线性代数行列式计算方法总结

a x a
a r 1 ri a x
i 1,2,...,n
x (n 1)a x (n 1)a a x a a
x (n 1)a a x
1 1 x (n 1)a a x
1 a r ar
i 1
i 2,...,n
x (n 1)a
a a 1 1 0 xa
, n)
逐行相减法
n2 n3 n4 n 1 n 2 n 3
将第n-1行的（-1）倍加至第n行，第n-2行的（-1）倍加至第n-1行，… ，第1行的（-1）倍加至第2行，有 0 1 2 n-2 n 1
1 1 1 1 将第n列分别加到前边的第 1 1 1 1 Dn
1,2，…，n-1列. 1 1 1
n 2 所以 Dn Dn1 = (a 1) (D2 D1 ) =
(a 1)n
即
Dn Dn1 (a 1)n
从而 D D (a 1)n n n1
Dn2 (a 1)n1 (a 1)n a (a 1)2 (a 1)n1 (a 1)n
a
a 1 a 1 0 0
0 a 1 a 0 0
0 0 a 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 a 1
0 0 0 a 1 a
例6 计算n阶行列式
Dn
1 0 0 0
递推法
解：按第一行展开，得Dn aDn1 (a 1) Dn2 ,等号两端减Dn1，得
这是一个关于Dn Dn1的递推公式，反复使用递推公式，得，
a0
b1 a1 0 0
b2 0 a2 0
bn 0 0 , ai 0, i 1, 2, an ,n
例2
计算下列行列式 箭形
c1 Dn 1 c2 cn
ci 解：将第i+1（i=1,2,…,n）列的 ai
bi ci a0 ai i 1 Dn 1 0 0 0
n
n
倍加到第1列，得
1 1 1 1
1 1
1
1
1
n 1 0 = 0 0 0
n 2 0 0 0
n1
n 1 2 2 0 0
n 2
2n 3 n 1 2 2 2 0 1 1 1 1
= (-1) (n 1)2
例5 计算n阶行列式 加边法
a1 b Dn b b
b a2 b b
b b a3
b1 a1 0 0
b2 0 a2 0
bn 0 0 an
上三角行列式
a1a2
an ( a0 =
bi ci ) i 1 ai
x 例3 计算n阶行列式 a a
a x a
a a x
加法
解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第 一行，提出公因子，再化为上三角行列式。
x a a
8 1 1 1 2 3 r3 r4 0 3 5 0 5 3
1 0 8 0 0
8 1 0 0
1 1 1 2 3 0 =16 2 2 0 5 3 0
8 1 0 0
1 1 1 2 3 0 r4 5r3 16 1 1 0 5 3 0
8 1 0 0
1 1 2 3 =128 1 1 0 8
2 4 6
所以，原行列式可化
1 2 1 5 1 2 D 1 ，D 2 1 0 5 C 3 解：不妨令 3 4 8 4 14 5
为
D=
D1 C
O D2
= D1 D2 = 12
规律总结：当遇到如下形式的行列式时，
a 11 ... a 1k
... ... ak1 ... akk
0
a 11 ... a 1k ... ... ak1 ... akk
例1 计算四阶行列式
D=
解 利用行列式的性质，将 D 化为上三角行列式.
5 2 3 5 2 5 1 2 1 0 3 5 2 3 5 4
5 2 3 5 2 5 1 2 r1 2r2 D= 1 0 3 5 2 3 5 4
1 8 1 1 r2 2r1 2 5 1 2 r3 r1 1 0 3 5 r4 _ 2r1 2 3 5 4
Dn Dn1 aDn1 Dn1 (a 1)Dn2 (a 1)(Dn1 Dn2 )
Dn Dn1 (a 1)2 (Dn2 Dn3 )
(a 1)n2 ( D2 D1 )
a a 1 a 2 a 1, D1 a, D2 D1 (a 1)2 因为 D2 1 a
1 8 0 21 2 0 8 0 19
1 1 1 8 1 0 0 2 r2 r4 4 4 0 8 3 6 0 19
1 1 1 8 4 6 0 1 =2 4 4 0 8 3 6 0 19
1 1 2 3 r3 8r2 4 4 r4 19r2 3 6
1 0 2 0 0
8 1 1 1 8 1 1 1 1 2 3 0 1 2 3 0 r4 3r3 2 =8 0 12 20 0 0 12 20 0 0 41 63 0 0 5 3 0
b b , b ai , i 1, b b an , n.
解： 用加边法，即构造n+1阶行列式，使其按第一列（行）展开后，等 于原行列式
1
b
b b a2 b
b b b b an
ri r1
1 1 1
b 0 0
b 0 a2 b
b 0 0 0 an b n 1
0 a1 Dn 0 b 0 b
0 0
x 1 0
xa
x (n 1)a ( x a) n 1
小提示: 在求矩阵特征值时若特征多项式满足上述行列
式 特征，亦可以使用以简化运算。
例4 计算n阶行列式 Dn aij ,其中 aij i j (i, j 1, 2,
解：由题意得
Dn 0 1 2 1 0 1 2 1 0 n 2 n 1 n3 n2 n4 n3 0 1 1 0
1 a1 b
i 2, , n 1
1
i 1
n
b ai b
b a1 b 0 0
b 0 a2 b 0
b 0 0 an b n 1
n
1 c1 ci 1 ai b
0 0 0
=
(a1 b)(a2 b)
பைடு நூலகம்
b (an b)(1 ) i 1 ai b
n 1 (a 1)2 (a 1)n1 a 2a
a =2
a2
总结：当行列式元素排列很有规律且维数与n有关是可以考虑递推法
例7 求下列行列式的值 分块三角形法
1 3 3 5
2 0 0 4 0 0 4 1 0
0 0 5 2
D= 1 2 2 1
6 8 4 14
b11 ... b1t ... ... bt1 ... btt
c11 ... c11 b11 ... b1t ... ... ... ... ct1 ... ctk bt1 ... btt
A O = A B ， 这里的A,B必须为方阵。 简记为 C B O Am 而 (1) mn A B Bn C