高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战69387
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本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择题共60分）―、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1.已知全集U=R ，集合A={x|x2－2x －3>0}，B={x|2＜x ＜4}，那么集合（CUA)B=( )A. {x|－l≤x≤4}B. {x|2＜X≤3}C. {x|2≤x ＜3}D.{x|－l ＜x ＜4} 2.若复数z=li ，i 为虚数单位，则2z z -( ) A. －I B. iC. －1 D.13.函数 y =2cos2 (x －4π)－1 是 A.最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数 4.下列四个命题中，真命题的个数是 （ ）①“x=1”是“x2－3x ＋2 = 0”的充分不必要条件 ②命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,sin x R x ∃∈>1”③命题p ：[)1,,x ∀∈+∞lgx≥0，命题2000:,10,q x R x x ∃∈++< p ∨q 为真命题A. 0B. 1C. 2D. 3 5.已知z=2x+y ；，其中实数x 、y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 A.211B.14C.4D.1126.6在AB C 中，点D 满足BD =34BC ,当E 点在线段AD 上移动时，若AE =AB λ+AC μ，则t=22(1)λμ-+的最小值是31082C 910D 418 7已知椭圆22221(x y a b a b+=>>0))的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点 (2a c，0)的直线与椭圆相交于A ，B 两点, 且与其中一条渐近线垂直，若AF =4 FB 则该双曲线的离心率是，55102108.如图，在直四棱柱ABCD — A1B1C1D1,中，底面ABCD 为正方形，AA1= 2AB,则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为 （） A.15B 25C,35D. 459. 设Sn 是等比数列{}n a 的前n 项和，Sm1 =45，Sm=93Sm+1=189，，则m＝（）A. 6 B5 C4 D310.已知函数f （x ）＝222,0423,46x x x x -⎧--≤⎪⎨-≤≤⎪⎩< 若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f （x1）＝f （x2），则x1.f （x2）的取值范围是A [)0,1B []1,4C []1,6D []0,1[]3,811.已知F1,F2是椭圆C:225X ＋29Y = 1的左，右焦点，点P 在椭圆C 上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为（ ） A. 1 B. 2C.3 D.412. 关于曲线C ：23x +23y =1,给出下四个列命题：① 曲线C 关于原点对称;②曲线C 有且仅有两条对称轴；③曲线C 的周长l 满足l ＞42；④曲线C 上的点到原点距离的最小值为12，上述命题中，真命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D.4第II 卷(非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的 2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32 人，则该样本中的老年职工人数为_______.14.已知抛物线C:：y2=2px(p ＞0)的准线为l ，过点M(1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM =MB 则p 等于_________.15.巳知直线:x ＋y ＋l=0与曲线C:：y=:x3－3px2相交于点A ，B ，且曲线C 在A ，B 处的切线平行，则实数P 的值为______。
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数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）(–∞，1)（B）(–∞，–1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（2）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=（A）{x|–2x–1}（B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2（B）3 2（C）53（D）85（4）若x，y满足，则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9（5）已知函数1(x)33xxf ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则(x)f（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数（6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“m n 0⋅＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）2（B ）3（C ）22 （D ）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若双曲线221y x m-=3，则实数m=_______________. （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则22a b =__________. （11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，点P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为. （12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称。
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。
第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。
满分150分。
注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据x1,x2,…，xa 的标准差 锥体体积公式13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A.i S ∈B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i∈ 2.若a ∈R ，则a=2是（a1）（a2）=0的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 3.若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于A.2B.3C.4D.64.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A.14B.13C.12 D.23 5.10⎰（e2+2x ）dx 等于A.1B.e1C.eD.e+1 6.(1+2x)3的展开式中，x2的系数等于 A.80 B.40 C.20 D.10 7.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于 A.1322或B.23或2C.12或2D.2332或8.已知O 是坐标原点，点A （1,1）若点M （x,y ）为平面区域，上的一个动点，则OA ·的取值范围是A.[1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[1.2]9.对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （1），所得出的正确结果一定不可能是A.4和6B.3和1C.2和4D.1和210.已知函数f(x)=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学(理工农医类)注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。
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本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定区域．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．4．柱体体积公式：V Sh =柱体，锥体体积公式13V Sh =锥体． 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}0,1,2M =，{}2320N x x x =-+>，则()MN R=（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}0,1D ．{}1,2 2．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a =（ ） A ．2B ．3C ．2D ．1 3．已知向量(4,3)a =-，(5,6)b =，则23||4a a b -⋅=（ ）A ．83B ．63C ．57D ．234．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，若18423a a a =-，则816S S =（ ） A ．310B ．13C ．18D ．195．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ） A ．1030020(())a x a x a a x +++B ．3020100(())a x a x a a x +++C ．0010230(())a x a x a a x +++D ．2000310(())a x a x a a x +++6中的坐标分别是(0,0,2)，(1,2,1)，(2,2,2)射面的正投影为 （ ）A B C D7．设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+<⎨⎪+-≤⎩，则目标函数34z x y =-的取值范围是（ ）A ．[11,3)-B ．[11,3]-C ．(11,3)-D ．(11,3]- 8．已知,x y 取值如下表：） A ．0.95B ．1C ．1.1D ．1.159．设函数()2122,29log ,24x a x f x x a x⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x 的值域为R ，则实数a的取值范围是（ ）A ．(,1][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,2][1,)-∞-+∞D ．[2,1]-10．一个正三棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正三棱柱的侧面积取得最大值时，正三棱柱的底面边长为 （ ） A B ．2CD．211．已知1F、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与双曲线C 的左右两支分别交于P 、Q 两点，12PQ F P =且线段PQ 的垂直平分线过点2F ，则C 的离心率是（ ）AB12．若函数()()223xf x e x a =--+，a ∈R 在区间[)0,+∞上有两个零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．[2,ln 33)--B ．[33)-C ．(ln 33,1)--D ．)+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第1321为必考题，每个试题考生都必须做答，第2224题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上． 13．已知{}n a 为各项为正数的等比数列，其中53S =，109S =，则15S =____________．14．若4cos()55πα+=，则9sin(2)10πα+=____________． 15．已知42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则123452345a a a a a ++++=____________．16．向边长为3的正方形ABCD 内随机投一点P ，则点P 满足12PA PB ≤的概率为____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()()3a b c a b c ab +++-=．（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）()222sin 212C f x x x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18．（本小题满分12分）某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班学生中任取三人，求这三名同学身高不低于176cm 的同学人数的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，60=∠DAB ，⊥PD 平面ABCD ，1=AD ，点E 、F 分别为AB、PD 中点．（Ⅰ）求证：直线//AF 平面PEC ；（Ⅱ）若直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为14，求PD 的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）条件下求三棱锥P CEF -的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作不与x 轴重合的直线1l ，与椭圆C 交于P 、Q 两点，若△2PQF 的周长为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）过1F 作与直线1l 垂直的直线2l ，且2l 与椭圆C 交于点M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的取值范围．A BCDE FP21．（本小题满分12分）设函数)1(ln )(2-+=x b x ax x f )0(>x ，曲线)(x f y =过点)1,(2+-e e e ，且在点)0,1(处的切线方程为0=y . （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当1≥x 时，2)1()(-≥x x f ；（Ⅲ）若当1≥x 时，2)1()(-≥x m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E ，（Ⅰ）求证：EBD CBD ∠=∠； （Ⅱ）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅．23．（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1)2M π，， 以极点O为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A 、B 两点．（Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到A 、B 两点的距离之积． 24．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a =---∈R ， （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．BD E O一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱2.（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.144.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C.D.5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.406.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.610.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为.12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于.13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.在2123题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修42：矩阵与变换20.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex. 21.（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）.（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.五、选修44：极坐标与参数方程22.（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）.（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.六、选修45：不等式选讲23.已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (2)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可. 【解答】解：圆柱的正视图为矩形，故选：A.【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题.2.（（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求.【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴.故选：C.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.14【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题.4.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C.D.【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可.【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=loga（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误.故选：B.【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题.5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.40【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案. 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15.∴输出S=20.故选：B.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立.若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立.故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键.7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可.【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确.故选：D.【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题.8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可.【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能.选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能. 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能.故选：B.【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题.9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.6【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6.故选：D.【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）【分析】根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5.故选：A.【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为 1 .【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值. 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小.此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 2.【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积. 【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=.故答案为：.【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积.正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题.13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 160 （单位：元）【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题.14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为.故答案为：.【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 .【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论.【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个.【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可.【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z.【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目.17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出.【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系.∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M.∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=.设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1.∴=（1，﹣1，1）.设直线AD与平面MBC所成角为θ.则sinθ=|cos|===.【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题.18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【解答】解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1 60 20 100PX1 的数学期望为E（X1）=.X1 的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2 40 60 80PX2 的数学期望为E（X2）==60，X2 的方差D（X2）=差D（X1）=. 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.【点评】本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想.19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.【分析】（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1.当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案.【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2.所以=2.故c=a，从而双曲线E的离心率e==.（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1.设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得：|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）.由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1.【点评】本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想.在2123题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修42：矩阵与变换20.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex. 【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（3）首先可将要证明的不等式变形为x2＜ex，进而发现当x＞时，x2＜x3，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜ex.【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a.又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2.由f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4.f（x）无极大值.（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜ex.证明如下：令h（x）=x3﹣ex，则h′（x）=x2﹣ex.由（2）知，当x＞0时，x2＜ex，从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x3＜ex，取x0=，当x＞x0时，有x2＜x3＜ex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.【点评】该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想.属难题.21.（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）.（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.【分析】（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.【解答】解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为.【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题.六、选修45：不等式选讲23.已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.。
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第3题第11题图（2）′图（1）左视图主视图4理科数学3月注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{}220,A xx x x =∣--≤∈R ，{}lg(1)1,B x x x =∣+<∈Z ，则A B =A.(0,2)B.[]0,2C.{}0,2D.{}0,1,2(2)已知复数1z =+，则22z z =- A.2B.2- C.2i D.2i -(3)执行右面的程序框图()N *∈N ，那么输出的p 是 A.33A N N ++ B.22A N N ++ C.11A N N ++D.A NN(4)离心率为2的双曲线E 的一个焦点到一条渐近线的距离为1， 则E 的标准方程可以是 A.2231x y -= B.2213xy -= C.2231x y -= D.2213y x -= (5)已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意,n m *∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n S 是数列{}n a的前n 项和，则42S S = A.2B.3C.4D.5满足事件A 发生的概率()1P A =的平面区域E 可以是A.20x x y ≤⎧⎨+≥⎩ B.20x x y ≥⎧⎨+≤⎩ C.20x x y ≥⎧⎨-≤⎩ D.2x x y ≤⎧⎨-≥⎩(7)已知函数()y f x =的图像为如图所示的折线ABC ， 则11[(1)()]d x f x x -+=⎰A.2B.2-C.1D.1-(8)甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至 多安排一人，其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有 A.36B.39C.42D.45(9)在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等腰三角形，120BAC ∠=，2BC=，PA ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为A.9 B.9 C.3 D.9(10)已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点， 与l 交于点P ，若3AF FB =，则PF = A.7B.7.5C.8D.8.5(11)某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的 直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中116O A =，112O C =，则该几何体的侧面积为A.48B.64C.96D.128(12)对于函数(),()f x g x 满足：对任意x ∈R ，都有2(23)()f x x g x -+=，若关于x 的 方程()sin02g x x π+=只有5个根，则这5个根之和为第13题图FD第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。
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1．本试卷共4页，包括填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分为l60分，考试时间为120分钟．2·答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。
考试结束后，交回答题纸．参考公式，1．样本数据x1,x2,x3,…xn的方差其中是这组数据的平均数．2．柱体、锥体的体积公式：，其中s是柱(锥)体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共l4小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应的位置上．1．函数的定义域是___▲___．2．已知复数=满足(z2)i=l+i(i为虚数单位)，则z的模为___▲___．3．已知实数x，y满足则Z＝2x+y的最小值是___▲___4 如图所示的流程图，若输入x＝9.5，则输出的结果为___▲___5在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P（m,n），则点P在圆x2+y2=9内部的概率为___▲___6．已知平面向量a,b满足|a|=1，|b|=2 n与b的夹角为．以a,b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为___▲___7．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如右图，则该组数据的方差为___▲___．8．在△ABC中，角A，B，c所对的边分别为a,c,c 若，则角A的大小为__▲___．9．已知双曲线c：(a>0，b>o)的右顶点、右焦点分别为A，F，它的左准线与z轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为__▲___·10．已知正数数列{an)对任意．若a2=4，则a9=__▲___11．已知l,m是两条不同的直线，a，β是两个不同的平面．下列命题：其中真命题是____▲___ (写出所有真命题的序号)．12．已知．若实数m，n满足，则m十n的最小值是13．在△ABC中，已知BC=2，，则△ABC面积的最大值是___▲__14．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数的一个“友好点对’(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对)．已知函数则的“友好点对”有___▲__个·二、解答题：本大翘共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分l4分)已知函数的最小正周期·16．(本题满分l4分)如图，在棱长均为4的三棱柱ABC—A1B1C1。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战53887
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设x ∈R ，则“l<x<2”是“|x 2|<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．二项式(x+1)n(n ∈N*)的展开式中x 2的系数为15，则n=( )A ． 5B ． 6C ． 8D ． 103．己知cos31°=a ，则sin 239°·tan 149°的值是( )A ．21a a -B ．21a -C ．21a a- D ． 21a - 4．若a 为实数，且231ai i i+=++，则a=( ) A ． 一4 B ． 一3 C ． 3 D ． 4 5．函数f(x)=ln(x+1)—2x 的一个零点所在的区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)6.若实数a ，b 满足11ab a b+=，则ab 的最小值为( ) A. ,2 B ．2 C ．22 D ．47．已知则8．设函数则A. 3B. 6C. 9D. 129．设函数f’(x)是奇函数f(x) (x ∈R)的导函数，f （1）=0，当x>0时，xf’(x)f （x ）<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )A ．（一∞，一1） (0，1)B ．（一1，0） (1，+∞)C ．（一∞，一1）（一1，0）D ．(0，1) (1，+∞)10．设函数若互不相等的实数x1，x2，x3满足123()()()f x f x f x ==，则x1+x2+x3的取值范围是( )11.己知f(x)是定义在R 上的增函数，函数y=f （xl ）的图象关于点(1，0)对称，若对任意的x ，y ∈R ，不等式f(x26x+21)+f(y28y)<0恒成立，则当x>3时，x2+y2的取值范围是( )A. (3,7)B. (9,25)C. (13,49]D. (9,49)12.设函数则使得成立的x 的取值范围是第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.若函数f(x)= （a>0，且a≠1）的值域是[4，+∞)，则实数a 的取值范围是 14.在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“1≤发生的概率为 15.己知函数f(x)2 sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是2，则ω的最小值为 16．己知函数f(x)= 则不等式f(x)≥log2（x+1)的解集是三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1 (t 为参数，t≠0)， 其中0≤a<π，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 : p = 2 sinθ,C3 : p =cosθ(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A ，C1与C3相交于点B ，求|AB|的最大值．18.（本小题满分10分）己知关于x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4）(1)求实数a ，b 的值；(2)12at bt +19.（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分， 每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测 结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)己知每检测一件产品需要费用1 00元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测 出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）．20.（本小题满分12分）已知函数厂(x)=sin （ωx+φ）（0<ω<1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M对称(1)求ω，φ的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3) x ∈，求f(x)的最大值与最小值． 21.（本小题满分12分）己知函数f(x)= 1ln 1x x+- (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈（0，1）时，f(x)>233x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (3)设实数k 使得f(x)>k 33x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对x ∈(0，1)恒成立，求k 的最大值． 22.（本小题满分14分）(1)已知ex≥ax +1，对0x ∀≥恒成立，求a 的取值范围；(2)己知xe f'(x)=1 ex ，0<x<m ，求证f(x)<2m ．一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A.3﹣4iB.3+4iC.﹣3﹣4iD.﹣3+4i2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A.{0，1}B.{﹣1，0，1，2}C.{﹣1，0，2}D.{﹣1，0，1}3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A.5B.6C.7D.84.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A.（﹣1，1，0）B.（1，﹣1，0）C.（0，﹣1，1）D.（﹣1，0，1）6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，107.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为.10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为.11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=.13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=.（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为.【几何证明选讲选做题】15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1 f1（45，50] n2 f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (3)参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A.3﹣4iB.3+4iC.﹣3﹣4iD.﹣3+4i【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值.【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题.2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A.{0，1}B.{﹣1，0，1，2}C.{﹣1，0，2}D.{﹣1，0，1}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∪N={﹣1，0，1，2}，故选：B.【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A.5B.6C.7D.8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B.【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论.【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A.【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键.5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A.（﹣1，1，0）B.（1，﹣1，0）C.（0，﹣1，1）D.（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论.【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A.若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件.B.若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件.C.若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件.D.若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件.故选：B.【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键.6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，10【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，∴样本容量=10000×2%=200，分层抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40，∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.故选：A.【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键.7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定.【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定.故A、B、C错误.故选：D.【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面.8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论.【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：.∴总共方法数是++=130.即元素个数为130.故选：D.【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法.二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） .【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③.解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2.综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题.10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为 y=﹣5x+3. .【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程.【解答】解；y′=﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3.故答案为：y=﹣5x+3【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题.11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，故答案为：.【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的.比较基础.12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 .【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果.【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2.故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=50 .【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案.【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50.故答案为：50.【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题.（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1） .【分析】首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标.【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，化为普通方程为：y2=x，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）.故答案为：（1，1）.【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= 9 .【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求.【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，∴=，∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△CDF∽△AEF，∴=（）2=9.故答案为：9.【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值.（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=.（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=.∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题. 17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1 f1（45，50] n2 f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率.【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，∴P（A）==，∴P（）=1﹣P（A）=，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为.【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题.18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可.【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，∴DF=，AF==，∴CF==，又FE∥CD，∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ=|cos＜，＞|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题.19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明.【解答】解：（1）由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：S2=4a3﹣20 ①又S3=S2+a3=15 ②联立①②解得：a3=7.再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：a1=2a2﹣7 ③又S3=a1+a2+7=15 ④联立③④得：a2=5，a1=3.∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1.由此猜测an=2n+1.下面由数学归纳法证明：1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立.2、假设n=k时结论成立，即ak=2k+1.那么，当n=k+1时，由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得，，两式作差得：.∴==2（k+1）+1.综上，当n=k+1时结论成立.∴an=2n+1.【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题.21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域.（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论.（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）.（2）f′（x）===﹣，由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0 解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）.（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，∵k＜﹣6，∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f （1）的集合为：（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）.【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大.20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得.（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1•k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程.【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1.（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，∴﹣1=k1•k2==﹣1，∴x02+y02=13.把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战77847
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数)421sin(2π+=x y 的周期是（ ）A ．4π B ．π4 C ．π2D ．2π 2．函数)10lg(1)(22x x x x f -+-=的定义域为（ ）A ．RB ．[1，10]C ．（1，10）D ．)10,1()1,(⋃--∞3．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120的扇形，则圆锥的体积等于A.π322 B.π22 C.π324 D.π4835 4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．3x y -=)(R x ∈B ．x y sin =)(R x ∈C ．x y tan -=D ．xy )21(=)(R x ∈5.若向量)2,1(=a ，)4,3(-=b ，则)()(b a b a +⋅⋅等于（ ） A ．20 B ．），（3010- C ．54 D ．），（248-6.如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界）. 若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足（ ） A ． 0,0>>b a . B. 0,0<>b a . C ． 0,0><b a . D. 0,0<<b a .y xO6π 2 512π 7．在ABC ∆中,角2120,tan tan 33C A B =+=则tan tan A B 的值为 ( ) A ．41 B ．13 C ．21 D ．538.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示.则函数()f x 的解析式为( )A ．)621sin(2)(π+=x x fB ．)621sin(2)(π-=x x fC ．)62sin(2)(π-=x x fD ．()2sin(2)6f x x π=+9．在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形. 上述命题正确的是 （ ）A.①②B.①④C.②③D.②③④100≠=b a ，且关于x 的方程02=⋅++b a a x 有实数根，则a 与b 的夹角的取值范围是 ( ) A.[,]3ππ B.[0,]6π C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 把答案填在答卷的相应位置． 11．=-57sin 333cos 33sin 27sin ；12.已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为； 13．将函数x y 2sin =的图象按向量)0,6(π-=平移后的图象的函数解析式为；14．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．15．对于任意向量a 、b ，定义新运算“※”：a ※b =||||sin a b θ⋅⋅（其中 θ为a 与b 所的角）。
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理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2．()()1i 2i +-=A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦， 7．函数422y x x =-++的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.39．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π610．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．11．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为A B ．2C12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．曲线()1e x y ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 15．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．16．已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若 90AMB =︒∠，则k =________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82819．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C、D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M ABC-体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆22143x yC+=：交于A、B两点，线段AB的中点为()()10M m m>，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA 、FP 、FB 成等差数列，并求该数列的公差．21．（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b+≤，求a b +的最小值．注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 （AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战5898
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 （AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战53397
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =（）（A ）∅（B ）{2}（C ）{2,2}-（D ）{2,1,2,3}- 【答案】B【考点定位】本题考查用列举法表示的集合的交运算．【名师点睛】对集合运算问题，首项要确定集合类型，其次确定集合中元素的特征，先化简集合，若元素是离散集合，紧扣集合运算定义求解，若是连续数集，常结合数轴进行集合运算，若是抽象集合，常用文氏图法，本题是考查元素是离散的集合交集运算，是基础题. 2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（） （A ）棱柱（B ）棱台 （C ）圆柱（D ）圆台【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间想象能力和基本的运算能力. 3、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D【名师点睛】本题主要考查复平面与复数的对应关系、几何意义以及复数的共轭，把握住复数的特点即可。
4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：x A ∀∈，2x B ∈，则（） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈（B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉（D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ 【答案】C【考点定位】本题考查全称命题的否定，注意：“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”. 【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.5、抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（） （A ）23（B ）2 （C ）3（D ）1【名师点睛】代入点到直线的距离公式时，需注意的是直线一定是一般形式. 6、函数()2sin()f x x ωϕ=+（0,22ππωϕ>-<<）的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（）（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π性质，难点是确定初相ϕ的值，关键是理解“五点法”作图.【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.7、某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战38497
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .1A y x =+2.(1)B y x =-.2x C y -=0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4，则k 的值为（ ）.2A .2B -1.2C 1.2D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论） 17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；13.若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数， 19.对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10（11）221312x y -=2y x =± （12）8 （13）36 （14）π 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战19903
数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+ B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
正视图侧视图俯视图 图1由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战36583
一．基础题组1.（北京市昌平区高三二模理3）已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（ ） A. 4- B. 6- C. 8- D. 10- 【答案】C考点：等差数列与等比数列.2.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（ ）（A ）4（B ）8（C ）16（D ）64 【答案】B 【解析】试题分析：由于数列{}n a 是正各项都是正数的等比数列，所以根据等比数列的性质可知：248664,2a a a a ==∴=，356768a a a a ==，所以答案为B.考点：1.等比数列的性质;2.等比数列的求值.3.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理2）在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（ ）A ．2B ．1或2C ．1D ．1或2 【答案】B 【解析】试题分析：∵344a a +=，∴2224a q a q +=∴解得1q =或2q =-，故选B.考点：等比数列的通项公式.4.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理11）已知无穷数列{}n a 满足：1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈.则数列{}n a 的前n 项和的最小值为.【答案】30考点：等差数列. 二．能力题组1.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理6）等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 【答案】C 【解析】试题分析：设公差为,d 由已知1111111,(1)(1),kk m d a a k d k m k mk m mk mk -===--=--⋅=-所以，1(1)1(1)11,222mk mk mk mk mk mk S mka d mk mk mk --+=+=⋅+⋅=选C .考点：等差数列及其求和公式.2.（北京市西城区高三一模考试理12）若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____．【答案】8-,682 【解析】试题分析：由m n m n a a a +=⋅得2113214,8,a a a a a a =⋅==⋅=-由m n m n a a a +=⋅得112n n n a a a a +=⋅=-，所以数列{}n a 为等比数列，因此10102[1(2)]682.1(2)S ---==---考点：等比数列通项与和项3.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理13）已知点()11,1a A ，()22,2a A ，⋅⋅⋅，(),n n a n A （n *∈N ）在函数13log y x =的图像上，则数列的通项公式为__________；设O 为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．【答案】13n⎛⎫ ⎪⎝⎭,16考点：1.对数函数性质；2.求数列通项；3.数列单调性.4.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理10）在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最小值的n 是．【答案】10 【解析】试题分析：因为数列的公差为正数，所以数列为递增数列，又因为0,011101110<<+a a a a 且， 所以0,01110><a a ，所以前10项的和最小，即使n S 取最小值的。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战16599
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．356437-⎛⎫⎪⎝⎭； 2.34； 3．(,1)-∞-； 4．4π； 5．(,0)-∞6．(0,2)； 7．13b -≤≤； 8．10082017； 9.π32； 10.16； 11．3； 12.(),1n n -+；13.；14.66a -≤≤. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.A ；16. A ； 17．B ；18.D .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.19.解：（1）证明：AB PAD ⊥平面，PH PAD ⊆平面，AB PH ⊥又PAD ∆中，PD PA =，点H 为线段AD 的中点，PH AD ⊥PH ADPH ABPH ABCD AD AB A ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩平面 （2）1,PH AD AH DH ===，又PH AD ⊥，PA PD ∴== 连结BH ，可得PBH ∠是PB 与平面ABCD 所成角，又PB 与平面ABCD 所成角的大小为45，1BH ∴=，在Rt ABH ∆中，AB =， 1111()3322P ABCDABCD V S PH AB CD AD PH -∴==⨯+⋅⋅=梯形.分 20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为抛物线24y x =的焦点F 是椭圆M 的一个焦点，即(1,0)F又椭圆M 的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为22221,0x y a b a b+=>>,且221a b -=又以F 为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线20l x -+=：相切即1b ==,所以椭圆M 的方程是2212x y += （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y22223422022y x mx mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩ 222(4)12(22)8240m m m ∆=--=-+>m ⇒<<1212,(,)OP OA OB P x x y y =+∴++又121242,33x x m y y m +=-+=， 即42(,)33P m m -在椭圆2212x y +=上,即2242()2()233m m m -+=⇒=21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题10分. 解：（1）1212sin12032ABCDS=⨯⨯⨯=当点F 与点D 重合时，由已知134CDEABCDS S ==，又13sin12012CDESCE CD x x =⋅⋅==⇒= ,E 是BC 的中点 （2）①当点F 在CD上，即12x ≤≤时，利用面积关系可得1CF x=， 再由余弦定理可得y =≥1x =时取等号 ②当点F 在DA 上时，即01x ≤<时，利用面积关系可得1DF x =-， （ⅰ）当CE DF <时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,12,60EG GF x EGF ==-∠=，利用余弦定理得y =（ⅱ）同理当CE DF ≥，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,21,120EG GF x EGF ==-∠=，利用余弦定理得y =由（ⅰ）、（ⅱ）可得y =，01x ≤<y∴==，01x ≤< ,min y ∴=12x =时取等号 ,由①②可知当12x =时，路EF 的长度最短为2．22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.解：（1）因为(,)n n n P a S 、*111(,),n n n P a S n N +++∈都在直线y kx b =+上，所以11n nn nS S k a a ++-=-，即1(1)n n k a ka +-=，又0k ≠，且1k ≠，所以11n n a ka k +=-为非零常数，所以数列{}n a 是等比数列（2）由12log n n b a =得31()22nb n n a -==，即21kk =-得2k =． 由*(,),n n n P a S n N ∈在直线y kx b =+上得n n S ka b =+上，令1n =得111124b S a a =-=-=-（3）由12log n n b a =知1n a >恒成立等价于0n b <恒成立．因为存在*,,t s N s t ∈≠使得点(),s t b 和(),t s b 都在直线在21y x =+上，所以21s b t =+，21t b s =+即2()t s b b s t -=-，另1,2s t t =-≥，易证12(1)2t t b b t t --=--=-，又1(1)(2)21s b b s t =+--=+12()10b t s ⇒=+->，即{}n b 是首项为正，公差为2-的等差数列． 所以一定存在自然数M ，使100M M b b +≥⎧⎨<⎩即2()1(1)(2)02()1(2)0t s M t s M +-+--≥⎧⎨+-+-<⎩，解得1122t s M t s +-<≤++，*M N ∈，M t s ∴=+．存在自然数M ，其最小值为t s +使得当n M >（*n N ∈）时，1n a >恒成立时，1n a >恒成立．23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1） x x x f sin cos )(+=，2πα=∴x x x f sin cos )(-=+α；∴x x g 2cos )(=（2）()2cos (cos )4cos cos()3g x x x x x x π=+=-，若()2cos f x x =，则()()2cos()33f x f x x ππα+=-=-(2)33k ππααπ⇒∴=-=-∈取,k Z 中一个都可以，()2cos f xx =(3)()sin cos f x x x =+,()()()g x f x f x α∴=⋅+=(sin cos )x x +(cos sin )x x -cos 22,2,2sin 212,2,23cos 22,2,2312sin 22,22.2x x k k x x k k k Z x x k k x x k k πππππππππππππππ⎧⎛⎤∈+ ⎪⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎤--∈++⎪ ⎥⎪⎝⎦=∈⎨⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎪⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎩显然，(2)()g x g x π+=即()y g x =的最小正周期是2π，因为存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立， 所以当12x k ππ=+或12,2x k k Z ππ=+∈时，1()()1g x g x ≥=-当272,4x k k Z ππ=+∈时，2()()2g x g x ≤= 所以12121272(2),4x x k k k k Z ππππ-=+-+∈、 或12121272(2),24x x k k k k Z ππππ-=+-+∈、 所以12x x -的最小值是34π. 说明：写出分段函数后画出一个或多个周期上的函数图像，用数形结合的方法解同样给分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大. 【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题.19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，cn=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列.数列{bn}的前n项和Tn=，令Tn=（2﹣m）a1，则.当n=1时，m=1；当n=2时，m=1.当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列.数列{cn}的前n项和Rn=，令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=.∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列.因此命题得证.【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论.【解答】证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠D，∴∠OCB=∠D.【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题. 【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【分析】利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y 的值.【解答】解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长.【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），∴|AB|==8.故答案为：8.【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论.【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【点评】本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证.【解答】解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）又===，∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时.等式也成立，由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nfn﹣1（）+fn（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.【点评】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力. 25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可.【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=.（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=.【点评】本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战57099
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三统一测试数学（理科） 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么UAB =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =3．在251()x x-的展开式中，x 的系数为（ ）A ．10B ．10-C ．20D ．20-4．已知Rt △ABC 中，o 9054C AB BC ∠===，，，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ） 522(x py p =>点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2B ．8CD ．46．右图是某个三棱锥的三视图，其中主A ．4B ．95 C ．125D ．165AC B视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）7程序，A ．2-B ．12C ．1-D ．28．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）A B ．3C ．125第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知命题p :0x x e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________．10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x y 的取值范围是_________. A B C ．4D ．613．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，2sin b A =．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学0 1235567889135567罗非鱼的汞含量（ppm ）期望E ξ．17.（本小题满分14分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，D 是AC 的中点．（Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在， 求出AE 的长；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R . （Ⅰ）若1a =，求函数()f x的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1. 19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； A 1A1B1CC DB（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值. 20．（本小题满分13分）对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或ia -（234i n =，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，． 已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值； （Ⅱ）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． 石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 2sin b A =，2sin sin A B A =， ……………2分因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =， …………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =．……………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=， 解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3. ……………10分11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=．……………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591.……………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==，………5分 ξ可能取0，1，2，3. ……………6分则3318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．…………10分其分布列如下：……………12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形， 所以M 为1A B 的中点． 因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形1AB C 的中位线，……………2分 所以MD ∥1B C ．……………3分因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， 所以1B C ∥平面1A BD ．……………4分（Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC AB C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =，1AA =D 是AC 的中点．所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C ，，1(10)A，……………5分所以1(0)22D ，，，3(022BD =，，， 1(20)BA =．MA1A1B1CBCD设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量，所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即302220x z x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，令x =2y =，3z =，所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量．……………6分由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量，……………7分 所以121cos 2n AA <>==，．……………8分 所以二面角1A BD A --的大小为3π．……………9分 （Ⅲ）设(10)E x，，，则1(1CE x =-，11(10C B ，，=-设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=，所以111100n C E n C B ，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111)00x x y x ，，⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩ 令1z =13x =，1y =1(33n x=-， ……………12分又10nn ⋅=，即0--=，解得x =， 所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且3AE =．……………14分 18．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）1a =时, 2()ln (0)f x x ax xx =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'∴=+-＝， ……………1分11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，. ……………3分（Ⅱ）1()2f x x a x'=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x+-≤对任意(01]x ∈，恒成立，……………5分 12a x x ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立， 令1()2g x x x=-，min ()a g x ∴≤， ……………7分 易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-. 1a ∴≤-. ……………8分（Ⅲ）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x'=+-， 切线的斜率12k t a t=+-，又切线过原点()f t k t=， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t=+-+-=+-∴-+=，即：， 存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根. ……………11分 再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t tϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解.综上，切点的横坐标为1. ……………13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=，………………2分准圆方程为224x y +=.………………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，.………………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥.………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直.………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=.设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直.………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值.………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ， ∴231148b b =±=±，， 由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，，∴3S 可能值为13578888，，，．……………3分（Ⅱ）∵311(1)78n n S =-，当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=，当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=， 3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， ……………5分 ∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列， ∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n nb =±；∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中， 当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立． ∴132213 2.2nn nn k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），．……………8分（Ⅲ）2311112222n n S =±±±±共有12n -种情形． 23231111111122222222n n n S ----≤≤++++，即12122n n n n S -≤≤， 又12322212n n n n nS ---±±±±=，分子必是奇数，满足条件121222n n n nx -≤≤的奇数x 共有12n -个．……………10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．由于1||||2k k ka b ==，不妨设00k k a b ><，， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++ 12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．…12分 ∴2311112222n n S =±±±±共有12n -种情形，其值各不相同． ∴n S 可能值必恰为135212222n n n n n -，，，，，共12n -个．即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，．……………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱2.（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.144.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C.D.5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.406.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.610.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为.12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于.13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.在2123题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修42：矩阵与变换20.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex. 21.（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）.（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.五、选修44：极坐标与参数方程22.（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）.（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.六、选修45：不等式选讲23.已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (2)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可. 【解答】解：圆柱的正视图为矩形，故选：A.【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题.2.（（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求.【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴.故选：C.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.14【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题.4.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C.D.【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可.【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=loga（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误.故选：B.【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题.5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.40【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案. 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15.∴输出S=20.故选：B.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立.若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立.故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键.7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可.【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确.故选：D.【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题.8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可.【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能.选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能. 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能.故选：B.【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题.9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.6【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6.故选：D.【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）【分析】根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5.故选：A.【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为 1 .【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值. 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小.此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 2.【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积. 【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=.故答案为：.【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积.正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题.13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 160 （单位：元）【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题.14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为.故答案为：.【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 .【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论.【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个.【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可.【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z.【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目.17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出.【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系.∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M.∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=.设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1.∴=（1，﹣1，1）.设直线AD与平面MBC所成角为θ.则sinθ=|cos|===.【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题.18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【解答】解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1 60 20 100PX1 的数学期望为E（X1）=.X1 的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2 40 60 80PX2 的数学期望为E（X2）==60，X2 的方差D（X2）=差D（X1）=. 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.【点评】本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想.19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.【分析】（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1.当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案.【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2.所以=2.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战38299
数 学（理科） .3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合}21{≤<-=x x P ，}01{>-=x x Q ，则=Q PA ．}11|{<<-x xB ．}21|{≤<x xC ．}21|{≤<-x xD ．}1|{->x x2．若向量a=（1，—1），b=（—1，1），c=（5，1），则c+a+b=A ．aB ．bC ．cD ．a+b 3．抛物线24y x =-的准线方程是 A ．116x =B ．1x =C ．1y =D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方 差为A ．647B ．9C ．738D ．780 6．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该 三棱柱的左视图面积为A ．4B ．32C ．22D ．37．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的 距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 A ．827B ．271C ．2627D ．15278．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0,1)，然后接着按图所示在x 轴，y 轴平行方向来回运动（即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0) →(2,0) ……），若每秒运动一个单位长度，那 么第秒时，这个粒子所在的位置为A ．（16,44）B ．（15,44）．C ．（14,44）D ．（13,44）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．函数sin cos y x x =的最小正周期为.10．经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标方程为_. 11．如图，是计算111124620++++的值的一个程序框 图，其中判断框内应填入的条件是. 12．若函数2)(3++-=cx x x f )(R c ∈，则/3()2f -、/(1)f -、/(0)f 的大小关系是_.13．如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则=BD _.14．已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0,20,)(2x x c bx x x f ，若1)1(=-f ，2)0(-=f ，则函数x x f x g +=)()(的零点个数为____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）已知函数)2sin()42cos(21)(x x x f --+=ππ． （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）求)(x f 在区间[,)42ππ-上的最大值与最小值． 16．（本小题满分14分） 如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ， SA=AD=1，AB=2．（I ）求证：MN ⊥平面ABN ；（II ）求二面角A —BN —C 的余弦值． 17．（本小题满分13分）y. .'OCO BDA已知函数()32331f x ax x a=-+-(R a ∈,且0)a ≠，求)(x f '及函数)(x f 的极大值与极小值． 18．（本小题满分13分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．（I ）求甲答对试题数ξ的分布列及数学期望； （II ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率32e =，一个焦点的坐标为()3,0．（I ）求椭圆C 方程；（II ）设直线1:2l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ．当m 变化时，求TAB ∆面积的最大值．20．（本小题满分14分）当n p p p ,,,21 均为正数时，称np p p n+++ 21为n p p p ,,,21 的“均倒数”．已知数列{}n a 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为121+n ． （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12+=n a c nn ，试判断并说明()*1n n c c n N +-∈的符号； （Ⅲ）已知(0)n an b t t =>，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，试求1n nS S +的值； （Ⅳ）设函数124)(2+-+-=n a x x x f n，是否存在最大的实数λ，使当λ≤x 时，对于一切正整数n ， 都有0)(≤x f 恒成立？怀柔区～度第二学期高三数学期中练习参考答案及评分标准(理科).3题号 1 2 3 4 5 6 7 8一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. π10. 2cos ρθ= 11.20n ≤12./(0)f ＞/(1)f -＞/3()2f -13. 814.3三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15. （本小题共12分）解：（Ⅰ）由题意 0)2sin(≠-x π⇒Z k k x ∈≠-,2ππ⇒Z k k x ∈+≠,2ππ故所求定义域为 {Z k k x x ∈+≠,2|ππ} …………4分（Ⅱ）x x x x x x f cos 2sin 2cos 1)2sin()42cos(21)(++=--+=ππxx x x cos cos sin 2cos 22+=x x sin 2cos 2+=)4sin(22π+=x …………9分3,04244x x ππππ-≤<∴≤+<，…………10分 ∴当04x π+=即4x π=-时，min ()0f x =；当42x ππ+=即4x π=时，max ()f x =……12分16．（本小题满分14分）解：（I ）以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），S （0，0，1）(图略)).21,21,22(),0,1,22(N M ∴……………………2分 ).21,21,22(),0,0,2(),21,21,0(==-=∴AN AB MN …………………………4分.,.0,0⊥⊥∴==⋅==⋅∴∴MN ⊥平面ABN.……………………………………………………………………7分 （II ）设平面NBC 的法向量.,),,,(SC n BC n c b a n ⊥⊥=则且又易知)1,1,2(),0,1,0(-==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴.2,0.02,0,0,0a c b c b a b SC n BC n 即 令a=1，则).2,0,1(=……………………………………………………11分显然，)21,21,0(-=MN 就是平面ABN 的法向量. .33,cos ==>=<∴ 由图形知，二面角A —BN —C 是钝角二面角…………………………………12分.33---∴的余弦值是二面角C BN A ……………………………………14分 17．（本小题满分13分）解：由题设知)2(363)(,02ax ax x ax x f a -=-='∴≠………………2分 令2()00f x x x a'===得 或……………………………4分 当0a >时，随x 的变化，()/f x 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a ==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小……………8分当0a <时，随x 的变化，()'fx 与()f x 的变化如下：∴()()01f x f a ==-极大，()21f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小…………………12分综上，当0a >时，()31f x a =-极大，()2431f x a a=--+极小； 当0a <时，()31f x a =-极大，()2431f x a a=--+极小.……………13分18．（本小题满分13分）解：（I ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0,1,2,3，…………………1分则,301)0(31034===C C P ξ12643103(1),10C C P C ξ⋅=== ,21)2(3101426=⋅==C C C P ξ .61)3(31036===C C P ξ…………………………………………………5分ξ∴的分布列为…………………… 6分 甲答对试题数ξ的数学期望为.5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………7分 （II ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则2()(2)(3),3P A P P ξξ==+==.15141205656)(310381228=+=+=C C C C B P ………………………………9分因为事件A 、B 相互独立，∴ 甲、乙两人考试均不合格的概率为.451]15141][321[)()()(=--=⋅=⋅B P A P B A P ………………………11分∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.45444511)(1=-=⋅-=B A P P (9) (10)答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544…………………13分另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为.454415143215143115123)()()(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.454419．（本小题满分14分）解法一：（I ）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b +=)0(>>b a3,2c c e a ===,2=∴a ………………3分 ,1222=-=c a b ………………4分∴椭圆C 的方程是2214x y +=………………5分（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2222214()4,222020,840,7x x m x mx m m m ++=++-=∆>-><<得即令得分设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()00,M x y()21212012002,22 111,,2221,2x x m x x m AB x x x m y x m m M m m +=-=-====+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭则(),0,1012,1233,,044MT AB T t mMT AB k k t m t m T m -⊥∴⋅=⋅=-+⎛⎫=-∴- ⎪⎝⎭设解得………………11分||45)2(521||||21.||4541161||222m m MT AB S m m m MT TAB ⋅-⋅=⋅=∴=+=∴∆.1)1(8522+--=m ………………13分 22<<-m ，∴当21m =，即1m =±时，TAB S ∆取得最大值为.85………………14分解法二：（I ）同解法一（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2222214()4,222020,840,7x x m x mx m m m ++=++-=∆>-><<得即令得分设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()00,M x y212122,22x x m x x m ∴+=-=-………………8分()01200111,,2221,2x x x m y x m m M m m =+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………10分MT AB ⊥MT ∴的方程为322y x m =--令0y =，得34x m =-，3,04T m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………9分 设AB 交x 轴与点R,则()2,0R m -.||45||m TR =∴ ………………11分 2122121214)(||41||||41||||21x x x x TR x x TR y y TR S TAB -+⋅=-⋅=-⋅=∴∆)2(8522m m -= ,852)2(8522=-+⋅≤m m ………………13分 ∴当21m =，即1m =±时，TAB S ∆取得最大值为.85…………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）121(21)n n a a a a n n -++⋅⋅⋅++=+,121(1)(21)n a a a n n -++⋅⋅⋅+=--， 两式相减，得41(2)n a n n =-≥ . 又111211a =⨯+，解得 13411a ==⨯- , ∴ 41()n a n n N +=-∈ . ………4分 （Ⅱ）∵4132212121n n a n c n n n -===-+++, 11322323n n a c n n ++==-++ , ∴1332123n n c c n n +-=-++＞0， 即1n n c +＞c . ………7分（Ⅲ）∵41()n a n nb t t t -==＞0,∴374112n n n S b b b t t t -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，当1t=时,n S n = ,11n n S n S n++=; ………8分 当t ＞0且1t ≠时, 344(1)1n n t t S t -=-，441411n n nn S tS t ++-=-. ………10分综上得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>--=+=++1,0,111,14441t t tt t nn S S n n nn ………11分 （Ⅳ）由（Ⅱ）知数列 {}n c 是单调递增数列,11c =是其的最小项，即11n c c ≥=．假设存在最大实数,使当x λ≤时,对于一切正整数n ,都有2()4021na f x x x n =-+-≤+ 恒成立，则2421nn a x x c n -+≤=+ ()n N +∈．只需2141x x c -+≤=，即2410x x -+≥．解之得2x ≥+ 或 2x ≤-．于是,可取2λ=-………14分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论.【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中，==.sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1.∴sinα的取值范围是.故选：B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=.当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1.故答案为：1.【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：si n67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m.故答案为：60m.【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.故答案为①③④.【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2.进而得到an，bn.再利用“错位相减法”即可得出.【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{an}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2.又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2.∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴bn=2n.∴.∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==.【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点.【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战69279
一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5} 2．（5分）（•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．143．（5分）（•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2B．3C．4D．54．（5分）（•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣=16．（5分）（•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．7．（5分）（•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．（5分）（•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•天津）i是虚数单位，计算的结果为．10．（5分）（•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）（•天津）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．12．（5分）（•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．13．（5分）（•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．14．（5分）（•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．16．（13分）（•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．17．（13分）（•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．18．（13分）（•天津）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．19．（14分）（•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．20．（14分）（•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合B的补集，然后求解交集即可．解答：解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁UB={2，5}，又集合A={2，3，5}，则集合A∩∁UB={2，5}．故选：B．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）（•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．14考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）（•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2B．3C．4D．5考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=10，i=0i=1，S=9不满足条件S≤1，i=2，S=7不满足条件S≤1，i=3，S=4不满足条件S≤1，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）（•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．解答：解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A点评：本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（5分）（•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．解答：解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴，∴b=a，∵焦点为F（2，0），∴a2+b2=4，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．点评：本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．6．（5分）（•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．解答：解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）（•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a考点：对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．解答：解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0，∵f（x）=2|x|﹣1=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，∴c＜a＜b，故选：B点评：本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．8．（5分）（•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：开放型；函数的性质及应用．分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解答：解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，故选：A．点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•天津）i是虚数单位，计算的结果为﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：i是虚数单位，===﹣i．故答案为：﹣i．点评：本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．10．（5分）（•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．11．（5分）（•天津）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为3．考导数的乘法与除法法则．点：专题：导数的综合应用．分析：由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．解答：解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna•axlnx+ax，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．点评：本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．12．（5分）（•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解答：解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．（5分）（•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．解答：解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：点评：本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．14．（5分）（•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），共15种；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共9个基本事件，∴事件A发生的概率P==点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．16．（13分）（•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．解答：解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，咋地了一余弦定理的应用，考查计算能力．17．（13分）（•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得．解答：（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE∥B1B，且NE=B1B，∴NE∥A1A，且NE=A1A，∴A1N∥NE，且A1N=NE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1==4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°点评：本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．18．（13分）（•天津）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．考点：等差数列与等比数列的综合．专等差数列与等比数列．题：分析：（Ⅰ）设出数列{an}的公比和数列{bn}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{an}的通项公式为，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{cn}的前n项和为Sn，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．∴．点评：本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．19．（14分）（•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、a2=b2+c2、B（0，b），计算即得结论；（Ⅱ）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得xP=﹣，利用BQ⊥BP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得xQ=，计算即得结论；（ii）通过=可得|PQ|=|PM|，利用|PM|sin∠BQP=，可得|BP|=，通过yP=2xP+2c=﹣c计算可得c=1，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）设左焦点F（﹣c，0），∵离心率e=，a2=b2+c2，∴a=c，b=2c，又∵B（0，b），∴直线BF的斜率k===2；（Ⅱ）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．（i）由（I）知a=c，b=2c，kBF=2，∴椭圆方程为+=1，直线BF方程为y=2x+2c，联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得xP=﹣，∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=﹣x+2c，联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x2﹣40cx=0，解得xQ=，又∵λ=，及xM=0，∴λ===；（ii）∵=，∴==，即|PQ|=|PM|，又∵|PM|sin∠BQP=，∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=，又∵yP=2xP+2c=﹣c，∴|BP|==c，因此c=c，即c=1，∴椭圆的方程为：+=1．点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）（•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函析：数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）=a的根，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．同理得到x1′≤x1，则可证得．解答：（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3．当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）=﹣12，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x ﹣x0），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）=a的根为x2′，可得．∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（x2′），因此x2≤x2′．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）．设方程h（x）=a的根为x1′，可得，∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1），因此x1′≤x1，由此可得．点评：本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；w3239003；sdpyqzh；刘长柏；maths；742048；changq；caoqz；lincy；sxs123；cst（排名不分先后）菁优网6月15日第五章 平面向量第二节 平面向量基本定理及坐标表示班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战17143
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)1.设集合]3,0[=M ，}1|{>∈=x Z x N ，则=N M （ ）A ．]3,1(B ．]3,2[C ．}3,2,1{D ．}3,2{ 2.若n m22>，则下列结论一定成立的是（ ）A ．n n m m >B ．11m n>C ．nm -2D ．()ln 0m n ->3.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) A.11y x =-- B. 2log y x = C.2x y -= D. y x =-4.已知直线310x y -+=的倾斜角为α，则=（ ）A. 310-B. 35C. 310D ．54- 5.已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（） A ．21 B ．21-C ．42D ．42-6.函数y ＝lg|x|x 的图象大致是( )7.如图，正六边形ABCDEF 的边长为22，则AC BD ⋅=（ ） A ．6B ．8C ．12D ．188.若f(x)＝x2－2x －4lnx ，则f′(x)＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞)C ．(－1，0)D ． (2，＋∞) （第7题图）9. 正项等比数列{}n a 中,2014201620182a a a +=，若214a a a n m =,则nm 11+的最小值等于( ) A.1B ．54C ．32D.3510.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（）A. 7,,122122k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦为其减区间 B ．()f x 向左移12π可变为偶函数 C ．23πϕ=D ．7,12x k k Z ππ=+∈为其所有对称轴 11. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12.设函数),cos (sin )(x x e x f x -=(0＜x ＜π）则函数()f x 的各极小值之和为( )A. B. C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.计算___________.14.已知函数f(x)= ,那么f的值是___________.15.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥+125x y x y x 若23=-y z x 则z 的最小值是_________. 16.若，则下列不等式一定成立的是___________.（填序号） ①，②，④ex2－ex1＞1nx2－1nx1三、解答题（本大题共6小题，除17题10分外，其余每小题12分，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知m ＞0，2:280p x x --≤，:22q m x m -≤≤+.(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；(2)若m=5，“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2sin )3(π+x cos x ．(1) 若0≤x ≤2π，求函数f(x )的值域；(2) 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，且f(A)＝32，b ＝2，c ＝3，求cos(A －B)的值．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项21n n S a =-,等差数列{}n b 满足11212,1b a b b a =-=+. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； (2)设nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和n T 20.(本小题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()(2223a b c bc --=,2sin sin cos 2C A B =. (1)求角B 的大小;(2)若等差数列{}n a 的公差不为零,且12cos 1=A a ,且248,,a a a 成等比数列,求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 21.（本小题满分12分）已知函数32,1()ln ,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩.（1）求函数()f x 的单调递减区间; （2）若不等式()f x x c ≤+对一切x ∈R 恒成立,求c 的取值范围.22.(本小题满分12分）已知函数f(x)＝ex ＋e －x ，g(x)＝2x ＋ax3，a 为实常数． (1)求g(x)的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：存在x0∈(0，1)，使得y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象在x ＝x0处的切线互相平行高三文科试卷答案一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DABDCDCDC BAB17. 解析：(1)记命题p 的解集为A=[2，4]，命题q 的解集为B=[2m ，2+m]，…………2分 ∵p 是q 的充分不必要条件，∴，…………3分∴22{24m m -≤-+≥，解得：4m ≥.…………5分(2)m=5,B=[3,7] …………6分 ∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题， ∴命题p 与q 一真一假，…………7分①若p 真q 假，则24{ 37x x x -≤≤-或，无解，…………8分②若p 假q 真，则24{37x x x --≤≤或，解得：[)(]3,24,7x ∈--⋃.……9分综上得：[)(]3,24,7x ∈--⋃.…………10分 18.解：(1)f(x)＝2sin )3(π+x cos x ＝(sin x ＋3cos x)cos x ……………1分＝sinx cos x ＋3cos2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin )32(π+x ＋32. ………………3分 由0≤x≤π2，得π3≤)32(π+x ≤4π3， ………………4分∴－32≤sin )32(π+x ≤1， ………………5分∴ 0≤sin )32(π+x ＋32≤1＋32，∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.…………6分(2)由f(A)＝sin )32(π+A ＋32＝32，得sin )32(π+A ＝0………………7分又0＜A ＜π2，∴π3＜)32(π+A ＜4π3，∴ 2A ＋π3＝π，解得A ＝π3.………8分 在△ABC 中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝7， 解得a ＝7. ………………9分由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝217. ………………10分 ∵ b ＜a ，∴ B ＜A ，∴ cos B ＝ 277， ………………11分 ∴ cos(A －B)＝cos Acos B ＋sin Asin B＝12×277＋32×217＝5714. ………………12分19.解：（1）当1n =时,111121,1a S a a ==-∴=……………………1分当2n ≥时,21n n S a =-,1121n n S a --=-相减得122n n n a a a -=-12n n a a -∴=∴数列{}n a 是首项为1,公比为2等比数列，12n n a -∴=…………………3分∴112121,13b a b b a ==-=+= ……………5分 ∴1(1)32n b b n d n =+-=-……………6分 （2）1322n n n n b n c a --==0111432222n n n T --∴=+++, ………7分121114353222222n n n n n T ---=++++ ………………8分 相减得01211133332222222n n nn T --=+++-=+…………9分=11133234214122212n n nn n -⎛⎫- ⎪-+⎝⎭⨯---+=…………11分 13482n n n T -+∴=-．…………12分 20.解：(1)由()(222222,a b c bc a b c --=--=……………1分所以222cos 2b c a A bc +-==又0A π<<∴π6A =…………2分 由2sin sin cos 2C A B =,11cos sin 22CB +=,sin 1cos BC =+, ∴cos 0C <则C 为钝角，56B C π+=,则5sin 1cos 6C C π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭………4分∴cos 13C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得23C π=∴6B π=…………6分(2)设{}n a 的公差为d ,由已知得21=a ,且2428a a a =⋅.…………7分∴()()()211137a d a d a d +=++.又0d ≠,∴2d =.∴2n a n =.…………9分∴()1411111n n a a n n n n +==-++.…………10分 ∴111111111122334111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分 21.解：（1）当1x ≤时,2'()32f x x x =-,……………1分 令'()0f x <,可得203x <<.……………3分 当1x >时, ()f x 单调递增.……………4分所以函数()f x 的单调递减区间为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭………………5分（2）设32,1()(){ln ,1x x x x g x f x x x x x --≤=-=->,……………6分当1x ≤时, 2'()321g x x x =--,令'()0g x >,可得13x <-或1x >,即13x <-,令'()0g x <,可得113x -<<.所以1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭为函数()g x 的单调增区间,1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭为函数()g x 的单调减间. ……………8分当1x >时, 1'()10g x x =-<,可得()1,+∞为函数()g x 的单调递减区间.所以函数()g x 的单调递增区间为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,单调递减区间为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭……10分所以函数max 11115()3279327g x g ⎛⎫=-=--+= ⎪⎝⎭,……………11分要使不等式()f x x c ≤+即()g x c ≤对一切x ∈R 恒成立,527c ≥.……………12分 22. (1)g′(x)＝3ax2＋2，1分当a≥0时，g′(x)>0故g(x)的单调增区间为(－∞，＋∞). ………………2分当a<0时，令g′(x)≥0得－－23a ≤x≤－23a ，g(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－－23a ，－23a ，g(x)的单调减区间为(－∞，－－23a )和（－23a ，＋∞)………………5分 (2)当a ＝－1时，f′(x)＝ex －e －x ，g′(x)＝2－3x2，存在x0∈(0，1)，使得y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象在x ＝x0处的切线互相平行． 即存在x0∈(0，1)使得f′(x0)＝g′(x0)，且f(x0)≠g(x0)，………………6分 令h(x)＝f′(x)－g′(x)＝ex －e －x －2＋3x2，h(0)＝－2<0，h(1)＝e －1e －2＋3>0，∴存在x0∈(0，1)使得f′(x0)＝g′(x0).……………8分 ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，63时g′(x)>0，当x ∈(63，1)时g′(x)<0，………………9分 ∴所以g(x)在区间(0，1)的最大值为g ⎝⎛⎭⎪⎫63，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫63＝469<2. 而f(x)＝ex ＋e －x 2exe －x ＝2（当x=0取等号）， ∴x ∈(0，1)时f(x)>g(x)恒成立，∴f(x0)≠g(x0)．………………11分 从而当a ＝－1时，存在x0∈(0，1)，使得y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行………………12分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大. 【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题.19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，cn=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列.数列{bn}的前n项和Tn=，令Tn=（2﹣m）a1，则.当n=1时，m=1；当n=2时，m=1.当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列.数列{cn}的前n项和Rn=，令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=.∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列.因此命题得证.【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论.【解答】证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠D，∴∠OCB=∠D.【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题. 【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【分析】利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y 的值.【解答】解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长.【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），∴|AB|==8.故答案为：8.【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论.【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【点评】本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证.【解答】解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）又===，∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时.等式也成立，由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nfn﹣1（）+fn（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.【点评】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力. 25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可.【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=.（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=.【点评】本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战73099
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x = C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b < D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦A ．14B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示， 则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为图1A ．425B ．12C ．23D ．1 6．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A C ．3D ．27．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为 A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= A.0 B.9 C.18 D.36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z =． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是．11．已知()sin 6f x x =+⎪⎝⎭，若cos 5α=02α<< ⎪⎝⎭，则12f α+= ⎪⎝⎭．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）． 13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +•+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m =．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）B ACDEFGAV CB图2如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示． 组号 年龄 分组 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率 1 [20,30) 28 b 2 [30,40) 27 0.9 3 [40,50) 5 0.54[50,60] a 0.4（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分） 如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别 是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}na 是公差为1的等差数列．年龄频率/组距 20 30 40 50 60 0.010c 0.0350.025 0C 1ABA 1B 1D 1 CDMNEFE 1F 1 图5（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e b Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分）解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos2b c a A bc+-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯ (3)分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A2=．………………………………………………………………………6分 由（1）知5b k =，3c k =， 因为△ABC 的面积为1sin 2bc A =……………………………………………8分 即1532k k ⨯⨯= 解得k =…………………………………………………………………………………………10分由正弦定理2sin a R A =，即72sin k R A ==，…………………………………………………11分 解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分 第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………………………………………………2分第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……………………………………………3分 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……………………………………………4分 （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分 依题意X 的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===， (7)分()112426C C 81C 15P X ===，………………………………………………………………………………8分()202426C C 12C 15P X ===，………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法： （1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MNBA ．…………………………………………………………………………………………4分………………………………………10分 C 1A BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B，9,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E，()M ，…………………………8分则3,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()32,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn 即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取y =2x =，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n==故直线BC 与平面1MNE D ………………………………………………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B，9,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E，()M，()N ，……………2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． ………………3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合， 所以1DE MN ．…………………………………………5分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：由（1）知3,02BC ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()32,0DM =-．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取y =2x=，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n==故直线BC 与平面1MNE D所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分 连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin hADθ=．……………………………………………………………………………………………8分因为A DMN D AMN V V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…………………………………………9分在边长为3的正六边形ABCDEF中，DB =6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=，由余弦定理可得，DM =C 1A BA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以DN =． 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以MN =． 在△DMN中，DM =DN =MN =由余弦定理可得，cos DMN ∠=，所以sin DMN ∠=所以1sin 2DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………………………………………………11分 又12AMN S ∆=，……………………………………………………………………………………………12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．…………………………………………………………………………13分所以sin h AD θ==． 故直线BC 与平面1MNE D所成角的正弦值为116．………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++． 所以()222211310n PP n n n +=+=． (7)分所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．……………………………………8分 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，……………………………10分 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦……………………………………………………………11分 15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分 16<． 又当1n =时，212111106PP =<．………………………………………………………………………13分 所以22212131+111116n PP PP PP +++<．……………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分 方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分 （2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在，设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分 即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =分 因为()220044y x =--，所以AB =…………………………………………………………………………10分 设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分 所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，()()(){}min 0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ，()0,B b ，则直线PA ：00y a y a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ② 由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分 即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===．……………………………………………………………………9分 因为()220044y x =--，所以AB =分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==，………………………………………12分 当532t=时，max AB =， 当14t =时，min AB =所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．……………………………………………………………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()221x a x ≥+……………………………………………………………………………………………2分212x x=++()01x <<， 因为21122x x<++在()0,1x ∈内恒成立， 所以12a ≥． 故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………………4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．……………………………………………………………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，…………………………………………………………………2分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意． 当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩ 解得12a ≥或1a >， 所以12a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………4分（2）证明：因为函数()e x g x =，所以()e x g x '=． 过点(),e b P b ，(),e b Q b --作曲线C 的切线方程为： 1l ：()e e b b y x b =-+，2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b b b b y x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩………………………………………………………………………………6分 消去y ，解得()()()0e +e e e e e b b b b b b b x -----=-． ①…………………………………………7分下面给出判定00x >的两种方法：方法一：设e b t =，………………………………………………………………………………………8分 因为0b >，所以1t >，且ln b t =．所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-． (9)分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >， 则()12ln h t t t t t'=-+()1t >．………………………………………………………………………10分 令()12ln u t t t t t=-+()1t >， 则()212ln 1u t t t'=+-． 当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t'=+->，………………………………11分 所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10u t u >=，即()0h t '>，…………………………………………………………………12分 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=．…………………………………………………………………………………13分 因为当1t >时，210t ->， 所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．…………………………………………………………………14分方法二：由①得0x ()221+e 11e b b b --=--． 设2eb t -=， (8)分 因为0b >，所以01t <<，且ln 2t b =-． 于是21ln b t -=，……………………………………………………………………………………………9分 所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭．…………………………………………………………10分 由（1）知当12a =时，()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数，…………………………11分 所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+， 即ln 2t <11t t -+． …………………………………………………………………………………………12分 即210ln 1t t t++>-，………………………………………………………………………………………13分 已知0b >，所以0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+>⎪-⎝⎭．…………………………………………………………………………14分第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
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一.选择题.(1) 已知R c b a ∈,,，那么下列命题中正确的是 （ ）A ．若b a >，则22bc ac > B ．若cbc a >，则b a > C ．若033<>ab b a 且，则b a 11> D ．若022>>ab b a 且，则ba 11< (2) 设a>1，0<b<1，则ab b a log log +的取值范围为（ ）A ．[)+∞,2B ．),2(+∞C ．)2,(--∞D ．(]2,-∞-(3) 设x ＞0，P ＝2x+2－x ，Q ＝(sinx+cosx)2，则（ ）A ．P≥QB ．P≤QC ．P ＞QD ．P ＜Q (4)命题p:若a 、b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件. 命题q:函数y=21--x 的定义域是(∞,1][⋃3,+∞).则 ( )A ． “p 或q”为假B ． “p 且q”为真C ． p 真q 假D ． p 假q 真(5)如果a ，b ，c 满足c<b<a ，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是 ( )A ．ab>acB ．c(ba)>0C ．cb2<ab2D ．ac(ac)<0(6)若a 、b 为实数, 且a+b=2, 则3a+3b 的最小值为 ( )A ．18B ．6C ．23D ．243(7) 设p+q=1, p>0, q>0, 则不等式1)(log <pq x 成立的一个充分条件是 ( )A ． 0<x<41 B ．41<x<21 C ．21<x<1 D ． x>1 (8) 设42,=+∈+y x R y x 且，则y x lg lg +的最大值是（ ） A ．2lg - B ．2lg C ．2lg 2D ．2 (9) 设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立的是 ( )A ．)11)((b a b a ++≥4B ．33b a +≥22abC ．222++b a ≥b a 22+ D ．b a -≥b a -(10) 设0<x<1,a 、b 为正常数，则xb x a -+122的最小值为（ ）A ．4abB ．)(222b a +C ．2)(b a + D ．2)(b a -二.填空题(11) 设a<0，－1<b<0，则a,ab,ab2从小到大的顺序为__________(12) 设1(,=+-∈+）且y x xy R y x ，则x+y 的最小值为_________ (13)若b a 11<<0,已知下列不等式:①a+b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④baa b +>2, 其中正确的不等式的序号为 .(14)设集合{}φ≠<-+-m x x x 43|，则m 的取值范围是. 三.解答题(15) 已知01<<-a ，21a A +=，21a B -=，aC +=11，试比较A 、B 、C 的大小.(16) 已知正数x 、y 满足yxy x 11,12+=+求的最小值.: 210 x y x y +=>解且、11112x y xyxy∴+=++≥（）（）,24)11(min =+∴yx 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．(17) 已知3201,log (1),log (1),,a a a a x a y a x y >≠=+=+且试比较的大小.(18) 已知函数)(x f 在R 上是增函数，R b a ∈，.（1）求证：如果)()()()(0b f a f b f a f b a -+-≥+≥+，那么； （2）判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；解不等式)2()11(lg )2()11(lg -+-+≥++-f xxf f x x f .参考答案一选择题:1.C[解析]：A ．若b a >，则22bc ac >（错），若c=0，则A 不成立；B ．若cbc a >，则b a > （错）， 若c<0，则B 不成立； C ．若033<>ab b a 且，则b a 11>（对），若033<>ab b a 且，则⎩⎨⎧>>00b aD ．若022>>ab b a 且，则b a 11<（错），若⎩⎨⎧<<00b a ，则D 不成立。
2.D [解析]：∵∴a>1，0<b<1，∴.0log 1log ,0log <=<ba b a b a 设t a t b b a 1log ,log ==，则21≥-+-t t ；则a b b a log log +=t t 1+=2)1(-≤-+--tt 3.C[解析]： 2x+2－x 2222=⋅≥-xx（当且仅当x=0,等号成立），而x ＞0，故P>2，Q ＝(sinx+cosx)2=1+sin2x ，而 sin2x 1≤，故Q 2≤4.D[解析]：取a=1,b=－1，可验证p 假；由21--x 0≥，可得∈x (∞,1][⋃3,+∞)，故q 真5.C[解析]：取b=0，可验证C 不成立。
6.B [解析]：∵a+b=2, ∴3a+3b 63232332=⨯==⋅≥+b a b a7.D[解析]：∵p+q=1, p>0, q>0,则由pq q p ≥+2，得41≤pq 若 x>1，则0)(log <pq x ，则1)(log <pq x ，故选D 。
8.B[解析]：设42,=+∈+y x R y x 且，则2222=+≤⋅y x y x ，即2≤xy故y x lg lg +=2lg )lg(≤xy9.B [解析]：∵a ＞0, b ＞0，∴A ．)11)((ba b a ++≥ab ab 122⋅≥4 故A 恒成立， B ．33b a +≥22ab ，取32,21==b a ，则B 不成立C ．222++b a －（b a 22+）=0)1()1(22≥-+-b a 故C 恒成立D ．若b a <则b a -≥b a -恒成立若b a ≥,则--2)(b a 2)(b a -=2ab ≥0，∴b a -≥b a -故D 恒成立10.C[解析]：设α2cos =x ，则α2sin 1=-xxb x a -+122=ab b a b a 2)cot 1()tan 1(222222++≥+++αα 二填空题: 11. a ＜ab2＜ab[解析]：0)1(0)1(222>-=->-=-b a a ab b ab ab ab 12. 222+ [解析]：∵2)2(y x xy +≤∴1)(4)(2≥+-+y x y x ， x+y≥222+ 13.①,④ [解析]：∵ba 11<<0 , ∴b<a <0,故②③错。
14. m>1 [解析]：∵{}φ≠<-+-m x x x 43|，∴m x x <-+-|4||3|有解即min |)4||3(|-+->x x m ，故m>1．三解答题:(15)证：不妨设21-=a ，则45=A ，43=B ，2=C 由此猜想C A B <<由01<<-a 得01>+a ，02)1()1(222>=--+=-a a a B A 得B A >，0143)21(1)1()1(11222>+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+++-=+-+=-aa a a a a a a a A C 得A C >，即得C A B <<.(16) 解：错误. ；1211xyy x≥+ 等号当且仅当x=y 时成立，又； 222xy y x ≥+ 等号当且仅当x=2y 时成立，而①②的等号同时成立是不可能的. 正确解法：因为x >0，y>0，且x +2y=1，223223232x 2y x 11+=⋅+≥++=+++=+∴yx x y y x x y y yx y x ，当且仅当 1,2y x 22=+==，又即y x y xx y ∴这时⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22212y x (18) （1）证明：当，，，且时，)()()()(0a f b f b f a f a b b a b a -≥-≥∴-≥-≥≥+).()()()(b f a f b f a f -+-≥+∴（2）中命题的逆命题为：0)()()()(≥+⇒-+-≥+b a b f a f b f a f ①①的逆否命题是：)()()()(0b f a f b f a f b a -+-<+⇒<+②仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题的逆命题成立. 根据（2），所解不等式等价于1019910211lg ≤<-≥++-x x x ，解得 (17解)1()1()1(223-=+-+a a a a ,∴（1）当a>1时，a －1>0 ∴),0(log ,1123+∞=+>+在因x y a a a 上递增，∴.y x >（2）当0<a<1时，a －1<0 ∴),0(log ,1123+∞=+<+在因x y a a a 上递减，∴.y x > 综上（1）（2）知：x>y.第五章 平面向量第二节 平面向量基本定理及坐标表示班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.【南昌市三校联考（南昌一中、南昌十中、南铁一中）高三试卷】已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB →B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →2.【新高考单科综合调研卷（浙江卷）文科数学（二）】设向量a ,b 均为单位向量，且|a ＋b |1=，则a 与b 夹角为（ ） A ．3πB ．2πC ．23πD ．34π 3. 【上海市虹口区高三5月模拟考试】已知(2,1)a =，(1,)b k =-,如果a ∥b ，则实数k 的值等于（ ） A.2B.2- C.12D.12- 4. 【高考数学考前复习】设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“2x ＝”是“a ∥b”的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.【·惠州调研】已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q|的值为( )A.5B.13 C ．5 D ．136.【拉萨中学高三年级（）第三次月考试卷文科数学】已知→a =（2，1），→b =（x ，21-），且→a //→b ，则x =( )A ．1B ．2C ．3D ．57.【改编自广东卷】已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（ ）A. 2B. 1C.D.8.【乳山市高一下学期中】设向量)20cos ,20(sin ),25sin ,25(cos o o o o b a ==→→,若→→→+=b t a c (t R),则2()c 的最小值为( )A ．2 B.1 C.22D.21 9.【高考数学（理）一轮】已知△ABC 的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为AD ，则点D 的坐标为( )A ．(－95，75) B ．(92，－75)C ．(95，75) D ．(－92，－75)10.【实验中学第一次诊断性考试】已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足λ+=OA OP (sin sin AB AC AB BAC C+)(()0λ≥，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心11.【南昌市三校联考（南昌一中、南昌十中、南铁一中）高三试卷，理8】已知△ABC 的三内角A, B, C 所对边的长依次为a,b,c ，M 为该三角形所在平面内的一点，若a MA ＋b MB ＋c MC ＝0，则M 是△ABC 的（ ）A ．内心B ．重心C ．垂心D ．外心12. 【高考湖南卷】在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()03B ，,()30C ，，动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.19-119+1⎡⎤⎣⎦，C.2327⎡⎣， D.7-17+1⎤⎦， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。