递推数列题型归纳解析

递推数列题型归纳解析-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

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递推数列题型归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列{}n a 满足211=

a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为

)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=

a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。

例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=

+ )1(≥n ，求n a 。

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变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，

1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___

n a ⎧=⎨⎩

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n n =≥

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

变式:（2006，重庆,文,14）

在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项

n a =_______________

变式:（2006. 福建.理22）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{b n }滿足

12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{b n }是等差数列；

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变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．

类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：

q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。

变式:（2006，全国I,理22）

设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

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解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中

s ，t 满足⎩

⎨⎧-==+q st p t s

例1.数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

13212+=++，求n a 。

类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)

2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例：已知数列{}n a 前n 项和2214--

-=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；

（2）求通项公式n a .

变式:（06陕西,理,) 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6

且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n

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类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

变式:（2006，山东,文,22）

已知数列｛n a ｝中，11122

n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…

(Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=-

(Ⅱ)求数列{}的通项；n a