第一节-导数的概念PPT

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导数的概念ppt课件

导数的概念ppt课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度; (2) 求该质点的速度; (3)求该质点的加速度.
作业2:航天飞机发射后的一段时间内,第t秒 末 的高度h(t)=30t2+45t,其中h的单位是m, t的单位是s.
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度,然后通过
取极限,从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间(a, b)有定义, x0 (a, b)
(4) f(x) = 1 ; x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数(三步法)
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解: y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))

导数的概念课件

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03
通过求解能量和功率函数的导数,可以得到物体的能量守恒关
系。
05
导数的实际应用案例 分析
导数在经济学中的应用案例分析
边际分析和最优化问题
导数可以用来分析经济函数的边际变化,帮助决策者找到经 济活动的最优解。例如,在生产函数中,通过求导可以找到 生产要素的最佳组合。
弹性分析
复合函数的导数
复合函数的导数是内外函数导数的乘积
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \times g'(x)$
举例
$(sin(x^2))' = cos(x^2) \times 2x$
03
导数在几何中的应用
导数在曲线切线中的应用
切线的斜率
导数可以用来表示曲线在某一点 的切线斜率,斜率越大,曲线在
THANKS
感谢观看
该点的变化率越大。
切线的方向
导数还可以用来确定曲线在某一 点的切线方向,即函数值增加或
减少最快的方向。
极值点与拐点
导数的符号可以用来判断函数在 某一点的极值点与拐点,当一阶 导数大于0时,函数在该点单调 递增;当一阶导数小于0时,函
数在该点单调递减。
导数在曲线长度中的应用
曲线长度的计算
通过利用导数求出曲线的斜率, 可以计算出曲线的长度,即曲线 与x轴围成的面积。
导数可以用来计算需求的弹性,即需求量对价格变动的敏感 程度。这可以帮助企业了解产品价格的变动对市场需求的影 响,从而制定更合理的定价策略。
导数在物理学中的应用案例分析
速度和加速度
在物理学中,导数被用来表示物体的 速度和加速度。例如,一个物体的位 移对时间的导数就是它的速度,速度 对时间的导数就是它的加速度。

导数的概念-课件-导数的概念

导数的概念-课件-导数的概念

导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一,是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支,是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛,不仅限于数学和物理领域,还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用,如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域,导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域,导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系,即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质,利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础,在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导, 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$,则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ,可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。

导数的课件ppt

导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率,是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念,它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ,对于可导函数$f(x)$,其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时,函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说,对于可导函数 $f(x)$,其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的,导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化,可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内,二阶导数大于0;在凸区间内,二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度,例如在分析物体的运动 轨迹时,可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中,弹性分析是一个重要的 概念,导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系,帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差, 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积,其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。

ppt-0201--导数的概念

ppt-0201--导数的概念

M
f (x0 ) tan, (为倾角) o
x0
x
切线方程为: y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为:
y
y0
f
1 (x
( x0 )
x0 ).
例8 求曲线y x2在点2,4 处的切线和法 线方程.
解 因 y 2x ,由导数几何意义,曲线在2,4
的切线与法线的斜率分别为
k1

lim y lim x 0
x0
x0
函数y f (x)在x 0点连续.

lim y lim x x0 x x0 x
f(0)
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
x x
1
即 f(0) f(0), 函数y f (x)在x 0点不可导.
四、小结
1. 导数的实质:增量比的极限;
2. f ( x0 ) a f( x0 ) f( x0 ) a;
) x
1
h0
h
x
x
1 x
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x log a e.

(loga
x)
1 x
log a
e.
(ln x) 1 . x
例5 解
设函数 f (x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim
关于导数的说明:
★ 点导数是因变量在点 x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化 而变化的快 慢程度.

导数的概念-课件-导数的概念(第一课时)

导数的概念-课件-导数的概念(第一课时)

总结导数的理论知识和实 际应用,鼓励学生深入学 习和探索导数。
小结
1 本次课程的重点
总结本次课程的重点内容,帮助学生加深对导数概念的理解。
2 理解和应用
P强调学生对导数的理解和应用,鼓励他们练习导数的求法和应用方法。
导数的概念-课件-导数的 概念(第一课时)
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时) 大纲
引言
1 重要性
深入讲解导数的重要性,为学生明确学习目标。
2 概念的含义
引导学生思考导数概念的含义,激发他们对导数的兴趣。
导数的定义
1 定义及公式
详细讲解导数的定义及公式,帮助学生掌握导数的基本概念。
2 导数与函数的关系
讲解导数对函数的单调性的影响,帮助学生分析 函数图像。
求导法则
简要介绍常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数及三角函数的求导法则。
应用
1 使用导数求函数极值 2 其它应用领域
3 理论与实际应用
教授使用导数求函数极值 的方法,帮助学生应用导 数解决实际问题。
介绍导数在其他领域的应 用,引发学生对导数的更 多思考。
解释导数与函数的关系,帮助学生理解导数在函数中的应用。
3 使用举例解释
通过举例解释导数的定义,让学生更好地理解导数的具体应用。
导数的性质
可加性和可乘性
介绍导数的可加性和可乘性,帮助学生理解导数 在数学运算中的灵活性。
图形意义
解释导数在图形上的意义,让学生从图像中探索 导数

高等数学导数的概念ppt课件.ppt

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x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时

都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且

解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习:讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习:习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续,则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0, k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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导数的概念 课件

导数的概念   课件
A.物体5 s内共走过42 m B.物体每5 s钟运动42 m C.物体开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s D.物体以t=5 s时的瞬时速度运动的话,每经过一秒, 物体运动的路程为42 m
由导数的定义求导数,是求导数的基本方法,必须严格 按以下三个步骤进行:
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
解析:
f′(1)= lim Δx→0
f1+ΔΔxx-f1=
lim
Δx→0
1+ΔΔxx2-1=Δlixm→0
(2+Δx)=2.
同理可得f′(3)=6.
1.一直线运动的物体,从时间t到t+Δt时,物体的位移
为Δs,那么 lim Δt→0
Δs Δt
为(
B
)
A.从时间t到t+Δt时,物体的平均速度
B.时间为t时该物体的瞬时速度
变化率与导数 导数的概念
基础梳理
1. 函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率定义:
一般地,lim Δx→0
ΔΔyx=Δlixm→0
fx0+Δx-fx0 Δx
,我们称它为函数y=
f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,
即y′|x=x0=f′(x0)=Δlixm→0
fx0+Δx-fx0 Δx
C.当时间为Δt 时该物体的速度
D.从时间t到t+Δt时位移的平均变化率
2.Biblioteka 设函数f(x)在x0处可导,则
lim
Δx→0
fx0-Δx-fx0 Δx
=(
C
)
A.f′(x0)
B.f′(-x0)
C.-f′(x0)
D.-f(-x0)
3.一物体运动满足方程s=4t2+2t-3且s′(5)=42(m/s), 其实际意义是( D )

高数课件-导数的概念

高数课件-导数的概念

导数的四则运算规则
加法规则:导数相加等于导数之和
乘法规则:导数相乘等于导数之积
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减法规则:导数相减等于导数之差
除法规则:导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义:由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法:
链式法则
链式法则:将 复合函数分解 为多个简单函 数,分别计算 导数,然后将
导数的性质定理
导数的定义:导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质:导数是连续的,可导函数在定义域内处处可导 导数的公式:导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用:导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
感谢观看
汇报人:
导数的定理与公式
导数的定义:导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式:导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
添加标题
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导数的性质:导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用:导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义:函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式:f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则:f'(x)=f(x)+g'(x),
03
f'(x)=f(x)-g'(x),f'(x)=f(x)*g'(x),f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式:f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)

导数概念课件

导数概念课件

02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0,则函数在此区间单调递增;如果导数小于0, 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在,即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率,它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导,可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率,它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上,导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值,表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中,许多物理量都可以表示为函数形式,如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化,从而揭示物理现象的本 质。例如,速度是位移函数的导数,加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积,其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即,若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导,则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商,其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即,若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$, 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。

导数概念ppt

导数概念ppt

Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
lim lim f (xo)
注:
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
1)函数x=x0在处有定义;
2)△x→0, △x可正、可负、但不为0; △y 可能为0。
3)△y 是函数自变量x在△x范围内的 △x
平均变化率;
x
四、求导举例:
例1、求函数f(x)=x2+x,求y’|x=2.
练习:求y=x2在x=1处的导数。
例2、设函数f(x)在xo处可导,
则 lim f(xo -△x)- f(xo ) 的值是 -f(xo ).
△x→0
△x
(A)练习:1)设函数f(x)在x=1处可导,
则 lim f(1+△x)- f(1) 的值是
即:物体运动的瞬时速度是路程增量与时 间增量之比当时间增量趋于零时的极限。
二、导数的概念
函数f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是
lim lim f(xo +Δx)- f(xo )= Δf ,
Δx→0
Δx
Δx→0 Δx
这就是函数y=f(x)在x=xo 处的导数
记作
lim 即
f
(xo )
4)在x=xo处的导数反映的是函数在 x=xo处变化的快慢程度。
三、根据导数的定义,求函数y=f(x)的导数的
三个步骤:
1.求增量: y f (x x) f (x)
2.算比值: y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限: y lim y lim f (x x) f (x)

导数的概念-图课件

导数的概念-图课件

导数的物理意义
导数在物理中可以表示速度、加速度,描述物体的运动规律。
导数的图像表示
导数的图像是函数曲线的切线斜率沿着整个定义域的变化情况,反映了函数的增减和凹凸性质。
导数的符号表示
导数通常用f'(x)或dy/dx表示,其中f(x)是函数,x是自变量。
导数的计算方法
导数的计算方法有很多,常见的包括基本求导法则、链式法则和隐函数求导等方法。
导数存在的条件
导数存在的条件有函数在该点可导、函数在该点连续等。
导数的概念-图课件
导数是微积分中的重要概念,用于描述函数的变化率。本课件将介绍导数的 定义、图像表示、计算方法等内容,并探讨导数在物理和几何中的意义。
什么是导数
导数描述了函数在给定点上的变化率,可以理解为函数的瞬时速度或斜率。
导数的定义
导数定义为函数在某一点的极限,表示函数曲

高中数学导数的概念课件

高中数学导数的概念课件

优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题,通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中,最值问题是最常见的一类问题,导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导,可以找到函数 的极值点,从而确定函数的最值。例如,一个企业要制 定一个营销策略,目标是最大化利润,利润函数为P(x) ,对其求导得到利润函数的导数P'(x),通过求解P'(x)=0 ,可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中,如求 解微分方程、积分方程等,通过 求导数可以得到数值解的近似值

图像处理
导数可以用于图像处理中,如边 缘检测、图像滤波等,通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中,如滤 波器设计、信号降噪等,通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人:
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分,最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出,用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0,但一阶导数为0的点不一定是极值点,需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0,可以找到可能的极值点,再结合一阶或二阶导数的符号变化,判断是极大值还是极小值 ,从而确定函数的最值。

专升本-高等数学--第三章-PPT

专升本-高等数学--第三章-PPT

Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见,曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比,当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义,当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时,
Q (t0 )
细杆 质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本 总成本 模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如,函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续,
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A(A 为常数),试判断下列命
题是否正确.
(1) f (x)在点 x=a 处可导;
(2) f (x)在点 x=a 处连续;
(3) f (x) f (a) A(x a) o(x a).

导数的概念课件

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导数的物理性质
速度与加速度
在物理中,导数可以表示速度和加速度。例如,物体运动的瞬时速度是位移函数 的导数;物体运动的瞬时加速度是速度函数的导数。
斜率与加速度
在工程学中,斜率可以表示物体的加速度。例如,在电路中,电流的变化率可以 表示为电压函数的导数;在机械系统中,速度的变化率可以表示为力函数的导数 。
利用导数研究函数的曲率
总结词
描述函数曲线的弯曲程度
详细描述
导数的二阶导数可以用来描述函数的曲率。二阶导数越大, 表示函数曲线在该点越弯曲;二阶导数越小,表示函数曲线 在该点越平坦。通过计算二阶导数,可以了解函数曲线的弯 曲程度。
04
导数在实际生活中的应用
导数在经济学中的应用
总结词
导数在经济学中有着广泛的应用,它可以帮助我们理解经济现象的变化率和优化经济决 策。
链式法则
商的导数公式
若$u(x)$和$v(x)$在某点可导,且 $v(x) neq 0$,则$frac{u'(x)}{v'(x)}$ 存在。
若$u(x)$在某点可导,$f$是常数,则 复合函数$f(u(x))$在同一点也可导, 且$(f circ u)' = f' times u'$。
导数的几何性质
导数在数学分析、函数研究、优化问题、经济学等领域中 有着广泛的应用,是解决许多问题的重要工具。
导数的发展趋势与未来展望
发展趋势
随着科学技术的发展,导数在各个领域的应 用越来越广泛,如物理学、工程学、经济学 等。同时,对导数本身的研究也在不断深入 ,如对高阶导数、复合导数、变分法等的研 究。
未来展望
导数的起源与早期发展
起源
导数起源于17世纪,最初是为了解决 物理学和几何学中的问题,如速度和 切线斜率等。
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13
五、导函数
例 3 求函数 y = x2 在任意点 x0 ( , ) 处的导数.
解 求法与例 1 一样.
第一步求 y: y = f (x0 + x) - f (x0) = (x0 + x)2 - x02
= 2x0x + (x) 2. 第二步求 y :
x
x y2x0x x(x)22x0x. 14
当 n 为任意实数 时,上式仍成立,即
(x ) = x -1 .
例 如(
1 x)x2
1
1
x2
2
2
1 x

1
x
x1
x2
x12.
17
例 4 求 f (x) = sin x 的导函数 ( x ( , )).
解 即
f(x ) li m y lim f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x0
x0x x 0xx 0
即函数 f (x) 在点 x0 处连续.
但其逆不真,即函数 f ( x ) 在点 x0 处连续,
而函数 f ( x ) 在点 x0 处不一定可导.
23
例 8 讨论函数 y = | x | 在点 x0 = 0 处的连续 性与可导性.

y = f (0 + x ) - f (0)
x x 0 x 0
x
limlnx(x)lnx
x 0
x
ln1 x
x
lim x lim x 1 .
x0
x
x 0 x x

(lnx) 1 . x
类似可得
(loagx)
1. xlna
19
例 6 求 f (x) = ex (x (- , ) ) 的导函数 .
解 f(x )lim ylim f(x x )f(x )
同样,如l果 im f(x0 x)f(x0)存, 在
x 0
x
则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数,记作
f +(x0) .
显然,f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 f -(x0) 及 f +(x0) 存在且相等 .
定义4 如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导,
则称 f (x) 在区间 I 上可导.
y = f (x0 + x ) - f (x0) ,
6
如 果l i my 存 在 , 则称此极限值为函数y = f (x) x0 x
在点 x0 处的导数. 即
记f作 ( x0) ,或 y|xx0,或 d dx yxx0.
f(x 0) lx i0m f(x 0 x x )f(x 0).
此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不
第三步取极限: lx i0m x y lx i0(m 2x0 x)2x0.

(x2)|xx02x0.
有了上式,求具体某一点,如 x0 = 1 处导数, 就很容易了,只要将 x0 = 1 代入即得
(x2)|x012.
15
例 3 表明,给定了 x0 就对应有函数 f (x) = x2 的导数值, 这样就形成了一个新的函数,叫做函数
ss(t0t)s(t0),
t
t
2
在匀速运动中,这个比值是常量,但在变速运动
中,它不仅与 t0 有关,而且与 t 也有关,当 t
很小时, 如果当 t
显然
趋于
0时st ,与平在均t0速时度刻的 s速的度极相限近存似在. ,
t
则将这个极限值 叫做物体在 t0 时刻的瞬时速度,
简称速度, 记作 v (t0),即
v(t0) lt i0m s(t0 tt)s(t0).
3
2.曲线切线的斜率
定义1 设点 P0 是曲线 L 上的一个定点,点 P 是
曲线 L 上的动点,当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P0 时,
Hale Waihona Puke 如果割线 PP0 的极限位置 P0 T 存在,则称直线 P0 T
为曲线 L 在点 P0 处的切线. y
L
x
lim sin x(x)six n
x 0
x
2cosxxsinx
lim 2 2
x0
x
lxi m0cosx2xsinx2x coxs
2
(sin x) = cos x.
类似可得
(cos x) = sin x.
18
例 5 求 f (x) = ln x (x (0, ) ) 的导函数.
解 f(x ) li m y lim f(x x ) f(x )
1 (lnx)|xx0x0 1. 即 x0 = 1,代入 y = lnx 中,得 y0 = 0, 所以曲线在 点 (1, 0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1.
21
定义3 如果 lim f(x0x)f(x0)存 在 , 则
x 0
x
称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数,记作
f
(x0);
解 从例 1 知 (x2) |x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的
切线斜率为 2 , 所以, 切线方程为
y – 1 = 2(x - 1).

y = 2 x - 1.
法线方程为 y11(x1). 2

y1 x3.
22
11
从导数的几何意义可知: 导数的绝对值|f (x0)|越大,曲线在该点附 近越陡; 导数的绝对值|f (x0)|越小,曲线在该点附 近越平缓.
= | 0 + x | - | 0 |
= | x |,
lim ylim | x|0.
x 0
x 0
24

f
(
x
)
=
|
x
|

x0
=
0
处连续,然而l i my却不 x0 x
存在, 因为
y
x
lim lim 1,
x 0x x 0 x
y
x
lim lim 1.
x 0x x 0x
在 x0 = 0 处左、右导数不相等,所以在 x = 0 处函 数 y = | x | 不可导.
存在,则称 f (x) 在 x0 处不可导. 有 时 为 了 突 出 自
变量 x,又叫函数 f (x) 对 x 的导数,记为yx .
7
例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数,即 f (1).
解 第一步求 y :
y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12 = 2x +(x)2 . 第二步求 y :

lim ylim (3x)3,
x x 0
x 0
lim yli[m 6 6 x 2 ( x )2 ] 6 .
x x 0
x 0
因此
y
y
lim lim .
x0 x x0 x
所以函数在 x = 1 处连续,但不可导.
28
x x 0 x 0
x
l i mexx ex x0 x
l i mex ex 1
x0
x
ex limx ex .
x0 x

(ex) = ex.
类似可得
(ax) = ax lna .
20
例 7 问曲线 y = ln x 上何处的切线平行直线 y = x + 1?
解 设点 ( x0 , y0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1, 根据导数的几何意义及导函数与导数的关系,可知
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、瞬时速度 曲线的切线斜率 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、导数的物理意义 五、导函数 六、可导与连续的关系
1
一、瞬时速度 曲线的切线斜率
1.变速直线运动的瞬时速度
如果物体作直线运动,在直线上选取坐标系, 该物体所处的位置坐标 s 是时间 t 的函数,记为 s = s(t),则从时刻 t0 到 t0 + t 的时间间隔内它的 平均速度为
25
例9
讨论函数
x2 x, f(x)2x3,
当x≤ 1时, 当x1时 ,
在 x = 1 处的连续性与可导性.
解 先求在 x = 1 时的 y .
当 x < 0 时,y = f (1 + x) - f (1)
= (1 + x)2 + (1 + x) - 2
= 3x + (x)2,
y3x(x)23x. x x
f (x) = x2 的导函数,它的表达式就是
(x2) = 2x . 一般地,函数 f (x) 的导函数记作 f (x),它的 计算公式是:
f(x)lim f(x x)f(x).
x 0
x
注意:计算极限过程中 x 是不变的.
16
类似例 3,我们可以得 xn (n为整数) 的导函数, (xn)= nxn-1 .
设曲线方程为 y = f (x).
y = f (x)
在点 P0(x0, y0) 处的附近取 一点 P(x0 + x , y0 + y ) .
那么割线 P0 P 的斜率为
ta n yf(x 0 x)f(x 0).O
x
x
PT
P0
x
y N
x0 x0+x x
4
如果当点 P 沿曲线趋向于点 P0 时,割线 P0P 的极限位置存在, 即点 P0 处的切线存在,
26
当 x > 0 时,y = f (1+ x) - f (1) = 2(1+ x)3 - 2 = 6x + 6(x)2 + 2(x)3 ,
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