华东师大版八年级数学上册 第13章 全等三角形 单元检测试题(有答案)

第13章全等三角形单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）1. 下列命题是真命题的是（）A.在同一平面内，两条直线的位置只有平行和垂直两种B.两直线平行，同旁内角相等C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.平行于同一条直线的两直线平行2. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE.若AC=5，BC=3，则BD的长为()A.1B.1.5C.2D.2.53. 甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书，他们相约在每个星期天相互交换读完的书．经过数次交换后，他们都读完了这3本书．若乙读的第三本书是丙读的第二本书，则乙读的第一本书是甲读的（）A.第一本书B.第二本书C.第三本书D.不能确定4. 一个角是60∘的等腰三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.上述都正确5. 已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有()个(1)DA平分∠EDF；(2)△EBD≅△FCD；(3)△AED≅△AFD；(4)AD垂直BC．A.1个B.2个C.3个D.4个6. 角平分线的尺规作图，其根据是构造两个全等三角形，由作图可知：判断所构造的两个三角形全等的依据是（）A.SSSB.ASAC.SASD.AAS7. 已知，如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，CB＝5cm，BD＝3cm，则ED的长为（）A.2cmB.3cmC.5cmD.8cmBC的长为半径8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，分别以点B和点C为圆心，大于12作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连接CF．若AC= 2，∠FCG=30∘，则△BCF的面积为( )．A.√3B.√3C.2D.2√32二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）9. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，DE垂直平分AB，∠CBE:∠A=1:2，则∠AED=________∘．10. 如图是标准跷跷板的示意图．横板AB的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动．如果∠OCA=90∘，∠CAO=25∘，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为________．11. 如图所示的是一个尺规作图，已知∠AOB=35∘，根据作图痕迹可知∠A′O′B′的度数为________.12. 如果两个直角三角形，满足斜边和一条直角边相等，那么这两个直角三角形________（填“是”或“不是”）全等三角形．13. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80∘，则它的特征值k=________．14. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，AE是过A点的一条直线，CE⊥AE于E，BD⊥AE于D，DE=4cm，CE=2cm，则BD=________．15. 如图，为等边三角形，,，，且。

则以下四个结论：①；②平分；③；④。

其中正确的有________________；（把正确答案的序号填写在横线上）16. 绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王以每小时4千米速度每走60分钟后休息5分钟；小张以每小时6千米速度每走50分钟后休息10分钟，则两人出发后________分钟后第一次相遇．17. 如图，AE是∠BAC的角平分线，AE的中垂线PF交BC的延长线于点F，若∠CAF= 50∘，求∠B的度数.18. 如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC= BC，若∠BAC=80∘，则∠BOD的度数为________．三、解答题（本题共计8 小题，共计66分，）19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘．（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AP，若AP平分∠CAB，求∠B的度数．20. 如图所示，已知AC=BD，∠CAB=∠DBA．求证：(1)△CAB≅△DBA；(2)△CAO≅△DBO．21. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC.(1)证明：∠APO+∠DCO=30∘；(2)判断△OPC的形状，并说明理由．22. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，并使点A、C、E三点在同一条直线上，因此只要测得ED 的长就知道AB的长．请说明这样测量正确性的理由．23. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F.(1)试判断△ADF的形状，并说明理由；(2)若AF=BE=2,∠F=30∘，求△ABC的周长.24. 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB // DE，且AB=DE，BE=CF．求证：△ABC≅△DEF．25. 如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝21∘，求∠C的度数．26. 如图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形各边的长．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】D【解答】A、在同一平面内，两条直线的位置只有平行和相交两种，故此选项是假命题，不合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，故此选项是假命题，不合题意；C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项是假命题，不合题意；D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题，符合题意．2.【答案】A【解答】解：∵ CD平分∠ACB，BE⊥CD，∵ BC=CE．又∵ ∠A=∠ABE，∵ AE=BE．∵ BD=12BE=12AE=12(AC−BC)．∵ AC=5，BC=3，∵ BD=12(5−3)=1．故选A．3.【答案】B【解答】解：设3人分别读了a，b，c三本书，则甲：a b c乙：b c a丙：c a b，∵ 乙读的第三本书是丙读的第二本书，∵ 乙读的第一本书是甲读的第二本书．故选：B．4.【答案】B【解答】解：∵ 等腰三角形有一个角为60∘，∵ 此三角形为等边三角形．故选B．5.【答案】D【解答】解：(1)如图，∵ AB=AC，BE=CF，∵ AE=AF．又∵ AD是角平分线，∵ ∠1=∠2，∵ 在△AED和△AFD中，{AE=AF,∠1=∠2, AD=AD,∵ △AED≅△AFD(SAS)，∵ ∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故(1)正确；∵ 如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∵ △ABD≅△ACD．又由(1)知，△AED≅△AFD，∵ △EBD≅△FCD．故(2)正确,(3)由(1)知，△AED≅△AFD．故(3)正确；(4)∵ 如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∵ AD⊥BC，即AD垂直BC．故(4)正确．综上所述，正确的结论有4个．故选D．6.【答案】A【解答】解：如图所示：作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，EF长为半径画弧，两弧交于点M，②再分别以F、E为圆心，大于12③画射线OM，射线OM即为所求．由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．故选A．7.【答案】A【解答】∵ ∠CAD＝∠EAD，AD＝AD，∠CDA＝∠EDA，∵ △ADC≅△ADE(ASA)，∵ DE＝CD，∵ BC＝5cm，BD＝3cm，∵ CD＝2cm，∵ DE＝2cm，8.【答案】B【解答】解：由题意可得，DF垂直平分BC，∵ BF=CF，CG=BG，∵ ∠FCG=30∘，∵ ∠B=∠FCG=30∘，又∵ ∠ACB=90∘，∵ ∠ACF=60∘，又∠AFC=∠B+∠FCG=60∘，∵ ∠A=60∘,∵ △ACF是等边三角形，∵ AC=2，∠ACB=90∘，∠B=30∘，∵ AB=4，AF=AC=2，∵ BF=2，BC=√AB2−AC2=√42−22=2√3，∵ S△BCF=12S△ABC=12×12⋅AC⋅BC=12×12×2×2√3=√3.故选B.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）9.【答案】54【解答】解：∵ DE垂直平分AB，∵ AE=BE，∵ ∠A=∠ABE，∵ 在△ABC中，∠C=90∘，∠CBE:∠A=1:2，设∠A=2x∘，则∠ABC=∠ABE+∠CBE=2x+x=3x∘，∵ 2x+3x=90，解得：x=18，∵ ∠A=36∘，∵ ∠AED=90∘−∠A=54∘．故答案为：54．10.【答案】50∘【解答】解：∵ OA=OB′，∠OCA=90∘，∵ ∠OAC=∠OB′C=25∘，∵ ∠A′OA=∠OAC+∠OB′C=2∠OAC=50∘．答案为50∘．11.【答案】35∘【解答】解：由尺规作图的定义可知，∠A ′O ′B ′=∠AOB =35∘.故答案为：35∘.12.【答案】是【解答】解：∵ 两个直角三角形，满足斜边和一条直角边相等，∵ 这两个直角三角形可以根据“斜边、直角边”判定全等． 故答案为：是．13.【答案】85或14 【解答】解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180∘−80∘2=50∘， ∵ 特征值k =8050=85； ②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180∘−80∘−80∘=20∘， ∵ 特征值k =2080=14. 综上所述，特征值k 为85或14.故答案为：85或14. 14.【答案】6cm【解答】解：∵ ∠BAC =90∘，∵ ∠BAD +∠CAE =90∘.∵ BD ⊥AE ，∵ ∠ABD +∠BAD =90∘，∵ ∠ABD =∠CAE .在△ABD 和△CAE 中，{∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA AB =AC，∵ △ABD≅△CAE(AAS)，∵ BD=AE，AD=CE.∵ AE=AD+DE=CE+DE=2+4=6cm，∵ BD=6cm．故答案为：6cm．15.【答案】①③③④【解答】在和Rt△AFD中{AD=ADDE=DFAE=AF，①正确；DE⊥AB=E&nbspDF⊥AC于F，且DE=DFAD平分∠BAC，∵ ②正确；△ABC为等边三角形∠BAC=∠B=∠C=60∘AG=DG∴ ∠CAD=∠ADG=12∠B.AC=30∘DG/AB，③正确；在△BED和△GFD中{∠DEB=∠DFG=90∘∠B=∠FGD=60∘DE=DF．△BED≅△GFD，④正确．16.【答案】160【解答】解：∵ 小王65分行4千米，小张60分行6×5060=5千米，∵ 小王130分行8千米，小张120分行10千米，∵ 小张130分行10+660×10=11千米；∵ 在130分时间里，俩人一共行19千米，余下5千米还用5÷(460+660)=30分．所以出发160分第一次相遇．故答案为160．17.【答案】解：∵ AE是中垂线PF交BC的延长线于点F，∵ AF=EF，∵ ∠FAE=∠FEA，∵ ∠FAE=∠FAC+∠CAE，∠FEA=∠B+∠BAE，∵ AE平分∠BAC，∵ ∠BAE=∠CAE，∵ ∠FAC=∠B=50∘．【解答】解：∵ AE是中垂线PF交BC的延长线于点F，∵ AF=EF，∵ ∠FAE=∠FEA，∵ ∠FAE=∠FAC+∠CAE，∠FEA=∠B+∠BAE，∵ AE平分∠BAC，∵ ∠BAE=∠CAE，∵ ∠FAC=∠B=50∘．18.【答案】100∘【解答】解：如图在CO的延长线上取一点H．∵ ∠DOH=∠D+∠DCO，∠BOH=∠OBC+∠OCB，∵ ∠DOB=∠D+∠OBC+∠OCD+∠OCB=∠D+∠OBC+∠ACB，∵ O是内心，∵ ∠DCO=∠BCO，在△OCD和△OCB中，{OC=OC∠OCD=∠OCBCD=CB，∵ △OCD≅△OCB(SAS)，∵ ∠D=∠OBC=∠ABO，∵ ∠DOB=∠ABC+∠ACB=180∘−∠BAC=100∘，故答案为：100∘．三、解答题（本题共计8 小题，每题10 分，共计80分）19.【答案】如图：作线段AB的垂直平分线；∵ PD是线段AB的垂直平分线，∵ PA＝PB，∵ ∠B＝∠PAB，∵ AP平分∠CAB，∵ ∠CAP＝∠PAB，∵ ∠B＝∠PAB＝∠CAP，∵ ∠ACB＝90∘，∵ ∠B＝∠PAB+∠CAP＝90∘，∵ ∠B＝30∘．【解答】如图：作线段AB的垂直平分线；∵ PD是线段AB的垂直平分线，∵ PA＝PB，∵ ∠B＝∠PAB，∵ AP平分∠CAB，∵ ∠CAP＝∠PAB，∵ ∠B＝∠PAB＝∠CAP，∵ ∠ACB＝90∘，∵ ∠B＝∠PAB+∠CAP＝90∘，∵ ∠B＝30∘．20.【答案】证明：(1)在△CAB和△DBA中，{AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∵ △CAB≅△DBA(SAS)；(2)由(1)可知△CAB≅△DBA，∵ ∠C=∠D，在△CAO和△DBO中，{∠C=∠D，∠COA=∠DOB，AC=BD，∵ △CAO≅△DBO(AAS)．【解答】证明：(1)在△CAB和△DBA中，{AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∵ △CAB≅△DBA(SAS)；(2)由(1)可知△CAB≅△DBA，∵ ∠C=∠D，在△CAO和△DBO中，{∠C=∠D，∠COA=∠DOB，AC=BD，∵ △CAO≅△DBO(AAS)．21.【答案】(1)证明：连接OB．∵ AB=AC，AD⊥BC，∵ BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120∘=60∘，∵ OB=OC，∠ABC=90∘−∠BAD=30∘.∵ OP=OC，∵ OB=OC=OP，∵ ∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∵ ∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30∘.(2)解：等边三角形；∵ ∠APC+∠DCP+∠PBC=180∘，∵ ∠APC+∠DCP=150∘.∵ ∠APO+∠DCO=30∘，∵ ∠OPC+∠OCP=120∘，∵ ∠POC=180∘−(∠OPC+∠OCP)=60∘.∵ OP=OC，∵ △OPC是等边三角形．【解答】(1)证明：连接OB．∵ AB=AC，AD⊥BC，∵ BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120∘=60∘，∵ OB=OC，∠ABC=90∘−∠BAD=30∘.∵ OP=OC，∵ OB=OC=OP，∵ ∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∵ ∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30∘.(2)解：等边三角形；∵ ∠APC +∠DCP +∠PBC =180∘， ∵ ∠APC +∠DCP =150∘.∵ ∠APO +∠DCO =30∘，∵ ∠OPC +∠OCP =120∘，∵ ∠POC =180∘−(∠OPC +∠OCP)=60∘. ∵ OP =OC ，∵ △OPC 是等边三角形．22.【答案】证明：∵ BF ⊥AB ，DE ⊥BD ，∵ ∠ABC =∠CDE =90∘，在△ABC 和△EDC 中：{∠ABC =∠EDC =90∘CB =CD ∠ACB =∠ECD ， ∵ △ABC ≅△EDC(ASA)∵ AB =DE （全等三角形，对应边相等）．【解答】证明：∵ BF ⊥AB ，DE ⊥BD ，∵ ∠ABC =∠CDE =90∘，在△ABC 和△EDC 中：{∠ABC =∠EDC =90∘CB =CD ∠ACB =∠ECD ， ∵ △ABC ≅△EDC(ASA)∵ AB =DE （全等三角形，对应边相等）． 23.【答案】解：(1)△ADF 是等腰三角形，理由如下： ∴ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．∵ FE ⊥BC ，∴ ∠F +∠C =90∘，∠BDE +∠B =90∘， ∴ ∠F =∠BDE ，又∠BDE =∠FDA ，∴ ∠F =∠FDA ，∵ AF =AD ，即△ADF 是等腰三角形．(2)∵ DE ⊥BC,，∴ ∠C =90∘−∠F =60∘．又AB =AC ，∵ △ABC 是等边三角形．∵ △ADF是等腰三角形，∵ AD=AF=2．在Rt△BDE中，∠BDE=90∘−∠B=30∘，∴ BD=2BE=4．∴ AB=BD+AD=6．△ABC的周长=3AB=18．【解答】解：(1)△ADF是等腰三角形，理由如下：∴ AB=AC，∴ ∠B=∠C．∵ FE⊥BC，∴ ∠F+∠C=90∘，∠BDE+∠B=90∘，∴ ∠F=∠BDE，又∠BDE=∠FDA，∴ ∠F=∠FDA，∵ AF=AD，即△ADF是等腰三角形．(2)∵ DE⊥BC,，∴ ∠C=90∘−∠F=60∘．又AB=AC，∵ △ABC是等边三角形．∵ △ADF是等腰三角形，∵ AD=AF=2．在Rt△BDE中，∠BDE=90∘−∠B=30∘，∴ BD=2BE=4．∴ AB=BD+AD=6．△ABC的周长=3AB=18．24.【答案】证明：∵ AB // DE，∵ ∠B=∠DEF．∵ BE=CF，∵ BE+EC=CF+EC，即BC=EF.在△ABC和△DEF中，{AB=DE,∠B=∠DEF, BC=EF,∵ △ABC≅△DEF(SAS)．【解答】证明：∵ AB // DE，∵ ∠B=∠DEF．∵ BE=CF，∵ BE+EC=CF+EC，即BC=EF.在△ABC和△DEF中，{AB=DE,∠B=∠DEF, BC=EF,∵ △ABC≅△DEF(SAS)．25.【答案】设∠C＝α，∵ AB＝CB，AC＝AD，∵ ∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，又∵ ∠BAD＝21∘，∵ ∠CAD＝α−21∘，∵ △ACD中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180∘，∵ α−21∘+α+α＝180∘，∵ α＝67∘，∵ ∠C＝67∘．【解答】设∠C＝α，∵ AB＝CB，AC＝AD，∵ ∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，又∵ ∠BAD＝21∘，∵ ∠CAD＝α−21∘，∵ △ACD中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180∘，∵ α−21∘+α+α＝180∘，∵ α＝67∘，∵ ∠C＝67∘．26.【答案】【解答】此题暂无解答。