(华师大版)九年级数学上册课件：211二次根式
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华师大版九年级数学上册课件：21.1 二次根式 (共14张PPT)
名师讲解
考点一：二次根式有意义的条件 【例1】当x是多少时， 3x 1在实数范围内有意义？ 【分析】 由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于
或等于0，所以当3x-1≥0时， 3x 1 才有意义. 【解答】 由3x-1≥0,得x≥ 1 .
3
名师讲解
【例2】若x、y满足关系式y= 的值.
，试求2x+y
【分析】本题要求2x+y的值，首先要分别求出x、y的值，而 要求出x、y的值就必须以x-1≥0且1-x≥0为突破口.
【解答】依题意得x-1≥0且1-x≥0，故有x-1=0，所以x=1, 所以y=3，因此2x+y=5.
名师讲解
考点二：利用二次根式的两个性质进行化简 【例3】化简 x2 6x 9 +|2-x|，其中2<x<3. 【分析】 记清二次根式的两个性质，然后准确运用即可. 【解答】
跟踪训练
D C
跟踪训练
A 0
ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
解：（1）3.（2）4.（3）-9. （4）6.（5）2.
名师讲解
考点三：二次根式性质的综合运用
【例4】已知 27m是整数，求满足条件的最小正整数m的值. 【分析】正确解答本题需准确理解有理数和无理数的概念. 【解答】∵ 27m 是整数，
∴27m是一个完全平方数. 又∵27m=9×3m=32×3m， ∴最小正整数m的值为3. 此时， 27m 27 3 81 =9.
（2）
a2
a -a
a 0, a 0.
轻松预习
3. a 2 与 a2 的区别 （1）a的取值范围不同： a 2中的a必须满足 a≥0 ，而
(华师大)九年级数学上册课件：21.1 二次根式
2 a 先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a a≥0
3.从运算结果来看:
2 a =a
a (a≥0)
a2 =∣a∣ =
-a(a＜0)
a2 先平方,后开方
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
练一练 化简
(1) 16
(3) (7)2
解： (1) 16 42 4
(3) (7)2 7
(2) (5)2
(4) 72
(2) (5)2 52 5
(4) 72 1 7
当堂练习
1. 当x取何值时, x 1 二次根式有意义?
解：由x-1≥0，得 x≥1 当x≥1时， x 1在实数范围内有意义.
试求当x=5时，二次根式 x 1 的值.
当x=5时， x 1 5 1 4 2.
(6) a2 1 ,
(7) 3 5 .
解析：（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中a 2+1属于
“非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy<0,
（7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实
数范围内，负数没有平方根.
二 二次根式的性质1及应用
1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据．
第21章 二次根式
21.1 二次根式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解二次根式的概念; 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点) 3.探索二次根式的性质; (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
导入新课
观察与思考 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是 a . 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0. 用 a (a≥0)表示.
华东师大版九年级数学上册211二次根式课件
分析：二次根式应满足两个条件：第一， 有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数 或0.
12
例1：下列式子，哪些是二次根式，哪些
不是二次根式？
2， 33， 1, xx0, 0,42, 2, 1 ,
x
xy
xyx0,y0.
解：二次根式有：
2 ， x x 0 ,0 , 2 ,x y x 0 ,y 0 ；
18
1.下列式子哪些是二次根式？
32,4， -12， -x, x21,35, xyx,y异 号 ,
2xx2. 3 2, x21, 2xx2.
19
2. x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（ 1 ） x3 （ ;2 ） 2x5 （ ;3 ） 1（ ;4 ）5. x 1x
x=3 3 -2 = 1 3
28
2 二次根式的性质
29
复习引入
30
说一说
1.什么叫二次根式？
二次根式：形如 aa 0 的式子叫做
二次根式.
31
说一说
2.当a 0时，a 叫什么？当 a 0 时， a 有意义吗？
叫做二次根式 没有意义
32
说一说
3. 2 2 ， 2 2 表示的意义分别是什么？
不是二次根式的有：
3 3，, 1 , 4 2, 1 . x x y
13
交流归纳
从形式上看，一个代数式是二次根式必 须具备以下两个条件：
（1）必须有二次根号； （2）被开方数不能小于0.
14
例2：x 取何值时，下列二次根式有意义？
（ 1） x1（ ; 2）1（ ; 3） 1-x2.
1-2x
26
1.下列各式是二次根式的是 （ C ）
华东师大版九年级上册 数学 课件 21.1 二次根式)
x取何值时,下列二次根式有意义?
x0
(3) 4 x 2 x 为 全 体 实 数 (4) 1 x
(5) x3 x 0
1 (6) x2
你有什么收获？
①被开方数不小于零；
x0
x0
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2合1.1作二探次究根一式
知识点三.计算与归纳: a2＝|a|
4
(1)计算： 42＝____4____， 452＝____5____．
历二次根式的概念，性质的发生过程；发 展学生合情推理能力和演绎推理能力。
知识回顾
什么叫做平方根?
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根， 统称算术平方根。
用 a (a 0)表 示 .
21.1 二次根式
新知梳理
知识点1: 二次根式的概念
表示二次根号.
课堂练习
练习1、根据对二次根式的理解，请同学们说 一个二次根式。
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0)
a2
=
1、练习册1-6题 2、书课后题1-3
谢谢
我们大部份的生命都浪费在文字语言的捉摸上。 既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 危机二字的正解是危险和机会，但大多数人只看到危险，鲜有人看到机会，所以成功赚到大钱的人并不多。 只要面对现实，你才能超越现实。 成功之前我们要做应该做的事情，成功之后我们才可以做喜欢做的事情。 竞争，其实就是一种变相的友谊，在对手的帮助下提高你自己，害怕竞争的人已经输给了对手，注定难取得大的成就。 只有不想做的，没有做不到的。 让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。 我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。 文质彬彬，然后君子。——《论语·雍也》 友谊使欢乐倍增，悲痛锐减。——培根 人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到达尽头，而在乎你有没有跑完全程。 孤单寂寞与被遗弃感是最可怕的贫穷。 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 人与人的友谊，把多数人的心灵结合在一起，由于这种可贵的联系，是温柔甜蜜的。——奥古斯汀 人间事往往如此，当时提起痛不欲生，几年之后，也不过是一场回忆而已。 希望是生命的源泉，失去它生命就会枯萎。 利人乎即为，不利人乎即止。——《 墨子》 让死人去埋葬死人吧，我们既然有生命，我们就应当活下去，而且要活得幸福。 再高深的学问也是从字母学起的。
x0
(3) 4 x 2 x 为 全 体 实 数 (4) 1 x
(5) x3 x 0
1 (6) x2
你有什么收获？
①被开方数不小于零；
x0
x0
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2合1.1作二探次究根一式
知识点三.计算与归纳: a2＝|a|
4
(1)计算： 42＝____4____， 452＝____5____．
历二次根式的概念，性质的发生过程；发 展学生合情推理能力和演绎推理能力。
知识回顾
什么叫做平方根?
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根， 统称算术平方根。
用 a (a 0)表 示 .
21.1 二次根式
新知梳理
知识点1: 二次根式的概念
表示二次根号.
课堂练习
练习1、根据对二次根式的理解，请同学们说 一个二次根式。
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0)
a2
=
1、练习册1-6题 2、书课后题1-3
谢谢
我们大部份的生命都浪费在文字语言的捉摸上。 既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 危机二字的正解是危险和机会，但大多数人只看到危险，鲜有人看到机会，所以成功赚到大钱的人并不多。 只要面对现实，你才能超越现实。 成功之前我们要做应该做的事情，成功之后我们才可以做喜欢做的事情。 竞争，其实就是一种变相的友谊，在对手的帮助下提高你自己，害怕竞争的人已经输给了对手，注定难取得大的成就。 只有不想做的，没有做不到的。 让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。 我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。 文质彬彬，然后君子。——《论语·雍也》 友谊使欢乐倍增，悲痛锐减。——培根 人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到达尽头，而在乎你有没有跑完全程。 孤单寂寞与被遗弃感是最可怕的贫穷。 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 人与人的友谊，把多数人的心灵结合在一起，由于这种可贵的联系，是温柔甜蜜的。——奥古斯汀 人间事往往如此，当时提起痛不欲生，几年之后，也不过是一场回忆而已。 希望是生命的源泉，失去它生命就会枯萎。 利人乎即为，不利人乎即止。——《 墨子》 让死人去埋葬死人吧，我们既然有生命，我们就应当活下去，而且要活得幸福。 再高深的学问也是从字母学起的。
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件 最新课件PPT
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
1
1
2
2
2 1
2 x 12 (x 0) x 1
3 x2 2xy y2 (x y) x y2
yx
思考
( a )2与 a2 有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a 2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
课后反思：我的收获，我的困惑
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风 自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高 。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。 你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律 的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净 赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去 少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比 是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你 淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。 有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前， 在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算 他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚 当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去 学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是 业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热 播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施 公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
1
1
2
2
2 1
2 x 12 (x 0) x 1
3 x2 2xy y2 (x y) x y2
yx
思考
( a )2与 a2 有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a 2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
课后反思：我的收获，我的困惑
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风 自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高 。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。 你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律 的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净 赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去 少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比 是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你 淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。 有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前， 在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算 他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚 当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去 学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是 业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热 播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施 公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是
秋九年级数学华师大版上册课件：21.1 二次根式 (共14张PPT)
【例 2】已知 a＋3＋(b－2)2＝0，则(a＋b)2015 的值为( A )
A．－1
B．1
C．52014
D．－52014
【思路分析】因为 a＋3≥0，(b－2)2≥0，且这两个非负数的和为 0，所以每
a＋3＝0
a＝－3
个非负数都等于 0，即b－2＝0 ，解得b＝2 ，所以(a＋b)2015＝(－3＋2)2015.
19．化简： (1)(－13 3)2＋ －532； 解：原式＝(－13)2×( 3)2＋53 ＝19×3＋53 ＝2
(2) 49－ 52－(2 2)2＋( 12)0.
解：原式＝7－5－8＋1 ＝－5
20．已知 a2＋ b－2＝4a－4.求 ab的值．
解：因为 a2＋ b－2＝4a－4，所以 a2－4a＋4＋ b－2＝0.又因为(a－2)2≥0， b－2≥0，所以ab－ －22＝ ＝00， ， 所以ab＝ ＝22， ， 所以 ab＝ 2×2＝ 22＝2
1．若二次根式 a－2有意义，则 a 的取值范围是( A )
A．a≥2
B．a≤2
C．a＞2
D．a≠2
2．计算：(1)(
32)2＝
2 3
；(2)(12
2)2＝
1 2
.
3．计算：(1) －72＝ 7 ；(2) 3－22＝ 2－ 3 .
4．如果n m－n是二次根式，那么 m、n 应满足的条件是 m≥n且n＝2 .
5．式子 x1－1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( C )
A．x＜1
B．x≤1
C．x＞1
D．x≥1
6．下列各式中，正确的是( B )
A. －32＝－3
B．－ 32＝－3
C. ±32＝±3
华师大版九年级上册数学课件(第21章 二次根式)
在第11章我们学习了平方根和算术平方根的意义， 引进了一个记号
a
a 表示什么？
a应满足什么 条件？
知1－导
知识点
1
二次根式的定义
回 顾
当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正 数a的正的平方根． 当a是零时， a 等于0，它表示零的平方根，
也叫做零的算术平方根．
当a是负数时， a 没有意义．
方根是 一个非负数；
2. 性质2： a ＝a(a≥0)，即一个非负数的算术平
2
方根的平方等于它本身； 3. 性质3： （1）思考： a 2 等于什么？
知3－讲
我们不妨取a的一些值，如2、－2、3、－3等，分 别计算对应的的
a 2 值，看看有什么规律：
22 4 2;
( 2)2 4 2;
当a≠4时，－(a－4)2＜0，∴ (a 4)2 不是二次根式． ∴
(a 4)2 不一定是二次根式．
知1－讲
(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴
x2 2 x 2 是二次根式．
x 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴
知1－讲
总
二次根式的识别方法：
结
知1－讲
1 1 (5)当x＝－3时，( x 3)2 无意义， ∴ ( x 3)2也无意义； 1 1 0 当x≠－3时， ，∴ 是二次根式． 2 ( x 3)2 ( x 3) 1 ∴ ( x 3)2 不一定是二次根式．
2 (6)当a＝4，即a－4＝0时， (a 4) 是二次根式；
6. 它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数 都必须是非负数；
知2－讲
(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么 它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负 数；分式的分母不等于0； (3)如果一个式子中含有零指数或负整数指数，那么它 有意义的条件是：底数不为0.
21.1 二次根式-华师大版数学九年级上册课件
概括归纳
a(a>0)表示非负数a的算术平方根，也就是说 a (a≥0) 是一个非负数，它的平方等于a，即有: （1） a ≥0 (a≥0); （2）( a )²= a(a≥0). 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式. 注意：在 a 中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的 被开方数必须是非负数.
课堂小结
二 次 根 式
定义 a（a≥0）
a ≥ 0(a ≥ 0)
（即 a 表示一个非负数）
性质
2
a aa≥0
a2a a ≥ 0来自aa＜0谢谢观看
第21章 二次根式
21.1 二次根式
学习目标
1. 理解二次根式的概念； 2. 会确定二次根式有意义时字母的取值范围； (重点) 3. 探索二次根式的性质； (难点) 4. 运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
导入新课
问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于 a，则这个数就叫做 a 的平方根.
回顾 当a是正数时, a 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根. 当a是零时, a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根. 当a是负数时， a没有意义.
请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式 a的认识！ 1. a 既可表示开方运算，也可表示运算的结果. 2. 二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子.
1.计算: (1)( 8)²;
=8
(2) ( 9)²; =9
(3) 81; = 9² =9
(4) 100 =10
2. x是怎样的实数时，下列二次根式有意义?
(1) x＋3; ∵ x＋3有意义; ∴x＋3≥0 ，∴ x≥-3， ∴当x≥-3时，二次根式 x＋3有意义. (2) 2x－5; ∵ 2x－5有意义; ∴ 2x－5 ≥0 ，∴ x≥52， ∴当x≥52时，二次根式 2x－5有意义.
华师版九年级数学上册 二次根式的概念ppt
$sqrt{2}$ $sqrt[3]{8}$ $sqrt{a}$ (a > 0)
基础练习题
$sqrt{ab}$ (a > 0, b > 0)
填空题：化简二次根式$sqrt{28}$的结果是____。
提高练习题
计算题
求$sqrt{2} times sqrt{3}$的值。
化简题
平方根
$sqrt{a^2} = |a|$，表示$a$的绝 对值。
算术平方根
$sqrt{a^2} = a$（当$a geq 0$）， 表示非负数$a$的平方根。
02
二次根式的化简
根号下是一个平方数
直接开平法
如果被开方数是平方数，则直接开平方得到结果。例如： $sqrt{16} = 4$。
乘除法
如果被开方数是平方数，可以通过乘除法简化。例如： $sqrt{25/4} = sqrt{25} div sqrt{4} = 5 div 2 = 2.5$。
华师版九年级数学上册 二次根 式的概念
目
CONTENCT
录
• 二次根式的定义与性质 • 二次根式的化简 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 练习与巩固
01
二次根式的定义与性质
定义
二次根式是指形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的代数式，其中 "$sqrt{}$"表示开平方运算。
化简结果
在完成混合运算后，应将结果 化简为最简形式，确保结果的 准确性和简洁性。
04
二次根式的应用
解决实际问题
计算物体的高度或长度
通过已知的长度或高度与影子的比例 关系，利用二次根式计算未知的高度 或长度。
求解最值问题
求解面积问题
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件 _2优秀课件PPT
• 例1 当x取什么值时，下列各式在实数 范围内有意义？
(1) x 3 (2) 3 2 x
(3) 1 x 2
(4) b2
(5) ( x 1)2 (6) x x
a 0（a 0）性质的应用
例2（1）若 a - 5 b 2 0，求a、b的值； （2）若 2x 3 y 5 x 2 y 3 0，
比较分析
• 计算下列各式的值：
(1) 22 __2__，(2)2 __2__； (2) 32 __3__，(3)2 __3__； (3) 02 __0__ .
观察分析：() a2中a的取值有没有限制？
（2）当a 0时，a2 __a__； 当a 0时，a2 __-_a_ .
知识点概括
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
(1) x2 4x 4 (x 2)；
(2)当2 x 3时，化简： x2 4x 4 x2 6x 9.
例7 化简：
实数a、b在数轴上的位置如图所 示，
化简 a2 a b .
a
0b
课堂小结
• 1、二次根式的概念； • 2、二次根式的性质； • 3、二次根式的 化简.
a2
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
华东师大版九年级上册 数学 课件 21.1 二次根式(21张PPT))
21.1 ， 5a b 2 ，4 等是 整式，
像 2x ，1 ， 2
y z a
x 6
等是分式 ，
那么 x ， 2x 3y ， 1 等既不是
6
整式也不是分式，那么它们是什么呢？
教学目标：
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式；
2、掌握二次根式有意义的条件； 3、掌握二次根式的基本性质； 4、通过计算、观察、类比、归纳、猜想，经
练习2、下列各式是二次根式吗?
(1) 32,
(4) 12
(2) 6,
(3) 1,
2
(5) 3
(6) - m
m 0
(8) x y x,y异号 ,
21.1 二次根式
新知梳理
知识点2:二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足 a≥0，即 二次根式的被开方数必须是非负数．
课堂练习3
归纳：当 a >0 时， a2＝________．
4
(2)计算： （－4）2＝____4____， －452＝___5_____.
归纳：当 a <0 时， a2＝________．
(3)计算： 02＝ ____0____． 归纳：当 a＝0 时， a2＝____0____．
综上，试概括你发现的结论．
x取何值时,下列二次根式有意义?
x0
(3) 4 x 2 x 为 全 体 实 数 (4) 1 x
(5) x3 x 0
1 (6) x2
你有什么收获？
①被开方数不小于零；
x0
x0
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2合1.1作二探次究根一式
知识点三.计算与归纳: a2＝|a|
4
像 2x ，1 ， 2
y z a
x 6
等是分式 ，
那么 x ， 2x 3y ， 1 等既不是
6
整式也不是分式，那么它们是什么呢？
教学目标：
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式；
2、掌握二次根式有意义的条件； 3、掌握二次根式的基本性质； 4、通过计算、观察、类比、归纳、猜想，经
练习2、下列各式是二次根式吗?
(1) 32,
(4) 12
(2) 6,
(3) 1,
2
(5) 3
(6) - m
m 0
(8) x y x,y异号 ,
21.1 二次根式
新知梳理
知识点2:二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足 a≥0，即 二次根式的被开方数必须是非负数．
课堂练习3
归纳：当 a >0 时， a2＝________．
4
(2)计算： （－4）2＝____4____， －452＝___5_____.
归纳：当 a <0 时， a2＝________．
(3)计算： 02＝ ____0____． 归纳：当 a＝0 时， a2＝____0____．
综上，试概括你发现的结论．
x取何值时,下列二次根式有意义?
x0
(3) 4 x 2 x 为 全 体 实 数 (4) 1 x
(5) x3 x 0
1 (6) x2
你有什么收获？
①被开方数不小于零；
x0
x0
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2合1.1作二探次究根一式
知识点三.计算与归纳: a2＝|a|
4
华东师大版九年级上册 数学 课件 21.1 二次根式)
归纳：当 a >0 时， a2＝________．
4
(2)计算： （－4）2＝____4____， －452＝___5_____.
归纳：当 a <0 时， a2＝________．
(3)计算： 02＝ ____0____． 归纳：当 a＝0 时， a2＝____0____．
综上，试概括你发现的结论．
从长远利益考虑，让孩子从小适度地知道一点忧愁，品尝一点磨难，并非坏事，这对培养孩子的承受力和意志，对孩子的健康成长或许更有好 处。——东方 有人将你从高处推下的时候恰恰是你展翅高飞的最佳时机。 生命之长短殊不重要，只要你活得快乐，在有生之年做些有意义的事，便已足够。 人而无信，不知其可也。——《论语·为政》 太过于欣赏自己的人，不会去欣赏别人的优点。 因果不曾亏欠过我们什么，所以请不要抱怨。 燕雀安知鸿鹄之志哉。 来是偶然的，走是必然的。所以你必须随缘不变，不变随缘。 生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。——吕凯特 经验不是发生在一个人身上的事件，而是一个人如何看待发生在他身上的事。 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下!
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0)
a2
=
1、练习册1-6题 2、书课后题1-3
谢谢
用最少的悔恨面对过去。 好习惯的养成，在于不受坏习惯的诱惑。 每件事最后都会是好事。如果不是好事，说明还没到最后。 喜欢花的人是会去摘花的，然而爱花的人则会去浇水。 情感和愿望是人类一切努力和创造背后的动力，不管呈现在我们面前的这种努力和创造外表上是多么高超。——爱因斯坦 人生志气立，所贵功业昌。 知道看人背后的是君子；知道背后看人的是小人。 有智者立长志，无志者长立志。 活着不是靠泪水搏取同情，而是靠汗水获得掌声。
4
(2)计算： （－4）2＝____4____， －452＝___5_____.
归纳：当 a <0 时， a2＝________．
(3)计算： 02＝ ____0____． 归纳：当 a＝0 时， a2＝____0____．
综上，试概括你发现的结论．
从长远利益考虑，让孩子从小适度地知道一点忧愁，品尝一点磨难，并非坏事，这对培养孩子的承受力和意志，对孩子的健康成长或许更有好 处。——东方 有人将你从高处推下的时候恰恰是你展翅高飞的最佳时机。 生命之长短殊不重要，只要你活得快乐，在有生之年做些有意义的事，便已足够。 人而无信，不知其可也。——《论语·为政》 太过于欣赏自己的人，不会去欣赏别人的优点。 因果不曾亏欠过我们什么，所以请不要抱怨。 燕雀安知鸿鹄之志哉。 来是偶然的，走是必然的。所以你必须随缘不变，不变随缘。 生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。——吕凯特 经验不是发生在一个人身上的事件，而是一个人如何看待发生在他身上的事。 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下!
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0)
a2
=
1、练习册1-6题 2、书课后题1-3
谢谢
用最少的悔恨面对过去。 好习惯的养成，在于不受坏习惯的诱惑。 每件事最后都会是好事。如果不是好事，说明还没到最后。 喜欢花的人是会去摘花的，然而爱花的人则会去浇水。 情感和愿望是人类一切努力和创造背后的动力，不管呈现在我们面前的这种努力和创造外表上是多么高超。——爱因斯坦 人生志气立，所贵功业昌。 知道看人背后的是君子；知道背后看人的是小人。 有智者立长志，无志者长立志。 活着不是靠泪水搏取同情，而是靠汗水获得掌声。
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件 (1)
第21章
21.1 二次根式
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; 3. 25 的平方根是 ± 5 ;
1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， 表a 示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时， 没a 有意义.
a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
a a 0是一个非负数，即 a 0a 0
a 2 a 0等于什么？
2
a aa 0
性质1：
1 a 0a 0
2
2 a aa 0
练习:
( 13)2 13
( 16)2 16
(
1 )2 3
1 3
( 7)2 7
二次根式概念
形如 （a a 0）的式子叫二次根式.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0),3 8, a (a 0)
Ø例 要使式子 x 1 有意义，字母x的取值必
须满足什么条件？
分析：要使式子 x 有1意义，必须x -1≥0，
即x ≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0, ∴x≥1
x是怎样的数时,下列各式在实数范 围内有意义?
(1) x 3; (2) 2 4x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算：
(1) 9 3 (2) 64 8
(3) 4 2 93
(4) (6)20).
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。
21.1 二次根式
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; 3. 25 的平方根是 ± 5 ;
1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， 表a 示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时， 没a 有意义.
a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
a a 0是一个非负数，即 a 0a 0
a 2 a 0等于什么？
2
a aa 0
性质1：
1 a 0a 0
2
2 a aa 0
练习:
( 13)2 13
( 16)2 16
(
1 )2 3
1 3
( 7)2 7
二次根式概念
形如 （a a 0）的式子叫二次根式.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0),3 8, a (a 0)
Ø例 要使式子 x 1 有意义，字母x的取值必
须满足什么条件？
分析：要使式子 x 有1意义，必须x -1≥0，
即x ≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0, ∴x≥1
x是怎样的数时,下列各式在实数范 围内有意义?
(1) x 3; (2) 2 4x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算：
(1) 9 3 (2) 64 8
(3) 4 2 93
(4) (6)20).
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。