天津大学15年春《运线性代数》在线作业二100分答案
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
西交《线性代数》在线作业(资料答案)
西交《线性代数》在线作业-0001试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 35 道试题,共 70 分)1.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )A.A^-1CB^-1B.CA^-1B^-1C.B^-1A^-1CD.CB^-1A^-1答案:A2.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)答案:A3.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的( )。
A.充分必要条件；B.必要而非充分条件；C.充分而非必要条件；D.既非充分也非必要条件答案:C4.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。
A.a1-a2,a2-a3,a3-a1B.a1,a2,a3+a1C.a1,a2,2a1-3a2D.a2,a3,2a2+a3答案:B5.设A为三阶方阵,且|A|=2,A*是其伴随矩阵,则|2A*|=是( ).A.31B.32C.33D.34答案:B6.设A,B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要条件是( ).A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA答案:D7.设A3*2,B2*3,C3*3,则下列( )运算有意义A.ACB.BCC.A+BD.AB-BC答案:B8.设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为-1,2,则|B|=A.-1B.-2C.1D.2答案:B9.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )A.a1-a2,a2-a3,a3-a1B.a1,a2,a3+a1C.a1,a2,2a1-3a2D.a2,a3,2a2+a3答案:B10.设A为三阶方阵,|A|=2,则 |2A-1| = ( )A.1B.2C.3D.4答案:D11.设某3阶行列式︱A︱的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1,则此行列式︱A︱的值为( ).A.3B.15C.-10D.8答案:C12.设a1,a2,a3,a4,a5是四维向量,则( )A.a1，a2，a3，a4，a5一定线性无关B.a1，a2，a3，a4，a5一定线性相关C.a5一定可以由a1，a2，a3，a4线性表示D.a1一定可以由a2，a3，a4，a5线性表出答案:B13.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若c1u1-c2u2是其导出组Ax=o的解, 则有( ).A.c1+c2=1B.c1= c2C.c1+ c2 = 0D.c1= 2c2答案:B14.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是( ).A.∣A∣>0B.存在n阶矩阵P，使得A=PTPC.负惯性指数为0D.各阶顺序主子式均为正数答案:D15.用一初等矩阵左乘一矩阵B,等于对B施行相应的( )变换A.行变换B.列变换C.既不是行变换也不是列变换答案:A16.若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则( )A.A与B相似B.A≠B，但|A-B|=0C.A=BD.A与B不一定相似，但|A|=|B|答案:A17.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1,2,3,它们的余子式分别为-1,1,2,D的值为( )A.-3B.-7C.3D.7答案:A18.设A为n阶方阵,r(A)<n,下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是( )A.Ax=0只有零解B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量D.Ax=0没有解答案:C19.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解,若c1u1+c2u2也是方程组Ax = b的解,则( ).A.c1+c2 =1B.c1= c2C.c1+ c2 = 0D.c1= 2c2答案:A20.设三阶矩阵A的特征值为1,1,2,则2A+E的特征值为( ).A.3，5B.1，2C.1，1，2D.3，3，5答案:D21.设A,B,C均为n阶非零方阵,下列选项正确的是( ).A.若AB=AC，则B=CB.(A-C)^2 = A^2-2AC+C^2C.ABC= BCAD.|ABC| = |A| |B| |C|答案:D22.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有( )A.k≤3B.k<3C.k=3D.k>3答案:A23.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)答案:A24.设 A、B、C为同阶方阵,若由AB = AC必能推出 B = C,则A应满足( ).A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠0答案:D25.设A,B均为n阶非零方阵,下列选项正确的是( ).A.(A+B)(A-B) = A^2-B^2B.(AB)^-1 = B^-1A^-1C.若AB= O, 则A=O或B=OD.|AB| = |A| |B|答案:D26.设A,B均为n阶方阵,则( )A.若|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)^-1=B^-1A^-1答案:A27.设A为m*n矩阵,则有( )。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
线性代数习题2015及参考答案
线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。
2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。
3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1Ac bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 .7.向量组（Ⅰ）α1 , α2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共6项。
11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。
13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整精编版
= 10 ⋅ (−1)
1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1
⋅1⋅ 2L 8 ⋅ 9 = 10!
11、
1 1 1 1 1 第2行 − 第1行 1 0 −2 0 0 第3行 − 第1行 = 1*(−2)3 = −8 −1 1 0 0 −2 0 第4行 − 第1行 1 −1 0 0 0 −2
12、该行列式中各行元素之和均为 10，所以吧第 2，3，4 列加到第 1 列，然后再把第 1 列 后三个元素化为零，再对第 1 列展开，即
1 0 0
18、 A = 1 2
0 = 1* 2*3 = 3!，
1 2 3
0 0 B =0
0 0 0
0 0
0 −1 −2 0 0 = (−1) 0 0 0 0
−3 0
5(5 −1) 2
(−1)(−2)(−3)(−4)(−5) = −5!
0 −4 0 −5 0 0
所以
* B
A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5! 0
1 a2 可以看出， M 42 = (ab + bc + ca)M 44 ，即 1 b 2 1 c2
1 0 2 a a 0 2 1 a 2 0 b 0 第1，列 4 0 0 b 2 第2， 3行 5 23、 − 3 c 4 5 对换 5 c 4 3 对换 0 d 0 0 0 0 0 0 d 0
a3 1 a a2 b3 = (ab + bc + ca) 1 b b 2 ，得证. c3 1 c c2
所以n2n原式由公式得22n为阶范德蒙行列式nn原式n又1an所以原式31系数行列式njiij100110114220对换114220对换11145130110101112042204211111110114行1201111001111010113行112114行4120对换101110111121412053421001415d410110113210对换014321对换10145145110110011032102143110104行11101114行所以32系数行列式01111011101101011110112行对换011101110100110101001111101111101101014111001110410030010第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行120110000101511121第1行第5行10074第1行第3行111010101000第1行第4行110第1行第2行01111112111410115110第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0111001101010100111按第1列展开17按第4列44展开14011510第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行1010100001110111100按第1列展开1113按第1列展开01111101111214111150第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0101000011110101111按第1列0110展开101按第1列展开01111011111241105第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行01010000110111111按第1列展开001101110115按第1列展开所以d4d4d4d4d433因为齐次线性方程组有非零解所以其系数行列式即2111aa1b第2行第1行第3行第1行第4行第1行110100所以34设直线方程由于直线过点所以2
19春天津大学《线性代数(专)》在线作业二100分答案
11.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
12.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
13.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:D
14.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
15.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:D
二、判断题(共5道试题,共25分)
5.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:A
6.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D标准选择是Biblioteka C7.题面见图片A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
8.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
9.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
10.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
1.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
2.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:A
3.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
4.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
5.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
《线性代数(专)》在线作业二-0001
线性代数 习题二答案
1. 241110331032350382A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，110020130350011361B C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2410204222323032011091A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.由32A X B -=可得()341231010283211153312111125211222234221171157115222X A B ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=---=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦.3. 由22422243a b a b c d c d +--⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭可得，24222423a b a b c d c d +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩ 解方程组可得0,2,1,2a b c d ====. 4.设()ijm nA a ⨯=，当kA O =时，由零矩阵定义，有0ij ka =,则0k =或0ij a =，即0k =或A O =.5．（1）()()()323122382031237243181141142184011437813203515112581051137402++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-+-+--+=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .（2）()()()1311113213804220142232701371021310-+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=+-+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （3）()()()()()13121110132101312111013210321023222120264203332313039630-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .（4）()()()()1132211322151⎡⎤⎢⎥=++-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. （5）()()()()210112113121121111120101321101-⎡⎤⎢⎥-=-+--+-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()325=--.（6）()()111211222211121122221212111a a b x x xy a a b y a x a y b a x a y b b x b y c y b b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()111211222212a x a y b x a x a y b y b x b y c =++++++++()2212111222222c b x b y a x a xy a y =+++++.6．21010101121A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3210101021131A A A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，我们猜测101nA n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，下面用归纳法证明：当1n =时成立；假设当1n -时成立，则()()110101010111111nn A A A n n n λλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此101n A n λ⎛⎫=⎪⎝⎭.7．（1）设cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭， 则2cos 2sin 2sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，3cos3sin3sin3cos3A θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，我们猜测cos sin sin cos nn n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，下面用归纳法证明：当1n =时成立；假设当1n -时成立，则()()()()1cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n A A A n n θθθθθθθθ----⎛⎫-⎛⎫==⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()cos 1cos sin 1sin cos 1sin sin 1cos sin 1cos cos 1sin sin 1sin cos 1cos n n n n n n n n θθθθθθθθθθθθθθθ-------⎛⎫=⎪-+---+-⎝⎭cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，因此cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭.（2）设142032043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则2100010001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以2100010001k A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，21142032043k A +⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 即()()()()()()122111012111022121n nn nnn n A ⎡⎤----⎢⎥⎢⎥=-+--+-⎢⎥----⎢⎥⎣⎦.（3）设1111111111111111A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦，则 241111111140001111111104004111111110040111111110004A E ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎢⎥------ ⎪⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥------ ⎪⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 所以244k k A E ==，2111111111411111111k k A +---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦. （4）1112233111121311112233112233212223313233()()()()T T T T T T T T n Tnn n T n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ----===++⎡⎤⎢⎥=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦8, （1）设矩阵11122122x x B x x ⎛⎫=⎪⎝⎭与矩阵A 可交换， 则112112222122x x x x AB x x ++⎛⎫=⎪⎝⎭，111112212122x x x BA x x x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，由AB BA =得210x =，1122x x =.（2）设矩阵111213212223313233x x x B x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵A 可交换， 则212223313233000x x x AB x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111221223132000x x BA x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 由AB BA =得2131320x x x ===，112233x x x ==，1223x x =9. 设矩阵111213212223313233x x x B x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵A 可交换，则111213212223313233ax ax ax AB bx bx bx cx cx cx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111213212223313233ax bx cx BA ax bx cx ax bx cx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 由AB BA =得2131321213230x x x x x x ======，即与A 可交换的矩阵必为对角距阵. 10. 因为A T=A , 所以(P TAP)T=P T(P TA)T=P T A TP =P TAP ，从而P TAP 是对称矩阵. 11. 证明充分性: 因为A T=A , B T=B , 且AB =BA , 所以 (AB)T=(BA)T=A T B T=AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T=AB , 所以AB =(AB)T=B T A T=BA.12.（1）因为AB BA =，所以()222222A B A AB BA B A AB B +=+++=++，得证.（2）因为AB BA =，所以右边2222A AB BA B A B =-+-=-=左边，得证. （3）因为AB BA =， 所以()()()()()()()()()()()()()1p p pAB AB AB AB AB AB AB A BA BA BA BA BA BA B -==()()()()()()()()()()1222p p A AB AB AB AB AB AB B A BA BA BA BA B --==()()()()()()()()()23223311p p p p p pA AB AB AB AB B A AB AB AB AB B A AB B A B ----===== ；如果AB BA ≠，则上述等式不成立. 13, 1001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭14, 充分性：因为2B E =， 所以()()()22111222442A B E B E B E B A =++=+=+=； 必要性：因为2A A =， 所以()()()22111222442A B E B E B B E =++=+=+， 整理得2B E =.15, 因为A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵， 所以TA A =-，TB B =， （1）()()()22TT T AA A A A A ==--=，即2A 是对称矩阵.（2）()()()()()TTTT T T TAB BA AB BA B A A B B A A B AB BA -=-=-=---=-，即AB BA -是对称矩阵.（3）充分性：因为AB BA =，所以()()TT TAB B A B A BA AB ==-=-=-，即A 是反对称矩阵；必要性：因为A 是反对称矩阵，所以()()TT TAB B A B A BA AB ==-=-=-，即AB BA =. 16,设111211112222121121111121n n n n n n n n n n nnn nnn a a a a a a a a A a a a a a a a a --------⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则2A 主对角线上的元素分别为22221112111n n a a a a -++++ ，22221222212n n a a a a -++++ ，…，2222121n n n n nn a a a a -++++ ，又因为2A O =，所以222211121110n n a a a a -++++= ，222212222120n n a a a a -++++= ，…，22221210n n n n nn a a a a -++++= ，解得11121222320n n nn a a a a a a a ========== ， 即A O =.17.设111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，则112111222212m m T nn mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 222111212222122222212n Tn m m mn a a a a a a AA a a a ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦因为TAA O =，则222111210n a a a +++= ，222212220n a a a +++= ，…，222120m m mn a a a +++= ， 所以1112121222120n n m m mn a a a a a a a a a ======+==+++= ，即A O =. 18，（1）2111111141132222232323872341A A --------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）321411141110325432548723872301A A A E ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭91128554024303221316141015046036-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19，因为()21fλλλ=-+，所以()21551222310014391331100100531371331200110612f A A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20，11A d =，12A c =-，21A b =-，22A a =，所以d b A c a *-⎛⎫= ⎪-⎝⎭.若0ad bc -≠，则0A ad bc =-≠，所以矩阵A 可逆，11d b ad bc ad bc A A ca A ad bcad bc -*⎛⎫-⎪--==⎪ ⎪-⎪--⎝⎭. 21，11A d =，12A c =-，21A b =-，22A a =， 所以d b A c a *-⎛⎫=⎪-⎝⎭.若0ad bc -≠，则0A ad bc =-≠，所以矩阵A 可逆，11d b ad bc ad bc A A ca A ad bcad bc -*⎛⎫-⎪--==⎪ ⎪-⎪--⎝⎭. 22.（1）200A =-≠，所以矩阵A 可逆，又112A =-，123A =-，216A =-，221A =，所以113261110103131202020A A A -*⎛⎫ ⎪--⎛⎫=== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭. （2）10A =≠，所以矩阵A 可逆，又11cos A θ=，12sin A θ=-，21sin A θ=，22cos A θ=，所以1cos sin 1sin cos A A A θθθθ-*⎛⎫== ⎪-⎝⎭. （3）10A =≠，所以矩阵A 可逆，又111A =，120A =，130A =，212A =-，221A =，230A =，317A =，322A =-，331A =，所以11271012001A A A -*-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭. （4）()()()()2123134141000100010001000112000100020011002213000100130201011214000102141001r r r A E r r r r r r ⎛⎫⎛⎫+-→ ⎪ ⎪- ⎪⎪=+-→ ⎪⎪- ⎪⎪+-→-⎝⎭⎝⎭ ()()32323424100010001000100020130201001302010020011000060312020214100100543021r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-→-- ⎪ ⎪↔ ⎪ ⎪---+-→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()343100010000130201010014010100543021r r r ⎛⎫⎪- ⎪+-→ ⎪--- ⎪--⎝⎭()()232434100010001110001000010000223010122313111001401010010052630024352615110001824124r r r r r r ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪-⎪⎪+→--- ⎪ ⎪→ ⎪----- ⎪+-→ ⎪⎪--⎝⎭⎪-- ⎪⎝⎭所以，距阵A 可逆，且1100011002211102631511824124A -⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. （5）因为0A =， 所以1A -不存在.（6）50A =≠，所以矩阵A 可逆，又113A =，122A =，131A =-，213A =-，223A =，231A =，311A =-，324A =-，332A =，所以13315551234555112555A A A-*⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （7）2312223341000100110000100010010100(,)001000100100100001001010001a a a a r ar a a a A E r ar a a r ar -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以，距阵A 可逆，且11110110010001a a A a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦22，（1）1100500510121012271003403453753712333023023X -⎛⎫⎪⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎪⎝⎭；（2）1100001100001001100a a a a Xb b b bc c c c -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭； （3）111111211000111112100001110120000011000210000100012X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11000211000110012100001000120000011000210000100012-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1110011100011000001100012--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（4）由XP PB =得：111001001002100002102110012111001010010021000021020021101411611X PBP --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦511111111111111151()()()()()()()()()X PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PB P P B P P B P P B P P BP PB P----------------====5B B =，故55100200611X XB X XBX ⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦23，100110111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故：11210010(2)(2)110120111112100100200110120120011112112A E A A E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦24，1311110,211A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 由1111*111,,3A A A A A A A ----====－，得*1113A A A A --==，*1**1211211()111,()1119154154A A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦25，1*11210121001210121,0012001200010001A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而*A 中的所有元素即为A 中所有元素的代数余子式，即A 所有元素的代数余子式为0. 26，由题意得：*1()*E A A kA AA kE A E kE -=-+=--=--，即 13k A =--=- 27，（1）.因为2AX B X =+， 所以()2A E X B -=，又因为()111013112111110112211A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则()13112135242110012201211103311X A E B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由题意得：11()()()()AXA BXB AXB BXA EA B X A B E X A B A B --+--=⇒--=⇒=-- 故：11111111125011011012001001001X ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3）由12*0,2n A A AA A ->==⇒=1*1002211002210022A A A A-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⇒=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦由111111133()31263()332231122ABA BA E ABA BA E A E BA E B A E A -------=+⇒-=⇒-=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒=-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦28，因为A ，B ，C 都是非奇异矩阵，所以1A -，1B -，1C -存在，又111111ABC C B A C B A ABC E ------==， 则由推论知ABC 可逆，且()1111ABC C B A ----=29，111111AB BA B ABBB BAB B A AB ------=⇔=⇔=，111111AB BA A ABA A BAA BA A B ------=⇔=⇔=， ()()111111AB BA AB BA B A A B ------=⇔=⇔=，综上可得11111111AB BA ABB A A B BA A B B A --------=⇔=⇔=⇔=.30，（1）不成立，A B =-时不成立.（2）成立，A ，B 可逆，0A ≠，0B ≠，0AB A B =≠，则AB 可逆. （3）成立，AB 可逆，0AB A B =≠，0A ≠，0B ≠，则A ，B 可逆. 31，()2200A A E A A E A E A E A -+=⇒-=⇒-=⇒≠， 即A 为非奇异矩阵. 32，因为B 可逆，所以0B ≠，20B B B =≠，又22A AB B O ++=，则22A AB B +=-，()()22210nA AB A A B A A B B B +=+=+=-=-≠，即0A ≠，0A B +≠， 由推论知A 和A B +都可逆. 33，证明：假设*A 可逆，则1*00n A AA -=≠⇒≠，即A 可逆，1A -存在，再由2211A A A A AA A E --=⇒=⇒=与题设A E ≠矛盾，故假设不成立即*A 不可逆，证毕。
天津大学2021年《线性代数》各章节练习题及答案解析
（1.1 矩阵及其运算）一、填空1． 若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=115201,101324,220131C B A ，则（1）23A B C -+= ；（2）T AB = .2. 若矩阵X 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--9423941146752780112356413X ，则X = 3. ()31,2,321⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ； ()211,23⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭二、设1213A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 1012B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，问： 1. AB BA =吗? 2.222()2A B A AB B +=++吗? 3. 22()()A B A B A B +-=-吗?三、计算下列乘积：1．13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭； 2．111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.四、设523)(2+-=x x x f ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=253142321A ，求)(A f .五、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ，求kA .（1.2 行列式及其计算）一、填空1． 201141183--=- ；222111ab c a b c = ； 2． 四阶行列式中含有因子2311a a 的项为 ；3．1110110110110111= ；1111111111111111x x x x ---+-=--+-- . 二、证明: 0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a . 三、计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）:1. a aD n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；2. 02008200800002008000002008=n D ；3． 12132132321152113311321------=n n n n nn n n n n D n；4． nnn nn n nn nn n D n 20200000200020002=； 5． nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a .（1.3 方阵的逆）一、填空题1．设A 为4阶矩阵，且21||=A ，则|*2)3(|1A A --= ． 2．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012003310002100A ，则1-A = ，1*)(-A = . 3．已知矩阵X 满足⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212001*********X ，则X = . 二、计算题1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120A ，求1-A ； 2．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3111211111A ，求1*)(-A . 三、设A 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ，且E BA ABA 311+=--，其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵B .四、证明题1．设方阵X 满足022=--E X X ，证明E X X 2,+都可逆，并求11)2(,--+E X X .2．若B A ,为同阶可逆矩阵，则**)*(A B AB =.（1.4 Gramer 法则）一、填空1． ,λμ= ，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？(1λ=或0μ=)2. 齐次线性方程组()()()123123123124023010x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解，则λ= .(0,2λ=或3λ=)二、利用克拉默法则解下列线性方程组：1．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=+++-=+++=+++247312224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2．121232343454556156056056051x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩解5600015600665015600015600015D ==,116000056001507015600015610015D ==,251000106001145005600015601015D ==-,35610015000703010600005600115D ==,45601015600395015000010600015D ==-, 55600115600212015600015000011D ==,1111115071145703395212,,,,665665665665665x x x x x ∴==-==-=第二章 矩阵的初等变换与线性方程组2.1-2.3 初等变换与初等矩阵、逆矩阵一、用初等变换将下列矩阵化为标准形:1．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---121423423； 2．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------03151113317120413171；3．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---13603116030242201211.解：利用矩阵的等价的阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵及标准型的非零行行数不变的性质，用初等变换将矩阵化为标准形时，只需化到阶梯形矩阵，求得非零行行数即可写出其标准型。
2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案
东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷参考答案）2014 --2015学年第二学期《 线性代数 》试卷开课单位： 计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场每题或每空3分,共36分）、设n 元线性方程组Ax b =，其中()(,)R A R A b n ==，则该方程组( B )A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．无解D ．不确定、设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ C ） ．可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵，B 是s m ⨯型矩阵，则TTA B 是（ B ）型矩阵 A ．m s ⨯ B ．n s ⨯ C ．m n ⨯ D ．s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2（E+B ）(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T（1，-1，-1，1），则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解，12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，，是A 的两个特征值，则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-，则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、 矩阵A 与B 相似， 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭，正定时，t 就满足的条件是 0t > 二、解答题（共37分）1、（10分）设A 为5阶方阵，且3A =，求1A -；A *解：30A =≠ ,A ∴可逆， (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、（8分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ，,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解：(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、（7分）设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解：构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以，.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、（6分）已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解：将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、（6分）判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解：3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即： ()3n R A == ，则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题（共27分）1、（12分）求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解：对曾广矩阵施行初等行变换，则有：3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见：()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解， (2)基础解系中有4-2=2个解， (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量，并令1,13212,,x c x c c c R ==∈，则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为：121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、（15分）设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=，求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型．解：二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式：).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时，解0)(=-x E A ，,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ ． (2)当21=λ时，解0)2(=-x E A ， ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ ． (2)当53=λ时，解0)5(=-x E A ， ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ ． (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=． (2)。
线性代数习题2015及参考答案
线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。
2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。
3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1A c bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 . 7.向量组（Ⅰ）α1 , α 2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共 6项。
11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ 2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。
13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。
线性代数课后作业答案(胡觉亮版)
第一章1．用消元法解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5432,9753,432321321321x x x x x x x x x解 由原方程组得同解方程组12323234,23,x x x x x ++=⎧⎨+=⎩得方程组的解为13232,2 3.x x x x =-⎧⎨=-+⎩令3x c =，得方程组的通解为c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--324423211123．解 1102232111232551232041050124442300000000r r ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-−−→--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，得 行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000510402321（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000045251021201 3．用初等行变换解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x解 2100313357214110109011320019r B ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-−−→-⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭， 得方程组的解为920,97,32321=-==x x x ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++-.2222,2562,134432143214321x x x x x x x x x x x x解 114311143121652032101222200001r B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得方程组无解．第二章1.（2）22x y x y ．解 原式()xy y x =-．（2）010000200010n n-L L LL L L L L L． 2.解 原式1100020(1)001n n n +=-=-!)1(1n n +-3.（2）1111 2222 3333 4444 ------．解原式11110444192 00660008==．（5）121111100100100naaaLLLM M M L ML，其中0,1,2,,ia i n≠=L．解原式1112121100010010010iini ir rai nnaaaa=-≤≤-==∑∑∏==-niniiiaa11)11(4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）1214 0121 1013 0131-．解原式02012010010121321213217 1013131311310131--==-=-==---．（3）12310001 0000 00000000 1000nnaaaaa-LLLM M M M MLL．解 原式122131100010000000(1)0000n nn n a a a a a a a +--=-+2311(1)1210000(1)(1)0n n n n a a a a a a ++--=--+23112n n a a a a a a -=-+2311(1)n n a a a a a -=-．7．设2142112531335111D =-，试求14243444A +A +A +A 和11121314M +M M M ++．解 14243444A +A +A +A 0=；111213141112131411111125+31335111M M M M A A A A --++=-+-=-1002346502134652422422842142626206206120---==-=-=-=--． 8．利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）12341234123412345,242,2352,32110.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解 经计算，得1234142,142,284,426,142D D D D D =-=-=-=-=，所以方程组的解为1,3,2,14321-====x x x x ．9．试问λ取何值时，齐次线性方程组123123123230,3470,20x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩有非零解．解 方程组有非零解，则0D =．又2133475(3)12D λλ-=-=-+-， 所以3-=λ．第三章2．设矩阵112123111,122211031A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（1）计算2A B +； （2）若X 满足32A X B +=，求X ．解 （1）3472100411A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭； （2）11023577695X B A -⎛⎫ ⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．3．设有3阶方阵111222333a c d A a c d a c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222333b c d B b c d b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且1A =，2=B ，求2A B +． 解 1111222233332332233233a b c d A B a b c d a b c d ++=++1111112222223333339(2)9(2)45a c d b c d a c d b c d A B a c d b c d --=+--=+=--． 4（5）1020020100100031003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．解 原式3E =．（6）()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解 原式222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++．5．已知矩阵103021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100021301B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．求： （1）AB 与BA ； （2）))((B A B A -+与22B A -.解 （1）1003343301AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1030433010BA ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭； （2）906()()600609A B A B -⎛⎫ ⎪+-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，22006300600A B ⎛⎫⎪-=- ⎪⎪-⎝⎭．8．已知矩阵()123α=，11123β⎛⎫= ⎪⎝⎭，令βαTA =，求n A ，其中n 为正整数． 解 111()()()3()nTT n T n T n T A αβαββααβαβ---=== 111123232133312n -⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-------11112113233323323233n n n n n n n n n ．9．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵． 证 因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．10.（2）100210331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 10A =≠，又*100210331A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以1*1A A A -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--133012001． 14．设n 阶方阵A 满足23A A O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证 由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=， 所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．16．已知A 为三阶方阵，且2A =-，求：（3）*112A A --． （3）*1111115222A A A A A A -----=-=-，有 原式13551()22A A-=-=-=16125． 20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）130120005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．解 将矩阵进行如下分块：1213012005A O A O A ⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭， 则11112AO A OA ---⎛⎫=⎪⎝⎭．又()1111122313155,51211555A A ----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以 1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-51000515105352．21．设矩阵1100010000120021A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算4A ．解 将矩阵进行如下分块：1211000100(,)00120021A diag A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则44412(,)A diag A A =．又4412144140,014041A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以414000100004140004041A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 22．设矩阵2501300002100122A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算2012A ．解 将矩阵进行如下分块：1225001300(,)002100122A diag A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则121(8)8A A A =⋅=⨯-=-，所以2012201220128AA==．24.（2）122212221⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 ()122100999122100212212010010999221001221001999r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪⎪⎪=-−−→-⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭，所以A 可逆，且1122999212999221999A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭． 25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）12313032410272101078X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解 ()12313010064532410270102122101078001333r E X --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以645212333X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 26.（2）213244251721182--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 21324213244251700151()22118200000r A R A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 29．设A 是43⨯矩阵，且A 的秩为2，而101111123B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭，求()R AB ．解 20B =≠，则()()2R AB R A ==．33．试问λ取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．（1）123123123(1)1,(1),(1) 1.x x x x x x x x x λλλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=--⎩解 方程组的系数行列式2111111(3)111A λλλλλ+=+=++．当0A ≠，即0≠λ且3-≠λ时，方程组有唯一解．当0=λ时，()111111111110000111110000r B A β⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 因为()1()2R A R B =≠=，所以方程组无解．当3-=λ时，()211111221213033511220000r B A β--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 因为()()23R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．第四章2．求解下列向量方程：（1）βα=+X 3，其中TT(1,0,1),(1,1,1)αβ==-．解 11()(0,1,2)33T X βα=-=-． 4.（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=42112α ，32310α⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 解 ()123112112013013,,121001240000r ααα--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 因为()123,,3R ααα=，所以该向量组线性无关．（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100,0121,3021,03214321αααα．解 12341110111022200301(,,,)3011001003010000r αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为1234(,,,)34R αααα=<，所以该向量组线性相关． 7．若向量组321,,βββ由向量组321,,ααα线性表示为112321233123,,.βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩ 试将向量组321,,ααα由向量组321,,βββ表示．解 由112321233123,,βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩解得11222331311,2211,2211.22αββαββαββ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩11．求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示．（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131,020,011321ααα．解 123101100(,,)123010001001r ααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3),,(321=αααR ，本身为一个极大无关组；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2202,7431,6514,31214321αααα．解 12341121014129921305401(,,,)99154200036720000r αααα⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎪⎪--⎪⎪-=−−→ ⎪⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以2),,,(4321=ααααR ，21,αα为一个极大无关组，且21395911ααα+-=，2149492ααα--=． （3）123410321301,,,,217542146αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭51120α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 解 123451321103011301101101(,,,,)217520001142146000000r ααααα-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3),,,,(54321=αααααR ，421,,ααα为一个极大无关组，且2133ααα+=，4215αααα+--=．14．设A 为n m ⨯矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ．证 必要性显然，下证充分性：()0R A A O =⇒=．设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=⇒=．由α的任意性知O A =．19. （2）123412341240,20,30.x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪++=⎩解 由11002111131121011231010000r A ⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，得132341,23.2x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩令3420,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得方程组的一个基础解系1(1,3,2,0)T ξ=-，T)1,0,1,0(2-=ξ，通解为2211ξξc c X +=，其中21,c c 为任意常数．20.（2）12345123452345123451,3235, 2262,54337.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩解 方程组的增广矩阵()111111321135012262543317B A β-⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪⎪--⎝⎭10115301226200000000r ----⎛⎫ ⎪ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭， 因为()()25R A R B ==<，所以方程组有无穷多解，且1345234553,226 2.x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ 令314253,,x c x c x c ===，得通解为123(3,2,0,0,0)(1,2,1,0,0)(1,2,0,1,0)(5,6,0,0,1)T T T T X c c c =-+-+-+-其中123,,c c c 为任意常数．第五章1. (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----020212022． 解 A 的特征多项式220212(2)(1)(4)02A E λλλλλλλ---=---=-+----， 所以A 的特征值为21-=λ，12=λ，43=λ．当21-=λ时，解特征方程组(2)0A E X +=．由11042022320110220002r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪+=−------−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得13231,2.x x x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩令32x =，得属于特征值21-=λ的线性无关的特征向量为1(1,2,2)T ξ=，全部特征向量为111,0k k ξ≠．当12=λ时，解特征方程组()0A E X -=．由1011201202012021000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎝⎭-⎪⎝⎭， 得1323,1.2x x x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩令32x =，得属于特征值12=λ的线性无关的特征向量为2(2,1,2)T ξ=--，全部特征向量为222,0k k ξ≠．当43=λ时，解特征方程组(4)0A E X -=．由2201022320120240400r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------⎭--⎝，得13232,2.x x x x =⎧⎨=-⎩令31x =，得属于特征值43=λ的线性无关的特征向量为3(2,2,1)Tξ=-，全部特征向量为333,0k k ξ≠．（6）----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪100111302．解 A 的特征多项式21001()(111232)A E λλλλλλ-------=+--=，所以A 的特征值为2,132,1=-=λλ．当12,1-=λ时，解特征方程组()0A E X +=．由101000000101303000r A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭--⎪，得13.x x =令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值12,1-=λ的线性无关的特征向量为12(0,1,0),(1,0,1)T T ξξ==，全部特征向量为112212,,k k k k ξξ+不全为0．当23=λ时，解特征方程组(2)0A E X -=．由10030011310133000002r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----， 得1230,1.3x x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩令33x =，得属于特征值23=λ的线性无关的特征向量为3(0,1,3)T ξ=-，全部特征向量为333,0k k ξ≠．5．已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,1，求A A A 7523+-及A 的伴随矩阵*A 的特征值．解 令325()7x x x x ϕ-+=，则A A A 7523+-的特征值为(1)3,(2)2,(3)3ϕϕϕ===．又1236A =⨯⨯=，则*A 特征值为6666,3,2123===． 9．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=20002000λB ，且A 与B 相似，求常数λ． 解 显然B 的特征值为,2,2λ．A 与B 相似，则A 的特征值为,2,2λ．由14522λ++=++，解得6=λ．10．已知矩阵A x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪20000101与矩阵B y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪20000001相似，求常数x 与y ．解 A 与B 相似，则202(1)1x y x y ++=++-⇒=-． （1） 又2A =-，由A B =，得22(1)1y y -=⋅⋅-⇒=，代入（1）式，得0x =． 所以1,0==y x ．11．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=12012001a A ．问a 为何值时，矩阵A 可相似对角化．解 显然A 的特征值为1,231,1λλ==-．对1,21λ=，A 可相似对角化()321R A E ⇔-=-=．由2002001000000200r a A E a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ -⎭⎝-⎭-⎪⎝，得0=a ．13.（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1324121019106127．解 A 的特征多项式132(1)7126112610191001910122413143(1)21c c A E λλλλλλλλλλ-----===----------+--，则A 的特征值为1,231,1λλ==-．当1,21λ=时，解方程组()0A E X -=．由6126102010122412121000000r A E -⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎝-⎭⎭-⎪，得()1R A E -=，所以A 与对角矩阵相似，且1232x x x =-．令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(1,0,1)T Tp p ==-．当31λ=-时，解方程组()0A E X +=．由812610181012241411025016000r A E ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪+=−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎭---⎪ ⎪⎝，得13231,25.6x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令36x =，得属于特征值31λ=-的线性无关的特征向量为3(3,5,6)T p =． 令123213105016(,,)P p p p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=，则1P AP -=Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010001．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----163053064．解 A 的特征多项式24603503(1)(2)61A E λλλλλλ--------==--+，则A 的特征值为1,231,2λλ==-．当1,21λ=时，解方程组()0A E X -=．由360360312000000600r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎭-⎪⎝⎝⎭，得()1R A E -=，所以A 与对角矩阵相似，且122x x =-．令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(0,0,1)T Tp p =-=．当32λ=-时，解方程组(2)0A E X +=．由6603310301201000631r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=−−→- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎭-⎪⎝⎝⎭，得1323,.x x x x =-⎧⎨=⎩令31x =，得属于特征值31λ=-的线性无关的特征向量为3(1,1,1)Tp =-．令12320110101,1(,)P p p p --⎛⎫ =⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1P AP -=Λ15．设3阶方阵A 有特征值9,1,0321=-==λλλ，对应特征向量依次为T T T )2,1,1(,)0,1,1(,)1,1,1(321=-=--=ξξξ，求A ．解 A 有3个不同的特征值，则A 能相似对角化．令123111()111102,,P ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则1019P AP -⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭，有1A P P -=Λ．又122213306112P ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321A21．试求一个正交矩阵Q ，使AQ Q 1-为对角阵：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ． 解 A 的特征多项式(2)(1)(4)A E λλλλ-=-+--，则A 的特征值为1232,1,4λλλ=-==．属于特征值12λ=-的线性无关的特征向量为1(1,2,2)Tα=；单位化，得1122(,,)333T β=．属于特征值21λ=的线性无关的特征向量为2(2,1,2)Tα=-；单位化，得2212(,,)333T β=-．属于特征值34λ=的线性无关的特征向量为3(2,2,1)Tα=-；单位化，得3221(,,)333T β=-．令正交矩阵1231221(,,)2123221Q βββ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-4000100021AQ Q AQ Q T ．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ．解 A 的特征多项式2(1)(10)A E λλλ-=--，则A 的特征值为1,231,10λλ==．属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(2,0,1)T Tαα=-=；正交化，得121(2,1,0),(2,4,5)5TT ββ=-=；单位化，得12(,T Tγγ==． 属于特征值310λ=的线性无关的特征向量为3(1,2,2)Tα=--；单位化，得3122(,,)333T γ=--．令正交矩阵123132(,,)3203Q γγγ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-10000100011AQ Q AQ Q T22．设3阶实对称矩阵A 的特征值为6、3、3，与特征值6对应的特征向量为T)1,1,1(1=ξ，求与特征值3对应的特征向量．解 设123(,,)TX x x x =为属于特征值3的特向量，有1[,]0X ξ=，即0321=++x x x ，其基础解系为T)0,1,1(2-=ξ T )1,0,1(3-=ξ．所以属于特征值3的特征向量为3322ξξk k +，2k 、3k 不全为0．第五章（B ）二、计算题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵，求220042A B -． 解 24100010,001A A E -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭．又P A P B 200412004-=14501()P A P -=E EP P ==-1,所以20042230022030001BA E A ⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪-⎝⎭． 3. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A ．（1）求A 的特征值；（2）利用(1)中结果求1-+A E 的特征值，其中E 为三阶单位矩阵． 解 （1）A 的特征多项式2(1)(5)A E λλλ-=--+，得A 的特征值为1,231,5λλ==-．（2）令1()1g x x=+，得1-+A E 的特征值为 1,234(1)2,(5)5g g μμ===-=． 第六章1．写出下列二次型的矩阵．（1）222123123121323(,,)22454f x x x x x x x x x x x x =++++-．解 51222225222A ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭．2．已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩为2，求a ．解 二次型的矩阵51315315302133003r A a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．由()2R A =，得30a -=，所以3a =．。
线性代数课后习题答案(共10篇)(共6页)
线性代数课后习题答案(共10篇)[模版仅供参考，切勿通篇使用]感恩作文线性代数课后习题答案（一）:高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数课后习题答案（二）: 谁知道《线性代数与解析几何教程》(上册)的课后习题答案在哪下?但一定要真实,这本书是大一要学的,樊恽,刘宏伟编科学出版社出版.急不知道线性代数课后习题答案（三）:线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑, R(A) = R(aaT) 线性代数课后习题答案（四）:求线性代数（第三版）,高等教育出版社的习题参考答案华中科技大学数学系的线性代数课后习题答案书店都有卖的,尤其是华科附近的小书店,盗版一大堆~ 线性代数课后习题答案（五）:线性代数：假如一道题目要求某矩阵,如果我求出的矩阵与答案所给的矩阵是等价的,能算是正确答案么?如果只是某两行或某两列位置调换了一下，也不能算是正确答案吗？线性代数课后习题答案应该不正确吧.以我理解矩阵的等价是说 QAP=B A等价到B 是通过了一系列的初等变化,那你求出的矩阵只有一个,要想变成其他还要再变换,就不是原题目的条件了还是不正确啊.行调换或列调换等于在原矩阵左边或右边乘上个初等矩阵线性代数课后习题答案（六）:线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值;求出来对角阵只有一个非零特征值,为什么0就是A的N-1重特征值了?再问一下当0是特征值时对应的特征向量有什么特点么?所求得的对角阵与A 相似,所以A 与对角阵有相同的特征值,看对角阵,有一个非零特征值和0(N –1)重.所以A 也是这样应该懂了吧线性代数课后习题答案（七）:线性代数问题.设A=E-a^Ta,a=[a1,a2,……,an],aa^T=1,则A不能满足的结论是（）.^T=A ^T=A^-1 ^T=E ^2=A只会证A对,不要用排除法.A²=E由A,知A^T=AAA^T=A²=(E-a^Ta)(E-a^Ta)=E-a^Ta-a^Ta+a^Taa^Ta=E-2a^Ta+a^T(aa^T)a=E-2a^Ta+a^Ta==E-a^Ta=A所以C错. 线性代数课后习题答案（八）:线性代数,对称矩阵的证明题如果n阶实对称矩阵A满足A^3=En,证明：A一定是单位矩阵答案是这样的,有点不懂的地方：因为A^3=En所以A的特征值一定是x^3=1的实根（1.是不是因为对应的多项式为f（x）=x^3-1,所以,f(λ)=λ^3-1=0?）所以λ1=λ2=λ3=1A相似于单位矩阵必有A=En（2.我觉得因为A是对称矩阵所以必有正交阵P,使得P^-1*A*P=P"*A*P=∧,∧的对角元为1,1,1,所以相似于E,可是方阵是n阶,λ只是一个特征值,那么就能相似于En吗?相似的对角阵不是应该也是n阶吗,应该有n个特征值啊!）第一问：因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵PP"AP=∧∧是A的特征值构成的对角阵A=P∧P"A^3=P∧^3P"=E所以∧^3=E所以λ1^3.λn^3都等于1所以λ1=λ2=..=λn=1第二问：因为有n个特征值,且实对称阵必能相似于对角阵(书上的定理)所以A相似于这n个特征值构成的对角阵P"*A*P=E所以 A=PEP"=PP"=E刚才看错题目了,如果还有什么不明白可以发信给我,给你详细讲解线性代数课后习题答案（九）:线性代数线性方程组问题公共解和同解方程组大题,遇到过不少次了答案的作法让人晕作法1：分别求出基础解析方程组1的 k1（）+k2（）方程组2的：k3（）+k4（）然后对比,综合得出一个k（）方法2：先求出方程组1的解,然后代入方程组2..方法3：做一个联合的系数矩阵,很大的,然后说求出来的解就是它们的. 我的问题在于：上面的方法我自己能想到1 2,但是不清楚所谓的公共解和同解的区别在哪里?另外,为什么很错题,这几个方法不论求公共解还是同解都能通用?什么时候用哪个方法啊?两个方程组的公共解,可用方法3.若是两个方程组同解,方法3就不灵了公共解是两个方程组解的交集,包含在两个方程组的解集中同解方程组,两个方程组的解集一样,即基础解系等价(可互相线性表示)这类题目一般综合性强,需根据具体情况来分析使用哪个方法比如:一个方程组可得出明显的基础解系,那么代入另一方程组就方便一些.你可以看看此类的题目,先自己做做看,用什么方法,再与解答比较,最后总结一下,大有好处若有看不透的题目,就拿来问一下,我帮你分析线性代数课后习题答案（十）:一道线性代数的题目题目是判断正误若α1,α2,……αs线性相关,则其中每一个向量都是其余向量的线性组合.我知道答案是错误但是请问反例怎么举拿0和一个非零的放到一起,线性相关,0可以写成非零的那个的线性组合,非零的那个不能写成0的线性组合。
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线性代数习题参考答案
线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。
4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1） 二阶行列式2a abbb=___________。
（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。
【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。
A -3；B -2；C 2；D 3。
（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。
A -1，； B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。
A -70；B -63；C 70；D 82。
（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。
（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。
A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-∙。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。
（精选）线性代数课后作业及参考答案
（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
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天津大学15年春《运线性代数》在线作业二100分答案
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A. A
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