圆形磁场中的几个典型问题

圆形磁场中的几个典型问题

许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手, 分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题” 体类

型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明.

一、最值问题的解题关键一一抓弦长 1 .求最长时间的问题

例1真空中半径为 R=3X 10 m 的圆形区域内，有一磁感应强 度为B=0.2T 的匀强磁场，方向如图 1所示一带正电的粒子以初速 度v o =106m / s 从磁场边界上直径 ab 一端a 点处射入磁场，已知 该粒子比荷为q/m=108c / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁 场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以

V 。与

Oa 的夹角二表示）最长运动时间多长？

小结：本题涉及的是一个动态问题， 即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动， 但因其初速度方向变化， 使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化， 并且弦长的变化一定对

应速度偏转角的变化， 同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，

因而当弦长

为圆形磁场直径时，偏转角最大.

2 .求最小面积的问题

例2 一带电质点的质量为 m ，电量为q ,以平行于 Ox 轴 的速度v 从y 轴上的a 点射人如图3所示第一象限的区域.为 了使该质点能从 x 轴上的b 点以垂直于x 轴的速度v 射出，可 在适当的地方加一个垂直于 xoy 平面、磁感应强度为 B 的匀强

磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区 域的最小面积，重力忽略不计.

小结：这是一个需要逆向思维的问题， 而且同时考查了空间想象能力， 即已知粒子运动

轨迹求所加圆形磁场的位置.解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁 场中做匀

速圆周运动，所以粒子运动的

1 /4圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终

点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径.

上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长. 二、汇聚发散问题的解题关键一一抓半径

当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场， 如杲圆形磁场的半径与圆轨迹

半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入 射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒 子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等， 则所 有粒子都从磁场边界上的同一点射出， 并且出射点 的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

一做就错.常见问题 .对于这些问题，针对具

例3如图5所示，x 轴正方向水平向右， y 轴正方向竖直向

上.在半径为 R 的圆形区域内加一与 xoy 平面垂直的匀强磁场. 在 坐标原点 0处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射 具有相同质量 m 、电荷量q （ q > 0 ）且初速为v °的带电粒子，不 计重力.调节坐标原点

0处的带电微粒发射装置，使其在 xoy 平 面内不断地以相同速率

v 0沿不同方向将这种带电微粒射入

x 轴上

方，现要求这些带电微粒最终都能平行于 x 轴正方向射出，则带电

微粒的速度必须满足什么条件？

小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时， 要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径， 建

立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题.

三、边界交点问题的解题关键

一抓轨迹方程

例4如图7所示，在xoy 平面内x > 0区域中，有一半圆形 [ 匀强磁场区域，圆心为 0,半径为 R =0.10m ,磁感应强度大小为 B=0.5T ，磁场方向垂直xoy 平面向

里.有一线状粒子源放在 y 轴

一' * 左侧（图中未画出），并不断沿平行于 x 轴正方向释放出电荷量为

光X…厂

19 6

十

q=+1.6x 10- C ，初速度 v o = 1.6 x 10 m / s 的粒子，粒子的质量

「* :/ 26

■ K 为m =1.0x 10- kg ，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求： 从y 轴任意位置（0, y ）入射的粒子离开磁场时的坐标.

....

点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法相结合的物理模型, 题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点， 是对初等数学的抽象运用， 生思维.

四、周期性问题的解题关键一一寻找圆心角 1 .粒子周期性运动的问题

例5如图9所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为 R 的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为 B .现有一质量为 m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力） 点沿aA 方向射出.求：

（1 ）若方向向外的磁场范围足够大，离子自 A 点射出后在两

个

磁场不断地飞进飞出， 最后又返回 A 点，求返回A 点的最短时间及 对应的速度.

（2）若向外的磁场是有界的，分布在以 O 点为圆心、半径为 R 和 间的区域，上述粒子仍从 A 点沿QA 方向射出且粒子仍能返回 A 点， 最短时间.

2.磁场发生周期性变化 例6如图12所示，在地面上方的真空室内，两块正对的平行金属板水平放置.在两

板之间有一匀强电场，场强按如图

13

所示规律变化（沿 y 轴方向为正方向） 在两板正

中间有一圆形匀强磁场区

域，磁感应强度按图 14所示规律变化， 如果建立如图

12所示的坐标系，在

-

9

本

能较好的提高学

2R 的两半圆环之 求其返回 A 点的

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图5

图9