高三数学 知识点精析精练19 轨迹方程的求法

高三数学 知识点精析精练19 轨迹方程的求法

【复习要点】

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点。

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.

(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.

(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.

(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.

(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. 【例题】

【例1】 已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. 解：建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y )是轨迹上任意一点. 则由题设，得

|

||

|MB MA =λ,坐标代入， 得

2

222)()(y

a x y a x +-++=λ,化简得

(1－λ2

)x 2

+(1－λ2

)y 2

+2a (1+λ2

)x +(1－λ2

)a 2

=0

(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).

(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2

+y 2

+2

21)

1(2λ

-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0)为圆心，|

1|22λ-λa 为半径的圆.

【例2】 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2

+y 2

=36内的一点，A 、

B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨

迹方程.

解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.

又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2

=|AO |2

－|OR |2

=36－(x 2

+y 2

) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-

所以有(x －4)2

+y 2

=36－(x 2

+y 2

),即x 2

+y 2

－4x －10=0

因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2

,241+=+y y x , 代入方程x 2

+y 2－4x －10=0,得

2

4

4)2()24(

22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2

+y 2

=56,这就是所求的轨迹方程.

【例3】 设点A 和B 为抛物线 y 2

=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，

OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)

解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有

⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅

-=⋅==11

21

21212

12

2

1122

212

11144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有

2

121214y y p

x x y y +=--⑥

①×②,得y 12

·y 22

=16p 2

x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=－16p 2

⑦ ⑥代入④，得y

x

y y p -=+214⑧

⑥代入⑤，得

p

y

x y y x x y y y y p

4421

11121--=--=+ 所以

21

1214)(44y px y y p y y p

--=+ 即4px －y 12

=y (y 1+y 2)－y 12

－y 1y 2

⑦、⑧代入上式，得x 2

+y 2

－4px =0(x ≠0) 当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.

故点M 的轨迹方程为x 2

+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.

解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ，得k =－

y

x 由y 2

=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2

+(2kb －4p )x +b 2

=0 所以x 1x 2=2

2k b ,消x ,得ky 2

－4py +4pb =0

所以y 1y 2=

k

pb

4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k pk 4=－22

k

b ,b =－4kp

① ② ③ ④ ⑤