一元二次方程的解法课件
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21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
一元二次方程的解法-公式法》PPT课件
解：化简为一般形式：x 2 3 x 3 0
2
a 1、 b -2 3、 c 3 2 2 b 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2 ∴ x1 x2 3
结论：当b2-4ac=0时，一元二次方程有两 个相等 的实数根.
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数， 求这个三角形的三边长．
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2
即x 8x 0.
2
B
解这个方程 ,得
x1 8, x2 0(不合题意 , 舍去).
x 2 6, x 2 10.
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x2 3 2 3 x
解： 原方程化为：x 2 2 3 x 3 0
a 1 ，b 2 3，c 3
b 4ac 2 3 4 1 3 0
2
2
（ 2 3） 0 2 3 x 3 21 2 x1 x2 3
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系 数）; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
（a≠0）
2
a 1、 b -2 3、 c 3 2 2 b 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2 ∴ x1 x2 3
结论：当b2-4ac=0时，一元二次方程有两 个相等 的实数根.
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数， 求这个三角形的三边长．
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2
即x 8x 0.
2
B
解这个方程 ,得
x1 8, x2 0(不合题意 , 舍去).
x 2 6, x 2 10.
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x2 3 2 3 x
解： 原方程化为：x 2 2 3 x 3 0
a 1 ，b 2 3，c 3
b 4ac 2 3 4 1 3 0
2
2
（ 2 3） 0 2 3 x 3 21 2 x1 x2 3
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系 数）; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
（a≠0）
一元二次方程解法公式法初中数学课件完美版PPT
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
,用公式法解下列方程
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1: 2.移项: 3.配方:; 4.变形: 5.开方: 6.求解: 7.定解:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
x 9 17. 44
x 9 17. 44
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
x19417;x29417. 7.定解:写出原方程的解.
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解 xx2x :当 2xba22bbaxba2 ba2x4x2abba2cacac42a.0 4时 20a.,c2b.a2ac方.右5系12程4..3.边.开数化移.两变配合方绝1项边形:方并:对把:开:根:把同方值二方平据常类程一次程方平数;左半项 两;方项分的系边根移解平数都意到因方化加义方式;为上,程,一1的;次右项边;
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x7211217211,
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
x b
b2 4 α c 2α
一元二次方程的解法 公式法 课件
2 --） （x1 = 1x2 =- --） 3 （x1 = x2 = ）
Байду номын сангаас
b2-4ac=-----
0
（2） x2 - 2 ）
x+2= 0
鲜花为你盛开，你一定行！ 鲜花为你盛开，你一定行！
你能编一个有解的一元二次 方程吗？ 方程吗？ 试一试，考考你的同学吧！ 试一试，考考你的同学吧！
这是收获的 一、由配方法解一般的一元二 时刻， 时刻，让我 们共享学习 的成果
)2 =
-q
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一般形式的一元二次方程 a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0)
a,得 解:把方程两边都除以 a,得x2 + 移项，得 移项， 配方， 配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 + x2 + x+( x= )2 =)2 = +( )2 x+ = 0
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 × ×
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
用公式法解下列方程： （口答）填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2 . ： 1、x2 +2x =5 （x1=-1+ ，x2 =-1）
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 x1 = -2 , = x2 = . = 2、 6t2 -5 =13t . ，t2 = （t1 =
等腰
用配方法解一元二次方程的步骤： 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 +px+q=0的形式 的形式。 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 +px=2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 的一半的平方。 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2 = -q+( )2
Байду номын сангаас
b2-4ac=-----
0
（2） x2 - 2 ）
x+2= 0
鲜花为你盛开，你一定行！ 鲜花为你盛开，你一定行！
你能编一个有解的一元二次 方程吗？ 方程吗？ 试一试，考考你的同学吧！ 试一试，考考你的同学吧！
这是收获的 一、由配方法解一般的一元二 时刻， 时刻，让我 们共享学习 的成果
)2 =
-q
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一般形式的一元二次方程 a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0)
a,得 解:把方程两边都除以 a,得x2 + 移项，得 移项， 配方， 配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 + x2 + x+( x= )2 =)2 = +( )2 x+ = 0
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 × ×
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
用公式法解下列方程： （口答）填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2 . ： 1、x2 +2x =5 （x1=-1+ ，x2 =-1）
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 x1 = -2 , = x2 = . = 2、 6t2 -5 =13t . ，t2 = （t1 =
等腰
用配方法解一元二次方程的步骤： 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 +px+q=0的形式 的形式。 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 +px=2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 的一半的平方。 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2 = -q+( )2
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
一元二次方程的解法ppt课件
谢谢！
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心. Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱. Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
世界上最好的课堂在老人的脚下. Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉. Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要. You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
一元二次方程的解法 专题复习
授课教师：唐晓庆
(1)直接开平方法 (2)因式分解法 (3) 配方法 (4)公式法
直接开平方法
形如： ax2 c 0(a 0)
例如：9x2 27
(2x 1)2 5 0
因式分解法
提公因式法：
ax2 bx 0(a 0)
3x(x 2) 5(x 2) 0
因式分解法
提公因式法：
ax2 bx 0(a 0)
3x(x 2) 5(x 2) 0
解一元二次方程PPT课件
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x 3 2 3x
2
2
解： 原方程化为：x 2 2 3x 3 0
a 1, b 2 3, c 3
2
x1 x2 0
结论：当 相等的实数根.
2 3 0 2 3 x 3 2 1 2
b 2 4ac 0
2
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时，方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时，方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时，方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 4 24 4 2 6 x= = 2 1 = 2. 即 x1 = 2 6 , x2 = 2 6 .
练习:
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
完全平方公式？
配方法
我们通过配成完全平方式 （x n） a(a 0) ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
《一元二次方程的解法》课件PPT 苏科版
方式的结构特征，当二次项系数为1时， 常数 项是一次项系数一半的平方．
感悟新知
归纳
知1－讲
1. 当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数， 则常数项为一次项系数一半的平方；已知常 数项，则一次项系数为常数项的平方根的两 倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数 为1，然后再配方．
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2－练
感悟新知
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2－练
知2－练
(2)2x2＋1＝3x；
分析：(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解： (1) 移项，得 x2－8x＝－1.
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15.
感悟新知
1 填空：
(1)x2＋10x＋_2_5__＝(x＋__5__)2；
知1－练
(2)x2－12x＋_3_6__＝(x－__6__)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2
(4)x2－ 3 x＋____＝(x－____)2.
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )
感悟新知
归纳
知1－讲
1. 当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数， 则常数项为一次项系数一半的平方；已知常 数项，则一次项系数为常数项的平方根的两 倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数 为1，然后再配方．
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2－练
感悟新知
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2－练
知2－练
(2)2x2＋1＝3x；
分析：(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解： (1) 移项，得 x2－8x＝－1.
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15.
感悟新知
1 填空：
(1)x2＋10x＋_2_5__＝(x＋__5__)2；
知1－练
(2)x2－12x＋_3_6__＝(x－__6__)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2
(4)x2－ 3 x＋____＝(x－____)2.
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )
一元二次方程的解法—公式法ppt课件
k≠0
k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项 系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理 为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1； 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
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的值总大于零,再求出当 x取何值时，代数式x2-6x+10的 值最小，最小值是多少?
【解析】x 2 6 x 10 x 2 6 x 9 1 ( x 3) 2 1, ( x 3) 2 0 , (x-3) 2 1 0, 不论x取何值,代数式x 2 -6x 10的值总大于零, 当x-3 0时, 即x 3时, 代数式x 2 -6x 10的值最小,最小值是1.
答案：x=3
或x= -3
3 x 2
9 0 (2x 1)
2
答案：x= -5 或x=1
答案：x =3或
1 x 3
2.运用根的定义解题
例1：关于x的方程(m-3) x 么m的值为多少？ 【解析】m2-7=2且m-3≠0, 进而求出m的值为-3 .
m2 7
-x+3=0为一元二次方程，那
b b 2 4ac 2 x (b 4ac 0). 2a
典例解析
1.一题多解
解法1
2
例1
解方程 2x 7x 3 0
2
配方法
7 3 7 3 2 2(x x ) 0, x x 0, 2 2 2 2 7 7 2 3 7 2 2 x x ( ) ( ) , 2 4 2 4
7 2 25 (x ) , 4 16
7 5 1 x , x1 3,x 2 . 4 4 2
解法2
因式分解法 (x-3)(2x-1)=0
x-3=0 或 2x-1=0
1 x1 3 ,x 2 2
解法3
公式法
7 (7) 2 4 2 3 7 5 x 2 2 4 75 75 x 或x 4 4 1 x1 3,x 2 2
9 例1：填空：x2-3x+_____ 4
3 =（ x ）2 2 (13) x2+6x-4=（ x 3 ）2 +______
பைடு நூலகம்
例2：当a=____ 时，x2+4x+a2-1 是完 全平方式. 【解析】b2-4ac=42-4（a2-1)=0 解得：a 5
答案： 5
例3：先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2-6x+10
例2：当m=?时关于x的方程2x2-mx+m-1=0有一个根为零. 【解析】把x=0代入方程中，解得m=1.
例3：如果α 是关于x的方程x2-3x+m=0的一个根，-α 是关于
x的方程x2+3x-m=0的一个根，那么α 的值是多少? 【解析】由根的定义得：
2 3 m 0 2 3 m 0
一元二次方程的解法
知识梳理
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.关于x的一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0,(a≠0)，其中a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
3.一元二次方程的解法
（1）基本思想：降次. （2）基本解法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配 方法. （3）求根公式 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)
练习
解下列方程 1. x 2 x 0 2. (x 1)
2
答案：
x=0 或
x=1
(x 1) 0
2
答案：x= -1或 x=0 答案： x=4或
3. 2 (x 1) 5. (x 2) 6. (x 2)
7(x 1) 3 0
4. x 2 9 0
2 2
(1) (2)
解得:m=0, α=0或α=3
3.配方法的应用
思路导引：方程配方与二次三项式的配方的区别. 方程配方的关键：二次项系数化1时要在方程的两边同时
（等式性质）
除以二次项系数，配方时在方程的两
边加上一次项系数一半的平方.
二次三项式的配方：二次项系数化1时要提取二次项 （恒等变形） 系数，应该在一端同时加或减 相同的式子.
【解析】x 2 6 x 10 x 2 6 x 9 1 ( x 3) 2 1, ( x 3) 2 0 , (x-3) 2 1 0, 不论x取何值,代数式x 2 -6x 10的值总大于零, 当x-3 0时, 即x 3时, 代数式x 2 -6x 10的值最小,最小值是1.
答案：x=3
或x= -3
3 x 2
9 0 (2x 1)
2
答案：x= -5 或x=1
答案：x =3或
1 x 3
2.运用根的定义解题
例1：关于x的方程(m-3) x 么m的值为多少？ 【解析】m2-7=2且m-3≠0, 进而求出m的值为-3 .
m2 7
-x+3=0为一元二次方程，那
b b 2 4ac 2 x (b 4ac 0). 2a
典例解析
1.一题多解
解法1
2
例1
解方程 2x 7x 3 0
2
配方法
7 3 7 3 2 2(x x ) 0, x x 0, 2 2 2 2 7 7 2 3 7 2 2 x x ( ) ( ) , 2 4 2 4
7 2 25 (x ) , 4 16
7 5 1 x , x1 3,x 2 . 4 4 2
解法2
因式分解法 (x-3)(2x-1)=0
x-3=0 或 2x-1=0
1 x1 3 ,x 2 2
解法3
公式法
7 (7) 2 4 2 3 7 5 x 2 2 4 75 75 x 或x 4 4 1 x1 3,x 2 2
9 例1：填空：x2-3x+_____ 4
3 =（ x ）2 2 (13) x2+6x-4=（ x 3 ）2 +______
பைடு நூலகம்
例2：当a=____ 时，x2+4x+a2-1 是完 全平方式. 【解析】b2-4ac=42-4（a2-1)=0 解得：a 5
答案： 5
例3：先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2-6x+10
例2：当m=?时关于x的方程2x2-mx+m-1=0有一个根为零. 【解析】把x=0代入方程中，解得m=1.
例3：如果α 是关于x的方程x2-3x+m=0的一个根，-α 是关于
x的方程x2+3x-m=0的一个根，那么α 的值是多少? 【解析】由根的定义得：
2 3 m 0 2 3 m 0
一元二次方程的解法
知识梳理
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.关于x的一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0,(a≠0)，其中a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
3.一元二次方程的解法
（1）基本思想：降次. （2）基本解法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配 方法. （3）求根公式 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)
练习
解下列方程 1. x 2 x 0 2. (x 1)
2
答案：
x=0 或
x=1
(x 1) 0
2
答案：x= -1或 x=0 答案： x=4或
3. 2 (x 1) 5. (x 2) 6. (x 2)
7(x 1) 3 0
4. x 2 9 0
2 2
(1) (2)
解得:m=0, α=0或α=3
3.配方法的应用
思路导引：方程配方与二次三项式的配方的区别. 方程配方的关键：二次项系数化1时要在方程的两边同时
（等式性质）
除以二次项系数，配方时在方程的两
边加上一次项系数一半的平方.
二次三项式的配方：二次项系数化1时要提取二次项 （恒等变形） 系数，应该在一端同时加或减 相同的式子.