高等数学 不定积分及换元法
高等数学之不定积分
tan x sec x tan2 x sec xdx tan x sec x (sec2 x 1) sec xdx tan x sec x sec3xdx sec xdx
I tan x sec x I ln sec x tan x
I
sec3
xdx
1 2
tan x sec x ln sec x tan x
x 1
ex
C；②解原式
2
x
2
x
1
x
4dx
2
x
1
4d
x arctan x C 2
③解原式 sin 2 xd (cos x) (1 cos2 x)d (cos x) 1 cos3 x cos x C
3
（二）第二类换元积分法（有根号，平方和差）
x (t)可导且(t) 0
（1）定理2 f (x)dx f (t)(t)dt g(t)dt G(t) C G 1(x) C
a 1
(6) cos xdx sin x C
(9) sec x tan xdx sec x C (10) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
3：不定积分的性质
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(7) sec2 xdx tan x C
cos t sin 2 cos
t
dt
1 sin 2
t
dt
csc2
tdt
cot
t
C
按x sin t作辅助三角形（如右图）则原式 x C 1 x2
t
1 x2
1
x
三：分部积分法
不定积分求解方法换元法
不定积分求解方法换元法一、基本思想换元法的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数中的一部分可以化简为对新变量的导数形式。
这样可以将原函数转化为一个更简单的函数，然后再进行积分。
二、具体步骤1.选择合适的变量代换。
在进行变量代换时，可以根据问题的特点和被积函数的形式灵活选择。
常用的变量代换有：（1）令u=f(x)代替被积函数中的一部分。
（2）令u=g(x)代替被积函数的整体。
（3）令x=h(u)代替被积函数中的一部分。
2.求解变量代换的导数和逆变换。
求解变量代换的导数是为了将原函数的微元dx转化为新的变量的微元du。
而逆变换是为了将积分结果转化为原函数形式。
3.将被积函数转化为新变量的导数形式。
将原函数中的dx全部用du表示，然后将被积函数进行替换，得到新变量的导数形式。
4.进行积分。
将被积函数转化为新变量的导数形式之后，进行积分即可。
此时的积分可能会更加简单，容易求解。
5.最后进行逆变换。
将得到的积分结果重新转化为原函数形式，即完成了不定积分的求解。
三、实例应用下面通过几个实例来具体说明换元法的应用。
例1. 计算不定积分∫(x^2+1)√x dx。
解：首先令u = x^(3/2)，则du = (3/2)x^(1/2)dx。
将被积函数进行替换，得到∫(u-1)du。
再进行积分，得到u^2/2-u+C。
最后进行逆变换，得到(x^(3/2))^2/2-x^(3/2)+C=x^3/4/2-x^3/2+C。
例2. 计算不定积分∫(e^x/(1+e^x))dx。
解：将分母1+e^x视为u，即u=1+e^x，则du = e^xdx。
将被积函数进行替换，得到∫du/u。
再进行积分，得到ln，u， + C。
最后进行逆变换，得到ln，1+e^x， + C。
例3. 计算不定积分∫(sinx)/(1+cos^2x)dx。
解：将分母1+cos^2x视为u，即u=1+cos^2x，则du = -2cosxsinxdx。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法基本的三种不定积分方法是：代入法、分部积分法和换元法。
这些方法都用于求解函数的不定积分，即求函数的原函数。
1.代入法：代入法是基本的一种不定积分方法。
它通过选取适当的变量代换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
首先，通过观察被积函数的形式，选取一个变量代换来简化函数。
例如，如果被积函数中有一个较为复杂的根式，我们可以选取一个新的变量，使得根式可以被表示为新变量的幂函数。
然后对新变量进行求导和求逆，并用新变量替代原变量进行积分。
举个例子，如果我们计算不定积分∫(x/(1+x²)) dx，我们可以选取u=1+x²，使得被积函数可以表示为 du/dx。
然后我们对等式两边同时求导，得到 du=2xdx，进而得到∫(x/(1+x²)) dx = ∫(1/u) du。
通过代入法，我们将原来的被积函数转化为了一个更简单的函数进行积分。
2.分部积分法：分部积分法是另一种常用的求不定积分的方法。
它是导数乘积的逆运算，通过将一个积分分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数的导数形式可以被简化。
分部积分法的公式为∫(u dv) = uv - ∫(v du)。
其中 u 和 v 分别为两个待定函数，du 和 dv 分别为其导数。
具体应用分部积分法时，我们首先选择一个函数 u 作为被积函数的导数，然后选取另一个函数 dv，使得 dv 尽可能简单。
然后我们计算出u 的导数 du 和 v 的不定积分。
例如，对于不定积分∫(x sinx) dx，我们可以选取 u=x，dv=sinx。
然后计算出 du=dx 和v=∫sinx dx=-cosx。
最后根据分部积分法公式，我们得到∫(x sinx) dx = -xcosx + ∫cosx dx = -xcosx + sinx + C。
通过分部积分法，我们将原来的被积函数分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数可以更容易地被积分。
3.换元法：换元法是一种常用的不定积分方法。
不定积分换元法公式
不定积分换元法公式设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0，又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))。
定理（1）设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))；定理（2）设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0.又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))。
注意：第二类与第一类换元积分法相反，第二类换元积分法就是由于积分∫f(x)dx不便计算，而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。
关键是：如何选择变量替换。
把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类：第一类换元法：设f(u)具有原函数F(U)，即。
F'(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。
如果u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么，根据复合函数微分法有：dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。
从而根据不定积分的定义就得：∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。
于是有下述定理：定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。
将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，实际上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求。
而∫f(u)du好求，所以先求出后一个不定积分；最后再将变量u换成x。
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
高数不定积分第二类换元法
高数不定积分第二类换元法
什么叫换元法？换元法是数学中的一种方法，它可以用来解决高数不定积分的
第二类问题。
它是在给定积分内把被积函数按一定的原则引进另一种新函数，然后用新函数代替原函数，再利用原来的计算方法来简化一些复杂的积分。
要想正确地应用换元法，首先要明确看待当前所给积分是一个什么样的函数，它有什么特点。
然后，要做出恰当的换元，把它们换为某种易于计算的函数，在换元后，原函数的积分会变得简单明了很多。
换元法有两个关键点：一个是换出的新函数，一个是详细的运算 8 步骤。
换
出的新函数通常是由数学公式表示的，运算步骤，需要根据给定的积分内容，按照不定积分的基本算法，将原函数换成易于计算的函数，用新函数进行积分运算。
这是完成整个换元步骤的核心。
然而，换元法这类计算方法，借鉴历史上数学大师为我们积累下来的计算技巧
和公式，需要使用者有一定的数学水平才能在相应的积分处进行正确的换元操作，详细熟悉一些常用的函数及其特征，然后根据特征进行换元的同时，考虑成熟的技巧操作，从而节省大量的时间，进而更多的精力可以被集中到积分的计算上来。
换元法是高数不定积分问题中一种传统的解决方法，它是一种借助上述解析性
技巧，将复杂的积分运算转化为计算机更容易理解的模型。
它不但可以精确计算出积分的结果，而且运算步骤设计精巧，使用户可以得到更快速的计算结果，比传统的运算方法高效可靠。
医学高等数学课件 第3-1不定积分的第二类换元、分部积分法
一、第二类换元积分法 二、分部积分法
一、第二类换元积分法
第一类换元法解决的问题
f [(x)](x)dx f (u)d u u (x)
难求
易求
若若所所求求积积分分 ff(u(x)d)dux难难求求，，作变量替换 x (t)
代入原式中有f [(x)](x)dx 易求,
∴ 原式= sin x d e x
ex sin x ex cos x dx
再令 u cos x , v ex , 则
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
x
x
1 x
dx
x ln x x C
例6.求
解: 令 u arcsin x , dv dx , 则
原式 = x arcsin x
x dx
1 x2
x arcsin x
1 2
1 d(1x2 ) 1 x2
x arcsin x 1 x2 C
2、当被积函数由三个及以上函数的乘积组成时， 则首先要通过适当的恒等变换，将其化成两个函 数乘积的形式，再用分部积分公式求解
a2
1
cos 2
2t
d
t
a2
t sin 2t C
24
sin 2t 2sin t cost 2 x a2 x2 aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
公式1： a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C (a 0)
不定积分的计算方法
不定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来求函数的原函数。
在求不定积分时，我们主要使用的是一些基本的计算方法，如换元法、分部积分法和常数因子法等。
接下来，我们将逐一介绍这些方法。
首先是换元法。
它是利用导数和基本积分公式的逆运算，将积分转化为“求导”的逆运算。
具体步骤为：先选择一个合适的变量代换，使被积函数简化或形式明显，然后求出变量代换的导数，带入积分式中进行计算，最后用原变量表示出结果。
其次是分部积分法。
该方法适用于一些具有乘积形式的被积函数。
分部积分法的基本思想是将被积函数中的乘积分解成两个函数的乘积，然后通过部分积分公式将积分转化成一个普通的不定积分。
具体步骤为：选择一个作为“u”的函数，找到它的导函数“du”，同时选择另一个作为“dv”的函数，“v”为“dv”的不定积分。
然后，利用分部积分公式进行计算，得出最终结果。
分部积分法常被用于求含有幂函数、指数函数、三角函数和对数函数等的不定积分。
最后是常数因子法。
该方法适用于一些被积函数中存在常数因子的情况。
常数因子法的基本思想是将常数提取到积分外面，然后对去除了常数因子的函数进行不定积分。
具体步骤为：先提取出常数因子，“a”，然后将被积函数中除去常数因子的部分进行不定积分，最后将结果与常数因子相乘得到最终的结果。
除了上述方法，我们还可以利用一些基本的不定积分公式进行计算，如幂函数的不定积分公式、指数函数的不定积分公式、三角函数的不定积分公式等。
掌握这些公式，能够大大简化我们的计算过程。
在进行不定积分计算时，我们还需要注意一些特殊的情况。
例如，被积函数出现无界函数时，我们需要分段计算不定积分；当被积函数存在一些不连续点时，我们需要将积分区间分为多个相互不重叠的区间，并对每个区间进行计算；对于有理函数的不定积分，我们还需要进行分式分解，化简后再进行计算。
综上所述，求解不定积分的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，往往需要运用多种方法相结合，以便更好地完成计算工作。
不定积分的换元法
不定积分的换元法不定积分是微积分的重要内容，其中换元法是计算不定积分的一种常用方法。
换元法是指将被积函数中的变量通过代换，转化为新的自变量的函数形式进行积分求解。
一、基本概念在介绍换元法之前，首先需要了解一些基本概念。
1. 不定积分：指对一个函数进行求导的逆运算，即对于函数f(x)，若F(x)是其导数，则F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记为∫f(x)dx。
不定积分中的积分符号∫表示对变量的积分，dx表示被积函数中的自变量。
2. 原函数：指函数f(x)的一个不定积分F(x)，即F(x)是f(x)的原函数。
3. 积分变量：指被积函数中的自变量。
4. 积分限：指积分区间的起点和终点。
5. 积分常数：表示积分时所得到的结果中的常数项，因为不定积分中存在无限个解，所以需要添加积分常数来求得特定的解。
二、换元法的原理假设对于被积函数f(x)，想要将其变为一个与变量t有关的函数g(t)，即f(x) = g(t)，则可通过以下步骤进行换元：1. 选取一个可导函数u(x)，并令t = u(x)，则有t' = u'(x)。
2. 则原式∫f(x)dx = ∫g(t)dt。
3. 将自变量x换成新的自变量t，被积函数中的自变量x的所有出现均用对应的t代替。
4. 将x关于t求导，将t'代入被积函数中dt中，并将dx用du 表示。
5. 对新的函数∫g(t)dt进行求解。
6. 最后将所得解中的t用x表示，并加上积分常数C。
三、实例分析以求解∫2x/(1+x^2)dx为例，借助于换元法进行求解。
1. 令t = 1 + x^2，则有dt/dx = 2x，可以得出dx = dt/2x。
2. 将原式转化为∫2x/(1+x^2)dx = 2∫(1+x^2)/(1+x^2) * 1/(1+x^2) dt = 2∫(1/(t/2))dt。
3. 对新的函数2∫(1/(t/2))dt进行求解，解得结果为2ln|t| + C，其中|t|表示t的绝对值。
第2讲不定积分的换元积分法
∫
arctan x d x = ∫ 2v d v x (1 + x)
= v2 + C
换元法可以连续使用
= (arctan u ) 2 + C = (arctan x ) 2 + C .
二、 不定积分的第二换元法
第一换元法中
∫
f (ϕ ( x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u 是被积表达式
ϕ ( J ) ⊂ I , 则在区间 J 上有
∫ f (ϕ ( x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u
= F (u ) + C = F (ϕ ( x)) + C.
证明过程 请看书!
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
例1 解
求 ∫ sin 3 x cos x d x .
2
π
π
∫
dx a sec 2 t d t =∫ 2 2 a sec t x +a
= ∫ sec t d t
x2 + a2
t
x a
= ln | sec t + tan t | +C1
= ln | x + x 2 + a 2 | + C .
( C = C1 − ln a )
一般说来，含有
a 2 − x 2、 x 2 ± a 2 的表达式的积分，
=∫
(tan x + sec x)′ dx tan x + sec x
= ln | tan x + sec x | +C .
此题若按下面方式做，则有 cos x d x cos x d x du ∫ sec x d x = ∫ cos 2 x = ∫ 1 − sin 2 x = ∫ 1 − u 2 1 u +1 1 sin x + 1 = L = ln + C = ln +C 2 u −1 2 sin x − 1
不定积分的换元积分法PPT课件
例 2.求 3x 1dx
解：
3x
1dx
1 3
3x
1d(3x
1)
令u
3x
1
1 3
udu
1 3
2 3
u
3 2
C
回代3x
1
u
2 9
(3x
3
1) 2
C
2 9
(3x
1)
3x 1 C.
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例 3.求下列不定积分
（1）
e2x2ln xdx
e2x2 xdx 1
4
e2x2d(2x2 ) 1 e2x2 C. 4
其中s 是m和n的最小公倍数.
(2) 对 R(x, n ax b )dx, (ad bc 0)可作代换 cx d t n ax b . cx d
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例 11.求 1 dx
1 ex
解：令 1 ex t ，ex t 2 1，
x ln(t 2 1) ，dx 2t dt ，则 t2 1
积分
F(u) C 回代: (x) u
F[(x)] C
第一换元法或称为凑微分法，是与复合函数的 微分法则相对应的积分方法。
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（二）常用凑微分式子
1、求不定积分时常用的微分性质
(x)dx d[(x)] 1 d[a(x) b] ， a
其中 a, b 都是常数，且a 0 。
2、常用凑微分式子
x C.
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例 6．求下列不定积分
（1）
a2
1
x2
dx
1 dx a2[1 ( x )2 ]
1 arctan x C.
a
1 a
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
不定积分的基本积分法与换元法
不定积分的基本积分法与换元法一、不定积分的基本积分法与换元法在微积分学中，积分是求导的逆运算，它具有重要的应用价值。
而不定积分则是对函数进行积分，结果得到的是一个函数族。
不定积分的基本积分法与换元法是常用的解决积分问题的方法。
本文将介绍这两种方法的基本原理和具体应用。
二、基本积分法基本积分法是指一些简单函数的积分表达式，如常函数、幂函数、指数函数、三角函数等，这些函数具有固定的积分形式。
下面我们逐一介绍一些常见函数的不定积分：1. 常数函数的积分常数函数的积分就是关于自变量的函数值乘以自变量的变化量。
例如，对于常数函数$f(x)=C$来说，它的不定积分就是$F(x)=Cx$。
2. 幂函数的积分幂函数的积分形式可以表示为$\int x^n dx$，其中$n$为实数。
具体的积分结果要根据指数$n$的不同情况来确定。
例如：当$n \neq -1$时，$\int x^n dx= \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}}+C$；当$n = -1$时，$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x|+C$。
3. 指数函数的积分指数函数$e^x$的积分形式为$\int e^x dx=e^x+C$。
它是自然对数函数的导数。
4. 三角函数的积分常见的三角函数，如正弦函数、余弦函数、正切函数等，其积分形式为：$\int \sin x dx = -\cos x +C$；$\int \cos x dx = \sin x + C$；$\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$。
这些是基本积分法的一些常见形式，掌握它们对于解决一些简单函数的积分问题非常有帮助。
三、换元法换元法又称为凑微分法或替换法，它是通过引入新的变量进行积分运算，以简化被积函数的形式。
换元法的基本思想是：引入一个新的变量，使被积函数在新的变量下的形式更容易积分。
具体的换元法步骤如下：1. 选取适当的变量替换，让被积函数的形式更简单。
求不定积分的几种基本方法
求不定积分的几种基本方法不定积分是微积分中的基本概念之一，是求一个函数的原函数。
在求解不定积分时，常用的方法包括换元法、分部积分法、三角换元法、特殊函数换元法、配凑等多种方法。
以下将对这几种方法进行详细介绍。
一、换元法（又称代换法）：换元法是求解不定积分中最基本的方法，其思想是通过对变量的替换，将被积函数化为一个易于求解的积分。
具体步骤如下：1.选择合适的变量代换，通常是根据被积函数的形式来选择。
2.计算并代换各项的微分。
3.用新的变量积分，并将积分结果代回原来的变量。
二、分部积分法：分部积分法是求解不定积分时，将被积函数进行分解的一种方法，通常适用于乘积形式的积分。
具体步骤如下：1.首先选择两个函数u和v，并使用乘积法则对被积函数进行分解。
2.对分解后的两个函数分别进行求导和求积分。
3.将求导后的函数与求积分后的函数相乘，并进行积分。
三、三角换元法：三角换元法适用于被积函数中含有三角函数，并通过选择适当的三角函数进行替换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
具体步骤如下：1.根据被积函数中的三角函数形式，选择适当的三角函数代换。
2.将选取的三角函数形式与被积函数进行代换，并计算各项的微分。
3.用新的变量积分，并将积分结果代回原来的变量。
四、特殊函数换元法：特殊函数包括指数函数、对数函数等，在一些特殊的情况下，选择特殊函数进行代换可以简化不定积分的求解。
具体步骤如下：1.根据被积函数的形式，选择合适的特殊函数代换。
2.将选取的特殊函数与被积函数进行代换，并计算各项的微分。
3.用新的变量积分，并将积分结果代回原来的变量。
五、配凑法：配凑法适用于被积函数中含有多项式，并通过加减两个不同的式子，消除被积函数中项的系数或幂。
具体步骤如下：1.将被积函数根据其形式和分子分母进行分解。
2.根据消项的需要选择合适的多项式进行配凑，并将两个式子相加或相减。
3.对配凑后的式子进行不定积分。
综上所述，不定积分的基本方法包括换元法、分部积分法、三角换元法、特殊函数换元法和配凑法。
求不定积分的若干方法
求不定积分的若干方法一、换元法换元法是求不定积分常用的一种方法之一、通过引入一个新的变量，使得原积分的形式更加简单化，从而更易求解。
1. 微分换元法：设 u=g(x)，则 du=g'(x)dx，通过替换变量 x 和dx，将原积分转化为对新变量 u 的积分。
例子：求∫(2x+1)²dx。
取 u=2x+1，则 du=2dx，将积分转化为∫u²/2du=u³/6+C=(2x+1)³/6+C。
2.三角换元法：根据三角函数的性质，通过适当的三角函数换元，将积分转化为更简单的形式。
例子：求∫sin²xdx。
利用三角公式sin²x=(1-cos2x)/2，将积分转化为∫(1-cos2x)/2dx=x/2-sin2x/4+C。
3.指数换元法：常用于含有指数、对数函数的积分求解。
通过引入指数函数或对数函数，将积分转化为更易处理的形式。
例子：求∫eˣsinxdx。
利用指数换元 eˣ=sinhx+coshx，将积分转化为∫(sinhxcoshx+cos²hx)dx=(1/2)sinh²x+(1/2)x+C。
二、分部积分法分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。
对于积分中的乘积形式，可以通过分部积分来简化积分的形式。
公式：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx，其中 u(x) 和 v(x) 是可导的函数。
例子：求∫xlnxdx。
取 u=lnx，v'=xdx，则 u'=1/x。
利用分部积分公式，可得∫xlnxdx=(1/2)x²lnx-(1/2)∫xdx=(1/2)x²lnx-(1/4)x²+C。
三、特殊函数的不定积分1.幂函数的不定积分：- 当n≠-1 时，∫xⁿdx=(xⁿ⁺¹)/(n+1)+C；- 当 n=-1 时，∫(1/x)dx=ln，x，+C。
不定积分换元法公式
不定积分换元法公式不定积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量替换原积分中的变量，从而将原积分转化为新的不定积分，进而更容易求解。
不定积分换元法公式主要包括两种形式：第一类换元法和第二类换元法。
接下来，我将详细介绍这两种形式的公式及其应用。
一、第一类换元法：第一类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的变量，一般选择不定积分的变量作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则原不定积分可表示为∫f(x)dx = ∫h(u)du，其中h(u)为f(x)与g(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫h(u)du = ∫h(g(x))g'(x)dx二、第二类换元法：第二类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的一部分表达式，一般选择积分中的一部分表达式作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则将表达式f(x)dx进行替换，可得∫f(x)dx =∫g'(x)h(u)du，其中g'(x)为新变量u关于x的导数，h(u)为f(x)dx与g'(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫g'(x)h(u)du通过以上两种换元法，可以将原不定积分转化为新的不定积分，然后利用新的不定积分公式及基本积分公式进行求解。
下面举例说明这两种换元法的应用。
（1）第一类换元法的应用：求解∫(2x + 1)²dx。
设u = 2x + 1，则du/dx = 2将du/dx代入原式，并将原积分中的x用u表示∫(2x + 1)²dx = ∫u² * (1/2)du = (1/2) * ∫u²du = (1/2) * u³/3 + C = (1/6)(2x + 1)³ + C。
求不定积分的基本方法
求不定积分的基本方法不定积分是微积分中的一个重要概念，也是求解函数原函数的方法。
本文将介绍一些求不定积分的基本方法和技巧。
1.换元法换元法是求不定积分中常用的方法之一，其基本思想是通过变量代换，将原函数转化为另一个函数的积分形式。
换元法的步骤如下：Step 1: 选择合适的变量代换，使得被积函数简化或变得更容易积分。
Step 2: 计算新函数的导数，得到对应的微分形式。
Step 3: 将原函数转化为新函数的积分形式。
Step 4: 对新函数进行积分计算。
Step 5: 将得到的积分结果重新换回原来的变量。
例如，考虑求解不定积分∫(x^2 + 1) dx，可以选择变量代换u =x^2 + 1，然后计算出du = 2x dx。
将原函数转化为∫du，对u进行积分得到u + C。
最后将u重新换回x^2 + 1，则不定积分的结果为∫(x^2 +1) dx = (x^2 + 1) + C。
2.分部积分法分部积分法是求不定积分中另一个常用的方法，其基本思想是将被积函数的乘积分解为两个函数的积分和。
分部积分法的步骤如下：Step 1: 选取一个分解方式，将被积函数分解为两个函数的乘积形式。
Step 2: 对其中一个函数进行求导，得到对应的微分形式。
Step 3: 将原函数转化为两个函数的积分形式。
Step 4: 对两个函数进行积分计算。
Step 5: 根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，计算得到最终的积分结果。
例如，考虑求解不定积分∫x e^x dx，可以选取分解方式为u = x，dv = e^x dx，然后计算出du = dx，v = ∫e^x dx = e^x。
根据分部积分公式，可得∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx = x e^x - e^x + C。
3.三角代换法三角代换法是求解含有三角函数的不定积分的一种常用方法，其基本思想是通过三角函数的性质将含有根号下多项式的积分转化为三角函数的积分形式。
不定积分的换元法
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
２. 不定积分第二换元法
第一类换元法 第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f [ ( x)] ( x)dx
难求 若所求积分
f ( y )d y
易求
y ( x)
f ( y)d y 难求，
f [ ( x)] ( x)dx 易求,
则得第二类换元积分法 .
即
f ( x)dx x (t ) f [ (t )] (t )dt F (t ) C
t 1 ( x) F ( 1 ( x)) C.
在使用第二换元法时，要求变量替换函数x (t )可导 且一定有反函数，并且在最后的结果中要将t换成x的函数.
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
解法2
dsin x dcos x
(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx
1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
例11 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 ( 1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
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三、不定积分的性质
由不定积分的定义，可知
d f ( x )dx f ( x ), 1、 dx
2、 F ( x )dx F ( x ) C ,
d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ,
或
dF ( x ) F ( x ) C .
结论： 微分运算与积分的运算是互逆的.
一、直接积分法
例题：
dx (1) 3 x 31 x 3 C x dx
3 1
(2)
x
2
xdx
x
x
5 2
不能漏写 积分常数
dx
7 2
1 2 C 2x
2 5 C x C 7 2 1
5 1 2
(3)、 2 e dx
x x
x x ( 2e ) 原式 ( 2e ) dx C 2 e C ln(2e ) ln 2 1
.
◆基本积分表 P94
(1) 0dx C (2) kdx kx C 1 1 x C (3) x dx 1 ( 1) 1 (4) dx ln x C x (5) e dx e C x a x (6) a dx C ln a
v v(t ) ,则物体运动的位移如何计
算呢?
?
v(t )
例 设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切
线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解
设曲线方程为 y f ( x ),
根据题意知
dy 2 x, dx
1、定义 如果在区间 I 内的每一点处,有 F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx, 则称 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 内的 一个原函数。
1）如果有 F ( x) f ( x)，则
结论：如果函数 f ( x) 在区间 I 内有原函数 F ( x) ，则 f ( x) 有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子F ( x) C 表示。
◆原函数存在的充分条件
如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在该区间内 一定有原函数。
二、不定积分的概念 函数f(x)在区间I内的所有的原函数构成的集合，称 为函数 f(x)在区间I内的不定积分，记作 。
x
x
1 (7) dx arctan x C 2 1 x arc cot x C 1 (8) dx arcsin x C 1 x 2 arccos x C (9) sin xdx cos x C (10) cos xdx sin x C (11) sec xdx tan x C
2
(12) csc xdx cot x C
2
(13) sec x tan xdx sec x C (14) csc x cot xdx csc x C
3.2 不定积分的计算
◆不定积分的计算方法 直接积分法、换元积分法、分部积分法
第一类换元积分法
第二类换元积分法
高等数学
第三章
不定积分
不定积分的概念与性质
不定积分的计算
3.1 不定积分的概念与性质
一、原函数
二 原函数与不定积分的概念 三 不定积分的性质 四 基本积分表
一、原函数的概念 引例：已知物体的运动方程为 s s(t ),则物体 速度方程为 运动的即时速度为 v(t ) s(t ) ;如果已知物体的
例如:因为
所以
sin x cos x
在
x R
sin x 是 cos x
, (2)若不唯一它们之间有什么关系?
2、原函数的性质
F ( x) C f ( x) 2）如果 F ( x) G( x) f ( x ，则 。 ) F ( x) G( x) C （常数）
sin x 3 1 ( 2 cos2 x sin 2 x )dx
1 cos x 3 tan x cot x C 2
3. kf ( x )dx k f ( x )dx
( k 0)
4. [ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y f ( x ),
dy 根据题意知 2 x, dx 2 2 2 xdx x C , f ( x ) x C ,
由曲线通过点（2，5） 代入上式，得 c
2 y x 1. 所求曲线方程为
1,
函数f ( x ) 的原函数的图形称为f ( x ) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
即
f ( x )dx F ( x ) C f ( x)为被积函数
积 分 号 被 积 表 达 式
f ( x)dx
积 分 变 量
任 意 常 数
注：鉴于原函数不唯一，积分方法不同得到的原函数 形式不一定相同，只要相差一个常数即可。
验证积分的方法：积分后的结果求导看是否等于被积函数
例 题
解
1 所以 arctan x是 的一个原函数， 2 1 x dx 故 arctan x C 2 1 x
1 由于 (arctan x) ' , 2 1 x
1 1、求 dx 2 1 x
2、求
解
因为
1 ln | x | x
1 dx x
1 所以 x dx ln | x | C, (x 0).
x x
(5)
3 1 5 [ 3sin x]dx 2 2(1 x ) 3 1 x 2 x
3 1 1 1 1 dx dx 5 dx 3 sin xdx 2 2 1 x 3 x 1 x2
3 1 arctan x arcsin x 5ln | x | 3cos x C 2 3