线性规划对偶理论含影子价格21136

对偶的定义
对偶问题 max z(y)=bTy s.t. ATy≤C
y ≥0
max bT
原始问题 min f(x)=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
min
CT
n AT ≤ C
m
m
A
≥b
n
对偶问题的特点
（1）目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
（2）一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
对偶问题
max z 6 y1 5 y2 9 y3
3y1 4 y2 y3 1
2 y1 2 y2 3y3 2
y1
3 y2
5 y3
3
y1符号不限, y2 0, y3 0
对偶问题的性质
1、对偶的对偶就是原始问题
min z=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
对偶的定义
max y=bTW s.t. ATW≤C
（3）一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
（4）原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
一般
线性规 划问题 的对偶 问题
min f c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
max Z 2x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3
s.t.x1 4x2 7x3 9
x1
0,
x2
0,
x3
0
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
假设有客户提出要求，购买工厂所拥有的 工时和材料，为客户加工别的产品，由客 户支付工时费和材料费。那么工厂给工时 和材料制订的最低价格应是多少，才值得 出卖工时和材料 ?
保证A产品利润
y1+y2≥2
保证B产品利润
y1+4y2≥3
保证C产品利润
y1+7y2≥3
售价非负
y1≥0 y2≥0
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
minW 3y1 9 y2
y1 y2 2
s.t.
y1 y1
4y2 7 y2
3 3
y1 0, y2 0
对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述 其最优解与原问题的最优解有着密切的联系，在 求得一个线性规划最优解的同时也就得到对偶线 性规划的最优解，反之亦然。
对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的 理论，是线性规划理论的重要内容之一。
问题的导出
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
W ≥0
max z’=-CTX s.t. -AX≤-b
X ≥0
对偶的定义
min y=-bTW s.t. -ATW≥-C
W ≥0
2、对偶问题的性质
（1）弱对偶性（可行解的目标函数值之间的关系） 设X、Y分别是原始问题和对偶问题的可行解
∑cjxj≤∑biyi
min f CT X
AX b
s.t.
(, )b2
am1x1 am2 x2 amn xn (, )bm
x j 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
max z b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 a12 y1 a22 y2
am1 ym (, )c1 am2 ym (, )c2
线性规划的对偶理论
对偶的定义 对偶问题的性质 对偶的经济解释
SUES
了解----单纯形的矩阵描述
max Z CB X B CN X N 0 X S
BX B NX XB, XN, X
N S
IX S 0
b
XS为松弛变量
XB XN XS
b
XB B
N
I
b
C CB CN 0
0
单纯性法计算时，总选取单位矩阵 I 为初始基， 对应基变量为XS, 设迭代若干步后，基变量变为 XB, XB 在初始单纯性表中的系数矩阵为 B。则该 步的单纯性表中由 XB 系数组成的矩阵为单位矩 阵 I ，对应XS 的系数矩阵在新表中应为B-1
问
am1 am2
amn
xn
bm
形
题
x1, x2 , , xn 0
的
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
定 义
a11 a21
s.t.
a12
a22
a1n a2n
am1 y1 c1
am2
y2
c2
amn
ym
cn
式 的 对 偶 问 题
y1, y2 , , ym 0
XB XN
XS
b
XB
I B－1N
B－1
B－1b
N
0 CN－CBB－1N －CBB－1 －CBB－1b
j c j CB B1Pj
Y=CBB-1 称为单纯形乘子（对偶变量）
对偶原理
对偶问题概念：
任何一个线性规划问题都有一个与之相对应 的线性规划问题，如果前者称为原始问题，后者 就称为“对偶”问题。
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
•出卖资源获利应不少于生产产品的获利; 约束
•价格应该尽量低，这样，才能有竞争力; 目标
•价格应该是非负的
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格
总利润最小
min W=3y1+9y2
对偶问题（原问题）
目标函数max
变量数： m个
第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
约束条件：n个
第j个约束类型为“≥” 第j个约束类型为“≤” 第j个约束类型为“＝”
例 写出如下LP问题的对偶问题
min f x1 2x2 3x3
3x1 2x2 x3 6 4x1x1 3x22x2 x33x39 5 x1 0, x2 0,, x3符号不限
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
对偶问题对应表
原问题（对偶问题）
目标函数min
约束条件： m个
第i个约束类型为“≥” 第i个约束类型为“≤” 第i个约束类型为“＝”
变量数：n个
第j个变量≤ 0 第j个变量≥ 0 第j个变量是自由变量
max Z 2x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3 s.t.x1 4x2 7x3 9
x1 0, x2 0, x3 0
maxW b1 y1 b2 y2 bm ym
对 偶
a11 a12
s.t.
a21
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
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对 称