等差数列公式大全等差公式大全.pdf

等差数列公式大全

等差数列公式大全等差数列是数学中的一个重要概念，指的是一个数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等。

等差数列的公式是求等差数列的通项公式，通常用字母a_n表示数列的第n个元素，d表示公差（即相邻两个元素之差）。

本文将为大家介绍等差数列的一些基本概念和相关公式。

1.等差数列的定义：等差数列是指一个数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等。

即对于等差数列{a_1,a_2,a_3,...,a_n}，有a_n-a_(n-1)=d(常数d)。

2.第n个元素的通项公式：等差数列的第n个元素a_n可以通过通项公式求得，通项公式可以表示为：a_n=a_1+(n-1)d其中，a_1是数列的第一个元素，d是公差。

3.前n项和的公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式求得，求和公式可以表示为：S_n=(n/2)(a_1+a_n)其中，S_n表示前n项和，a_1是数列的第一个元素，a_n是数列的第n个元素，n为自然数。

4.前n项和与末项的关系：等差数列的前n项和与数列的末项的关系可以表示为：S_n=(n/2)(a_1+a_n)=(n/2)[2a_1+(n-1)d]5.通项公式的推导：通过等差数列的基本概念可以推导出通项公式。

假设等差数列的第一个元素为a_1，公差为d。

那么：a_2=a_1+da_3=a_2+d=(a_1+d)+d=a_1+2d...a_n=a_(n-1)+d=a_1+(n-1)d可以看出，等差数列的第n个元素a_n与第一个元素a_1之间存在关系：a_n=a_1+(n-1)d6.递推公式的推导：通过等差数列的基本概念也可以推导出递推公式。

假设等差数列的第一个元素为a_1，公差为d。

那么：d=a_2-a_1d=a_3-a_2=(a_1+2d)-(a_1+d)=d...d=a_n-a_(n-1)=(a_1+(n-1)d)-(a_1+(n-2)d)=d可以看出，d等于a_n减去a_(n-1)，且它等于两个数列元素之差。

等差数列公式大全

等差数列公式大全1、 a n =()1121)n n s s n s n -⎧-≥⎪⎨=⎪⎩（（注意：（1）此公式对于一切数列均成立（2）1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）2、等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）dn a =m a +(n-m)d ⇒ d=m n a a m n --(重要)3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q ⇔m a +n a =p a +q a 4、若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项) 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n --=q p a a q p --=d 6、等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211d n n na -+ （已知首项和公差）=n d a dn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212112（二次函数可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列。

8、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若...,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 9、n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ①首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ②首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 10、在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =n.a 21+n ,奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ，奇s －偶s =d n 2 偶奇s s =122+nna a 11、等差数列的判别方法：⑴定义法： 1+n a －n a ＝d (d 为常数) ⇔ {n a }是等差数 ⑵中项公式法： 21+n a =n a +a 2n + (n ∈N*)⇔ {n a }是等差数列 ⑶通项公式法： n a =ｐn+ｑ (p,q 为常数) ⇔ {n a }是等差数列⑷前ｎ项和公式法： n s ＝Ａn 2＋Ｂn (A,B 为常数) ⇔ {n a }是等差数列。

等差数列公式大全

等差数列公式大全1、 a n =()1121)n n s s n s n -⎧-≥⎪⎨=⎪⎩（（注意：（1）此公式对于一切数列均成立（2）1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）2、等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）dn a =m a +(n-m)d ⇒ d=m n a a m n --(重要)3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q ⇔m a +n a =p a +q a 4、若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项) 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n --=q p a a q p --=d 6、等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211d n n na -+ （已知首项和公差）=n d a dn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212112（二次函数可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列。

8、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若.,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 9、n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ①首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ②首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 10、在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =n.a 21+n ,奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ，奇s －偶s =d n 2偶奇s s =122+nna a11、等差数列的判别方法：⑴定义法： 1+n a －n a ＝d (d 为常数) ⇔{n a }是等差数⑵中项公式法： 21+n a =n a +a 2n + (n ∈N*)⇔{n a }是等差数列⑶通项公式法： n a =ｐn+ｑ (p,q 为常数)⇔{n a }是等差数列⑷前ｎ项和公式法： n s ＝Ａn 2＋Ｂn (A,B 为常数)⇔{n a }是等差数列尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。

四年级等差数列所有公式大全

四年级等差数列所有公式大全
四年级学生接触的等差数列主要是首项为正整数，公差为正整数的等差数列。

以下是相关的公式：
1. 第n项的通项公式：
an = a1 + (n-1)d
其中，an表示第n项，a1为首项，d为公差。

2. 等差数列的前n项和公式：
Sn = (n/2)(a1 + an)
其中，Sn表示前n项的和。

3. 等差数列的性质公式：
an = a1 + (n-1)d
an = a2 + (n-2)d
an = a3 + (n-3)d
其中，an表示第n项，an-1表示第n-1项，以此类推。

4. 通项公式的应用：
（1）求等差数列中的任意一项；
（2）求等差数列中的前n项和；
（3）判断数是否为等差数列中的一项；
（4）找出等差数列中的规律及特点。

以上是四年级学生接触的等差数列的公式，希望能对你有所帮助。

等差数列公式大全

等差数列公式大全
1、a n =1121)
n
n s s n s n （（注意：（1）此公式对于一切数列均成立
（2）1n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）
2、等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）d
n a =m a +(n-m)d d=m n a a m
n
(重要)
3、
若{n a }是等差数列，m+n=p+q m a +n a =p a +q a 4、
若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项){n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q N 且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n
=q p a a q p
=d
5、
6、等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则
n s =
21n
a a n （已知首项和尾项）=211d n n na （已知首项和公差）=n d a dn 2121
12（二次函数可以求最值问题）
7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,…仍成等差数列。

8、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若.
,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（
12k k ）d 9、
n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差①首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1n a ＜0时前n 项和n s 最大。

等差数列公式大全及解题方法

等差数列公式大全及解题方法等差数列是数学中一种重要的数列形式，其性质和求解方法在数学及相关领域具有广泛的应用。

本文将为您详细介绍等差数列的公式大全及解题方法。

一、等差数列的定义等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差都相等的数列。

通常表示为：a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。

二、等差数列的基本公式1.通项公式：a_n = a_1 + (n-1)d2.求和公式：（1）前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)（2）前n项和公式（首项与末项已知）：S_n = n/2 * (a_1 + a_n) = n/2 * (a_1 + a_1 + (n-1)d)（3）前n项和公式（项数与公差已知）：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)3.项数公式：n = (a_n - a_1) / d + 14.中项公式：a_{(n/2)} = (a_1 + a_n) / 2三、等差数列的解题方法1.求通项公式：根据已知的首项和公差，代入通项公式a_n = a_1 + (n-1)d，求解第n 项的值。

2.求前n项和：（1）已知首项和末项，代入前n项和公式S_n = n/2 * (a_1 + a_n)求解。

（2）已知首项和项数，代入前n项和公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)求解。

3.求项数：根据已知的末项和首项，代入项数公式n = (a_n - a_1) / d + 1求解。

4.求中项：根据已知的首项和末项，代入中项公式a_{(n/2)} = (a_1 + a_n) / 2求解。

四、等差数列的应用等差数列在现实生活中有广泛的应用，如：工资、人口增长、存款利息等。

掌握等差数列的公式和解题方法，有助于解决生活中的实际问题。

总结：本文详细介绍了等差数列的公式大全及解题方法，希望对您的学习和工作有所帮助。

等差、等比数列的运用公式大全

第六讲：等差、等比数列的运用公式大全(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第六讲：等差、等比数列的运用1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n nn n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；a d a a d -+，，n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m ma Sb T --= }n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a na a n Snd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. 12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……·如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解 3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =.由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭11212nn n a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n na a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·，∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………，若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=……把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦求数列的前n 项和1. 倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

高中等差数列公式大全

高中等差数列公式大全一、等差数列的定义。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

设等差数列{ a_n}的首项为a_1，则a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)二、等差数列的通项公式。

1. 基本公式。

- a_n=a_1+(n - 1)d- 推导：a_2=a_1+d，a_3=a_2+d=a_1+2d，a_4=a_3+d=a_1+3d·s，以此类推可得a_n=a_1+(n - 1)d。

2. 变形公式。

- a_n=a_m+(n - m)d（m,n∈ N^*）- 推导：由a_n=a_1+(n - 1)d，a_m=a_1+(m - 1)d，两式相减得a_n-a_m=(n - m)d，移项可得a_n=a_m+(n - m)d。

三、等差数列的前n项和公式。

1. 公式一。

- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1，将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。

2. 公式二。

- S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 推导：因为a_n=a_1+(n - 1)d，将其代入S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}中，得到S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。

四、等差数列的性质。

1. 若m,n,p,q∈ N^*，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。

- 特别地，当m + n = 2k（m,n,k∈ N^*）时，a_m+a_n=2a_k。

2. 在等差数列{ a_n}中，若a_n=m，a_m=n（m≠ n），则a_m + n=0。

等差数列前n项和公式大全

等差数列前n项和公式大全为了更好地理解等差数列前$n$项和公式，我们首先来了解等差数列的定义和性质。

等差数列的定义：如果一个数列满足任意相邻两项之间的差值相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式：等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$是数列中的第$n$项，$a_1$是数列中的第一项，$d$是公差。

等差数列的前$n$项和公式：等差数列的前$n$项和可以表示为$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项和。

现在让我们来证明等差数列前$n$项和公式。

我们从等差数列的通项公式出发，再利用数列中第一项与最后一项的关系来推导出前$n$项和公式：设等差数列的第$n$项为$a_n$，而第一项为$a_1$，公差为$d$。

根据通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。

那么数列的最后一项可以表示为：$a_n=a_1+(n-1)d$。

那么数列的前$n$项和可以表示为：$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)$。

将等差数列的最后一项代入前$n$项和公式，得到：$S_n=a_1+a_n+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-2)d)$。

由于等差数列具有对称性，可以对以上等式进行变形，得到：$S_n=(a_1+a_n)+(a_1+d+a_n-d)+(a_1+2d+a_n-2d)+...+(a_1+(n-1)d+a_n-(n-1)d)$。

将等差数列的前$n$项和重新表示，得到：$S_n=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n)$。

一共有$n$项，所以：$S_n=n(a_1+a_n)$。

将$a_1$和$a_n$用$a_1 + (n-1)d$来表示，即：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。

根据等差数列的前$n$项和公式，我们得到了等差数列前$n$项和的公式。

等差数列公式大全

等差数列公式大全1、 a n =()1121)n n s s n s n -⎧-≥⎪⎨=⎪⎩（（注意：（1）此公式对于一切数列均成立（2）1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）2、等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）dn a =m a +(n-m)d ⇒ d=m n a a m n --(重要)3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q ⇔m a +n a =p a +q a 4、若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项) 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n --=q p a a q p --=d 6、等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211d n n na -+ （已知首项和公差）=n d a dn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212112（二次函数可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列。

8、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若...,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 9、n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ①首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ②首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 10、在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =n.a 21+n ,奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ，奇s －偶s =d n 2 偶奇s s =122+nna a 11、等差数列的判别方法：⑴定义法： 1+n a －n a ＝d (d 为常数) ⇔ {n a }是等差数 ⑵中项公式法： 21+n a =n a +a 2n + (n ∈N*)⇔ {n a }是等差数列 ⑶通项公式法： n a =ｐn+ｑ (p,q 为常数) ⇔ {n a }是等差数列⑷前ｎ项和公式法： n s ＝Ａn 2＋Ｂn (A,B 为常数) ⇔ {n a }是等差数列。

等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和

等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和等差等比数列求和公式大全等差数列公式：等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}.等比数列公式：(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1)若通项公式变形为an=a1/qxq^n(n∈Nx),当q0时，则可把an看作自变量n 的函数，点(n,an)是曲线y=a1/qxq^x上的一群孤立的点。

(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时， Sn=n×a1(q=1)记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1等比数列的求和公式的应用1. 数学题目在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n 项的和。

通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。

这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。

2. 财务和投资计算在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。

当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。

等差数列前n项和公式大全

等差数列前n项和公式大全等差数列是指一个数列中，从第二个数（第二项）起，每一项与其前一项的差称为公差，公差代表着数列中相邻两项之间的间隔。

数列的前n 项和是指数列中从第一项到第n项所有项的和。

本文将详细介绍等差数列前n项和的公式及其推导过程。

一、等差数列通项公式等差数列的通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an是数列的第n项，a1是数列的首项，d是数列的公差，n是要求的项数。

S_n = (n/2)(a1 + an)其中，n是要求的项数，a1是数列的首项，an是数列的第n项。

二、等差数列前n项和的推导过程我们将通过举例来推导出等差数列前n项和的公式。

假设有一个等差数列：2,5,8,11,14,...该数列的首项a1=2，公差d=3现在我们要计算数列的前n项和，即S_n。

首先我们写出数列的通项公式an = a1 + (n-1)d。

根据通项公式，我们可以求出数列的第n项an：a_n=2+(n-1)3=3n-1然后，我们将数列的前n项相加，即可得到前n项和S_n。

S_n = a1 + a2 + a3 + ... + an将每一项用通项公式an代入：S_n=(2)+(2+3)+(2+2*3)+...+(2+(n-1)3)S_n=2+2+3+2+3+3+...+3(n-1)将上式写成分组的形式，每个分组中的项都相等：S_n=(2+2+...+2)+(3+3+...+3)+...+((n-1)3+(n-1)3+...+(n-1)3) ---------------------------------------------------n个2n个3n个(n-1)3S_n=n*2+n*3+...+n*(n-1)3S_n=n(2+3+...+(n-1)3)上式中的括号内是一个等差数列，它的首项是2，公差是3，项数是n-1S_n=n[(n-1)/2(2+(n-1)3)]整理上式，得到等差数列前n项和的通项公式：S_n = (n/2)(a1 + an)其中，n是要求的项数，a1是数列的首项，an是数列的第n项。

(完整版)高中数学数列公式大全(很齐全哟~)

一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项a n与前 n 项和 S n的关系： a n=2、等差数列的通项公式： a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d ( 此中 a1为首项、 a k为已知的第 k 项 ) 当 d≠0时， a n是关于 n 的一次式；当d=0 时， a n是一个常数。

3、等差数列的前n 项和公式： S n=S n =S n=当 d≠0时，（ a1≠0），S n是关于 n 的二次式且常数项为S n=na1是关于 n 的正比率式。

0；当d=0时4、等比数列的通项公式： a n= a 1 q n-1 a n= a k q n-k( 此中 a1为首项、 a k为已知的第 k 项， a n≠0)5、等比数列的前 n 项和公式：当 q=1 时， S n=n a1 ( 是关于 n 的正比率式 ) ；当 q≠1时， S n=S n=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列 {a n} 的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S 2m、S4m - S 3m、仍为等差数列。

2、等差数列 {a n} 中，若 m+n=p+q，则3、等比数列 {a n} 中，若 m+n=p+q，则4、等比数列 {a S3m-S 2m、S4m - S n}的任意连续m项的和构成的数列3m、仍为等比数列。

S m、S2m-S m、5、两个等差数列{a n } 与{b n} 的和差的数列{a n+b n} 、{a n -b n} 仍为等差数列。

6、两个等比数列{a n } 与{b n} 的积、商、倒数构成的数列{a n b n} 、、仍为等比数列。

7、等差数列 {a n} 的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列 {a n} 的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的想法：a-d,a,a+d；四个数成等差的想法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的想法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误想法：a/q3,a/q,aq,aq3(为何？)11、 {a n}为等差数列，则(c>0)是等比数列。

等差数列公式及相关性质

等差数列公式及相关性质1(1)n a a n d =+- 1(1)2n n n S na d -=+ 1()2n n a a n S += 1(2)n n n a S S n -=-≥ ()n m a a n m d =+- 112n n n a a a -+=+若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+ 等差数列的等间隔的项的和仍为等差数列 1 (通项公式) 写出数列1,1,2,2,3,3,4,4,……..的通项公式2(通项公式) 数列{}n a 的前n 项和为23n n S =+,求通项公式3(性质) 在等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根,则7891011a a a a a ++++等于_________4(公式应用) 等差数列前3项和为34, 最后3项和为146,所有项和为390,则这个数列有多少项?5(公式应用)等差数列{}n a 前n 项和为n S ,等差数列{}n b 前n 项和为n T ,723n n S n T n +=+,求55a b 6(裂项法) 数列{}n a 中, 11a =,21(2)1n a n n =≥-,求n S 7(最值) {}n a 是等差数列,512380a a =>,数列{}n b 满足*12(),n n n n b a a a n N ++=∈{}n b 的前n 项和为n S ,当n 为多大时, n S 取得最大值?8(综合应用)练习册例5, 例6等比数列公式及相关性质 11n n a a q -= n m n m a a q -= 1(1)1n n a q S q-=- 1 (公式应用) 2(构造新数列) 3等比数列的首项为1,项数是偶数,奇数项和为85,偶数项和为170,求数列的公比和项数. 4(错位相减)求135721,,,, (248162)n n -的前n 项和 5(等比数列性质)等比数列前10项和1010S =,前20项和2030S =,求30S6(分拆求和)求数列392565,,,, (24816)的前n 项和数列的综合应用 1 数列{}n a 中, 11a =,121(2)1n n a a n n -=+≥-求通项公式 2数列{}n a 中, 12a =,12n n n a a n++=求通项公式 3数列{}n a 中, 11a =,1112n n a a +=+求通项公式 {}{}11121.n n n n a a a a a +==+已知数列满足，，求的通项公式{}{}21.n n n n a n S a a =+已知数列的前项和满足，求的通项公式4(并项)求1,4,7,10,...,(1)(32)n n ----的和5(化归)求数列221,1,1,......,1....,....n a a a a a a +++++++的前n 项和解三角形部分2sin sin sin a b c R A B C === 2222s i n a b c b c A =+- 222c o s 2b c a A bc+-= 11sin ()22ABC S ab C a b c r ==++ 1(正弦定理)ABC 中求各角2(余弦定理)四边形ABCD 中,,10,14,60,135AD CD AD AB BDA BCD ⊥==∠=∠= , 求BC 长3在某海滨城市附近海面有一台风,当前台风中心位于城市O的东偏南(arccos10θθ=方向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向北偏西45 方向移动.台风侵袭范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受台风侵袭? 北4 在ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的所对应边长.a,b,c 成等比数列,且22a c ac bc -=-,求(1)角A 的大小 (2)sin b B c的值 5 在ABC 中,223sin cos sin cos sin 222C A A C B += (1)求证: 2a c b += (2)若A+C=2B, 判断ABC 的形状三角函数部分1 223sin 2sin cos cos 122220,sin cos (1)(2)25tan cot x x x x x x x x xπ-+-<<+=+求sinx-cosx 求 2 7sin()cos 2,sin tan()410253x x x x ππ-==+求和 3 已知函数12()log |sin cos |f x x x =- (1)求f(x)定义域和值域 (2)判断f(x)的奇偶性,求f(x)的周期 (3)求f(x)的单调区间。

(完整版)等差数列的求和公式总结

(完整版)等差数列的求和公式总结概述等差数列是数学中常见的数列类型之一。

求和公式是用于计算等差数列各项之和的公式。

本文将总结一些常用的等差数列求和公式。

等差数列等差数列是一系列数按照相等的差值递增或递减的数列。

通常表示为：a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...其中，a为序列的第一项，d为公差（即相邻两项之间的差值）。

等差数列求和公式公式1：求和公式等差数列的求和公式为：Sn = n * (a + l) / 2其中，Sn表示等差数列的和，n表示等差数列的项数，a表示第一项，l表示最后一项。

公式2：前n项和公式等差数列前n项和的公式为：Sn = (n / 2) * (2a + (n - 1) * d)其中，Sn表示等差数列的和，n表示等差数列的项数，a表示第一项，d表示公差。

公式3：差分法求和公式等差数列的差分法求和公式为：Sn = (n - 1) * (a + l) / 2其中，Sn表示等差数列的和，n表示等差数列的项数，a表示第一项，l表示最后一项。

示例以等差数列1, 4, 7, 10为例，利用上述公式计算其和：- 公式1：Sn = 4 * (1 + 10) / 2 = 28- 公式2：Sn = (4 / 2) * (2 * 1 + (4 - 1) * 3) = 28- 公式3：Sn = (4 - 1) * (1 + 10) / 2 = 28可以看到，三个公式得到的结果均为28，验证了公式的正确性。

总结等差数列的求和公式为Sn = n * (a + l) / 2，前n项和公式为Sn = (n / 2) * (2a + (n - 1) * d)，差分法求和公式为Sn = (n - 1) * (a + l) / 2。

这些公式可以帮助我们快速计算等差数列的各项之和。

(完整word版)等差数列公式大全,推荐文档

等差数列公式大全1、 a n =()1121)n n s s n s n -⎧-≥⎪⎨=⎪⎩（（注意：（1）此公式对于一切数列均成立（2）1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）2、等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）dn a =m a +(n-m)d ⇒ d=m n a a m n --(重要)3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q ⇔m a +n a =p a +q a 4、若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项) 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n --=q p a a q p --=d 6、等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211d n n na -+ （已知首项和公差）=n d a dn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212112（二次函数可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列。

8、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若...,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 9、n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ①首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ②首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 10、在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =n.a 21+n ,奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ，奇s －偶s =d n 2 偶奇s s =122+nna a 11、等差数列的判别方法：⑴定义法： 1+n a －n a ＝d (d 为常数) ⇔ {n a }是等差数 ⑵中项公式法： 21+n a =n a +a 2n + (n ∈N*)⇔ {n a }是等差数列 ⑶通项公式法： n a =ｐn+ｑ (p,q 为常数) ⇔ {n a }是等差数列⑷前ｎ项和公式法： n s ＝Ａn 2＋Ｂn (A,B 为常数) ⇔ {n a }是等差数列。

等差公式总结大全

等差公式总结大全
等差公式是数学中常用的公式之一，用于计算等差数列中的各项数值。

以下是等差公式的总结：
1. 第n项：an = a1 + (n-1)d
这个公式用于计算等差数列中第n项的数值，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

2. 前n项和：Sn = (n/2)(a1 + an)
这个公式用于计算等差数列的前n项和，其中Sn表示前n项的和。

3. 总项数：n = (an - a1)/d + 1 或 n = (Sn - a1)/d + 1
这个公式用于计算等差数列的总项数，其中n表示总项数。

4. 公差：d = (an - a1)/(n-1) 或 d = (Sn - a1)/(n-1)
这个公式用于计算等差数列的公差，其中d表示公差。

5. 首项：a1 = an - (n-1)d 或 a1 = Sn - (n-1)d
这个公式用于计算等差数列的首项，其中a1表示首项。

这些等差公式可以帮助我们在解决等差数列相关的问题时进行计算和推导，更深入的了解和应用等差公式可以在数学学习和问题求解中起到很大的作用。