数学分析简明教程答案20

由于
f
在
上连续,
因
而
对
f ( P0 ) 2
0,
0, P
, r(P,
P0
)
2
,
就
有
f (P)
f (P0 )
f (P0 ) ，即有 f (P) 2
f (P0 ) . 2
由可加性，有
f (P)d
r
(
P
,
P0
)
2
f (P)d
{r
(
P
,
P0
)
2
}
f
(P)d
r
(
P
,
P0
)
2
f (P)d
f
( P0
)
g ( P0
)
(
)
2
0.
2
2
即 f ( p)d g( p)d ，矛盾. 所以在 上 f (P) g(P).
4．设 f (x) 在[a,b] 可积, g( y) 在[c, d ]可积,则 f (x)g( y) 在矩形区域 D [a,b] [c, d ] 上可积,且
f
(x)g(
第二十章 重 积 分
§1 重积分的概念
1．证明性质（4），性质（6）.
证明 性质（4）为单调性：若 f 与 g 都在 D 可积,且在 D 的每点 P 都有 f (P) g(P) ，则
f (P)d g(P)d .
D
D
事实上, f 与 g 的 Rimann 和有以下关系:
n
n
f ( pi ) i g( pi ) i ，
2D
，
D
表示 D 的面积.
把
D
分成 n
个 区 域 1, 2,, n ,
使
d
max{
1i n
i
}
,
显
然
f (P)
在 i
上的振幅
i
2D
.
所以
n
i i
i 1
2D
D
2
.
故 f (P) 在 D 上可积.
3．设 是可度量的平面图形或空间立体, f , g 在 上连续，证明:
(1) 若在 上 f ( p) 0, 且 f ( p) 0, 则 f ( p)d 0;
(2) 若在 的任何区域 上,有 f ( p)d＝ g( p)d ,则在 上有， f ( p) g( p).
证明：不妨设 是可度量的平面图形, f , g 在 上连续.
(1) 若在 上 f ( p) 0, 且 f ( p) 0, 则存在一点 P0 , 使 f ( p0 ) 0.
D
n
lim (
0 i 1
d c
f (i )g( y)dy)xi
D
f (x)g( y)dxdy.
由定积分的定义即得
b d
(
ac
f来自百度文库
(x)g( y)dy)dx
f
(x)g( y)dxdy.
D
即
f (x)g( y)dxdy
b
dx
d
f (x)g( y)dy
b
( f (x)
d g( y)dy)dx
M ij , mij ，任取 i [xi1, xi ], 则
mijy j
yj y j1
f
(i )g( y)dy
M ijy j ,
对 j 求和得
i 1,2,, n, j 1,2,, m.
m
mijy j
j 1
d c
f
(i )g( y)dy
m
M ijy j ,
j 1
i 1,2,, n.
乘以 xi 后再对 i 求和，得
D
事实上，设 M 与 m 是连续函数 f (P) 在有界闭区域 D 上的最大值与最小值，即： P D ，
f (P)d
m f (P) M . 所以， m D f ( p)d M D ，即 m D
D
D
M .
f (P)d
由 有 界 闭 区 域 上 的 连 续 函 数 的 介 值 定 理 ， 存 在 P0 D ， 使 得 f (P0 ) D D
i 1
i 1
令d
max{
1i n
i的直径}
0,
按积分的定义，
n
n
D
f ( p)d
lim d 0 i 1
f
(
pi ) i
lim
d 0
i 1
g( pi ) i
D
g( p)d
.
性质(6)为积分中值定理: 设 D 是有界闭区域(因而是连通的)， f (P) 在 D 上连续，则存在
P0 D ，使得 f (P)d f (P0 ) D ，其中 D 表示 D 的面积.
n
i1
m
mijxiy j
j1
n i1
d c
f
(i )g( y)dyxi
n i1
m
M ijxiy j ,
j1
当
max{
1i n
ij的直径}
0
时
,
m1iaxn{xi} 0. 由 于 f (x)g( y) 在 矩 形 区 域
1 j m
D [a,b] [c, d ]上可积,上式左右两端当 0 时有公共极限值 f (x)g( y)dxdy.因此由夹迫性
y)dxdy
b a
f
d
( x)dx c
g( y)dy.
D
证明: 用平行坐标轴的直线网 a x0 x1 x2 xn b, c y0 y1 y2 ym d ,
将 D 分 为 m n 个 小 矩 形 ij [xi1, xi ] [ y j1, y j ]. 记 f (x)g( y) 在 ij 的 上 下 确 界 分 别 为
b
f (x)dx
d
g( y)dy.
a
c
a
c
a
c
D
5．若 f (x, y) 在 D 上可积,那么 f (x, y) 在在 D 上是否可积?考察函数
f
(x,
y)
1, 1,
若x, y都是有理数 若x, y至少有一个是无理数
在[0,1] [0,1] 上的积分.
，即
f ( p)d f ( p0 ) D .
D
2．证明有界闭区域上的连续函数必可积.
证 明 在 有 界 闭 区 域 D 上 的 连 续 函 数 f (P) 必 定 是 一 致 连 续 的 ， 故
0,
0, P1 , P2
D ,只要 r( p1, p2 )
,就有
f (P1 )
f (P2 )
连续,故对
f (P0 ) g(P0 ) 0, 2
0
，当
r(P,
P0
)
2
时，有
f (P) g(P) ( f (P0 ) g(P0 ))
f (P0 ) g(P0 ) . 2
即有
f (P) g(P) f (P0 ) g(P0 ) . 2
设
{P
:
r(P,
P0
)
2
}
，这时
[ f (P) g(P)]d
f (P0 ) 2
d r
(
P
,
P0
)
2
f ( p0 ) ( )2 22
2 8
f ( p0 ) 0.
(2) 若在 上 f (P) g(P) ，即 P0 ，使 f (P0 ) g(P0 ) . 不妨设 f (P0 ) g(P0 ) ,
由此得 f (P0 ) g(P0 ) 0. 由于 f , g 在 上连续，因而函数 f (P) g(P) 在 上连续，因而在 P0