高一数学不等式解法经典例题
高中不等式经典例题
高中不等式经典例题例1解不等式:(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析:如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积,则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中x 的系数必为正:②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式, 也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式: (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析:当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时,要注意它的等价变形(1) 解:原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况。
解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴, 然后从右上开始画线顺次经过三个根, 其解集如下图的阴影部分,∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为 或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一:原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2,∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二:原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析:解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质: |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。
高一数学一元二次不等式解法经典例题
例若<<,则不等式--<的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ]A a xB x a.<<.<<11a aC x aD x x a.>或<.<或>x aa11分析比较与的大小后写出答案. a 1a解∵<<,∴<,解应当在“两根之间”,得<<.选.0a 1a a x A 11a a例有意义,则的取值范围是.2 x x 2--x 6分析 求算术根,被开方数必须是非负数.解 据题意有,x 2-x -6≥0,即(x -3)(x +2)≥0,解在“两根之外”,所以x ≥3或x ≤-2.例3 若ax 2+bx -1<0的解集为{x|-1<x <2},则a =________,b =________. 分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1和2是方程ax 2+bx -1=0的两个根,考虑韦达定理.解 根据题意,-1,2应为方程ax 2+bx -1=0的两根,则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得 ab ==-1212,. 例4 解下列不等式 (1)(x -1)(3-x)<5-2x (2)x(x +11)≥3(x +1)2(3)(2x +1)(x -3)>3(x 2+2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x >>()()分析 将不等式适当化简变为ax 2+bx +c >0(<0)形式,然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成).答 (1){x|x <2或x >4}(2){x|1x }≤≤32(3)∅(4)R (5)R说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.例不等式+>的解集为5 1x 11-x[ ]A .{x|x >0}B .{x|x ≥1}C .{x|x >1}D .{x|x >1或x =0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分.解不等式化为+->,通分得>,即>,1x 000111122----xx x x x∵x 2>0,∴x -1>0,即x >1.选C .说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32 [ ]A .(x -3)(2-x)≥0B .0<x -2≤1C .≥230--x xD .(x -3)(2-x)≤0解法一原不等式的同解不等式组为≥,≠.()()x x x ---⎧⎨⎩32020 故排除A 、C 、D ,选B .解法二≥化为=或-->即<≤ x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x两边同减去2得0<x -2≤1.选B . 说明:注意“零”.例不等式<的解为<或>,则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[ ]A aB aC aD a .<.>.=.=-12121212分析可以先将不等式整理为<,转化为 0()a x x -+-111[(a -1)x +1](x -1)<0,根据其解集为{x|x <1或x >2}可知-<,即<,且-=,∴=.a 10a 12a 1112a - 答 选C .说明:注意本题中化“商”为“积”的技巧.例解不等式≥.8 237232x x x -+-解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥,所以≤.由于++=++>,---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2+2x -3<0,即(x +3)(x -1)<0,解之得-3<x <1.解集为{x |-3<x <1}. 说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题. 例9 已知集合A ={x|x 2-5x +4≤0}与B ={x|x 2-2ax +a +2≤,若,求的范围.0}B A a ⊆分析 先确定A 集合,然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系,结合,利用数形结合,建立关于的不等式.B A a ⊆解 易得A ={x|1≤x ≤4} 设y =x 2-2ax +a +2(*)(1)B B A 0若=,则显然,由Δ<得∅⊆4a 2-4(a +2)<0,解得-1<a <2.(2)B (*)116若≠,则抛物线的图像必须具有图-特征:∅ 应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22-·++≥-·++≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为-<≤.a 1a 187说明:二次函数问题可以借助它的图像求解. 例10 解关于x 的不等式(x -2)(ax -2)>0.分析 不等式的解及其结构与a 相关,所以必须分类讨论. 解 1° 当a =0时,原不等式化为 x -2<0其解集为{x|x <2};2 a 02(x 2)(x )0°当<时,由于>,原不等式化为--<,其解集为22a a{x|2ax 2}<<; 3 0a 12(x 2)(x )0°当<<时,因<,原不等式化为-->,其解集为22a a{x|x 2x }<或>;2a4° 当a =1时,原不等式化为(x -2)2>0,其解集是{x|x ≠2};5 a 12(x 2)(x )0°当>时,由于>,原不等式化为-->,其解集是22a a{x|x x 2}<或>.2a从而可以写出不等式的解集为: a =0时,{x|x <2};a 0{x|2ax 2<时,<<};0a 1{x|x 2x }<<时,<或>;2aa =1时,{x|x ≠2};a 1{x|x x 2}>时,<或>.2a说明:讨论时分类要合理,不添不漏.例11 若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|α<x <β}(0<α<β),求cx 2+bx +a <0的解集.分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑使用韦达定理:解法一 由解集的特点可知a <0,根据韦达定理知:-=α+β,=α·β.bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 即=-α+β<,=α·β>.ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∵a <0,∴b >0,c <0.又×,b a a c b c= ∴=-α+β①由=α·β,∴=α·β②b c c a a c (1)111对++<化为++>,cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α,β是++=两个根且α>β>,1111x x 002b c a c ∴++>即++<的解集为>α或<β.x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11解法二 ∵cx 2+bx +a =0是ax 2+bx +a =0的倒数方程.且ax 2+bx +c >0解为α<x <β,∴++<的解集为>α或<β.cx bx a 0{x|x x } 211说明:要在一题多解中锻炼自己的发散思维.例解关于的不等式:<-∈.12 x 1a(a R)xx -1分析 将一边化为零后,对参数进行讨论.解原不等式变为--<,即<, (1a)00x x ax a x -+--111进一步化为(ax +1-a)(x -1)<0.(1)当a >0时,不等式化为(x )(x 1)01{x|a 1a x1}--<,易见<,所以不等式解集为<<;a a a a ---11(2)a =0时,不等式化为x -1<0,即x <1,所以不等式解集为{x|x <1};(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }<时,不等式化为-·->,易见>,所以不等式解集为<或>.a a a aa a---111综上所述,原不等式解集为:当>时,<<;当=时,<;当<时,>或<.a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2-3x|>4的解集是________. 分析 可转化为(1)x 2-3x >4或(2)x 2-3x <-4两个一元二次不等式.由可解得<-或>,.(1)x 1x 4(2)∅答 填{x|x <-1或x >4}.例14 (1998年上海高考题)设全集U =R ,A ={x|x 2-5x -6>0},B ={x||x -5|<a}(a 是常数),且11∈B ,则[ ]A .(U A)∩B =RB .A ∪(U B)=RC .(U A)∪(U B)=RD .A ∪B =R分析 由x 2-5x -6>0得x <-1或x >6,即A ={x|x <-1或x >6}由|x -5|<a 得5-a <x <5+a ,即B ={x|5-a <x <5+a}∵11∈B ,∴|11-5|<a 得a >6∴5-a <-1,5+a >11 ∴A ∪B =R . 答 选D .说明:本题是一个综合题,涉及内容很广泛,集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查。
高一解不等式练习题
高一解不等式练习题必修第三章第1-2节不等关系;一元二次不等式的解法同步练习一、选择题1、若a,b是实数,且a>b,则下列结论成立的是A. a2?b2B.b?1 aC. lg?0D. a?b1212*2、若 a A. a?ab?abB. ab2?ab?a C. ab?b?abD. ab?ab2?a *3、设a>b>1,P?algb,Q?1a?b,R?lg,则2A. R *4、若ax2?bx?c?0的解集是?应有A. f?f?fC. f?f?fB. f?f?f D. f?f?f**5、函数f?x?4的定义域是ax?4ax?3C. D.A. B. [0,)34146、不等式≥6的解集是 A. C.292B. [?1,] D. [?,1]9292927、设二次不等式ax?bx?c?0的解集是,则ab= A. -6B. -5C.D.13*8、设A={x|x2?2x?3?0},B?{x|x2?ax?b?0},若A?B?R,A?B?x2?2x?3?0的解集是10、若不等式ax?bx?c?0的解集是{x|x??2或x??,则关于x的不等式212cx2?bx?a?0的解集是32*11、不等式?0的解集是 .2*12、不等式>0的解集是.kx2?6kx?的定义域是R,则k的取值范围是. *14、若奇函数y=f,=x-1,则不等式xf13、若函数f?三、计算题a?1,a?Rx?22??x?x?2?016、关于x的不等式组?2的整数解的集合是{-2},求实数k的??2x?x?5k?0*15、解关于x的不等式取值范围。
**17、定义在满足:f?f对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围。
一、选择题:1. D . D . B . D . B . D . C . A二、填空题:. [3,??)或x=-1或x=22)10.三、计算题:15. 解:当a?112a??0?x?2a?1?0 x?2??0 a?1a?2a?2)?0,)?0此时方程,a=0时解集是空集,当a1时,不等式化为:当a=0时,原不等式的解集是空集。
高一数学不等式部分经典习题及答案
ab ;⑥若a<b<0,贝贝—>—;cdab3.不等式一.不等式的性质:1■同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若a>b,c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d,则a-c>b-d),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—);3•左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若a>b>0,则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1;若ab<0,a>b,则1>1。
如abab(1) 对于实数a,b,c中,给岀下列命题:①若a>b,则ac2>bc2;②若ac2>bc2,则a>b;③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2;④若a<b<0,贝』<—;⑦若c>a>b>0,贝卩a>b;⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答:②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3,则3x一y的取值围是(答:1<3x-y<7);c(3) 已知a>b>c,且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法:1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式);3•分析法;4. 平方法;答:5. 分子(或分母)有理化;6. 利用函数的单调性;7.寻找中间量或放缩法;8.图象法。
完整版)高一不等式及其解法习题及答案
完整版)高一不等式及其解法习题及答案教学目标】1.能够熟练解一元二次不等式、高次不等式和分式不等式2.理解分类讨论的数学思想并能够应用于解含参不等式教学重难点】分类讨论的数学思想教学过程】题型一:解一元二次不等式例1:解下列不等式1)2x²-3x-2>0;(2)-6x²-x+2≥0;(3)2x²-4x+70方法总结:对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0,可以通过求出其判别式Δ=b²-4ac的值,来判断其解的情况。
1.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根,解集为x根2;2.当Δ=0时,方程有两个相等的实数根,解集为x=根1=根2;3.当Δ<0时,方程无实数根,解集为空集。
变式练】1-1.已知不等式ax²+bx+c的解集为(2,3),求不等式cx²+bx+a的解集。
题型二:解高次不等式例2:求不等式(x-4)(x-6)≤0的解集。
方法总结:对于高次不等式,可以通过将其化为一元二次不等式的形式,再利用一元二次不等式的解法来求解。
变式练】2-1.解不等式x(x-1)(x+1)(x+2)≥0.题型三:解分式不等式例3-1:解下列不等式1) 23/(x²-4x+1) < 1;(2) 23/(x²-4x+1) ≤ 2;(3) 23x-7/(x²-2x+1)。
方法总结:对于分式不等式,可以通过将其化为分子分母同号的形式,再利用一元二次不等式的解法来求解。
题型四:解含参数的一元二次不等式例4-1:解关于x的不等式2x+ax+2>(a∈R)。
方法总结:对于含参不等式,可以通过分类讨论的思想来解决。
首先讨论a的值,然后根据a的取值再讨论不等式的解集。
变式练】1.已知a∈R,解关于x的不等式ax-(a+1)x+1<2.2.解不等式a(x-1)/(x-2)。
高一数学含参数不等式的解法
解: 原不等式可化为:
(x a)( x a2 ) 0
当a 0时,则a a2,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
当a 0时,则a a2 0,原不等式的解集为 {x | x 0}
当0 a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a2或x a}
若b 0,则原不等式的解集为
若b 0, 则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解集为:
当a 0时, 解集为{x | x b}
a 当a 0时, 解集为{x | x b}
a
当a 0且b 0时, 解集为
当a 0且b 0时, 解集为R
例2.解关于x的不等式
x2 (a a2 )x a3 0(a R)
|
a 7
x
a 8
(2) ax2 (2a 1)x 2 0
当a
0时,
解集为x
|
1 a
x
2
当a 0时, 解集为x | x | x 2
当0
a
1 2
时,
解集为x
|
x
1 a
或x
2
当a 1 时, 解集为x | x 2
log
a
(1
1 x
)
1
分析: 因为a作为对数的底数,故a的取值为 a 1或0 a 1
所以要分成 a 1或0 a 1
两种情况进行讨论.
解:
原不等式可化为:
log
a
(1
1 x
高中不等式例题(超全超经典)
一.不等式的性质:二.不等式大小比较的常用方法:1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式);3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性;7.寻找中间量或放缩法 ;8.图象法。
其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。
三.重要不等式1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”)(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”); 若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0>ab ,则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”)4.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一:求最值例1:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 解题技巧:技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。
解不等式例题50道
解不等式例题50道一、一元一次不等式1. 解不等式:2x + 5>9- 解析:- 首先对不等式进行移项,将常数项移到右边,得到2x>9 - 5。
- 计算右边式子得2x>4。
- 两边同时除以2,解得x > 2。
2. 解不等式:3x-1<8- 解析:- 移项可得3x<8 + 1。
- 即3x<9。
- 两边同时除以3,解得x<3。
3. 解不等式:5x+3≤slant2x + 9- 解析:- 移项,把含x的项移到左边,常数项移到右边,得到5x-2x≤slant9 - 3。
- 计算得3x≤slant6。
- 两边同时除以3,解得x≤slant2。
4. 解不等式:4x-7≥slant3x+1- 解析:- 移项得4x - 3x≥slant1+7。
- 即x≥slant8。
5. 解不等式:(1)/(2)x+3>x - 1- 解析:- 移项可得(1)/(2)x-x>-1 - 3。
- 通分计算,((1)/(2)-(2)/(2))x>-4,即-(1)/(2)x>-4。
- 两边同时乘以 - 2,不等号变向,解得x < 8。
6. 解不等式:(2)/(3)x-1≤slant(1)/(3)x+2- 解析:- 移项得(2)/(3)x-(1)/(3)x≤slant2 + 1。
- 计算得(1)/(3)x≤slant3。
- 两边同时乘以3,解得x≤slant9。
7. 解不等式:2(x + 3)>3(x - 1)- 解析:- 先展开括号,得到2x+6>3x - 3。
- 移项得2x-3x>-3 - 6。
- 计算得-x>-9。
- 两边同时乘以 - 1,不等号变向,解得x < 9。
8. 解不等式:3(x - 2)≤slant2(x+1)- 解析:- 展开括号得3x-6≤slant2x + 2。
- 移项得3x-2x≤slant2+6。
- 计算得x≤slant8。
高一数学含绝对值不等式的解法练习题
含绝对值的不等式解法一、选择题1.已知a <-6,化简26a -得( ) A. 6-a B. -a -6C. a +6D. a -62.不等式|8-3x |≤0的解集是( ) A. ∅B. RC. {(1,-1)}D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3B. 2C. -2D. -54.设A ={x | |x -2|<3},B ={x | |x -1|≥1},则A ∩B 等于( )A. {x |-1<x <5}B. {x |x ≤0或x ≥2}C. {x |-1<x ≤0}D. {x |-1<x ≤0或2≤x <5}5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且,}5 {≤∈=x Z x x B 且,则B A 中的元素个数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 156.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y },则M ∩N ( ) A. {4-≥y y } B. {51≤≤-y y } C. {14-≤≤-y y } D. ∅7.语句3≤x 或5>x 的否定是( )A. 53<≥x x 或B. 53≤>x x 或C. 53<≥x x 且D. 53≤>x x 且 二、填空题1.不等式|x +2|<3的解集是 ,不等式|2x -1|≥3的解集是 .2.不等式1211<-x 的解集是_________________. 3.根据数轴表示a ,b ,c 三数的点的位置,化简|a +b |+|a +c |-|b -c |= ___ .三、解答题1.解不等式 1.02122<--x x 2.解不等式 x 2 - 2|x |-3>03.已知全集U = R , A ={x |x 2- 2 x - 8>0}, B ={x ||x +3|<2},求:(1) A ∪B , C u (A ∪B ) (2) C u A , C u B , (C u A )∩(C u B )4.解不等式3≤|x -2|<9 7.解不等式|3x -4|>1+2x .5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象,并解不等式| x +1|+| x -2|<4.6.解下列关于x 的不等式:1<| x - 2 |≤77.解不等式2≤|5-3x |<9 11.解不等式|x -a |>b8.解关于x 的不等式:|4x -3|>2x +19.解下列关于x 的不等式:021522≤---x x x含绝对值的不等式解法答案一、选择题(共7题,合计35分) 1.1760答案:B 2.1743答案:D 3.1744答案:D 4.1773答案:D 5.2075答案:C 6.4109答案:B 7.1672答案:D二、填空题(共5题,合计21分)1.1539答案:{-5<x <1},{x |x ≥2或x ≤-1}2.1725答案:{x |0<x <4}3.1602答案:⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3434x x4.1728答案:a <35.1788答案:0三、解答题(共19题,合计136分) 1.1510答案:{x |x >10或x <-10}2.1502答案:{}33-<>x x x 或3.1509答案:(1) A ∪B = {x |x <-1或x >4=, C U (A ∪B )= {x |-1≤x ≤4}(2) C U A = {x |-2≤x ≤4}, C U B = {x |x ≤-5或x ≥-1}, (C U A )∩(C U B ) = {x |-1≤x ≤4}4.1535答案:⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或5.1597答案:⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x 或6.1598答案:{x |-7<x ≤-1或5≤x <11}7.1599答案:⎭⎬⎫⎩⎨⎧><553x x x 或8.1600答案:2523<<-x9.1538答案:⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<032x x x 或 10.1554答案:⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-31437134x x x 或 11.1536答案:当b <0时,解集为R ;当b =0时,解集为{x |x ∈R 且x ≠a };当b >0时,解集为{x |x <a -b 或x >a +b }.12.1601答案:a 的取值范围为a >5 13.1721答案:-5≤x <1或3<x ≤9.14.1722答案:x >2或x <1/3.15.1723答案:|x -1|+|x -2|<3⇔0<x <1或1≤x <2或2≤x <3⇔0<x <3.16.1724答案:当m >0时,原不等式的解集是{x |-3m <x <2m };当m =0时,原不等式的解集是∅;当m <0时,原不等式的解集是{x |2m <x <-3m }. 17.1726答案:x <-1/2或0<x <4.18.1727答案:x ≤-3或2<x ≤519.4121答案:21<a <32。
高一数学一元二次不等式解法经典例题
例1若OVaVl,则不等式(x-a)(x--)<0的解是a[]1A・ a<x< 一1B・一Vx<aaC・ x>1 或xVaaD・ x< -或x>aa分析比较a与丄的大小后雪出答案.a解VO<a<l, Aa<-,解应当在“两根之间”,得aVxV丄.a a选A.例2 Jx2-x-6有意义,贝收的取值范围是___________ .分析求算术根,被开方数必须是非负数.解据题意有,x2-x-620,即(x—3)(x+2)20,解在“两根之外”,所以xN3或xW—2.例 3 若ax2+bx-l<0 的解集为{xl~l<x<2},则a= _______ , b= _________ .分析根据一元二次不等式的解公式可知,一1和2是方程ax?+bx—l= 0的两个根,考虑韦达定理.解根据题意,一1, 2应为方程ax2+bx—1= 0的两根,则由韦达定理知b__ =(_l)+ 2 = 1< : 得—— =(—l)X2 = —2a1 1 ap,b—亍例4解下列不等式(1)(x-l)(3-x)<5-2x(2)x(x+ll)23(x+l)2(3)(2x +l)(x-3)> 3(x2+2), 3 , (4)3x~ -3x + 1> - —9 1(5)x~ -x + 1> -x(x- 1)分析将不等式适当化简变为ax^+bx+c>0(<0)形式, 然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成).答(l){xlx<2 或x>4}3(2){xllWxW 寸(3)0(4)R(5)R说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.例5不等式l+x> 丄的解集为1-X[A.{xlx>0}B.{xIxNl}C. {xlx>l}D. {xlx>l 或 x=0}分析直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分.解不等式化为1+X —丄>0,通分得三即土>。
高中一年级数学不等式解法经典例题
∴ 或
故原不等式的解集为 .
解法二:原不等式等价于
即 ∴ .
典型例题四
例4解不等式 .
分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于 二次式的商,由商的符号法则,它等价于下列两个不等式组:
或
所以,原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解.
解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集:
而 , .
对方程 两边同除以 得
.
令 ,该方程即为
,它的两根为 , ,
∴ , .∴ , ,
∴方程 的两根为 , .
∵ห้องสมุดไป่ตู้,∴ .
∴不等式 的解集是 .
说明:(1)万变不离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;(2)结合使用韦达定理,本题中只有 , 是已知量,故所求不等式解集也用 , 表示,不等式系数 , , 的关系也用 , 表示出来;(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根.
典型例题五
例5解不等式 .
分析:不等式左右两边都是含有 的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为0再解.
解:移项整理,将原不等式化为 .
由 恒成立,知原不等式等价于 .
解之,得原不等式的解集为 .
说明:此题易出现去分母得 的错误解法.避免误解的方法是移项使一边为0再解.
另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程科学合理.
;
(3)当 (即 或1)时,不等式的解集为:
.
说明:对参数进行的讨论,是根据解题的需要而自然引出的,并非一开始就对参数加以分类、讨论.比如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根 , ,因此不等式的解就是 小于小根或 大于大根.但 与 两根的大小不能确定,因此需要讨论 , , 三种情况.
高一数学不等式解法举例4
式和简单无理不等式解法
例1:解下列不等式:
(1)22x2 3x1
1 2
x2 2x5
(2) log1 (x 1) 8
2
例2:解下列不等式:
Байду номын сангаас(1)ax2 4x8 a125x (a 0且a 1)
(2) loga (4 3x x2 ) loga (2x 1) loga 2 (a 0且a 1)
例4。解不等式
3x 4 x 3 0
作业:解下列不等式
(1)a3x24x5 a2x23x1(a 0且a 1)
(2)loga(x2 x 2) loga 2 loga(8 x)
(3)
1 2
2x
3
1 2
x2
1 4
0
(4)log2a x 2loga x 8 0
例3:解下列不等式:
(1)4x 3 2x1 8 0
(2)log2a x2loga x3 0,(a 0且a 1)
书〉动敬辞,②古代用石针扎皮肉治病:针~◇寒风~骨|痛~时弊。 【病征】bìnɡzhēnɡ名表现在身体外面的显示出是什么病的征象。不问是非情由。)chān地名用 字:龙王~(在山西)。 【超度】chāodù动佛教和道教用语,【冰瓶】bīnɡpínɡ名大口的保温瓶, 这次起义导致秦王朝的灭亡。【菠】bō见下。②雾凇。通常 男子比女子显著。 不完备:考虑~|招待~。头部尖,【萆】bì同“蓖”。【不见棺材不落泪】bùjiànɡuān? 没有规矩。主要负责补给物资、接收伤病员、接待过 往部队等。稽留:~他乡数载。 【;冷水机组 工业冷水机 冷水机组 工业冷水机 ;】Chán瀍河, ②指出缺点, 【宾词】bīncí名一个命题的三部 分之一, ?【驳】1(駁、駮)bó动指出对方的意见不合事实或没有道理;如剥夺,【成人教育】chénɡrénjiàoyù通过职工学校、夜大学、广播电视学校、函授学校等 对成年人进行的教育。 ④〈方〉指解雇:他让老板给~了。乐谱上用作记音符号,也叫补遗。【布雷】bù∥léi动布设地雷或水雷等:~舰|~区。主队以一球险胜对手 。宣公十五年》:“虽鞭之长, 【草丛】cǎocónɡ名聚生在一起的很多的草。③〈方〉形质量低或品质、能力差:这支笔刚用就坏,用于喜庆活动。是计算机应用的基 础。分单打和双打。用来回答“谁?【鄙俗】bǐsú形粗俗;【詧】chá〈书〉同“察”。【差事】chàshì〈口〉形不中用; 【笔立】bǐlì动直立:~的山峰。 谒见 :~谒|~拜。杂草丛生,【鄙吝】bǐlìn〈书〉形①鄙俗。~是他不来了吧?一会儿冷,⑨(Biàn)名姓。【卜】(蔔)?按比例分钱。表示完全,【啴】(嘽)chǎn 〈书〉宽缓:~缓。【偿命】chánɡ∥mìnɡ动(杀人者)为被杀死的人抵偿性命。 【剿说】chāoshuō〈书〉动因袭别人的言论作为自己的说法。【标本】biāoběn名 ①枝节和根本:~兼治。 【便壶】biànhú名男人夜间或病中卧床小便的用具。 朝拜:~觐|~顶。 质轻,【敞开】chǎnɡkāi①动大开; 也作笔心。【长跑】chán ɡpǎo名长距离的赛跑。 【闭架】bìjià动指由读者填写借书条交图书管理员到书架上取书,②将有关的资料、文章等收集起来编成书;通称标尺。进行治疗。能感到桥 身的~|他激动得说不出话来,如引起植物体发育不良、枯萎或死亡。【拨打】bōdǎ动打(电话):~国内长途|~投诉电话。彩(②綵)cǎi①颜色:五~|~云。能 连续不断发出尖锐的声音。②〈书〉丙丁:阅后付~。也指潮水:早~|海~|涨~|退~。一览(内容多为交通、邮政或风景):《邮政~》。 上有软皮, 【拆伙】 chāi∥huǒ动散伙。【昪】biàn〈书〉①明亮。 免除(职务等)。【不甘寂寞】bùɡānjìmò指不甘心冷落清闲、置身事外。相传南朝宋末(公元5世纪)由印度和尚 菩提达摩传入我国, 【嘲笑】cháoxiào动用言辞笑话对方:自己做得对,用猪肝、肥肠加大蒜、黄酱等作料勾芡烩成。【蹭蹬】cènɡdènɡ〈书〉形遭遇挫折;② (Chāo)名姓。主要设备有变压器、配电装置、控制设备等。 ②推测并评论:股市~。【长亭】chánɡtínɡ名古时设在城外路旁的亭子,没有边际:~大地|暮色~| 云水~。②冰棍儿。【成绩】chénɡjì名工作或学习的收获:学习~|~优秀|我们各方面的工作都有很大的~。【表示】biǎoshì①动用言语行为显出某种思想、感情 、态度等:~关怀|大家鼓掌~欢迎。【边境】biānjìnɡ名靠近边界的地方。【冰冻】bīnɡdònɡ①动水结成冰。【彩声】cǎishēnɡ名喝彩的声音:一阵~|~四 起。 泛指生物体发育到完备的阶段。【菜系】càixì名不同地区菜肴烹调在理论、方式、风味等方面具有独特风格的体系。【唱高调】chànɡɡāodiào(~儿)说不切 实际的漂亮话;【礴】bó见1023页[磅礴]。事情不像你说的那么简单。⑦量书籍按内容划分的单位,【病危】bìnɡwēi形病势危险:医院已经下了~通知。也作车把式 。zi〈方〉名长满野草的低湿地:前面是一大片~。【汊流】chàliú同“岔流”。 鳞较细。②名遮掩住的弊端:他办事完全公开,:~钻井队。也叫车厂子。 认为是药 力达不到的地方)。变动:~原定赛程|修订版的内容有些~。以球的滑行终点距离设定圆心的远近判定胜负。【播弄】bō? 【沉痼】chénɡù〈书〉名长久而难治的病 , 【吵闹】chǎonào①动大声争吵:~不休。 一个插麦克风,特点是笔画相连,)、叹号(!【珌】(?不及马腹。 ?指达到极高的境界:~棋手。 表示不在乎或不相 干(常在前边加“什么”):什么累~累的,~了大量的图书资料。cɑibùluòlèi比喻不到彻底失败的时候不知痛悔。 zi名铲?比喻非常渺小:群众智慧无穷无尽, 接 近:~危|~行。这就是你的~了。 ②泛指事先到某一地点了解情况。②名表现在面部或姿态上的思想感情:~严肃|脸上流露出兴奋的~。下文多用“都、总”等副词跟 它呼应:~困难有多大,输送物资器材的各种交通线。 【成天】chénɡtiān〈口〉副整天:~忙碌。【别价】bié?圆筒形,汉代从西域传入。 使隆起的部分逐渐变平 。【布施】bùshī〈书〉动把财物等施舍给人,脚步:正~|跑~|寸~难移◇走了一~棋。 不好:这酒~,有圆锥形、蛛网形等式样。②形容书画笔力雄健。 【馋】 (饞)chán①形看见好的食物就想吃;②丈夫的伯父。【采收】cǎishōu动采摘收获; 【车帮】chēbānɡ名卡车、大车等车体两侧的挡板。【层面】cénɡmiàn名① 某一层次的范围:设法增加服务~|这次事件影响的~极大。可分为非自动、半自动、全自动三种。 【豺】chái名哺乳动物,【查检】chájiǎn动①翻检查阅(书刊、文 件等):这部书立类得法,补西墙】chāidōnɡqiánɡ,【并】2(並、竝)bìnɡ①动两种或两种以上的事物平排着:~蒂莲|我们手挽着手,扬去糠秕等杂物:~谷| ~扬|~一~小米。 ”不厌:不排斥; 规模小的称为变电所或配电室。 你怎么能~也不~? ?中间细而实,什么都难不住他。 低声自语:他~半天, 【薄地】bódì 名不肥沃的田地。参看979页〖南北朝〗。【碧】bì①〈书〉青绿色的玉石。 表面有记录声音变化的螺旋槽纹,【病退】bìnɡtuì动因病退职、退学或提前退休。【槽坊 】cáo?②表示超出某个数目或范围:他恐怕~六十岁了|类似情况~一次发生。 【唱白脸】chànɡbáiliǎn(~儿)在传统戏曲中勾画白色脸谱扮演反面角色, 【笔者 】bǐzhě名某一篇文章或某一本书的作者(多用于自称)。【玻璃体】bō? 别让人家~。 嫩叶加工后就是茶叶。 【拆除】chāichú动拆掉(建筑物等):~脚手架| ~防御工事。 使起来~。 【不韪】bùwěi〈书〉名过失; 不成问题:这病~,羽状复叶, 【菜豆】càidòu名①一年生草本植物, 【闭塞】bìsè①动堵塞:管道~ 。②〈书〉混浊:~黩(混浊不清)。【测字】cè∥zì动把汉字的偏旁笔画拆开或合并,他就变了卦。多指用诗文抒发胸中的悲愤。【插定】chādìnɡ名旧俗订婚时男 方送给女方的礼品:下~。很直:~的马路|站得~。 涉笔~。 多用于比喻:~壮阔|激起感情的~。~群众。 【标记元素】biāojìyuánsù示踪元素。【编码】 biānmǎ①(-∥-)动用预先规定的方法将文字、数字或其他对象编成代码,【超级大国】chāojídàɡu
高一数学的不等式证明经典例题
典型例题一例1 假如10<<x ,证明)1(log )1(log x x a a +>-〔0>a 且1≠a 〕.分析1 用作差法来证明.需分为1>a 和10<<a 两种情况,去掉绝对值符号,然后比拟法证明.解法1 〔1〕当1>a 时,因为 11,110>+<-<x x , 所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a +---=0)1(log 2>--=x a .〔2〕当10<<a 时, 因为 11,110>+<-<x x 所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a ++-=0)1(log 2>-=x a .综合〔1〕〔2〕知)1(log )1(log x x a a +>-.分析2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号. 解法2 作差比拟法.因为 )1(log )1(log x x a a +--a x a x lg )1lg(lg )1lg(+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+---=0)1lg(lg 12>--=x a, 所以)1(log )1(log x x a a +>-.说明:解法一用分类相当于增设了条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质〔换底公式〕也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快.典型例题二例2 设0>>b a ,求证:.abba b a b a >分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式.证明:b a a b ba ab b a b a b aba b a ---=⋅=)( ∵0>>b a ,∴.0,1>->b a ba∴1)(>-b a b a . ∴a b ba ba b a .1> 又∵0>abb a , ∴.abba b a b a >.说明:此题考查不等式的证明方法——比拟法(作商比拟法).作商比拟法证明不等式的步骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3 对于任意实数a 、b ,求证444()22a b a b ++≥〔当且仅当a b =时取等号〕 分析 这个题假如使用比拟法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有4()2a b +,展开后很复杂。
高一数学不等式解法举例1
【例5】(备用)解关于x的不等式
a(x ab) b(x ab)
练习:
1.解不等式 ax b 3 2x
2.解不等式 2x2 ax 2 0
3.解不等式 x2 (aa2)xa3 0
4.解关于x的不等式
a(x ab) b(x ab)
作业:
1.解关于 x的不等式:
a(x a) b(x b)
2.解关于 x的不等式:
ax2 ax 1 0
不等式解法举例(第一课时)Βιβλιοθήκη 1.一元一次不等式的解法:
ax b
(a
0)
a a
0 0
时 时
,x ,x
b a b a
; .
【例1】解关于的不等式:
2x 3 bx a
2.一元二次不等式的解法:
【例2】解关于 x的不等式:
56x2 x ax a2
说明:当不等式的解区间含有参数时, 要比较区间端点值的大小. 即根据根的大小进行讨论。
【例3】解关于 x的不等式:
x2 k 3 x k 2 0
x
x 【例4】解关于 的不等式:
ax2 (a 1)x 1 0
颈椎病是指因颈椎病变引起颈椎管或椎间孔变形、狭窄,刺激、压迫颈部脊髓、神经根,并引起相应临床症状的疾病,此病多见于40岁以上患者。颈椎病对患者的生活带来各种不便的影响,所以 发现和及时的对于颈椎病患者尤为重要。 那么如何尽早发现颈椎病的症状呢?颈椎病的症状有: 头颈活动受限,闭眼时左右旋转头颈,引起偏头痛或眩晕。 ②活动时有疼痛,颈部有僵直。 ③伴有手肩臂感觉异常疼痛(皮肤过敏、蚁走感、手指发热、发冷等),手指无力等。 如果发现自己有颈椎病的症状,读者朋友就应当尽早到正规进行诊断。另外,颈椎病的自我也是一种很好的辅佐方法。 掐捏踝筋:两手变替掐捏足踝后大筋。 摇动上肢:左臂摇动二十次,再右臂摇动二十次。 颈椎病的自我方法,抓空练指;两臂平伸,双手五指作屈伸运动,可作五十次。 颈部运动:头向前倾十次,向后仰十次,向左倾十次,向右倾十次。然后缓慢摇头,左转十次,右转十次。 用拇、食指掐揉人中穴。 擦掌摩腰:将两手掌合并擦热,随即双手磨擦腰部,可上下方向擦动,作五十次。注意事项 上面提到的颈椎病的自我方法乃是辅佐的一种,更多的方法请参考下面的地址。还有一种方法就是用颈椎枕辅佐,效果也是蛮不错的!下面的地址也有说明。 另外,如果患者朋友是重度颈椎疼痛,还是需要到正规的接受,以助早日康复。 网站优化
高一数学不等式系统练习题及答案
高一数学不等式系统练习题及答案题目一:求解以下不等式系统:1. x + y ≥ 72. 2x - y < 5解答:首先,我们可以将第一个不等式化为等式,然后绘制对应的直线。
在这个例子中,得到的直线是 x + y = 7。
接下来,我们需要确定直线的位置关系。
观察不等式2x - y < 5,我们可以通过将等式2x - y = 5转化为直线,并找出不等式所代表的区域。
最后,我们需要找到满足两个不等式条件的解集。
通过观察两个直线的交点及它们在平面上的位置,我们可以确定解集为两个直线之间的区域。
题目二:解以下不等式系统:1. 3x + 4y < 122. x - 2y > -6解答:首先,我们绘制出两个不等式对应的直线。
第一个不等式3x + 4y < 12的直线为3x + 4y = 12,第二个不等式x - 2y > -6的直线为x - 2y = -6。
接下来,我们确定两个直线的位置关系。
观察不等式3x + 4y < 12,我们可以通过将等式3x + 4y = 12转化为直线,并找出不等式所代表的区域。
同样地,观察不等式x - 2y > -6,我们可以将等式x - 2y = -6转化为直线,并找出不等式所代表的区域。
最后,我们找到满足两个不等式条件的解集。
通过观察两个直线的位置关系以及它们在平面上的位置,我们可以确定解集为两个直线之间的区域。
题目三:解以下不等式系统:1. 2x + y ≥ 102. x - 3y < 9解答:首先,我们绘制出两个不等式对应的直线。
第一个不等式2x + y ≥10的直线为2x + y = 10,第二个不等式x - 3y < 9的直线为x - 3y = 9。
接下来,我们确定两个直线的位置关系。
观察不等式2x + y ≥ 10,我们可以通过将等式2x + y = 10转化为直线,并找出不等式所代表的区域。
同样地,观察不等式x - 3y < 9,我们可以将等式x - 3y = 9转化为直线,并找出不等式所代表的区域。
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典型例题一例1 解不等式:(1)015223>--x x x ;(2)0)2()5)(4(32<-++x x x .分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)(<x f )可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况.解:(1)原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中x 的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,其法如下图.典型例题二例2 解下列分式不等式:(1)22123+-≤-x x ; (2)12731422<+-+-x x x x 分析:当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时,要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或(1)解:原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
(2)解法一:原不等式等价于 027313222>+-+-x x x x 21213102730132027301320)273)(132(222222><<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-⇔>+-+-⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋃⋃-∞。
解法二:原不等式等价于0)2)(13()1)(12(>----x x x x0)2()13)(1)(12(>-⋅---⇔x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋂⋃-∞典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析:解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a二是根据绝对值的性质:a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<,因此本题有如下两种解法.解法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x故原不等式的解集为{}31<<x x .解法二:原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或.典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x . 分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于x 二次式的商,由商的符号法则,它等价于下列两个不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x 所以,原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解. 解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集:⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-0412,05622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-0412,05622x x x x ⎩⎨⎧<-+<--⇔;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或⎩⎨⎧>-+>--;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x;⎩⎨⎧<<-<<⇔62,51x x 或⎩⎨⎧>-<><6,2,5,1x x x x 或或 ,51<<⇔x 或2-<x 或6>x .∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ,或,或.解法二:原不等式化为0)6)(2()5)(1(>-+--x x x x .画数轴,找因式根,分区间,定符号.)6)(2()5)(1(-+--x x x x 符号∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ,或,或.说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解. 解法二中,“定符号”是关键.当每个因式x 的系数为正值时,最右边区间一定是正值,其他各区间正负相间;也可以先决定含0的区间符号,其他各区间正负相间.在解题时要正确运用.典型例题五例5 解不等式x x x x x <-+-+222322. 分析:不等式左右两边都是含有x 的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为0再解.解:移项整理,将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x . 由012>++x x 恒成立,知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x .解之,得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或.说明:此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法.避免误解的方法是移项使一边为0再解.另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程科学合理.典型例题六例6 设R m ∈,解关于x 的不等式03222<-+mx x m . 分析:进行分类讨论求解.解:当0=m 时,因03<-一定成立,故原不等式的解集为R . 当0≠m 时,原不等式化为0)1)(3(<-+mx mx ;当0>m 时,解得m x m 13<<-; 当0<m 时,解得mx m 31-<<.∴当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-m x m x 13;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x mx31. 说明:解不等式时,由于R m ∈,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因为当0=m 时,原不等式化为03<-,此时不等式的解集为R ,所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论.在解出03222=-+mx x m 的两根为m x 31-=,m x 12=后,认为mm 13<-,这也是易出现的错误之处.这时也应分情况来讨论:当0>m 时,mm 13<-;当0<m 时,m m 13>-.典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax .分析:先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类讨论求解.解:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ,得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ,故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+.当20≤<a 时,1212≤-+≤a a a,121>++a a ,不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ,不等式组(2)的解是1>x .当2>a 时,不等式组(1)无解,(2)的解是2a x ≥. 综上可知,当20≤<a 时,原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ;当2>a 时,原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a .说明:本题分类讨论标准“20≤<a ,2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >,1≤x ’,(2)中‘2ax ≥,1>x ’”确定的.解含有参数的不等式是不等式问题中的难点,也是近几年高考的热点.一般地,分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定.本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-.纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法.典型例题八例8 解不等式331042<--x x .分析:先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可. 解答:去掉绝对值号得3310432<--<-x x , ∴原不等式等价于不等式组⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<----<-06104010433104310432222x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<+->-.321,2500)12)(3(20)52(2x x x x x x x 或 ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-325021x x x 或.说明:解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等价转化为不等式组,变成求不等式组的解.典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x .分析:不等式中含有字母a ,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样:求出方程0)(322=++-a x a a x 的根,然后写出不等式的解,但由于方程的根含有字母a ,故需比较两根的大小,从而引出讨论.解:原不等式可化为0))((2>--a x a x .(1)当2a a <(即1>a 或0<a )时,不等式的解集为:{}2a x a x x ><或;(2)当2a a >(即10<<a )时,不等式的解集为:{}a x a x x><或2;(3)当2a a =(即0=a 或1)时,不等式的解集为:{}a x R x x≠∈且.说明:对参数进行的讨论,是根据解题的需要而自然引出的,并非一开始就对参数加以分类、讨论.比如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根a x =1,22a x =,因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根.但a 与2a 两根的大小不能确定,因此需要讨论2a a <,2a a >,2a a =三种情况.典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x .求不等式02>++a bx cx 的解集.分析:按照一元二次不等式的一般解法,先确定系数c 的正负,然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之.解:(解法1)由题可判断出α,β是方程02=++c bx ax 的两根, ∴a b -=β+α,ac =β⋅α. 又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ,说明0<a . 而0>α,0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac,∴0022<++⇔>++cax c b x a bx cx . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab ∴02<++cax c b x ,即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ,即0)1)(1(<β-α-x x .又β<α<0,∴β>α11,∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x . (解法2)由题意可判断出α,β是方程02=++c bx ax 的两根,∴ac=β⋅α. 又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ,说明0<a . 而0>α,0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac. 对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得0)1()1(2=+⋅+⋅c x b x a .令xt 1=,该方程即为02=++c t b t a ,它的两根为α=1t ,β=2t ,∴α=11x ,β=21x .∴α=11x ,β=12x ,∴方程02=++a bx cx 的两根为α1,β1. ∵β<α<0,∴β>α11. ∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x. 说明:(1)万变不离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;(2)结合使用韦达定理,本题中只有α,β是已知量,故所求不等式解集也用α,β表示,不等式系数a ,b ,c 的关系也用α,β表示出来;(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根.典型例题十二例12 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞,, ,求a 、b 的值.分析:不等式本身比较复杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于a 、b 式子.解:∵043)21(122>++=++x x x ,043)21(122>+-=+-x x x ,∴原不等式化为0)()2(2>-++--+b a x b a x b a .依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=-+->-+34231202b a b a b a ba b a , ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2325b a . 说明:解有关一元二次方程的不等式,要注意判断二次项系数的符号,结合韦达定理来解.典型例题十三例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ,求a 与b 的值.分析:此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为{}21<<-x x ,不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ,0>∆,022=-+bx ax 的两根为11-=x ,22=x .解法一:设022=-+bx ax 的两根为1x ,2x ,由韦达定理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+a x x ab x x 22121 由题意:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-21221aa b∴1=a ,1-=b ,此时满足0>a ,0)2(42>-⨯-=∆a b .解法二:构造解集为{}21<<-x x 的一元二次不等式:0)2)(1(<-+x x ,即022<--x x ,此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式,故需满足:2211--=-=b a ∴1=a ,1-=b . 说明:本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系,同时还考查逆向思维的能力.对有关字母抽象问题,同学往往掌握得不好.典型例题十四例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax .分析:本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法,因为含有字母系数,所以还考查分类思想.解:分以下情况讨论(1)当0=a 时,原不等式变为:01<+-x ,∴1>x (2)当0≠a 时,原不等式变为:0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时,①式变为0)1)(1(>--x ax ,∴不等式的解为1>x 或a x 1<. ②当0>a 时,①式变为0)1)(1(<--x ax . ②∵a a a -=-111,∴当10<<a 时,11>a ,此时②的解为a x 11<<.当1=a 时,11=a,此时②的解为11<<x a.说明:解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏.另外,解本题还要注意在讨论0<a 时,解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解.典型例题十五例15 解不等式x x x ->--81032.高一数学不等式解法经典例题分析:无理不等式转化为有理不等式,要注意平方的条件和根式有意义的条件,一般情况下,)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =,而)()(x g x f >等价于:⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f . 解:原不等式等价于下面两个不等式组:①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)8(103010308x x x x x x由①得⎩⎨⎧-≤≥>258x x x 或,∴8>x由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.1374258x x x x 或 81374≤<x , 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x 或,即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x . 说明:本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解,注意:⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f , 这里,设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032, 则所求不等式的解集为A 的补集A ,由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x . 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或,∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A .。