天一中学新高一分班考试数学试卷(含答案)

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江苏省天一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

江苏省天一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知全集U R =，142A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =≤-，12C x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则集合C =A ．()U A BðB ．()U A B ðC ．()U A B ⋂ðD ．()U A Bð2．命题:p x ∃∈R ，221x x x ++≥的否定（）A ．x ∀∈R ，221x x x ++≥B ．x ∀∈R ，221x x x ++<C ．x ∀∈R ，221x x x ++>D ．x ∃∈R ，221x x x++<3．函数2(1)mmy m x -=-为幂函数，则该函数为（）A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数4．下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，0m >.则a a mb b m+>+B ．若0a b >>，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若a b <，则11a b>5．函数31()f x x x=-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．函数31y x =++的值域为（）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],3-∞7．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应，这个法则可以是公式、图象、表格等形式，例如狄利克雷函数()D x ，当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0，以下关于狄利克雷函数()D x 的性质：①0D=；②()D x 的值域为[]0,1；③()D x 为奇函数；④(1)()D x D x -=，其中表述正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”.若函数22,0()2,0x x x f x mx x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩的图象存在三对“隐对称点”，则实数m 的取值可以是（）A ．1-B ．0.9-C ．0.8-D ．0.7-二、多选题9．下列命题中为真命题的是（）A ．“4x >”是“5x <”的既不充分又不必要条件B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C ．“关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 有实数根”的充要条件是“240b ac ->”D ．设a ，b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件10．若正数a ，b 满足121a b+=，则（）A ．8ab ≥B ．28a b +≥C ．2112a b +≤D ．21212a b +≥--11．已知函数()()2,f x x ax b a b =-++∈R 的值域为(],0-∞，若关于x 的不等式()1f x c >-的解集为(4,1)m m -+，则下列选项正确的为（）A ．240a b +=B ．3a m =-C ．24(23)0b m +-=D ．214c =-三、填空题12．20.523513105(1)216427--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-÷+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．已知函数()f x 是偶函数，当0x ≥时，()(21)f x x x =--，则当0x <时，()f x =14．已知a ，0b >，若229629180a b ab ++-=，则552a b +的最小值为四、解答题15．已知集合{|17}U x x =<<，{|25}A x x =≤≤，{|47}B x x =≤<.求：(1)A B ⋂；(2)A B ；(3)()C U A B ⋃.16．已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==.(1)求()f x 的解析式；(2)0a >，解关于x 的不等式：()230f x ax a +-->；(3)当[1,1]x ∈-时，()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围.17．已知函数2()16ax bf x x +=-是定义在(4,4)-上的奇函数.且(1)1f =.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数()f x 在(4,4)-上的单调性，并用定义证明你的结论；(3)若()21(15)0f t f t -+-<，求t 的取值范围.18．如图，已知ABC V 中10AB AC ==，16BC =，点P 从B 点沿线段BC 运动到C 点，过P 作BC 的垂线L ，与折线B A C --交于M 点，记直线L 右侧阴影部分的多边形为Ω.设4BP x =，Ω的面积为()S x ，Ω的周长为()L x .(1)()S x 和()L x 的解析式；(2)记()()()S x F x L x =，求()F x 的最大值.19．我们知道，函数()y f x =为奇函数的充要条件是函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.(1)已知函数3()5f x mx nx =-+，且(5)3f =，求(5)f -的值.(2)已知函数32()9673g x x x x =--+.（Ⅰ）求()g x 的图象的对称中心；（Ⅱ）若()g x 与5()3x h x x -=-的图象有四个公共点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，求1234y y y y +++的值.。

高一新生分班考试数学试卷含答案

高一新生分班考试数学试卷（含答案）满分150分，考试时间120 分钟）、选择题（每题 5 分，共40 分）1．化简 a a2（）A． a B．a C．a D．a22．分式x x 2的值为0，则x 的值为（）| x| 1A．1或2B．2 C ．1D． 23．如图，在四边形ABCD中，E、F 分别是AB、AD的中点。

若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC 等于（）A．4B．3 C．3D．435454．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠ P=40°，则∠ BAC=（）0 0 0 0A．400B．800C．200D．100入表格中。

5．在两个袋内，卡片，则所取分别装着写有 1、2、3、4 上数字之积为偶数的 6．如图，矩形纸片 AB 处，折痕为 AE ，且 EF=3，动点，运动路线是 A →D →C →B →A, 设 P 点经过的路程为 x ， D 为顶点的三角形的面积是 y. 则下列图象能大致反映 y 与 x 的是（） 8.若直角坐标系内两点 P 、Q 满足条件① P 、Q 都在函数 y 的 Q 关于原点对称，则称点对（ P ，Q ）是函数 y 的一个“友好对（ P ， Q ）与（ Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。

已知函 2x 2 ，已知 AD=8，折则 AB 的长为（）如图，正方形 AB （C4D 的题边图长）为 4， P 为正 4x 1，x 0, 则函数 y 的“友好点对”有（）个D中各任取一张，点 B 落在点 F CAD P B C 方形边上一以点 A 、P 、的函数关系图象上② P 、点对”（点数A ．.1题号12345678得分评卷人答案C 注意：请将选择题的答案填A176 5 C ． 16 P 使 AB 边与对） O E (6 题字的 4A 张卡片，今从每个袋x0y 1，2x二、填空题（每题 5分，共 50 分）9．已知 a 、b 是一元二次方程 x 22x 1 0的两个 a b a b 2 ab 得分评卷人实数根，则代数式的值等于10．有一个六个面分别标上数字 1、2、3、4、5、6 的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示．如果记 2 的对面的数字为的解 x 满足 k x k 1，k 为整数，则 k m ，3的对面的数字为 n ，则方程m x 1nE11． 1 2 ADy x f (x) y x 2f (x)C)A 3 x 3 25 1 f(1) 1 f (x) 甲 A 1 f (a) f (b) f( O 的直径，四边形则正方形 CDM 16. 如图， CD 为 C 1 丙题图 C 1 AB 1,BC 2 AA 1x a |x| F A cb BC 3M BB 1 A 1M 1题M 图C 1 BM 图，AB 是半圆 DEFG 都是正方形，其中 C ，D ，E 在 AB 上，F ，N 在半圆上。

江苏省天一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(物理方向强化班)

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试卷第51 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】先求出集合 A ，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由 4 - x2 ³ 0 ，解得 -2 £ x £ 2 ，所以 A = {x -2 £ x £ 2} ，
又 B = {x 0 < x < 3} ，
又因为 x -1 > 0 ，即 x > 1 ，
所以函数 g(x) = f (x) 的定义域为 (1, 6) ， x -1
故选：A. 3．D 【分析】根据函数的解析式确定图象. 【详解】由题可得， -x2 +1 ¹ 0 ，解得 x ¹ ±1 ，
所以函数 f (x) 的定义域为 (-¥, -1) È (-1,1) È (1, +¥) ，
B．存在 x1 ¹ 1, x2 ¹ 1 ，且 x1 < x2 ，有 f ( x1 ) < f ( x2 )
C．若函数 g(x) 满足 g(2 - x) + g(x) = 8 ，函数 f (x) 与 g(x) 的图像相交于点
A( x1, y1 )、B ( x2 , y2 ) ，则 x1 + y1 + x2 + y2 = 10
x2
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x1
x1 )
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，且
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0
，则不等式 (2x
-1)
f
(x)
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的解集是（
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2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期末数学试卷一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）2．已知点P（tanθ，sinθ）是第二象限的点，则θ的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若a，b∈R，则“2a﹣b＞1”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−18，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．（﹣3，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）5．已知点(3，19)在幂函数f（x）＝xα的图象上，设a＝f（log25），b＝f（ln2），c=f(tanπ3)，则a，b，c 的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a6．函数f(x)=x2lg2+x2−x的大致图象是（）A．B．C．D．7．若关于x的方程2sin x cos x﹣cos2x＝1在[0，π）内有两个不同的解x1，x2，sin（x1+x2）的值为（）A．12B．√22C．√32D．√2+√648．已知函数f（x）＝sin x，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为（） A ．6B ．7C ．8D ．9二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（）A ．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C ．终边落在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α=π4+kπ，k ∈Z}D ．函数y =tan(2x −π6)的定义域为{x|x ≠π3+kπ2，k ∈Z}10．设正实数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法正确的是（） A ．1x +1y的最小值为2B ．xy 的最小值为1C ．√x +√y 的最大值为4D ．x 2+y 2的最小值为211．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线f(x)=2sin(2π3x +φ)(|φ|＜π2)，且经过点（1，2）．则下列说法正确的是（） A ．函数f(x +14)是奇函数B ．函数f （x ）在区间（1，2）上单调递减C ．∃n ∈N *，使得f （1）+f （2）+f （3）+…+f （n ）＞2D ．∀x ∈R ，存在常数m 使得f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）＝m12．若n ∈N *时，不等式(nx −6)ln(nx)≥0恒成立，则实数x 可取下面哪些值（）A ．1B ．2C ．3D ．4三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=√x +4+ln(1−x)，则f （2x ）的定义域为．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(35，45)，则tan2α＝．15．某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒次．（lg 2≈0.3010）16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，g(x)=f(x 2+π4)，若对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立，则实数m 的取值范围是．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x+1x−5＞0}，B={x|y=√3x−9}，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．（1）若（∁R A）∩B；（2）若A∪C＝R，求m的取值范围．18．（12分）（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；（2）已知sinα+cosα=12，且α∈（0，π），求1sinα−1cosα的值．19．（12分）已知f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x．（1）求函数y＝f（x）在R上的单调增区间；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）的图象关于直线x=π6对称，求m取最小值时的y＝g（x）的解析式．20．（12分）已知函数f(x)=log2(2x)⋅log2x4．（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＜m log2x对于x∈[2，8]恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12min，其中心O距离地面40.5m，半径40m．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间t（单位：min）之后，请解答下列问题．（1）求出你与地面的距离h（单位：m）与时间t之间的函数解析式；（2）当你登上摩天轮2min后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差H （单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．22．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣|x﹣a|，a∈R．（1）当a＝1时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当﹣1≤a≤2时，若对任意的x∈[1，4]，均有f（x）+bx≤0成立，求a2+b的最大值．2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）解：集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{a，0}，B⊆A，则实数a的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．故选：B．2．已知点P（tanθ，sinθ）是第二象限的点，则θ的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为点P（tanθ，sinθ）在第二象限，所以sinθ＞0，tanθ＜0，所以θ为第二象限角．故选：B．3．若a，b∈R，则“2a﹣b＞1”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据指数函数y＝2x是R上的增函数，可知2a﹣b＞1等价于2a﹣b＞20，即a﹣b＞0，因为“a﹣b＞0”是“a＞b”的充要条件，所以“2a﹣b＞1”是“a＞b”的充要条件．故选：C．4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−18，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．（﹣3，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）解：因为函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−1 8，当x＞0时，﹣x＜0，所以f（﹣x）=2−x−18=−f（x），所以f（x）=18−12x，又f（0）＝0，则f（x）＜0可转化{x＜02x−18＜0或{x＞018−12x＜0，解得，x＜﹣3或0＜x＜3．故选：C．5．已知点(3，19)在幂函数f（x）＝xα的图象上，设a＝f（log25），b＝f（ln2），c=f(tanπ3)，则a，b，c的大小关系为（） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a解：∵点(3，19)在幂函数f （x ）＝x α的图象上，∴3α=19，∴α＝﹣2，∴f （x ）＝x ﹣2，在（0，+∞）上单调递减，∵log 25＞log 24＝2，0＝ln 1＜ln 2＜lne ＝1，tan π3=√3， ∴0＜ln 2＜tan π3＜log 25，∴f （ln 2）＞f （tan π3）＞f （log 25），即b ＞c ＞a ．故选：D ． 6．函数f(x)=x 2lg2+x2−x的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．解：由2+x 2−x＞0解得﹣2＜x ＜2，所以f （x ）的定义域为（﹣2，2），f(−x)=x 2lg2−x 2+x =x 2lg(2+x 2−x )−1=−x 2lg 2+x2−x=−f(x)，所以f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC 选项． f （1）＝lg 3＞0，由此排除D 选项．故选：A ．7．若关于x 的方程2sin x cos x ﹣cos2x ＝1在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，sin （x 1+x 2）的值为（） A ．12B ．√22C ．√32D ．√2+√64解：2sin x cos x ﹣cos2x ＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π4）＝1在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，等价于sin （2x −π4）=√22在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，x ∈[0，π）⇒2x −π4∈[−π4，7π4），依题意，得2x 1−π4+2x 2−π4=π，解得x 1+x 2=3π4，sin （x 1+x 2）＝sin 3π4=√22．故选：B ．8．已知函数f （x ）＝sin x ，若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为（） A ．6B ．7C ．8D ．9解：∵y ＝sin x 对任意x i ，x j （i ，j ＝1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min ＝2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i ＝1，2，3，…，m ）取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12，按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8．故选：C ．二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（）A ．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C ．终边落在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α=π4+kπ，k ∈Z}D ．函数y =tan(2x −π6)的定义域为{x|x ≠π3+kπ2，k ∈Z}解：对于A ，由任意角的定义可知，若角α与角β不相等，则α与β的终边也可能重合，例如α=π6，β=13π6，故A 错误；对于B，由扇形的面积公式可得，扇形的面积为12×lα×l=12×ππ3×π=32π，故B正确；对于C，终边落在直线y＝x上的角的集合是{α|π4+kπ，k∈Z}，故C正确；对于D，由正切函数的定义域可得，2x−π6≠π2+kπ，k∈Z，∴x≠π3+kπ2，即函数y=tan(2x−π6)的定义域为{x|x≠π3+kπ2，k∈Z}，故D正确．故选：BCD．10．设正实数x，y满足x+y＝2，则下列说法正确的是（）A．1x+1y的最小值为2B．xy的最小值为1C．√x+√y的最大值为4D．x2+y2的最小值为2解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2，∴1x+1y=12(x+y)(1x+1y)=12(2+yx+xy)≥12(2+2√yx⋅xy)=2，当且仅当yx=xy，即x＝y＝1时等号成立，故选项A正确；∵x+y=2≥2√xy，∴xy≤1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故选项B错误；∵2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，则2（a2+b2）≥（a+b）2，∴（a+b）2≤2（a2+b2），∴(√x+√y)2≤2[(√x)2+(√y)2]=4，∴√x+√y≤2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，最大值为2，故选项C错误；x2+y2≥(x+y)22=2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故选项D正确．故选：AD．11．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|＜π2)，且经过点（1，2）．则下列说法正确的是（）A．函数f(x+14)是奇函数B．函数f（x）在区间（1，2）上单调递减C．∃n∈N*，使得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＞2 D．∀x∈R，存在常数m使得f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝m解：因为f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|＜π2)经过（1，2），所以sin （2π3+φ）＝1，即2π3+φ＝2k π+π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π−π6，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ=−π6，则f （x ）＝2sin （2π3x −π6）．对于A ，f （x +14）＝2sin[2π3（x +14）−π6]＝2sin 2π3x ，故为奇函数，所以A 正确；对于B ，x ∈（1，2）时，结合正弦函数的性质可知x ∈（1，2）时，f （x ）单调递减，所以B 正确；对于D ，f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）＝2sin （2π3x +π2）+2sin （2π3x +7π6）+2sin （2π3x +2π−π6）＝2cos 2π3x﹣2sin （2π3x +π6）+2sin （2π3x −π6）＝2cos 2π3x ﹣2（sin 2π3x cos π6+cos 2π3x sin π6）+2（sin 2π3x cos π6−cos 2π3x sin π6）＝2cos 2π3x ﹣2cos 2π3x ＝0，所以f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）恒为0，所以D 正确；对于C ，当n ＝3k ，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝0，当n ＝3k +1，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝f （n ）＝2sin （2π3n −π6）≤2，当n ＝3k +2，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝f （n ﹣1）+f （n ）＝2sin （2π3n −5π6）+2sin （2π3n −π6）＝2（sin 2π3n •cos 5π6−cos 2π3n •sin 5π6）+2（sin 2π3n •cos π6−cos 2π3n •sin π6）＝﹣2cos 2π3n ≤2，所以C 错误．故答案为：ABD ．12．若n ∈N *时，不等式(nx −6)ln(nx)≥0恒成立，则实数x 可取下面哪些值（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：当x ＝1时，n ＝2时，（n ﹣6）lnn ＝﹣4ln 2＜0，不等式(nx −6)ln(nx )≥0不恒成立，故A 错误；当x ＝2时，不等式即为（2n ﹣6）ln n2≥0，当n ＝1，2，3时，原不等式恒成立；n ≥4时，原不等式恒成立，故B 正确；当x ＝3时，不等式即为（3n ﹣6）ln n3≥0，当n ＝1，2，3时，原不等式恒成立；n ≥4时，原不等式恒成立，故C 正确；当x ＝4时，不等式即为（4n ﹣6）ln n 4≥0，当n ＝2时，8﹣6＝2，ln 12＜0，原不等式不恒成立，故D 错误．故选：BC ．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=√x +4+ln(1−x)，则f （2x ）的定义域为 [﹣2，12）．解：由题意得，{x +4≥01−x ＞0，解得﹣4≤x ＜1，令﹣4≤2x ＜1，则﹣2≤x ＜12，故f （2x ）的定义域为[﹣2，12）．故答案为：[﹣2，12）．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(35，45)，则tan2α＝ −247 ．解：由角终边经过点(35，45)，故tanα=4535=43，则tan2α=2tanα1−tan 2α=2×431−(43)2=−247．故答案为：−247． 15．某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 5 次．（lg 2≈0.3010）解：设喷洒x 次，则：（1﹣0.8）x ＜0.1%＝10﹣3，∴xlg 0.2＜﹣3，∴x ＞31−lg2，且lg 2≈0.3010，∴31−lg2≈4.3，∴x ≥5，即至少喷洒5次．故答案为：5．16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，g(x)=f(x 2+π4)，若对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立，则实数m 的取值范围是 (π2，17π24] ．解：g(x)=f(x 2+π4)=sin(x +π2+π6)=cos(x +π6)，所以f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ），所以sin(2a +π6)−sin(2b +π6)＜cos(2a +π6)−cos(2b +π6)，所以sin(2a +π6)−cos(2a +π6)＜sin(2b +π6)−cos(2b +π6)，所以√2sin(2a +π6−π4)＜√2sin(2b +π6−π4)⇒sin(2a −π12)＜sin(2b −π12)，因为对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立所以对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，2a −π12＞2b −π12，sin(2a −π12)＜sin(2b −π12)恒成立， x ∈[π−m ，m]，2x −π12∈[23π12−2m ，2m −π12]．不妨设2x −π12=t ，则问题转化成h （t ）＝sin t 在t ∈(23π12−2m ，2m −π12)单调递减，所以{23π12−2m ≥π2+2kπ，2m −π12≤3π2+2kπ，2m −π12＞23π12−2m其中k ∈Z ，解得π2＜m ≤17π24，所以m 的取值范围为(π2，17π24]．故答案为：(π2，17π24]．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x+1x−5＞0}，B={x|y=√3x−9}，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．（1）若（∁R A）∩B；（2）若A∪C＝R，求m的取值范围．解：（1）集合A={x|x+1x−5＞0}={x|x＜﹣1或x＞5}，B={x|y=√3x−9}={x|x≥2}，∴∁R A＝{x|﹣1≤x≤5}，∴（∁R A）∩B＝{x|2≤x≤5}；（2）∵A∪C＝R，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．∴2m+1≥5，解得m≥2，∴m的取值范围是[2，+∞）．18．（12分）（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；（2）已知sinα+cosα=12，且α∈（0，π），求1sinα−1cosα的值．解：（1）解方程2x2+x﹣1＝0，得x1＝﹣1，x2=12，∵tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，∴tanα=1 2，∴3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α=3sin2α−sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=3tan2α−tanα+2tan2α+1=3×14−12+214+1=95．（2）∵sinα+cosα=12，且α∈（0，π），∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα=1 4，∴2sinαcosα=−3 4，∵α∈（0，π），∴α∈（π2，π），∴cos﹣sinα=−√(cosα−sinα)2=−√1−2sinθcosθ=−√1+34=−√72，∴1sinα−1cosα=cosα−sinαsinαcosα=−√72−38=4√73．19．（12分）已知f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x．（1）求函数y＝f（x）在R上的单调增区间；（2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）的图象，若函数y ＝g （x ）的图象关于直线x =π6对称，求m 取最小值时的y ＝g （x ）的解析式．解：（1）由于f(x)=2√3sinxcosx −2sin 2x =√3sin2x ﹣2•1−cos2x 2=2sin （2x +π6）﹣1，令2k π−π2≤2x +π6≤2k π+π2，k ∈Z ，求得k π−π3≤x ≤k π+π6，k ∈Z ，可得函数的增区间为[k π−π3，k π+π6]，k ∈Z ．（2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位，可得y ＝2sin （2x +2m +π6）﹣1的图象；再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）＝2sin （x +2m +π6）﹣1的图象．若函数y ＝g （x ）的图象关于直线x =π6对称，则π6+2m +π6=k π+π2，k ∈Z ，即m =12•k π+π12，k ∈Z ．令k ＝0，求得m 取最小值为π12，此时，y ＝g （x ）＝2sin （x +π3）﹣1． 20．（12分）已知函数f(x)=log 2(2x)⋅log 2x 4．（1）当x ∈[1，4]时，求该函数的值域；（2）若f （x ）＜m log 2x 对于x ∈[2，8]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）f （x ）＝log 2（2x ）•log 2x 4=（1+log 2x ）（log 2x ﹣2）=log 22x ﹣log 2x ﹣2，令log 2x ＝t ，则函数化为y ＝t 2﹣t ﹣2，t ∈[0，2]，因此当t =12时，y ＝t 2﹣t ﹣2取得最小值−94，当t ＝2时，y ＝t 2﹣t ﹣2，t ∈[0，2]取得最大值0，即当x =√2时，函数f （x ）取得最小值−94；当x ＝4时，函数f （x ）取得最大值0，可得函数的值域为[−94，0]；（2）f （x ）＜m log 2x ，x ∈[2，8]恒成立，即log 22x ﹣（m +1）log 2x ﹣2＜0，x ∈[2，8]恒成立，令log 2x ＝t ，则t 2﹣（m +1）t ﹣2＜0，t ∈[1，3]恒成立，令g （t ）＝t 2﹣（m +1）t ﹣2＜0，t ∈[1，3]，则{g(1)=−2−m ＜0g(3)=4−3m ＜0，解得m ＞43，所以实数m 的取值范围为（43，+∞）．21．（12分）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12min ，其中心O 距离地面40.5m ，半径40m ．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间t （单位：min ）之后，请解答下列问题．（1）求出你与地面的距离h （单位：m ）与时间t 之间的函数解析式；（2）当你登上摩天轮2min 后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差H （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值．解：（1）由已知可设y ＝40.5﹣40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以6ω＝π，即ω=π6，所以y ＝40.5﹣40cos π6t ，t ≥0；（2）由题意，两人距离地面的高度差H ＝40.5﹣40cos π6t ﹣[40.5﹣40cos π6（t ﹣2）] ＝40×[cos π6（t ﹣2）﹣cos π6t ] ＝40×（−12cos π6t +√32sin π6t ）＝40sin （π6t −π6），令π6t −π6=k π+π2，k ∈Z ，可得t ＝4+6k ，k ∈Z ，所以当t ＝4+6k ，k ∈Z 时，高度差的最大值40（米）．22．（12分）设函数f （x ）＝ax 2﹣|x ﹣a |，a ∈R ．（1）当a ＝1时，判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当﹣1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1，4]，均有f （x ）+bx ≤0成立，求a 2+b 的最大值．解：（1）由题意得当a ＝1时，函数f （x ）＝x 2﹣|x ﹣1|，且函数f （x ）的定义域为R ，∴f （﹣x ）＝x 2﹣|﹣x ﹣1|＝x 2﹣|x +1|，∵f （﹣x ）≠f （x ），f （﹣x ）≠﹣f （x ），∴f （x ）是非奇非偶函数；（2）因为当﹣1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1，4]，均有f （x ）+bx ＝ax 2﹣|x ﹣a |+bx ≤0成立，∴令g （x ）＝ax 2﹣|x ﹣a |+bx ={ax 2−x +a +bx ，x ≥a ax 2+x −a +bx ，x ＜a ， ①当a ＝0时，g （x ）＝bx ﹣x ＝（b ﹣1）x ≤0，对任意的x ∈[1，3]恒成立，即3（b ﹣1）≤0，解得b ≤1，a 2+b ＝b 的最大值为1；②当﹣1≤a ＜0时，g （x ）＝ax 2﹣（x ﹣a ）+bx ＝ax 2+（b ﹣1）x +a ，x ∈[1，3]，对称轴为x =1−b 2a ，（i ）1−b 2a ≤1，则1﹣b ≥2a ，（a ＜0不等号方向改变），g （1）≤0即a +b ﹣1+a ≤0，所以b ≤1﹣2a ，则a 2+b ≤a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2，a 2+b 的最大值为1；（ii ）1−b 2a≥3时，1﹣b ≤6a ，即b ≥1﹣6a ，所以g （3）≤0，即b ≤1−103a ，无解；（iii ）1＜1−b 2a ＜3时，1﹣2a ＜b ＜1﹣6a ，所以g （1−b 2a）≤0，即a ⋅(1−b 2a )2+(b −1)×1−b 2a +a ≤0，即4a 2≥（1﹣b ）2，所以1+2a ≤b ≤1﹣2a 无解；③当0＜a ≤1时，g （x ）＝ax 2﹣（x ﹣a ）+bx ＝ax 2+（b ﹣1）x +a ，x ∈[1，3]，对称轴为x =1−b 2a ，（i ）1−b 2a ≤1，则1﹣b ≤2a ，g （3）≤0即b ≤1−103a ，无解；（ii ）1−b 2a≥3时，1﹣b ≥6a ，即b ≤1﹣6a ，g （1）≤0，b ≤1﹣2a ，则b ≤1﹣6a ，则a 2+b ≤a 2﹣6a +1＝（a ﹣3）2﹣8，∵0＜a ≤1，∴a 2+b 的最大值为1；（iii ）1＜1−b 2a ＜3时，1﹣6a ≤b ≤1﹣2a ，g （3）≤0，g （1）≤0，则b ≤1−103a 且b ≤1﹣2a ， ∴1﹣6a ≤b ≤1−103a ，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，a 2+b 的最大值为1；④当1≤a ≤2时，g(x)={ax 2−x +a +bx ，a ≤x ≤3ax 2+x −a +bx ，1≤x ≤a， g （3）≤0，g （1）≤0，g （a ）≤0，即{a +1−a +b ≤0a 3+ab ≤09a −3+a +3b ≤0，则{b ≤−1b ≤−a 2b ≤1−10a 3，而1≤a ≤2，∴b ≤1−10a 3，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，令p （a ）＝a 2+1−103a ，1≤a ≤2，则p '（a ）＝2a −103，即p （a ）在[1，53]上单调递减，在[53，2]上单调递增，又p （1）=−43，p （2）=−53，所以p （a ）的最大值为−43．综上所述，对任意的x ∈[1，3]，均有f （x ）+bx ≤0成立，则a 2+b 的最大值为−43（所有最大值中的最小值）．。

无锡市天一中学2024-2025学年10月份阶段性检测数学试题(含解析)

高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A ={x |−2<x <5}，B ={x |1−2x >3}，则A B =( )A ．(−2,−1) B ．(−2,1) C ．(1,5) D ．(−1,5)2．（5分）不等式101xx+− 的解集为( ) A ．{|1x x 或1}− B ．{|11}x x − C ．{|1x x 或1}x <− D ．{|11}x x −<3．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为( ) A ．6−B ．6C ．8D ．8−4．（5分）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ABC ∆中，BCAC=上面可得sin126(°= )ABC D 江苏省天一中学2024-2025学年10月份阶段性检测6．（5分）设ABC ∆的三边长为BC a =，CA b =，AB c =，若tan 2A ab c=+，tan 2B b a c =+，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7．（5分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中．11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )AB C ．1+D ．38．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为( )A ．34B C ．916D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB，}OC 是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两个顶点分别为1(,0)A a −，2(,0)A a ，P ，Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b −，且四边形12A PA Q 的面积为12A PA Q ，则双曲线C 的方程为( )A ．2212x y −=B ．2212y x −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=11．（5分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是α，β，γ，PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆的面积分别为PAB S ∆，PAC S ∆，PBC S ∆，ABC S ∆，则以下说法正确的是( )A ．222sin sin sin 1αβγ++=B ．222cos cos cos 1αβγ++=C ．PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D ．ABC ∆是锐角三角形12．（5分）设1e，2e 为单位向量，满足12|2|e e − ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为( )A ．1920B ．2029C ．2829D ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为．14．（5分）若复数z 满足|32|1z i −+=，则|62|z i −−的最小值为．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2.s 若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22s x −的最大值为．16．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC ∆的外心，且有AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A −+=，若AO xAB y AC =+，x ，y R ∈，则2x y −=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知圆C 的方程：22240x y x y m +−−+=．（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆22:(3)(1)16D x y +++=相外切时，求直线:240l x y +−=被圆C 所截得的弦MN 的长． 18．（12分）已知向量(1,2)a =−，||b = （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b −⋅+ 的值． 19．（12分）已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =−，949S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点(2,,1)n n n n P a c +−，(n n Q b ，1−，1)，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（12分）“绿水青山，就是金山银山．”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同．设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．（Ⅰ）设第n 年的投入为n a 万元，旅游业收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：20.301lg ≈，30.477)lg ≈21．（12分）已知三棱锥M ABC −中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N在线BC 上，且23BN BC = ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C −−的正弦值．22．（12分）已知圆22:4O x y +=和定点(1,0)A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =−≠与曲线C 交于不同两点M ，N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：||||AP AQ =．天一高二上第一次检测数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合{|25}A x x =−<<，{|123}B x x =−>，则(A B = ) A ．(2,1)−−B ．(2,1)−C ．(1,5)D ．(1,5)−【分析】先求出集合B ，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：{|25}A x x =−<<，{|123}{|1}B x x x x =−>=<−，则{21}A B x =−<<− ．故选：A ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）不等式101xx+− 的解集为( ) A ．{|1x x 或1}− B ．{|11}x x − C ．{|1x x 或1}x <− D ．{|11}x x −<【分析】不等式等价于101x x +− ，即(1)(1)0x x +− ，且10x −≠，由此求得不等式的解集．【解答】解：不等式等价于101x x +− ，即(1)(1)0x x +− ，且10x −≠，解得11x −< ，故不等式的解集为{|11}x x −< ，故选：D ．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 3．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为( ) A ．6−B ．6C ．8D ．8−【分析】利用偶函数的性质，将方程转化为2(||)(||)3x f x f x +=+，再利用()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数，从而得到23x x x +=−+或23x x x +=+，然后化简变形，然后由韦达定理求解即可．【解答】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()(||)f x f x f x =−=，又函数的图象是连续不断的，且在(0,)+∞上为单调递增函数，则2()()3x f x f x +=+等价于2(||)(||)3x f x f x +=+，所以23x x x +=−+或23x x x +=+，即2420(3)x x x ++=≠−或2220(3)x x x +−=≠−，设2420(3)x x x ++=≠−的两个根为m ，n ，则4m n +=−，设2220(3)x x x +−=≠−的两个根为a ，b ，则2a b +=−，所以满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为426−−=−．故选：A ．【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的应用，主要考查了函数奇偶性的应用以及单调性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．4．（5分）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断函数的图象上的点即可得到结果．【解答】解：函数()2cos f x x x =，()2cos ()f x x x f x −=−=−，所以函数是奇函数，排除B 、D ，当0x →时，函数()2cos 0f x x x =>，函数的图象在第一象限，排除C ，故选：A ．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，这类问题，一般通过函数的定义域，值域，单调性、奇偶性，以及函数的图象经过的特殊点判断．5．（5分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ABC ∆中，BC AC=上面可得sin126(°= )A BC D 【分析】由顶角是36°的等腰三角形底边与腰的比值可得18°的正弦值，再由诱导公式可得sin126cos36°=°，再由二倍角公式，求出126°的正弦值．【解答】解：由BC AC =ABC ∆为等腰三角形且顶角36°，所以sin18°，2sin126cos3612sin 18°°−° 故选：C ．【点评】本题考查黄金三角形的性质的应用及诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题． 6．（5分）设ABC ∆的三边长为BC a =，CA b =，AB c =，若tan 2A a b c=+，tan 2B ba c =+，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【分析】利用正弦定理可得sin sin 1cos B C A +=+与sin sin 1cos A C B +=+，两式作差后平方，可得sin 2sin 2A B A B =⇒=或2A B π+=，从而可得答案．【解答】解：在ABC ∆中，若tan 2A a b c=+，则sin sin 1cos sin sin A AA B C =++，整理得sin sin 1cos B C A +=+①；又tan2B ba c=+，同理可得sin sin 1cos A C B +=+② ①−②得，sin sin cos cos B A A B −=−，即sin cos sin cos A A B B +=+， sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或2A B π+=，则ABC ∆是等腰三角形或直角三角形，故选：C ．【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦的应用，考查运算求解能力，属于中档题．7．（5分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中．11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )AB C ．1+D ．3【分析】将立体图展开成平面图，设点1C 的新位置为C ′，连接AC ′，即可得到AC ′即为1AP PC +的最小值，解三角形即可．【解答】解：连接1BC ，得△11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将△11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C ′，连接AC ′，则AC ′即为1AP PC +的最小值，由题意可知11AA =，AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，得112A B BC A C′′===， 1160AA B BA C ′∠=∠=°，所以在△1AA C ′中，AC ′=故选：B ．【点评】本题考查距离最小值问题，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象能力，属于中档题． 8．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为( )A ．34B C ．916D 【分析】设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，外层椭圆设为22221(1)()()x y m ma mb +=>，设切线的方程为1()y k x ma =+，分别与两个椭圆方程联立，求解42221249()16b k k a −，然后求解离心率即可．【解答】解：设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，可设成，22221(1)()()x y m ma mb +=>，设切线的方程为1()y k x ma =+，切线的方程为1()y k x a =+与22221x y a b +=联立得，22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +++−=，由△0=，则221221(1)b k a m =×−，同理22222(1)b k m a =−，所以42221249()16b k k a −，因此e =．故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB，}OC 是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线【分析】根据基底的含义，非零向量OA ，OB ，OC不在同一平面内，即O ，A ，B ，C 四点不共面，从而可得结论．【解答】解：因为{OA ，OB ，}OC是空间的一个基底，所以非零向量OA ，OB ，OC不在同一平面内，即O ，A ，B ，C 四点不共面，所以A 、C 、D 选项说法正确，B 错误．故选：ACD ．【点评】本题考查空间向量基本定理中基底的含义，属于基础题．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两个顶点分别为1(,0)A a −，2(,0)A a ，P ，Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b −，且四边形12A PA Q 的面积为12A PA Q ，则双曲线C 的方程为( )A ．2212x y −=B ．2212y x −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=【分析】四边形12A PA Q 的面积为∴142a b ×××，再根据内切圆的周长可以求出内切圆的半径，再利用内切圆半径×周长2÷=四边形12A PA Q 的面积，进而得到关于a ，b 的两个方程，求解即可得答案．【解答】解：四边形12A PA Q 的面积为∴142a b ×××ab = 记四边形12A PA Q 内切圆半径为r ，则2r π=，得r =∴2cr =，∴c =，又2223c a b =+= ，得1a b ==，或1a b = =C 的方程为2212x y −= 或2212y x −=．故选：AB ．【点评】本题考查双曲线方程的求法，本题四边形12A PA Q 的面积用了两种方法计算，进而得到方程，考查了“算两次”思想在解题过程中的应用，属于中档题．11．（5分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是α，β，γ，PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆的面积分别为PAB S ∆，PAC S ∆，PBC S ∆，ABC S ∆，则以下说法正确的是( )A ．222sin sin sin 1αβγ++=B ．222cos cos cos 1αβγ++=C ．PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D ．ABC ∆是锐角三角形【分析】选项A ，B ，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF −，可判断；选项C ，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，可得PAB OAB S S ∆∆>，同理PAC OAC S S ∆∆>，PBC OBC S S ∆∆>，可判断；选项D ，设PA x =，PB y =，PC z =，在ABC ∆中，利用余弦定理表示三个角的余弦，可判断．【解答】解：如图所示，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF −，则PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是αβγ，即分别为IPM ∠，EPM ∠，GPM ∠，不妨设DE a =，DI b =，DP c =则222222sin sin sin 1αβγ++=++，故选项A 正确；222222cos cos cos 2αβγ++=++，故选项B 不正确；如图所示，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，由三垂线定理可得，MN AB ⊥，由于PON ∆为以O ∠为直角的直角三角形，因此PN ON >，故PAB OAB S S ∆∆>，同理PAC OAC S S ∆∆>，PBC OBC S S ∆∆>， PAB PAC PBC ABC OBC OAC OAB S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∴++>=++，故选项C 正确；不妨设PA x =，PB y =，PC z =，则AB AC BC 在ABC ∆中，cos 0,cos 0,cos 0A BC=>>>，因此ABC ∆为锐角三角形，故选项D 正确．故选：ACD ．【点评】本题主要考查空间图形的综合问题，考查了学生空间想象，构造，综合分析，数学运算等能力等知识，属于中等题．12．（5分）设1e，2e为单位向量，满足12|2|e e − ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为( )A ．1920B ．2029C ．2829D ．1【分析】由已知结合向量数量积的性质先求出12e e ⋅的范围，然后结合向量数量积的定义及夹角公式进行求解即可．【解答】解：因为1e ，2e为单位向量，且满足12|2|e e −所以124412e e −⋅+ ，即1234e e ⋅ ，所以121212()(3)44a b e e e e e e ⋅=+⋅+=+⋅，221212||()22a e e e e =+=+⋅ ，221212||(3)106b e e e e =+=+⋅ ，则22212122212121212(44)4(1)()424228cos (1)(1)33329||||(22)(106)5353534e e e e a b a b e e e e e e e e θ+⋅+⋅⋅====−−=+⋅+⋅+⋅+⋅+×故选：CD ．【点评】本题主要考查了向量数量积性质的综合应用，考查了函数取值范围的求解，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为【分析】利用对立事件的概率公式求解即可．【解答】解：由题意，取得两个绿玻璃球的概率为115，所以至少取得一个红球的概率为11411515−=．故答案为：1415．【点评】本题考查了对立事件概率公式的理解与应用，属于基础题． 14．（5分）若复数z 满足|32|1z i −+=，则|62|z i −−的最小值为 4 ．【分析】利用复数的几何意义，先确定复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,2)C −为圆心，半径为1的圆，|62|z i −−表示复数z 对应的点Z 与点(6,2)P 之间的距离，然后由圆的几何性质分析求解即可．【解答】解：因为复数z 满足|32|1z i −+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,2)C −为圆心，半径为1的圆，又|62|z i −−表示复数z 对应的点Z 与点(6,2)P 之间的距离，所以|62|z i −−的最小值为11514PC −=−=−=．故答案为：4．【点评】本题考查了复数模的几何意义的理解与应用，圆的几何性质的运用，两点间距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2.s 若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22s x −的最大值为 1− ．【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．【解答】解：设新数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数为1x ，方差为21s ，一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2s ，∴131x x =+，2219s s =， 131x + ，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，∴23194x s +=+， ∴21133s x =−， 222211111()33636s x x x x −=−−=−−−，又 211033s x =− ，∴1x ，故当1x =时，22s x −取得最大值，最大值为1−．故答案为：1−．【点评】本题主要考查方差与平均数的求解，掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC ∆的外心，且有AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A −+=，若AO xAB y AC =+，x ，y R ∈，则2x y −=3− ．【分析】设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B ，A ，C ，再将AO xAB y AC =+ 的两边点乘AB ，AC，运用向量数量积的定义和性质，可得x ，y 的方程组，解方程组得x ，y 的值，计算即可．【解答】解：设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A +=，可得c a +，sin cos cos sin C A C A C +，即为sin()C A C +，即有sin B C =，可得b =，a c =，222222231cos 222c a b c c c B ac c +−+−===−，可得120B =°，30A C ==°，若AO xAB y AC =+可得2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，即有22212c xc y =，化为231x y +=，...①又可得2AO AC xAB AC y AC ⋅=⋅+ ，即有22233322c xc y c =+⋅，化为21x y +=，...② 由①②解得1x =−，1y =，所以21213x y −=−−×=−．故答案为：3−．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量数量积的定义和性质，以及三角形函数的化简和求值问题，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知圆C 的方程：22240x y x y m +−−+=．（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆22:(3)(1)16D x y +++=相外切时，求直线:240l x y +−=被圆C 所截得的弦MN 的长．【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m 的取值范围；（Ⅱ）根据圆与圆相切的等价条件求出m 的值，结合直线的弦长公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C 的方程可化为22(1)(2)5x y m −+−=− …（2分）令50m −>，得5m <．…（4分）（Ⅱ）圆22:(1)(2)5C x y m −+−=−，圆心(1,2)C ，半径r=圆22:(3)(1)16D x y +++=，圆心(3,1)D −−，半径4R =…（6分）圆C 与圆D 相外切∴4=+，解得4m = …（8分）圆心(1,2)C 到直线:240l x y +−=的距离为d =…（10分）||MN ∴= …（12分）【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）已知向量(1,2)a =−，||b = （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b −⋅+ 的值．【分析】（1）根据题意，可得(,2)b a λλλ==−，由向量模的计算公式可得λ的值，即可得答案；（2）根据题意，求出a b ⋅的值，又由数量积的运算性质计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若b a λ=，则(,2)b a λλλ==− ，又由||b =2520λ=，解可得2λ=±，又由0λ<，则2λ=−，则(2,4)b −；（2）根据题意，向量(1,2)a =−，则||a = ，又由||b = a 与b 的夹角为23π，则2cos 53a b π⋅=− ，22()(2)2102055a b a b a b a b −⋅+=−−⋅=−+=− ．【点评】本题考查向量数量积性质以及运算，涉及向量数量积的计算，属于基础题． 19．（12分）已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =−，949S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点(2,,1)n n n n P a c +−，(n n Q b ，1−，1)，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，5342b b b =− ，221q q ∴=−，得12q =，1q =−（舍)，又112b =，∴1112n n n b b q −==． 949S b = ，∴541992a ×=，解得516a =，又14a =，∴51123514a a d−===−， 4(1)331n a n n ∴=+−×=+．（2）由（1）得31na n =+，12n nb =． n n OP OQ ⊥ ，∴210n n n n n a b bc +−−=，∴312n n n c +=． ∴234710312222n n n T +=+++…+，① ①式等号两边同乘以12，得234147103122222n n T n ++=+++…+，②①−②得2312311111(1)4333311111131131737223()31222222222222222212n n n n n n n n T n n n n ++++−++++=+++…+−=++++…+−=+×−=−−． ∴3772n nn T +=−．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，错位相减法求和，属于中档题． 20．（12分）“绿水青山，就是金山银山．”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同．设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．（Ⅰ）设第n 年的投入为n a 万元，旅游业收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：20.301lg ≈，30.477)lg ≈【分析】（Ⅰ）由题意知{}n a ，{}n b 均为等比数列，根据条件中的数列{}n a 的首项和公比直接写出通项公式，设数列{}n b 的公比为q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入．分别计算出经过n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知{}n a ，{}n b 均为等比数列，数列{}n a 的首项为1200，公比为4120%5−=，所以141200()5n n a −=⋅，设数列{}n b 的公比为q ，显然q 0>，q ≠1．所以三年内旅游业总收入为3400(1)15251q q−=−，即261116q q ++=，所以21616450q q +−=，解得54q =或94q =−（舍) 所以15400()4n n b −=⋅．（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入．则经过n 年，总投入为41200[1()]456000[1()]4515n n −=−−，经过n 年，旅游业总收入为5400[1()]541600[()1]5414n n −=−−，所以541600[()1]6000[1()]45n n −>−，化简得4515()4()19054n n ⋅+⋅−>，设4()(01)5n tt <<，代入上式得2151940t t −+>，解此不等式，得t 1>（舍去）或t 415<，即44()515n <，解得45422(35)3231 5.915225321lg lg lg lg lg n log lg lg lg −+−−>==≈−−，由此得n 6 ．所以至少经过6 年，旅游业的总收入才能超过总投入．【点评】本题考查等比数列及其前n 项和的实际应用，考查学生的应用数列模型的能力和运算能力，属中档题．21．（12分）已知三棱锥M ABC −中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在线BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C −−的正弦值．【分析】（1）只需证明OB AC ⊥及OB OM ⊥即可；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可．【解答】解：( 1)如图所示：连接OM ，AC ，OM 相交于O ，在ABC ∆中：2,ABBC AC ===90,ABC BO ∠=°，OB AC ⊥．在MAC ∆中：MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且OM =在MOB ∆中：BO OM MB =，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥，故OB ⊥平面AMC ；（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz −如图所示．因为MA MB MC AC ====，2ABBC ==则(0,A B C M ，由23BN BC =所以，N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则(,,)0,(,,)0AN m x y z x y AM m x y z ⋅=⋅= ⋅=⋅=+令y =(1)m −− ，因为BO ⊥平面AMC，所以OB = 为平面AMC 的法向量，所以(1)m −− 与OB = 所成角的余弦为cos ,m OB <>= ．所以二面角的正弦值为2|sin ,|m OB <>== ．【点评】本题考查线面垂直的判定及二面角正弦值的求法，考查空间向量在立体几何中运用，属于常规题目．22．（12分）已知圆22:4O x y +=和定点(1,0)A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =−≠与曲线C 交于不同两点M ，N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：||||AP AQ =．【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【解答】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取(1,0)A ′−．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA ′的中点，C 为AP 中点，所以||2||A P OC ′=．所以||||222224||2PA PA OC AC OC CD OD AA ′+=+=+==>′=，所以动点P 的轨迹是以A ，A ′为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =−=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=；（2）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由22(4)3412y k x x y =− +=，得2222(34)3264120k x k x k +−+−=，依题意△2222(32)4(34)(6412)0k k k =−−+−>，即2104k <<， 21223234k x x k +=+，2122641234k x x k −=+，为12121212121212(4)(4)[5()8]1111(1)(1)MA NA y y k x k x k x x x x k k x x x x x x −−−+++=+=+=−−−−−− 222212641232[2()5()8]34340(1)(1)k k k k k x x −⋅−⋅+++=−−，所以直线MP 倾斜角与直线NQ 倾斜角互补，即OAP OAQ ∠=∠．因为OA PQ ⊥，所以||||AP AQ =．【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

江苏省天一中学2023-2024学年12月阶段测试卷(高一数学试卷)答案解析

江苏省天一中学2023-2024学年12月阶段测试卷高一数学试卷答案与解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.已知集合{}|02M x x =≤≤，(){}2|log 1N x y x ==−，则M N ∩为（）A.[]0,1B.[)0,1C.(]1,2D.[]1,2【答案】B 【解析】(){}2|log 1Nx y x ==− ，10x ∴−>，{}|1N x x ∴=<，[)0,1M N ∴∩=.2.已知条件p ：240x −<，条件q ：25631x x −+>，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设α是第二象限角，(),1P x 为其终边上一点，且1cos 3x α=，则tan α=（）A. B. C. D.−4.若函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()12xf x=，则()f x 的值域为（）A.()()1,00,1−∪B.()(),11,−∞−∪+∞C.()1,1−D.()(),00,−∞∪+∞【答案】C【解析】当0x =时，()0f x =；当0x >时，()()0,1f x ∈；当0x <时，()()1,0f x ∈−；综上，()f x 的值域为()1,1−.5.已知()()3cos sin 5x x π−+−=，则sin sin 2x x π⋅+=（） A.1625 B.1625− C.825D.825−6.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，则（） A.b a c >> B.c a b >> C.c b a >> D.a c b >>7.若存在正实数x ，y 满足于411y x +=，且使不等式234y x m m +<−有解，则实数m 的取值范围是（） A.()4,1− B.()1,4− C.()(),14,−∞−∪+∞ D.()(),41,−∞−∪+∞8.已知0a >，且1a ≠，函数()2,2,2xa x x f x a a x −> = −≤，若关于x 的方程()1f x =有两个不相等是实数根，则a 的取值范围是（）A.B. C.31,2D.32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一入学分班考数学试题含答案

高一入学分班考试一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.下列运算正确的是(）A 、932=-B、()842=-C 、()932-=-D、16214=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2.函数x y 2=与xy 18=的的图象相交于A 、B 两点(其中A 在第一象限)，过A 作AC 垂直于x 轴，垂足为C ，则△ABC 的面积等于()A 、18B、9C、12D、63.若a，b 为实数，满足b b a a +-=-+1111，则(1+a +b）（2-a-b)的值是(）A 、-1B、0C、1D、24.如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是()5.如图，己知直角三角形ABC 中，斜边AB=35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC，则△ABC 的周长为(）A 、81B、84C、85D、886.有20个同学排成一行，若从左往右隔1人报数，小李报8号，若从右往左隔2人报数，小陈报6号，那么，小陈开始向小李逐一报数，小李报的号数是()A 、11B、12C、13D 、147.图中不是正方形的侧面展开图的个数为（）A 、l B、2C、3D、48.张华同学从家里去学校，开始选匀速步行，走了一段路后，发觉照这样走下去会迟到，于是匀速跑完余下的路程，下面坐标系中，横轴表示该同学从家出发后的时间t ，纵轴表示张华离学校的路程S ，则S 与t 之间函数关系的图像大致是(）9.令a=0.12345678910111213……998999，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2008位数字是(）A、0B、5C、7D、910.若不等式ax2+7x -1>2x +5对11≤≤-a 恒成立，则x 的取值范围是(）A 、-1＜x＜1B、-1≤x≤1C、2＜x＜3D、2≤x≤3二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把答案填在题中横线上.11.计算：()()202260tan 13321---+-=。

江苏省无锡市天一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

D．若 a - b Î[0] ，则整数 a ， b 属同一类
四、多选题
12．已知函数 f ( x), g ( x) 是定义在 R 上的函数，其中 f（x）是奇函数，g（x）是偶函
数，且
f（x）+g（x）＝ax2﹣x，若对于任意
x1
>
x2
>
1，都有
g
( x1 )
x1
-
g ( x2
x2
)
>
4
，则实
数 a 可以为（） A．3
数不是同一函数，故 A 错误；
B.两个函数的定义域为 R ,且 y = x2 = x ，所以两个函数是同一函数，故 B 正确；
C. y =
x
5 +
3
x2 -2
的定义域为
ìï5 - x2
í ïî
x
+
3
³0 -2¹
0
，解得：
-
5£x£
5 ，且 x ¹ -1 ，与 y =
5- x2 x +1
的定义域相同，并且在定义域下去绝对值得
试卷第51 页，共33 页
1．C 【分析】利用交集的定义即可求解.
参考答案：
【详解】由题意可知， A Ç B = {x -1 £ x < 3} Ç{0,1, 2,3} = {0,1, 2} .
故选：C. 2．A 【分析】写出该命题的否定即可.
【详解】“ "x Î Z ， x2 + 2x + m £ 0 ”的否定是“ $x Î Z ， x2 + 2x + m > 0 ”. 故选：A 3．B 【解析】利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可.

2024年秋季高一入学分班考试数学试题与答案

（考试时间：120分钟试卷满分：1502024年秋季高一入学分班考试数学试题分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅22x =−，则x 的值可以是（）A ．2−B ．1−C ．1D ．23．“2x =”是“24x =”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知二次函数2y ax bx c ++的图象的顶点坐标为(2,1)−，与y 轴的交点为(0,11)，则（）A ．3,12,11a b c ==−=B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==−= D ．1,4,11a b c ==−= 5．把2212x xy y −++分解因式的结果是（） A ．()()()112x x y x y +−++ B ．()()11x y x y ++−− C ．()()11x y x y −+−−D ．()()11x y x y +++−6．已知命题p ：1x ∃>，210x ，则p ¬是（） A ．1x ∀>，210x B ．1x ∀>，210x +≤ C ．1x ∃>，210x +≤ D ．1x ∃≤，210x +≤7．函数y =） A ．[]3,3−B ．()3,1(1,3)−∪C ．()3,3−D ．()(),33,−∞−+∞8．若实数a b ，且a ，b 满足2850a a −+=，2850b b −+=，则代数式1111b a a b −−+−−的值为（） A ．-20B ．2C ．2或-20D ．2或20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数()y f x =的图象的是（）A ．B ．C ．D ．10．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（） A ．x ∀∈R ，2210x x ++≥ B ．x ∃∈N ，2x 为偶数 C ．所有菱形的四条边都相等 D ．π是无理数11．下列结论中，错误的结论有（）A ．()43y x x =−取得最大值时x 的值为1 B ．若1x <−，则11x x ++的最大值为－2C ．函数()f x =的最小值为2D ．若0a >，0b >，且2a b +=，那么12a b+的最小值为3+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若多项式3x x m ++含有因式22x x −+，则m 的值是．13．不等式20ax bx c ++>的解集是(1,2)，则不等式20cx bx a ++>的解集是（用集合表示）． 14．对于每个x ，函数y 是16y x =−+，22246y x x =−++这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解下列不等式：(1)2320x x −+−≥； (2)134x x −+−≥； (3)11.21x x −≤+16．（15分）设全集R U =，集合{}|15Ax x =≤≤，集合{|122}B x a x a =−−≤≤−．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； (2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．17．（15分）已知集合{}{}210,20A x ax B x x x b =−==−+=.(1)若{}3A B ∩=，求实数,a b 的值及集合,A B ； (2)若A ≠∅且A B B ∪=，求实数a 和b 满足的关系式.18．（17分）已知22y x ax a =−+.(1)设0a >，若关于x 的不等式23y a a <+的解集为{},12|A Bx x =−≤≤，且x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，求a 的取值范围；(2)方程0y =有两个实数根12,x x ， ①若12,x x 均大于0，试求a 的取值范围；②若22121263x x x x +=−，求实数a 的值．19．（17分）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的14．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月用水超过20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米4元；第三档，若每户每月用水超过30立方米，则超过部分水价为每立方米7元，同时征收其全月水费20%的用水调节税．设某户某月用水x立方米，水费为y元．(1)试求y关于x的函数；(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；(3)设某月甲用户用水a立方米，乙用户用水b立方米，若,a b之间符合函数关系：247530=−+−．则当b a a两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共402024年秋季高一入学分班考试数学答案分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 7 8 CDBADBCA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 BDACABCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13．1|12x x <<6四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）【解析】（1）2320x x −+−≥可化为2320,(1)(2)0x x x x −+≤∴−−≤，所以解为1 2.x ≤≤（3分）（2）当1x <时，不等式可化为134x x −+−+≥，此时不等式解为0x ≤；当13x ≤≤时，不等式可化为134x x −−+≥，此时不等式无解；当3x >时，不等式可化为134x x −+−≥，此时不等式解为4x ≥；综上：原不等式的解为0x ≤或4x ≥.（9分）（3）原不等式可化为211021x x x +−+≥+，（11分）与()()2120210x x x ++≥+≠同解，所以不等式的解为：2x ≤−或12x >−.（13分）16．（15分）【解析】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A B ，（2分）又{}|15Ax x =≤≤，{|122}B x a x a =−−≤≤−，因此12125a a −−< −≥ 或12125a a −−≤ −> ，解得7a ≥，所以实数a 的取值范围为7a ≥.（7分）（2）命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，则有B A ⊆，（9分）当B =∅时，122a a −−>−，解得13a <，符合题意，因此13a <；（11分）当B ≠∅时，而{}|15{|122}A x x B x a x a =≤≤=−−≤≤−，，则11225a a ≤−−≤−≤，无解，（14分）所以实数a 的取值范围13a <.（15分）17．（15分）【解析】（1）若{}3∩=A B ，则{}{}2310,320x ax x x x b ∈−=∈−+=，（2分）所以310,960a b −=−+=，解得1,33a b ==−，（4分）所以{}{}{}{}2110103,2301,33A x ax x x B x xx =−==−===−−==−，综上：1,33a b ==−，{}{}3,1,3A B ==−；（7分）（2）若A ≠∅，则0a ≠，此时{}110A x ax a=−==，（9分）又A B B ∪=，所以A B ⊆，即{}2120x x x b a ∈−+=，（12分）所以2120440b a ab −+= ∆=−≥ ，所以实数a 和b 满足的关系式为212b a a=−+.（15分）18．（17分）【解析】（1）由23y a a <+，得2223x ax a a a −+<+，即22230x ax a −−<，即()()30x a x a −+<，又0a >，∴3a x a −<<，即{}|3A x a x a =−<<，（3分）∵x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，∴B 是A 的真子集，则0132a a a >−<− > ，解得0123a a a> > >，则1a >，即实数a 的取值范围是1a >.（6分）（2）方程为220y x ax a =−+=， ①若12,x x 均大于0则满足21212440200a a x x a x x a ∆=−≥ +=> => ，解得10a a a a ≥≤> > 或，故1a ≥，即a 的取值范围为1a ≥.（10分）②若22121263x x x x +=−，则()2121212263x x x x x x +−=−，则()21212830x x x x +−+=，即24830a a −+=，（13分）即()()21230a a −−=，解得12a =或32a =，由0∆≥，得1a ≥或0a ≤. 所以32a =，即实数a 的值是32.（17分）19．（17分）【解析】（1）因为某户该月用水x 立方米，按收费标准可知，当020x <≤时，3y x =；当2030x <≤时，()203420420y x x ×+−−；当30x >时，[2034(3020)7(30)] 1.28.4132y x x =×+×−+−×=−．（5分）所以3,020420,20308.4132,30x x y x x x x <≤=−<≤ −>（6分）（2）由题可得，当该用户水费为80元时，处于第二档，所以42080x −=，解得25x =．所以该月的用水量为25立方米．（10分）（3）因为247530b a a =−+−，所以()2248530244646a b a a a +=−+−=−−+≤．（13分）当24a =时，()46max a b +=，此时22b =．（15分）所以此时两户一共需要支付的水费是4242042220144y =×−+×−=元．（17分）。

高一分班数学试题及答案

高一分班数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，下列哪个选项是f(x)的对称轴？A. x=-2B. x=3C. x=1D. x=-32. 已知集合A={x|x<0}，B={x|x>1}，则A∩B为：A. {x|x<0}B. {x|x>1}C. {x|0<x<1}D. 空集3. 若a，b，c是等差数列，且a+c=10，b=4，则a+b+c的值为：A. 14B. 16C. 18D. 204. 函数y=f(x)=x^3+1的导数f'(x)为：A. 3x^2+1B. 3x^2C. x^2+1D. 3x^2-15. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=±(b/a)x，则a和b的关系为：A. a=bB. a=-bC. a=2bD. a=-b/26. 已知向量a=(3,-2)，b=(-1,4)，则向量a+b的坐标为：A. (2,2)B. (2,-2)C. (4,2)D. (-4,2)7. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a4=16，则q的值为：A. 2B. 4C. 1/2D. -1/28. 函数y=f(x)=x^2-4x+3的最小值出现在x=：A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2+b^2=c^2，三角形ABC的形状为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(1)的值为：A. 0B. -2C. 2D. -6二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值为______。

12. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求a5的值为______。

13. 已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，求向量a·b的值为______。

2022年高一入学分班考试数学试卷附答案和解析

2022年高一入学分班考试数学试卷1. 命题“∀x ∈R ，x 2−x +5≥0”的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2−x +5<0B. ∃x ∈R ，x 2−x +5≥0C. ∀x ∈R ，x 2−x +5>0D. ∃x ∈R ，x 2−x +5<0 2. sin15∘sin105∘的值是( )A. −14B. 14C. √34D. −√34 3. 若{x|2<x <3}为x 2+ax +b <0的解集，则bx 2+ax +1>0的解集为( ) A. {x|x <2或x >3}B. {x|2<x <3}C. {x|13<x <12}D. {x|x <13或x >12} 4. 已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =0.50.2，则a,b,c 的大小关系为.( ) A. a <c <b B. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b 5. 已如a >0且a ≠1，则“log a 34<1”是“a >1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数f(x)=cos 2(x −π12)+sin 2(x +π12)−1，则f(x)是( ) A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数 7. 已知函数f(x)=2x +x +2，g(x)=log 2x +x +2，ℎ(x)=x 3+x +2的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为( ) A. b >c >aB. c >a >bC. b >a >cD. a >b >c 8. 已知角α,β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点(2,1)，cos (α+β)=45，且β∈(0,π2)，则sin β=( )A. √525B. √55C. 2√525D. 2√559. 下列函数是奇函数的是( )A. y =xsinxB. y =−cos2xC. y =2x −12xD. y =lg(√x 2+1+x) 10. 已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是( ) A. tan(π6−α)=tan(5π6+α)B. sin(π3+α)=cos(α−π6)C. tan 2αsin 2α=tan 2α−sin 2αD. sin 4α−cos 4α=2sin 2α−111. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则( )A. ω=2B. φ=−π3C. f(x)的单调递减区间为[−π12+2kπ,5π12+2kπ](k ∈Z)D. f(x)图象的对称轴方程为x =−π12+kπ2(k ∈Z) 12. 已知函数f(x)=12(cos x +|cos x|)，则下列说法正确的是( )A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)为偶函数C. f(x)的值域为[12,1]D. f[f(x)]>12恒成立 13. 函数y =(12)x2−2x+2的值域是__________. 14. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=__________.15. 已知a >0,b >0,lga +lgb =lg(a +2b)，则2a +b 的最小值为__________.16. 已知函数f(x)=2x 2x−1+3sin (x −12)+12，则f(12021)+f(22021)+⋯+f(20202021)的值为__________，函数f(x)图象关于__________对称．17. 设函数f(x)=e x −1e x +1，g(x)=ln 1+x 1−x .(1)求f(x)的单调性与值域；(2)证明：f(g(x))=g(f(x))=x.18. 设函数f(x)=cos x ⋅cos (x −π6)+√3sin 2x −3√34. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[π12,π2]时，求函数f(x)的最大值和最小值．19.中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本x2+40x(万元)；当年产量不少于80台时c(x)= c(x)(万元)，当年产量不足80台时c(x)=12−2180(万元).若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子101x+8100x设备能全部售完．(I)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；(II)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中获利最大？20.已知函数f(x)=sin2x+cosx−a.(1)求f(x)在[π,π]上的值域；2,π]，使得g(x1)=f(x2)，(2)当a>0时，已知g(x)=alog2(x+3)−2，若∀x1∈[1,5],∃x2∈[π2求a的取值范围.21.游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心O距离地面40.5m，半径40m(示意图如下)，游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后30分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，(1)求出其与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；(2)若距离地面高度超过20.5m时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？22.设函数f(x)=k⋅2x−2−x是定义在R上的奇函数．(1)求k的值；(2)若不等式f(x)>a⋅2x−1有解，求实数a的取值范围；(3)设g(x)=4x+4−x−4f(x)，求g(x)在[1,+∞)上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题.命题是全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题来解决．【解答】解：命题“∀x∈R，x2−x+5≥0”的否定是∃x∈R，x2−x+5<0.故选：D.2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数的二倍角公式和诱导公式，属于基础题.先通过诱导公式化简，再由正弦函数的二倍角公式可得答案.【解答】解：由二倍角公式和诱导公式得，sin15∘sin105∘=sin15∘cos15∘=12sin30∘=1 4.故选：B.3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，根据条件求出a，b的值是解决本题的关键，属于基础题．根据不等式的解集得到2，3是对应方程的两个根，利用韦达定理求出a，b的值，即可解所求不等式的解．【解答】解：∵x 2+ax +b <0的解集为{x|2<x <3}，∴2，3是对应方程x 2+ax +b =0的两个根，∴{2+3=−a 2×3=b，解得a =−5，b =6，则bx 2+ax +1>0等价为6x 2−5x +1>0，即(2x −1)(3x −1)>0，解得x <13或x >12，即不等式的解集为{x|x <13或x >12}.故选：D.4.【答案】A【解析】【分析】本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题．关键是理解指数函数，与对数函数的性质，以及12=0.51<0.50.2<0.50=1，即可得解.【解答】解：a =log 52<log 5√5=12，b =log 0.50.2>log 0.50.25=2，12=0.51<0.50.2<0.50=1. 故12<c <1，所以a <c <b.故选：A.5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合对数函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题．根据对数函数的单调性，讨论a 的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a >1时，y =log a x 在定义域内单调递增，若log a 34<1可得a >1当0<a <1时，y =log a x 在定义域内单调递减，log a34<1，可得0<a<34，综上可得必要性成立，充分性不成立，即a>0且a≠1，则“log a34<1”是“a>1”的必要不充分条件.故选：B.6.【答案】A【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦公式、两角和与差的余弦公式、以及三角函数的周期性和奇偶性，属于中档题.首先化简得y=12sin2x，故周期为T=2π2=π且函数可判断出为奇函数，题目得解.【解答】解：y=cos2(x−π12)+sin2(x+π12)−1=1+cos(2x−π6)2+1−cos(2x+π6)2−1=12cos(2x−π6)−12cos(2x+π6)=12[(cos2xcosπ6+sin2xsinπ6)−(cos2xcosπ6−sin2xsinπ6)]=12sin2x，周期为T=2π2=π；令y=f(x)，则f(x)=12sin2x，函数定义域为R，显然关于原点对称，又f(−x)=−12sin2x=−f(x)，故函数为奇函数.综上函数为周期为π的奇函数.故选：A.7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数零点的求解和判断，属于中档题．利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f(x)=2x +x +2=0得2x =−x −2，g(x)=log 2x +x +2=0得log 2x =−x −2，ℎ(x)=x 3+x +2=0得x 3=−x −2，分别作出函数y =2x ，y =log 2x ，y =x 3和y =−x −2的图象如图，由图象知a <c <b ，故选：A.8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义以及两角和与差的三角函数公式，属于中档题. 利用三角函数的定义求出sin α和cos α的值，再结合cos (α+β)=45可得α+β为第一象限角，sin (α+β)=35，sin β=sin [(α+β)−α]利用两角差的正弦公式展开即可求解.【解答】解：因为角α的终边过点(2,1)，所以α是第一象限角，所以sin α=√2+1=√55， cos α=√2+1=2√55，因为β∈(0,π2)，cos (α+β)=45，所以α+β为第一象限角，所以sin (α+β)=√1−(45)2=35，所以sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=35×2√55−45×√55=2√525，故选：C.9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.在定义域关于原点对称的前提下，判断f(−x)与f(x)的关系，相反就是奇函数．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R ，对于A ，−xsin (−x )=xsinx ，所以为偶函数；对于B ，−cos (−2x )=−cos2x ，是偶函数；对于C ，2−x −12−x =−(2x −12x)，是奇函数；对于D ，lg (√(−x )2+1−x)=√x 2+1+x=−lg(√x 2+1+x)，是奇函数.故选：CD.10.【答案】BD【解析】解：对于A ，α=π3时，左侧<0，右侧>0，所以A 不正确；对于B ，sin(π3+α)=cos(π3+α−π2)=cos(α−π6)，所以B 正确；对于C ，α=π3时，左侧=94，右侧=32，所以C 不正确；对于D ，sin 4α−cos 4α=(sin 2α−cos 2α)(sin 2α+cos 2α)=−cos2α=2sin 2α−1，所以D 正确；故选：BD.特例判断A 、C 的正误；利用诱导公式判断B 的正误；二倍角公式判断D 的正误即可．本题考查三角恒等式的判断，二倍角公式以及诱导公式的应用，是基础题．11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题. 利用已知图象和正弦型函数的性质逐个判断即可.【解答】解：由图可得：A =2且34T =11π12−π6=3π4， ∴T =π，则ω=2πT =2，A 正确. 由f(11π12)=2sin(11π6+φ)=2，则11π6+φ=5π2+2kπ(k ∈Z)，得φ=2π3+2kπ(k ∈Z)，又|φ|<π，则φ=2π3，B 错误. 综上，有f(x)=2sin(2x +2π3)，由π2+2kπ≤2x +2π3≤3π2+2kπ，(k ∈Z)，得−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ(k ∈Z)，C 错误. 由2x +2π3=π2+kπ(k ∈Z)，得x =−π12+kπ2(k ∈Z)，D 正确. 故选：AD.12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象的性质的应用，属于中档题．去绝对值，化为分段函数，画出函数的图象，即可判断．【解答】解：f(x)=12(cosx +|cosx|) ={12(cosx +cosx ),cosx ≥012(cosx −cosx ),cosx <0 ={cosx,cosx ≥00,cosx <0作出函数f(x)的大致图象如下所示，由图知，最小正周期T =2π，即A 正确; f(x)是偶函数，即B 正确; f(x)的值域为[0,1]，即C 错误; 令t =f(x)，则0≤t ≤1<π3，所以函数f[f(x)]=f(t)=cost 在[0,1]上单调递减，所以f(t)≥f(t)min =f(1)>f(π3)=cos π3=12，即D 正确. 故选：ABD.13.【答案】(0,12]【解析】【分析】本题考查与指数函数有关的复合函数的值域的求法，属于基础题．利用配方法求出指数的范围，再由指数函数的单调性求得答案. 【解答】解：∵x 2−2x +2=(x −1)2+1≥1， ∴0<(12)x 2−2x+2≤12，∴函数y =(12)x 2−2x+2的值域是(0,12]. 故答案为(0,12].14.【答案】−725【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式和正余弦函数的诱导公式，是基础题. 根据cos (π2−2α)=cos[2×(π4−α)]可以得出答案. 【解答】解：因为cos(π4−α)=35，所以cos(π2−2α)=cos[2×(π4−α)]=2cos2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725，所以sin2α=cos(π2−2α)=−725.故答案为−725.15.【答案】9【解析】【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题. 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a>0，b>0，lga+lgb=lgab=lg(a+2b)，∴ab=a+2b即1b +2a=1，则2a+b=(2a+b)(1b +2a)=5+2ab +2ba≥5+4=9，当且仅当2ab =2ba且1b+2a=1，即a=b=3时取等号，此时最小值为9.故答案为：916.【答案】3030(1 2, 3 2)【解析】【分析】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查倒序相加法求和，属于中档题．推导出f(x)+f(1−x)=3，由此能求出f(12021)+f(22021)+f(32021)+⋯+f(20202021)的值．【解答】解：∵函数f(x)=2x2x−1+3sin (x −12)+12，∴f(x)+f(1−x)=2x 2x −1+3sin(x −12)+12+2−2x 1−2x +3sin(12−x)+12 =2x 2x −1+2−2x 1−2x +1 =2x 2x −1+2x −22x −1+1 =4x −22x −1+1 =3，则f(12021)+f(22021)+f(32021)+⋯+f(20202021) =12×2020×3=3030；由f(x)+f(1−x)=3可知函数图象关于(12,32)对称．故答案为3030；(12,32).17.【答案】解：(1)易得f(x)=e x −1e x +1=1+−2e x +1. 因为函数y =e x +1在R 上单调递增且值域为(1,+∞)，函数y =−2x 在(1,+∞)上单调递增且值域为(−2,0)，故f(x)在R 上单调递增，且值域为(−1,1)； (2)证明：f(g(x))=eln 1+x1−x−1e ln 1+x 1−x+1=1+x1−x −11+x 1−x +1=x. g(f(x))=ln1+e x −1e x +11−e x −1e x +1=ln 2e x 2=lne x =x ，∴f(g(x))=g(f(x))=x 成立.【解析】本题主要考查函数的单调性和值域问题，属于中档题.(1)由f(x)=e x −1e x +1可得f(x)=1+−2e x +1，即可得出函数的单调性和值域； (2)直接代入计算即可求解此题.18.【答案】解：(1)f(x)=cosx ⋅cos(x −π6)+√3sin 2x −3√34=cosx(√32cosx +12sinx)+√3(1−cos 2x)−3√34=12sinxcosx −√32cos 2x +√34 =14sin2x −√34cos2x =12sin(2x −π3)，所以f(x)的最小正周期是T =2π2=π，由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间为 [−π12+kπ,5π12+kπ]，k ∈Z. (2)当x ∈[π12,π2]时，2x −π3∈[−π6,2π3]，此时sin(2x −π3)∈[−12,1]，可得f(x)∈[−14,12]，综上，f(x)最大值为12，最小值为−14.【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=12sin(2x −π3)，利用正弦函数的周期公式可求f(x)的最小正周期，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间； (2)由已知可求2x −π3∈[−π6,2π3]，利用正弦函数的性质即可求解．19.【答案】解：(Ⅰ)当0<x <80时，y =100x −(12x 2+40x)−500=−12x 2+60x −500，当x ≥80时，y =100x −(101x +8100x−2180)−500 =1680−(x +8100x )，于是y ={−12x 2+60x −500,0<x <801680−(x +8100x ),x ≥80x ∈N. (Ⅰ)由(Ⅰ)可知当0<x <80时，y =−12(x −60)2+1300，此时当x =60时y 取得最大值为1300(万元)，当x ≥80时，y =1680−(x +8100x) ≤1680−2√x ⋅8100x =1500，当且仅当x =8100x 即x =90时y 取最大值为1500(万元)，综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题． (Ⅰ)通过利润=销售收入-成本，分0<x <80、x ≥80两种情况讨论即可；(Ⅰ)通过(Ⅰ)配方可知当0<x <80时，当x =60时y 取得最大值为1300(万元)，利用基本不等式可知当x ≥80时，当x =90时y 取最大值为1500(万元)，比较即得结论．20.【答案】解：(1)当f(x)=1−cos 2x +cosx −a =−cos 2x +cosx +1−a,x ∈[π2,π]，令t =cosx ，t ∈[−1,0]，则，f(t)=−t 2+t +1−a =−(t −12)2+54−a, 由于函数y =−(t −12)2+54−a 在[−1,0]上单调递增，故当t =−1时，y 取得最小值−1−a ；当t =0时，y 取得最大值1−a, ∴f(x)的值域为[−1−a,1−a ]；(2)设f (x )的值域为集合A,g(x)的值域为集合B ，则依题意有B ⊆A ，f(x)=−cos 2x +cos x +1−a,x ∈[π2,π]，由(1)知：A =[−1−a,1−a], g(x)=alog 2(x +3)−2，又a >0，所以g (x )在[1,5]上单调递增，当x =1时，g(x)min =2a −2；当x =5时，g(x)max =3a −2; ∴B =[2a −2,3a −2]，由B ⊆A 得：{2a −2≥−1−a3a −2≤1−a a >0⇒13≤a ≤34,∴a 的取值范围是[13,34].【解析】本题考查函数的值域以及全称量词命题和存在量词命题，考查等价转换思想，属于难题. (1)将f (x )化为关于cosx 的类二次函数，结合换元法和二次函数性质可求f (x )在[π2,π]上的值域； (2)设f (x )的值域为集合A,g (x )的值域为集合B ，可等价转化为B ⊆A ，求得对应值域，由B ⊆A 建立不等式可求a 的取值范围.21.【答案】解：(1)设ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+b(A >0,ω>0)，则A =40，b =40.5，所以ℎ(t)=40sin(ωt +φ)+40.5(ω>0)，第一次到最高点旋转了半周期，所以T =60min ⇒ω=2πT=π30(rad/min)，游客从最低点登上，所以φ=−π2，故ℎ(t)=40sin(π30t −π2)+40.5(t ≥0)， (或ℎ(t)=−40cos π30t +40.5(t ≥0)).(2)令ℎ(t)>20.5，则40sin(π30t −π2)+40.5>20.5 ⇒sin(π30t −π2)>−12(或cosπt 30<12)，所以−π6+2kπ<π30t −π2<7π6+2kπ ⇒π3+2kπ<π30t <5π3+2kπ(k ∈Z)，⇒10+60k <t <50+60k ，k ∈Z ，所以(50+60k)−(10+60k)=40min ，因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有40min 最佳观景时间.【解析】本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题.(1)设ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+b(A >0,ω>0)，根据已知条件求出A 、ω、φ的值，可得出函数ℎ(t)的解析式;(2)解不等式ℎ(t)>20.5，即可得解.22.【答案】解：(1)因为f(x)=k ⋅2x −2−x 是定义域为R 上的奇函数，所以f(0)=0，所以k −1=0，解得k =1， f(x)=2x −2−x ，当k =1时，f(−x)=2−x −2x =−f(x)，所以f(x)为奇函数，故k =1；(2)f(x)>a ⋅2x −1有解，所以a <−(12x )2+(12x )+1有解，所以a <[−(12x )2+(12x )+1]max ，因为−(12x )2+(12x )+1 =−(12x −12)2+54≤54，(x =1时，等号成立)，所以a <54；(3)g(x)=4x +4−x −4f(x)，即g(x)=4x +4−x −4(2x −2−x )，可令t =2x −2−x ，可得函数t 在[1,+∞)递增，即t >32， t 2=4x +4−x −2，可得函数ℎ(t)=t 2−4t +2，t >32，由g(t)的对称轴为t =2>32，可得t =2时，g(t)取得最小值−2，此时2=2x −2−x ，解得x =log 2(1+√2)，则g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，此时x =log 2(1+√2).【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查参数分离和换元法，以及转化思想和运算能力，属于难题．(1)由f(x)为R 上的奇函数，可得f(0)=0，可得k ；(2)由题意可得a <−(12x )2+(12x )+1有解，即a <[−(12x )2+(12x )+1]max ，运用配方和指数函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围；(3)可令t =2x −2−x ，求得t >32，即有t 2=4x +4−x −2，可得函数ℎ(t)=t 2−4t +2，t >32，有二次函数的最值求法，可得所求．。

天一中学数学试题及答案

天一中学数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的解？A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 3$D. $x = 4$答案：B2. 函数 $y = 2x + 3$ 的斜率是多少？A. 2B. 3C. -2D. -3答案：A3. 已知 $a = 5$，$b = 3$，求 $a^2 - b^2$ 的值。

A. 16B. 22C. 19D. 25答案：C4. 圆的方程为 $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$，该圆的半径是多少？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A5. 计算 $\sin(30^\circ)$ 的值。

A. 0.5B. 0.866C. 0.25D. 0.75答案：A6. 集合 $A = \{1, 2, 3\}$ 和 $B = \{2, 3, 4\}$ 的交集是什么？A. $\{1, 2, 3\}$B. $\{2, 3\}$C. $\{3, 4\}$D. $\{1, 4\}$答案：B7. 计算 $\log_2(8)$ 的值。

A. 3B. 2C. 1D. 0答案：B8. 函数 $y = x^3 - 3x^2 + 2$ 在 $x = 1$ 处的导数是多少？A. 0B. -1C. 1D. 2答案：A9. 向量 $\vec{a} = (3, -4)$ 和 $\vec{b} = (-4, 3)$ 的点积是多少？A. -7B. 25C. -25D. 7答案：C10. 计算 $\sqrt{49}$ 的值。

A. 7B. -7C. 49D. 4答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知 $\tan(\theta) = 2$，求 $\sin(\theta)$ 的值。

答案：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$12. 计算 $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}$ 的结果。

天一中学新高一分班考试数学试卷(含答案)

天一中学新高一分班考试试卷数学一．选择题（共20小题）1．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A．1B．2C．﹣1 D．﹣22．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P 运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．3．如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）A．a b=﹣2 B．a b=﹣3 C．a b=﹣4 D．a b=﹣54．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED=30°，且AE=3，DE=2，连接BE，则BE的长为（）A．4B．C．5D．5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A旋转得到正方形AB1C l D1，若AB1落在对角线AC上，连接A0，则∠AOB1等于（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．75°6．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN ⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：①MA=MN；②∠AQD=∠AQN；③S△AQN=S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．其中正确的结论有（）A．①②③④B．只有①③④C．只有②③④D．只有①②7．如图，直线y=k和双曲线相交于点P，过点P作P A0垂直于x轴，垂足为A0，x轴上的点A0，A1，A2，…A n的横坐标是连续整数，过点A1，A2，…A n：分别作x轴的垂线，与双曲线（k ＞0）及直线y=k分别交于点B1，B2，…B n和点C1，C2，…C n，则的值为（）A．B．C．D．8．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OP A取最大值时，P A的长等于（）A．B．C．D．9．在平面直角坐标系中，菱形OABC的OC边落在x轴上，∠AOC=60°，OA=．若菱形OABC 内部（边界及顶点除外）的一格点P（x，y）满足：x2﹣y2=90x﹣90y，就称格点P为“好点”，则菱形OABC内部“好点”的个数为（）（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．）A．145 B．146 C．147 D．14810．梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（）A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB11．《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（）A．3步B．4步C．5步D．6步12．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则P n﹣P n﹣1的值为（）A．B．C．D．13．在一平直河岸l同侧有A、B两村庄，A、B到l的距离AM、BN分别是3km，2km，且MN为3km，现计划在河岸上建一抽水站P，用输水管向两个村庄A、B供水，则水管长度最少为（）km（精确到0.1km）A．4.8 B．5.2 C．5.8 D．6.214．学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有（）A．7盒B．8盒C．9盒D．10盒15．如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（）A．5B．10 C．D．16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．四边形MEFN面积的最大值是（）A．B．C．D．17．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A．B．C．﹣2 D．18．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=8时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．2C．8D．619．已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．2B．3C．8D．920．如图，A0（0，0），A1（1，1），A2（2，4），A3（3，9），…A n（n，n2）（n是非负整数）是抛物线一组横坐标相隔为单位1的点，过A0作x轴的垂线与过点A1作y轴的垂线得交点B0，依次而作得B0，B1，…B n﹣1．若记△A1B0A0面积为S1，△A2B1A1面积为S2，…则△A6B5A5面积S6面积为（）A．4.5 B．5.5 C．11 D．181 2 3 4 5 6 7 8 9 10D A B B C A C B A B11 12 13 14 15 16 17 18 19 20D C C A A C B B C B。

新高一入学分班考数学卷(参考答案)

新高一入学分班考数学卷（名校版）参考答案一、选择题1．当m＜﹣1时，方程（m3+1）x2+（m2+1）x=m+1的根的情况是（）A．两负根B．两异号根，且正根的绝对值较大C．两正根D．两异号根，且负根的绝对值较大【分析】首先将方程整理为一般形式，进而利用根据根与系数的关系以及因式分解的应用，分析各式子的符号，进而得出答案．【解答】解：∵（m3+1）x2+（m2+1）x=m+1，∴（m3+1）x2+（m2+1）x﹣（m+1）=0，∴x1x2====，∵m＜﹣1，∴m2﹣m+1＞0，∴x1x2＜0，∴方程由两异号根，∵x1+x2=﹣=，∵m＜﹣1，∴m2﹣m+1＞0，m+1＜0，﹣（m2+1）＜0，∴x1+x2＞0，∴正根的绝对值较大．故选：B．2．对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数例如[3.14]=3，[﹣7.59]=﹣8，则关于x的方程[]=4的整数根有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据取整函数的定义可知，4≤＜5，解此方程组即可．【解答】解：∵[]=4，∴4≤＜5，∴，∴，即7≤x＜，故x的正数值为7，8，9．故选B．3．+的最小值为（）A．B． C． D．均不是【分析】根据题意结合两点之间距离求法，利用轴对称求出最短路线进而得出答案．【解答】解：原式=+，即x轴上的点到（﹣1，1）和（2，4）的距离之和的最小值画图可知，点（4，2）关于x轴的对称点（4，﹣2）与（﹣1，1）连线与x轴的交点即为所求，此时最小值为：=．故选：B．4．在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠．问哪一个重叠的面积最大（）A．B．C．D．【分析】A、阴影部分是长方形，所以长方形的面积等于长和宽的乘积；B、如图，设阴影部分等腰直角的腰为x，根据勾股定理求出x的值，所以，阴影部分的面积等于正方形的面积减去俩个空白三角形的面积；C、图C，逆时针旋转90°从后面看，可与图D对比，因为图C阴影部分的倾斜度比图D阴影部分的倾斜度小，所以，图C中四边形的底比图D中四边形的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图D阴影部分的面积；D、图D，设阴影部分平行四边形的底为x，根据正方形的面积=阴影部分的面积+两个空白三角形的面积，求出x的值，再得出阴影部分的面积；图A、图C、图D中阴影部分四边形为等高不等底，因为倾斜度不同，所以图D中阴影部分的底最大，面积也就最大；因此，只要比较图B和图D阴影的面积大小，可得到图B阴影部分的面积最大．【解答】解：A、S阴影=2×4=8（cm2）；5．（2016•衡水校级模拟）设全集U=R，集合A={x|}，B={x|1＜2x＜8}，则（C U A）∩B等于（）A．[﹣1，3）B．（0，2]C．（1，2]D．（2，3）【分析】分别解出集合A，B，然后根据集合的运算求解即可．【解答】解：因为集合A={x|}=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B={x|1＜2x＜8}=（0，3），又全集U=R，∴C U A=（﹣1，2]，∴（C U A）∩B=（0，2]，故选B．6．已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．B．2 C．﹣1 D．1【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2））．【解答】解：f（2）=，f（﹣1）=2﹣1=，所以f（f（2））=f（﹣1）=，故选A．7．设a，b是常数，不等式+＞0的解集为x＜，则关于x的不等式bx﹣a＞0的解集是（）A．x＞B．x＜﹣C．x＞﹣D．x＜8．对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：①（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；②运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac+bd，bc﹣ad）；③运算“θ”为：（a，b）θ（c，d）=（a﹣c，b﹣d）．设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（11，2），则（1，2）θ（p，q）（）A．（﹣2，﹣2）B．（3，4）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【分析】先根据（1，2）⊗（p，q）=（11，2），列方程组求p、q的值，再由规定运算“θ”求（1，2）θ（p，q）的结果．【解答】解：由规定②，得（1，2）⊗（p，q）=（p+2q，2p﹣q），∵（1，2）⊗（p，q）=（11，2），∴（p+2q，2p﹣q）=（11，2），由规定①，得，解得，由规定③，可知（1，2）θ（p，q）=（1，2）θ（3，4）=（1﹣3，2﹣4）=（﹣2，﹣2）．故选A．二、填空题9．已知a2+4a+1=0，且，则m=．【分析】由a2+4a+1=0，得a2=﹣4a﹣1，代入所求的式子化简即可．【解答】解：∵a2+4a+1=0，∴a2=﹣4a﹣1，=====5，∴（16+m）（﹣4a﹣1）+8a+2=5（m﹣12）（﹣4a﹣1），原式可化为（16+m）（﹣4a﹣1）﹣5（m﹣12）（﹣4a﹣1）=﹣8a﹣2，即[（16+m）﹣5（m﹣12）]（﹣4a﹣1）=﹣8a﹣2，∵a≠0，∴（16+m）﹣5（m﹣12）=2，解得m=．故答案为．10．已知（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，则x2+y2的最大值为49．【分析】运用几何意义解答，x2+y2的最大值就是方程（x﹣3）2+（y﹣4）2=4所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，从而可得出答案．【解答】解：x2+y2的最大值就是方程（x﹣3）2+（y﹣4）2=4所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，连接坐标原点与圆心（3，4）所得的直线与圆的交点，则（x2+y2）min时，|ON|取最小，（x2+y2）max时，|OM|取最大，∵原点与圆心（3，4）的距离+半径（PM）=+2=7，∴（x2+y2）max=72=49．故答案为：49．11．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是6．【分析】先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4（1+x），又四边形ABCD是正方形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S△BEF：S△DAF=（）2，E是BC中点可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，进而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．【解答】解：如右图，设△BEF的面积是x，∵E是BC中点，∴S△DBE=S△DCE，∴S△BCD=2（1+x），∴S正方形=4（1+x），∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△DAF，∴S△BEF：S△DAF=（）2，∵E是BC中点，∴BE=CE，∴BE：AD=1：2，∴S△DAF=4x，∵S△ABE=S△BED，∴S△ABF=S△DEF=1，∴S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解得x=0.5，∴S正方形=4（1+x）=4（1+0.5）=6．12．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，则OH=AB，BM=AB．【分析】易得△BCE≌△DCG，得到∠1=∠2，B，C，H，D四点共圆，得出OH=BD=AB，由E关于BD的对称E′，得到△BEE′是等腰三角形，BM⊥E′E于M，由角平分线到角两边的距离相等得出BM=AB．【解答】解：如图，设EE′与BD交于点M′，∵AD=CD∴AE′=CE=EF，∵∠E′AM′=∠EFM′，∠AM′E′=∠FM′F，∴△AM′E′≌△FM′E（AAS），∴EM′=E′M′，∵ME′=ME∴M与M′重合，∵BC=DC，EC=CG，∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠1=∠2，∴B，C，H，D四点共圆，∴OH=BD=AB，∵E关于BD的对称E′，∵∠3=∠4，BE=BE′，∴△BEE′是等腰三角形，∴BM⊥E′E于M，∴BM=AB．故答案为：AB，AB．13．函数f（x）=λx2+（λ﹣3）x+1对于任意实数x都有f（x）≤f（λ），则函数f（x）的最大值是．【分析】根据函数有最值，首先判断出λ＜0，进而利用二次函数的最值得出f（x）的最大值，使这个最大值与f（λ）相等，解方程即可得出λ的值，进而代入求出f（x）最大值．【解答】解：由题意得，f（x）有最大值，则可得λ＜0，又∵f（x）=λ（x+）2+1﹣，∴f（x）的最大值为1﹣，又∵f（x）≤f（λ），∴f（λ）=λ3+（λ﹣3）λ+1=1﹣，解得：λ=1（舍去）或λ=﹣，将λ=﹣，代入可得f（x）的最大值为．故答案为：．三、解答题14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）求出直线BC与对称轴的交点H，根据S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解决问题．（3）由，当方程组只有一组解时求出b的值，当直线y=﹣x+b经过点C时，求出b的值，当直线y=﹣x+b经过点B时，求出b的值，由此即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．15．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．【分析】（1）由圆周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°，从而可证得△ABC是等边三角形；（2）由△ABC是等边三角形可得出“AC=BC=AB=2，∠ACB=60°”，在直角三角形PAC 和DAC通过特殊角的正、余切值即可求出线段AP、AD的长度，二者作差即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形．（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴AC=BC=AB=2，∠ACB=60°．在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=2，∴AP==2．在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=2，∠ACD=60°，∴AD=AC•tan∠ACD=6．∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4．2．（2013•济宁）阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y=2x+的最小值．解：y=2x+≥=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，y最小=4．16问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．【分析】（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可；（2）经济时速就是耗油量最小的形式速度．【解答】解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．∴y=x×（+）=（70≤x≤110）；（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x=90∴该汽车的经济时速为90千米/小时；当x=90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升．17．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是CH=AB；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK=DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK=CH=AB；最后根据CK=AC+AK=AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．【解答】解：（1）如图1，连接BE，，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵点E是DC的中点，DE=DF，∴点F是AD的中点，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．故答案为：CH=AB．（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．如图2，连接BE，，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD，DE=DF，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（3）如图3，，∵CK≤AC+AK，∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE，∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH，在△DFK和△DEH中，∴△DFK≌△DEH，∴DK=DH，在△DAK和△DCH中，∴△DAK≌△DCH，∴AK=CH又∵CH=AB，∴AK=CH=AB，∵AB=3，∴AK=3，AC=3，∴CK=AC+AK=AC+AB=，即线段CK长的最大值是．。

四川省成都市天一中学高一数学理测试题含解析

四川省成都市天一中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设0＜b＜a＜1,则下列不等式成立的是：( )A. ab＜b2＜1B.C. a2＜ab＜1D.参考答案：A略2. 函数是奇函数，则tanθ等于（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：D【考点】3L：函数奇偶性的性质；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由f（x）是奇函数可知f（0）=0可求出θ，进一步求tanθ即可．注意正弦函数和正切函数的周期．【解答】解：，由f（x）是奇函数，可得，即（k∈Z），故．故选D3. 如图设点O在△ABC内部,且有,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ) A. 2 B. C. 3 D.参考答案：C4. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A．B．C．D．参考答案：A5. 函数的图象可能是（）．A．B．C．D．参考答案：D当时，函数单调递增，且时，，故，错误；当时，函数单调递减，且时，，故错误，正确．综上，故选．6. 已知a,b,c,d 成等比数列，且抛物线的顶点为（b,c）则ad= ( )A. 3B. 2C.1 D. －2参考答案：B7. 在区间[3,5]上有零点的函数有（）A. B.C. D.参考答案：D8. （5分）下列各式错误的是（）A．tan138°＜tan143°B．sin（﹣）＞sin（﹣）C．lg1.6＞lg1.4 D．0.75﹣0.1＜0.750.1参考答案：D考点：不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性，结合题意，对选项中的函数值行比较大小即可．解答：对于A，∵正切函数在（90°，180°）上是增函数，∴tan138°＜tan143°，A正确；对于B，∵正弦函数在（﹣，）上是增函数，且﹣＞﹣，∴sin（﹣）＞sin（﹣），B正确；对于C，∵对数函数y=lgx在定义域内是增函数，∴lg1.6＞lg1.4，C正确；对于D，∵指数函数y=0.75x在定义域R上是减函数，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，D错误．故选：D．点评：本题考查了利用函数的单调性对函数值比较大小的问题，是基础题．9. 己知△ABC中，角A，B，C所对的边分別是a，b，c.若，则b =( )A. B. 1 C. 2 D.参考答案：B【分析】由正弦定理可得．【详解】∵，∴．故选B．10. 设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】有函数的定义，集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应，结合图象得出结论．【解答】解：从集合M 到集合能构成函数关系时，对于集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x 值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应．图象A 不满足条件，因为当1＜x≤2时，N 中没有y 值与之对应．图象B 不满足条件，因为当x=2时，N 中没有y 值与之对应．图象C 不满足条件，因为对于集合M={x|0＜x≤2}中的每一个x 值，在集合N 中有2个y 值与之对应，不满足函数的定义．只有D 中的图象满足对于集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x 值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应．故选D ．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （3分）已知集合A={0，2，4，6}，B={x|3＜x ＜7}，则A∩B= ．参考答案：{4，6}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的交集的定义求出即可．解答： ∵集合A={0，2，4，6}，B={x|3＜x ＜7}，∴A∩B={4，6}，故答案为：{4，6}．点评：本题考查了集合的运算，求解时要细心．12. 已知函数，若存在，，使成立，则实数的取值范围是．参考答案：略13. 设是由正数组成的等差数列，是其前n 项和.（1）若；（2）已知互不相等的正整数，满足p ＋q ＝2m .证明：；（3）是否存在常数和等差数列，使恒成立（n ∈N *）？若存在，试求出常数和数列的通项公式；若不存在，请说明理由.参考答案：(基本量法也可行)（也可用基本不等式直接证）.略14. 求使得不等式成立的x的取值范围______．参考答案：．【分析】根据正切函数的图象和性质即可得解．【详解】∵，可得：tanx，∴由正切函数的图象和性质可得：x∈．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正切函数的图象和性质的应用，属于基础题．15. 已知，若，则实数a的取值范围是____________.参考答案：(－2,1)【分析】判断函数的单调性，利用单调性转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，等价于，解得.故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.16. 某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人．参考答案：26【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意作出Venn图，从而求解人数．【解答】解：作Venn图如右图，x+y+z=55﹣4=51，x+y=34，y+z=43；故y=（34+43）﹣51=26．故答案为：26．【点评】本题考查了集合的图形表示的应用，属于基础题．17. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么这个几何体的表面积为 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年江苏省无锡市天一中学高一数学理测试题含解析

2020年江苏省无锡市天一中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是( )A．a＞2 B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．a＞3参考答案：C【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】利用底数大于0小于1时指数函数为减函数，直接求a的取值范围．【解答】解：∵指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数∴0＜a﹣2＜1?2＜a＜3故答案为：（2，3）．故选C．【点评】本题考查指数函数的单调性．指数函数的单调性与底数的取值有关，当底数大于1时指数函数为增函数，当底数大于0小于1时指数函数为减函数．2. （3分）在△ABC中，点D在线段BC上，且=，点O在线段DC上（与点C，D不重合）若=x y，则x﹣y的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣）C．（﹣2，﹣1） D．（﹣，﹣1）参考答案：B考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的三分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．解答：∵==﹣m=﹣m（﹣）=m+（1﹣m），∵=，点O在线段DC上（与点C，D不重合），∴m∈（0，），∵=x y，∴x=m，y=1﹣m，∴x﹣y=m﹣（1﹣m）=﹣1+2m，∴x﹣y∈（﹣1，﹣）故选：B点评：本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点．3. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A． B．C． D．2参考答案：C略4. 设，则下列关系式中一定成立的是（）A B C D参考答案：D略5. 若0＜a＜1，则不等式>0的解集是A．(a，) B．(，a)C．(－∞，)∪(，+∞) D．(－∞，)∪(a，+ ∞)参考答案：C6. ，则( )A． B．C．D．参考答案：B7. 已知直线∥平面，，那么过点且平行于的直线( )A.只有一条，不在平面内B.只有一条，在平面内C. 有两条，不一定都在平面内D.有无数条，不一定都在内参考答案：B8. 已知数列为等差数列，且，则（▲）A．11 B．12 C．17 D．20参考答案：A略9. （5分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交参考答案：D考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：把两圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出两圆的圆心距，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，判断两圆相交．[来源:学,科,网]解答：解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0 即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以A（﹣1，﹣4）为圆心，以5为半径的圆．C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0 即（x﹣2）2+（y+2）2=10，表示以A（2，﹣2）为圆心，以为半径的圆．两圆的圆心距d==，大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选 D．点评：本题考查两圆的位置关系，利用两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交．10. 不等式的解集为（）A．或B．C．或D．参考答案：B结合二次函数的图象解不等式得，∴不等式的解集为．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列为等差数列，前九项和=18，则=_________．参考答案：2略12. 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．参考答案：2【分析】由已知可得f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，结合f(x)-g(x)=x3+x2+2，可得f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，代入x=-1即可求解．【详解】f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，∵f(x)-g(x)=x3+x2+2，∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，则f(1)+g(1)=-1+1+2=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数定义求解函数值，属于基础试题．13. 棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有a m3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为h m （如图1）；当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则a=___；h= _____．参考答案：【分析】利用体积相等得出，进而算出，进而得出，通过面积的比值，进而求出的值，得到答案．【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为，所以，由题意可得，又由得，∴，∴∵，∴，∴在等边中，边上的高为因为，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，合理利用椎体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想象能，以及推理与运算能力，属于中档试题．14. （5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为[0，1]；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为．参考答案：④考点：根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．解答：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=；当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．15. 求函数取最大值时自变量的取值集合_______________________.参考答案：16. 若函数，则= ．参考答案：略17. ．设，若时均有，则_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2023-2024学年江苏省无锡市天一中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．[﹣1，3）B．（0，3]C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．命题“∀x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是（）A．∃x∈Z，x2+2x+m＞0B．∃x∈Z，x2+2x+m≤0C．∀x∈Z，x2+2x+m＜0D．∀x∈Z，x2+2x+m＞03．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．y=1xB．y＝﹣x3C．y＝x2D．y＝x+24．已知集合M={x|x4∈N∗且x6∈N∗}，集合N={x|x24∈Z}，则（）A．M∈N B．M∪N={x|x12∈Z}C．M＝N D．M∩N={x|x24∈N∗}5．一元二次不等式14﹣4x2≥x的解集是（）A．[−2，74]B．[−74，2]C．[−4，72]D．[−72，4]6．已知函数f（x）为R上的偶函数，对任意x1，x2∈（﹣∞，0），均有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，则满足f(2x−1)＜f(13)的x的取值范围是（）A．(13，23)B．[13，23)C．(12，23)D．[12，23)7．已知函数f(x)=−x+1|x|，则函数f（x）的图象关于y轴对称的图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f （x ）={x 2−1，x ≤1ax 2−x +2，x ＞1的最小值是﹣1，则实数a 的取值范围是（）A ．[112，+∞) B ．(0，112]C ．[112，12)D ．[12，+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各组函数中是同一函数的是（） A ．y =√−2x 3与y =x √−2x B ．y =√x 2与y ＝|x |C ．y =√5−x 2x+1与y =√5−x 2|x+3|−2D ．y =√x +1√x −1与y =√(x +1)(x −1)10．下列说法正确的是（）A ．“1a＞1b ”是“a ＜b ”的充分不必要条件B ．A ∩B ＝∅是A ＝∅的必要不充分条件C ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”D ．若a ，b ∈R ，则“a 2+b 2≠0”是“|a |+|b |≠0”的充要条件11．整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n +k |n ∈Z }，其中k ∈{0，1，2，3，4}．以下判断中不正确的是（） A ．2023∈[3] B ．Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]C ．﹣2∈[2]D ．若a ﹣b ∈[0]，则整数a ，b 属同一类12．已知函数f （x ），g （x ）是定义在R 上的函数，其中f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （x ）+g （x ）＝ax 2﹣x ，若对于任意x 1＞x 2＞1，都有g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2＞4，则实数a 可以为（）A ．3B ．2C ．1D ．0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数f(x)=√x 2−4x −5的递增区间为． 14．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m ＝．15．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合{a ，ba，1}={a 2，a +b ，0}，则a 2023+b 2024的值为． 16．已知a ，b ，c ＞0，且(a −b)(4a −1b )≥1，则(a 2+b 2+c 2)(1a 2+1b2+1c 2)的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤5}，集合B ＝{x |﹣1﹣2a ≤x ≤a ﹣2}．（1）当a ＝4时，求A ∩B 及A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＝0}，集合B ＝{x |x 2+ax +1＝0} （1）若A ∩B ＝{4}，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．19．（12分）设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f(x)=−x 2x 2+1．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断并证明f （x ）在[0，+∞）上的单调性；20．（12分）已知幂函数f （x ）＝（2m 2﹣5m +3）x m 的定义域为全体实数R ．（1）求f （x ）的解析式；（2）若f （x ）＞3x +kx ﹣1在[0，1）上恒成立，求实数k 的取值范围．21．（12分）设矩形ABCD （AB ＞AD ）的周长为12cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ．设AB ＝xcm ，记△ADP 的面积为函数f （x ）．（1）求f （x ）的解析式，并写出其定义域；（2）求△ADP 的最大面积及相应x 的值．22．（12分）已知函数f(x)=√1+x +√1−x ，g(x)=√1−x 2．（1）判断f （x ）的奇偶性，并求f （x ）的值域；（2）设函数F （x ）＝f （x ）+2ag （x ）（a ＜0），求F （x ）的最大值h （a ），并求h （a ）的最小值．2023-2024学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．[﹣1，3）B．（0，3]C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}解：集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．命题“∀x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是（）A．∃x∈Z，x2+2x+m＞0B．∃x∈Z，x2+2x+m≤0C．∀x∈Z，x2+2x+m＜0D．∀x∈Z，x2+2x+m＞0解：因为命题“∀x∈Z，x2+2x+m≤0”为全称命题，其否定为特称命题，即为：“∃x∈Z，x2+2x+m＞0”，故选：A．3．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．y=1xB．y＝﹣x3C．y＝x2D．y＝x+2解：选项A，y=1x是奇函数，虽然在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均是单调递减的，但在整个定义域内并不是减函数，即A不符合题意；选项B，由幂函数的图象知，y＝﹣x3是奇函数，且在定义域内为减函数，即B符合题意；选项C，y＝x2是偶函数，即C不符合题意；选项D，y＝x+2是非奇非偶函数，即D不符合题意．故选：B．4．已知集合M={x|x4∈N∗且x6∈N∗}，集合N={x|x24∈Z}，则（）A．M∈N B．M∪N={x|x12∈Z}C．M＝N D．M∩N={x|x24∈N∗}解：M={x|x4∈N∗且x6∈N∗}={x|x＝12k，k∈N*}，N={x|x24∈Z}={x|x＝24k，k∈Z}，故A错误，C错误，当x ＝﹣12时，−1212=−1，既不在集合M ，也不在集合N ，故B 错误；当元素满足为24的正整数倍时，比满足为12的正整数倍，故M ∩N ={x|x24∈N ∗}，故D 正确，故选：D ．5．一元二次不等式14﹣4x 2≥x 的解集是（） A ．[−2，74]B ．[−74，2]C ．[−4，72]D ．[−72，4]解：不等式14﹣4x 2≥x 化为：4x 2+x ﹣14≤0，解得﹣2≤x ≤74，故选：A ．6．已知函数f （x ）为R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈（﹣∞，0），均有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0成立，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 的取值范围是（） A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)解：因为对任意x 1，x 2∈（﹣∞，0），均有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0成立，所以f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f （x ）为R 上的偶函数，所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，所以不等式f(2x −1)＜f(13)等价于|2x −1|＜|13|，解得13＜x ＜23，故x 的取值范围是(13，23)．故选：A ．7．已知函数f(x)=−x +1|x|，则函数f （x ）的图象关于y 轴对称的图象是（） A ． B ．C ．D ．解：当x ＞0时，f(x)=−x +1x ，设y 1＝﹣x ，y 2=1x，根据减函数加上减函数为减函数，则f （x ）在（0，+∞）单调递减，故当其关于y 对称后，变为当x ＜0时，对称后的函数在（﹣∞，0）上单调递增，故A ，B ，D 错误，当x ＜0时，f(x)=−x +1−x ≥2√(−x)⋅1−x=2，当且仅当x ＝﹣1时等号成立，故当其关于y 对称后，变为x ＞0，应有最小值2，故选：C ． 8．已知函数f （x ）={x 2−1，x ≤1ax 2−x +2，x ＞1的最小值是﹣1，则实数a 的取值范围是（）A ．[112，+∞) B ．(0，112] C ．[112，12) D ．[12，+∞)解：当x ≤1时，x 2≥0，故x 2﹣1≥﹣1，当x ＞1时，①当a ＝0时，f （x ）＝﹣x +2∈（﹣∞，1），不满足题意， ②当a ＜0时，函数开口向下，不满足题意， ③当a ＞0时，对称轴是x =12a ，只需满足{12a≤1f(1)≥−1或{12a ＞1f(12a )≥−1，解得：a ∈[112，+∞）．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各组函数中是同一函数的是（） A ．y =√−2x 3与y =x √−2x B ．y =√x 2与y ＝|x |C ．y =√5−x 2x+1与y =√5−x 2|x+3|−2D ．y =√x +1√x −1与y =√(x +1)(x −1)对于A ：易知x ≤0，所以y =√−2x 3=−x √−2x ，两函数定义域相同，解析式不同，所以不是同一函数；对于B ：显然是同一函数；对于C ：由{5−x 2≥0|x +3|−2≠0，易知x ∈[−√5，√5]，且x ≠﹣1，所以y =√5−x 2|x+3|−2=√5−x 2x+3−2=√5−x 2x+1，两函数定义域相同，解析式相同，所以是同一函数；对于D ：定义域不同，所以不是同一函数，故选：BC ．10．下列说法正确的是（）A ．“1a＞1b ”是“a ＜b ”的充分不必要条件B ．A ∩B ＝∅是A ＝∅的必要不充分条件C ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”D ．若a ，b ∈R ，则“a 2+b 2≠0”是“|a |+|b |≠0”的充要条件解：对于选项A ：取a ＝2，b ＝﹣1，满足1a＞1b，但是a ＞b ，所以由“1a＞1b”推不出“a ＜b “，故A 选项错误；对于选项B ：由A ∩B ＝∅，即集合A 与集合B 没有公共部分，不能说明A ＝∅，由A ＝∅可知A ∩B ＝∅，所以A ∩B ＝∅是A ＝∅的必要不充分条件，故B 选项正确；对于选项C ，若a ，b ，c ∈R ，由ab 2＞cb 2可得a ＞c ，但是当b ＝0时，由a ＞c ，可得ab 2＝cb 2，故C 错误；对于选项D ：若a ，b ∈R ，由a 2+b 2≠0 可知a ，b 不同时为0，由|a |+|b |≠0，可知a ，b 不同时为0，所以“a 2+b 2≠0“是“|a |+|b |≠0“的充要条件，故D 选项正确．故选：BD ．11．整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n +k |n ∈Z }，其中k ∈{0，1，2，3，4}．以下判断中不正确的是（） A ．2023∈[3] B ．Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]C ．﹣2∈[2]D ．若a ﹣b ∈[0]，则整数a ，b 属同一类解：A 选项，2023＝5×404+3，故2023∈[3]，A 正确； B 选项，全体整数被5除的余数只能是0，1，2，3，4，故Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，B 正确；C 选项，﹣2＝5×（﹣1）+3，故﹣2∈[3]，C 错误；D 选项，由题意可知a ﹣b 能被5整除，故a ，b 分别被5除的余数相同，故整数a ，b 属同一类，D 正确．故选：C ．12．已知函数f （x ），g （x ）是定义在R 上的函数，其中f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （x ）+g （x ）＝ax 2﹣x ，若对于任意x 1＞x 2＞1，都有g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2＞4，则实数a 可以为（）A ．3B ．2C ．1D ．0解：根据题意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x，则f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x，两式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2，又由f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，所以2g（x）＝2ax2，即g（x）＝ax2，若对于任意x1＞x2＞1，都有g(x1)−g(x2)x1−x2＞4，变形可得[g(x1)−4x1]−[g(x2)−4x2]x1−x2＞0，令h（x）＝g（x）﹣4x＝ax2﹣4x，则h（x）在区间（1，+∞）上单调递增，若a＝0，则h（x）＝﹣4x在（1，+∞）上单调递增，不满足题意；若a≠0，则h（x）＝ax2﹣4x是对称轴为x=2a的二次函数，若h（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需{a＞02a≤1，解得a≥2，所以a的取值范围为[2，+∞），则a可以取值3，2，故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f(x)=√x2−4x−5的递增区间为．解：由x2﹣4x﹣5≥0得：x≤﹣1或x≥5，又t＝x2﹣4x﹣5为开口向上，对称轴方程为x＝2的抛物线，在[5，+∞）上单调递增；y=√t在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知f（x）的单调递增区间[5，+∞）；故答案为：[5，+∞）．14．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m＝．解：m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝3或﹣1，当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，不满足在区间（0，+∞）上单调递增，舍去，当m＝3时，f（x）＝x2，满足f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意，故m＝3．故答案为：3．15．已知a∈R，b∈R，若集合{a，b a，1}={a2，a+b，0}，则a2023+b2024的值为．解：若集合{a，ba，1}={a2，a+b，0}，由于a≠0，故ba=0，即b＝0，则{a，0，1}＝{a2，a，0}，所以{a 2=1a ≠1，解得a ＝﹣1，a 2023+b 2024＝﹣1+0＝﹣1．故答案为：﹣1．16．已知a ，b ，c ＞0，且(a −b)(4a −1b)≥1，则(a 2+b 2+c 2)(1a 2+1b2+1c 2)的最小值为．解：利用基本不等式可得，(a −b)(4a −1b )=5−(4b a +ab)≤5−2√4=1，当且仅当a ＝2b 时，取等号，又(a −b)(4a −1b )≥1，则(a −b)(4a −1b)=1，得a ＝2b ．此时，(a 2+b 2+c 2)(1a 2+1b 2+1c 2)=(5b 2+c 2)(54b 2+1c 2)=294+5c 24b2+5b 2c 2≥294+2√254=494，当且仅当c 2＝2b 2时，取等号，则(a 2+b 2+c 2)(1a 2+1b 2+1c 2)的最小值为494，故答案为：494．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤5}，集合B ＝{x |﹣1﹣2a ≤x ≤a ﹣2}．（1）当a ＝4时，求A ∩B 及A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝4时，B ＝{x |﹣1﹣2a ≤x ≤a ﹣2}＝{x |﹣9≤x ≤2}，又A ＝{x |1≤x ≤5}，U ＝R ，则∁U A ＝{x |x ＜1或x ＞5}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}，A ∪B ＝{x |﹣9≤x ≤5}，（∁U A ）∩B ＝{x |﹣9≤x ＜1}．（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，所以{−1−2a ≤1a −2≥5，解得a ≥7．所以实数a 的取值范围为[7，+∞）．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＝0}，集合B ＝{x |x 2+ax +1＝0} （1）若A ∩B ＝{4}，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：（1）因为A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＝0}＝{﹣1，4}，且A ∩B ＝{4}，所以4∈B ，即x ＝4是方程x 2+ax +1＝0的根，所以16+4a +1＝0，得a =−174，则B ={x|x 2−174x +1=0}={14，4}，所以A ∪B ={−1，14，4}．（2）因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，①当﹣2＜a ＜2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝B ， ②a ≤﹣2或a ≥2时，B ≠∅，因为B ⊆A ，所以B ＝{﹣1}或B ＝{4}或B ＝{﹣1，4}，（i ）当B ＝{﹣1}时，{1−a +1=0a 2−4=0，得a ＝2，（ii ）当B ＝{4}时，{16+4a +1=0a 2−4=0，无解，（iii ）当B ＝{﹣1，4}时，{16+4a +1=01−a +1=0，无解，综上所述实数a 的取值范围是{a |﹣2＜a ≤2}．19．（12分）设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f(x)=−x 2x 2+1．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断并证明f （x ）在[0，+∞）上的单调性；解：（1）根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0，故f （﹣x ）=−(−x)2(−x)2+1=−x 2x 2+1，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）=x 2x 2+1，故f （x ）={−x 2x 2+1，x ≥0x2x 2+1，x ＜0；（2）根据题意，当x ≥0，f(x)=−x 2x 2+1=11+x 2−1，f （x ）在[0，+∞）上的单调递减，证明：设0≤x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）＝（11+x 12−1）﹣（11+x 22−1）=−x 12−x 22(1+x 12)(1+x 22)=−(x 1−x 2)(x 1+x 2)(1+x 12)(1+x 22)，又由0≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，则有f （x 1）﹣f （x 2）＞0，函数f （x ）在[0，+∞）上的单调递减．20．（12分）已知幂函数f （x ）＝（2m 2﹣5m +3）x m 的定义域为全体实数R ．（1）求f （x ）的解析式；（2）若f （x ）＞3x +kx ﹣1在[0，1）上恒成立，求实数k 的取值范围．解：（1）∵f（x）＝（2m2﹣5m+3）x m是幂函数，∴2m2﹣5m+3＝1，解得m=12或m＝2，∴当m=12时，f（x）=x12定义域不是R，不符合题意，∴m＝2，即f（x）＝x2；（2）由（1）得f（x）＝x2，f（x）＞3x+kx﹣1在[0，1）上恒成立，即x2＞3x+kx﹣1在[0，1）上恒成立，∴x2﹣3x﹣kx+1＞0在[0，1）上恒成立，当x＝0时，1＞0恒成立，此时k∈R；当x∈（0，1）时，k＜x+1x−3恒成立，由对勾函数的性质可知y＝x+1x−3在（0，1）上单调递减，y＞1+1﹣3＝﹣1，所以k≤﹣1，故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]．21．（12分）设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC 于点P．设AB＝xcm，记△ADP的面积为函数f（x）．（1）求f（x）的解析式，并写出其定义域；（2）求△ADP的最大面积及相应x的值．解：（1）如下图示△ABC≅△AEC且AB＝AE＝x，则BC＝EC＝AD＝6﹣x，x∈（0，6），又△ADP≅△CEP，若PD＝PE＝a，则P A＝PC＝x﹣a，而∠E＝∠D＝90°，故a2+（6﹣x）2＝（x﹣a）2，可得a=6−18x＞0，则x∈（3，6），所以S△ADP=12⋅AD⋅PD=(6−x)×(3−9x)=27−3x−54x，则f （x ）＝27﹣3x −54x ，定义域为x ∈（0，6）；（2）f （x ）=27−(3x +54x )≤27−2√3x ⋅54x =27−18√2，当且仅当3x =54x，即x =3√2时等号成立，综上，x ＝3√2cm 时△ADP 的面积最大，最大面积为（27﹣18√2）cm 2．22．（12分）已知函数f(x)=√1+x +√1−x ，g(x)=√1−x 2．（1）判断f （x ）的奇偶性，并求f （x ）的值域；（2）设函数F （x ）＝f （x ）+2ag （x ）（a ＜0），求F （x ）的最大值h （a ），并求h （a ）的最小值．解：（1）要使函数有意义，则{1+x ≥01−x ≥0，解得﹣1≤x ≤1，∴函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，关于原点对称，且f （﹣x ）=√1−x +√1−(−x)=√1−x +√1+x =f （x ），∴函数f （x ）是偶函数；f 2（x ）＝（√1−x +√1+x ）2＝2+2√1−x 2，∵﹣1≤x ≤1，∴0≤√1−x 2≤1，∴2≤2+2√1−x 2≤4，即函数f 2（x ）的值域是[2，4]，又f （x ）≥0，∴f （x ）的值域为[√2，2]．（2）∵f 2（x ）＝2+2√1−x 2，∴√1−x 2=f 2(x)−22， ∴g （x ）=f 2(x)−22，令t ＝f （x ）， ∴F （x ）＝Φ（t ）＝at 2+t ﹣2a ，又a ＜0，∴Φ（t ）＝at 2+t ﹣2a 的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线t =−12a ，①若 t =−12a ∈(0，√2]，即a ≤−√24，Φ（t ）在[√2，2]上单调递减，则h （a ）＝Φ（√2）=√2；②若t =−12a ∈（√2，2），即−√24＜a ＜−14，函数φ（t ）在[√2，2]先增后减，则h （a ）＝Φ（−12a ）＝﹣2a −14a ；③若t =−12a ∈[2，+∞)，即−14≤a ＜0，则h （a ）＝Φ（2）＝2a +2；综上可得，h （a ）={ √2，a ≤−√24−2a −14a ，−√24＜a ＜−142a +2，−14≤a ＜0，当a ≤−√24时，h （a ）=√2，当−√24＜a ＜−14，h （a ）＝﹣2a −14a ≥2√(−2a)⋅(−14a )=√2，当且仅当﹣2a =−14a ，即a =−√22∉（−√24，−14），∴取不到等号；当−14≤a ＜0时，h （a ）＝2a +2≥2×（−14）+2=32＞√2． ∴a ≤−√24时，h （a ）取到最小值，且最小值为√2．。

天一中学数学试题及答案

天一中学数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 0.33333B. √2C. 3.14D. 1/3答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. 8D. -4答案：A3. 一个等差数列的首项是3，公差是2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 29答案：A4. 已知一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，第三边长x满足x^2- 16 = 0，求x的值。

A. 4cmB. 8cmC. 0cmD. 4cm或8cm答案：D5. 一个圆的半径是5cm，求其面积。

A. 25π cm²B. 50π cm²C. 100π cm²D. 200π cm²答案：C6. 已知一个函数y = 3x + 2，求当x = 1时y的值。

A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 一个等比数列的首项是2，公比是3，求第5项的值。

A. 486B. 243C. 81D. 27答案：A8. 已知一个二次函数y = ax^2 + bx + c，当x = 1时，y = 0，求a + b + c的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A9. 一个直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长。

A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A10. 已知一个函数y = kx，当x = 2时，y = 6，求k的值。

A. 3B. 2C. 1D. 4答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个等差数列的首项是5，公差是1，求第n项的通项公式为________。

答案：5 + (n - 1) * 112. 已知一个函数y = 2x - 3，求当x = 4时y的值。

答案：513. 已知一个圆的半径是7cm，求其周长。

答案：14π cm14. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为6cm和8cm，求斜边长。

无锡市天一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(领军班)(无答案)

江苏省天一中学2024-2025学年第一学期期中考试高一数学（领军班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．化简的结果是（） A. B. C. D. 2．在平面直角坐标系中，先将抛物线关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A. B.C. D.3．已知则f(x)的解析式为（）A. f(x)=x+1(x ≠0)B.C. f(x)=2x+1(x ≠0)D. f(x)=2x+1(x ≠1)4．幂函数f的图象大致为（A. B.C. D.5．设命题P ：关于x 的不等式与的解集相同；命题Q:则命题Q 是命题P 的（ )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件6．已知函数f(x)的定义域和值域都是［0,1］，则函数的定义域和值域分别为()A. 和B. 和C.［-1,0］和［-1,0］D.[-1,0]和[0,1]7．函数f(x)为奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，，则当x ∈(0,+∞)时，f(x)解析式是（Δ）A. B.C. D.8．已知y=f(x)是定义在R 上的单调增函数，实数 , λ≠-1,β=若，则(A. λ<0且λ≠-1)B. -1<λ≤1C.0<λ<1D.λ≥1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

9．若m<0,，则下列选项成立的有（. A. n<0 B. m+n<0C. D.|n|>|m|10．函数，若f(x)是R 上的单调函数，则实数a 的取值可以是（ A.2 B.C. 1.6D.1 11．若正实数x,y,z 满足xyz(x+y+z)=1, 记S=(x+z)(y+z)，则（）A ．S 的最小值是2B .当S 取最小值时，z 的最小值为C .当S 取最小值时，z 的最大值为D .当S 取最小值时，一定有x=y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。