概率空间概念
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概率空间
§0.0 概率空间
一、随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何
概率等定义，有如下问题：
对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每 一个子集(事件)都能确定概率?
来自百度文库
概率空间
定义 (σ代数)：设随机试验E 的样本空间为
Ω,F 是Ω的子集组成的集族，满足 (1) Ω∈F ;
(2)若A∈F,则 A .（F对逆运算封闭）
(3) 若 Ai F ,(i 1则,2,), （对可列并运算封闭）
Ai F
i 1
σ可加
称F 为Ω的一个σ-代数（事件体）, F 中的集
合称为事件.
概率空间
Ex.1 在编号为1,2, …, n 的 n个元件中取一件.
1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为 Ak {k} (k 1,2,, n)
定义 (可测空间) 样本空间Ω和σ代数的二 元体(Ω, F) 称为可测空间.
可测空间有如下性质： 1. F ( );
2.对可列交运算封闭. 若 Ai F (i 1,2,),
概率空间
Ai F
i 1
证
因
Ai Ai ,
Ai F Ai F
i1 i1
Ai F Ai F
i 1
定义在F上的实值集函数P(A), 满足
1) 非负性：对 A F, 0 P( A) 1;
2) 规范性:P(Ω) = 1;
概率空间
3) 完全可加性,对
Ai F, i 1,2,; Ai Aj , i j;
有
P Ai P( Ai )
i1 i1
称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A
i 1
Ai
k
Ai
eλ
λk k!
i 1
i 1
eλ
kAi
λk k!
i 1
P( Ai ).
概率空间
三、乘积样本空间
设A 和 B 是两个集合，称
A B (x, y) : x A, y B
为A与B 的积集. 定义 设随机试验Ei , i=1,2, …n的样本空间 分别为Ωi ,i=1,2, …n,称 Ω1×Ω2×…×Ωn={(ω1, ω2…, ωn) , ωi ∈ Ωi i=1, 2, …, n}
证 1)
P Ω
eλ λk eλ λk 1
kΩ
k!
k0 k!
2) 因 λ 0，对k 有 eλ λk 0, k!
概率空间
0 P( A) eλ λk eλ λk 1;
kA
k! kΩ
k!
3) 设
Ai F, (i 1,2,), Ai Aj ,(i j),
有
P
组成一个σ代数.
2. 考虑元件是正品或次品，则基本事件为
A1={取到正品}, A2={取到次品}
则 F {, A1,为A2一,Ω个}σ代数. 通常称F { , A, A, Ω }是由A产生的
最简单代数.
概率空间
Ex.2 测量一个零件,考虑其测量结果与实 际长度的误差.
基本事件为{x},样本空间为
Ω {x : x R1} R1
则R1的子集全体：,,Ω单点集{ x }，一切开的, 闭的，半开闭区间等组成的集族F是一个代数.
另外，令 A1 x : x 0={出现正误差} A2 x : x 0={出现负误差}
概率空间
则 F , A1, A2,Ω 为一个σ代数.
注：对同一研究对象的同一试验, 试验目的 不同, 其样本空间和σ代数的结构会不同.
的概率. 三元体(Ω, F , P)称为概率空间. Ex.3 设某路口到达的车辆数为m,基本事
件为{m},样本空间 Ω 0F,1是,2Ω,的, 一切子集
组成的集族，则F是一个σ代数.
概率空间
令 P(φ)=0, 并对A∈F 令
P( A) eλ λk ,
kA k!
λ 0
证明P为可测空间(Ω,F)上的概率测度.
样本空间为
Ω {1,2,, n}
构造如下事件:
Ak,s Ak As k, s 1,2,, n,
Ai,k,s Ai Ak As i, k, s 1,2,, n
………
概率空间
A A A A i1 ,i2 ,,in1
i1
i2
in1
(i1 , i2 ,, in1 1,2,, n)
可验证集族 { , , Ak , Ak,s ,, Ai1 ,i2 ,,in1 }
为乘积样本空间.
概率空间
Ex.3 设抛一枚均匀硬币试验E1的样本空 间为
1 {T, H}
掷一颗均匀硬币骰子试验E2的样本空间为
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
先掷一颗均匀硬币骰子,再抛一枚均匀硬币 试验的样本空间可设为
Ω=Ω1×Ω2={(ω1,ω2) , ωi ∈ Ωi i=1, 2}
有 ω=(T, i) ∈Ω, ω= (H, i) ∈Ω, i=1,2, …,6.
概率空间
Ex.4 n次独立重复抛一枚均匀硬币试验E 的样本空间为
Ωn={(ω1, ω2…, ωn) , ωi ∈ Ω, i=1, 2, …, n}
=Ω×Ω×…×Ω=Ωn
称为Ω的n维 乘积空间.
如 (T, T, H) ∈Ω3, (H, T, H) ∈Ω3.
i 1
3. 对有限并,有限交封闭:若
Ai F , i 1,2,, n
则
n
n
Ai F, 或 Ai F
i 1
i 1
概率空间
4.对差运算封闭,即若 A F, 则B F, . A B F
A B ABF
二、概率的公理化定义 柯氏公理体系是现代概率论的基石.
定义(概率)：设(Ω, F )是一可测空间,对 A F
§0.0 概率空间
一、随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何
概率等定义，有如下问题：
对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每 一个子集(事件)都能确定概率?
来自百度文库
概率空间
定义 (σ代数)：设随机试验E 的样本空间为
Ω,F 是Ω的子集组成的集族，满足 (1) Ω∈F ;
(2)若A∈F,则 A .（F对逆运算封闭）
(3) 若 Ai F ,(i 1则,2,), （对可列并运算封闭）
Ai F
i 1
σ可加
称F 为Ω的一个σ-代数（事件体）, F 中的集
合称为事件.
概率空间
Ex.1 在编号为1,2, …, n 的 n个元件中取一件.
1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为 Ak {k} (k 1,2,, n)
定义 (可测空间) 样本空间Ω和σ代数的二 元体(Ω, F) 称为可测空间.
可测空间有如下性质： 1. F ( );
2.对可列交运算封闭. 若 Ai F (i 1,2,),
概率空间
Ai F
i 1
证
因
Ai Ai ,
Ai F Ai F
i1 i1
Ai F Ai F
i 1
定义在F上的实值集函数P(A), 满足
1) 非负性：对 A F, 0 P( A) 1;
2) 规范性:P(Ω) = 1;
概率空间
3) 完全可加性,对
Ai F, i 1,2,; Ai Aj , i j;
有
P Ai P( Ai )
i1 i1
称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A
i 1
Ai
k
Ai
eλ
λk k!
i 1
i 1
eλ
kAi
λk k!
i 1
P( Ai ).
概率空间
三、乘积样本空间
设A 和 B 是两个集合，称
A B (x, y) : x A, y B
为A与B 的积集. 定义 设随机试验Ei , i=1,2, …n的样本空间 分别为Ωi ,i=1,2, …n,称 Ω1×Ω2×…×Ωn={(ω1, ω2…, ωn) , ωi ∈ Ωi i=1, 2, …, n}
证 1)
P Ω
eλ λk eλ λk 1
kΩ
k!
k0 k!
2) 因 λ 0，对k 有 eλ λk 0, k!
概率空间
0 P( A) eλ λk eλ λk 1;
kA
k! kΩ
k!
3) 设
Ai F, (i 1,2,), Ai Aj ,(i j),
有
P
组成一个σ代数.
2. 考虑元件是正品或次品，则基本事件为
A1={取到正品}, A2={取到次品}
则 F {, A1,为A2一,Ω个}σ代数. 通常称F { , A, A, Ω }是由A产生的
最简单代数.
概率空间
Ex.2 测量一个零件,考虑其测量结果与实 际长度的误差.
基本事件为{x},样本空间为
Ω {x : x R1} R1
则R1的子集全体：,,Ω单点集{ x }，一切开的, 闭的，半开闭区间等组成的集族F是一个代数.
另外，令 A1 x : x 0={出现正误差} A2 x : x 0={出现负误差}
概率空间
则 F , A1, A2,Ω 为一个σ代数.
注：对同一研究对象的同一试验, 试验目的 不同, 其样本空间和σ代数的结构会不同.
的概率. 三元体(Ω, F , P)称为概率空间. Ex.3 设某路口到达的车辆数为m,基本事
件为{m},样本空间 Ω 0F,1是,2Ω,的, 一切子集
组成的集族，则F是一个σ代数.
概率空间
令 P(φ)=0, 并对A∈F 令
P( A) eλ λk ,
kA k!
λ 0
证明P为可测空间(Ω,F)上的概率测度.
样本空间为
Ω {1,2,, n}
构造如下事件:
Ak,s Ak As k, s 1,2,, n,
Ai,k,s Ai Ak As i, k, s 1,2,, n
………
概率空间
A A A A i1 ,i2 ,,in1
i1
i2
in1
(i1 , i2 ,, in1 1,2,, n)
可验证集族 { , , Ak , Ak,s ,, Ai1 ,i2 ,,in1 }
为乘积样本空间.
概率空间
Ex.3 设抛一枚均匀硬币试验E1的样本空 间为
1 {T, H}
掷一颗均匀硬币骰子试验E2的样本空间为
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
先掷一颗均匀硬币骰子,再抛一枚均匀硬币 试验的样本空间可设为
Ω=Ω1×Ω2={(ω1,ω2) , ωi ∈ Ωi i=1, 2}
有 ω=(T, i) ∈Ω, ω= (H, i) ∈Ω, i=1,2, …,6.
概率空间
Ex.4 n次独立重复抛一枚均匀硬币试验E 的样本空间为
Ωn={(ω1, ω2…, ωn) , ωi ∈ Ω, i=1, 2, …, n}
=Ω×Ω×…×Ω=Ωn
称为Ω的n维 乘积空间.
如 (T, T, H) ∈Ω3, (H, T, H) ∈Ω3.
i 1
3. 对有限并,有限交封闭:若
Ai F , i 1,2,, n
则
n
n
Ai F, 或 Ai F
i 1
i 1
概率空间
4.对差运算封闭,即若 A F, 则B F, . A B F
A B ABF
二、概率的公理化定义 柯氏公理体系是现代概率论的基石.
定义(概率)：设(Ω, F )是一可测空间,对 A F