多元函数的定义域 极限
9-1,2-多元函数的概念极限和连续
P → P0
函数 f ( P ) 在点 P0 处连续。 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点， 的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续， 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断 点。
故函数在(0,0)处连续.
25
例6 讨论函数
xy 2 2 x2 + y2 , x + y ≠ 0 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性． 的连续性． 解 取 y = kx 2 xy k kx lim 2 = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1 + k y→ 0 y = kx 极限不存在． 其值随k的不同而变化， 的不同而变化， 极限不存在． 处不连续． 故函数在(0,0)处不连续 ．
3
(3)连通，区域，有界
(1)如果 E 中的任意两点可以用完全含于 E 的折线段 连接起来， 连接起来，则称其为连通 则称其为连通的 连通的； (2)连通的开集成为区域 连通的开集成为区域(域)，连通的闭集称为闭域 连通的闭集称为闭域； 闭域； (3)无洞的连通区域称为单连通 否则为多连通 无洞的连通区域称为单连通的 单连通的， 否则为多连通的 多连通的； (4) 如果 E 含于某一个 含于某一个(有限个)(圆心在原点的)圆( 的 并集)，则称其为有界 则称其为有界的 有界的，否则称为无界 否则称为无界的 无界的。
1 x− y
y x
3) z =
多元函数及其极限
多元函数及其极限多元函数在数学中起到重要的作用，与一元函数相比，多元函数是以多个自变量为输入并产生一个或多个因变量输出的函数。
本文将介绍多元函数的定义、性质以及多元函数的极限。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指含有多个自变量的函数，通常用f(x₁, x₂, …, xn)表示。
其中x₁, x₂, …, xn是自变量，f(x₁, x₂, …, xn)是因变量。
多元函数可以是实函数或复函数。
多元函数的性质主要包括：1. 定义域：与一元函数类似，多元函数也有定义域，即自变量的取值范围，使得函数有意义；2. 值域：多元函数的值域是函数的输出范围，可以是实数集或复数集；3. 奇偶性：多元函数也可以具有奇偶性，即函数在自变量取相反值时的表现是否相同；4. 有界性：多元函数是否存在上下界；5. 连续性：多元函数的连续性代表着函数在自变量连续变化时，函数值是否连续变化。
二、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋近于某一点或无穷大时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，多元函数的极限也可以分为以下几种情况。
1. 极限存在与不存在多元函数f(x₁, x₂, …, xn)在自变量(x₁₀, x₂₀, …, xn₀)处的极限存在，如果无论自变量如何接近(x₁₀, x₂₀, …, xn₀)，函数值f(x₁, x₂, …, xn)都趋近于某一确定值L。
数学上表示为：lim (x₁, x₂, …, xn)→(x₁₀, x₂₀, …, xn₀) f(x₁, x₂, …, xn) = L2. 极限的计算方法多元函数的极限计算方法与一元函数类似，可以通过直接代入、夹逼定理、极坐标转换等方法进行计算。
3. 偏导数多元函数的偏导数是指在函数中固定某些自变量，对剩余自变量求导数的过程。
一元函数的导数可以看作是对函数在某一点的率变化速度的测量，多元函数的偏导数可以看作是对函数在某一点沿着某一方向的变化速度的测量。
三、应用领域多元函数广泛应用于数学和其他学科中，例如：1. 物理学：多元函数用于描述物体的运动、力学等问题；2. 经济学：多元函数用于描述供求关系、成本函数等；3. 金融学：多元函数用于建立风险评估模型、资产定价模型等；4. 工程学：多元函数用于建立工程模型、优化设计等。
第1节多元函数的概念(二)
0
由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主 要概念、性质与二元函数类似. 因此，对于多元函数 微积分的研究主要以二元函数为主,多元函数微积分 可以由二元函数微积分类似推广.
小 结
一.多元函数的连续性
x x 0 , y y0
2.二元函数z=f (x, y)在区域D上的连续性 如果二元函数z=f (x, y)在平面区域D内 每一点都连续， 则函数z=f (x, y)在区域D内 连续，并称z=f (x, y)为区域D上的连续函数. 二元连续函数的图形 是空间中的一个不断开 (无孔无缝)的连续曲面。
四.多元函数的连续性
z
z f ( x, y )
x 0 y 0
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
lim z 0
二.闭区域上连续函数的性质
作业:P302 5(1)
四.多元函数的连续性
思考题1
设为空间任一有界闭区域，P为外 一点。问上是否一定有到P点最远和 最近的点存在？为什么？
四.多元函数的连续性
思考题1解答 有. 设P点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 )，Q( x , y , z )为上 任意一点 , 则两点间距离为
PQ ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2
它 上 连 函 ， 是 的 续 数 由闭区域上连续函 数的性质可知，一定有最大值和最小值存在
在(0,0)的连续性． 解 取 y kx
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k y0
y kx
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数的极限
y=kx 3 =
k
1+k2'
其值随k的不同而变化,
故极限不存在.
确定极限不存在的方法:
(1)令 P ( x, y )沿 y = kx 趋向于 R( x 0, y0)， 若 极限值与k有关，则可断言极限不存在；
(2)找两种不同趋近方式，使lim f (x,y)存在,
x T x0 y—yo
但两者不相等，此时也可断言f (x, y)在点 Po( x 0, y 0)处极限不存在・
二元函数的极限
定义1 设函数z = f (X, y)的定义域为 D, P0(x0,y0)是其
聚点，如果对于任意给定的正 数£，总存在正数 5 ,使得对于适合不等式 0 V| PP0|=J(x - Xo)_+(y - y。)2 < 5 的一切 点，都有I f (x,y) - A |V £成立，则称A为
1 y
y—
O
解
(x 2 + y 2)sin
1 x2 + y2
rJ
1
=x + y - sin x2 + y2
< x2 + y2
1
--
lim( x2 + y2 y
6
+
y2
不存在.
证取y = kx3,
X 3 - kx 3
lim
x -0
x 6 + k2 x 6
(2)
定义中P
T
X T xo y—yo
Po的方式是任意的；
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
例i.求 iim/xy+I -1 2. XTO XV
yrO
解原式=lim勺+ 1T
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
多元函数的极值判别式
多元函数的极值判别式多元函数的极值判别式一般用于多元函数的极值问题的求解。
在数学中，极值是指函数在给定函数定义域内的最大值或最小值。
求解多元函数的极值问题可以应用于各种实际问题，例如在经济学中，我们可以利用极值来确定最优的产量、价格等策略。
本文将介绍多元函数的极值判别式与其求解方法。
一、多元函数定义在多元函数中，变量不仅有一个，而是可以有多个，因此，多变量函数通常被表示为$f(x_1, x_2,...,x_n)$，其中$x_1,x_2,...,x_n$是自变量。
因此，多变量函数的极值点也是$n$维的向量$(x_1,x_2,...,x_n)$。
二、多元函数的极值定义多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在点$(x_{1_0},x_{2_0},...,x_{n_0})$处取得最大值或最小值，可以通过判定定义域内所有局部的最大值和最小值，即极值点，然后比较这些点的函数值来确定。
三、多元函数的极值判别对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，考虑在点$(x_{1_0},x_{2_0},...,x_{n_0})$处是否取得极值，其必要条件为$f$在此处的所有偏导数均为零或不存在。
此外，还需要检查$f$在此处的二次型，即$f$的Hessian矩阵的行列式$\Delta$和特征值，来确定极值点的分类，即判断该点是否为极大值点或极小值点。
1、$\Delta>0$且所有特征值均为正，此时函数取得极小值。
2、$\Delta>0$且所有特征值均为负，此时函数取得极大值。
3、$\Delta<0$，此时函数在该点没有极值。
4、$\Delta=0$，需要进一步讨论。
若存在至少一个特征值为$0$，则函数在该点没有极值。
若存在特征值不为$0$，则需要进一步判定此点是否为鞍点。
四、多元函数的极值求解方法1、首先，我们需要求出$f$的所有偏导数。
2、将所有的偏导数设置为零，得到方程组。
3、解方程组，找到所有的极值点。
高数多元函数微分学-多元函数的极值
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
y y2
1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.
15
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
Gx0
x02 a2
0,
y02 b2
Gy0
y02 c2
0, 1
Gz0 0
0
,
22
1
x0
2x0
a2
0
即
1 y0
2y0
b2
0
可得
13
例3
求z
x2
x y y2
的最大值和最小值.
1
解
由
( x2 y2 1) 2x( x y)
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值是指函数在其定义域内取得最大值或最小值的点。
要求一个多元函数的极值可以通过以下方法求解：
1. 求解偏导数，并令其等于0，得到一系列方程组。
2. 解出这些方程组，得到所有可能的极值点。
3. 对这些点进行极值的判断，即求出它们对应的函数值，并比较大小。
具体的求解过程中需要注意以下几点：
1. 当偏导数为0时，不能直接得出极值点，还需要进一步的判断。
2. 极值点可能不在定义域内，需要对所有可能的情况进行考虑。
3. 函数可能存在多个极值点，需要将它们全部找出来，并进行比较判断。
综合以上要点，在求解多元函数的极值时需要仔细分析问题，严格按照求解步骤进行操作，避免出现错误。
多元函数的极限及连续性
返回 2
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f ( x, y) ,
( x, y ) ( x0 , y0 )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
y2 y
lim lim
lim
lim( y 1) 1,
y0 x0
x y
y0 y
y0
x2 y2 x y
x2 x
lim lim
lim
lim( x 1) 1.
x0 y0
x y
x0 x
x0
当沿斜率不同的直线 y mx, ( x, y) (0, 0) 时, 有
x2 y2 x y 1 m
x)
lim ( x 1)
x0
1,
( y x2x)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
高等数学课件 同济四版
(
) )
2
,
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
x2 x2 − y2 , 2 2 2 f y (x , y ) = x + y 0,
(
(
)
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
7
x2 y2 2 x2 + y2 ≠ 0 f ( x, y) = ( x + y 2 ) 3 / 2 P85.7 x2 + y2 = 0 0 证明： 处连续且偏导数存在， 但不可微分。 证明： f ( x , y )在点(0,0)处连续且偏导数存在， 但不可微分。 提示： 提示： x2 y2 y2 x lim f ( x , y ) = lim 2 x=0 = lim 2 ⋅ 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 ⋅ x→0 x→0 ( x + y ) x→0 x + y (x + y ) y→0 y→0 y →0
0 0
z = f ( u, v ), u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ) ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
多元函数的定义域
多元函数的定义域在数学中，多元函数是指接受多个自变量并产生一个因变量的函数。
多元函数的定义域是指所有可能的自变量取值的集合，也就是函数的输入范围。
要确定多元函数的定义域，我们需要考虑自变量的限制条件以及函数的性质。
在多元函数中，每个自变量都有其取值范围，而函数的定义域是自变量取值范围的交集。
首先，我们来看一个简单的例子。
考虑一个二元函数f(x,y)= x^2+y^2，其中x和y是实数。
对于这个函数，我们可以发现它的定义域没有限制，因为实数集包含了所有可能的x和y值。
然而，并非所有的多元函数都没有限制。
考虑一个三元函数g(x,y, z)=1/(x+y+z)，其中x、y和z是实数。
这个函数在定义时需要注意分母不能为零，因此定义域需要排除使得分母为零的情况。
因此，定义域可以表示为x+y+z≠0。
对于更复杂的多元函数，确定定义域可能需要考虑更多的条件。
例如，考虑一个二元函数h(x,y)=sqrt(x^2-y)，其中x和y 是实数。
在这种情况下，函数的定义域需要满足x^2-y≥0，因为平方根函数的自变量不能为负数。
因此，定义域可以表示为x^2≥y。
除了简单的不等式条件外，定义域还可以受到其他限制，例如约束条件或特定问题的要求。
在应用数学中，定义域的限制可能与实际问题的物理性质或限制条件有关。
总结起来，多元函数的定义域是所有自变量取值范围的交集。
通过考虑自变量的限制条件、函数的性质以及特定问题的要求，我们可以确定多元函数的定义域。
对于不同的函数，定义域的确定可能需要应用不同的数学方法和条件。
通过深入理解多元函数的定义域，我们可以更好地分析和理解函数的性质，为解决实际问题提供数学工具和思维方法。
多元函数的极值及其求法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉 格 朗 日 乘 数 法
要 找 函 数zf(x,y)在 条 件(x,y)0下 的 可 能
极 值 点 ,
先构造函数 F(x, y) f (x, y) (x, y)，其中
为某一常数，可由
fx(x, y) x(x, y) 0,
0,
Ft(x, y,z,t) 0,
(x, y,z,t) 0, ( x , y , z , t ) 0 .
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2 x y 2 y z2 x z a 2 0 下， 求函数 V x( x y 0 ,y z 0 , z 0 )的最大值.
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极大值；
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极小值；
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 .
使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
例1 函数z 3x2 4y2
例 5求 zx 2x y 2 y 1的 最 大 值 和 最 小 值 .
解令
zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0, zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
四、小结
多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
8.4 多元函数的极值
f ( x, y ) > f ( x0 , y0 )
则称函数 f ( x, y ) 在点P0 ( x0 , y0 ) 有极小值 f ( x0 , y0 ) ,点 P0 称为函数的极小值点.极大值和极小值统称为极值, 使得函数取得极值的点称为极值点.
2.n元函数极值的概念: 2. 元函数极值的概念:设n元函数u=f(p)的定义域为 D 元函数极值的概念
f x ( x0 , y0 ) = 0 的点( x0 , y0 ) 称为函数的驻点. f y ( x0 , y0 ) = 0
极值的必要条件可重述为:可偏导函数的极值点必为驻点 可偏导函数的极值点必为驻点. 可偏导函数的极值点必为驻点 注: (1)但驻点不一定是极值点. 例如, 有驻点(0, 0), 但在该点不取极值.
z
y
思考: 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?x 提示: 利用对称性可知,x = y = z = 3 V0 提示:
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 提示: 长、宽、高尺寸相等 .
例2. 求函数 解: 求驻点. 第一步 求驻点. 解方程组
的极值.
得驻点: (1, 0),(1, 2),(–3, 0),(–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数 判别.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
4.二元函数极值的充分条件 4.二元函数极值的充分条件
1多元函数的概念及极限
x0 x
x0 xy
x0 xy x0
y2y2y2y2令u xy , u 0
lim sin xy lim sin u 1 x0 xy u0 u
y2
例8
求极限
sin( x2 y)
lim
x0
x2
y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
( x, y )( x0 , y0 )
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z
y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ；
x0
xy
y0
2、lim sin xy ； x0 x
y0
3、lim x0
1 (x
cos( x 2 y2
z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
•P0
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
微积分II全书整理
第一部分 多变量微分学一、多元函数极限论 1. 多元函数极限的定义：（1)邻域型定义:设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε，总存在正数δ,使得当点)(0P U D P δ⋂∈时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限,记作.)(lim 0A P f P P =→(２）距离型定义:设函数)(P f 的定义域为D ,0P 是D 的聚点,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P D ∈，且δρ<<),(00P P 时,都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限,记作.)(lim 0A P f P P =→注：①这里给出的是数学分析中国际通用的定义,已自然排除了0P 邻域内的无定义点; ②极限存在的充要条件：点P 在定义域内以任何方式或途径趋近于0P 时,)(P f 都有极限; ③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法,常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量=无穷小、夹挤准则等；④若已知)(lim 0P f P P →存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值;相反，如果发现点P 以不同的方式或途径于0P 时，)(P f 区域不同的值,则可断定)(lim 0P f P P →不存在.⑤二元函数的极限记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),00（或A y x f y y x x =→→),(lim 0.2. 多元函数的连续性：设函数)(P f 的定义域为D ,0P 是D 的聚点,如果0P D ∈,且有)()(lim 00P f P f P P =→,则称)(P f 在0P 处连续;如果)(P f 在区域E 的每一点处都连续,则称)(P f 在区域E 上连续．注:①如果)()(lim 00P f P f P P ≠→,只称“不连续”,而不讨论间断点类型；②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等． 3.二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二重极限都存在,则它们一定相等;反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在,又若两个累次极限存在且相等,称累次极限可以交换求极限的顺序.二、偏导数、全微分１.偏导数、全微分的相关理论问题 （以二元函数为例讨论)（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.),('),(),(lim 0000000y x f x x y x f y x f x x x ∆→=--;),('),(),(lim 0000000y x f y y y x f y x f y y y ∆→=--. （2）可微性：记),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆,则仅当0)()()(lim22=∆+∆∆+∆-∆→→y x y B x A z y x 时，),(y x f 在),(00y x 处可微，否则不可微.其中),('00y x f A x =,),('00y x f B y =． 注：等价于()22)()(y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆ 即()220000)()()(),(),(y x o y B x A y x f y y x x f ∆+∆=∆+∆--∆+∆+又即()()2020********)()())(,('))(,('),(),(y y x x o y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-=-+---记dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=为全微分),(y x f 在),(y x 处的全微分. 中值定理推广为:.1,0,),('),('2121<<∆∆++∆∆+∆+=∆θθθθy y y x f x y y x x f z y x （3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性,先用定义求),('00y x f x 和),('00y x f y ，用公式求),('y x f x 和),('y x f y ，判断),('),('lim 000y x f y x f x x y y x x =→→和),('),('lim 0000y x f y x f y y y y x x =→→是否都成立,如果都成立则偏导数连续. ④逻辑关系:极限存在偏导存在可微连续偏导连续⇒⇓⇑⇒2.多元函数微分法： (1)链式求导法则:①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；②求偏导就是“走路”的过程,有几条路,等号后就有几项；每条路上有几段,每项中就会有几部分相乘(注意：偏导写偏微分符号“∂”， 不偏则写微分符号“d ”); ③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等,要合并同类项）.（2)全微分形式不变性:仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立． （3）隐函数存在性及求导法则:①一个方程的情形(以三个变量为例）:设),,(z y x F 在点),,(000z y x 某邻域内偏导连续，且0),,(000=z y x F ，0),,('000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 内某邻域内可唯一确定单值函数),(y x z z =,这个函数在),(00y x 的某邻域内具有连续的偏导数,且''z x F F x z-=∂∂，''z y F F y z -=∂∂．结论不难推广到一般情形. ②方程组的情形:一般地,设方程组),2,1(0),,,;,,,(2121m i u u u x x x F m n i ==可确定m 个n 元函数),,,(21n i i x x x u u =．当雅可比行列式0),,,(),,,(11112212121112121≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=m m m m m m m u F u F u F u F u F u F u F u F u F u u u F F F J时,可以确定JJ x u j i *-=∂∂,其中*J 由将),,,(),,,(2121m m u u u F F F J ∂∂=分母中的第i 个元素替换成j x 得到.（雅可比行列式在横向上改变各自变量,纵向上改变各函数名称) 注:①求导前应事先判断，a 个变元,b 个方程可确定b 个)(a b -元函数； ②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性. ③经验结论:由0),(),,,(),,,(===v u F z y x v z y x u ψϕ确定的隐函数),(y x z z =,求22x z∂∂时,有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x v F x u F x u F A ；求y x z ∂∂∂2时，有0'')'(222122=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂y x vF y x u F yu x u F A ; 求22yz∂∂时,有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y vF y u F y u F A ， 其中=A 222112211122")'("''2")'(F F F F F F F +-．(0),(=y x F 的曲率:()232221)'()'(F F A+)三、多元微分学的几何学应用(以下的讨论主要为了计算,条件未必严格）1.曲线的切线和法平面:设曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x l : 在0P 处()()()000'''t z t y t x ，，都存在且不为0,则曲线l 在0P 处的: (1)切线方程为()()()000000'''t z z z t y y y t x x x -=-=-: (2）法平面方程为()()()0)(')(')('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x . 注:若曲线以⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 形式给出,切向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧，，，''''''''''''y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F ．2.曲面的切平面与法线：设曲面∑由方程0),,(=z y x F 确定,),,(z y x F 在点0P ),,(000z y x 处可微，且'''z y x F F F ，，不为0,则曲面∑在0P 处的：（1）切平面方程为0)(')(')('000=-+-+-z z F y y F x x F z y x (导数已经代入0P 坐标）； (２)法线方程为'''000z y x F z z F y y F x x -=-=-. 注:二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量. 3．方向导数: (1）定义式：0)()(limPP P f P f lu P P P -=∂∂→→（２）若函数),,(z y x f 在点0P 处可微,那么),,(z y x f 在点0P 处沿所有方向的方向导数存在，且γβαcos cos cos 0zfy f x f lf P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂→，其中γβαcos ,cos ,cos 为→l 的方向余弦．注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在． 4.梯度：(1）计算:gra ｄ u =x u ∂∂i +y u ∂∂j +xu∂∂k ； （２）ｇｒad ｕ是)(P u 在点P 的变化量最大的方向,其模等于这个最大变化率; （3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似； (4）方向导数等于梯度在该方向上的投影.四、极值与最值问题1.二元函数的非条件极值问题(1）极值的必要条件:对偏导数存在的函数),(y x f ，在),(00y x M 处有极值的必要条件是0),(),(0000=∂∂=∂∂yy x f x y x f .(可推广到三元及以上）（2）极值的充分条件:设),(00y x M 为函数),(y x f 的驻点，且),(y x f 在),(00y x 处连续，记AC B y x f A C y x f B y x f A yy xy xx -=∆====2000000),,("),,("),,("，则: ①0<∆时,),(00y x 是极值点，当0>A 时，),(00y x f 为极小值;当0<A 时,),(00y x f 为极大值；②0>∆时,),(00y x 不是极值点; ③0=∆时,此法失效，另谋它法.注：本方法不可推广到三元及以上,三元及以上的充分条件中,要求黑塞矩阵正定或负定.(本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题) ２．条件极值与拉格朗日乘数法(1）一般情况下的拉格朗日乘数法:求函数),,,(21n x x x f u =在条件),,,(21n i x x x ϕ下的条件极值),,2,1(n m m i <= ,可以从函数),,,(),,,(),,,,,(2112111n i mi i n n n x x x x x x f x x F ϕλλλ∑=+=的驻点中得到可能的条件极值的极值点． 步骤:①构造辅助函数；(注意：变量均为独立变量） ②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组; ③解方程组得到所有驻点.(解无定法,尽量利用观察法） (2）对“条件极值”的解读：事实上,只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃.由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵.而出题人为了回避这一知识点,通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法.由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值.所以,出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察.五、习题１．已知方程02222=∂∂+∂∂y u x u 有⎪⎭⎫⎝⎛=x y u ϕ形式的解,求出此解.2.已知二元函数),(y x f z =可微,两个偏增量:,3)32(322222x y x xy x y x z x ∆+∆+∆+=∆.2233y x y y x z y ∆+∆=∆且,1)0,0(=f 求).,(y x f3.设0),(222=++++z y x z y x F 确定),(y x z z =,其中F 有二阶连续偏导数,求.2yx z∂∂∂ 4.已知函数),(y x f z =可微，且有，0≠∂∂xz满足方程.0)(=∂∂+∂∂-y z y x z z x 现在将x 作为z y ,的函数,求.yx∂∂ 5.设),,(t x f y =t 是由方程0),,(=t y x F 确定的x ,y 的函数，其中F 和f 均有一阶连续的偏导数，求.dxdy 6．设),,(),,(),,(v u f z v u y v u x ===ψϕz 是x ，y 的二元函数,求x z ∂∂及.yz∂∂ ７．求函数)ln(22z x e w y+=-在点),1,(2e e 处沿曲面uv v u v u e z e y e x ===-+,,的法线向量的方向导数.８.求g ｒa ｄ[c ·r +21ｌn(c ·r )],其中c 为常向量，r 为向径，且c ·r >０. 9.设二元函数f 在),(000y x P 点某邻域内偏导数'x f 和'y f 都有界,证明：f 在此邻域内连续. 10.设),(00'y x f x 存在,),('y x f y 在),(00y x 处连续,证明：),(y x f 在),(00y x 处可微.１１.证明:函数⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2233y x y x y x y x y x f ，，在原点处偏导数存在但不可微.12．设),(y x z z =是由方程⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ确定的二元函数,其中ϕ有连续的二阶导函数，证明：.222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂=∂∂⋅∂∂y x z y z x z 13.证明:曲面)2(2z y f ezx -=-π是柱面,其中f 可微．第二部分 多变量积分学一、各类积分的计算公式及意义(一）二重积分 1.计算公式①直角坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121,,,y x y x dcbax y x y Ddx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f②极坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121.sin ,cos sin ,cos ,r r bar r Dd r r f rdr rdr r r f d dxdy y x f ϕϕβαθθθθθθθθ③二重积分的变量替换:()[]dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f uvxy),(),(),(),,(,∂∂=⎰⎰⎰⎰σσ2．几何意义：()0,≥y x f 时，表示以0=z 为底,以()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积. 3.物理意义:各点处面密度为()y x f ,的平面片Ｄ的质量． (二)三重积分 1.计算公式①直角坐标系下的三重积分: (1）柱型域:投影穿线法（先一后二法）:()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z Vdz z y x f dxdy dV z y x f xy,,21,,,,σ（２)片型域：定限截面法(先二后一法)：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=zD z z Vdxdy z y x f dz dV z y x f ,,,,21②柱面坐标系下的三重积分：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθθθθθθθθ2121,,,sin ,cos ,sin ,cos ,,r r r z r z VVdzz r r f rdr d dz rdrd z r r f dV z y x f ③球面坐标系下的三重积分：()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ϕθϕθθϕθϕβαϕθϕθϕϕϕθϕθϕϕθϕθϕ,,222121cos ,sin sin ,cos sin sin sin cos ,sin sin ,cos sin ,,r r VVdrr r r r f d d drd d r r r r f dV z y x f④三重积分的变量替换:()[]dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dV z y x f uvwxyzV V ),,(),,(),,(),,,(),,,(,,∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．物理意义：各点处体密度为()z y x f ,,的几何形体Ω的质量.（三)第一型曲线积分: 1．计算公式①平面曲线的情形：(1)()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:则()()()()()().,,22⎰⎰'+'=b aC dt t y t x t y t x f ds y x f(2)()b x a x g y C ≤≤=,:则()()()()⎰⎰+=baCdx x g x g x f ds y x f .'1,,2(3）()βθαθ≤≤=,:r r C 则()()()()()()⎰⎰'+=βαθθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f C②空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:：()()()()()()()().',,,,222⎰⎰+'+'=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f C2．几何意义:以C 为准线,母线平行于z 轴的柱面介于0=z 与()y x f z ,=间的面积. 3.物理意义：各点处线密度为()y x f ,(或()z y x f ,,）的曲线C 的质量. (四）第一型曲面积分: 1.计算公式:()()().1,,,,,22⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xydxdy y z x z y x z y x f dS z y x f Sσ ２.物理意义：各点处面密度为()z y x f ,,的曲面S 的质量. （五）第二型曲线积分：1.计算公式：①平面曲线的情形：()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:⎰⎰+=+baCt dy t y t x Q t dx t y t x P dy y x Q dx y x P )())(),(()())(),((),(),(②空间曲线的情形:()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((),,(),,(),,(t dz t z t y t x z t dy t z t y t x Q t dx t z t y t x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P baC ⎰⎰++=++２.物理意义:力场F ＝Ｐ（ｘ，y ，z )i + Q （ｘ，y ,z )j +R （x ,ｙ,z )k 沿有向曲线C 所做的功.（六）第二型曲面积分: 1.计算公式:.)),(,,()),(,,()),(,,(),,(),,(),,(⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-±=++xy dxdy y x z y x R y x z y x Q y z y x z y x P x z dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P Sσ 2. 物理意义:流速场v=P （x ,ｙ,z ）i + Q （ｘ,y ,z )ｊ+R (x ，ｙ，ｚ)k 单位时间通过有向曲面Ｓ流向指定一侧的净通量.二、各种积分间的联系1. 第一型曲线积分与第二型曲线积分：[]⎰⎰++=++CCds R Q P Rdz Qdy Pdx .cos cos cos γβα2. 第一型曲面积分与第二型曲面积分：[].cos cos cos ⎰⎰⎰⎰++=++SSdS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz γβα3. 第二型曲线积分与二重积分（Gr ｅen 公式):.dxdy y P x Q Qdy Pdx D C ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+4. 第二型曲面积分与三重积分(Gaus ｓ公式):.dV z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz S V ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++5． 第二型曲线积分与第二型曲面积分（Ｓtokes 公式）：.dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx S C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰ 三、各种积分的通用性质1.黎曼积分的性质1°()()[]()().⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f βαβα2°()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ω21d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω⋃Ω21，且1Ω与2Ω无公共内点.3°若()()P g P f ≤，Ω∈P ,则()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f若()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ<Ωd P g d P f４°()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f5° 若()P f 在积分区域Ω上的最大值为M ,最小值为m ，则().Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m6° 若()P f 在有界闭区域Ω上连续，则至少有一点Ω∈*P ，使()().Ω=Ω*Ω⎰P f d P f7° 若2R ⊂Ω关于坐标轴对称，当()P f 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0;若3R ⊂Ω关于坐标平面对称,当()P f 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0．8° 将坐标轴重新命名,如果积分区域不变,则被积函数中的x ,y ，z 也同样作变化后,积分值保持不变.２.第二型积分的性质1° 设-Ω是与Ω方向相反的几何体,则.)()(→Ω→→Ω→Ω-=Ω⎰⎰-d P A d P A2° ()()()().⎰⎰⎰Ω→→Ω→→Ω→→Ω±Ω=Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡±d P B d P A d P B P A βαβα3°若21Ω+Ω=Ω,则.)()()(21→Ω→→Ω→→Ω→Ω+Ω=Ω⎰⎰⎰d P A d P A d P A4°若e p ()P A →⊥，,Ω∈P 则.0)(=Ω→Ω→⎰d P A5°设,Ω∈P e p ={}P P P γβαcos cos cos ，，，()P A →＝{})(),(),(P R P Q P P ,则[]⎰⎰Ω→Ω→Ω++=Ωd P R P Q P P d P A P P Pγβαcos )(cos )(cos )()(６° 将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程不变,则被积函数中的ｘ,y ，z 也同样作变化后，积分值保持不变．四、各种积分的应用１.形心坐标公式：(),ΩΩ=⎰Ωxd M x μ()().,ΩΩ=ΩΩ=⎰⎰ΩΩzd M z yd M y μμ质心坐标公式：()(),⎰⎰ΩΩΩΩ=d M xd M x μμ()()()().,⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩ=ΩΩ=d M zd M z d M yd M y μμμμ2.转动惯量:()().2⎰ΩΩ=d M r M I μ 3.旋度：r ｏｔF (Ｍ）＝ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z Q y R i +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x R z P j +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂y P x Q ｋ.4.散度：div F (Ｍ)= .Mz R y Q x P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ 五、习题1.计算,2dxdy y D⎰⎰其中Ｄ由横轴和摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 的一拱)0,20(>≤≤a t π围成. 2.计算,)(sin 12dxdy y x D⎰⎰+-其中Ｄ: .0,0ππ≤≤≤≤y x 3.计算,222dxdy y x a D⎰⎰--其中D : .0,,22>≥≤+a x y ay y x 4．计算,22dxdy y x D⎰⎰+ 其中D ： .0,0a y a x ≤≤≤≤5．计算[],)(1⎰⎰⎰+VdV z xf y 其中V 是由不等式组2230,1,11y x z y x x +≤≤≤≤≤≤-所限定的区域，)(z f 为任一连续函数.6．计算,222⎰⎰⎰+VdV z y x 其中V 是由不等式组1)1(,1222222≤-++≥++z y x z y x 所确定的空间区域. 7.计算,1222⎰⎰⎰-++VdV z y x 其中V 是由锥面22y x z +=和平面1=z 围成的立体．8.计算,)32(⎰⎰⎰++VdV z y x 其中V是顶点在)000(，，处,底为平面3=++z y x 上以)111(，，为圆心，１为半径的圆的圆锥体.8.计算,⎰lxds 其中l 为双曲线1=xy 上点)2,21(到)1,1(的弧段.9.计算⎰++Lds xy zx yz ,)222(其中L 是空间圆周.232222⎪⎩⎪⎨⎧=++=++az y x a z y x10.计算，ds z y x z D⎰⎰),,(ρ其中S 是椭球面122222=++z y x 的上半部分,点π,),,(S z y x P ∈为S 在点Ｐ处的切平面,),,(z y x ρ为原点)000(，，到平面π的距离.1１.计算,cos )sin 1(2⎰--+ly y xdx e dy x e x 其中l 是由由原点沿2x y =到点)1,1(的曲线.12.计算⎰Γ+++++,)()()(222222dz y x dy x z dx z y 其中(),024:22222>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++Γz xy x xz y x从z 轴正向看Γ取逆时针方向.1３．计算,)()(22⎰+++-ly x dy y x dx y x 其中l 为摆线⎩⎨⎧-=--=ty t t x cos 1sin π从0=t 到π2=t 的弧段. 1４.计算,)6()22(22223ydxdy z dzdx x z y x zy dydz e xx S-+++--⎰⎰-π其中S 是由抛物面224y x z --=,坐标面xo ｚ,yo ｚ及平面1,1,21===y x y z 所围成的立体表面的外侧. １5.计算,)()()(232323dxdy x z dzdx z y dydz y x S-+-+-⎰⎰其中S 是由锥面22z x y +=与半球面)0(222>--+=R z x R R y 构成的闭曲面的外侧.16.计算,dxdy y x f y z z dzdx y x f dydz y x f y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰∑其中∑是由122++=z x y 和229z x y --=所围立体表面的外侧， )(u f 是有连续导数的函数．17.计算,4)1(2)18(2dxdy yz dzdx y xdydz y S ⎰⎰--++其中S 是由()3101≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y z 绕y 轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与y 轴正向夹角恒大于.2π1８．计算,222dzdx z x Sy ⎰⎰+其中Ｓ是曲面22z x y +=及1=y ,2=y 所围立体表面外侧．１9.求闭曲面z a z y x 32222)=++（所围成的立体体积. 20.求锥面222x z y =+含在圆柱面222a y x =+内部分的面积．21.求由曲线L ：)21(ln 2142≤≤-=x x x y 绕直线8943-=x y 旋转形成的旋转曲面的面积． 22.求平面曲线段l :)10(233≤≤+=x x x y 绕直线Ｌ：x y 34=旋转形成的旋转曲面的面积. 23.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，并设,)(1⎰=A dx x f 求⎰⎰110.)()(xdy y f x f dx24.求线密度为x 的物质曲线()0222222≥⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z Rxy x Rz y x 对三个坐标轴转动惯量之和. ２5.设r =x i +ｙj ＋z k , r=|r ｜．（１)求)(r f ,使div[)(r f r ］=0;（２）求)(r f ,使ｄi ｖ[grad )(r f ]=0.26.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续、正值且单调下降,证明：.)()()()(110210102⎰⎰⎰⎰≤dx x f dxx f dxx xf dxx xf2７.设函数)(t f 连续，证明:⎰⎰⎰--=-DAAdt t A t f dxdy y x f .|)|)(()(２8.证明:()),0()323(31085335>+≤+++≤⎰⎰∑a a a dS a z y x a ππ其中∑是球面:.022222222=+---++a az ay ax z y x29．设Γ是弧长为s 的光滑曲线段，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ上连续,且.max 222R Q P M ++=Γ证明:.Ms Rdz Qdy Pdx ≤++⎰Γ30．设在上半平面{}0|),(>=y y x D 内函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t ,都有).,(),(2y x f tty tx f -=证明:0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L,其中L 是D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线.第三部分 无穷级数一、数项级数（一）数项级数的基本性质１．收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. ２.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .(即部分和数列收敛)3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛),而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4．对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5．在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 １.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2)比较判别法(放缩法):若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ,那么 （i)当级数∑∞=1n nv收敛时,级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii)当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤,那么 （i)当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；(ii)当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.(3)比较判别法的极限形式（比阶法)：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ,若0lim>=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.(注:可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容)另外，若0=l ,则当级数∑∞=1n nv收敛时,级数∑∞=1n nu亦收敛;若∞=l ,则当级数∑∞=1n nu发散时,级数∑∞=1n nv亦发散．常用度量： ①等比级数:∑∞=0n nq，当1<q 时收敛,当1≥q 时发散；②ｐ-级数:∑∞=11n p n ,当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数:()∑∞=2ln 1n pn n ,当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数:∑∞=--111)1(n pn n ,当1>p 时绝对收敛,当10≤<p 时条件收敛. (4)达朗贝尔判别法的极限形式(商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ,当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛;当1lim 1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （５)柯西判别法的极限形式(根值法）:对于正项级数∑∞=1n nu,设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛,1>r 时发散,而当1=r 时需进一步判断． (６）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数,非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降,且自某项以后成立着关系:n n u u f =)(,则级数∑∞=1n nu与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1)绝对收敛与条件收敛:①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu,将它的所有正项保留而将负项换为0,组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=;将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=,那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛,则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛,它们的和分别为U 和V ,则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛,且和为UV .特别地，在上述条件下,它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注:⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ,这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .(2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少(即1+≥n n u u ),则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项,且余和的符号与第一项符号相同,余和的值不超过余和第一项的绝对值．二、函数项级数(一)幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 (1)柯西－阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛,在R x x >-0内发散,其中R 为幂级数的收敛半径. （２)阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛,则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散,则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1:若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛,则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散．推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ,若又有0>n a ,则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim 1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性,取并集.２.幂级数的运算性质(1)幂级数进行加减运算时，收敛域取交集,满足各项相加；进行乘法运算时,有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2)幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在Rx x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.(3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 (1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ,x ∈（-∞， +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-１, １）． 从而，∑∞=-=+0)(11n n x x ，∑∞=-=+022)1(11n nn x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ,x ∈(－∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ,x ∈(-∞， +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1].⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα,x ∈(-1， １).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ,x ∈［-1， 1］.⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, １]. （2）常用的求和经验规律:①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ,可以与x 的幂合并,如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ，对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开; ⑤有些和函数满足特定的微分方程,可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. (二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理(本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ］上满足: ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点;则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛． 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3．以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（１)在[－l , ｌ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10;(2）正弦级数与余弦级数:①奇函数(或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π;４.一些在展开时常用的积分: (1);0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx n nxdx n(2)2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；(3)2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin nnxdx x n nxdx x n nxdx x nn n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；; （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22; C nx a nx n e na nxdx e axax +++=⎰)cos sin (1cos 22; (５）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ;C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注:①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性; ③对于π≠l 的情形,事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.五、习题１.判断下列数项级数的敛散性,若收敛，不是正项级数的指出是绝对收敛还是条件收敛. （1）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n ；(2）nn n βα∑∞=1，其中β非负;（3）∑⎰∞=140tan n n n xdx λπ,其中0>λ；（4)np n n n1111)1(+∞=-∑-;(5）n n nnn !)(1∑∞=-α，其中0>α； (6)!)!12(!)!32()1(2---∑∞=n n n n．2．求幂级数nn n n x n ∑∞=+132的收敛域. 3.求幂级数nn n n x n b n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的收敛域，其中b a ,为正数．4.将下列函数展开成x 的幂级数. (１)xx 21-;（2）x arcsin ；（3）x x x x -+-+arctan 2111ln 41. ５.求下列幂级数的收敛域及和函数．（1）n n n x n ∑∞=+-121)1(;(２))12()1(211--∑∞=-n n x n n n ; (３)()∑∞=03!3n nn x ; 6.求数项级数∑∞=-⋅-1212)!2(2)1(n nn n n 的和. 7.设(),arctan )(2x x f =分别求出)0()12(-n f 和)0()2(n f .8.求极限∑⎰∞=+→+112sin 0202)sin(lim n n n xx n x dt t . 9.求极限.)!14(!11!7!31)!34(!9!51lim 448444840-++++-++++--→n n n n x ππππππ10．将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=l x l x l l x x x f 2,20,)(展开成正弦级数.1１.将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=l x l l x l x x f 2,020,cos )(π展开成余弦级数. 12．将函数)arcsin(sin )(x x f =展开成傅里叶级数． １3.证明：幂级数n n n k x n k ∑∑∞==112)!2()!(在)3,3(-内绝对收敛. 14.求函数⎰-+=πππdt t x f t f x F )()(1)(的傅里叶系数nn B A ,,其中)(x f 是以π2为周期的连续函数,n n b a ,是其傅里叶系数．并证明：).(2)(1212202n n n b a a dt t f ++=∑⎰∞=-πππ。
多元函数微分学
2 2
问在(0,0)处，f(x, y)的偏导数是否存在？偏 Biblioteka 数是否连续？f(x, y)是否可微？
5.方向导数 , 定义5 设 z f ( x , y )在 点M 0 ( x0, y0 )的 某 邻 域 内 有 定 义
xy si n x y ) （ 证 明l i m 0. 2 2 x 0 x y y 0
si n ( ) xy 求lim x 0 y y 0
例2
例3
xy 2 lim 2 是否存在? 4 x 0 x y y0
xy l n (x 2 y 2 ) x 2 y 2 0, 研 究 函 数 ( x, y) f 0 x2 y2 0 在( 0,0)处 的 连 续 性 。
(2) z x 4 y 3 2 x
在1, 2处
( 34dx 12dy)
xy x2 y2 0 2 例9 设f ( x , y ) x y 2 x2 y2 0 0 求f x (0,0), f y (0,0), 并 讨 论 f ( x , y ) 在 (0,0) 处 的 可 微 性 .
在 点M 0沿 任 一 方 向的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 l
M0 M0
当 l 与grad f ( M 0 )同方向时，z在M 0的方向 导数取最大值，且最大 grad f ( M 0 )， 值 当 l 与grad f ( M 0 )反方向时，z在M 0的方向 导数取最小值，且最小 grad f ( M 0 ) 值
多元函数微分法
1. 多元函数的极限:
8.1 多元函数的概念与极限
3 有界点集 若存在的点 A及常数 M 0, 使得 P G 都有
PA M , 则称 G 是有界的。
例如：
A
M
( x, y) | 1 x
2
y2 4
有界闭区域
( x, y) | x y 1 无界开区域
二 多元函数的定义
定义1 设 D R 2 , 称映射
则称点 P0 是 G 的内点。 若 G 中的点全是它的内点，
则称 G 是开集。 例如：
G ( x, y) | 1 x 2 y 2 4 开集
P0
（不是内点）
P0
（2）边界点于边界
若点 P0 的任一邻域内既有 G 中的点又有不在 G 中的点, 则称点 P0 是 G 的边界点。 G 的全体边界点组成的集合, 称为 G 的边界，记为 G.
第八章 多元函数的微分法及其应用
§8.1 多元函数的概念与极限
一 平面上的点集 二 多元函数的定义
三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性
一 平面上的点集
1 邻域 设 P0 ( x0 , y0 ) R 2 , 0, 称点集
U ( P0 , ) P | PP0
( x, y ) | ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
2
(4) lim (1 xy) x 0
y 0
y 0
解 (1) lim x 0
y 0
xy 4 2 lim x 0 xy y 0
1 1 xy 4 2 4
x 0, y 0
(2)
sin xy x2 y 2
1 2 x y2 x2 y 2 2
多元函数的极值点
多元函数的极值点
多元函数的极值点是指在给定的定义域内，函数取得最大值或最小值的点。
多元函数的极值点可以通过求导和解方程来求解。
具体地，对于二元函数，可以通过偏导数来求得极值点，而对于更高维的函数，则需要使用多元微积分的知识进行求解。
在实际应用中，多元函数的极值点可以用于优化问题的求解，例如在经济学、工程学等领域中的最优化问题。
在数学中，多元函数的极值问题也是研究的重要内容之一，涉及到微积分、优化理论、数学分析等多个学科领域。
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