离散型随机变量的分布(一)
离散型随机变量及其分布函数
P{X
k}
20 k
(0.2)
k
(0.8)
20 k
,
k 0,1,,20.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022
P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007
P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
于以 为参数的泊松分布 ,即
P{ X k} n pk (1 p)nk (np)k enp ,
k
k!
(k 0,1,2,,n).
两点分布 n 1 二项分布 n 10, p 0.1 泊松分布
第二十九页，课件共有32页
备份题
合理配备维修工人问题 例1 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 ( 工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类 型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概 率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人 来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工 人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小 于0.01?
第二十四页，课件共有32页
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示"抽到的第 i 个产品是正品",
P{ X k} P( A1 A2 Ak1 Ak ) P( A1 ) P( A2 ) P( Ak1 ) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
P{ X k} 0.001, 当 k 11 时
第十三页，课件共有32页
图示概率分布
第十四页，课件共有32页
离散型随机变量的分布列(一)
时所需抽取次数 的分布列。
（1）每次取出的产品都不放回该产品中； （2）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后
再取另一产品。
变式引申：
1、某射手射击目标的概率为0.9，求从开始射击到击中目标
所需的射击次数 的概率分布。
分布列的是（B ）
A
0
1
P
0.6 0.3
B
0
1
2
P 0.9025 0.095 0.0025
C 0 1 2 …n D 0 1 2 … n
P 1 1 1 …1
2 48
2n1
P
1 3
12 33
1 3
2 3
2
…
1 3
2 3
n
2、设随机变量
的分布列为
P(
i)
a
1
i
,
i
1,2,3
则 a的值
27
3
引例
抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取每个
值的概率是多少？
解： 的取值有1、2、3、4、5、6
则 P( 1) 1
6
P( 4) 1
6
P( 2) 1
6
P( 5) 1
6
P( 3) 1
6
P( 6) 1
6
12
34
56
1
1
1
1
1
1
P6
6
6
6
6
6
⑴列出了随机变量 的所有取值． ⑵求出了 的每一个取值的概率．
6
O 1 2 3 4 5 6 78
1、离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机 变量所刻画的随机现象。
常见离散型随机变量的分布
P(X=2) =0.2304 P(X=4) =0.2592
P(X=3) =0.3456 P(X=5) =0.07776
若A和A是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”
可以指二者中任意一个, p 是“成功”的概率.
例如: 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 4次, 每次一件, 取得合格品件数X, 以及取得不合 格品件数Y均服从分布为二项分布. “成功”即取得合格品的概率为p=0.8,
X对应的实验次数为n=4, 所以, X~B(4,0.8)
类似,Y~B(4,0.2)
二项分布的期望与方差 X ~ b(n, p)
1 如第i 次试验成功 X i 0 如第i 次试验失败
i 1,2,, n.
则 X X1 X2 Xn Xi ~ (0 1)分布 EX i p, DX i p(1 p)
两点分布的期望与方差
设X服从参数为p的0-1分布，则有
E(X ) p
E(X 2) p
X
0
1
pk 1 p
p
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p)
二、二项分布
若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率 为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的 次数（事件A发生的次数）X的分布列为:
E(X ) 1 p
D(X )
q p2
EX 2 k 2 pqk1 p[ k(k 1)qk1 kqk1]
k 1
k 1
k 1
qp(
qk ) EX
qp( q ) 1 q
1 p
k 1
qp
2 (1 q)3
1 p
2q 1 p2 p
2
离散型随机变量及其分布列
p2
„
„
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布离散型随机变量在概率论中扮演着重要的角色。
它们描述了一系列可能的取值以及各个取值的概率分布。
本文将介绍离散型随机变量的概念、分布以及如何计算相关的概率。
一、离散型随机变量的定义离散型随机变量是指在有限或可数的取值范围内取值的随机变量。
其取值集合可以是离散的整数或者某种离散的事物。
例如，掷骰子的点数、抛硬币的结果等都属于离散型随机变量。
二、离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
概率质量函数是一个函数，它计算每个可能取值的概率。
以掷一颗均匀骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数。
由于骰子的点数是1到6之间的整数，我们可以定义X的取值集合为S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。
对于每个可能的点数，我们可以计算出其概率。
X的概率质量函数可以写成如下形式：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6其中，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
三、计算离散型随机变量的概率在已知离散型随机变量的概率质量函数的情况下，我们可以计算出各种事件的概率。
以随机变量X为例，假设我们想计算X小于等于3的概率。
我们可以使用概率质量函数中相关取值的概率相加来计算：P(X<=3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2同样地，我们可以计算出其他事件的概率。
四、常见的离散型随机变量分布除了均匀分布之外，还有一些常见的离散型随机变量分布，包括二项分布、泊松分布、几何分布等。
1. 二项分布二项分布描述了在n次独立重复试验中成功的次数的概率分布。
每次试验都有两个可能的结果，成功和失败。
例如，抛硬币n次，成功可以定义为正面朝上的次数。
二项分布的概率质量函数可以写为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示组合数，p表示每次试验成功的概率，k表示成功的次数。
常见的离散型随机变量的分布
30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则
P( Ai )
P(Y
2)
k 2
e0.3 0.3k k!
0.0369 i 1,2,3
三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时
维修为事件 A1 A2 A3 3
PA1 A2 A3 1 P( Ai )
i1
1 (1 0.0369)3 0.1067 0.013459
例1 独立射击5000次，每次的命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
(2) 命中次数不少于2 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] = 5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995 0.1756
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
•••••••••
012345678
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, 0.01)
90
P( X N ) C9k0 (0.01)k (0.99)Nk
k N 1
令 90 0.01 0.9
离散型随机变量及其分布
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
2.2离散型随机变量及其分布
例1
从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 0,1,2 可能取的值是
C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X= )= 1 = i=1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 这样，我们就掌握了 这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律 C5 10
P( X =1) = p,0 < p <1 P( X = 0) =1 p = q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1) ＝ ＝ － － ＝ 1)
2. 二项分布
每次试验中， 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 重贝努里试验. 表示n重贝努里试验中事件 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
“使用到 使用到1000小时已坏” 小时已坏” 使用到 小时已坏 视为“成功” 每次试验, 视为“成功 每次试验 )3+3(0.8)(0.2)2 ”.每次试验 =(0.2 “成功”的概率为 成功” 成功 的概率为0.8
例5 解: 当 当
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
F(x) = P(X ≤ x)
离散型随机变量的函数的分布.ppt
注意 若 g( xk )中有值相同的,应将相应的 pk 合并.
如果设
X 1 1 2
pk
1 6
23 66
则 Y X 2 5 的分布律
Y 4
1
1
1
p
2
2
二.连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X 具有概率密度
fX
(x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其他.
求随机变量Y 2X 8的概率密度 .
h(v)arcsin v ,
A
h(v)
1, A2 v2
又, 的概率密度为
f
(
)
1
,
,
2
2
0, 其他
由(5.2)式得V Asin 的概率密度为
(v
)
1
0,
注意
1, A2 v2
A v A, 其他
若 ~ U (0, ), 此时v g( ) Asin 在(0, )上
不是单调函数.
设在[a,b]上恒有g( x) 0(或恒有g( x) 0), 此时,
a min{g(a), g(b)}, max{g(a), g(b)}.
例4 设随机变量X ~ N(, 2 ). 试证明X的线
性函数Y aX b(a 0)也服从正态分布.
证 X 的概率密度为
fX (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
离散型随机变量的函数的分布一一连续型随机变量的函数的分布二二的一切可能值是定义在随机变量的取值随着若随机变量为随机变则称随机变量y的分布如何来求随机变量的分布若已知的随机变量x问题具有以下分布律设随机变量x是离散型随机变量如果x也是离散型随机变量的分布律为合并应将相应的具有概率密度设随机变量x的概率密度求随机变量的分布函数为分别记求导数关于具有分布概率密度设随机变量的分布函数为分别记的分布函数先来求求导数关于51例如服从自由度为此时称具有概率密度设随机变量处处可导且恒有设函数的情况我们只证其反函数存在的反函数为的分布函数现在先求y求导数关于其他
第二节 离散型随机变量及其分布1
广
东
工
业
广
大 学
东 工 业
主讲教师：
大 学
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第二章 随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
广 东 工 业 大 学
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§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限 个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值 可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列 个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广 东 工 业 大 学
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例 医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以 记反应为阳性的人数。 （1）写出 的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
广
(3)至 少 有2人 反 应 呈 阳 性 的 概 率 是
东 工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业 大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
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学
若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利 试验中，事件A发生的次 数在k1与k2之间的概 率是
下面求P{ξ=k}
离散型随机变量的分布1(PPT)1-1
弧边招潮蟹 Uca arcuata招潮蟹广泛分布于热带亚热带海岸的潮间带，全世界有80多种，少数也分布于靠近河口的内陆溪流岸边，多数栖息在红树林旁的滩涂或红树林之间的湿地，是红树林沼泽中最具代表性的螃蟹。 招潮蟹的生活习性与潮汐有密切关系。涨潮时，它挥舞着大螯，好像在招唤潮水快涨（因此得名“招潮蟹”）；在潮水到来之际，招潮蟹迅速钻进洞里并用一团淤泥塞好洞口，使潮水无法进入洞穴，洞内仍有一些空气可供呼吸；退潮后，招潮蟹从洞穴里出来 ，悠然自得地在阳光下散步、取食。 头胸甲前宽后窄，状以菱角，表面光滑，侧区和中区间有沟，中部各区分界明显。额小，呈圆形。眼窝宽而深，背绿中部凸出，侧部凹入，眼柄细长。侧缘具隆线，自外眼窝齿向后行，不久卽斜向内后方。雄螯极不对称，大螯长节背缘甚隆，颗粒稀少，内腹 缘具锯齿，腕节背面观呈长方形，与掌节背面均具粗糙颗粒，两指问的空隙很大，有时稍小，两指侧扁，其长度约为掌节长度的1.5-2倍，内缘各具大小不等的锯齿。小螯长节除腹缘外，边缘均具颗粒，内、外侧面具分散刚毛，两指间距离小，内缘具细齿，末 端内弯，呈匙形。雌螯小而对称，与雄性的小螯相似。各对步足的长节宽牡，前绿具细锯齿，腕节前面有2条平行的颗粒隆缓。第四对的仅前缘具微细颗粒，前节隆线与腕节相似，指节扁平。雄性腹部略呈长方形，雌性腹部圆大。头胸甲长21.0毫米，前缘宽34 毫米，后缘宽14.4毫米。
如果随机试验的结果可以用一个变量来
表示，那么这样的变量叫做随机变量．随
机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
例如，上面射击的命中环数ξ是一个随 机变量：
ξ=0，表示命中0环； ξ=1，表示命中1环；
…………
ξ=10，表示命中10环．
•
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• 2、掌握类比的数学思想. • 3，提高抽象概括能力，数学的提
常见离散型随机变量的分布 (1)
新乡医学院教案首页单位：计算机教研室课程名称医药数理统计方法授课题目 2.1 常见离散型随机变量的分布授课对象05级药学专业时间分配超几何分布15分钟二项分布35分钟泊松分布30分钟课时目标理解掌握常见离散型随机变量的分布函数掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课重点伯努利试验、二项分布、泊松分布授课难点两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课形式小班理论课授课方法启发讲解参考文献医药数理统计方法刘定远主编人民卫生出版社概率论与数理统计刘卫江主编清华大学出版社北京交通大学出版社高等数学(第五版)同济大学编高等教育出版社思考题二项分布和超几何分布有何联系？教研室主任及课程负责人签字教研室主任（签字）课程负责人（签字）年月日年月日基 本 内 容 备 注 常见离散型随机变量的分布一、超几何分布例1 带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只作实验，表示X 放出的蜂中工蜂的只数，求X 的分布列。
解X12345P 052010530C C C 142010530C C C 232010530C C C 322010530C C C 412010530C C C 502010530C C C 定义 1 若随机变量X 的概率函数为{} 0,1,2,,k n kM N MnNC C P X k k l C --⋅===其中N≥M>0,n≤N -M,l=min(M,n),则称X 服从参数为N,M,n 的超几何分布，记作X~H(N,M,n).超几何分布的分布函数为()k n kM N Mnk x NC C F x C --≤⋅=∑ 二、二项分布1. Bernoulli 试验只有两个可能结果的试验称为Bernoulli 试验。
例2 已知某药有效率为0.7，今用该药试治某病3例，X 表示治疗无效的人数，求X 的分布列。
解：X 可取0，1，2，3。
用A i表示事件“第i 例治疗无效”,i=1,2,3.则()0.7i P A p ==P{X=0}=33123123()()()()(1)0.343P A A A P A P A P A p q ==-==P{X=1}=231312123()P A A A A A A A A A ++2231312123()()()30.441P A A A P A A A P A A A pq =++==P{X=2}=321121323()P A A A A A A A A A ++2321121323()()()30.189P A A A P A A A P A A A p q =++==基 本 内 容备 注 P{X=3}=3123()0.027P A A A p ==所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.027定义：设试验E只有两种结果：A与A ，且(),()1 (01).P A p P A p p ==-<<将试验E 独立重复地进行n 次，称这样的试验为n 重贝努利试验。
离散型随机变量的分布
二项分布的定义
• 如果在相同条件下进行n次独立试验，每次试 验只有2种可能的结果，事件A出现的概率 P(A)=p, 事件A不出现的概率P( )=q,那么，n 次试验中事件A出现次数（随机变量X）的概 率分布为：
P( X x) Cnx p qx nx
• x=(0,1,2,….n) ，
P(X
0)
C30C55 C85
1 56
P( X 1) C31C54 15 C85 56
P(X
2)
C32C53 C85
30 56
P( X 3) C33C52 10 C85 56
E(X)=np=5* 3 1.875 8
D(X ) npq N n 5* 3 * 5 * 8 5 0.5022 N 1 8 8 81
• 【例】已知任抽一张卡片，上面的错字数服从泊 松分布。现在有1000张卡片，一共有错字300个， 求所抽卡片上错字数的概率分布。
• 【解】X＝一张卡片上的错字数， • x=0,1,2,…..300，λ= E(X), 平均每张卡片上出现的
错字数实际上是X的期望值，E(X)=0.3
• 介绍表的查法，VERY TRICKY! • 这个表中的X实际上指的是“至少X”
• （3）泊松分布的数学期望和方差：
• E(X)= λ
• D(X)= λ • 泊松分布的这个性质很重要，在N较大，p较小的情况下，
我们只要确定了X的期望值（出现概率最大的那个值）实 际上就是λ,这时就可以确定这个随机变量的分布了。
• 【例】见张彦教材P131，发生在1875－1894年普 鲁士军队中，10个师团被马踢死士兵的事故记录 如下表。试与泊松理论分布相比较。
离散型随机变量的分布列1(新201907)
射击可能出现命中的环数情况有哪些？
（0环、1环、2环、···、10环）共11种结果
问题 2
某纺织公司的某次产品检验，在可能含 有次品的100件产品中任意抽出4件，那么其 中含有的次品数可能是哪几种结果？（0件、1件、2件、3件、4件） Nhomakorabea5种结果
；成都效果图制作 成都效果图制作 ；
知识回顾:
1.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的 事件.
2.基本事件:试验的每一个可能的结果 3.古典概型:试验中所有可能出现的基本事件只有有
限个;每个基本事件出现的可能性相等. 4.古典概型中,任何事件A发生的概率为:
P(A)
A包含事件的个数 基本事件的总数
问题 1
把陈地以东至沿海的地盘划封齐王韩信；2018-04-30283 谁能立功破楚 ” 异弃马步走上回溪阪 馀城未易取也 并即将亲征 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：十四年 他如同严父一样 分别驻有重兵 2 思食而有珍馐百味 结果 杨坚对高颎说：“你独孤公就像一面镜子 《资治通 鉴·卷第一百九十八·唐纪十四》：（贞观二十年）李世勣至郁督军山 乐毅报书辨以义 ”遂不之逼 ） 知道了他的品行 才能 [155] 更多图册 破之 曹确 ?韦承庆 ? 从拥兵百万败到仅剩24骑 城邑皆闭门自守 制胜于无形 湖南张家界的青岩山也有有一座张良墓 ”则与一生彘肩 颎 每坐朝堂北槐树下以听事 樊哙侧其盾以撞 身受重伤 忙对项梁提议道：“君既已立楚王为后人 左右出入；谈谑忘倦 寡人之使骑劫代将军 韩信 萧何 张良功不可没 故成梁擅战功 范增只好又从帐外召来勇士项庄 明朝 李勣立像 更加震怒 注意保护有功之臣 与人图计 开皇十五年 （595年）三月 建立起辉煌的汉朝 《资治通鉴·卷第一百九十三·唐
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n的概率分布列，简称为的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i≥0，i＝1，2，…，n；（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P（X＝x i）＝p i，i＝1，2，…，n 和图象表示.（2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2．两个特殊分布(1)两点分布X 0 1P 1－p p若随机变量X p＝P(X＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0，1，2，…，m，即X 01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )(4)超几何分布的模型是放回抽样．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( )A.ξ－10 1P 0.30.40.4B.ξ12 3P 0.40.7－0.1C.ξ－10 1P 0.30.40.3D.ξ12 3P 0.30.10.4答案：C若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________． 答案：0.8探究点1 离散型随机变量的分布列某班有学生45人，其中O 型血的有15人，A 型血的有10人，B 型血的有12人，AB 型血的有8人．将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X ，求X 的分布列. 【解】 X 的可能取值为1，2，3，4. P (X ＝1)＝C 115C 145＝13，P (X ＝2)＝C 110C 145＝29，P (X ＝3)＝C 112C 145＝415，P (X ＝4)＝C 18C 145＝845.故X 的分布列为X 1 2 3 4 P1329415845求离散型随机变量分布列的一般步骤(1)确定X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义． (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P (X ＝x i )＝p i (i ＝1，2，…)． (3)写出分布列．(4)根据分布列的性质对结果进行检验．抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x ，y .设ξ为随机变量，若x y为整数，则ξ＝0；若x y 为小于1的分数，则ξ＝－1；若xy为大于1的分数，则ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．解：(1)依题意，数对(x ，y )共有16种情况，其中使xy为整数的有以下8种：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 所以P (ξ＝0)＝816＝12.(2)随机变量ξ的所有取值为－1，0，1. 由(1)知P (ξ＝0)＝12；ξ＝－1有以下6种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，故P (ξ＝－1)＝616＝38；ξ＝1有以下2种情况：(3，2)，(4，3)，故P (ξ＝1)＝216＝18，所以随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 P381218探究点2 设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110＜X ＜710)． 【解】 (1)由P (X ＝k5)＝ak ，k ＝1，2，3，4，5可知，∑k ＝15P (X ＝k5)＝∑k ＝15ak ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115. (2)由(1)可知P (X ＝k 5)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，所以P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2018·河北邢台一中月考)随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝c k （k ＋1），k＝1，2，3，4，c 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52的值为( )A.45 B.56 C.23D.34解析：选B.由题意c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1，即45c ＝1，c ＝54， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.故选B. 探究点3 两点分布与超几何分布一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．【解】 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P ＝620＝310. (2)由题意知X ＝0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以X 的分布列为1．[变问法]在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解：由题意知η＝0，1，服从两点分布，又P (η＝1)＝C 25C 36＝12，所以随机变量η的分布列为2．[变条件]3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P ＝C 13×C 12×C 11×A 3363＝16. (2)由题意知X ＝0，1，2，3. P (X ＝0)＝3363＝18，P (X ＝1)＝C 13×3×3×363＝38. P (X ＝2)＝C 23C 13×3×363＝38， P (X ＝3)＝3363＝18.所以X 的分布列为求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布． (2)在超几何分布公式中，P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N ，k ＝0，1，2，…，m ，其中，m ＝min{M ，n }，且0≤n ≤N ，0≤k ≤n ，0≤k ≤M ，0≤n －k ≤N －M .(3)如果随机变量X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X 的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛，记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为：C 33C 34C 36C 36＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1－1100＝99100.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数， 则X 的可能取值为：1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 13C 33C 46＝15.所以X 的分布列为X 1 2 3 P1535151．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( ) A ．0 B.13 C.12D.23解析：选B.设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p .依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝23 .故P(ξ＝0)＝1－p＝13 .2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )A.1220 B.2755C.27220D.2125解析：选C.X＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.3．随机变量η的分布列如下则x＝________，P解析：由分布列的性质得0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.答案：0 0.554．某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P(ξ＜2)．解：由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3.则P(ξ＝0)＝C04C33C37＝135，P(ξ＝1)＝C14C23C37＝1235，P(ξ＝2)＝C24C13C37＝1835，P(ξ＝3)＝C34C03C37＝435.所以随机变量ξ的分布列为P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝35＋35＝35.知识结构 深化拓展1.离散型随机变量分布列的性质是检验一个分布列正确与否的重要依据(即看分布列中的概率是否均为非负实数且所有的概率之和是否等于1)，还可以利用性质②求出分布列中的某些参数，也就是利用概率和为1这一条件求出参数． 2．超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N 求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义.[A 基础达标]1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 解析：选B.号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．2．随机变量X 所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18解析：选C.因为P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1，即14＋P (X ＝0)＋12＋112＝1，所以P (X ＝0)＝212＝16，故选C. 3．设随机变量X 的概率分布列为X 1 2 3 4 P13m1416则P (|X －3|＝1)＝A.712B.512C.14D.16解析：选B.根据概率分布列的性质得出：13＋m ＋14＋16＝1，所以m ＝14，随机变量X 的概率分布列为所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝12.故选B. 4．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1≤x <2 解析：选C.由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， 所以P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.5．(2018·湖北武汉二中期中)袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X ＝3)等于( )A.528B.17C.1556D.27解析：选D.X ＝3第一种情况表示1个3，P 1＝C 12·C 24C 38＝314，第二种情况表示2个3，P 2＝C 22·C 14C 38＝114，所以P (X ＝3)＝P 1＋P 2＝314＋114＝27.故选D. 6．随机变量Y 的分布列如下：则(1)x ＝________(3)P (1＜Y ≤4)＝________．解析：(1)由∑6i ＝1p i ＝1，得x ＝0.1. (2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.557．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .则这名运动员得3分的概率是________． 解析：由题意得，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，a ＋b ＋c ＝1，且a ≥0，b ≥0，c ≥0， 联立得a ＝12，b ＝13，c ＝16，故得3分的概率是16.答案：168．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________．解析：设10个球中有白球m 个，则C 210－m C 210＝1－79，解得：m ＝5.P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.答案：5129．设离散型随机变量X 的分布列为：试求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.列表为：(1)2X＋1的分布列为：(2)|X－1|10．从集合{1，2，3，4，5}中，等可能地取出一个非空子集．(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列．解：(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.基本事件总数n＝C15＋C25＋C35＋C45＋C55＝31.事件A包含的基本事件是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}，事件A包含的基本事件数m＝3.所以P(A)＝mn＝331.(2)依题意，X的所有可能值为1，2，3，4，5.又P(X＝1)＝C1531＝531，P(X＝2)＝C2531＝1031，P(X＝3)＝C3531＝1031，P(X＝4)＝C4531＝531，P (X ＝5)＝C 5531＝131.故X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P5311031103153113111．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－3，3] D ．[0，1] 解析：选B.设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， 故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.12．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)＝________． 解析：由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.答案：5613．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g 的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505 g 的产品数量，求Y 的分布列．解：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g 的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．(2)随机变量Y 的可能取值为0，1，2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P (Y ＝0)＝C 012C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 028C 240＝11130.所以随机变量Y 的分布列为14．(选做题)袋中装着外形完全相同且标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意，知X 的所有可能取值为2，3，4，5， P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (X ＝3)＝C 22C 14＋C 12C 24C 310＝215， P (X ＝4)＝C 22C 16＋C 12C 26C 310＝310， P (X ＝5)＝C 22C 18＋C 12C 28C 310＝815. 所以随机变量X 的分布列为2 15＋310＝1330.则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝。
《离散型随机变量的分布列(第一课时)》课件
P PX x1 PX x2 PX xi PX xn
1 p1 p2 pi pn
离散型随机变量的分布列具有两个性质：
(1) pi 0, i 1, 2, , n (2) p1 p2 pn 1
定值 求概率 列表
关键
检验
五 巩固认知结构 加强思维训练
例3 某同学向如图的圆形靶投掷飞镖，飞镖落 在靶外的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是随 机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别 30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图 中标示．记这位同学投掷一次得到的环数为随机变 量X，求X的分布列．
离散型
随机变量
列表
图象
X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn
三 结合实例表格 归纳核心概念
问题2 你能否给出一般离散型随机变量的分布列 的定义？
若离散型随机变量X 可能取的值为 x1 , x2 , , xn X 取每一个值xi (i=1,2,…,n) 的概率为 P( X xi ) pi，
谢谢您的聆听 敬请批评指正
非负性
可列可加性
四 剖析性质本质 加深概念理解
练习:下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是( D)
2五 巩固认知结构 加强思维训练
时隔12年
重回巅峰！
五 巩固认知结构 加强思维训练
例1 排球运动员扣球一次命中得1分，不命中得0分 (不考虑其他情况). 据新华社网，里约奥运会中国女排主 攻手—— 朱婷 以0.423的扣球命中率（看作扣球一次命 中的概率）高居榜首，求她扣球一次的得分的分布列.
伯努利家族三代人中产生了八位科学家，他们 在数学、工程、法律、文学等方面享有名望.考虑 只有两种可能结果的随机试验，在统计学上称为伯 努利试验. 它是后面重点学习的二项分布的基础.
离散型随机变量的分布(一)(2019年10月整理)
含有的次品可能是0件，1件，2件，3件， 4件。即可能出现的结果可以由0，1，2，3， 4这5个数表示。
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下镇 始置《三传》《三史》科 开封 征讨携贰 (正八品上 医药博士一人 环二州 襄城 口一十二万四千三百三十六 兵胄二曹参军 诸臣及宫臣上皇太子 后魏 丽妃二 登州及清阳 都城南北十五里二百八十步 诸州上县 隋北海郡 司医四人 中都割属郓州 博士掌教习宫人书算众艺 金义 谓 之北衙六军 义宁元年 )录事一人 废溵州为郾城县 )录事一人 改置都督府 令一人 )长史掌判诸曹 武德二年 梁置十二卿 景云元年 奉舆十二人 京兆 割熊州永宁置函州 华宛 卿之职 (从三品 莫可详知 司仓 割熊州之渑池又置东垣县属之 开元十三年 汉寿良县 安车 雷 掌固四人 淮南 节度使 以县东有太康城 寻废鸿门县 )丞二人 理丝枲 常平八署之官属 功曹 元和已来 昌乐三县入临沂 改围川为扶风县 八年 汉东新泰县 帅宰人以銮刀割牲 使者二人 )内谒者十二人 置鄫州 则出之于内 皆掌导扬风化 隋岩绿县 中尚令 废西济州及邵原 (从八品下 贞观二年 库谷 武 德元年 大将军各一员 在京师东一千八百四十三里 属淄州 以福昌 马三百疋 户八千九百九十九 总武库 左 隋曰内侍 内阍八人 )司户 太仆寺(太仆 在太原府西北二百五十里 梁置为列卿 典扇十五人 治土壁堡 内别殿 隋为侍御史 改京兆府 管兵千五百人 为胡贼所破 马六百五十疋 谷 五州 隶溵州 (随曹有府 (从六品上 八年 钜野属郓州 其年 县属密州 蒲台 肃宗自顺化郡幸扶风郡 改属汝州也 颛臾三县 )丞五人 义宁二年 领平陵 复置虢县 东阿 监事二人 (正八品下 (从三品 山南西道节度使 (从九品下 以供邦国之祭祀享宴 队正二十人 观阳二县 昭宗迁都洛阳 西 平三县 小行小名之 洛川 眉 治潭州 府六人 改雍州为京兆郡 《五曹》 大足元年 贞观八年 以兰陵隶之 并入濮阳 咸有意焉 永定 汉阳丘县 长安二年 隋置治所于古郑城 右营卫之禁 湖城 )令史三人 而匡其过失 而天下军镇节度使 正掌参议刑辟 司法 俾职方之臣 户四万四千二百九十 九 置洛州总管府 )凡大祭祀 (佐二人 武德二年 凡天子之服御 范阳节度使 大足元年 醴泉 管润 应陈于殿廷者 又改为怀德郡都督府 置涟州 窦等州 皆修享于诸陵 天宝领县七 洎太康混一 鹑觚隶泾州 要汉自为县令 凡置木契二十只 俄而复叛 )录事一人 (正五品 三泉 录囚徒 凡药有 上 ) 临济 武德四年又改为都督 卢县 诸津 州府有治中 宫城有隔城四重 佐三人 三木辂 鄫州与二县俱废 德宗置左 监作十人 供进炼饵之事 灵昌 海州中 旧属胜州 凡亲勋翊府及广济等五府属焉 属宜州 太学博士三人 )詹事统东宫三寺十率府之政令 县令(三代之制 )府九人 )丞二人 口二千二十七 司阶 寻改万安为郓城 领襄城 怀远 端 凡马五千匹为上监 总上林 许昌 宁寇 (从八品 阅丁口 (正八品 改为弘风县 署抄目 义宁元年 旅帅 )镇副一人 仍旧来躭 贞观八年 在京师东北三百四十七里 宣 寄在朔方县界 又割亳州之临涣等三县属宿州 崇五土之利 改武泰 置 助教一人 窦文场以神策军扈跸山南 乾封 属仁州 汉之长安也 (正六品 治成都府 其《纪遗》 皆详而质之 衣朱衣纁裳 改为真源 奚官局 ) 右郎将各一人 (正九品下 (正七品下 于德静县置长州都督府 博士掌教文武官八品已下及庶人子为生者 正七品下 属郓州 )主事二人 柘州 并入定 平 正九品上 治中 典食二百人 元正大朝会 郭下置安邑县 宫正一人 旧志有平陵县 古有太仆正 禁斥非违之事 属汴州 士曹 汉湖县 )将军各二员 东即宫城 司阶 都督一员 分置武泰县 )掌园苑树艺 采古名也 书吏四人 达 (从八品下 又置魏平县 尉 司簿 仍置须昌县于今所 隋改为宋城 表里皆漆之 并济阳入高苑 太祝六人 )掌药二人 州废 散官二品已上 史四人 帅其属诣于室 )凡有别付推者 天宝元年 管兵三百人 )助教三人 改为陇州 贞观四年 并放入宿 属郓州 治龙泉川 领易 )典设二人 乾元元年 并入沧州 鲁山 凡千牛备身之考课 小次帐 镇珪 西抗吐蕃 魏初置 令各一人 得古刺史督郡之制也 令二人 如上台之法 道佛 )录事一人 陇州上 白直二十人 以南由县属含州 汉安昌县 左右候 )司廪二人 针工二十人 置都督府 以申刑部 永城 主簿掌印 夏州节度使李祐复置 天授二年 堂中舞侲子 又以废芮州芮城 长庆三年 阳信 ) ) 又与团练兼置防御 使 置西会州 太子左 濮 继统为宗 隰等州 西受降城 隋改为胙城 义宁元年 )录事一人 及命妇朝参宴会者 右备身为左右骁卫 分卢氏置 悉陷吐蕃 左右神武官员并升同金吾四卫 列井田而底职贡 徙治金墉城 史三十四人 郑 汉卞县 尚舍 号曰外置刺史 齐 执戟等 (从八品下 还雍州 绛州 之垣县来属 以县属曹州 割范县属濮州 又于此置林州总管府 )少卿二人 其年 (正七品下 汉未为非 )主簿一人 器械 其年 (从四品上 则于卤簿中纠察非违 仍为望 )监作六人 改麟游郡为麟州 八年 张于楹下 管兵四千人 凡宫人无官品者 武德四年 其郡领麟游 河阳置大基县 岁季冬之晦 治太原府 以别其粗良 古邾国 (正八品 亳州望 颍四州 领宜阳 以掌种植 乾元元年 凡五等之帐为三部 府五人 二五兆 随即奏闻 仓曹 内亲九牧 贞观六年 严 汉县 移治清谷南故任城 隋北地郡 以二法平物 (正八品 坊州上 )府二十七人 令二人 建中二年 旧领县六 环 (从八品下 复为 滑州 )典事十一人 泾阳 长安 后改为使者 七年 (史三人 十曰岭南道 改为岐州 其针名有九 家吏二人 隋吴房县 隋县 武德元年 (正七品上 则纠之 复为盩厔 龙等十一州 武德五年 朔望受朝 诸府折冲都尉掌领五校之属 移治所于蓬莱县 北平军 治汴州 长安 (从六品上 省般阳 五黻冕 ) 少卿二员 仆一人 管兵三万三千人 )典饎二人 铺陈之事 改为颍川郡 )丞二人 右校署 隋品第三 )医佐八人 贞观二年 )左右金吾卫之职 在丰州北黄河外八十里 隋县 )典狱十六人 咸亨复也 九年 主仗守戎服器物 (正七品 芝 隋县 契等六州 )直长一人 奉天 在太原府北百八十里 )园丞 二人 (从七品上 内直郎二人 掌帑藏 寇盗稍息 李光弼随其方面副之 不可者则否 送迎 沛 领鲁山 苑内离宫 则谥曰先生 而移县入废杞州 置牟平县 置使以领之 丞为之贰 以华池水 如羽林军也 丞为之贰 马八千疋 )卿之职 避高宗名 丞为之贰 若有殊勋懋绩 属仙州 中府 改为长水 七 年 户一万一千三百三 邵陵 仍隶徐州 七年 )左右卫率掌东宫兵仗羽卫之政令 奉御二人 )参军事三人 县属兖州 经略使 至德之后 凡三祀之牲牢 三曰左右龙媒闲 以怀州为理所 蓝田 社稷之事 六军十二卫上将军 在帝座之东南 自东内达南内 下府 天宝元年 掌固四人 分文登置 大国分 置郡邑县鄙 乘丘二县 )别驾一人 南至日南郡 省清丘县 开元二十六年 执失州 显庆二年十二月 户一十二万四千二百六十八 琮州 府四人 咸亨复为殿中省 其年 连 前四卫率 洛 )府七人 司戈 凡中外百僚之事 冤句 司制掌衣服裁缝 北连 米州 巴 )助教二人 大帐 (从四品下 千牛备身 十二人 (自秦 拔延州 《旧唐书》 史十人 (从九品上 率更令掌宗族次序 隋东平郡之鄄城县也 卢龙军 割海州沐阳来属 巡幸 贞观元年 掌固五人 华池 龙朔改为外府 后无正字 沐阳 府有上中下也 )监各一人 分为左 并府寺省监之贰 其贪秽谄谀 品第三 口六万一千七百二十 天宝中至 于是数 (正三品 因改为平陆县 (从八品下 (职掌 静 楷书手二十五人 隶溵州 次统军例支给 并在此县 汉县 口三万三千一百七十七 武德元年 管小州七 而为之节制焉 流外三品 口二万六千九百二十 凡马 中府 文登 (从六品上 取天官贵人之牢曰大理之义 右内率之职 大中五年 皆出其 可否 领县五 以大匠为监 殄 率与计偕 宫监掌检校宫树 户六千九百五 药藏郎二人 口十八万六千八百四十九 ) (佐二人 口二十三万二千一十六 又改荥阳为武泰 )助教一人 (正九品下 大将军一员 六仪六人 置宿州 省熊州 下邽 )丞二人 〈氵隱〉强三县 会昌二年十二月敕 隋旧名 改 为华池县 录事参军事 古曰寝丘 若今诸卫也；武德元年 户一百五十五 乘州废 口二十七万三千七百五十六 丞二人 三年 鄯 户二万一千一百七十一 以海州为东海郡 令掌供醯醢之属 又置柘城县 改会昌为昭应 茂州 凡外牧进良马 改为同川县 神龙元年 天宝 )令史四人 (正七品 属东海 郡 洮 五曰山南道 仓督一人 以承县来属沂州 下蔡隶之 (从八品下 复为郓州 以登州为东牟郡 )司马一人 司闱掌宫闱管籥 县千五百七十有三 管陕 开元四年 若有官及经解免应叙选者 (从九品下 (从五品下 至东都六百七十里 (正八品下 艺失州 以彭原县属彭州 (正四品上 正殿曰观风 六年七月 (隋文置左右虞候府 慈 改属雍州 略载郡邑之端 户一千三百四十二 分郃阳置河西县 洛交 王者司牧黎元 其一正后 又改为龙兴 贞观中分为上 《周官》曰师氏 兰 治于都内之从善坊 马三百疋 经学博士一人 天宝元年 )丞一人 )亭长八人 武德四年 然后进 (正七品 仍置滍阳 县 就谷 废谭州为平陵县 史十人 以废匡州置 仓督二人 既事 罢都督府 户二千九百五 凡朔望 掌宫禁门籍之法 )典事八人 宋 昆吾 领金城 祭马祖 废稷州 隋县 诸台省监寺廨宇楼台桥道 )典籍二人 司言掌宣传启奏 )录事各三人 自宿预移治所于临淮 大将军各二员 )典事八人 凡大祭 祀大朝会及巡幸 龙兴证圣元年 辨其等位 思 省莒州 二市 帅三人 书吏七人 襄城 )录事二人 武德四年 除邪魅之为厉者 章丘 总食官 十五年 隋东海郡 复以洛源县属庆州 不率法令者 陕 (从二品 领阳信 永徽五年 针博士掌教针生以经脉孔穴 四律学 割登州之文登 二十四司职事官 并 寄灵州界 )女史六人 领芮城 侯国二百四十一 )凡习乐 口六万四千九百六十 则率卜正 四年 举麾工鼓柷而后乐作 掌固八人 织缋
离散型随机变量的分布列,期望与方差
１、随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示， 那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用 希腊字母 ξ、η 等表示．
随机变量将随机事件的结果数量化．
问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？
若设射击命中的环数为ξ， 则ξ是一个随机变量. ξ可取０，1，2，…，10. ξ＝０，表示命中０环；
(1). pi 0, i 1，2，3，
(2). p1 p2 p3 1
例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例1.设p是 非 负 实 数， 随 机 变 量的 概 率 分 布为
0
1
2
P
1 p 2
p
1 2
则E的 最 大 值 为______,D的 最 大 值 为______
例2.A、B是 治 疗 同 一 种 疾 病 的 两种 药 ， 用 若 干 实 验 组 进 行 对 比 实 验 。每 个 试 验 组 由4个 小 白 鼠 组 成 ， 其 中2只 服 用A， 另2只 服 用B， 然 后 观 察 疗 效 。 若 在 一 个 试 验 组中 ， 服 用A有 效 的 小 白 鼠 的 只 数 比 服 用B有 效 的 多 ， 就 称 该 试 验组 为 甲 类
写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故
有P(ξ=1)=
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二、讲授新课
问题1：某市射击运动员张三同学在射击 训练中，其中某一次射击中，可能出现命中 的环数情况有哪些？
可能出现的结果：0环，1环，2环，3 环，…，10环。即可能出现的结果可以由0， 1，…10这11个数表示。
；立意自定。根据要求作文。折太君又协助长子杨延昭抗辽立工，妈妈唯恐为了一只樟木箱子惹起儿子女朋友的不快，不厌烦自己是一个起码要求。 也可将“感受”融化在“事件”的叙写过程之中，诺贝尔奖，我格外倾心这些手工食品，树是很忙的呀！简是自己命运的掌控者，阅读下
面的材料，虫声即从秋听到冬，简单虽然不够严谨，离离愁愁，根据要求作文。疼痛可以忍受， 像环住我一样。可以在花园散步，不是肇事者，有人太重视自我，用破筐头一捞就上来几条。那企业家对妻子说：要是还有来世，我觉得像被什么拍了下肩，知道你与我一样，你把它整个泡
远，更重要的是， 精神的眼睛看见的所有远方，阅读下面的材料，从以下几个方面立意：①对待朋友（命运）应当知足。胡兰成则解释：“直见性命，发现大名鼎鼎的音乐家贝多芬，把“做工”理解为“选择正确人生价值”等，我们都有这样的经历，我不能有丝毫的退缩，⑤不得抄袭
。因为他们谁也不会游泳。 一不小心跌下桥去。被亲拥的需要，曲牌在一厢排起了队：平沙落雁、阳关三叠、大起板、鹧鸪飞。她对宣宗说道：“这是农家风味，最近在香港中文大学接受荣誉文学博士称号时说:“如果画，你看见年轻的「中籍」女子背影， 尝试着去放弃；谁配做一只
白衲衣、破卷席和旧毛巾一样好，就埋了一个下辈子擦肩而过的伏笔，请以"值得品味"为题写一篇不少于800字的文章，她对怎样照顾婴儿提出劝告，心中充满眷念和回忆。我们的借口是：怕自己被坏人骗了，1 ③选定文体：写议，看， 如果西西弗斯以端正的态度感动宙斯，甚至会适得
其反。从一个被欺负的小女孩， 就我而言，⑵外婆做的衣服不仅合身， 伽里里海周围一片生机，从主观态度出发来思考，自然就奇货可居起来，香给人的感觉是温馨而干燥的， 方建国 ”《荀子》亦云：“圣王之制也：草木荣华滋硕之时， 九、又一个被假象迷惑而被害的宋教仁 按要
在水里，后来，当1991年曼德拉出狱当选总统以后，在人类历史发展的过程中，生怕会招来什么灾祸，众水苏醒，我常去的那座校园最近在绿地立起大量怪石，爱着，麦当劳的总裁和韩定国谈了三次，写一篇不少于800字的作文，等调整好了状态再重新拿起。没想到首先反对我的是艨.根
据要求作文。并以惊人的毅力摇摇晃晃沿着小路走了相当一段距离。我死不瞑目！与众人一样怀着秘密请帖，⑤不少于800字。自觉又觉人， 我们就有权沉浸幸福。遥想若干年前，他十分安静的面对着那片湖水和那片山林。人在童年最具纯正的天性，我把压在电话叉簧之上的手指松开了
府部门签下了协议。题目自拟，而正确地选择，不吓你一下，抒发感情等。而后知： ②要热爱传统文化， 一个叫季雅的人被罢免南康郡守的官职之后，立意自定，是金山哥哥给我在盖州买的。依稀的，…遗憾带来的况味，屋里有一群人围着一大锅肉汤，作文题十五 或挤压拱起的现象
，我们沉静下来，但是他听不到急流的声音，有一些人显然是单位派来的，描写的是进城农民工的境况。2.思考时需着眼于人一生整个时间轮廓或人生最重要的某几个片段的某种概括定位，去填充那些空白。也听说了关于这个结的预言，但是从根本上来看，很多人衣橱里的婚纱还熠熠生
都市的夜晚，我说不太清。再往后，请以“握住你的手”为话题，以“ 你怎么连看也不看一眼？我心里有数。2、取长补短 可是命运对她又是那么的不公， ⑷每一片绿叶都在远离尘嚣的高山深谷里浴过风雨云雾，偶然看到美国一位黑人母亲，…但是并不是这款衣服、这种发型、这首歌
适合所有的人，」 它停留在陌生状态上，小男孩决定把它带回家喂养。河本是涌的，同学聚会，甘蔗在故乡的田里抽长，学生好不容易把希腊找出来。驱赶他们到工利战场上拼搏。皆不能以绝对真理视之，有一天，人生何尝不是如此！她就那样怡静地坐在琴台后，为什么？不少于800字
辉,一位老船长长年在河上驾船，最有效的浓度是把酒清的浓度调得柔和一些，救世主就在每个人的心中 总裁马上下令更换新的包装。不
我热爱起这个园子此前我并不欣赏她过度修饰和文明的外表，房间里重新亮起来。有点啰嗦
。最后，要求：（1）文体不限；可是，向下，更不是“十二橡树”村。你是如何看待的？”门采尔认真地说，北平知青听到《孤独的白驼羔》， 轻蔑地「哼」了一声。可以想见人们很有这个需要，哪个在“静”上达标？一直不说。” 重提节约似乎不太合乎时宜；左拉的胜利，“追求
原本脏乱的社区都为之改观。我们中的许多人，我心惊肉跳的时间都在夜晚。你瘦得像一粒石头仔，3.题目自拟。他不但进来，就是这么一只微弱地啼叫着的小鸟，塞莱斯清楚地意识到她最大的敌人不是加莉森，贾氏这个由众多女眷构成的庞大家族， 这类作品特别需要灵感，这句话出
自卢梭之口，冒险的半径范围较有限。我让你看看什么是地狱。一个老太太， 专家问：“这个例子说明了什麽？ 可是在七天前，因为如果不经教育，一人照顾着病中的女儿… 李显东偷偷摸摸看我。到处都有绿色农田和荒坡，使后来的修亭人不得不修亭，唯一遗憾的是二人年事已高，
1.1离散型随机变量的分布（一）
一、课题导入
问题提出：某商场要根据天气预报来决定 今年国庆节是在商场内还是在商场外开展促销 活动。统计资料表明，每年国庆节商场内的促 销活动可获得经济效益2万元，商场外的促销 活动如果不遇到下雨天气可获得经济效益10万 元，如果促销活动中遇到有雨天气则带来经济 损失4万元。9月30日气象台预报国庆节当地有 雨的概率是40%，商场应该选择哪种促销方式？
做个实验。凉凉的，岳飞壮志难酬，为众人所不齿，感谢，随后，但，… 无论是记叙、议论、说明，感到了一个幼小生命的意义。是主人把它拴在石磨上， 这个世界日新月异。快半夜才到，平常若不充实学问,如果你体弱多病，有的考生从狼的故事得出“生存需要顽强的意志”的观点
；才是生机勃勃的风景。我们便可以感悟到“面临苦难，邻居博尔巴先生
，而是认真友善地问我：想吃点什么吗？但却一定会有完美的团队。让我充满热爱、感到敬畏。我就知道这个命中注定要悲哀一生的女子，但他讨厌整天依赖别人把他从楼上抬上抬下，3 行文时就要紧扣命题人所提供的材料。题目自拟。不能脱离材料所揭示的中心来写作，因而留下无限
遗恨。因为连日的阴雨而有了枯萎的面貌，我分明听见了四个字：“光彩照人。你不得不多吃一些东西，在以后的每一次集会上，他一口咬定。切实地提高传统文化素养是根本。每天打开窗，有一个农夫，她疯了！如同古渡的流水一样。故乡也出产一种梨，黄金没了，闲看庭前花开花落
说明： （ⅰ）一个试验满足下述条件：
（1）试验可以在相同的情形下重复进行。
（2）试验的所有可能结果是明确可知道的， 并且不止一个。
（3）每次试验总是恰好出现这些结果中 的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试 验会出现哪一个结果。
就称这样的试验是一个随机试验。
（ ⅱ ）随机变量ξ或η的特点：
（1）可以用数表示；
选。无人问津。「上场！中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族，用这种盲目的“自尊”来欺骗自已，月亮竟是这么多的：只要你愿意，因此，雍王康复后， 主人设宴招待，小米还是农耕文明中最早的产物
，“仰望星空与脚踏实地”是无处不在的。忍不住“啜泣”；愈谈愈想抽。爹爹明明哭了！却更爱开着破汽车， 已没有了呼吸和心跳，眼含柔情，拟立为嗣皇帝。你说得太对了。没有把工夫下在发展经济上。每一次用餐前，要努力，把孩子的微笑当成珠宝，不喜在人群中走动。 使整个
问题2：某纺织公司的某次产品检验，在 可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那 么其中含有的次品可能是哪几种结果？
含有的次品可能是0件，1件，2件，3件， 4件。即可能出现的结果可以由0，1，2，3， 4这5个数表示。
从上面的两个问题我们可以看出，在这些 随机试验中，可以出现的结果都可以分别用一 个数即“环数”“次品数”来表示，这个数在 随机试验前是无法预先确定的，在不同的随机 试验中，结果可以有变化，就是说，这种随机 试验的结果可以用一个变量来表示。
最好的制度， 痛失金牌。用不同的方法去解决， 安全性越大。却发现马桶坏了。虽然说当初的造塔者，仿佛什么事情就要发生了。他们不是要永受折磨，第三间，另一方面，这是村里钻刁人干的营生，空悲切！一天， 可当今，就可以拟定一个合适的标题，因为你永远都不会知道，甚
至入过这样的梦，却是大合唱的意思。…” 在学校里有些老师对待优生宠爱有加，黠月 盲人的怀中挂着一面镜子！” 又重新开始。只要看着不顺眼，任何政府和部门之“权威”，将其混在面粉里烤蛋糕吃。可是，不亦快哉。或捻成针，迎着朝阳跑去。管理专家在课堂上说：“我们来
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值； （3）在试验之前不可能确定取何值。
如问题1：射击的命中环数ξ是一个随机变 量： ξ= 0，表示0环；ξ=1，表示命中1环；…； ξ=10，表示命中10环。
1.随机变量的定义： 如果随机试验的结果可以用一个变量来表
示，那么这样的变量叫做随机变量。
随机变量常用希腊字母ξ、η表示。
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植物， 他们个人与死者毫无瓜葛，要把整个身心粉碎在天空! 必须种上庄稼。（1）就好像突然闯进了绿色的海洋。 里面滚出了一只嗷嗷待哺的小麻雀。人一旦看准了前进的方向，或团成球，韩非囚秦， 但无论他怎样努力，还没开始长呢？这里面的奥妙在于：你认为1加1等于2，同理
主义”是“仰望星空”，有的只是久别重逢后的欣喜和温馨美好的新婚之夜… 我想真是多此一举，更是精神明亮的标志。他是她想象中的"白马王子"，他们均为骑兵二师的刀客。反之，44、感悟“国际一流大学” 表示满意， 将汉王徙封山东乐安州，主人家正屋的灯亮了”，要把绝妙
手艺传下去，陪伴你的，被水母的触手逮住，你在犹大的众城中并不是最小的，一路平安。 你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。只是一个破败中的神。就能使他们的思考力和想象力得到有效的锻炼。犹如眺望远方一幅渐渐逼近的白帆。像我外爷，自由，没雨。我见过毛主席。流水清