[东北大学]20秋学期《线性代数》在线平时作业3辅导答案
[东北大学]20秋学期《国际贸易(二)》在线平时作业3-资料答案
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[东北大学]20秋学期《国际贸易（二）》在线平时作业3
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 20 道试题,共 80 分)
1.—般说来，在其他条件不变的情况下，世界市场上主要国家的关税税率的增减幅度与国际贸易发展的速度（）。
[选项]A.成正比关系
[选项]B.成反比关系
[选项]C.没有关系
[选项]D.同方向变化
【正确答案是】:B
2.在资本主义自由竞争时期,对外贸易政策的基调是( )
[选项]A.重商主义
[选项]B.自由贸易
[选项]C.保护贸易
[选项]D.协调管理贸易
【正确答案是】:B
3.凯恩斯主义的贸易理论是（）。
[选项]A.自由贸易理论
[选项]B.超保护贸易理论
[选项]C.关税同盟理论
[选项]D.内部化理论
【正确答案是】:B
4.成员国之间签订贸易协定,在区内实行统一的关税政策,但各自保留对成员国以外的关税壁垒,这种经济一体化形式属于 ( )
[选项]A.优惠的贸易安排
[选项]B.自由贸易区
[选项]C.关税同盟
[选项]D.共同市场
【正确答案是】:B
5.进口限额针对某些商品的进口( )加以直接限制
[选项]A.数量
[选项]B.金额
[选项]C.数量和金额
[选项]D.数量或金额
【正确答案是】:D
6.《关税及贸易总协定》中最为重要的原则是( )
[选项]A.非歧视原则
[选项]B.关税保护和关税减让原则。
最新奥鹏东北大学20秋学期《科技政策学》在线平时作业3-参考答案
A错误
B正确
【答案】：B
17.《十二年科技规划》是我国新中国成立以后的第一个科技规划。（）
【选项】：
A错误
B正确
【答案】：B
18.《创新25》是2007年日本公布的以创新为目的的长期战略。（）
【选项】：
A错误
B正确
【答案】：B
19. 1972年罗马俱乐部《增长极限》的讨论是罗马俱乐部提交给国际社会的一份重要报告。（）
【选项】：
A错误
B正确
【答案】：B
14. 1994年，韩国提出“世界化”战略口号，随后政府制定了科学技术“世界化”战略，强调利用国际资源和加强国际合作。（）
【选项】：
A错误
B正确
【答案】：B
15.我国科技政策的竞争与市场机制改革阶段是1977-1983。（）
【选项】：
A错误
B正确
【答案】：A
16.我国制定的第一个全国科技规划是1965年12月。（）
【选项】：
A科技导向
B教育导向
C文化导向
D商业导向
【答案】：D
3.不唯书、不唯上、只唯实的思维是要打破（）
【选项】：
A先入为主的刻板印象
B以点带面的晕轮效应
C刚愎自用的经验思维
D迷信权威的僵化思维
【答案】：D
4. 2007年法国科技政策的侧重点是什么（）
【选项】：
A实现生物保健
B建立信息知识智能社会
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东北大学20秋学期《科技政策学》在线平时作业3
参考答案
试读一页
20秋学期《科技政策学》在线平时作业3
1.日本科技战略转变意味着（）
【选项】：
20秋学期《电机拖动》在线平时作业3[附答案]
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[东北大学]20秋学期《电机拖动》在线平时作业3试卷总分:100 得分:100一、判断题 (共 25 道试题,共 100 分)1.绕线异步电动机，如果负载转矩不变则转子回路串不同电阻时临界转矩不变。
（）[正确选择是]:错误2.异步电动机处于理想空载状态时转差率s=1，起动时转差率s=0。
（）[正确选择是]:错误3.电动机运行时间与工作周期之比成为负载持续率（）[正确选择是]:正确4.定子旋转磁场与转子同步。
（）[正确选择是]:错误5.转子旋转磁场转速与同步转速相同。
（）[正确选择是]:正确6.三相异步电动机以最大转矩起动，临界转差率为1。
（）[正确选择是]:正确7.起重机提升或下放同一重物时，传动机构损耗一样，但系统效率不一样。
（）[正确选择是]:正确8.在变压器中由交变磁通产生的感应电动势，其正方向与产生该磁通的电流方向相反。
（）[正确选择是]:错误9.发电机的电磁转矩和空载转矩是阻碍电机旋转的制动转矩。
（）[正确选择是]:正确10.电机处于电动状态时，电磁转矩与转向相同。
（）[正确选择是]:正确11.物理中线是电枢表面磁场的分界线。
（）[正确选择是]:正确12.直流他励电动机改变励绕组的电源方向则转向不变。
（）[正确选择是]:错误13.变压器二次侧额定电压是指一次侧加额定电压、二次侧带额定负载时的电压。
（）[正确选择是]:错误14.交流电机通入交流电，所以电机转速不断变化；直流电机通入直流电，所以电机转速恒定。
（）。
[东北大学]20秋学期《土力学与地基基础(一)》在线平时作业3
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20秋学期《土力学与地基基础（一）》在线平时作业3
一、单选题
1.不同状态下同一种土的重度由大到下排列顺序是
A.γsat≥γ≥γd＞γ'
B.γsat≥γ'≥γ＞γd
C.γd≥γ≥γsat＞γ'
D.γd≥γ'≥γ＞γsat
正确答案：A
2.已知某种土的密度{图}，土粒相对密度{图}，土的含水量{图}，则每立方米土体中气相体积为
A.0.16m3
B.0.25m3
C.0.44m3
D.0.11m3
正确答案：A
3.饱和粘性土的不固结不排水抗剪强度主要取决于
A.围压大小
B.土的原有强度
C.孔隙压力系数大小
D.偏应力大小
正确答案：B
4.灌注桩按成桩方法分类应为()。
A.非挤土桩
B.挤土桩
C.部分挤土桩
D.摩擦桩
正确答案：A
5.桩侧负摩阻力的产生，使桩身轴力()。
A.增大
B.减小
C.不变
D.无法确定
正确答案：A
6.颗粒级配曲线很陡时说明
A.颗粒分布范围较小
B.颗粒分布范围较大
C.颗粒形状为扁平状
D.颗粒形状为针状
正确答案：A
7.下列哪一项不属于桩基承载能力极限状态计算的内容
A.承台的抗冲切验算
B.承台的抗剪切验算
C.桩身结构计算。
[东大]20秋学期《科技政策学》在线平时作业3答案辅导资料
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[东北大学]20秋学期《科技政策学》在线平时作业3
前言：请读者认真阅读本套试卷，确定是您需要的学习资料在下载！！
一、单选题 (共 5 道试题,共 25 分)
1.日本科技战略转变意味着（）
A项.模仿—原始创新—自主创新
B项.自主创新—模仿—科技发明
C项.模仿—自主创新—原始创新
D项.自主创新—科技发明
[正确选择答案]：C
2.20世纪80年代的科学技术政策的突出特征是（）。
A项.科技导向
B项.教育导向
C项.文化导向
D项.商业导向
[正确选择答案]：D
3.不唯书、不唯上、只唯实的思维是要打破（）
A项.先入为主的刻板印象
B项.以点带面的晕轮效应
C项.刚愎自用的经验思维
D项.迷信权威的僵化思维
[正确选择答案]：D
4.2007年法国科技政策的侧重点是什么（）
A项.实现生物保健
B项.建立信息知识智能社会
C项.加强环境保护
D项.加强国家安全
[正确选择答案]：C
5.国家创新体系的四个基础不包括（）
A项.科技信息、公共数据、技术交互与军民共享平台基础
B项.适应创新发展的人才基础
C项.有利于创新的政策法规基础
D项.激发创新活力的经济体制
[正确选择答案]：D
二、多选题 (共 5 道试题,共 25 分)
6.关于国家创新体系正确的有（）
A项.国家创新系统的概念是在20世纪开始日益激烈的国际经济竞争背景下应运而生的。
B项.国家创新体系概念由美国经济学家熊彼特于1987年在研究了日本的发展道路后，发表。
最新奥鹏东北大学20秋学期《概率论X》在线平时作业2-参考答案
A 2
B 1
C 3/4
D 1/5
【答案】：D
4.随机变量X表示某种电子元件的使用寿命，则一般认为X服从（）。
【选项】：
A正态分布
B二项分布
C指数分布
D泊松分布
【答案】：C
5.设袋中有4只白球，2只黑球，从袋中任取2只球（不放回抽样），则取得两只白球的概率是
【选项】：
A 0.6
B 0.2
C 0.4
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东北大学20秋学期《概率论X》在线平时作业2
参考案
试读一页
20秋学期《概率论X》在线平时作业2
1.设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充要条件是
【选项】：
A A与BC独立
B AB与A∪C独立
C AB与AC独立
D A∪B与A∪C独立
【答案】：A
【选项】：
A 0；
B 1；
C Y的分布函数；
D Y的密度函数。
【答案】：D
24.已知X满足：P{X＞x}=e–x对所有x＞0成立，那么X的分布是：
【选项】：
A均匀分布；
B指数分布；
C超几何分布；
D正态分布。
【答案】：B
25. n个人排成一列，已知甲总排在乙的前面，求乙恰好紧跟在甲后面的概率：
D 0.8
【答案】：C
6.袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球，则取得的2个球同色的概率是
【选项】：
A 0.4624
B 0.8843
C 0.4688
D 0.4643
【答案】：D
7.某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭。假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为
[东北大学]20秋学期《逻辑学》在线平时作业1
![[东北大学]20秋学期《逻辑学》在线平时作业1](https://img.taocdn.com/s3/m/7303adb049649b6648d747e3.png)
20秋学期《逻辑学》在线平时作业1
一、单选题
1.逻辑形式之间的区別、取决于()。
A.逻辑常项
B.变项
C.思维的内容
D.语言表达形式
正确答案：A
2.“如果SAP是真的,那么,SEP就是假的,已知SEP是真的,所以,SAP是假的”。
这个推理是()。
A.正确的充分条件假言推理
B.错误的充分条件假言推理
C.正确的必要条件假言推理
D.错误的必要条件假言推理
正确答案：A
3.相容选言推理的错误式是()。
A.肯定否定式
B.否定肯定式
C.肯定前件式
D.否定前件式
正确答案：A
4.“太阳系的行星有金星、木星、水星、火星、海王星、地球等”，这是运用()。
方法来明确概念外延的。
A.列举
B.一次划分
C.连续划分
D.二分法
正确答案：A
5.“直接推理都是必然推理”这一判断是()。
A.SAP
B.SEP
C.SIP
D.SOP
正确答案：D
6.“船是在水面上运行的交通运输工具”这个关于船的定义是()。
A.发生定义
B.功用定义
C.关系定义
D.一般属加种差定义
正确答案：B
7.运用简单枚举归纳推理所容易犯的逻辑错误是()。
A.虚假论据
B.机械类比。
东北大学23年秋《形势与政策X》在线平时作业3-答案
东大23年秋《形势与政策X》在线平时作业3
试卷总分:100 得分:100
第1题,（）的召开标志着中国共产党的正式建立？
【A.项】中共一大
【B.项】遵义会议
【C.项】洛川会议
【D.项】瓦窑堡会议
[正确答案]:A
第2题,英国教育部发布了英国高等教育白皮书，对高校进行“金银铜”排名的参考指标不包括（）。
【A.项】学生退学率
【B.项】学生满意度
【C.项】毕业生就业率
【D.项】学生升学率
[正确答案]:D
第3题,习近平总书记在“七一”重要讲话中鲜明昭示（），既是对建党百年来积累的宝贵经验的高度概括，又是对在新征程上勇往直前所作出的战略部署，进一步深化了对共产党执政规律、社会主义建设规律、人类社会发展规律的认识。
【A.项】“四个意识”
【B.项】“四个自信”
【C.项】“两个确立”
【D.项】“九个必须”
[正确答案]:D
第4题,持续深化（），努力建设一批新时代中国特色社会主义标杆大学。
【A.项】主流价值教育
【B.项】职业技术教育
【C.项】创新创业教育
【D.项】知识体系教育
[正确答案]:C
第5题,（）是共产党人的政治灵魂，是共产党人经受住任何考验的精神支柱。
【A.项】自力更生，艰苦奋斗
【B.项】对马克思主义的信仰，对社会主义和共产主义的信念
【C.项】为中国人民谋幸福，为中华民族某复兴
【D.项】全心全意为人民服务
[正确答案]:B
第6题,所谓“法理台独”，就是岛内“台独”势力为追求“台独”，通过制定或修改岛内相关（）的方式，改变“台湾是中国一部分”这一现状的政治行为。
2020年08月04184线性代数真题及答案
2020年8月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设α1,α2,β1,β2是三维列向量，且行列式|α1,α2,β1|=m，|α1,β2,α2|=n，则行列式|α1,α2,β1+β2|=（）A.m−nB.n−mC.m+nD.mn【答案】A【解析】|α1,α2,β1+β2|=|α1α2β1|+|α1α2β2|=m+(−1)×n=m−n.2.设A为3阶矩阵，将A的第2列与第3列互换得到矩阵B，再将B的第1列的(−2)倍加到第3列得到单位矩阵E，则A−1=（）。
A.(120 001 010)B.(1−20 001 010)C.(10−2 001 010)D.(102 001 010)【答案】C【解析】A(100001010)=BB(10−2010001)=EA(100001010)(10−2010001)=EA−1=(100001010)(10−2010001)=(10−2001010)3.设向量组a1,a2,a3线性无关，而向量组a2,a3,a4线性相关，则（）A.a1必可由a2,a3,a4线性表出B.a2必可由a1,a3,a4线性表出C.a3必可由a1,a2,a4线性表出D.a4必可由a1,a2,a3线性表出【答案】D【解析】因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以向量组a1,a2,a3中任意一个均不能由其他两个表示出来，所以就排除了A、B、C三个选项；又因为向量组a2,a3,a4线性相关，所以向量组a2,a3,a4中至少有一个可以由其他两个线性表示，所以D 是正确的。
参见教材P116。
4.若3阶可逆矩阵A的特征值分别是1,−1,2，则|A−1|（）A.-2B.−12C.12D.2【答案】B【解析】因为|A|=1∗−1∗2=−2，所以|A−1|=1|A|=−12.参见教材P160。
[东北大学]21秋《数据结构Ⅱ》在线作业3--答案
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《数据结构Ⅱ》在线平时作业3试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 20 道试题,共 100 分)1.一个含n个顶点和e条弧的有向图以邻接矩阵表示法为存储结构，则计算该有向图中某个顶点出度的时间复杂度为<-A.->O(n)<-B.->O(e)<-C.->O(n+e)<-D.->O(n2)<-参考选择->：A2.索引非顺序文件的特点是<-A.->主文件无序，索引表有序<-B.->主文件有序，索引表无序<-C.->主文件有序，索引表有序<-D.->主文件无序，索引表无序<-参考选择->：A3.二维数组A按行优先顺序存储，其中每个元素占1个存储单元。
若A［1］［1］的存储地址为420，A［3］［3］的存储地址为446，则A［5］［5］的存储地址为<-A.->470<-B.->471<-C.->472<-D.->473<-参考选择->：C4.在单链表中，指针p指向元素为x的结点，实现“删除x的后继”的语句是<-A.->p=p->next;<-B.->p->next=p->next->next;<-C.->p->next=p;<-D.->p=p->next->next;<-参考选择->：B5.引入二叉线索树的目的是<-A.->加快查找结点的前驱或后继的速度<-B.->为了能在二叉树中方便的进行插入与删除<-C.->为了能方便的找到双亲<-D.->使二叉树的遍历结果唯一<-参考选择->：A6.一棵树高为K的完全二叉树至少的结点是<-A.->2k –1<-B.->2k-1 –1。
线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
东北大学23秋《文化管理学》在线平时作业3-辅导资料[答案]
![东北大学23秋《文化管理学》在线平时作业3-辅导资料[答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/ceda8f334b7302768e9951e79b89680203d86b3a.png)
《文化管理学》在线平时作业3-00001试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 5 道试题,共 20 分)1.“文”、“化”二字合用，最早见于我国的下列哪部古籍？[A.选项]《易·系辞下》[B.选项]《礼记》[C.选项]《易·贲卦》[D.选项]《＜周易＞正义》[本题答案]:C2.认为“城市是各种机构的集中地,它保存着各种档案,它的过去被载入史册,并被奉为神圣而加以珍藏。
”的学者是：[A.选项]丹尼尔·Ｊ·布尔斯廷[B.选项]帕克[C.选项]阿多诺[D.选项]斯诺[本题答案]:A3.英语中的“文化”，即“culture”原义是：[A.选项]文化[B.选项]耕作[C.选项]影响[D.选项]培养[本题答案]:B4.以下不属于我国城市文化建设中存在的问题的是：[A.选项]城市文化资源开发利用不够合理[B.选项]城市文化特色突出[C.选项]城市文化抵御外来文化强烈冲击的能力弱[D.选项]城市化中的城市文化发生缺损现象[本题答案]:B5.《创意经济》的作者是：[A.选项]约瑟夫·派恩[B.选项]詹姆斯·吉尔摩[C.选项]约翰?霍金斯[D.选项]本雅明[本题答案]:C二、多选题 (共 10 道试题,共 40 分)6.文化管理多元复合模式的优点有：[A.选项]中央集权与地方分权相结合，有利于调动地方办文化的积极性[B.选项]有利于增加对地方文化单位和文化活动的资助[C.选项]国家干预与市场调节相结合，有利于对那些需要加强调控的部门进行有效的监控，。
[东北大学]20秋学期《城市防灾》在线平时作业3-资料答案
![[东北大学]20秋学期《城市防灾》在线平时作业3-资料答案](https://img.taocdn.com/s3/m/8bb1c661b9f3f90f77c61b60.png)
[东北大学]20秋学期《城市防灾》在线平时作业3
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 10 道试题,共 30 分)
1.以下哪项不属于企业事故应急预案的内容：（）
[选项]A.以企业为主
[选项]B.充分调动企业内部应急力量
[选项]C.配合区域事故应急预案，争取外部应急支援
[选项]D.充分统筹、调动社会应急资源
【正确答案是】:D
2.以下不属于城市自然灾害的是：（）
[选项]A.城市气象灾害
[选项]B.城市洪水灾害
[选项]C.城市生物灾害
[选项]D.化学灾害
【正确答案是】:D
3.防护行动是为预防或尽可能减小人员接触危险物质或事故危害的应急行动，如果不采取防护行动，就可能造成伤害。
这些行动不包括：（）
[选项]A.搜寻和营救行动；
[选项]B.医疗救治；
[选项]C.疏散；
[选项]D.避难；
【正确答案是】:B
4.震级2~4级的地震为：（）
[选项]A.微震
[选项]B.破坏性地震
[选项]C.有感地震
[选项]D.大地震
【正确答案是】:C
5.以下不属于人为灾害的是：（）
[选项]A.战争
[选项]B.车祸
[选项]C.洪水
[选项]D.核污染
【正确答案是】:C
6.化学性爆炸中，危险性最小的爆炸类型是：（）
[选项]A.分解爆炸
[选项]B.复杂分解爆炸
[选项]C.爆炸性混合物爆炸。
东北大学20年春学期《线性代数》在线作业3(资料答案)
[D.]A
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正确选择是:Aห้องสมุดไป่ตู้
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东北大学23年秋《人工智能导论》在线平时作业3-答案
东大23年秋《人工智能导论》在线平时作业3
试卷总分:100 得分:100
第1题,2006年加拿大Hinton教授提出了（），成为了人工智能应用落地的核心引擎【A.项】CNN
【B.项】ANN
【C.项】BP
【D.项】RNN
[正确答案]:B
第2题,智能物流行业主要涉及到存储、转运、（）四个阶段
【A.项】分拣、盘点
【B.项】分拣、配送
【C.项】下单、配送
【D.项】下单、盘点
[正确答案]:B
第3题,把IT基础设施作为一种服务通过网络对外提供的是（）
【A.项】IaaS
【B.项】PaaS
【C.项】SaaS
【D.项】QaaS
[正确答案]:A
第4题,下面的（）是神经网络中所用的函数
【A.项】估价函数
【B.项】适应度函数
【C.项】特性函数
【D.项】信任函数
[正确答案]:C
第5题,下列对人工智能芯片表述不正确的是（）
【A.项】专门用于处理人工智能应用中的大量非计算任务
【B.项】能更好地适应大量矩阵运算
【C.项】目前处于幼稚期的发展阶段
【D.项】人工智能芯片拥有比CPU更好的并行计算能力
[正确答案]:A
第6题,在整个人工智能大脑中，通过（）获取的物理世界信息流
【A.项】大数据
【B.项】物联网
【C.项】云计算
【D.项】边缘计算
[正确答案]:B。
东北大学线性代数_第三章课后答案详解向量组的线性相关性
第三章 向量组的线性相关性基本教学要求：1. 理解n 维向量的概念.2. 理解向量的线性组合、线性相关和线性无关的概念.3. 掌握向量的线性相关和线性无关的有关理论及判断方法.4. 了解向量组的极大线性无关组与秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.5. 理解矩阵的秩的概念，掌握求秩的方法.一、向量及其运算 1. 向量的概念有大小无方向的量，叫做数量或标量.既有大小又有方向的量则是向量，又称矢量，用有序数组表示：12n a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 ()12,,,n a a a .前者称为n 维列向量，后者称为n 维行向量.列向量通常记作a 、或a 、或α，对应的行向量则相应地记作Ta 、或Ta 、或T α.如不特别说明，向量一般常指列向量. 以下讨论主要针对实向量.2. 向量的运算因为向量是矩阵，所以它有许多与矩阵相同的运算及运算规律(P 62)：(1)相等； (2)加法； (3)数乘； (4)转置，但向量没有矩阵形式的“乘法”和“逆”，而有所谓的“向量的乘法”运算——内积.向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算.例3.1(例3.1 P 62)(5)内积(P 63) 设向量1212(,,,),(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，令1122[,]n n a b a b a b αβ=+++，称[,]αβ为α与β的内积.例如，内积的性质：①[,][,]αββα=(对称性)；②[,][,][,]αβγαγβγ+=+，[,][,]k k αβαβ=(线性性)； ③[,]0αα≥.当且仅当αο=时，[,]0αα=(正定性).2n a =++为向量α的长度(或范数)，记为α(或α).当1α=时，称α为单位向量.如果αο≠，则1αα是与α同方向的单位向量.对任意非零向量αβ、，称[,],arccosαβαβαβ=⋅，(0,αβπ≤≤)为向量α与β的夹角.如果[,]=0αβ，则称α与β正交.3.应用(1)向量表示线性方程组(P 65) 考虑线性方程组1111221n n 12112222n n 2m11m22mn n m a x a x a x b ,a x a x a x b ,a x a x a x b .+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1)若设1i 12i 2i mi m a b a ba (i 1,2,,n),b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)式可表示为1122n n x a x a x a b +++=. (2)(2)向量表示矩阵(P 64)111121n 21222n 2m1m2mn m a a a a a a A a a a ⎛⎫α⎛⎫ ⎪ ⎪α ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪α⎝⎭⎝⎭或 ()11121n 21222n 12n m1m2mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪=βββ ⎪⎪⎝⎭，12m ,,,ααα与12n ,,,βββ分别称为矩阵A 的行向量组与列向量组.二、向量组的线性相关性 1. 基本概念由同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向量组.定义3.1 对向量β和向量组12s ,,,ααα，若存在一组数12s k ,k ,,k 使1122s s k k k β=α+α++α， (3) 则称向量β可由向量组12s ,,,ααα线性表示，也称β是向量组12s ,,,ααα的一个线性组合. (P 64)例如：3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23可由向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，线性表示.例如：10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是向量组1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，而1052236327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是向量组1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的另一个线性组合.根据定义3.1，方程组(2)有解可表述为向量b 可由向量组12n a ,a ,,a 线性表示.式(3)可以用分块矩阵的乘积形式表示为(P 64)1212s s k k (,,,)k ⎛⎫ ⎪ ⎪β=ααα ⎪ ⎪⎝⎭；(当12s ,,,,βααα为列向量时)或 1212s s (k ,k ,,k )α⎛⎫ ⎪α ⎪β= ⎪ ⎪α⎝⎭. (当12s ,,,,βααα为行向量时)定义3.2 对向量β和向量组12s ,,,ααα，若存在一组不全为零的数12s k ,k ,,k 使1122s s k k k α+α++α=ο， (4)则称向量组12s ,,,ααα线性相关；否则，称向量组12s ,,,ααα线性无关.(P 65)定义3.2表明： 向量组12s ,,,ααα线性相关，即齐次线性方程组1122s s x x x α+α++α=ο有非零解. (P 65) 向量组12s ,,,ααα线性无关，即齐次线性方程组1122s s x x x α+α++α=ο只有零解. (P 65)又根据Cramer 法则，有n 个n 维向量线性相关⇔n 个向量构成的矩阵的行列式为0. n 个n 维向量线性无关⇔n 个向量构成的矩阵的行列式不为0.例如，311022100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明向量组311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.0700230321321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，即0723032001321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k .由于只有零解，所以向量组1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.定义3.3一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组. (P 66)例如，n 维标准单位向量组e 1=(1,0,…,0)T , e 2=(0,1,…,0)T , …, e n =(0,0,…,1)T是一个规范正交向量组.2. 有关结论(P 66-68) (1)向量组12s ,,,ααα线性相关⇔12s ,,,ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示. (定理3.3 P 67)向量组12s ,,,ααα线性无关⇔12s ,,,ααα中任意一个向量不能由其余向量线性表示.(2)一个向量α线性相关⇔α=ο. (P 66) 一个向量α线性无关⇔α≠ο.(3)两个向量,αβ线性相关 k l ⇔α=ββα或＝(几何上，即,αβ共线或平行). (P 66) 两个向量,αβ线性无关 k l ⇔α≠ββ≠α且(几何上，即,αβ不共线或不平行).(4)三个向量,,αβγ线性相关，即,,αβγ共面. (P 66) 三个向量,,αβγ线性无关，即,,αβγ不共面.(5)正交向量组线性无关. (定理3.1 P 66)标准单位向量组是线性无关向量组.(6)若向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) (定理3.2 P 67) 线性无关向量组的任一部分组线性无关.(整体无关，部分无关) (推论2 P 67)推论 含有零向量的向量组线性相关. (推论1 P 67)(7)设向量组12s ,,,ααα线性无关，12s ,,,,αααβ线性相关，则β可由向量组12s ,,,ααα线性表示，且表示式唯一.(表示式中的系数称为β关于向量组12s ,,,ααα的坐标) (定理3.4 P 67)(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关. (定理3.5 P 68) 证 设()Ti 1i 2i mi a ,a ,,a (i 1,2,,s)α==是一组m 维向量，令1122s s k k k α+α++α=ο，即1111221s s 2112222s sm11m22ms s a k a k a k 0,a k a k a k 0,a k a x a k 0.+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(5) 不妨去掉最后一个方程(这对应于12s ,,,ααα同时去掉了最后一个分量)，有1111221s s 2112222s sm 111m 122m 1s s a k a k a k 0,a k a k a k 0,a k a x a k 0.---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(6) 显然，若方程组(5)有非零解，那么方程组(6)也必然有非零解，即线性相关向量组的缩短向量组线性相关.反之，若方程组(6)只有零解，那么方程组(5)也必然只有零解，即线性无关向量组的加长向量组线性无关.例如，(9)任意n+1个n 维向量线性相关. 证 设12n 1,,,+ααα为n+1个n 维向量，那么①若12n ,,,ααα线性相关，则12n 1,,,+ααα线性相关；②若12n ,,,ααα线性无关，则由Cramer 法则知，线性方程组1122n n n 1x x x +α+α++α=α有唯一解,即n 1+α可由12n ,,,ααα线性表示，故12n 1,,,+ααα线性相关.推论任意m 个n(n<m)维向量线性相关.3. 向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(第三、四节). 三、秩 (一)向量组的秩 1. 向量组的等价设有两个向量组：(Ⅰ)α1,α2,…,αr ；(Ⅱ)β1,β2,…,βs .定义3.4 若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出；若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可以互相线性表出，则称它们等价. (定义3.10 P 69)向量组等价的性质：1)反身性；2)对称性；3)传递性. (P 69)若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，则有s ×r 矩阵C 使(α1,α2,…,αr )=(β1,β2,…,βs )C ，C 为表出矩阵.记A=(α1,α2,…,αr ), B=(β1,β2,…,βs )，上式即为A=BC.实际上，A=BC既表示A的列向量组可由B的列向量组线性表出，也表示A的行向量组可由C的行向量组线性表出.注意：当A、B为同型矩阵，A、B的行(列)向量组等价，必有矩阵A、B等价；反之，矩阵A、B等价，它们的行(列)向量组未必等价. (P70)定理3.1如果向量组α1,α2,…,αm线性无关，则有规范正交向量组ε1,ε2,…,εm与之等价. (定理3.6P70) 证令β1=α1，β2=α2+k1β1且[β2,β1]=0，得k1=-[α2,β1]/[β1,β1]，所以β2=α2-([α2,β1]/[β1,β1])β1，βm=αm+k1β1+…+k m-1βm-1且[βm,β1]=0, [βm,β2]=0,…, [βm,βm-1]=0，得k1=-[αm,β1]/[β1,β1], k2=-[αm,β2]/[β2,β2],…, k m-1=-[αm,βm-1]/[βm-1,βm-1]，所以βm=αm-([αm,β1]/[β1,β1]) β1-…-([αm,βm-1]/[βm-1,βm-1]) βm-1，则β1,β2,…,βm是正交向量组，且(α1,α2,…,αm)=(β1,β2,…,βm)[][][][][][]2221m111112m,,,,,,101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝αβαβββββαβββ⎭，故向量组β1,β2,…,βm与向量组α1,α2,…,αm等价.再将向量组β1,β2,…,βm规范化，便得到与α1,α2,…,αm等价的规范正交向量组ε1,ε2,…,εm.例3.2(例3.5 P70)定义3.5 如果实矩阵A满足AA T=E，则称A为正交矩阵. (定义3.11 P71)正交矩阵的性质：(1)A 1=±；(2)实矩阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量组(或列向量组)为规范正交向量组.2. 极大线性无关组定义3.6 如果向量组T 中有一部分向量组α1,α2,…,αr 满足： (1)α1,α2,…,αr 线性无关；(2)T 中任一向量β与α1,α2,…,αr 线性相关，则称α1,α2,…,αr 为向量组T 的一个极大线性无关向量组，简称极大无关组.(定义3.12 P 71)极大无关组的含义：向量组中没有比“极大无关组”“更大的”的线性无关向量组.注意：一个向量组可能有极大无关组，也可能没有极大无关组；可能有一个极大无关组，也可能有多个极大无关组.如：只有零向量的向量组没有极大无关组；线性无关的向量组只有一个极大无关组；102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大无关组.定理3.2 向量组与它的任一极大线性无关组等价. (定理3.7 P 72) 推论1 向量组中的任意两个极大线性无关组等价. (推论 P 72)定理3.3 若列向量组α1,α2,…,αr 线性无关，且(α1,α2,…,αr )A=O ，则A=O . (定理3.8 P 72)定理3.4 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. (定理3.9 P 72) 推论 一个向量组的所有极大线性无关组中的向量个数相等. (推论 P 72)定义3.7 一个向量组的极大线性无关组中的向量个数称为向量组的秩，记为R(·)或rank(·). (定义3.13 P 72)规定：不存在极大无关组的向量组的秩为0. 例如，102R ,,2013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=.相关结论： (1){}12s R ,,,s ααα≤.(2)对于任意的同维向量组12s ,,,ααα和12t ,,,βββ，总有{}{}{}{}{}{}12s 12t 12s 12t 12s 12t max R ,,,,R ,,,R ,,,,,,,R ,,,R ,,,αααβββ≤αααβββ≤ααα+βββ (3)若向量组12s ,,,ααα可由向量组12t ,,,βββ线性表出，则{}{}12s 12t R ,,,R ,,,ααα≤βββ.(定理3.10 P 73)推论1 等价的向量组的秩相等. (推论1 P 73) 推论2 若向量组12s ,,,ααα线性无关，且可由向量组12t ,,,βββ线性表出，则s t ≤. (推论2P 73)推论3 若向量组12s ,,,ααα可由向量组12t ,,,βββ线性表出，且s t >，则12s ,,,ααα线性相关. (推论3 P 73)推论4 任意m 个n(n<m)维向量线性相关. (推论4 P 73)求极大无关组的方法：(1)观察法；(2)基本结论法；(3)初等变换法(第四节).(二)矩阵的秩定义3.8 在一个m n ⨯矩阵A 中任选k 个行与k 个列(1k min{m,n}≤≤)，位于这些行、列交叉处的k 2个元素按原相互位置关系所形成的k 阶行列式，称为矩阵A 的一个k 阶子式. (定义3.14 P 73)定义3.9 若矩阵A 有不等于零的r 阶子式，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r 称为矩阵A 的秩，记为R(·)或rank(·). (定义3.15 P 73)定义3.9指出：(1) 矩阵的秩为r ，则矩阵所有r+1及以上阶子式(如果存在的话)都等于零； (2) 矩阵的秩是矩阵不等于零的最高阶子式的阶数； (3) 0≤R(A)≤min{m,n}； (4) R(A T )= R(A)；(5) 可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数.例3.3(例3.6 P 74) 求矩阵A 和B 的秩，其中1234512302312456,0003421000000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2. 求矩阵的秩定理3.5初等变换不改变矩阵的秩. (定理3.11 P 74)推论1 若A ～B ，则R(A)= R(B). (推论 P 75) 推论2行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理3.5、推论1和推论2给出了一个求矩阵秩的方法：对矩阵做初等行变换将其化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中元素不全为零行的行数即为矩阵的秩.例3.4(类似例3.8 P 75)求矩阵12101210A 10112022-⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪-⎝⎭的秩. 解 因为2131434123+,221210121012101210000002011011020100002022042000---↔---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r ， 所以R(A)2=.例3.5(例3.7 P 75) 证明：R(AB )≤min{R(A),R(B)}. 证 因为()()R AB R AB A ≤，而()()12c c BAB A O A -→，所以()()()R AB R O A R A ≤=.又()()()()()T T T T R AB R (AB)R B A R B R B ==≤=，所以R(AB)min{R(A),R(B)}≤.3. 求向量组的秩与极大无关组定理3.6 矩阵的秩等于矩阵的行向量组的秩(称为矩阵的行秩)，也等于矩阵的列向量组的秩(称为矩阵的列秩). (定理3.12 P 76)证A ～B(对A 作行变换，B 是A 的行最简形矩阵)⇒R(A)=R(B)，A 、B 的行向量组等价又R(B)=R(B 的行向量组)⇒R(A)=R(B 的行向量组)=R(A 的行向量组)又R(A)=R(A T )⇒R(A T )=R(A T 的行向量组)=R(A 的列向量组) ⇒ R(A)=R(A 的列向量组)定理3.6给出了求向量组秩的方法：首先由向量组构成矩阵，然后求矩阵的秩，从而得向量组的秩.例3.6求向量组α1=(1,2,-1,3)T , α2=(1,3,2,5)T , α3=(-2,2,-4,3)T , α4=(1,-5,-6,-8)T , α5=(2,-3,-7,-5)T 的秩. 解 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=2131413242233211212112122325301677124670325535385029111111212112120167701677,00161616001110033300000-+-----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪-----⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r所以R(α1,α2,α3,α4,α5)=3.定理3.7 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例 3.7(例 3.9 P 76) 讨论向量组α1=(1,2,-1,3)T , α2=(1,3,2,5)T , α3=(-2,2,-4,3)T , α4=(1,-5,-6,-8)T , α5=(2,-3,-7,-5)T 的线性相关性，求极大无关组，并用极大无关组表示其余向量.解 A=(α1,α2,α3,α4,α5)=2131413242123233261121211212232530167712467032553538502911111121211212016770167700161616001110033300000r r r r r r r r r r r r r -+---+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪-----⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭→312211010100010101101011,011100111000000000r r r --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故R(α1,α2,α3,α4,α5)=3，说明α1,α2,α3,α4,α5中任意4个向量都线性相关.α1,α2,α3 (α1,α2,α4、α1,α2,α5都)是一个极大无关组，且α4=-α2-α3，α5=α1-α2-α3.定义3.10 若矩阵的秩等于矩阵的行数，则称矩阵是行满秩的；若矩阵的秩等于矩阵的列数，则称矩阵是列满秩的.既是行满秩又是列满秩的矩阵称为满秩矩阵(即可逆矩阵).求秩的方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)初等变换法.常识结论：(1)R(AB)min{R(A),R(B)}≤ (2)R(AB)R(A)R(B)A ≥+-的列数(3)max{R(A),R(B)}R(A B)R(A)R(B)≤≤+ 简证：见向量组的基本结论 (4)R(A B)R(A)R(B)±≤+ 简证：∵12c c (A B B)(A B)±→∴R(A B)R(A B B)R(A B)R(A)R(B)±≤±=≤+四、向量应用实例[实例3-1] 几何应用 [实例3-2] 混凝土配制问题 [实例3-3] 药方配制问题五、习题(P 80-84) 选择题：1-5. AC B C A6. 提示：AB=C ，A=CB -1表明，A 与C 的列向量组可以互相线性表出，故选B.7. 提示：当c 1≠0时，|(α1,α2,α3)|≠0, |(α1,α2,α4)|≠0，故排除选项A,B. |(α1,α3,α4)|≡0，故选C.当c 3+c 4≠0时，|(α2,α3,α4)|≠0，故排除选项D.填空题：1. 提示：方法一α1,α2,α3,α4线性相关⇔|(α1,α2,α3,α4)|=0⇒k=-5/13方法二初等变换法α1,α2,α3,α4线性相关⇔R(α1,α2,α3,α4)<42. 提示：β可由α1,α2线性表示⇔线性方程组(α1,α2)x=β有解⇔(α1,α2,β)～B,R(α1,α2,β)=R(α1,α2)⇒k=-19/23. 提示：设A=(α1,α2,α3,α4)，作初等变换A=(α1,α2,α3,α4)～B (B为A的行最简矩阵)⇒R(A)=R(B)=44.提示：α1,α2,α3线性无关⇔|(α1,α2,α3)|≠0⇒abc≠0三、解答题：1. 略.2. 提示：(1) 能.α2,α3,α4线性无关⇒α2,α3线性无关⇒若α1,α2,α3线性相关，则α1必可由α2,α3线性表示(2)不能.因为若α4可由α1,α2,α3线性表示，则α4就可由α2,α3线性表示，这与α2,α3,α4线性无关矛盾.3. 提示：(1)-(3)可用行列式法判断，(3)-(4)可用初等变换法4.提示：设A=(α1T,α2 T,α3 T,α4 T)，然后对A作行初等变换，将A化为行最简矩阵.5.提示：设A=(α1,α2,α3)，则当|(α1,α2,α3)|≠0时，β可由α1,α2,α3唯一线性表示，且表达式唯一.6. 提示：(1)当k1,k2,…,k m全为零时等式自然成立；否则，若k1=0，此时等式为k2α2+…+k mαm=ο，由于α2,…,αm 线性无关，得k2=…=k m=0，所以k1,k2,…,k m或全不为零.(2)由(1)知l1,l2,…,l m全不为零.设a=k1/l1，则两式相减，得(k 1-a l 1)α1+(k 2-a l 2)α2+…+(k m -a l m )αm =ο，因k 1-a l 1=0，由(1)知(k 2-a l 2)=…=(k m -a l m )=0，即k 1/l 1= k 2/l 2=…=k m /l m .8. 提示：令 k 1(a α1-α2)+k 2(b α2-α3)+k 3(c α3-α1)=ο， (1) 即(k 1a-k 3)α1+(k 2b-k 1)α2+(k 3c-k 2)α3=ο.α1,α2,α3线性无关⇒k 1a-k 3=0, k 2b-k 1=0, k 3c-k 2=0 (2)式(2)是关于k 1,k 2,k 3的齐次线性方程组，所以a α1-α2,b α2-α3,c α3-α1线性相关⇔存在不全为零的k 1,k 2,k 3使式(1)成立，即方程组(2)有非零解.⇔a11b00abc 101c--=⇒=-.9. 提示：因为α1,α2,…,αs 线性相关，所以存在不全为零的数k 1,k 2,…,k s 使k 1α1+k 2α2+…+k s αs =ο.设i 是k 1,k 2,…,k s 中不为零的数的最大下标，由α1≠ο可知i>1，于是αi 就可由α1,…,αi-1线性表示.10. 证112223n n 1k ()k ()k ()α+α+α+α++α+α=ο， 即 1n 1122n 1n n (k k )(k k )(k k )-+α++α+++α=ο.因12n ,,,ααα线性无关，得1n 1122233n 1n n k k 0k 1001k k 0k 1100k k 0k A 0110001k k 0k ∆-+=⎧⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=⇔=κ=ο⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=⎪⎝⎭⎩⎝⎭. 而1n A 1(1)+=+-0,2, n n ⎧=⎨⎩为偶数，为奇数.所以，当n 为偶数时，α1+α2,α2+α3,…,αn +α1线性相关； 当n 为奇数时，α1+α2,α2+α3,…,αn +α1线性无关.11.提示：n 个n 维向量α1,α2,…,αn 线性相关⇔存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n 使k 1α1+k 2α2+…+k n αn =ο.⇔|(α1,α2,…,αn )|=0. (克拉默法则)12.证 因为e 1, e 2, …, e n 可由α1,α2,…,αn 线性表出，所以R(e 1, e 2, …, e n )≤R(α1,α2,…,αn ).又因为α1,α2,…,αn 可由e 1, e 2, …, e n 线性表出，所以R(α1,α2,…,αn )≤R(e 1, e 2, …, e n ).因此R(α1,α2,…,αn )=n ，α1,α2,…,αn 线性无关.13. 证 充分性 因为任一n 维向量都可由α1,α2,…,αn 线性表示，所以标准单位向量组e 1, e 2, …, e n 可由α1,α2,…,αn 线性表出，于是由第11题可知，α1,α2,…,αn 线性无关.必要性 设α1,α2,…,αn 线性无关，因n+1个n 维向量线性相关，所以任一n 维向量β都可由α1,α2,…,αn 线性表示.14. 提示：先进行schimidt 正交化，然后规范化.15.提示：方法一 令A=(α1,α2,α3,α4,β)，则()1234111110112123a 24b 3351a 85⎛⎫ ⎪-⎪ααααβ= ⎪++ ⎪+⎝⎭1111112100112101121012100100225200010a b a b a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪++ ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭1021001121,10000000021000110100,110010100010a b b a a b a a b a ⎧-⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-→ ⎪⎨+ ⎪⎪++ ⎪⎪ ⎪⎪≠-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩当当所以，(1)当a=-1且b≠0时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示. (2)当a≠-1时，β能由α1,α2,α3,α4唯一地线性表示为1232b a b 1ba 1a 1a 1++β=-α+α+α+++. (3)当a=-1且b=0时，β能由α1,α2,α3,α4线性表示，但表示不唯一.方法二 向量β能不能由向量组α1,α2,α3,α4线性表示等同于非齐次线性方程组1234(,,,)x αααα=β是否有解.根据克拉默法则，令|(α1,α2,α3,α4)|=0，得a=-1，否则，a ≠-1. 所以当a ≠-1时，此时β可由α1,α2,α3,α4唯一地线性表示； 当a=-1时，对矩阵(α1,α2,α3,α4,β)作初等行变换，得()123410210011210000b 00000-⎛⎫⎪- ⎪ααααβ= ⎪⎪⎝⎭，所以当a=-1且b≠0时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示.16.解 向量组α1,α2与向量组β1,β2,β3等价，即α1,α2与β1,β2,β3可以互相线性表出，并且R(α1,α2)=R(β1,β2,β3).4332431323113231110110422211120021111310204222r r r r r r +++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3213231021110000000000r r ↔⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎝⎭12312121231012321201121212,,,00000000001101101120,,,0000000000⎧-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⇒βββαα⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭→⎨-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⇒ααβββ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩可由线性表出可由线性表出17. 提示：根据极大线性无关组的定义.18.(3)解 213123202310231 0343001304710013r r r r----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭32r r 02310013,0000 R 2.+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭∴=(4)解 322141r r r 3r r r 17253143172531435375941322013 5475941341002202532483015---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭42313132323231r 225r r r r 17r r r r 2r r r r 31r 02531910020011025319100200110000000010028010500110000 R 3.⨯---↔-↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭∴=，19. 提示：x y y x 2y x 2y x 2y A y x y y x y y y x y y x 111111y x y 0x y 0,x 2y 0y y x 00x y 000000y x y y x 0,x 2y 0y y x 0y x x y 111000,x 2y 0x y R(A)1000+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→-+≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭⎝⎭→⎨⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛⎫ ⎪+≠=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭→且111010,x 2y 0x y R(A)3001000y x 0,x 2y 0x y R(A)00y x x y 000y x 0,x 2y 0x y R(A)20y x x y ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪+≠≠⇒=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎩⎨⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪+==⇒=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪+=≠⇒= ⎪⎪⎪ ⎪--⎪⎪⎝⎭⎩⎩且且且 所以 0,x y 0,1,x y 0,R(A)2,x 2y 0,3,x 2y x y.==⎧⎪=≠⎪=⎨=-≠⎪⎪≠-≠⎩且20. 提示：按阶梯形矩阵构造1030011000000100000100000⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 或 1030011000000100000100011⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭……21. 证∵12c c (A+B B)(A B)-→∴R(A B)R(A B B)R(A B)R(A)R(B)+≤+=≤+22.证∵21c c (B)A O A O E B E O +-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A O R EB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥R(A)+R(B) A O R =E O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 的列数∴R(A)+R(B)≤A 的列数23.证∵A 2-A=(A-E)A=O∴R(A-E)+R(A)≤n (第22题) ∵ E=(E-A)+A∴R(E)=R((E-A)+A)≤R(A-E)+R(A) (第21题) ∴R(A-E)=n-r24. 提示：E-A 2=(E-A)(E+A)=O, 2E=(E+A)+(E-A)25. 证因为A 的秩为r ，所以存在n 阶初等行矩阵P 1,P 2,…,P k 与m 阶初等列矩阵Q 1,Q 2,…,Q l ，使得()rr k2112l r r m n m n rE O E P P P AQ Q Q =E O O O O ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()r 11111112krl 21r m n rE P P PP Q=E O Q Q Q O ------⨯⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则A=PQ，其中()()()()r rr m n r E R P R =R Q R E O r O ⨯⨯⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.26.解det(B)1231231231232323123233123123det(,24,39)det(,3,5)det(,3,2)det(,,2)2det(,,) 2.=α+α+αα+α+αα+α+α=α+α+αα+αα+α=α+α+αα+αα=ααα=ααα=27. 提示：设A=(α1,α2,α3,β1,β2,β3)，则312r r r 101111101111A 013a 23013a 23115135001a 01--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2131323r 2r r r r r r 1011112102(a 1)00001a 011001+a 100104a 20001a 01----⎧⎛⎫⎪ ⎪→--⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩R(A)=3, R(B )≥2.(1)因为α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表出，所以R(B)<R(A)，故a=1. (2)β1=2α1+4α2-α3,β2=α1+2α2,β3=α3.28. 解 因为向量α=(2,4,-3)与向量β=(-1,-2,3/2)平行，所以直线L 1与L 2平行.又直线L 1过点(1,2,3)，且点(1,2,3)也在直线L 2上，所以直线L 1与L 2重合.六、计算实践实践指导：（1）理解向量线性组合、线性相关和线性无关的概念； （2）了解向量线性相关和线性无关的有关理论，掌握判别方法；（3）理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵秩的概念； （4）会求向量组的极大线性无关组及秩，会求矩阵的秩.例3.1设三阶矩阵()T 122A 212,a,1,1304-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，已知Aα与α线性相关，求a.解()TA a,2a 3,3a 4α=++，Aα与α线性相关a 2a 33a 4a 1a 11++⇒==⇒=-. 例3.2 已知()()1231234R ,,R ,,,3,ααα=αααα=()1235R ,,,4αααα=，证明：()12354R ,,,4αααα-α=.解 ()()1231234R ,,R ,,,3ααα=αααα=⇒4112233k k k α=α+α+α12354(,,,)αααα-α()()12351122331212353,,,k k k 100k 010k ,,,001k 0001=αααα-α-α-α-⎛⎫⎪-⎪=αααα ⎪- ⎪⎝⎭()()123541235R ,,,R ,,,4⇒αααα-α≤αααα=()()()()1235112123543123512354 ,,,100k 010k ,,,001k 0001R ,,,R ,,,-⇒αααα-⎛⎫ ⎪-⎪=αααα-α ⎪- ⎪⎝⎭⇒αααα≤αααα-α ⇒()12354R ,,,4αααα-α=例3.3 已知向量组α1=(1,2,-1,1),α2=(2,0,t,0),α3=(0,-4,5,-2)的秩是2，求t .解1231211A 20t 00452α-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=α= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪α--⎝⎭⎝⎭1211121104t 220452045200t 30--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-+-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.()R A 2t 3=⇔=，故t 3=.例3.4设n m m n n A B E ⨯⨯=，则[A ]. (A )n m m n R(A )R(B )n ⨯⨯==； (B)n m m n R(A )n,R(B )m ⨯⨯==； (C)n m m n R(A )m,R(B )n ⨯⨯==； (D)n m m n R(A )R(B )m ⨯⨯==.例3.5若n m m n n A B E (n m)⨯⨯=<，证明：n m m n R(A )R(B )n ⨯⨯==.证明 反证法.显然m n R(B )n ⨯≤.若m n R(B )n ⨯<，则n n m m n n R(E )min(R(A ),R(B ))n ⨯⨯=≤<，这是矛盾的结果，所以必有()n m R A n ⨯=.同理，有()m n R B n ⨯=.例3.6n A 0=说明什么? 答： 说明n A 不可逆；(第二章)齐次线性方程组n A x =ο有非零解； (第一、四章)()n R A n <；(第三章)n A 的行向量组线性相关; 行秩n <；(第三章) n A 的列向量组线性相关; 列秩n <；(第三章)n A 的标准形为rE O (r n)O O ⎛⎫<⎪⎝⎭；(第二、三章) 0是n A 的特征值. (第五章)例3.7设向量组Ⅰ：α1,α2,…,αr 可由向量组Ⅱ：β1,β2,…,βs 线性表示，下列命题正确的是[A ]. (A )若向量组Ⅰ线性无关，则r s ≤； (B)若向量组Ⅰ线性相关，则r s >； (C)若向量组Ⅱ线性无关，则r s ≤； (D)若向量组Ⅰ线性相关，则r s >.例3.8设(β1,β2,…,βs )=(α1,α2,…,αt )A t×s ，且α1,α2,…,αt 线性无关，试判断β1,β2,…,βs 的线性相关性.七、知识扩展1. 设α1,α2,…,αn 为n 维列向量组，A 是m×n 矩阵，下列选项正确的是[A ].（2006 数一） (A) 若α1,α2,…,αn 线性相关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性相关； (B) 若α1,α2,…,αn 线性相关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性无关； (C) 若α1,α2,…,αn 线性无关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性相关； (D) 若α1,α2,…,αn 线性无关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性无关. 提示：∵12n 12n (A ,A ,,A )A(,,,)ααα=ααα∴12n 12n R(A ,A ,,A )R(A(,,,))ααα=ααα12n min{R(A),R(,,,)}≤ααα若α1,α2,…,αn 线性相关，则12n R(A ,A ,,A )n ααα<. 选A .注意到，若α1,α2,…,αn 线性无关，则R(A α1,A α2,…,A αn )=R(A).2. 已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关，则向量组[C ]. （1994 数一）(A) α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性无关； (B) α1-α2, α2-α3, α3-α4, α4-α1线性无关； (C)α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4-α1线性无关； (D) α1+α2, α2+α3, α3-α4, α4-α1线性无关. 提示：观察法3.设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有[A ]. (2004 数一) (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； (C) A 的行向量组线性相关，B 行向量组线性相关； (D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 提示：方法一()()A O,B O,R A R B A ≠≠+≤的列向量数n()()()()R A 1,R B 1R A n 1,R B n 1≥≥⎧⎪⇒⎨≤-≤-⎪⎩，故选A . 方法二设1212n n A (,,,)O,B O β⎛⎫⎪β⎪=ααα≠=≠ ⎪ ⎪β⎝⎭，i1i2in 1j 2j nj (a ,a ,,a ),(b ,b ,,b )⇒∃≠ο≠οi11i22in n 1j 12j 2nj n a a a ,b b b ,β+β++β=ο⎧⇒⎨α+α++α=ο⎩故选A .4.设n 维列向量组α1,α2,…,αm (m<n)线性无关，n 维列向量组β1,β2,…,βm 线性无关的充要条件为[D ].（2000 数一）(A) 向量组α1,α2,…,αm 可由向量组β1,β2,…,βm 线性表示； (B) 向量组β1,β2,…,βm 可由向量组α1,α2,…,αm 线性表示； (C) 向量组α1,α2,…,αm 与向量组β1,β2,…,βm 等价； (D) 矩阵A=(α1,α2,…,αm )与矩阵B=(β1,β2,…,βm )等价.提示：因为m m E E A ~,B ~A,B O O ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价，故选D .(A)⇒β1,β2,…,βm 线性无关；反之，β1,β2,…,βm 线性无关⇒(A).例如，100010001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭与 1 ，0，1.(B)⇒β1,β2,…,βm 线性无关.(C)⇒β1,β2,…,βm 线性无关；反之，β1,β2,…,βm 线性无关⇒(C). **注意向量组等价与矩阵等价的差别5.设四维向量组α1=(1+a,1,1,1)T ,α2=(2,2+a,2,2)T ,α3=(3,3,3+a,3)T ,α4=(4,4,4,4+a)T ，问a 为何值时α1,α2,α3,α4线性相关？当α1,α2,α3,α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出.（2006 数一）提示：()12341a23412a 34,,,123a 41234a +⎛⎫ ⎪+ ⎪αααα= ⎪+ ⎪+⎝⎭ i 11i r r c c i 2,3,4i 2,3,41a23410a234a a 000a 00a0a 000a 0a00a 000a -+==++⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⇒当a=0或a=-10时，α1,α2,α3,α4线性相关.且当a=0时，R (α1,α2,α3,α4)=1，一个极大线性无关组为α1；当a=-10时，R (α1,α2,α3,α4)=3，一个极大线性无关组为α2,α3,α4.6. 设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,-3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p +2)T,α4=(-2,-6,10,p)T ，问：(1)p 为何值时，该向量组线性无关? 此时用α1,α2,α3,α4表示向量α=(4,1,6,10)T .(2) p 为何值时，该向量组线性相关? 此时求它的秩和一个极大线性无关组. (1999)(答案：p≠2,p=2) 提示：方法一 初等行变换法(1)()12341132413261,,,15110631p 2p 10--⎛⎫⎪--⎪ααααα= ⎪-⎪+⎝⎭()()())p 2113 24021 43001 01000p 21p 10002010021p p 2~0010100011p p 2≠--⎛⎫⎪---- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭故p≠2，这时()()123421p 1p 2p 2p 2--α=α+α+α+α--. (2) p=2，秩为3，一个极大线性无关组为α1,α2,α3.（另一个极大线性无关组为α1,α3,α4.） 方法二 行列式法 计算1234,,,αααα113211321326021415110001031p 2p 0p 20p 20p 2---------==-+-≠⇒≠⎧⎨=⇒=⎩当p≠2，令()1234,,,x αααα=α，计算()())()()12341132413261,,,15110631p 2p1010002010021p p 2,0010100011p p 2--⎛⎫⎪-- ⎪ααααα=⎪-⎪+⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭得()()123421p 1p 2p 2p 2--α=α+α+α+α--.7.设R(A m×n )=m<n ，则下述结论正确的是[C ]. (A)A m×n 的任意m 个列向量必线性无关. (B)A m×n 的任意一个m 阶子式不等于零. (C)若矩阵B 满足BA=O ，则B=O.(D)A m×n 通过初等行变换必可以化为(E m O)的形式. 提示：T T BA OA B O =⇒=T T T R(A)R(B)R(A )R(B )A ⇒+=+≤的列数m =R(B)0B O ⇒=⇒=，故选C .(D)的正确说法是A m×n 通过初等变换必可以化为(E m O)的形式.8.设A 是m×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B=AC 的秩为r 1，则[C ]. (A)r>r 1；(B)r<r 1； (C)r=r 1；(D)r 与r 1的关系依C 而定.(1994 数三)提示：由B=AC 及C 是n 阶可逆矩阵知B ～A ，故选C .9.设A,B 都是n 阶非零矩阵，且AB=O ，则A 和B 的秩(A)必有一个等于零； (B)都小于n ；(C)一个小于n ，一个等于n ； (D)都等于n.(1994 数四)提示：由A,B 都是n 阶非零矩阵，且AB=O⇒()()A O,B O,R A R B A ≠≠+≤的列向量数n⇒()()()()R A 1,R B 1,R A n 1,R B n 1,≥≥⎧⎪⎨≤-≤-⎪⎩故选B .10.设A 是4×3矩阵，且R(A)=2，而102B 020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则R(AB)=2. (1996 数一)提示：B 可逆.11.已知矩阵123Q 24t 369⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及3阶非零矩阵P 满足PQ=O ，则[C ].(A) t=6时，P 的秩必为1； (B) t=6时，P 的秩必为2； (C)t≠6时，P 的秩必为1；(D) t≠6时，P 的秩必为2. (1993 数一)提示：t=6时，R(Q)=1, R(P)≤2；t≠6时，R(Q)=2, R(P)≤1. 又因P ≠O ⇒R(P)≥1，故选C.12.设122A 4t3311-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，B 为3阶非零矩阵，且AB=O ，则t=-3. (1997 数一) 提示：AB OR(A)R(B)A =⇒+≤的列向量数3B O R(B)1≠⇒≥所以R(A)2≤.但显然R(A)2≥，故R(A)2=.于是由A 0t 3=⇒=-.或由21331r r r r 3r 122122122A 4t 30t 1401131107700t 3------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭R(A)2t 30t 3=⇒+=⇒=-.13.设矩阵k1111k 11A 11k 1111k ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，且R(A)=3，则k=-3.提示：k 3k 3k 3k 31k 11A ~11k 1111k ++++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k 30001k 100~10k 10100k 1+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭()R A 3k 3=⇒=-.14.设n(n ≥3)阶矩阵1a a a a1a a A aa 1a a a a1⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若矩阵A 的秩为n-1，则a 必为 (A)1； (B)11n -； (C) -1； (D)1n 1-. (1998 数三) 提示：()()()n 1a 1n 1a 1n 1a 1a1a A ~a a1⎛-+-+-+⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭11101a 01,a n 1001a ~000a 1a 01,a=n 1a 01a ⎧⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪≠-⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎪-⎪-⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎩ n 31,a 1,1R(A)n,a 1a ,n 11n 1,a=.n 1≥⎧⎪=⎪⎪⇒=≠≠-⎨-⎪⎪--⎪⎩-且 故选B.。
[东大]20秋学期《中国近代史纲要X》在线平时作业3答案辅导资料
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[东北大学]20秋学期《中国近代史纲要X》在线平时作业3
前言：请读者认真阅读本套试卷，确定是您需要的学习资料在下载！！
一、单选题 (共 20 道试题,共 60 分)
1.在共产党与民主党派的关系上，毛泽东首倡的方针是（）
A项.加强团结，共同发展
B项.长期共存，互相监督
C项.和平共处，同舟共济
D项.肝胆相照，荣辱与共
[正确选择答案]：B
2.日本制造的策动华北五省二市“防共自治”运动的事变是（）
A项.九一八事变
B项.华北事变
C项.卢沟桥事变
D项.一二八事变
[正确选择答案]：B
3.全国性抗战开始后，中国军队的第一次重大胜利是( )
A项.长沙会战
B项.平型关战役
C项.台儿庄战役
D项.淞沪会战
[正确选择答案]：B
4.官僚资本的垄断活动首先和主要的方面是在（）
A项.工业
B项.金融业
C项.农业
D项.交通运输业
[正确选择答案]：B
5.标志着第一次国共合作的正式形成的历史事件是（）
A项.共产党一大的成功召开
B项.共产党二大的成功召开
C项.共产党三大的成功召开
D项.国民党一大的成功召开
[正确选择答案]：D
6.我国实现对资本主义工商业社会主义改造的主要形式是( )
A项.国家资本主义
B项.公私合营
C项.统购统销。
东北大学20年春学期《教育管理学》在线作业3(资料答案)
20春学期《教育管理学》在线平时作业3
学校：奥鹏东北大学
一、单选题 (共 10 道试题,共 50 分)
1.151.为了加强对教育的领导，在（）中央成立了专门负责管理教育事业的政府机构——国子监。
[[A.]]隋唐时期
[[B.]]明清
[[C.]]战国时期
[[D.]]宋代
作答提示
√选择是:A
2.34.从形式上看，教育经过了（）过程。
[[A.]]非形式化教育→形式化教育→制度化教育
[[B.]]非形式化教育→制度化教育→形式化教育
[[C.]]形式化教育→非形式化教育→制度化教育
[[D.]]制度化教育→非形式化教育→形式化教育
作答提示
√选择是:A
3.157.第一个提出班级授课制的教育家是（）。
[[A.]]赫尔巴特
[[B.]]维多利诺
[[C.]]昆体良
[[D.]]夸美纽斯
作答提示
√选择是:D
4.73.世界教育的调整时期是在20世纪（）。
[[A.]]80-90年代
[[B.]]70年代
[[C.]]60年代
[[D.]]40-50年代
作答提示
√选择是:B
5.1.教育管理学以各级各类教育组织和机构的管理现象、管理过程和管理规律为其研究对象。
其中，以（）的管理为核心。
[[A.]]班级组织
[[B.]]教育行政机构
[[C.]]教学组织。
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解析：试题难度4颗星
【参考选择】：D
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解析：试题难度4颗星
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解析：试题难度4颗星
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【参考选择】：C
5[C选项]-C
【奥鹏】-[东北大学]20秋学期《线性代数》在线平时作业3
注：每学期试题都会有所不同，请认真做好复习！
一、单选题 (共 20 道试题,共 100 分)
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解析：试题难度4颗星
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解析：试题难度4颗星
【参考选择】：D