概率空间概念
概率的基本概念与计算方法
概率的基本概念与计算方法概率是数学中重要的概念之一，用以描述事件发生的可能性。
在日常生活和各个学科领域，概率都扮演着重要的角色。
本文将介绍概率的基本概念以及常用的计算方法。
一、概率的基本概念1.1 事件与样本空间在概率论中，事件指的是可能发生的某种结果或者一组结果。
样本空间是指所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
1.2 事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
1.3 古典概型古典概型适用于所有等可能发生的情况，如掷骰子、抽牌等。
当样本空间Ω中的事件数为n时，事件A发生的概率可以用下式计算：P(A) = m / n，其中m表示事件A所包含的有利结果的个数。
1.4 几何概型几何概型适用于空间上的事件，如点、线、面等。
当事件A为几何图形时，可以通过几何方法计算其概率。
二、概率的计算方法2.1 加法法则加法法则是计算两个事件之并集的概率的方法。
设事件A和事件B为样本空间Ω中的两个事件，则其并集为A∪B。
根据加法法则，事件A和事件B的概率之和等于事件A∪B的概率，即P(A∪B) = P(A) +P(B) - P(A∩B)。
2.2 乘法法则乘法法则用来计算两个事件同时发生的概率。
设事件A和事件B为样本空间Ω中的两个事件，则事件A和事件B同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2.3 条件概率条件概率用于计算在某一条件下事件发生的概率。
设事件A和事件B为样本空间Ω中的两个事件，其中P(B)≠0，事件A在事件B发生的条件下发生的概率可以通过以下公式计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.4 独立事件与互斥事件独立事件指的是两个事件的发生与否相互独立，即事件A的发生不影响事件B的发生。
当事件A和事件B为独立事件时，P(B|A) = P(B)。
概率论基本概念：样本空间、事件、事件的运算
概率论基本概念：样本空间、事件、事件的运算概率论研究那些受到随机事件（random events）影响的现象，它们具有很⼤的不确定性。
基础定义讨论概率时，最重要的就是不确定性的思想，我们需要引⼊⼀个⾜够宽泛的、⽤于处理不确定性的概念。
偶然性试验（chance experiment）或随机试验（random experiment）是产⽣不确定结果的过程。
例如，扔硬币、测试机械使⽤寿命等都是随机实验。
定义：偶然性试验的样本空间（sample space）Ω是实施试验所可能产⽣结果的集合。
Ω⾥的元素称为该试验的样本点（sample point）。
Ω的⼦集称为事件（event）。
只包含⼀个样本点的事件称为基本事件（elementary event），包含多个样本点的事件称为复合事件（compound event）。
样本空间的划分翻硬币有 2 个样本点，摇骰⼦有 6 个样本点，像这种有限的样本空间，称为有限样本空间（finite sample space）。
翻⼀枚硬币，⼀直翻到背⾯为⽌。
这样的随机试验的样本空间是：Ω={T,HT,HHT,HHHT,…}。
这种样本空间是⽆限的，但是同时⼜是可以枚举的，因此称为可数⽆限样本空间（countably infinite sample space）。
检测灯泡的使⽤寿命，这样的随机试验的样本空间是：Ω={t:t≥0}=[0,∞)，这种样本空间是不可数的集合，通常称为连续样本空间（continuous sample space）。
处理这种样本空间的技巧，与有限样本空间和可数⽆限样本空间的技巧，有很⼤的不同。
通常⼜把有限样本空间和可数⽆限样本空间，统称为离散样本空间（discrete sample space）。
事件的运算通过定义样本空间这样的集合，以及定义事件作为样本空间的⼦集。
因此，集合论⾥⾯的运算⾃然衍⽣到了事件的运算。
⾸先定义事件的发⽣（occured）：对于事件 A∈Ω，当进⾏试验时，我们观察到的结果（output）ω∈Ω，同时也满⾜ω∈A 的条件，那么就称事件 A 发⽣了。
概率论的基本概念
概率论的基本概念概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的发生概率以及它们之间的关系。
在我们日常生活中，随机事件无处不在，而概率论为我们提供了一种科学的方法来描述和解释这些事件。
本文将探讨概率论的基本概念，包括样本空间、事件、概率、条件概率和独立性。
首先，我们来介绍样本空间。
样本空间是指所有可能结果的集合，用S表示。
例如，掷一枚硬币的样本空间可以是{正面，反面}，而掷一颗骰子的样本空间可以是{1，2，3，4，5，6}。
样本空间是概率论中一个重要的概念，它为我们提供了对随机事件的基本描述。
接下来，我们来讨论事件的概念。
事件是样本空间的一个子集，表示某些结果的集合。
事件通常用大写字母A，B，C等来表示。
例如，在掷一枚硬币的实验中，正面朝上可以表示为事件A，反面朝上可以表示为事件B。
事件可以是单个结果，也可以是多个结果的组合。
通过对事件的描述，我们可以更好地理解随机事件的发生规律。
在概率论中，概率是对随机事件发生的可能性的度量。
概率通常用P(A)表示，其中A是一个事件。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
例如，在掷一枚硬币的实验中，事件A表示正面朝上，事件B表示反面朝上，那么P(A)=0.5，P(B)=0.5。
概率的计算可以通过频率法、古典概型和几何概型等方法进行。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率通常用P(A|B)表示，其中A和B是两个事件。
条件概率的计算可以通过贝叶斯定理进行。
例如，在抽取一张扑克牌的实验中，事件A表示抽到红心，事件B表示抽到大牌（A、K、Q、J，数字10），那么P(A|B)表示在已知抽到大牌的条件下，抽到红心的概率。
条件概率的研究对于理解随机事件之间的依赖关系具有重要意义。
最后，我们来探讨概率的独立性。
当两个事件A和B的发生与否互不影响时，它们被称为独立事件。
独立事件的概率计算可以通过乘法法则进行。
例如，在两次掷骰子的实验中，事件A表示第一次掷得1点，事件B表示第二次掷得6点，那么这两个事件是独立的。
概率空间和概率分布的关系
概率空间和概率分布的关系Probability space and probability distribution are closely related concepts in the field of probability theory. A probability space consists of three components: a sample space, a set of events, and a probability measure. The sample space is the set of all possible outcomes of an experiment, the set of events is a collection of subsets of the sample space, and the probability measure assigns probabilities to each event in the set of events. The probability distribution, on the other hand, describes the likelihood of each possible outcome of a random variable. It provides a mathematical model for the randomness inherent in a system or process.概率空间和概率分布在概率论领域密切相关。
概率空间包括三个组成部分：样本空间、事件集和概率度量。
样本空间是实验的所有可能结果的集合，事件集是样本空间的子集的集合，概率度量给事件集中的每个事件分配概率。
另一方面，概率分布描述了随机变量每个可能结果的可能性。
它为系统或过程中固有的随机性提供了数学模型。
In a probability space, the sample space represents all the possible outcomes of an experiment, which is the foundation of the entireprobability theory. It provides a framework for analyzing uncertainty and making predictions based on statistical data. The set of events in a probability space is crucial for determining the probability of various outcomes and understanding the likelihood of different scenarios. The probability measure assigns a numerical value to each event in the set of events, representing the likelihood of that event occurring. It is a fundamental concept that enables us to quantify uncertainty and make informed decisions.在概率空间中，样本空间代表实验的所有可能结果，这是整个概率论的基础。
随机过程知识点
第一章：预备知识§1.1 概率空间随机试验;样本空间记为Ω..定义1.1 设Ω是一个集合;F 是Ω的某些子集组成的集合族..如果 1∈ΩF ；2∈A 若F ;∈Ω=A A \则F ； 3若∈n A F ; ，，21=n ;则∞=∈1n nAF ；则称F 为-σ代数Borel 域..Ω;F 称为可测空间;F 中的元素称为事件.. 由定义易知：定义1.2 设Ω;F 是可测空间;P ·是定义在F 上的实值函数..如果 则称P 是()F ,Ω上的概率;P F ，，Ω称为概率空间;PA 为事件A 的概率..定义1.3 设P F ，，Ω是概率空间;F G ⊂;如果对任意G A A A n ∈,,,21 ; ,2,1=n 有： (),11∏===⎪⎪⎭⎫⎝⎛ni i n i i A P A P则称G 为独立事件族..§1.2 随机变量及其分布随机变量X ;分布函数)(x F ;n 维随机变量或n 维随机向量;联合分布函数;{}T t X t ∈,是独立的..§1.3随机变量的数字特征定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ;若⎰∞∞-∞<)(||x dF x ;则称)(X E ＝⎰∞∞-)(x xdF为X 的数学期望或均值..上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分..方差;()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差;而 为X 、Y 的相关系数..若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关..Schwarz 不等式若,,22∞<∞<EY EX则§ 1.4 特征函数、母函数和拉氏变换定义1. 10 设随机变量的分布函数为Fx;称为X 的特征函数随机变量的特征函数具有下列性质： 1(0)1,()1,()()g g t g t g t =≤-= 1 2 g t 在()∞∞-, 上一致连续..3()(0)()k k k g i E X =4若12,,,n X X X 是相互独立的随机变量;则12n X X X X =+++的特征函数12()()()()n g t g t g t g t =;其中()i g t 是随机变量X i 的特征函数;1,2,,i n =.定义1 . 11 设 12(,,,)n X X X X =是n 维随机变量;t = 12,,,n t t t ,R ∈ 则称121()(,,,)()[exp()]nitX n k k k g t g t t t E eE i t X '====∑;为X 的特征函数..定义1.12 设X 是非负整数值随机变量;分布列 则称)()(Xdef s E s P =＝k k k s P ∑∞=0为X 的母函数..§ 1.5 n 维正态分布定义1.13 若n 维随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度为 式中;),,,(21n a a a a =是常向量;n n ij b B ⨯=)(是正定矩阵;则称X 为n 维正态随机变量或服从n 维正态分布;记作),(~B a N X ..可以证明;若),(~B a N X ;则X 的特征函数为为了应用的方便;下面;我们不加证明地给出常用的几个结论..性质1 若),(~B a N X 则n l b B a X E kl X X k k l k ,,2,1,,)( ===..性质2 设),(~B a N X ;XA Y =;若BA A '正定;则),(~BA A aA N Y '..即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量..性质3 设),,,(4321X X X X X =是四维正态随机变量;4,3,2,1,0)(==k X E k ;则§ 1.6 条件期望给定Y=y 时;X 的条件期望定义为由此可见除了概率是关于事件｛Y=y ｝的条件概率以外;现在的定义与无条件的情况完全一样..EX|Y=y 是y 的函数;y 是Y 的一个可能值..若在已知Y 的条件下;全面地考虑X 的均值;需要以Y 代替y;EX|Y 是随机变量Y 的函数;也是随机变量;称为 X 在 Y 下的条件期望.. 条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念;下面我们介绍一个极其有用的性质..性质 若随机变量X 与Y 的期望存在;则⎰===)()|()]|([)(y dF y Y X E Y X E E X E Y --------1如果Y 是离散型随机变量;则上式为如果Y 是连续型;具有概率密度fx;则1式为第二章 随机过程的概念与基本类型§2.1 随机过程的基本概念定义2.1 设P F ，，Ω是概率空间;T 是给定的参数集;若对每个t ∈T ;有一个随机变量Xt ;e 与之对应;则称随机变量族}),,({T t e t X ∈是P F ，，Ω的随机过程;简记为随机过程}),({T t t X ∈..T 称为参数集;通常表示时间..通常将随机过程}),,({T t e t X ∈解释为一个物理系统..Xt 表示在时刻t 所处的状态..Xt 的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间;记为I ..从数学的观点来说;随机过程}),,({T t e t X ∈是定义在T ×Ω上的二元函数..对固定的t;Xt ;e 是定义在T 上的普通函数;称为随机过程}),,({T t e t X ∈的一个样本函数或轨道;样本函数的全体称为样本函数的空间..§ 2.2 随机过程的函数特征t X ={Xt ;t ∈T }的有限维分布函数族..有限维特征函数族： 其中：定义2.3 设t X ={Xt ;t ∈T }的均值函数def t m X )()]([t X E ;T t ∈.. 二阶矩过程;协方差函数：T ,)]()([),()(2∈-=t t m t X E def t t B t D X X X相关函数： =),(t s R X )]()([t X s X E定义2.4 设{Xt ;t ∈T };{Yt ;t ∈T }是两个二阶矩过程;互协方差函数;互相关函数..§ 2.3 复随机过程定义 2.5 设},{T t X t ∈;},{T t Y t ∈是取实数值的两个随机过程;若对任意T t ∈ t t t iY X Z +=; 其中 1-=i ;则称},{T t Z t ∈为复随机过程．定理 2.2 复随机过程},{T t X t ∈的协方差函数 ),(t s B 具有性质 1对称性：),(),(s t B t s B =；2非负定性§2.4 几种重要的随机过程一、正交增量过程定义2.6 设(){}T ∈X t t ,是零均值的二阶矩过程;若对任意的,4321T ∈<≤<t t t t 有公式()()[]()()[]03412=X -X X -X E t t t t ;则称()t X 正交增量过程..二、独立增量过程定义2.7 设(){}T ∈X t t ,是随机过程;若对任意的正整数n 和,21T ∈<<<n t t t 随机变量()()()()()()12312,,,-X -X X -X X -X n n t t t t t t 是互相独立的;则称(){}T ∈X t t ,是独立增量过程;又称可加过程..定义 2.8 设(){}T ∈X t t ,是平稳独立增量过程;若对任意,t s <随机变量()()s t X -X 的分布仅依赖于s t -;则称(){}T ∈X t t ,是平稳独立增量过程..三、马尔可夫过程定义2.9设(){}T t t X ∈,为随机过程;若对任意正整数n 及n t t t << ,21;()()0,,)(1111>==--n n x t X x t X P ;且其条件分布()(){}1111,,|)(--===n n n n x t X x t X x t X P =(){}11|)(--==n n n n x t X x t X P ;2.6则称(){}T t t X ∈,为马尔可夫过程..四、正态过程和维纳过程定义 2.10设(){}T t t X ∈,是随机过程;若对任意正整数n 和T t t t ∈∈ ,,21;()() ,,21t X t X ;()n t X 是n 维正态随机变量;则称(){}T t t X ∈,是正态过程或高斯过程..定义 2.11设{}∞<<-∞t t W ),(为随机过程;如果 10)0(=W ；2它是独立、平稳增量过程； 3对t s ,∀;增量()0,||,0~)()(22>--σσs t N s W t W ;则称{}∞<<-∞t t W ),(为维纳过程;也称布朗运动过程..定理 2.3 设{}∞<<-∞t t W ),(是参数为2σ的维纳过程;则 （1） 任意t ),(∞-∞∈;()||,0~)(2t N t W σ； （2） 对任意∞<<<∞-t s a ,;[]),m in())()())(()((2a t a s a W t W a W s W E --=--σ;特别： ()()t s t s Rw ,m in ,2σ=..五、平稳过程定义 2.12 设(){}T t t X ∈,是随机过程;如果对任意常数τ和正整数,n 当T ∈++T ∈ττn n t t t t ,,,,,11 时;()()()()n t t t X X X ,,21与()()()()τττ+X +X +X n t t t ,,,21 有相同的联合分布;则称(){}T t t X ∈,为严平稳过程;也称狭义平稳过程..定义 2.13 设(){}T t t X ∈,是随机过程;如果 1(){}T t t X ∈,是二阶矩过程；2对于任意()()[]=X E =T ∈X t t m t ,常数；3对任意的()()s t R t s R t s -=T ∈X X ,,,;则称(){}T t t X ∈,为广义平稳过程;简称为平稳过程..若T 为离散集;则称平稳过程(){}T t t X ∈,为平稳序列..第三章 泊松过程§３.1 泊松过程的定义和例子定义3.1 计数过程定义3.2 称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数λ＞0的泊松过程;若它满足下列条件 1 X0= 0；2 Xt 是独立增量过程；3 在任一长度为t 的区间中;事件A 发生的次数服从参数λt ＞0的泊松分布;即对任意s;t ＞0;有注意;从条件3知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([..由于;tt X E )]([=λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数;故称λ为此过程的速率或强度..定义3.3 称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数λ＞0的泊松过程;若它满足下列条件 1 X0= 0；2 Xt 是独立、平稳增量过程；3 Xt 满足下列两式：)(}2)()({),(}1)()({h o t X h t X P h o h t X h t X P =≥-++==-+λ 3.2定理3.1 定义3.2与定义3.3是等价的..3.2 泊松过程的基本性质一、数字特征设}0),({≥t t X 是泊松过程;一般泊松过程的有),m in(),(t s t s B X λ=..有特征函数定义;可得泊松过程的特征函数为二、时间间隔与等待时间的分布n W 为第n 次事件A 出现的时刻或第n 次事件A 的等待时间;n T 是第n 个时间间隔;它们都是随机变量..定理3.2 设}0),({≥t t X 是具有参数λ的泊松分布;)1(≥n T n 是对应的时间间隔序列;则随机变量),2,1( =n T n 是独立同分布的均值为λ/1的指数分布..定理3.3 设}1,{≥n W n 是与泊松过程}0),({≥t t X 对应的一个等待时间序列;则n W 服从参数为n 与λ的Γ分布;其概率密度为三、到达时间的条件分布定理3.4 设}0),({≥t t X 是泊松过程;已知在0;t 内事件A 发生n 次;则这n 次到达时间n W W W <<< 21与相应于n 个0;t 上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布..§3.3 非齐次泊松过程定义 3.4 称计数过程{(),0}X t t ≥为具有跳跃强度函数()t λ的非齐次泊松过程;若它满足下列条件：1 (0)0X =；2 ()X t 是独立增量过程；3{()()1}()(){()()2}()P X t h X t t h o h P X t h X t o h λ+-==++-≥=非齐次泊松过程的均值函数为：定理 3.5 设{(),0}X t t ≥是具有均值函数0()()tX m t s ds λ=⎰的非齐次泊松过程;则有 或上式表明{()()}P X t s X t n +-=不仅是t 的函数;也是s 的函数..3.4 复合泊松过程定义3.5 设}0),({≥t t N 是强度为λ的泊松过程;,...}2,1{,=k Y k 是一列独立同分布随机变量;且与}0),({≥t t N 独立;令 则称}0),({≥t t X 为复合泊松过程..定理3.6 设,0)()(1≥∑==t k t x Y t N k 是复合泊松过程;则1..}0),({≥t t X 是独立增量过程；2Xt 的特征函数]}1)([ex p{)()(-=u g t u g Y t X λ;其中)(u g Y 是随机变量1Y 的特征函数；λ是事件的到达率..3若,)(21∞<Y E 则].[)]([],[)]([211Y tE t X D Y tE t X E λλ==第4章 马尔可夫链§4.1 马尔可夫链的概念及转移概率一、马尔可夫键的定义定义1 设有随机过程},{T n X n ∈;若对于任意的整数T n ∈和任意的I i i i n ∈+110,,, ;条件概率满足则称},{T n X n ∈为马尔可夫链;简称马氏链..二、转移概率定义2 称条件概率为马尔可夫链},{T n X n ∈在时刻n 的一步转移概率;其中I j i ∈,;简称为转移概率..定义 3 若对任意的I j i ∈,;马尔可夫链},{T n X n ∈的转移概率)(n p ij 与n 无关;则称马尔可夫链是齐次的;并记)(n p ij 为ij p ..定义4 称条件概率为马尔可夫链},{T n X n ∈的n 步转移概率;定理 1 设},{T n X n ∈为马尔可夫链;则对任意整数n l n <≤≥0,0和I j i ∈,;n 步转移概率)(n ij p 具有下列性质：定义5 设},{T n X n ∈为马尔可夫链;称为},{T n X n ∈的初始概率和绝对概率;并分别称},{I j p j ∈和}),({I j n p j ∈为},{T n X n ∈的初始分布和绝对分布;简记为}{j p 和)}({n p j ..定理2 设},{T n X n ∈为马尔可夫链;则对任意I j ∈和1≥n ;绝对概率)(n p j 具有下列性质：定理3 设},{T n X n ∈为马尔可夫链;则对任意I i i i n ∈,,,21 和1≥n ;有§4.2 马尔可夫链的状态分类一、状态分类假设{,0}n X n ≥是齐次马尔可夫链;其状态空间{0,1,2,}I =;转移概率是,,ij p i j I ∈; 初始分布为{,,}j p i j I ∈ ..定义 4.6 如集合(){:1,0}n ii n n p ≥>非空;则称该集合的最大公约数()()..{:0}n ii d d i G C D n p ==>为状态i 的周期..如1>d 就称i 为周期的;如1=d 就称i 为非周期的..若对每一个不可被d 整除的n ;有()n ii p =0;且d 是具有此性质的最大正整数;则称d为状态i 的周期..引理4.1 如i 的周期为d;则存在正整数M;对一切M n ≥;有()0nd ii p >..定义 对,,S j i ∈记()0{,,1,2,,1|},2n ij n k f P X j X j k n X i n ==≠=-=≥ 4.15称()n ij f 是系统在0时从i 出发经过n 步转移后首次到达状态j 的概率;而()ij f ∞则是在0时从i出发;系统在有限步转移内不可能到达状态j 的概率..我们将()n ij f 和ij f 统称为首达概率又称首中概率..引理1 ()0n ij ij f f ≤≤ n j i ,,∀（2） 首达概率可以用一步转移概率来表示：定义4.7 若ii f =1;则称状态i 为常返的；若ii f <1;则称状态i 为非常返的.. 定义4.8 如∞<i μ;则称常返态i 为正常返的；如∞=i μ;则称常返态i 为零常返的;非周期的正常返态称为遍历状态..从状态是否常返;如常返的话是否正常返;如正常返的话是否非周期等三层次上将状态区分为以下的类型：)(n ij f 与)(n ijp 有如下关系： 定理4.4 对任意状态,i j ;及∞<≤n 1;有()()()()()1.nnn k n k n k k ijijjjij jj k k pfpf p --====∑∑ 4.16引理4.2 }.0,1:{..}0,1:{..)()(>≥=>≥n ii n iif n n D C G p n n D C G二、常返态的性质及其性质定理4.5 状态i 常返的充要条件为∞=∑∞=0n iip4.18如i 非常返;则定理4.7 设i 常返且有周期d;则ind iin d p μ=∞→)(lim . 4.26其中i μ为i 的平均返回时间..当∞=i μ时;0=idμ.推论 设i 常返;则(1) i 零常返0lim )(=⇔∞→n iin p ；2i 遍历()1lim 0n ii n ip μ←∞⇔=>..定理4.8 可达关系与互通关系都具有传递性;即如果j i →;k j →;则k i →； 如果i k ↔;k j ↔;则k i ↔..定理4.9 如i j ↔;则（1） i 与j 同为常返或非常返;若为常返;则它们同为正常返或零常返； （2） i 与j 有相同的周期..§4.3 状态空间的分解定义4.9 状态空间I 的子集C 称为随机闭集;如对任意i C ∈及k C ∉都有0ik p =..闭集C 称为不可约的;如C 的状态互通..马氏链{}n X 称为不可约的;如其状态空间不可约..引理4.4 C 是闭集的充要条件为对任意i C ∈及k ∉C 都有()n ik p =0;n ≥1.. 称状态i 为吸收的;如ii p =1..显然状态i 吸收等价于单点集{}i 为闭集.. 定理4.10 任一马氏链的状态空间I;可唯一地分解成有限个或可列个互不相交的子集12,,,D C C 之和;使得① 每一n C 是常返态组成的不可约闭集..② n C 中的状态同类;或全是正常返;或全是零常返..它们有相同的周期且1jk f =; ,n i k C ∈..③ D 由全体非常返状态组成..自n C 中的状态不能到达D 中的状态.. 定义4.10 称矩阵ij a 为随机矩阵;如其元素非负且每i 有∑jij a ＝1..显然k 步转移矩阵)(k P ＝)(k ij p 为随机矩阵..引理4.5 设C 为闭集;又G ＝)(k ij p ; i ;j ∈C;是C 上所得的即与C 相应的k 步转移子矩阵;则G 仍是随机矩阵..定理4.11 周期为d 的不可约马氏链;其状态空间C 可唯一地分解为d 个互不相交地子集之和;即1,,,d r r S r C G G G r s φ-===≠ 4.31且使得自r G 中任一状态出发;经一步转移必进入1+r G 中其中0G G d =..定理4.12 设{,0}n X n ≥是周期为d 的不可约马氏链;则在定理4.11的结论下有1如只在时刻0,,2,d d 上考虑{}n X ;即得一新马氏链;其转移阵()()()d d ij P p =;对此新链;每一r G 是不可约闭集;且r G 中的状态是非周期的..2如原马氏链 {}n X 常返;{}nd X 也常返..§4.4 )(n ij p 的渐近性质与平稳分布一、)(n ij p 的渐近性质定理4.13 如j 非常返或零常返;则)(lim n ij n p ∞→＝0;I i ∈∀ 4.33推论1 有限状态的马氏链;不可能全是非常返状态;也不可能含有零常返状态;从而不可约的有限马氏链必为正常返的..推论2 如马氏链有一个零常返状态;则必有无限多个零常返状态..定理4.14 如j 正常返;周期为d;则对任意i 及10-≤≤d r 有()lim ()nd r ijij n jd p f r μ+→∞= 4.37 推论 设不可约、正常返、周期d 的马氏链;其状态空间为C;则对一切C j i ∈,;有,(),lim 0,s nd j ijn di j G p μ→∞⎧⎪=⎨⎪⎩如与同属于子集否则， 4.38 其中s d s G C 1－==U 为定理4.11中所给出..特别;如d=1;则对一切,i j 有.1lim )(jn ijn p μ=→∞4.39定理 4.15 对任意状态,,j i 有推论 如{}n X 不可约;常返;则对任意,i j ;有()111lim n k ij n k j p n μ→∞==∑ j μ＝∞时;理解j1μ＝0 定义4.11 称概率分布{,}j j I π∈为马尔可夫链的平稳分布;若它满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥==∑∑∈∈.0,1,j I j i ij I i i j p ππππ 4.41值得注意的是;对平稳分布{,}j j I π∈;有()n j i ij i Ip ππ∈=∑ 4.42定理 4.16 不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布;且此平稳分布就是极限分布1{,}j j I u ∈..推论1 有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布..推论 2 若不可约马尔可夫链的所有状态是非常返或零常返的;则不存在平稳分布.推论3 若{,}j j I π∈是马尔可夫链的平稳分布;则第五章 连续时间的马尔可夫链§5.1连续时间的马尔可夫链定义 5.1 设随机过程{X t;t ≥0};状态空间{,0}n I i n =≥;若对于任意1210n t t t +≤<<<及121,,,n i i i I +∈有= 11{()|()}n n n n P X t i X t i ++== 5.1 则称{X t;t ≥0}为连续时间的马尔可夫链..记5.1式条件概率的一般形式为(,){()|()}ij p s t P X s t j X s i =+== 5.2定义 5.2 若5.2式的转移概率与s 无关;则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率;此时转移概率简记为(,)()ij ij p s t p t = 5.3其转移概率矩阵简记为()(()),(,,0)ij P t p t i j I t =∈≥..以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔柯夫链都具有齐次转移概率..为方便起见;简称为齐次马尔可夫过程..定理5.1.1 齐次马尔可夫过程的转移概率具有以下性质：其中3式为马尔可夫过程的Chapman-Kolmogorov 简称C-K 方程..1;2由概率定义及()ij p t 的定义易知;下面只证明3..定义5.1.3对于任一t ≥0;记分别称{(),}j p t j I ∈和{,}j p j I ∈为齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概率分布..性质5.1.1 齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有以下性质：§5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程引理 5.2.1 设齐次马尔可夫过程满足正则性条件;则对于任意固定的)(,,t p I j i ij ∈是t 的一致连续函数..定理5.3 设)(t p ij 是齐次马尔可夫过程的转移概率;则下列极限存在我们称ij q 为齐次马尔可夫过程从状态i 到状态j 的转移速率或跳跃强度.. 推论 对有限齐次马尔可夫过程;有定理5.4 柯尔莫哥洛夫向后方程假设ik ii k iq q ≠=∑;则对一切,i j 及t 0;有()()()ijik kj ii ij k ip t q p t q p t ≠'=-∑ 5.2.4 定理5.2.3 柯尔莫哥洛夫向前方程在适当的正则条件下定理5.2.4 齐次马尔可夫链过程在t 时刻处于状态j ∈I 的绝对概率()j p t 满足如下方程：定理5.2.5 设马尔可夫过程是不可约的;则有下列性质：1若它是正常返的;则极限lim ()ij t p t →∞存在且等于0,j j I π>∈;这里j π是方程组的唯一非负解;此时称{,j j I π∈}是该过程的平稳分布;并且有2若它是零常返的或非常返的;则§5.3 生灭过程定义 设齐次马尔可夫过程{(),0}X t t ≥的状态空间为{0,1,2,}I =;转移概率为()ij p t ;如果则称{(),0}X t t ≥为生灭过程..其中;i λ称为出生率;i μ称为死亡率..1若,i i i i λλμμ==λ;μ为正常数;则称{(),0}X t t ≥为线性生灭过程；2若0i μ≡;则称{(),0}X t t ≥为纯生过程； 3若0i λ≡;则称{(),0}X t t ≥为纯灭过程..第六章 平稳随机过程§6.1 平稳过程的概念与例子一、平稳过程的定义1.平稳过程定义§6.2 联合平稳过程及相关函数的性质一、联合平稳过程定义 设{(),}X t t T ∈和{(),}Y t t T ∈是两个平稳过程;若它们的互相关函数[()()]E X t Y t τ-及[()()]E Y t X t τ-仅与τ有关;而与t 无关;则称()X t 和()Y t 是联合平稳随机过程..定理6.1 设{(),}X t t T ∈为平稳过程;则其相关函数具下列性质:1 ;0)0(≥X R2 );()(ττ-=X X R R3 );0()(X X R R ≤τ4 )(τX R 是非负定的;即对任意实数12,,,n t t t 及复数12,,,n a a a ;有5 若()X t 是周期为T 的周期函数;即()()X t X t T =+;则)()(t R R X X +=ττ；6 若()X t 是不含周期分量的非周期过程;当∞→τ时;()X t 与()X t τ+相互独立;则 1 );0()0()(),0()0()(22Y X XY Y X XY R R R R R R ≤≤ττ 2 ()()XY YX R R ττ-=§ 6.3 随机分析一、收敛性概念1、处处收敛对于概率空间(,,)P Ω℘上的随机序列{}n X ;每个试验结果e 都对应一序列..12(),(),,(),n X e X e X e 6.2故随机序列{}n X 实际上代表一族6.2式的序列;故不能用普通极限形式来定义随机序列的收敛性..若6.2式对每个e 都收敛;则称随机序列{}n X 处处收敛;即满足 其中X 为随机变量..2、以概率1收敛若使随机序列{()}n X e 满足的e 的集合的概率为1;即我们称二阶矩随机序列{()}n X e 以概率1收敛于二阶矩随机变量Xe;或称{()}n X e 几乎处处收敛于Xe;记作XX ea n −→−...3、依概率收敛若对于任给的ε>0; 若有0}|)()({|lim =≥-∞→εe X e X P n n ;则称二阶矩随机序列{()}n X e 依概率收敛于二阶矩随机变量Xe;记作X X Pn −→−.. 4、均方收敛设有二阶矩随机序列{}n X 和二阶矩随机变量X;若有0]|[|lim 2=-∞→X X E n n 6.3成立;则称{}n X 均方收敛;记作X X sm n −−→−... 注：6.3式一般记为l.i.m n x X X →∞=或..n l i mX X =.. 5、依分布收敛设有二阶矩随机序列{}n X 和二阶矩随机变量X;若{}n X 相应的分布函数列{()}n F x ;在X 的分布函数Fx 的每一个连续点处;有则称二阶矩随机序列{}n X 依分布收敛于二阶矩随机变量X;记作X X dn −→−对于以上四种收敛定义进行比较;有下列关系：1 若X X s m n −−→−.;则X X Pn −→− 2 若XX ea n −→−.;则X X Pn −→−3 若X X Pn −→−;则X X dn −→− 定理2 二阶矩随机序列{}n X 收敛于二阶矩随机变量X 的充要条件为定理3 设{},{},{}n n n X Y Z 都是二阶矩随机序列;U 为二阶矩随机变量;{n c }为常数序列;a;b;c 为常数..令X mX i l n =..;Y mY i l n =..;Z mZ i l n =..;c mc i l n =....则1 c c mc i l n n n ==∞→lim ..；2 U mU i l =..；3 cU U c m i l n =)(..；4 bY aX bY aX m i l n n +=+)(..；5 ]..[][][lim n n n mX i l E X E X E ==∞→；6 )]..)(..[(][][lim ,m n m n m n Y m i l mX i l E Y X E Y X E ==∞→；特别有]|..[|]|[|]|[|lim 222n n n mX i l E X E X E ==∞→..定理4 设{}n X 为二阶矩随机序列;则{}n X 均方收敛的充要条件为下列极限存在][lim ,m n m n X X E ∞→..二、均方连续定义 设有二阶矩过程}),({T t t X ∈;若对0t T ∈;有2000lim [|()()|]0h E X t h X t →+-=;则称()X t 在0t 点均方连续;记作000..()()h l i m X t h X t →+=..若对T 中一切点都均方连续;则称()X t 在T 上均方连续..定理均方连续准则二阶矩过程}),({T t t X ∈在t 点均方连续的充要条件为相关函数处连续在点),(),(21t t t t R X ..推论 若相关函数),(21t t R X 在}),,{(T t t t ∈上连续;则它在T ×T 上连续三、均方导数定义7 设}),({T t t X ∈是二阶矩过程;若存在一个随机过程)(t X ';满足类似的有22)(dtXd t X 或'' 称为),(21t t R X 在12(,)t t 的广义二阶导数;记为定理6 均方可微准则 二阶矩过程}),({T t t X ∈在t 点均方可微的充要条件为相关函数),(),(21t t t t R X 在点的广义二阶导数存在..推论1 二阶矩过程}),({T t t X ∈在T 上均方可微的充要条件为相关函数),(21t t R X 在}),,{(T t t t ∈上每一点广义二阶可微..推论2 若),(21t t R X 在}),,{(T t t t ∈上每一点广义二阶可微;则()X dm t dt在T 上以及在T T ⨯上存在;且有四、均方积分定义8 如果0n ∆→时;n S 均方收敛于S ;即2lim ||0n n E S S ∆→-=;则称()()f t X t 在[,]a b 上均方可积;并记为定理7 均方可积准则()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积的充要条件为存在..特别的;二阶矩过程()X t 在[,]a b 上均方可积的充要条件为12(,)X R t t 在[,][,]a b a b ⨯上可积..定理8 设()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积;则有 1 [()()]()[()]bbaaE f t X t dt f t E X t dt =⎰⎰特别有 [()][()]bbaaE X t dt E X t dt =⎰⎰2 111222121212[()()()()]()()(,)bb bbX aaaaE f t X t dt f t X t dt f t f t R t t dt dt =⎰⎰⎰⎰特别的有 21212|()|(,)bbbX aaaE X t dt R t t dt dt =⎰⎰⎰..定理9 设二阶矩过程}),({T t t X ∈在[,]a b 上均方连续;则在均方意义下存在;且随机过程}),({T t t X ∈在[,]a b 上均方可微;且有()()Y t X t '=.. 推论 设()X t 均方可微;且()X t '均方连续;则 特别有§4 平稳过程的各态历经性定义9 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程;则分别称为该过程的时间均值和时间相关函数..定义10 设{(),}X t t -∞<<∞是均方连续的平稳过程;若()Pr.1(())X t E X t <>;即 以概率1成立;则称该平稳过程的均值具有各态历经性..若()()Pr.1(()())X t X t E X t X t ττ<->-;即以概率1成立;则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性..定义11 如果均方连续的平稳过程{(),}X t t T ∈的均值和相关函数都具有各态历经性;则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性..定理 10 设{(),}X t t -∞<<∞是均方连续的平稳过程;则它的均值具有各态历经性的充要条件为2221lim 1[()]022T X X T T R m d T T τττ-→∞⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎰ 6.9 定理6.11 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程;则其相关函数具有各态历经性的充要条件为2211121lim1()()022TX T T B R d T T ττττ-→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ 6.15 其中111()()()()()B E X t X t X t X t τττττ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦6.16 定理6.12 对于均方连续平稳过程{(),0}X t t ≤<∞;等式以概率1成立的充要条件为若()X t 为实平稳过程;则上式变为定理 6.13 对于均方连续平稳过程{(),0}X t t ≤<∞;等式 以概率1成立的充要条件为 其中1()B τ与6.16式相同..若()X t 为实平稳过程;则上式变为第七章 平稳过程的谱分析§7.1 平稳过程的谱密度设)(t X 是均方连续随机过程;作截尾随机过程因为()t X T 均方可积;故存在傅式变换(,)()()i ti t x T T T F T X t e dt X t e dt Tωωω--∞==-∞-⎰⎰…………..7.4利用帕塞伐公式及傅式反变换;可得定义7.1 设 {}∞<<-∞t t X ),( 为均方连续随机过程;称 为 )(t X 的平均功率;称为 )(t X 的功率谱密度;简称谱密度..当 )(t X 是平稳均方连续函数时;由于[])(2t X E 是与t 无关的常数;利用均方积分的性质可以将7.5式简化得()221()()02limx T T E X t dt E X t R T T →∞⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦-⎰ ……….. 7.8 由7.8式和7.5式看出;平稳过程的平均功率等于该过程的均方值;或等于它的谱密度在频域上的积分;即()212X S d ψωωπ∞=-∞⎰ ………………. 7.9定义7.2 设{,0,1,2,}n X n =±±是平稳随机序列;若相关函数满足()X n R n ∞=-∞<∞∑则称为{,0,1,2,}n X n =±±的谱密度..§7.2谱密度的分析设 {}∞<<-∞t t X ),( 为均方连续平稳过程;)(τX R 为它的相关函数;()ωX S 为它的频率谱密度;()ωX S 具有下列性质： （1） 若()∞<∞-∞⎰ττd R X ;则()ωX S 是)(τX R 的傅式变换;即()()i t X X S R e d ωωττ-∞=-∞⎰ ………. 7.122 ()ωX S 是ω的实的;非负的偶函数..3 当 ()ωX S 是ω有理函数时;其形式必为其中22,(0,2,,2;2,4,,2)n i m j a b i n j m --==为常数;且20n a >;m n >;分母无实根..§7.3 窄带过程及白噪声过程的功率谱密度定义 1 设 (){},X t t -∞<<∞为实值平稳过程;若它的均值为零;且谱密度在所有频率范围内为非零的常数;即()()0X s N ωω=-∞<<∞则称()X t 为白噪声过程..具有下列性质的函数称为δ函数：δ函数有一个非常重要的运算性质;即抽样性质..对任何连续函数()f x ;有()()()0,f x x dx f δ∞-∞=⎰7.15或()()().f x x T dx f T δ∞-∞-=⎰§7.4 联合平稳过程的互谱密度定义7.4 设()X t 和()Y t 是两个平稳过程;且它们是联合平稳的平稳相关的;若它们的互相关函数()XY R τ满足()XY R d ττ∞-∞<∞⎰;则称()XY R τ的傅氏变换 ()()i XY XY s R ed ωτωττ∞--∞=⎰ ………………….7.21 是()X t 与()Y t 的互功率谱密度;简称互谱密度.. 因此互谱密度()YX s ω与互相关函数()YX R τ的关系如下：()()i YXYXs R e d ωτωττ∞--∞=⎰; 互谱密度具有下列性质：⑴ ()()XY YX s s ωω=;即()XY s ω与()YX s ω互为共轭；⑵ ()Re XY s ω⎡⎤⎣⎦和()Re YX s ω⎡⎤⎣⎦是ω的偶函数;而()Im XY s ω⎡⎤⎣⎦和()Im YX s ω⎡⎤⎣⎦是ω的奇函数；⑶ ()XY s ω与()X s ω和()Y s ω满足下列关系式： ⑷若()X t 和()Y t 相互正交;则()()0XY YX s s ωω==。
伊藤清概率论第一章
例如，由 R 的全体区间构成的族所生成的完全加法族为 Borel
集合族．再如，端点为有理数的全体区间构成的族也生成同一
个 Borel 集合族．R 上的完全加法族有很多种，但是 Borel 集合
族是最有用的一个．
将空间 Ω 与其子集构成的一个完全加法族 F 结合来考虑
时，所产生的序偶 (Ω, F ) 称为可测空间. 然而，当 Ω = R 时，通
4 第 1 章 概率论的基本概念
的测度 P ，称为 (Ω, F ) 上的概率测度. 对于 E ∈ F ，称 P (E) 为 E 的概率或 E 的P -测度.
将 Ω, F , P 一起考虑时，所产生的序偶 (Ω, F , P ) 称为概 率空间.
§2 概率空间的实际意义
针对想理解后面出现的定理含义的读者，这里有必要对前 一节定义的抽象概率空间在实际随机现象研究中的应用加以说 明，仅对推理感兴趣的读者另当别论.
k=1
3◦ 属于 F 的集合的余集也属于 F ，即若 E ∈ F ，则
2 第 1 章 概率论的基本概念
Ω−E ∈ F．
利用这三个条件，我们可以推出下列结论.
4◦ 空集 (今后用 ∅ 表示) 也属于 F ．事实上，在 3◦ 中取
E = Ω 即可.
∞
5◦ 如果 E1, E2, E3, · · · ∈ F , 则 Ek ∈ F .
这个等式称为有限可加性. 以此类推，仅依靠形式的推理是不能导出完全可加性的. 将
概率的完全可加性作为基础来假设，是数学上的理想化模式. 你 渐渐地便能理解这种理想化不是与实际相悖的，反而是与其一 致的.
综合以上三个步骤的分析便获得概率空间 (Ω, F , P ).
§3 概率测度的简单性质
认识简单的概率分析样本空间与事件概率
认识简单的概率分析样本空间与事件概率概率论是一门研究不确定性事物的数学学科，通过对事件的概率进行分析和计算，可以帮助人们更好地理解和处理各种随机事件。
在概率论中，样本空间和事件概率是两个重要的概念，对于初学者来说，了解和掌握它们的概念和计算方法是入门的基础。
一、样本空间的概念与计算样本空间指的是一个随机试验中所有可能结果的集合。
比如，掷一枚骰子的样本空间可以表示为S={1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中每个元素表示一个可能的结果。
另一个例子是从一副扑克牌中随机抽取一张牌的样本空间可以表示为S={红桃A，黑桃A，方块A，梅花A，红桃2，黑桃2，...，方块K，梅花K}。
在实际问题中，样本空间的元素可以是有限个，也可以是无限个。
计算样本空间的大小，也就是元素的个数，对于有限样本空间来说很简单，只需要数一数即可。
而对于无限样本空间，可以通过某种规律来确定个数。
比如掷骰子的样本空间，可以通过骰子的面数来确定，即样本空间大小为骰子面数的个数。
而抽取扑克牌的样本空间，则可以通过扑克牌的排数和每个排的牌数来确定，即样本空间大小为排数乘以每个排的牌数。
二、事件概率的概念与计算事件是指样本空间的一个子集，它表示了我们对试验结果的某种关注或者要求。
事件的概率是用来度量该事件发生的可能性大小。
在计算事件概率时，我们通常使用两种方法：古典概率和统计概率。
1. 古典概率：在古典概率中，假设试验的可能结果是等可能的，即每个结果发生的概率相等。
如果事件A包含了m个等可能结果中的n个结果，那么事件A的概率P(A)可表示为P(A)=n/m。
例如，掷一枚骰子，求出现奇数的概率。
由于骰子有六个面，其中有三个是奇数，所以事件A（出现奇数）的概率为P(A)=3/6=1/2。
2. 统计概率：在统计概率中，根据大量试验的结果来计算事件发生的概率。
通过频率的方式来估计概率。
例如，抛硬币的样本空间为S={正面，反面}，相应的事件A（出现正面）发生的概率可以通过多次抛掷硬币，并统计出正面朝上的次数与总次数的比值来估计。
条件概率 测度论
条件概率测度论
条件概率和测度论是概率论的两个重要概念。
条件概率是指在某个条件或限制下，某一事件发生的概率。
测度论则是概率论的基础，它定义了概率空间和事件集合，并给出了概率测度的性质和运算规则。
在测度论中，概率空间是一个三元组（Ω，F，P），其中Ω是一个样本空间，F是Ω上的一个σ代数，P是一个定义在F上的概率测度。
事件集合是由F中的元素构成的，每个元素都对应一个事件。
概率测度P给出了每个事件发生的概率。
条件概率是在某个已知条件下，某个事件发生的概率。
在测度论中，条件概率可以通过转移测度来定义。
转移测度是将一个概率测度从原来的样本空间Ω映射到另一个样本空间的一个函数。
在条件概率的定义中，转移测度的作用是将原来的概率测度P映射到一个新的概率测度P'上，使得P'满足条件概率的定义。
通过测度论和条件概率的定义，我们可以进一步探讨概率论中的其他概念，例如随机变量、分布函数、期望、方差等。
这些概念在概率论中有着广泛的应用，可以用于解决各种不确定性和风险问题。
概率的基本概念与性质
概率的基本概念与性质概率是数学中一个非常重要的概念，在我们日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
本文将介绍概率的基本概念和其性质，以帮助读者对概率有更深入的了解。
一、概率的概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0到1之间的数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
在概率理论中，把某个随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间Ω，包含于样本空间Ω的每一个结果称为样本点。
设A是样本空间Ω中的一个事件，则A的概率P(A)是指事件A发生的可能性大小。
二、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，概率值P(A)大于等于0。
2. 规范性：对于样本空间Ω，其概率值为1，即P(Ω)=1。
3. 容斥性：对于两个事件A和B，概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
4. 加法性：对于两个互斥事件A和B（即事件A和B不可能同时发生），概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
5. 频率解释：概率可以通过重复试验的频率来估计。
当试验重复次数趋于无穷大时，某个事件发生的频率将接近其概率值。
三、计算概率的方法1. 古典概率：适用于每一个样本点发生的可能性相等的情况。
即P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间Ω中的样本点数。
2. 几何概率：适用于具有几何结构的问题。
概率可以通过几何图形的面积、长度或体积来计算。
3. 统计概率：通过统计数据来计算概率，具体包括频率概率和条件概率。
四、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率可以通过求解P(A∩B)/P(B)得到。
五、独立事件两个事件A和B是独立的，当且仅当事件A的发生不依赖于事件B的发生。
对于独立事件，乘法公式可以表示为P(A∩B)=P(A)P(B)。
六、贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算反向概率，即在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
向量、矩阵、微分、概率基本概念__解释说明
向量、矩阵、微分、概率基本概念解释说明1. 引言1.1 概述在现代科学和工程领域中，向量、矩阵、微分和概率是四个基本且重要的数学概念。
它们是数学在实际问题中的应用基础，为解决复杂的问题提供了有力的工具和方法。
理解这些基本概念对于深入研究各自领域以及相关交叉学科的知识都是至关重要的。
1.2 文章结构本文将分为六个部分来讨论向量、矩阵、微分和概率这四个基本概念。
首先，在引言部分，我们将对这四个概念进行简单介绍，并介绍文章接下来要探讨的内容。
然后，我们会依次详细讲解向量、矩阵、微分和概率的基本概念，并通过定义、表示以及运算法则等方面进行说明。
最后，我们会得出一些结论，并给出文章总结。
1.3 目的本文的目标是向读者介绍向量、矩阵、微分和概率这四个基本数学概念以及它们在实际问题中的重要性。
通过深入理解它们的定义、运算规则和应用场景，读者可以建立起扎实的数学基础，并能够运用这些概念解决实际问题。
同时，本文还旨在拓宽读者对于数学领域的知识视野，为进一步研究和探索提供基础和动力。
2. 向量基本概念：2.1 定义与表示:向量是由一组有序的数值构成的实体，通常用箭头在上方标记。
一个二维向量可以表示为(x, y)，其中x 和y 是实数。
同样地，一个三维向量可以表示为(x, y, z)，其中x、y 和z 也是实数。
一般地，n 维向量可以表示为(x1, x2,..., xn)。
2.2 向量运算:向量之间可以进行多种运算，包括加法和数量乘法。
- 向量加法：将相同位置上的元素相加。
例如，如果有两个二维向量A = (a1, a2) 和B = (b1, b2)，它们的和就是C = A + B = (a1+b1, a2+b2)。
- 数量乘法：将一个向量的每个元素都乘以一个常数。
例如，对于二维向量A = (a1, a2) 和常数c，数量乘积就是D = cA = (ca1, ca2)。
2.3 线性相关与线性无关:当存在不全是零的常数k1、k2、...、kn 使得k1A₁+ k₂A₂+ ... + knAn = 0 成立时，称向量组A₁、A₂、...、An 是线性相关的。
随机过程第一章 预备知识及补充
n
PAn,i.o. P(A) 0
命题 1.3（波莱尔－坎泰利（Borel-Cantelli）第二引理）：如果An , n 1 为独立的事件
序列，使得 P( An ) ，则 n1
PAn,i.o. 1
第一引理证明：
根据定义 1.4 对事件序列An , n 1 上极限的定义可知，因为样本点 在无穷多个事件
n1
n1
假定一些事件组成了一个可数的集合，那么这集合中的至少一个事件发生的概率不大于每个事件
发生的概率的和。）；
当 An , n 1, 2,两两互不相容时，则 P( An ) P( An ) ；
n1
n1
概率函数 P 的一个重要性质是连续性，为了更精确地阐明这一性质，需要引进极限事
件的概念。定义如下：
An , n 1发生，则在 An ,k 1也同样发生，从而在
An 亦发生；另一方面，如果
nk
k 1 nk
样本点 在
An ，则对于 k 1， 在 An 发生，从而对于 k 1至少有一个 n k ，
k 1 nk
nk
即 n k ，使得 在 An 发生，因此有 在无穷多个 An 发生。
若 An An1, n 1，称事件序列An , n 1 为递增的；
当 An An1, n 1，则事件序列An , n 1 为递减的。
如果
An
,
n
1
是一递增的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为
lim
n
An
：
lim
n
An
Ai ；
i 1
如果
An
,
n
1
是一递减的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为
第1节、概率空间 随机变量
x
结束
§1 概率空间 随机变量
§1
概率空间 随机变量
例6. 向（0,1）区间上随机地掷一个点。按例3，Ω= （0,1）。规定函数X(w) =w，0<w<1。这样,X(w)是(Ω, F, P)上 的随机变量。 既然对任意一个实数x，有 ( : X () x) F ，那么对Ω的就子 集 ( : X () x) 可以讲概率。 定义： 设(Ω, F, P)是概率空间，而X=X(w)是(Ω, F, P)上的 随机变量。对任意一个实数x，有概率
F {w1 , w2 ,, w6（ , w1 , w2） （ , w1 , w3） ,（ , w5 , w6） （ , w1 , w2 , w3） ,（ , w4 , w5 , w6） , （w1 , w2 , w3 , w4） ,（ , w3 , w4 , w5 , w6） （ , w1 , w2 , w3 , w4 , w5） ,（ , w2 , w3 , w4 , w5 , w6） , （w1 , w2 , w3 , w4 , w5 , w6） }
三、随机变量及其概率分布
在随机试验中，若存在一个变量，它依试验出现的结果改 变而取不同的数值，则称此变量为随机变量。由于随机试验出 现的结果带有随机性，因而随机变量的取值也带有随机性。从 数学角度看，样本空间Ω中每一个样本点w（试验可能结果）对 应有一个数X(w)，这就是随机变量；或者说随机变量是定义在 样本空间Ω上的函数。但是，对这个函数需要有一些要求。
2.1 概率空间
A与B的并(和).表示事件A,B至少有一个出现.
( 3) A B( AB), A与B的交(积).表示事件A和B同时出现. (4) A B , 表示事件A和B不能同时出现,称A与B互斥
（或互不相容）. (5) A B , 且A B .
f
b, a, s.t. b f a
双射（既是单射，又是满射，也称一一映射）
原像集 像集
f
从直觉上说，能建立双射关系的两个 集合，其所含元素的“个数”一样多。
可数和不可数的定义
凡是能和自然数集合或者自然数集合的 一个子集建立双射关系的集合称为可数 集合；否则称为不可数集合。 可数和不可数是人类认识“无穷”所产 生的概念，是对无穷的分类。 已经证明连续的区间，和实数集等都是 不可数集合：[1,2],(0.1,0.5),R,等等
k 1 k 1 n n
5. 6.
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
A, B B P( A \ B) P( A) P( AB) 若B A P( A B) P( A) P(B)
若A B, 则P( A) P(B) （单调性）
证明顺序： 4 1 2 3 4 6 4， 5 6 当然，也可以用别的顺序，只要别循环证明即可。
P ( A) 1 P ( A ) 1
4=>6 性质6 设A,B是两个事件, 若AB, 则有 P(BA)=P(B)P(A) P(B)P(A) 证： 由AB知B=A(BA)(测度), 且A(BA)=, 再 由概率的有限可加性, 得 P(B)=P(A)+P(BA), 又由非负性, P(BA)0 知 P(B)P(A).
i 1
简述样本空间和概率的定义
简述样本空间和概率的定义在概率论中，样本空间和概率是两个重要的概念。
样本空间是指所有可能的结果的集合，而概率则是指某个事件发生的可能性大小。
下面将对这两个概念进行详细的解释。
样本空间样本空间是指所有可能的结果的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间就是{正面，反面}，掷一个骰子的样本空间就是{1，2，3，4，5，6}。
样本空间通常用S表示，其元素称为样本点。
为了更好地理解样本空间，我们可以考虑一些实际问题。
例如，在一场足球比赛中，可能的结果是主队胜、客队胜或平局。
这些结果的集合就是该比赛的样本空间。
样本空间是概率论中的基础概念，它是其他概念如事件、概率等的基础。
在进行概率计算时，我们通常需要将问题转化为样本空间中的事件，并计算这些事件发生的概率。
概率概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生，而0.5表示发生和不发生的可能性相等。
概率的计算方法有多种，其中最常用的是经典概型和统计概型。
经典概型适用于样本空间中所有元素的概率相等的情况，例如掷一个公正的骰子。
在这种情况下，我们可以通过计算事件发生的有利结果数与样本空间大小的比值来计算概率。
统计概型则适用于样本空间中各元素的概率不等的情况，例如抛一枚硬币。
在这种情况下，我们可以通过实验来估计概率，即将事件发生的次数除以实验总次数。
除了经典概型和统计概型，概率还有条件概率、贝叶斯公式、期望等概念。
这些概念在实际问题中都有广泛的应用，例如在医学诊断、金融风险评估、机器学习等领域中都有重要的作用。
总结样本空间和概率是概率论中的基础概念，样本空间是所有可能结果的集合，而概率是某个事件发生的可能性大小。
概率的计算方法有多种，其中最常用的是经典概型和统计概型。
这些概念在实际问题中都有广泛的应用，是概率论中必不可少的概念。
1-5概率空间
例
P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率. 解：因为A、B、C 都不出现的概率为
P( ABC) = 1− P( A∪ B ∪C)
= 1−P(A)−P(B)−P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)−P(ABC) = 1−1/4−1/4−1/4+0+1/6+1/6−0 =1−5/12 = 7/12
若 Ai ∈ F , i = 1, 2 ,... 且两两互不相容，则 P ( U Ai ) =
n =1 ∞
∑ P( A )
i =1 i
∞
概率的性质
性质1 性质1 P(φ)=0. 性质2 (有限可加性 性质2 (有限可加性) 有限可加性)
性质3 (对立事件公式 性质3 (对立事件公式)
P( A) = 1 − P( A)
利用数学归纳法证明
匹配问题） 封信， 只信封， 例（匹配问题 某人写好 封信，又写好 只信封， 匹配问题 某人写好n封信 又写好n只信封 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中， 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少 有一封信放对的概率。 有一封信放对的概率。 解：记Ai={第i封信与信封符合}，则所求事件为 A1 U A1 U L U An
i =1 i =1 k k
古典概率的性质： 古典概率的性质： (1)非负性 对任一事件 有 非负性: 对任一事件A,有 非负性 0≤P(A) ≤1 (2)规范性 对必然事件Ω,有 P(Ω)=1 规范性: 规范性 对必然事件Ω 有 Ω (3)有限可加性 若事件 1, A2, …, An 有限可加性: 若事件A 有限可加性 两两互斥,则 两两互斥 则
概率的基本概念及计算方法
概率的基本概念及计算方法概率是概念和事件发生的可能性的度量，是数学和统计学中的一个重要内容。
概率理论在许多领域中有着广泛的应用，包括自然科学、社会科学、经济学等。
本文将介绍概率的基本概念和计算方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机现象结果发生可能性的数值。
在概率论中，我们将一个事物的可能结果称为样本点，而样本点的集合称为样本空间。
概率可以用数值来表示，其取值范围在0到1之间。
在概率论中，还有两个重要的概念：事件和随机变量。
事件是样本空间的子集，代表了一组可能发生的结果。
而随机变量是样本空间到实数集的映射。
通过对事件和随机变量的操作，我们可以进行概率的计算和推理。
二、概率的计算方法1. 古典概率古典概率也叫经典概率，适用于对实验结果有明确了解且等可能发生的情况。
计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A包含的样本点数；n(S)表示样本空间的样本点数。
2. 频率概率频率概率是通过实验统计结果得出的概率。
计算公式为：P(A) = lim(N(A)) / N其中，P(A)表示事件A发生的概率；N(A)表示事件A发生的次数；N表示总实验次数。
3. 主观概率主观概率是通过主观判断和个人经验得出的概率。
它是根据个人的观点和信念进行估计的，通常没有具体的计算公式。
三、概率的性质和运算法则1. 互斥事件的概率如果事件A和事件B是互斥事件（即两个事件不可能同时发生），则它们的概率满足以下公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)2. 独立事件的概率如果事件A和事件B是独立事件（即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生），则它们的概率满足以下公式：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)3. 对立事件的概率如果事件A和事件A'是对立事件（即两个事件中一个发生，则另一个必然不发生），则它们的概率满足以下公式：P(A) + P(A') = 1四、概率的应用概率理论在各个领域中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 游戏和赌博：概率理论可以帮助我们计算赌博游戏中的胜率，并根据概率制定相应的策略。
学习统计学和概率的基础知识
学习统计学和概率的基础知识统计学和概率是现代社会中非常重要的两个学科，广泛应用于各个领域，例如金融、医学、社会科学等等。
在数据驱动的时代，掌握这两门学科的基础知识变得越来越必要。
本文将介绍学习统计学和概率的基础知识的步骤以及需要掌握的一些重要概念。
一、步骤1. 熟悉数学基础知识：统计学和概率都需要涉及到一些基础的数学知识，比如微积分、线性代数、数理统计等等。
如果你对这些基础数学知识不熟悉，那么就需要首先学习这些知识。
2. 学习概率论：概率论是指描述随机事件发生的程度的数学理论。
在学习概率论时，需要了解概率空间、概率分布、期望、方差等一些概念。
推荐书籍：《概率论与随机过程》、《概率论基础》。
3. 学习数理统计学：数理统计学是指利用数学方法来描述和分析数据的学科。
在学习数理统计学时，需要掌握抽样方法、参数估计、假设检验等概念。
推荐书籍：《数理统计学教程》、《现代数理统计学基础》。
4. 建立实践经验：学习统计学和概率需要掌握实践技能，通过实践来掌握这些技能非常必要。
可以通过一些数据科学竞赛来进行实践，例如Kaggle、天池等等。
二、重要概念1. 随机变量：随机变量是指在随机试验中可能出现的所有结果构成的集合，并且随机变量可以用数值来表示。
2. 概率分布：概率分布是指随机变量所有可能取值及其发生的概率。
3. 标准差：标准差是指一组数据的离散程度的度量。
标准差越大，表示数据分散程度越大。
4. 均值：均值是指一组数据的平均数，可以用来表示数据的集中程度。
5. 假设检验：假设检验是指在给定一个样本时，判断这个样本是否来自于一个已知的总体分布。
三、总结学习统计学和概率需要一定的数学基础，但不必过于强调数学符号推导等方面，最重要的是掌握核心概念和实践技能。
在学习过程中需要多加实践，掌握这些技能非常有用。
由于统计学和概率在各个领域都有广泛应用，掌握这些知识能够给我们带来更多更广阔的机会。
概率空间定义
概率空间定义
概率空间是由三个部分组成的数学结构，用于描述随机试验的所有可能结果及其发生的概率。
其中包括：样本空间，事件集合和概率函数。
样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合。
例如，掷一个骰子的样本空间就是{1,2,3,4,5,6}。
事件集合是样本空间的子集，表示随机试验中可能发生的事件。
例如，掷骰子出现偶数的事件集合为{2,4,6}。
概率函数是定义在事件集合上的函数，将每个事件映射到一个实数，表示该事件发生的概率。
概率函数必须满足三个公理：非负性、规范性和可列可加性。
利用概率空间，我们可以计算事件的概率，从而进行概率推断和统计学分析。
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证 1)
P Ω
eλ λk eλ λk 1
kΩ
k!
k0 k!
2) 因 λ 0，对k 有 eλ λk 0, k!
概率空间
0 P( A) eλ λk eλ λk 1;
kA
k! kΩ
k!
3) 设
Ai F, (i 1,2,), Ai Aj ,(i j),
有
P
样本空间为
Ω {1,2,, n}
构造如下事件:
Ak,s Ak As k, s 1,2,, n,
Ai,k,s Ai Ak As i, k, s 1,2,, n
………
概率空间
A A A A i1 ,i2 ,,in1
i1
i2
in1
(i1 , i2 ,, in1 1,2,, n)
可验证集族 { , , Ak , Ak,s ,, Ai1 ,i2 ,,in1 }
Ω {x : x R1} R1
则R1的子集全体：,,Ω单点集{ x }，一切开的, 闭的，半开闭区间等组成的集族F是一个代数.
另外，令 A1 x : x 0={出现正误差} A2 x : x 0={出现负误差}
概率空间
则 F , A1, A2,Ω 为一个σ代数.
注：对同一研究对象的同一试验, 试验目的 不同, 其样本空间和σ代数的结构会不同.
(3) 若 Ai F ,(i 1则,2,), （对可列并运算封闭）
Ai F
i 1
σ可加
称F 为Ω的一个σ-代数（事件体）, F 中的集
合称为事件.
概率空间
Ex.1 在编号为1,2, …, n 的 n个元件中取一件.
1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为 Ak {k} (k 1,2,, n)
定义在F上的实值集函数P(A), 满足
1) 非负性：对 A F, 0 P( A) 1;
2) 规范性:P(Ω) = 1;
概率空间
3) 完全可加性,对
Ai F, i 1,2,; Ai Aj , i j;
有
P Ai P( Ai )
i1 i1
称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A
组成一个σ代数.
2. 考虑元件是正品或次品，则基本事件为
A1={取到正品}, A2={取到次品}
则 F {, A1,为A2一,Ω个}σ代数. 通常称F { , A, A, Ω }是由A产生的
最简单代数.
概率空间
Ex.2 测量一个零件,考虑其测量结果与实 际长度的误差.
基本事件为{x},样本空间为
i 1
Ai
k i 1
eλ
kAi
λk k!
i 1
P( Ai ).
概率空间
三、乘积样本空间
设A 和 B 是两个集合，称
A B (x, y) : x A, y B
为A与B 的积集. 定义 设随机试验Ei , i=1,2, …n的样本空间 分别为Ωi ,i=1,2, …n,称 Ω1×Ω2×…×Ωn={(ω1, ω2…, ωn) , ωi ∈ Ωi i=1, 2, …, n}
有 ω=(T, i) ∈Ω, ω= (H, i) ∈Ω, i=1,2, …,6.
概率空间
Ex.4 n次独立重复抛一枚均匀硬币试验E 的样本空间为
Ωn={(ω1, ω2…, ωn) , ωi ∈ Ω, i=1, 2, …, n}
=Ω×Ω×…×Ω=Ωn
称为Ω的n维 乘积空间.
如 (T, T, H) ∈Ω3, (H, T, H) ∈Ω3.
i 1
3. 对有限并,有限交封闭:若
Ai F , i 1,2,, n
则
n
n
Ai F, 或 Ai F
i 1
i 1
概率空间
4.对差运算封闭,即若 A F, 则B F, . A B F
A B ABF
二、概率的公理化定义 柯氏公理体系是现代概率论的基石.
定义(概率)：设(Ω, F )是一可测空间,对 A F
定义 (可测空间) 样本空间Ω和σ代数的二 元体(Ω, F) 称为可测空间.
可测空间有如下性质： 1. F ( );
2.对可列交运算封闭. 若 Ai F (i 1,2,),
概率空间
Ai F
i 1
证
因
Ai Ai ,
Ai F Ai F
i1 i1
Ai F Ai F
i 1
概率空间
§0.0 概率空间
一、随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何
概率等定义，有如下问题：
对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每 一个子集(事件)都能确定概率?
概率空间
定义 (σ代数)：设随机试验E 的样本空间为
Ω,F 是Ω的子集组成的集族，满足 (1) Ω∈F ;
(2)若A∈F,则 A .（F对逆运算封闭）
的概率. 三元体(Ω, F , P)称为概率空间. Ex.3 设某路口到达的车辆数为m,基本事
件为{m},样本空间 Ω 0F,1是,2Ω,的, 一切子集
组成的集族，则F是一个σ代数.
概率空间
令 P(φ)=0, 并对A∈F 令
P( A) eλ λk ,
kA k!
λ 0
证明P为可测空间(Ω,F)上的概率测度.
为乘积样本空间.
概率空间
Ex.3 设抛一枚均匀硬币试验E1的样本空 间为
1 {T, H}
掷一颗均匀硬币骰子试验E2的样本空间为
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
先掷一颗均匀硬币骰子,再抛一枚均匀硬币 试验的样本空间可设为
Ω=Ω1×Ω2={(ω1,ω2) , ωi ∈ Ωi i=1, 2}