人教版数学高一-A版必修1练习 第2课时 分段函数及映射
高中数学 1.2.2第2课时 分段函数、映射课时作业 新人
活页作业(九) 分段函数、映射知识点及角度难易度及题号基础中档稍难分段函数4、67、912分段函数的图象38 11映射的概念及应用1、2、5 101．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能构成M到P 的映射的是( )A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝x D．f：x→y＝16x解析：由映射定义判断，选项C中，x＝6时，y＝6∉P.答案：C2．在给定映射f：A→B即f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)的条件下，与B中元素⎝⎛⎭⎪⎫16，－16对应的A中元素是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫16，－136B．⎝⎛⎭⎪⎫13，－12或⎝⎛⎭⎪⎫－14，23C.⎝⎛⎭⎪⎫136，－16D．.⎝⎛⎭⎪⎫12，－13或⎝⎛⎭⎪⎫－23，14解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y＝16，xy＝－16，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝13，y＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x＝－14，y＝23.故选B.答案：B3．下列图象是函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x＜0x－1，x≥0的图象的是( )解析：由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有图象C符合．答案：C4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5，x ≥6，f x ＋2，x <6，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：f (3)＝f (5)＝f (7)＝7－5＝2. 答案：A5．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是________．解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x ＜0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，∴f (x )＝－x .综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，-1≤x <0－x ，0≤x ≤1答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤1.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1x 2＋x －2，x ＞1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2的值为________．解析：f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f 2＝14， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.答案：15167．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数解析式． (2)求f (－3)，f (1)的值． (3)若f (x )＝16，求x 的值．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去) 若x ＜1，则x 2＋2＝16， 解得x＝14(舍去)或x ＝－14. 综上，可得x ＝2或x ＝－14.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2 －1＜x ＜0，－12x 0≤x ＜2，3 x ≥2.则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3}解析：对f (x )来说，当－1＜x ＜0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x ＜2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D. 答案：D9．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a ＜b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＜1，2－x ，x ≥1画函数f (x )的图象，得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]10．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x2＋1)，求A中元素2在B中的对应元素和B中元素⎝⎛⎭⎪⎫32，54在A中的对应元素．解：将x＝2代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋1＝32，x2＋1＝54，得x＝12.所以2在B中的对应元素为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎪⎫32，54在A中的对应元素为12.11．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系，试写出y＝f(x)的函数解析式．解：当∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝0，30k1＋b1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k1＝115，b1＝0，∴y＝115x.当x∈(30,40)时，y＝2；当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k2＋b2＝2，60k2＋b2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k2＝110，b2＝－2，∴y＝110x－2.综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧115x，x∈[0，30]，2，x∈30，40，110x－2，x∈[40，60].12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象．(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围．(3)求f (x )的值域． 解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1. 所以f (x )的值域为[0,1]．1．对分段函数的三点认识(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样． (2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．(3)分段函数的图象应分段来作，它可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、一些线段或曲线段等．作图时，要特别注意各段两端点是用实点还是用空心圈表示．2．对映射概念的三点认识(1)映射包括非空集合A ，B 以及对应关系f ，其中集合A ，B 可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何非空的集合．(关键词：非空集合)(2)集合A ，B 是有先后顺序的，即A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的．(关键词：顺序)(3)集合A 中每一个元素在集合B 中必有唯一的元素和它对应(有，且唯一)，但允许B中元素在A中无元素与之相对应．(关键词：唯一)。
高一数学(新人教A版必修1)知识点梳理《1.2.2 分段函数与映射(第二课时)》(教师版) Word版含答案
第二课时分段函数与映射
●课标展示
．通过实例，体会分段函数的概念，了解分段函数在解决实际问题中的应用．
．理解映射的概念及表示法，会判断简单的对应是否为映射，理解函数是一种特殊的映射．
●温故知新
旧知再现
．函数图象的作法：、、成图．
．实数的绝对值＝(\\((≥()).
．下列各图中，不能是函数()图象的是()
[答案]
．已知(＋)＝＋，则()等于()
．．
．．
[答案]
．某班连续进行了次数学测试，其中方青同学成绩如表所示，在
这个函数中，定义域是次数，值域是分数.
新知导学
．分段函数
所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数．
[名师点拨]分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
．映射
()定义：一般地，设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的元素，在集合中都有的元素与之对应，那么就称对应：→为从集合到集合的一个映射．
[归纳总结]满足下列条件的对应：→为映射：
()，为非空集合；
()有对应法则；
()集合中的每一个元素在集合中均有唯一元素与之对应．
()映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合，均为时，从到的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
[归纳总结]函数新概念，记准三要素；定义域值域，关系式相连；。
高中数学人教版A版必修一第一单元1.2.2 第2课时 分段函数及映射
第2课时 分段函数及映射学习目标 1.理解分段函数的定义，并能解决简单的分段函数问题(重点).2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点)．预习教材P21－P22，完成下面问题： 知识点1 分段函数 分段函数的定义：(1)前提：在函数的定义域内；(2)条件：在自变量x 的不同取值范围内，有着不同的对应关系； (3)结论：这样的函数称为分段函数． 【预习评价】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≥02x ＋3，x <0，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析 由题意得f ⎝⎛⎭⎫12＝2×12－3＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1. 答案 －2 －1 知识点2 映射 映射的定义：【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)在映射的定义中，对于集合B 中的任意一个元素在集合A 中都有一个元素与之对应．( )(3)按照一定的对应关系，从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射是同一个映射．( )提示 (1)√ 根据映射的定义，当映射中的集合是非空数集时，该映射就是函数，否则不是函数；(2)× 映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”；(3)× 从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射不是同一个映射．题型一 映射的概念及应用【例1】 (1)下列对应是集合A 到集合B 上的映射的是( ) A ．A ＝N *，B ＝N *，f ：x →|x －3|B ．A ＝N *，B ＝{－1,1，－2}，f ：x →(－1)xC ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：x →3xD ．A ＝N *，B ＝R ，f ：x →x 的平方根(2)已知映射f ：A →B ，在f 的作用下，A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)，求：①A 中元素(－1,2)在f 作用下与之对应的B 中的元素． ②在映射f 作用下，B 中元素(1,1)对应A 中的元素．(1)解析 对于选项A ，由于A 中的元素3在对应关系f 的作用下与3的差的绝对值在B 中找不到象，所以不是映射；对于选项B ，对任意的正整数x ，在集合B 中有唯一的1或－1与之对应，符合映射的定义；对于选项C,0在f 下无意义，所以不是映射；对于选项D ，正整数在实数集R 中有两个平方根(互为相反数)与之对应，不满足映射的定义，故该对应不是映射．答案 B(2)解 ①由题意可知当x ＝－1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6， 4x ＋3y －1＝4×(－1)＋3×2－1＝1，故A 中元素(－1,2)在f 的作用下与之对应的B 中的元素是(－6,1)．②设在映射f 作用下，B 中元素(1,1)对应A 中的元素为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝1，解之得⎩⎨⎧x ＝417y ＝617，即A 中的元素为⎝⎛⎭⎫417，617. 规律方法 1.判断一个对应是不是映射的两个关键(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应． (2)B 中的对应元素是不是唯一的．2．求对应元素的两种类型及处理思路(映射f ：A →B )(1)若已知A 中的元素a ，求B 中与之对应的元素b ，这时只要将元素a 代入对应关系f 求解即可．(2)若已知B 中的元素b ，求A 中与之对应的元素a ，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个．【训练1】 下列各个对应中，构成映射的是( )解析 对于A ，集合M 中元素2在集合N 中无元素与之对应，对于C ，D ，均有M 中的一个元素与集合N 中的两个元素对应，不符合映射的定义，故选B ．答案 B典例迁移题型二 分段函数求值问题【例2】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52. 解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝3×⎝⎛⎭⎫－32＋5＝12. 【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值． 解 当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3，即a ＝－23∈(－2,2)，符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.【迁移2】 (变换所求)例2的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围．解 当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； 当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； 当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上可得，x 的取值范围是{x |x <2}． 规律方法 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．【训练2】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)． 当x 0>2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或x 0＝4. 答案 －6或4题型三 分段函数的图象及应用【例3】 (1)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为________．(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2)．①用分段函数的形式表示函数f (x )； ②画出函数f (x )的图象；③写出函数f (x )的值域．(1)解析 当0≤x ≤1时，f (x )＝－1； 当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝－1，2k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－2，此时f (x )＝x －2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.(2)解 ①当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.②函数f (x )的图象如图所示．③由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．规律方法 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式．(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．【训练3】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (－1≤x ≤1)，1 (x ＞1或x ＜－1)，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的值域．解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．课堂达标1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＋1，x <2，x －2，x ≥2，则f (0)＝( )A ．2B ．2C ．1D ．0解析 因为0∈(－∞，2)，所以f (0)＝102＋1＝1.答案 C2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D ．答案 D3．如图中所示的对应：其中构成映射的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由映射的定义知①②③是映射． 答案 A4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝________.解析 当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，即a ＝－4；当a >0时，f (a )＝a 2＝4，a ＝2(a ＝－2舍去)，故a ＝－4或a ＝2.答案 －4或25．作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞)的图象，并求y 的值域．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞). 值域为y ∈[－7,7]．图象如右图．课堂小结1．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．2．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”，而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集．于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．。
人教版数学高一A版必修一作业 .2分段函数及映射
1.2.2.2分段函数及映射一、选择题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f (f (f (－2)))等于( )A ．πB ．0C ．2D ．π＋1 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D解析 f (－2)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，得α＝2或α＝－2(舍)．∴α＝－4或α＝2. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 等于( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D 解析 f (－1)＝－(－1)＝1.∴f (a )＋f (－1)＝f (a )＋1＝2. ∴f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a ＝1，② 解①得a ＝1，解②得a ＝－1. ∴a ＝±1.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}考点 分段函数题点 分段函数的定义域、值域 答案 D解析 值域为[0,2]∪{3,2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，－1≤x ≤1，x ，x <－1或x >1，若f (f (x ))＝2，则x 的取值范围是( )A ．∅B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．{2}∪[－1,1]考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D解析 若x ∈[－1,1]，则f (x )＝2，f (f (x ))＝f (2)＝2，符合题意；若x >1，则f (x )＝x ，f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，此时只有x ＝2符合题意；若x <－1，则f (x )＝x ， f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，但因为x <－1，此时没有x 符合题意．故选D.6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．18立方米 D ．26立方米考点 分段函数 题点 分段函数应用问题 答案 A解析 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．7．著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则D ()D (x )等于( )A ．0B ．1C.⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为无理数，0，x 为有理数 D.⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 B解析 ∵D (x )∈{0,1}，∴D (x )为有理数，∴D ()D (x )＝1.8．若集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }，则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9 考点 映射的概念 题点 映射个数问题 答案 C解析 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ，b →e ⎩⎪⎨⎪⎧c →d ，c →e ，a →e ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ，b →e ⎩⎪⎨⎪⎧c →d ，c →e ，共8个．二、填空题9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的定义域是________．考点 分段函数题点 分段函数的定义域、值域 答案 [0，＋∞)解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．10．分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，－x ，x ≤0可以表示为f (x )＝|x |，分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤3，3，x >3可表示为f (x )＝12(x ＋3－|x －3|)，仿照上述式子，分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x <6，x ，x ≥6可表示为f (x )＝________.考点 题点答案 12(x ＋6＋|x －6|)解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤3，3，x >3可表示为f (x )＝12(x ＋3－|x －3|)，其分界点为3，从而式子中含有x ＋3与x －3，并通过|x －3|前面的“－”构造出需要的结果的形式．所以，对于分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x <6，x ，x ≥6，其分界点为6，故式子中应含有x ＋6与x －6.又x <6时f (x )＝6，故|x－6|的前面应取“＋”．因此f (x )＝12(x ＋6＋|x －6|)．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．考点 分段函数题点 分段函数与不等式结合 答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1. 三、解答题12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫－32，f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫92，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12； (2)若f (a )＝6，求a 的值． 考点 分段函数 题点 分段函数求值解 (1)∵－32∈(－∞，－1)，∴f ⎝⎛⎭⎫－32＝－2×⎝⎛⎭⎫－32＝3. ∵12∈[－1,1]，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2. 又2∈(1，＋∞)，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (2)＝2×2＝4. ∵92∈(1，＋∞)，∴f ⎝⎛⎭⎫92＝2×⎝⎛⎭⎫92＝9. (2)经观察可知a ∉[－1,1]，否则f (a )＝2.若a ∈(－∞，－1)，令－2a ＝6，得a ＝－3，符合题意； 若a ∈(1，＋∞)，令2a ＝6，得a ＝3，符合题意． ∴a 的值为－3或3.13．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．考点 分段函数 题点 分段函数应用问题 解 当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.四、探究与拓展14．若定义运算a⊙b＝⎩⎪⎨⎪⎧b，a≥b，a，a<b，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．考点分段函数题点分段函数的定义域、值域答案(－∞，1]解析由题意知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x≥1，x，x<1.画出图象如图所示：由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．15．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)>0；(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．考点分段函数题点分段函数的综合应用解若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；若－1<x≤3，则x－3≤0，x＋1>0，f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；若x>3，则x－3>0，x＋1>0，f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x≤－1，－2x＋2，－1<x≤3，－4，x>3.(1)当－1<x≤3时，－4≤－2x＋2<4.∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．(2)f (x )>0，即⎩⎨⎧x ≤－1，4>0①或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤3，－2x ＋2>0② 或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，－4>0，③ 解①得x ≤－1，解②得－1<x <1， 解③得x ∈∅.∴f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)． (3)f (x )的图象如下：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点．。
人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第一章 1.2 1.2.2 第二课时
第一章1.2 1.2.2第二课时 分段函数及映射课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( ) ①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ； ②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ； ③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.2．若A 为含三个元素的数集，B ＝{－1,3,5}，使得f ：x →2x －1是从A 到B 的映射，则A 等于( )A ．{－1,2,3}B ．{－1,0,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2}解析：选C 由映射的概念，A 中的元素在关系x →2x －1下，成为－1,3,5，则A ＝{0,2,3}．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f [f (3)]＝( )A.15B ．3C.23 D ．139解析：选D f (3)＝23，f [f (3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139. 4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2.若f (x )＝3，则x ＝( )A ．1B ．±3 C.32D ． 3解析：选D 若⎩⎨⎧ x ＋2＝3，x ≤－1，即⎩⎨⎧x ＝1，x ≤－1无解；若⎩⎨⎧ x 2＝3，－1＜x ＜2，⎩⎨⎧x ＝±3，－1＜x ＜2，所以x ＝ 3. 若⎩⎨⎧2x ＝3，x ≥2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，x ≥2无解．综上可知，x ＝ 3.5．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎨⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x ＝________.解析：由题意知，⎩⎨⎧ 5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－10.所以y ＝3x －10.由3x －10＝20，得x ＝10. 答案：107．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1＜x ＜2，x ＋1，x ≥2的值域是________．解析：当0≤x ≤1时，2x 2∈[0,2]；当x ≥2时，x ＋1≥3，所以函数f (x )的值域是[0,2]∪[3，＋∞)．答案：[0,2]∪[3，＋∞)8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元．则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 答案：139．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．解：∵当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ，f (0)＝c ，f (－1)＝(－1)2－b ＋c .∵f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎨⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－2.则f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1. 由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， ∴方程f (x )＝x 的解为－2,2.10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．解：当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4＜x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8＜x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4＜x ≤8，24－2x ，8＜x ≤12.‖层级二‖|应试能力达标|1．函数f (x )＝x 2－2|x |的图象是( )解析：选C f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，分段画出，应选C.2．(2019·兰州高一检测)已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析：选B g (π)＝0，f [g (π)]＝f (0)＝0.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x ＜0}解析：选A 当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1， 所以0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x ＜0，综上，x ≤1.∴解集为{x |x ≤1}，故选A. 4.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自点O 开始移动．设线段OE ＝x ，过点E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D解法一：当x∈[0,2]时，直线OA：y＝12x，此时S＝12·x·⎝⎛⎭⎪⎫x2＝x24；当x∈(2,3]时，直线AB：y＝3－x，S＝12·3·1－12·(3－x)·(3－x)＝－x22＋3x－3；当x>3时，S＝32.对比图形特征易得D符合．解法二：显然当x＝2时，面积为1，排除A，B，注意到x∈[0,2]时，面积增速越来越快，排除C.5．(2019·聊城高一检测)若定义运算a⊙b＝⎩⎨⎧b，a≥b，a，a＜b，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意知f(x)＝⎩⎨⎧2－x，x≥1，x，x＜1.画出图象为由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．答案：(－∞，1]6．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2，－1≤x＜0，－12x，0＜x＜2，3，x≥2，则f⎩⎨⎧⎭⎬⎫f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝⎛⎭⎪⎫－34＝________.解析：∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12，而0<12<2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝32.答案：327．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则实数a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－348．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0＜12，且f (x 0)＝x 0＋12， 又12≤x 0＋12＜1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12∈B ，所以f [f (x 0)]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0，又f [f (x 0)]∈A ， 所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14<x 0≤12，又0≤x 0＜12， 所以14＜x 0＜12.由Ruize收集整理。
高中数学 1.2.2第2课时分段函数及映射课时作业 新人教a版必修1
第2课时 分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应_____________________________________________________． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中____________确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的__________．一、选择题1．已知，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A ．100元B ．90元C ．80元D ．60元4．已知函数，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－525．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．18立方米 D ．26立方米6．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x二、填空题7．已知，则f (7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题10．已知，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( ) A．∅ B．∅或{1}C．{1} D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． (2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况． 2．对映射认识的拓展映射f ：A →B ，可理解为以下三点：(1)A 中每个元素在B 中必有唯一的元素与之对应；(2)对A 中不同的元素，在B 中可以有相同的元素与之对应；(3)A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多． 3．函数与映射的关系映射f ：A →B ，其中A 、B 是两个“非空集合”；而函数y ＝f (x )，x ∈A 为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射． 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2，若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ， x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.]7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6. 8.32{x |x ≥－1且x ≠0} 解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x <0，－x ， 0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. 当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入， 则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]． 11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合． 无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝kv 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 v <25212 500v 2Sv ≥252.。
人教新课标版数学高一-A版必修一课时训练 .2分段函数及映射
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课时达标训练1.设函数f(x)=则f的值为( )A.-1B.C.D.4【解析】选C.f(2)=22+2-2=4,=,f=1-=.2.下列对应为A到B的函数的是( )A.A=R,B={y|y>1},f:x→y=|x|B.A=Z,B=N*,f:x→y=x2C.A=Z,B=Z,f:x→y=D.A=[-1,1],B={0},f:x→y=0【解析】选D.由函数的定义可知,对于A,0∈R,且|0|=0∉B,故A不是A到B的函数;对于B,0∈Z,且02=0∉N*,故B不是A到B的函数;对于C,当x<0时,如-2∈Z,但无意义,故C不是A到B的函数;对于D,是多对一的情形,符合函数的定义,是A到B的函数.3.已知f(x)=则f(x)的定义域为( )A.RB.(-∞,1]C.(-∞,2)D.(1,+∞)【解析】选C.分段函数的定义域是每段定义域的并集,故f(x)的定义域为{x|x≤1}∪{x|1<x<2}={x|x<2}.4.设函数f(x)=则f(f(2))=________;函数f(x)的值域是________.【解析】f(2)=,f(f(2))=f=-,当x>1时,f(x)∈(0,1),当x≤1时,f(x)∈[-3,+∞),所以f(x)∈[-3,+∞).答案:-[-3,+∞)5.设A=Z,B={x|x=2n-1,n∈Z},且从A到B的映射是x→2x-1,则A中的元素1在B中与之对应的元素是________.【解析】与A中元素1对应的B中元素为2×1-1=1.答案:16.已知y=f(x)的图象如图,则f(x)=________.【解析】当0≤x≤1时,设y=kx,将(1,1)代入得k=1,所以y=x;当1≤x≤2时,设y=k′x+b,将(1,1),(2,0)代入得k′=-1,b=2,所以y=2-x.故f(x)=答案:7.设函数f(x)=若方程f(x)=t有三个不等实根,求t的取值范围.作出函数f(x)=的图象如图,【解析】故t的取值范围是(0,1).关闭Word文档返回原板块。
数学必修Ⅰ人教新课标A版1-2-2-2分段函数及映射练习
解：如题图，当点P在线段BC上，即0≤x≤4时，y＝ ×4×x＝2x；
当P点在线段CD上，即4<x≤8时，y＝ ×4×4＝8；
当P点在线段DA上，即8<x≤12时，y＝ ×4×(12－x)＝24－2x.
解：(1)函数的定义域为(0,12)．
当0<x≤4时，S＝f(x)＝ ×4×x＝2x；
当4<x≤8时，S＝f(x)＝ ×4×4＝8；
当8<x<12时，S＝f(x)＝ ×4×(12－x)＝24－2x.
∴函数解析式为f(x)＝
(2)图象如图所示．从图象可以看出f(x)max＝8.
12．设A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，对应关系f：x→y＝px＋q，已知m，n∈N*,1对应的元素是4,2对应的元素是7，试求p，q，m，n的值．
解析：由f(a)＝0，f(b)＝0得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝1，f(b)＝－1得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝－1，f(b)＝1得f(a)＋f(b)＝0.共3个．
答案：3
7．若定义运算a⊙b＝ 则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
解析：由题意得f(x)＝ 画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
所以m＝5.
故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.
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答案：3
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数的图象．
解：(1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.
人教版数学高一-人教版必修1练习 .2分段函数及映射
第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.2 函数的表示法第2课时式分段函数及映射A级基础巩固一、选择题1．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧π＋1，x>0，π，x＝0，0，x<0，则f(f(f(－1)))＝() A．π＋1B．0C．πD．－1解析：f(f(f(－1)))＝f(f(0))＝f(π)＝π＋1.答案：A2.如图所示的函数的解析式为()A．y＝32|x－1|(0≤x≤2)B．y＝32－32|x－1|(0≤x≤2)C．y＝32－|x－1|(0≤x≤2)D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)解析：由图象易得点(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在函数图象上，代入可排除A ，C ，D.答案：B3．下列集合M 到集合P 的对应f 是映射的是( )A ．M ＝{－2，0，2}，P ＝ {－4，0，4}，f: M 中数的平方B ．M ＝{0，1}，P ＝ {－1，0，1}，f ：M 中数的平方根C ．M ＝Z ，P ＝Q ，f ：M 中数的倒数D ．M ＝R ，P ＝{x |x >0}，f ：M 中数的平方解析：根据映射的概念可知选项A 正确．答案：A4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2（0<x ≤3），x 2＋6x （－2≤x ≤0）的值域为( ) A ．RB ．[－9，＋∞)C ．[－8，1]D ．[－9，1]解析：当－2≤x ≤0时，函数f (x )的值域为[－8，0]；当0<x ≤3时，函数f (x )的值域为[－3，1]．故函数f (x )的值域为[－8，1]．答案：C5．已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( )A ．(1，3)B ．(1，6)C ．(2，4)D ．(2，6)解析：由题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3.答案：A二、填空题6．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________．解析：因为f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，f (2)＝3，所以2a －1＝3，得a ＝2，所以f (3)＝2×3－1＝5.答案：57．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－3≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，4<x ≤5，则f (f (f (5)))＝________． 解析：因为4<5≤5，所以f (5)＝－5＋2＝－3，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1，又因为0<1≤4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝1－2＝－1.答案：－18．设f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，－1≤x <0，－12x ，0<x <2，3，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝________，f (x )的定义域是______________． 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2＝32. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝32；函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．答案：32{x |x ≥－1且x ≠0} 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，若f (a )＝3，求a 的值． 解：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ， x ≥2， 所以当x ≤－1时，f (x )≤1，当－1<x <2时，0≤f (x )<4，当x ≥2时，f (x )≥4.又因为f (a )＝3，所以a 2＝3且－1<a <2，所以a ＝ 3.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（－1≤x ≤1），1（x <－1或x >1）.(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0，1]．B 级 能力提升1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2（x ≥10），f （f （x ＋6））（x <10），则f (5)的值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13解析：f (5)＝f (f (5＋6))＝f (11－2)＝f (f (9＋6))＝f (13)＝13－2＝11. 答案：B2．若定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊗(2－x )的解析式是______________．解析：当x <2－x ，即x <1时，f (x )＝x ；当x ≥2－x ，即x ≥1时，f (x )＝2－x .所以f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤1，2－x ，x ≥1.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <12－x ，x ≥1 3.如图所示，动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过顶点B ，C ，D 再回到A .设x 表示P 点的路程，y 表示PA的长度，求y 关于x 的函数关系式．解：当P 点从A 运动到B 时，PA ＝x ； 当P 点从B 运动到C 时， PA ＝AB 2＋BP 2＝12＋（x －1）2＝x 2－2x ＋2； 当P 点从C 运动到D 时， PA ＝AD 2＋DP 2＝12＋（3－x ）2＝x 2－6x ＋10； 当P 点从D 运动到A 时，PA ＝4－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ， 3<x ≤4.。
人教新课标版数学高一人教A数学必修1作业 1-2-2-2分段函数和映射
课时作业(九) 分段函数和映射一、选择题1. 设集合A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →(x －1)2B ．f ：x →(2x －3)2C ．f ：x →－2x －1D ．f ：x →2x －3答案：A2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18答案：A 解析：f (2)＝22＋2－2＝4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f ：x →x 2是集合A 到集合B ＝{0,1,4}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C 解析：令x 2＝0,1,4，解得x ＝0，±1，±2.故选C.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4答案：B 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，又∵x ≤0时，f (x )＝f (x ＋1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝43. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 5．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－x ＋1，x ＜1，1x ，x ＞1的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ B ．(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 D ．(0，＋∞)答案：D 解析：当x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，当x ＞1时，f (x )＝1x ∈(0,1)，∴f (x )的值域(0,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞＝(0，＋∞)．6．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x ＞0，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52 C ．2或－2D ．2或－2或－52答案：A 解析：若x 2＋1＝5，则x 2＝4， 又∵x ≤0，∴x ＝－2；若－2x ＝5，则x ＝－52，与x ＞0矛盾．故选A. 二、填空题7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．答案：4 解析：当x ＜0时，2x ＝16，无解； 当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4.8．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b ，已知函数f (x )＝x 2⊕x ，则f (2)＝________.答案：4 解析：根据已知条件有f (2)＝4⊕2＝4.9．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，则B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54与A 中________对应．答案：12解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，解得x ＝12.10．设f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，－1≤x ＜0，－12x ，0＜x ＜2，3，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝________，f (x )的定义域是________．答案：32 {x |x ≥－1且x ≠0} 解析：∵－1＜－34＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12. 而0＜12＜2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14.∵－1＜－14＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x ＜0}∪{x |0＜x ＜2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ＜0，－x ＋1，0＜x ≤1，则f (x )－f (－x )＞－1的解集为________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1] 解析：当－1≤x ＜0时，f (x )＝－x －1，f (－x )＝x ＋1，∴原不等式为－x －1－(x ＋1)＞－1， 解得x ＜－12，因此－1≤x ＜－12.当0＜x ≤1时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝x －1， ∴原不等式化为－2x ＋2＞－1，解得x ＜32， 因此0＜x ≤1.综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1]． 三、解答题12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ≥0，x (x －4)，x ＜0，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．解：f (1)＝1×(1＋4)＝5， ∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0. 当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)； 当a ＋1＜0，即a ＜－1时， 有(a ＋1)(a －3)＝0，无解． 综上可知，a ＝－1.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x <0，x 2，0≤x <1，x ，1≤x ≤2.(1)求f (－8)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值；(2)作出函数的简图； (3)求函数的值域．解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]． (1)因为－8∉[－1,2]，所以f (－8)无意义． 因为当－1≤x <0时，f (x )＝－x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝23.因为当0≤x <1时，f (x )＝x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.因为当1≤x ≤2时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32.(2)在同一坐标系中分段画出函数的图象，如图所示． (3)由(2)中画出的图象可知，函数的值域为[0,2]． 14．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1， 当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． 尖子生题库15．规定：区间[m，n]的长度为n－m(n＞m)，设A＝[0，t](t＞0)，B＝[a，b](b＞a)，从A到B的映射f：x→y＝2x＋t，A中元素在映射f下对应元素的集合为B，且B比A的长度大5，求实数t的值．解：由于A和B均是数集，则该映射f：x→y是函数，且f(x)＝2x＋t.当x∈A时，f(x)的值域为[f(0)，f(t)]，即[t,3t]，所以B的长度为3t－t＝2t，又A的长度为t－0＝t，则2t－t＝5，解得t＝5.。
高中人教A版数学必修一配套课件1.2.2.2分段函数及映射
3.已知f(x)=
x x
1, x 3,
1, x＞1，
则f(f(2))=________.
【解析】f(2)=-2+3=1,所以f(f(2))=f(1)=1+1=2.
答案:2
4.已知A={1,2,3,…,9},B=R,从集合A到集合B的映射
f:x→ x .
2x 1
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是________.
第2课时 分段函数及映射
主题1 分段函数 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5千米以内(含5千米),票价2元. (2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米 的按5千米计算).
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起 点站和终点站)有11个汽车站. 请根据以上内容,回答下面的问题:
①A=N,B=N*,f:x→|x|;②A=N,B=N*,f:y=|x-1|;
③A=B={1},f:x→x2;
④A={1,2,3,4,5},B={1,7,17,31,49},f:y=2x2-1.
A.①②
B.①③
C.③④
D.②④
【解析】选C.①A中元素0在集合B中无元素与之对应, 故不是映射;②A中元素1在B中无元素与之对应,故不是 映射;③符合定义,是映射;④中x=1,2,3,4,5时,y分别 是1,7,17,31,49,符合定义,是映射.
1 x2,Leabharlann x 1,x2x
3,
x＞1,
【解题指南】先求
f
1
3
，再求 f (
f
1
3
)
.
【解析】f(3)=32-3-3=3，所以 1 1 .
f 3 3
所以 f( 1 )f(1)1(1)28.
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：1.2.2 第2课时 分段函数与映射 Word版含解析
第2课时 分段函数与映射课后篇巩固提升基础巩固1.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345A.[2,5]B.NC.(0,20]D.{2,3,4,5},y={2,0<x<5,3,5≤x<10,4,10≤x<15,5,15≤x≤20,所以函数的值域为{2,3,4,5}.故选D.2.若f(x)=则f(5)的值为( ){x-3,x≥10,f(f(x+6)),x<10,A.8B.9C.10D.11,f(5)=f(f(11))=f(8)=f(f(14))=f(11)=8.故选A.3.已知f:x→x2是集合A到集合B={0,1,4}的一个映射,则集合A中的元素最多有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个x2=0,1,4,解得x=0,±1,±2.故选C.4.设f (x )=若f (x )=9,则x=( ){-x -3(x ≤-1),x 2(-1<x <2),3x (x ≥2),A.-12B.±3C.-12或±3D.-12或3(x )={-x -3(x ≤-1),x 2(-1<x <2),f (x )=9,3x (x ≥2),当x ≤-1时,-x-3=9,解得x=-12;当-1<x<2时,x 2=9,解得x=±3,不成立;当x ≥2时,3x=9,解得x=3.∴x=-12或x=3.故选D .5.已知函数f (x )=则不等式xf (x-1)≤1的解集为( ){-1,x <0,1,x ≥0,A .[-1,1]B.[-1,2]C.(-∞,1]D.[-1,+∞)解得-1≤x ≤1.{x -1<0,x ×(-1)≤1或{x -1≥0,x ×1≤1,6.已知f (x )=则f (f (f (5)))等于 . {0,x >0,-1,x =0,2x -3,x <0,(f (f (5)))=f (f (0))=f (-1)=2×(-1)-3=-5.57.已知f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式为 .0≤x ≤1时,f (x )=-1;当1≤x ≤2时,设f (x )=kx+b (k ≠0),则解得此时f (x )=x-2.{k +b =-1,2k +b =0,{k =1,b =-2,综上,f (x )={-1,0≤x ≤1,x-2,1<x ≤2.(x )={-1,0≤x ≤1,x -2,1<x ≤28.a ,b 为实数,集合M=,N={a ,0},f :x →2x 表示集合M 中的元素x 在集合N 中的对应元素为2x ,则{b a ,1}a+b= .M 中元素只能对应0,1只能对应a ,所以所以故a+b=2.b a {a =2,2ba =0,{a =2,b =0,9.已知函数f (x )={-2x ,x ∈(-∞,-1),2,x ∈[-1,1],2x ,x ∈(1,+∞).(1)求f ,f ,f (4.5),f ;(-32)(12)(f (12))(2)若f (a )=6,求a 的值.∵-∈(-∞,-1),32∴f =-2×=3.(-32)(-32)∵∈[-1,1],∴f =2.12(12)又2∈(1,+∞),∴f =f (2)=2×2=4.(f (12))∵4.5∈(1,+∞),∴f (4.5)=2×4.5=9.(2)经观察可知a ∉[-1,1],否则f (a )=2.若a ∈(-∞,-1),令-2a=6,得a=-3,符合题意;若a ∈(1,+∞),令2a=6,得a=3,符合题意.故a 的值为-3或3.10.设函数f (x )=若f (-2)=f (0),f (-1)=-3,求关于x 的方程f (x )=x 的解.{x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,当x ≤0时,f (x )=x 2+bx+c ,∴f (-2)=(-2)2-2b+c ,f (0)=c ,f (-1)=(-1)2-b+c.∵f (-2)=f (0),f (-1)=-3,∴解得{(-2)2-2b +c =c ,(-1)2-b +c =-3,{b =2,c =-2.则f (x )=当x ≤0时,由f (x )=x 得x 2+2x-2=x ,得x=-2或x=1.{x 2+2x -2,x ≤0,2,x >0,由于x=1>0,所以舍去.当x>0时,由f (x )=x 得x=2,∴方程f (x )=x 的解为-2,2.能力提升1.给出如图所示的对应:其中能构成从A 到B 的映射的个数为( )A.3B.4C.5D.6是映射,是一对一;②③是映射,满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应;④⑤不是映射,是一对多;⑥不是映射,a 3,a 4在集合B 中没有元素与之对应.2.若函数f (x )=则f 的值为( ){1-x 2,x ≤1,x 2+x -2,x >1,(1f (2))A. B.- C. D.181516271689(2)=22+2-2=4,f =f =1-,故选A .(1f (2))(14)(14)2=15163.函数f (x )=的值域是( ){2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2A.RB.[0,+∞)C.[0,3]D.[0,2]∪{3}y=f (x )的图象如图所示.由图知,f (x )的值域是[0,2]∪{3}.4.设f (x )=若f (a )=f (a+1),则f =( ){x ,0<x <1,(x -1),x ≥1.(1a )A.2B.4C.6D.80<a<1,由f (a )=f (a+1)得=2(a+1-1),∴a=,∴f =f (4)=2×(4-1)=6.a 14(1a )若a ≥1,由f (a )=f (a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),无解.综上,f =6.故选C .(1a )5.已知A={x|x=n 2,n ∈N },给出下列关系式:①f (x )=x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3;④f (x )=x 4;⑤f (x )=x 2+1,其中能够表示函数f :A →A 的个数是( )A.2B.3C.4D.5中,f (x )=x ,若x ∈A ,则x=n 2,n ∈N ,则f (x )=n 2,n ∈N ,满足A 中任何一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应,故正确.②中,f (x )=x 2,若x ∈A ,则x=n 2,n ∈N ,则f (x )=(n 2)2,n 2∈N ,满足A 中任何一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应,故正确.③中,f (x )=x 3,若x ∈A ,则x=n 2,n ∈N ,则f (x )=(n 2)3=(n 3)2,n 3∈N ,满足A 中任何一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应,故正确.④中,f (x )=x 4,若x ∈A ,则x=n 2,n ∈N ,则f (x )=(n 2)4=(n 4)2,n 4∈N ,满足A 中任何一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应,故正确.⑤中,f (x )=x 2+1,若x=1,则f (x )=2∉A ,不满足A 中任何一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应,故错误,故选C .6.若函数f (x )=则f (5)= . {x 2,x ∈[-1,1],f (x -2),x ∈(1,+∞),f (x )={x 2,x ∈[-1,1],f (x -2),x ∈(1,+∞),所以f (5)=f (3)=f (1)=12=1.7.函数y=的最大值是 . {2x +3,x ≤0,x +3,0<x <1,-x +5,x ≥1x ≤0时,y=2x+3≤3;当0<x<1时,y=x+3满足3<x+3<4;当x ≥1时,y=5-x ≤4.故函数的最大值是4.8.如图所示,函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4).(1)求f (f (0))的值;(2)求函数f (x )的解析式.由题图可得f (f (0))=f (4)=2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y=kx+b (k ≠0),将代入,得{x =0,y =4与{x =2,y =0{4=b ,0=2k +b ,∴∴y=-2x+4(0≤x ≤2).{b =4,k =-2.同理,线段BC 所对应的函数解析式为y=x-2(2≤x ≤6).∴f (x )={-2x +4,0≤x ≤2,x -2,2<x ≤6.9.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元,在乙家开展活动x小时的收费为g(x)元.(1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式.(2)选择哪家比较合算?请说明理由.由题意可知f(x)=5x,15≤x≤40,g(x)={90,15≤x≤30,30+2x,30<x≤40.(2)由5x=90,解得x=18,即当15≤x<18时,f(x)<g(x);当x=18时,f(x)=g(x);当18<x≤40时,f(x)>g(x).所以当15≤x<18时,选甲家比较合算;当x=18时,两家一样合算;当18<x≤40时,选乙家比较合算.。
人教A版高中数学必修一教学课件：1.2.2 第2课时 分段函数、映射
2．判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射， 哪些不是．为什么？ (1)A＝R，B＝{0,1}，对应关系
1x≥0， f：x→y＝ 0x＜0；
1 (2)A＝Z，B＝Q，对应关系 f：x→y＝ ； x (3)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,16}，对应关系 f：a→b ＝(a －1)2.
1 － f f f 2的值；
(2)若 f(x)＝2，求 x 的值．
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思路点拨：分段考虑求值即可． (1)先求
1 － f 2，再求 1 － f f 2，最后求
2
1 － f f f 2；
1 (2)分别令 x＋2＝2，x ＝2， x＝2，分段验证求 x. 2
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1 1 3 解：(1)f－2＝－2＋2＝ ， 2 1 3 3 2 9 ∴ff－2＝f2＝2 ＝ . 4 1 9 1 9 9 ∴fff－2＝f 4＝2×4＝8.
中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之
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• 给定两集合A，B及对应关系f，判断是否是 从集合A到集合B的映射，主要利用映射的定 义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对 一”“一对一”“一对多”“多对多”，前两 种对应是A到B的映射，而后两种不是A到B的映 射．
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第一章 集合与函数概念
1.2 第2课时
函数及其表示 分段函数、映射
1.2.2 函数的表示法
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• 1．了解简单的分段函数，并能简单应 用．(重点) • 2．了解映射的概念及它与函数的联系．(重 点、易混点)
人教A版高中数学必修一课时作业第二课时分段函数与映射
第二课时分段函数与映射选题明细表知识点、方法题号分段函数求值1,5,6,7,10,13 分段函数图象及实际应用2,8,9,12映射3,4,11基础巩固1.(2019·江苏省盱眙中学、泗洪中学高一上第一次联考)函数f(x)=则f(f(-2 018))等于( B )(A)1 (B)-1 (C)2 018 (D)-2 018解析:由题意可得f(-2 018)=1,所以f(f(-2 018))=f(1)=1-2=-1.故选B.2.函数f(x)=|x-1|的图象是( B )解析:由绝对值的意义可知当x≥1时y=x-1,当x<1时,y=1-x.故选B.3.集合A的元素按对应法则“先乘再减1”和集合B中的元素对应,在这种对应所成的映射f:A→B.若集合B={1,2,3,4,5},那么集合A不可能是( C )(A){4,6,8} (B){4,6}(C){2,4,6,8} (D){10}解析:按对应法则“先乘再减1”,结合集合B={1,2,3,4,5}可知A中的元素可以为{4,6,8,10,12}.但是不可能为2.故选C.4.若A={某中学高一年级学生},B={男,女},从A→B的对应法则f1:A中的每一个元素,在集合B中对应其性别.又C=D=R,从C→D的对应法则f2:x→x的倒数.则以下说法正确的是( B )(A)f1,f2都是映射(B)f1是映射,f2不是映射(C)f1不是映射,f2是映射(D)f1,f2都不是映射解析:A中的每一个元素在B中都有唯一元素与其对应;C中的数0在D 中没有对应元素,故f1是映射,f2不是映射.故选B.5.(2019·重庆巴蜀中学高一上期中)已知函数f(x)=若f[f(0)]=a2+1,则实数a等于( D )(A)-1 (B)2(C)3 (D)-1或3解析:由题意得f(0)=20+1=2,所以f[f(0)]=f(2)=2a+4,又f[f(0)]=a2+1,所以2a+4=a2+1,即a2-2a-3=0,解得a=-1或a=3.故选D.6.(2019·河南林州第一中学高一调研)设f(x)=则f(5)的值为( B )(A)10 (B)11 (C)12 (D)13解析:因为f(11)=11-2=9,所以f(5)=f[f(5+6)]=f[f(11)]=f(9),因为f(15)=15-2=13,所以f(9)=f[f(9+6)]=f[f(15)]=f(13)=13-2=11.所以f(5)=11.7.(2017·山东卷)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f()等于( C )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:因为y=(0<x<1)和y=2(x-1)(x≥1),都是单调函数,所以0<a<1, 由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),所以a=,所以f()=f(4)=2×(4-1)=6.故选C.8.下列函数图象可能是分段函数图象的序号是.解析:②中的图象是y=x2的图象,④中不是函数图象.答案:①③能力提升9.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为( C )(A)2 800元(B)3 000元(C)3 800元(D)3 818元解析:设纳税额为y元,稿费(扣税前)为x元,由题意,知纳税额y元与稿费(扣税前)x元之间的函数关系式为y=由于此人纳税420元,所以当800<x≤4 000时,则(x-800)×0.14=420,解得x=3 800,符合题意;当x>4 000时,0.112x=420,解得x=3 750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元.故选C.10.(2019·江苏南菁高级中学高一上第一次测试)设f(x)=则使得f(m)=1成立的m值是( D )(A)10 (B)0,10(C)1,-1,11 (D)0,-2,10解析:当m<1时,f(m)=(m+1)2=1,所以m=-2或m=0,当m≥1时,f(m)=4-=1,所以m=10.综上可知,m的取值为-2,0,10.故选D.11.若f:x→x2+1是从集合A到集合B的映射,且A={-3,-2,-1,0,1, 2,3},则集合B中至少有个元素.解析:因为x=±3时,y=x2+1=10,x=±2时,y=x2+1=5,x=0时,y=x2+1=1,x=±1时,y=x2+1=2,因此在对应关系f的作用下,集合B中至少含有元素1,2,5,10.答案:412.(2019·湖南浏阳六校高一期中联考)某汽配厂生产某种零件,每个零件的出厂单价为60元,为了鼓励更多销售商订购,该厂决定当一次订购超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不低于51元.(1)当一次订购量最少为多少时,零件的实际出厂单价恰好为51元?(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.解:(1)设一次订购量最少为a件时,零件的实际出厂单价恰好为51元.a=100+,所以a=550(件).(2)0<x≤100且x∈N,f(x)=60,100<x<550且x∈N,f(x)=60-(x-100)×0.02=62-0.02x,x≥550且x∈N,f(x)=51,所以P=f(x)=探究创新13.(2019·广东华南师范大学附中高一上期中)设函数 f(x)=若对任意的x都满足x·f(x)≤g(x)成立,则函数g(x)可以是( B )(A)g(x)=x (B)g(x)=|x|(C)g(x)=x2(D)不存在这样的函数解析:当x为无理数时,f(x)=0,xf(x)≤g(x)⇔0≤g(x),当x为有理数时,f(x)=1,xf(x)≤g(x)⇔x≤g(x),若g(x)=x,当x=-时,g(x)<0,即A不正确;若g(x)=|x|,已知对任意实数,x≤|x|,且|x|≥0,故当x为有理数或无理数时,不等式恒成立,即B正确;若g(x)=x2,当x=,则g()=,>,即C 不正确.故选B.。
2019年人教A版必修一数学同步练习：1.2.2 第二课时 分段函数与映射 Word版含解析
姓名，年级：时间：第二课时分段函数与映射1。
下列各对应中，构成映射的是（ D )解析:选项A,C中集合A中的元素1，在集合B中有2个元素与之对应；选项B中集合A中的元素2在集合B中无元素与之对应，所以都不是映射，只有D项符合映射的定义。
故选D.2。
已知f(x）=则f（1)+f(-1）等于（ A ）（A)1 (B)-1 (C)0 （D)-2解析：因为1〉0，所以f（1)=2×1=2;因为—1〈0，所以f(-1）=（—1)2—2=—1。
故f(1）+f(-1)=2+（-1）=1。
故选A。
3.集合A的元素按对应法则“先乘再减1"和集合B中的元素对应,记这种对应所成的映射f:A→B.若集合B=｛1,2,3,4,5}，那么集合A不可能是（ C )（A）｛4，6，8} （B）{4，6｝(C){2，4,6,8} （D)｛10｝解析:按对应法则“先乘再减1",结合集合B=｛1，2，3,4,5｝可知A中的元素可以为4，6，8，10，12.但是不可能为2。
由映射的定义可知，选C. 4。
函数f(x)=|x-1｜的图象是（ B ）解析：由绝对值的意义可知当x≥1时y=x—1，当x<1时，y=1-x，选B。
5。
已知函数f（x）=且f（a）+f(1）=0,则a等于( A ）(A）-3 （B)—1 （C）1 （D)3解析:当a〉0时,f（a）+f(1)=2a+2=0⇒a=—1,与a〉0矛盾;当a≤0时，f(a)+f(1)=a+1+2=0⇒a=-3，适合题意。
6。
下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是( D ）(A)A=R，B={y｜y>0}，f:x→y=｜x|(B）A={x｜x≥0},B=｛y|y>0},f:x→y=（C)A=N，B=N*,f:x→y=|x-1|(D)A=R，B=｛y|y≥0｝,f:x→y=x2—2x+2解析:A中当x=0时,y=0∉ B.同理B错，C中,当x=1时，y=0∉B,故C不正确;由于x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，故D正确。
人教A版数学必修一第1部分第一章1.21.2.2第二课时分段函数及映射.pptx
解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋x－2 x＝1；
当－2<x<0 时，
f(x)＝1＋－x2－x＝1－x，
∴f(x)＝11，－x，
0≤x≤2， －2<x<0.
(2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
1．对映射的定义，应注意以下几点： (1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、 点集，也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应．对应关系可以用图 示或文字描述的方法来表达．
2．下列集合A到集合B的对应f是映射的是( ) A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
解析：在B中，集合A中的元素1有±1两个元素与之对应， ∴B不正确．C中，集合A中的元素0没有倒数，∴C不正 确．D中，集合A中的元素0的绝对值仍然是0，而0∉B， ∴D不正确． 答案：A
[一点通] 1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在 的范围，代入相应的解析式求值． 2．多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层 处理． 3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值， 可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分 段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范 围，确定解析式再求解．
－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
∵f－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，
∴f
[
f
新人教A版高中数学必修一1.2.2第2课时 分段函数及映射课件
2019/8/16ຫໍສະໝຸດ 最新中小学教学课件40
谢谢欣赏！
2019/8/16
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② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
高中数学人教A版必修一优化练习：第一章 1.2 1.2.2 第2课时 分段函数及映射 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：因为f (1)＝2，所以由f (a )＋f (1)＝0，得f (a )＝－2，所以a 肯定小于0， 则f (a )＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A. 答案：A2．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应． 答案：A3．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]解析：f (x )图象大致如下：由图可知值域为[0,2]∪{3}． 答案：B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，x 2，x <0，则f (f (－2))的值是( )A ． 4B ．－4C ．8D ．－8解析：∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，∴f (f (－2))＝f (4)； 又∵4≥0，∴f (4)＝2×4＝8. 答案：C5．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2， x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y 1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：根据映射的定义进行判断．对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D. 答案：D6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2－4，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (0))＝________.解析：∵f (0)＝π，∴f (f (0))＝f (π)＝3π2－4.答案：3π2－47．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：∵43>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83；－43≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；－13≤0，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23； 23>0，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4.答案：48．设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，那么A 中的元素(－1,2)的象是________，B 中的元素(－1,2)的原象是________． 解析：(－1,2)→(－1－2，－1＋2)＝(－3,1)． 设(－1,2)的原象为(x ，y )，则⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.答案：(－3,1) (12，32)9．作函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|图象，并求出相应的函数值域． 解析：因为函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|，y ＝⎩⎨⎧－2x ＋2 (x ≤－3)，8 (－3<x <5)，2x －2 (x ≥5).所以y ＝|x ＋3|＋|x －5|的图象如图所示：由此可知，y ＝|x ＋3|＋|x －5|的值域为[8，＋∞)． 10．已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )， 求：(1)(3,4)的象；(2)(1，－6)的原象． 解析：(1)∵x ＝3，y ＝4，∴x ＋y ＝7，xy ＝12. ∴(3,4)的象为(7,12)．(2)设(1，－6)的原象为(x ，y )，则有⎩⎨⎧x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2.故(1，－6)的原象为(－2,3)或(3，－2)．[B 组 能力提升]1．若已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2，且f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32 C ．±3D. 3解析：由x ＋2＝3，得x ＝1>－1，舍去．由x 2＝3，得x ＝±3，－1＜3＜2，－3＜－1，－3舍去． 由2x ＝3，得x ＝32<2，舍去． 所以x 的值为 3. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥2x 的解集是( )A ．(－∞，23] B ．(－∞，0] C ．(0，23]D ．(－∞，2)解析：(1)当x >0时，f (x )＝－x ＋2≥2x ，得3x ≤2，即0<x ≤23； (2)当x ≤0时，f (x )＝x ＋2≥2x ，得x ≤2，又x ≤0，∴x ≤0；综上所述，x ≤23. 答案：A3．已知集合A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z}，C ＝R ，且从A 到B 的映射是 f ：x →y ＝2x －1，从B 到C 的映射是f ：x →y ＝13x ＋1，则从A 到C 的映射是________． 解析：根据题意，f ：A →B ，x →y ＝2x －1 f ：B →C ，y →z ＝13y ＋1. 所以，从A 到C 的映射是f ：x →z ＝13(2x －1)＋1＝16x －2，即从A 到C 的映射是f ：x →y ＝16x －2. 答案：f ：x →y ＝16x －24．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－2)，x 2(－2＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (a )＝8，则a ＝________.解析：当a ≤－2时，由a ＋2＝8，得a ＝6.不合题意． 当a ≥2时，由2a ＝8，得a ＝4，符合题意． 当－2＜a ＜2时，a 2＝8，a ＝±22，不合题意． 答案：45．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围．解析：y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14a －14<1，解得1<a <54.6．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝4 5°，作直线 MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N .设AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．解析：作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH ＝a 2，AG ＝32a ，∠A ＝∠D ＝45°. (1)当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB ， 由于AM ＝x ，∠A ＝45°，∴MN ＝x . ∴y ＝S △AMN ＝12x 2(0≤x ≤a 2)．(2)当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ，AH ＝a 2，BN ＝x －a2， ∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12·a 2[x ＋(x －a 2)]＝12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )． (3)当M 位于点G 的右侧时， 由于AM ＝x ，DM ＝MN ＝2a －x ，∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12·a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 24－12(4a 2－4ax ＋x 2)＝－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a )．综上有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2(0≤x ≤a 2)，12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )，－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a ).。
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[A 基础达标]
1.函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f （x －1），x ≥2，则f (2)＝( ) A ．－1 B ．0
C ．1
D ．2
解析：选A.f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.
2.下列给出的式子是分段函数的是( )
①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.
②f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2. ③f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1. ④f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5. A ．①②
B ．①④
C ．②④
D ．③④
解析：选B.对于①，符合函数的定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系．对于②，当x ＝2时，f (2)＝3或4，故不是函数．对于③，当x ＝1时，f (1)＝5或1，故不是函数．对于④，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系．
3．函数y ＝x ＋|x |x
的图象是( )
解析：选D.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞0，x －1，x ＜0.
4．a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫b a ，1，N ＝{a ，0}，f ：x →2x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中为2x ，则a ＋b ＝( )
A ．－2
B ．0
C ．2
D ．±2
解析：选C.由题意知M 中元素b a
只能对应0，1只能对应a ，
所以2b a
＝0，a ＝2， 所以b ＝0，a ＝2，
因此a ＋b ＝2，故选C.
5．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，1}，则从A 到B 的映射共有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
解析：选C.如图．
6．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]的定义域为________，值域为________． 解析：函数定义域为[0，1]∪(1，2]＝[0，2]．
当x ∈(1，2]时，
f (x )∈[0，1)，
故函数值域为[0，1)∪[0，1]＝[0，1]．
答案：[0，2] [0，1]
7.已知A ＝B ＝R ， x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b ，5→5且7→11.若x →20，则x ＝________． 解析：由题意知，
⎩⎪⎨⎪⎧5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－10. 所以y ＝3x －10.
由3x －10＝20，得x ＝10.
答案：10
8.已知函数f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________．
解析：因为f (x )的图象由两条线段组成，由一次函数解析式求法可得f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1. 答案：f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1
9．已知A ＝B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →2x －1.
(1)求与A 中元素3相对应的B 中的元素；
(2)求与B 中元素3相对应的A 中的元素．
解：(1)将x ＝3代入对应关系f 可得2x －1＝2×3－1＝5，即与A 中元素3相对应的B 中的元素为5.
(2)由题意可得2x －1＝3，解得x ＝2，所以与B 中元素3相对应的A 中的元素为2. 10.写出下列函数的解析式，并作出函数图象．
(1)设函数y ＝f (x )，当x <0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2.
(2)设函数y ＝f (x )，当x ≤－1时，f (x )＝x ＋1；当－1<x <1时，f (x )＝0；当x ≥1时，f (x )＝x －1.
解：(1)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧0，x <0，2，x ≥0.图象如图(1)所示． (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1，0，－1<x <1，x －1，x ≥1.
图象如图(2)所示．
[B 能力提升]
1.函数f (x )＝|x －1|的图象是( )
解析：选B.f (x )＝|x －1|＝⎩
⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，由f (x )的解析式易知应选B. 2.若定义运算a ⊙b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 解析：由题意得f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
3．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x ＞1或x ＜－1， (1)画出f (x )的图象；
(2)若f (x )≥14
，求x 的取值范围． 解：
(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．
(2)由于f ⎝⎛⎭⎫±12＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14
的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭
⎫12，＋∞. 4.(选做题)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋ax (a ∈R)．
(1)画出当a ＝2时的函数f (x )的图象；
(2)求a ＝2时函数f (x )在[－3，6]上的值域．
解：(1)当a ＝2时，
f (x )＝|x ＋1|＋2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≥－1，x －1，x <－1，
其图象如图所示．
(2)由图可知在[－3，6]上函数分为[－3，－1)，[－1，6]两段，当x＝－3时，f(－3)＝－4，当x＝6时，f(6)＝19.
由图象的大致趋势可得，此函数在[－3，6]上的值域为[－4，19]．。