λ=+ ，即232n n λ+恒成立，令nc =232n n +，则()11max 12,02n n n n nc c c λ+++-=-< ，所以1n n c c +<，即数列{}n c 单调递减，故()1max 52n c c ==，所以52λ .故选D.8.B 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设(,)P x y ，则(0,0)A ，(1,0),(1,2)B C ，所以(1,)(1,2)PB PC x y x y ⋅=--⋅-- 23(1)(2)4x y y =-+-=-，所以22(1)(1)x y -+-14=，记111cos ,1sin 22x y θθ-=-=，所以11cos 1,sin 122x y θθ=+=+，所以AP AC ⋅= 11cos 1,sin 1(1,2)22θθ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭1cos 1sin 22θθ=+++sin()32θϕ=++，其中sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=，又1sin()1θϕ-+，所以322AP AC ⎡⋅∈-+⎢⎥⎣⎦ ，即AP AC ⋅ 的取值范围是55322⎡-+⎢⎥⎣⎦.故选B.9.BD 由0a b <<，得11a b >，故A 错误；由0a b <<，得22a b >，不等式两边同时除以ab ，可得22a b ab ab>，即b aa b<，故B 正确；由不等式的可加性可知，由a b <，可得a m b m +<+，故C 错误；()()()0()()()b m b a b m b a m m a b a m a a a m a a m a a m +++--=-=>++++，所以b m b a m a+>+，故D 正确.故选BD.10.AC231()sin 2sin 22f x x x =-+31cos21sin 2222x x -=-+31sin 2cos222x x =+πsin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π()62x k k +=+∈Z ，得ππ()62k x k =+∈Z ，故B 错误；由sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，得ππsin 2sin 2126y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；因为πππ5π0,,2,3666x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数sin y t =在π5π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.故选AC.11.BCD因为(2)(2)f x f x x +--=，所以11(2)(2)22x f x x f x ---=-+，所以函数1(2)2y x f x =-+是偶函数，故A 错误；因为(31)y f x =+为偶函数，所以(31)(31)f x f x +=-+，即(1)(1)f x f x +=-，所以(1)f x '+=(1)f x '--，即(1)(1)g x g x +=--，令0x =，得(1)(1)g g =-，所以(1)0g =，故B 正确;因为(2)(2)f x f x +--x =，所以(2)(2)1f x f x ''++-=，即(2)(2)1g x g x ++-=，又(1)(1)g x g x +=--，所以()(2)g x g x =--，所以(2)()1g x g x +=+，所以(4)1(2)1g x g x +-+-=，即(4)(2)2g x g x ++-=，所以函数()g x 的图象关于点(3,1)对称，故C 正确;因为(2)(2)1g x g x ++-=，令0x =，得(2)(2)2(2)1g g g +==，所以1(2)2g =，又(2)()1g x g x +=+，所以3(3)(1)11,(4)(2)1,2g g g g =+==+= ，所以2611261325()01222i g i =-=++++=∑ ，故D 正确.故选BCD.12.10由3DC BD =，得14BD BC = ，又P 为线段AD 的中点，所以1()2BP BA BD =+ 111242BA BC BA ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 18BC BA BC λμ=+ ，即11,28λμ==，所以112810λμ+=+=.13.π由[0,]x m ∈，得πππ2,2666x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[0，m ]上有且仅有3个零点，即π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间[0，m ]上有且仅有3个解.结合sin y x =与12y =的图象，知13ππ17π2666m +< ，解得πm 4π3<，即m 的最小值为π.14.14根据已知得()()2f x f x -+=，所以函数()f x 的图象关于点(0,1)对称，易知()f x 在R 上为增函数，所以由()f a (1)2f b +-=得，1a b =-，所以1a b +=，所以(1)(2)4a b +++=，所以221[(1)(2)]124b a a b a b +=+++++2212b a a b ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭22221(2)(1)412b b a a a b a b ⎡⎤+++++⎢⎥++⎣⎦()2221112()444a ab b a b ++=+= ，当且仅当32,55a b ==时取等号.15.解:（1）因为向量(1,3),(,2)a b x =-= ，所以2(12,1)a b x -=---，由(2)a b a -⊥ 得1230x +-=，解得1x =，所以(1,2)b =.……………………………………3分又(0,5)a b +=，所以||5a b +== .………………………………………………………6分（2）设向量a b - 与向量a的夹角为θ，因为(1,3),(2,1)a a b =--=- ，所以()cos 2||||a b a a b a θ-⋅===-⋅ .…………………………………………………………10分又0180θ︒︒ ，所以45θ︒=，即向量a b - 与向量a 的夹角是45︒.……………………………………………………………………13分16.解:（1）因为ππ4α<<，所以ππ5π,424α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又π3sin 45α⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以π4cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.…………………………………………………………3分所以ππππππcos cos cos cos sin sin 44444410αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.………………6分（2）由（1），得sin 10α==，………………………………………………………8分又π04β<<，所以πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又π5cos 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，………10分所以ππππππcos cos cos cos sin sin 44444426ββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (12)分sin 26β=.…………………………………………………………………………13分所以2172727233cos()cos cos sin sin 1026102665αβαβαβ⎛+=-=-⨯-⨯- ⎝⎭.…………15分17.解：（1）由偶函数定义知()()f x f x -=，即1133333333xx x x x x a a a -----⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅，所以()(3)330x xa ---=对x ∀∈R 成立，所以3a =.………………………………………………6分（2）由题意知222211()99()1333313xxx x x x g x mf x m m m ---⎛⎫=+++-=++⋅++- ⎪⎝⎭，令33,2xxu u -=+ ，所以()222233332xx x x u --=+=++，所以222332x x u -+=-，…………8分所以2222()23133,2y g x u mu m u mu m u ==-++-=++- .……………………………………10分当322m -，即43m - 时，2233y u mu m =++-在[2,)+∞上单调递增，所以222min 232361y m m m m =+⨯+-=++，即2min ()61g x m m =++;………………………12分当322m ->，即43m <-时，2233y u mu m =++-在32,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以222min335333224m m y m m m ⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+-=-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即2min 5()34g x m =--.……………14分综上，2min2543,,43()461,3m m g x m m m ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪++-⎪⎩…………………………………………………………………15分18.解:根据正弦定理由sin sin 2sin B C A +=，得24b c a +==.………………………………………1分（1）由余弦定理得22222cos ()22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即841625bc bc =--，所以103bc =，…………………………………………………………………4分又3sin 5A ==，…………………………………………………………………………………5分所以ABC 的面积为1sin 12S bc A ==.……………………………………………………………………7分（2）由4b c +=，得4c b =-，因为ABC 是锐角三角形，所以2222222222(4)4,4(4)4,4(4),b c b b c b b b c b ⎧+=+->⎪+=-+>⎨⎪+>=-⎩解得3252b <＜，…………………………………………………………9分故22(4)4(2)4bc b b b b b =-=-+=--+，所以1544bc < .…………………………………………12分因为1()2AD AB AC =+ ，所以||AD ====……………………………………………………15分13||2AD < ，即AD长的取值范围为2⎪⎣⎭.…………………………………………17分19.（1）解:{}n a 是T 数列.…………………………………………………………………………………1分理由:因为{}{2,1,0,1,2,3,}n a =-- ，所以{}{}11212,2n n T a a T a a a =∈==∈，当3n时，{}0n n T a =∈，所以{}n a 是T 数列.…………………………………………………………2分（2）证明：假设{}n a 是T 数列，则对任意正整数,n n T 总是{}n a 中的某一项，即对任意正整数n ，存在正整数m 满足：(1)2!22n n m n m +⋅=⋅，显然1n =时，存在1m =，满足(1)2!22n n m n m +⋅=⋅，……………………………………………………4分取2n =，得3222mm ⨯=⋅，所以4m ，可以验证：当1,2,3,4m =时，3222mm ⨯=⋅都不成立，故{}n a 不是T 数列.…………………………………………………………………………………………6分（3）解：已知{}n a 是等比数列，其首项15a =，公比0q >，所以()11*15n n n a a q q n --=⋅=∈N ，所以(1)12(1)21255n n nn nn n T a a a qq-+++-=== ，由题意知对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m T a =，即对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得(1)1255n n nm q q --=，即对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得(1)(1)125n n m n q----=，………………………………………8分①令()*(1)(1)(1)2n n m k n k ---=--∈N ，得m ∈Z ，且2(21)12n k n m k -+=++，因为222*2121(21),22k k n k n n n ++⎛⎫⎛⎫-+=--∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭N ，所以当n k =时，2(21)n k n -+取到最小值2(21)k k k -+，所以222(21)(21)2111222n k n k k k k k m k k -+-+-++=++++= ，所以1k ，又*k ∈N ，所以1k =，所以(1)15n n q ---=，即15q =;…………………………………………………12分②令()*(1)(1)(1)2n n m k n k ---=-∈N ，得m ∈Z ，且22(21)1(21)11122n k n k m k k +-+-=+-+-= ，所以15k q =，……………………………16分综上，()1*5kq k =∈N 或15.…………………………………………………………………………17分。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷（答案在最后）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合35,122M x x N x x ⎧⎫⎧⎫=>-=∈-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ，则M N = （）A.312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.{}2,1,0-- C.{}1,0- D.{}0,12.若复数z 满足2025i 2i z =-，则z 的实部与虚部之和为（）A.12i-+ B.12i-- C.1D.3-3.已知等差数列{}n a 的前6项和为60，且12315a a a ++=，则5a =（）A.5B.10C.15D.204.在平面直角坐标系中，若α∠的终边经过点()2,1P ，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.31010-B.10-C.1010D.105.如图，四边形O A C B ''''表示水平放置的四边形OACB 根据斜二测画法得到的直观图，2O A ''=，4B C ''=，O B ''=//O A B C ''''，则AC =（）A.B. C.6D.6.若曲线e x y a =+的一条切线方程是1y x =-，则a =（）A.2- B.1C.1- D.e7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为4π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.256π63B.4πC.9π2D.9π8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如()()()112122nnn n a n n n +=+⋅=-+⋅--⋅，故数列{}n a 的前n 项和()()()()()1223112302121222122n n n n S a a a a n n +=++++=⨯--⨯+-⨯--⨯++-+⋅--⋅ 12n n +=⋅．记数列2{}2n n 的前n 项和为n T ，利用上述方法求306T -=（）A.305132 B.305132-C.295132 D.295132-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量1e ，2e 的夹角为π3，且121e e == ，若122a e e =- ，12b e e =+ ，则下列结论正确的是（）A.a b⊥B.a与b 可以作为平面内向量的一组基底C.a =D.a在b 上的投影向量为12b- 10.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，D 为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（）A.ABC V 为钝角三角形B.ABC V 的最大内角是最小内角的2倍C.若D 为AC 中点，则:BD AC =D .若ABD CBD ∠=∠，则:5BD AC =11.设数列的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且21232482nn b b b b n n ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A.72364a =-B.设数列的前n 项积为n T ，则n T 有最大值，无最小值C.数列{}n S 中没有最大项D.若对任意*n ∈N ，2504n m m S --≥成立，则1m ≤-或94m ≥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若3sin 5α=，且α为第二象限角，则sin 2α=___________.13.已知函数2()()(2)f x x a x x =--在x a =处取得极大值，则a =_________．14.已知数列满足12,2,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，10a =，则10a =______；设数列的前n 项和为n S ，则2024S =______．（第二个空结果用指数幂表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0g x 的解集．16.数列{}n a 满足1111,202n n n n a a a a a ++=+-=．（1）求数列{}n a 通项公式．（2）设()cos 1π2n nn b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2cos ,3cos b c Ca a A-==．（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．18.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：当0x >时，()ln 11x x x+>+（3）若数列满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．19.定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）若522a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】2425-##0.96-【13题答案】【答案】0【14题答案】【答案】①.60②.()1013322026-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π（2）3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【16题答案】【答案】（1）12n a n=（2）31,,n n n S n n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数【17题答案】【答案】（1）π3（2）334【18题答案】【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析（3）证明见解析【19题答案】【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，102ln 23k =-；（2）不存在，理由见解析；（3）102ln 2,23ln 23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦。
2022-2023学年四川省成都市高三年级上册学期期中考试 数学(理 )
2022-2023学年四川省成都市高三上学期期中考试 理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,64. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos x x y x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = a b∥A. B.C.D.p q∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=-（ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11C. 12D. 1310. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C.D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8B. 6C. 5D. 4.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭15. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：b M ∈211222a b ab +--<+2022-2023学年度上期高2023届11月半期考试理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】B 2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 14【答案】C 3. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,6【答案】A4. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos xxy x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.【答案】A5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π【答案】A6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = ab ∥A. B.C.D.p q ∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝【答案】D7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π【答案】B8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=- （ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C9. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】C10. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<【答案】D 11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C. D. 【答案】C12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8 B. 6C. 5D. 4.【答案】B二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 【答案】12-14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】13515. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △【答案】16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）【答案】5三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直可得数量积为0，结合正余弦定理边角互化即可求解，（2）根据余弦定理可求值，进而可求，根据三角形面积公式即可求解.CD a 【小问1详解】因为，所以，m n ⊥()sin (sin sin )()0a b B A C c a -⨯++-=由正弦定理得．()()()a b b a c a c -⨯=+-即，由余弦定理得，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以．0πC <<π3C =【小问2详解】在三角形中，，ADC 2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠即，解得或，即或，213164CD CD =+-1CD =3CD =2a =6a =因为，故，sin sin B C <B C <因为，所以，故，所以，π3C =A CB >>a c b >>6a =所以11sin 6422ABC S ab C ==⨯⨯=△18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ【答案】（1），中位数；0.012m =68（2）分布列见解析，.911【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=解得，0.012m =设中位数为，解得；a ()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯=68a =【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1[)[)[]70,80,80,90,90,100 从中分别抽取7人，3人，1人，∴[)[)[]70,80,80,90,90,100所有可能取值为0，1，2，3，ξ，，，38311C 56(0)C 165P ξ===2183311C C 28(1)C 55P ξ===1283311C C 8(2)C 55P ξ===33311C 1(3)C 165P ξ===故的分布列为：ξξ0123P5616528558551165故()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）由已知得为等边三角形，，再由，能证明⊥平1A AD1A O AD ⊥1A O CD ⊥1AO 面．ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当的长为时，O //Ox AB O O xyz -BP 23二面角的值为1D A A P --3π【详解】（1）证明：∵，且，13A AD π∠=12AA AD ==∴为等边三角形1A AD∵为的中点O AD ∴，1A O AD ⊥又，且，1CD A O ⊥CD AD D = ∴平面．1A O ⊥ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）O //Ox AB O O xyz -则，，(0,1,0)A-1A 设，(1,,0)P m ([1,1])m ∈-平面的法向量为，1A AP 1(,,)n x y z =∵，，1AA =(1,1,0)AP m =+且，1110(1)0n AA y n AP x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 取，得1z=11),n m =+平面的一个法向量为11A ADD 2(1,0,0)n =由题意得12cos ,n n = 解得或（舍去），此时13m =-53m =-12133BP =-=∴当的长为时，二面角的值为.BP 231D A A P --3π20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 【答案】（1）22143x y +=（2）94【解析】【分析】（1）由题意列出曲线方程化简即可求解；（2）设直线AB 的方程为，，，表示出，联立直线与椭圆方程消去，1,x my =-()11,A x y ()22,B x y P x 表示出关于的韦达定理，结合求出直接PB 的方程，令，求出坐标，进而得到，由y ,B P 0y =M FM求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值.1212ABM S FM y y =-△ABM 【小问1详解】设曲线C 上的任意一点的坐标为，(),x y，即，所以曲线C 的方程为；12=22143x y +=22143x y +=【小问2详解】由题意，设直线AB 的方程为，，，则.1,x my =-()11,A x y ()22,B x y ()14,P y -联立方程得，则，221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my +--=()214410m ∆=+>所以，，所以122634m y y m +=+122934y y m -=+()121223my y y y -=+又因为，所以直接PB 的方程为.2124PB y y k x -=+()211244y y y y x x --=++令，则，0y =()()1212121212121343352444422y y y x my y y x y y y y y y -++=--=--=--=-+=----所以，.5,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭32FM =因为12y y -====所以121324ABMS FM y y =-==△令，，则.t =1t ≥2991313ABM t S t t t ==++△又因为在上单调递减，所以当时，，()913f t t t =+[)1,+∞1t =()max94ARM S =△故面积的最大值为.ABM 94【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+【答案】（1） 1m n ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，由可求对应的m 和n 的值；()()10,11f f '==（2）设，由可判断，由得，设0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b <<<0a b <<11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，得，代换整理得，原不等式要11x b =21x a =21x tx =()()11221ln 1ln x x x x -=-11ln ln 1t t t x t --=-证，只需证，全部代换为关于的不等式得，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<t ()()1ln 1ln 0t t t t -+-<设，，由导数得，再证，放缩得()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-1t >()12ln 11S t t t ⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭()ln 1x x ≤+，进而得证.112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭【小问1详解】由，得.()ln m x n f x x +=()2ln m m x nf x x --'=因为函数在处的切线方程为，()f x ()()1,1f 1y =所以，，则；()10f m n '=-=()11f n ==1m n ==【小问2详解】证明：由（1）可得，，，()ln 1x f x x +=()2ln xf x x -'=所以当时，，单调递增；()0,1x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减.()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 因为，是函数的图象上两点，且，()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =不妨设，且，所以.0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b<<<由，得，即.()()f a f b =ln 1ln 1a b a b ++=11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，.11x b =21x a =设，则，所以，21x tx =1t >()()11221ln 1ln x x x x -=-即，故.()111ln 1ln ln x t t x -=--11ln ln 1t t tx t --=-要证，只需证，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<即证，即证，即证，12e x x +<()11e t x +<()1ln 1ln 1t x ++<即证，即证.()1ln ln 111t t tt t --++<-()()1ln 1ln 0t t t t -+-<令，，()()()1ln 1ln S t t t t t=-+-1t >则，()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭证明不等式；()ln 1xx ≤+设，则，()()ln 1u x x x=+-()1111xu x x x -'=-=++所以当时，；当时，，10x -<<()0u x '>0x >()0u x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()u x ()1,0-()0,∞+故，所以成立.()()max 00u x u ==()ln 1xx ≤+由上还不等式可得，当时，，故恒成立，1t >112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭()0S t '<故在上为减函数，则，()S t ()1,+∞()()10S t S <=所以成立，即成立.()()1ln 1ln 0t t t t -+-<12e x x +<综上所述，.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +【答案】（1） y =2220x y x +--=（2）79【解析】【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l 的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标判断得P 在直线l 上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l 代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.【小问1详解】因为直线l 的参数方程为（t 为参数），12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为y =因为，即，π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos ρθθ=+所以，得，22cos sin ρρθθ=+222x y x +=+所以曲线C 的直角坐标方程为.2220x y x +--=【小问2详解】因为点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为，所以点P 在直线l上，3π2⎫⎪⎭(0,将直线l 的参数方程（t 为参数），代入，化简得，12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2220x y x +--=2790t t -+=设A ，B 两点所对应的参数分别为，，则，，故，，1t2t 127t t +=129t t =10t >20t >所以，，11PA t t ==22PB t t ==所以.121212111179t t PA PB t t t t ++=+==23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：.b M ∈211222a b ab +--<+【答案】（1）{}11M x x =-<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）采用零点讨论法去绝对值可直接求解；（2）结合绝对值三角不等式得，要证()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+，即证，即证，去平方结合因式分解即可求211222a b ab +--<+1a b ab +<+221a b ab +<+证.【小问1详解】.()21110f x x x =+-+-<①当时，不等式可化为，解得，则；1x <-()21110x x -+++-<1x >-x ∈∅②当，不等式可化为，解得，则；112x -≤≤-()()21110x x -+-+-<1x >-112x -<≤-③当时，不等式可化为，解得，则.12x >-()()21110x x +-+-<1x <112x -<<综上所述，；{}11M x x =-<<【小问2详解】证明：因为（当且仅当时取等号），()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+()()21120a b +-≥所以要证，只需证，211222a b ab +--<+2222a b ab +<+即证，即证，即证，1a b ab +<+221a b ab +<+222210a b a b --+>即证.()()22110a b -->由（1）可知，.{}11M x x =-<<因为a ，，所以，所以成立.b M ∈221,1a b <<()()22110ab -->综上所述，.211222a b ab +--<+。
山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}202,0M x x N x x x =∈<<=-≤Z ∣∣，则M N = （）A.{}0,1 B.{}1 C.{}1,1- D.∅2.已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()1f x -的定义域为（）A.[]1,2B.[]4,6 C.[]5,9 D.[]3,73.已知2025π1sin sin 22αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2sin cos ααα=+（）A.12-B.12C.0D.14.“函数()32f x x ax =-在[]2,3-上单调递增”是“3a ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分又不必要条件5.过曲线9log =y x 上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线3log y x =于点,B C ，若直线BC 过原点，则其斜率为（）A.1B.3log 22C.ln33D.2log 366.函数()11ln sin 21x f x x x+=--的零点个数为（）A.1B.0C.3D.27.自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τηγ=，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变τγ-曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（）A.①和④B.③和④C.③和②D.①和②8.已知函数()()1e xf x x =-，点(),m n 在曲线()y f x =上，则()()f m f n -（）A.有最大值为1e-，最小值为1 B.有最大值为0，最小值为1e-C.有最大值为0，无最小值D.无最大值，有最小值为1e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0c b a <<<，则（）A.ac bc <B.333b c a +< C.a c ab c b+>+D.<10.已知函数()21,2,5,2x x f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则（）A.1a ≤- B.[]1,4c ∈ C.()20,5ad ∈ D.222a b +=11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x 弧度π02x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，记表面积增加量为()S f x =，则（）A.π663f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线π3x =对称C.S 呈周期变化D.6S ≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是______．13.已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象与曲线()y f x =关于原点对称，则()0f =______．14.已知22,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，2log 2axx x ax ≥⋅，则正数a 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin ,63C C b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，ABC V的面积为．（1）求C ；（2）求ABC V 的周长．16.已知函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若ππ,68x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，求()()23-=+f x y f x 的最大值．17.记锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos c CA b B-=．（1）求B ；（2）延长AC 到D ，使2,15AC CD CBD =∠= ，求tan A ．18.已知函数()()2e xf x x a =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()()()1122,,,A x f x B x f x ．证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ．19.已知函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，（1）证明：21cos 12x x >-；（2）探究()f x 是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】222log e e 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π3C =（2）10+【16题答案】【答案】（1）π5ππ11π,224224k k ⎡⎤++⎢⎣⎦，()k ∈Z （2）0【17题答案】【答案】（1）45B =（2）2+【18题答案】【答案】（1）单调增区间为()(),2,,a a ∞∞--+，单调减区间为(2,)a a -（2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）没有，理由见解析。
河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理科)试题(含答案)
南阳市2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合40,{54}1x A x B x x x -⎧⎫=≤=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣, 则()R A B ⋂=ðA. (,1](4,)-∞-⋃+∞B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. (-5,-1)D. (-5,-1]2. 若||||2z i z i +=-=, 则||z = A. 1D. 23. 若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 则2y -的最小值是A. -1B. -3C. -5D. -74. 已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-. 若710k a <<, 则k = A. 9B. 10C. 11D. 125.已知sin 12x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 58-B. 58C. 4-D.46. 在ABC 中,30,C b c x ︒===. 若满足条件的ABC 有且只有一个, 则x 的可能取值是 A.12B.2C. 17. 若函数()(sin )x f x e x a =+在点(0,(0))A f 处的切线方程为3y x a =+, 则实数a 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 在ABC 中, 角,,A B C所对的边分别为,,cos ),a b c c b A a b -==则ABC 的外接圆面积为A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π9. 函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示, 将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半 (纵坐标不变), 再向右平移(0)θθ>个单位长度后, 所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 则θ的最小值为A.76π B. 6πC. 8πD. 724π10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:(3)(3),(6)(6)f x f x f x f x +=-+=--, 且当[0,3]x ∈时,()21()x f x a a =⋅-∈R , 则(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=A. 14B. 16C. 18D. 2011. 已知:2221tan log 38,21tan 8a b c ππ-===+, 则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<12. 已知正数,a b 满足221ln(2)ln 1a a b b +≤-+, 则22a b +=A.52C.32第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知2()lg5lg(10)(lg )f x x x =⋅+, 则(2)f =_____.14. 在ABC 中,3,4,8AB BC CA CB ==⋅=, 则AB 边上中线CD 的长为_____.15. 已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则1()2f x <的解集是_____.16. 若方程2ln 1x x e ax x -=--存在唯一实根,则实数a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分)已知函数22()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2) 若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. (本题满分 12 分)已知数列{}n a 和{}n b 满足:)*121,2,0,n n a a a b n ==>=∈N ,且{}n b 是以 2 为公比的等比数列. (1) 证明: 24n n a a +=;(2) 若2122n n n c a a -=+, 求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S . 19. (本题满分 12 分)已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-. (1) 求()f x 的极值;(2) 若()()f x g x ≥在[2,)+∞上恒成立, 求实数k 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*24,21n n a S n a n ==+∈N . (1)求证: 数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2) 求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .21. (本题满分 12 分)已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边, 向量(sin ,sin ),(cos ,cos )A B B A ==m n（1）若234,cos 3a b C ==, 证明: ABC 为锐角三角形; （2）若ABC 为锐角三角形, 且sin 2C ⋅=m n , 求ba的取值范围.22. (本题满分 12 分)已知函数21()12x f x e x ax =---, 若()()()2g x h x f x +=, 其中()g x 为偶函数,()h x 为奇函数.（1）当1a =时,求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性;(2) 设()f x '是()f x 的导数. 当[1,1],[1,1]a x ∈-∈-时,记函数|()|f x 的最大值为M , 函数()f x '的最大值为N . 求证:M N <.高三（理）数学参考答案第1页（共6页）2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y f x=的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，高三（理）数学参考答案第2页（共6页）∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分高三（理）数学参考答案第3页（共6页）19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分高三（理）数学参考答案第4页（共6页）当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】高三（理）数学参考答案第5页（共6页）（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，高三（理）数学参考答案第6页（共6页）所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。
2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷附答案解析
2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N ，{}15Q x x =-≤<，则P Q = （）A.{}1,2,3 B.{}0,1,2 C.{}1,2,5 D.{}0,1,2,52.已知i22iz =-，则z ＝（）A.2B.1C.4D.23.已知1a b == ．若()2a b a +⊥ ，则cos ,a b =（）A.3-B.2-C.3D.24.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件5.体积为（）A.B.C.D.6.已知函数()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩则()f x 图象上关于原点对称的点有（）A.1对B.2对C.3对D.4对7.已知函数()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-+，函数的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数=的图象.若方程()21g x m -=在7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解1x ，2x ，则12x x +的值为（）A.π6B.π3C.π2D.π8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1 D.e 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b> B.a b ab+= C.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.49a b +>10.若数列满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n +∈N ），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（）A.713a = B.222n n n a a a -+=+（3n ≥，n +∈N ）C.135********a a a a a ++++= D.24620242025a a a a a ++++= 11.如图，在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，P 是正方形1111D C B A 内的动点，则下列结论正确的是（）A.若//DP 平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B.若AP =，则点P 的轨迹长度为2πC.若P 是正方形1111D C B A 的中心，Q 在线段EF 上，则PQ CQ +的最小值为D.若P 是棱11A B 的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线32374y x x x =+++的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.13.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且50AB BC ==米，则塔的高度OP =________米.14.已知121A A =，当2n ≥，*N n ∈时，1n A +是线段1n n A A -的中点，点P 在所有的线段1n n A A +上，若1A P λ≤，则λ的最小值是________．四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=.（1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使得这()2+n 个数依次组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .16.设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，（1）求角B ：（2）若AC 边上的高34h =，求cos cos A C .17.如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE V 沿AE 折起，连结BD ，CD ，且4BD =，如图2．（1）求证：图2中的平面ADE ⊥平面ABCE ；（2）在图2中，若点F 在棱BD 上，直线AF 与平面ABCE 所成的角的正弦值为3010，求点F 到平面DEC 的距离．18.已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．（1）求实数a 的值及()f x 的最大值；（2）证明：当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>；（3）判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．19.对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N ，{}15Q x x =-≤<，则P Q = （）A.{}1,2,3 B.{}0,1,2 C.{}1,2,5 D.{}0,1,2,5【答案】B【解析】【分析】首先把集合P 用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.【详解】若61y x =+，y ∈N ，则1x +是6的正因数，而6的正因数有1，2，3，6，所以{}6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N ，因为{}15Q x x =-≤<，所以{}0,1,2P Q ⋂=，故选：B.2.已知i22iz =-，则z ＝（）A.2B.1C.4D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的运算法则计算出复数z ，再计算复数的模.【详解】由题意知()()()i 22i i 22i 22i 22i z +==--+2i 28-=11i 44=-+，所以4z ==，故选：C.3.已知1a b == ．若()2a b a +⊥ ，则cos ,a b =（）A.33-B.2-C.3D.32【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直可得32a b ⋅=- ，代入向量夹角公式即可得结果.【详解】因为()2a b a +⊥，且1a b ==，则()2220a a a a b b +⋅=+⋅= ，可得21322a b a ⋅=-=-r r r ，所以32cos ,2a b a b a b-⋅===-⋅r r r r r r .故选：B.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由()223123111111S a a a a a q a q a q qma =++=++=++=，得21q qm ++=，当7m =时，217q q ++=，解得2q =或3q =-，充分性不成立；当2q =时，217q q m ++==，必要性成立.所以“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.故选：A5.体积为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为1111ABCD A B C D -，正四棱锥1O ABCD -，设底边边长AB a =，高1OO =则1O E ==，又正四棱柱的侧面积114S AB OO =⋅=，正四棱锥的侧面积21142S AB O E a =⋅⋅=，则a =，解得a =，所以正四棱锥体积21133ABCD V S OO a =⋅==，故选：B.6.已知函数()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩则()f x 图象上关于原点对称的点有（）A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C 【解析】【分析】作出()f x 的图象，再作出函数1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可.【详解】作出()f x 的图象，再作出函数1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭关于原点对称的图象如图所示.因为函数1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭关于原点对称的图象与22,0,y x x x =-+<图象有三个交点，故()f x 图象上关于原点对称的点有3对.故选：C7.已知函数()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-+，函数的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数=的图象.若方程()21g x m -=在7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解1x ，2x ，则12x x +的值为（）A.π6B.π3 C.π2D.π【答案】A 【解析】【分析】先化简()f x ，根据图象变换求出()g x ，将方程()21g x m -=转化为()12m g x +=，由函数()g x 图象的对称性求出答案.【详解】根据题意可得()1πcos sin sin 226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，7π012x ≤≤Q ，ππ3π2332x ∴≤+≤，所以()g x 在π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()g x 关于π12x =对称，且()π062g g ⎛⎫==⎪⎝⎭，π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，方程()21g x m -=等价于()12m g x +=有两个不同的解12,x x ，12ππ2126x x ∴+=⨯=.故选：A.8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e【答案】C 【解析】【分析】构建()()ln f x ax x b =--，分析可知()f x 的定义域为0,+∞，且()0f x ≤在0,+∞内恒成立，利用导数可得ln 1a b ≤+，整理可得1e ln ln b a a a +-≥-，构建()1ln ,e eg a a a a =-≤≤，利用导数求其最值即可.【详解】设()()ln f x ax x b =--，因为1e ea ≤≤，可知()f x 的定义域为0,+∞，所以()0f x ≤在0,+∞内恒成立，又因为()111xf x x x-=-='，令′>0，解得01x <<；令′<0，解得1x >；可知()f x 在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则()()1ln 10f x f a b ≤=--≤，可得ln 1a b ≤+，则1ln e e b a a +≥=，可得1e ln ln b a a a +-≥-，当且仅当ln 1a b =+时，等号成立，令()1ln ,e e g a a a a =-≤≤，则()111a g a a a'-=-=，令()0g a '>，解得1e a <≤；令()0g a '<，解得11ea <≤；可知()g a 在(]1,e 内单调递增，在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递减，则()()11g a g ≥=，即1e ln ln 1b a a a +-≥-≥，当且仅当1,1a b ==-时，等号成立，所以1e ln b a +-的最小值为1.故选：C.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b> B.a b ab+= C.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.49a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得33log 15log 310a =>=>，55log 15log 510b =>=>，1515110log 3log 5a b∴<=<=，即110a b <<，所以0a b >>，对于A ，因为0a b >>，所以lg lg a b >，故A 正确；对于B ，15151511log 3log 5log 151a b+=+==Q，a b ab ∴+=，故B 正确；对于C ，因为0a b >>，所以1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，因为0a b >>，111a b+=，所以()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=，即2a b =时等号成立，这与已知35a b =矛盾，所以49a b +>，故D 正确.故选：ABD.10.若数列满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n +∈N ），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（）A.713a = B.222n n n a a a -+=+（3n ≥，n +∈N ）C.135********a a a a a ++++= D.24620242025a a a a a ++++= 【答案】AC 【解析】【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，故A 正确；对于B ，因为21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+，又12n n n a a a --=+，所以21213n n n n n a a a a a +---++=+，即223n n n a a a +-=+，故B 错误；对于C ，2024202320222023202120202023202132a a a a a a a a a a =+=++==++++L L 2023202131a a a a =++++L ，故C 正确；对于D ，2025202420232024202220212024202243a a a a a a a a a a =+=++=++++L 20242022421a a a a a =+++++L ，故D 错误.故选：AC.11.如图，在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，P 是正方形1111D C B A 内的动点，则下列结论正确的是（）A.若//DP 平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B.若AP =，则点P 的轨迹长度为2πC.若P 是正方形1111D C B A 的中心，Q 在线段EF 上，则PQ CQ +的最小值为D.若P 是棱11A B 的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π【答案】ACD【解析】【分析】作出相应图形，先证明平面//BDNM 平面CEF ，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断A ；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断B ，将平面CEF 翻折到与平面1111D C B A 共面，连接PC ，与EF 交于点Q ，此时PQ CQ +取到最小值，利用勾股定理求出,PQ CQ 即可判断C ，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求出外接球的表面积即可判断D .【详解】如图，取11A D ，11A B 的中点为,N M ，连接,,,,MN DN BD BM NE ，11B D ，所以11//MN B D ，又E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，所以11//EF B D ，所以//MN EF ，MN ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，//MN ∴平面CEF ，因为,N E 分别是棱11A D ，11B C 的中点，所以//NE CD ，且NE CD =，所以四边形CDNE 为平行四边形，所以//ND CE ，又ND ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，//ND ∴平面CEF ，又MN ND N = ，,MN ND ⊂平面BDNM ，所以平面//BDNM 平面CEF ，点P 是正方形1111D C B A 内的动点，且//DP 平面CEF ，所以点P 的轨迹为线段MN ，由勾股定理得MN ==，故A 正确；如图，以A 为原点，以1,,AB AD AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，由题意得(0,0,0)A ，设(,,4)P x y ，AP ==，所以221x y +=，所以点P 的轨迹为1A 为圆心，半径为1的14个圆，所以点P 的轨迹长度为1π2π42⋅=.故B 错误；如图，将平面CEF 翻折到与平面1111D C B A 共面，连接PC ，与EF 交于点Q ，此时PQ CQ +取到最小值，CE CF ===2PE PF ==，所以点Q 为EF 的中点，所以PQ EQ ===所以CQ ===，即PQ CQ +的最小值为C 正确；如图，连接PF ，交11B D 于点1O ，连接PE ，若P 是棱11A B 的中点，则90FEP ∠= ，所以FP 是PEF !外接圆的一条直径，所以1O 是PEF !外接圆的圆心，过点1O 作平面ABCD 的垂线，则三棱锥P CEF -的外接球的球心O 一定在该垂线上，连接OP ，设1OO t =，则2222t R +=，连接OC ，12AC ==，所以()(2224t R -+=，所以()(222224t t +=-+，解得52=t ，所以222541244R =+=，所以三棱锥P CEF -的外接球的表面积为24π41πS R ==，故D 正确.故选：A CD .【点睛】方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线32374y x x x =+++的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.【答案】430x y -+=.【解析】【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.【详解】由题意223673(1)4y xx x '=++=++，所以1x =-时，min4y '=，又1x =-时，1y =-，所以所求切线的方程为14(1)y x +=+，即430x y -+=．故答案为：430x y -+=．13.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且50AB BC ==米，则塔的高度OP =________米.【答案】【解析】【分析】设PO h =，在Rt POA △，Rt POB △，Rt POC △分别根据锐角三角函数定义求出,,OA OB OC ，最后利用余弦定理进行求解即可.【详解】设塔的高PO h =，在Rt POA △中，otan 30OP OA ==，同理可得3OB h =，OC h =，在OAC 中，πOBA OBC ∠+∠=，则cos cos OBA OBC ∠=-∠，22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC+-+-∴=-⋅⋅，22222211503503333h h h h +-+-=h =所以塔的高度为.故答案为：.14.已知121A A =，当2n ≥，*N n ∈时，1n A +是线段1n n A A -的中点，点P 在所有的线段1n n A A +上，若1A P λ≤，则λ的最小值是________．【答案】23【解析】【分析】根据中点坐标公式可得()*122n n n a a a n +++=∈N ，进而可得{}1n n a a +-为等比数列，即可利用累加法求解121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,由极限即可求解.【详解】不妨设点()10,0A 、()21,0A ，设点()(),0n n A a n *∈N ，则数列满足10a =，21a =，()*122n n n a a a n +++=∈N ，所以，1212n nn n a a a a +++--=-，所以，数列{}1n n a a +-是首项为211a a -=，公比为12-的等比数列，所以，11111122n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，()()()2121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111212113212n n --⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，10a =也满足121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故对任意的n *∈N ，121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以，11212lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，故23λ≥故答案为：23.四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=.（1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使得这()2+n 个数依次组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）24a =，2n n a =，*N n ∈（2）332n nn T +=-【解析】【分析】（1）先将1n =代入题干表达式计算出12a =，再将2n =代入题干表达式即可计算出2a 的值，当2n ≥时，由22n n S a +=，可得1122n n S a --+=，两式相减进一步推导即可发现数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，从而计算出数列{}n a 的通项公式；（2）先根据第()1题的结果写出n a 与1n a +的表达式，再根据题意可得()11n n n a a n d +-=+，通过计算出n d 的表达式即可计算出数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前n 项和n T ．【小问1详解】由题意，当1n =时，111222S a a +=+=，解得12a =，当2n =时，2222S a +=，即12222a a a ++=，解得24a =，当2n ≥时，由22n n S a +=，可得1122n n S a --+=，两式相减，可得122n n n a a a -=-，整理，得12n n a a -=，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴1222n n n a -=⋅=，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，2n n a =，112n n a ++=，在n a 与1n a +之间插入n 个数，使得这()2+n 个数依次组成公差为n d 的等差数列，则有()11n n n a a n d +-=+，∴1211nn n n a a d n n +-==++，∴112n nn d +=，∴1231211123412222n n n n T d d d +=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，()2311111123122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得2112311111121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=-，∴332n n n T +=-.16.设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，（1）求角B ：（2）若AC边上的高4h =，求cos cos A C .【答案】（1）π3B =（2）18-【解析】【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角B 的大小;（2）由等面积法可得22b ac =，再由正弦定理可得sin sin A C 的值，再由cos cos()B A C =-+，可得cos cos A C 的值.【小问1详解】因为π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得12sin cos sin sin sin 22B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+，在三角形中，sin 0A >，cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,)B π∈，则ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得ππ66B -=，则π3B =.【小问2详解】因为AC 边上的高4h =，所以2112248ABC S b h b b b =⋅=⋅= ①又11sin 2224ABC S ac B ac ==⨯= ②由①②可得22b ac =，由正弦定理可得2sin 2sin sin B A C =，结合（1）中π3B =可得3sin sin 8A C =，因为()1cos cos cos cos sin sin 2B AC A C A C =-+=-+=，所以1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-.17.如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE V 沿AE 折起，连结BD ，CD ，且4BD =，如图2．（1）求证：图2中的平面ADE ⊥平面ABCE ；（2）在图2中，若点F 在棱BD 上，直线AF 与平面ABCE所成的角的正弦值为10，求点F 到平面DEC 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）连接BE ，利用勾股定理证明,BE DE BE AE ⊥⊥，再根据线面垂直的判定定理证得BE ⊥平面ADE ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以点E 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】连接BE ，由题意2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒，则ADE V 为等边三角形，由余弦定理得2144222122BE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以BE =，则222222,DE BE BD AE BE BD +=+=，所以,BE DE BE AE ⊥⊥，又,,AE DE E AE DE ⋂=⊂平面ADE ，所以BE ⊥平面ADE ，又BE ⊂平面ABCE ，所以平面ADE ⊥平面ABCE ；【小问2详解】如图，以点E 为原点，建立空间直角坐标系，则()()()(()2,0,0,0,,1,,1,0,,0,0,0A B C D E -，设()01DF DB λλ=≤≤，故()((,1,0,,1,EC ED DB =-==--，((()1,1,,AD AD DF λλ=+=-+-=--，因为z 轴垂直平面ABCE ，故可取平面ABCE 的一条法向量为()0,0,1m =，所以cos ,10m AF m AF m AF⋅==，化简得23830λλ+-=，解得13λ=或3λ=-（舍去），所以11,,3333DF DB ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面DEC 的法向量为(),,n x y z =，则有0n EC x n ED x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取)1n =- ，所以点F 到平面DEC的距离为21515DF n n ⋅=．18.已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．（1）求实数a 的值及()f x 的最大值；（2）证明：当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>；（3）判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．【答案】（1）2a =，最大值为0（2）证明见解析（3）2个，证明见解析【解析】【分析】（1）由(0)0f '=求出a 的值，即可得到()f x 解析式，再利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）依题意即证当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时1sin ln(1)2x x ++>，记1()sin ln(1)2m x x x =++-，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时直接说明即可，当5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（3）设()()h x f x x =+，()1,x ∞∈-+，当(1,0)x ∈-时，由（1）知()(0)0f x f <=，则()0f x x +<，当π()0,x ∈时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函数的零点，当[π,)x ∈+∞时，()1ln(1)h x x x ≤++-，令()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，利用导数说明()l x 在区间[π,)+∞上单调递减，即可得到()0l x <，从而说明函数在[π,)+∞无零点，即可得解.【小问1详解】由题意知，(0)0f =且(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，(0)20f a '∴=-=，解得2a =，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-，()1,x ∞∈-+，则1()cos 21f x x x '=+-+，当0x ≥时，cos 1≤x ，111x ≤+．故()0f x '≤，所以()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以()(0)0f x f £=．当10x -<<时，令1()cos 21g x x x =+-+，则21()sin (1)g x x x '=--+，sin (0,1)x -∈ ，211(1)x >+，()0g x '∴<，()f x '∴在区间(1,0)-上单调递减，则()(0)0f x f ''>=，()f x ∴在区间(1,0)-上单调递增，则()(0)0f x f <=，则()()max 00f x f ==．综上所述，2a =，()f x 的最大值为0．【小问2详解】因为()sin ln(1)2f x x x x =++-，要证当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时1()22f x x +>，即证1sin ln(1)2x x ++>，记1()sin ln(1)2m x x x =++-，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1sin 12x ≤≤，ln(1)0x +>，1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->；当5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()cos 1m x x x '=++，记1()()cos 1n x m x x x '==++，则21()sin 0(1)n x x x '=--<+，()m x '∴在区间5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，则5π6()0625π6m x m ⎛⎫<=-+< '+⎝'⎪⎭，则()m x 在区间5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，()11()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-=+->，综上所述，当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>．【小问3详解】设()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-，()1,x ∞∈-+，1()cos 11h x x x '∴=+-+，当(1,0)x ∈-时，由（1）知()(0)0f x f <=，故()()0f x x f x +<<，故()0f x x +=在区间(1,0)-上无实数根．当0x =时，(0)0h =，因此0为()0f x x +=的一个实数根．当π()0,x ∈时，1()cos 11h x x x '=+-+单调递减，又(0)10h '=>，1(π)20π1h '=-<+，∴存在0(0,π)x ∈，使得()00h x '=，所以当00x x <<时ℎ′>0，当0πx x <<时ℎ′<0，()h x ∴在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,πx 上单调递减，()0(0)0h x h ∴>=，又(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<，()0f x x ∴+=在区间()0,πx 上有且只有一个实数根，在区间(]00,x 上无实数根．当[π,)x ∈+∞时，()1ln(1)h x x x ≤++-，令()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++，故()l x 在区间[π,)+∞上单调递减，()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<，于是()0f x x +<恒成立．故()0f x x +=在区间[π,)+∞上无实数根，综上所述，()0f x x +=有2个不相等的实数根．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19.对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”（2）m 的值为12或18（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道9m a m =-必为奇数，则m 必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，212=，故21a =，所以2为“理想数”；33110⨯+=，而1052=，故3不是“理想数”；35116⨯+=，而41612=，故5是“理想数”；37122⨯+=，而22112=，故7不是“理想数”；311134⨯+=，而34172=，故11不是“理想数”；313140⨯+=，而4058=，故13不是“理想数”；317152⨯+=，而52134=，故17不是“理想数”；319158⨯+=，而58292=，故19不是“理想数”；2∴和5为两个质数“理想数”；【小问2详解】由题设可知9m a m =-必为奇数，m ∴必为偶数，∴存在正整数p ，使得92p m m =-，即9921p m =+-：921p ∈-Z ，且211p -≥，211p ∴-=，或213p -=，或219p -=，解得1p =，或2p =，1991821m ∴=+=-，或2991221m =+=-，即m 的值为12或18．【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如()*2k k ∈N 的整数，下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：((((022*******,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦ ，若奇数1m >，不妨设(2222,2k k m -⎤∈⎦，若m 为"理想数"，则(*3112s m s +=∈N ，且)2s >，即(*213s m s -=∈N ，且)2s >，①当(*2s t t =∈N ，且)1t >时，41(31)133t t m -+-==∈Z ；②当()*21s t t =+∈N 时，2412(31)133tt m ⨯-⨯+-==Z ；(*413tm t -∴=∈N ，且)1t >，又22241223t k k --<<，即1344134k t k -⨯<-≤⨯，易知t k =为上述不等式的唯一整数解，区间(2222,2k k -]存在唯一的奇数"理想数"(*413k m k -=∈N ，且)1k >，显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为()*413k m k -=∈N ，∴所有的奇数"理想数"的倒数为()*341k k ∈-N ，1133134144441k k k ++<=⨯--- 1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯= ⎪⎝⎭-- ，即()*73n S n <∈N ．【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。
江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学含答案
2024—2025学年第一学期期中检测高三数学（答案在最后）2024.11注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.函数()12x f x -=，(],2x ∈-∞的值域为（）A.(],2-∞ B.(]0,2 C.[]0,2 D.[)2,+∞2.已知集合{}0,1,2A =，()(){}210,B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （）A.{}0 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1- D.{}1,0,1,2-3.若函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条不间断的曲线，则“()()0f a f b <”是“函数()y f x =在区间(),a b 上有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数()sin f x x ax =-在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D.,2⎛-∞ ⎝⎦5.已知0x >，0y >，且21x y +=，则14x y+的最小值为（）A.4+B.C.6+D.126.已知图①对应的函数为()y f x =，则图②对应的函数是（）图①图②A.()y f x=- B.()y f x=-- C.()y f x =- D.()y f x =--7.已知函数()2f x +是偶函数，()f x 在(],2-∞上单调递增，则不等式()()321f x f x +<+的解集为（）A.11,,42⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.11,42⎛⎫-⎪⎝⎭C.11,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 11,24⎛⎫-⎪⎝⎭8.若实数x ，y ，z 满足16xyz =-，0x y z ++=.用{}min ,,x y z 表示x ，y ，z 中最小的数，则{}min ,,x y z 的最大值为（）A.2B.2- C.2- D.4-二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中，是真命题的有（）A.(),0x ∃∈-∞，32xx> B.()0,x ∀∈+∞，32xx>C.()0,1x ∃∈，132x x> D.()1,x ∀∈+∞，132x x>10.已知角,αβ满足1sin 4α=-，()1cos sin 3αββ+=，则下列结论正确的有（）A.7cos 28α=B.()1sin cos 12αββ+=C.()tan 4tan αββ+= D.()5sin 212αβ+=11.定义在[]0,1上的函数()f x 同时满足以下条件：①()()11f x f x =--；②()23x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭；③当12x x <时，()()12f x f x ≤.则下列结论正确的有（）A.()f x 在[]0,1上单调递增B.1132f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.312132k k k kf ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（*k ∈N ） D.112024128f ⎛⎫=⎪⎝⎭三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数()322f x x x =--，则曲线()f x 在点()1,2-处的切线方程为______.13.已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π6A =，10b =，则使得ABC △有两组解的a 的值为______.（写出满足条件的一个整数值．．．即可）14.已知非空集合{}233A x m x x n =<-+<，0m x B xx n ⎧-⎫=>⎨⎬-⎩⎭.若A B =，则m n -的值______.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：不喜欢喝茶喜欢喝茶合计35岁以上（含35岁）30306035岁以下251540合计5545100（1）是否有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关？（2）以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为X ，求X 的分布列与期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P x χ≥0.100.050.0250.0100.0050.0010x 2.7063.8415.0246.6357.87910.82816.（本小题满分15分）已知函数()πsin 2cos cos 2cos 2f x x x ϕϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（π02ϕ<<），且π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求ϕ的值及()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当()0,πx ∈时，求不等式()π22g x g x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集.17.（本小题满分15分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、Q 分别为棱11C D 、1BB 、11A B 的中点.（1）求证：1A N ⊥平面AMQ ；（2）求二面角N AM Q --的正切值.18.（本小题满分17分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin sin sin 2A C B B +-=.（1）判断ABC △的形状；（2）已知b c ≠，a =，π3A =，点P 、Q 是边AC 上的两个动点（P 、Q 不重合，且点P 靠近A ，点Q 靠近C ）.记PBQ θ∠=，CBQ α∠=，,CBQ ABP αβ∠=∠=.①当π6θ=时，求线段PQ 长的最小值；②是否存在常数θ和k ，对于所有满足题意的α、β，都有sin 2sin 26sin cos k k αβαβ-+=成立？若存在，求出cos θ和k 的值；若不存在，请说明理由.参考公式：sin sin 2sin cos sin 2cos sin2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=.19.（本小题满分17分）已知函数()ln 1f x x a x =--，a ∈R .（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若实数a 满足：存在()00,x ∈+∞，使得()()01x f e f x<+成立.①求a 的取值范围；②请比较()24a f a +与()42a f a +的大小，并说明理由.2024—2025学年第一学期期中检测高三数学参考答案2024.11题号1234567891011答案BDABCBCDBDABDBCD题号121314答案3y x =-6，7，8，9任意一个均可3-15.【答案】（1）零假设为0H ：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.根据列联表中的数据，可以求得()2210030153025501.5152.7066040554533χ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.根据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即没有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关.（2）X 的取值可能为0，1，2.则()224039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()121241339P X C ==⨯⨯=；()211239P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为：X 012P494919所以X 的期望为()44120129993E X =⨯+⨯+⨯=.16.【答案】（1）()()sin 2cos cos 2sin sin 2f x x x x ϕϕϕ=+=+，因为π16f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，可得ππ6k ϕ=+，k ∈Z ，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，可得ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.（2）因为()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象向右平移π12个单位得到ππsin 2sin 2126y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将sin 2y x =图象上各个点横坐标变为原来2倍得到sin y x =，所以()sin g x x =；所以不等式为πsin 2sin 2x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，不等式化为cos 2sin x x <，所以212sin sin x x -<，所以22sin sin 10x x +->，所以1sin 2x >，结合函数sin y x =在()0,π上的图象得π5π66x <<，所以原不等式的解集为π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭.17.【答案】（1）证明：正方体1111ABCD A B C D -中，M ，Q 分别为棱11C D ，11A B 的中点，所以11//QM A D ，11A D ⊥平面11ABB A ，1A N ⊂平面11ABB A ，所以111A D A N ⊥，所以1QM A N ⊥，正方形11ABB A 中，N 为1B B 的中点，Q 为11A B 的中点，所以111AAQ A B N ≌△△，所以111QAA NA B ∠=∠，设AQ 、1A N 交点为H ，则1190QA H AQH ∠+∠=︒，所以190A HQ ∠=︒，即1A N AQ ⊥；又AQ 、AM ⊂平面AMQ ，AQ AM A = ，所以1A N ⊥平面AMQ .（注：用空间向量法证明亦可）（2）方法一：在ANM △中，过点N 作NT AM ⊥于T ，连HT .由（1）知NH ⊥平面AMQ ，故NH AM ⊥，又NH 、NT ⊂平面NHT ，所以AM ⊥平面NHT ，所以AM HT ⊥，所以NTH ∠为二面角N AM Q --的平面角.在11Rt A B N △中，1A N =11cos NA B ∠=，在1Rt A HQ △，11AQ =，所以1cos AHQ AH AQ∠==，所以1A H =，所以NH =.所以QH =，所以AH =，在Rt AMQ △中，AQ =2MQ =，所以3AM =，2sin 3QM QAM AM ∠==，在Rt AHT △中，2sin 3HT QAM AH ∠==，所以23HT AH ==，在Rt NHT △中，9tan 8NH NTH HT ∠===.所以二面角N AM Q --的正切值为98.方法二：如图，以点D 为原点，分别以DA 、DC 、1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.因为正方体棱长为2，M ，N ，Q 分别为棱11C D ，1BB ，11A B 的中点.所以()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,1,2M ，()2,2,1N ，()2,1,2Q .所以()0,2,1AN = ，()2,1,2AM =-.由（1）知1A N ⊥平面AMQ .所以()10,2,1A N =-是平面AQM 的一个法向量，设()222,,m x y z =是平面ANM 的法向量，则22222220,20,m AM x y z m AN y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取21y =，得3,1,22m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，所以111cos ,A N m A N m A N m⋅==所以二面角N AM Q --，所以二面角N AM Q --的正切值为98.18.【答案】（1）在ABC △中，因为πA B C ++=，且()sin sin sin 2A C B B +-=，所以()()sin sin sin 2C B C B B ++-=，即2sin cos 2sin cos C B B B =，()cos sin sin 0B C B -=，所以cos 0B =或者sin sin C B =.当cos 0B =时，所以90B =︒，ABC △为直角三角形；当sin sin C B =时，所以c b =，ABC △为等腰三角形.综上所述，ABC △为直角三角形或等腰三角形.（2）①因为c b ≠，所以π2B =，又π3A =，a =，所以2c =，4b =.如图，设CBQ α∠=，π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方法一：在CBQ △中，由正弦定理，得ππsin sin 66BQ BCα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以3πsin 6BQ α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.在BPQ △中，由正弦定理，得ππsinsin 63BQ PQα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以πππ2sin 2sin sin 363BQ PQ ααα==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31132222=⎝⎭⎝⎭2=.因为π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π20,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当π22α=，即π4α=时，min 26PQ ==-.方法二：在ABP △中，由正弦定理，得ππsin sin 33BP ABβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以πsin 3BQ β=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.在BPQ △中，由正弦定理，得ππsin sin 62BP PQβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以π2cos 2cos sin 3BPPQ βββ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭132222=⎝⎭ππ32sin 2332β==⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为π0,3β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,333β⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当ππ232β+=，即π12β=时，min 26PQ ==.方法三：在CBQ △中，由正弦定理，得πsin sin 6CQBCαα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以πsin 6CQ α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.在ABP △中，由正弦定理，得ππsin sin 33AP ABαα=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2sin 3πsin 3AP αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以π2sin 344π2πsin sin 63PQ AP CQ αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=--=--⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11114cos sin cos sin 2cos 22sin sin 22222222222αααααααααα=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛++-+--+⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭323142=因为π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π20,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当π22α=，即π4α=时，min 26PQ ==-.②假设存在常数θ，k ，对于所有满足题意的α，β，都有sin 2sin 26sin cos k k αβαβ-+=成立，则存在常数θ，k ，对于所有满足题意的α，β，利用参考公式，有()()()()12cos sin 6sin sin 2k k αβαβαβαβ+-+=⋅++-⎡⎤⎣⎦.由题意，π2αβθ+=-是定值，所以()sin αβ+，()co αβ+是定值，()()()2cos 3sin 13sin 0k k αβαβαβ+--+-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对于所有满足题意的α，β成立，故有()()2cos 3013sin 0k k αβαβ+-=⎧⎪⎨-+=⎡⎤⎪⎣⎦⎩，因为()2cos 03k αβ=+≠，从而()13sin 0αβ-+=，即()1sin 3αβ+=，ππ0,22αβθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，所以()22cos 3αβ+=.故()()π1cos cos sin 23θαβαβ⎡⎤=-+=+=⎢⎥⎣⎦，429k =.思路二：也可以赋值：因为对于所有满足题意的α，β，都有sin 2sin 26sin cos k k αβαβ-+=，取αβ=，则6sin cos k k αα=，则()1sin 2sin 3ααβ=+=，所以()()π1cos cos sin 23θαβαβ⎡⎤=-+=+=⎢⎥⎣⎦，取π2αθ=-，0β=，则1sin cos 3αθ==，cos 3α=，则sin 26sin k k αα+=，即1126333k k ⨯⨯+=⨯，所以9k =.再证明等式恒成立.19.【答案】（1）当1a =时，()ln 1f x x x =--，则()111x f x x x -=-='，所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当1x =时，()f x 取极小值0，无极大值.（注：不交代极大值，扣1分）（2）①方法一：由（1）可知1ln x x -≥（当且仅当1x =时取“＝”）.在上式中，用e x 代x ，则有e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取“＝”）.()1a x a f x x x -=-='.1°若0a ≤，则当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，又0010x e x >+>，则()()001x f e f x >+，故不存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f ef x <+成立，故不符合；2°若01a <≤，则当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，又0011x e x >+>，则()()001x f e f x >+，故不存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f ef x <+成立，故不符合；3°若1a >，则当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又0011x e x >+>，令0x e a <，即0ln x a <，此时001x x e a +<<，则()()001x f x f e +>，所以存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f e f x <+成立，故符合.综上所述，a 的取值范围为()1,+∞.方法二：因为存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f ef x <+，则存在()00,x ∈+∞，使得()()0001ln 110x e a x a x -+++-<.令()()()1ln 11x g x e a x a x =-+++-，则()()11x a g x e a x =-+++'，令()()11x a x e a x ϕ=-+++，则()()21x a x e x ϕ=-+'.1°若0a ≤，则()0x ϕ'≥，()x ϕ单调递增，又()()0010e a a ϕ=-+-=，所以()0x ϕ>，即()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，所以()0g x >，故不存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f ef x <+成立.2°若0a >，令()()u x x ϕ='，则()()3201x au x e x =+⨯>+'，则()u x 单调递增.若()010u a =-≥，即01a <≤时，()0u x >，即()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，又()00ϕ=，所以()x 0ϕ>，即()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，所以()0g x >，故不存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f ef x <+成立；若()010u a =-<，即1a >时，10->，)()11211011au =-=->+，又()u x 单调递增，()u x 的图象连续不间断，所以由零点存在性定理可知()11x ∃∈-，使得()10u x =，所以当()10,x x ∈时，()0u x <，即()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，又()00ϕ<，所以当()10,x x ∈时，()0x ϕ<，即()0g x '<，()g x 单调递减，又()00g =，所以当()10,x x ∈时，()0g x <，故存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f e f x <+成立.综上所述，a 的取值范围为()1,+∞.（注：若根据直观想象给出一定的叙述，答案正确，给3分；若仅有答案且正确，没有必要的叙述，给2分）②因为()1a x a f x x x-=-='，则当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，由①可知1a >，则24a a +、42a a a +>，所以要比较()24a f a +与()42a f a +的大小，即比较24a a +与42aa +的大小，即比较42a a -与42a a -的大小.令()2F x x x =-，则比较()2a F 与()2F a 的大小.易知()F x 在()1,+∞上单调递增，即比较2a 与2a 的大小，即比较ln 2a 与2ln a 的大小，即比较ln 22与ln a a 的大小.令()ln x t x x =（1x >），则()21ln x t x x -='，所以当()1,x e ∈时，()t x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()t x 单调递减，又()()24t t =.所以当()1,2a ∈时，ln2ln 2a a>，即22a a >，由()F x 在()1,+∞上单调递增，可知()()22a F F a >，即2442a a a a +>+，又()f x 在(),a +∞上单调递增，所以()()2442a a f a f a +>+.类似地，可得：当()4,a ∈+∞时，()()2442a a f a f a +>+；当2a =或4时，()()2442a a f a f a +=+；当()2,4a ∈时，()()2442a a f a f a +<+.（注：漏1种情况，扣1分；至多扣2分）。
北京名校高三上学期期中考试数学(理)试题及答案
北京名校高三第一学期期中试卷（理科） 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．选出符合要求的一项填在答题卡上．）1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{1}B x x =≥，则A B = （ ）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-2．下列函数为奇函数的是（ ）．A．y ．e x y = C ．cos y x = D ．e e x x y -=-3．设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb = +．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）．A ．32-B ．53-C ．53D ．324．若x ，y 满足2030x y x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥+，则2x y +的最大值为（ ）．A ．0B ．4C ．3D ．55．若a ，b是两个非零的平面向量，则“||||a b = ”是“()()0a b a b +⋅-= ”的（ ）．A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）．正(主)视图侧(左)视图俯视图A．2+．4．2．57．已知函数42|log |,04()1025,4x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，若a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是（ ）．A ．(24,25)B ．(18,24)C ．(21,24)D ．(18,25)8．一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（ ）．A ．4，6B ．3，6C ．3，7D ．1，7第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．已知抛物线的方程24y x =，则其焦点到准线的距离为___________．10．若4sin 5θ=，tan 0θ<，则sin 2θ=__________．11．设4log πa =，14log πb =，4πc =，则a ，b ，c 的大小关系是___________．（从小到大用“<”连接）12．如图，在矩形ABCD中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB BF ⋅则AE BF ⋅的值是__________．E13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =___________．14．设函数3||,1()log ,1x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤． （1）如果(1)3f =，那么实数a =____________．（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数π()Asin(),0,02f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）在锐角ABC △中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且sin a A （1）确定角C 的大小．（2）若c ABC △，求22a b +的值．17．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足：25a =，4622a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ．（2）若21()1f x x =-，()(*)n n b f a n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分13分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==．D ABCEF（1）求证：BD ⊥平面AED ．（2）求二面角D BF C --的余弦值．（3）在线段AB （含端点）上，是否存在一点P ，使得FP ∥平面AED ，若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）已知函数22()(24)ln (0)f x x ax x x a =->+．（1）当1a =时，求此函数对应的曲线在(1,(1))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调区间．（3）对[1,)x ∀∈∞+，不等式(24)ln x a x x ->-恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知集合123{,,,}(3)n S a a a a n = ≥，集合{(,),,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠且满足：i a ∀，(,1,2,3,,,)j a S i j n i j ∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立．对于T 定义1,(,),(,)0,(,),T a b T d a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩1211()(,)(,)(,)(,)(,)(1,2,3,,)T i T i T i T i i T i i T i n l a d a a d a a d a a d a a d a a i n -== +++++++．（1）若4n =，12(,)a a ，32(,)a a ，24(,)a a T ∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值．（2）取1()T l a ，2()T l a ， ，()T n l a 中任意删去两个数，即剩下的2n -个数的和为M ，求证：1(5)32M n n -≥+． （3）对于满足()1(1,2,3,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素e ，f ，g ，使得(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++恒成立，并说明理由．北京名校高三第一学期期中试卷（理科） 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．选出符合要求的一项填在答题卡上．）1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{1}B x x =≥，则A B = （ ）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}- 【答案】B【解析】{1,2}A B = ． 故选B ．2．下列函数为奇函数的是（ ）．A．y ．e x y = C ．cos y x = D ．e e x x y -=- 【答案】D【解析】A 选项，定义域0x ≥，∴yB 选项，定义域x ∈R ，e xy =非奇非偶； C 选项，定义域x ∈R ，cos y x =，偶函数；D 选项，定义域x ∈R ，()e e ()x xf x f x -=-=--，奇函数． 故选D ．3．设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb = +．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）．A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A【解析】∵b c ⊥，∴(1,1)(1,2)120b c k k k k ⋅=⋅== +++++，∴32k =-．故选A ．4．若x ，y 满足2030x y x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥+，则2x y +的最大值为（ ）．A ．0B ．4C ．3D ．5 【答案】B【解析】如图所示：3(,)x y 满足区域为阴影部分，令2z x y =+，2y x =-+z ， 当直线过A 时，z 取最大． 32y x y x =⎧⎨=⎩+，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，∴max 4z =． 故选B ．5．若a ，b是两个非零的平面向量，则“||||a b = ”是“()()0a b a b +⋅-= ”的（ ）．A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，∴22a b = ，∴||||a b = ． 故选C ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）．正(主)视图侧(左)视图俯视图A．2+．4．2．5 【答案】A【解析】原图形如图所示：212DAB C12222BCD S =⨯⨯=△，112ABD ACB S S ==⨯△△||AD，||AC ，∴122ACD S =⨯△∴表面积为2+ 故选A ．7．已知函数42|log |,04()1025,4x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，若a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是（ ）．A ．(24,25)B ．(18,24)C ．(21,24)D ．(18,25) 【答案】A【解析】函数()f x 图象如图所示：若有四个不同数a ，b ，c ，d ， 使函数值相同，设a b c d <<<，∴44log log a b -=，∴44log log 0a b =+， ∴4ab =，c 与d 关于5x =对称， ∴45c <<，56d <<，10c d =+， ∴(10)cd c =-，(45)c <<，∴(24,25)cd ∈，∴(24,25)abcd ∈． 故选A ．8．一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（ ）．A ．4，6B ．3，6C ．3，7D ．1，7 【答案】D【解析】若正确密码中含有3，6，而3，6在第1，2，3，4位置都有，与各自位置均不正确矛盾，同理，含有4，6或3，7不正确．若密码中一定有1，7，而3，6在1，2，3，4位置都有，位置不正确， ∴1在三位，7在4位置． 故选D ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．已知抛物线的方程24y x =，则其焦点到准线的距离为___________． 【答案】2【解析】焦点到准线距离为2P =．10．若4sin 5θ=，tan 0θ<，则sin 2θ=__________．【答案】2425-【解析】4sin 5θ=，且tan 0θ<， ∴3cos 5θ=-，24sin22sin cos 25θθθ==-．11．设4log πa =，14log πb =，4πc =，则a ，b ，c 的大小关系是___________．（从小到大用“<”连接）【答案】b a c << 【解析】40log π1a <=<，14log π0b =<，4π1c =>，∴c a b <<，∴b a c <<．12．如图，在矩形ABCD中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB BF ⋅则AE BF ⋅的值是__________．E【解析】如图以A 为原点建系，∴B ，(0,2)D，(,2)F a，c ，E ，,2)AB AF a ⋅== ，∴1a =，2(12AE BF ⋅=⋅+13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =___________． 【答案】3222nn S ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭【解析】12n n S a =+，12n n S a -=，（2n ≥且*n ∈N ）， 作差：122n n n a a a =-+，123n n a a =+，（2n ≥且*n ∈N ），∴{}n a 为首项为1，公比为32的等比数列，3132223212nnn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==⋅- ⎪⎝⎭-．14．设函数3||,1()log ,1x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤． （1）如果(1)3f =，那么实数a =____________．（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___________． 【答案】（1）2-或4；（2）12a -<≤ 【解析】（1）若(1)3f =，即|1|3a -=，∴2a =-或4． （2）当1x >时，()20f x -=，得()2f x =， 即5log 2x =，得9x =．若()2f x =有两个解，则当1x ≤时，||2x a -=只有一个交点， 由||2x a -=得2x a =+或2x a =-．若当1x ≤时，且21a >+且21a -≤，即1a -≥且3a ≤， ∴13a -<≤．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数π()Asin(),0,02f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）π()2sin 26f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+（2）min ()2f x =-，max ()1f x =【解析】（1）由图可知115πππ212122T =-=，∴πT =，∴2ππT ω==，2ω=， 55πsin π0126f A ϕ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+． ∵π02ϕ<<，∴π6ϕ=．∵π(0)sin 16f A ==，∴2A =．∴π()2sin 26f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+．（2）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，5πππ2666x -≤≤+．当ππ262x =-+，即π3x =-时，min ()2f x =-．当ππ266x =+时，0x =时，max ()1f x =．16．（本小题满分13分）在锐角ABC △中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且sin a A （1）确定角C 的大小．（2）若c ABC △，求22a b +的值． 【答案】（1）π3C =；（2）13【解析】（1）sin sin a c A C =，∴sin C =， ∵090C <∠=︒，∴60C ∠=︒．（2）1sin 2ABC S ab C ==△6ab =， 2221cos 22a b c C ab -==+，∴2213a b =+． 17．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足：25a =，4622a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ．（2）若21()1f x x =-，()(*)n n b f a n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+，22n S n n =+（2）4(1)n nT n =+【解析】（1）465222a a a ==+，∴511a =， ∴5231156a a d -==-=，2d =， ∴5(2)221n a n n =-⨯=++，21(1)3(1)22n n n dS a n n n n n n -==-=+++．（2）2211111()1(21)141n n n b f a a n n n ⎛⎫=+==- ⎪--⎝⎭++， ∴1111111422314(1)n nT n n n ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭ +++++． 18．（本小题满分13分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==．D ABCEF（1）求证：BD ⊥平面AED ．（2）求二面角D BF C --的余弦值．（3）在线段AB （含端点）上，是否存在一点P ，使得FP ∥平面AED ，若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2（3）存在，12AP AB = 【解析】（1）∵AB CD ∥，60DAB ∠=︒，∴120ADC BCD ∠=∠=︒． ∵CB CD =，∴30CDB ∠=︒，∴90ADB ∠=︒，AD BD ⊥． ∵AE BD ⊥，且AE AD A = ，AE 、AD ⊂面AED ，∴BD ⊥面AED ． （2）知AD BD ⊥，∴AC BC ⊥．∵FC ⊥面ABCD ，CA ，CB ，CF 两两垂直，以C 为坐标原点， 以CA ，CB ，CF 为x ，y ，z 轴建系．设1CB =，则(0,0,0)C ，(0,1,0)B，1,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，(0,0,1)F，A ，∴3,02BD ⎫=-⎪⎪⎝⎭，(0,1,1)BF =- ． 设BDF 的一个法向量为000(,,)m x y z =，∴00003020y y z -=⎪-=⎩+，取01z =，则m ． 由于(0,0,1)CF =是面BDC 的法向量，则cos ,||||m CF m CF m CF ⋅<>==⋅∵二面角F BD C --（3）存在点(,,)P x y z ． 设AP AB λ=，(,)(,0)x y z λ=，∴x =，y λ=，0z =，∴,,0)P λ，,,1)FP λ=-．∵BD ⊥面AED，3,02BD ⎫=-⎪⎪⎝⎭．若PF ∥面AED ，∴PF BD ⊥，0BD =，3)02λ⎛⎫-=⎪⎝⎭+，∴12λ=，∴12APAB=，∴存在P为AB中点．x19．（本小题满分14分）已知函数22()(24)ln(0)f x x ax x x a=->+．（1）当1a=时，求此函数对应的曲线在(1,(1))f处的切线方程．（2）求函数()f x的单调区间．（3）对[1,)x∀∈∞+，不等式(24)lnx a x x->-恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1y=（2）见解析（3）当1x=时，a∈R，当1x>时0a<【解析】（1）当1a=时，22()(24)ln(0)f x x x x x x=->+，∴(1)1f=，224()(44)ln2x xf x x x xx-'=-++，(1)0f'=，∴切线方程1y=．（2）224()(44)ln2x axf x x a x xx-'=-++(44)ln44x a x x a=--+(44)(ln1)x a x=-+．令()0f x'=，则1ex-=或x a=，当1ea<<时，()f x在(0,)a，1,e⎛⎫∞⎪⎝⎭+上为增函数．在1,ea⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1ea=时，()f x在(0,)∞+上为增函数，当1ea>时，()f x在10,e⎛⎫⎪⎝⎭，(,)a∞+上为单调递增，在1,ea⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．（3）当1x=时，a∈R，当x n>时，由(24)lnx a x x->-得42lnxa xx<+，对[1,)x∀∈∞+恒成立．设()2ln xg x x x=+，则 2222ln 12ln ln 1(2ln 1)(ln 1)()2(ln )(ln )(ln )x x x x x g x x x x ---'===+++，令()0g x '=得x 或1ex =，min ()g x g ==4a <0a < 20．（本小题满分14分）已知集合123{,,,}(3)n S a a a a n = ≥，集合{(,),,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠且满足：i a ∀，(,1,2,3,,,)j a S i j n i j ∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立．对于T 定义1,(,),(,)0,(,),T a b T d a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩1211()(,)(,)(,)(,)(,)(1,2,3,,)T i T i T i T i i T i i T i n l a d a a d a a d a a d a a d a a i n -== +++++++．（1）若4n =，12(,)a a ，32(,)a a ，24(,)a a T ∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值．（2）取1()T l a ，2()T l a ， ，()T n l a 中任意删去两个数，即剩下的2n -个数的和为M ，求证：1(5)32M n n -≥+．（3）对于满足()1(1,2,3,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素e ，f ，g ，使得(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++恒成立，并说明理由． 【答案】（1）2()1T l a =，4max ()2T l a = （2）见解析 （3）存在 【解析】（1）∵12(,)a a ，32(,)a a ，2(,)k a a T ∈，∴21(,)0T d a a =， 23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =． ∵24(,)a a T ∈，∴42(,)0T d a a =，∴4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a ==≤++++． （2）(,)(,)1T T d a b d b a =+，∴12211331111()[(,)(,)](,)(,)[(,)(,)]nT i T T T T T n n T n n i l a d a a d a a d a a d a a d a a d a a --==∑ ++++++21=C (1)2nn n =-． 设删去的两个数为()T k l a ，()T m l a ，则1(()(1)2T k T m l a l a n n M =--)+，∴()1T k l a n -≤，()1T m l a n -≤，且其中只有一个不等式中等号成立，不妨让()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =，∴()2T m l a n -≤．∴1()()(1)232T k T m l a l a n n M n =---≤+，∴1(5)32M n n -≥+．（3）对()1(1,2,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中都存在三个不同元素e ，f ，g ，使(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++恒成立，任取集合T ，由()1(1,2)T i l a n i n <-= 可知1()T l a ，2()T l a ，()T n l a 中存在最大数，不妨记为()T l f ．∵()1T l f n <-，存在e S ∈，使(,)=0T d f e ，即(,)e f T ∈， 由()1T l f ≥可设集合{(,)}G x S f x T =∈∈≠∅， 则1l 中一定在元素g ，使得(,)=1T d g e ， 否则(e)()1T T l l f ≥+，与()T l f 最大数矛盾， ∴(,)1T d f g =，(,)=1T d g e ，即(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++．。
北京市海淀区高三上期中考试数学试题(理)含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科） .11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A． B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B 的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为 14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数 学 （理科） .11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
江西省南昌市三校(一中、十中、铁一中)2022-2023学年高三上学期11月期中联考《理数》含答案
南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考数 学 试 卷（理 科）学校：南昌十中 考试时长：120分钟 试卷总分：150分一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合403x M x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，133xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪≤⎪⎩⎭∣，则M N = （ ）A. []4,1-- B.[)1,3- C.[)4,3- D. []1,3-2.设平面向量a ，b 均为单位向量，则“|a −2b |=|2a +b |”是“a ⊥b ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知函数则A． B ． C ． D ．（第4题图）4.如图，在△ABC 中，BN =14BC ，设AB =a ，AC =b ，则AN =( )A. 14a−34bB. 34a−14bC. 14a +34bD. 34a +14b5.如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是（ ）A B C.D 6.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒2sin18=︒.记2sin18m =︒=（ ）A. 2-B.1-7.已知过点(),0A a 作曲线()1e xy x =-切线有且仅有1条，则=a （ ）0()(1)0x e x f x f x x ⎧=⎨->⎩，，，，…(ln 2)f =2e 4e 2e 4e 的A.3-B.3C.3-或1D. 3或18.已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a =−f(log 215)，b =f(log 24.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. c <a <b9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos 2cos a C b c A +=，c =，则A ∠=( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π310.已知函数f (x )=(3−a )x−4,x ≤8a x−7,x >8，若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N ∗)且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A. (2,3)B.[2,3) ,311.已知函数π()2sin()cos sin (||)2f x x x ϕϕϕ=+-<，且对于任意x ∈R ，都有ππ(+)()33f x f x =--，下列序号中，① ()f x 在区间ππ[,]66-上单调递增；② (0)f ；③ 若0(2x f =0π1()123f x -=-；④若实数m 使得方程()0f x m -=在4π(0,)3上恰有1x ，2x ，3123()x x x x <<三个实数根，则123102=π3x x x ++.正确的序号有（ ）A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④12.黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上，当x =pq （p,q都是正整数，pq 为最简真分数）时，R (x)=1q ;当x =0或1或x 为（0，1）内的无理数时，R (x )=0.若g(x +1)为偶函数，g (x +2)为奇函数，当x ∈[0,1]时，g (x )=R (x ),则（ ）A.>15且g (cos 2αsin 2β)≥g (cos 2α)g (sin 2β)B.>15且g (cos 2αsin 2β)≤g (cos 2α)g (sin 2β)C.=15且g (cos 2αsin 2β)≥g (cos 2α)g (sin 2β)D.=15且g (cos 2αsin 2β)≤g (cos 2α)g (sin 2β)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知aϵR,若复数z =a 2−a−2+(a 2+3a +2)i 为纯虚数，则a =14. 如图，扇环ABCD 中，弧⌢AD =4，弧⌢BC =2，|AB |=|CD |=1，则扇环ABCD 的面积S =．15．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()30f =，则不等式()0f x >的解集为___________.16. 锐角△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围为______．三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知函数f(x)=1−3sin2x +2cos 2x ．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x 集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，f(A)=0.求b +c 的取值范围．18. （12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AAC C是菱形，160A AC ∠= ，90ACB ∠= ，2AC BC ==.（1）若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；（2）求二面角11A A C B --的正弦值.19. （12分）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.20．（12分）已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．（1）求证：圆C 在椭圆M 内；（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．21．(12分)已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．四、选做题22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于AB 、两点，若16AB =，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||2|1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x >成立，求实数a 的取值范围．高三上学期第一次三校联考数学（理科）试卷参考答案及评分标准一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）序号123456789101112答案BCADCBCBAADC二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.2 14.3 15. ()()3,03-+∞ ， 16.三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17． 已知函数f(x)=1−3sin2x +2cos 2x ．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x 集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，f(A)=0.求b +c 的取值围．【答案】解：(1)f(x)=1−3sin2x +2cos 2x =cos2x−3sin2x +2 =2cos(2x +π3)+2，····…..2分∵−1≤cos (2x +π3)≤1，∴0≤2cos(2x +π3)+2≤4，∴f(x)的最大值为4， …… 4分当2x +π3=2kπ(k ∈Z)，即x =kπ−π6(k ∈Z)时，函数f(x)取最大值，则此时x 的集合为{x|x =kπ−π6,k ∈Z}；· ………. 6分 (2)由f(A)=0得：2cos(2A +π3)+2=0，即cos (2A +π3)=−1，∴2A +π3=2kπ+π(k ∈Z)，即A =kπ+π3(k ∈Z)，又0<A <π，∴A =π3，∵a =1，sinA =32， ………….8分由正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得：b =asinBsinA=23sinB ，c =23sinC ，又A =π3，∴B +C =2π3，即C =2π3−B ，∴b +c =23(sinB +sinC )=+−B=23(sinB +32cosB +12sinB)=2(32sinB +12cosB)=2sin(B +π6)，……….10分∵A =π3，∴B ∈(0,2π3)，∴B +π6∈(π6,5π6)，∴sin (B +π6)∈(12,1]，则b +c 的取值范围为(1,2]．………………..12分18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，侧面11AAC C 是菱形，160A AC ∠= ，90ACB ∠= ，2AC BC ==.（1）若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；（2）求二面角11A AC B --的正弦值.【答案】（1）见解析 （2【详解】（1）∵侧面11AAC C 是菱形，∴1AA AC =，∵D 为1AC 的中点，∴1AD A C ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 底面ABC AC =，90ACB ∠= ，BC ⊂底面ABC ，∴BC ⊥侧面11AAC C，∵AD ⊂侧面11AAC C ，∴BC AD ⊥，∵1A C BC C = ，∴AD ⊥平面1A BC ，∵1A B ⊂平面1A BC ，∴1AD A B ⊥………………………5分.【2】取11A C 中点E ，连接CE ，从而11CE A C ⊥，又由11A C AC ，则CE AC ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 底面ABC AC =，∴CE ⊥底面ABC ，以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图：由已知条件和上图可知，(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，1A ，1(1,B -，由题意可知，平面1AA C 的一个法向量为(0,2,0)CB →= ………………………7分不妨设111(,,)n x y z →=平面11A CB 的一个法向量，因为1CA →=，1(1,CB →=-，从而111111100020x CA n CB n x y ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪-++=⎪⎩⎩，令1z =，则13x =-，13y =-，即(3,n →=--， ………………………9分设二面角11A AC B --为θ，由图可知θ为钝角，从而||cos |cos ,|||||CB n CB n CB n θ→→→→→→⋅=-<>=-=，即sin θ=故二面角11A ACB --. ………………………12分19. 某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.【答案】（1）见解析 （2）3332048【详解】（1）由题意可知，X 可能取值为0，1，2，3 ，当X 0=时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，则312311115(0)(1C (1)(1222216P X ==-+⋅⋅--=， 当1X=时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，则22241113(1)C ((1(1)22216P X ==⋅⋅-⋅-=；当2X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，则22241113(2)C ()(122216P X ==⋅⋅-⋅=， 当3X =时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，则322311115(3)(C ()(1)222216P X ==+⋅⋅-⋅=，故X 的概率分布列如下：X0123P516316316516………………………6分【小问2详解】设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件A ，则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故33335535333333()3A 31616161616161616162048P A =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为3332048. ………………………12分20．（12分）已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．（1）求证：圆C 在椭圆M 内；（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．21．（12分）已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．解：（1）()()ln f x x a x -'=．因为()f x 在(0,)+∞单调递增，所以()0f x '≥，即()ln 0x a x -≥（ⅰ）当1x >时，ln 0x >，则需0x a -≥，故min a x ≤，即1a ≤；（ⅱ）当1x =时，ln 0x =，则a R ∈；（ⅲ）当01x <<时，ln 0x <，则需0x a -≤，故max a x ≥，即1a ≥．综上述，1a =． ………………4分（2）()11()ln 24f x g x x a x x a x ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，11()ln 24a g x x x =-+'，21()2a g x x x '=+'．因为1344a e <<，所以()0g x ''>，所以()g x '在(0,)+∞单调递增又因为13(1)0,()04e 4a g a g e ''=-+<=-+>．所以存在0(1,)x e ∈，使()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 调递增．故()g x 最小值为()000011ln ()24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+=⎪⎝⎭．由()00g x '=，得00011ln 24a x x x =+，因此000031()ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令11()ln ,(1,)24x x x x x e τ=+∈，则13()ln 024x x τ=+>'，所以()x τ在区间(1,)e 上单调递增，又因为1344a e <<，且13(1),()44e e ττ==，所以01x e <<，即0x 取遍(1,)e 的每一个值，令2311131()ln ln (1),()ln ln (2ln 3)(ln 1)0422444x x x x x x e x x x x x ϕϕ⎛⎫=-<<='--+=-+->⎪⎝⎭函数()x ϕ在(1,)e 单调递增．又e (1)0,()4e ϕϕ==，所以e0()4x ϕ<<，故函数()h a 的值域为e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．. ………………………12分22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于AB 、两点，若16AB =，求a 的值．（10y -=,24y x =;(2)1a =23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||2|1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x >成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当2a =时，()|2|2|1|f x x x =++-．当2x ≤-时，()2224f x x x =---+≤，解得43x ≥-，此时x ∈∅；当21x -<≤时，()2224f x x x =+-+≤，解得0x ≥，此时01x ≤≤；当1x >时，()2224f x x x =++-≤，解得43x ≤，此时413x <≤．因此，当2a =时，不等式()4f x ≤的解集为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………….5分（2）当12x ≤≤时，2||2|1|x a x x ++->可化为2||22x a x x +>-+，所以，222x a x x +>-+或222x a x x +<-+-，即存在[1,2]x ∈，使得232a x x >-+或22a x x <-+-．22313224a x x x ⎛⎫>-+=-- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以21324x x -+≥-，则14a >-，2217224a x x x ⎛⎫<-+-=--- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以222x x -+-≤-，所以2a <-，因此，实数a 的取值范围为1(,2),4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ ．。
高三数学(理科)上学期期中考试试卷(含标准答案)
高三数学（理科）上学期期中考试试卷（含标准答案）满分：150 时间：120分钟一、选择题 （本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+的共轭复数为（ ） A ．43i --B ．43i -+C ．43i +D ． 43i -2、设集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
（ ）A 、错误！未找到引用源。
B 、错误！未找到引用源。
C 、错误！未找到引用源。
D 、错误！未找到引用源。
3．已知向量21cos ,sin ,a b αα=-=（）,（），且//,a b 4tan πα-（）等于（ ） A ．－3 B ．3 C ．31 D ．31-4、设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ）A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点5.下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若0xy =错误！未找到引用源。
，则0x =错误！未找到引用源。
”的否命题为：“若0xy =错误！未找到引用源。
，则0x ≠错误！未找到引用源。
”B ．“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数错误！未找到引用源。
”的逆命题为真命题C ．命题“R ∈∃x 错误！未找到引用源。
，使得2210x -<错误！未找到引用源。
”的否定是：“R ∈∀x 错误！未找到引用源。
，均有2210x -<错误！未找到引用源。
”D ．命题“若cos cos x y =错误！未找到引用源。
，则x y =错误！未找到引用源。
”的逆否命题为真命题6、已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是（ ）7．已知函数1x y a-=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点，若点在一次函数y mx n=+的图象上，其中,0m n >，则11m n+的最小值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2 D ．18.．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
陕西省汉中市2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题(含解析)
高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，一元二次函数，方程和不等式，函数的概念与性质，一元函数的导数及其应用，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A.B.C.D.2.如图，在中，，则（ ）A. B.C. D.3.在等差数列中，，则（ ）A.6B.7C.8D.94.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正数满足，则的最小值为（）{10}U xx =-<∣{}2340A x x x =+-<∣U A =ð(),4∞--(],4∞--()4,1-[)4,1-ABC V 12BD DC = AD =1122AB AC + 1344AB AC +1233AB AC + 2133AB AC +{}n a 257107,25a a a a +=+=6a =0a b >>ln ba b a->,a b 22a b ab +=2a b +A.B. C.5 D.96.已知某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，将该圆锥切割成一个球体，则该球体表面积的最大值为（）A.B.C. D.7.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A.B.C. D.8.函数所有零点的和为（ ）A.5B.10C.15D.20二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知虚数是方程的两个不同的根，则（ ）A. B.C.D.10.已知函数满足对任意，均有，且，设，则下列结论正确的有（ ）A.B.C.若，则在上为奇函数D.若，则11.如图，在六面体中，四边形为菱形，四边形为正方形，平面平面，若，则（ ）5292(48π-(48π-24π32π()223423x x f x x x ++=++()11f x ++()11f x +-()11f x -+()11f x --4sin πy x =12,z z 2480z z ++=12z z =124z z +=128z z =221232z z +=()f x ,x y ∈R ()()()f x y f x f y m +=++()0f m =()()*n a f n n =∈N ()0f m=()20242023f m m=0m =()f x R *m ∈N 2n m n ma a a +=+1111ABCD A B C D -ABCD 11AA D D 11AA D D ⊥ABCD 1122AA BB ==A.四边形为平行四边形B.平面平面C.若过的平面与平面平行，则该平面与的交点为棱的中点D.三棱锥三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的极大值点为__________.13.已知，则__________.14.在数列中，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的内角满足.（1）求；（2）证明：.16.（15分）已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.17.（15分）1111A B C D 11BCC B ⊥ABCD1A B 1AD C 11B C 11B C 111B A B D -()312f x x x =-x =2tan 3θ=sin2cos2θθ-={}n a ()()221112,22240nn n n a a aa a ++=+-+--=n n S 0n S λ+<λABC V ,,A B C 23sin sin A B ==sin B 2C A ={}n a n n S 31nn S n =+-{}n a ()()211n n b n a =+-{}n b n n T已知函数.（1）求的图象在处的切线方程；（2）若函数，求不等式的解集.18.（17分）如图，在四棱柱中，底面为矩形，为的中点，且.（1）证明：①平面；②.（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.19.（17分）曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.（1）若函数，求曲线在点处的曲率.（2）若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.（3）已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围.()()11e x f x x +=+()f x 0x =()232g x x x =++()()f x g x …1111ABCD A B C D -ABCD 2,AB BC E ==11A B 1,EB ED C E BE =⊥1C E ⊥BDE EA EC =13AB =CDE BCE ()f x '()f x ()f x ''()f x '()y f x =()()00,P x f x ()(){}03221f x K f x =⎡⎤+⎣⎦'''()223f x x x =-+()y f x =()()1,1P f ()22)f x x =-<<()y f x =12()πcos(22)4xf x a x =-<<()y f x =()()00,P x f x ()y f x =P 12K >a高三数学试卷参考答案1.B 因为，所以.2.D 因为，所以.3.C 因为是等差数列，所以，则.4.A 由，得，则，从而.取，满足，不满足.故“”是“”的充分不必要条件.5.B 由，得，则，当且仅当时，等号成立.6.B 因为该圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，所以该圆锥的底面半径和高均为2，设切出的球体的最大半径为，则，得，此时该球体的表面积.7.D ，则是奇函数.8.C 如图，绘制函数与函数与恰有6个公共点，且它们的图象均关于直线对称，所以所有零点的和为15.9.AC 由，得，则，则()(),1,4,1U A ∞=-=-(],4U A ∞=--ð12BD DC = ()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+{}n a 625710432a a a a a =+++=68a =0a b >>0,01b a b a -><<ln 0b a <ln ba b a->1,2a b =-=-lnb a b a ->0a b >>0a b >>ln ba b a->22a b ab +=122a b+=()112122592252222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=⨯+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…32a b ==R 2R =2R =(24π48πS R ==-()222341123(1)2x x x f x x x x +++==+++++()2112x f x x --=+4sin πy x =y =4sin πy x =y =52x =4sin πy x =+2480z z ++=2(2)4z +=-22i z =-±.10.BCD 取，得，则，A 不正确.取，得.取，得依次类推，可得，B 正确.若，则.取，得，则，从而在上为奇函数，C 正确.取，得，即，D 正确.11.AD 因为四边形为菱形，四边形为正方形，所以，从而平面平面.由平面平面，平面平面，得.由，得，则平面.因为平面平面，所以，则四边形为平行四边形，A 正确.因为平面平面，四边形为正方形，所以平面，当与不平行时，平面与平面不垂直，B 不正确.如图，过作，且，连接，易得四边形为正方形，连接，易证得平面平面，若在上，则为的中点，即，若不在上，则不为的中点，即，C 不正确.，显然当时，取得最大值，且最大值为，D 正确.12.由，得.当时，0，当时，，从而的极大值点为，极小值点为.22121212124,8,0z z z z z z z z ==+=-=+=0x y ==()()020f f m =+()0f m =-x y m ==()()22f m f m m m =+=2,x m y m ==()()()322f m f m f m m m =++= ()20242023f m m =0m =()00f =y x =-()()()000f f x f x =+-+=()()f x f x -=-()f x R *,,x n y m m ==∈N ()()()()f n m f n f m m f n m +=++=+2n m n n m a a m a a +=+=+ABCD 11AA D A AB ∥1,CD AA ∥1DD 11ABB A ∥11DCC D 11ABB A ⋂111111A B C D A B =11DCC D ⋂111111A B C D C D =11A B ∥11C D AD ∥11,A D AD ∥BC 11A D ∥BC 11A D ∥11BCC B 1111A B C D ⋂1111BCC B B C =11A D ∥11B C 1111A B C D 11AA D D ⊥ABCD 11AA D D 1AA ⊥ABCD 1AA 1BB 11BCC B ABCD C 2CC ∥1DD 21CC DD =21C D 21CC D D 122,A C BC 12A BC ∥1ACD 1C 2CC E 11B C 11B E EC =1C 2CC E 11B C 11B E EC ≠111111B A B D D A BB V V --=11,AB AD A B BB ⊥⊥111D A BB V -111232⨯⨯⨯=2-()312f x x x =-()2312f x x =-'()(),22,x ∞∞∈--⋃+()f x '>()2,2x ∈-()0f x '<()f x 2x =-2x =13.（方法一）由，得.因为，所以，则.（方法二）.14. 由，得，即.因为，所以，则.要使恒成立，则，解得.15.（1）解：由.由正弦定理得.设，由余弦定理得则.（2）证明：由（1）可知，，则.由，得，则.因为，所以.16.解：（1）当时，.7132tan 3θ=2sin cos 3θθ=22sin cos 1θθ+=29cos 13θ=2227sin2cos22sin cos 2cos 1cos 1313θθθθθθ-=-+=-+=2222224412sin cos cos sin 2tan 1tan 739sin2cos24sin cos tan 11319θθθθθθθθθθθ-+-+-+-====+++(],1∞--()()221122240n n n n a a a a +++-+--=()2120n n a a +--=12n n a a +=+12a =2n a n =()()1221122122n n n n n n n n +⎤+⎡==⨯-⎥⎢⋅+⋅+⋅⎣⎥⎦()()1223111111112111222223221212n n n nS n n n +⎡⎤=⨯-+-++-=-<⎢⎥⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦0n S λ+<10λ+…1λ-…23sin sin A B ==sin :sin :sin 2:3:A B C =::sin :sin :sin 2:3:a b c A B C ==()2,3,0a x b x c x ===>222cos 2a c b B ac +-==sin B ==2222221cos ,cos 242a b c b c a C A ab bc +-+-====21cos22cos 1cos 4A A C =-==cos 0A >π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,πA ∈()0,πC ∈2C A =1n =113a S ==当时，由，得，则.因为，所以.（2）（方法一）由（1）可得.则，①则，②①-②，得，从而.（方法二）由（1）可得，令，则令，且，则，整理得，则解得故..17.解：（1）因为，所以，2n …31n n S n =+-1132n n S n --=+-111331231nn n n n n a S S ---=-=-+=⨯+013231a ==⨯+1231n n a -=⨯+()()112123423n n n b n n --=+⨯⨯=+⨯()012163103143423n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ()123363103143423nn T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ()()21264333423n nn T n --=+⨯+++-+⨯ ()33644234313nn n n n -=+⨯-+⨯=-⨯-23nn T n =⨯()22133n n b n =+⋅()()213n f n n =+⋅()2.3n b f n =()1n n f n C C +=-()3nn C An B =+⋅()()()1133213n n n A n B An B n +⎡⎤++⋅-+⋅=+⋅⎣⎦23221An A B n ++=+22,321,A A B =⎧⎨+=⎩1,1,A B =⎧⎨=-⎩()1113,3n n n n C n C n ++=-⋅=⋅12n nT b b b =+++ ()()()2123f f f n ⎡⎤=+++⎣⎦ ()2132123n n C C C C C C +=-+-++- 11222333n n C C n +=-=⨯()()11e ,x f x x x +=+∈R ()()12e x f x x +=+'则，则的图象在处的切线方程为，即.（2）.令，则，由，得，当时，单调递减，当时，单调递增，则.故当时，，当时，，从而的解集为.18.（1）证明：①如图，连接交于点，连接，取的中点，连接交于点.易得，且.因为，所以则，则.因为为的中点，所以，则.又，所以平面.②因为平面，所以，则.由为的中点，得.因为，所以平面.因为平面，所以.又为的中点，所以.（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，()()0e,02e f f =='()f x 0x =()e 2e 0y x -=-2e e 0x y -+=()()()()()1211e 321e 2x x f x g x x x x x x ++-=+---=+--()1e2,x h x x x +=--∈R ()1e 1x h x +=-'()0h x '=1x =-(),1x ∞∈--()()0,h x h x '<()1,x ∞∈-+()()0,h x h x '>()()10h x h -=…1x <-()()11e 20x x x ++--<1x -…()()11e 20x x x ++--…()()f x g x …[)1,∞-+AC BD O EO AB F CF BD G CDG FBG V V ∽2CD CG DGFB FG BG===2,AB BC ==BD CF ==BG FG ==222BG FG BF +=BG FG ⊥E 11A B 1C E ∥CF 1BD C E ⊥1,C E BE BD BE B ⊥⋂=1C E ⊥BDE EO ⊂BDE 1C E EO ⊥CF EO ⊥,EB ED O =BD EO BD ⊥CF BD G ⋂=EO ⊥ABCD AC ⊂ABCD EO AC ⊥O AC EA EC =O ,OF OE x z设，则，则，得，则设平面的法向量为，由得令，得.设平面的法向量为，由得令，得.，故平面与平面19.（1）解：因为，所以，则，故曲线在点处的曲率.（2）证明：因为，所以OE a =11,0,,(0,1,),,1,0,(0,0,)A B B a C D E a ⎫⎫⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎭⎝⎭⎝⎭13AB ==a =()()0,2,0,,,.CD CE BC BE ⎛=-=-==- ⎝ CDE ()111,,m x y z =0,0,CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111120,0.y x y z -=⎧-=13x =()3,0,1m =- BCE ()222,,n x y z =0,0,BC n BE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22220,0.x y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩22z =()2n = cos ,m n m n m n ⋅<>===CDE BCE ()223,f x x x x =-+∈R ()()22,2f x x f x '''=-=()()10,12f f ''=='()y f x =()()1,1P f ()(){}3221211f K f ==⎡⎤⎦''⎣'+()22)f x x =-<<()()f x f x =='''，则，故曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.（3）解：因为，所以，则，则，即.令，则，即存在，使得不等式成立.令，则0在上恒成立，则在上单调递减，则，解得或，故的取值范围为.()22414f x x ⎡⎤+='⎣⎦-()(){}322121f x f x '==⎡⎤+⎣⎦''()y f x =12()πcos (22)4x f x a x =-<<()()2ππππsin ,cos 44164a x a x f x f x '=-'=-'()(){}203322222200ππcos 16412ππ11sin 164x a f x K x a f x -==>⎛⎫⎡⎤+⎣⎦+⎪⎭'' ⎝'242032220ππcos 125644ππ1sin 164x a x a >⎛⎫+ ⎪⎝⎭324222200ππππcos 1sin 0644164x x a a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭20πsin ,014x b b =<…()32422ππ1106416a a b b ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭01b <…()32422ππ1106416a a b b ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭()()32422ππ11,016416a a g b b b b ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭…()2242222π3ππ1641616a a a g b b '⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭…[)0,1()g b [)0,1()24π01064a g =->28πa >28πa <-a 2288,,ππ∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
湖南省部分名校2024-2025学年高三上学期11月期中联合考试数学试题(含解析)
名校联考联合体2025届高三第四次联考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集，集合，则（ ）．A ．B ．C ．D ．2．（ ）．A ．B ．C ．D ．3．已知向量，满足，，且，则（ ）．A ．B ．1C ．2D ．D ．34 ）．A B ．C ．D．5．已知函数，则的解集为（ ）．A ．B ．C ．D ．6．已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（ ）．{}1,2,3,4,5U ={}1,3,5M = U M =ð{}4{}2,4{}2,5{}21i2i -=-13i 55+13i 55-31i 55+31i 55-a b ()12a =(),1b x =()a b a -⊥ x =12()33x x f x -=-()()220f x f x -+<()2,1-()(),21,-∞-⋃+∞()1,2-()(),12,-∞-⋃+∞()()cos f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<π,010⎛⎫-⎪⎝⎭2π5x =ϕA．B ．C ．D ．7．设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C 交于A ，B两点，，的面积为且为钝角，，则双曲线C 的方程为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若方程恰有5个不同的解，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．B ．B ．D ．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．设等差数列的前n 项和为，公差为d ，已知，．则（ ）．A ．B ．C ．时，n 的最小值为11D ．最小时，10．如图，在直三棱柱中，，，E ，F ，G ，H 分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ）．A ．B ．，，三线不共点C ．与平面所成角为D ．设，则多面体的体积为111．已知抛物线和的焦点分别为，，动直线l 与交于π52π53π54π5()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F 212F A A F =2ABF △2A B F ∠214A A F F -=22142x y -=22148x y -=221424x y -=221169x y -=()e xf x x=()()e e 0f x f x a -+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=(),e -∞-(),2e -∞-2,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭{}n a n S 100S <60a >50a >0d >0n S >n S 6n =111ABC A B C -1AB BC AA ==BC AB ⊥1BB 1CC 11A B 11A C 1AB EG⊥EG FH 1AA AB EFHG 45︒2BC =11EGB FHC ()21:0C y px p =>22:2C y px =1F 2F 1C，两点，与交于，两点，其中，，，，且当l 过点时，，则下列说法正确的是（ ）．A ．的方程为B ．已知点，则的最小值为C ．D ．若，则与的面积相等三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．曲线在点处的切线方程为__________．13．已知数列的通项公式为，则__________．14．将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成__________个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A ；（2）若，．16．（15分）已知函数．（1）证明：；（2）设函数，证明：函数有唯一的极值点．17．（15分）如图，在直角梯形中，，，，点E 是的中点，将沿对折至，使得，点F 是的中点．()11,M x y ()22,N x y 2C ()33,P x y ()44,Q x y 1y 30y >2y 40y <2F 344y y =-1C 24y x =32,2A ⎛⎫⎪⎝⎭1MA MF +5213421111y y y y -=-2MPNQ=12MF F △12QF F △()()ln 21f x x =-()()1,1f {}n b ()21cos πn b n n =-20251nn b==∑ABC △sin sin sin A B Cb c a b-=++4BD CD = AC =ADC S =△BC ()1e ln x f x x -=-()1f x ≥()()()0F x f x ax a =->()F x ABCD AB CD ∥AB AD ⊥224CD AB AD ===CD CBE △BE PBE △4PA =PD（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．18．（17分）电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种．某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2－2列联表：偏好石墨烯电池电动车偏好铅酸电池电动车合计男性市民200100女性市民合计500（1）根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；（2）采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；（3）用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（17分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A ，并在圆外取一定点B ；步骤2：把纸片折叠，使得点B 折叠后与圆A 上某一点重合；步骤．3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕．你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓．若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A ，并在圆外取一定点B ，，按照上述方法折纸，点B 折叠后与圆A 上的点W 重合，折痕与直线交于点E ，E 的轨迹为曲线T ．（1）以所在直线为x 轴建立适当的坐标系，求曲线T 的方程；（2）设曲线T 的左、右顶点分别为E ，H ，点P 在曲线T 上，过点P 作曲线T 的切线l 与圆交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），记，的斜率分别为，，证明：为定值；PA EF ⊥A BF E --350.001α=()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ+++-+=n a b c d =+++αax 4AB =WA AB 221x y +=EM HN 1k 2k 12k k ⋅（3）F 是T 的右焦点，若直线n 过点F ，与曲线T 交于C ，D 两点，是否存在x 轴上的点，使得直线n 绕点F 无论怎么转动，都有成立?若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．(),0Q t 0QC QD ⋅=炎德·英才·名校联考联合体2025届高三第四次联考数学参考答案题号1234567891011答案BDDBACBBBCACBCD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B 【解析】因为全集，集合，所以，故选B ．2．D 【解析】．故选D ．3．D 【解析】因为，，所以，因为，所以，从而．故选D ．4．B，故四棱锥的体积为．故选B ．5．A 【解析】函数的定义域为R ，又，所以为奇函数．又，在定义域R 上单调递增，所以在R 上单调递增，所以，即，解得，故选A ．6．C 【解析】对于函数，易知的图象关于点对称，设T 为的最小正周期，则，即，从而，当时，，，{}1,2,3,4,5U ={}1,3,5M ={} U 2,4M =ð()()()()1i 2i 1i 31i 2i 2i 2i 55-+-==---+()1,2a =(),1b x = ()1,1a b x -=- ()a b a -⊥120x -+=3x ==213⨯=()33x x f x -=-()()33x x f x f x --=-=-()f x 3xy =3xy -=-()f x ()()()()22202f x f x f x f x -+<⇔-<-22x x -<-21x -<<()()cos f x x ωϕ=+()f x π,010⎛⎫-⎪⎝⎭()f x 2ππ1π51024T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭2πT =1ω=1ω=ππππ102k ϕ-+=+k ∈Z结合可得，故选C ．7．B【解析】则由双曲线定义可知，，所以，，，所以解得因为为钝角，所以，所以，由余弦定理可知，所以，，所以双曲线方程为，故选B ．8．B 【解析】函数的定义域为，若时，由求导得，，故当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，；当时，；若时，由求导得，，0πϕ<<3π5ϕ=21124AF AF AF a -===2a =28AF =24BF =21222211sin 84sin 16sin 22ABF S AF BF AF B AF B AF B =∠=⨯⨯∠=∠=△2sin AF B ∠=2AF B ∠22π3AF B ∠=12π3F AF ∠=222121212π2cos166432483F F AF AF AF AF =+-=+-=212c =2221248b c a =-=-=22148x y -=()e xf x x={}0x x ≠0x >()e xf x x =()()21e xx f x x -'=01x <<()0f x '<1x >()0f x '>()e xf x x=()0,1()1,+∞()()1e f x f ==极小值0x +→()f x →+∞x →+∞()f x →+∞0x <()e xf x x =-()()21e x x f x x -'=因为，故恒有，即在上单调递增，且当时，，当时，，即当时，恒有．作出函数的大致图象如图所示．又由可得或，由图知有两个根，此时方程有2个不同的解；要使方程恰有5个不同的解，需使有3个零点，由图知，需使，即，解得．综上所述，实数a 的取值范围是．故选B ．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．BC【解析】由，则，又，则，故A 错误；，故B 正确；，又，所以时，n 的最小值为11，故C 正确；当时，，当时，，所以当最小时，，故D 错误．故选BC ．10．AC【解析】对于A ，连接，，由G ，E 分别为，的中点，可得，由可知，侧面为菱形，所以，所以，故A 正确；0x <()0f x '>()e xf x x=-(),0-∞x →-∞()0f x +→0x -→()f x →+∞0x <()0f x >()e xf x x=()()e e 0f x f x a -+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=()e f x =()e f x a =--()e f x =()()e e 0f x f x a -++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()e f x a =--()e f x >e e a -->2e a <-(),2e -∞-100S <()()()11056105610105022a a a a S a a +⨯+⨯===+<60a >50a <650d a a =->()111116111102a a S a+⨯==>100S <0n S >15n <≤0n a <6n ≥0n a >n S 5n =1AB 1A B 11A B 1BB 1EG A B ∥1AB BC AA ==11AA B B 11A B AB ⊥1AB EG ⊥对于B ，如图，连接，，由题易知，延长，相交于点P ，因为，平面，所以平面，因为，平面，所以平面，因为平面平面，所以，所以，，三线共点，故B 错误；对于C ，作于点M ，因为，，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以，又，平面，平面，所以平面．而，所以为与平面所成的角，等于，故C 正确；对于D ，过点H 作交于点D ，过点D 作，连接，易知直三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形，柱高，则，GH EF 12GH EF ∥EG FH P EG ∈EG ⊂11ABB A P ∈11ABB A P FH ∈FH ⊂11ACC A P ∈11ACC A 11ABB A ⋂111CC A A AA =1P AA ∈EG FH 1AA 1B M EG ⊥BC AB ⊥1BC BB ⊥1AB BB B ⋂=AB ⊂11A ABB 1BB ⊂11A ABB BC ⊥11A ABB 1B M ⊂11A ACC 1BC B M ⊥EF BC ∥1B M EF ⊥EG FE E ⨯=EG ⊂EFHG FE ⊂EFHG 1B M ⊥EFHG 11AB A B ∥1B GM ∠AB EFHG 45︒11HD B C ⊥11B C DN EF ⊥HN 1EGB NHD -111112B D B C ==11111122EGB NHD V -=⨯⨯⨯=四棱锥的底面是边长为1的正方形，锥高，则，则多面体的体积为．故D 错误，故选AC ．11．BCD【解析】当直线l 过点时，设，联立，可得，，故，解得，则，，故A 错误；过点M ，A 向的准线引垂线，垂足分别为B ，C ，点A 到的准线的距离，由抛物线的定义可知，等号成立当且仅当点M 为与抛物线的交点，故B 正确；设，由，可得，，，，由，可得，，，，故，同理可得，1H DC FN -11112HD A B ==113H DC FN V -=11EGB FHC 11115236EGB NHD H DC FN V V --+=+=2F :2pl x my =+222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2220y pmy p --=222440p m p ∆=+>2344y y p =-=-2p =21:2C y x =22:4C y x =1C 1C 52d =152MA MF MA MB AB AC d +=+≥≥==AC :l x my t =+22x my ty x=+⎧⎨=⎩2220y my t --=21480m t ∆=+>122y y m +=122y y t =-24x my ty x=+⎧⎨=⎩2440y my t --=2216160m t ∆=+>344y y m +=344y y t =-12121211y y m y y y y t ++==-3411my y t+=-故，故C 正确；由C 可得，故，注意到，可得，所以，从而与的面积相等，故D 正确．故选BCD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．【解析】因为，则，所以切点为，且，则，由直线的点斜式可得，化简可得，所以切线方程为．13．【解析】由题意可得，，…，故．14．60（2分）；3333330（3分）【解析】因为要构成自然数，所以第一位教只能是1和2，故共有个自然数．第一位数为1共有30个自然数，第一位数排1，第二位排0，有种排法；第一位数排1，第二位排1，有种排法；13421111y y y y -=-31241324y y y y y y y y --=34241324y y y y y y y y --=31242MP y y y y NQ -==-1213412244414222ty y y y y t y y y y y -⋅===-⋅14y y =12MF F △12QF F △220x y --=()()ln 21f x x =-()10f =()1,0()221f x x '=-()12k f '=-()21y x =-220x y --=220x y --=2025-12cos π3cos 2π2b b +=+=345cos3π7cos 4π2b b +=+=()()()202512342023202420251nn b b b bb b b b ==+++++++∑L ()20242220251cos 2025π20252=⨯+⨯-=-15252222C A 60A A =4422A 12A =442222A 6A A =第一位数排1，第二位排2，有种排法；第一位数排1，第三位排0，有种排法；第一位数排1，第三位排1，有种排法；第一位数排1，第三位排2，有种排法，以此类推：第一位数排1，第六位排0，有种排法；第一位数排1，第六位排1，有种排法；第一位数排1，第六位排2，有种排法，所以，所有第一位数为1的自然数之和为．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1）由及正弦定理得，整理得，（3分）又由余弦定理的推论得，，解得．（6分）（2）由，，得，（8分）即，可得（10分）由余弦定理可得，，（13分）16．【解析】证明：（1）因为，定义域为，4422A 12A =4422A 12A =442222A 6A A =4422A 12A =4422A 12A =442222A 6A A =4422A 12A =()()543210130100121621210101010103333330⨯⨯+⨯+⨯+⨯++++=sin s s n in i ABC b c a b =++-a b c b c a b-=++222a b c bc =++2221cos 22b c a A bc +-==-2π3A =4BD CD = ADC S =△ABC S =△11sin 22AC AB BAC AB ⋅⋅∠==AB =2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠11232212⎛⎫=+-⨯-= ⎪⎝⎭BC =()1e ln x f x x -=-()0,+∞所以，（2分）由于函数，在上均为单调递增函数，所以在上单调递增，（4分）因为，所以，，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，所以．（7分）（2）因为，的定义域为，所以．设，则，当时，，所以单调递增，所以，所以，即，（11分）所以．又，且在上单调递增，所以存在唯一的，使得，即，当时，，单调递减；当时，，所以单调递增，所以函数有唯一的极值点．（15分）17．【解析】证明：因为，，点E 是的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，又，，所以四边形是正方形，所以，且，所以，且，即，()11e x f x x-'=-1ex y -=1y x=-()0,+∞()11e xf x x-'=-()0,+∞()10f '=()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x '>()f x ()0,1()1,+∞()f x 1x =()()11f x f ≥=0a >()()1e ln x F x f x ax x ax -=-=--()0,+∞()11ex F x a x--'=-()e 1x h x x =--()e 1x h x '=-0x >()0h x '>()h x ()()00h x h >=e 10x x -->e 1xx >+()1111e 110111aF a a a a a a a'+=---+--=->+++()10F a '=-<()x F '()0,+∞()1,1x a ∈+()00F x '=011e 0x x a ---=()00,x x ∈()00F x '<()F x ()0,x x ∈+∞()00F x '>()F x ()F x AB CD ∥2CD AB =CD AB DE ∥AB DE =ABED AB AD ⊥AB AD =ABED BE AD ∥BE DE ⊥AD DE ⊥AD CE ⊥AD PE ⊥因为，，平面，所以平面．因为平面，所以．因为F 是的中点，，所以．因为，，平面．所以平面．因为平面，所以．（7分）（2）由（1）知，平面，因为平面，所以．（7分）因为，．所以．又，由余弦定理得，因为，所以，所以，（9分）以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，作平面为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．因为F 是的中点，所以．所以，，，（12分）易证平面，所以为平面的法向量，设平面的一个法向量为，DEPE E ⋂=DE PE ⊂PDE AD ⊥PDE EF ⊂PDE AD EF ⊥PD PE ED=EF PD ⊥AD PD D ⋂=AD PD ⊂PAD EF⊥PAD PA ⊂PAD EF PA ⊥AD ⊥PDE PD ⊂PDE AD PD ⊥4PA =2AD=PD ===122PE DE CD ===22244121cos 282PE DE PD PED PE DE +-+-∠===-⋅0πPED <∠<2π3PED ∠=π6PDC ∠=DA DC Dz ⊥ABCD ()0,0,0D ()2,0,0A ()2,2,0B ()0,2,0E (P PD 30,2F ⎛ ⎝(DP = 32,2AF ⎛=- ⎝ ()0,2,0AB =PD ⊥BEF (DP =BEF ABF (),,n x y z =则，所以，取，，所以，所以，设二面角的平面角为，所以，所以二面角（15分）18．【解析】（1）被调查的女性市民人数为，其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为．偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为，所以2×2列联表为：偏好石墨烯电池电动车偏好铅酸电池电动车合计男性市民200100300女性市民80120200合计280220500（3分）零假设：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关，根据列联表中的数据可以求得，由于，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关．（6分）（2）因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为，所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 203202y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩x =0y =4z =)4n =cos ,n DP n DP n DP⋅===⋅A BF E --θsin θ===A BF E --500200100200--=32001205⨯=20012080-=0H ()()()()()()2225002001208010034.632300200280220a b n ad c d c a c b d b χ-⨯-⨯=+++=≈⨯⨯⨯+234.63210.828χ≈>0.001α=0H 2005802=设“有女性市民参加座谈”为事件A ，“恰有一名女性市民参加座谈”为事件B ，则，，所以．（10分）（3）因为所有参加调查的市民中，男性市民和女性市民的比为，所以由分层抽样知，随机抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人．根据频率估计概率知，男性市民偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为，从选出的5名市民中随机抽取2人进行座谈，则X 可能的取值为0，1，2．“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k 人参加座谈”记为事件，则．“参加座谈的2名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为m 人”记为事件，则，，，，，，（13分）所以，，，故X 的分布列如下：X12()115227C C 10C 21P AB ==()11252227C C C 21C 11P A ==-()()()102110211111P AB A P B A P =-⨯=30032002=2313()0,1,2k D k =()()23225C C 0,1,2C k kk P D k -==()0,1,2m E m =()001P E D =()0113P E D =()2021139P E D ⎛⎫== ⎪⎝⎭()1123P E D =()1122214C 339P E D =⨯⨯=()2222439P E D ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()()()()()()0001012020P X P D P E D P D P E D P D P E D ==++021*******32222555C C C C C C 1111C C 3C 93=⨯+⨯+⨯=()()()()()112032321112122255C C C C 2481C 3C 915P X P D P E D P D P E D ==+=⨯+⨯=()()()203222225C C 422C 915P X P D P E D ===⨯=P．（17分）19．【解析】（1）以所在直线为x 铀，以为x 轴的正方向，以的中点为原点建立平面直角坐标系，则，，由折纸方法知，，则，根据双曲线的定义，曲线T 是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线，（3分）设其方程为，则，，所以，．故曲线T 的方程为．（5分）（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为，且，，联立方程组，整理得，由，可得，可得，联立方程组，整理得，，则，，（7分）因为，，所以，又因为，代入可得，由于，则，由于点M 在点N 的左侧，故，13815215()1824012315155E X =⨯+⨯+⨯=AB ABAB ()2,0A -()2,0B EB EW =24EB EA EW EA WA AB -=-==<=()222210,0x y a b a b -=>>1a =2c ==21a =23b =2213y x -=()0y kx m k =+≠()11,M x y ()22,N x y 2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()()2223230k x kmx m ---+=()()222244330k m k m∆=+-+=()221230m k +-=223m k =-221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩()2221210k x kmx m +++-=()()()2222224411410k m k m k m ∆=-+-=-+>12221km x x k +=-+212211m x x k -=+1111y k x =+2221y k x =-()121212*********y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅=+----()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++21221m k y y k -=+223m k =-12231y y k -=+120x x -<所以代入可得，又因为，则，所以为定值，定值为3．（11分）（3）假设存在点，使恒成立，由已知得，当直线n 的斜率存在时，设直线n 的方程为，，，联立，得，，且，则，，（13分），，则，若恒成立，则恒成立，1212x x x x -=--=12241x x k-=-+212241k x x k-=+()212122121222313441111y y k k k k x x x x k k -+⋅===----+-++12k k ⋅(),0Q t 0QC QD ⋅=()2,0F ()2y k x =-()33,C x y ()44,D x y ()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩()222234430k x k x k --++=()()()222224434336360kk k k ∆=---+=+>k ≠234243k x x k +=-2342433k x x k +=-()33,QC x t y =- ()44,QD x t y =-()()3434QC QD x t x t y y ⋅=--+()()22223434343424x x t x x t k x x k x x k =-+++-++()222245333t t k t k ---+=-0QC QD ⋅=()22245330t t k t ---+=即，解得，（15分）当直线n 的斜率不存在时，直线n 的方程为，此时，解得，不妨取，，则，，又，解得或，综上所述，，所以存在点，使恒成立．（17分）22450330t t t ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩1t =-2x =2413y -=3y =±()2,3C ()2,3D -()2,3QC t =- ()2,3QD t =--()2290QC QD t ⋅=--= 1t =-5t =1t =-()1,0Q -0QC QD ⋅=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴ ≥
当且仅当 ，即 时取等号. ---------------------10分
∵ ，∴ 时取等号.
即 ，解得 或 .当 或 时， 取最小值4. ---------12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） =
=
= ---------------------4分
的最小正周期为 ，故 --------------------6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：
在 的图象上任取一点 ，它关于 的对称点 .
由题设条件，点 在 的图象上，从而
=
= -------------------8分
当 时， ，
因此当 时， 在区间 上取得最小值为：
---------------------12分
(Ⅲபைடு நூலகம்求证： ．
青岛市高三教学质量检测
高中数学(理科)答案.11
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分
BCCDB BCDDD BA
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13. ; 14. ; 15. 或7; 16.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
A．①②B．②③C．①③D．③④
4．设 均为非零实数，不等式 和 的解集分别为集合 和 ，那么“ ”是“ ”
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
5.函数 的值域是
A． B． C． Ｄ．
6.函数 在闭区间 上的最大值、最小值分别是
A． B． C． D．
7.设 ,则 的值为
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在 中， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
18.（本小题满分12分）
已知 ，若方程 在 上有两个不相等的实数根.
(Ⅰ)确定 的值；
(Ⅱ)求 的最小值及对应的 值.
19.（本小题满分12分）
由题意知：对于任意的 ， 恒成立，
所以， ，∴ -------------------10分
(Ⅲ)令 此时 ，所以 ，
由(Ⅰ)知 在 上单调递增，∴当 时 ，即 ，∴ 对一切 成立，-----------------12分
∵ ，则有 ，∴
…………………14分
解：（Ⅰ）在 中，
………………2分
………………4分
根据正弦定理，
于是 = ………………6分
（Ⅱ）在 中，根据余弦定理，得 …8分
于是
从而
……………10分
所以 ……………12分
18．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设
由题设有 -------------4分
，又 ∴ --------------------6分
A. B. C. D.
8．已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
9．设 ,则以下不等式中不一定成立的是
A. B.
C. D.
10.函数 的图象如图，其中 、 为常数，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
11．某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质 ，要使水中杂质减少到原来的 以下，则至少需过滤的次数为（参考数据 ）
(Ⅰ)在建立加工企业后，要使从事传统农业的所有农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求 的取值范围；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，当地政府应该如何引导农民（即 多大时），能使这 万农民的人均年收入达到最大.
22.（本小题满分14分）
已知函数 ．
(Ⅰ)求函数 的单调区间；
(Ⅱ)若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，对于任意的 ，函数 在区间 上总不是单调函数，求 的取值范围；
22.（本小题满分14分）
(Ⅰ) --------------------2分
当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；
当 时， 不是单调函数--------------------4分
(Ⅱ) 得 ，
∴ ，∴ -------------------6分
∵ 在区间 上总不是单调函数，且 ∴ ----------8分
设函数 ，若 的最小正周期为 。
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若函数 与 的图象关于直线 对称，求当 时 的最小值．
20．（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和 与通项 满足 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)求证： ；
(Ⅲ)设函数 ， ，求 .
21.（本小题满分12分）
据调查，某地区 万从事传统农业的农民，人均年收入 元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有 万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高 ,而进入企业工作的农民的人均年收入为 元 .
青岛市高三教学质量检测
高中数学(理科).11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
∵
∴ -----12分
21.（本小题满分12分）
解：（I）由题意得 ……………3分
即
解得
又∵ ，∴ ……………………………………………………5分
(II)设这300万农民的人均年收入为 元,则
……………………8分
………………………………10分
所以函数 在 上是增函数.
∴当 时，
万元…………………………………12分
1.若全集 ，集合 ， ，则 ＝
A. B. C. D.
2.已知 且 ，则 是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3.有下列四个命题
①“若 ，则 互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若 ，则 有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中真命题为
A. B. C. D.
12．数列 满足 ， ( )，则 的前 项和为
A． B． C． D．
网
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.已知 , ,则 ;
14. ;
15.设 是各项均不为零的等差数列 的前 项和，且 ，则 的值为；
16.已知函数 ，则不等式 的解集是____________.
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当 时
，
∴ ---------------------2分
由 得
∴数列 是首项 、公比为 的等比数列，∴ ---4分
(Ⅱ)由 得 --------------------5分
，∴
∴ -------------------------8分
(Ⅲ)
＝
＝ -------------------10分