线性规划对偶理论含影子价格21136
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第一讲 对偶理论和影子价格
四川农业大学数学系王莉莉
14
线性规划问题的参数变化灵敏度分析
灵敏度分析中研究C、b等参数在保持最优解或最优 基不变时的允许变化范围或改变到某一值时对问题 最优解的影响，若C按( C+λC* )或b按( b+ λ b* )连 续变化，而目标函数Z(λ )是参数λ的线性函数时， 将下面的问题称为参数线性规划。
四川农业大学数学系王莉莉
9
对偶问题解的经济含义：
对偶问题解中变量 yi* 的经济含义是在其他条件 不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起 的目标函数最优值的变化。所以， yi* 描述了原 始线性规划问题达到最优时（各种“资源”都处 于最优的配置时），第 i 种“资源”的某种“价 值”，故称其为第 i 种“资源”的影子价格。
25
四川农业大学数学系王莉莉 16
并进一步讨论以下3个附加问题： 1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项 投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付 给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加 到30元，应否改变生产计划？
对偶理论与灵敏度分析
线性规划的对偶理论
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是 深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同 时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使得它 成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分 析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为 什么会产生这样一种问题呢？
四川农业大学数学系王莉莉
四川农业大学数学系王莉莉
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最优基不变条件 下目标函数系数 的允许变化范 围：x1的系数为 Ranges in which the basis is unchanged: （72-8， 72+24）= Objective Coefficient Ranges （64，96） Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Row 2 3 4 Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 50.00000 10.00000 6.666667 480.0000 53.33333 80.00000 100.0000 INFINITY 40.00000
第四章线性规划的对偶理论
定义4.4.1 正则解
设X(0)是原问题的一个基本解，对应的基是B.若它 对应的检验数σ=C-CBB-1A≤0成立。则原问题的一 个正则解。对应的基矩阵B称为正则基。
注意：正则解是基本解，不要求是可行解
对偶单纯形法的算法步骤
给定初始正则解 计算b=B-1b。b≥0
确定离基变量
Yes 得到最优解
解
x1 每日生产木门数 x2 每日生产木窗数 max Z 56x1 30x2 s.t. 4x1 3x2 120
2x1 x2 50 x1, x2 0
另一个解题思路
1 木工每个工时的工资 2 油漆工每个工时的工资 min f 1201 502 s.t. 41 22 56
1
x
(0) j
0, W (0) p j
cj
2
W
(0)
pj
cj
x
(0) j
0
例子
max z x1 2x2
s.t. 3x1 x2 2
x1 2x2 3
x1 3x2 1
x1, x2 0
x*
1
,
11T
7 7
4.3 对偶解(影子价格)的经济解释
4.4 对偶单纯型法
问题的提出 原始单纯形法的解题思路 对偶单纯形法的解题思路
31 2 30 1,2 0
4.1.2 三种形式的对偶问题
1、对称形式的对偶问题
LP max Z CX s.t. AX b
X 0n1
DP min f Wb s.t. WA C
W 01m
例子
LP max Z 2x1 2x2 s.t. 2x1 4x2 1
x1 2x2 1 2x1 x2 1 x1, x2 0
运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
线性规划问题的影子价格研究解析
目录1 引言....................................................................................................... 错误!未定义书签。
2 文献综述............................................................................................... 错误!未定义书签。
2.1 国内外研究现实状况.......................................................................... 错误!未定义书签。
2.2 国内外研究现实状况评价.................................................................. 错误!未定义书签。
2.3 提出问题.............................................................................................. 错误!未定义书签。
3 技术系数与约束右端项不发生变化................................................... 错误!未定义书签。
3.1线性规划原问题与对偶问题及其性质............................................... 错误!未定义书签。
3.2详细应用............................................................................................... 错误!未定义书签。
3.3 影子价格确实定.................................................................................. 错误!未定义书签。
2.2 对偶理论 2.3对偶问题的经济意义——影子价格
影子价格是经济学中的重要概念，将一个企业拥 有的资源的影子价格与市场价格比较，可以决定是购 入还是出让该种资源。当某资源的市场价格低于影子 价格时，企业应该买进该资源用于扩大生产；而当市 场价格高于影子价格时，则企业的决策者应该将已有 资源买掉。这样获利会更多。在考虑一个地区或一个 国家某种资源的进出口决策中，资源的影子价格是影 响决策的一个重要因素。 利用单纯形表求解线性规划，在求得最优解的同 时，很容易得到问题的各种资源的影子价格。某资源 的影子价格，就是该资源对应的约束条件所加松弛变 量在最优表中的检验数的相反数。
例1 写出下面线性规划的对偶规划 minZ=2x1+ x2-4x3 原问题即 2x1+3x2 +x3 ≥1 minZ=2x1+ x2-4x3 3x1- x2 +x3 ≤4 2x1+3x2 +x3 ≥1 x1 +x3=3 -3x1+ x2-x3 ≥-4 x1,x2≥0 x1 +x3=3 其对偶为：maxW=y1 -4y2+3y3 x1,x2≥0 2y1- 3y2 +y3 ≤2 3y1+ y2 ≤1 y1- y2 +y3 =-4 y1,y2≥0
线性规划的原问题与对偶问题的变换规则表：
原问题（或对偶问题） 目标函数 maxZ 价值系数 资源系数 行约束的个数为m 行约束的个数为m 第i个行约束取“≤” 个行约束取“≤ 第ι个行约束取“＝” 原变量的个数为n 原变量的个数为n 第j个变量xj ≥0 个变量x 第k个变量xk无限制 个变量x 对偶问题（或原问题） 目标函数 minW 资源系数 价值系数 对偶变量的个数为m 对偶变量的个数为m 第i个变量yi ≥0 个变量y 第ι个变量yι无限制 个变量y 行约束的个数为n 行约束的个数为n 第j个行约束取“≥” 个行约束取“≥ 第k个行约束取“＝”
运筹学课件第三节影子价格
运筹学教程
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
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线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
对偶理论与影子价格
9
管
理
运
筹
学
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系： 1.若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的 不等式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等 于”的不等式。即“max，≤”和“min，≥”相对应。 2.从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中 为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个 约束，m个变量 3.从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置 对换 4.两个规划模型中的变量皆非负
21
管
理
运
筹
学
弱对偶定理的推论： 1.（P）任一可行解的目标函数值是其对偶问题目 标函数值的下界；（D）任一可行解的目标函数值是 其原问题目标函数值的上界。 2. 若（P）可行，那么（P）无有限最优解的充分 必要条件是（D）无可行解。 3. 若（D）可行，那么（D）无有限最优解的充分 必要条件是（P）无可行解。 4. 若（P）、（D）可行，那么（P）、（D）都有 最优解。
第六节 对偶理论与影子价格
对偶问题的提出 对偶问题的形式 对偶问题的基本性质 影子价格
1
管
理
运
筹
学
对偶问题的提出
2
管
理
运
筹
学
例1：某工厂拥有A、B、C三种类型 的设备，生产甲、乙两种产品。每 件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以 及三种设备可利用的时数如下表所 示：问题：工厂应如何安排生产可 获得最大的总利润？
设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的收费。 设x1，x2分别为生产甲乙两种产品的件数 目标函数 min f 65 y1 40 y2 75 y3 max z 1500 x1 2500 x2 目标函数 3 y1 2 y2 1500 3 x1 2 x2 65 （不少于甲产品的利润） 2 x x 40 约束条件 1 2 约束条件 2 y1 y2 3 y3 2500 3 x2 75 （不少于乙产品的利润） x 0, x 0 1 2 y1 0, y2 0, y3 0
线性规划中影子价格的定义及计算
线性规划中影子价格的定义及计算
影子价格是指在线性规划中，用来确定最优解的一种数学模型。
简单来说，影子价格就是一组参数，用来表示特定限制被侵蚀的代价。
在线性规划中，影子价格用来度量对于受限制约束而导致可行解发生
变化的成本。
影子价格的计算方法是通过求解线性规划问题的两个不同最优解
的分歧来实现的。
在线性规划中，第一个最优解的定义是在考虑所有
约束条件的情况下，可以使目标函数达到最优解的解决方案。
而第二
个最优解则是在不考虑某些约束条件时，能够使目标函数达到最优解
的解决方案。
影子价格的计算公式是，Sj=c1-c2，其中Sj表示约束条件j的影
子价格，c1是考虑所有约束条件时可以使目标函数达到最优解的值，
c2是不考虑某些约束条件时可以使目标函数达到最优解的值。
通过计算影子价格，可以更好地确定系统的最优解。
因此，影子
价格的定义和计算在线性规划中起着重要的作用，可以帮助我们更快
更有效地找到满足目标的最优解。
线性规划对偶理论(含影子价格)_21136
对 偶
a11 a12
s.t.
a21
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
对 称
问
am1 am2
amn
xn
bm
形
题
x1, x2 , , xn 0
的
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
定 义
a11 a21
s.t.
a12
a22
a1n a2n
x2 0,
x2
2
0
无界
关于无界性有如下结论： minW 4 y1 2 y2
原问题
问题无界
无可 行解
对偶问题 无可行解 无可行解
问题无界
y1 y2 2
（对）
y1
y1
y2 0, y2
1 0
无可 行解
原 : max Z x1 2x2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
m
m
A
≥b
n
对偶问题的特点
〔1〕目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
〔2〕一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
〔3〕一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
〔4〕原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
一般
线性规 划问题 的对偶 问题
〔4〕强对偶性〔最优解的目标函数之间的关系〕 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有 最优解，且两者的目标函数值相等
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
线性规划对偶理论21136
l （2）一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
l （3）一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
l （4）原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
线性规划对偶理论21136
一般 线性规 划问题 的对偶 问题
线性规划对偶理论21136
对偶问题对应表
原问题（对偶问题）
-Z′ 42 -6 -9 0 0 0 -3
线性规划对偶理论21136
cj
-9 -12 -15 0 0
0
cB xB b
x1 x2 x3 x4 x5
x6
0 x4 -9/7 - 0 9/14
-12 x2 23/7 9/14 1
-15 x3 15/7 1/14 0
0 1 -9/14 -1/14
0 0 -5/14 1/14
试用对偶理论证明原问题无界。 解： =（0.0.0）是 原问题的一个可行解，而 对偶
问题 的第一个约束条件不能成立（因为y1 , y2 ≥0)。因 此，对偶问题不可行，可知，原问题无界。
线性规划对偶理论21136
（4）强对偶性（最优解的目标函数之间的关系） 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有 最优解，且两者的目标函数值相等
线性规划对偶理论21136
对偶单纯形法的优点和缺点
优点： l 初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时，就
可以进行基的变换，不需要加入人工变量。 l 当变量多于约束条件，用对偶单纯形法计算可以减
少计算工作量，因此对于变量较少，而约束条件很多 的线性规划问题，可以首先将它变换成为对偶问题， 然后用对偶单纯形法来求解。 l 在灵敏度分析中，有时需要使用对偶单纯形法，这 样可以使问题处理简化。
l （3）一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
l （4）原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
线性规划对偶理论21136
一般 线性规 划问题 的对偶 问题
线性规划对偶理论21136
对偶问题对应表
原问题（对偶问题）
-Z′ 42 -6 -9 0 0 0 -3
线性规划对偶理论21136
cj
-9 -12 -15 0 0
0
cB xB b
x1 x2 x3 x4 x5
x6
0 x4 -9/7 - 0 9/14
-12 x2 23/7 9/14 1
-15 x3 15/7 1/14 0
0 1 -9/14 -1/14
0 0 -5/14 1/14
试用对偶理论证明原问题无界。 解： =（0.0.0）是 原问题的一个可行解，而 对偶
问题 的第一个约束条件不能成立（因为y1 , y2 ≥0)。因 此，对偶问题不可行，可知，原问题无界。
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（4）强对偶性（最优解的目标函数之间的关系） 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有 最优解，且两者的目标函数值相等
线性规划对偶理论21136
对偶单纯形法的优点和缺点
优点： l 初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时，就
可以进行基的变换，不需要加入人工变量。 l 当变量多于约束条件，用对偶单纯形法计算可以减
少计算工作量，因此对于变量较少，而约束条件很多 的线性规划问题，可以首先将它变换成为对偶问题， 然后用对偶单纯形法来求解。 l 在灵敏度分析中，有时需要使用对偶单纯形法，这 样可以使问题处理简化。
2.线性规划的对偶理论(第2部分).
相应的行为主元行。
然后确定换入变量——原则是：在保持对偶 可行的前提下，减少原始问题的不可行性。如果min j c
j
al'j
z
j
al'j
0
ck zk
a
' lk
(最小比值原则),则选 xk或yk 为换入变量，
相应的列为主元列，主元行和主元列交叉处
的元素
a
' lk
§5、对偶单纯形法
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、单纯形法的求解过程就是： 在保持原始可行的前提下（b列保持≥0），
通过逐步迭代实现对偶可行（检验数行≤0） 。
对偶单纯形法思想： 换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行的 前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭代实 现原始可行（b列≥0，从非可行解变成可行解）。
回答两个问题：
①这些参数在什麽范围内发生变化时，最优 基不变（即最优解或最优解结构不变）？ ②参数变化超出上述范围时，如何用最简便 的方法求出新的最优解？
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
三、 灵敏度分析举例：
例：
max Z 2x1 3x2
2
x4 x5
16 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用表格单纯形法求解最终单纯表如下：
Cj→
23 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
θj
2 x1 3 1 0 1/2 0 -1/5
第二章 线性规划的对偶理论3-影子价格对偶单纯形法
根据对偶原理，当原问题有最优解时，对偶问题也 有最优解。反之，也成立。 因此，首先找对偶问题的可行解，如果这时有 XB = CBB-1 0 即原问题的解也为可行解，则两者均为最优解。 否则，保持对偶问题为可行解，找出原问题的相邻 基解，再判别是否有 XB = CBB-1 0 ，循环进行，直到 原问题也为可行解为止。
资源影子价格的性质
1 资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它
的影子价格则依赖于资源的利用情况，是未知数。企业 生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影子价格 也随之发生变化。
2 资源的影子价格是一种 边际价格。 在
z c j x j bi yi w中对 z 求 bi 的偏导数得
2.3 对偶单纯形法
单纯形法的计算步骤如下：
第一步 找出一个基可行解 第四步 第二步 判断其是否最优
是，且基变量 中无人工变量
结束
否 第三步 转换到相邻的基可行解，并使目标函数值增大
第一步：求初始基可行解，列出初始单纯形表。 第二步：最优性检验。 第三步：从一个基可行解转换到相邻的目标函数值更大 的基可行解，列出新的单纯形表。 第四步：重复第二、三步，直到计算结束为止。
差额成本 = 机会成本 - 利润
5 影子价格与资源的关系 根据对偶问题的互补松弛性质：
aij x j bi
j 1 n
n
时，yi* = 0；当 yi* > 0 时，有
aij x j bi 。
j 1
说明生产过程中如果某种资源未得到充分利用时， 该种资源的影子价格为零； 当资源的影子价格不为零时，表明该种资源在生产 中已经消耗完毕。
min w 15 y1 24 y2 5 y3
运筹学课件 第三节 影子价格
由强对偶定理知
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此 Z*
-1
= Y*b=b1y1+b1y2+…bmym
Z* bi
= CBB-1= Y*
或
Z* bi
= （ Y*b） = yi* bi
运筹学教程
线性规划的对偶理论 对偶问题解的经济含义： 由上面分析——对偶问题解中变量 yi* 的 经济含义是在其他条件不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起的目标函数最优值的 变化。所以， yi* 描述了原始线性规划问题达 到最优时（各种“资源”都处于最优的配置 时），第 i 种“资源”的某种“价值”，故称 其为第 i 种“资源”的影子价格。 下面图解阐述影子价格的直观含义：
运筹学教程
所有检验数≤0意味着
CN CBB
1
N 0Y AC
T
，
说明原问题的最优基也是对偶问题的可行基。 换言之，当原问题的基B既是原可行基又是 对偶可行基时，B成为最优基。 补充定理 B是线性规划的最优基的充要条 件是，B是可行基，同时也是对偶可行基。
运筹学教程
单纯形法的求解过程就是： 在保持原问题可行的前提下（b列保持≥0）， 通过逐步迭代实现对偶可行（检验数行≤0） 。 2、 对偶单纯形法思想： 换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行 的前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭 代实现原问题可行（b列≥0，从非可行解变 成可行解）。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x 2 3 x 3 x1 x 2 x 3 5 st . x1 x 2 4 x 3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
运筹学--线性规划的对偶理论
对偶单纯形法求解思路
对偶单纯形法
20
对偶单纯形法
21
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是所有线性规划问题的通用 解法，它只能从检验数已经符合最优化条件的 基本解开始求解。
22
对偶单纯形法
1- 约束条件为“≥”
初始解可以是非可行解。当检验数都为负数时，就 可以进行基变换，不需要加入人工变量。
2- 变量多于约束条件
对于变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单 纯形法计算可以减少计算工作量。 变量少，约束条件很多的线性规划问题，可以将其 变换为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。
23
对偶单纯形法示例1
24
对偶单纯形法示例1
25
对偶单纯形法示例1
26
灵敏度分析
线性规划问题的最优解，是在设定问题模型中 的������������������、������������、������������都为已知常数的前提下求解得到 的。 对于许多实际问题，这些系数都是采用经验法 或统计、预测方法得到的估计值。
这里需注意区分xi是最优表中的基变量还是非 基变量：
如果xi为非基变量，如产品C的原材料消耗系数pi发 生变化时，判断和求解的方法与前一种情况相同， 即检查xi的检验数是否满足最优条件；
59
灵敏度分析示例1
如果xi是基变量（例如产品A或产品B的资源消耗系 数p1或p2发生变化），那么p������的变化将引起基矩阵B 的变化。B的变化将影响单纯形法迭代过程中几乎 所有的计算项目，问题只能重新迭代。
32
灵敏度分析示例1
33
线性规划中影子价格的定义及计算
格的定义及性质 ， 提 出 一 种 新 的影 子 价 格 定 义 ， 并 介 绍 直接 搜 索 法 和 约 束 对 偶 法 的影 子 价 格 计 算 方 法 ． 根 据 对 偶 理
论 和线性规划基本原理进行分 析 ， 并 借 助实 例 阐 释 ， 结 果 显 示 所 给 定 义 及 算 法 皆有 效 ．
表 １ 原 问题 （ Ｌ Ｐ ）最优 表
１ … Ｘｎ Ｘ什 ｌ … ｚ … ｚ计
其 中
ｃ＝ ＝ ：（ ｃ １ ， … ， ｆ ， ， … ， ｆ ） ∈
一
表示 原 问题 目标 函数 系数 向量 ， 一 般 表 示 每 种 产 品 的单 位 效益 系数 ；
是决策 变 量 ， 一 般 表示 每种 产 品的产 量． 对 偶 问题 （ Ｄ Ｌ Ｐ）中 ， 对偶 变量
Ｙ一 （ １ ， Ｙ ２ ， …， Ｙ ）
格， 而 是指 该种 资 源在具 体 经济 结构 中的使 用价值 ，
或称 为该种 资 源 的边 际收益 ． 因此 ， 影子 价格 在 经 济 生产 活 动尤 其是 资源 配 置 中的应 用非 常广 泛．
效 益 目标最 大 化为 原 问 题 的 对偶 问题 的最 优 解 ． 确 切 地说 ， 对 于对 偶 问题 的最 优 解 是 唯 一 的情 况 下 影 子 价格 计算 ， 可 由原 问题 的对 偶 问题 的最 优 解 直 接
得 到． 设 原 问题 （ Ｌ Ｐ ）为
ｍａ ｘ ｆ 一 ｘ。
ｍｉ ｎ ｚ — ｙ ｂ。
表 示基 变 量 ； 最 优 基 Ｂ的逆 矩 阵Ｂ 一（ ＋ ｆ ） ｍ ｘ ； 表 示 除松 弛变量 ｚ 井 外， 系数 矩 阵经迭 代后 的 系数 ；
（ ２ ）
对偶问题的经济解释-影子价格
影子价格在经济管理中的应用
(1)影子价格能指示企业内部挖潜的方向.
影子价格越高的资源,说明它对目标增益的影响 越大,同时也表明这种资源越稀缺和贵重. 企业的管理者要重视这种资源的管理,挖掘潜力 ,及时组织资源,由此可以给企业带来较大的收 益. 注意:对于影子价格为零的资源企业的资源 不一定有剩余.如果有剩余,企业应该充分利 用剩余的资源,开辟新的生产途径,以增加企 业的总收益.
max z c1x1 c 2 x 2 c j x j c n x n s.t. a11x1 a12 x 2 a1jx j a1n x n b1y1 a 21x1 a 22 x 2 a 2jx j a 2n x n b 2 y2 a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n b m ym x1 x2 xj xn 0
(4)影子价格在资源购销决策中的应用.
当资源的市场价格低于影子价格,企业买进该资源, 扩大生产,当资源的市场价格高于影子价格,企业 应设法转让该资源.
(5)利用影子价格分析现有产品价格变动对 资源紧缺情况的影响.
产品价格的变动会影响到影子价格的大小,从而 对资源的稀缺性产生影响.
二 影子价格的经济意义
1．影子价格不是市场价 资源的市场价格是已知数，相对比较稳定， 而它的影子价格则有赖于资源的利用情况， 是未知数。 由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化， 资源的影子价格也随之改变。 企业 影子价格 市场价格
市场
2．资源的影子价格是一种机会成本
.在纯市场经济条件下, 设第i 种资源的单位市场价格为mi ， 当yi > mi 时，企业愿意购进这种资源， 单位资源的纯利为yi－mi ，则有利可图； 如果yi < mi ，则企业有偿转让这种资源， 可获单位 资源的纯利mi－yi ， 否则，企业无利可图，甚至亏损。 随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化， 一直到影子价格与市场价格保持同等水平时， 才处于平衡状态。
第二章 线性规划的对偶理论3-影子价格对偶单纯形法
影子价格(shadow price)
影子价格广泛地被用于投资项目和进出口活动的经济 评价。
例如，把投资的影子价格理解为资本的边际生产率与 社会贴现率的比值时，用来评价一笔钱用于投资还是用于 消费的利亏；
把外汇的影子价格理解为使市场供求均衡价格与官方 到岸价格的比率，用来评价用外汇购买商品的利亏，使有 限外汇进口值最大。
b1 y1 b2 y2
am1x1 am2 x2 amj x j amn xn bm ym
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本
a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
-5
-2
-1
0
1
cj-zj
-15
-24
-5
0
0
-24
y2
1/3
0
1
1/6
-1/6
0
0
y5
-1/3
-5
0
[-2/3] -1/3
1
cj-zj
-15
0
-1
-4
0
max w 15y1 24y2 5y3 0y4 0y5
6 y2 y3 y4 2
5y1 2 y2 y3
6 互补松弛关系的经济解释
yi xni
0
yi xni
0
xni 0 yi
0 0
x j ym j
0
xj ym j
0 ym j 0 xj
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a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
对偶问题对应表
原问题（对偶问题）
目标函数min
约束条件： m个
第i个约束类型为“≥” 第i个约束类型为“≤” 第i个约束类型为“＝”
变量数：n个
第j个变量≤ 0 第j个变量x z(y)=bTy s.t. ATy≤C
y ≥0
max bT
原始问题 min f(x)=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
min
CT
n AT ≤ C
m
m
A
≥b
n
对偶问题的特点
（1）目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
（2）一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
max Z 2x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3
s.t.x1 4x2 7x3 9
x1
0,
x2
0,
x3
0
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
假设有客户提出要求，购买工厂所拥有的 工时和材料，为客户加工别的产品，由客 户支付工时费和材料费。那么工厂给工时 和材料制订的最低价格应是多少，才值得 出卖工时和材料 ?
问
am1 am2
amn
xn
bm
形
题
x1, x2 , , xn 0
的
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
定 义
a11 a21
s.t.
a12
a22
a1n a2n
am1 y1 c1
am2
y2
c2
amn
ym
cn
式 的 对 偶 问 题
y1, y2 , , ym 0
对偶问题
max z 6 y1 5 y2 9 y3
3y1 4 y2 y3 1
2 y1 2 y2 3y3 2
y1
3 y2
5 y3
3
y1符号不限, y2 0, y3 0
对偶问题的性质
1、对偶的对偶就是原始问题
min z=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
对偶的定义
max y=bTW s.t. ATW≤C
XB XN
XS
b
XB
I B－1N
B－1
B－1b
N
0 CN－CBB－1N －CBB－1 －CBB－1b
j c j CB B1Pj
Y=CBB-1 称为单纯形乘子（对偶变量）
对偶原理
对偶问题概念：
任何一个线性规划问题都有一个与之相对应 的线性规划问题，如果前者称为原始问题，后者 就称为“对偶”问题。
(, )b2
am1x1 am2 x2 amn xn (, )bm
x j 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
max z b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 a12 y1 a22 y2
am1 ym (, )c1 am2 ym (, )c2
对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述 其最优解与原问题的最优解有着密切的联系，在 求得一个线性规划最优解的同时也就得到对偶线 性规划的最优解，反之亦然。
对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的 理论，是线性规划理论的重要内容之一。
问题的导出
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
保证A产品利润
y1+y2≥2
保证B产品利润
y1+4y2≥3
保证C产品利润
y1+7y2≥3
售价非负
y1≥0 y2≥0
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
minW 3y1 9 y2
y1 y2 2
s.t.
y1 y1
4y2 7 y2
3 3
y1 0, y2 0
W ≥0
max z’=-CTX s.t. -AX≤-b
X ≥0
对偶的定义
min y=-bTW s.t. -ATW≥-C
W ≥0
2、对偶问题的性质
（1）弱对偶性（可行解的目标函数值之间的关系） 设X、Y分别是原始问题和对偶问题的可行解
∑cjxj≤∑biyi
min f CT X
AX b
s.t.
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
•出卖资源获利应不少于生产产品的获利; 约束
•价格应该尽量低，这样，才能有竞争力; 目标
•价格应该是非负的
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格
总利润最小
min W=3y1+9y2
对偶问题（原问题）
目标函数max
变量数： m个
第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
约束条件：n个
第j个约束类型为“≥” 第j个约束类型为“≤” 第j个约束类型为“＝”
例 写出如下LP问题的对偶问题
min f x1 2x2 3x3
3x1 2x2 x3 6 4x1x1 3x22x2 x33x39 5 x1 0, x2 0,, x3符号不限
max Z 2x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3 s.t.x1 4x2 7x3 9
x1 0, x2 0, x3 0
maxW b1 y1 b2 y2 bm ym
对 偶
a11 a12
s.t.
a21
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
对 称
线性规划的对偶理论
对偶的定义 对偶问题的性质 对偶的经济解释
SUES
了解----单纯形的矩阵描述
max Z CB X B CN X N 0 X S
BX B NX XB, XN, X
N S
IX S 0
b
XS为松弛变量
XB XN XS
b
XB B
N
I
b
C CB CN 0
0
单纯性法计算时，总选取单位矩阵 I 为初始基， 对应基变量为XS, 设迭代若干步后，基变量变为 XB, XB 在初始单纯性表中的系数矩阵为 B。则该 步的单纯性表中由 XB 系数组成的矩阵为单位矩 阵 I ，对应XS 的系数矩阵在新表中应为B-1
（3）一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
（4）原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
一般
线性规 划问题 的对偶 问题
min f c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
a21x1
a22 x2
a2n xn