数学思维训练1

数学思维训练1
1、已知函数⎩⎨⎧<+>+=0
,0,3)(x b ax x x x f 满足条件：R x ∈∀1，存在唯一的x 2∈R ，使得f(x 1)=f(x 2)，当
f(2a)=f(3b)成立时，则实数a+b =____________.
2、已知集合A ={ax 2+x -3=0}，B =｛x |3≤x <7｝，若A ∩B ≠φ，则实数a 的取值集合为__________。

3、a 、b 、c ∈R +，且a+b+c =1，求
333111c b a ++的最小值为____________.
4、42221x x x x y ++-=
的值域为______________.
5、椭圆G ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若存在直线l :y =k(x+c)与椭圆的交点为M ，使以F 1F 2为直径的圆经过M 点，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.
6、已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2（c ，0），若椭圆上存在点P 使得
1221sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围是_____________.
7、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上一点，若存在点P 使得∠F 1PF 2为钝角，则离心率e 的取值范围是____________.
8、若函数2
1)(++=x ax x f 在x ∈(-2，+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是_________
9、若函数f(x)对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =
+，若f (1)=-5，则f [f (5)]=________。

10、若x x
x f x f +=-+1)1(
)(，则f(x)=__________________.
11、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2（c ，0），若椭圆上存在点P （非左右顶点）使1
2PF c PF a =，则该椭圆的离心率取值范围为_____________.
12、已知a>0，y>0且x 2y +xy 2=4x +y ，则x +y 的最小值为___________。

13、设a 、b ∈R ，a 2+2b 2=6，则a+b 的最小值为_____________.
14、若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则cosC 的最小值为_________。

15、椭圆G ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的上顶点M 与左右焦点F 1，F 2构成三角形MF 1F 2的面积为3，又椭圆G 的离心率为2
3。

(1)求椭圆G 的方程；
(2)直线l 与椭圆G 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1+x 2=2，又直线l 1:y=k 1x +m 是线段AB 的垂直平分线，求实数m 的取值范围；
(3)椭圆G 的下顶点为N ，过点T (t ,2)(t ≠0)的直线TM ，TN 分别交椭圆G 于点E 、F 两点，若△TMN 的面积是△TEF 面积的k 倍，求k 的最大值。