第一节-导数的概念PPT

当 n 为任意实数 时，上式仍成立，即
(x ) = x -1 .
例 如(
1 x)x2
1
1
x2
2
2
1 x
，
1
x
x1
x2
x12.
17
例 4 求 f (x) = sin x 的导函数 ( x ( ， )).
解 即
f(x ) li m y lim f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x x 0 x 0
x
l i mexx ex x0 x
l i mex ex 1
x0
x
ex limx ex .
x0 x
即
(ex) = ex.
类似可得
(ax) = ax lna .
20
例 7 问曲线 y = ln x 上何处的切线平行直线 y = x + 1？
解 设点 ( x0 , y0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1， 根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知
x
lim sin x(x)six n
x 0
x
2cosxxsinx
lim 2 2
x0
x
lxi m0cosx2xsinx2x coxs
2
(sin x) = cos x.
类似可得
(cos x) = sin x.
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例 5 求 f (x) = ln x (x (0, ) ) 的导函数.
解 f(x ) li m y lim f(x x ) f(x )
又
lim ylim (3x)3,
x x 0
x 0
lim yli[m 6 6 x 2 ( x )2 ] 6 .
x x 0
x 0
因此
y
y
lim lim .
x0 x x0 x
所以函数在 x = 1 处连续，但不可导.
28
设曲线方程为 y = f (x).
y = f (x)
在点 P0(x0, y0) 处的附近取 一点 P(x0 + x , y0 + y ) .
那么割线 P0 P 的斜率为
ta n yf(x 0 x)f(x 0).O
x
x
PT
P0
x
y N
x0 x0+x x
4
如果当点 P 沿曲线趋向于点 P0 时，割线 P0P 的极限位置存在， 即点 P0 处的切线存在，
如果 I 是闭区间
[a, b]，则端点处可导是指 f +(a)、 f -(b) 存在 .
22
六、可导与连续的关系
定理 如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导, 则 f (x)
在点 x0 处连续，其逆不真.
证 所以
因为limy存在, 其中
x0 x
y
=
f
(x0
+
x)
-
f
(x0)，
lim ylim yxlimylim x0.
25
例9
讨论函数
x2 x, f(x)2x3,
当x≤ 1时， 当x1时 ，
在 x = 1 处的连续性与可导性.
解 先求在 x = 1 时的 y .
当 x < 0 时，y = f (1 + x) - f (1)
= (1 + x)2 + (1 + x) - 2
= 3x + (x)2，
y3x(x)23x. x x
26
当 x > 0 时，y = f (1+ x) - f (1) = 2(1+ x)3 - 2 = 6x + 6(x)2 + 2(x)3 ，
y6x6(x)22(x)3
x
x
= 6 + 6x + 2(x)2 .
27
容易算出 lim y0 , lim y0 .
x 0
x 0
从而知 limy0. x0
v(t0) lt i0m s(t0 tt)s(t0).
3
2.曲线切线的斜率
定义1 设点 P0 是曲线 L 上的一个定点，点 P 是
曲线 L 上的动点，当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P0 时，
如果割线 PP0 的极限位置 P0 T 存在，则称直线 P0 T
为曲线 L 在点 P0 处的切线. y
L
12
四、导数的物理意义
对于不同的物理量有着不同的物理意义.
例如变速直线运动路程 s = s(t) 的导数，就是 速度，即 s(t0) = v(t0). 我们也常说路程函数 s(t) 对时间的导数就是速度.
例如变速直线运动速度v = v(t) 的导数，就是 加速度，即 v(t0) = a(t0)， 即速度函数 v(t) 对时间 的导数就是加速度.
1 (lnx)|xx0x0 1. 即 x0 = 1，代入 y = lnx 中，得 y0 = 0， 所以曲线在 点 (1, 0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1.
21
定义3 如果 lim f(x0x)f(x0)存 在 ， 则
x 0
x
称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数，记作
f
(x0)；
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、瞬时速度 曲线的切线斜率 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、导数的物理意义 五、导函数 六、可导与连续的关系
1
一、瞬时速度 曲线的切线斜率
1.变速直线运动的瞬时速度
如果物体作直线运动，在直线上选取坐标系， 该物体所处的位置坐标 s 是时间 t 的函数，记为 s = s(t)，则从时刻 t0 到 t0 + t 的时间间隔内它的 平均速度为
13
五、导函数
例 3 求函数 y = x2 在任意点 x0 ( , ) 处的导数.
解 求法与例 1 一样.
第一步求 y： y = f (x0 + x) - f (x0) = (x0 + x)2 - x02
= 2x0x + (x) 2. 第二步求 y ：
x
x y2x0x x(x)22x0x. 14
f (x) = x2 的导函数，它的表达式就是
(x2) = 2x . 一般地，函数 f (x) 的导函数记作 f (x)，它的 计算公式是：
f(x)lim f(x x)f(x).
x 0
x
注意：计算极限过程中 x 是不变的.
16
类似例 3，我们可以得 xn (n为整数) 的导函数， (xn)= nxn-1 .
x0
x0x x 0xx 0
即函数 f (x) 在点 x0 处连续.
但其逆不真，即函数 f ( x ) 在点 x0 处连续，
而函数 f ( x ) 在点 x0 处不一定可导.
23
例 8 讨论函数 y = | x | 在点 x0 = 0 处的连续 性与可导性.
解
y = f (0 + x ) - f (0)
ss(t0t)s(t0),
t
t
2
在匀速运动中，这个比值是常量，但在变速运动
中，它不仅与 t0 有关，而且与 t 也有关，当 t
很小时， 如果当 t
显然
趋于
0时st ，与平在均t0速时度刻的 s速的度极相限近存似在. ，
t
则将这个极限值 叫做物体在 t0 时刻的瞬时速度，
简称速度， 记作 v (t0)，即
y = f (x0 + x ) - f (x0) ，
6
如 果l i my 存 在 ， 则称此极限值为函数y = f (x) x0 x
在点 x0 处的导数. 即
记f作 （ x0） ,或 y|xx0,或 d dx yxx0.
f(x 0) lx i0m f(x 0 x x )f(x 0).
此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不
此刻 x 0， ， 割线斜率 tan 趋向切
线 P0 T 的斜率 tan ，即 y
L
ta nlim f(x0 x)f(x0).
x 0
x
y = f (x)
PT
切线定义
P0
x
y N
O
x0 x0+x x
5
二、导数的定义
定义2 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域内 有定义. 在 x0 处给 x 以增量 x (x0 + x 仍在上 述邻域内)， 函数 y 相应地有增量
= | 0 + x | - | 0 |
= | x |，
lim ylim | x|0.
x 0
x 0
24
即
f
(
x
)
=
|
Байду номын сангаас
x
|
在
x0
=
0
处连续，然而l i my却不 x0 x
存在， 因为
y
x
lim lim 1,
x 0x x 0 x
y
x
lim lim 1.
x 0x x 0x
在 x0 = 0 处左、右导数不相等，所以在 x = 0 处函 数 y = | x | 不可导.
第三步取极限： lx i0m x y lx i0(m 2x0 x)2x0.
即
(x2)|xx02x0.
有了上式，求具体某一点，如 x0 = 1 处导数， 就很容易了，只要将 x0 = 1 代入即得
(x2)|x012.
15
例 3 表明，给定了 x0 就对应有函数 f (x) = x2 的导数值, 这样就形成了一个新的函数，叫做函数
x x 0 x 0
x
limlnx(x)lnx
x 0
x
ln1 x
x
lim x lim x 1 .
x0
x
x 0 x x
即
(lnx) 1 . x
类似可得
(loagx)
1. xlna
19
例 6 求 f (x) = ex (x (- , ) ) 的导函数 .
解 f(x )lim ylim f(x x )f(x )
x
y2 x( x)22 x( x0). x x
第三步求极限：
所以
lim ylim (2x)2.
x x 0
x 0
f (1) = 2.
8
三、导数的几何意义
函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0)) 处的切线的斜
率, 即
y
解 从例 1 知 (x2) |x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的
切线斜率为 2 ， 所以, 切线方程为
y – 1 = 2(x - 1).
即
y = 2 x - 1.
法线方程为 y11(x1). 2
即
y1 x3.
22
11
从导数的几何意义可知： 导数的绝对值|f (x0)|越大，曲线在该点附 近越陡； 导数的绝对值|f (x0)|越小，曲线在该点附 近越平缓.
存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导. 有 时 为 了 突 出 自
变量 x，又叫函数 f (x) 对 x 的导数，记为yx .
7
例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数，即 f (1).
解 第一步求 y ：
y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12 = 2x +(x)2 . 第二步求 y ：
同样，如l果 im f(x0 x)f(x0)存， 在
x 0
x
则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数，记作
f +(x0) .
显然，f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 f -(x0) 及 f +(x0) 存在且相等 .
定义4 如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导，
则称 f (x) 在区间 I 上可导.
tan = f (x0).
y = f (x)
P
O
x0
x
9
由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为
法线方程为
y - y0 = f ( x0)(x x0) .
yy0f (x 10)(xx0) (f(x0)0). 其中 y0 = f ( x0).
10
例 2 求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和 法线方程.