-历年考研数学三真题及答案解析

是k cx 等价无穷小，则(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-

(2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2()

lim x x f x f x x

→-= (A) '

2(0)f - (B) '

(0)f - (C) '

(0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是

(A) 若

1n

n u

∞

=∑收敛，则

21

21

()n n n u

u ∞

-=+∑收敛

(B) 若

21

21()n n n u

u ∞

-=+∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

(C) 若

1n

n u

∞

=∑收敛，则

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛

(D) 若

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

(4) 设4

ln(sin )I x dx π=⎰

,40

ln(cot )J x dx π

=⎰,40

ln(cos )K x dx π

=⎰ 则I ,J ,K 的大

小关系是

(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3

行得单位矩阵记为11001

10001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则A = (A)12P P (B)112P P - (C)21P P (D) 1

21P

P - (6) 设A 为43⨯矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，1k ,2k 为任意常数，则Ax β=的通解为

(A)

23

121()2

k ηηηη++-

(B)

23

221()2k ηηηη-+- (C) 23

131221()()2k k ηηηηηη++-+-

(D) 23

221331()()2

k k ηηηηηη-+-+-

(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x , 1()f x 是连续函数，则必为概率密度的是

(A) 12()()f x f x (B)212()()f x F x

(C) 12()()f x F x (D) 1221()()()()f x F x f x F x + (8) 设总体X 服从参数λ(0)λ>的泊松分布，11,,

(2)n X X X n ≥为来自总体的简

单随即样本，则对应的统计量11

1n

i i T X n ==∑，121111n i n i T X X n n -==+-∑

(A)1212,ET ET DT DT >> (B)1212,ET ET DT DT >< (C)1212,ET ET DT DT <> (D) 1212,ET ET DT DT <<

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设0

()lim (13)x

t

t f x x t →=+，则'

()f x =______.

(10) 设函数(1)x

y x

z y

=+，则(1,1)|dz =______.

(11) 曲线tan()4

y x y e π

++=在点(0,0)处的切线方程为______.

(12)

曲线y 2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体

的体积______.

(13) 设二次型123(,,)T

f X X X x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变

换下x Qy =的标准型为______.

(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从2

2

(,;,;0)N μμσσ，则2

()E XY =______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

求极限0

x →.

(16) (本题满分10分)

已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，

[](),(,)z f x y f x y =+。求2(1,1)|z

x y

∂∂∂.

(17) (本题满分10分)

求

(18) (本题满分10分)

证明44arctan 03

x x π

-+

=恰有2实根。 (19) (本题满分10分)

()f x 在[]0,1有连续的导数，(0)1f =，且

'()()t

t

D D f x y dxdy f t dxdy +=⎰⎰

⎰⎰，

{(,)|0,0,0}(01)t D x y x t y t x y t t =≤≤≤≤≤+≤<≤，求()f x 的表达式。

(20) (本题满分11分)

设3维向量组11,0,1T α=（），20,1,1T α=（），31,3,5T α=（）不能由11,,1T

a β=（），21,2,3T β=（），31,3,5T

β=（）线性标出。

求：(Ⅰ)求a ；

(Ⅱ)将1β，2β，3β由1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)

已知A 为三阶实矩阵，()2R A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

，

求：(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X ，Y 的概率分布如下：