空间点、直线平面之间的位置关系讲义与例题
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系(精讲)(解析版)
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系【考纲要求】1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2.了解两点间距离、点到平面的距离的含义.3.理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念.【知识清单】知识点1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．知识点2．空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．abc V = 知识点3．异面直线所成的角异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．知识点4．直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.知识点5．二面角1．求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【考点梳理】考点一 ：平面的基本性质【典例1】（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【典例2】（2020·全国高考真题（文））如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为长方体1111ABCD A BC D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内【规律方法】1.证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合【变式探究】1.（2019·河南高三月考（文））如图，1111ABCD A B C D －是平行六面体，O 是11B D 的中点，直线1AC 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（ ）A.1A M O A 、、、不共面B.A M O 、、三点共线C.A M O C 、、、不共面D.1B B O M 、、、共面【答案】B【解析】如图所示：连接11AC ，因为AO ⊂平面11AB D ，AO ⊂平面11ACC A ，所以AO 是平面11AB D 与平面11ACC A 的交线；又因为直线1AC 交平面11AB D 于点M ，所以M ∈AO ，所以AM O 、、三点共线，则B 正确；因为M ∈平面11ACC A ，所以1A M O A 、、、共面，故A 错误，同理可知C 错误；显然M 不是1AC 中点，所以1B B O M 、、、不共面，故D 错误，故选：B.2.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12， ∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．【总结提升】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.考点二： 空间线、面的位置关系【典例3】（2019·全国高考真题（理））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【典例4】（2020·江苏省高考真题）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC BC C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1ABC ,由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【总结提升】1.判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．(2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．2．三种平行关系的转化：3. 三种垂直关系的转化 线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理性质定理面面垂直4.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．5.证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【变式探究】1．(2019年高考全国Ⅲ卷理)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，M F ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．2．（2019·北京高考真题（文））已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【总结提升】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.考点三： 异面直线所成的角【典例5】（2020·全国高三课时练习（理））在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''－中，异面直线A D '与AB '所成角的大小是________. 【答案】π3【解析】在正方体ABCD A B C D ''''－中，连接,,A D AB B C '''，如图所示：则//A B DC ''，且A B DC ''=，所以四边形A B CD ''是平行四边形，所以//A D B C ''，所以AB C ∠'或其补角是异面直线A D '与AB '所成的角，连接AC ，则AB C ' 所以3AB C π∠'=，所以异面直线A D '与AB '所成的角为π3 故答案为：π3. 【规律方法】1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是]2,0(π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．2．向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a ，b ，则两异面直线所成角θ满足cos θ＝||a ||||·a b b ⋅. 【变式探究】（2019·四川棠湖中学高二月考）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A.2πB.C.D.3π 【答案】A【解析】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()22a A B a BM a a ==+=，，2A M ==，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ．故选：A ．考点四： 直线与平面所成角【典例6】（2020·浙江省高考真题）如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ．∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ， ∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥．∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH ==⇒=．在CBH 中，22222cos45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥． 由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BHDH H =，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．（Ⅱ）因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角．作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ，因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD 平面BHD BD =， HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH =，BH DH HG BD ⋅===，∴sinHG HCG CH ∠===．故DF 与平面DBC 所成角的正弦值为3【典例7】（2018·天津高考真题（文））如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DMAD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN在等腰三角形DMN中，MN=1，可得12cosMNDMNDM∠==．所以，异面直线BC与MD（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CMABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD．在Rt△CMD中，sinCMCDMCD∠==所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为4．【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式探究】1. （2019·陕西高三月考（理））已知正方体1111ABCD A BC D -的体积为，点P 在正方形1111D C B A上，且1,A C 到P 的距离分别为CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )C.12D.13【答案】A【解析】易知AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算12C P ==；又1112,4A P AC ==，所以点P 是11AC 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，tan 2CO CPO PO ∠==2.（2019·全国高三月考（理））已知球内接三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，32π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为________.【答案】10【解析】如图:由正弦定理得小圆1O 的半径为:60r =1=,则2AD =, 又由343233R ππ=,得球的半径R 2=,所以AP ===取AB 的中点E ,连接PE ,CE ,则CPE ∠就是直线PC 与平面PAB 所成的角,又PC2PE ===,所以cosCPE ∠=10=.直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为10. 考点五： 二面角【典例8】（2019·浙江高考真题）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<< 【答案】B【解析】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PD ED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin α=⇒α=β=γ=，故选B. 【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找平面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.（1）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．【变式探究】（2019·河北高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=.若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____；当四棱锥P ABCD -的体积取得最大值时，二面角A PC D --的正切值为_______.【答案】6π【解析】(1)．设()03CD x x =<<，则3PD x =-.∵AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O 的表面积为()2243126x πππ⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.(2)．四棱锥P ABCD -的体积()()213033V x x x =⨯-<<， 则22V x x '=-+，当02x <<时，0V '>；当23x <<时，0V '<. 故()max 2V V =，此时2AD CD ==，1PD =.过D 作DH PC ⊥于H ，连接AH ，则AHD ∠为二面角A PC D --的平面角.∵DH ==，∴tan AD AHD DH ∠==此时截面圆的半径22d R r -=最小，此时截面圆的面积最小，而OP ==,所以32r ==， 所以截面圆面积294S r ππ==. 故答案为：17π；94π。
第04讲_空间点、直线、平面之间的位置关系(解析版)
高中数学辅导讲义[解析版]知识图谱空间点、直线、平面之间的位置关系知识精讲一．平面的三个公理及推论1．三个公理：（1） 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在 这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（2） 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说 成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈．（3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线． 2．三个推论（都可利用公理2进行推导）．推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面． 共面直线：包括平行直线和相交直线.异面直线：既不相交又不平行的直线叫做异面直线.αlB AαCBA Aαaβ三点剖析一．方法点拨1．证明空间中的三点共线问题：一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上：即先确定出某两个点在某两个平面内，再证明第三个点既在第一个平面内，又在第二个平面内，则三点都在两平面的交线上公理3是证明点共线的依据，应该这样理解： （1）如果A 、B 是交点，那么AB 是交线；（2）如果l αβ=，点P 是,αβ的一个公共点，那么P l ∈．2．证明直线共面通常的方法：（1）先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）； （2）分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；（3）可以假设这些直线不在同一平面内，然后通过推理找出矛盾（反证法）．平面的基本性质例题1、 若点B 在直线b 上，b 在平面β内，则B b β、、之间的关系可记作（ ） A.B b β∈∈ B.B b β∈⊂ C.B b β⊂⊂ D.B b β⊂∈例题2、 在下列命题中，不是公理的是（ ） A.平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 例题3、 空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果EF GH P ⋂=，则点P （ ） A.一定在直线BD 上 B.一定在直线AC 上 C.在直线AC 或BD 上 D.不在直线AC 上也不在直线BD 上 例题4、 一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是() A.1或3个 B.1或4个 C.1个、3个或4个 D.1个、2个或4个 随练1、 如果,,,,a b l a A l b B αα⊂⊂⋂=⋂=那么下列关系成立的是（ ） A.l α⊂ B.l α∉ C.l A α⋂= D.l B α⋂= 随练2、 两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ） A.两个公共点 B.三个公共点 C.四个公共点 D.两条平行直线共面与异面直线例题1、 如图，设E F G H P Q ，，，，，分别是正方体1111ABCD A B C D -所在棱上的中点，求证：E F G H P Q ，，，，，共面．例题2、 已知直线直线求证：直线共面．,a b c ∥∥,,.l a A l b B lc C ===,,,a b c l PQ HG F E B 1D 1C 1A 1DCBA例题3、 如图，,D E 是棱PC 上不重合的两点，,F H 分别是棱,PA PB 的点，且与P 点不重合，求证：EF 和DH 是异面直线．例题4、 如图所示，已知梯形中，画出平面与平面的交线．随练1、 一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是( ) A.1或3个 B.1或4个 C.1个、3个或4个 D.1个、2个或4个 随练2、 如图，点是的中点，画出平面与平面的交线．拓展1、 如图所示，用符号语言可表达为（ ）A.m n m n A αβα⋂=⊂⋂=，，B.m n m n A αβα⋂=∈⋂=，，C.m n A m A n αβα⋂=⊂⊂⊂，，，D.m n A m A n αβα⋂=∈∈∈，，，2、 如图所示是正方体的表面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题，正确命题的序号是______________3、 下列命题中正确的有几个（ ）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线； ②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于A B C 、、三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个ABCD ,2,AB CD DC AB =∥PBC PAD DBPAE 1CC BDE 1111A B C D 1C B A 1C E APH FDBAn mAβαFE MN D C B A4、 如图所示，已知正方体中，分别是的中点，求证：延长后相交于一点．1111ABCD A B C D ,G H 1111,B C C D 1,,DH BG CC1A C答案解析平面的基本性质与推论平面的基本性质例题1、 【答案】 B【解析】 点是元素，直线和平面为集合 例题2、 【答案】 A【解析】 D 、B 、C 分别为公理一、二、三． 例题3、 【答案】 B【解析】 根据公理三可得 例题4、 【答案】 C【解析】 根据点线面确定平面的方法判断即可. 随练1、 【答案】 A【解析】 直线和平面的包含关系 随练2、 【答案】 D【解析】 有多于不在同一直线三点的两个平面重合共面与异面直线例题1、【答案】 见解析【解析】 连接EF QG ，，∵E F Q G ，，，分别是111111A D D C A A C C ，，，的中点，∴11,||||EF AC QG 同理||FG EP ，设E F G Q ，，，确定平面F G E P α，，，，确定平面β，由于α，β都经过不共线的三点E F G ，，，故α，β重合，即E F G P Q ，，，，五点共面，同理可证E F G H Q ，，，，五点共面，故E F G H P Q ，，，，，共面． 例题2、【答案】 见解析 【解析】 证明：确定平面确定平面又 平面内都有直线和点且点在直线外． 重合，则同理，共面．例题3、【答案】 见解析 【解析】 反证法，假设EF 与DH 有公共点，则公共点也为平面PAC 与平面PBC 的公共点，从而公共点在直线PC 上，而,,,EF PC F PC DH D D F ==不重合，结论不成立．,,lb B b l =∴,,a b α∴.β,..l a A A l A α=∴∈∴∈,,.A a a A ββ∈⊂∴∈∴,αβb ,A A b ,αβ∴.a α⊂.,,,c a b c l α⊂∴例题4、 【答案】 如图【解析】 延长交于点连接即是平面与平面的交线． 随练1、 【答案】 C【解析】 按照直线与点的位置讨论得出 随练2、【答案】 如图所示．【解析】 如图，延长交于点延长交于点连接即是平面与平面的交线．拓展1、【答案】 A【解析】 平面的交线，直线和平面的交点，点和平面的属于关系 2、【答案】 ③④【解析】 还原立体图可得 3、【答案】 C【解析】 不共面的五个点最多能确定10个平面 4、【答案】 见解析．【解析】 证明：先证相交于一点，然后再证过这一点即可．平行且等于又平行且等于 平行且等于． 所以四点共面，且为梯形．所以延长后必交于点因为所以同理．所以点在平面平面的交线上．又平面平面延长后相交于一点．DBPA,CB DA ,Q ,PQ PQ PBC PAD D 1C 1B 1A 1MDC E A11,DE D C ,M 11,BE B C ,N ,MN MN BDE 1111A B C D ,DH BG 1CC 1111,,D H HC B G GC GH ==∴111.2B D 11B D ,BD GH ∴12BD ,,,G H B D GHDB ,DH BG .P 11,,P BG BG BCC B ∈⊂平面11.P BCC B ∈平面11P CC D D ∈平面P 11BCC B 和11CC D D 11BCC B111,CC D D CC =1,P CC ∴∈∴1,,DH BG CC。
空间点、直线、平面之间的位置关系 经典例题与讲解
求证：两条相交直线确定一个平面.思路点拨：公理2用于确定一个平面.证明：如图：已知直线，在上任取与A不重合的一点B，在a上任取与A不重合的一点C，则A、B、C三点不共线，由公理2，A、B、C三点确定一个平面，设为；∵B、A点在直线上，且B、A点在上，由公理1，；同理；∴两条相交直线a、确定一个平面.总结升华：证明点线共面的主要依据：1．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；2．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.举一反三：【变式1】已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【答案】如图证明：因为a∥b，由公理2的推论，存在平面，使得，.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则，在平面内过点C作，因为，则，这与矛盾，故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.【变式2】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，求证：直线AB、BC、CA共面.思路点拨：先依据公理2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1,证三条直线在平面内.注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面，因为，，所以.同理，.所以AB，BC，CA三直线共面.【变式3】在正方体中，（1）与是否在同一平面内？（2）点B，，D是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.解：（1）在正方体中，∵，∴由公理2的推论可知，与可确定平面，∴与在同一平面内.（2）∵点B，，D不共线，由公理“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”可知，点B，，D可确定平面，∴点B，，D在同一平面内.（3）∵，，∴点O平面，平面，又平面，平面，∴平面平面，同理平面平面.类型二：三点共线问题2．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD（四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和HG交于点P，如图所示，求证：点B、D、P在同一条直线上．思路点拨：由题设，我们很容易知道B，D在平面ABD和平面CBD交线上，现只需再证明P也在两平面交线上即可．证明：如上图，∵直线EF∩直线HG=P，∴P∈直线EF，而EF平面ABD，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面CBD，即点P是平面ABD和平面CBD的公共点．显然，点B、D也是平面ABD和平面CBD的公共点，由公理3知，点B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交线上，即点B、D、P在同一条直线上．总结升华：证明三点共线通常采用如下方法：1．首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在交线上．2．选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．举一反三：【变式1】已知△ABC在平面外，AB∩=P，AC∩=R，BC∩=Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．思路点拨：应用公理3，选择恰当的平面，只要证明点都是某两个平面的公共点，即可推出三点在两个平面的交线上．证明：∵AB∩=P，∴P∈AB，P∈平面．又AB平面ABC，∴P∈平面ABC．∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上．同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上．∴P、Q、R三点共线．总结升华：证明多点共线问题，找出相关的平面与平面的交线，由公理3，说明这些点都在这两个平面的交线上即可．【变式2】如图所示，在正方体中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．思路点拨：可根据公理3，如果两个平面有一个公共点，它们就有过这点的一条交线，也只有这一条交线；这条直线的位置还需借助于另一个条件来确定．解析：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA．又∵FD1平面BED1F，AD平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连接PB，PB即为平面BED1F，与平面ABCD的交线．总结升华：公理3是两个平面相交的性质，它说明两个平面相交，交线是一条直线．要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线。
空间点直线平面之间的位置关系例题
在探讨空间点直线平面之间的位置关系之前，我们首先要了解什么是空间点、直线和平面。
空间点是指没有长、宽、高的点，仅有位置坐标的点；直线是由无数个点组成的一条直线；平面是由无数个点组成的一个平面。
这三个概念在空间几何中是非常基础且重要的。
接下来我们来探讨一些例题，以便更好地理解它们之间的位置关系。
1. 空间点A(1,2,3)、直线l:x=2t, y=t, z=t和平面π:2x-y+z=5之间的位置关系是怎样的？首先我们来看点A和直线l之间的位置关系。
点A与直线l之间的位置关系可以通过点到直线的距离来确定。
点到直线的距离是点到直线上的垂线段的长度。
通过计算可以得出点A到直线l的距离是√14/3，可知点A与直线l是不相交的。
接着我们来看点A和平面π之间的位置关系。
点A与平面π之间的位置关系可以通过点是否在平面的同一侧来确定。
通过计算可以得出点A不在平面π的同一侧，因此点A与平面π是相交的。
点A与直线l是不相交的，点A与平面π是相交的。
2. 空间点B(2,1,4)、直线m:x=t+1, y=2t-1, z=t和平面δ: x+2y-z=7之间的位置关系是怎样的？同样的，我们首先来看点B和直线m之间的位置关系。
通过计算可以得出点B到直线m的距离是√6，可知点B与直线m是相交的。
接着我们来看点B和平面δ之间的位置关系。
通过计算可以得出点B在平面δ的同一侧，因此点B与平面δ是相交的。
点B与直线m是相交的，点B与平面δ是相交的。
在本例题中，我们简单介绍了空间点、直线和平面之间的位置关系，同时给出了例题的解答过程。
希望对你有所帮助。
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空间几何在数学中占据着重要的地位，它研究了空间中点、直线和平面之间的位置关系，是几何学的一个重要分支。
空间点、直线和平面的位置关系不仅仅是数学领域的问题，实际上在日常生活中也经常会涉及到这些概念。
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
空间点、直线、平面之间的位置关系(讲义及答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系（讲义） ＞知识点睛一、平面的基本性质如果一条直线上的________ 在一个平面内，那么这条直线在此平面内过 ____________的三点，有且只有一个平面如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们有 且只有_____________ 过该点的公共直线公理1 公理2公理3 自 八 语 言符号语言2相关推论 1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.3：经过两条平行直线，有且只有一个平 位置关系符号语言 图示点、线点在直线上--- ------- 1点在直线外点、面点在平面内 •B/ - /点在平面外 二、位置关系面. A /ca公理 推论 面.推论 ••人B, C 三点 不共线 二有且只有一个 平面a,使位置关系 符号语言 图示线、线 同一平面 相交平行不同一平面 异面线、面 线在平面内线在平面外 相交3 /平行/面、面 平行 粉'\ /相交7三、线线位置关系I 公理4：平行于 ______________ 的两条直线互相平行.定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角________________ .2 异面直线所成的角① 定义：设G 方是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a' b' //h,把刃与夕所成的 _________________ 叫做异面直线"，”所成的角（或夹角）.② 异面直线所成角&的范H ： _________ .③ 如果两条异面直线所成的角是直角，那这两条直线___________ .两条互相垂直的异面直线仙b,记作 __________ . ④ 图示.3 求角的处理步骤① 构造：根据异面直线的定义，用平移法作出角；② 证明：证明说理；③ 计算：求角度，常利用三角形求解；④ 结论：若求出的角是锐角或直角，则其即为所求角，若求b '出的角是是钝角，则其补角为所求角.四、证明三线共点、三点共线的方法1.三线共点处理思路：先证两条直线相交于一点，再证第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，利用公理3可证.2.三点共线处理思路：先找两个平面，证明这三点都是这两个平面的公共点，利用公理3,三点都在交线上.精讲精练下列四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线：佛点A, B, C, D共面，点A, B, C, E共面，则点A, B, E共面；③若直线G方共面，直线"，（•共面，则直线b，C共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确的有（）A- 0个B・1个C・2个D・3个2 . 设P表示一个点，⑴b表示两条直线，g 0表示两个平面, 给出下列四个命题：®Pe«r P eawua；©anh=P, bupnaup；③a〃b、rtua, Pe/jr P eanbua；④ari0=/?, P ecGPEpnPEb.其中正确的是（3 . A-①②C・①④D・②③如图，anfi=h A. Bea. CW介且C*人直线AB n f=M.过A, B, C 三点的平面记作y,则卩与〃的交线必通过（）A•点AC•点C但不过点MB・点BD•点C和点MD. 6在下图中，G, N, M, H 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，其中表示直线GH, MN 是异面直线的图形是 ________ .（填 上所有正确答案的序号）111 U /!/ // 皆、 ■(;① N // ©// . V //® 4. 下列说法正确的是（A B c 若uug bup 、则a 与b 是异面直线若《与Z?异面，/?与C 异面，则丫/与^异面 若G, Z?不同在平面Ct 内，则a tj h 异面 若⑴b不同在任何一个平面内，则a 与b 异面5. 在直四棱柱ABCD-AiBiCiDi 中，既与AB 共面也总CCi 共面的棱有（… * A- 3 )条・ B ・4 AlCl C- 5 6.9. ；A n /! / /1 J 1/ F C Z /如图，在空间四边形ABCD 中，对角线AC=24. BD=\0. M, N 分别是AB, CD 的中点，且MN 二13,则异面直线AC 和BD 所成角的度数为（A. 90。
立体几何与空间向量之 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。
平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。
点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第七章§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)两两相交的三条直线共面．(×)2．(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，直线BD 1与直线AA 1所成角的余弦值是()A.12B.13C.63D.33答案D解析连接BD (图略)，由于AA 1∥DD 1，所以∠DD 1B 即为直线BD 1与直线AA 1所成的角，不妨设正方体的棱长为a ，则BD ＝2a ，BD 1＝D 1D 2＋BD 2＝3a ，所以cos ∠DD 1B ＝DD 1D 1B ＝13＝33.3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是()A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面D ．依次首尾相接的四条线段必共面答案BCD解析反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A 正确；如图1，A ，B ，C ，D 共面，A ，B ，C ，E 共面，但A ，B ，C ，D ，E 不共面，故B 错误；如图2，a ，b 共面，a ，c 共面，但b ，c 异面，故C 错误；如图3，a ，b ，c ，d 四条线段首尾相接，但a ，b ，c ，d 不共面，故D 错误．图1图2图34.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则：(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；(2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形．答案(1)AC ＝BD(2)AC ＝BD 且AC ⊥BD解析(1)由题意知，EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一基本事实的应用例1已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF 与ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为AF ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由题设知，因为G ，H 分别为AF ，FD 的中点，所以GH ∥AD 且GH ＝12AD ，又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，故GH ∥BC 且GH ＝BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)解C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 是AF 的中点知BE ∥GF 且BE ＝GF ，所以四边形EFGB 是平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH .故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．题型二空间位置关系的判断例2(1)(多选)下列推断中，正确的是()A ．M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ⇒M ∈lB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ，B ，C ∈α，A ，B ，C ∈β，且A ，B ，C 不共线⇒α，β重合答案ABD解析对于A ，因为M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，由基本事实3可知M ∈l ，故A 正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确．(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是() A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案D解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面．思维升华判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．”跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是()A ．直线AM 与CC 1是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与MB 1是异面直线D ．直线AM 与DD 1是异面直线答案CD解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以直线AM 与CC 1是异面直线，故A 错误；取DD 1的中点E ，连接AE (图略)，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，所以AM 与BN 不平行，故B 错误；因为点B 1与直线BN 都在平面BCC 1B 1内，点M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故C 正确；同理D 正确．题型三异面直线所成的角例3(1)如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.66答案D解析如图，过点E 作圆柱的母线交下底面于点F ，连接AF ，易知F 为 AD 的中点，设四边形ABCD 的边长为2，则EF ＝2，AF ＝2，所以AE ＝22＋(2)2＝ 6.连接ED ，则ED ＝ 6.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE 与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝6＋4－62×2×6＝66.所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为66.(2)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为105，则四棱锥外接球的表面积为()A ．48πB ．12πC ．36πD ．9π答案D解析如图，将其补成长方体．设PA ＝x ，x >0，连接AB 1，B 1C ，则异面直线AC 与PD 所成的角就是∠ACB 1或其补角．则cos ∠ACB 1＝105＝8＋x 2＋4－x 2－42×22×x 2＋22，解得x ＝1(舍去负值)，所以外接球的半径为12×12＋22＋22＝32，所以该四棱锥外接球的表面积为4π＝9π.思维升华异面直线所成角的求法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解跟踪训练3(1)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，高为6，则直线AE 1和EF 所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C解析如图所示，EF ∥E 1F 1，则∠AE 1F 1即为所求．∵AF ＝EF ＝1，EE 1＝6，且∠AFE ＝2π3，∴AE ＝AF 2＋EF 2－2AF ·EF ·cos2π3＝3，∴AE 1＝AE 2＋EE 21＝3，AF 1＝AF 2＋FF 21＝7，∴cos ∠AE 1F 1＝AE 21＋E 1F 21－AF 212AE 1·E 1F 1＝9＋1－72×3×1＝12，∴∠AE 1F 1＝π3，即直线AE 1和EF 所成角的大小为π3.(2)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A解析如图所示，过点A 补作一个与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF 1E ，则m ，n 所成的角为∠EAF 1.∵△AF 1E 为正三角形，∴sin ∠EAF 1＝sin 60°＝32.课时精练一、单项选择题1．若直线上有两个点在平面外，则()A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内答案D解析根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．2．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由m ，n ，l 在同一平面内，可能有m ，n ，l 两两平行，所以m ，n ，l 可能没有公共点，所以不能推出m ，n ，l 两两相交．由m ，n ，l 两两相交且m ，n ，l 不经过同一点，可设l ∩m ＝A ，l ∩n ＝B ，m ∩n ＝C ，且A ∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α，而B ，C ∈n ，所以B ，C ∈α，所以l ，m ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．3．已知平面α∩平面β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且B ∉l ，又AC ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A ．直线CMB ．直线BMC ．直线ABD ．直线BC答案B解析已知过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则AC ⊂γ.又AC ∩l ＝M ，则M ∈γ，又平面α∩平面β＝l ，则l ⊂α，l ⊂β，又因为AC ∩l ＝M ，所以M ∈β，因为B ∈β，B ∈γ，所以β∩γ＝BM .4.如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为()A.153B.155C.64D.104答案D 解析如图，取AC 的中点D ，连接DC 1，BD ，易知AM ∥DC 1，所以异面直线AM 与BC 1所成角就是直线DC 1与直线BC 1所成的角，即∠BC 1D ，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则DC 1＝5，BD ＝3，BC 1＝22，则在△BDC 1中，由余弦定理可得cos ∠BC 1D ＝(5)2＋(22)2－(3)22×5×22＝104，即异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值为104.5．四边形ABCD 是矩形，AB ＝3AD ，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 绕EF 旋转至与四边形BEFC 重合，则直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中()A ．逐步变大B ．逐步变小C ．先变小后变大D ．先变大后变小答案D 解析由题可知初始时刻ED 与BF 所成的角为0，如图1，故B ，C 错误；图1在四边形AEFD 绕EF 旋转过程中，EF ⊥DF ，EF ⊥FC ，DF ∩FC ＝F ，DF ，FC ⊂平面DFC ，所以EF ⊥平面DFC ，EF ⊂平面EFCB ，所以平面DFC ⊥平面EFCB ，故D 在平面BCFE 内的投影P 一直落在直线CF 上，如图2，图2所以一定存在某一时刻EP ⊥BF ，而DP ⊥平面EFCB ，DP ⊥BF ，又DP ∩PE ＝P ，DP ，PE ⊂平面DPE ，所以BF ⊥平面DPE ，此时DE 与BF 所成的角为π2，然后α开始变小，故直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A 错误，D 正确．6．在正四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2，E ，F ，G 分别为AB ，PC ，AD 的中点，直线BF 与EG 所成角的余弦值为63，则三棱锥P －EFG 的体积为()A.5212 B.24 C.23 D.26答案B解析连接BD ，DF ，AC ，CG ，CE ，如图，设BF ＝DF ＝x ，由BD ∥EG ，得∠FBD 即为BF 与EG 所成的角，在△FBD 中，易知BD ＝22，cos ∠FBD ＝x 2＋8－x 242x＝63，解得x ＝ 3.设PB ＝PC ＝y ，在△PFB ＋3－23·y 2cos ∠PFB ＝y 2，①因为∠PFB ＋∠BFC ＝180°，故cos ∠BFC ＝cos(180°－∠PFB )＝－cos ∠PFB ，则在△BCF ＋3－23·y 2cos ∠BFC ＝4，即＋3＋23·y 2cos ∠PFB ＝4，②①＋②得y 22＋6＝y 2＋4，因为y >0，解得y ＝2.因为F 为PC 的中点，故V 三棱锥P －EFG ＝V 三棱锥C －EFG ＝V 三棱锥F －ECG ，因为PA 2＋PC 2＝AC 2，PA ＝PC ，所以△PAC 为等腰直角三角形，则在等腰直角三角形PAC 中，易求得点P 到AC 的距离即点P 到底面的距离为2×222＝2，故点F 到平面CEG 的距离为22，S △ECG ＝S ▱ABCD －S △AEG －S △CDG －S △CEB ＝2×2－12×1×1－12×2×1－12×1×2＝4－12－1－1＝3 2，故所求三棱锥的体积为13×32×22＝24.二、多项选择题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O 三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．8．(2024·朝阳模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝AC＝BD＝5，则() A．AB⊥CDB．三棱锥A－BCD的体积为23C．三棱锥A－BCD外接球的半径为6D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为35答案ABD解析将三棱锥补形为长方体，如图所示．其中BE ＝BN ＝1，BF ＝2，所以AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝AC ＝BD ＝5，连接MF ，则AM ∥BF ，AM ＝BF ，所以四边形AMFB 为平行四边形，所以AB ∥MF ，又四边形MCFD 为正方形，所以MF ⊥CD ，所以AB ⊥CD ，故A 正确；长方体的体积V 1＝1×1×2＝2，三棱锥E －ABC 的体积V 2＝V 三棱锥A －BEC ＝13×12×1×2×1＝13，同理，三棱锥N －ABD ，三棱锥F －BCD ，三棱锥M －ACD 的体积也为13，所以三棱锥A －BCD 的体积V ＝2－4×13＝23，故B 正确；长方体的外接球的直径为12＋12＋22＝6，所以长方体的外接球的半径为62，长方体的外接球也是三棱锥A －BCD 的外接球，所以三棱锥A －BCD 外接球的半径为62，故C 错误；连接MN ，交AD 于点O ，因为MN ∥BC ，所以∠AOM (或其补角)为异面直线AD 与BC 所成的角，由已知OA ＝12AD ＝52，OM ＝12MN ＝52，AM ＝2，所以cos ∠AOM ＝54＋54－42×52×52＝－35，所以异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为35，故D 正确．9．已知α，β是不同的平面，l ，m ，n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，则点P 与直线l 的位置关系用符号表示为________．答案P ∈l 解析∵m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，∴P ∈α且P ∈β，又α∩β＝l ，∴点P 在直线l 上，即P ∈l .10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对．答案3解析画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB ，GH )，(AB ，CD )，(GH ，EF )．故共有3对．11．(2023·南阳模拟)如图，AB 和CD 是异面直线，AB ＝CD ＝3，E ，F 分别为线段AD ，BC上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝7，则AB 与CD 所成角的大小为________．答案60°解析在平面ABD 中，过E 作EG ∥AB ，交DB 于点G ，连接GF ，如图，∵AE ED ＝12，∴BG GD ＝12，又BF FC ＝12，∴BG GD ＝BF FC，∴∠EGF (或其补角)即为AB 与CD 所成的角，在△EGF 中，EG ＝23AB ＝2，GF ＝13CD ＝1，EF ＝7，∴cos ∠EGF ＝22＋12－(7)22×2×1＝－12，∴∠EGF ＝120°，∴AB 与CD 所成角的大小为60°.12．(2023·长春模拟)如图，在底面为正方形的棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为棱CC 1，BB 1，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M ，N ，若线段MN 与线段AE ，BD 1都不相交，则称点M 与点N 可视，下列与点D 不可视的为________．(填序号)①B 1；②F ；③H ；④G .答案①②③解析如图所示，连接B 1D 1，BD ，DB 1，EF ，DE ，DH ，DF ，DG ，因为E ，F 分别为棱CC 1，BB 1的中点，所以EF ∥BC ，又底面ABCD 为正方形，所以BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，所以四边形EFAD 为梯形，所以DH 与AE 相交，DF 与AE 相交，故②③不可视；因为B 1D 1∥DB ，所以四边形B 1D 1DB 是梯形，所以B 1D 与BD 1相交，故①不可视；因为EFAD 为梯形，G 为CF 的中点，即G ∉EF ，则D ，E ，G ，A 四点不共面，所以DG 与AE 不相交，若DG 与BD 1相交，则D ，B ，G ，D 1四点共面，显然D ，B ，B 1，D 1四点共面，G ∉平面DBB 1D 1，所以D ，B ，G ，D 1四点不共面，即假设不成立，所以DG 与BD 1不相交，即点G 与点D 可视，故④可视．四、解答题13.已知ABCD 是空间四边形，如图所示(M ，N ，E ，F 分别是AB ，AD ，BC ，CD 上的点)．(1)若直线MN 与直线EF 相交于点O ，证明：B ，D ，O 三点共线；(2)若E ，N 为BC ，AD 的中点，AB ＝6，DC ＝4，NE ＝2，求异面直线AB 与DC 所成角的余弦值．(1)证明因为M ∈AB ，N ∈AD ，AB ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以MN ⊂平面ABD ，因为E ∈CB ，F ∈CD ，CB ⊂平面CBD ，CD ⊂平面CBD ，所以EF ⊂平面CBD ，由于直线MN 与直线EF 相交于点O ，即O ∈MN ，O ∈平面ABD ，O ∈EF ，O ∈平面CBD ，又平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，则O ∈BD ，所以B ，D ，O 三点共线．(2)解连接BD ，作BD 的中点G ，并连接GN ，GE ，如图所示，在△ABD 中，点N ，G 分别是AD 和BD 的中点，且AB ＝6，所以GN ∥AB ，且GN ＝12AB ＝3，在△CBD 中，点E ，G 分别是BC 和BD 的中点，且DC ＝4，所以GE ∥CD ，且GE ＝12DC ＝2，则异面直线AB 与DC 所成的角等于直线GE 与GN 所成的角，即∠EGN 或∠EGN 的补角，又NE ＝2，由余弦定理得cos ∠EGN ＝GE 2＋GN 2－NE 22GE ·GN ＝22＋32－222×2×3＝34>0，故异面直线AB 与DC 所成角的余弦值为34.14.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，点E 是PB 的中点．(1)线段PA 上是否存在一点G ，使得点D ，C ，E ，G 共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；(2)若PC ＝2，求三棱锥P －ACE 的体积．解(1)存在．当G 为PA 的中点时满足条件．如图，连接GE ，GD ，则GE 是△PAB 的中位线，所以GE ∥AB .又AB ∥DC ，所以GE ∥DC ，所以G ，E ，C ，D 四点共面．(2)因为E 是PB 的中点，所以V 三棱锥P －ACE ＝V 三棱锥B －ACE ＝12V 三棱锥P －ACB .又S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，V 三棱锥P －ACB ＝13PC ·S △ABC ＝23，所以V 三棱锥P －ACE ＝13.15.(多选)如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是()A ．DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥C －AD 1P 的体积为定值C ．平面PB 1D ⊥平面ACD 1D ．异面直线DP 与AD 1所成角的范围是π4，π2答案ABC 解析对于A ，连接DB ，C 1D ，AB 1，D 1B 1，因为BC 1∥AD 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1，因为DB ∥D 1B 1，DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，所以DB ∥平面AB 1D 1，又DB ∩BC 1＝B ，DB ，BC 1⊂平面BDC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1，又DP ⊂平面BDC 1，所以DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确；对于B ，由点P 在线段BC 1上运动知平面AD 1P 即平面AD 1C 1B ，故点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥C －AD 1P 的体积不变，故B 正确；对于C ，因为四边形DCC 1D 1为正方形，则CD 1⊥C 1D ，而AD ⊥平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以CD 1⊥AD ，又AD ∩C 1D ＝D ，AD ，C 1D ⊂平面AB 1C 1D ，则CD 1⊥平面AB 1C 1D ，而DB 1⊂平面AB 1C 1D ，因此DB 1⊥CD 1，同理DB 1⊥CA ，又CD 1∩CA ＝C ，CD 1，CA ⊂平面ACD 1，所以DB 1⊥平面ACD 1，又DB 1⊂平面PB 1D ，则平面PB 1D ⊥平面ACD 1，故C 正确；对于D ，由AD 1∥BC 1，异面直线DP 与AD 1所成角即为DP 与BC 1所成角，又△DBC 1为等边三角形，当P 与线段BC 1的两端点重合时，DP 与AD 1所成角取最小值π3，当P 与线段BC 1的中点重合时，DP 与AD 1所成角取最大值π2，故DP 与AD 1所成角的范围为π3，π2，故D 错误．16．(2023·孝感模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在体积为43π的球O 上，则该正方体的棱长为________，若动点P 在四边形A 1B 1C 1D 1内运动，且满足直线CC 1与直线AP 所成角的正弦值为13，则OP 的最小值为________．答案262解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，球O 的半径为R ，则由正方体体对角线L ＝3a ＝2R 得R ＝3a 2，所以V 球O ＝43πR 3＝43π3a 23＝43π，故a ＝2，因为CC 1∥AA 1，所以AA 1与AP 所成角的正弦值也是13，即sin ∠A 1AP ＝13，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1P ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥A 1P ，故sin ∠A 1AP ＝A 1P AP ＝A 1P A 1P 2＋AA 21，即A 1P A 1P 2＋4＝13，解得A 1P ＝22，所以点P 的轨迹是以A 1为圆心，22为半径的圆与四边形A 1B 1C 1D 1内的一段弧，如图所示，设正方形A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，连接O 1P ，OO 1，因为O 1A 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝2，所以(O 1P )min ＝O 1A 1－A 1P ＝22，所以(OP )min ＝OO 21＋(O 1P )2min ＝1＋12＝62，即(OP )min ＝62.。
空间点、直线、平面之间的位置关系题型归纳
空间点、直线、平面之间的位置关系题型归纳知识的精讲一、平面的基本性质平面的基本性质如表8-4所示. 表8-4 名称 图形文字语言符号语言公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 A l B l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭公理2过不在同一直线上的三点有且只有一个平面 A ,B ,C 不共线⇒A ,B ,C α∈且α是唯一确定的 公理2的推论推论1经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面 若点A α∉,则经过点A 和直线a 有且仅有一个平面α推论2两条相交直线确定一个平面 a b P =⇒有且只有一个平面α，使,a b αα⊂⊂推论3两条平行直线确定一个平面 a ∥b ⇒有且只有一个平面α，使,a b αα⊂⊂ 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若,P αβ∈则,a αβ=且P a ∈二、空间直线与直线的位置关系 1.位置关系如表8-5所示. 表8-5 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面图形符号 a b P =a ∥b,,a A b A b αα=⊂∉公共点个数 1特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内3.定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）. 三、空间中的直线与平面的位置关系（见表8-6） 位置关系 包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号 l α⊂l P α=l ∥α公共点个数无数个 1四、空间中的平面与平面的位置关系（见表8-7） 表8-7 位置关系 平行相交（但不垂直）垂直图形符号 α∥βl αβ= αβ⊥，l αβ=公共点个数无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，异面直线经平移后相交成90o也叫垂直.题型归纳及思路提示题型1证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点” 思路提示要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内（即纳入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明 “线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是：先证明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上.例8.19如图8-73所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB ∠=∠=11,.22BCAD BE AF 求证：C ,D ,F ,E 四点共面.分析 证明四点共面，利用平面的确定公理，即两条相交直线确定一个平面，本题可证明DC ,FE 相交与一点.解析 如图8-74所示，延长DC 交AB 的延长线与点G ，由1,2BCAD 得1,2GB GC BC GA GD AD ===延长FE 交AB 的延长线于G ＇，同理可得''1,''2G E G B BE G F G A AF ===故','G B GBG A GA =即G ＇与G 重合，因此，直线CD和EF 相交与点G ，即C ,D ,F ,E 四点共面.变式1 如图8-75所示，已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,点F 在CC 1上，且AE =FC 1,求证E ,B ,F ,D 1四点共面.变式2 如图8-76所示，在六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，上下底面均为正方形，1DD ⊥平面A 1B 1C 1D 1，1DD ⊥平面ABCD .求证：A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面.例8.20 如图8-77所示，空间四边形ABCD 中，E ,F ,G 分别在AB ,BC ,CD 上，且满足AE ：EB =CF ：FB =2：1，CG ：GD =3：1，过E ,F ,G 的平面交AD 于H ，连接EH ,HG .(1)求AH ：HD ;(2)求证：EH ,FG ,BD 三线共点.解析 （1）因为2AE CFEB FB==，所以EF ∥AC ,又EF ⊄平面ACD ，所以EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH 平面ACD =GH ,所以EF ∥GH ,而EF ∥AC ,所以AC ∥GH ,所以3AH CGHD GD==，即AH ：HD =3：1. （2）证明：因为EF ∥GH ，且11,34EF GH AC AC ==，所以EF ≠GH ,所以四边形EFGH 为梯形.令EH FG P =，则,,P EH P FG ∈∈，而EH ⊂平面ABD ，FG ⊂平面BCD ，平面ABD 平面BCD =BD ，所以,P BD ∈，故EH ,FG ,BD 三线共点.评注 所谓“线共点”问题就是证明三条或三条以上直线交于一点，证明三线共点的思路为：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题.变式1 如图8-78所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别是AB ,AA 1的中点.求证：（1）E ,C , D 1,F 四点共面；（2）CE ,D 1F ,DA 三线共点.BF C GHAED图8-77变式2如图8-79所示，点E ,F ,C ,H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,BC ,CC 1,C 1D 1的中点，证明：EF ,HG ,DC 三线共点.题型2 截面问题 思路提示截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截面的形状.例8.21如图8-80所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得截面记为S ,则下列命题正确的是 .（写出所以正确命题的编号）. ①当102CQ <<时，S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与C 1D 1的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S 的面积为62.分析 本题重点考查了截面问题，对于截面问题要利用平面的确定公理作为理论背景，尤其是两条平行直线确定一个平面.解析 对于①②,因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，当12CQ =时，22PQ =，这时过,,A P Q 的截面与正方体表面交与点1D ，且PQ 1AD ，截面S ，如图8-81（a ）所示，15,2AP D Q ==截面S 为等腰梯形，当102CQ <<时，过,,A P Q 三点的截面与正方体表面的交点在棱1DD 上，截面S 为四边形，如图8-81（b ）所示，故①②正确；③如图8-81（c ）所示，当34CQ =时，111,3C R C Q CT QC ==又CT =1，得113C R =；④如图8-81（d ）所示，当45CQ =时，过点,,A P Q 的平面截正方体所得的截面为五边形APQRS ；⑤如图8-81（e ）所示当1CQ =时，则过点,,A P Q 的截面为,,,S A P Q ，其截面为菱形，对角线2,3,SP AQ ==所以S 的面积为1623.22⨯⨯=综上，正确的命题序号是①②③⑤.变式1 如图8-82所示，M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行. 其中真命题是（ ）.A .②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③变式2 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 与F ，得四边形1BFD E ，给出下列结论：①四边形1BFD E 有可能是梯形； ②四边形1BFD E 有可能是菱形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直与平面11BB D D ； ⑤四边形1BFD E 面积的最小值为62. 其中正确的是（ ）A .①②③④B . ②③④⑤C . ①③④⑤D . ①②④⑤ 题型3 异面直线的判定 思路提示判定空间两条直线是异面直线的方法如下：（1）直接法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过B 点的直线是异面直线. （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面.例8.22 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）. A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交解析 假设a 与b 是异面直线，而c ∥a,则c 显然与b 不平行（否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾），因此c 与b 可能相交或异面，故选B .评注 判定和证明两条直线是异面直线，常用反证法和定义法.变式1 已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ）A. m 与n 异面B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能 变式2 已知,a b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则,a b 在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确的结论的编号是 （写出所有正确的编号）.变式3 若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则（ ）A. α内的所有直线与l 异面B. α内不存在与l 平行的直线C. α内存在唯一的直线与l 平行D. α内的直线与l 都相交例8.23如图8-83所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一个平面内，M 和N 分别AB 和DF 为的中点，用反证法证明：直线ME 与BN 是异面直线.解析 假设直线ME 与BN 共面，连接,,AN NE EB ,则AB ⊂平面MBEN ,且平面MBEN 与平面交于，由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面，故AB ⊄平面DCEF ，又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF ，又平面MBEN 平面DCEF EN =，所以AB ∥EN ，又AB ∥CD ∥EF ，所以EF ∥EN ，这与EF EN E =矛盾，故假设不成立，所以直线ME 与BN 不共面，直线ME 与BN 是异面直线.变式1在正方体ABCD A B C D ''''-中，棱,BB C D '''的中点分别是,F H ，如图8-84所示，判断点,,,A D F H '是否共面？并说明理由.最有效训练题1.下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.下列四个命题：①若直线,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 是异面直线；②若直线,a b 相交，,b c 相交，则,a c 相交；③若a ∥b ，则,a b 与c 所成的角相等；④若,a b b c ⊥⊥，则a ∥c ，其中真命题的个数是（ ）A.4B. 3C. 2D. 13.设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ） A. 在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B. 过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C. 与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行 D. 与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直4.平行六面体1111ABCD A B C D -中,既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为（ ） A.3 B. 4 C. 5 D. 65.如图8-85所示，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列四个命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行；其中真命题是（ ）A.②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③6．如图8-86所示，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ） A. AC BD ⊥ B. AC ∥截面PQMNC. AC BD =D.异面直线PM 与BD 所成的角为45图8-867．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与直线1,,AB AD AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作 条8．如图8-87所示，是正方体的表面展开图，,,,E F G H 分别是棱的中点，EF 与GH 在原正方体中的位置关系为9．下列命题中不正确的是 ①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面；10．在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于有这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确结论的编号） ①能构成每个面都是等边三角形的四面体； ②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；11．如图8-88所示，空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==（1）求证：,,,E F G H 四点共圆；（2）设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线12．如图8-89所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11A B ，11B C 的中点，问： （1）AM 和CN 是否为异面直线？说明理由； （2）1D B 和1CC 是否为异面直线？说明理由；。
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系课件人教新课标
小结：
直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系
作业：
P56 习题2.1A组 4（4）（5）（6）， 7，8
行，那么另一条也与这个平面平行.（ ）
（4）若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内
∨ 的任意一条直线都没有公共点。（ ）
例题讲练:
*
a
（A） 内所有直线与a异B面 （B） 内不存在与a平行的直线
（C） 内存在唯一的直线与a平行 （D） 内的直线与a都相交
反思与延伸:
*问题1.平行于同一平面的两条直线一定是两条
平行直线吗？
*问题2.两条平行线中的一条平行一个平面，则
另一条也一定平行于这个平面吗？
*问题3.无公共点的两条直线一定是平行直线吗？
D′
C′
A′
B′
D
C
A
B
小结* :
*(1)直线在平面内-----有无数个公共点
*(2)直线与平面相交----有且只有一个公共点
*(3)直线与平面平行----没有公共点
问题探究:
线段A′B所在直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的 六个面所在平面有几种位置关系?
D′ A′
D A
C′ B′
C B
直线与平面的位置关系及表示: （1）直线在平面内—有无数个公共点
记作:a 如图：
a
（2）直线在平面外—有一个公共点或没有公共点
记作: a
a
. ①直线 a 和面α相交 ： 如图：
例题讲练:
*一个长方体切一刀可以分成多少块？ *一个长方体切两刀可以分成多少块？ *一个长方体切三刀可以分成多少块？
2 3或4
4或5或6或7或8
D′
空间点直线平面之间的位置关系例题
空间点直线平面之间的位置关系例题空间几何是数学中一个非常重要的分支，在空间几何中，点、直线和平面是最基本的元素。
它们之间的位置关系既复杂又深刻，需要我们用深度和广度兼具的方式进行全面评估。
在本文中，我们将从简到繁，由浅入深地探讨空间点、直线和平面之间的位置关系，以及解决一些典型的例题。
一、空间点、直线和平面的基本概念1. 点：在几何中，点是最基本的概念，它是没有大小，没有形状，只有位置的。
点在空间中是唯一的，通过坐标来表示。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中是一条无限延伸的路径。
直线有方向和长度，可以根据方向向量来表示。
3. 平面：平面是由无数个点和直线组成的，在空间中是没有边界的二维图形。
平面可以通过点和法向量来表示。
二、点、直线和平面之间的位置关系1. 点和直线的位置关系：（1）点是否在直线上：给定点P(x,y,z)，直线L:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在直线L上，可以将点P的坐标代入直线方程，若等式成立，则点P在直线L上。
（2）点到直线的距离：点P到直线L的距离可以通过点到直线的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。
（3）点和直线的位置关系还包括点在直线的上、下、左、右、内、外等方面。
2. 点、直线和平面的位置关系：（1）点是否在平面上：给定点P(x,y,z)，平面π:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在平面π上，可以将点P的坐标代入平面方程，若等式成立，则点P在平面π上。
（2）点到平面的距离：点P到平面π的距离可以通过点到平面的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。
（3）点和平面的位置关系还包括点在平面的前、后、内、外等方面。
三、例题解析：空间点、直线、平面的位置关系1. 例题一：已知点A(1,2,3)、直线L:2x-3y+z+4=0和平面π:3x+y-2z-7=0，判断点A是否在直线L上和平面π上，若不在，求点A到直线L和平面π的距离。
空间线面位置关系例题和知识点总结
空间线面位置关系例题和知识点总结在我们学习立体几何的过程中，空间线面位置关系是一个非常重要的知识点。
它不仅是考试中的重点，也是我们理解和解决许多几何问题的基础。
下面，让我们通过一些例题来深入理解空间线面位置关系，并对相关知识点进行总结。
一、空间线面位置关系的基本概念空间直线与平面的位置关系有三种：1、直线在平面内：如果一条直线上的所有点都在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内。
2、直线与平面平行：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。
3、直线与平面相交：如果一条直线与一个平面有且只有一个公共点，那么这条直线与这个平面相交。
平面与平面的位置关系也有两种：1、平行：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。
2、相交：如果两个平面有一条公共直线，那么这两个平面相交。
二、空间线面位置关系的判定定理1、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
3、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
4、平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
三、例题解析例 1：已知直线 a∥平面α，直线 b⊂平面α，求证：a∥b。
证明：因为直线 a∥平面α，所以直线 a 与平面α 没有公共点。
又因为直线 b⊂平面α，所以直线 a 与直线 b 也没有公共点。
根据平行线的定义，如果两条直线在同一平面内且没有公共点，那么这两条直线平行。
所以 a∥b。
例 2：如图，在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面A₁BD∥平面 C₁BD。
证明：因为正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，A₁B∥C₁D，A₁D∥B₁C，且 A₁B 与 A₁D 相交，C₁D 与 B₁C 相交，A₁B，A₁D⊂平面 A₁BD，C₁D，B₁C⊂平面 C₁BD。
空间点、直线平面之间的位置关系讲义与例题
平面1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）课本P41 图 2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A 在平面α内，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：Bα2.1-4 3、平面的基本性质教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析） 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αD C B A α αβ α β ·B ·A αL A· α ·BB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
第二节空间点直线平面之间的位置关系课件共47张PPT
6.若直线 a⊥b，且直线 a∥平面 α，则直线 b 与平面
α 的位置关系是
.
答案：b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α
考点 1 平面的基本性质及应用 [例 1] 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分 别是 AB 和 AA1 的中点.
（1）证明：E、C、D1、F 四点共面； （2）证明：CE，D1F，DA 三线共点.
1.基本事实 1 的三个推论. 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一 个平面. 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面. 2.异面直线的判定. 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过 该点的直线是异面直线.
3.唯一性定理. （1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. （2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. （3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
项目 图形
平行 语言 关系 符号
语言
直线与直线 直线与平面 平面与平面
a∥b
a∥α
α∥β
相交 图形语言 关系 符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
3.平行公理（公理 4）和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角 （1）定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任 一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角（或 直角）叫做异面直线 a 与 b 所成的角. （2）范围：0，π2.
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系教学目标：1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.2.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理并加以证明.3.能运用平行的相关判定定理与性质证明一些空间中的平行关系.教学重点：空间中线、面之间的平行判定定理与性质教学难点：运用平行的相关判定定理与性质证明一些空间中的平行关系教学过程：一、基础梳理1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.二、双基自测P106: 1—4三、例题讲解【训练1】P108 针对训练 2方法提炼：证明面面平行的方法:【训练2】P108 针对训练 3四、巩固提升考情分析：1．考查空间直线与平面平行，面面平行的判定及其性质．2．以解答题的形式考查线面的平行关系．3．考查空间中平行关系的探索性问题．针对训练：P108 1,4五、课堂小结空间中线、面之间的平行判定定理与性质以及证明六、作业布置限时作业38七、教学反思。
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平面1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）课本P41 图 2.1-4 说明平面有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A 在平面α，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B α2.1-4 3、平面的基本性质教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面 （教师引导学生阅读教材P42前几行相关容，并加以解析） 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αD C B A α αβ α β ·B ·A αL A· α ·BB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（投影）C ·B· A · α =>a ∥c P · α Lβ 共面直线让学生观察、思考：∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
1、判断题：（1）a∥b c⊥a => c⊥b （）（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （）2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系（二）研探新知1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示2a α a ∩α=A a ∥α2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行 —— 没有公共点（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新容，这两种位置关系用图形表示为α∥β α∩β= L教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
空间点、直线平面之间的位置关系 单元测试一、选择题1. a,b 是两条异面直线， （ ） A ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一个平面与a ，b 都平行 B ．过直线a 且垂直于直线b 的平面有且只有一个C ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一条直线与a ，b 都平行D ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一条直线与a ，b 都垂直 2. a 、b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ；②过a 至少有一个平面垂直于b ；③至少有一条直线与a 、b 都垂直；④至少有一个平面分别与a 、b 都平行，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直α β α βL线BD和平面ABC所成的角的大小为 ( )A. 90° B .60° C. 45° D.30°4、下面四个命题：①空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等②一个平面两条直线与另外一个平面平行，则这两个面平行③一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直④两个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直其中，正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题1. 已知直线m，n，平面βα,，给出下列命题：①若βαβα⊥⊥⊥则,,mm；②若βαβα//,//,//则mm；③若βαβα⊥⊥则,//,mm；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直. 其中正确的命题的题号为 _______2. 设l m n、、是三条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面，下面有四个命题：①,l lβαβα若∥∥,则∥；②,l n m n l m若∥∥,则∥；③,l lαβαβ⊥⊥若∥,则；④,,l mαβ⊥⊥若,.l mαβ⊥⊥则其中假命题的题号为__________3. 在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：①AB与EF所在的直线平行；②AB与CD所在的直线异面；③MN与BF所在的直线成60°角；④MN与CD所在的直线互相垂直.其中正确的命题是_____________三、解答题1. 下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出l⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)2. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=,233D是CB延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；E N AF C BDM（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.3. 如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；答案：一、1.D 2.A 3.C 4.B二、1.③、④ 2.①、③ 3.②、④三、1. 为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l 位置固定，截面MNP 变动，l 与面MNP 是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN 、NP 、MP 三条线中，若有一条不垂直l ，则可断定l 与面MNP 不垂直；若有两条与l 都垂直，则可断定l ⊥面MNP ；若有l 的垂面∥面MNP ，也可得l ⊥面MNP ．解法1 作正方体ABCD －A 1B 1 C 1 D 1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA 1D 、EFGHKR 和CB 1 D 1都是对角线l (即 AC 1)的垂面．对比图①，由MN ∥BA l ，MP ∥BD ，知面MNP ∥面BA l D ，故得l ⊥面MNP ．AC D ES对比图②，由MN 与面CB 1D 1相交，而过交点且与l 垂直的直线都应在面CB l D l ，所以MN 不垂直于l ，从而l 不垂直于面MNP ．对比图③，由MP 与面BA l D 相交，知l 不垂直于MN ，故l 不垂直于面MNP ． 对比图④，由MN ∥BD ，MP ∥BA ．知面 MNP ∥面BA 1 D ，故l ⊥面MNP ． 对比图⑤，面MNP 与面EFGHKR 重合，故l ⊥面MNP ． 综合得本题的答案为①④⑤．解法2 如果记正方体对角线l 所在的对角截面为α．各图可讨论如下： 在图①中，MN,NP 在平面α上的射影为同一直线，且与l 垂直，故 l ⊥面MNP ．事实上，还可这样考虑：l 在上底面的射影是MP 的垂线，故l ⊥MP ；l 在左侧面的射影是MN 的垂线，故l ⊥MN ，从而l ⊥面 MNP ．在图②中，由MP ⊥面α，可证明MN 在平面α上的射影不是l 的垂线，故l 不垂直于MN ．从而l 不垂直于面MNP ．在图③中，点M 在α上的射影是l 的中点，点P 在α上的射影是上底面的点，知MP 在α上的射影不是l 的垂线，得l 不垂直于面 MNP ．在图④中，平面α垂直平分线段MN ，故l ⊥MN ．又l 在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP 垂直，从而l ⊥MP ，故l ⊥面 MNP ．在图⑤中，点N 在平面α上的射影是对角线l 的中点，点M 、P 在平面α上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l 与这一直线垂直．从而l ⊥面MNP ．至此，得①④⑤为本题答案．2. （Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D. （Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，[来源:]∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角，[来源:] ∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点， .2321==AC BE在Rt △B 1BE 中，.323323tan 11===∠BEB B BE B ∴∠B 1EB=60°． 即二面角B 1—AD —B 的大小为60°（Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵B 1B ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，且AF=,323323=⨯ ∴ AF S V V C B B C BB A ABB C ⋅==∆--1111111131.827233)323321(31=⨯⨯⨯=即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827解法二：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，11111111111C B A A B AA C ABB C B AA ABB V V V S S ---∆∆==∴=.827233)3434(313121111=⨯⨯⨯=⋅=∆AA S C B A 即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827 13.(1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，BD Ì底面ABCD ，∴SA ⊥BDES∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD∴BD ⊥平面SAC ，又BD Ì平面EBD ∴平面EBD ⊥平面SAC .(2)解：设AC ∩BD ＝O ，连结SO ，则SO ⊥BD 由AB ＝2，知BD ＝2 2SO ＝SA 2＋AO 2＝42＋(2)2＝3 2∴S △SBD ＝12 BD ·SO ＝12·22·32＝6令点A 到平面SBD 的距离为h ，由SA ⊥平面ABCD , 则13·S △SBD ·h ＝13·S △ABD ·SA∴6h ＝12·2·2·4 Þ h ＝43 ∴点A 到平面SBD 的距离为43。