差错控制基本概念与线性分组码
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差错控制编码要点
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10.1 差错控制编码的基本原理
常用的差错控制方式
1. ARQ(Automatic Repeat Request)方式 (自动请求重发或检错重发)
发端发送出可以发现错误的码字。经过传输到接 收端译码后，如果没有发现错误，则输出。如果发现 错误，则自动请求发端重发，直到正确接收到码字为 止。
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10.1 差错控制编码的基本原理
码间距离d 及检错纠错能力 码字：由信息位和监督位组成的一组码元。
用C = ( cn-1 cn-2 … c0 )表示。
（许用码、禁用码） 码元： 组成码字的元素，用Ci表示。 码长：码字中码元的个数，用n表示。
码组：由多个许用码组成的一组码字。
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10.1 差错控制编码的基本原理
香农有扰信道编码定理：
在有扰信道中只要信息的传输速率R小于信道容 量C，总可以找一种编码方法，使信息以任意小的差 错概率通过信道传送到接收端，即误码率Pe可以任意 小，而且传输速率R可以接近信道容量C。但若R > C， 在传输过程中必定带来不可纠正错误，不存在使差错 概率任意小的编码。
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10.1 差错控制编码的基本原理
减小误码率Pe的两种途径：
（1）n 及 R一定时，增加信道容量C。由图可见，E(R) 随C的增加而增大。由信道容量公式知， 增加C， 可通过增加S和B来实现；
（2）在C及 R一定的情况下，增加n可以使Pe指数减小。
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我国电传机传输汉字采用的是“5中取3” 恒比码，其码长 为5，码字中“1”的个数为3。这种码我国称为保护电码。码长 为5的二进制数共有32种组合，选择其中含有3个“1”的组合作 为许用码，为10个。
第7章差错控制编码
第7章 差错控制编码
7.2.2 行列监督码（二维奇偶校验码）
行列监督码（又称二维奇偶校验码、方阵码），它是垂直奇 偶校验与水平奇偶校验的组合，其发现差错的能力很强。这 种码是将若干码字排列成矩阵，在每行和每列的末尾均加监 督码(奇监督或偶监督)。
例如
1100101100010100110001011000011001110101…… 为用户要发送的信息序列，现将每8个码元分成一 组编成方阵，对方阵的行与列都进行偶数监督，则 在发送端编成如表7-1所示的方阵。
息码为10101，码后的码字为1010110101； 当信息码有偶数个“1”时，则监督码是信息码的反码，如
信息码为11011，则编码后的码字为1101100100。
第7章 差错控制编码
监督码的解码规则如下：
解码时先将接收码组中信息码和监督码对应码位模2相加， 得到一个合成码。 若接收的信息码中有奇数个“1”，则此合成码就是检验 码； 若接收的信息码中有偶数个“1”，则校验码为合成码的 反码。 观察校验码中“1”的个数，就能判决信码是否有错并纠 正错误。
信道中差错的类型：
随机差错：由随机噪声导致，表现为独立的、稀疏 的和互不相关发生的差错。
突发差错：相对集中出现，即在短时段内有很多错 码出现，而在其间有较长的无错码时间段，例如由 脉冲干扰引起的错码或信道特性产生的衰落等。
第7章 差错控制编码
7.1.2 差错控制方式 常用的差错控制方式：
➢ 检错重发（ARQ）
7.1.3 纠错码的分类
1）按差错控制编码的功能分：检错码、纠错码 2）按信息码与监督码间的检验关系分：
线性码、非线性码 3）按信息码与监督码间的约束关系分：分组码、卷积码 4）按信息码的编码前后的形式分：系统码、非系统码 5）按信道差错类型分：随机纠错码、突发纠错码 6）按用于差错编码的数学方法分：
差错控制
3.1.4 差错控制编码原理
2．码重和码距的概念
（1）码重 在信道编码中，定义码组中非零码元的数目为码组的重量， 简称码重。 （2）码距与汉明距离 把两个码组中对应码位上具有不同二进制码元的个数定义为 两码组的距离，简称码距。 而在一种编码中，任意两个许用码组间的距离的最小值，称 为这一编码的汉明（Hamming）距离，用dmin来表示。
3.1 差错控制的基本概念
3.1.3 差错控制方式
2．前向纠错（FEC） 前向纠错（Forward Error Correcting，FEC）方式。前向纠 错系统中，发送端的信道编码器将输入数据序列按某种规 则变换成能够纠正错误的码，接收端的译码器根据编码规 律不仅可以检测出错码，而且能够确定错码的位置并自动 纠正。 这种方式的优点是不需要反馈信道，也不存在由于反复重 发而延误时间，实时性好。其缺点是要求附加的监督码较 多，传输效率低，纠错设备比检错设备复杂。
c2 = c6 ⊕ c5 ⊕ c4 c1 = c6 ⊕ c5 ⊕ c3 c = c ⊕ c ⊕ c 6 4 3 0
3.2 常用的差错控制编码
3.2.2 线性分组码及汉明码
（2）线性分组码的监督矩阵和生成矩阵
表3-5 （7，4）线性分组码的编码表
信息位 c6 c5 c4 c3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 监督位 c2 c1 c0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 信息位 c6 c5 c4 c3 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 监督位 c2 c1 c0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
第八章差错控制编码要点
❖ 定理3.2若一种码的最小距离为d0 ，则它能纠正传 输错误个数（纠错能力）t应满足：d0>=2t+1
❖ 定理3.3若一种码的最小距离为d0，则它的检错能 力和纠错能力应满足： d0 >=e+t+1 （e>=t）
❖ 例3.1 求码集合{(000),(011),(101),(110)}和
{(000),(111)}最小距离d0及纠（检）错的能
C 使E(Rb ) 或 n 使e-nE(Rb )
香农信道编码定理
❖ 可见根据定理,减小Pe 的方法： 一是增加信道容量C，从而使E（Rb ） 增加（通信硬件系统设计人员通常采 用的方法）；
另一种方法是只要Rb<=C增加码长n 可使Pe随n的增加而指数下降，如果n↑ 则Pe ↓香农信道编码定理是差错控制 编码的理论基础，通过编译码过程来 降低误码率。
矛盾！ tradeof
f!
二 差错控制编码的特性和能力
1.海明（hamming）距离 2.最小距离 3.海明距离（码距） 4.最小距离与抗干扰能力的关系
1.海明（hamming）距离
❖ 1.海明（hamming）距离：指两个不同的码
组其对应码位（二进制位）的码元不同的个
数，简称码距 ；用d表示：
误无能为力；
水平奇偶校验
❖ 避免简单奇偶校验不能检测突发错误的缺点。 ❖ 编码规则：经过奇偶监督编码的码元序列按
行排成方阵，每一行为一组奇偶监督码(见 实例)。 ❖ 发送端在发送时则按列的顺序传输；而接收 端仍将码元恢复成发送时方阵形式，然后按 行进行奇偶校验水平奇偶监督码。
实例
信息码元 11 1 0 0 1 11 0 1 0 0 10 0 0 0 1 00 0 1 0 0 11 0 0 1 1
❖ 定理3.3若一种码的最小距离为d0，则它的检错能 力和纠错能力应满足： d0 >=e+t+1 （e>=t）
❖ 例3.1 求码集合{(000),(011),(101),(110)}和
{(000),(111)}最小距离d0及纠（检）错的能
C 使E(Rb ) 或 n 使e-nE(Rb )
香农信道编码定理
❖ 可见根据定理,减小Pe 的方法： 一是增加信道容量C，从而使E（Rb ） 增加（通信硬件系统设计人员通常采 用的方法）；
另一种方法是只要Rb<=C增加码长n 可使Pe随n的增加而指数下降，如果n↑ 则Pe ↓香农信道编码定理是差错控制 编码的理论基础，通过编译码过程来 降低误码率。
矛盾！ tradeof
f!
二 差错控制编码的特性和能力
1.海明（hamming）距离 2.最小距离 3.海明距离（码距） 4.最小距离与抗干扰能力的关系
1.海明（hamming）距离
❖ 1.海明（hamming）距离：指两个不同的码
组其对应码位（二进制位）的码元不同的个
数，简称码距 ；用d表示：
误无能为力；
水平奇偶校验
❖ 避免简单奇偶校验不能检测突发错误的缺点。 ❖ 编码规则：经过奇偶监督编码的码元序列按
行排成方阵，每一行为一组奇偶监督码(见 实例)。 ❖ 发送端在发送时则按列的顺序传输；而接收 端仍将码元恢复成发送时方阵形式，然后按 行进行奇偶校验水平奇偶监督码。
实例
信息码元 11 1 0 0 1 11 0 1 0 0 10 0 0 0 1 00 0 1 0 0 11 0 0 1 1
第六章差错控制
第六章差错控制第六章差错控制1 差错控制的基本概念1.1 差错的特点由于通信线路上总有噪声存在，噪声和有⽤信息中的结果，就会出现差错。
噪声可分为两类，⼀类是热噪声，另⼀类是冲击噪声，热噪声引起的差错是⼀种随机差错，亦即某个码元的出错具有独⽴性，与前后码元⽆关。
冲击噪声是由短暂原因造成的，例如电机的启动、停⽌，电器设备的放弧等，冲击噪声引起的差错是成群的，其差错持续时间称为突发错的长度。
衡量信道传输性能的指标之⼀是误码率po。
po=错误接收的码元数/接收的总码元数⽬前普通电话线路中，当传输速率在600~2400bit/s时，po在之间，对于⼤多数通信系统，po在之间，⽽计算机之间的数据传输则要求误码率低于。
1.2 差错控制的基本⽅式差错控制⽅式基本上分为两类，⼀类称为“反馈纠错”，另⼀类称为“前向纠错”。
在这两类基础上⼜派⽣出⼀种称为“混合纠错”。
(1)反馈纠错这种⽅式在是发信端采⽤某种能发现⼀定程度传输差错的简单编码⽅法对所传信息进⾏编码，加⼊少量监督码元，在接收端则根据编码规则收到的编码信号进⾏检查，⼀量检测出(发现)有错码时，即向发信端发出询问的信号，要求重发。
发信端收到询问信号时，⽴即重发已发⽣传输差错的那部分发信息，直到正确收到为⽌。
所谓发现差错是指在若⼲接收码元中知道有⼀个或⼀些是错的，但不⼀定知道错误的准确位置。
图6－1给出了“差错控制”的⽰意⽅框图。
オ(2)前向纠错这种⽅式是发信端采⽤某种在解码时能纠正⼀定程度传输差错的较复杂的编码⽅法，使接收端在收到信码中不仅能发现错码，还能够纠正错码。
在图6－1中，除去虚线所框部分就是前向纠错的⽅框⽰意图。
采⽤前向纠错⽅式时，不需要反馈信道，也⽆需反复重发⽽延误传输时间，对实时传输有利，但是纠错设备⽐较复杂。
(3)混合纠错混合纠错的⽅式是：少量纠错在接收端⾃动纠正，差错较严重，超出⾃⾏纠正能⼒时，就向发信端发出询问信号，要求重发。
因此，“混合纠错”是“前向纠错”及“反馈纠错”两种⽅式的混合。
信息论-第9章信道的纠错编码
9.1 基本概念 —— 信道分类
随机信道
特征：错误是随机、独立的（前后码元的错误无关） 主要干扰源：高斯白噪声 例：同轴电缆、光纤
突发信道
特征：错误是成串的（前后码元的错误相关） 主要干扰源：强脉冲干扰 例：短波信道、移动通信信道
1
9.1 基本概念 —— 错误图样
定义
对于二元信道，接收序列与发送序列的模2加
6
9.2 线性分组码 —— 纠错码的开端
典型的打孔卡 打孔卡读卡机
7
9.2 线性分组码 —— (7, 3)分组码
检出1-3位错误，纠正1位错误
信息组: x (m2m1m0 )
监督元: b (b3b2b1b0 )
监督元生成方程:
模2运算
b3 m2
m0
b2 m2 m1 m0
b1 m2 m1
1 0 1 1 0 0 0
H
(QT
I
4
)
1 1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 1 1 0 0 0 1
(QT I4 )CT OT
HCT OT
CHT O
其中 O 0 0 0
11
9.2 线性分组码 —— (7, 3)分组码
接收码字：
R CE
伴随式:
S RHT
S (C E)HT CHT EH T O EH T EH T
x(I3 Q) xG
生成矩阵:
1 0 0 1 1 1 0
G (I3 Q) 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1
9
9.2 线性分组码 — m0
b1 m2 m1
b0
m1 m0
b3 m2
随机信道
特征：错误是随机、独立的（前后码元的错误无关） 主要干扰源：高斯白噪声 例：同轴电缆、光纤
突发信道
特征：错误是成串的（前后码元的错误相关） 主要干扰源：强脉冲干扰 例：短波信道、移动通信信道
1
9.1 基本概念 —— 错误图样
定义
对于二元信道，接收序列与发送序列的模2加
6
9.2 线性分组码 —— 纠错码的开端
典型的打孔卡 打孔卡读卡机
7
9.2 线性分组码 —— (7, 3)分组码
检出1-3位错误，纠正1位错误
信息组: x (m2m1m0 )
监督元: b (b3b2b1b0 )
监督元生成方程:
模2运算
b3 m2
m0
b2 m2 m1 m0
b1 m2 m1
1 0 1 1 0 0 0
H
(QT
I
4
)
1 1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 1 1 0 0 0 1
(QT I4 )CT OT
HCT OT
CHT O
其中 O 0 0 0
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9.2 线性分组码 —— (7, 3)分组码
接收码字：
R CE
伴随式:
S RHT
S (C E)HT CHT EH T O EH T EH T
x(I3 Q) xG
生成矩阵:
1 0 0 1 1 1 0
G (I3 Q) 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1
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9.2 线性分组码 — m0
b1 m2 m1
b0
m1 m0
b3 m2
差错控制基本方法和编码要求
几种差错控制方法比较
自动反馈重传法：
使用的编/解码设施比较简单，如果信道的质量差或干扰严重，则可能经常进 入重发状态而影响通信效率。
前向纠错法：
编/解码相对复杂，且编码的效率很低，但是无需专门的反馈信道。 主要应用于没有反馈信道的场合，或用于线路传播时间很长、要求重发在经
收方判决传输中无错误产生，并通过反向信道把判决结果反 馈给发方；
发方根据反馈的结果决定是否执行重传动作，如果接收方未 正确接收，则重传信息(出错重传)
在规定的时间内，发方若未能收到应答信号(称为超时)，则可 以认为传输出现差错，进而执行重传动作(超时重传)备简单，对突发错误和信道干 扰较严重时有效；但实时性差，主要在计算机数据通信系统 中得到应用。
有差错的信道类型
按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三类： 随机信道：
恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的出现是 随机的，而且错误之间是统计独立的。 突发信道： 具有脉冲干扰的信道，是典型的突发信道。错误是成串成群 出现的，即在短时间内出现大量错误。 混合信道： 短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机差 错和成串的突发差错都占有相当比例。
混合纠错方式HEC
是FEC和ARQ方式的结合。
信息反馈方式IF
是不用编码的差错控制方式。
（1）自动反馈重发ARQ
自动反馈重发记作ARQ (Automatic Repeat Request )，又称 自动请求重传方式。
发方按照一定的编码规则处理待发信息，构成具有检错能力 的编码，发往传输信道；
随机差错
指数据单元中的单比特差错。 它通常由传输信道的热噪声引起。
突发差错
线性分组码的编码原理
第8章差错控制编码本章教学基本要求：掌握：1.差错控制编码的基本概念、基本原理2.线性分组码的G、H矩阵3.位同步理解：卷积码了解：常用的简单编码本章核心内容：一、差错控制编码的基本概念、原理二、常用的简单编码三、线性分组码四、卷积码一、差错控制编码的基本概念、原理1.差错编码的基本概念差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。
差错控制的目的是用信道编码的方法检测和纠正误码，降低误比特率。
数字信号在传输过程中受到干扰的影响，使信号波形变坏，发生误码，可以采用一些方法解决。
同时设计系统时，还要合理地选择调制、解调、发送功率等因素，采用上述措施仍难以满足性能要求，就要采用差错控制措施了。
从差错控制角度来看，根据加性干扰引起的错码分布规律的不同，把信道分为三类，即随机信道、突发信道和混合信道，对不同类型的信道，采用不同的差错控制技术。
差错控制方法常用的有以下三种：（1）检错重发法（ARQ）：检错重发方式只用于检测误码，需具备双向信道。
收端在接收到的信码中发现错码时，就通知发端重发，直到正确接收为止。
（2）前向纠错法（FEC）：收端不仅能检测误码，还能纠正错码。
这种方法实时性好，不需要反向信道，但纠错设备较复杂。
（3）反馈校验法：接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端，并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重发。
三种方法可以结合使用2.纠错编码的基本原理在信息码序列中加监督码就称为差错控制编码，也叫纠错编码。
不同的编码方法，有不同的检错和纠错能力，增加监督码元越多，检（纠）错能力越强。
差错控制编码原则上是降低 b R 来换取可靠性提高。
（即e P 更小）。
信息码元和监督码元之间有一种关系，关系不同，形成码的类型也不同。
信息码元和监督码元用线性方程组联系，所形成的码称为线性分组码，包括汉明码和循环码。
在线性分组码中，两个码组对应位上数字不同的位数称为码组距离，简称码距，又称汉明（Hamming ）距离。
差错控制编码的基本概念
这种在信息码元序列中加入监督码元的过程就称为差错 控制编码（或称纠错编码） 。 从差错控制角度来看，信道分为三类：
随机信道、突发信道、混合信道。 对不同类型的信道应该采用不同的差错控制技术。
1.2 纠错码的分类
(1)根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检 错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能 检错。
(2)根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分 为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组 线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。
(3)按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同，可 以将它分为分组码和卷积码。分组码的各码元仅与本码组的 信息元有关；卷积码中的码元不仅与本码组的信息元有关， 而且还与前面若干信息元有关。
特点：适合突发信道。
3 .恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比 码。接收端只要检测接收到的码组“1”的数目是否对，就可 以知道有无错误。 例：“5中取3”恒比码，有C53 =10种不同组合，表示10个阿 拉伯数字。如表 10.2 所示。 “7中取3”恒比码，有C73 =35种不同组合，表示26个英文字 母和其他符号。 而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。。
换
器器 器器 介 器
调制信道
解 译 解信 调 码 密宿 器 器器
编码信道
由于数字信号传输过程中受到加性干扰和乘性干扰的影
响，会产生误码。由加性干扰引起的码间干扰，通常可以采 用信道均衡、匹配滤波器、升余弦系统特性、增加发射功率、 合理选择调制/解调方法等措施，减少误码。由于乘性干扰 影响，或采用了上述方法后，仍不能有效地抑制加性干扰的 影响时, 就要采用差错控制技术。
an1 an2 a1 a0 0
随机信道、突发信道、混合信道。 对不同类型的信道应该采用不同的差错控制技术。
1.2 纠错码的分类
(1)根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检 错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能 检错。
(2)根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分 为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组 线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。
(3)按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同，可 以将它分为分组码和卷积码。分组码的各码元仅与本码组的 信息元有关；卷积码中的码元不仅与本码组的信息元有关， 而且还与前面若干信息元有关。
特点：适合突发信道。
3 .恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比 码。接收端只要检测接收到的码组“1”的数目是否对，就可 以知道有无错误。 例：“5中取3”恒比码，有C53 =10种不同组合，表示10个阿 拉伯数字。如表 10.2 所示。 “7中取3”恒比码，有C73 =35种不同组合，表示26个英文字 母和其他符号。 而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。。
换
器器 器器 介 器
调制信道
解 译 解信 调 码 密宿 器 器器
编码信道
由于数字信号传输过程中受到加性干扰和乘性干扰的影
响，会产生误码。由加性干扰引起的码间干扰，通常可以采 用信道均衡、匹配滤波器、升余弦系统特性、增加发射功率、 合理选择调制/解调方法等措施，减少误码。由于乘性干扰 影响，或采用了上述方法后，仍不能有效地抑制加性干扰的 影响时, 就要采用差错控制技术。
an1 an2 a1 a0 0
计算机通信第3讲_差错控制技术(线形分组码)
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二、生成矩阵
式中 G = Ik Q = 100 1110 010 0111 001 1101
称为(7，3)码的生成矩阵。 称为(7，3)码的生成矩阵。系统码的生成矩 (7 码的生成矩阵 阵具有[ 典型生成矩阵。 阵具有[IkQ]的形式，称为典型生成矩阵。 ]的形式，称为典型生成矩阵 通常，二进制(n,k)线性系统码的生成矩阵 具 线性系统码的生成矩阵G具 通常，二进制 线性系统码的生成矩阵 有如下形式： 有如下形式： 1 0…0 q …q
1,k+1 1,n
0 1 … 0 q2,k+1 … q2,n …… ……… 0 0 … 1 qk,k+1 … qk,n G矩阵的每行都是一个码字。 矩阵的每行都是一个码字。 矩阵的每行都是一个码字 G = Ik Q =
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二、生成矩阵
有了G矩阵或 矩阵 有了 矩阵或H矩阵，线性分组码的构造就确 矩阵或 矩阵， 定了。 定了。根据 C＝IG，就可计算出该码组的全部码 ＝ ， 元。 比较P矩阵和 矩阵，便知P 矩阵和Q矩阵 比较 矩阵和 矩阵，便知 T＝Q，或QT ＝ P 。 ， 这就是说，P的第一行就是 的第一列，P的第二行 这就是说， 的第一行就是Q的第一列， 的第二行 的第一行就是 的第一列 就是Q的第二列 的第二列……因此，H一定， Q也就确定， 因此， 一定 一定， 也就确定 也就确定， 就是 的第二列 因此 反之亦然。 反之亦然。 101 1000 100 1110 H= PIr = 111 0100 G = IkQ = 010 0111 110 0010 001 1101 011 0001
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S＝[ Sr-1Sr-2 …S0 ] ＝RHT ＝(C＋E) HT ＝ ＋ ＝C HT＋E HT＝E HT 中只有一位码元发生错误， 例：假如接收码字R中只有一位码元发生错误， 假如接收码字 中只有一位码元发生错误 又设错误在第i位 又设错误在第 位，即En-i=1，其他的 i均为 ， ，其他的E 均为0， 的第i行 的第i列 则EHT为HT的第 行，为H的第 列。 的第 E =[En-1 En-2 … E 2E 1 E0] H= PIr = 1110 0111 1101 1000 EHT=[0010000] 0100 =1101=S 0010 0001 101 1000 111 0100 110 0010 011 0001
二、生成矩阵
式中 G = Ik Q = 100 1110 010 0111 001 1101
称为(7，3)码的生成矩阵。 称为(7，3)码的生成矩阵。系统码的生成矩 (7 码的生成矩阵 阵具有[ 典型生成矩阵。 阵具有[IkQ]的形式，称为典型生成矩阵。 ]的形式，称为典型生成矩阵 通常，二进制(n,k)线性系统码的生成矩阵 具 线性系统码的生成矩阵G具 通常，二进制 线性系统码的生成矩阵 有如下形式： 有如下形式： 1 0…0 q …q
1,k+1 1,n
0 1 … 0 q2,k+1 … q2,n …… ……… 0 0 … 1 qk,k+1 … qk,n G矩阵的每行都是一个码字。 矩阵的每行都是一个码字。 矩阵的每行都是一个码字 G = Ik Q =
11
二、生成矩阵
有了G矩阵或 矩阵 有了 矩阵或H矩阵，线性分组码的构造就确 矩阵或 矩阵， 定了。 定了。根据 C＝IG，就可计算出该码组的全部码 ＝ ， 元。 比较P矩阵和 矩阵，便知P 矩阵和Q矩阵 比较 矩阵和 矩阵，便知 T＝Q，或QT ＝ P 。 ， 这就是说，P的第一行就是 的第一列，P的第二行 这就是说， 的第一行就是Q的第一列， 的第二行 的第一行就是 的第一列 就是Q的第二列 的第二列……因此，H一定， Q也就确定， 因此， 一定 一定， 也就确定 也就确定， 就是 的第二列 因此 反之亦然。 反之亦然。 101 1000 100 1110 H= PIr = 111 0100 G = IkQ = 010 0111 110 0010 001 1101 011 0001
15
S＝[ Sr-1Sr-2 …S0 ] ＝RHT ＝(C＋E) HT ＝ ＋ ＝C HT＋E HT＝E HT 中只有一位码元发生错误， 例：假如接收码字R中只有一位码元发生错误， 假如接收码字 中只有一位码元发生错误 又设错误在第i位 又设错误在第 位，即En-i=1，其他的 i均为 ， ，其他的E 均为0， 的第i行 的第i列 则EHT为HT的第 行，为H的第 列。 的第 E =[En-1 En-2 … E 2E 1 E0] H= PIr = 1110 0111 1101 1000 EHT=[0010000] 0100 =1101=S 0010 0001 101 1000 111 0100 110 0010 011 0001
通信原理-CT8差错控制编码
(1) 奇偶监督码。 (2) 二维奇偶监督码。 (3) 重复码。 (4) 恒比码。 (5) ISBN国际统一图书编号。
1 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元， 使得码 组中“1”的个数是奇数或偶数。奇偶监督码分为奇监督（校验）
码和偶监督（校验）码。Fra bibliotek设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有
小值称为码的最小距离，用dmin表示。最小码距是码的
一个重要参数， 它是衡量码检错、纠错能力的依据 。
• 如果线性分组码(n,k)码位信息位没有变化， 与信息码元排列相同，并且与监督位分开， 称为系统码，
信息元 • 否则称为非系统码。 监督元
2. 检错和纠错能力
若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的
［P Ir］形式的矩阵称为典型监督矩阵。
HCT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，
可以用来作为判断接收码字C是否出错的依据。
若把监督方程补充为下列方程
可改写为矩阵形式
即：
C G D
T T
T
C D G
轾0 1 犏 犏1 0 犏 G= 犏 0 犏0 犏 犏0 0 臌 轾0 1 犏 犏1 0 犏 G= 犏 0 犏0 犏 犏0 0 臌
Repeat Request)。 由发端送出能够发现错误的码，由收端判
决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这
一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息 再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是 需要反馈
信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严 重时有效， 但实时性差，主要在计算机数据通信中得到
数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生
1 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元， 使得码 组中“1”的个数是奇数或偶数。奇偶监督码分为奇监督（校验）
码和偶监督（校验）码。Fra bibliotek设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有
小值称为码的最小距离，用dmin表示。最小码距是码的
一个重要参数， 它是衡量码检错、纠错能力的依据 。
• 如果线性分组码(n,k)码位信息位没有变化， 与信息码元排列相同，并且与监督位分开， 称为系统码，
信息元 • 否则称为非系统码。 监督元
2. 检错和纠错能力
若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的
［P Ir］形式的矩阵称为典型监督矩阵。
HCT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，
可以用来作为判断接收码字C是否出错的依据。
若把监督方程补充为下列方程
可改写为矩阵形式
即：
C G D
T T
T
C D G
轾0 1 犏 犏1 0 犏 G= 犏 0 犏0 犏 犏0 0 臌 轾0 1 犏 犏1 0 犏 G= 犏 0 犏0 犏 犏0 0 臌
Repeat Request)。 由发端送出能够发现错误的码，由收端判
决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这
一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息 再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是 需要反馈
信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严 重时有效， 但实时性差，主要在计算机数据通信中得到
数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生
现代通信技术讲义第四章 差错控制编码
第四章 差错控制编码4．1概述 4．1．1基本概念1、差错控制编码原因：数字信号在传输，由于受到噪声的干扰，产生误码。
在很多通信场合，要求无误码传输。
如（1）两个计算机只的数据传输；（2）多址卫星通信中各站的站址编码信息； (3）各种遥控或武器控制的信息传输。
2、差错控制编码的基本思想差错控制编码在通信系统中也称为信道编码，意味为适应信道传输而进行的编码。
编码思想是对信息序列进行某种变化，使原来彼此独立、相关性极小的信息码元产生某种相关性。
使接收端利用这种规律性来检查或进而纠正信息码元在信道传输过程中所造成的差错。
3、差错类型1）随机差错：差错是相互独立、不相关的。
存在这种差错的信道是无记忆信道或随机信道，如卫星通信，错误比较分散。
2）突发差错：差错成串出现，错误与错误之间有相关性。
即一个错误往往要影响到后面的一串码字。
如短波和散射信道产生的差错，错误比较集中。
4、错误图样若发送数字序列S 为： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 接收数字序列R 为： 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 则错误图样定义为 E=S ⊕R ，⊕为逻辑加，或异 此时错误图样E 为： 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 显然，知道错误图样E ，就可以确定它属于那类错误。
定义：错误密度M=错误之间的总码元数第一个错误至最后一个错误之间的误码数第一个错误至最后一个规定M=4/5时，表明为突发性差错。
在编码技术中，码的设计与错误性质有关。
因为纠随机错误的码很有效时，往往对纠突发差错的效果不佳。
反之亦然。
而事实上，而者往往是同时存在的。
设计时以一种为主，最好二者兼顾。
4．1．2差错控制方式1、前向纠错方式（FEC ）特点：（1）收端能发现差错，且能纠错。
（2）译码实时性好，但是译码设备较复杂。
应用：一个用户对多个用户的同时通信。
如：移动通信特别适合。
2、自动请求重传方式（ARQ）特点：（1）收端只能检错，不能纠错（2）收端发现错误，控制发端重新发送，直至正确（3）译码实时性茶，但是译码设备简单。
第3章+差错控制
a6 a5a4 a3 a2a1a0
5
信息码 监督码
（1） 监督方程
可产生（ 7 ， 4 ）汉明码
P108（3-15）或（3-16）
由监督方程（3-16）可求出监督码，附在信息码后即可得到（ 7 ， 4 ）汉明码
例：已知信息码为1101，求所对应的（ 7 ， 4 ）汉明码。
答：由监督方程求监督码
a2 = a6 ⊕ a5 ⊕ a4 = 1⊕1⊕ 0 = 0 a1 = a6 ⊕ a5 ⊕ a3 = 1 ⊕1 ⊕1 = 1 a0 = a6 ⊕ a4 ⊕ a3 = 1⊕ 0 ⊕1 = 0
分组码是监督码元仅监督本码组中的码元，或者说监督码元仅与本码组中的信息码元有 关。
在卷积码中，每组的监督码元不但与本码组的信息码元有关，而且还与前面若干组信息 码元有关，即不是分组监督，而是每个监督码元对它的前面若干组码元都实行监督，前后相 连，因此有时也称为连环码。 （ 4 ）按照信息码元在编码前后是否保持原来的形式不变——可划分为系统码和非系统码。 （ 5 ）按纠正差错的类型——可分为纠正随机错误的码和纠正突发错误的码。 （ 6 ）按照每个码元取值来分——可分为二进制码与多进制码。
3.2 简 单 的 差 错 控 制 编 码
3.2.1 奇 偶 监 督 码 （ r =1 ， k 不 一 定 ）
an−1an−2 ...a1 a0
信息码 监督码 1 、概念
z 偶监督码——信息码与监督码合在一起“ 1 ”的个数是偶数 z 奇监督码——信息码与监督码合在一起“ 1 ”的个数是奇数 2 、监督方程 z 偶监督方程 P104 （ 3-6 ）或（ 3-7 ） z 奇监督方程 （ 3-8 ）或（ 3-9 ） 收端根据监督方程是否满足可判断是否有误码 3 、检错能力
通信原理-CH11-差错控制编码和线性分组码
13
20 世 纪 40 年 代 ， R.Hamming 和 M.Golay y 提出了第一个实用的差错控制 编码方案，使编码理论这个应用数学分 支的发展得到了极大的推动 支的发展得到了极大的推动。 当时他作为一个数学家受雇于贝尔实验 室，主要从事弹性理论的研究 他发现 室，主要从事弹性理论的研究。他发现 计算机经常在计算过程中出现错误，而 一旦有错误发生 旦有错误发生，程序就会停止运行。 程序就会停止运行 这个问题促使他编制了使计算机具有检 测错误能力的程序 通过对输入数据编 测错误能力的程序，通过对输入数据编 码，使计算机能够纠正这些错误并继续 运行。 运行 Hamming 提出的编码方案后来被命名 为汉明码。
f2
1
V1
带 通 滤波器 带 通 滤波器
1
相乘器
cos 1t
低 通 滤波器
抽样脉冲
2
V2
2
抽 样 判决器
输出
相乘器
cos 2t
（b）相干解调
低 通 滤波器
4
PSK
电平 二进信息转换
（单极NRZ） 双极 NRZ
已调信号
A cos 2f c t
载 波 发生器
输入 BPSK信号
带通
相乘器
Gallag er
20
虽然软判决译码、级联码和编码调制技术都对信道码的 设计和发展产生了重大影响，但是其增益与 Shannon 理论极限始终都存在2～3dB的差距。 的差距 在1993年于瑞士日内瓦召开的国际通信会议(1CC'93) 上，两位任教于法国不列颠通信大学的教授 C.Berrou 、 A.Glavieux 和他们的缅甸籍博士生 P.Thitimajshima 首次提出了一种新型信道编码方案——Turbo码，由于 它很好地应用了 Shannon 信道编码定理中的随机性编、 译码条件，从而获得了几乎接近 Shannon 理论极限的 译码性能 仿真结果表明 在采用长度为 65536 的随 译码性能。仿真结果表明，在采用长度为 机 交 织 器 并 译 码 迭 代 18 次 情 况 下 ， 在 信 噪 比 Eb/N0>=0.7dB 并采用二元相移键控 (BPSK) 调制时， 码率为1/2的Turbo码在加性高斯白噪声信道上的误比 特率 (BER)<=10-5 ，达到了与 Shannon 极限仅相差 0 7dB的优异性能。 0.7dB 的优异性能 (1/2码率的Shannon极限是0dB)。
20 世 纪 40 年 代 ， R.Hamming 和 M.Golay y 提出了第一个实用的差错控制 编码方案，使编码理论这个应用数学分 支的发展得到了极大的推动 支的发展得到了极大的推动。 当时他作为一个数学家受雇于贝尔实验 室，主要从事弹性理论的研究 他发现 室，主要从事弹性理论的研究。他发现 计算机经常在计算过程中出现错误，而 一旦有错误发生 旦有错误发生，程序就会停止运行。 程序就会停止运行 这个问题促使他编制了使计算机具有检 测错误能力的程序 通过对输入数据编 测错误能力的程序，通过对输入数据编 码，使计算机能够纠正这些错误并继续 运行。 运行 Hamming 提出的编码方案后来被命名 为汉明码。
f2
1
V1
带 通 滤波器 带 通 滤波器
1
相乘器
cos 1t
低 通 滤波器
抽样脉冲
2
V2
2
抽 样 判决器
输出
相乘器
cos 2t
（b）相干解调
低 通 滤波器
4
PSK
电平 二进信息转换
（单极NRZ） 双极 NRZ
已调信号
A cos 2f c t
载 波 发生器
输入 BPSK信号
带通
相乘器
Gallag er
20
虽然软判决译码、级联码和编码调制技术都对信道码的 设计和发展产生了重大影响，但是其增益与 Shannon 理论极限始终都存在2～3dB的差距。 的差距 在1993年于瑞士日内瓦召开的国际通信会议(1CC'93) 上，两位任教于法国不列颠通信大学的教授 C.Berrou 、 A.Glavieux 和他们的缅甸籍博士生 P.Thitimajshima 首次提出了一种新型信道编码方案——Turbo码，由于 它很好地应用了 Shannon 信道编码定理中的随机性编、 译码条件，从而获得了几乎接近 Shannon 理论极限的 译码性能 仿真结果表明 在采用长度为 65536 的随 译码性能。仿真结果表明，在采用长度为 机 交 织 器 并 译 码 迭 代 18 次 情 况 下 ， 在 信 噪 比 Eb/N0>=0.7dB 并采用二元相移键控 (BPSK) 调制时， 码率为1/2的Turbo码在加性高斯白噪声信道上的误比 特率 (BER)<=10-5 ，达到了与 Shannon 极限仅相差 0 7dB的优异性能。 0.7dB 的优异性能 (1/2码率的Shannon极限是0dB)。
第8章差错控制编码技术
4. 汉明码
汉明码是一类常见的线性分组码，是 一种能够纠正单个错误的完备码。要纠正 码组中的单个错误，则要求与单个错误图 样对应的伴随式各不相同，且不能为全零。 若码长为n，监督码元的个数为r，则要求 2 r-1≥n。码组为汉明码时取等号。即用来 纠正单个错误时，汉明码所用的监督码元 个数最少，效率最高。
第八章 差错控制编码技术
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7
差错控制编码的基本概念 线性分组码 循 环 码 卷 积 码 网格编码调制（TCM） Turbo码 差错控制编码对系统性能的改善
8.1 差错控制编码的基本概念
1. 差错控制的工作方式
按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分 为三类：随机信道、突发信道和混合信道。 恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道， 其中差错的出现是随机的，而且错误之间 是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典 型的突发信道，错误是成串成群出现的， 即在短时间内出现大量错误。
在收端采用维特比算法执行最大似然 检测。编码网格状图中的每一条支路对应 于一个子集，而不是一个信号点。检测的 第一步是确定每个子集中的信号点，在欧 氏距离意义下，这个子集是最靠近接收信 号的子集。 图8-11描述了最简单的传输2比特码字 的8PSK四状态TCM编码方案。它采用了 效率为1/2的卷积码编码器，对应的格图如 图8-12所示。
（2） 循环码的译码
原则上纠错可按下述步骤进行： ① 用生成多项式g（x）去除接收码 组 B（x）=A（x）+E（x）， 得 出 余 式 r （x）； ② 按余式r（x）用查表的方法或通 过某种运算得到错误图样E（x），就可以 确定错码位置。 ③ 从B（x）中减去E（x），便得到 已纠正错误的原发送码组A（x）。
数字通信第七章差错控制
记作
dmin ＝1；如果只选用最小码距
dmin ＝2的码组，则只有 4
＝3的码组，则只有 dmin
种码组为许用码组；若选用最小码距
两种码组为许用码组。由上面的图可以看到，码距就是从一 个顶点沿立方体各边移动到另一个顶点所经过的最少边数。 下面我们将具体讨论一种编码的最小码距与这种编码的 检错和纠错能力的数量关系。
Hale Waihona Puke 纠正编码，简称纠错编码。差错控制的基本思路是：发送端
在被传输的信息序列上附加一些码元（称为监督码元），这 些附加码元与信息（指数据）码元之间存在某种确定的约束 关系；接收端根据既定的约束规则检验信息码元与监督码元 之间的这种关系是否被破坏，如传输过程中发生差错，则信 息码元与监督码元之间的这一关系受到破坏，从而使接收端 可以发现传输中的错误，乃至纠正错误。可以看出，由于增 加了不携带信息的附加码元，从而增加了传输的任务，使得
误的功能，经编码后发出能够发现错误的码，接收端收到
后经检验如果发现传输中有错误，则通过反向信道把这一
判断结果反馈给发送端，然后，发送端把前面发出的信息
重新传送一次， 直到接收端认为已正确地收到信息为止。
常用的检错重发系统有三种，即停发等候重发、返回重发
和选择重发。图7-2画出了这三种系统的工作原理图。
随机差错又称独立差错，是指那些独立地、稀疏地和互
不相关地发生的差错。存在这种差错的信道称为无记忆信道 或随机信道。 突发差错是指一串串，甚至是成片出现的差错，差错之 间有相关性，差错出现是密集的。这种突发的噪声主要是由
雷电、开关引起的瞬态电信号变化等。
第7章 差错控制
例如传输的数据序列为000000000000……，由于噪声干
扰，收端收到的数据序列为01101100……，其中11011为一串 互相关联的错误，即一个突发错误。突发长度B即为相对错 误较多区域中第一个错误与最后一个错码之间的长度（中间 可能有不错的码），本例中突发长度等于5，而11001称为错
dmin ＝1；如果只选用最小码距
dmin ＝2的码组，则只有 4
＝3的码组，则只有 dmin
种码组为许用码组；若选用最小码距
两种码组为许用码组。由上面的图可以看到，码距就是从一 个顶点沿立方体各边移动到另一个顶点所经过的最少边数。 下面我们将具体讨论一种编码的最小码距与这种编码的 检错和纠错能力的数量关系。
Hale Waihona Puke 纠正编码，简称纠错编码。差错控制的基本思路是：发送端
在被传输的信息序列上附加一些码元（称为监督码元），这 些附加码元与信息（指数据）码元之间存在某种确定的约束 关系；接收端根据既定的约束规则检验信息码元与监督码元 之间的这种关系是否被破坏，如传输过程中发生差错，则信 息码元与监督码元之间的这一关系受到破坏，从而使接收端 可以发现传输中的错误，乃至纠正错误。可以看出，由于增 加了不携带信息的附加码元，从而增加了传输的任务，使得
误的功能，经编码后发出能够发现错误的码，接收端收到
后经检验如果发现传输中有错误，则通过反向信道把这一
判断结果反馈给发送端，然后，发送端把前面发出的信息
重新传送一次， 直到接收端认为已正确地收到信息为止。
常用的检错重发系统有三种，即停发等候重发、返回重发
和选择重发。图7-2画出了这三种系统的工作原理图。
随机差错又称独立差错，是指那些独立地、稀疏地和互
不相关地发生的差错。存在这种差错的信道称为无记忆信道 或随机信道。 突发差错是指一串串，甚至是成片出现的差错，差错之 间有相关性，差错出现是密集的。这种突发的噪声主要是由
雷电、开关引起的瞬态电信号变化等。
第7章 差错控制
例如传输的数据序列为000000000000……，由于噪声干
扰，收端收到的数据序列为01101100……，其中11011为一串 互相关联的错误，即一个突发错误。突发长度B即为相对错 误较多区域中第一个错误与最后一个错码之间的长度（中间 可能有不错的码），本例中突发长度等于5，而11001称为错
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第 8 章 差错控制编码 －基本概念与线性分组码
本章第一部份的基本内容： 差错控制编码的基本概念； 简单的差错控制方法； 信道编码的基本概念与定理*； 线性分组码的代数基础*； 线性分组码的基本性质 循环码。
1
引言
第8章 差错控制编码
数据在物理信道中传输时通常会因为信道的非理想特性和引 入的噪声造成传输的错误。
通信系统通常可分为单工、半双工、和全双工三种工作方式。
单工：单向、没有回传通道的系统称之；
半双工：双向，但发送和接收必须分时进行的系统称之；
全双工：双向，发送和接收可同时进行的系统称之。
不同的差错控制方式，对系统有不同的要求。
差错控制方式 (1)检错重发：通过差错控制编码，使得接收端具有检错能力， 接收端如果发现传输出错，通过反向信道请求重发。 检错重发方式，要求系统具有反向传输通道； 检错重发方式通常具有较高的编码效率。
5
差错控制编码的主要类型和方式(续)
第8章 差错控制编码
差错控制编码的主要类型
(3)系统码与非系统码
系统码：编码后信息码元部分的排列结构保持不变；
非系统码: 编码后码组中信息码元部分的排列结构发生了变 化，一般不能看出原来信息码元的图样结构。
6
差错控制编码的主要类型和方式(续)
第8章 差错控制编码
第8章 差错控制编码
(2) 若选择 许用码字：000，111
禁用码字：001，010，100，011，101，110
编码后每个3位的许用码字可携带1比特信息；
任一许用码字的2位以下的误码都会变为禁用码字， 因此可发现任意的2位误码；
采用择多逻辑的方法可纠正出现1位误码时的错误
3位的误码将使“000” “111” ，错误不能被发现。
容易验证：当出现奇数位的误码时，关联关系均被破坏，因 此可以发现错误。而当出现偶数位的错误时，不能发现错误。
11
简单的差错控制方法(续)
第8章 差错控制编码
所有可能的信息码组经过差错控制编码后，得到的输出码组
(也称为码字)构成了一个称为许用码字的集合：许用码字集C
不在许用码字集中的码字称为禁用码字。
12
简单的差错控制方法(续)
第8章 差错控制编码
示例: 3位二进制码组的所有组合
000，001，010，011，100，101，110，111
(1)若所有组合均为许用码字，每个码字可携带3比特信息；
任一许用码字出错都变为另一许用码字，无差错控制功能
(2) 若选择 许用码字：000，011，101，110
在纠错编码中加入的监督位本身并不携带信息，因此有时也 将监督位成为冗余位。
2
引言
第8章 差错控制编码
若每一组 k 位信息位，编码后生成 n 位长度的码字
则定义编码效率
编码效率＝ k n
冗余度 冗余度 n - k n
3
8.2 差错控制编码的主要类型和方式
4
差错控制编码的主要类型和方式
第8章 差错控制编码
差错控制编码的主要类型
(1)线性码与非线性码
线性码：监督码元与信息码元间的关系是一种线性关系；
非线性码：监督码元与信息码元间的关系则是一种非线性的 关系。
(2)分组码与卷积码
分组码：监督码元与信息码元间以码组为单位建立关系；
卷积码：监督码元不仅与本组的信息码元有关，还与前面若 干个码组的信息码元有关。
(1)偶校验
设待发送的信息码组：an1an2...a1 加入监督位 a0
其中
a0＝an1 an2 ... a1
由此可得监督位与信息位的关联关系
an1 an2 ... a1 a0＝0
若传输过程中出现1位的误码，上述关联关系将被破坏，因此 可发现出现错误。
因编码后码组 an1an2...a1a0 中有偶数个1，故称为偶校验。
(3)混合差错控制：结合检错重发和前向纠错方式优点的差错 控制方法；
对于出现较少错误时，由前向纠错方式加以纠正；当经纠错 后仍有错误时，则启动检错重发机制。
混合差错是一种兼顾效率和复杂性的方法。
8
8.3 简单的差错控制方法
9Байду номын сангаас
简单的差错控制方法
第8章 差错控制编码
奇偶校验码
奇偶校验码是一种通过增加1位监督位，从而使得码组具有检 测1位误码的差错控制方法。
差错控制编码的基本概念：通过对数据进行某种编码处理， 使得接收端可以判断接收到的数据，是否出现错误，甚至可以 纠正一定范围内错误。
差错控制编码是将有误码的物理信道改造成无差错的逻辑信 道的一种方法。
所谓差错控制编码，通常是通过代数的方法，加入与待传输 的数据有一定关联关系的监督位来实现的。
在接收端可根据特定的关联关系是否受到破环来判别是否出 现错误，并可在一定程度上根据出错的情况纠正错误。
一般地，如果传输出错使得原来的许用码字变为禁用码字， 则这种错误可被发现；
示例：偶校验码字中所有含偶数个“1”的码字为许用码字；
所有含奇数个“1”的码字为禁用码字。
奇校验码字中所有含奇数个“1”的码字为许用码字；
所有含偶数个“1”的码字为禁用码字。
如果传输过出错使得原来的许用码字变为另外一个许用码字， 则这种错误不能被发现。
禁用码字：111，001，010，100
编码后每个3位的许用码字可携带2比特信息；
任一许用码字的1位误码都会变为禁用码字，因此可发现任 意的1位误码；该码实际上是一种偶校验码。
2位的误码将变为另一许用码字，错误不能被发现。
注意：需要合理地确定许用码字方可使编码码字具有检错能力。
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简单的差错控制方法(续)
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简单的差错控制方法(续)
第8章 差错控制编码
(2)奇校验
若加入的监督位由下式确定
a0＝an1 an2 ... a1 1 则由此建立的关联关系为
an1 an2 ... a1 a0＝1 编码后产生的码组 an1an2...a1a0 中将有奇数个1，故称奇校验。
同样，传输过程的1位误码将破坏上述的关联关系。
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差错控制编码的主要类型和方式(续)
第8章 差错控制编码
(2)前向纠错：采用具有检错和纠错的编码算法，接收端不仅 能够检测出错误，而且定位出码字中错误的位置并加以纠正。
前向纠错的方法适用于包括单工通信系统的应用场合。
在一些对实时性要求较高的通信场合，必须采用前向纠错的 方法。
前向纠错需要定位错误的位置和出现何种错误(对二进制以外 的纠错编码)，通常编译码的方法比较复杂，效率较低、
本章第一部份的基本内容： 差错控制编码的基本概念； 简单的差错控制方法； 信道编码的基本概念与定理*； 线性分组码的代数基础*； 线性分组码的基本性质 循环码。
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引言
第8章 差错控制编码
数据在物理信道中传输时通常会因为信道的非理想特性和引 入的噪声造成传输的错误。
通信系统通常可分为单工、半双工、和全双工三种工作方式。
单工：单向、没有回传通道的系统称之；
半双工：双向，但发送和接收必须分时进行的系统称之；
全双工：双向，发送和接收可同时进行的系统称之。
不同的差错控制方式，对系统有不同的要求。
差错控制方式 (1)检错重发：通过差错控制编码，使得接收端具有检错能力， 接收端如果发现传输出错，通过反向信道请求重发。 检错重发方式，要求系统具有反向传输通道； 检错重发方式通常具有较高的编码效率。
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差错控制编码的主要类型和方式(续)
第8章 差错控制编码
差错控制编码的主要类型
(3)系统码与非系统码
系统码：编码后信息码元部分的排列结构保持不变；
非系统码: 编码后码组中信息码元部分的排列结构发生了变 化，一般不能看出原来信息码元的图样结构。
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差错控制编码的主要类型和方式(续)
第8章 差错控制编码
第8章 差错控制编码
(2) 若选择 许用码字：000，111
禁用码字：001，010，100，011，101，110
编码后每个3位的许用码字可携带1比特信息；
任一许用码字的2位以下的误码都会变为禁用码字， 因此可发现任意的2位误码；
采用择多逻辑的方法可纠正出现1位误码时的错误
3位的误码将使“000” “111” ，错误不能被发现。
容易验证：当出现奇数位的误码时，关联关系均被破坏，因 此可以发现错误。而当出现偶数位的错误时，不能发现错误。
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简单的差错控制方法(续)
第8章 差错控制编码
所有可能的信息码组经过差错控制编码后，得到的输出码组
(也称为码字)构成了一个称为许用码字的集合：许用码字集C
不在许用码字集中的码字称为禁用码字。
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简单的差错控制方法(续)
第8章 差错控制编码
示例: 3位二进制码组的所有组合
000，001，010，011，100，101，110，111
(1)若所有组合均为许用码字，每个码字可携带3比特信息；
任一许用码字出错都变为另一许用码字，无差错控制功能
(2) 若选择 许用码字：000，011，101，110
在纠错编码中加入的监督位本身并不携带信息，因此有时也 将监督位成为冗余位。
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引言
第8章 差错控制编码
若每一组 k 位信息位，编码后生成 n 位长度的码字
则定义编码效率
编码效率＝ k n
冗余度 冗余度 n - k n
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8.2 差错控制编码的主要类型和方式
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差错控制编码的主要类型和方式
第8章 差错控制编码
差错控制编码的主要类型
(1)线性码与非线性码
线性码：监督码元与信息码元间的关系是一种线性关系；
非线性码：监督码元与信息码元间的关系则是一种非线性的 关系。
(2)分组码与卷积码
分组码：监督码元与信息码元间以码组为单位建立关系；
卷积码：监督码元不仅与本组的信息码元有关，还与前面若 干个码组的信息码元有关。
(1)偶校验
设待发送的信息码组：an1an2...a1 加入监督位 a0
其中
a0＝an1 an2 ... a1
由此可得监督位与信息位的关联关系
an1 an2 ... a1 a0＝0
若传输过程中出现1位的误码，上述关联关系将被破坏，因此 可发现出现错误。
因编码后码组 an1an2...a1a0 中有偶数个1，故称为偶校验。
(3)混合差错控制：结合检错重发和前向纠错方式优点的差错 控制方法；
对于出现较少错误时，由前向纠错方式加以纠正；当经纠错 后仍有错误时，则启动检错重发机制。
混合差错是一种兼顾效率和复杂性的方法。
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8.3 简单的差错控制方法
9Байду номын сангаас
简单的差错控制方法
第8章 差错控制编码
奇偶校验码
奇偶校验码是一种通过增加1位监督位，从而使得码组具有检 测1位误码的差错控制方法。
差错控制编码的基本概念：通过对数据进行某种编码处理， 使得接收端可以判断接收到的数据，是否出现错误，甚至可以 纠正一定范围内错误。
差错控制编码是将有误码的物理信道改造成无差错的逻辑信 道的一种方法。
所谓差错控制编码，通常是通过代数的方法，加入与待传输 的数据有一定关联关系的监督位来实现的。
在接收端可根据特定的关联关系是否受到破环来判别是否出 现错误，并可在一定程度上根据出错的情况纠正错误。
一般地，如果传输出错使得原来的许用码字变为禁用码字， 则这种错误可被发现；
示例：偶校验码字中所有含偶数个“1”的码字为许用码字；
所有含奇数个“1”的码字为禁用码字。
奇校验码字中所有含奇数个“1”的码字为许用码字；
所有含偶数个“1”的码字为禁用码字。
如果传输过出错使得原来的许用码字变为另外一个许用码字， 则这种错误不能被发现。
禁用码字：111，001，010，100
编码后每个3位的许用码字可携带2比特信息；
任一许用码字的1位误码都会变为禁用码字，因此可发现任 意的1位误码；该码实际上是一种偶校验码。
2位的误码将变为另一许用码字，错误不能被发现。
注意：需要合理地确定许用码字方可使编码码字具有检错能力。
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简单的差错控制方法(续)
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简单的差错控制方法(续)
第8章 差错控制编码
(2)奇校验
若加入的监督位由下式确定
a0＝an1 an2 ... a1 1 则由此建立的关联关系为
an1 an2 ... a1 a0＝1 编码后产生的码组 an1an2...a1a0 中将有奇数个1，故称奇校验。
同样，传输过程的1位误码将破坏上述的关联关系。
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差错控制编码的主要类型和方式(续)
第8章 差错控制编码
(2)前向纠错：采用具有检错和纠错的编码算法，接收端不仅 能够检测出错误，而且定位出码字中错误的位置并加以纠正。
前向纠错的方法适用于包括单工通信系统的应用场合。
在一些对实时性要求较高的通信场合，必须采用前向纠错的 方法。
前向纠错需要定位错误的位置和出现何种错误(对二进制以外 的纠错编码)，通常编译码的方法比较复杂，效率较低、