高中数学-圆与圆的位置关系练习

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高中数学必修二圆与圆的位置关系答案解析版

4.2.2 圆与圆的位置关系（时间90分钟，满分120分）一、选择题（每小题5分，共50分）1.圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切【解析】圆C1的圆心是C1(-2,2),半径r1=1,圆C2的圆心是C2(2,5),半径r2=4,则圆心距|C1C2|=5.因为|C1C2|=r1+r2,所以两圆外切.【答案】D2.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离【解析】由已知,得C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3,则d=|C1C2|=2,所以d=|r1-r2|.故两圆内切.【答案】C3.已知圆A与圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为（）A.6 cm或14 cmB.10 cmC.14 cmD.无解【解析】令圆A、圆B的半径分别为r1,r2,当两圆外切时,r1+r2=10,所以r2=10-r1=10-4=6;当两圆内切时,|r1-r2|=10,即|4-r2|=10,r2=14或r2=-6(舍),即圆B的半径为6 cm或14 cm.【答案】A4.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C.【答案】C5.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.4【解析】两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(2,-5),则两圆的圆心距d又半径分别为r1=1,r2=4,则d>r1+r2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程为（）A.(x-4)2+(y+3)2=16B.(x+4)2+(y-3)2=36C.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D.(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=36【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0).因为圆C与圆O相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切【解析】圆心距d =两圆半径的和为2+1=3, 两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C8.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（）A .2±B .2C .-2D .4±【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a ,又公共弦长为,所以=解得2a =±. 【答案】A9.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m 的最大值为（）A .7B .6C .5D .4【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B★10.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（）A.⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭⎝⎭UD.⎛ ⎝⎭【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a <<,所以a <<a << 【答案】C二、填空题（每小题5分，共20分）11.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=012.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m= .【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45=,解得m=81.【答案】8113.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为 .【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB的距离d == 故公共弦AB的长为AB ===14.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是 .【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切三、解答题（15-17每小题12分，18题14分，共50分）15.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,半径为2的圆的方程. 【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以222291422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得32a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以圆心C的坐标为3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所求圆的方程为22342x y ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.16.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=. ① 若两圆外切,123=+=. ② 由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,211=-=. ③ 由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.17.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1. 设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2=, 化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥). ★（附加题）18.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r . 因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=, ①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。

高中数学圆与圆的位置关系总结练习含答案解析S

2.2.3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系及判定1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含公共点个数0 ①② 1 02.设两圆半径分别为r1,r2,圆心距为d,则两圆相交时,r1,r2,d的关系为③.两圆外切时,r1,r2,d的关系为④.3.设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立得{x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,方程组有两组不同实数解⇔两圆⑤,有⑥实数解⇔两圆相切,无实数解⇔两圆外离.圆系方程的应用1.(2014湖北黄冈期中,★☆☆)圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=9的公切线有条.思路点拨求出圆心距,即可得出结论.2.(2013江苏白蒲模拟,★★☆)求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0交点的圆的方程.思路点拨本题解法较多,可考虑利用公共弦求解,也可以利用圆系方程求解.3.(2014江苏建湖中学训练,★★☆)已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆心M的轨迹方程,并求圆M的半径最小时的方程.思路点拨从几何性质入手分析,抓住圆心和半径分析圆的方程.4.(2013苏南四校月考,★★★)已知☉O:x2+y2=1和点M(4,2).(1)过点M向☉O引切线l,求直线l的方程;(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的☉M的方程;(3)设P为(2)中☉M上任一点,过点P向☉O引切线,切点为Q.试探究:平面内是否存在一定点R,使得PQPR为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.一、填空题1.已知圆O1:x2+y2-2x-4y+4=0与圆O2:x2+y2-8x-12y+36=0,两圆的位置关系为.2.圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为.3.若a2+b2=4,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是.5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是.6.点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是.7.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2},且M∩N=N,则r的取值范围是.8.设A={(x,y)|y=√2a2-x2,a>0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-√3)2=a2,a>0},若A∩B≠⌀,则a的最大值为.9.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.10.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=254截得的弦长是.二、解答题11.试分别确定圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0与C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50)外切、内切、相交、内含、外离时,k的取值范围.12.已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0(a≠2).(1)求证:对于任意实数a(a≠2),该圆过定点;(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求实数a的值.知识清单①1 ②2 ③|r 1-r 2|<d<r 1+r 2 ④d=r 1+r 2 ⑤相交 ⑥两组相同链接高考1.答案 3解析 C 1(-2,2),r 1=2,C 2(2,5),r 2=3,|C 1C 2|=√(-2-2)2+(2-5)2=5,∵|C 1C 2|=r 1+r 2,∴圆C 1与圆C 2外切.所以圆C 1与圆C 2有3条公切线.2.解析解法一:由{x 2+y 2-4x -6=0,x 2+y 2-4y -6=0,得到两圆公共弦所在直线方程为y=x, 由{y =x ,x 2+y 2-4y -6=0, 解得{x 1=-1,y 1=-1或{x 2=3,y 2=3.∴圆x 2+y 2-4x-6=0和x 2+y 2-4y-6=0的交点分别为A(-1,-1)、B(3,3), 线段AB 的垂直平分线方程为y-1=-(x-1). 由{y -1=-(x -1),x -y -4=0,得{x =3,y =-1. ∴所求圆的圆心为(3,-1), 半径为√(3-3)2+[3-(-1)]2=4. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法二:由解法一,求得A(-1,-1)、B(3,3). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,由{a -b -4=0,(-1-a )2+(-1-b )2=r 2,(3-a )2+(3-b )2=r 2,得{a =3,b =-1,r 2=16. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法三:设经过两圆交点的圆系方程为 x 2+y 2-4x-6+λ(x 2+y 2-4y-6)=0(λ≠-1), 即x 2+y 2-41+λx-4λ1+λy-6=0. ∴圆心坐标为(21+λ,2λ1+λ),又∵圆心在直线x-y-4=0上, ∴21+λ-2λ1+λ-4=0,即λ=-13,∴所求圆的方程为x 2+y 2-6x+2y-6=0.3.解析两圆方程相减,得公共弦AB 所在的直线方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m 2-1=0, 由于A,B 两点平分圆N 的圆周,所以A,B 为圆N 直径的两个端点, 即直线AB 过圆N 的圆心N,而N(-1,-1),所以-2(m+1)-2(n+1)-m 2-1=0, 即m 2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2), 又圆M 的圆心M(m,n),所以圆心M 的轨迹方程为(x+1)2=-2·(y+2)(y≤-2), 又圆M 的半径r=2+1≥√5(n≤-2), 当且仅当n=-2,m=-1时半径取得最小值,∴当圆M 的半径最小时,圆M 的方程为x 2+y 2+2x+4y=0.4.解析 (1)显然,直线l 的斜率存在.设切线l 的方程为y-2=k(x-4),易得√k 2+1=1,解得k=8±√1915. ∴切线l 的方程为y-2=8±√1915(x-4). (2)圆心到直线y=2x-1的距离为√5,设圆M 的半径为r,则r 2=22+(√5)2=9,∴☉M 的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点R(a,b),设点P 的坐标为(x,y),相应的定值为λ(λ>0), 根据题意及勾股定理可得PQ=√x 2+y 2-1, ∴√x 2+y 2√(x -a )+(y -b )=λ,即x 2+y 2-1=λ2(x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2),(*) 又点P 在☉M 上, ∴(x -4)2+(y-2)2=9,即x 2+y 2=8x+4y-11,代入(*)式得,8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a 2+b 2-11)].若系数对应相等,则等式恒成立,∴{λ2(8-2a )=8,λ2(4-2b )=4,λ2(a 2+b 2-11)=-12,解得a=2,b=1,λ=√2或a=25,b=15,λ=√103, ∴可以找到这样的定点R,使得PQPR 为定值.当点R 的坐标为(2,1)时,比值为√2; 当点R 的坐标为(25,15)时,比值为√103.基础过关一、填空题 1.答案外切解析由题意得圆的半径分别为1,4,圆心距为√(4-1)2+(6-2)2=5=4+1,故两圆外切. 2.答案 2或-5解析圆C 1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径为3;圆C 2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为2.依题意有√(-2-m )2+(m +1)2=3+2, 即m 2+3m-10=0, 解得m=2或m=-5. 3.答案外切解析 ∵两圆的圆心分别为O 1(a,0),O 2(0,b),半径r 1=r 2=1,∴O 1O 2=√a 2+b 2=2=r 1+r 2,则两圆外切. 4.答案 (x±4)2+(y-6)2=36解析设所求圆的圆心为(a,6),由两圆内切,得√a 2+(6-3)2=6-1,解得a=±4,则此圆的方程是(x±4)2+(y-6)2=36.5.答案 (x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5,-7)为圆心,以3或5为半径的圆. 6.答案 3√5-5解析 (x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C 1(4,2),半径为r 1=3;(x+2)2+(y+1)2=4的圆心为C 2(-2,-1),半径为r 2=2.又|C 1C 2|=3√5,显然两圆外离,所以|PQ|的最小值是3√5-5. 7.答案 (0,2-√2]解析由于M∩N=N,故圆(x-1)2+(y-1)2=r 2在圆x 2+y 2=4内部,当两圆内切时,√2=2-r,则r=2-√2,因此r 的取值范围是(0,2-√2].8.答案2(√2+1)解析A表示以O(0,0)为圆心,√2a为半径的半圆,B表示以O'(1,√3)为圆心,a为半径的圆.∵A∩B≠⌀,即半圆O与圆O'有公共点,则当两圆内切时,a最大,即√2a-a=OO'=2,∴a的最大值为2(√2+1).9.答案√7解析记直线y=x+1上任意一点与圆心的距离为h,记切线长为l,则始终有等量关系h2=l2+1.故当h取得最小值时,切线长取最小值,易知h的最小值即为圆心到直线y=x+1的距离,故hmin=2√2,此时l=√7.10.答案√23解析圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x2+y2-1-(x2+y2-2x-2y+1)=0,即x+y-1=0.圆心C3到直线x+y-1=0的距离d=√2=√22,所以所求弦长为2√r2-d2=2√254-12=√23.二、解答题11.解析将两圆的一般方程化为标准方程,C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C1的圆心为C 1(-2,3),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=√50-k(k<50).从而圆心距d=√(-2-1)2+(3-7)2=5.当两圆外切时,d=r1+r2,即1+√50-k=5,解得k=34;当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-√50-k|=5,解得k=14;当两圆相交时,|r1-r2|<d<r1+r2,即|1-√50-k|<5<1+√50-k,解得14<k<34;当两圆内含时,d<|r1-r2|,即|1-√50-k|>5,解得k<14;当两圆外离时,d>r1+r2,即1+√50-k<5,解得34<k<50.12.解析(1)证明:将圆的方程整理得(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,此方程表示过圆x2+y2=20与直线-4x+2y+20=0的交点的圆系.解方程组{x2+y2=20,-4x+2y+20=0得{x=4,y=-2,所以该圆恒过定点(4,-2).(2)圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2(a≠2).若两圆外切,则2+√5(a -2)2=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1+√55. 若两圆内切,则|2-√5(a -2)2|=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1-√55或a=1+√55(舍去). 综上所述,a=1±√55.。

人教A版高中数学选择性必修第一册2.5.2 圆与圆的位置关系课时分层练习题含答案解析

2.5.2 圆与圆的位置关系基础练习一、单选题1．已知圆C ：x 2+y 2=4，则圆C 关于直线l ：x ﹣y ﹣3=0对称的圆的方程为（） A ．x 2+y 2﹣6x +6y +14=0 B ．x 2+y 2+6x ﹣6y +14=0 C ．x 2+y 2﹣4x +4y +4=0 D ．x 2+y 2+4x ﹣4y +4=02．过圆4x y +=上一点P 作圆:()0O x yr r +=>的两条切线，切点分别为，若2APB π∠=，则r =（）A ．1BC D3．圆224x y +=与圆:219C x y -+-=的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离A ．210x y --=B ．20x y -+=C ．20x y --=D ．210x y -+=【答案】B【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.【详解】由x 2＋y 2－4＝0与x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0两式相减得：4480x y -+=，即20x y -+=.5．已知圆1C ：2220x y x ++=，圆2C ：2260x y y +-=相交于P ，Q 两点，则||PQ =（）A B ．5C D6．设圆1:244C x y x y +-+=，圆2:680C x y x y ++-=，则圆1，2的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．如图，点()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则（）A ．曲线Ω与x 轴围成的图形的面积等于32π B ．CB 与BA 的公切线的方程为10x y +-C ．BA 所在圆与 CB 所在圆的公共弦所在直线的方程为0x y -=D ．CD 所在的圆截直线y x =所得弦的长为8．已知圆:211M x y -+-=，圆:211N x y +++=，则下列是M ，N 两圆公切线的直线方程为（）A ．y ＝0B ．3x －4y ＝0C ．20x y -=D ．20x y -=【答案】ACD9．已知圆O ：224x y +=和圆C ：231x y -+-=.现给出如下结论，其中正确的是 A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y -+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y -+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3+3 10．两圆22230x y y +--=与2220x y x ++=的公共弦所在直线的方程为______. 【答案】2230x y ++=【分析】两圆相减，消去22,x y 即为答案.【详解】22230x y y +--=与2220x y x ++=相减得：2230x y ++=，即为公共弦所在直线的方程.故答案为：2230x y ++=11．已知圆C 1：2264120x y x y +-++=与圆C 2：22620x y x y a +--+=，若圆C 1与圆C 2有且仅有一个公共点，则实数a 的值为___________.12．圆230x y x +--=与224230x y x y +-++=的交点坐标为______. 【答案】()12-，和()30，【分析】联立两圆的方程即可求解.【详解】联立22222304230x y x x y x y ⎧+--=⎨+-++=⎩，两式相减得=3x y +，将其代入22230x y x +--=中得0y =或2y =-，进而得30x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=-⎩，所以交点坐标为()()1230，，，- 13．已知圆221:2440C x y x y +-+-=，圆222:2220C x y x y ++--=，则两圆的公切线条数是___________.14．若圆221x y +=与圆416x a y -+-=有3条公切线，则正数a =___________.15．设两圆1与圆2的公共弦所在的直线方程为_______ 【答案】2410x y --=【分析】利用两圆的方程相减即可求解.【详解】因为圆22110C x y +-=：①，圆222240C x y x y +-+=：②，由-①②得，2410x y --=，所以两圆的公共弦所在的直线方程为2410x y --=.16．已知以()4,3C -为圆心的圆与圆221x y +=相切，则圆C 的方程是______.A B B A B 且45A ∠=，则C 的坐标为______.（坐标分量精确到0.1）45，且A 在直线AC 上，所以18．若平面上的点P 及半径为R 的圆C ，我们称2CP R -为点P 对圆C 的幂，则平面上对圆1C ：221x y +=及圆2C ：()()22234x y -++=幂相等的点P 的坐标所满足的等式是______.【答案】2x －3y －5＝0【分析】设出点P 坐标，依题意列出等式即可. 【详解】由题知：圆心1(0,0)C ，2(2,3)C -，圆1C 的半径11R =，圆2C 的半径22R =，设点(,)Px y ，则点P 对圆1C 的幂为：()221x y +-，点P 对圆2C 的幂为：()()22234x y -++-，所以有：()()()22221234x y x y +-=-++-，化简得：2x －3y －5＝0，故答案为：2x －3y －5＝0. 四、解答题19．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-= (0a >)的公共弦的长为a 的值．。

新教材高中数学第二章圆与圆的位置关系课后篇巩固提升含解析新人教A版选择性必修第一册

新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：2.5.2 圆与圆的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.两圆x 2+y 2-2x-2y=0和x 2+y 2-6x+2y+6=0交于A ,B 两点,则AB 的垂直平分线的方程是( )A.x+y+3=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.2x-y-1=0的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.2.若圆x 2+y 2-2x+F=0和圆x 2+y 2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则( ) A.E=-4,F=8 B.E=4,F=-8 C.E=-4,F=-8D.E=4,F=8{x 2+y 2-2x +F =0, ①x 2+y 2+2x +Ey -4=0,②②-①可得4x+Ey-F-4=0, 即x+E4y-F+44=0,由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0, 得{E4=-1,-F+44=1,解得{E =-4,F =-8.3.已知两圆相交于A (1,3),B (m ,-1)两点,两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+2c 的值为( ) A.-1B.1C.3D.0解析由题意知,直线x-y+c=0为线段AB 的垂直平分线,且AB 的中点1+m 2,1在直线x-y+c=0上,∴1+m 2-1+c=0,∴m+2c=1.4.已知圆C 1:(x+a )2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-b )2+(y-2)2=4相外切,a ,b 为正实数,则ab 的最大值为 ( )A.2√3B.94C.32D.√62,圆C 1:(x+a )2+(y-2)2=1的圆心为C 1(-a ,2),半径r 1=1.圆C 2:(x-b )2+(y-2)2=4的圆心为C 2(b ,2),半径r 2=2. ∵圆C 1:(x+a )2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-b )2+(y-2)2=4相外切,∴|C 1C 2|=r 1+r 2,即a+b=3,由基本不等式,得ab ≤a+b 22=94,当且仅当a=b=32时,等号成立.故选B .5.若圆x 2+y 2-2ax+a 2=2和圆x 2+y 2-2by+b 2=1相外离,则a ,b 满足的条件是 .d=√a 2+b 2.∵两圆相外离,∴d>√2+1, ∴a 2+b 2>3+2√2.2+b 2>3+2√26.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是 .点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,∴a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1, 圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1, 则|C 1C 2|=√a 2+b 2=√4=2, ∴|C 1C 2|=r 1+r 2.∴两圆外切.7.(1)求圆心在直线y=-2x 上,且与直线y=-x+1相切于点P (2,-1)的圆的方程; (2)求与圆x 2+y 2-2x-4y=0外切于点(2,4)且半径为2√5的圆的方程.过点P (2,-1)且与直线y=-x+1垂直的直线为x-y-3=0,由{y =-2x x -y -3=0求得{x =1,y =-2.即圆心C (1,-2),半径r=|CP|=√2, 所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)圆方程化为(x-1)2+(y-2)2=5,得该圆圆心为(1,2),半径为√5,故两圆连心线斜率k=4-22-1=2.设所求圆心为(a ,b ),所以{√(a -1)2+(b -2)2=3√5,4-b2-a =2,解得{a =4,b =8,或{a =-2,b =-4.(舍去)所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-8)2=20.关键能力提升练8.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A .(x-5)2+(y+7)2=25B .(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15C .(x-5)2+(y+7)2=9D .(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9(x ,y ),则若两圆内切,则有√(x -5)2+(y +7)2=4-1=3,即(x-5)2+(y+7)2=9;若两圆外切,则有√(x -5)2+(y +7)2=4+1=5,即(x-5)2+(y+7)2=25.9.已知点M (-2,0),N (2,0),若圆x 2+y 2-6x+9-r 2=0(r>0)上存在点P (不同于M ,N ),使得PM ⊥PN ,则实数r 的取值范围是( ) A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3)D.[1,3]PM ⊥PN 得,点P 在以MN 为直径的圆上(不同于M ,N ),以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4. 由x 2+y 2-6x+9-r 2=0得(x-3)2+y 2=r 2(r>0),所以两圆的圆心距d=3,依题意得,|r-2|<3<r+2,解得1<r<5.10.圆C 1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C 2:(x-a )2+(y-4)2=16外离,过原点O 分别作两个圆的切线l 1,l 2,若l 1,l 2的斜率之积为-1,则实数a 的值为( ) A.83B.-83C.-6D.6,则√(2-a )2+(3-4)2>2+4,即(a-2)2>35,设与圆C 1相切的直线l 1的方程为y=kx , 则√k 2+1=2,解得k=512,则与圆C 2相切的直线l 2的斜率k'=-1k=-125, 直线l 2的方程为y=-125x ,即12x+5y=0,所以√122+52=4,解得a=-6或a=83, 结合(a-2)2>35可知a=-6,故选C .11.已知点P (t ,t-1),t ∈R ,点E 是圆O :x 2+y 2=14上的动点,点F 是圆C :(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为( ) A.2B.52C.3D.4P (t ,t-1)在直线x-y-1=0上.设圆O 关于直线x-y-1=0对称的圆为圆C 1,则C 1:(x-1)2+(y+1)2=14.由几何知识知,当F ,E 1,P 共线时,|PF|-|PE|=|PF|-|PE 1|=|E 1F|=|C 1C|+12+32=4.故选D .12.(多选题)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是()A.(x+2)2+(y+2)2=9B.(x-2)2+(y+2)2=9C.(x-2)2+(y-2)2=25D.(x-2)2+(y+2)2=49C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2.A项,圆心C1(-2,-2),半径r1=3,∵|C1C|=√17∈(r1-r,r1+r),∴两圆相交;B项,圆心C2(2,-2),半径r2=3,∵|C2C|=5=r+r2,∴两圆外切,满足条件;C项,圆心C3(2,2),半径r3=5,∵|C3C|=3=r3-r,∴两圆内切;D项,圆心C4(2,-2),半径r4=7,∵|C4C|=5=r4-r,∴两圆内切.13.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是()A.-16B.-9C.11D.12C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为√25+k;圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|>√25+k+1或|C1C2|<√25+k-1,即5>√25+k+1或5<√25+k-1,解得-25<k<-9或k>11.∴实数k的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).满足这一范围的有A和D.14.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB 的方程为;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点.C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),,则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,12半径为r=12√22+12=√52. 可得以CP 为直径的圆的方程为(x-1)2+y-122=54,即x 2+y 2-2x-y=0,两圆的方程相减可得直线AB 的方程2x+y-1=0.因为点P 为直线x+2y-4=0上一动点, 设P (4-2m ,m ),因为PA ,PB 是圆C 的切线,所以CA ⊥PA ,CB ⊥PB ,所以AB 是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦,以PC 为直径的圆的方程为[x-(2-m )]2+y-m22=(2-m )2+m24,又由圆C 的方程为x 2+y 2=1,两圆的方程相减,则AB 的方程为2(2-m )x+my=1, 可得14,12满足上式,即AB 过定点14,12.答案2x+y-1=014,1215.已知圆C 1:x 2+y 2+4ax+4a 2-4=0和圆C 2:x 2+y 2-2by+b 2-1=0只有一条公切线,若a ,b ∈R 且ab ≠0,则1a 2+1b 2的最小值为 .解析由题意知两圆内切,根据两圆分别为C 1:x 2+y 2+4ax+4a 2-4=0和圆C 2:x 2+y 2-2by+b 2-1=0,得圆心分别为(-2a ,0)和(0,b ),半径分别为2和1,故有√4a 2+b 2=1,所以4a 2+b 2=1,所以1a2+1b2=1a2+1b 2(4a 2+b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2√b 2a 2·4a 2b 2=9,当且仅当b 2a 2=4a 2b 2,即b 2=2a 2=13时,等号成立.所以1a2+1b 2的最小值为9.16.在平面直角坐标系Oxy 中,点A (0,3),直线l :y=2x-4,设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直线y=x-1上,过点A 作圆C 的切线,求切线方程; (2)若圆C 上存在点M ,使|MA|=2|MO|,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.由{y =2x -4,y =x -1,得圆心C (3,2).∵圆C 的半径为1,∴圆C 的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.过点A 作圆C 的切线,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0, ∴√k 2+1=1,∴|3k+1|=√k 2+1,∴2k (4k+3)=0,∴k=0或k=-34,∴所求圆C 的切线方程为y-3=0或3x+4y-12=0. (2)∵圆C 的圆心在直线l :y=2x-4上,∴设圆心C (a ,2a-4),则圆C 的方程为(x-a )2+[y-(2a-4)]2=1.又|MA|=2|MO|,∴设M (x ,y ),则√x 2+(y -3)2=2√x 2+y 2, 整理得x 2+(y+1)2=4,设为圆D ,∴点M 既在圆C 上又在圆D 上,即圆C 和圆D 有交点, ∴2-1≤√a 2+[(2a -4)-(-1)]2≤2+1,解得0≤a ≤125,所以a 的取值范围为0,125.学科素养创新练17.已知圆C 的圆心在直线l :2x-y=0上,且与直线l 1:x-y+1=0相切. (1)若圆C 与圆x 2+y 2-2x-4y-76=0外切,试求圆C 的半径.(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l 1相切,我们称l 1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由.设圆C 的圆心坐标为(a ,2a ),则半径r=√12+12=√2,两圆的圆心距为√(a -1)2+(2a -2)2=√5|a-1|=√10r ,因为两圆外切,所以√10r=r+9,∴r=√10+1.(2)有.如果存在另一条切线,则它必过l 与l 1的交点(1,2), ①若斜率不存在,则直线方程为x=1,圆心C 到它的距离|a-1|=r=√2,由于方程需要对任意的a 都成立,因此无解,所以它不是公切线,②若斜率存在,设公切线方程为y-2=k (x-1), 则d=√1+k 2=r=√2对任意的a 都成立,√1+k 2=√2√1+k2=√2,两边平方并化简得k 2-8k+7=0,解得k=1或k=7, 当k=1时,直线与l 1重合, 当k=7时,直线方程为7x-y-5=0, 故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.。

人教A版高中数学选修第一册同步练习2.5.2 圆与圆的位置关系 A基础练(详细解析版)

人教A 版高中数学选修第一册同步练习2.5.2 圆与圆的位置关系（A 基础练）一、选择题1．（2020全国高课二时练）圆O 1: 2220x y x +-=和圆O 2: 2240x y y +-=的位置关系是（） A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切【正确答案】B【详细解析】试题分析:由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ,半径11r =,圆2O 的圆心()20,2O ,半径12r =,又211212r r OO r r -<<+,所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交,故选B ．2．（2020山东菏泽三中高二期中）两圆224210x y x y +-++=与224410x y x y ++--=的公切线有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【正确答案】C【详细解析】由题意,得两圆的标准方程分别为22(2)(1)4x y -++=和22(2)(2)9x y ++-=,则两圆的圆心距523d ===+,即两圆外切,所以两圆有3条公切线;故选C ．3．（2020山西师大附中高二期中）圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A,B,则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A ．10x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．10x y -+= 【正确答案】A【详细解析】圆22250x y x +--=的圆心为(1,0)M ,圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)N -,两圆的相交弦AB 的垂直平分线即为直线MN ,其方程为020111y x --=---,即10x y +-=;故选A. 4.（2020山东泰安一中高二期中）已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相外切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝15D ．(x ＋5)2＋(y －7)2＝25【正确答案】A【详细解析】设动圆圆心为M ,且半径为1,又圆22(5)(7)16x y -++=的圆心为(5,7)N -,半径为4,由两圆相外切,得145MN =+=,即动圆圆心M 的轨迹是以(5,7)N -为圆心、半径为5的圆,其轨迹方程为22(5)(7)25x y -++=;故选A.5．（多选题）（2020河北正定中学高二期中）下列圆中与圆C :x 2+y 2+2x -4y+1=0相切的是( )A.(x+2)2+(y+2)2=9B.(x -2)2+(y+2)2=9C.(x -2)2+(y -2)2=25D.(x -2)2+(y+2)2=49 【正确答案】BCD【详细解析】由圆C :x 2+y 2+2x -4y+1=0,可知圆心C 的坐标为(-1,2),半径r=2.A 项,圆心C 1(-2,-2),半径r 1=3.∵|C 1C|=√17∈(r 1-r ,r 1+r ),∴两圆相交;B 项,圆心C 2(2,-2),半径r 2=3, ∵|C 2C|=5=r+r 2,∴两圆外切,满足条件;C 项,圆心C 3(2,2),半径r 3=5,∵|C 3C|=3=r 3-r ,∴两圆内切;D 项,圆心C 4(2,-2),半径r 4=7,∵|C 4C|=5=r 4-r ,∴两圆内切.6．（多选题）若圆C 1:x 2+y 2=1和圆C 2:x 2+y 2-6x -8y -k=0没有公共点,则实数k 的取值可能是( )A.-16B.-9C.11D.12 【正确答案】AD【详细解析】化圆C 2:x 2+y 2-6x -8y -k=0为(x -3)2+(y -4)2=25+k ,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为√25+k ; 圆C 1:x 2+y 2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.要使圆C 1和圆C 2没有公共点,则|C 1C 2|>√25+k +1或|C 1C 2|<√25+k -1,即5>√25+k +1或5<√25+k -1,解得-25<k<-9或k>11.∴实数k 的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).满足这一范围的有A 和D.二、填空题7．（2020·辽河油田二中高二期中）已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -,若两圆圆心都在直线0x y b ++=上,则+a b 的值是 ________________ .【正确答案】1-【详细解析】由(),3A a ,()1,1B -,设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫ ⎪⎝⎭,根据题意,可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+,解得,1a =,2b =-,故1a b +=-.故正确答案为:1-. 8．半径长为6的圆与y 轴相切,且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切,则此圆的方程为______________ .【正确答案】(x －6)2＋(y ±4)2＝36【详细解析】设该圆的标准方程为22()()36x a y b -+-=,因为该圆与y 轴相切,且与圆22(3)1x y -+=内切,所以65a ⎧=⎪=,解得64a b =⎧⎨=±⎩,即该圆的标准方程为22(6)(4)36x y -+±=. 9．（2020全国高二课时练）若点P 在圆221x y +=上,点Q 在圆()()22344x y ++-=,则PQ 的最小值为_____________ .【正确答案】2【详细解析】由题意可知,圆221x y +=的圆心坐标为()0,0A ,半径1r =,圆()()22344x y ++-=的圆心坐标为()3,4B -,半径2R =.由512d AB R r ===>+=+,∴两圆的位置关系是外离.又点P 在圆A 上,点Q 在圆B 上,则PQ 的最小值为()()5122d R r -+=-+=10．（2020浙江嘉兴四中高二期中）已知相交两圆221:4C x y +=,圆222,(2)4C x y -+=,公共弦所在直线方程为___________,公共弦的长度为___________.【正确答案】1x =;【详细解析】联立2222(24)4x y x y ⎧+=⎨⎩-+=作差可得1x =,将1x =代入224x y +=可解得y =12l y y =-=故正确答案为:1x =;三、解答题11.（2020全国高二课时练）已知两圆C 1:x 2+y 2+4x -6y+12=0,C 2:x 2+y 2-2x -14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置关系时:(1)外切; (2)内切; (3)相交; (4)内含; (5)外离.试确定上述条件下k 的取值范围.【详细解析】将两圆的方程化为标准方程:C 1:(x+2)2+(y -3)2=1;C 2:(x -1)2+(y -7)2=50-k.则圆C 1的圆心坐标C 1(-2,3),半径r 1=1, 圆C 2的圆心坐标C 2(1,7),半径r 2=√50-k . 从而圆心距d=√(-2-1)2+(3-7)2=5.(1)当两圆外切时,d=r 1+r 2,即1+√50-k =5,解得k=34.(2)当两圆内切时,d=|r 1-r 2|,即|1-√50-k |=5,解得k=14.(3)当两圆相交时,|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,即|1-√50-k |<d<1+√50-k , 解得14<k<34.(4)当两圆内含时,d<|r 1-r 2|,即|1-√50-k |>5,解得k<14.(5)当两圆外离时,d>r 1+r 2,即1+√50-k <5,解得k>34. 12．（2020·太原市第六十六中高二期中）已知圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2﹣6x +m =0．（1）若圆C 1与圆C 2外切,求实数m 的值;（2）在（1）的条件下,若直线x +2y +n =0与圆C 2的相交弦长为求实数n 的值．【详细解析】（1）由题意,圆221:1C x y +=的圆心坐标为1(0,0)C ,半径为1r =,圆222:60C x y x m +-+=的圆心坐标为2(3,0)C ,半径为R =,因为圆1C 与2C 相外切,所以12C C r R =+,即31=解得5m =. （2）由（1）得5m =,圆2C 的方程为22(3)4x y -+=,可得圆心2(3,0)C ,半径为2R =,由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离d =,又由圆的弦长公式,1==,即3n +=解得3n =-或3n =-。

2022版人教A版高中数学选择性必修第一册练习题--圆与圆的位置关系

2022版人教A版高中数学选择性必修第一册--2.5.2圆与圆的位置关系基础过关练题组一圆与圆的位置关系1.(2021福建武平一中高二上第一次过关考试)圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是()A.内切B.外离C.内含D.相交2.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是()A.5B.7C.9D.113.(2021江西上高二中高二上月考)圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条4.已知圆C1:x2+y2-m=0(m>0),圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,若圆C1与圆C2有公共点,则实数m的取值范围是()A.m<1B.m>121C.1≤m≤121D.1<m<1215.已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公共弦所在直线的方程.6.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值时,两圆外切?(2)m取何值时,两圆内切?题组二圆与圆的位置关系的综合运用7.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=08.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r 的取值范围是()A.(0,√2-1)B.(0,1]C.(0,2-√2]D.(0,2]9.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为()A.2√3B.94 C.32D.√6210.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.4√2C.8D.8√211.(2021江苏南京金陵中学高二上月考)两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,若两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为.12.已知圆O:x2+y2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.(1)PA与OA、PB与OB具有怎样的位置关系?(2)由(1)还可以得到什么结论?你能否将这一结论推广?能力提升练题组一圆与圆的位置关系1.(2021江西南昌二中高二上月考,)若圆C:x2+y2=5-m与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有三条公切线,则m的值为 ()A.2B.√3C.4D.62.()若圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.(-√22,0)∪(0,√22)B.(-2√2,−√2)∪(√2,2√2)C.(-3√22,-√22)∪(√22,3√22)D.(-∞,-3√22)∪(√2,+∞)3.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知圆C1:x2+(y-a2)2=a4的圆心到直线x-y-2=0的距离为2√2,则圆C1与圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0的位置关系是()A.相交B.内切C.外切D.外离4.(多选)()设r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是()A.内切B.相交C.外离D.外切5.(多选)()若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则m的值为()A.16B.7C.-4D.-7题组二圆与圆的位置关系的综合运用6.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)已知圆C1:(x-a)2+y2=1和C2:x2+y2-2by+b2-4=0恰好有三条公切线,则√(a-3)2+(b-4)2的最小值为()A.2B.1+√2C.2−√2D.47.()已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.√2B.√3C.2D.38.(多选)()已知两圆方程为x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0),则下列说法正确的是()A.若两圆外切,则r=1B.若两圆公共弦所在的直线方程为8x-6y-37=0,则r=2C.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=3D.若两圆有三条公切线,则r=29.(多选)()已知圆M:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆N:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的圆心不重合,直线l:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.下列说法正确的是()A.若两圆相交,则l是两圆的公共弦所在直线B.直线l过线段MN的中点C.过直线l上一点P(在两圆外)作两圆的切线,切点分别为A,B,则|PA|=|PB|D.直线l与直线MN相互垂直10.(2020浙江温州高二上期末,)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,则r的值为,若点A(x0,y0)在圆C1上,则x02+y02-4x0的最大值为.11.(2021重庆八中高二上月考,)已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上.(1)求圆C1的方程;(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M、N两点,求两圆的公共弦长.12.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满足|PA|=2|PB|,设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.(1)求曲线E的方程;(2)若l与曲线E交于不同的C、D两点,且∠COD=120°(O为坐标原点),求直线l 的斜率;(3)若k=1,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM、QN,切点为M、N,探究:直线MN是否过定点,若存在定点,请写出坐标;若不存在,请说明理由.答案全解全析基础过关练1.A 设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r2. 由题意得,O 1(2,3),r 1=1,O 2(4,3),r 2=3,∴|O 1O 2|=√(4-2)2+(3-3)2=2=r 2-r 1,因此两圆内切,故选A .2.C 由题意知圆C 1的半径r 1=2;圆C 2的半径r 2=2,所以两圆的圆心距d =√[1-(-3)]2+[(-2)-1]2=5>r 1+r 2=4,所以两圆外离,从而|MN |的最大值为5+2+2=9.故选C .3.B 设圆C 1的半径为r 1,圆C 2的半径为r 2,依题意得C 1(-1,1),r 1=2;C 2(3,4),r 2=5, ∴|C 1C 2|=√42+32=5. ∵|r 2-r 1|=3<|C 1C 2|<r 1+r 2=7,∴两圆C 1、C 2相交,从而两圆有2条公切线.故选B .4.C 圆C 1的方程可化为x 2+y 2=m (m >0),则圆心为C 1(0,0),半径r 1=√m ; 圆C 2的方程可化为(x +3)2+(y -4)2=36,则圆心为C 2(-3,4),半径r 2=6. ∵圆C 1与圆C 2有公共点, ∴|r 1-r 2|≤|C 1C 2|≤r 1+r 2,即|√m -6|≤√(-3-0)2+(4-0)2≤√m +6,∴{|√m -6|≤5,√m +6≥5,解得1≤m ≤121. 5.解析 (1)证明:圆C 1的方程可化为(x -2)2+(y +1)2=5,圆C 2的方程可化为x 2+(y -1)2=5,∴C1(2,-1),C2(0,1),两圆的半径均为√5,∵|C1C2|=√(0-2)2+(1+1)2=2√2∈(0,2√5),∴两圆相交.(2)将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程,(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-1=0.6.解析两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,则圆心分别为(1,3),(5,6),半径分别为√11和√61-m.(1)当两圆外切时,√(5-1)2+(6-3)2=√11+√61-m,解得m=25+10√11.(2)当两圆内切时,√(5-1)2+(6-3)2=|√61-m−√11|,所以m=25−10√11.7.C易得线段AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入各选项,可得C 正确.8.C由M∩N=N知N⊆M,所以圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)内切或内含,且4>r2.所以2-r≥√2,又r>0,所以0<r≤2-√2.9.B由题意得,圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1的圆心为C1(-a,2),半径r1=1.圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4的圆心为C2(b,2),半径r2=2.∵圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,∴|C1C2|=r1+r2,即a+b=3,由基本不等式,得ab≤(a+b2)2=94,当且仅当a=b时取等号.故选B.10.C∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个实数根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=√(a-b)2+(a-b)2=√32×2=8.11.答案 3解析由题意可知直线x-y+c=0是线段AB的垂直平分线,因为直线x-y+c=0的斜=-1,解得m=5.率为1,所以k AB=3-(-1)1-m由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为(3,1),将其代入直线方程得,3-1+c=0, 解得c=-2.故m+c=5-2=3.12.解析(1)如图,点A在圆C上,OP为圆C的直径,所以OA⊥PA,同理可得OB⊥PB.(2)由(1)还可以得到:PA是圆O的切线,PB也是圆O的切线.这一结论可以推广为:圆O外一点P,以OP为直径的圆与圆O交于A、B两点,则PA、PB是圆O的切线.能力提升练1.C圆C的圆心为(0,0),半径为√5-m,圆E的圆心为(3,4),半径为4,由题意可知两圆外切,则√32+42=√5-m+4,解得m=4.2.C根据题意知,圆(x-a)2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,两圆圆心的距离d=√a2+a2=√2|a|,所以2−1<√2|a|<2+1,即√22<|a|<3√22,所以−3√22<a<−√22或√22<a<3√22.故选C.3.B已知圆C1的圆心到直线x-y-2=0的距离d=2√2,2√12+(-1)2=2√2,解得a2=2,∴圆C1:x2+(y-2)2=4的圆心C1的坐标为(0,2),半径r1=2,将圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=1,其圆心C2的坐标为(1,2),半径r2=1,∵圆心距|C1C2|=√(0-1)2+(2-2)2=1=r1-r2,∴两圆内切,故选B.4.CD两圆的圆心距d=√(1-0)2+(-3-0)2=√10,两圆的半径之和为r+4,因为√10<r+4,所以两圆不可能外切或外离,故选CD.5.AC圆C1的圆心为(1,0),半径为1;圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0转化为标准方程得(x-4)2+(y+4)2=32-m,其圆心为(4,-4),半径为√32-m,所以两圆的圆心距为√(4-1)2+(-4-0)2=5.两个圆内切时,两圆的圆心距等于半径之差的绝对值,即5=|√32-m-1|,解得m=-4;当两个圆外切时,两圆的圆心距等于半径之和,可得5=√32-m+1,解得m=16.综上,m的值为-4或16.故选AC .6.A 圆C 1的圆心为C 1(a ,0),半径r 1=1. 圆C 2的圆心为C 2(0,b ),半径r 2=2.由圆C 1与圆C 2有3条公切线知,两圆外切,∴|C 1C 2|=√a 2+b 2=r 1+r 2=3. 因此a 2+b 2=9,设P (a ,b )在圆x 2+y 2=9上,A (3,4),则|PA |=√(a -3)2+(b -4)2,∵|OA |=√32+42=5, ∴|PA |min =|OA |-3=2.故选A .7.D C 1的方程可化为(x -2)2+(y -2)2=1,C 2的方程可化为(x -1)2+y 2=1.设圆C 2关于直线x +y +1=0对称的圆为C'2,其圆心C'2(a ,b ). 依题意得{a+12+b2+1=0,b -0a -1=1⇒{a =-1,b =-2,因此,圆C'2:(x +1)2+(y +2)2=1. 如图所示.∵|C 1C'2|=√(-1-2)2+(-2-2)2=5,∴(|PM |+|PN |)min =|C 1C'2|-2=3, 故选D .8.ABC A 中,若两圆外切,则圆心距等于半径和,因为圆心距为√(4-0)2+(-3-0)2=5,圆x 2+y 2=16的半径为4,所以r =5-4=1,故A 正确; B 中,两圆方程相减,得相交弦所在的直线方程为8x -6y +r 2-41=0,所以r 2-41=-37,解得r =2,故B 正确;C 中,圆x 2+y 2=16的圆心为原点O ,半径为4,圆(x -4)2+(y +3)2=r 2(r >0)的圆心是(4,-3),设为A ,设其中一个交点是B ,因为过B 点的切线互相垂直,所以过B 点的两条半径也垂直,即OB 垂直AB ,所以三角形OAB 是直角三角形,且∠OBA =90°,因为|AO |2=(4-0)2+(-3-0)2=25,|OB |=4, 所以r 2=|AO |2-|OB |2=9,即r =3,故C 正确;D 中,由B 知,D 选项错误. 故选ABC .9.ACD 对于A,设两圆的公共点为C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则满足{x 12+y 12+D 1x 1+E 1y 1+F 1=0,x 12+y 12+D 2x 1+E 2y 1+F 2=0,两式相减得(D 1-D 2)x 1+(E 1-E 2)y 1+F 1-F 2=0, 同理(D 1-D 2)x 2+(E 1-E 2)y 2+F 1-F 2=0,∴C ,D 两点的坐标满足方程(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +F 1-F 2=0,故两圆的公共弦所在直线为直线l :(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +F 1-F 2=0,故A 正确;对于B,如图,取弦CD的中点E,设|CD|=2a,圆M的半径为r1,圆N的半径为r2,r1≠r2,则|ME|=√r12-a2≠|NE|=√r22-a2,∴直线l不一定过线段MN的中点,故B错误;对于C,如图,|PA|=√|PN|2-r22=√|PE|2+|NE|2-r22=√|PE|2+r22-a2-r22=√|P E|2-a2,|PB|=√|PM|2-r12=√|PE|2+|ME|2-r12=√|PE|2+r12-a2-r12=√|PE|2-a2, ∴|PA|=|PB|,故C正确;对于D,在△NCD中,|NC|=|ND|,则NE⊥CD,同理,ME⊥CD,∴直线l与直线MN相互垂直,故D正确.故选ACD.10.答案4;5解析由于两圆外切,所以√(4-0)2+(3-0)2=|r+1|,所以r=4.点A(x0,y0)在圆C1上,所以x02+y02=1,所以y02=1-x02,所以x02+y02-4x0=1-4x0,因为-1≤x0≤1,所以当x0=-1时,x02+y02-4x0取最大值,为5.11.解析(1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l的方程为y-1-3-1=x-2-2-2,即y=x-1,因为圆C1与y轴相切于点(0,3),所以圆心在直线y=3上,联立{y=3,y=x-1,所以圆心坐标为(4,3),故圆C1的半径为4,则圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.(2)圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x+3y-4=0,圆C1的圆心到直线2x+3y-4=0的距离d=|8+9-4|√22+32=√13,所以两圆的公共弦长为2√16-13=2√3.12.解析(1)设点P的坐标为(x,y),由|PA|=2|PB|可得,√x2+(y-4)2=2√x2+(y-1)2,整理可得x2+y2=4,所以曲线E的方程为x2+y2=4.(2)依题意,得|OC|=|OD|=2,且∠COD=120°,则点O到CD边的距离为1,即点O(0,0)到直线l:kx-y-4=0的距离d=√k2+1=1,解得k=±√15,所以直线l的斜率为±√15.(3)存在定点,理由如下:依题意,得ON⊥QN,OM⊥QM,则M,N都在以OQ为直径的圆F上,Q是直线l:y=x-4上的动点,设Q(t,t-4),则圆F的圆心为(t2,t-42),且经过坐标原点,即圆F的方程为x2+y2-tx-(t-4)y=0,因为M,N在曲线E:x2+y2=4上,所以联立{x 2+y 2=4,x 2+y 2-tx -(t -4)y =0,可得tx +(t -4)y -4=0,即直线MN 的方程为tx +(t -4)y -4=0.由t ∈R 且t (x +y )-4y -4=0,可得{x +y =0,4y +4=0,解得{x =1,y =-1,所以直线MN 过定点,定点为(1,-1).。

人教A版高中数学选择性必修第一册第2章 2.5.2 圆与圆的位置关系课时练习题

2．5.2圆与圆的位置关系1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为()A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离答案C解析由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2，所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为()A ．(1,0)和(0,1)B ．(1,0)和(0，－1)C ．(－1,0)和(0，－1)D ．(－1,0)和(0,1)答案C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－m ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0，若圆C 1与圆C 2有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．m ＜1B ．m ＞121C ．1≤m ≤121D ．1＜m ＜121答案C解析圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m (m >0)，则圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝m ；圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心为C 2(－3,4)，半径r 2＝6.∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2，即|m －6|≤(－3－0)2＋(4－0)2≤m ＋6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121.4．(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．内切B．相交C．外离D．外切答案CD解析两圆的圆心距为d＝(1－0)2＋(－3－0)2＝10，两圆的半径之和为r＋4，因为10<r＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选CD.5．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为() A．4条B．3条C．2条D．1条答案C解析圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴|O1O2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，∴两圆相交．∴公切线有2条．6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是_____________．答案a2＋b2>3＋2 2解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，2和(0，b)，1.因为两圆外离，所以a2＋b2>2＋1，即a2＋b2>3＋2 2.7．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是_______．答案x＋3y＝0解析圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．答案x 2＋y 2－34x －34y －114＝0 解析由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0. 9．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则AH ＝12AB ＝2，所以O 1H ＝r 21－AH 2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0，∴公共弦长为2(11)2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y －7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9答案D 解析设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4－1， ∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.12．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于()A ．4B ．42C ．8D ．8 2答案C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝(a－b)2＋(a－b)2＝32×2＝8.13．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是() A．(－22，0)∪(0,22) B．(－22，22)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)答案A解析∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．|OC|＝a2＋1，由2－1<|OC|<2＋1，得1<a2＋1<3，∴0<|a|<22，∴－22<a<0或0<a<2 2.14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．答案4解析连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝5×255＝2，∴|AB|＝4.15．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是____________________．答案x2＋y2－3x＋y－1＝0解析设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.16．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解(1)设P (x ，y )，则||AP ＝2||OP ，即||AP |2＝4OP |2，所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ，所以，圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2.因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距为 ||CQ ＝()t ＋12＋()t －02＝2t 2＋2t ＋1，所以||2－t ≤||CQ ≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t ≤3.所以，实数t 的取值范围是[]－3＋23，3.。

高中数学《2、4圆与圆的位置关系》知识点+教案课件+习题

知识点：1、设两圆的圆心连线线长为d，两圆的半径分别为R，r。

则两圆有如下位置关系，如下图所示：（1）、两圆外离d＞R＋r；（2）、两圆外切d = R＋r；（3）、两圆相交R－r＜d＜R＋r（R＞r）（4）、两圆内切d = R－r；（R＞r）（5）、两圆内含d＜R－r。

（R＞r）2、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

如下图所示，O1O2为圆心，AB为两圆的公共弦，则有AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分。

视频教学：练习：A．外离B．外切C．相交D．内切2、已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）A．0<d<1B．d>5C．0<d<1或d>5D．0≤d<1或d>53、若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=5，⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2是（）A． 3 B． 5C．7 D． 3 或7课件：教案：【教学目标】1．知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系。

2．过程与方法设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；（3）当|r1 – r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；（4）当l = |r1– r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l＜|r1– r2|时，圆C1与圆C2内含。

3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。

【教学重难点】用坐标法判断圆与圆的位置关系。

【教学过程】备选例题例1 已知圆C1：x2 + y2– 2mx + 4y + m²– 5 = 0，圆C2：x2 + y2 + 2x – 2my + m²– 3 = 0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含。

高中数学例题：圆与圆的位置关系

高中数学例题：圆与圆的位置关系例5．已知圆C1：x2+y2―2mx+4y+m2―5=0，圆C2：x2+y2+2x―2my+m2―3=0，问：m为何值时，（1）圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？【答案】（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m＜―1．【解析】对于圆C1，圆C2的方程，配方得C1：(x―m)2+(y+2)2=9，C2：(x+1)2+(y―m)2=4．（1）如果圆C1与圆C232=+，即(m+1)2+(m+2)2=25，m2+3m―10=0，解得m=―5或m=2．（2）如果圆C1与圆C232<-，即(m+1)2+(m+2)2＜1，m2+3m+2＜0，解得―2＜m＜―1．故（1）当m=―5或m=2时，圆C1与圆C2相外切；（2）当―2＜m＜―1时，圆C1与圆C2内含．【总结升华】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d 与R+r、d与R―r的大小关系来判定即可．举一反三：【变式1】当a为何值时，圆C1：x2+y2―2ax+4y+(a2―5)=0和圆C2：x2+y2+2x―2ay+(a2―3)=0相交．【答案】当―5＜a＜―2或―1＜a＜2时，圆C1与圆C2相交【变式2】已知圆C1：x2+y2+2x―6y+1=0，圆C2：x2+y2―4x+2y―11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．【解析】因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，联立方程组，消去x2和y2项，即得两圆的交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．设两圆交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B两点坐标是方程组2222261042110x y x yx y x y⎧++-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩①②的解，①―②得3x―4y+6=0．∵A、B两点坐标都满足此方程，∴3x―4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心为（―1，3），半径r=3．又C1到直线AB的距离为95d==．∴24||5AB===，即两圆的公共弦长为245．【总结升华】求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．这是因为若两圆相交，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用．。

高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解

高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解一、选择题1．(文)(2010·黑龙江哈三中)直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1)[答案] A[解析] 圆的方程x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意知圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0距离大于a ，即|a －1|2>a ，解得－1－2<a <－1＋2，∵a >0，∴0<a <2－1.(理)(2010·宁德一中)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <1 [答案] C[解析] 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径．∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d ＝|1－0＋m |2<2，∴|m ＋1|<2，∴－3<m <1，故所求的m 的取值集合应是(－3,1)的一个真子集，故选C. 2．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|(2sin α)2＋(2cos α)2＝12，圆半径r ＝1， ∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．3．(文)(2010·青岛市质检)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线x －y －2＝0距离d ＝2，∴所求最大值为d ＋r ＝2＋1. (理)(2010·山东肥城联考)若圆x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0(a 是实数)的距离为1，则a 等于( )A ．±1B ．±24C ．±2D ．±32[答案] B[解析] 圆(x －3)2＋(y －1)2＝4，半径为2，由题意圆心(3,1)到直线的距离是1， ∴|3a |a 2＋1＝1，∴a ＝±24.4．(2010·深圳中学)过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则( )A ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0B ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0D ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0 [答案] A[解析] 圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，圆心C (－1,2)，半径r ＝5，点在圆内，设l 斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，∵|AB |＝8，∴圆心到直线距离为52－42＝3， ∴|－k －2＋4k |k 2＋1＝3，∴k ＝－512，当斜率不存在时，直线x ＝－4也满足．故选A.5．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定[答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝⎛⎭⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.6．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条[答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.7．(2010·温州十校)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线(切点为T )交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点，则|OM |－|MT |等于( )A ．b －aB ．a －b C.a ＋b2D ．a ＋b[答案] A[解析] 如图，F ′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF |－|PF ′|＝2a .又M 为PF 的中点，∴|MF |－|OM |＝a ，即|OM |＝|MF |－a .又直线PF 与圆相切， ∴|FT |＝OF 2－OT 2＝b ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－a －(|MF |－|FT |)＝|FT |－a ＝b －a ，故选A.8．(文)(2010·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 [答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，故选A. (理)(2010·泰安质检)如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.14B.12 C ．1D ．2[答案] A[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆的两交点M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，∴圆心在直线x ＋y ＝0上，且两直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1－k 2＋⎝⎛⎭⎫－m 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝－1，∴不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，表示的平面区域如图，故其面积S ＝12|OA |·y B ＝14.9．(文)若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．(理)台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时[答案] B[解析] 以A 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系，则A (102t,102t )，B (40,0)．当满足下列条件时，B 城市处于危险区内，即(102t －40)2＋(102t )2≤302，解得2－12≤t ≤2＋12，故选B.10．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38 B.516 C.58D.316[答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b 2<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝⎛⎭⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝⎛⎭⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.二、填空题11．(2010·四川广元市质检)已知直线l ：x －2y －5＝0与圆O ：x 2＋y 2＝50相交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为______．[答案] 15[解析] 圆心(0,0)到直线l 距离d ＝5，圆半径R ＝52，∴弦长|AB |＝2(52)2－(5)2＝65，∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×65×5＝15.12．(文)(2010·天津南开区模拟)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线OA 、OB ，A 、B 为切点，则线段AB 的长为________．[答案] 4[解析] 圆(x －3)2＋(y －4)2＝5的圆心C (3,4)，半径为r ＝5，|CO |＝5，∴切线长|OA |＝25，由12|OA |·|CA |＝12|OC |·d ，得d ＝2， ∴弦长|AB |＝2d ＝4.(理)(2010·甘肃质检)若直线2x －y ＋c ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则c 的值为________．[答案] 8或－2[解析] 设直线2x －y ＋c ＝0上点P (x 0，y 0)，按a 平移后移到点P ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋1y ＝y 0－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －1y 0＝y ＋1代入直线2x －y ＋c ＝0中得2x －y －3＋c ＝0，此时直线与圆x 2＋y 2＝5相切， ∴|－3＋c |5＝5，∴c ＝8或－2. 13．(2010·湖南文)若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．[答案] －1 x 2＋(y －1)2＝1[解析] 过P 、Q 两点的直线的斜率k PQ ＝b －(3－a )a －(3－b )＝a ＋b －3a ＋b －3＝1，∴线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为－1，线段PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －b ＋32，b －a ＋32，∴PQ 的垂直平分线l 的方程为y －b －a ＋32＝－⎝⎛⎭⎫x －a －b ＋32，即y ＝－x ＋3，设圆心(2,3)关于直线l ：y ＝－x ＋3的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋32＝－a ＋22＋3b －3a －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，故所求的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．(2010·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d <1，∴|c |13<1，∴－13<c <13.三、解答题15．(2010·广东湛江)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．[解析] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得|－k －2|k 2＋1＝2，即k ＝2±6，从而切线方程为y ＝(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. ∴所求切线的方程为y ＝(2±6)x x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0(2)由|PO |＝|PM |得，x 12＋y 12＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0. 即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，|PM |取最小值时即 |OP |取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知长方形ABCD ，AB ＝22，BC ＝1，以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy .(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M 、N 两点，判断是否存在直线l ，使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点，并说明理由．[解析] (1)由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有2a ＝|AC |＋|BC |＝(－2－2)2＋(0－1)2＋(2－2)2＋(0－1)2＝4>22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2，椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)假设满足条件的直线l 存在，由条件可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4y ＝kx ＋2，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0∴x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝41＋2k 2若以弦MN 为直径的圆恰好过原点，则OM →⊥ON →， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0， ∴4(1＋k 2)1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋4＝0，即8－4k 21＋2k 2＝0，解得k ＝±2检验知k 值满足判别式Δ>0∴直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2. (理)(2010·哈三中)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝16.(1)由动点P 引圆C 的两条切线P A 、PB ，若直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，且满足k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程；(2)另作直线l ：kx －y －k ＝0，若直线l 与圆C 交于Q 、R 两点，且直线l 与直线l 1：x ＋2y ＋4＝0的交点为M ，线段QR 的中点为N ，若A (1,0)，求证：|AM |·|AN |为定值．[解析] (1)由k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1得，(k 1＋1)(k 2＋1)＝0，∴k 1＝－1或k 2＝－1.设切线方程为x ＋y ＝m ，则由圆心到直线距离公式得：m ＝－7±42，∴P 点轨迹方程为：x ＋y －7±42＝0；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x ＋2y ＋4＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －42k ＋1，－5k 2k ＋1 由⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＝16y ＝k (x －1)消去y 得(k 2＋1)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋9＝0此方程两根即Q 、R 两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得x N ＝k 2＋4k ＋3k 2＋1，代入y ＝k (x－1)得y N ＝4k 2＋2kk 2＋1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1，又A (1,0)则由两点间距离公式可得： |AM |·|AN |＝10为定值．17．(文)已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝－4n.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 124·y 224＝0.∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过存在M (4,0)点．(理)设点F ⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P 经过点F 且和直线y ＝－32相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .(1)求曲线w 的方程；(2)过点F 作互相垂直的直线l 1、l 2，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 两个点，求四边形ABCD 面积的最小值．[解析] (1)由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，p 2＝32，即p ＝3，∴w ：x 2＝6y .(2)设AC ：y ＝kx ＋32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋32(k ≠0)x 2＝6y ⇒x 2－6kx －9＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，易求|AC |＝6(k 2＋1)， ∵l 1与l 2互相垂直，∴以－1k 换k 得|BD |＝6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1， S ABCD ＝12|AC ||BD |＝12×6(k 2＋1)×6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1 ＝18⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2≥18(2＋2)＝72，当k ＝±1时取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为72.。

高中数学必修二-圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系知识集结知识元圆与圆的位置关系及其判定知识讲解圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|一、几何方法：设，则有：与外离与外切与相交与内切与内含二、代数方法：方程组（1）有两组不同实数解⇔两圆相交；（2）有两组相同实数解⇔两圆相切；（3）无实数解⇔两圆外离或内含．例题精讲圆与圆的位置关系及其判定例1.圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切例2.已知圆，圆分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．7B．8C．10D．13例3.已知两圆相交于A（﹣1，3），B（﹣6，m）两点，且这两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+2c的值为（）A．﹣1B．26C．3D．2两圆的公切线条数及方程知识讲解一、两圆的公切线条数：（1）当两圆内切时有1条公切线；（2）当两圆外切时有3条公切线；（3）相交时有2条公切线；（4）相离时有4条公切线；（5）内含时无公切线．例题精讲两圆的公切线条数及方程例1.圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A．1B．2C．3D．4例2.两圆（x﹣m）2+y2=9和x2+（y+n）2=4恰有3条公切线，则m+n的最大值为（）A．10B．10C．5D．5例3.若两圆x2+y2﹣2ax+4y+a2﹣5=0和x2+y2+2x﹣2ay+a2﹣3=0有3条公切线，则a=（）A．﹣1或﹣2B．﹣1或﹣5C．﹣2或2D．﹣5或2例4.已知圆C1：（x﹣1）2+y2=2和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2恰好有3条公切线，则圆C2的周长为（）A．πB．πC．2πD．4π圆系方程知识讲解一、圆系方程圆系：具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系．（1）同心圆系为常数，为参数．（2）圆心共线且半径相等圆系为常数，圆心在直线上移动．（3）过两已知圆的交点的圆系方程为即．当时，方程变为表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线．（4）过直线与圆交点的圆系方程设直线与圆相交，则方程表示过直线与圆的两个交点的圆系方程．例题精讲圆系方程例1.经过两圆x 2+y 2=9和（x+4）2+（y+3）2=8的交点的直线方程为（）A ．8x+6y+13=0B ．6x﹣8y+13=0C ．4x+3y+13=0D ．3x+4y+26=0例2.圆心在直线x﹣y﹣4=0上，且经过两圆x 2+y 2﹣4x﹣3=0，x 2+y 2﹣4y﹣3=0的交点的圆的方程为（）A ．x 2+y 2﹣6x+2y﹣3=0B ．x 2+y 2+6x+2y﹣3=0C ．x 2+y 2﹣6x﹣2y﹣3=0D ．x 2+y 2+6x﹣2y﹣3=0例3.已知圆方程C 1：f（x，y）=0，点P 1（x 1，y 1）在圆C 1上，点P 2（x 2，y 2）不在圆C 1上，则方程：f（x，y）﹣f（x 1，y 1）﹣f（x 2，y 2）=0表示的圆C 2与圆C 1的关系是（）A ．与圆C 1重合B ．与圆C 1同心圆C ．过P 1且与圆C 1圆心相同的圆D ．过P 2且与圆C 1圆心相同的圆相交弦问题知识讲解一、两圆相交公共弦：(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x＋E 1y＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x＋E 2y＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x＋(E 1－E 2)y＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法：①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．例题精讲相交弦问题例1.两圆（x﹣2）2+（y+3）2=13和（x﹣3）2+y2=9交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0例2.两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2+2x+2y﹣14=0，则经过两圆的公共弦长为（）A．B．C．D．例3.'已知圆C1：x2+y2+2x﹣6y+1=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“圆与圆的位置关系及其盘点”的题目补充.例题精讲备选题库例1.圆x2+4x+y2=0与圆（x-2）2+（y-3）2=r2有三条公切线，则半径r=（）A．5B．4C．3D．2例2.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的公切线个条数为（）A．1B．2C．3D．4例3.如果圆（x-a）2+（y-a）2=1（a>0）上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．例4.圆x2+y2=4与圆x2+y2-2x+4y-4=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含圆的线性规划问题知识讲解利用线性规划的知识处理圆的相关问题.例题精讲圆的线性规划问题例1.'已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值．'例2.'已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点．（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x﹣2y的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．'例3.'.已知点P（x，y）在圆（x﹣2）2+y2=1上运动，分别求下列各式的最大值和最小值．（1）z=2x+y；（2）z=；（3）z=x2+2x+y2﹣2y．'直线与圆的综合应用知识讲解1．直线与圆的位置关系【知识点的认识】1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲直线与圆的综合应用例1.'已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．'例2.'已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．（ⅰ）求证：+为定值；（ii）求|PN|2+|QN|2的最大值．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“直线与圆的综合应用”的题目补充.例题精讲备选题库由直线x=0上的一点向圆（x-3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．C．D．3例2.若直线l：ax-by+2=0（a>0，b>0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则当取最小值直线l的斜率为（）A．2B．C．D．例3.过点（1，3）且与圆（x+1）2+y2=4相切的直线方程为（）A．5x-12y+31=0B．y=3或4x+3y-13=0C．x=1或5x-12y+31=0D．x=1或5x+12y-41=0例4.若圆C：x2+（y-4）2=18与圆D：（x-1）2+（y-1）2=R2的公共弦长为6，则圆D的半径为（）A．5B．2C．2D．2当堂练习单选题练习1.已知动直线y=kx-1+k（k∈R）与圆C：x2+y2-2x+4y-4=0（圆心为C）交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为（）A．3B．6C．D．2若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定练习3.经过点P（2，-1）且被圆C：x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦最短时的直线l的方程为（）A．2x-y-6=0B．2x+y-6=0C．x+2y=0D．x-2y=0练习4.阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P与两定点M，N的距离之比为λ（x>0，且λ≠1），则点P的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点M（2，0），点P为圆O：x2+y2=16上的点，若存在x轴上的定点N（t，0）（t>4）和常数λ，对满足已知条件的点P均有|PM|=|PN|，则λ=（）A．1B．C．D．练习5.若函数y=-的图象与直线x-2y+m=0有公共点，则实数m的取值范围为（）A．[-2-1，-2+1]B．[-2-1，1]C．[-2+1，-1]D．[-3，1]填空题练习1.若圆x2+（y-1）2=4上恰有2个不同的点到直线的距离为1，则m的取值范围为________________练习2.圆C：（x-1）2+y2=1的圆心到直线l：x-y+a=0（a>0）的距离为，则a的值为___．练习3.已知直线x+y-2=0与圆O：x2+y2=r2（r>0）相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3=5，则r=___．练习4.已知圆C经过直线x+y+2=0与圆x2+y2=4的交点，且圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，则圆C的方程为__________________．解答题练习1.'已知圆C：x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0，直线l：ax+y+2a=0。

高中数学第二章平面解析几何圆与圆的位置关系课后习题新人教B版选择性必修第一册

2.3.4　圆与圆的位置关系A级必备知识基础练1.设r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是( )A.内切B.相交C.内切或内含D.外切或外离2.两圆C1:x2+y2=16,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,则两圆公切线条数为( )A.1B.2C.3D.43.圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0的公共弦长为( )A.1B.2C.√3D.2√34.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是( )A.x2+y2-154x-12=0B.x2+y2-154x+12=0C.x2+y2+154x-12=0D.x2+y2+154x+12=05.若圆x2+y2=r2与圆x2+y2+2x-4y+4=0有公共点,则r满足的条件是( )A.r<√5+1B.r>√5+1C.|r-√5|≤1D.|r-√5|<16.已知两圆(x+2)2+(y-2)2=4和x2+y2=4相交于M,N两点,则|MN|= .7.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是 .8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值为 .9.已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2√2,求圆O2的方程.10.已知圆x2+y2-2x-6y-1=0和圆x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.B级关键能力提升练11.已知圆C的方程为(x-3)2+y2=1,若y轴上存在一点A,使得以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点,则A的纵坐标可以是( )A.1B.-3C.5D.-712.(多选题)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有( )A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0C.公共弦AB的长为√22D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为√22+113.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=8与圆C2:x2+y2+2x+y-a=0相交于A,B两点.若圆C1上存在点P,使得△ABP为等腰直角三角形,则实数a的值组成的集合为 .14.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆x2+y2=14上的动点,点F是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为 .15.与圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是 .16.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点.(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程;(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|.C级学科素养创新练17.已知圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,则方程f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是( )A.与圆C1重合B.与圆C1同心圆C.过P1且与圆C1圆心相同的圆D.过P2且与圆C1圆心相同的圆18.(多选题)设有一组圆C k:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个结论中正确的有( )A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点2.3.4　圆与圆的位置关系1.D　两圆的圆心距为d=√(1-0)2+(-3-0)2=√10,两圆的半径之和为r+4,因为√10<r+4,所以两圆不可能外切或外离,故选D.2.B　两圆C1:x2+y2=16,圆心C1(0,0),半径为4,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,其标准方程为(x+1)2+ (y+1)2=9,圆心C2(-1,-1),半径为3,圆心距|C1C2|=√2,|4-3|<√2<|4+3|,即两圆相交,所以公切线恰有两条.3.D　两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为y=1,圆x2+y2=4的半径R=2,圆心(0,0)到直线y=1的距离d=1,则弦长l=2√R2-d2=2√3.故选D.4.A　设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,λ≠-1,再把点M(2,-2)代入可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,求得λ=13,故要求的圆的方程为x2+y2-154x-12=0.5.C　由x2+y2+2x-4y+4=0,得(x+1)2+(y-2)2=1,两圆圆心之间的距离为√(-1)2+22=√5.∵两圆有公共点,∴|r-1|≤√5≤r+1,∴√5-1≤r≤√5+1,即-1≤r-√5≤1,∴|r-√5|≤1.6.2√2　由题意可知直线MN的方程为(x+2)2+(y-2)2-x2-y2=0,即l MN:x-y+2=0,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心(0,0)到x-y+2=0的距离d=2√=√2,所以|MN|=2√r2-d2=2×22-(√2)2=2√2.7.a2+b2>3+2√2　由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),√2和(0,b),1.因为两圆外离,所以√a2+b2>√2+1,即a2+b2>3+2√2.8.43　∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆.又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴圆C':(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点.设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,则d=√2即3k2≤4k,∴0≤k≤43,故可知参数k的最大值为43.9.解设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r22,因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+r22-8=0,作O1H⊥AB,H为垂足,图略,则|AH|=12|AB|=√2,所以|O1H|=√r12-|AH|2=√4-2=√2.由圆心O1(0,-1)到直线4x+4y+r22-8=024√2√2,得r22=4或r22=20,故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.10.解两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为√11和√61-m.两圆圆心之间的距离d=√(5-1)2+(6-3)2=5.(1)当两圆外切时,5=√11+√61-m,解得m=25+10√11.(2)当两圆内切时,因定圆的半径√11小于两圆圆心间距离5,故只有√61-m−√11=5,解得m=25-10√11.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,∴公共弦长为2√(√11)2-|4×1+3×3-23|√222=2√7.11.A 圆C 的方程为(x-3)2+y 2=1,则圆心C (3,0).设y 轴上一点A (0,b ),当以A 为圆心,半径为3的圆与圆C 有公共点时,满足3-1≤|CA|≤3+1,即2≤√(0-3)2+(b -0)2≤4,所以2≤√9+b 2≤4,化简得b 2≤7,∴-√7≤b ≤√7,∴A 的纵坐标可以是1.12.ABD 对于A,由圆O 1:x 2+y 2-2x=0与圆O 2:x 2+y 2+2x-4y=0的交点为A ,B ,两式作差可得4x-4y=0,即公共弦AB 所在直线方程为x-y=0,故A 正确;对于B,圆O 1:x 2+y 2-2x=0的圆心为(1,0),又k AB =1,则线段AB 中垂线的斜率为-1,即线段AB 中垂线的方程为y-0=-1×(x-1),整理可得x+y-1=0,故B 正确;对于C,圆O 1:x 2+y 2-2x=0,圆心O 1(1,0)到直线x-y=0的距离d=√√22,半径r=1,所以|AB|=2√1-(√22)2=√2,故C 不正确;对于D,P 为圆O 1上一动点,圆心O 1(1,0)到直线x-y=0的距离为d=√22,半径r=1,即P 到直线AB距离的最大值为√22+1,故D 正确.13.{8,8-2√5,8+2√5}　由题知,直线AB 为2x+y+8-a=0.当∠PAB=90°或∠PBA=90°时,设C 1到AB 的距离为d.因为△ABP 为等腰直角三角形,所以d=12|AB|,即d=√8-d 2,所以d=2,所以|8-a |√222,解得a=8±2√5.当∠APB=90°时,AB 经过圆心C 1,则8-a=0,即a=8.14.4　∵P (t ,t-1),∴P 点在直线y=x-1上,作E关于直线y=x-1的对称点E',且圆O:x2+y2=14关于直线y=x-1对称的圆O1的方程为(x-1)2+(y+1)2=14,所以E'在圆O1上,∴|PE|=|PE'|,设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O2,∴|PE'|≥|PO1|-|E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|E'O1|)=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4,当P,E',F,O1,O2五点共线,E'在线段PO1上,O2在线段PF上时等号成立.因此,|PF|-|PE|的最大值为4.15.(x-115)2+(y+85)2=1　当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为d=√(1-4)2+(0+4)2=5,所以所求圆半径为1.由已知可知a-14-1=25,所以a=115,b-0-4-0=25,所以b=-85,所以所求圆的方程为(x-115)2+(y+85)2=1.16.解(1)已知圆C1:x2+y2=5的圆心坐标为(0,0),半径为√5,圆C2:x2+y2-4x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径为1.若过圆C1的圆心(0,0)与圆C2相切的直线斜率存在,则可设直线方程为y=kx,则圆心(2,0)到直线kx-y=0的距离d=√21,整理得3k2=1,解得k=±√3 3,所以直线方程为y=±√3 3x.若直线斜率不存在,直线不与圆C2相切.综上所述,直线方程为y=±√3 3x.(2)圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点,则过点A和B的直线方程为4x-3=5,即x=2.所以(0,0)到直线x=2的距离d=2,所以|AB|=2(√5)2-22=2.17.D　由题意,圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,∴f(x1,y1)=0,f(x2,y2)≠0,由f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0,得f(x,y)=f(x2,y2)≠0,它表示过P2且与圆C1圆心相同的圆.18.BD　根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项B正确;考虑两圆的位置关系,圆C k:圆心(k-1,3k),半径为r=√2k2,圆C k+1:圆心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为R=√2(k+1)2,两圆的圆心距d=√(k-k+1)2+(3k+3-3k)2=√10,两圆的半径之差R-r=√2(k+1)2-√2k2=2√2 k+√2,任取k=1或2时,(R-r>d),C k含于C k+1之中,选项A错误;若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;将(0,0)代入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,选项D正确.。

高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题

【成才之路】2015-2016学年高中数学圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( ) A．1条B．3条C．4条D．以上均错[答案] B[分析] 先判断出两圆的位置关系，然后根据位置关系确定公切线条数．[解析] ∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B．规律总结：如何判断两圆公切线的条数首先判断两圆的位置关系，然后判断公切线的条数：(1)两圆相离，有四条公切线；(2)两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线；(3)两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线；(4)两圆内切，有一条公切线；(5)两圆内含，没有公切线．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[答案] B[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x －5)2＋(y＋1)2＝25.3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[答案] B[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( )A．5 B．4C．3 D．2 2[答案] C[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是( )A．－1 B．2C．3 D．0[答案] C[解析] 两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，k AB＝－4m－1＝－1.∴m＝5，线段AB的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上，∴c＝－2，∴m＋c＝3.6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[答案] D[解析] 半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.二、填空题7．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是_________.[答案] 外切[解析] ∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， ∴d ＝r 1＋r 2.∴两圆外切．8．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] 已知圆的标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x ＋y －2＝0垂直的方程为x －y ＝0.方程x －y ＝0分别与直线x ＋y －2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.三、解答题9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．[解析] 方法1：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 125＋12＋－6－22＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法2：由方法1可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ)．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0. 10．(2015·某某天一中学模拟)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又因为动圆C 过点(－5,0)，故(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，－5－a 2＋0－b2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5，故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝5 2.当r 满足r ＋5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相切的圆；当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5＞d ，即r ＞52－5时，与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有两个．综上，当r ＝52－5时，动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个．能力提升一、选择题1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[答案] D[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.2．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0 D ．4x －y ＋4＝0[答案] A[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．3．若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16|，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤a －1}，且A ∩B ＝B ，则a 的取值X 围是( )A ．a ≤1B ．a ≥5C ．1≤a ≤5D ．a ≤5[答案] D[解析] A ∩B ＝B 等价于B ⊆A ．当a >1时，集合A 和B 分别代表圆x 2＋y 2＝16和圆x2＋(y －2)2＝a －1上及内部的点，容易得出当B 对应的圆的半径长小于等于2时符合题意．由0<a －1≤4，得1<a ≤5；当a ＝1时，集合B 中只有一个元素(0,2)，满足B ⊆A ；当a <1时，集合B 为空集，也满足B ⊆A ．综上可知，当a ≤5时符合题意．4．(2015·某某某某模拟)若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫22，322B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22[答案] C[解析] 圆(x －a )2＋(y －a )2＝4的圆心C (a ，a )，半径r ＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O ，半径R ＝1，则这两个圆相交，圆心距d ＝a 2＋a 2＝2|a |，则|r －R |<d <r ＋R ，则1<2|a |<3，所以22<|a |<322，所以－322<a <－22或22<a <322.二、填空题5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝_________. [答案] 1[解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a 的距离d ＝|1a |，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a ＝1. 6．(2015·某某某某月考)已知两点M (1,0)，N (－3,0)到直线的距离分别为1和3，则满足条件的直线的条数是_________.[答案] 3[解析] ∵已知M (1,0)，N (－3,0)，∴|MN |＝4，分别以M ，N 为圆心，1,3为半径作两个圆，则两圆外切，故有三条公切线．即符合条件的直线有3条．三、解答题7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：考虑到圆B 的圆心在直线l 上移动，可先写出动圆B 的方程，再设法建立圆B 的半径r 的目标函数．设圆B 的半径为r .∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.① ∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，② ∴②－①，得两圆的公共弦方程为 (2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③ ∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5(t ＋35)2＋215≥215.∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解．如图，设圆A ，圆B 的圆心分别为A ，B ，则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M ，N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M ，N 两点． ∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ， ∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值． ∵A 是定点，B 是l 上的动点， ∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小．于是，可求得直线AB 方程为y ＋1＝－12(x ＋1)，即y ＝－12x －32，与直线l ：y ＝2x 联立可求得B (－35，－65)，r min ＝215. ∴圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．[解析] (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离为d ＝|1－k －3－4|1＋k2，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴4＝(3)2＋d 2，∴k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )，因为C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．。

圆与圆的位置关系

(2)已知 ⊙ O1、 ⊙ O2的半径长分别为R1、R2，圆心距为d，如果R1=5，R2=3，且⊙ O1、 ⊙ O2相切，那么圆心距d=8. （×）
(3)如果两圆相离，那么圆心距一定大于0. （ × ）
2.已知⊙O1、⊙O2的半径长分别为1和3,，根据下列条件判断 ⊙O1、⊙O2的位置关系：
∴ R1+R2=3+4=7 ∴d＞R1+R2 ∴两圆外离ຫໍສະໝຸດ 图形公共点的个数
0 1 2 1
0
两圆位 d与R1、R2 置关系的数量关系
外离 d R1 R2
外切 d R1 R2
相交 R1 - R2 d R1 R2 内切 d R1 - R2 内含 0 d R1 - R2
例题1 已知 ⊙ O1与 ⊙ O2 的半径长分别为3和4，根
据下列条件判断⊙ O1和 ⊙ O2的位置关系：（1） O1 O2=7 （2） O1 O2= 4 （3） O1 O2=0.5
例题2 如图,已知 ⊙A、⊙B、 ⊙ C两两外切，且AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这三个圆的半径长.
1.判断题(正确的打“√”,错误的打“×”): (1)已知 ⊙O1、 ⊙ O2的半径长分别为R1、R2，圆心距为D，如果R1=1、R2=2 D=0.5，那么⊙ O1、 ⊙ O2 相交. （×）
(1)O1O2=5; (3)O1O2=3; (5)O1O2=1;
(2)O1O2=4; (4)O1O2=2;
3.已知两圆内切，圆心距为 2厘米，其中的一个圆的半径为3厘米，求另一个圆的半径长
r 3 2 5厘米和1厘米
4.已知两圆的直径分别为 6厘米和8厘米，圆心距为14厘米，试说明这两圆的位置关系. 解：∵R1=3，R2=4

2020高中数学 22 圆与圆的位置关系(含解析)苏教版2

课时分层作业（二十二)（建议用时：60分钟)［合格基础练］一、选择题1．两圆x2＋y2＝r2，(x－3）2＋(y＋1）2＝r2外切，则正实数r的值是( )A。

错误! B.错误!C。

错误!D．5B[由题意知2r＝错误!＝错误!，r＝错误!.］2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0C[AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心代入，验证知选C.］3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上,则|PQ｜的最小值是( ）A．5 B．1C．3错误!－5 D．3错误!＋5C［圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4）2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4，2）；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即（x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1），两圆相离，|PQ｜的最小值为|C1C2|－(r1＋r2）＝3错误!－5。

］4．已知两圆分别为圆C1:x2＋y2＝81和圆C2:x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A．内切B．相交C．相离D．外切A[圆C1的圆心为C1(0，0),半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为（x－3)2＋（y－4)2＝42,圆心为C2（3，4),半径长r2＝4,所以|C1C2｜＝错误!＝5。

因为r1－r2＝5,所以|C1C2｜＝r1－r2，所以圆C1和C2内切．］5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点,则r满足的条件是（)A．r〈错误!＋1 B．r>错误!＋1C．｜r－错误!|〈1 D．｜r－错误!|≤1D［由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0,得(x＋1)2＋（y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为错误!＝错误!。

∵两圆有公共点，∴|r－1|≤5≤r＋1，∴错误!－1≤r≤错误!＋1，即－1≤r－错误!≤1，∴|r－错误!｜≤1。

高中数学选择性必修一：2.5.2圆与圆的位置关系精选考点提升训练

第二章 2.5.2圆与圆的位置关系A级——基础过关练1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．外离【答案】B【解析】将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d＝ 5.由于2<d<4，所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】r1＝2，r2＝3，圆心距d＝5，由于d＝r1＋r2，所以两圆外切，故公切线有3条．3．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有() A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0化为(x－1)2＋(y－3)2＝9，圆心C1(1,3)，半径为r1＝3，圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心C2(－2，－1)，半径r2＝2.因为|C1C2|＝－2－12＋－1－32＝5＝r1＋r2，所以两圆外切．作出两圆图象如图，所以圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有3条．4．(2021年九江模拟)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为() A．5B．6C．25D．26【答案】C【解析】x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0.圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝35，因此公共弦长为2522－352＝2 5.5．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－3＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0公共弦长的最大值为________．【答案】2 【解析】两圆相交弦所在直线的方程为x ＋y ＋a ＋b －1a －b ＝0，所以弦长为23－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －b ＋1a －b 22，所以当|a －b |＝1时，弦长最大，最大值为2. 6．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0内切，则a 等于________．【答案】±1 【解析】圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1，因为两圆内切，所以|C 1C 2|＝r 1－r 2＝2－1＝1，即|a |＝1，故a ＝±1.7．若曲线C 1：x 2＋y 2＝5与曲线C 2：x 2＋y 2－2mx ＋m 2－20＝0(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两曲线在A 处的切线互相垂直，则m 的值是________．【答案】±5 【解析】由已知可得圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝5，圆C 2的圆心C 2(m,0)，半径r 2＝25，|C 1C 2|2＝r 21＋r 22，即m 2＝25，故m ＝±5.8．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．【答案】x ＋y －3＝0 【解析】AB 的中垂线即为圆C 1，圆C 2的连心线C 1C 2所在的直线，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.9．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且AB ＝22，求圆O 2的方程．解：设圆O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2. (1)由两圆外切可知|O 1O 2|＝r 1＋r 2，所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－82，两圆的方程相减并整理，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.(2)圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 作O 1H ⊥AB ，则AH ＝12AB ＝2，所以O 1H ＝O 1A 2－AH 2＝ 2. 由圆心(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为|r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.10．已知过点M (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求斜率k 的取值范围；(2)以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围； (3)O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值． (1)解：由题意知直线l 的斜率存在，且直线l 与圆C 相交，设l ：y ＝kx ＋2，则圆心到直线的距离小于半径，即|k ＋2|k 2＋1<1，解得k <－34.(2)解：由题意知两个圆相交或相切，满足|r －1|≤|MC |≤r ＋1，因为|MC |＝0－12＋2－02＝5，所以⎩⎨⎧r ＋1≥5，|r －1|≤5，所以5－1≤r ≤5＋1.(3)证明：将直线l 与圆C 方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x －12＋y 2＝1，化简得(k 2＋1)x 2＋(4k －2)x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2－4k k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋1，k OA ＋k OB ＝y 1x 1＋y 2x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2k ＋2x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋2－4k2＝1，所以直线OA 与OB 斜率之和为定值1.B 级——能力提升练11．若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上总存在两点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫0，22 B ．()－22，－2∪()2，22 C ．⎝⎛⎭⎫－322，－22∪⎝⎛⎭⎫22，322 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－322∪(2，＋∞)【答案】C 【解析】根据题意知，圆(x －a )2＋(y －a )2＝4与圆x 2＋y 2＝1相交，两圆圆心距为d ＝a 2＋a 2＝2|a |，所以2－1<2|a |<2＋1，解得22<|a |<322.所以－322<a <－22，22<a <322. 12．(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，下列结论正确的有( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b【答案】ABC 【解析】由题意，由圆C 2的方程可化为C 2：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0，两圆的方程相减可得直线AB 的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，即2ax ＋2by ＝a 2＋b 2.分别把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点代入，得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2，2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2.两式相减，得2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，所以A ，B 正确；由圆的性质可得，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，所以C 正确，D 不正确．故选ABC ．13．若点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，则圆(x －a )2＋y 2＝1与圆x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________．【答案】外切【解析】因为点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，所以a 2＋b 2＝4.又圆x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 1(0，b )，半径r 1＝1，圆(x －a )2＋y 2＝1的圆心C 2(a ，0)，半径r 2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2，所以d ＝r 1＋r 2.所以两圆外切．14．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝________.【答案】3 【解析】设一个交点为P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，所以r 2＝41－8x 0＋6y 0.因为两切线互相垂直，所以y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，所以3y 0－4x 0＝－16.所以r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，所以r ＝3.15．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：方法一，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，两式相减，得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．因为所求圆以公共弦为直径，所以圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为125＋12＋－6－22＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法二，由方法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ.因为圆心C 在公共弦所在直线上，所以4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.16．如图，已知圆心坐标为M (3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为A ，B ，另一圆N 与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为C ，D ．圆M 与圆N 外切．(1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过B 点作MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解：(1)由于圆M 与∠BOA 的两边相切，故M 到OA 及OB 的距离均为圆M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上．同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线．因为M 的坐标为M (3，1)，所以M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1. 所以圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1. 设圆N 的半径为r ，由Rt △OAM ∽Rt △OCN ，得OM ∶ON ＝MA ∶NC ，即23＋r ＝1r，解得r ＝3，OC ＝3 3. 所以圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求弦长等于过A 点的MN 的平行线被圆N 截得的弦长，此弦所在直线方程为y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离为d ＝|33－3×3－3|1＋3＝32，则弦长＝2r 2－d 2＝33.C 级——探究创新练17．已知相交两圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4，公共弦所在直线的方程为__________，公共弦的长度为__________．【答案】x ＝1 23【解析】联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －22＋y 2＝4作差可得公共弦所在直线的方程为x ＝1.将x ＝1代入x 2＋y 2＝4，解得y ＝±3，l ＝|y 1－y 2|＝2 3.18．已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝ 25，其中圆心(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又因为动圆过点(－5,0)，所以(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，－5－a 2＋0－b 2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－10，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5.故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝5 2. 当r 满足r ＋5<d 时，动圆C 中不存在与圆O 相外切的圆；当r 满足r ＋5>d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O 相外切；当r 满足r ＋5＝d 时，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O 相外切．故当动圆C 中与圆O 相外切的圆仅有一个时，r ＝52－5.。

2022_2023学年高中数学第2章平面解析几何初步-圆与圆的位置关系同步练习湘教版选择性必修第一册

2.6.2　圆与圆的位置关系A级必备知识基础练1.(2022甘肃庆阳宁县期末)已知圆C1:x2+y2=1和C2:x2+y2-5x+4=0,则两圆的位置关系是(　)A.内切B.相交C.外切D.相离2.若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m=( )A.-8B.-19C.-5D.63.圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为( )A.x2+y2-x+7y-32=0B.x2+y2-x+7y-16=0C.x2+y2-4x+4y+9=0D.x2+y2-4x+4y-8=04.(2022四川广安高二期末)设圆C1:(x-1)2+(y-1)2=9和圆C2:(x+2)2+(y+1)2=4交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为( )A.3x-2y-1=0B.2x-3y+1=0C.2x+3y-1=0D.3x+2y+4=05.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为6,则圆D的半径为( )A.5B.2C.2D.26.(多选题)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是( )A.-3B.3C.2D.-27.已知圆(x-a)2+y2=4与圆x2+y2=25没有公共点,则正数a的取值范围为 .B级关键能力提升练8.(2022安徽宣城高二期末)已知圆A:x2+y2-2x-4y-4=0,圆B:x2+y2+2x+2y-2=0,则两圆的公切线的条数是( )A.1条B.2条C.3条D.4条9.(2022广西北海高二期末)已知半径为2的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),则点M的坐标为( )A.(-6,3)B.(3,6)C.(-3,-6)D.(6,3)10.若直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则|AB|=( )A.1B.C. D.211.(2022江苏常州三中等六校高二联考)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于点A,B,则四边形AO1BO2的面积是( )A.1B.2C.3D.412.(多选题)(2022山东泰安宁阳高二期末)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则( )A.|PQ|的最小值为0B.|PQ|的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为-D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=013.(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B两点,则( )A.直线AB的方程为y=2x+2B.两圆有两条公切线C.线段AB的长为D.圆O上点E,圆M上点F,则|EF|的最大值为+314.(2022河北张家口高二期中)若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x+m)2+y2=20(m>0)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则AB的直线方程为　.15.(2022吉林长春二十九中等校期末)已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,点C1,C2分别为两圆的圆心.(1)求圆C1和圆C2的公共弦长;(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B两点,且AB=,求直线l的方程.C级学科素养创新练16.在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1,若圆C上存在点M,使得|MA| 2+|MB|2=12,则实数a的取值范围为( )A.[1,1+2]B.[1-2,1+2]C.[1,1+2]D.[1-,1+]17.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,求|PM|+|PN|的最小值.参考答案2.6.2　圆与圆的位置关系1.C　根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心为C1(0,0),半径为r=1,C2:x2+y2-5x+4=0,整理得+y2=,其圆心为C2,半径为R=,两圆的圆心距为|C1C2|=.又R+r=,故两圆外切.故选C.2.B　由题意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=,r2=,则|C1C2|==3.根据两圆内切得|C1C2|==3,解得m=-19.故选B.3.A　设所求圆的方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)=0,变形可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0,其圆心的坐标为.又由圆心在直线x-y-4=0上,则有-4=0,解得λ=-7.则圆的方程为(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192=0,即x2+y2-x+7y-32=0.故选A.4.B　由题得,圆心C1的坐标为(1,1),圆心C2的坐标为(-2,-1),两圆相交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线所在直线就是直线C1C2.因为C1(1,1),C2(-2,-1),所以其斜率k=.则直线C1C2的方程为y-1=(x-1),即2x-3y+1=0.故选B.5.D　由圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2,可得两圆公共弦所在直线的方程为2x-6y=4-R2.又由圆C的方程为x2+(y-4)2=18,其圆心的坐标为(0,4),半径r=3,两圆的公共弦长为6,则点C(0,4)在直线2x-6y=4-R2上,则有2×0-6×4=4-R2,解得R2=28,则圆D的半径为2.故选D.6.CD　根据题意,圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0,即(x-a)2+y2=1,其圆心为(a,0),半径为R=1,圆D:x2+y2=4,其圆心的坐标为D(0,0),半径为r=2.若两个圆有且仅有两条公共切线,则两圆相交,则有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3,结合选项可知符合条件的是2,-2,故选CD.7.(0,3)∪(7,+∞)　根据题意,圆(x-a)2+y2=4的圆心的坐标为(a,0),半径为R=2,圆x2+y2=25圆心的坐标为(0,0),半径r=5,则两圆的圆心距d=|a|=a.若两个圆没有公共点,则有a>R+r=7或a<R-r=3,即正数a的取值范围为(0,3)∪(7,+∞).8.B　根据题意,圆A:x2+y2-2x-4y-4=0,即(x-1)2+(y-2)2=9,其圆心A(1,2),半径R=3,圆B:x2+y2+2x+2y-2=0,即(x+1)2+(y+1)2=4,其圆心B(-1,-1),半径r=2,则圆心距|AB|=.因为3-2<<3+2,则两圆相交,故两圆有2条公切线.故选B.9.B　设圆M的圆心坐标为M(a,b).因为圆x2+y2=5的圆心为O(0,0),半径r=.由圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),得M,P,O三点共线,且|OM|=3,即解得(不合题意,舍去)所以点M的坐标为(3,6).故选B.10.C　如图所示,设直线l交x轴于点M.由于直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则AC1⊥l,BC2⊥l,∴AC1∥BC2.∵|BC2|=2=2|AC1|,由中位线定理得C1为线段MC2的中点,则A为线段BM的中点,∴|MC1|=|C1C2|=2.由勾股定理可得|AB|=|MA|=.故选C.11.B　由题得,O1(1,0),O2(2,-1),所以|O1O2|=,圆O1的半径为2.圆O1:x2+y2-2x-3=0与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于点A,B,直线AB的方程为2x-2y-6=0,整理得x-y-3=0.点O1到直线AB的距离为,则|AB|=2=2.因为O1O2⊥AB,所以四边形AO1BO2的面积为|AB||O1O2|=×2=2.故选B.12.BC　根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心的坐标为C1(0,0),半径R=1.圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=1,其圆心的坐标为C2(3,-4),半径r=1,则两圆的圆心距为|C1C2|==5,即圆C1与圆C2外离,则|PO|的最小值为|C1C2|-R-r=3,最大值为|C1C2| +R+r=7,故A错误,B正确;圆心C1(0,0),圆心C2(3,-4),则两个圆心所在的直线斜率k==-,故C正确;两圆圆心距|C1C2|=5,有|C1C2|>R+r=2,两圆外离,不存在公共弦,D错误.故选BC.13.BD　圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0作差得4x-2y+4=-4,整理得y=2x+4,即直线AB的方程为y=2x+4,故A错误;因为两圆相交于A,B两点,则两圆有两条公切线,故B正确;圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径为2,则圆心O到直线AB的距离d=,故AB=2,故C错误;圆M:x2+y2+4x-2y+4=0的圆心为M(-2,1),半径为1,|OM|=,则|EF|的最大值为|MO|+1+2=+3,故D正确.故选BD.14.x=-1　根据题意,圆O1:x2+y2=5,其圆心O1(0,0),半径r=,圆O2:(x+m)2+y2=20,其圆心O2(-m,0),半径R=2.若两圆在交点A处的切线互相垂直,则O1A⊥O2A,则有|O1O2|2=R2+r2,即m2=5+20=25,则m=5.故圆O2的方程为(x+5)2+y2=20,即x2+y2+10x+5=0.联立得方程组①-②,得-10x-10=0,整理得x+1=0,即x=-1,故公共弦AB所在的直线方程为x=-1.15.解(1)由题知,圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,两式相减可得公共弦所在的直线为2x+y+1=0.圆C1的圆心为(-1,0),半径为1,则圆心到直线的距离d=,故圆C1和圆C2的公共弦长=2.(2)圆C2的圆心为(1,1),半径为2,圆心到直线l的距离为.设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,则,解得k=1或.故直线l的方程为y=x+1或y=(x+1).16.B　设M(x,y),∵|MA|2+|MB|2=12,∴(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12,∴(x-1)2+(y-1)2=4.∵圆C上存在点M,满足|MA|2+|MB|2=12,∴两圆相交或相切.∴1≤≤3,∴1-2≤a≤1+2.故选B.17.解由圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1知圆C1的圆心坐标为(2,3),半径为1,由圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,知圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3.如图所示,设点C1关于x轴的对称点为C3,则C3(2,-3),且|PM| +|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3=|PC3|-1+|PC2|-3≥|C2C3|-4.而|C2C3|==5,所以|PM|+|PN|≥5-4,即|PM|+|PN|的最小值为5-4.。

高中数学必修二圆与圆的位置关系附答案解析版

4.2.2圆与圆的位置关系基础巩固1.圆C 1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切2.圆C 1:x 2+y 2+4x+8y-5=0与圆C 2:x 2+y 2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离3.已知圆A 与圆B 相切,圆心距为10cm,其中圆A 的半径为4cm,则圆B 的半径为（）A .6cm 或14cmB .10cmC .14cmD .无解4.已知圆O 1的方程为x 2+y 2=4,圆O 2的方程为(x-a )2+y 2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a 的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}5.圆x 2+y 2+4x-4y+7=0与圆x 2+y 2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.46.已知以C (4,-3)为圆心的圆与圆O :x 2+y 2=1相切,则圆C 的方程为（）A .(x-4)2+(y+3)2=16B .(x+4)2+(y-3)2=36C .(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D .(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=367.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是.8.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m=.9.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为.10.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,半径为2的圆的方程.能力提升1.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切2.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（）A .2±B .2C .-2D .4±3.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m的最大值为（）A .7B .6C .5D .4★4.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（）A.22⎛ ⎝⎭B.22⎛-- ⎝⎭C.,2222⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭D.22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是.6.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.7.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.★8.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.参考答案基础巩固1.【解析】圆C 1的圆心是C 1(-2,2),半径r 1=1,圆C 2的圆心是C 2(2,5),半径r 2=4,则圆心距|C 1C 2|=5.因为|C 1C 2|=r 1+r 2,所以两圆外切.【答案】D2.【解析】由已知,得C 1(-2,-4),r 1=5,C 2(-2,-2),r 2=3,则d=|C 1C 2|=2,所以d=|r 1-r 2|.故两圆内切.【答案】C3.【解析】令圆A 、圆B 的半径分别为r 1,r 2,当两圆外切时,r 1+r 2=10,所以r 2=10-r 1=10-4=6;当两圆内切时,|r 1-r 2|=10,即|4-r 2|=10,r 2=14或r 2=-6(舍),即圆B 的半径为6cm 或14cm .【答案】A4.【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a 的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C .【答案】C5.【解析】两圆的圆心分别为C 1(-2,2),C 2(2,-5),则两圆的圆心距d =又半径分别为r 1=1,r 2=4,则d>r 1+r 2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r 2(r>0).因为圆C 与圆O 相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=08.【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45-=,解得m=81.【答案】819.【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB 的距离d ==故公共弦AB 的长为AB =10.【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以2222913422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得322a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.所以圆心C 的坐标为333,22⎛-- ⎝⎭,所求圆的方程为223422x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.能力提升1.【解析】圆心距d =,两圆半径的和为2+1=3,两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C2.【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a,又公共弦长为,所以=解得2a =±.【答案】A3.【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B4.【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a<<,所以22a-<<或22a <<.【答案】C5.【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切6.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=.①若两圆外切,则有123+=.②由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,则有211-=.③由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.7.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1.设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2,化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥).8.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1-),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1-)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r .因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=,①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①的距离得=,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。

高中数学 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系课后练习、课时练习

一、单选题1. 直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2. 已知圆，直线与圆交于，两点，则（）A．B．C．D．3. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（）A．B．C．D．4. 过点的直线与曲线交于两点，且满足，则直线的斜率为（）A．B．C．D．5. 若关于x的方程有两个相异实根，则实数k的取值范围为．A．B．C．D．6. 直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与的值有关二、多选题7. “太极图”是中国传统文化之一，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是（）A．黑色阴影区域在轴右侧部分的边界所在圆的方程为B．直线与白色部分有公共点C．点是黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为4 D．过点作互相垂直的直线、，其中与圆交于点、，与圆交于点、，则四边形面积的最大值是8. 已知直线l：，圆O：，且圆O上至少有三个点到直线l的距离都等于1，则r的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、填空题9. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的半径为，圆心在直线l：y＝2x﹣1上，若圆C上存在一点P，使得直线l1：ax﹣y﹣2＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0交于点P，则当实数a变化时，圆心C的横坐标x的取值范围是__.10. 直线被圆所截得的弦长为__________．11. 已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．12. 若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是___________．四、解答题13. 已知圆与圆关于直线对称.（1）求圆的标准方程；（2）若点的坐标为为坐标原点，点为圆上的动点，求面积的取值范围.14. 已知三点，，，的外接圆记为圆.(1)求圆的标准方程；(2)若点在圆上运动，求的最大值.15. 已知圆.（1）求过点的圆的切线方程；（2）直线过点且被圆截得的弦长为，求的范围；（3）已知圆的圆心在轴上，与圆相交所得的弦长为，且与相内切，求圆的标准方程.16. 已知圆的圆心在直线，且与直线相切于点.(1)求圆的方程；(2)直线过点且与圆相交，所得弦长为，求直线的方程.。

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高中数学-圆与圆的位置关系练习
课后训练
1．已知01r <<，则两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的位置关系是( )．
A ．外切
B ．相交
C ．外离
D ．内含
2．内切两圆的半径长是方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆
的半径为3，则p ＋q 等于( )．
A ．1
B ．5
C ．1或5
D ．以上都不对
3．已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则线段AB
的垂直平分线方程为( )．
A ．x ＋y ＋3＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．3x －y －9＝0
D ．4x －3y ＋7＝0
4．若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16}，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤a －1}且A ∩B ＝B ，则a
的取值范围是( )．
A ．a ≤1 B．a ≥5 C ．1≤a ≤5 D．a ≤5
5．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 应
满足的关系式是( )．
A ．a 2－2a －2b －3＝0
B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0
C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0
D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0
6．两圆x 2＋y 2＝4和x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为__________．
7．两圆相交于两点(1,3)，(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为__________．
8．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r ＞0，若
A ∩
B 中有且仅有一个元素，则r 的值是__________．
9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为
直径的圆的方程．
10．已知动圆M 与y 轴相切且与定圆A ：(x －3)2＋y 2＝9外切，求动圆的圆心M 的轨迹
方程．
参考答案
1. 答案：B 设圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心为O ′，则O ′(1，－1)．两圆的圆心距
离d (O ，O ′)＝22112+(-)=
.显然有|2|22r r -<<+.所以两圆相交． 2. 答案：C 由x 2＋px ＋q ＝0，得1212
,,x x p x x q +=-⎧⎨=⎩因为有一圆半径为3，不妨设x 2＝3，因为两圆内切，所以|x 1－3|＝1.所以x 1＝4或2.当x 1＝4时，p ＝－7，q ＝12，p ＋q ＝5.当x 1＝2时，p ＝－5，q ＝6，p ＋q ＝1.
3. 答案：C 由平面几何知识，知线段AB 的垂直平分线即为两圆心所在的直线，把两圆分别化为标准式可得两圆心分别为C 1(2，－3)，C 2(3,0)，因为C 1C 2所在直线的斜率为3，所以直线方程为y －0＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.
4. 答案：C 由A ∩B ＝B 知B A ，
故0≤a －1≤4，即1≤a ≤5.
5. 答案：B 利用两圆的公共弦始终经过圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心即可求得．把
两圆分别化成一般式方程，作差可得公共弦方程为(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0，它经过
圆心(－1，－1)，代入后有a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.
6. 答案：2x －4y －5＝0 由题意知，两圆的圆心分别为C 1(0,0)，C 2(1，－2)．若要两圆关于直线l 对称，则C 1，C 2关于l 对称．
因为C 1C 2的中点为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
，122C C k =-，所以直线l 的方程为11122y x ⎛⎫+=
- ⎪⎝⎭，即2x －4y －5＝0.
7. 答案：3 由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心所在的直线，可得1311
m --=--，所以m ＝5.又两公共点(1,3)和(5，－1)的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，所以c ＝－2.所以m ＋c ＝3.
8. 答案：3或7 由题意可知，两圆相切，并且有内切或外切两种情况，分别讨论．
9. 答案：解：联立两圆方程2222122130,1216250,x y x y x y x y ⎧+---=⎨+++-=⎩
相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.
再由224320,122130,
x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩ 联立得两圆的交点为A (－1,2)，B (5，－6)．
∵所求圆以AB 为直径，
∴圆心是AB 的中点M (2，－2)，
圆的半径为r ＝12
|AB |＝5.
于是圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
10.答案：解：设点M(x，y)，动圆的半径为r，由题意，得|MA|＝r＋3且r＝|x|，∴
=+.
x
||3
当x＞0时，两边平方化简得y2＝12x；
当x＜0时，两边平方化简得y＝0.
综上，动圆的圆心M的轨迹方程为y2＝12x(x＞0)或y＝0(x＜0)．。