最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天

2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春

我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础.

——华罗庚

1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证：

2

2BF

CE =F ··K AK JE

AJ . 2.求方程组

的所有实数解.

3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？

4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i

a .

⎪⎩

⎪⎨⎧=++⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1

,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天

2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春

数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。

——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3

x +3

y =x -y ,求证：

.1422＜y x +

6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，

，⋯21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数；

(2)问：2018是否为好数？

7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证：

.11121m

n m a a a n ++⋯++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的

边至少为多长？

【题1】证：如图，连接BK ，CJ.

∠E =∠ABP —∠BPE ，

而由A ，B ，P ，C 四点共圆，知∠BPE =∠A ， 故 ∠E =ABP —∠A ，

又由KA =KB ，知∠A =∠ABK,

故 ∠E =∠ABP —∠ABK =∠KBF . ① 同理 ∠F =∠JCE . ② 由①，②得 △JEC ∽△KBF .

由此，

,AK JE

KB JE BF CE == ③ .KF

AJ

KF JC BF CE == ④ 将③，④两式的左端和右端分别相乘即得结论.

【题2】解法一：

①式可化为

()()()

2

2211311215z z

y y x x +=+=+. ③

显然x ，y ，z 同号.首先求正数解. 存在α，β，γ∈(0，π)，使得x =tan

2α，y =tan 2

β，z =tan 2γ

，则

sin α=

212x x +, sin β=212y y +, sin γ=2

12z z

+,

③即

13

sin 12sin 5sin γ

β=

=α. ④ ②式可化为

xy

y

x z -+=11, 即 2

tan

2

cot

β

αγ

+=.

注意z ≠0,xy ≠1，因为α，β，γ∈(0，π)，所以

2

22γ

πβα-=+, 即 α+β+γ=π.

从而α，β，γ是某个三角形ABC 的三个内角.

由④和正弦定理知，α,β,γ所对的边a ，b ，c 的比是5∶12∶13，所以，

1sin 13

12sin 135sin ===

γβα，，.

从而 x =tan

2α=15

或5， y =tan 23322或=β， z =tan 12=γ

.

将z =1代入②式，易知x 和y 均小于1.所以⎪⎭

⎫

⎝⎛13251，

，是唯一正数解. 故原方程组有两组解：⎪⎭

⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛1325

1

13251，，和，

，. 解法二：显然x ，y ，z 同号. 由②得x =

1yz

y z

-+，代入①得 ()()()()()()

()()yz z y z y yz z y z y yz yz z y z y yz y y -+++=-+++-=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111511.5115112222

22， 即

5(z 2

+1)y =12(y +z )(1-y z), 同理 5(y 2

+1)z =13(y +z )(1-yz ).

整理得

12y 2

z +17yz 2

=7y +12z , 18y 2z +13yz 2

=13y +8z ,

两式相加，得

30yz (y +z )=20(y +z ),

∴ yz =

z

y 32

,32=

,代入①解得z =±1. 故原方程组有两组解：.1,32,511,32,

51⎪⎭

⎫

⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛和

【题3】解：存在，如下图所示。