专题1.3三角形的外角-2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(原卷版)【人教版】

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2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典专题1

专题1.2一定是直角三角形吗姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•海安市期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，6，8B．6，8，9C．7，24，25D．5，11，12【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．【解析】A、62+42≠82，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、62+82≠92，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；C、72+242＝252，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；D、52+112≠122，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C．2．（2020春•江汉区期中）下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝5B．AB2﹣BC2＝AC2C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．AB：BC：AC＝1：2：3【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．【解析】A、32+42＝52，△ABC是直角三角形；B、AB2﹣BC2＝AC2，AB2＝BC2+AC2，△ABC是直角三角形；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A、∠B、∠C分别为x、2x、3x，则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，则∠A、∠B、∠C分别为30°，60°，90°，△ABC是直角三角形；D、12+22≠32，△ABC不是直角三角形．故选：D．3．（2020春•海淀区校级期中）如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，已知AB ＝15，AD ＝12，AC ＝13，CD ＝5，则BC 的长为（）A ．14B ．13C ．12D ．9【分析】在△ADC 中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出△ADC 为直角三角形，可得出AD 与BC 垂直，在直角三角形ABD 中，由勾股定理求出BD ，再根据线段的和差关系即可求解．【解析】∵AD ＝12，AC ＝13，CD ＝5， ∴AC 2＝169，AD 2+CD 2＝144+25＝169，即AD 2+CD 2＝AC 2，∴△ADC 为直角三角形，且∠ADC ＝90°， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝15，AD ＝12， ∴BD2=AB 2−AD 2=81，BD =9，∴BC ＝BD +CD ＝9+5＝14．故选：A ．4．（2020春•香坊区校级期中）以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（） A ．32，42，52 B ．13，5，12 C ．13，14，15D ．312，412，512【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解析】A 、（32）2+（42）2≠（52）2，故不能构成直角三角形； B 、52+122＝132，故能构成直角三角形；C 、（14）2+（15）2≠（13）2，故不能构成直角三角形；D 、（312）2+（412）2≠（512）2，故不能构成直角三角形．故选：B ．5．（2020春•太原期中）如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，AB 的垂直平分线分别交AC ，AB于D ，E ，连接BD ，则CD 的长为（）A ．1B ．54C ．74D ．254【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而利用线段垂直平分线得出AD ＝DB ，进而利用勾股定理解答即可．【解析】∵△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB 2＝AC 2+BC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∵AB 的垂直平分线分别交AC ，AB 于D ，E ， ∴AD ＝DB ，设CD 为x ，AD ＝DB ＝8﹣x ，在Rt △CDB 中，CD 2+BC 2＝DB 2，即x 2+62＝（8﹣x ）2，解得：x =74，即CD =74，故选：C ．6．（2020春•下陆区校级期中）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（）A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形 C ．如果 a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形D ．如果 a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90° 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【解析】A 、如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，由∠A +∠B +∠C ＝180°，可得∠A ＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；B 、如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，由∠A +∠B +∠C ＝180°，可得∠A ＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确；D、如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；故选：D．7．（2019春•北辰区期中）如图，在每个正方形的边长都为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，从这四个点中任取三个点构成三角形，则构成的三角形中，不是直角三角形的是（）A．△ABC B．△ABD C．△ACD D．△BCD【分析】先根据勾股定理，结合网格结构分别求出各条线段的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【解析】由图可得，BD＝5，则BD2＝25．根据勾股定理，得AB2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，CD2＝32+12＝10，DA2＝22+42＝20，AC2＝32+12＝10．A、∵AB2+BC2＝10＝AC2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵AB2+AD2＝25＝BD2，∴△ABD是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵AC2+CD2＝20＝AD2，∴△ACD是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵CD2+BC2＝15≠25＝BD2，∴△BCD不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．8．（2019春•青山区期中）下列说法中不能推出△ABC是直角三角形的是（）A．a2﹣b2＝c2B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3C．a：b：c＝1：2：3D．∠C＝∠A﹣∠B【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．【解析】A、∵a2﹣b2＝c2，∴b2+c2＝a2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C=36×180°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵a：b：c＝1：2：3，∴a2+b2≠c2，∴∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；D、∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．9．（2019秋•江苏省镇江期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝7：24：25C．a2＝b2﹣c2D．∠A＝∠C﹣∠B【分析】根据三角形内角和定理可得A、D是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、C是否是直角三角形．【解析】A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C=53+4+5×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；B、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；D、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形．故选：A．10．（2019秋•江苏省泰兴市期中）a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a2＝c2﹣b2B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）【分析】如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．【解析】A ．若a 2＝c 2﹣b 2，则△ABC 为直角三角形，故本选项不合题意；B ．若∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，则最大角∠C ＜90°，△ABC 不是直角三角形，故本选项符合题意； C ．若a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，故本选项不合题意；D ．若a ＝5k ，b ＝12k ，c ＝13k （k 为正整数），则a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意．故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•海淀区校级期中）如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB ﹣∠DCE ＝ 45 °（点A 、B 、C 、D 、E 是网格线交点）．【分析】如图，连接CG 、AG ，根据勾股定理的逆定理可得∠CGA ＝90°，从而知△CGA 是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠ACB ﹣∠DCE ＝∠CAG ，即可得解．【解析】如图，连接CG 、AG ，由勾股定理得：AG 2＝CG 2＝12+22＝5，AC 2＝12+32＝10， ∴AG 2+CG 2＝AC 2， ∴∠CGA ＝90°，∴△CAG 是等腰直角三角形， ∴∠CAG ＝45°， ∵AF ∥BC ， ∴∠CAF ＝∠BCA ，在△AFG 和△CDE 中， {AF =CD∠AFG =∠CDE =90°FG =DE， ∴△AFG ≌△CDE （SAS ），∴∠F AG ＝∠DCE ，∴∠ACB ﹣∠DCE ＝∠CAF ﹣∠F AG ＝∠CAG ＝45°．故答案为：45．12．（2020春•西城区校级期中）下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为 2 ．【分析】满足a 2+b 2＝c 2 的三个正整数，称为勾股数，依此即可求解．【解析】①0.62+0.82＝12，不是整数，不是勾股数； ②52+122＝132，是勾股数； ③82+152＝172，是勾股数； ④42+52≠62，不是勾股数；其中是勾股数的组为2．故答案为：2．13．（2019春•即墨区期中）已知△ABC 的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，则△ABC 的面积是 30cm 2 ．【分析】先根据勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可．【解析】∵△ABC 的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ， ∴52+122＝132，∴△ABC 是直角三角形，直角边为5cm 和12cm ， ∴△ABC 的面积为12×5cm ×12cm ＝30cm 2，故答案为：30cm 2．14．（2019秋•高州市期中）若a 、b 、c 满足a 2+b 2＝c 2，则以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．【分析】根据勾股定理的逆定理得出即可．【解析】∵a 、b 、c 满足a 2+b 2＝c 2， ∴以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形，故答案为：直角．15．（2019秋•岱岳区期中）如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为96m2．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影=12AC×BC−12AD×CD即可得出结论．【解析】在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影=12AC×BC−12AD×CD=12×10×24−12×8×6＝96（m2）．故答案是：96m216．（2019春•闽侯县期中）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a，b，c）通常叫做勾股数．如果三角形最长边c＝2n2+2n+1，其中一短边a＝2n+1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b＝2n2+2n（用含n的代数式表示，其中n为正整数）【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】c＝2n2+2n+1，a＝2n+1∴b＝2n2+2n，故答案为：2n2+2n17．（2019春•洛阳期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4=32−12，12=52−12，24=72−12⋯请写出第5个数组：11，60，61．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【解析】∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1； ②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1； ③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1； ④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1； ⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，故答案为：11，60，61．18．（2019秋•连云港期中）如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别在AB ，BC 边上匀速移动，它们的速度分别为2cm /s 和1cm /s ，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为ts ，则当t ＝32或125s 时，△PBQ 为直角三角形．【分析】先分别表示出BP ，BQ 的值，当∠BQP 和∠BPQ 分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．【解析】∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝6cm ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，当∠PQB ＝90°时，∠BPQ ＝30°， ∴BP ＝2BQ ．∵BP ＝6﹣2x ，BQ ＝x ， ∴6﹣2x ＝2x ，解得x =32；当∠QPB ＝90°时，∠PQB ＝30°， ∴BQ ＝2PB ， ∴x ＝2（6﹣2x ），解得x =125．答：32或125秒时，△BPQ 是直角三角形．故答案为32或125．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•蕲春县期中）一块木板如图所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12，AD ＝13，∠B ＝90°，求此木板的面积．【分析】连接AC ，利用勾股定理解出直角三角形ABC 的斜边，通过三角形ACD 的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差．【解析】连接AC ，∵在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠B ＝90°， ∴AC ＝5，∵在△ACD 中，AC ＝5，DC ＝12，AD ＝13， ∴DC 2+AC 2＝122+52＝169，AD 2＝132＝169， ∴DC 2+AC 2＝AD 2，∴△ACD 为直角三角形，AD 为斜边，∴木板的面积为：S △ACD ﹣S △ABC =12×5×12−12×3×4＝24．答：此木板的面积为24．20．（2020春•大悟县期中）如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，已知AD ＝3cm ，AB ＝4cm ，CD ＝13cm ，BC ＝12cm ，求四边形ABCD 的面积．【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，在△BDC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．【解析】连接BD，∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，∴BD2=AD2+AB2=25，BD=5（cm）∴S△ABD=12AB•AD＝6（cm2）．在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，∴△BDC为直角三角形，即∠DBC＝90°，∴S△DBC=12BD•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2）．答：四边形ABCD的面积为24cm2．21．（2020春•水磨沟区校级期中）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD ＝24cm，∠ABC＝90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．【分析】连接AC，然后根据勾股定理求出AC的值，然后根据勾股定理的逆定理判断△ADC为Rt△，然后根据四边形的内角和定理即可得到∠A与∠C关系．【解答】证明：猜想∠A与∠C关系为：∠A+∠C＝180°．连结AC，∵∠ABC ＝90°，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ²=AB 2+BC 2=625，AC=25cm ，∵AD 2+DC 2＝625＝252＝AC 2，∴△ADC 是直角三角形，且∠D ＝90°，∵∠DAB +∠B +∠BCD +∠D ＝180°，∴∠DAB +∠BCD ＝180°，即∠A +∠C ＝180°．22．（2019秋•沭阳县期中）△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且a ＝n 2﹣1，b ＝2n ，c ＝n 2+1．（1）判断三角形的形状；（2）若以边b 为直径的半圆面积为2π，求△ABC 的面积；（3）若以边a 、b 为直径的半圆面积分别为p 、q ，求以边c 为直径的半圆面积．（用p 、q 表示）【分析】（1）先求出a 2+b 2及c 2的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可；（2）先求出b ＝4，得出n ＝2，a ＝3，即可得出答案；（3）由圆面积公式得出p =πa 28，q =πb 28，由勾股定理和圆面积公式是即可得出答案．【解析】（1）△ABC 是直角三角形，理由如下：∵在△ABC 中，三条边长分别是a 、b 、c ，且a ＝n 2﹣1，b ＝2n ，c ＝n 2+1（n ＞1），∴a 2+b 2＝（n 2﹣1）2+（2n ）2＝n 4﹣2n 2+1+4n 2＝（n 2+1）2，c 2＝（n 2+1）2，∴a 2+b 2＝c 2，∴∠C ＝90°，△ABC 是直角三角形．（2）∵以边b 为直径的半圆的半径为r ，则12π（b2）2＝2π，解得：b ＝4，∴2n ＝4，∴n ＝2，∴a＝3，∴△ABC的面积=12ab=12×3×4＝6；（3）∵以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q，∴p=12π（a2）2=πa28，q=12π（b2）2=πb28，∵△ABC是直角三角形，∴a2+b2＝c2，∴以边c为直径的半圆面积=12π（c2）2=πc28=π8（a2+b2）=πa28+πb28=p+q．23．（2019秋•江苏省阜宁县期中）在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC ＝4cm，求四边形ABCD的面积．【分析】利用勾股定理求出AC的长度，在△ABC中根据勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可求解．【解析】在Rt△ACD中，AC=√AD2−CD2=√132−122=5cm，在△ABC中，∵AB2+BC2＝9+16＝25，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴四边形ABCD的面积=12AB•BC+12AC•CD=12×3×4+12×5×12＝36cm2．24．（2019秋•江苏省兴化市期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4=12(9−1)，弦5=12(9+1)；当勾为5时，股12=12(25−1)，弦13=12(25+1)；当勾为7时，股24=12(49−1)，弦25=12(49+1)．请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用n （n ≥3，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝ 12（n 2﹣1），弦＝ 12（n 2+1）．【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a ＝2m ，b ＝m 2﹣1，c ＝m 2+1（m 为大于1的整数），则a 、b 、c 为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a 2+2a +1（a 为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？【分析】（1）如果勾用n （n ≥3，且n 为奇数）表示时，则股=12（n 2﹣1），弦=12（n 2+1）；（2）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案；（3）根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案．【解析】（1）如果勾用n （n ≥3，且n 为奇数）表示时，则股=12（n 2﹣1），弦=12（n 2+1）；故答案为：12（n 2﹣1），12（n 2+1）；（2）∵a ＝2m ，b ＝m 2﹣1，c ＝m 2+1（m 表示大于1的整数）∴a 2+b 2＝（2m ）2+（m 2﹣1）2＝4m 2+m 4﹣2m 2+1＝m 4+2m 2+1＝（m 2+1）2＝（m 2+1）2＝c 2，∴a 2+b 2＝c 2∴a 、b 、c 为勾股数；（3）∵弦与股的差为1，2a 2+2a +1（a 为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，∴另外两个数的表达式分别是2a 2+2a ； 2a +1．。

2020年八年级数学上册与三角形有关的角培优卷(含答案)

21.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，P 为线段 AD 上的一个动点，PE⊥AD 交直线 BC 于点 E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E 的度数；（2）当 P 点在线段 AD 上运动时，猜想∠E 与∠B、∠ACB 的数量关系，并证明你的结论．
22.△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.
18.如图，将△ABC 三个角分别沿 DE、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点 O 处，则∠1＋∠2 的度数为 °．
三、解答题 19.已知在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，CD 是∠ACB 平分线，求∠A 和∠CDB 的度数.
20.如图,∠ABC=38°,∠ACB=100°,AD平分∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE度数.
研究（3）：若折成图 3 的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.
参考答案 1.B 2.B. 3.C. 4.A. 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.答案为：B. 12.B 13.答案为：20． 14.答案为：25° 15.答案为：6，与它不相邻的两个内角，3600 16.答案为：130 17.答案为：10°． 18.答案为：180°． 19.解：∵在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠A+∠ACB+∠B=180°，
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形
5.如图所示，∠CGE=α，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 等于( ).
A.360°-∠A B.270°-∠α
C.180°＋∠α D.2∠α
6.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A= 50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为

人教版八年级上册数学三角形解答题单元培优测试卷

人教版八年级上册数学三角形解答题单元培优测试卷一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数．【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45°【解析】【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=︒ ，故PAB MBA 270∠+∠=︒，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知CDE DCE 112.5∠+∠=︒，进而得出结论；（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】（1）∠AEB 的大小不变，∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴∠AOB=90°， ∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，∴1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2∠=∠， ∴()1BAE ABE OAB ABO 452∠+∠=∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；（2）∠CED 的大小不变．如图2，延长AD 、BC 交于点F ．∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴90∠=AOB °，∴OAB OBA 90∠+∠=°，∴PAB MBA 270∠+∠=°，∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，∴1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2∠=∠， ∴()1BAD ABC PAB ABM 1352∠+∠=∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°，∴CDA DCB 225∠+∠=°，∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，∴CDE DCB 112.5∠+∠=°，∴E 67.5∠=°；（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，∴1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ， ∴()11E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，∴EAF 90∠=°．在△AEF 中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°；②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°；③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°；④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°．∴∠ABO 为60°或45°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON ＝60°，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （规定0°< ∠OAC < 90°）．（1）∠ABO 的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”灵动三角形）；（2）若∠BAC ＝60°，求证：△AOC 为“灵动三角形”；（3）当△ABC 为“灵动三角形”时，求∠OAC 的度数．【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO 的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；（3）分点C 在线段OB 和线段OB 的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】（1）答案为：30°；是；（2）∵AB ⊥OM∴∠B AO ＝90°∵∠BAC ＝60°∴∠OAC ＝∠B AO-∠BAC=30°∵∠MON ＝60°∴∠ACO ＝180°-∠OAC-∠MON ＝90°∴∠ACO ＝3∠OAC ，∴△AOC 为“灵动三角形”；（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x , ∠ABC ＝30°∵△ABC 为“智慧三角形”，Ⅰ、当∠ABC ＝3∠BAC 时，°，∴30＝3（90-x ）， ∴x=80Ⅱ、当∠ABC ＝3∠ACB 时，∴30=3（60+x ） ∴x= -50 （舍去）∴此种情况不存在，Ⅲ、当∠BCA ＝3∠BAC 时，∴60+x ＝3（90-x ），∴x ＝52.5°，Ⅳ、当∠BCA ＝3∠ABC 时，∴60+x ＝90°，∴x ＝30°，Ⅴ、当∠BAC ＝3∠ABC 时，∴90-x ＝90°，∴x ＝0°（舍去）Ⅵ、当∠BAC ＝3∠ACB 时，∴90-x ＝3（60+x ），∴x= -22.5（舍去），∴此种情况不存在，∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典专题1

专题1.3 勾股定理的应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•西城区校级期中）为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【解析】梯脚与墙角距离：√2．52−2．42=0.7（米），∵开始梯脚与墙角的距离为1.5米，∴要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：1.5﹣0.7＝0.8（米）．故选：B．2．（2020春•硚口区期中）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（）A．10米B．6米C．7米D．8米【分析】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．【解析】由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，AB=√82+62=10（米），故选：A．3．（2020春•西城区校级期中）小明和小亮周末相约去电影院看电影，下面是他们的一段对话：小明：小亮，你下了300路公交车后，先向前走300米，再向左转走200米，就到电影院了，我现在在电影院门口等你呢!小亮：我按你说的路线走到了W超市，不是电影院啊？小明：你走到W超市是因为你下车后先向西走了，如果你先向北走就能到电影院了．根据上面两个人的对话记录，小亮现在从W超市去电影院的路线是（）A．向南直走500米，再向西直走100米B．向北直走500米，再向西直走100米C．向南直走100米，再向东直走500米D．向北直走500米，再向东直走100米【分析】根据对话画出图形，进而得出从W超市去电影院的路线．【解析】如图所示：从W超市去电影院的路线：向北直走200+300＝500米，再向东直走300﹣200＝100米．故选：D．4．（2020春•江岸区期中）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A ．10B ．12C ．13D ．14【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x 尺，根据勾股定理解答．【解析】设水深为x 尺，则芦苇长为（x +1）尺，根据勾股定理得：x 2+（102）2＝（x +1）2，解得：x ＝12，芦苇的长度＝x +1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C ．5．（2020春•东西湖区期中）如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A ．7米B ．8米C ．9米D ．12米【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解析】∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，頂端落在地面离木杆底端3米处，∴折断的部分长为√42+32=5（米），∴折断前高度为5+4＝9（米）．故选：C ．6．（2020春•桦南县期中）校园内有两棵树，相距12米，一棵树高为13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）A ．10米B ．11米C ．12米D ．13米【分析】如图所示，AB ，CD 为树，且AB ＝13，CD ＝8，BD 为两树距离12米，过C 作CE ⊥AB 于E ，则CE ＝BD ＝12，AE ＝AB ﹣CD ＝5，在直角三角形AEC 中利用勾股定理即可求出AC ．【解析】如图所示，AB，CD为树，且AB＝13，CD＝8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，在直角三角形AEC中，AC=√AE2+EC2=√122+52=13．故选：D．7．（2020春•单县校级期中）丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．4米B．8米C．10米D．12米【分析】据题意设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得绳子的长，即旗杆的高．【解析】设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．根据题意得：x2+62＝（x+2）2，解得x＝8．故旗杆的高为8米．故选：B．8．（2019春•九龙坡区校级期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．【解析】如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm，则AD＝10×12=5（cm）．又因为CD＝AB＝12cm，所以AC=√122+52=13（cm）．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．故选：B．9．（2019春•潍城区期中）在水平地面上有一棵高9米的大树，和一棵高4米的小树，两树之间的水平距离是12米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行（）A．12米B．13米C．9米D．17米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解析】如图，设大树高为AB＝9m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝12m，AE＝AB﹣EB＝9﹣4＝5m，在Rt△AEC中，AC=√AE2+EC2=√52+122=13（m）．故小鸟至少飞行13m，故选：B．10．（2019秋•拱墅区校级期中）如图，若要将一块不能弯曲的正方形（不考虑厚度）搬进室内，需要通过一扇高为2m，宽为1m的门，以下边长的木块中哪块可以通过此门？（）A．2.8m B．2.5mC．2.2m D．以上答案都不对【分析】利用勾股定理求出门框对角线的长度，由此即可得出结论．【解析】如图，连接AB，由勾股定理得：AB2＝22+12＝5，∵2.82＝7.84，2.52＝6.25，2.22＝4.84＜5，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•蕲春县期中）如图一根竹子长为16米，折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处，折断处离地面高度是6米．【分析】子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x米，则斜边为（16﹣x）米．利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x米，则斜边为（16﹣x）米，根据勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2解得：x＝6．∴折断处离地面高度是6米，故答案为：6．12．（2020春•铁东区期中）已知，如图，一小船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一小船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距25海里．【分析】求出两船的行驶路程，利用勾股定理计算即可．【解析】由题意得：两船的行驶方向为直角，向东北方向航行的小船行驶路程为：20×1＝20（海里），向东南方向航行的小船行驶路程为：15×1＝15（海里），两船的距离：√202+152=25（海里），故答案为：25海里．13．（2020春•明水县校级期中）如图，一架长为4m的梯子，一端放在离墙脚3m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚√7m．【分析】根据题意直接利用勾股定理得出梯子顶端离墙角的距离．【解析】由题意可得：梯子顶端离墙角有√42−32=√7（m）．故答案为：√7m．14．（2020春•武昌区期中）如图，已知点B在点A的北偏东32°，点C在点B的北偏西58°，CB＝12，AB＝9，AC＝15，则△ABC的面积为54．【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．【解析】∵CB＝12，AB＝9，AC＝15，∴AC2＝CB2+AB2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积=12×9×12=54，故答案为：5415．（2020春•西城区校级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子三尺远，则原处还有9120尺竹子．（请直接写出答案，注：1丈＝10尺）．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10﹣x ）尺，根据勾股定理得：x 2+32＝（10﹣x ）2，解得：x =9120．故答案为：9120．16．（2020春•青山区校级期中）如图，一场大风后，一棵大树在高于地面1米处折断，大树顶部落在距离大树底部3米处的地面上，那么树高是（√10+1）米．【分析】首先根据勾股定理求得折断的树高，继而即可求出折断前的树高．【解析】根据勾股定理可知：折断的树高=√12+32=√10米，则这棵大树折断前的树高＝（1+√10）米．故答案为（√10+1）米17．（2019春•黄浦区期中）将一根长56厘米的铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，则另一条直角边长是 24 厘米．【分析】只需运用勾股定理就可解决问题．【解析】设另一条直角边长为x ，由题可得，该直角三角形的斜边为（56﹣7﹣x ）cm ，即（49﹣x ）cm ，根据勾股定理可得，72+x 2＝（49﹣x ）2，解得：x ＝24，∴49﹣x ＝25，∴这个直角三角形另一条直角边长的长为24，故答案为：2418．（2019春•天津期中）如图，要从电线杆离地面12m 处向地面拉一条钢缆，要求地面钢缆固定点A 与电线杆底部B 的距离是5m ，则钢缆的长度为（不计接头） 13米．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴AC=√AB2+BC2=√52+122=13，答：钢缆的长度为13米，故答案为：13米．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•云梦县期中）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？【分析】可以设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE2，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE2，根据DE＝CE可以求得x的值，即可求得AE的值．【解析】设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴△ADE和△BCE都是直角三角形，∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，∴502+x2＝（80﹣x）2+302，解得x＝30．答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．20．（2020春•硚口区期中）如图，一根直立于水中的芦苇BD高出水面AC1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝3米，求芦苇BD的长度为多少米？【分析】设芦苇BD的长度为x米，则水深（x﹣1）米，利用勾股定理列出方程，再解即可．【解析】设芦苇BD的长度为x米，则水深（x﹣1）米，由题意得：x2﹣32＝（x﹣1）2，解得：x＝5，答：芦苇BD的长度为5米．21．（2020春•铁东区期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D （A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线BC的长．【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明CD⊥AB，根据垂线段最短可得答案；（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，利用勾股定理列出方程，再解即可．【解析】（1）是，理由：∵62+2.52＝6.52，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∴CD⊥AB，∴CD是从村庄C到河边最近的路；（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，∵CD⊥AB，∴62+（x﹣2.5）2＝x2，解得：x＝8.45，答：路线BC的长为8.45千米．22．（2020春•武汉期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．【解析】设AE＝x，则BE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E应建在距A点13.3km．23．（2020春•涿鹿县期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°；（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．【解析】（1）如图，连接AC，在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2∴AC＝5cm，在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；（2）∵S△ABC=12×3×4＝6，S△ACD=12×5×12＝30，∴S四边形ABCD＝6+30＝36，费用＝36×80＝2880（元）．答：铺满这块空地共需花费2880元．24．（2019春•罗庄区期中）某小区内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，预计花园每平方米造价为25元，小区修建这个花园需要投资多少元？【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出AD的长，由三角形的面积公式即可得出结论．【解析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，在Rt△ABD与Rt△ACD中，∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2．∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144．∴AD＝12（米），∴学校修建这个花园的费用＝25×12×14×12＝2100（元）．答：学校修建这个花园需要投资2100元．。

八年级数学上册三角形的外角精选练习题

八年级数学上册三角形的外角精选练习题为即将学完的八年级数学上册三角形的外角的知识点，同学们要准备哪些精选练习题来巩固所学的知识点呢?下面是店铺为大家带来的关于八年级数学上册三角形的外角精选的练习题，希望会给大家带来帮助。

八年级数学上册三角形的外角精选练习题目一、选择题：1.CD∥AB，∠1=120°，∠2=80°，则∠E的度数是( )A. 40°B. 60°C. 80°D. 120°2.将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为( )A. 80B.] 50C. 30D. 203.已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45°4.如中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列何者正确( )A. ∠2=∠4+∠7B. ∠3=∠1+∠6C. ∠1+∠4+∠6=180°D. ∠2+∠3+∠5=360°5.一副三角板有两个直角三角形，如叠放在一起，则∠α的度数是( )A. 165°B. 120°C. 150°D. 135°6.直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于( )A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°7.下面四个形中，∠1=∠2一定成立的是( )A. B. C. D.8.∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A. ∠A>∠1>∠2B. ∠2>∠1>∠AC. ∠A>∠2>∠1D. ∠2>∠A>∠1二、填空题9.将一副常规的三角尺按如方式放置，则中∠AOB的度数为________10.l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为________11.若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形.12.△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______(填“锐角”、“直角”或“钝角”).13.x=______.14.在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD=_________ 度.15.已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=_________ 度.16.将一副直角三角板如放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=________.EF上，AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC.∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=_____ .18.AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点.若∠B=65°，∠MDN=135°，则∠AMB=____ .三、解答题：19.已知：∠2是△AB C的一个外角.求证：∠2=∠A+∠B证明：∵∠A+∠B+∠1=180° ( )∠1+∠2=180° ( )∴∠2=∠A+∠B ( )20. 直线a∥b，∠1=130°，∠2=70°，求则∠3的度数.21.已知：在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.22.在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠AEC的度数。

2020-2021学年度人教版八年级数学上册11.2.2三角形的外角课时练习(含答案解析)

2020-2021学年度人教版八年级数学上册11.2.2三角形的外角课时练习一、选择题1．如图，直线//a b ，则A ∠=（）A ．28︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒ 2．如图所示，长方形ABCD 中，点E 在CD 边上，AE ，BE 与直线L 相交α∠，β∠，构成则1∠，2∠，α∠，β∠之间的关系是（）A ．12180αβ∠+∠+︒=∠+∠B ．21αβ∠+∠=∠+∠C ．()212αβ∠+∠=∠+∠D ．12αβ∠+∠=∠-∠3．如图，A ABC CB =∠∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC 的外角EAC ∠、内角ABC ∠、外角ACF ∠．以下结论：①//AD BC ；②2ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④12BDC BAC ∠=∠．其中正确的结论有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在ABC 中，点D 是BC 延长线上一点，70A ∠=︒，120ACD ∠=︒，则B 等于（）．A ．60°B ．80°C ．70°D ．50°5．如图，ABC ∆中，40A ∠=︒，20ABO ∠=︒，30ACO ∠=︒，则BOC ∠等于（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒ 6．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒ 7．如图，把ABC ∆绕点C 顺时针旋转某个角度α得到'',30,150A BC A ︒︒∆∠=∠=，则旋转角'BCB ∠等于（）A ．30︒B ．25︒C ．15︒D ．20︒ 8．一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A ．75°B ．60°C ．65°D ．55° 9．如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70°，∠C ＝40°，则∠E 等于()A ．30°B ．40°C ．60°D ．70°10．如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，30C ∠=︒，延长线段BA 至点E ，则EAC ∠的度数为（）A ．105︒B ．75︒C ．70︒D ．60︒二、填空题 11．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，已知等腰三角形的底角∠3=72°，则∠1+∠2=______12．如图所示，直线12//l l ，若140∠=︒，275∠=︒，则3∠=____________︒．。

专题1.4三角形的外角-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(原卷版)【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.4三角形的外角姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•苍南县期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°2．（2020秋•拱墅区期中）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠AFE＝（）度．A．145B．155C．165D．1753．（2020•新昌县校级模拟）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD．证明：延长BE交★于点F．则∠BEC＝■+∠C（三角形的外角等于它不相邻的内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲．故AB∥CD（●相等，两直线平行）．则回答错误的是（）A．★代表CD B．■代表∠EFCC．▲代表∠EFC D．●代表同位角4．（2020•眉山）一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（）A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β5．（2019秋•郑州期末）如图，BP、CP是△ABC的外角角平分线，若∠P＝60°，则∠A的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°6．（2019秋•海曙区期末）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC 的度数为（）A．60°B．45°C．75°D．90°7．（2019•营口）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（）A．64°B．32°C．30°D．40°8．（2020秋•平定县期末）把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，∠ABC＝60°，∠C＝∠DBE＝90°，其中A，D，B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（）A．55°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．（2020秋•大安市期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•西湖区校级期中）如图，直线AB∥CD，∠B＝70°，∠D＝30°，则∠E的度数是．12．（2020秋•嵊州市期中）一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则∠BFD的度数是．13．（2020秋•温州期中）如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于．14．（2020秋•浑源县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A ＝．15．（2019秋•滨江区期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝40°，AD平分∠BAC交BC于点D，则∠ADC的度数是．16．（2020秋•罗湖区期末）如图，已知△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E＝度．17．（2020秋•新宾县期末）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分线交于点A2018，则∠A2018＝度．18．（2020春•遂宁期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB=45°―12∠CDB，其中正确的结论有．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•内江期末）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF 平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．20．（2019•江岸区校级模拟）如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC＝95°，∠B＝50°，求∠A和∠D．21．（2017秋•河北区期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD、BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．22．（2020秋•盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．23．（2020春•丰泽区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．24．（2019秋•柯桥区期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于。

与三角形有关的角大题专练(重难点培优40题)-八年级数学上册尖子生培优必刷题(原卷版)【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题11.6与三角形有关的角大题专练（重难点培优40题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________一．解答题（共40小题）1．（2022秋•灵宝市期末）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC 的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．2．（2021秋•双台子区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．3．（2021秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度数．（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），则∠DAE＝．（用含α、β的式子表示）4．（2021秋•驻马店期末）（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，试确定∠A与∠D的数量关系．（2）如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，试确定∠A与∠E的数量关系．（3）如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，试确定∠A与∠F的数量关系．5．（2023春•大荔县期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是180°，“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．性质理解：（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，则∠AOB＝85°，则∠C+∠D＝°．性质应用：（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度数．拓展提高：（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，请尝试求出∠P的度数（用含α的式了表示∠P）．6．（2022秋•凤翔县期末）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+12∠A的理由．【深入探究】（2）①如图2，BD ，CD 分别是△ABC 的两个外角∠EBC ，∠FCB 的平分线，∠D 与∠A 之间的等量关系是；②如图3，BD ，CD 分别是△ABC 的一个内角∠ABC 和一个外角∠ACE 的平分线，BD ，CD 交于点D ，探究∠D 与∠A 之间的等量关系，并说明理由．7．（2023春•德清县期末）如图，已知在同一平面内有线段AB 和直线CD ，且AB ∥CD ，点E 是直线CD 上的一个动点，连结AE ，BE ，过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ．（1）如图1，若AE ⊥BE ，请说明∠BAE +∠BEF ＝90°的理由；（2）如图2，作∠BAE 的角平分线与∠EBF 的角平分线交于点P ，设∠APB ＝α，∠AEB ＝β，请求出α和β之间的数关系；（3）如图3，当点E 运动到点F 的右边时，在（2）的条件下，α和β之间的数量关系是否会发生改变？请说明理由．8．（2023春•丹江口市期末）如图，△ABC 中，∠ACE ＞∠B ，AD 是角平分线，AE ⊥AD 交BC 的延长线于点E ．（1）若∠B ＝40°，∠ACB ＝100°，求∠E 的度数；（2）①试求∠E ，∠B ，∠ACB 之间的数量关系；②若∠E ＝∠B ，求∠ACB ∠B 的值．9．（2023春•定兴县期末）综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；（2）小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．（3）小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2＝4∠1，求∠1的度数．10．（2023春•莆田月考）（1）已知：三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠ACB＝180；小明同学经过认真思弯，他过点C作CE∥AB，利用添加辅助线的方法成功解决了这个问题，你能说出小明是怎么解决这个问题的吗？写出论证过程．（2）利用以上结论或方法，解决如下问题：已知：六边形ABCDEF，满足∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F，求证：AF∥CD．11．（2023春•江都区期末）如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝64°，∠C＝42°，则∠DAE＝°；（2）∠B、∠C与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；（3）点G是线段CE上任一点（不与C、E重合），作GH⊥CE，交AE的延长线于点H，点F在BA的延长线上．若∠F AC＝α，∠GHE＝β，求∠B、∠C（用含α、β代数式表示）．12．（2023春•榕城区期末）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B的度数是；（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．①如图，若AD是∠BAC的平分线，请判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC＝24°，则∠EAC的度数是．13．（2023春•曹县期末）如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）在图1中，当∠CDO＝50°时，求∠F的度数；（2）如图2，当C、D两点分别在射线OA、OB上移动时（不与点O重合），其他条件不变，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，试求出∠F的度数．14．（2023春•无为市期末）如图，直线m∥n，Rt△ABC中∠ACB＝90°，Rt△ABC的边AC、AB与直线m 相交于D、E两点，边BC、AB与直线n交于F、G两点．（1）将Rt△ABC如图1位置摆放，如果∠ADE＝46°，则∠CFG＝；（2）将Rt△ABC如图2位置摆放，H为AC上一点，∠HFG+∠CFG＝180°，请写出∠HFG与∠ADE 之间的数量关系，并说明理由；（3）将Rt△ABC如图3位置摆放，若∠EDC＝140°，延长AC交直线n于点K，点P是射线EG上一动点，探究∠PDK，∠DPK与∠PKG的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．15．（2023春•枣庄期末）在三角形三个内角中，如果满足其中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角α称为“主特征角”，内角β称为“次特征角”．（1）已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，判断△ABC是否为“特征三角形”，并说明理由；（2）在△DEF中，∠D＝96°，若△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，求∠E的度数．16．（2022秋•潍坊期末）通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路．例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图2，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．求证：∠A+∠B+∠C＝180°．证明：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．（1）小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可）（2）请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．17．（2023春•镇平县期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：∠B（单位：度）1030302020∠C（单位：度）7070606080∠EAD（单位：度）30a152030上表中a＝，于是得到∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系为；（2）小明继续探究，如图2，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D，当∠ABC＝85°，∠C＝23°时，∠F度数为°．18．（2023春•太平区期末）如图1，已知等腰△ABC中，∠A＝∠C＝30°，动点D在AB的平行线l上，联结AD．（1）如图2，若∠B＝∠ADC，说明AD∥BC的理由；（2）如图3，当∠CDA＝∠DAB时，△ACD是什么三角形？为什么？（3）过点A作l的垂线，垂足为H，若∠ADH＝60°，求∠DAC的度数．19．（2023春•青秀区校级期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的3倍，则这样的三角形称之为“美好三角形”．如：三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“美好三角形”．如图，∠AOB＝40°，点C在边OA上，过点C作EC⊥OA交OB于点E，以C为端点作射线CD，交线段OE于点F（点F不与O，E重合）．【概念理解】（1）∠CEO的度数为，△OCE（填“是”或“不是”）“美好三角形”．【应用拓展】（2）若∠CFE＝75°，试说明：△OCF是“美好三角形”．20．（2023春•栾城区校级期末）在△ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB 上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图1，点F在线段BE上．①直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系；②求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）当点F在线段AE上时，请在备用图中补全图形，并直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系．21．（2023春•邗江区期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝°（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．22．（2023春•洪洞县期末）在△ABC中，AD⊥BC于点D．特例研究：（1）如图1，若∠BAC的平分线AE能交BC于点E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度数；操作发现：如图2，点M，N分别在线段AB，AC，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN，点G，F都在射线DA上；（2）若∠B+∠C＝60°，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量关系，并说明理由；（3）将△DFM绕点D逆时针旋转，旋转角记为α（0°＜α＜360°）．记旋转中的△DMF为△DM1F1，在旋转过程中，点M，F的对应点分别为M1，F1，直线M1F1，与直线BC交于点Q，与直线AB交于点P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，请直接写出旋转角α的度数．23．（2023春•东方校级期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图1，如果∠A＝70°，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BPC的度数；（2）如图1，如果∠A＝α，用含α的代数式表示∠BPC；（3）探索：如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试写出∠Q、∠A之间的数量关系；（4）拓展：如图3，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．24．（2023春•商水县期末）【基本模型】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，试说明∠P=12∠A．【变式应用】（2）如图2，∠MON＝90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，∠MON＝90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任意一点（不与点O重合），连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出∠P的度数．25．（2023春•金华期末）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是180°”，进行了一系列探究，过程如下：【论证】如图1，延长BA至D，过点A作AE∥BC，就可以说明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的内角和为180°，请完成上述说理过程．【应用】如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ACB的角平分线交于点P，过点A作AE∥BC，M 在射线AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延长线与AP的延长线交于点D．①求∠DCP的度数；②设∠B＝α，请用α的代数式表示∠D．【拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，过点A作EF∥BC，直线MN与EF相交于A点右侧的点P，∠APN＝75°．△ABC绕点A以每秒12°的速度顺时针方向旋转，同时MN绕点P 以每秒5°的速度顺时针方向旋转，与EF重合时MN再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当△ABC 旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得MN与△ABC的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．26．（2023春•云浮期末）如图1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，现将△ABC绕点A 顺时针旋转α角度得到△ADE．（1）若α＝28°时，则∠DAC＝°；若0°＜α＜90°时，α与∠CAE的关系是；（2）∠DAC与∠BAE有怎样的关系？请说明理由；（3）在旋转过程中，若0°＜α＜180°时，△ADE与△ABC这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出α的所有可能取值．27．（2023春•荣成市期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝，∠3＝；（2）图2中，当被b反射出的光线n与光线m平行时，不论∠1如何变化，∠2与∠1总具有一定的数量关系，请猜想∠2和∠1的数量关系，并说明理由；（3）图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角∠3的度数；（4）如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，求出此时∠O的度数？（友情提示：三角形内角和等于180°）28．（2023春•乐山期末）（1）如图1，△ABC中，延长AB到M，BP平分∠MBC，延长AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于点P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求证：α=α+β2；（2）如图2，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求证：θ=α+β2；（3）如图3，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接写出α，β，θ之间的等量关系．29．（2022秋•太平区校级期末）【基本模型】：如图1，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN 的平分线交于点O，请你写出∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．【变式应用】：如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线．（1）若∠POM＝80°，在点A、B运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（2）若AP∥DE，BM∥CE，直接写出∠POM度数．30．（2023春•盐都区期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．在△ABC中，∠A＝n°．（1）设∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，求∠BO′C的度数；（3）∠BOC与∠BO′C有怎样的数量关系？【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：如图1，在△ABC中，∠A＝n°．（1）∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为；（2）△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，则∠BO′C的度数为；（3）∠BOC与∠BO'C的数量关系是．（4）【问题深入】：如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，将△ABC沿MN折叠使得点A与点O重合，请直接写出∠1+∠2与∠BOC的一个等量关系式；（5）如图3，过△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线的交点O′，作直线PQ交AD于点P，交AE 于点Q．当∠APQ＝∠AQP时，∠CO′Q与∠ABC有怎样的数量关系？请直接写出结果．31．（2023春•郯城县期中）已知AB∥CD，直线MN交AB、CD交于点M、N．（1）如图1所示，点E在线段MN上，设∠MBE＝15°，∠MND＝70°，则∠MEB＝．（2）如图2所示，点E在线段MN上，∠1＝∠2，DF平分∠EDC，交BE的延长线于点F，试找出∠AEN、∠1、∠3之间的数量关系，并证明；（提示：不能使用“三角形内角和是180°”）．（3）如图3所示，点B、C、D在同一条直线上，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点P，请直接写出∠A与∠P的数量关系：．32．（2023春•桂林期末）实验与探究小芳同学在用数学图形软件探究平行线的性质时，进行如下实验与探究：在直线CD上取一定点N，作一任意三角形MNP，过点M作直线AB∥CD，并标记∠BMP为∠1，∠DNP为∠2，请用平行线的相关知识解决下列问题．（1）如图1，小芳发现，当点P落在直线AB与CD之间时，总有∠1+∠2＝∠P的结论，请你帮小芳说明理由；（2）将三角形MNP绕点N旋转，当点P落在直线AB与CD之外时（如图2），小芳发现∠1，∠2，∠P之间依然满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P落在直线AB与CD之间时，小芳用数学软件作出∠AMP与∠CNP的角平分线MQ 和NQ，交点为点Q，发现∠P与∠MQN之间也满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由．33．（2023春•增城区期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H 作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．34．（2023春•信都区期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠A的度数是；∠EFB的度数是，②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；（2）若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．35．（2023春•海沧区期中）如图1，在△ABC中，点D是AC延长线上一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，直线DG与直线BC交于点F．（1）证明：∠A+∠ABC＝∠ACF；（2）在图1中，若∠G＝30°，求∠A的度数；（3）如图2，连接FE，若2∠DFE＝∠ABC+2∠G，求证：FE∥AD．36．（2023•诸暨市模拟）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D 重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD交于点G．（1）如图1，点E在线段AD上运动．①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，则∠EGC＝°；②若∠A＝90°，求∠EGC的度数；（2）若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系．37．（2023春•邗江区期末）如图，已知MN∥GH，点C在MN上，点A、B在GH上．在△ABC中，∠ACB ＝90°，∠BAC＝45°，点E、F在直线BC上，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°．（1）图中∠BCN的度数是°；（2）将△DEF沿直线BC平移，当点D在MN上时，求∠CDE的度数；（3）将△DEF沿直线BC平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出∠CDE 的度数．38．（2023春•遂宁期末）如图，直线PQ∥MN，两个三角形如图①放置，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．（1）求∠DEQ的度数；（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒，当t＝10时，边BG与CD有何位置关系？请说明理由．39．（2023春•漳州期末）将一把直角尺放置在钝角△ABC（∠BAC＞90°）上，使得点B、C分别在该直角尺的两条直角边DE、DF上，且直角顶点D与点A在BC边的同侧．（1）如图，点A在直角尺内部．①若∠A＝120°，∠ABD＝10°，求∠ACD的度数；②若∠A＝α，∠ABD＝β，求∠ACD的度数（用含α、β的式子表示）．（2）改变直角尺的位置，使点A在直角尺外部，其它条件不变，探索∠ABD、∠ACD、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．40．（2023春•邗江区校级期末）如图1，△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．（1）若∠A＝50°，则∠F的度数为．（2）过点F作直线MN，交射线AB，AC于点M、N，并将直线MN绕点F转动．①如图2，当直线MN与线段BC没有交点时，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．。

专题1.1三角形的有关线段-2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.1三角形的有关线段姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•禅城区期末）以下各组线段长能组成三角形的是（）A．1，5，6B．4，3，5C．2，5，8D．5，5，12【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解析】根据三角形任意两边的和大于第三边．A、1+5＝6，不能组成三角形，故本选项错误；B、4+3＝7＞5，能组成三角形，故本选项正确；C、5+2＝7＜8，不能够组成三角形，故本选项错误；D、5+5＝10＜12，不能组成三角形，故本选项错误．故选：B．2．（2020春•溧水区期末）若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（）A．2＜c＜5B．3＜c＜8C．2＜c＜8D．2≤c≤8【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围．【解析】根据三角形的三边关系可得5﹣3＜c＜5+3，解得：2＜c＜8，故选：C．3．（2020春•松北区期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解析】线段BE是△ABC的高的图是选项A．故选：A．4．（2020春•和平区期末）如图，在△ABC中，AB边上的高是（）A．AD B．BE C．BF D．CF【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．【解析】在△ABC中，AB边上的高是：CF．故选：D．5．（2020春•郑州期中）如图，在Rt△ABF中，∠F＝90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D，过点C作CE⊥AB交AB于点E，则下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AB边上的高是CEB．△ABC中，BC边上的高是AFC．△ACD中，AC边上的高是CED．△ACD中，CD边上的高是AC【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．【解析】∵过点C作CE⊥AB交AB于点E，∠F＝90°，∴△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AF，∴A、B两个选项说法正确，不符合题意；∵CD⊥AC交AB于点D，∴△ACD中，AC边上的高是CD，CD边上的高是AC，∴C选项说法错误，符合题意；D选项说法正确，不符合题意；故选：C．6．（2020•亳州模拟）下列说法不正确的是（）A．三角形的三条高线交于一点B．直角三角形有三条高C．三角形的三条角平分线交于一点D．三角形的三条中线交于一点【分析】根据三角形的角平分线，三角形中线、高线的性质判断即可．【解析】A、三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，错误；B、直角三角形有三条高，正确；C、三角形的三条角平分线交于一点，正确；D、三角形的三条中线交于一点，正确；故选：A．7．（2020春•高明区期末）如图，已知点D是△ABC中AC边上的一点，线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条（）A．角平分线B．中线C．高线D．边的垂直平分线【分析】三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．【解析】由题意知，当线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条中线．故选：B．8．（2020春•禅城区期末）如图，△ABC中，CD⊥BC于C，D点在AB的延长线上，则CD是△ABC（）A．BC边上的高B．AB边上的高C．AC边上的高D．以上都不对【分析】三角形的高线是过它的一个顶点的垂直于对边的直线，或这条直线上从顶点到与对边交点之间的线段．【解析】CD是△BCD中BC边上的高，而不是△ABC的高．故选：D．9．（2019春•大邑县期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BE⊥AC于E．图中线段可以作为△BCE的高的有（）条．A．0B．1C．2D．3【分析】根据三角形的高的定义即可得到可以作为△BCE的高的条数．【解析】∵BE⊥AC于E，∴△BCE中，BE边上的高是CE，CE边上的高是BE，BC边上的高没有画出，即图中线段可以作为△BCE的高的有CE，BE共2条线段．故选：C．10．（2019秋•越秀区期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（）根木条．A．1B．2C．3D．4【分析】从一个多边形的一个顶点出发，能做（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形．【解析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•灌云县期中）如图，以AD为高的三角形共有6个．【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD 为高的三角形的个数．【解析】∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：612．（2020春•海淀区校级期末）已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为11．【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．【解析】∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为15，AB＝7，BC＝3，∴△BCD的周长是15﹣（7﹣3）＝11，故答案为：1113．（2020•恩施市校级模拟）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝10cm．【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE的周长比△AEB 的周长多2cm，即可得到AC的长．【解析】∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE＝BE，又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC﹣AB＝2cm，即AC﹣8＝2cm，∴AC＝10cm，故答案为：10；14．（2019秋•南通期中）若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是钝角三角形．【分析】根据高的概念，知三角形的三条高所在直线的交点在外部的三角形是钝角三角形．钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点．【解析】若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是钝角三角形．故答案为：钝角．15．（2020春•如东县期末）△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有9个．【分析】结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和已知条件，进行分析．【解析】根据已知条件和三角形的三边关系，得当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；当a＝8，b＝5时，则c＝4．则满足条件的三角形共有9个．故答案为：9．16．（2020春•兴化市期中）已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为8cm．【分析】可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，从而求得周长．【解析】设第三边长为x．根据三角形的三边关系，则有3﹣2＜x＜2+3，即1＜x＜5，因为第三边的长为奇数，所以x＝3，所以周长＝3+3+2＝8．故答案为：8；17．（2020春•宝安区期中）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这其中的数学原理是三角形的稳定性．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【解析】赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．18．（2019春•海淀区校级期末）已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为3．【分析】根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【解析】∵△ABD与△ACD的周长分别是14和12，∴AB+BC+AC+2AD＝14+12＝26，∵△ABC的周长是20，∴AB+BC+AC＝20，∴2AD＝26﹣20＝6，∴AD＝3．故答案为3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•长白县期中）已知：△ABC的周长为24cm，三边长a，b，c满足a：b＝3：4，c＝2a﹣b，求△ABC的三边长．【分析】隐形方程为a+b+c＝24，然后再联立两方程得出方程组，解出a、b、c即可．【解析】由题意得{a+b+c=24a：b=3：4c=2a−b，解得：{a=8b=323c=163．故△ABC的三边长为8cm，323cm，163cm．20．（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可．【解析】设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，即{4x+x=60x+y=40，解得：{x=12y=28，当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，所以AC＝48，AB＝28．21．（2019秋•永定区期中）如图所示，BD是△ABC的中线，AD＝2，AB+BC＝5，求△ABC的周长．【分析】由BD是△ABC的中线，AD＝2，可得AD＝DC，故AC＝4；又AB+BC＝5，∴△ABC的周长可求．【解析】因为BD是△ABC的中线，所以点D是AC的中点，所以AC＝2AD＝4，所以△ABC的周长为AB+BC+AC＝5+4＝9．22．（2019春•大丰区期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE 交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？【分析】利用角平分线和中线的定义解答即可．【解析】AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线；BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线．23．（2019春•莲花县期中）如图所示，AD是△ABC的中线，AB＝6cm，AC＝5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．【分析】根据三角形的周长的计算方法得到，△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．【解析】∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD＝DC=12BC，∴△ABD和△ADC的周长的差＝（AB+12BC+AD）﹣（AC+12BC+AD）＝AB﹣AC＝1．24．（2019秋•浦北县期末）已知a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为12，求c的值．【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c﹣2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c﹣6|＜c，列不等式组求解即可；（2）由△ABC的周长为12，a+b＝3c﹣2，4c﹣2＝12，解方程得出答案即可．【解析】（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，∴{3c−2＞c|2c−6|＜c，解得：2＜c＜6．故c的取值范围为2＜c＜6；（2）∵△ABC的周长为12，a+b＝3c﹣2，∴a+b+c＝4c﹣2＝12，解得c＝3.5．故c的值是3.5．。

专题11.3三角形的外角(限时满分培优测试)-【拔尖特训】2024-2025学年八年级数学上册尖子生

【拔尖特训】2024-2025学年八年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】专题11.3三角形的外角（限时满分培优测试）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分100分，建议时间：30分钟.试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．试题包含基础题、易错题、培优题、压轴题、创新题等类型，没有标记的为基础过关性题目.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023•上城区二模）如图，∠BCD为△ABC的外角，∠A＝64°，∠BCD＝142°，那么∠B＝（）A．60°B．82°C．78°D．80°（第1题）（第2题）（第3题）2．（2023•前郭县二模）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°3．（2023•德惠市二模）如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（）A．27°B．42°C．45°D．70°4．（2023•珠晖区校级模拟）在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°（第4题）（第6题）（第7题）5．（2022秋•宁波期末）如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．（2022秋•城阳区校级期末）如图，下面说法中错误的是（）A．∠B＞∠ACD B．∠B+∠ACB＝180°﹣∠AC．∠B+∠ACB＜180°D．∠HEC＞∠B7．（2023•云岩区校级一模）如图是一个零件形状的示意图，∠B＝20°，∠D＝30°，若按规定∠A＝90°时这个零件合格，那么此时∠BCD的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°8．（易错题）（2023春•句容市月考）如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（）A．60°B．55°C．50°D．45°（第8题）（第9题）（第10题）9．（培优题）（2023春•宜兴市月考）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．（培优题）（2022秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD 和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②∠D=90°−1∠A；③DH∥AB；④∠H=12∠A；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的是（）2A．①②③B．①③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023春•镇海区校级期末）在△ABC中，如果∠B＝52°，∠C＝68°，那么∠A的外角等于度．12．（2023•思明区模拟）一副三角板叠放在一起，如图所示，则图中∠α的度数为．（第12题）（第13题）（第14题）13．（易错题）（2023•太康县一模）如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上，则∠DNM＝．14．（易错题）（2023•灞桥区校级模拟）已知△ABC中，∠A＝70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB 的外角角平分线，交点为D，则∠D＝．15．（培优题）（2023春•江都区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠ABC＝40°，AE平分△ABC 的外角∠BAD，射线CF将∠ACB分成1：2两部分．若AE、CF交于点G，则∠AGC＝．（第15题）（第16题）16．（培优题）（2022秋•黄埔区期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE 为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是．（把所有正确的结论的序号写在横线上）三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023春•铜仁市期中）如图，求x和y的值．18．（2022春•天宁区校级期中）已知，如图三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD．试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系并说明理由．19．（2021•迎泽区校级开学）如图，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，BD平分∠ABC交AC 于点D，点E为线段BD上的任一点．（1）试求∠BDC的度数；（2）求证：∠BEC＞∠A．20．（易错题）（2022秋•庐阳区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数．21．（易错题）（2022秋•龙华区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠ABC的角平分线与外角∠EAC 的角平分线交于点D．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠BAC＝36°，求∠ADB的度数．22．（培优题）（2022秋•海丰县期末）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+12∠A的理由．【深入探究】（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是；②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．23．（压轴题）（2023春•东阿县期末）探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如下图①，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APC与∠A，∠C之间的数量关系．已知AB∥CD，点P不在直线AB和直线CD上，在图①中，智慧小组发现：∠APC＝∠A+∠C．智慧小组是这样思考的：过点P作PQ∥AB⋯请你按照智慧小组作的辅助线补全推理过程．类比思考：（1）在图②中，∠APC与∠A、∠C之间的数量关系为；（2）如图③，已知AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的数量关系为．解决问题：善思小组提出：如图④⑤，AB∥CD，AF、CF分别平分∠BAP、∠DCP．请分别求出图④、图⑤中，∠AFC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．。

培优训练——三角形人教版八年级数学上册

；（用含 x，y 的代数式表示）
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（3）如图 2，若△ABC 是钝角三角形，其他条
件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由. （3）解：（2）中的结论成立．理由如下. ∵∠B=x，∠ACB=y， ∴∠BAC=180°-x-y. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠DAC= ∠BAC=90°- x- y.
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12. 【探究】如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点 P.
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 50 度，∠P= 115 度；
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（3）【应用】如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平
分线与∠ACB 的平分线相交于点 P. ∠ABC
的外角平分线与∠ACB 的外角平分线相交于
点 Q.直接写出∠A 与∠Q 的
数量关系为
.
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6. 如图， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 540° .
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7. 如图，∠B=∠C，DE⊥BC 于点 E，EF⊥AB 于点 F，若∠ADE=140°，则∠FED= 50° .

专题11认识三角形-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.1认识三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•椒江区期末）已知一个三角形的两条边长分别是3和5，则第三条边的长度不能是（）A．2B．3C．4D．5【分析】设第三边长为x，然后再利用三边关系列出不等式，进而可得答案．【解析】设第三边长为x，由题意得：5﹣3＜x＜5+3，即：2＜x＜8，∴2不可以，符合题意，故选：A．2．（2020秋•鄞州区期中）如图，在△ABC中，AB边上的高为（）A．CG B．BF C．BE D．AD【分析】利用三角形高的定义可得答案．【解析】在△ABC中，AB边上的高为CG，故选：A．3．（2019秋•下城区期末）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（）A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，故选：D．4．（2020秋•增城区期末）如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用中线定义可得DB＝DC，再表示两个三角形周长，进而可得答案．【解析】∵AD为中线，∴DB＝DC，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2020﹣2018＝2，故选：B．5．（2020秋•丰台区期末）如图所示，△ABC的边AC上的高是（）A．线段AE B．线段BA C．线段BD D．线段DA【分析】根据三角形高线的定义，过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D，则BD为AC边上的高．【解析】由题意可知，△ABC的边AC上的高是线段BD．故选：C．6．（2020春•商水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．【解析】∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；故选：C．7．如图，AD⊥BE，垂足为D，点C在BE上，以AD为高的三角形有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【分析】由AD⊥BE，根据三角形的高的定义，可知AD与BE上任意两点所连的线段垂直，进而求解即可．【解析】由题意可得，以AD为高的三角形有△ABD，△ABC，△ABE，△ADC，△ADE，△ACE，一共6个．故选：A．8．（2019秋•邕宁区校级期中）下列说法正确的是（）A．三角形的三条高是三条直线B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．三角形每一边上的高都小于其他两边【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断．【解析】A、三角形的三条高是三条线段，本选项说法错误；B、直角三角形有三条高，本选项说法错误；C、锐角三角形的三条高都在三角形内，本选项说法正确；D、三角形每一边上的高不一定都小于其他两边，本选项说法错误；故选：C．9．（2020春•射洪市期末）如图，在Rt△ABF中，∠F＝90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D，过点C作CE⊥AB交AB于点E，则下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AB边上的高是CEB．△ABC中，BC边上的高是AFC．△ACD中，AC边上的高是CED．△ACD中，CD边上的高是AC【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．【解析】∵过点C作CE⊥AB交AB于点E，∠F＝90°，∴△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AF，∴A、B两个选项说法正确，不符合题意；∵CD⊥AC交AB于点D，∴△ACD中，AC边上的高是CD，CD边上的高是AC，∴C选项说法错误，符合题意；D选项说法正确，不符合题意；故选：C．10．（2020春•常熟市期末）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，则S△ABC为（）A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2【分析】根据EF＝2BF，S△BCF＝2cm2，求得S△BEC＝3S△BCF＝6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2，从而求出S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，再根据S△ABC＝2S△ABD计算即可得解．【解析】如图，∵EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，∴S△BEC＝3S△BCF＝3×2＝6cm2，∵D是BD的中点，∴S△BDE＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2，∵E是AD的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，∴△ABC的面积为12cm2，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•长春期末）如图，为了让椅子更加稳固，军军在椅子上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性．【分析】利用三角形的稳定性进行解答即可．【解析】为了让椅子更加稳固，军军在椅子上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，故答案为：稳定性．12．（2020秋•绥中县期末）下列长度的三条线段：①5、6、12；②4、4、10；③4、6、10；④3、4、5．能组成三角形的是④．（填序号即可）【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【解析】①5+6＜12，不能组成三角形；②4+4＜10，不能组成三角形；③4+6＝10，不能组成三角形；④3+4＞5，能组成三角形．故答案为：④．13．（2020春•海淀区校级期末）已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为11．【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．【解析】∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为15，AB＝7，BC＝3，∴△BCD的周长是15﹣（7﹣3）＝11，故答案为：1114．（2018秋•平潭县期中）如图，△ABC中BC边上的高是AE线段．【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．【解析】△ABC中BC边上的高是AE；故答案为：AE15．（2020春•灌云县期中）如图，以AD为高的三角形共有6个．【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．【解析】∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：616．（2019秋•宾县期末）三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是7≤a＜12．【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．【解析】根据三角形三边关系定理知：①当a＝7时，最长的边a＝7；②当a≠7时，最长边a的取值范围是：7＜a＜（7+5），即7＜a＜12；故答案为：7≤a＜12．17．（2018春•大东区校级期中）如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝5cm；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝40°，∠DAF＝10°．【分析】熟悉三角形的角平分线、中线、高的概念：三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；连接顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；三角形的高即从顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念，运用几何式子表示．【解析】∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm，∴BE＝5cm，∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∴∠BAD＝40°，∵AF是高，∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAF＝40°﹣30°＝10°，故答案为：5cm；40°；10°．18．（2020春•兴化市月考）若D、E分别是BC、AD的中点，且S△ABC＝10，则S△AEC＝ 2.5．【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分即可求得结果．【解析】∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴S△ADC＝S△BDC=12S△ABC＝5，∵CE是△ADC的AD边上的中线，∴S△AEC=12S△ADC＝2.5，故答案为2.5．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•双阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．（1）求AB、AC的长．（2）求BC边的取值范围．【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．【解析】（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝10②，①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，②﹣①得，2AC＝8，解得AC＝4，∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；（2）∵AB＝6，AC＝4，∴2＜BC＜10．20．（2020秋•庆阳期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；（3）直接写出△ABE的面积为4．【分析】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可；（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；（3）根据三角形的面积公式计算即可．【解析】（1）如图所示，线段AD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求；（3）S△ABC=12BC•AD=12×4×4＝8．∴△ABE的面积=12S△ABC＝4，故答案为：4．21．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G．（1）分别写出△ABC各条边上的高；（2）CF是哪几个三角形的高？【分析】（1）根据三角形的高的概念，写出△ABC三条边上的高即可；（2）根据三角形的高的概念，由CF⊥AB，垂足为点F解答即可．【解析】（1）由题意，可得△ABC中，AB边上的高是CF，BC边上的高是AD，AC边上的高是BG；（2）∵CF⊥AB，垂足为点F，∴CF是△BCF，△BCE，△BCA，△FCE，△FCA，△ECA的高．22．如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD．（1）写出△ABE的三个内角；（2）在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC；（3）图中共有6个三角形，把它们分别写出来．这些三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？（4）线段AD是哪几个三角形的公共边？（5）∠ADC是哪几个三角形的公共角？∠AED呢？【分析】（1）根据三角形内角的定义，结合图形即可求解；（2）根据三角形中角的对边的定义，结合图形即可求解；（3）根据三角形的定义，结合数出图中三角形的个数，再根据直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的定义进行分类；（4）根据三角形的边的定义，结合图形即可求解；（5）根据三角形的角的定义，结合图形即可求解．【解析】（1）△ABE的三个内角是：∠BAE，∠B，∠AEB；（2）在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC．故答案为：AD；AC；（3）图中共有6个三角形，分别是：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．这些三角形中，直角三角形是：△ABE，△ADE，△AEC；锐角三角形是：△ABC，△ADC；钝角三角形是：△ABD．故答案为：6；（4）线段AD是△ABD，△ADE，△ADC的公共边；（5）∠ADC是△ADE，△ADC的公共角；∠AED是△ABE，△ADE的公共角．23．（2020秋•江津区期中）a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为18，求c的值．【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c﹣2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c﹣6|＜c，列不等式组求解即可；（2）由△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2，4c﹣2＝18，解方程得出答案即可．【解析】（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，∴{3c−2＞c|2c−6|＜c，解得：2＜c＜6；（2）∵△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2，∴a+b+c＝4c﹣2＝18，解得c＝5．24．（2020春•五华区校级期末）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，AB=32 AC．（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可；（2）根据三角形周长和边的关系解答即可．【解析】（1）∵AB=32AC，AC＝10cm，∴AB＝15cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝8cm．∵AD是BC边上的中线，∴BD=12BC=4cm．（2）不能，理由如下：∵AB=32AC，AC＝12cm，∴AB＝18cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝3cm．∵AC+BC＝15＜AB＝18，∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．。

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典专题3

专题3.5第3章位置与坐标单元测试（培优卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•开福区校级期末）将点M（1，1）向左平移1个单位长度，向下平移2个单位到点N，那么点N的坐标是（）A．（0，﹣1）B．（0，﹣2）C．（0，﹣3）D．（1，1）【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．【解析】点M（1，1）向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到点N的坐标是（1﹣1，1﹣2），即（0，﹣1），故选：A．2．（2020春•成都期末）在平面直角坐标系中，将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标都加上3，则所得图形与原图形的关系是：将原图形（）A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位【分析】利用平移中点的变化规律求解即可．【解析】在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都加上3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比，向右平移了3个单位．故选：B．3．（2020•江汉区校级一模）将点P（﹣2，﹣3）向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是（）A．（1，﹣3）B．（﹣2，1）C．（﹣5，﹣1）D．（﹣5，5）【分析】让P的横坐标减3，纵坐标加2即可得到点Q的坐标．【解析】根据题意，点Q的横坐标为：﹣2﹣3＝﹣5；纵坐标为﹣3+2＝﹣1；即点Q的坐标是（﹣5，﹣1）．故选：C．4．（2019•新会区一模）将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（）A．（5，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣5）D．（5，﹣5）【分析】根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．【解析】将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B（﹣1.3），故选：B．5．（2020春•濮阳期末）在平面直角坐标系中，点P在第四象限，距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点P的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（3，﹣4）D．（﹣3，4）【分析】根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第四象限点的坐标符号特点可得答案．【解析】∵点P位于第四象限，且距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度，∴点P的纵坐标为﹣4，横坐标为3，即点P的坐标为（3，﹣4），故选：C．6．（2015春•长安区期中）四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图3所示，若AD⊥CD，AB∥CD，AB＝5，A点坐标为（﹣2，7），则点B坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，12）C．（3，7）D．（﹣7，7）【分析】由题意知AB∥x轴，得出A、B两点纵坐标相同，由A点横坐标为﹣2，AB＝5，点B在第一象限，所以点B横坐标为3，即可求出点B坐标．【解析】∵AB∥CD，∴AB∥x轴，∴A、B两点纵坐标相同为7，∵AB∥x轴，AB＝5，点B在第一象限，∴点B横坐标为3，∴B（3，7）．故选：C ．7．（2019秋•庐阳区校级月考）已知过A （﹣1，a ），B （2，﹣2）两点的直线平行于x 轴，则a 的值为（） A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣2【分析】根据两点所在直线平行于x 轴，那么这两点的纵坐标相等解答即可．【解析】∵过A （﹣1，a ），B （2，﹣2）两点的直线平行于x 轴， ∴a ＝﹣2，故选：D ．8．（2020春•海安市期中）在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段PQ ＝5，若点P 坐标是（﹣2，1），则点Q 不在第（）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四【分析】在平面直角坐标系中画出过点P 且平行于坐标轴的直线，分别截取线段PQ 1＝PQ 2＝PQ 3＝PQ 4＝5，则可知点Q 不在第四象限．【解析】如图所示，过点P （﹣2，1）作平行于坐标轴的直线，分别取线段PQ 1＝PQ 2＝PQ 3＝PQ 4＝5，点Q 不在第四象限．故选：D ．9．（2019•庆云县二模）预备知识：线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设点M 为线段AB 的中点，则点M 的坐标为（x 1+x 22，y 1+y 22）应用：设线段CD 的中点为点N ，其坐标为（3，2），若端点C 的坐标为（7，3），则端点D 的坐标为（） A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，4）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，4）【分析】根据线段的中点坐标公式即可得到结论．【解析】设D （x ，y ），由中点坐标公式得：7+x 2=3，3+y 2=2，∴x ＝﹣1，y ＝1， ∴D （﹣1，1），故选：A ．10．（2019秋•深圳期中）已知坐标平面内，线段AB ∥x 轴，点A （﹣2，4），AB ＝1，则B 点坐标为（） A ．（﹣1，4）B ．（﹣3，4）C ．（﹣1，4）或（﹣3，4）D ．（﹣2，3）或（﹣2，5）【分析】根据题意知点B 与点A 的纵坐标相等，且与点A 的距离是1．【解析】∵坐标平面内，线段AB ∥x 轴， ∴点B 与点A 的纵坐标相等， ∵点A （﹣2，4），AB ＝1，∴B 点坐标为（﹣1，4）或（﹣3，4）．故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•道里区期末）若4排3列用有序数对（4，3）表示，那么表示2排5列的有序数对为（2，5）．【分析】由题意知第1个数字表示排数，第2个数字表示列数，据此可得．【解析】若4排3列用有序数对（4，3）表示，那么表示2排5列的有序数对为（2，5），故答案为：（2，5）．12．（2020•达州）如图，点P （﹣2，1）与点Q （a ，b ）关于直线l （y ＝﹣1）对称，则a +b ＝ ﹣5 ．【分析】利用轴对称的性质求出点Q 的坐标即可．【解析】∵点P （﹣2，1）与点Q （a ，b ）关于直线l （y ＝﹣1）对称， ∴a ＝﹣2，b ＝﹣3，∴a +b ＝﹣2﹣3＝﹣5，故答案为﹣5．13．（2020•房山区二模）如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣3，﹣2），“炮”位于点（﹣2，0），则“兵”位于的点的坐标为（﹣5，1）．【分析】直接利用“帅”位于点（﹣3，﹣2），即可得出原点的位置，进而得出“兵”位于的点的坐标．【解析】如图所示：“兵”位于的点的坐标为：（﹣5，1）．故答案为：（﹣5，1）14．（2019秋•德城区校级期中）平面内点A （﹣1，2）和点B （﹣1，a ）关于直线y ＝4对称，a ＝ 6 ．【分析】根据对称的性质构建方程即可解决问题．【解析】∵点A （﹣1，2）和点B （﹣1，a ）关于直线y ＝4对称， ∴2+a 2=4，∴a ＝6．故答案为6．15．（2020春•房县期末）平面直角坐标系中，点A （﹣3，2），B （3，4），C （x ，y ），若AC ∥x 轴，则线段BC 取最小值时C 的坐标为（3，2）．【分析】由垂线段最短可知点BC ⊥AC 时，BC 有最小值，从而可确定点C 的坐标．【解析】如图所示：由垂线段最短可知：当BC ⊥AC 时，BC 有最小值． ∴点C 的坐标为（3，2），线段的最小值为2．故答案是：（3，2）．16．（2020春•自贡期末）已知点M （a ，b ）的坐标满足ab ＞0，且a +b ＜0，则点N （1﹣a ，b ﹣1）在第四象限．【分析】由于ab ＞0则a 、b 同号，而a +b ＜0，于是a ＜0，b ＜0，判断出1﹣a 和b ﹣1的符号，然后根据各象限点的坐标特点进行判断．【解析】∵ab ＞0， ∴a 、b 同号， ∵a +b ＜0， ∴a ＜0，b ＜0， ∴1﹣a ＞0，b ﹣1＜0，∴点N （1﹣a ，b ﹣1）在第四象限．故答案为：四．17．（2019秋•五常市期末）在平面直角坐标系中，直线l 过点M （3，0），且平行于y 轴，点P 的坐标是（﹣a ，0），其中0＜a ＜3，点P 关于y 轴的对称点是P 1，点P 1关于直线l 的对称点是P 2，则PP 2的长为 6 ．【分析】P 与P 1关于y 轴对称，利用关于y 轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P 1的坐标，再由直线l 的方程为直线x ＝3，利用对称的性质求出P 2的坐标，即可PP 2的长．【解析】如图，当0＜a ＜3时，∵P 与P 1关于y 轴对称，P （﹣a ，0）， ∴P 1（a ，0），又∵P 1与P 2关于l ：直线x ＝3对称，设P 2（x ，0），可得：x+a 2=3，即x ＝6﹣a ，∴P 2（6﹣a ，0），则PP 2＝6﹣a ﹣（﹣a ）＝6﹣a +a ＝6．故答案为6．18．（2020•门头沟区一模）如图，直线l1⊥l2，在某平面直角坐标系中，x轴∥11，y轴∥l2，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（2，﹣1），那么点C在第三象限．【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．【解析】如图，∵点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（2，﹣1），∴点A位于第二象限，点B位于第四象限，∴点C位于第三象限．故答案是：三．三、解答题（本大题8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•东城区校级期末）如图，在正方形网格中，若点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（2，1）．（1）依题意，在图中建立平面直角坐标系；（2）图中点C的坐标是（﹣1，﹣1），（3）若点D的坐标为（0，3），在图中标出点D的位置；（4）将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点B'的坐标是（﹣1，2），△AB'C的面积为3．【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点建立坐标系即可；（2）根据图中坐标得出C坐标解答即可；（3）根据坐标特点画出图形即可；（4）根据平移特点和三角形的面积公式解答即可．【解析】（1）如图所示．（2）C（﹣1，﹣1）．（3）如图所示：D点即为所求；（4）B'（﹣1，2）；△AB'C的面积=12×2×3=3．故答案为：（﹣1，﹣1）；（﹣1，2）；3．20．（2019秋•苍南县期末）在4×4的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是（0，1），（﹣1，﹣1）．（1）请图1中添加一个格点C，使得△ABC是轴对称图形，且对称轴经过点（0，﹣1）．（2）请图2中添加一个格点D，使得△ABD也是轴对称图形，且对称轴经过点（1，1）．【分析】（1）根据题意画出满足条件的点C即可．（2）根据题意画出满足条件的点C即可．【解析】（1）如图，点C即为所求．（2）如图，点D即为所求．21．（2019秋•裕安区期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′、C′的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′、C′的坐标；（2）根据三角形的面积公式即可求出结果；（3）设P（0，y），再根据三角形的面积公式求出y的值即可．【解析】（1）如图所示：A′（0，4）、B′（﹣1，1）、C′（3，1）；（2）S△ABC=12×（3+1）×3＝6；（3）设点P 坐标为（0，y ）， ∵BC ＝4，点P 到BC 的距离为|y +2|，由题意得12×4×|y +2|＝6，解得y ＝1或y ＝﹣5，所以点P 的坐标为（0，1）或（0，﹣5）．22．（2017秋•监利县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．（1）由图观察易知点A （0，2）关于直线l 的对称点A ′坐标为（2，0），请在图中分别标明点B （5，3），C （﹣2，﹣5）关于直线l 的对称点B ′，C ′的位置，并写出它们的坐标：B ′ （3，5）、C ′ （﹣5，﹣2）；（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P ′坐标为（b ，a ）．【分析】（1）分别作出点B和C关于直线y＝x的对称点B′、C′，然后写出它们的坐标；（2）利用（1）三组对应点的坐标规律得到关于直线y＝x对称的点的坐标特征为横纵坐标互换．【解析】（1）如图，B′（3，5）、C′（﹣5，﹣2）；（2）P′（b，a）．故答案为（3，5），（﹣5，﹣2）；P′（b，a）．23．（2020春•港南区期末）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A′B′C′的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1），然后描点；（2）由（1）可得到三个对应点的坐标．【解析】（1）如图，（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）．24．（2019春•自贡期末）已知三角形ABC与三角形A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图（1）分别写出点B、B'的坐标：B（3，﹣4），B'（﹣2，0）；（2）若点P（a，b）是三角形ABC内部一点，则平移后三角形A'B'C'内的对应点P'的坐标为（a﹣5，b+4）；（3）求三角形ABC的面积．【分析】（1）根据B′，C′的位置写出坐标即可．（2）根据平移规律解决问题即可．（3）利用分割法求出△ABC的面积即可．【解析】（1）观察图象可知B（3，﹣4），B′（﹣2，0）．故答案为：（3，﹣4），（﹣2，0）．（2）由题意△A′B′C′是由△ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到，∴P′（a﹣5，b+4）．故答案为（a﹣5，b+4）．（3）S△ABC＝4×4−12×2×4−12×4×1−12×2×3＝7．25．（2019秋•泰兴市期中）在平面直角坐标系中，有点A（a+1，2），B（﹣a﹣5，2a+1）．（1）若线段AB∥y轴，求点A、B的坐标；（2）当点B在第二、四象限的角平分线上时，求A点坐标．【分析】（1）由AB∥y轴知横坐标相等求出a的值，从而得出a的值，再得出点A，B的坐标即可；（2）根据在第二、四象限的角平分线上时，横纵坐标互为相反数求得a值即可．【解析】（1）∵线段AB∥y轴，∴a+1＝﹣a﹣5，解得：a＝﹣3，∴点A（﹣2，2），B（﹣2，﹣5）；（2）∵点B（﹣a﹣5，2a+1）在第二、四象限的角平分线上，∴（﹣a﹣5）+（2a+1）＝0．解得a＝4．∴点A的坐标为（5，2）．26．（2020春•官渡区期末）问题情境：在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；【应用】：（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为3．（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．【拓展】：我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．解决下列问题：（1）如图1，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F）＝5；（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝2或﹣2．（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝4或8．【分析】【应用】：（1）根据若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|，代入数据即可得出结论；（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），根据CD＝2即可得出|0﹣m|＝2，解之即可得出结论；【拓展】：（1）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论；（2）根据两点之间的折线距离公式结合d（E，H）＝3，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合三角形OPQ的面积为3即可求出x 的值，再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论．【解析】【应用】：（1）AB 的长度为|﹣1﹣2|＝3．故答案为：3．（2）由CD ∥y 轴，可设点D 的坐标为（1，m ），∵CD ＝2，∴|0﹣m |＝2，解得：m ＝±2，∴点D 的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．故答案为：（1，2）或（1，﹣2）．【拓展】：（1）d （E ，F ）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5．故答案为：＝5．（2）∵E （2，0），H （1，t ），d （E ，H ）＝3，∴|2﹣1|+|0﹣t |＝3，解得：t ＝±2．故答案为：2或﹣2．（3）由点Q 在x 轴上，可设点Q 的坐标为（x ，0），∵三角形OPQ 的面积为3，∴12|x |×3＝3，解得：x ＝±2．当点Q 的坐标为（2，0）时，d （P ，Q ）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4；当点Q 的坐标为（﹣2，0）时，d （P ，Q ）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8．故答案为：4或8．。

专题1.2三角形的内角-2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(原卷版)【人教版】

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.2三角形的内角（人教版）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•天心区期末）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．（2020春•江阴市期中）将一副三角板如图放置，作CF∥AB，则∠EFC的度数是（）A．90°B．100°C．105°D．110°3．（2020春•赣榆区期中）下列条件能说明△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A＝∠B+∠CC．∠A：∠B：∠C＝2：3：4D．∠A＝40°，∠B＝55°4．（2019秋•宜兴市期中）如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°5．（2019春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠ABD＝∠BCD，则∠BDC的度数是（）A．115°B．110°C．105°D．100°6．（2019春•常州期中）下列条件：①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A=12∠B=13∠C；④∠A＝∠B＝2∠C；⑤∠A＝∠B=12∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．（2019春•兴化市期中）在△ABC中，∠C＝40°，∠B＝4∠A，则∠A为（）度．A．30B．28C．26D．408．（2019春•垦利区期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C 落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°9．（2019春•南京期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且∠EDF＝∠B，若∠2＝2∠1，则∠EDB的度数为（）A．120°﹣a B．60°+13a C．90°−12a D．45°+23a10．（2019春•泰兴市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝40°，高BE、CF交于点O，则∠BOC为（）A．40°B．110°C．130°D．140°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019春•京口区校级月考）如图，点D在三角形ABC的边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝20°，则∠ACE的大小是度．12．（2019春•广陵区校级月考）一个三角形三个内角度数的比是2：5：4，那么这个三角形是三角形．13．（2019春•崇川区校级月考）若△ABC为钝角三角形，且∠A＝50°，则∠B的取值范围为．14．（2019春•江宁区校级月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，用∠1和∠2表示出∠A，则关系式是．15．（2019春•长春月考）当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”，如果一个“梦想三角形”有一个角为120°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为．16．（2018秋•新抚区校级月考）在△ABC中，若2（∠A+∠C）＝3∠B，则∠B的度数为．17．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝°．18．（2020春•如皋市期末）在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•崇川区校级月考）如图，已知，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，∠DBE＝60°，求∠C的度数．20．（2019春•东台市校级月考）如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°，∠C＝50°．（1）求∠DAE的度数；（2）试写出∠DAE与∠C、∠B之间的数量关系（不必说明理由）．21．（2018秋•江都区月考）如图：有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其沿CD折叠，使点A落在边CB上的点A′处，求∠A′DB的度数．22．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E 作EF∥AD，交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．23．（2020春•赣榆区期中）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．24．（2020春•相城区期中）已知（如图1）在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC，点E在AD的延长线上，过点E作EF⊥BC于点F，设∠B＝α，∠C＝β．（1）当α＝80°，β＝30°时，求∠E的度数；（2）试问∠E与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系，试用α、β表示∠E，并说明理由；（3）若∠EFB与∠BAE平分线交于点P（如图2），当点E在AD延长线上运动时，∠P是否发生变化，若不变，请用α、β表示∠P；若变化，请说明理由．。

2021年人教版数学八年级上册《三角形》专题培优练习(含答案)

2021年人教版数学八年级上册《三角形》专题培优练习一、选择题1.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（）A.80°B.82.5°C.90°D.85°2.如图，l1∥l2，则下列式子中值等于180°的是（）A.∠α+∠β+∠γB.∠α+∠β－∠γC.∠α+∠γ－∠βD.∠β－∠α+∠γ3.小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A.180°B.210°C.360°D.270°4.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，S△BDG=8，S△AGE=3，则S△ABC=( )A.25B.30C.35D.405.已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )A.2a＋2b－2cB.2a＋2bC.2cD.06.如图，∠1，∠2，∠3，∠4的数量关系为( )A.∠1＋∠2=∠4－∠3B.∠1＋∠2=∠3＋∠4C.∠1－∠2=∠4－∠3D.∠1－∠2=∠3－∠47.若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为( )A.4∶3∶2B.3∶2∶4C.5∶3∶1D.3∶1∶58.如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG(∠E=60°)的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M，若∠AHG=50°，则∠FMD等于（）A．10° B．20° C．30° D．50°9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于( )A．120° B．108° C．72° D．36°10.一个广场地面的一部分如图所示，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成，从里往外共10层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外界都围成一个多边形，若中央正六边形地砖的边长是1米，则第10层的外边界围成的多边形的周长是（）A．54 B．54 C．60 D．6611.如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点0，点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，则第2018秒时，点P的坐标是( )A.(1，)B.(-1，-)C.(1，-)D. (-1，)12.有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A.144°B.84°C.74°D.54°二、填空题13.小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为.14.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5= .15.如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A=147°，∠B=121°，则∠C= .16.△ABC中，∠B=40°，D在BA的延长线上，AE平分∠CAD，且AE∥BC，则∠BAC= .17.已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是．18.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H.下面说法中正确的序号是 .①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH.三、解答题19.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC.（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数.（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE= .（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）20.如图，在△ABC中(AB>BC)，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40的两部分，求AC和AB的长．21.已知：如图，在△ABC 中，∠B>∠C ，AE 为∠BAC 的平分线，AD ⊥BC 于点D.求证：∠DAE=12(∠B －∠C).22.如图，∠EOF=90°，点A ，B 分别在射线OE ，OF 上移动，连结AB 并延长至点D ，∠DBO 的平分线与∠OAB 的平分线交于点C ，试问：∠ACB 的度数是否随点A ，B 的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A ，B 的移动而发生变化，请给出变化的范围.23.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，BE 平分∠ABC ，分别交AC ，CD 于点E ，F. 求证：∠CEF=∠CFE.24.如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：(1)在图1中，试说明∠A、∠B、∠C、∠D之间的关系；(2)如图2，在(1)的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N.①若∠D=40°，∠B=36°，则∠P=________；②探究∠P与∠D、∠B之间有何数量关系，并说明理由．25.如图,△ABC中,A1,A2,A3,…,A n为AC边上不同的n个点,首先连接BA1,图中出现了3个不同的三角形,再连接BA2,图中便有6个不同的三角形,……(1)完成下表:(2)若出现了45个三角形,则共连接了多少个点?(3)若一直连接到A n,则图中共有个三角形.参考答案1.答案为：B.2.答案为：B.3.答案为：B.4.答案为：B.5.答案为：D.6.答案为：A.7.答案为：C.8.答案为：B9.答案为：B.10.答案为：D．11.答案为：D12.答案为：9.13.答案为：100°.14答案为：40°.15.答案为：92°16.答案为：100°17.答案为：2b﹣2c.18.答案为：①②③.19.解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC，而∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∴∠EAC=90°﹣∠B﹣∠C，∵∠DAC=90°﹣∠C，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣∠C﹣[90°﹣∠B﹣∠C]=（∠B﹣∠C），（1）若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE=（70°﹣40°）=15°；（2）若∠B ﹣∠C=30°，则∠DAE=×30°=15°；（3）若∠B ﹣∠C=α（∠B ＞∠C ），则∠DAE=α；故答案为15°.20.解：∵AD 是BC 边上的中线，AC=2BC ，∴BD=CD ，AC=4BD ．设BD=CD=x ，AB=y ，则AC=4x ．分两种情况讨论：①AC ＋CD=60，AB ＋BD=40，则4x ＋x=60，x ＋y=40，解得x=12，y=28，即AC=4x=48，AB=28，BC=2x=24，此时符合三角形三边关系定理． ②AC ＋CD=40，AB ＋BD=60，则4x ＋x=40，x ＋y=60，解得x=8，y=52，即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，此时不符合三角形三边关系定理．综上所述，AC=48，AB=28．21.证明：∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠BAE=12∠BAC=12(180°－∠B －∠C). ∵AD ⊥BC ，∴∠BAD=90°－∠B ，∴∠DAE=∠BAE －∠BAD=12(180°－∠B －∠C)－(90°－∠B)=12(∠B －∠C). 22.解：∠ACB 的度数不随点A ，B 的移动发生变化.理由如下：∵BC ，AC 分别平分∠DBO ，∠BAO ，∴∠DBC=12∠DBO ， ∠BAC=12∠BAO. ∵∠DBO ＋∠OBA=180°，∠OBA ＋∠BAO ＋∠AOB=180°，∴∠DBO=∠BAO ＋∠AOB ，∴∠DBO －∠BAO=∠AOB=90°.∵∠DBC ＋∠ABC=180°，∠ABC ＋∠ACB ＋∠BAC=180°，∴∠DBC=∠BAC ＋∠ACB ，∴12∠DBO=12∠BAO ＋∠ACB ，∴∠ACB=12(∠DBO －∠BAO)=12∠AOB=45°. 23.证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE.∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴∠CEF ＋∠CBE=90°，∠DFB ＋∠ABE=90°，∴∠CEF=∠DFB.又∵∠CFE=∠DFB ，∴∠CEF=∠CFE.24.解：(1)在△AOD 中，∠AOD=180°－∠A －∠D ，在△BOC 中，∠BOC=180°－∠B －∠C ，∵∠AOD=∠BOC ，∴180°－∠A －∠D=180°－∠B －∠C.∴∠A ＋∠D=∠B ＋∠C.（2）①38°，②根据“8字形”数量关系，∠OAD ＋∠D=∠OCB ＋∠B ， ∠DAM ＋∠D=∠PCM ＋∠P ，∴∠OCB －∠OAD=∠D －∠B ，∠PCM －∠DAM=∠D －∠P.∵AP 、CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的平分线，∴∠DAM=12∠OAD ，∠PCM=12∠OCB .∴∠PCM －∠DAM=12∠OCB －12∠OAD. ∴∠D －∠P=12(∠D －∠B)． ∴2∠P=∠B ＋∠D ，即∠P 与∠D 、∠B 之间的数量关系为2∠P=∠B ＋∠D.25.解：(1)(2)共连接了8个点.(3)1+2+3+…+(n+1)=0.5[1+2+3+…+(n+1)+1+2+3+…+(n+1)]=0.5(n+1)(n+2). 故填0.5(n+1)(n+2).。

专题13探索三角形全等的条件-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【苏科版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.3探索三角形全等的条件姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•鼓楼区期末）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，则添加下列条件不能使△ABC≌△DEF成立的是（）A．∠B＝∠E B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．BC＝EF【分析】利用判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析．【解析】A、添加∠B＝∠E，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、添加∠C＝∠F，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；C、添加AC＝DF，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、添加BC＝EF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；故选：D．2．（2020秋•宝应县期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）A．BE＝CE B．∠A＝∠D C．EC＝CF D．BE＝CF【分析】利用判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS进行分析．【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，A、添加BE＝CE，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、添加∠A＝∠D，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；C、添加EC＝CF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、添加BE＝CF，可利用ASA定理判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；故选：D．3．（2020秋•泰兴市期末）如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理ASA得出即可．【解析】如图，只要量出AB的长和∠A和∠B的度数，再画出一个三角形DEF，使EF＝AB，∠E＝∠A，∠F＝∠B即可，故选：A．4．（2020秋•常州期末）如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90°C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．【解析】在△ABC与△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；B、根据HL即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；C、根据SAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；D、根据SSS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；故选：A．5．（2020秋•南京期末）在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝50°，AB ＝8，下列条件能得到△ABC ≌△DEF 的是（）A ．∠D ＝60°，∠E ＝50°，DF ＝8B ．∠D ＝60°，∠F ＝50°，DE ＝8C ．∠E ＝50°，∠F ＝70°，DE ＝8D ．∠D ＝60°，∠F ＝70°，EF ＝8【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【解析】∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B ＝∠E ＝50°，∠A ＝∠D ＝60°，AB ＝DE ＝8，∴∠F ＝180°﹣∠E ﹣∠D ＝70°，故选：C ．6．（2020秋•东台市期末）如图，点E 、F 在AC 上，AD ＝BC ，DF ＝BE ，要使△ADF ≌△CBE ，还需要添加一个条件是（）A ．AD ∥BCB ．DF ∥BEC ．∠A ＝∠CD ．∠D ＝∠B【分析】全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，根据以上定理逐个进行判断即可．【解析】∠D ＝∠B ，理由是：∵在△ADF 和△CBE 中{AD =BC ∠D =∠B DF =BE，∴△ADF ≌△CBE （SAS ），即选项D 正确；具备选项A 、选项B ，选项C 的条件都不能推出两三角形全等，故选：D ．7．（2020秋•顺城区期末）如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（）A ．∠A ＝∠DB ．AB ＝DC C ．∠ACB ＝∠DBCD ．AC ＝BD【分析】利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【解析】A 、添加∠A ＝∠D 可利用AAS 判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；B 、添加AB ＝DC 可利用SAS 判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；C 、添加∠ACB ＝∠DBC 可利用ASA 判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；D 、添加AC ＝BD 不能判定△ABC ≌△DCB ，故此选项符合题意；故选：D ．8．（2020秋•东海县期末）如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，下列条件中不能使△ABC ≌△DCB 的是（）A ．AB ＝DC B ．AC ＝DB C ．∠1＝∠2D ．∠A ＝∠D【分析】由两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，可判定A 正确；由两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，可判定C 正确；由两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，即可判定D 正确．【解析】A 、在△ABC 和△DCB 中，{AB =DC ∠ABC =∠DCB BC =CB，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）；故本选项能使△ABC ≌△DCB ；B 、本选项不能使△ABC ≌△DCB ；C 、在ABC 和△DCB 中，{∠ABC =∠DCB BC =CB ∠2=∠1，∴△ABC ≌△DCB （ASA ）；故本选项能使△ABC ≌△DCB ；D 、在△ABC 和△DCB 中，{∠ABC =∠DCB ∠A =∠D BC =CB ，∴△ABC ≌△DCB （AAS ）；故本选项能使△ABC ≌△DCB ．故选：B ．9．（2020秋•邹城市期末）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．【解析】图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；故选：B．10．（2020秋•海州区期末）在△ABC中和△DEF中，已知BC＝EF，∠C＝∠F，增加下列条件后还不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理进行判断即可．【解析】A、根据SAS即可推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、不能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；C、根据AAS即可推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•丹阳市期末）如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，AF＝DE，则添加条件∠AFB＝∠DEC或AB＝DC，可以判断△ABF≌△DCE．【分析】先求出BF ＝CE ，然后根据全等三角形的判定方法确定添加的条件即可．【解析】∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ，又∵AF ＝DE ，∴若添加∠AFB ＝∠DEC ，可以利用“SAS ”证明△ABF ≌△DCE ，若添加AB ＝DC ，可以利用“SSS ”证明△ABF ≌△DCE ，所以，添加的条件为∠AFB ＝∠DEC 或AB ＝DC ．故答案为：∠AFB ＝∠DEC 或AB ＝DC ．12．（2020秋•淮安期末）如图，∠ABC ＝∠DCB ，只需补充条件 ∠A ＝∠D ，就可以根据“AAS ”得到△ABC ≌△DCB ．【分析】根据AAS 的判定方法可得出答案．【解析】补充条件∠A ＝∠D ．理由：在△ABC 和△DCB 中，{∠A =∠D∠ABC =∠DCB BC =CB，所以△ABC ≌△DCB （AAS ）．故答案为：∠A ＝∠D ．13．（2020秋•江都区期末）如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，∠A ＝∠DBE ＝∠C ＝90°，请你只添加一个条件，使得△DAB ≌△BCE ．你添加的条件是 DB ＝BE （答案不唯一）．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解析】添加的条件是DB ＝BE ，理由是：∵∠A ＝∠DBE ＝90°，∴∠D +∠ABD ＝90°，∠ABD +∠CBE ＝90°，∴∠D ＝∠CBE ，在△DAB 和△BCE 中，{∠D =∠CBE ∠A =∠C DB =BE ，∴△DAB ≌△BCE （AAS ），故答案为：DB ＝BE （答案不唯一）．14．（2020秋•溧水区期中）如图，AB ＝DC ，AD 、BC 相交于点O ，请添加一个条件 ∠A ＝∠D ，使得△ABO ≌△DCO ．【分析】根据题意和图形，可以得到AB ＝DC ，∠AOB ＝∠DOC ，然后即可写出使得△ABO ≌△DCO 需要条件的条件，注意本题答案不唯一．【解析】由题意可得，AB ＝DC ，∠AOB ＝∠DOC ，∴若添加条件∠A ＝∠D ，则△ABO ≌△DCO （AAS ），若添加条件∠B ＝∠C ，则△ABO ≌△DCO （AAS ），故答案为：∠A ＝∠D ．15．（2020秋•南京期中）我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形ABC 外，可画出与△ABC 全等的格点三角形共有 15 个．【分析】用SSS 判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【解析】用SSS 判定两三角形全等，所以共有16个全等三角形，除去△ABC 外有15个与△ABC 全等的三角形．故答案为：15． 16．（2020秋•南京期中）如图，点C 在AE 上，BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCE ，则根据 SAS ，就可以判定△ABC ≌△ADC ．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS 证得△ABC ≌△ADC ．【解析】∵∠BCE ＝∠DCE ，∴∠ACB ＝∠ACD ，在△ABC 与△ADC 中，{BC =DC ∠ACB =∠ACD AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．故答案是：SAS ．17．（2020秋•前郭县期末）如图，点E ，F 在AC 上，AD ＝BC ，DF ＝BE ，要使△ADF ≌△CBE ，需添加一个条件是 ∠D ＝∠B ．（只需添加一个条件即可）【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D＝∠B时，△ADF≌△CBE．【解析】当∠D＝∠B时，在△ADF和△CBE中∵{AD=BC ∠D=∠B DF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），故答案为：∠D＝∠B．（答案不唯一）18．（2020秋•镇江期中）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，添加一个条件：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF，使得△ABC≌△DEF．【分析】根据AB∥DE，得出∠B＝∠DEF，进而利用全等三角形的判定解答即可．【解析】∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AB＝DE，添加∠A＝∠D，利用ASA得出△ABC≌△DEF；添加∠ACB＝∠DFE，利用AAS得出△ABC≌△DEF；添加BC＝EF，利用SAS得出△ABC≌△DEF；故答案为：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021•涟水县模拟）如图，点A、F、C、D在同一各直线上．AB∥DE．AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．【分析】根据平行线的性质得出∠A ＝∠D ，求出AC ＝DF ，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】证明：∵AB ∥DE ，∴∠A ＝∠D ，∵AF ＝DC ，∴AF +CF ＝DC +CF ，即AC ＝DF ，在△ABC 和△DEF 中{AB =DE ∠A =∠D AC =DF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．20．（2021•海州区校级一模）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F ．求证：△BDE ≌△CDF ．【分析】根据平行线的性质得到∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F ，由AD 是BC 边上的中线，得到BD ＝CD ，于是得到结论．【解答】证明：∵CF ∥AB ，∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，在△BDE 和△CDF 中，{∠B =∠FCD ∠BED =∠F BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）．21．（2020秋•南京期末）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OA ＝OB ，OC ＝OD ．求证：（1）AB ∥CD ；（2）△ABC ≌△BAD ．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠OAB ＝∠OBA ，∠OCD ＝∠ODC ，求出∠OAB ＝∠OCD ，根据平行线的判定推出即可；（2）求出AC ＝BD ，根据SAS 推出即可．【解答】（1）证明：∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠OCD ＝∠ODC ，∵∠COD ＝∠AOB ，∠OAB +∠OBA +∠AOB ＝180°，∠OCD +∠ODC +∠COD ＝180°，∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠OCD ＝∠ODC ，即∠OAB ＝∠OCD ，∴AB ∥CD ；（2）∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴AC ＝BD ，在△ABC 和△BAD 中，{AC =BD ∠CAB =∠DBA AB =BA，∴△ABC ≌△BAD （SAS ）．22．（2020秋•宜兴市月考）如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BC 的异侧，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】根据BF ＝EC ，可以得到BC ＝EF ，然后根据题目中的条件，利用SSS 证明△ABC ≌△DEF 即可．【解答】证明：∵BF ＝EC ，∴BF +FC ＝EC +FC ，即BC ＝EF ．在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE AC =DF BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．23．（2020•泸西县模拟）如图，已知DE ∥AB ，∠DAE ＝∠B ，DE ＝2，AE ＝4，C 为AE 的中点．求证：△ABC ≌△EAD ．【分析】根据中点的定义，再根据AAS 证明△ABC ≌△EAD 解答即可．【解答】证明：∵C 为AE 的中点，AE ＝4，DE ＝2，∴AC =12AE ＝2＝DE ，又∵DE ∥AB ，∴∠BAC ＝∠E ，在△ABC 和△EAD 中，{∠B =∠DAE∠BAC =∠E AC =DE，∴△ABC ≌△EAD （AAS ）．24．（2019秋•慈利县期末）如图（1），AB ＝7cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB 垂足分别为A 、B ，AC ＝5cm ．点P 在线段AB 上以2cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为t （s ）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．【解析】（1）△ACP≌△BPQ，∵AC⊥AB，BD⊥AB∴∠A＝∠B＝90°∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，在△ACP和△BPQ中，{AP=BQ ∠A=∠B AC=BP，∴△ACP≌△BPQ；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt 解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x=207，t=74．。

11.2.2 三角形的外角同步练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册(含答案)

11.2.2 三角形的外角同步练习题2021-2022学年人教版八年级数学上册A组（基础题）1．如图所示，_______是△ABC的一个外角．2．如图，在∠1，∠2，∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有( )A．1个 B．2个 C．3个D．4个3．(1)如图1，P是△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP ＝______；(2)如图2，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝______；(3)如图3，若∠3＝120°，则∠1－∠2＝______．4．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝( )A．35° B．95° C．85°D．75°5．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是( )A．64° B．32° C．30°D．40°6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是( )A．80° B．90°C．100°D．110°7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为( )A．85° B．75° C．65°D．60°8．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°.”如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．求证：∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.证法1：∵∠BAE＋∠1＝180°，∠CBF＋∠2＝180°，∠ACD＋∠3＝180°，∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°.∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝______．∵______，∴______．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.9．如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，且交AC于点E，∠A ＝30°，∠D＝55°.(1)求∠ACD的度数；(2)求∠FEC的度数．10．下列说法正确的是( )A．三角形的外角大于它的内角B．三角形的一个外角等于它两个内角的和C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角D．三角形的外角和为180°B组（中档题）11．如图，在△ABC中，∠BAC＝58°，∠C＝82°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AC上一点，且∠ADE＝∠B，则∠CDE的度数是( )A．29° B．39° C．42°D．52°12．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E.若∠A＝60°，则∠BEC＝( )A．15° B．30° C．45°D．60°13．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝( )A．78° B．39° C．24°D．48°14．如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．若∠ACD＝125°，则∠BAE＋∠CBF＝______．C组（综合题）15．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F.(1)如图，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：______；写出图中所有与∠C 相等的角：______；(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度数；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．参考答案11.2.2 三角形的外角同步练习题2021-2022学年人教版八年级数学上册A组（基础题）1．如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角．2．如图，在∠1，∠2，∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有(A)A．1个 B．2个 C．3个D．4个3．(1)如图1，P是△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP ＝120°；(2)如图2，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝60°；(3)如图3，若∠3＝120°，则∠1－∠2＝60°．4．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝(C)A．35° B．95° C．85°D．75°5．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是(B)A．64° B．32° C．30°D．40°6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是(C)A．80° B．90°C．100°D．110°7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为(B)A．85° B．75° C．65°D．60°8．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°.”如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．求证：∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.证法1：∵∠BAE＋∠1＝180°，∠CBF＋∠2＝180°，∠ACD＋∠3＝180°，∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°.∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)．∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.解：证法2：∵∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝∠2＋∠3＋∠1＋∠3＋∠1＋∠2，即∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.或证法2：过点A作射线AP∥BD，∴∠CBF＝∠BAP，∠ACD＝∠EAP.∵∠BAE＋∠BAP＋∠EAP＝360°，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.9．如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，且交AC于点E，∠A＝30°，∠D＝55°.(1)求∠ACD的度数；(2)求∠FEC的度数．解：(1)∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°.∴∠B＝90°－∠D＝35°.∵∠ACD＝∠B＋∠A，∠A＝30°，∴∠ACD＝35°＋30°＝65°.(2)∵∠FEC＝∠ECD＋∠D，∠ECD＝65°，∠D＝55°，∴∠FEC＝65°＋55°＝120°.10．下列说法正确的是(C)A．三角形的外角大于它的内角B．三角形的一个外角等于它两个内角的和C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角D．三角形的外角和为180°B组（中档题）11．如图，在△ABC中，∠BAC＝58°，∠C＝82°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AC上一点，且∠ADE＝∠B，则∠CDE的度数是(A)A．29° B．39° C．42°D．52°12．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E.若∠A＝60°，则∠BEC＝(B)A．15° B．30° C．45°D．60°13．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝(C)A．78° B．39° C．24°D．48°14．如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．若∠ACD＝125°，则∠BAE＋∠CBF＝235°．C组（综合题）15．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F.(1)如图，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：∠E，∠CAF；写出图中所有与∠C相等的角：∠CDE，∠BAF；(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度数；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．解：①∵∠C－∠B＝50°，∠C＋∠B＝90°，∴∠C＝70°，∠B＝20°.②∠BAD＝x°，则∠ADF＝(20＋x)°，∴∠ADB＝∠ADE＝(160－x)°.∴∠FDE＝∠ADE－∠ADF＝(140－2x)°.∵∠B＝∠E＝20°，∴∠DFE＝180°－∠E－∠FDE＝(2x＋20)°.当∠EDF＝∠DFE时，140－2x＝2x＋20，解得x＝30；当∠DFE＝∠E＝20°时，2x＋20＝20，解得x＝0.∵0＜x≤45，∴不合题意，故舍去．当∠EDF＝∠E＝20°时，140－2x＝20，解得x＝60.∵0＜x≤45，∴不合题意，故舍去．综上可知，当x＝30时，△DEF中有两个角相等．。

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典专题3

专题3.4第3章位置与坐标单元测试（基础卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•潜山市期末）点P（2，﹣3）到x轴的距离等于（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【分析】直接利用点的坐标性质得出答案【解析】点P（﹣2，﹣3）到x轴的距离是：3．故选：D．2．（2019秋•下城区期末）在平面直角坐标系中，位于第二象限的点（）A．横坐标小于纵坐标B．横坐标大于纵坐标C．横坐标和纵坐标的和小于0D．横坐标与纵坐标的积大于0【分析】第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0．【解析】根据第二象限的点的坐标的特征：横坐标符号为负，纵坐标符号为正，所以位于第二象限的点的横坐标小于纵坐标．故选：A．3．（2020春•永川区期末）已知点A（x，5）在第二象限，则点B（﹣x，﹣5）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点坐标特征解答．【解析】∵点A（x，5）在第二象限，∴x＜0，∴﹣x＞0，∴点B（﹣x，﹣5）在四象限．故选：D．4．（2019秋•凤翔县期末）将三角形三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，则所得三角形与原三角形的关系是（）A．将原图向左平移三个单位B．关于原点对称C．将原图向右平移三个单位D．关于y轴对称【分析】由于三角形三个顶点的横坐标加3，纵坐标保持不变，即把三角形三个顶点向右平移3个单位．【解析】在平面直角坐标系中，将三角形的三个顶点的横坐标加3，纵坐标保持不变，即把原三角形向右平移3个单位．故选：C．5．（2020春•宁阳县期末）已知点A在第二象限，到x轴的距离是5，到y轴的距离是6，点A的坐标为（）A．（﹣5，6）B．（﹣6，5）C．（5，﹣6）D．（6，﹣5）【分析】根据第二象限内点到x轴的距离是点的纵坐标，点到y轴的距离是横坐标的相反数，可得答案．【解析】A位于第二象限，到x轴的距离为5，到y轴的距离为6，则点A的坐标为（﹣6，5），故选：B．6．（2020春•唐县期末）已知点M（9，﹣5）、N（﹣3，﹣5），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（）A．相交、相交B．平行、平行C．垂直相交、平行D．平行、垂直相交【分析】由点M、N的坐标得出点M、N的纵坐标相等，据此知直线MN∥x轴，继而得出直线MN⊥y 轴，从而得出答案．【解析】∵点M（9，﹣5）、N（﹣3，﹣5），∴点M、N的纵坐标相等，∴直线MN∥x轴，则直线MN⊥y轴，故选：D．7．（2020春•和平区期中）已知小明从点O出发，先向西走10米，再向南走20米，到达点M，如果点M 的位置用（﹣10，﹣20）表示，那么（10，﹣10）表示的位置是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】直接根据题意得出横纵坐标的意义，进而得出答案．【解析】∵点M的位置用（﹣10，﹣20）表示，∴（10，﹣10）表示D点．故选：D．8．（2020春•北碚区校级月考）已知A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，再作点A1关于原点的对称点A2，则A2坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（9，8）D．（﹣9，﹣8）【分析】直接利用平移的性质得出点A1的坐标，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．【解析】∵A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，∴点A1的坐标为：（1，﹣3），∵点A1关于原点的对称点A2，∴A2坐标为（﹣1，3）．故选：A．9．（2020春•海淀区校级期末）如图所示，某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为（4，2），四号暗堡的坐标为（﹣2，4），原有情报得知：敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大约是（）A．A处B．B处C．C处D．D处【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解析】如图所示：敌军指挥部的位置大约是B处．故选：B．10．（2019秋•岑溪市期末）如图，是岑溪市几个地方的大致位置的示意图，如果用（0，0）表示孔庙的位置，用（1，5）表示东山公园的位置，那么体育场的位置可表示为（）A．（﹣1，﹣1）B．（0，1）C．（1，1）D．（﹣1，1）【分析】直接利用已知点的坐标作出平面直角坐标系进而得出答案．【解析】如图所示：体育场的位置可表示为（﹣1，﹣1）．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•香洲区校级一模）点M（3，﹣1）到x轴距离是1．【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．【解析】M（3，﹣1）到x轴距离是1．故答案为：112．（2019春•临海市期末）如果将电影票上“6排3号”简记为（6，3），那么“10排12号”可简记为（10，12）．【分析】根据第一个数表示排数，第二个数表示号数解答．【解析】∵“6排3号”简记为（6，3），∴“10排12号”可表示为（10，12）．故答案为：（10，12）．13．（2020•大东区二模）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则b a的值是1．【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而可得答案．【解析】∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，∴a＝3，b＝1，∴b a＝1，故答案为：1．14．（2019秋•青白江区期末）若点P（x，y）在第四象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝﹣1．【分析】根据点的坐标特征求解即可．【解析】∵点P（x，y）在第四象限，且|x|＝2，|y|＝3，∴x＝2，y＝﹣3，x+y＝2+（﹣3）＝﹣1，故答案为：﹣1．15．（2020春•新邵县期末）点P（x，y）位于第二象限内一点，且x、y满足|x|＝5，y2＝4，则点P的坐标为（﹣5，2）．【分析】根据绝对值的意义和平方根得到x＝±5，y＝±2，再根据第二象限的点的坐标特点得到x＜0，y＞0，于是x＝﹣5，y＝2，然后可直接写出P点坐标．【解析】∵|x|＝5，y2＝4，∴x＝±5，y＝±2，∵第二象限内的点P（x，y），∴x＜0，y＞0，∴x＝﹣5，y＝2，∴点P的坐标为（﹣5，2）．故答案为（﹣5，2）．16．（2019秋•玄武区期末）在平面直角坐标系xOy中，点P在第四象限内，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（3，﹣2）．【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．【解析】若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点的坐标为（3，﹣2），故答案为：（3，﹣2）．17．（2019秋•商河县期末）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”的坐标是（4，1），那么“帅”的坐标为（0，﹣1）．【分析】直接利用“相”的坐标是（4，1），得出原点位置，进而得出“帅”的坐标．【解析】如图所示：“帅”的坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．18．（2020•泰州）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为（3，240°）．【分析】直接利用坐标的意义进而表示出点C的坐标．【解析】如图所示：点C的坐标表示为（3，240°）．故答案为：（3，240°）．三、解答题（本大题8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•桃江县期末）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，2），B（﹣3，1），C（﹣2，﹣2）．（1）将△ABC向右平移2个单位，作出△A'B'C'；（2）写出△A'B'C'的顶点坐标．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）根据A′，B′，C′的位置写出坐标即可．【解析】（1）如图，△A'B'C'即为所求．（2）A′（2，2），B′（﹣1，1），C′（0，﹣2）．20．在如图所示的方格纸中，如果用（1，1）表示点A的位置，用（3，1）表示点B的位置，那么：（1）图中点C的位置可以表示为（3，3）；（2）如果点A，B，C是一个正方形的三个顶点，那么正方形的第四个顶点的位置可以表示为（1，3）；（3）如果点B的位置用（0，0）表示，那么点A的位置可以表示为（﹣2，0），点C的位置可以表示为（0，2）．【分析】（1）直接利用A点坐标即可得出原点位置进而得出答案；（2）利用正方形的性质得出正方形的第四个顶点的位置；（3）根据点B的位置用（0，0）表示，进而得出A，C点坐标．【解析】（1）如图1所示：点C的位置可以表示为（3，3）；故答案为：（3，3）；（2）如果点A，B，C是一个正方形的三个顶点，那么正方形的第四个顶点的位置可以表示为：（1，3）；故答案为：（1，3）；（3）如果点B的位置用（0，0）表示，那么点A的位置可以表示为：（﹣2，0），点C的位置可以表示为：（0，2）．故答案为：（﹣2，0），（0，2）．21．（2019秋•台山市期中）如图是一个平面直角坐标系，按要求完成下列各小题．（1）写出图中的多边形ABCDEF顶点在坐标轴上的点的坐标；（2）说明点B与点C的纵坐标有什么特点？线段BC与x轴有怎样的位置关系？（3）写出点E关于y轴的对称点E′的坐标，并指出点E′与点C有怎样的位置关系．【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）根据点的坐标并结合图形解答即可；（3）根据图形写出点E′的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征解答．【解析】（1）点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣3），点D的坐标为（4，0），点F的坐标为（0，3）；（2）点B与点C的纵坐标相等，线段BC平行于x轴；（3）点E关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，3），它与点C关于原点对称．22．（2020春•浦东新区校级期末）已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；（2）把这些点按A﹣D﹣B﹣C﹣A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．【解析】（1）∵点A （﹣1，3a ﹣1）与点B （2b +1，﹣2）关于x 轴对称，∴2b +1＝﹣1，3a ﹣1＝2，解得a ＝1，b ＝﹣1，∴点A （﹣1，2），B （﹣1，﹣2），C （3，﹣1），∵点C （a +2，b ）与点D 关于原点对称，∴点D （﹣3，1）；（2）如图所示：四边形ADBC 的面积为：12×4×2+12×4×4=12．23．（2020春•武鸣区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点M （m ﹣1，2m +3）．（1）若点M 在y 轴上，求m 的值．（2）若点N （﹣3，2），且直线MN ∥y 轴，求线段MN 的长．【分析】（1）根据点在y 轴上横坐标为0求解．（2）根据平行y 轴的横坐标相等求解．【解析】（1）由题意得：m ﹣1＝0，解得：m ＝1；（2）∵点N （﹣3，2），且直线MN ∥y 轴，∴m ﹣1＝﹣3，解得 m ＝﹣2．∴M （﹣3，﹣1），∴MN ＝2﹣（﹣1）＝3．24．（2019秋•瑶海区期末）已知点P （﹣3a ﹣4，2+a ），解答下列各题：（1）若点P 在x 轴上，试求出点P 的坐标；（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，试求出点P的坐标．【分析】（1）x轴上的点纵坐标为0；（2）PQ∥y轴时，横坐标相等．【解析】（1）∵点P在x轴上，∴2+a＝0，∴a＝﹣2，∴﹣3a﹣4＝2，∴P（2，0）（2）∵Q（5，8），且PQ∥y轴，∴﹣3a﹣4＝5，a＝﹣3，∴2+a＝﹣1，P（5，﹣1）25．（2018秋•临泉县期末）如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图．在此图中建立平面直角坐标系，表示故宫的点坐标为（0，﹣1），表示美术馆的点的坐标为（2，2），并写出其余各景点的坐标．【分析】首先根据故宫的点坐标确定原点位置，然后再建立坐标系，再利用坐标系确定各景点的坐标．【解析】如图所示：景山（0，1.5），王府井（3，﹣1），天安门（0，﹣2），中国国家博物馆（1，﹣3），前门（0，﹣5.5），人民大会堂（﹣1，﹣3），电报大楼（﹣4，﹣2）．26．（2019秋•五华县期末）如图，在直角坐标系中，A （﹣1，5），B （﹣1，0），C （﹣4，3）．（1）求△ABC 的面积；（2）若把△ABC 向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到△A ′B ′C ′，并写出C ′的坐标．【分析】（1）根据三角形面积求法得出即可；（2）根据已知将△ABC 各顶点向下平移2个单位，向右平移5个单位得到各对应点，即可作图；进而得出点C ′的坐标．【解析】（1）△ABC 的面积是：12×3×5＝7.5；（2）作图如下：∴点C ′的坐标为：（1，1）．。

2.1全等三角形-2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题【人教版】

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题【人教版】专题2.1全等三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•松北区期末）如图，△ABC≌△A'B'C，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．15°2．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED3．（2019秋•开州区期末）下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．面积相等的两个图形是全等图形C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关D．全等三角形的对应边相等，对应角相等4．（2019秋•常州期末）下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等B．形状相同的两个三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等5．（2020春•万州区期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．146．（2019秋•琼山区校级期末）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（）①AC＝AF，②∠F AB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，A．①②B．①③④C．①②③④D．①③7．（2019秋•浏阳市期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30B．27C．35D．408．（2019秋•黑河期末）如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（）A．AB∥DE，但AC不平行于DF B．BE＝EC＝CFC．AC∥DF，但AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF9．（2019秋•秦淮区期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（）A．2B．3C．5D．710．（2019秋•仁怀市期末）如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，EF和BC为对应边，若∠A＝123°，∠F ＝39°，则∠DEF等于（）A．18°B．20°C．39°D．123°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•郓城县期末）任意一个三角形被一条中线分成两个三角形，则这两个三角形：①形状相同；②面积相等；③全等．上述说法中，正确的是．12．（2020•朝阳区三模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝．13．（2020•顺德区模拟）如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝．14．（2019秋•高淳区期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①∠AOD＝90°；②CB＝CD；③DA＝DC．其中正确结论的序号是．15．（2019秋•谢家集区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为．16．（2019秋•越城区期末）下列图形中全等图形是（填标号）．17．（2020春•郑州期末）如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段．18．（2020春•雅安期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，若△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠DBC的度数为．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．20．（2019秋•裕安区期末）如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．21．（2019秋•临泉县期末）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CDE的度数．22．（2019秋•内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．23．（2019秋•桥西区校级月考）如图所示，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2．（1）求证：AC∥DF．（2）求AB的长．24．（2019春•长春期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题2.1全等三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•松北区期末）如图，△ABC≌△A'B'C，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．15°【分析】根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠A′CB′，再根据等式的性质可得∠ACA′＝∠BCB′＝30°．【解析】∵△ABC≌△A′B′C，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°，故选：A．2．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．3．（2019秋•开州区期末）下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．面积相等的两个图形是全等图形C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【分析】直接利用全等图形的性质进而分析得出答案．【解析】A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；B、面积相等的两个图形是全等图形，错误，符合题意；C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；故选：B．4．（2019秋•常州期末）下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等B．形状相同的两个三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等【分析】根据全等图形的性质对各选项进行逐一分析即可．【解析】A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．故选：D．5．（2020春•万州区期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．14【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．故选：A．6．（2019秋•琼山区校级期末）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（）①AC＝AF，②∠F AB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，A．①②B．①③④C．①②③④D．①③【分析】根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等可得AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，再利用等式的性质可得∠EAB＝∠F AC．【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，∴∠EAB＝∠F AC，正确的是①③④，故选：B．7．（2019秋•浏阳市期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30B．27C．35D．40【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．8．（2019秋•黑河期末）如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（）A．AB∥DE，但AC不平行于DF B．BE＝EC＝CFC．AC∥DF，但AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，再利用平行线的判定定理得出答案．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，∴AB∥DE，AC∥DF，无法得出BE＝EC＝CF故选项D正确．故选：D．9．（2019秋•秦淮区期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（）A．2B．3C．5D．7【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝7，∴EF＝7，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．故选：A．10．（2019秋•仁怀市期末）如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，EF和BC为对应边，若∠A＝123°，∠F ＝39°，则∠DEF等于（）A．18°B．20°C．39°D．123°【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解；∵△ABC≌△DEF，∠A＝123°，∴∠D＝∠A＝123°，∵∠F＝39°，∴∠DEF＝180°﹣123°﹣39°＝18°，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•郓城县期末）任意一个三角形被一条中线分成两个三角形，则这两个三角形：①形状相同；②面积相等；③全等．上述说法中，正确的是②．【分析】根据三角形的中线性质可得答案．【解析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得②正确，故答案为：②．12．（2020•朝阳区三模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝45°．【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．【解析】如图所示：由题意可得：∠1＝∠3，则∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．故答案为：45°．13．（2020•顺德区模拟）如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝135°．【分析】根据图形可得AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D，∠2＝45°，然后判定△ABC≌△ADE，进而可得∠4＝∠3，由∠1+∠4＝90°可得∠3+∠1＝90°，进而可得答案．【解析】∵在△ABC和△ADE中{AB=AD ∠B=∠D CB=DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠4＝∠3，∵∠1+∠4＝90°，∴∠3+∠1＝90°，∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故答案为：135°．14．（2019秋•高淳区期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①∠AOD＝90°；②CB＝CD；③DA＝DC．其中正确结论的序号是①②．【分析】直接利用全等三角形的性质结合线段垂直平分线的性质得出答案．【解析】∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB＝∠AOD=12×180°＝90°，BO＝DO，∴AC垂直平分BD，∴BC＝DC，无法得出AD＝DC，故正确的有①②．故答案为：①②．15．（2019秋•谢家集区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为90°．【分析】直接利用全等图形的性质得出∠1＝∠DEC，进而得出答案．【解析】如图所示：由题意可得：△ACB≌△ECD，则∠1＝∠DEC，∵∠2+∠DEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故答案为：90°．16．（2019秋•越城区期末）下列图形中全等图形是⑤和⑦（填标号）．【分析】要认真观察图形，从①开始找寻，看后面的谁与之全等，然后是②，看后面的哪一个与它全等，如此找寻，可得答案．【解析】由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合．故答案为：⑤和⑦．17．（2020春•郑州期末）如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段AB∥FE，答案不唯一．【分析】根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．【解析】∵△ABC≌△EFD，∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF，∴AB∥EF，AC∥DE，故答案为：AB∥FE，答案不唯一．18．（2020春•雅安期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，若△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠DBC的度数为30°．【分析】根据全等三角形的性质得出∠A＝∠DBE＝∠CBD，∠C＝∠AED＝∠BED，根据邻补角互补求出∠AED＝∠BED＝90°＝∠C，再根据三角形内角和定理求出即可．【解析】∵△ADE≌△BDE≌△BDC，∴∠A＝∠DBE＝∠CBD，∠C＝∠AED＝∠BED，∵∠AED+∠BED＝180°，∴∠AED＝∠BED＝90°＝∠C，∵∠C+∠A+∠CBA＝180°，∴3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴∠DBC＝∠A＝30°，故答案为：30°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．【解析】如图所示：．20．（2019秋•裕安区期末）如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．【分析】直接利用全等三角形的性质得出AC＝AD，进而得出答案．【解析】∵△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，∴AC＝AD＝12，AE＝AF＝5，∴DF＝12﹣5＝7．21．（2019秋•临泉县期末）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CDE的度数．【分析】根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可．【解析】∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，∴∠ABD+∠CBE＝132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，∵∠CPD＝∠BPE，∴∠CDE＝∠CBE＝66°．22．（2019秋•内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；（2）根据全等三角形的对应边相等计算．【解析】（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，∴BF＝BE+EF＝6．23．（2019秋•桥西区校级月考）如图所示，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2．（1）求证：AC∥DF．（2）求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC≌△FED，∴∠A＝∠F．∴AC∥DF．（2）∵△ABC≌△FED，∴AB＝EF．∴AB﹣EB＝EF﹣EB．∴AE＝BF．∵AF＝8，BE＝2∴AE+BF＝8﹣2＝6∴AE＝3∴AB＝AE+BE＝3+2＝524．（2019春•长春期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠FCA＝∠EBD＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据全等三角形的性质得到CA＝BD，结合图形得到AB＝CD，计算即可．【解析】（1）∵BE⊥AD，∴∠EBD＝90°，∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA＝∠EBD＝90°，∴∠A＝90°﹣∠F＝28°；（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA＝BD，∴CA﹣CB＝BD﹣BC，即AB＝CD，∵AD＝9cm，BC＝5cm，∴AB+CD＝9﹣5＝4cm，∴AB＝2cm．。

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2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题1.3三角形的外角
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•江阴市期中）AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）
A．25°B．60°C．85°D．95°
2．（2020春•黑河期中）以下判断正确的是（）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°
D．三角形的外角是内角的邻补角
3．（2019秋•琼山区校级期末）如图，已知∠ACD＝130°，∠B＝20°，则∠A的度数是（）
A．110°B．30°C．150°D．90°
4．（2019秋•都江堰市期末）如图，△ABC中，点D在BC延长线上，则下列结论一定成立的是（）
A．∠1＝∠A+∠B B．∠1＝∠2+∠A C．∠1＝∠2+∠B D．∠2＝∠A+∠B
5．（2019春•玄武区期中）如图，在△ABC中，∠A＝78°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠EBC=1
3∠ABC，
∠ECD=1
3∠ACD，则∠E为（）
A．22°B．26°C．28°D．30°
6．（2019秋•织金县期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足关系式是（）
A．∠1+∠2＝∠3+∠4B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3
C．∠1+∠4＝∠2+∠3D．∠1+∠4＝∠2﹣∠3
7．（2020春•雅安期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，延长线段BA至点E，则∠EAC的度数为（）
A．105°B．75°C．70°D．60°
8．（2019春•镇江期末）在△ABC，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）
A．80B．70C．65D．60
9．（2019春•溧水区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线．如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
10．（2019春•徐州期中）如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC＝90°﹣
∠ABD；⑤∠BDC=1
2∠BAC．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•芝罘区期中）一副含有30°和45°的直角三角尺叠放如图，则图中∠α的度数是．
12．（2019秋•阳东区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB的延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝．
13．（2019秋•覃塘区期中）如图，若∠A＝30°，∠B＝35°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是．
14．（2020春•赣榆区期中）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D在边BC上，若△ACD是直角三角形，则∠BAD的度数为．
15．（2019秋•虹口区校级月考）如图所示，∠ACD是△BC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．∠E＝．
16．（2020春•东台市期中）如图，∠1、∠2是△ABC的外角，已知∠1+∠2＝260°，求∠A的度数是．
17．（2019春•鲤城区校级期中）（1）如图①，△ABC中，∠CBO=1
3∠ABC，∠BCO=
1
3∠ACB，∠A＝60°，
则∠BOC＝．
（2）如图②，BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠BCE的等分线，它们交于点O．∠CBO=1 n∠
DBC，∠BCO=1
n∠BCE．∠A＝β，则∠BOC＝．（用含β的代数式表示）
18．（2019秋•大观区校级期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•鼓楼区期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD 是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
20．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
21．（2019秋•碑林区校级期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、
CE交于点E，∠ABC＝∠ACE．
（1）求证：AB∥CE；
（2）猜想：若∠A＝50°，求∠E的度数．
22．（2019秋•洛阳期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）请你写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．
23．（2019秋•潜山市期末）如图，∠A＝37°，∠B＝28°，∠ADB＝148°，求∠C的度数．
24．（2019秋•普宁市期末）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并证明．。

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