导数与微分PPT教学课件

1 x2
导数与微分
15 .(arccos x) 1
.
1 x2
16
.(arctgx)
1 1 x2
17.
(arcctgx)
1
1 x
2
18
.(
1 x
)
1 x2
19. ( x ) 1 2x
导数与微分
• 四、求导法则 • 若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
(u v) u v
(u v) uv uv
x0 x 0
x0
x
(1)(2)(n) (1)n n!
解法2：令, f (x) (x 1)(x 2)(x n),则y xf (x)
y (x) f (x) xf (x) f (x) xf (x)
y(0) f (0) 0 (1)(2)(n) (1)n n!
导数与微分
2.复合函数求导
导数与微分
例4 Leabharlann Baidu下列函数的导数
(1) y ln tgx, 令 : y ln u, u tgx
y (ln u) (tgx) 1 sec2 x ctgx sec2 x u
(2)
y
3
1
2x2
,令
:
y
1
u3
,u
1
2x2
y
(u
1 3
)
1 2x2
y
1
(u
2 3
)
(4x)
4
x
3
3 3 1 2x2
导数与微分
4.幂指函数求导法则
y [ f (x)]g(x) 称为幂指函数（底和指数皆为变量）
取对数化成隐函数 :
ln y g(x) ln f (x)
1 y g(x) ln f (x) g(x) f (x)
y
f (x)
y [ f (x)]g(x)[g(x) ln f (x) g(x) f (x)] f (x)
导数与微分
（7) 已知f (u)存在，求f (a x2 )的导数 令 : y f (u), u av , v x2 y f (u) (av） (x2 )
2xav ln a f (u) 2xax2 ln a f (a x2 )
导数与微分
• 例5：证明：偶函数的导数是奇函数。 • 证：设f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)
导数与微分
一、导数的概念
1.自变量的增量：x x x0, x x0 x 2.函数的增量： y f (x0 x) f (x0 ) 3.导数的定义：
f
( x0
)
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
一般地：
f (x) lim f (x x) f (x) (导函数)
线斜率即 f (x0 )
x0
若切点为 k t则g曲 线f (在x0 )
的
切线方程为(x0：, y0 )
x x0
法线方程为：y y0 f (x0 )(x x0 )
y
y0
1 (x f (x0 )
x0 )
导数与微分
例2：求曲线y ax在（0,1）点处的切线和法线方程
解：k f (0) (a x ) (a x ln a) |x0 ln a 切线方程为：
y
a(1
cos
t)
y y(t) a(1 cos t) a sin t ctg t x(t) a(t sin t) a(1 cos t) 2
x et sin t
(3)
y
et
cos
t
求在t 0处的切线方程
y
y(t)＝（et cos t）＝ et x(t) （et sin t） et
cos t et sin t sin t et cos t
x x(t)
y
y(t)
t
求导公式：y(x) y(t) x(t)
例8：求下列参数方程给出的函数的导数
（1)
x ln(1 t)
y
arctgt
y(x)
y(t) x(t)
(arctgt) (ln(1 t))
1 1t 2
1 1t
1t 1 t2
导数与微分
x a(t sin t)
(2)
h0
h
lim f (x0 h) f (x0 ) lim f (x0 h) f (x0 )
h0
h
h0
h
f (x0 ) f (x0 ) 2 f (x0 )
导数与微分
二、导数的物理和几何意义
1.物理意义： s(x) 表示运动物体瞬时速度即：
2.几何意v 义s：(t) 表示曲线y＝f(x)在x0处的切
y (ln u) (arctgv) ( x )
1 1 1 u 1 v2 2 x
1
2 x (1 x)arctg x
y(1) 1
导数与微分
（5)
y
2cos
1 x
令
:
y
2u ,u
cos
v, v
1 x
y
(2u
)
(cos
v）
(
1 x
)
2u
ln
2
(
sin
v)
(
1 x2
)
ln
2
2cos
1 x
x2
sin
导数与微分
（3) x y y x
ln x y ln y x , y ln x x ln y
yln x y ln y x y
x
y
y(ln x x ) ln y y
y
x
y y(x ln y y) x( y ln x x)
导数与微分
• 注：对一些较复杂的乘积，商或根式函数求导时， 可利用先取对数后求导的方法计算
1 x3 (4) y 3 1 x3
解：ln
y
ln( 1 1
x3 1
x3 )3
1 ln 3
1 x3 1 x3
1 [ln(1 3
x3) ln(1 x3)]
1 y
y
1 3
3x2
( 1
x3
3x2 1 x3
)
2x2 1 x6
y
3
1 1
x3 x3
2x2 1 x6
导数与微分
5.参数方程求导法则
由参数方程给出的函数 :
x0
x
导数与微分
即导数为函数增量与自变量增量比的极限
注：f (x0 ) f (x) |xx0 , 但f (x0 ) [ f (x0 ]
例1、设f (x0 )存在，计算下列极限：
1 lim f (x0 2x) f (x0 )
x0
x
令 : 2x h, x 1 h, x 0时h 0 2
原式＝lim h0
导数与微分
例9 求下列函数的微分 (1) y ln ln x
y (ln ln x) 1 (ln x) 1
ln x
x ln x
dy 1 dx x ln x
解：y ey xey y 0 y(1 xey ) ey
y
1
ey x
ey
y
x 0时y 1
y(0)
1
e xey
|x0
y 1
e
导数与微分
（3) x2 2xy y2 2x 求y(2)
解：2x 2 y 2xy 2 y y 2,
y 1 x y x y
将x 2代入原方程： 4 4 y y2 4
(cu) cu
(u ) uv uv
v
v2
导数与微分
• 1.求下列函数的导数 （1) y x2 x x sin x
y (x2 x x sin x) 2x 1 1 cos x
2x
（2) y x ln x
y (x ln x) (x)ln x x(ln x)
ln
x
x
1 x
2.函数可微的条件:
定理: 函数y=f(x)在x点可微的充分必要条件是 y=f(x)在x点处可导.
即：函数可微 存在,则函数可导且 反之,函数可导,既 存在,则 函数可微.
, 从而
导数与微分
y f (x), dy f (x)x 对于函数y x, dy dx (x)x x x dx 即自变量的增量等于自变量的微分，从而函 数的微分的一般公式可写成： dy f (x)dx
f (x0 h) 1h
f (x0 ) 2 f ( x0 )
2
导数与微分
2 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
lim f (x0 h) f (x0 ) f (x0 ) f (x0 h)
h0
h
lim [ f (x0 h) f (x0 )] [ f (x0 h) f (x0 )]
cos t sin t sin t cos t
k y |t0 1 又t 0时x 0, y 1
切线方程为：y 1 1 (x 0) y x 1
导数与微分
五、函数的微分
1.微分的定义:设函数y=f(x)在点x0处可导, 是自
变量x的增量,则称
为函数f(x)在x0处关
于x的微分.记为: ,即 dy f (x0 )x
u=-x f (x) (x) f (x), f (x) f (x) f (x) f (x) 故f (x)是奇函数 同理可证奇函数的导数是偶函数。
导数与微分
• 3.隐函数求导法则： 隐函数：由含x，y的方程F(x,y）＝0给出的函数称 为隐函数。有些方程，可以从中解出y，将y表示成 x的显函数的形式。如：
a x )
1 x ln
a
导数与微分
7 .(ln x) 1 x
9. (cos x) sin x 11 .(ctgx) cse2 x
13 .(csex) csexctgx
8 .(sin x) cos x
10. (tgx) sec2 x 12 (sec x) sec xtgx 14 .(arcsin x) 1
定理：设y f (u), u (x), 若 (x)在x点处可导，
f (u)在相应的u点处可导，
则y f[ (x)]在x点处可导，且y f (u)(x)
即函数y对中间变量u求导f (u)乘中间变量u对
自变量x求导 (x)。
导数与微分
注：复合函数求导法则的关键在于： （1) 将复合函数分解成若干个基本初等函数； （2) 分别求出这些函数的导数并相乘； （3) 将所设中间变量还原
1 x
导数与微分
（6) y 1 cos2 2x 令 : y u ,u 1 v2, v cos t,t 2x
y ( u )(1 v2）(cos t)(2x)
1 2v ( sin t) 2 2u
2sin 2x cos 2x sin 4x
1 cos2 2x
1 cos2 2x
y 1＝lna( x 0 ) y lna x 1 法线方程为：
y 1 1 (x 0) y x 1
ln a
ln a
导数与微分
三、基本求导公式：
1（. c) 0, 3 .(xn ) nxn1
5. (ex ) ex
2 .(x ) x 1
4 .(a x ) a x ln a
6.
(log
导数与微分
例7：求下列函数的导数
（1) y x x
ln y x ln x,
1 y ln x x 1
y
x
y x x (1 ln x).
(2) y xsin x
ln y ln xsinx sin x ln x
1 y cos x ln x sin x
y
x
y xsinx (cos x ln x sin x ) x
利用复合函数求导法则对y求导再乘 y 得到一个含
y的方程，最后从新方程y中 解出 y
导数与微分
• 例6：求下列函数的导数
（1) y x sin y 0 解：y 1 sin y y 0 y(1 sin y) 1
y 1
1 sin y
导数与微分
（2) y xey 1 求y(0)
x2 y2 R2, y R2 x2 ,
有些方程则不能解出y，如 y x sin y 0 等，
对于这样的隐函数可不必解出y，而是将y作为x的 函数隐藏在方程中利用隐函数求导法则求出其导数
导数与微分
隐函数的求导法则： 将y作为x的函数，y＝y(x)，于是F(x，y(x)）＝0 对方程两边的x求导，遇y时，将y作为中间变量，
解得, y1 0, y2 4, (2,0, )及(2,4)
y(2)
1 x
x y
y
|x2
y0
1 2
y(2)
1 x y x y
|x2
y4
5 2
导数与微分
（4) xy exy 解： (xy) (exy )
y xy exy (1 y)
y(x exy ) exy y
y
exy y x exy
导数与微分
(3) y ln cos ex ,令 : y ln u,u cos v, v ex y (ln u) (cos v) (ex )
1 ( sin v) ex u
ex
sin ex cos ex
extgex
导数与微分
(4) y ln arctg x,求y(1) 令 : y ln u,u arctgv, v x
1
ln
x
导数与微分
（3）y x 1 x 1
y （ x 1） x 1
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1) (x 1)2
x 1 x 1 (x 1)2
2 (x 1)2
导数与微分
(4) y x(x 1)(x 2)(x n),求y(0)
解法1：利用导数的定义计算
y(0) lim f (x) f (0) lim x(x 1)(x 2)(x n) 0