八年级上期末复习几何专题(全等三角形轴对称勾股定理)
勾股定理(10个考点梳理+题型解读+提升训练)(原卷版)24-25学年八年级数学上学期期中考点
勾股定理（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：a b ，c 222a b c +=，， .运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【清单02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清单03】勾股定理逆定理 222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【清单04】勾股数像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数【清单05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【考点题型一】一直直角三角形的两边，求第三边长【典例1】已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．25【变式1-1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，则BC 的长为（ ）a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ¹+222a b c +<222a b c +>cA．6B C．24D．2【变式1-2】如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB=∠CBD=90°，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，则CD长为（）cm．D．15A．5B．13C．1445【变式1-3】如图，∠C=∠ABD=90∘，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于．【考点题型二】等面积法斜边上的高【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=6，CB=8．(1)求AB的长；(2)求AB边上的高CD是多少？【变式2-1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（）A．52B．6C．132D．6013【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AB=4，AC=2，则CD的长为．【变式2-3】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，则高CD=．【考点题型三】作无理数的线段【典例3】如图，在数轴上点A表示的数为a，则a的值为（）A B．―1C．―1+D．―1―【变式3-1】如图，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1,∠OBC=90°,DC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（）A B+1C1D【变式3-2】如图，OC=2,BC=1，BC⊥OC于点C，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（）A B．C―2D．2―【变式3-3】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A3B．3―C3D．3―【考点题型四】勾股定理的证明【典例4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形．请根据信息解答下列问题：(1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积．方法1：______．方法2：______．(2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系．(3)如果大正方形的边长为10，且a+b=14，求小正方形的边长．【变式4-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（）A．一幅B．两幅C．三幅D．四幅【变式4-2】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连接BD ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于点F ，则DF =EC =b ―a∵S 四边形ADCB =S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab 又∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =12c 2+12a (b ―a )∴∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b ―a )∴a 2+b 2=c 2请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB =90°，求证：a 2+b 2=c 2．【变式4-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c 的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ）．(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．方法1：S 阴影=______；方法2：S 阴影=______；根据以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积．【考点题型五】直角三角形的判定【典例5】下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．8，12，13【变式5-1】以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A．4，8，7B．5，12，14C．2，2，4D．7，24，25【变式5-2】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A B．1,C．6,7,8D．2,3,4【变式5-3】下列几组数中，不能构成直角三角形的是（）A．9，12，15B．15，36，39C．10，24，26D．12，35，36【考点题型六】勾股定理的逆定理的运用【典例6】如图，一块四边形的空地，∠B=90°，AB的长为9m，BC的长为12m，CD的长为8m，AD的长为17m．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植1m2草坪需要花费50元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？【变式6-1】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．【变式6-2】定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每一个顶点都在格点上，(1)求∠ABC的度数；(2)求格点四边形ABCD的面积．【变式6-3】如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，DA=24m，求这块草地的面积．【考点题型七】勾股数的应用【典例7】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（ ）A ．13，14，512B ．1.5，2，2．5C ．5，15，20D ．9，40，41【变式7-1】下列各组数中，是勾股数的是( )A ．13，14，15B ．3，4，7C ．6，8，10D ．12【变式7-2】下列数组是勾股数的是（ ）A ．2，3，4B ．0.3，0.4，0.5C ．5，12，13D ．8，12，15【变式7-3】下列各组数中是勾股数的是（ ）A ．4，5， 6B ．1.5，2， 2.5C ．11，60， 61D ．12【考点题型八】构造直角三角形解决实际问题【典例8-1】如图，一架2.5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7m ．(1)求OA 的长度．(2)如果梯子下滑0.4m ，则梯子滑出的距离是否等于0.4m ？请通过计算来说明理由．【典例8-2】小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度CE ，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离BD 为15m ；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线BC （假设BC 是直的线）的长为39m ；③小强牵线的手离地面的距离DE 为1.5m ．(1)求此时风筝的铅直高度CE．(2)若小强想使风筝沿CD方向下降16m（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？【典例8-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．(1)求∠ACB的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式8-1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm，则这支铅笔的长度是（）cm．A．10B．15C．20D．25【变式8-2】如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB的长度是（）A．185cm B．195cm C．205cm D．215cm【变式8-3】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞米．【变式8-4】如图，大风把一棵树刮断，量得AC=4m，BC=3m，则树刮断前的高度为m．【变式8-5】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是尺【变式8-6】如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等，(1)求E站应建在离A点多少km处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？【变式8-7】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？【典例9】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在边AB的C′点．(1)求DC′的长度；(2)求△ABD的面积．【变式9-1】如图，长方形ABCD中，AB=9，BC=6，将长方形折叠，使A点与BC的中点F重合，折痕为EH ，则线段BE 的长为（ ）A ．53B ．4C ．52D ．5【变式9-2】如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，则EC 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．3.5cmD ．5cm【变式9-3】如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处，若AB =3，AD =5，求EC 的长．【考点题型十】面展开图-最短路径问题【典例10-1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 ．【典例10-2】如图，圆柱形杯子容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯子内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．【变式10-1】临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）A．20米B．25米C．30米D．15米【变式10-24cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9B．+6C．D．12【变式10-3】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm，BC=6cm，BF=5cm，点M在棱AB上，且AM=3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为cm．【变式10-4】如图，圆柱的底面周长是10cm，圆柱高为12cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为．【变式10-5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．【变式10-6】如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了m，却踩伤了花草．【变式10-7】如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是cm．。
初二上勾股定理(经典题型)
初二上勾股定理(经典题型)数学秋季班教案第十九章几何证明——勾股定理及两点之间的距离公式知识回顾】勾股定理是指对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a²+b²=c²（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。
勾股定理的逆定理是指如果三角形的三边长a、b、c有关系，a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
常见的勾股数有(3n,4n,5n)、(5n,12n,13n)、(8n,15n,17n)、(7n,24n,25n)、(9n,40n,41n)等。
勾股定理的证明图如下：两点之间的距离公式是AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。
例题讲解】例题1：已知a₁=1，a₂=5，a₃=13，a₄=25，a₅=41，a₆=61.aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₃，求a₇。
解析：根据题意，a₇=a₅+a₄=66.例题2：如图所示，已知△ABC的三边AB=15，BC=20，AC=25，求△ABC最长边上的高。
解析：根据海伦公式，可得△ABC的面积为150，再根据最长边上的高公式，可得最长边上的高为12.例题4：已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF²=BE²+FC²．解析：根据勾股定理，可得BE²=AB²-AE²，FC²=AC²-AF²，代入EF²=BE²+FC²中得证。
例题6：一只2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是多少？解析：根据勾股定理，可得梯子顶端到地面的距离为√(2.5²-0.7²-0.4²)=2.31m，因此梯脚移动的距离为2.31-0.7=1.61m。
北师大版八年级数学上学期压轴题攻略专题02 勾股定理与全等三角形综合的三种考法全梳理(原卷版)
专题02勾股定理与全等三角形综合的三种考法全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、勾股定理与倍长中线全等模型】 (2)【考法二、勾股定理与手拉手全等模型】 (5)【考法三、勾股定理与一线三直角全等模型】 (7)【课后练习】 (10)【方法归纳】模型1.倍长中线模型模型2.手拉手模型，如下图：模型3.三垂直全等模型，如图：【考法一、勾股定理与倍长中线全等模型】例．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若12AB =，8AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC EDB V V ≌，依据是___________．A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS（2）由“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【初步运用】（3）如图2，AD 是ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE EF =．若3EF =，2EC AE =，求线段BF 的长．【灵活运用】（4）如图3，在ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 中点，DE DF ⊥，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，试猜想线段BE ，CF ，EF 三者之间的等量关系，并证明你的结论．变式1．【证明体验】(1)如图1，在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ．求证：ACD EBD △≌△．【迁移应用】(2)如图2，在ABC 中，5AC =，13BC =，D 为AB 的中点，DC AC ⊥．求ABC 面积．【拓展延伸】(3)如图3，在ABC 中，90ABC ∠=︒，D 是BC 延长线上一点，BC CD =，F 是AB 上一点，连接FD 交AC 于点E ，若2AF EF ==，6BD =，求ED 的长．变式2．[方法储备]如图1，在ABC 中，CM 为ABC 的中线，若2AC =，4BC =，求CM 的取值范围．中线倍长法：如图2，延长CM 至点D ，使得MD CM =，连结BD ，可证明，由全等得到2BD AC ==，从而在BCD △中，根据三角形三边关系可以确定CD 的范围，进一步即可求得CM 的范围．在上述过程中，证明ACM BDM △≌△的依据是______，CM 的范围为______；[思考探究]如图3，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M 为AB 中点，D 、E 分别为AC 、BC 上的点，连结MD 、ME 、DE ，90DME ∠=︒，若1BE =，2AD =，求DE 的长；[拓展延伸]如图4，C 为线段AB 上一点，AC BC >，分别以AC 、BC 为斜边向上作等腰Rt ACD △和等腰Rt CBE △，M 为AB 中点，连结DM ，EM ，DE ．①求证：DME 为等腰直角三角形；②若将图4中的等腰Rt CBE △绕点C 转至图5的位置（A ，B ，C 不在同一条直线上），连结AB ，M 为AB 中点，且D ，E 在AB 同侧，连结DM ，EM ．若5AD =，3EB =，求DAM △和EBM △的面积之差．变式3．【问题背景】（1）如图1，点P 是线段AB ，CD 的中点，求证：AC BD ∥；【变式迁移】（2）如图2，在等腰ABC 中，,AB BC BD =是底边AC 上的高线，点E 为ABD △内一点，连接ED ，延长ED 到点F ，使ED FD =，连接AF ，若BE AF ⊥，请判断AF 、BE 、BC 三边数量关系并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在等腰ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点D 为AB 中点，点E 在线段BD 上（点E 不与点B ，点D 重合），连接CE ，过点A 作AF CE ⊥，连接FD ，若10,4AF CF ==，求FD 的长．【考法二、勾股定理与手拉手全等模型】例．如图，在ABC 中，以AC 为边向外作等边ACD ，以AB 为边向外作等边ABE ，连接CE 、BD ．求证：BAD EAC ≌．【知识应用】如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，ACB △是等腰直角三角形，=45°ADC ∠，2AD =，4CD =，求BD 的长．【拓展提升】如图，四边形ABCD 中，AB AC =，90ABC ADC ∠+∠=︒，BD =，则BAC BDC ∠-∠=________．变式1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，P 是直线AC 上的一点，连接BP ，过点C 作CD BP ⊥，交直线BP 于点D ．(1)当点P 在线段AC 上时，如图①，求证：BD CD -=；(2)当点P 在直线AC 上移动时，位置如图②、图③所示，线段CD ，BD 与AD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．变式2．如图1，在Rt ABC 中，90AC BC ACB =∠=︒，，E 为AC 上一点，D 为BC 延长线上一点，且CE CD =，连接AD BE ，，并延长BE 交AD 于F ．(1)求证：BF AD ⊥．(2)若点N 与C 关于直线AD 对称，连接CN ，连接AN ．①如图2，作ACB ∠的角平分线CM 交BE 于点M ，连接AM ．判断DAN ∠与DAM ∠的数量关系，并证明你的结论．②如图3，若14AF CN ==，，求AB 的长．变式3．如图所示，等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒．(1)如图1，若D 是ABC 内一点，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到CE ，连,AD BE ，求证：AD BE =；(2)若D 是ABC 外一点，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到CE ，且AE AB =，连结BD ，猜想：线段CD 和BD 满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明；(3)如图，若O 是斜边AB 的中点，M 为BC 下方一点，且2OM =，7CM =，45BMC ∠=︒，则BM =___________．变式4．【探索研究】已知：ABC 和CDE 都是等边三角形．(1)如图1，若点A 、C 、E 在一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD 与BE 的数量关系为：，线段AD 与BE 所成的锐角度数为︒；(2)如图2，当点A 、C 、E 不在一条直线上时，()1中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；【灵活运用】(3)如图3，某广场是一个四边形区域ABCD ，现测得：45m AB =，60m BC =，且30ABC ∠=︒，60DAC DCA ∠=∠=︒，试求圆形水池两旁B 、D 两点之间的距离．【考法三、勾股定理与一线三直角全等模型】例．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】(1)如图，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌．进而得到AC =__________，BC AE =．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】(2)如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；【深入探究】(3)如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，AFD ∆的面积为1S ，DCE ∆的面积为2S ，则有1S __________2S （填“＞、=、＜”）(4)如图，点A 、B 、C 、D 、E 都在同一条直线上，四边形ABAH 、KCMG 、DENM 都是正方形，若该图形总面积是16，正方形KCMG 的面积是4，则HKG D 的面积是__________．变式1．（1）在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，请直接写出AD 、DE 、BE 之间的数量关系：______．（2）在（1）的条件下，当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．（3）类比以上解题思路，完成下面的题：如图3，已知ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l 上，且1l ，2l 之间的距离为1，2l ，3l 之间的距离为3，求AC 的长．变式2．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB CB =；DEF中，90DEF ∠=︒，30EDF ∠=︒．(1)如图1，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM DF ⊥，垂足为点M ，过点C 作CN DF ⊥，垂足为点N ，请在图1中找出一对全等三角形，并说明理由；(2)如图2，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP DE ⊥，垂足为点P ，猜想线段AE 、PE 、CP 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若5AE =，1BE =，连接CE ，则AEC △的面积为．【课后练习】1．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图①，ABC 和ADE V 都是等边三角形，点D 在BC 上．求证：以DE 、CD 、BD 为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】小明通过探究发现：连接CE ，根据已知条件，可以证明BD CE =，120DCE ︒∠=，从而得出DCE △为钝角三角形，故以DE 、CD 、BD 为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．【拓展迁移】如图②，四边形ABCD 和四边形AEGF 都是正方形，点E 在BD 上．①猜想：以DE 、EF 、BE 为边的三角形的形状是________；②当2223BE ED +=时，直接写出正方形AEGF 的面积．2．如图，ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 中点，MDN ∠的两边DM ，DN 分别与直线AB ，AC 交于点E ，F ，且DE DF =，连接EF(1)如图1，当点E ，F 分别在AB ，AC 上时，猜想DEF 形状是______三角形；线段AE 、AF 、AB 的数量关系是______(2)如图2，当点E ，F 分别在AB ，CA 延长线上时，上述两个结论成立吗?若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)的条件下，6AB =①连接AD ，直接写出AED AFD S S -=△△______②当EB BD =时，求AF 的长3．已知：在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BC AC =．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，连接CD ，在CD 的右侧作CE CD ⊥，CD CE =．①线段BE 和线段AD 存在何种数量关系？请说明理由．②请直接写出线段AD 、BD 、DE 之间满足的数量关系_________．(2)如图2，若点D 在线段AB 延长线上，连接CD ，在CD 的右侧作CE CD ⊥，CD CE =，则线段AD 、BD 、CD 之间满足的数量关系是_________．(3)如图3，若点D 在直线AB 上，连接CD ，在CD 的左侧作CE CD ⊥，当3AD =，9AB =时，CDE 的面积为_________．4．在ABC 中，AB BC =，90ABC ∠︒，点E 是直线AB 上一点，作BF CE ⊥于点F ，AH BF ⊥于点H ．(1)如图1，点E 在线段AB 上，BH 交AC 于点M ，若F 为MB 的中点，1BE =，则AB =______；(2)如图2，取AC 中点D ，连接DH ．①若点E 在线段AB 上，求证：HF =②若点E 在直线AB 上，60CEB ∠=︒，2DH =，求AB 的长．5．【证明体验】如图1，向ABC 外作等边三角形ABD △和等边三角形ACE △，连接BE DC ，，求证：BE DC =；【思考探究】如图2，已知ABC ，以BC 为边作等边BCD △，连接AD .若60CAD ∠=︒，4=AD ，3AC =，求AB 的长；【拓展延伸】如图3，在ABC 中，8BC =，以AB 为边作等腰ABD △，AB AD =，连接CD .若10CD =，2DAB ACB ∠=∠，直接写出ABC 的面积.6．如图1，在四边形ABCD 中，,120,90AB AD BAD B ADC =∠=︒∠=∠=︒，E F 、分别是,BC CD 上的点，且60EAF ∠=︒，探究图中线段,,BE EF FD 之间的数量关系．(1)提示：探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．(2)探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=︒，E ，F 分别是,BC CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．(3)能力提高：如图，等腰直角三角形ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点M ，N 在边BC 上，45MAN ∠=︒，若10,26BM MN ==，则CN 的长为．6【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型．（1）如图1，ABC 和ADE V 均为等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，4BC =，点O 为AC 边中点，连接CE ，写出图中全等的三角形______．线段OE 的最小值______．【问题探索】（2）ACB △是等腰直角三角形，90ACB CA CB ∠=︒=，，点E 是AB 上一点，45CED ∠=︒，交BC 于D ．①如图①试探究AE BE EC 、、的数量关系，并给予证明；②如图②，若26AE BE ==，，点F 是BE 的中点，求CF 的长．【灵活运用】（3）如图3，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点E ，AB AD =，150308BAD ACD ACB AC ∠+∠=︒∠=︒=，，，求四边形ABCD 的面积．7．问题探究：如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在ABC 中，8,6,AB AC AD ==是中线，求AD 的取值范围．他的做法是：延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，证明BDE CDA △≌△，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明BDE CDA △≌△的判定理由是______；（填写“ASA ”或“SAS ”）（2）AD 的取值范围是______；方法运用：（3）如图2，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点E ，连接BE ，使得BE AC =，延长BE 交AC 于点F ．求证：AF EF =；（4）如图3，在ABC 中，90,BAC D ∠=︒为BC 的中点，90EDF ∠=︒．求证：222BE CF EF +=．8.（1）问题发现：如图1，ABC 和DCE 均为等边三角形，当DCA 应转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，易证BCE ACD ≌，则①BEC ∠=；②线段AD ，BE 之间的数量关系；（2）拓展研究：如图2，ACB 和DCE 均为等腰三角形，且90ACB DCE ∠∠==︒，点A ，D ，E 在同一直线上，若12AE =，7DE =，求AB 的长度；（3）如图3，P 为等边三角形ABC 内一点，且150APC ∠=︒，30APD ∠=︒，4AP =，3CP =，7DP =，求BD 的长．。
初二上勾股定理(经典题型)
第十九章 几何证明-—勾股定理及两点之间的距离公式【知识回顾】1、勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+(直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
）3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
4、常见的勾股数:(3n ，4n ，5n ）,(5n ，12n,13n)，(8n,15n,17n ），(7n,24n,25n ），(9n,40n ，41n)….。
5、勾股定理的证明图6、两点之间的距离公式：212212)()(y y x x AB -+-=【例题讲解】例题1、细心观察下图,认真分析各式，然后解答问题（1）请用含n （n 是整数数）的等式表示上述变化规律；(2）求出 的值。
例题3、已知等腰三角形的周长是16cm ，底边上的高是4cm ，根据这些条件是否能求出这个等腰三角形的腰长和腰上高的长?若能,请把它们求出来,若不能，要说明理由。
例题2、如图所示，已知△ABC 的三边,25,20,15===AC BC AB 求△ABC 最长边上的高？例题4、已知如图△ABC 中,∠CAB=90°，AB=AC ，E 、F 为BC 上的点且∠EAF=45°， 求证：EF 2=BE 2+FC 2．例题5、如图,已知0090,60=∠=∠=∠D B A ，AB=2，CD=1，求BC 、AD 的长。
例题6、一只2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上,这时梯脚距离墙角0。
7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是多少？例题7、如图一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？例题8、在直角坐标平面有点A（3，4），且AB=5，根据下列条件，求点B的坐标：（1）点B在x轴上；（2）点B在y轴上；(3）点B在第一、三象限的角平分线上；（4）点B与y轴的距离等于1.例题9、已知：如图,等边△ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不重合）,联结AD,作AD 的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F．（1)求△BDE和△DCF的周长和;（2）设CD长为x,△BDE的周长为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;（3）当△BDE是直角三角形时，求CD的长．FED C BAB【巩固练习】1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c mB 、36 2c mC 、482c mD 、602c m2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E 的面积是（ ）A. 13B. 26 C 。
期末复习：几何专题(学案)-2024-2025学年人教版数学八年级上册
【课前引入】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA．求证：AD＝AB+CD．小明经探究发现，在AD上截取AF＝AB，连接EF（如图2），从而可证△AEF≌△AEB，使问题得到解决．图1 图2 图3（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D为边AC上任意一点（不与点A、C 重合），以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°．过点E作BE⊥EG交BA的延长线于点G，过点D作DF⊥BD，交BC于点F，连接FG，猜想EG、DF、FG之间的数量关系，并证明．【典型例题】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，AB∥DC，求证：AD＝AB+DC．小明发现以下两种方法：方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明：AD＝AB+DC；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是BC的中点，∠BAD＝60°，∠ABC＝180°﹣∠BCD，求证：CD＝CE．【平行练习1】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．【提升拓展】阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过作辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”……老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．【课堂检测】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN＝∠BAD，求证：MN＝BM+DN．小明充分利用AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补的条件，将△ABM绕点A逆时针旋转∠BAD的度数，如图2，从而将问题解决．（1）根据阅读材料，证明：MN＝BM+DN；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，F为AD边上的点，连接BF，AE平分∠BAD交BF于E，∠AEF＝m°，∠BCD＝180°﹣2m°，连接CE、DE．①找出图中与DE相等的线段，并加以证明；②求∠ECD的度数（用含m的式子表示）．【课后作业】1.阅读下面材料小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，求证：BC＝AB+2BD．小明利用条件AD⊥BC在CD上截取DH＝BD，如图2，连接AH既构造了等腰△ABH，又得到BH＝2BD，从而命题得证．（1）根据阅读材料证明BC＝AB+2BD；（2）参考小明的方法解决下面的问题；如图3在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABD＝∠BCE，∠ABC＝∠DCE，请探究AD与BE的数量关系，并说明理由．A B C DEED CB A2.在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在BC 边上，BD=BC ． （1）如图1，若∠A =∠CED =45°；①∠ACD 与∠CDE 的数量关系是 ； ②在图中找到与DE 相等的线段，并证明；（2）如图2，将题中条件“点D 在AB 边上”改为“点D 在AB 边延长线上”，其他条件不变；若DE =AC ，猜想∠A 与∠CED 的数量关系，并证明你的猜想．（图1） （图2）3．在Rt△ABC中，∠C=90°．∠CAB、∠CBA的平分线分别交BC、AC于点D和点E．AD、BE相交于点I．（1）如图1，当AC=BC时，在AB上截取AM=AE，BN=BD，连接IM、IN．求△IMN的各内角的度数；（2）如图2，若△IAB的面积是S，求四边形ABDE的面积（用含S的代数式表示）．ACBDEIM N（图1）DBCP（图2）4．已知：直线l 是线段AB 中垂线，垂足为C ，点P 在l 上，连接PA.PB ，以PB 为边在△PAB外部作等边△PBD ，连接AD 交直线PC 于点M ，连接BM ，设∠APB=x °.（1）如图1，当x =60时，请猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，当120﹤x ﹤180时，请猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系______________________________；（请直接写出答案）（3）当60﹤x ﹤120时，将“以PB 为边在△PAB 外部作等边△PBD ”改为“以PB 为边作等边△PBD ”，其他条件不变，请在图3中画出图形，猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系，并证明你的结论.l M D CA B P （图1） l C A B P （图3） （图2） lM D CB A P。
人教八年级数学上册《全等三角形》、《轴对称》知识要点归纳
第十一章《全等三角形》知识要点归纳一、知识网络二、基础知识梳理 1、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。
2、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理A B C D E F 中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEAB DEF(SSS) ABC ∆∆∴≌ A B C D EF中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB DEF(SAS) ABC ∆∆∴≌ AB CDE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB D A（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
注意：①全等三角形问题中，找准对应点，对应边，对应角。
（突出对应） ②题中已知平移、翻折、旋转相当已知全等；③判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
④要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
⑤要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
其中：一般三角形有四 种判定方法 。
直角三角形有五 种判定方法。
3、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上DEF(ASA)ABC ∆∆∴≌ A B C DE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC E B D A DEF(AAS)ABC ∆∆∴≌ A C BEFD中和在DEF Rt ABC Rt ∆∆⎩⎨⎧==DF AC DE AB )HL (DEF Rt ABC Rt ∆∆∴ ≌ ·ADP COB角平分线的性质）平分PD(PC OAPD OB PC AOB OP =∴⊥⊥∠ ·ADP CBAOB∠∠=∠∴=⊥⊥平分或：角平分线的判定）OP BOP(AOP PD PC OA PD OB PC注：①性质与判定都是由三个条件推出一个结论，要正确应用； ②会用尺规做一个角的平分线，依据为“边边边”。
浙教版-学年初中数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理 解析版
浙教版2019-2020学年初中数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理一、单选题1.直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）A. 13B.C. 13或D. 13或122.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A. 2.2米B. 2.3米C. 2.4米D. 2.5米3.我国是最早了解勾股定理的国家之一下面四幅图中，不能证明勾股定理的是A. B. C. D.4.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2 EF，则正方形ABCD的面积为（）A. 14SB. 13SC. 12SD. 11S5.三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是( )．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形6.以a．b．c为边的三角形是直角三角的为（）A. a=2，b=3，c=4B. a=1，b= ，c=2C. a=4，b=5，c=6D. a=2，b=2，c=7.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（）.A. 13cmB. cmC. 2 cmD. 20cm8.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为( )A. 6B. 5C. 4D. 39.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A. 13B. 26C. 34D. 4710.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为，，，则，，之间的关系是（）A. B. C. D. 无法确定二、填空题11.写四组勾股数组．________，________，________，________．12.如图，两个正方形的面积分别是289和225，则字母A所代表的正方形的边长为________13.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________（不包括5）．14.如图是一个长8m，宽6m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处长的四等分有一只壁虎，B处宽的三等分有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为________15.如图,要为一段高为5米,长为13米的楼梯铺上红地毯,则红地毯至少要________米长.16.《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程求出AC的长为________.三、解答题17.如图，某校A与公路距离为3千米，又与该公路旁上的某车站D的距离为5千米，现要在公路边建一个商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为多少？18.如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，你能找到几个这样的C点？把它们都画出来。
浙江省数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理
浙江省数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共30分)1. （3分） (2020八下·罗山期末) 如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面距离为7m，现将梯子的底端A向外移到A'，使梯子的底端A'到墙根O距离为3m，同时梯子顶端B 下降至B'，那么BB' （）A . 等于1mB . 小于1mC . 大于1mD . 以上都不对2. （3分） (2020九上·杭州期中) 如图，在中，均为斜边中线，则以为边构成的三角形是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 无法确定3. （3分） (2020八下·福州期中) 我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾和股的差值为（）A . 4B . 1C . 2D . 以上都不对4. （3分） (2017八上·乐清期中) 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A . 49B . 25C . 12D . 105. （3分） (2016八上·宜兴期中) 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组（）A . 3，4，5B . 5，12，13C . 12，15，25D . ，，16. （3分） (2020八上·太原期中) 在中，若，，，则下列结论正确的是（）A .B .C .D . 不是直角三角形7. （3分） (2015七上·海淀期末) 已知AB是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过PB上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是（）A . MB . NC . SD . T8. （3分） (2020七上·龙口期中) 小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后展开得到（）A .B .C .D .9. （3分）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是A .B .C .D .10. （3分） (2015九上·淄博期中) 如图，一圆柱高8 cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）cm.A . 6B . 8C . 10D . 12二、填空题 (共6题；共24分)11. （4分） (2018八下·柳州期末) 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.写出你比较熟悉的两组勾股数：①；②.12. （4分） (2021八上·青羊月考) 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为.13. （4分）如图，△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，现在分别取三边的中点E、F、G，顺次连结E、F、G，则△EFG的面积为14. （4分） (2020八下·韶关期末) 如图，菱形的两条对角线的长分别为与，点是的中点，则．15. （4分）某同还用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需cm．16. （4分） (2019八上·重庆期末) 如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为6cm，高为16cm.现将一根长度为25cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是cm.三、解答题 (共8题；共66分)17. （6分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm，BC =" 6" cm，EF =" 9" cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．18. （6分） (2020八上·郑州月考) 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点.（1）在图1中以格点为顶点画一条线段MN，使长MN= .（2）在图2中以格点为顶点画△ABC，使AB= ，AC= ，BC=5.并判断它是否是直角三角形.19. （6分）(2017·盘锦) 如图，码头A，B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A，B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC=50km，若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）20. （8分） (2018八上·湖州期中) 阅读下列材料：【材料】如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形我们就能证明勾股定理： .【请回答】如图是任意符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？21. （8分） (2021八下·惠城期末) 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，点D的坐标为(2，0)，E为AB上的点，求当△CDE的周长最小时，点E的坐标和最小周长．22. （10分） (2020八上·福鼎期中) 意大利著名画家达•芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中左图的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，右图的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设左图中空白部分的面积为S1 ，右图中空白部分的面积为S2 ．（1）请用含a ， b ， c的代数式分别表示S1 ， S2；（2）请利用达•芬奇的方法证明勾股定理．23. （10分） (2018八上·龙岗期中) 如图，一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角．工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件符合要求吗？（2）求这个四边形的面积．24. （12分）(2018·井研模拟)（1）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．（2）【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）（3）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．（4）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．参考答案一、单选题 (共10题；共30分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共24分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共66分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、答案：24-3、答案：24-4、考点：解析：。
苏科版数学八年级上册数学期末几何专题复习——三角形综合(全等与勾股定理)(四)
八年级上册数学期末几何专题复习——三角形综合（全等与勾股定理）（四）1．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE＝∠CBF；（2）证明：AE＝BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC 和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC＝S△ABG，求∠ACB的取值范围．2．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．3．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．4．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠BAD＝90°，BD、AC交于点F，且AF＝AD，作DE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBF＝∠ABF；（2）若AB﹣BC＝4，AC＝8，求BC的长；（3）求证：AE＝CF．5．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，∠DAB＝∠ABD，BE⊥AD，垂足为E．求证：BC＝2AE．小明探究发现，可以通过构造全等三角形来解决，在BC上截取BF＝AE，连接AF，可证△ABF≌△BAE（如图2），从而使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是（填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”中的一个）；参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC是等边三角形，点P在BQ上，且∠APB＝120°，CP＝CQ，探究线段AP，BQ的数量关系，并证明你的结论．6．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．请补充完整证明“BE＝DC，且BE⊥DC”的推理过程；证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形（已知）∴AB＝AD，AE＝AC（等腰直角三角形定义）又∵∠BAD＝∠CAE＝90°（已知）∴∠BAD+∠BAC＝（等式性质）即：∴△ABE≌△ADC（）∴BE＝DC（全等三角形的对应边相等）∠ABE＝∠ADC（全等三角形的对应角相等）又∵∠BFO＝∠DFA（）∠ADF+∠DFA＝90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠ABE+∠BFO＝90°（等量代换）∴即BE⊥DC（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD 相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？7．如图，在△ABC中，AB＝AC，射线BD上有一点P，且∠BPC＝∠BAC．（1）求证：∠APC＝∠APD；（2）求证：AB+AC＞PB+PC．8．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．9．阅读探索题：（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM 于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．（2）请你参考以上方法，解答下列问题：如图2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD 之间的数量关系并证明．10．阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断．（1）AB、AD、DC之间的等量关系为；（2）完成（1）的证明．问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．参考答案1．（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCP．又∵CP＝CP，∴△ACP≌△BCP．∴∠CAP＝∠CBP，即∠CAE＝∠CBF．（2）证明：∵在△ACE与△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（ASA）．∴AE＝BF．（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，∴S△ABC ＝S△ABG．∴AE＝AC．①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；②当∠ACB为锐角时，∠CAH＝90°﹣∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE＝AC，只需使∠ACB＝∠CEA，此时，∠CAE＝180°﹣2∠ACB，只须180°﹣2∠ACB＜90°﹣∠ACB，解得：60°＜∠ACB＜90°．2．【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．3．解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．②∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．∵BC＝BD+CD，∴BC＝CE+CD．（2）BC+CD＝CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD；4．（1）证明：∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD，∵∠AFD＝∠BFC，∴∠ADF＝∠BFC，在Rt△CBF和Rt△ABD中，∴Rt△CBF～Rt△ABD，∴∠CBF＝∠ABF．（2）解：设BC＝x，∵AB﹣BC＝4，∴AB＝x+4，在Rt△ABC中，∵AC＝8，∴（x+4）2﹣x2＝64，整理，可得8x+16＝64，解得x＝6，∴BC的长是6．（3）证明：如图1，作FG⊥AB于点G，，∵∠CBF＝∠ABF，∴FG＝CF，∵∠FAG+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠FAG＝∠ADE，∵∠AFG＝90°﹣∠FAG，∠DAE＝90°﹣∠ADE，∴∠AFG＝∠DAE，在Rt△AFG和Rt△DAE中，∴Rt△AFG≌Rt△DAE，∴AE＝FG，∵FG＝CF，∴AE＝CF．5．解：（1）在BC上截取BF＝AE，连接AF，如图2所示：∵∠DAB＝∠ABD，∴∠BAE＝∠ABF，在△ABF和△BAE中，，∴△ABF≌△BAE（SAS），故答案为：SAS；（2）BQ＝2AP，理由如下：在BP上截取点M，使BM＝AP，连接CM，在QB上取点N，使QN＝PM，连接CN，如图3所示：∵∠APB＝120°，∴∠APQ＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，∴∠APQ＝∠ABC，即∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBM，∴∠BAP＝∠CBM，在△ABP和△BCM中，，∴△ABP≌△BCM（SAS），∴BP＝CM，∠APB＝∠BMC＝120°，∴∠CMN＝180°﹣120°＝60°，∵CP＝CQ，∴∠CPM＝∠Q，在△PCM和△QCN中，，∴△PCM≌△QCN（SAS），∴CM＝CN，∴△CMN是等边三角形∴CM＝MN，∵BQ＝BP+PM+MN+QN，∴BQ＝2BM＝2AP．6．（1）解：∠CAE+∠BAC，∠DAC＝∠BAE，SAS，对顶角相等，∠BOF＝∠DAF＝90°；（2）证明：如图2，∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ACE＝∠AEC＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，∠BEA＝∠ACD，∴∠BOC＝∠ECO+∠OEC＝∠DCA+∠ACE+∠OEC＝∠BEA+∠ACE+∠OEC＝∠ACE+∠AEC＝60°+60°＝120°．∴∠BOC＝60°．7．解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BPC＝∠BAC，∴A、P、B、C四点共圆，∴∠APC＝∠ABC，∠APB+∠ACB＝180°∴∠APC＝∠ACB，∵∠APB+∠APD＝180°∴∠ACB＝∠APD（2）证明：如图，在射线PD上截取PE＝PC，连接AE，在△PAE和△PAC中∴△PAE≌△PAC（SAS）∴AE＝AC∵在△ABE中，AB+AE＞BE∴AB+AC＞PB+PC．8．解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG；∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．9．（1）证明：在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS）．（2）在CB上截取CE＝CA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ACD和△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠CAD＝∠CED＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠EDB＝30°，即∠EDB＝∠B，∴DE＝EB，∵BC＝CE+BE，∴BC＝AC+DE，∴BC＝AC+AD．10．解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF＝∠F，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，在△AEB和△FEC中，∵，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD，∴AD＝DC+CF＝DC+AB，故答案为：AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB＝GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∴AB＝CG＝AF+CF．。
八上 勾股定理十类题型分类 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
教学内容勾股定理题型分类教学目标掌握勾股定理及其逆定理重点勾股定理及其逆定理难点勾股定理及其逆定理的应用教学过程课堂精讲一、勾股定理的证明根据图形，写出勾股定理的证明过程二、利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．cb aA B bbbbccccaaaabccaabDCAEB2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
5、在直线上依次摆放着七个正方形。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_________S3S2S12、如下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积_______.三、在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边长为．2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，斜边上的高是．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
苏教版八年级数学全册知识点总结
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 轴对称图形第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等轴对称轴对称的性质轴对称图形线段 角 等腰三角形 轴对称的应用等腰梯形设计轴对称图案三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
第3章 勾股定理全章复习与测试(解析版)-八年级数学
第3章勾股定理全章复习与测试1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．4.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．5.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.6.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.一．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．三．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．四．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．五．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…六．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．直角三角形的性质（共1小题）1．（2020秋•苏州期中）在△ABC中，有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形内角和定理来判断．【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：2∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC 是直角三角形；②设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠A+∠B+∠C＝180°得到：6x＝180°，则x＝30°，∠C＝3x＝90°，所以△ABC是直角三角形；③由∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+∠A＝180°，则∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+2∠A＝180°，则∠A＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180度．二．勾股定理（共10小题）2．（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，当OP＝或2或2时，△OAP是等腰三角形．【分析】分三种情况，当OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP时，由等腰三角形的性质可求出答案．【解答】解：当△AOP为等腰三角形时，分三种情况：①如图，OP＝AP，∴∠O＝∠OAP，∵∠AOM＝45°，∴∠APO＝90°，∴OP＝；②如图，OA＝OP＝2；③如图，OA＝AP，∴∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°，∴OP＝＝＝2．综上所述，OP的长为或2或2．故答案为：或2或2．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021秋•新吴区校级期中）已知一直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则第三边的长为13．【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12，∴第三边的长＝＝13．故答案为：13．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．4．（2022秋•句容市期末）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为4．【分析】设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根据完全平方公式的变式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根据直角三角形的面积计算方法即可得出答案．【解答】解：设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴△BCD的面积＝ab＝×8＝4．图中△BCD的面积为4．故答案为：4．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．5．（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点D到直线AB的距离是5cm．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE＝CD，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，AC⊥CD，DE⊥AB，∴DE＝CD，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD＝＝5，∴DE＝5cm，故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及勾股定理是解题的关键．6．（2022秋•海陵区校级期末）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为10．【分析】设AH＝a，则HD＝14﹣a，根据图2可知，EK＝HD，由已知条件正方形IJKL的边长为2，可得JK＝2，即可得出AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，即可列出等式a＝12﹣a，求出a的值即可得出HD ＝AE的长度，再根据勾股定理即可得出答案．【解答】解：设AH＝a，则HD＝14﹣a，由图可得，EK＝HD，JK＝2，∵AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，∴a＝12﹣a，∴a＝6，在Rt△AEH中，∵AH＝6，HD＝AE＝14﹣6＝8，∴HE＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了勾股定理，正确理解题目所给图形勾股定理进行求解是解决本题的关键．7．（2023•盱眙县模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若，BC＝12，则△ABE的周长为18．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴，∴△ABE的周长为，故答案为：18．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．（2022秋•广陵区校级期末）直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝．【分析】根据勾股定理得到BC＝＝6，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据全等三角形的性质得到AE＝AC＝8，求得BE＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，过D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分线，∴CD＝DE，在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝8，∴BE＝2，∵DE2+BE2＝BD2，∴（6﹣BD）2+22＝BD2，∴BD＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2022秋•广陵区校级期末）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为9或21．【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，在Rt△ABD中，∵AB＝17，AD＝8，∴BD＝＝15；在Rt△ACD中，∵AC＝10，AD＝8，∴CD＝＝6，∴当AD在三角形的内部时，BC＝15+6＝21；当AD在三角形的外部时，BC＝15﹣6＝9．∴BC的长是21或9．故答案为：21或9．【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．10．（2022秋•太仓市期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为1，2，则这个直角三角形的斜边的长为．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，这个直角三角形的斜边的长＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．11．（2022秋•亭湖区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是．【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，∵BC＝4，AC＝3，∴AB＝＝5，设AB边上的高为h，＝AC•BC＝AB•h，则S△ABC∴h＝，故答案为：【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．三．勾股定理的证明（共1小题）12．（2022秋•阜宁县期中）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，古今中外已有几百种证明方法．2002年世界数学家大会在中国北京举行，大会的会标选用验证勾股定理的“弦图”，它标志着我国古代数学的成就．“弦图”由4个全等的直角三角形拼成大正方形（如下图示）设直角三角形的两直角边分别为a、b （a＜b），斜边为c，请你利用“弦图”验证勾股定理．【分析】用等面积法，大的正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和，列等式化简即可证明．【解答】解：根据题意有，大正方形面积：c2，小正方形面积：（b﹣a）2，4个直角三角形面积之和：4×a×b×＝2ab，∵大正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和，∴（b﹣a）2+2ab＝c2，∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查了勾股定理的证明，用等面积法列出等式，并化简是解本题的关键，综合性较强，难度适中．四．勾股定理的逆定理（共15小题）13．（2022秋•工业园区校级期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90°B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13C．a2+b2＝c2D．a：b：c＝3：4：5【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝78°，故△ABC不是直角三角形；C、∵a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；D、∵a：b：c＝3：4：5，∴可设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，那么a2+b2＝c2，故△ABC为直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．14．（2022秋•溧阳市期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB2＝32+42＝25，CD2＝22+12＝5，EF2＝42+22＝20，GH2＝22+32＝13．因为CD2+EF2＝AB2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、CD、EF．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．也考查了勾股定理．15．（2022秋•东台市期中）在△ABC的三边分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，判断△ABC 的形状，证明你的结论．【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．16．（2022秋•徐州期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，连接CD．（1）若∠B＝50°，求∠DCA度数；（2）若点E是AB上的一个动点，则线段CE的最小值为 4.8．【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝DB，从而利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DCB＝50°，最后进行计算即可解答；（2）根据垂线段最短可得：当CE⊥AB时，线段CE有最小值，然后利用面积法进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵点D是AB的中点，∴CD＝DB＝AB，∴∠B＝∠DCB＝50°，∴∠DCA＝∠ACB﹣∠DCB＝40°，∴∠DCA度数为40°；（2）当CE⊥AB时，线段CE有最小值，∵△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴AB•CE＝AC•BC，∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8，∴线段CE的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质，垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．17．（2022秋•兴化市期中）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的面积；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．【分析】（1）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解；（2）先利用勾股定理求出三边AB，BC，AC的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断．＝4×4﹣×4×2﹣×3×4﹣×1×2【解答】解：（1）S△ABC＝16﹣4﹣6﹣1＝5；（2）∵AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝42+32＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是求边长AB，BC，AC．18．（2022秋•无锡期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，5，6B．5，7，9C．6，8，10D．7，8，9【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52≠62，不能组成直角三角形，不符合题意；B、52+72≠92，不能组成直角三角形，不符合题意；C、62+82＝102，能组成直角三角形，符合题意；D、72+82≠92，不能组成直角三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．19．（2022秋•建湖县期中）以下四组代数式作为△ABC的三边：①3n，4n，5n（n为正整数）；②n，n+1，n+2（n为正整数）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n 为正整数）．其中能使△ABC为直角三角形的有（）A．0组B．1组C．2组D．3组【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：①3n，4n，5n（n为正整数），（3n）2+（4n）2＝（5n）2，能构成直角三角形；②n，n+1，n+2（n为正整数），n2+（n+1）2≠（n+2）2，不能构成直角三角形；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数），（n2﹣1）2+（n2+1）2＝（2n）2，能构成直角三角形；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数），（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，能构成直角三角形．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．20．（2022秋•邗江区期中）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．【解答】解：∵52＝25，122＝144，92＝81，152＝225，132＝169，∴52+122＝132，52+92≠122，92+122＝152，52+132≠152，∴A错误，B错误，C正确，D错误．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．21．（2022秋•高新区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接AC，根据勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根据AC2＝DA2+DC2即可得出结论；＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．（2）根据S四边形ABCD【解答】（1）解：∠D是直角．理由：连接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；＝S△ABC+S△ADC，（2）解：∵S四边形ABCD＝AB•BC+AD•CD，∴S四边形ABCD＝，＝234．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．22．（2021秋•沭阳县期末）如图，在四边形ABCD地块中，AB＝6，AD＝8，BC＝26，CD＝24，∠A＝90°，求该四边形ABCD地块的面积．【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理推出△CBD是直角三角形，然后将两个直角三角形的面积相加即可．【解答】解：连接BD，在Rt△BAD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝10，在△CBD中，CD2＝BD2+BC2，∴△CBD是直角三角形．+S△CBD∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＝AD•AB+BD•BC＝×6×8+×10×24＝24+120＝144．故四边形ABCD的面积为144．【点评】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理推出△CBD是直角三角形，然后即可得出答案．23．（2022秋•邗江区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题．（1）若∠C＝90°，，求b；（2）若a、b、c三边满足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，试判断△ABC的形状．【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据绝对值的非负性可得a﹣9＝0，b﹣12＝0，c﹣15＝0，从而可得a＝9，b＝12，c＝15，然后利用勾股定理的逆定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，，∴b＝＝＝2；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，∴a﹣9＝0，b﹣12＝0，c﹣15＝0，∴a＝9，b＝12，c＝15，∵a2+b2＝92+122＝225，c2＝152＝225，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了绝对值的非负性，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．24．（2022秋•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的长．【分析】（1）根据垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理可以判断△BEC的形状，从而可以得到∠ACB＝90°；（2）根据（1）中的结果和勾股定理，可以计算出CE的长．【解答】（1）证明：连接BE，如图所示，∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE，∵CB2＝AE2﹣CE2，∴CB2＝BE2﹣CE2，∴CB2+CE2＝BE2，∴△BEC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）解：设CE＝x，则AE＝12﹣x，∵BE＝AE，∴BE＝12﹣x，∵∠ECB＝90°，BC＝9，∴CB2+CE2＝BE2，∴92+x2＝（12﹣x）2，解得x＝，即CE＝．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2022秋•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°．求证：∠C＝90°．【分析】连接BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，然后再利用勾股定理的逆定理证明△BCD 是直角三角形，即可解答．【解答】证明：连接BD，∵AB＝20，AD＝15，∠A＝90°，∴BD＝＝＝25，在△BCD中，BC2+CD2＝242+72＝625，BD2＝252＝625，∴BD2＝BC2+CD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠C＝90°．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．26．（2022秋•邗江区校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．请求出线段DE的长．【分析】求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；求出AC＝AB＝10，根据三角形的面积公式求出DE即可．【解答】解：∵BC＝12，AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC＝6，∵AD＝8，AB＝10，∴BD2+AD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，∴AB＝AC，∵AB＝10，∴AC＝10，∵△ADC的面积S＝AD•DC＝AC•DE∴＝，解得：DE＝4.8．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．27．（2022秋•滨海县期中）如图所示的一块土地，测量得AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，∠ABC＝90°，求这块土地的面积．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，再分别求出△CAD和△CBA的面积即可．【解答】解：连接AC，∵AB＝3m，BC＝4m，∠ABC＝90°∴AC2＝BC2+AB2＝25，∴AC＝5m，∵CD＝13m，AD＝12m，∴AC2+AD2＝CD2，∴△CAD是直角三角形，即∠CAD＝90°，﹣S△CAB∴这块土地的面积S＝S△CAD＝﹣＝＝24（m2），答：这块土地的面积是24m2．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出△CAD是直角三角形是解此题的关键．五．勾股数（共1小题）28．（2022秋•江都区期末）下面各组数中，勾股数是（）A．0.3，0.4，0.5B．1，1，C．5，12，13D．1，，2【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：A、都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；B、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；C、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；D、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股数的概念，正确记忆满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题关键．六．勾股定理的应用（共7小题）29．（2021秋•洪泽区校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．7B．8C．9D．10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝＝10（米）．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．30．（2022秋•邗江区校级月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．31．（2022秋•金湖县期中）将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为5cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤19B．11≤h≤19C．12≤h≤19D．13≤h≤19【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后根据勾股定理求出AB的长，即可解决问题．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，此时h＝24﹣5＝19（cm），当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝12cm，BD＝5cm，∴AB＝＝＝13（cm），此时h＝24﹣13＝11（cm），所以h的取值范围是11≤h≤19．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．32．（2022秋•工业园区校级月考）放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是100米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为（）A．300米B．400米C．500米D．700米【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．【解答】解：根据题意得：如图：OA＝100×4＝400（米）．OB＝100×3＝300（米）．在直角△OAB中，AB＝＝＝500（米）．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．33．（2022秋•惠山区期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B离远处竹子C的距离BC为3尺，则折断后的竹子AC＝尺．（注：1丈＝10尺．）【分析】设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝，故答案为：．【点评】此题考查了勾股定理的应用以及数学常识，由勾股定理得出方程是解题的关键．34．（2022秋•江阴市期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？【分析】设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：绳索AD的长度是10m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．（2022秋•锡山区期中）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大。
八年级上册几何知识点总结
几何部分一. 全等三角形１、能完全重合的图像叫做全等图形。
两个图形全等, 它们的形状和大小都相同。
２、两个能重合的三角形叫全等三角形。
３、全等三角形的对应边相等, 对应角相等。
４、三角形全等的判定:1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。
2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5）三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等。
５、直角三角形全等的判定:1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称HL或“斜边直角边”)。
2）以上判定方法对于直角三角形全部适用。
二. 轴对称图形（一）轴对称与轴对称图形1.轴对称: 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后, 能够与另一个图形重合, 那么这两个图形关于这条直线成轴对称, 这条直线叫做对称轴, 两个图形中的对应点叫做对称点。
2.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠, 直线两旁的部分能够互相重合, 那么这个图形叫做轴对称图形, 这条直线叫做对称轴。
轴对称和轴对称图形的区别和联系:区别: ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合, 而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
3.联系: ①两部分都完全重合, 都有对称轴, 都有对称点。
4.②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体, 这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形, 这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形: 圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等, 正多边形等。
（分别指出这些图形的对称轴的条数）怎样画轴对称图形: 画轴对称图形时, 应先确定对称轴, 再找出对称点。
八年级上期末复习几何专题(全等三角形、轴对称、勾股定理)
初二数学几何总复习专题一.轴对称图形的识别和作图问题1.如图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形：2.如图是2×2的方格,在格点处有一个△ABC ,仿照图例在备用图中画出三种与△ABC 成轴对称的“格点三角形”.3．称图形的是（）4. A5.点P （3，-4），则点P 关于y 轴对称的点的坐标是_______．6.如图，把一个长方形ABCD 沿AE 对折点B 落在F 点，EF 交AD 于点G ，如果∠BEA =38°，则∠EGA 的度数为______度．7.如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示.若60A ∠=︒，195∠=︒，则∠2的度数为（） A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°8．如图，将△ABC 沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处.若1129∠=︒，则2∠的度数为（） A ．49°B ．50°C ．51°D ．52°6图7图8图9．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3，则点D 到AB 的距离是（）A ．5B ．4C ．3D ．210.如图，AO 、OB 是互相垂直的墙壁，墙角O 处是一个老鼠洞，一只猫在A 处发现了B 处的一只老鼠正在向洞口逃窜.若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C .（尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法） 11.如图，已知A （-2，3），B （-3,1），C （1，-2）．（1）请画出ABC △关于y 轴对称的A B C '''△（其中A B C '''，，分别是A B C ，，的对应点，不写画法）； （2）B '的坐标为______； （3）△ABC 的面积是________． 12．已知：如图，∠ABC 及两点M ，N ．求作：点P ，使得PM ＝PN ，且P 点到∠ABC 两边的距离相等．（不写画法，保留作图痕迹） 答：______即为所求.专题二．利用等腰三角形的性质求角的问题及分类思想 1.等腰三角形有一个角为40°，则另外两个角分别为_______．2.等腰三角形中，有一个角是50°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是（）AB C B'C'EF12BBBBBDCA3.一个等腰三角形的一边长是6，一个外角是120°，则它的周长为（） A ．12B ．15C ．16D ．184.已知：如图1，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，求：∠BAC 的度数． 图15.如图2，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，∠AFD ＝158°，则∠EDF 等于＝__________． 图2图3图46. 如图3，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠BAE ＝10°， 则∠C 的度数为（）7．如图4，AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=40°，则∠CDE=_______． 8．如图5，△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=EB ，则∠A 为（）A ．30°B ．36°C ．45°D ．54° 图5图6图79．如图6，△ABC 中，AB=AC=BD ，那么∠1与∠2之间的关系满足（） A ．∠1=2∠2B ．2∠1+∠2=180°C ．∠1+3∠2=180°D ．3∠1-∠2=180°10．如图7，AC ⊥BC ，AC=BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，则图中共有等腰三角形（） A ．1个B ．2个C ．5个D ．4个11．如图8，∠A=90°，E 是BC 上一点，A 点和E 点关于BD 对称，B 点、C 点关于DE 对称，求∠ABC 和∠C 的度数． 图812.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC=AD ，求△ABC 各角的度数. 专题三．利用等腰三角形的性质求线段的问题1.已知：在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8cm ，△ABE 的周长是14cm ， 求：AB 的长。
八年级数学勾股定理30道必做题(含答案和解析)
八年级数学勾股定理30道必做题（含答案和解析）1、如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a ，b ，c. A ，B ，N ，E ，F 五点在同一直线上，则c ＝ ．（用含有a ，b 的代数式表示）．答案：√a 2+b 2.解析：由三个正方形如图的摆放.∵四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形. ∴∠CNB ＋∠ENH ＝90°.又∵∠CNB ＋∠NCB ＝90°，∠ENH ＋∠EHN ＝90°. ∴∠CNB ＝∠EHN ，∠NCB ＝∠ENH. 在△CBN 和△NEH 中：{∠BNC =∠EHNNC =HN ∠NCB =∠HNE .∴△CBN ≌△NEH （ASA ）. ∴HE ＝BN.在Rt △CBN 中，BC 2＋BN 2＝CN 2.又已知三个正方形的边长分别为a ，b ，c. 则有a 2＋b 2＝c 2. ∴c =√a 2+b 2．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理. 四边形——正方形——正方形的性质.2、在Rt △ABC 中，斜边长BC ＝3，AB 2＋AC 2＋BC 2的值为（ ）． A.9 B.18 C.6 D. 无法计算答案：B.解析：在Rt△ABC中，斜边长BC＝3.BC2＝AB2＋AC2＝9.∴AB2＋AC2＋BC2＝9＋9＝18．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.3、三角形三边长分别为① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．其中能构成直角三角形的有．答案：①②③④⑤⑥.解析：① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．全都能构成直角三角形．考点：三角形——直角三角形——勾股数.4、已知点A（3,5），B（-1，1）那么线段AB的长度为（）．A.4B.3√2C.4√2D.5答案：C.解析：已知A（3,5）和B（-1，1），由两点间的距离公式可知AB=√(3+1)2+(5−1)2=4√2．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离.5、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为，斜边上的高为．答案：1．5√2.2．5.解析：等腰三角形的三边关系为1∶1∶√2.因为等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为5√2.斜边上的高，即为斜边的中线，为斜边的一半，长为5．考点：三角形——直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.6、若正方形的周长为40，则其对角线长为（）．A.100B.20√2C.10√2D.10答案：C.解析：正方形边长为10，根据勾股定理得对角线长为10√2．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AC的长是（）．A.2B.√32C.√3D.√3+2答案：C.解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.8、等边三角形的边长为4，则它的面积是．答案：4√3 .解析：等边三角形的面积=√34×42=4√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.9、已知一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，则此三角形斜边是__________，斜边上的高为__________．A.5；125B.6；145C.6；125D.5；145答案：A.解析：略.考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.直角三角形——勾股定理.10、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它的斜边上的高为．答案：6013.解析：设斜边的长为c，斜边上的高为h.∵直角三角形的两直角边长分别为5和12.∴c=√52+122=13.∴5×12＝13h，解得h＝60．13考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.11、如图所示，小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端点B，C点的仰角分别为60°和30°，则条幅的高度BC为米（结果可以保留根号）．答案：4√3.=2√3，BC=BD−CD=4√3．解析：依题可知，BC=6√3，CD=√3考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.三角形——锐角三角函数——解直角三角形.12、一张直角三角形的纸片，按图所示折叠，使两个锐角的顶点A，B重合，若∠B＝30°，AC＝√3，则DC的长为．答案：1.解析：由题知∠DAE＝∠B＝30°.∴∠DAC＝90°－∠B－∠DAE＝30°．AC=1．∴在Rt△ADC中，DC=√33考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.13、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，D是AB延长线上一点且∠CDB＝45°．求DB与DC的长．答案：证明见解析．解析：过C作CE⊥AB于E.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4.∴BC＝2，∠ABC＝60°.∴∠BCE＝30°.∴BE＝1，CE＝√3.在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠CDB＝45°.∴∠ECD＝45°.∴DE＝CE＝√3.∴CD＝√CE2+DE2=√6.∴BD＝√3－1．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.14、如图，数轴上有两个Rt△OAB，Rt△OCD，OA，OC是斜边，且OB＝1，AB＝1，CD＝1，OD＝2，分别以O为圆心，OA，OC为半径画弧交x轴于E，F，则E，F分别对应的数是.答案：−√2，√5.解析：在Rt△OAB中，OA＝√OB2+AB2=√2.∴OE＝√2.∴点E对应的数为−√2．在Rt△OCD中，OC＝√OD2+CD2=√5.∴OF＝√5.∴点F对应的数为√5．考点：数——有理数——数轴.三角形——直角三角形——勾股定理.15、在△ABC中，三条边的长分别为AB＝√5，BC＝√10，AC＝√13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格，其中每个小正方形的边长为1，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样就不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为√2a，√13a，√17a(a>0).请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上．（3）若△ABC中有两边的长分别为√2a,√10a(a>0).且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上．.答案:（1）72a2.（2）52（3）4a或2√2a.解析:（1）△ABC的面积为72．（2）△ABC的面积为52a2.（3）图中三角形为符合题意的三角形．第三边的长度为4a或2√2a.考点：函数——平面直角坐标系——坐标与面积.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.16、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝5，c＝4，则S△ABC＝．答案：94.解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2＋b2＝c2．又有(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴(a＋b)2－c2＝2ab.∴S△ABC＝12ab=94．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.17、已知Rt△ABC的周长为2+√6，其中斜边AB＝2，则这个三角形的面积为．答案：12.解析：在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b．由勾股定理得a2＋b2＝4．由题意得a ＋b ＋2＝2＋√6. ∴a ＋b ＝√6. ∴ab =(a+b)2−(a 2+b 2)2=6−42=1．∴s =12ab =12．考点：式——整式——完全平方公式.三角形——直角三角形——勾股定理.18、在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为 ． 答案：132cm. 解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.19、如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求水深是多少？答案：水深为1.5米．解析：设水深AC 为x 米．则红莲的长是(x ＋1)米．在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴(x ＋1)2＝x 2＋4． 解得x ＝1.5． 答：水深为1.5米．考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的应用.20、如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA ⊥AB ，AD ＝1，BD ＝√17，则BC 的长为 ．.答案：178解析：在Rt△ABD中，由勾股定理可知，AD＝1，BD＝√17，AB＝4．设BC＝BD＝x，AC＝4－x..由勾股定理可知12＋(4－x)2＝x2，解得x＝178考点：三角形——直角三角形——勾股定理.21、如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于．答案：6.解析：∵AB＝10，EF＝2.∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4.∴四个直角三角形的面积和为100－4＝96.ab=96.设AE＝a，DE＝b，即4×12∴2ab＝96，a2＋b2＝100．∴a＋b＝14.∵a－b＝2.解得a＝8，b＝6.∴AE＝8，DE＝6.∴AH＝8－2＝6．考点：方程与不等式——二元一次方程组——解二元一次方程组.三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.22、在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是．答案：13或√119.解析：若AC＝5，BC＝12都是直角边，则AB＝13．若BC＝12是斜边，则AB＝√122−52=√119．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.23、等腰三角形的一边长为12，另一边长是10，则其面积为．答案：48或5√119.解析：作出底边上的高AD.当AB＝AC＝12，BC＝10时，BD＝5.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√119．∴S=12BC×AD=12×10×√119=5√119．当AB＝AC＝10，BC＝12时，BD＝6.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√102−62=8．∴S=12BC×AD＝48.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.24、在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．答案：66或126.解析：如图所示，分如下两种情况：由勾股定理可得，B1H＝B2H＝5，CH＝16．∴CB1＝21，CB2＝11.∴△ABC的面积为66或126cm2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.25、下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）．A.3，4，5B.1，1，√2C.5，12，13D.4，6，8答案：D.解析：∵32＋42＝52，∴选项A正确.∵12＋12＝(√2)2，∴选项B正确.∵52＋122＝132，∴选项C正确.∵42＋62≠82，∴选项D错误．考点：三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.26、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果三边长满足b2－a2＝c2，那么△ABC中互余的一对角是．答案：∠A和∠C.解析：∵b2－a2＝c2.∴b2＝a2＋c2.∴△ABC为直角三角形，且∠B＝90°.∴∠A＋∠C＝90°．考点：几何初步——角——余角和补角.三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.27、如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD．求证：△AEF 是直角三角形．答案：证明见解析．解析：如图所示，延长FE交AB的延长线于点G.∵∠C＝∠GBE＝90°，CE＝BE，∠1＝∠2．∴△CEF≌△BEG．∴EF＝EG，CF＝BG．设正方形ABCD的边长为a，则CF＝14a，DF＝34a．在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AF2＝AD2＋DF2＝a2+(34a)2=2516a2．∴AF=54a，BG=14a．∴AG=54a.∴AF＝AG．∵EF＝EG.∴AE⊥FG．∴∠AEF＝90°．∴△AEF是直角三角形.考点：三角形——全等三角形——全等三角形的应用.三角形——等腰三角形——等腰三角形的性质.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.28、如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．答案：四边形ABCD的面积为1＋√5．解析：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.∴AC＝√AB2+BC2=√5．在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋4＝9＝AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD＝12AB×BC+12AC×CD=12×1×2+12×√5×2=1+√5.故四边形ABCD的面积为1＋√5．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.29、在△ABC中，点D为BC的中点，点M，N分别为AB，AC上的点，且MD⊥ND．（1）若∠A＝90°，以线段BM，MN，CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形？（2）如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2，求证AD2=14(AB2+AC2)．答案：（1）能，该三角形是直角三角形．（2）证明见解析．解析：（1）略.（2）延长ND至E，使DE＝DN，连接EB，EM，MN．因为DE＝DN，DB＝DC，∠BDE＝∠CDN，则△BDE≌△CDN．从而BE＝CN，∠DBE＝∠C．而DE＝DN，∠MDN＝90°，故ME＝MN.因此DM2＋DN2＝MN2＝ME2.即BM2＋BE2＝ME2，则∠MBE＝90°.即∠MBD＋∠DBE＝90°．因为∠DBE＝∠C，故∠MBD＋∠C＝90°．则∠BAC＝90°．AD为Rt△ABC斜边BC上的中线.BC．故AD＝12(AB2+AC2)．由此可得AD2=14考点：三角形——全等三角形——全等三角形常用辅助线——倍长中线.三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理.30、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP’C，连接PP’，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．（1）图1中∠APB的度数等于．（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2√2，PB＝1，PD＝√17，则∠APB的度数等于，正方形的边长为．（3）如图，在正六边形ABCDEF内有一点，且PA＝2，PB＝1，PF＝√13，则∠APB的度数等于，正六边形的边长为（并写出解答过程）．答案:（1）150°.（2）1．135°.2．√13.（3）1．120°.2．√7.解析：（1）∵△ABC为正三角形，PA＝P’A.∴△AP P’为正三角形.∴∠A P’P＝60°，P’P＝AP＝3.∵P’C＝PB＝4，PC2＝P’P2＋P’C2.∴∠PP’C＝90°.∴∠APB＝∠AP’C＝150°.（2）1．135°；2．√13.（3）图4中∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为√7．将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F，连接P’P．过点A作AN⊥P’P，过点A作AH⊥FP’于点H．∵△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F.∴∠PAP’＝120°，P’A＝PA＝2，P’F＝PB＝1.∴∠AP’P＝30°．在Rt△ANP’中，P’A＝2AN＝2.∴P’N＝√3．∴PP’＝2√3．在△FPP’中，PF＝√13，PP’＝2√3，P’F＝2．∴PF2＝P’F2＋P’P2.∴∠FP’P＝90°．∴∠APB＝∠FP’A＝∠FP’P＋∠AP’P＝120°.∴∠HP’A＝60°．在Rt△HP’A中，AP’＝2, ∠P’AH＝30°．∴HP’＝1．在Rt△HFA中，FA2＝FH2＋HA2.∴FA＝√FH2+HA2=√7.考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.几何变换——图形的旋转——旋转全等.。
2019--2020学年江苏省八年级上册数学(苏科版)期末考试《勾股定理》试题分类——解答题(2)
2019--2020学年江苏省八年级上册数学（苏科版）期末考试《勾股定理》试题分类——解答题（2）1．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．2．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD ＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？3．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．（1）求证：BD⊥AC；（2）求AB的长．5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB ＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．6．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？7．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．8．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．9．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．10．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．11．已知某校有一块四边形空地ABCD如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC ＝12m，CD＝13m，DA＝4m．若种每平方米草皮需100元，问需投入多少元？12．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）13．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．15．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．16．如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？17．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？18．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E 的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？19．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．20．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C 处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）2019--2020学年江苏省八年级上册数学（苏科版）期末考试《勾股定理》试题分类——解答题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102+242＝262，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD•AC•BCAD•CD，10×248×6＝96．所以需费用96×200＝19200（元）．3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2解得：OB＝20，答：这个云梯的底端离墙20米远；（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，∴BD＝24﹣20＝4米，答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．4．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，∴CD2+BD2＝9+16＝25＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴BD⊥AC；（2）解：设AD＝x，则AC＝x+3．∵AB＝AC，∴AB＝x+3．∵∠BDC＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2+BD2，即（x+3）2＝x2+42，解得：x，∴AB3．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD3×45×12＝6+30＝36．答：这块钢板的面积等于36．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15，DB＝9，∴CD12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，∴AD16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°．在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，AC13．∵BC＝13，∴AC＝BC．∵CE⊥AB，AB＝10，∴AE＝BEAB10＝5．在Rt△CAE中，CE12．∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC5×1210×12＝30+60＝90．9．【答案】见试题解答内容【解答】（1）△ABE≌△ACD．证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．即∠BAE＝∠CAD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD；（2）证明∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．10．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：连接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点∴ADBD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，∴DB5（m），∵BC＝12m，CD＝13m，∴BD2+BC2＝DC2，∴△DBC是直角三角形，∴S△ABD+S△DBC3×45×12＝36（m2），∴需投入总资金为：100×36＝3600（元）．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，∴AB12（米），∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米），∴AD（米），∴BD＝AB﹣AD＝12（米），答：船向岸边移动了（12）米．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）面积为10的正方形的边长为，∵，∴如图1所示的四边形即为所求；（2）∵，，∴如图2所示的三角形即为所求这个三角形的面积2×2＝2；故答案为：2．14．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE4.8（cm）∴CE3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE，∴CE，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结AC，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，由勾股定理得：AC5（米），∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC5×123×4＝24（平方米），即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收购站E应建在离A点10km处．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∵CD＝12cm，DA＝13cm，AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABCAC×CDAB×BC5×124×3＝30﹣6＝24．故四边形ABCD的面积为24cm2．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，AB＝130米，AC＝50米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，根据勾股定理AB2＝BC2+AC2，可以求得：BC＝120米＝0.12千米，且6秒时，所以速度为72千米/时，故该小汽车超速．答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．。
北师大版数学八年级上册期末复习(一) 勾股定理
期末复习(一) 勾股定理各个击破命题点1 直角三角形中的多解问题【例1】 (凉山中考)已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为________． 【思路点拨】 题中没有指明哪条是直角边哪条是斜边，应该分情况进行分析．【方法归纳】 直角三角形的边长问题一般借助勾股定理求值，但一定要分清楚直角边和斜边，一旦问题没有明确直角边和斜边，那么就要进行分类讨论．1．已知直角三角形的两边长分别是5和12，则最长边的长是________．2．在△ABC 中，AB ＝13 cm ，AC ＝20 cm ，BC 边上的高为12 cm ，则△ABC 的面积为________cm 2. 命题点2 勾股定理与折叠【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD 的长为________．【思路点拨】 BD 所在的直角三角形只有一条边长可以求出，无法直接利用勾股定理计算其长度．分析可知，如果设DC ＝x ，则DC ′＝x ，AD ＝8－x ，在Rt △ADC ′中，可以根据勾股定理列一个关于x 的方程．解方程式求出CD ，进而由勾股定理求出BD.【方法归纳】 依据图形的“直观性”和折叠前后的“不变性”是解决折叠问题的关键．此题折叠后得到直角三角形，利用勾股定理三边的数量关系，列方程是数形结合思想和方程思想在综合运用中的重要体现．3．如图，Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53B.52C.83D ．54．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A ．4B ．3 2C ．4.5D ．5命题点3 勾股定理的应用【例3】 (包头中考改编)如图，一根长63米的木棒(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，且木棒顶端与地面的距离(AO)为9米，当木棒A 端沿墙下滑至点A ′时，B 端沿地面向右滑行至点B ′.(1)求OB的长；(2)当AA′＝1米时，求BB′的长(结果保留根号)．【思路点拨】(1)已知斜边与一条直角边，利用勾股定理可求另一条直角边；(2)先求出OA′的长度，再根据勾股定理求出OB′，从而确定BB′的长度．【方法归纳】构造直角三角形，利用直角三角形三边的关系解决生活中的问题．5．如图，要制作底边BC的长为44 cm，顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架，则腰AB 的长至少为________cm.(结果保留根式的形式)6．如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？命题点4勾股定理与其逆定理的综合运用【例4】如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3.现将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置(C与A重合，P与G重合，D与D 重合)．求：(1)线段PG的长；(2)∠APD的度数．【思路点拨】本题考查勾股定理与逆定理的综合运用，解题时，仔细观察可知GD＝PD，AG＝PC，∠GDP＝∠ADC＝90°，利用勾股定理易得PG，由PG、AP、AG的数量关系，问题将可彻底解决．【方法归纳】凡是需要运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形时，一般会遇到两种情况：一是已知三边明确要你判断是否为直角三角形；二是已知三边(其实是直角三角形)要你解决其他问题，此时不易想到先用勾股定理的逆定理来证三角形为直角三角形．所以遇到已知三角形三边的问题，要联想到勾股定理的逆定理，若是直角三角形问题肯定好解决，若不是也好另找出路．7．四边形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝13，∠BAD＝90°，则△BDC为________三角形．8．如图，已知：在正方形ABCD中，E是BC中点，F在AB上，且AF∶FB＝3∶1.(1)请你判断EF与DE的位置关系，与同学交流，并说明理由；(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．(滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A．4，5，6 B．1.5，2，2.5C．2，3，4 D．1，2，32．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )A.5＋1 B．－5＋1C.5－1D.53．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8 cm，另一只朝左挖，每分钟挖6 cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距( )C．140 cm D．80 cm4．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为36和64，那么以斜边为边长的正方形的面积是( ) A．54 B．100C．72 D．1205．(台州中考)如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A．8 cm B．5 2 cmC．5.5 cm D．1 cm6．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A．4 B．6C．16 D．557．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A．8 m B．10 mC．12 m D．14 m8．(钦州中考)如图，6个边长为1的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有( )A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题(每小题4分，共16分)9．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，9)，B点坐标是(－12，0)，则A、B两点间的距离是________．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为60 cm，且两直角边BC∶AC＝5∶12，则△ABC的面积为________cm2. 11．如图，在网格中，小正方形边长为a，则图中是直角三角形的是________________．12．将一根长为25 cm的筷子置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h的取值范围是________．三、解答题(共60分)13．(10分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；(2)线段AC的长为________，CD的长为________，AD的长为________．14．(10分)如图所示，四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC.求证：AC⊥CD.15．(12分)图1是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面．图1 图2(1)用经加工的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径(精确到1 cm)；(2)将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图2.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.16．(14分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，试证明：(1)△ACE≌△BCD；(2)AD2＋DB2＝DE2.17．(14分)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6 m、8 m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．参考答案【例1】 5或7 【例2】 35【例3】 (1)根据题意可知：AB ＝63，AO ＝9，∠AOB ＝90°， 在Rt △AOB 中，OB ＝AB 2－OA 2＝（63）2－92＝33，即OB 的长为33米．(2)根据题意可知A ′B ′＝AB ＝63， 因为OA ′＝OA －AA ′，AA ′＝1，所以OA ′＝8.在Rt △A ′OB ′中，OB ′＝A ′B ′2－OA ′2＝（63）2－82＝211， 所以BB ′＝OB ′－OB ＝(211－33)(米)．【例4】 (1)根据题意可得△AGD ≌△CPD ，所以∠GDA ＝∠PDC. 又因为∠ADC ＝90°，所以∠GDP ＝90°. 又因为GD ＝PD ＝2，所以PG ＝2 2.(2)因为AG ＝3，AP ＝1，(22)2＋12＝32，所以∠APG ＝90°. 又因为∠GPD ＝45°，所以∠APD ＝135°. 题组训练1．13或12 2.126或66 3.C 4.A 5.11 56.作B 点关于MN 的对称点B ′，连接AB ′交A 1B 1于P 点，则AP ＋BP ＝AP ＋PB ′＝AB ′.易知，P 点即为到A 、B 距离之和最短的点．过A 作AE ⊥BB ′于E ，则AE ＝A 1B 1＝8 km ，B ′E ＝AA 1＋BB 1＝2＋4＝6(km)．由勾股定理得，AB ′的平方为100.即AP ＋BP ＝AB ′＝10 km.故出口P 到A 、B 两村庄的最短距离和是10 km.7.直角8．(1)EF 与DE 垂直，即EF ⊥DE.设正方形边长为a ，则AD ＝DC ＝a ，AF ＝34a ，BE ＝EC ＝12a.在Rt △DAF 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝2516a 2.在Rt △CDE 中，DE 2＝CD 2＋CE 2＝54a 2.在Rt △EFB 中，EF 2＝FB 2＋BE 2＝516a 2.因为DE 2＋EF 2＝54a 2＋516a 2＝2516a 2＝DF 2，所以△DFE 为直角三角形．所以EF ⊥DE.(2)因为正方形的面积为16，所以a 2＝16.因为DF 2＝2516a 2＝2516×16＝25，所以DF ＝5.整合集训1．B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.C 8.C 9.15 10.120 11.△ABC 与△DEF 12.12≤h ≤13 13.(1)图略． (2)2 55 514.证明：由AB ＝1，BC ＝2，且AB ⊥BC ，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝5.在△ACD 中，AD 2＝32＝9，AC 2＋CD 2＝5＋22＝9，所以AC 2＋CD 2＝AD 2，即△ACD 为直角三角形．所以AC ⊥CD.15．(1)设旗杆的最大直径为d cm ，则πd ＝2×5＝10，所以d ＝103.14≈3(cm)．即旗杆的最大直径约3 cm.(2)根据勾股定理，得DE ＝DF 2＋FE 2＝1202＋902＝150.所以h ＝220－150＝70(cm)．即彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h 是70 cm.16．(1)证明：因为∠ACB ＝∠ECD ，所以∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠ACE ，即∠BCD ＝∠ACE. 因为BC ＝AC ，DC ＝EC ，所以△ACE ≌△BCD(SAS)．(2)证明：因为△ACB 是等腰直角三角形，所以∠B ＝∠BAC ＝45°. 因为△ACE ≌△BCD ，所以∠CAE ＝∠B ＝45°. 所以∠DAE ＝∠CAE ＋∠BAC ＝45°＋45°＝90°.所以AD 2＋AE 2＝DE 2.由(1)知AE ＝DB ，所以AD 2＋DB 2＝DE 2. 17．如图，在Rt △ABC 中， ∵AC ＝8 m ，BC ＝6 m ，∴AB ＝10 m ．①当AB ＝AD 时，CD ＝6 m ，△ABD 的周长为32 m ；②当AB ＝BD 时，CD ＝4 m ，AD ＝4 5 m ，△ABD 的周长是(20＋45)m ；③当DA ＝DB 时，设AD ＝x ，则CD ＝x －6，则x 2＝(x －6)2＋82，解得x ＝253，∴△ABD 的周长是803 m ．答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32 m 或(20＋45)m 或803m.。
八年级数学(上)知识点
八年级数学（上）知识点人教版八年级上册主要包括全等三角形、轴对称、实数、一次函数和整式的乘除与分解因式五个章节的内容。
第十一章全等三角形一．知识框架二．知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3.三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。
通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。
在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。
第十二章轴对称一．知识框架)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数二．知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.性质： （1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
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初二数学几何总复习专题一•轴对称图形的识别和作图问题1. 如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形:4.下列几何图形中，①线段；②角；③圆；④等腰三角形；⑤直角三角形；其中是轴对称图形的是A 1个B 2个C、3个D、4个5•点P （3, -4 ）,则点P关于y轴对称的点的坐标是 ____________6. 如图，把一个长方形ABCD& AE对折点B落在F点，EF交AD于点G如果/ BEA38°,则/ EGA勺度数为__________ 度.7. 如图，把△ ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示.若A 60 , 1 95，则/ 2的度数为（）9.如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°,Z ABC勺平分线BD交AC于D,若CD=3,则点D到AB的距离是（）A. 5 B . 4 C . 3 D . 210.如图，AO OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一个老鼠洞，一只猫在A处发现了若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置 C.方法一方法二方法三2.如图是2 X 2的方格，在格点处有一个厶ABC ,仿照图例在备用图中画出三种与△ABC成轴对称的“格点三角形”A . 24B . 25 °C . 30 °D . 35EF翻折，三个顶点均落在点O处.若1 129，贝U 2的度数为（B处的一只老鼠正在向洞口逃窜（尺规作图，保留作图痕迹，B3.下列图形中，为轴对称图形的是（D&如图，将△ ABC沿DE、HG、写作法）专题二•利用等腰三角形的性质求角的问题及分类思想 1. 等腰三角形有一个角为 40 2. 等腰三角形中，有一个角是 3. 一个等腰三角形的一边长是5. 如图 2,在厶 ABC 中，/ B =Z C , FD 丄 BC 于 D, DE I AB 于 E,/ AFD= 158°，则/ EDF 等于=11.如图，已知 (1) (2) (3) C , 3), B ( 3,1 ) B 2)请画出△ ABC 关于y 轴对称的△ ABC （其中A , B ,B 的坐标为 △ ABC 的面积是 12.已知：如图，/ ABC 及两点 求作：点P,使得PM= PN M N.且P 点到/ ABC 两边的距离相等. 分别是A, B, C 的对应点，不写画法）；保留作图痕迹）（不写画法,答:即为所求.C，则另外两个角分别为 _________ . 50°,则它的一条腰上的高与底边的夹角是 6, —个外角是120 °，则它的周长为（ A . 12 B . 15 C.16 D . 184. 已知：如图1, P 、Q 是厶ABC 边BC 上的两点，且 BP=PQ=QC=AP=A （求：/ BAC的度数.6. 如图3,在Rt△ ABC中，/ B= 90°, ED是AC的垂直平分线, 则/C的度数为（）7. 如图4, AB=AC AD=AE / &如图5,A ABC中，AB=ACA. 30° B . 36BAD=40，则/ CDE= _______BD=BC AD=DE=EB贝A为（AC于点D,交BC于点E.已知/ BAB 10°,图59.如图6, △ ABC中,A . / 1=2 / 2 BC.Z 1+3/ 2=180°AB=AC=B,那么/ 1与/ 2之间的关系满足.2/ 1 + Z 2=180°D . 3/ 1- / 2=180°10. 如图7, AC L BC, AC=BC CD L AB,A. 1个B . 2个C . 5个11. 如图8,/ A=90°, E是BC上一点,图7DEL BC,则图中共有等腰三角形（D . 4个A点和E点关于BD对称，）图8 12.如图，在△ ABC中，AB= AC,点D在AC上，且BD= BC=AD求厶ABC各角的度数•专题三•利用等腰三角形的性质求线段的问题1.已知：在厶ABC中，AB< AC, BC边上的垂直平分求：AB的长。
DE交BC于点D,2. 等腰三角形中，两条边的长分别为4和9,则它的周长是_________________3. 等腰三角形底边长为5, —腰上的中线把其周长分为两部分的腰长为_________ . ________4. 已知：在厶ABC中, ABc AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E，AC= 8 cm, △ ABE的周长是14 cm,求AB的长.5•如图，DE是VABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米。
贝U EBC的周长为( )厘米A. 16 B . 28 C . 26 D . 186. 已知：如图，/ 1= 12°,/ 2 = 36°,/ 3= 48°,/ 4= 248.知等腰ABC中，BAC 30o ,AB AC, PAB ，点B关于直线AP的对称点为点D,连接AD连接BD交AP 于点G连接CD交AP于点E,交AB于点F°( 1)如图(1)当15°时，①按要求画出图形，②求出ACD的度数，③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；(2)在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中(0°75°),当AEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接求出的值为__________ .求ADB的度数.7.在厶ABC中，AB= AC, / A= 80°, D为形内一点，且/ DAB=/ DBA= 10 ，求/ ACD的度数.专题四：勾股定理及其逆定理：1下列四条线段不能组成直角三角形的是（ A. a =8, b =15， c =17 B.C.a = 5， b = . 3， c = . 2D.2 •有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B 处有健身器材， BC 7 ,由于居住在A 处的居民为走近路（AB ）践踏了绿地，小明想在 A 处树立一个标牌 备用图)a =9,b =12,c =15 a ： b ： c =2：专题五•等腰三角形中的有关角或线段的证明问题1.女口图，已知△ ABC 中，/ 1 = 7 2, AB=AC=BC ED=EB 试证明：CE=CD2.已知：如图△ ABC 中，AB=AC AD 和 BE 是高，它们交于点求证：AH=2BDA. 2 B . 4D. 2 34.如图所示的一块地，已知AD=4m i, CD=3m ， AD 丄 DC AB=13m B C=12m 求这块地的面积且 AE=BE4. 图①所示在△ABC 中, AB=AC在底边BC上有任意一点P,则P?点到两腰的距离之和等于定长 (腰上的高)，即PD+PE=CF 若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明.6.等腰三角形△ ABC中,AB=AC, / A=108°,BD 平分/ ABC,求证：BC=AB+DC7. 。
是厶ABC的角平分线，H G分别在AC AB上，且HD BD .(1)求证：B与AHD互补；(2)若B 2 DGA 180，请探究线段AG与线段AH HD之间满足的等量关系，并加以证明AJI-G8.在厶ABC中，ACB 2 B , BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线I丄AO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M .(1) 当直线I经过点C时(如图2)，证明：BN CD ;(2) 当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明;(3) 请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系解:9.已知：如图〔，△ ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，EDL11.在等边三角形ABC中D E分别为AB BC边上的两动点且总使AD=BE AE与CD交于点F, AGL CD于点G,判断并证明AF与FG之间的数量关系.国110.已知△ ABC中.(1)如果AB=AC,D E是AB AC上的点，若AD=AE(2)如果AB>AC D、E是AB AC上的点，若BD=CE请你确定DE与DDF,连结EF ，求证：BE+FOEF.F E1BC 边中垂线 ED 交BC 于E ,交BA 延长线于 D,过C 作CF 丄BD 于 F ,交DE 于G DF = 2BCD E 分别是腰 AB AC 的延长线上的点，且 BD= CE,连结DE 交BC 于G 点, 求证：DE 被BC 平分.专题六 等腰三角形的拼接与分割问题1. △ ABC 中, AD 平分/ BAC 若/ B=20°,Z 0=40。
，且 AB=16, AO 10，求 AC 的长.2. △ ABC 中, AD 平分/ BAC / C =2Z B,求证：AB=CD+ACCAD试证明：/ 【FCB= f / B.13. △ ABC 是等腰三角形, 12.已知：如图，△ ABC 中,3. △ ABC中, AD平分/ CAB ADL CD. AB=AC2CD 求证：/ ACB3/ B.4.已知AD//BC,/ ADC / BCD的平分线交AB边于点E,试确定AD BC与CD的关系，并证明5. 如图，△ ABC中，/ A=90°,Z B=67.5。
，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形6. 已知△ ABC中，/ C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形, 请探求/ ABC与/ C之间的关系.B C期末：在四边形ABD曲，C是BD边的中点.(1)如图⑴，若AC平分BAE , ACE=90° ,贝U线段AE AB DE的长度满足的数量关系为(直接写出答案) (2)如图(2), AC平分BAE , EC 平分AED，若ACE 120 ,A图（1）C D 图(2)(3)如图(3), BD= 8, AB=2, DE=8, ACE 135，则线段AE长度的最大值是（直接写出答案）E图（3）专题七•图形的运动与变化问题1•点A B C在同一直线上, 在直线AC的同侧作ABE和BCF，连接AF, CE 取AF、CE的中点M N, 连接BM BN MN.(1) 如图1,若ABE和FBC是等腰直角三角形，且ABE FBC900，则MBN是三角形.(2) 如图2,在ABE和BCF 中，若BA=BE,BC=BF且ABE FBC ，则MBN是三角形,MBN(3) 如图3,若将（2）中的ABE绕点B旋转一定角度，其他条件不变，那么（2) 中的结论是否成立？若成立,给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明（如图1）（如图3）2. ( 1)已知：如图1-1 , Rt△ ABC 中，/ ACB=90 ° , AC=BC，点D、E 在斜边AB 上，且/ DCE=45 ° .求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；(2)已知：如图1-2，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且/ DCE=30 °，请你找出一个条件，使线段 D E、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；(3)在(1 )的条件下，如果AB=10，求BD • AE的值.图1-23.如图1 , △ ABC △ BDE 都是等边三角形•将厶BDE 绕着点B 旋转到任意位置（点A 、E 、B 以及BC 、D 三点不共线） 1) 2）3） 求证△ ABE^A C BD 如图2分别取AE CD 的中点K 、L ,得到△ BKL 那么当△ BDE 绕着点B 旋转时，试猜想厶BKL 形状并证明你的结论如图3思考：如果K L 不是AECD 的中点，那么满足怎样的条件可以使2）中的结论仍成立？直接写出你的条件图14.有公共顶点C 的 ABC 和 CDE 都是等边三角形， ABC 的位置保持不变•将 CDE 绕点C 沿顺时针方向旋转个任意角，如图1，AD BE 成立吗?16.已知：在厶ABC 中, ABAC D E 为直线BC 上与点B 、点C 不重合的两点(点 D 在点E 的左侧)，且/ DAE — / BAC2(1)如图1,若/ AB(=30°, ADAE 则以BD DE CE 为边的三角形的形状是 __________________________ ;⑵ 如图2,若/ AB(=45°, ADAE 请你判断以 BD DE CE 为边的三角形的形状，并证明你的结论；⑶若/ ABC ，请你直接写出以 BD DE CE 为边的三角形中，DE 边所对角的度数(用含的式子表示)7.已知：△ ABC 中, AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D,且/ ADC 60°.问题1：如图1，若/ ACB 90°, AO m AB BD=n DC 则m 的值为 问题2：如图2，若/ ACE 为钝角，且 AB>AC BODC(1) 求证：BD DC AB AC ;(2) 若点E 在AD 上，且DE=DB 延长CE 交AB 于点F ,求/ BFC 的度数.5.如图3，B 、A 、E 三点在同一直线上，若 AD 15cm ， AE 6cm ，则AC=（图1）(备用图),n 的值为图3A F图225.如图1,将矩形ABCD放入平面直角坐标系枷中，其中点B与点O重台，点C .点丄分别在孟轴、y轴的正半轴上，将矩形折叠，使点B落在/D〈含端点)上，落点记为£ 这吋折痕与边EC或边CD (含端点)交于点F.然后再展开铺平，则以甘.E、F为顶点的△宓F称为矩形的"折痕三角形” .v“)由“折痕三角形”的定义可知，矩形A BCD的任意一个^折痕△ EEF”—定是一个三角形,卍(2)如图2,在矩形ABCD中，AB=2t SC=4?当它的杯折痕△ BEF n的顶点E位于边Q 的中点时*亶接写出点F的坐标为____________________ ；"(3)如图3,在矩形ABCD中，AB=2, BC=4.当点F在OC上时，在图3中画出该矩形中面积最大的詹折痕,并直接写出这个最大面积为 ______________________________ - +26.在Rt△仙C中,BC=AC,直角顶点C在x轴上，一个锐角顶点B在y轴上.卩（1）如图1,若点C的坐标是（・3, 0）,点/的坐标是（2,・3）,写出鸟点的坐标；“（2）如图2,若^25（9=30°,在，轴上取一点Q（点Q在点刃的下方），使ED=BC, a 连结D4、DC,根据题意在图2中画出图形.写出线段D4与DC的数量关系，并证明你的结论.p（第26题图1） q （第26题图2）“。