数学必修四第二章复习总结-经典例题。

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高一数学人教B版必修4课件：2章末归纳总结

• (3)平面向量基本定理是向量坐标表示的理
论基础．直角坐标系中与x、y轴方向相同的单位向量是它的一组正交基底，平面上任何一个向量都可以由一对有序实数对(x、 y)表示．向量的坐标表示使向量的运算代数化，也为我们提供了解决问题的方法—— 向量坐标法．同时，也体现了向量与解析几何的联系，用向量方法可以解决解析几何问题．通过向量的学习，体会向量在解析几何中的应用．
• (3)两个非零向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝
0. • 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 • a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
• (1)数学中研究的向量只有大小和方向，与
物理中研究的向量不完全一样．如力向量除与大小和方向有关外，还与作用点有关．向量可以分别用有向线段、字母、坐标表示. • (2)对于向量的线性运算，要掌握向量加法和向量数乘的几何意义，利用向量的加法证明几何中的线段平行、相等等问题，利用向量数乘可以解决线段平行、相等等问题．
坐标运算：设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 → ＝(x2－x1，y2－y1)． AB a－b ＝(x1－x2，y1－y2)．设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
• (3)实数与向量的积 • 定义：λa，其中λ＞0 时，λa与a同向，当λ
＜0时，λa与a反方向，当λ＝0时，0a＝0. • 运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb， • 坐标运算：设a＝(x，y)则λa＝λ(x，y)＝(λx， λy)．
章末归纳总结
• 1．向量运算 • (1)加法运算 • 加法法则：
• 运算性质：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b
＋c)，a＋0＝0＋a＝a. • 坐标运算：设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．

人教A版高中数学必修4课后习题第二章 2.2.2 向量减法运算及其几何意义

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课后篇巩固探究1.四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故四边形是平行四边形.根据向量加法和减法的几何意义可知,该平行四边形的对角线相等,故为矩形.2.已知ABCDEF 是一个正六边形,O 是它的中心,其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则EF ⃗⃗⃗⃗ =( )A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-c.3.下列不能化简为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.QC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗项中,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选D.4.如图,点D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点,则 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =0B.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗ =0D.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FC⃗⃗⃗⃗ =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以A 项正确.5.平面上有三点A,B,C,设m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若m,n 的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形,因为m,n 的长度相等,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以ABCD 是矩形,故△ABC 是直角三角形,且∠B=90°.6.若四边形ABCD 为正方形,且边长为2,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.7.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b.8.如图,在正六边形ABCDEF 中,与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 . ①CF ⃗⃗⃗⃗ ;②AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;③BE⃗⃗⃗⃗⃗ ; ④DE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FE ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑤CE ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⑥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑦AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE⃗⃗⃗⃗⃗ .ACDF 是平行四边形,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FE ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为四边形ABDE 是平行四边形, 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .综上知与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是①④.9.已知向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|的值为 .,在平面内任取一点A,作AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,以AD,AB 为邻边作▱ABCD, 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BD⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b. 由题意,知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.过点B 作BE ⊥AD 于点E,过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F. 因为AB=BD=2,所以AE=ED=12AD=12.在Rt △ABE 中,cos ∠EAB=AEAB=14.易知∠CBF=∠EAB,所以cos ∠CBF=14. 所以BF=BC·cos∠CBF=1×14=14.所以CF=√154. 所以AF=AB+BF=2+14=94.在Rt △AFC 中,AC=√AF 2+CF 2=√8116+1516=√6,所以|a+b|=√6.√6 10.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12,求|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴四边形ABCD 为平行四边形. 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴▱ABCD 为菱形.∵cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=π3,∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3, |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 11.如图,在▱ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.(1)当a,b 满足什么条件时,a+b 与a-b 所在的直线互相垂直? (2)a+b 与a-b 有可能为相等向量吗?为什么?AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b.若a+b 与a-b 所在的直线互相垂直,则AC ⊥BD. 因为当|a|=|b|时,四边形ABCD 为菱形,此时AC ⊥BD, 故当a,b 满足|a|=|b|时,a+b 与a-b 所在的直线互相垂直. (2)不可能.因为▱ABCD 的两对角线不可能平行,所以a+b 与a-b 不可能为共线向量,更不可能为相等向量.。

高中数学必修4知识点与习题带答案

高中数学必修4知识点第一章基本初等函数二（三角函数）⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x rα=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：奇变偶不变，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kππ=+()k∈Z时，max1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，min1y=-．当()2x k kπ=∈Z时，max1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，min1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称性对称中心()(),0k kπ∈Z对称轴()2x k kππ=+∈Z对称中心(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k kπ=∈Z对称中心(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴综合型训练函数性质一、选择题1．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（）A ． 34B ． 34-C ． 34±D ． 32．函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是（） A ． {}3,1,0,1- B ． {}3,0,1- C ． {}3,1- D ． {}1,1- 3．若α为第二象限角，那么α2sin ，2cosα，α2cos 1，2cos1α中，其值必为正的有（）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个4．已知)1(,sin <=m m α，παπ<<2，那么=αtan （）．A ． 21mm- B ． 21m m-- C ． 21m m-± D ． m m 21-±5．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（）． A ． 2 B ． 2- C ． 2-或2 D ． 06．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（）． A ． 231+-B ． 231+-C ． 231-D ． 231+ 二、填空题1．若23cos -=α，且α的终边过点)2,(x P ，则α是第_____象限角，x =_____．2．若角α与角β的终边互为反向延长线，则α与β的关系是___________． 3．设99.9,412.721-==αα，则21,αα分别是第象限的角． 4．与02002-终边相同的最大负角是_______________．5．化简：0360sin 270cos 180sin 90cos 0tan r q p x m ---+=____________．三、解答题1．已知,9090,90900<<-<<-βα求2βα-的范围．2．已知⎩⎨⎧>--<=,1,1)1(1,cos )(x x f x x x f π求)34()31(f f +的值．3．已知2tan =x ，（1）求x x 22cos 41sin 32+的值．（2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值．4．求证：22(1sin )(1cos )(1sin cos )αααα-+=-+第三章三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A ．综合型训练一、选择题 1．方程1sin 4x xπ=的解的个数是（）A ． 5B ． 6C ． 7D ． 82．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（）A ． )45,()2,4(ππππ B ． ),4(ππC ． )45,4(ππD ． )23,45(),4(ππππ 3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（）A ． 2πB ．4π-C ． 4πD ． 34π4．已知ABC ∆是锐角三角形，sin sin ,cos cos ,P A B Q A B =+=+ 则（）A ． P Q <B ． P Q >C ． P Q =D ． P 与Q 的大小不能确定5．如果函数()sin()(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T , 且当2x =时取得最大值,那么（） A ．2,2T πθ==B ． 1,T θπ==C ． 2,T θπ==D ．1,2T πθ==6． x x y sin sin -=的值域是（） A ． ]0,1[- B ． ]1,0[ C ． ]1,1[- D ． ]0,2[- 二、填空题 1．已知x a a x ,432cos --=是第二、三象限的角，则a 的取值范围___________．2．函数)(cos x f y =的定义域为)(322,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ，则函数)(x f y =的定义域为__________________________． 3．函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是___________________________． 4．设0ϖ>，若函数()2sin f x x ϖ=在[,]34ππ-上单调递增，则ϖ的取值范围是________． 5．函数)sin(cos lg x y =的定义域为______________________________．三、解答题1．（1）求函数xx y tan log 221++=的定义域．（2）设()cos(sin ),(0)g x x x π=≤≤，求()g x 的最大值与最小值． 2．比较大小（1）32tan3tan2,2ππ；（2）1cos ,1sin ．3．判断函数x x xx x f cos sin 1cos sin 1)(++-+=的奇偶性．4．设关于x 的函数22cos 2cos (21)y x a x a =--+的最小值为()f a ，试确定满足1()2f a =的a 的值，并对此时的a 值求y 的最大值．第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．18、向量减法运算：baC BAa b C C -=A -AB =B⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 23、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+．基础型训练一、选择题1．化简AC -BD +CD -AB 得（） A ． AB B ． C ． BC D ． 02．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（）A ． 00a b =B ． 001a b ⋅=C ． 00||||2a b +=D ． 00||2a b += 3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 4．下列命题中正确的是（） A ．若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ．若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（） A ． 3- B ． 1- C ． 1 D ． 36．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（）A ． 0,24B ． 24,4C ． 16,0D ． 4,0 二、填空题1．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅=，则向量b =____．3．若3a =,2b =，且与的夹角为060，则a b -= ．4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________．5．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使bt a +最小，则实数t 的值为___________．三、解答题1．如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．2．已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模．3．已知点(2,1)B -，且原点O 分→AB 的比为3-，又(1,3)b →=，求→b 在→AB 上的投影．4．已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？提高型训练一、选择题1．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（）A ． 3,5a b ==-B ． 10a b -+=C ． 23a b -=D ． 20a b -=2．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP， ()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（）A ． 2B ． 3C ． 23D ． 32 3．下列命题正确的是（）A ．单位向量都相等B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（）C ． ||||b a b a -=+，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅= 4．已知,a b均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（）A ． 7B ． 10C ． 13D ． 4 5．已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为A ． 6πB ． 4πC ． 3πD ． 2π6．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( ) A ． )2,4( B ． )2,4(-- C ． )3,6(- D ． )2,4(或)2,4(-- 二、填空题1．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b-的最大值是．2．若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断则△ABC 的形状_________． 3．若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________． 4．若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b += ．5．平面向量,中，已知(4,3)a =-，1b =，且5a b =，则向量=______．三、解答题1．已知,,a b c 是三个向量，试判断下列各命题的真假．（1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =（2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b 的夹角），方向与a 在b 相同或相反的一个向量．2．证明：对于任意的,,,a b c d R ∈，恒有不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++3．平面向量13(3,1),(,)2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =．4．如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值．一、选择题 1．B000tan 600,4tan 6004tan 604aa ==-=-=--2． C 当x 是第一象限角时，3y =；当x 是第二象限角时，1y =-；当x 是第三象限角时，1y =-；当x 是第四象限角时，1y =- 3． A22,(),4242,(),2k k k Z k k k Z ππαππππαππ+<<+∈+<<+∈,(),422k k k Z παπππ+<<+∈2α在第三、或四象限，sin 20α<，cos2α可正可负；2α在第一、或三象限，cos2α可正可负4．Bsin cos tan cos αααα===5．sin sin cos cos cos ααααα+=+，当α是第二象限角时，sin sin tan tan 0cos cos αααααα+=-+=；当α是第四象限角时，sin sin tan tan 0cos cos αααααα+=-=6．B41,cos sin 32πααα=-=-+=二、填空题1．二，-cos 0α=<，则α是第二、或三象限角，而20y P =>得α是第二象限角，则12sin ,tan 23x x αα===-=-2． (21)k βαπ=++3．一、二07.4122,2ππ<-<得1α是第一象限角；9.994,2πππ<-+<得2α是第二象限角4． 0202-00020025360(202)-=-⨯+- 5． 000000tan 00,cos900,sin1800,cos 2700,sin 3600===== 三、解答题 1．解：0000009090,4545,9090,2ββα-<-<-<-<-<<()22ββαα-=+-，001351352βα-<-<2．解：11411()cos ,()()1332332f f f π===-=-14()()033f f ∴+=3．解：（1）222222222121sin cos tan 2173434sin cos 34sin cos tan 112x x x x x x x x +++===++ （2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos x x x xx x x x x x -+-+=+22tan tan 17tan 15x x x -+==+ 4．证明：右边2(1sin cos )22sin 2cos 2sin cos αααααα=-+=-+- 2(1sin cos sin cos )2(1sin )(1cos )αααααα=-+-=-+22(1sin )(1cos )(1sin cos )αααα∴-+=-+综合训练一、选择题1． C 在同一坐标系中分别作出函数121sin ,4y x y x π==的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个2． C 在同一坐标系中分别作出函数12sin ,cos ,(0,2)y x y x x π==∈的图象，观察：刚刚开始即(0,)4x π∈时，cos sin x x >；到了中间即5(,)44x ππ∈时，x x cos sin >；最后阶段即5(,2)4x ππ∈时，cos sin x x >3． C 对称轴经过最高点或最低点，()1,sin(2)128882f k ππππϕϕπ=±⨯+=±⇒⨯+=+ ,4k k Z πϕπ=+∈4． B ,sin cos ;sin cos 222A B A B A B B A B A πππ+>>-⇒>>-⇒>sin sin cos cos ,A B A B P Q ∴+>+> 5． A 22,(2)sin(2)1,T f ππθθπ===+=可以等于2π6． D 0,sin 0sin sin 202sin ,sin 0x y x x y x x ≥⎧=-=⇒-≤≤⎨<⎩二、填空题1． 3(1,)2- 23023341cos 0,10,,1234214a a ax a a a a -⎧<⎪-⎪--<<-<<-<<⎨--⎪>-⎪-⎩2． 1[,1]2-2122,cos 1632k x k x ππππ-≤≤+-≤≤ 3． 28[4,4],33k k k Z ππππ++∈ 函数cos()23x y π=-递减时，2223x k k ππππ≤-≤+4． 3[,2]2 令,,2222x x ππππωωω-≤≤-≤≤则[,]22ππωω-是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[,]34ππ-⊆[,]22ππωω-，则3422232ππωωππω⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪-≥-⎪⎩5． (2,2),()22k k k Z ππππ-+∈ sin(cos )0,1cos 1,0cos 1,x x x >-≤≤∴<≤而 22,22k x k k Z ππππ-<<+∈三、解答题1．解：（1）12042log 0tan 02x x k x k x πππ<≤⎧+≥⎧⎪⎪⇒⎨⎨≤<+⎪⎪≥⎩⎩得02x π<<，或4x π≤≤(0,)[,4]2x ππ∴∈（2）0,0sin 1x x π≤≤≤≤当时，而[01]，是()cos f t t =的递减区间当sin 1x =时，min ()cos1f x =；当sin 0x =时，max ()cos 01f x ==．2．解：（1）2tan tan 332tan tan,2233ππππ>∴>；（2）1,sin1cos142ππ<<∴>3．解：当2x π=时，()12f π=有意义；而当2x π=-时，()2f π-无意义，()f x ∴为非奇非偶函数．4．解：令cos ,[1,1]x t t =∈-，则222(21)y t at a =--+，对称轴2at =，当12a <-，即2a <-时，[1,1]-是函数y 的递增区间，min 112y =≠；当12a >，即2a >时，[1,1]-是函数y 的递减区间，min 141,2y a =-+= 得18a =，与2a >矛盾；当112a-≤≤，即22a -≤≤时，22min 121,43022a y a a a =---=++=得1,a =-或3a =-，1a ∴=-，此时max 415y a =-+=．第二章平面向量基础训练参考答案一、选择题1． D 0AD BD AB AD DB AB AB AB --=+-=-= 2． C 因为是单位向量，00||1,||1a b ==3． C （1）是对的；（2）仅得a b ⊥；（3）2222()()0a b a b a b a b +⋅-=-=-=（4）平行时分00和0180两种，cos a b a b a b θ=⋅=±⋅4． D 若AB DC =，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；a b a b +<+ 若//a b ，则a 在b 上的投影为a 或a -，平行时分00和0180两种20,()0a b a b a b ⊥⇒==5． C 31(3)0,1x x +⨯-==6． D 2(2cos 3,2sin 1),|2|(2cos a b a b θθθ-=-+-=-==4，最小值为0二、填空题1． (3,2)-- (9,6)AB OB OA =-=-- 2． 43(,)55- 5,cos ,1,,a ba ab a b a b=<>==方向相同，143(,)555b a ==-3．222()2922a b a b a ab b -=-=-+=-⨯=4．圆以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆 5． 45-22222()258a tb a tb a tab t b t t +=+=++=++45t =-时即可三、解答题1．解：1122DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=- 1122BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-G 是△CBD 的重心，111()333CG CA AC a b ==-=-+2．解：22(2)(3)672a b a b a a b b +-=--=-2220cos 60672,2240,a a b b a a --=---=(4)(2)0,4a a a -+==3．解：设(,)A x y ，3AOOB=-，得3AO OB =-，即(,)3(2,1),6,3x y x y --=--==- 得(6,3)A -，(4,2),20AB AB =-=5cos 10b AB b ABθ==4．解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反．提高型答案一、选择题1． C (1,3),(2,3),//326,23AB a AC b AB AC b a a b =-=-⇒-=--= 2． C 12(2sin cos ,2cos sin ),PP θθθθ=+---122(2PP ==≤=3． C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当0b =时，与可以为任意向量；||||b a b a -=+，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角 4．C2236916cos a b a a b b +=++=+=5． C 21cos ,423a b a bπθθ====6．D设(2,),b ka k k==，而||25b =，则,(4,2),(4,2)k b ==±=--或二、填空题1． 4 2(2cos 3,2sin 1),288sin()43a b a b πθθθ→→-=-+-=+-≤=2．直角三角形 (1,1),(3,3),0,AB ACAB AC AB AC ==-=⊥3．),(2222--或设所求的向量为22(,),220,1,2x y x y x y x y -=+===±4．由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得22222222222222446a b a b a b a b a b a b ++-=+⇒+=+--=+⨯-=5． 43(,)55- 设2243(,),435,1,,55b x y x y x y x y =-=+===- 三、解答题1．解：（1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =，这是一个假命题因为,()0a b a c a b c ⋅=⋅⋅-=，仅得()a b c ⊥- （2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b的夹角），方向与a在b 相同或相反的一个向量．这是一个假命题因为向量a 在b 的方向上的投影是个数量，而非向量．2．证明：设(,),(,)x a b y c d ==，则2222,,x y ac bd x a b y c d =+=+=+而cos ,cos x y x y x y x y x yθθ==≤ 即x y x y≤，得2222ac bd a b c d +≤++22222()()()ac bd a b c d ∴+≤++3．解：由13(3,1),(,)22a b =-=得0,2,1a b a b ===22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=-4．解：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-.cos 2121)(222222θa a BCPQ a BCPQ a AC AB AP a APAB AC AP a AC AB AQ AB AC AP AQ AP +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ教。

(word完整版)高中数学必修四第二章知识点与测试,推荐文档

高中数学必修四第二章知识点总结与测试高中数学必修4知识点总结第二章平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b-≤+≤+r r r r r r ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r；②结合律：()()a b c a b c++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r ．⑸坐标运算：设()11,a x y =r，()22,b x y =r，则()1212,a b x x y y +=++rr ．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =r，()22,b x y =r，则()1212,a b x x y y -=--rr ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r．4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr． ①a aλλ=r r；②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r的方向相反；当0λ=时，0a λ=rr ．⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a aλμλμ+=+r r r；③()a b a bλλλ+=+r r r r．⑶坐标运算：设(),a x y =r，则()(),,a x y x y λλλλ==r．5、向量共线定理：向量()0a a ≠r r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．br a rCBAa b C C-=A -AB =B u u ur u u u r u u u r r r高中数学必修四第二章知识点总结与测试设()11,a x y =r，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()0b b ≠r r r 共线．6、平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP u u u r u u u r 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。

高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.3知识点总结含同步练习题及答案

答案： A 解析：
已知平面向量 a = (2, x)， b = (2, y)， c = (3, −4)，且 a ∥ c ， b ⊥ c ，求 a 与 b 的夹角．
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→ → 8 ．因为 b ⊥ c ，所以 6 − 4y = 0，解 3 → → 3 → 8 3 → 得 y = ．因为 a = (2, − ) ， b = (2, ) ．设 a 与 b 的夹角为 θ ，则 2 3 2 8 3 → → 2×2− × → a ⋅ b 3 2 = 0 ，所以 θ = 90∘ ，即向量 → cos θ = = a 与 b 的夹角为 90∘ ． → → → → |a |⋅| b | |a |⋅| b |
方向上的投影，可正，可负，可为零．零向量与任一向量的数量积为 0 ．向量数量积的运算律
→ → →→ a ⋅ b = b ⋅ a （交换律）； → → → → → → → ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c （分配律）； → → → → → → (λ a ) ⋅ b = a (λ b ) = λ( a ⋅ b ) （数乘结合律）．
已知向量 a = (1, 2)， b = (3, 4)，求| a | ， a ⋅ b ，( a − b ) ⋅ (2 a + 3 b )．解：| a | = √1 2 + 2 2 = √5 ；已知 OA = (3, 4) ，OB = (7, 12)，
−→ −
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− − − − − −
设向量 a ， b 满足 | a | = | b | = 1 及 |3 a − 2 b | = √7 ．求： ① a ， b 所成的角的大小；② |3 a + b | 的值．

高中数学必修四第二章平面向量章末归纳总结课件新人教A版必修4

已知非零向量 a，b，且|a|＝|b|＝|a＋b|.求： (1)a，b 的夹角； (2)b，a－b 的夹角． [解析] 设O→A＝a，O→B＝b，以 OA 与 OB 的邻边作平行四边形 OACB，如下图，由|a|＝|b|＝|a＋b|知，▱OACB 是菱形，且△OAC 与△OBC 都是正三角形，则
解法 2：设点 O 为平面内任一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
O→P＝t，则A→P＝O→P－O→A＝t－A．同理，B→P＝t－b，C→P＝t－c．
∴AP2＋BP2＋CP2＝A→P2＋B→P2＋C→P2＝(t－a)2＋(t－b)2＋(t－ c)2＝3(t－a＋3b＋c)2＋a2＋b2＋c2－a＋b3＋c2.
|b|＝|－3e1＋2e2|＝－3e1＋2e22＝ 9e21＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角 θ 满足 cosθ＝|aa|·|bb|＝－7·727＝－12. ∴向量 a 与 b 的夹角为 120°.
[点拨] 本题易犯的三点错误： (1)求 a＝2e1＋e2 或 b＝－3e1＋2e2 的模时，错认为|a|＝ 22＋12 或|b|＝－32＋22，这是因为 e1 与 e2 不是互相垂直的单位向量，所以(2,1)或(－3,2)不是 a 或 b 的坐标，要将其转化成模的平方． (2)求数量积 e1·e2 时极易漏掉 cosθ，应为 e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ 为 e1 与 e2 的夹角)． (3)若应用三角形法则或平行四边形法则求向量模时极易找错向量间的夹角．注意找两向量夹角时两向量必须有共同起点．
[点拨] 运用了向量共线的坐标表达式．a＝(x1，y1)与b＝ (x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.本题还可用向量a与b共线⇔|a·b|＝ |a|·|b|，同学们不妨试一下．

人教A版高中数学必修四第二章小结与复习学案精品

第二章平面向量（小结与复习）-----学案一、学习目标 1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ= 2121y y x x +注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、自主学习（一）知识梳理、构建网络1．平面向量的基本概念：2．向量的线性运算：3．向量的坐标运算：4．平面向量的数量积：5．平面向量的应用：三、合作探究专题一向量的共线问题运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a 、b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa ；(2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0；(3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |；(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0.判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．【例1】设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i 、j 分别是坐标平面上x 轴，y 轴正方向的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线．解法一假设满足条件的m 存在，由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，∴存在实数λ，使AB →＝λBC →，i －2j ＝λ(i ＋m j )，⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λm ＝－2， ∴m ＝－2，∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．法二假设满足条件的m 存在，根据题意可知：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，∴AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC →＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )，由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，故1·m －1·(－2)＝0，解得m ＝－2，∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．专题二向量的夹角及垂直问题1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：(1)cos θ＝a ·b |a ||b |，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模． (2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标． 2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单．3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．【例2】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16，设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45. ∴矩形ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为45. 专题三向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a |2＝a 2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a |＝x 2＋y 2，将它转化为实数问题，使问题得以解决．【例3】设|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值．解法一 ∵|3a －2b |＝3，∴9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9.又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝13. ∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9＋6×13＋1＝12.∴|3a ＋b |＝2 3.法二设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．∵|a |＝|b |＝1，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝1.∵3a －2b ＝(3x 1－2x 2,3y 1－2y 2)，∴|3a －2b |＝3x 1－2x 22＋3y 1－2y 22＝3.∴x 1x 2＋y 1y 2＝13. ∴|3a ＋b |＝3x 1＋x 22＋3y 1＋y 22＝ 9＋1＋6×13＝2 3. 专题四平面向量与函数的综合问题平面向量既反映了数量关系，又体现了几何图形的位置关系，从而将数和形有机地结合起来，因此以平面向量的相关知识为载体，在知识交汇处设计创新力度较大、综合性较强的试题，有效地沟通了知识间的横向联系，有助于知识网络的构建，有力地考查了学生的综合能力．【例4】设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.解 f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b |＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋|a |22＋|a |24－|b |＋1. ∵0<|a|≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧ |a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝22. ∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋42，∴|a ＋b |＝8＋42＝22＋ 2.四、学以致用1. 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．解法一向量k a ＋2b 与2a －4b 平行，则存在唯一实数λ，使k a ＋2b ＝λ(2a －4b )．∵k a ＋2b ＝k (1,2)＋2(－3,2)＝(k －6,2k ＋4)，2a －4b ＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ∴(k －6,2k ＋4)＝λ(14，－4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －6＝14λ，2k ＋4＝－4λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－1.∴实数k 的值为－1. 法二 ∵k a ＋2b ＝k (1,2)＋2(－3,2)＝(k －6,2k ＋4)，2a －4b ＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，k a ＋2b 与2a －4b 平行，∴(k －6)×(－4)－(2k ＋4)×14＝0.解得k ＝－1.2.已知向量a ＝(4，－2)，b ＝(x,1)．(1)若a ，b 共线，求x 的值；(2)若a ⊥b ，求x 的值； (3)当x ＝2时，求a 与b 夹角θ的余弦值．解 (1)∵a ，b 共线，∴－2x ＝4.∴x ＝－2.(2)∵a ⊥b ，∴4x －2＝0.∴x ＝12. (3)当x ＝2时，a ·b ＝6，|a |＝20，|b |＝ 5.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝620×5＝35. 3.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120º．（1）求证：)(b a -⊥c ；（2）若1||>++c b a k ，求实数k 的取值范围．解：（1）由于)(b a -·c =c b c a •-•=︒••︒-••120cos ||||120cos ||||c b c a =0，所以)(b a -⊥c ；（2）由于1||>++c b a k ，则1||2>++c b a k ，所以12222222>•+•+•+++c b c a k b a k c b a k 由于1||||||===c b a ，且a 、b 、c 相互之间的夹角为120º，得1222===c b a ，且21-=•=•=•c a c b b a ，所以022>-k k ，故0<k 或2>k ，所以实数k 的取值范围为),2()0,(+∞-∞ ．。

高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做，长度为的向量叫做零向量(zero vector)，记做．零向量的方向不确定．长度等于个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors），向量、平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量与相等，记做．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若，是单位向量，则；⑥ 若非零向量与是共线向量，则四点共线．其中真命题的个数为（）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示，是正六边形的中心．（1）与的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与长度相等、方向相反的向量？（3）与共线的向量有哪些？解：（1）因为的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有个，所以共有个与的模相等的向量．（2）存在，是．（3）有、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

数学必修4知识点归纳总结

数学必修4知识点归纳总结第一章三角函数周期现象与周期函数周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T ；x 必须是定义域内的任意值； f(x ＋T)＝f(x)。

练习:（1）已知函数f(x)对定义域内的任意x 满足：存在非零常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立。

求：f(x ＋2T) ，f(x ＋3T)解：f(x ＋2T)＝f[(x ＋T)＋T]＝f(x ＋T)＝f(x)， f(x ＋3T)＝f[(x ＋2T)＋T]＝f(x ＋2T)＝f(x)(2)已知函数f(x)是R 上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11) 解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005(3)已知函数f(x)是R 上的奇函数，且f(1)＝2，f(x ＋3)＝f(x)，求f(8) 解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 角的概念的推广1、正角、负角、零角的概念一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向(或顺时针方向)旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角,如果α是零角，那么α＝0°；钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角。

过去我们研究了0°～360°（00360α≤<）范围的角。

如果我们将角α=030的终边OB 继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角分别得到390°，750°……的角。

角的概念经过这样的推广以后就成为任意角，任意角包括正角、负角和零角． 2．象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角。

(word版)高中数学必修四第二章知识点与测试,文档

高中数学必修四第二章知识点总结与测试高中数学必修4知识点总结第二章平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为 0的向量．单位向量：长度等于 1个单位的向量．平行向量〔共线向量〕：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加法运算：⑴三角形法那么的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法那么的特点：共起点．r rrrrrab a b a b⑶三角形不等式：．r r r r⑷运算性质：①交换律： a b b a ；r r rrrrrr r r rabcabc②结合律：；③a0 0a a ．rrr ry2．⑸坐标运算：设 ax 1,y 1 ，b x 2,y 2 ，那么ab x 1x 2,y 13、向量减法运算： ⑴三角形法那么的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．rr x 2,y 2rrx 1x 2,y 1 y 2⑵坐标运算：设ax 1,y 1，b，那么ab ．,yuuurx 1x 2,y 1 y 2设、两点的坐标分别为 1122，那么．x,y，x4、向量数乘运算：Crarbrr uuur uuur uuur ab C Crr ⑴实数与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a ．r r①aa ；0时，r r0时，r r②当a 的方向与a 的方向相同；当 a 的方向与a 的方向相反；当rr0时，a0．r rr r rr r r r ⑵运算律：①a a；②aaa；③abab ．rry ．⑶坐标运算：设ax,y，那么a x,y x,r r rr r r aa05、向量共线定理：向量与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．1高中数学必修四第二章知识点总结与测试r rr rr rrx 1,y 1，bx2,y 2x 2y 10 r bb 0设a，其中b 0，那么当且仅当x 1y 2时，向量a 、共线．uruur6、平面向量根本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内rruruururuur的任意向量a ，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．〔不共线的向量e 1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底〕7、分点坐标公式：设点是线段12上的一点， 1、2的坐标分别是x 1,y 1，x 2,y2，uuuruuurx 1 x 2,y 1y 2当12时，点的坐标是 11．〔当1时，就为中点公式。

人教a版高中数学必修四第二章小结与复习测试教师版

第二章平面向量-----小结与复习（检测教师版）时间:40分钟总分：60分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1. 如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( )A ．12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D ．12AB →－12AD 答案D解析 EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)． 2.已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1 答案 C解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n ＝1. 3.与向量a ＝(1,1)平行的所有单位向量为( )A ．(22，22)B ．(－22，－22) C ．(±22，±22) D ．(22，22)或(－22，－22) 答案 D解析与a 平行的单位向量为±a |a |. 4.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A ．322B ．3152C ．－322D ．－3152答案 A 解析本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15 .|CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322。

(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2C ．3D ．42．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（） A ．B ．C ．D ．3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．325．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（）A B ．1C ．2D ．8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（）A ．2±B ．2C ．5±D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，13BE BC =，则（）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（）A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ；（3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角；（2）求2a b -.24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值；（2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选3．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之．【详解】由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示；则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =，即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭，解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭，当34λ=时，5512ED ⎛== ⎝⎭；当14λ=时，353532ED ==⎝⎭．即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A.5．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2，所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解．【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=，由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅，所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =，又13BE BC =，则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较．【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+．同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭，据此有：233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-⎪⎭，结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=，即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形，由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-，解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-，由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (2M θθ++，则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--，[]02x∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-，故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++，设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b+=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b⋅=，最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=，3a b-=，得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b+=，即226a b+=由-①②，得32a b⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题．23．（1）π3；（2）【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ， ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=，又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得：()222a b a b -=-==. 【点睛】本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点，所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝，所以5311848AM AN ⋅=+=．（2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -．所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭．当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32．所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<，令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =，所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-，则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-，整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=，故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。

2016高中数学人教A版必修四第二章章末优化总结练习题含答案

章末优化总结，)平面向量的概念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念、突显向量“形"的特征就是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提、关于平面向量a，b，c有下列三个命题：①若b⊥c，则（a＋c)·b＝a·b;②若a＝（1,k)，b＝（－2，6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a与b满足|a|＝｜b｜＝|a－b｜,则a与a＋b的夹角为60°、其中真命题的序号为________、(写出所有真命题的序号)［解析］①因为b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b；②a∥b，且a≠0⇒b＝λa⇒错误!＝错误!⇒k＝－3；③|a|＝｜b｜＝｜a－b|⇒a,b，a－b构成等边三角形，a与a＋b的夹角应为30°、所以真命题为①②、[答案］①②平面向量的线性运算1、向量的加法、减法与数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要就是运用它们的运算法则、运算律,解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题、2、理解向量的有关概念［如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面向量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何意义,并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等,就是求解有关向量线性运算问题的基础、如图，在△ABC中，错误!＝错误!，错误!＝错误!错误!,BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P、(1)用错误!与错误!分别表示错误!与错误!；(2）如果错误!＝错误!＋λ错误!＝错误!＋μ错误!,求实数λ与μ的值;(3）确定点P在边BC上的位置、[解](1)由错误!＝错误!错误!，可得错误!＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!错误!，又错误!＝错误!错误!,所以错误!＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!错误!、(2）将错误!＝－错误!＋错误!错误!，错误!＝－错误!＋错误!错误!,代入错误!＝错误!＋λ错误!＝错误!＋μ错误!，则有错误!＋λ错误!＝错误!＋μ错误!，即(1－λ）错误!＋错误!λ错误!＝错误!μ错误!＋（1－μ）错误!、所以错误!解得错误!(3)设错误!＝m错误!,错误!＝n错误!、由（2)，知错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，所以错误!＝错误!－错误!＝n错误!－错误!＝n错误!－错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝m错误!＝m错误!－m错误!，所以错误!解得错误!所以错误!＝错误!错误!，即错误!＝2、即点P就是BC上靠近点C的三等分点、平面向量的数量积求平面向量的数量积的方法有两个：一个就是根据数量积的定义,另一个就是根据坐标、定义法就是a·b＝｜a｜|b｜·cos θ,其中θ为向量a，b的夹角;坐标法就是a＝（x1,y1),b＝（x2，y2）时,a·b＝x1x2＋y1y2、利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直），还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决、(1)设单位向量m＝（x，y)，b＝（2,－1)、若m⊥b,则｜x＋2y|＝________、(2)已知两个单位向量a，b的夹角θ为60°,c＝t a＋（1－t)b，若b·c＝0,则t＝________、［解析]（1）因为单位向量m＝(x,y)，则x2＋y2＝1、①若m⊥b，则m·b＝0,即2x－y＝0、②由①②解得x2＝错误!，所以｜x｜＝错误!，｜x＋2y|＝5｜x｜＝错误!、（2）法一：因为b·c＝0,所以b·[t a＋(1－t）b]＝0,即t a·b＋（1－t)b2＝0、又因为｜a｜＝｜b｜＝1，θ＝60°，所以错误!t＋1－t＝0,所以t＝2、法二:由t＋(1－t）＝1知向量a,b,c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a＝(1,0),b＝错误!，则c＝错误!、把a、b、c的坐标代入c＝t a＋（1－t）b,得t＝2、［答案］（1）5(2)2平面向量的应用平面向量的应用主要体现在两个方面，一就是在平面几何中的应用,向量的加法运算与平行，数乘向量与相似，距离、夹角与数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题、二就是在物理中的应用，主要就是解决力、位移、速度等问题、如图所示,G 为△AOB 的中线OM 的中点，过点G 作直线分别交OA ,OB 于点P ，Q ,设错误!＝m ,错误!＝n ,试推断错误!＋错误!就是否为定值、［解] 设错误!＝a ，错误!＝b ,则错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!a ＋错误!b 、所以PG ，→＝错误!－错误!＝错误!a ＋错误!b －m a＝错误!a ＋错误!b 、错误!＝错误!－错误!＝n 错误!－m 错误!＝n b －m a 、因为错误!与错误!共线，所以错误!＝λ错误!(λ∈R ),即错误!a ＋错误!b ＝λ(n b －m a )、所以错误!消去λ得错误!－m ＝－错误!⇒错误!－1＝－错误!、所以错误!＋错误!＝4为定值、质量m ＝2、0 kg 的木块在平行于斜面向上的拉力F ＝10 N 的作用下,沿斜面角θ＝30°的光滑斜面向上滑行｜s |＝2、0 m 的距离,如图所示(g 取9、8m/s 2）、(1）分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功;(2）在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数与就是多少;(3）求物体所受合外力对物体所做的功,并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数与之间有什么关系、［解] (1）木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 与支持力F N ，如题图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F ·s ＝|F||s |cos 0°＝20(J ）、支持力对木块所做的功为W F N ＝F N ·s ＝0、重力G 对物体所做的功为W G ＝G ·s ＝|G|｜s|cos(90°＋θ）＝－19、6(J)、(2）物体所受各力对物体做功的代数与为W ＝W F ＋W F N ＋W G ＝0、4（J)、（3)物体所受合外力的大小为｜F 合｜＝|F |－｜G ｜sin 30°＝0、2（N)、所以，物体所受合外力对物体所做的功为W ＝F 合·s ＝0、4(J ）、所以，物体所受合外力对物体所做的功,与物体所受各力对物体做功的代数与相等、1、O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 就是该平面上不共线的三点,若（错误!－错误!)·(错误!＋错误!－2错误!)＝0，则△ABC 就是（ )A 、以AB 为底边的等腰三角形B 、以BC 为底边的等腰三角形C 、以AB 为斜边的直角三角形D 、以BC 为斜边的直角三角形解析：选B 、由题意知（错误!－错误!）·(错误!＋错误!－2错误!)＝错误!·（错误!＋错误!）＝0,如图所示,其中错误!＋错误!＝2错误!（点D 为线段BC 的中点),所以AD ⊥BC ，即AD 就是BC的中垂线,所以AB ＝AC ,即△ABC 为等腰三角形、故选B 、2、已知e 为单位向量，｜a |＝4，a 与e 的夹角为错误!π,则a 在e 方向上的投影为________、解析：根据定义知a 在e 方向上的投影为|a |cos 错误!＝－2、答案：－23、已知向量a ＝(6,2），b ＝错误!，直线l 过点A （3，－1）且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________、解析：设B (x ,y )为l 上任意一点,则错误!＝(x －3,y ＋1）,又a ＋2b ＝(6,2)＋2错误!＝(－2,3），由题意得AB →·(a ＋2b ）＝0，所以(x －3,y ＋1)·（－2,3）＝－2（x －3）＋3（y ＋1)＝0，即2x －3y －9＝0、答案:2x －3y －9＝04、设向量a ，b 满足｜a |＝|b ｜＝1，且｜2a －b |＝错误!、(1）求｜2a －3b |的值；（2)求3a －b 与a －2b 的夹角、解：(1）因为｜2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4a ·b ＋1＝5，所以a ·b ＝0、因为｜2a －3b ｜2＝4a 2＋9b 2＝4＋9＝13,所以｜2a －3b ｜＝错误!、（2）设3a －b 与a －2b 的夹角为θ,则cos θ＝(3a －b )·(a －2b )｜3a －b |·｜a －2b |＝错误!＝错误!＝错误!, 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝错误!为所求、5、如图,平行四边形ABCD 中,错误!＝a ，错误!＝b ,H 、M 分别就是AD 、DC 的中点,BC上一点F 使BF ＝13BC 、（1)以a 、b 为基底表示向量错误!与错误!;(2)若｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，a 与b 的夹角为120°,求错误!·错误!、解:（1)由已知得AM ，→＝错误!＋错误!＝错误!a ＋b 、错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!b ＋a ＋(－错误!b ）＝a －错误!b 、（2)由已知得a·b ＝｜a ｜|b|cos 120°＝3×4×(－错误!)＝－6,从而AM →·错误!＝(错误!a ＋b ）·（a －错误!b ）＝错误!｜a ｜2＋错误!a·b －错误!｜b |2＝12×32＋错误!×(－6)－错误!×42＝－错误!、， [学生用书单独成册］）（时间:100分钟，分数:120分)一、选择题(本大题共有10小题，每小题4分,共40分、在每个小题给出的四个选项中,只有一项就是符合题目要求的)1、下列说法正确的就是( )A 、共线向量的方向相同B 、零向量就是0C 、长度相等的向量叫做相等向量D 、共线向量就是在一条直线上的向量解析：选B 、对A ，共线向量的方向相同或相反，错误;对B ,零向量就是0，正确;对C ,方向相同且长度相等的向量叫做相等向量,错误；对D ，共线向量所在直线可能平行,也可能重合，错误、故选B 、2、已知A 、B 、D 三点共线，存在点C ，满足错误!＝错误!错误!＋λ错误!，则λ＝（ )A 、错误!B 、错误!C 、－错误!D 、－错误!解析：选C 、因为A ,B ,D 三点共线，所以存在实数t ,使错误!＝t 错误!，则错误!－错误!＝t (错误!－错误!），即错误!＝错误!＋t (错误!－错误!)＝(1－t )错误!＋t 错误!,所以错误!即λ＝－错误!、3、已知向量a ＝(1,2），b ＝(1，0）,c ＝(3,4)、若λ为实数，(a ＋λb ）∥c ，则λ＝( ）A 、14B 、12C 、1D 、2解析：选B 、a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb ）∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12、 4、已知点O ，N 在△ABC 所在平面内,且｜错误!|＝|错误!|＝｜错误!|，错误!＋错误!＋错误!＝0，则点O,N 依次就是△ABC 的( )A 、重心,外心B 、重心，内心C 、外心，重心D 、外心,内心解析:选C 、由|错误!|＝｜错误!｜＝|错误!｜知,O 为△ABC 的外心；由错误!＋错误!＋错误!＝0，得错误!＝错误!＋错误!,取BC 边的中点D ,则错误!＝错误!＋错误!＝2错误!，知A 、N 、D 三点共线,且AN ＝2ND ，故点N 就是△ABC 的重心、5、已知向量a ＝（cos θ，sin θ），其中θ∈错误!，b ＝(0,－1），则a 与b 的夹角等于( ）A 、θ－错误!B 、错误!＋θC 、错误!－θD 、θ解析:选C 、设a 与b 的夹角为α，a ·b ＝cos θ·0＋sin θ·（－1)＝－sin θ，|a ｜＝1，｜b ｜＝1,所以cos α＝错误!＝－sin θ＝cos （错误!－θ），因为θ∈错误!，α∈[0,π］，y ＝cos x 在［0,π］上就是递减的，所以α＝错误!－θ，故选C 、6、已知等边三角形ABC 的边长为1,错误!＝a ，错误!＝b ，错误!＝c ,则a·b －b ·c －c·a 等于（ )A 、－错误!B 、错误!C 、－错误!D 、错误!解析:选D 、由平面向量的数量积的定义知,a·b －b·c －c·a ＝|a||b|cos （π－C )－|b|｜c|cos （π－A )－|c|｜a|cos （π－B ）＝cos （π－C )－cos （π－A ）－cos （π－B ）＝－cos C ＋cos A ＋cos B ＝cos 60°＝错误!、故选D 、7、已知平面向量a ，b ，｜a ｜＝1,｜b ｜＝3，且｜2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为（ )A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、π解析:选B 、因为｜2a ＋b |2＝4|a ｜2＋4a·b ＋｜b ｜2＝7，|a ｜＝1,｜b |＝错误!，所以4＋4a·b ＋3＝7,a·b ＝0,所以a ⊥b 、如图所示,a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，因为tan ∠COA ＝错误!＝错误!,所以∠COA ＝错误!,即a 与a ＋b 的夹角为错误!、8、在△ABC 中，∠BAC ＝60°,AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则错误!·错误!＝( )A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!解析:选A 、依题意,不妨设错误!＝错误!错误!，错误!＝2错误!，则有错误!－错误!＝错误!（错误!－错误!）,即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!;错误!－错误!＝2（错误!－错误!)，即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!、所以错误!·错误!＝（错误!错误!＋错误!错误!)·(错误!错误!＋错误!错误!）＝错误!(2错误!＋错误!）·(错误!＋2错误!）＝19（2错误!2＋2错误!2＋5错误!·错误!) ＝错误!（2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°）＝错误!,故选A 、9、已知非零向量a ,b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0,向量a ,b 的夹角为60°，且｜b ｜＝|a |＝1，则向量a 与c 的夹角为( ）A 、60°B 、30°C 、120°D 、150°解析：选D 、因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )，所以｜c |2＝(a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2cos 60°＝3，所以｜c |＝错误!、又c·a ＝－（a ＋b )·a ＝－a 2－a·b ＝－1－cos 60°＝－错误!，设向量c 与a 的夹角为θ,则cos θ＝错误!＝错误!＝－错误!,因为0°≤θ≤180°,所以θ＝150°、10、在△ABC 中,AC ＝6,BC ＝7，cos A ＝错误!,O 就是△ABC 的内心,若错误!＝x 错误!＋y 错误!,其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为( ）A 、错误!错误!B 、错误!错误!C 、错误!D 、错误!解析:选A 、如图，因为错误!＝x 错误!＋y 错误!，其中0≤x ≤1，0≤y≤1,所以动点P 的轨迹所覆盖的区域就是以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAMB ，则动点P 的轨迹所覆盖的面积S ＝AB ×r ,r 为△ABC 的内切圆的半径、在△ABC 中,由向量的减法法则得错误!＝错误!－错误!,所以错误!2＝（错误!－错误!）2，即|错误!｜2＝｜错误!｜2＋|错误!|2－2|错误!|｜错误!｜cos A ,由已知得72＝62＋|错误!|2－12·｜错误!｜×错误!,所以5｜AB →|2－12｜错误!|－65＝0,所以|错误!｜＝5、所以S △ABC ＝错误!×6×5×sin A ＝6错误!，又O 为△ABC 的内心，故O 到△ABC 各边的距离均为r ,此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的与，所以S △ABC ＝12（6＋5＋7）×r ，即错误!(6＋5＋7）×r ＝6错误!,所以r ＝错误!，故所求的面积S ＝AB ×r ＝5×错误!错误!＝错误!错误!、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分、把答案填在题中横线上）11、已知向量a ＝(2，3）,b ＝(－1,2），若m a ＋4b 与a －2b 共线,则m 的值为________、解析:m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8），a －2b ＝（4,－1),因为m a ＋4b 与a －2b 共线，所以－1(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2、答案：－212、如图,在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，设错误!＝a ,错误!＝b ，若错误!＝2错误!,则错误!＝________(用向量a 与b 表示)、解析:因为错误!＝μ错误!＝μ(错误!＋错误!）＝μ错误!＝μa ＋错误!b 、因为μ＋错误!＝1，解得μ＝错误!、所以错误!＝错误!a ＋错误!b 、答案:错误!a ＋错误!b13、已知两点A (－1,0），B (－1，错误!），O 为坐标原点，点C 在第一象限,且∠AOC ＝120°、设错误!＝－3错误!＋λ错误!(λ∈R ）,则λ＝________、解析：由题意，得OC ，→＝－3（－1,0）＋λ（－1，错误!）＝（3－λ，错误!λ)，因为∠AOC ＝120°，所以错误!＝－错误!,即错误!＝－错误!，解得λ＝错误!、答案：错误!14、已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，BC ＝3BE ,DC ＝λDF 、若错误!·错误!＝1,则λ的值为________、解析:因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!,错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!,所以错误!·错误!＝(错误!＋错误!错误!)·(错误!＋错误!错误!)＝错误!错误!2＋错误!错误!·错误!＋错误!错误!2＝错误!＋错误!×2×2×cos 120°＋错误!＝错误!＝1、解得λ＝2、答案：215、若将向量a ＝（1,2）绕原点按逆时针方向旋转错误!得到向量b ，则b 的坐标就是________、解析：如图，设b ＝（x ,y ),则|b |＝｜a ｜＝5，a·b ＝|a ｜|b |·cos 错误!＝错误!×错误!×错误!＝错误!，又x 2＋y 2＝5,a·b ＝x ＋2y ，得x ＋2y ＝错误!,解得x ＝－错误!,y ＝错误!（舍去x ＝错误!，y ＝错误!)、故b ＝错误!、答案:错误!三、解答题（本大题共5小题，共55分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题满分10分）已知a ,b ,c 就是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1,2)、（1)若｜c |＝25,且c ∥a ,求c 的坐标；(2）若｜b |＝错误!，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ、解：(1)由a ＝（1,2）,得|a ｜＝错误!＝错误!,又|c |＝2错误!，所以|c |＝2｜a |、又因为c ∥a ,所以c ＝±2a ，所以c ＝（2,4）或c ＝(－2，－4)、（2)因为a ＋2b 与2a －b 垂直，所以（a ＋2b ）·(2a －b ）＝0，即2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0,将｜a |＝5,｜b ｜＝错误!代入，得a·b ＝－错误!、所以cos θ＝错误!＝－1，又由θ∈［0,π］,得θ＝π，即a 与b 的夹角为π、17、（本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (1，4),B （－2，3),C （2,－1)、（1）求错误!,错误!及｜错误!＋错误!|；（2）设实数t 满足（错误!－t 错误!)⊥错误!,求t 的值、解: （1)因为A （1,4），B （－2，3),C （2,－1）、所以错误!＝(－3，－1)，错误!＝(1,－5）,错误!＋错误!＝（－2,－6）, |AB →＋错误!|＝错误!＝2错误!、(2)因为(错误!－t 错误!)⊥错误!,所以(错误!－t 错误!）·错误!＝0，即错误!·错误!－t 错误!2＝0，因为错误!·错误!＝－3×2＋（－1)×(－1)＝－5, 错误!2＝22＋(－1)2＝5,所以－5－5t ＝0,所以t ＝－1、18、(本小题满分10分)已知向量错误!、错误!、错误!满足条件错误!＋错误!＋错误!＝0，｜错误!|＝|错误!｜＝|错误!｜＝1、求证:△P 1P 2P 3就是正三角形、证明：因为错误!＋错误!＋错误!＝0,所以错误!＋错误!＝－错误!，所以(错误!＋错误!)2＝(－错误!）2，所以｜错误!｜2＋|错误!｜2＋2错误!·错误!＝|错误!|2,所以错误!·错误!＝－错误!,又cos ∠P 1OP 2＝错误!＝－错误!,所以∠P 1OP 2＝120°、所以｜错误!｜＝|错误!－错误!|＝错误!＝错误!＝错误!、同理可得｜错误!|＝|错误!｜＝错误!、故△P 1P 2P 3就是等边三角形、19、(本小题满分12分）已知正方形ABCD ,E 、F 分别就是CD 、AD 的中点,BE 、CF 交于点P 、求证:（1）BE ⊥CF ；（2)AP ＝AB 、证明:如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2,则A （0，0），B (2,0),C （2，2）,E （1，2)，F (0，1)、（1)错误!＝错误!－错误!＝(1，2)－(2,0）＝(－1，2)，错误!＝错误!－错误!＝(0,1)－（2，2）＝(－2，－1），因为错误!·错误!＝－1×（－2)＋2×(－1)＝0,所以BE ，→⊥错误!,即BE ⊥CF 、(2）设P (x ，y ）,则错误!＝（x ，y －1),错误!＝(－2，－1),因为错误!∥错误!，所以－x ＝－2(y －1），即x ＝2y －2、同理，由错误!∥错误!，得y ＝－2x ＋4,代入x ＝2y －2、解得x ＝错误!，所以y ＝错误!，即P 错误!、所以错误!2＝错误!错误!＋错误!错误!＝4＝错误!2，所以｜错误!|＝｜错误!|,即AP ＝AB 、20、(本小题满分13分）（1)如图，设点P ,Q 就是线段AB 的三等分点,若错误!＝a ，错误!＝b ,试用a ,b 表示错误!，错误!,并判断错误!＋错误!与错误!＋错误!的关系、（2）受(1）的启示，如果点A 1，A 2，A 3,…，A n －1就是AB 的n （n ≥3)等分点,您能得到什么结论?请证明您的结论、解:(1)错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a ＋错误!b 、同理错误!＝错误!a ＋错误!b 、错误!＋错误!＝a ＋b ＝错误!＋错误!、（2）结论:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝…＝错误!＋错误!、证明如下:由（1）可推出错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!－错误!）＝错误! 错误!＋错误! 错误!，所以错误!＝错误!a ＋错误!b ,同理错误!＝错误!a ＋错误!b ,所以错误!＋错误!＝a ＋b ＝错误!＋错误!、又OA 2＝错误!a ＋错误!b ,错误!＝错误!a ＋错误!b ，所以错误!＋错误!＝a ＋b ＝错误!＋错误!,…,因此有OA 1，→＋错误!＝错误!＋错误!＝…＝错误!＋错误!、。

高中数学必修四第二章知识点与测试

高中数学必修4知识点总结平面向量第二章数量：只有大小，没有方向的量．1、向量：既有大小，又有方向的量．0零向量：长度为有向线段的三要素：起点、方向、长度．的向量．1单位向量：长度等于个单位的向量．：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．平行向量（共线向量）相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．b?a??aba?b?⑶三角形不等式：．a?b?ba?⑷运算性质：①交换律：；????cc?a??ba?b?Ca??0?0?aa②结合律：；③．??????y?,xay?x?xb?,x,y?ab?y11212212，则．⑸坐标运算：设，a?3、向量减法运算：b⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．? ??????yxa?,yx,b?yx,ya?b??x?11222112．，，则⑵坐标运算：设C?a?b??C??????????yx,y,x?yy?,x???x??21212211两点的坐标分别为，设，、则．4、向量数乘运算：??aa的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作⑴实数与向量．??aa?①；????a?0aaa?0的方向相反；当的方向相同；当时，时，②当的方向与的方向与??0?0?a时，．???????????b?a?ba?????????aa?a???aa．；②；③⑵运算律：①??????????yax?y?a,x,y?x,．，则⑶坐标运算：设??0aa???abb?．，使共线，当且仅当有唯一一个实数与、向量共线定理：向量5??????0?bb yxa?,yb?x,0??xyxy a0b?1122、，，设向量时，，则当且仅当其中2121共线．ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内、6、平面向量基本定理：如果12????eee?e?aa，有且只有一对实数的任意向量（不共线的向量、，使．、作21121212为这一平面内所有向量的一组基底）????yx,y,x?????2211，的坐标分别是设点7、分点坐标公式：上的一点，是线段、，2211??yyx?x???2211,???????????11??1时，就为中点公式。

高中数学必修4知识点总结：第二章-平面向量

高中数学必修4知识点总结第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基baCBAa b C C -=A -AB =B底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。

高中数学第二章平面向量 2.7 向量应用举例例题与探究(含解析)北师大版必修4-北师大版高一必修

2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2.证法一：如图2-7-1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a.图2-7-1∴|AC|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2，|BD|2=（b-a）2=a2-2a·b＋b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二：如图2-7-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a，b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2-7-2=OB＋OD=（c,0）+(a，b)=(a+c,b)，BD=AD-AB=OD-OB=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).∴|AC|2=（c+a）2+b2，|BD|2=（a-c）2+b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2c2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2c2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.绿色通道：1.向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译）.2.平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.变式训练如图2-7-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明：EF∥BC.图2-7-3 思路分析：证明EF ∥BC，转化为证明EF ∥BC，选择向量基底或建立坐标系均可解决. 证法一（基向量法）：设AB =a ，AD =b ，则有BD =AD -AB =b -a . ∵AD ∥BC ，∴存在实数λ＞1使BC =λAD =λb . ∵E 为BD 的中点，∴BE =21BD =21 (b -a ）. ∵F 为AC 的中点， ∴BF =BC +CF =BC +21CA =BC +21(BA -BC ）=21(BA +BC ）=21(BC -AB ）=21 (λb -a ）.∴EF =BF -BE =21 (λb -a ）-21 (b -a ）=（21λ-21）b . ∴EF =［（21λ-21）·λ1］BC . ∴EF ∥BC .EF ∥BC.证法二(坐标法)：如图2-7-4所示，以BC 为x 轴，以B 为原点建立平面直角坐标系.则B(0,0)，设A （a,b ）,D(c,b),C(d,0).图2-7-4∴E(2,2b c )，F(2,2b b a +). ∴EF =(2,2b b a +)-(2,2b c )=(0,2c d a -+)，BC =(d,0).∵2c d a -+×0-d×0=0. ∴EF ∥BC .∴EF ∥BC.例2如图2-7-5，一艘船从A 点出发以32km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-7-5 思路分析：船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可. 解：如图2-7-5所示，设AD =a 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB =b 表示水流的速度，以AD 、AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行速度,即AC =a +b ， ∵|a |=32，|b |=2,a ·b =0，∴|AC |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=16，即|AC |=4. ∵AC ·AB =（a +b ）·b =a ·b +b 2=4， ∴cos〈AC ,AB 〉21424||||=⨯=AB AC . 又∵0°≤〈AC ,AB 〉≤180°，∴〈AC ,AB 〉=60°,即船的实际航行速度的大小为4 km/h ，方向与水的流速间的夹角为60°.绿色通道：用向量法解决物理问题的步骤：（类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤） ①把物理问题中的量用向量来表示；②将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；③把结果还原为物理问题.变式训练如图2-7-6所示，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠AC W=150°，∠BC W=120°,求A 和B 处所受力的大小.（忽略绳子的质量）思路分析：由于力和重量都是向量，求A 和B 处所受力的大小转化为求向量的模|CE |和|CF |.A 和B 处所受力的合力是10 N ，即物体W 的重量，用平行四边形法则解决.图2-7-6解：由题意，得四边形CEWF 是矩形，则有CF +CE =CW ,CF ⊥CE |，CW |=10,∠FCW=60°.∴CF ·CE =0， ∴|CW |2=（CF +CE ）2=|CF |2+2CF ·CE +|CE |2. ∴|CF |2+|CE |2=100.① 又∵CF ·CE =0，〈CF ，CW 〉=60°，∴CF ·CW =CF ·（CF +CE ）=2CF +CF ·CE =2CF . ∴cos〈CF ，CW 〉||||CW CF 21||=CW . ∴|CF |=21|CW |=5,| CE |=35, 即A 和B 处所受力分别是35N 和5 N.例3（2006某某高三百校第二次考试卷，文9）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC ),λ∈［0，+∞),则P 的轨迹一定通过△A BC 的（） A.外心 B.垂心C.内心D.重心思路解析：OP =OA +λ(AB +AC )可以化为AP =λ(AB +AC ).所以AP ∥（AB +AC ）.又AB +AC 所在直线平分BC .所以AP 所在直线也平分BC .所以P 的轨迹一定通过△ABC答案：D绿色通道：判断图形的特点，主要从已知出发，利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系，从而对图形的特殊性作出判断.要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合.另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心（内心、外心、重心、垂心）的定义和性质，四边相等的四边形是菱形，对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.变式训练1在四边形ABCD中,AB·BC=0,且AB=DC,则四边形ABCD是（）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析：由AB·BC=0，得AB⊥BC,又AB=DC,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C变式训练2（2005全国高考卷Ⅰ，文12）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是△ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点思路解析：由OA·OB=OB·OC，得OA·OB-OB·OC=0.∴OB·（OA-OC）=0，即OB·CA=0,∴OB⊥CA.同理可证OA⊥CB,OC⊥AB.∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB.答案：D问题探究问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳臂受伤，试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决，针对小孩的两条胳膊画出受力图形，然后通过胳膊受力分析，建立数学|F 1|=2cos 2||θG ,θ∈［0,π］来确定何种情景时，小孩的胳膊容易受伤.图2-7-7探究：设小孩的体重为G ，两胳膊受力分别为F 1，F 2，且F 1=F 2，两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-7-7（不计其他因素产生的力），不难建立向量模型：|F 1|=2cos 2||θG ，θ∈［0,π］，当θ=0时|F 1|=2||G ；当θ=3π2时，|F 1|=|G |；又2θ∈(0,2π)时，|F 1|单调递增，故当θ∈(0, 3π2)时，F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈（3π2，π）时，|F 1|＞|G |.此时，悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.。

高中数学第2章章末归纳总结课件新人教B版必修4

• [点评] 解法一运用了将模平方的方法，并且注意到了整体代换；解法二运用向量的坐标法处理，显得较繁，但体现了设未知而不求的大局观念．
• 已知a，b都是非零向量，若－3a＋b与5a＋ 7b垂直，16a＋11b与2a－7b垂直，试求a与 b的夹角．.
• [解析] ∵－3a＋b与5a＋7b垂直，∴(－3a＋b)·(5a＋7b)
• [答案] ②④
下列说法正确的是
A．两个单位向量的数量积为 1 B．若 a·b＝a·c，且 a≠0，则 b＝c C.A→B＝O→A－O→B
D．若 b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b
()
• [答[解案析]] AD错，因为两个单位向量的夹角未给出，故不能
求其数量积；B 错，举反例．当 b＝0，c≠0，且 a⊥c，满足
• (2)对于向量的线性运算，要掌握向量加法和向量数乘的几何意义，利用向量的加法证明几何中的线段平行、相等等问题，利用向量数乘可以解决线段平行、相等等问题．
• (3)平面向量基本定理是向量坐标表示的理论基础．直角坐标系中与x、y轴方向相同的单位向量是它的一组正交基底，平面上任何一个向量都可以由一对有序实数对(x、 y)表示．向量的坐标表示使向量的运算代数化，也为我们提供了解决问题的方法——
(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1， ∴4x－x－442＋－2y－y－112＝＝10 ，
x＝4＋解得
5 5
y＝1＋25 5
x＝4－，或
5 5
y＝1－25 5
.
所以 d＝4＋ 55，1＋25 5或 d＝4－ 55，1－25 5.
• 已知a＝(5,4)，b＝(3,2)，则与向量2a－3b平行[的答案单] 位( 向55，量25为5)或__(－__5_5_，_－_．255)

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☆已知ABC ∆和点M 满足=++，若存在实数m 使得m =+成立，则m= 答案：3☆已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三个点，O 是平面ABC内一动点，若⎫⎛+=-λ,则点P 的轨迹一定过ABC ∆的---------------心答案：内☆已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三个点，O 是平面ABC 内一动点，若()+=-λ,则点P 的轨迹一定过ABC ∆的---------------心答案：重☆若→→→→→→⋅=⋅=⋅⋅OC OA OC OB OB OA 则O 是ABC ∆的---------------心垂 ☆△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝（B ）A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋34b☆△ABC 的外接圆圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OC OB OA m OH ++=,则实数m=================== 1分析：可以用平面向量的坐标计算++=-+=+=+=☆如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足PA →＋2PB →＋3PC →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用p 表示PQ →.☆如右图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于P 点，求AP ∶PM 的值．☆如右图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，求m ＋n 的值．☆已知G 为三角形的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC分别交于点E 、F.若AF =AC β,则1α+1β=------------ 3☆已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________.)6x 2s i n (ππ+☆已知关于x 的方程()1322=++-m x x 的两根为θsin ，θcos ，()πθ2,0∈，求 ⑴sin cos 11tan 1tan θθθθ+--的值；⑵求m 的值；⑶方程的两根及此时θ的值。

22如果 sinθ=1/2，则cosθ=2，可得 θ=π/6如果sinθ=2，则cosθ=1/2，可得 θ=π/3 。

☆已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωωϕω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象下图所示。

（1）求函数的解析式；（2）设π<<x 0，且方程m x f =)(有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和。

)62sin(2)(π+=x x f ∴m 的取值范围为：2112<<<<-m m 或；当12<<-m 时，两根和为6π；当21<<m 时，两根和为32π. ☆已知函数()).0,,0,0)(cos()(πϕωϕω-∈>>+=A x A x f 在一个周期内的图象如下图所示①求函数的解析式②设6110π<<x ，且方程m x f =)(的和答案：①)31110cos(2)(π-=x x f②()()2,11,2⋃--∈m ③15441511ππ或☆若集合A=sin 1cos 2x xx ⎧⎫∣2=-⎨⎬⎩⎭，则A 中有------------个元素。

0 ☆ 已知向量a =（222,cos λ+λ-α）b =(,sin )2m m +α，a =2b ，则mλ的范围☆ 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍☆证明勾股定理☆证明菱形对角线互相垂直 ☆证明三角形三条中线交于一点 ☆证明三角形三条高交于一点用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” ☆已知→→=21PP P P λ,当P 点位置满足什么时，00011>=<<--<λλλλ、、、，并求P 点的坐标公式（定比分点公式）☆已知a 与b 不共线，且求0=+b aμλ证：0==μλ☆如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点)sin ,(cos )sin ,(cos ββααB A 、试用A 、B 两点的坐标表示AOB ∠的余弦值☆证明:对于任意的R d c b a ∈、、、恒有不等式()()()22222d c b a bd ac ++≤+☆设平面向量)1,(),1,2(-=-=λb a ，若a 与b 的夹角为钝角，那么λ的取值范围是答案：()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈,22,21λ☆在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则=+222PCPB PA 10☆已知在ABC ∆中，A(2，-1)、B(3,2)、C(-3,-1)，AD 为BC 边上的高，则点D 的坐标为（1,1） ☆一条河的两岸平行，河的宽度为500米，一艘船到对岸，已知船的速度为10km/h,水流速度为2 km/h ，问行驶航程最短时所用时间是多少，问行驶时间最短时所用时间是多少？☆如图，O 、A 、B 是平面上三点，向量2,3==→→OB OA ，设P 是线段AB 垂直平分线上一点，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅→→→OB OA OP 的值为25☆已知向量()y x ,=μ与向量()x y y -=2,υ的对应关系用)(μυf =表示，证明：对任意向量ba ,及常数nm ,，恒有)()()(b nf a mf nb ma f +=+成立☆已知ABC∆为等边三角形，AB=2，设点P,Q 满足()R AC AQ AB AP ∈-==→→→→λλλ,1,,若23-=⋅→→CP BQ ,则=λ21☆→→→→→→+≤+≤-b a b a b a→→→→→→+≤≤-b a b a b a -☆先将函数)(x f y =的图象向右移6π个单位，再将所得的图象作关于直线4π=x 的对称变换，得到)32sin(π+-=x y 的函数图象，则)(x f 的解析式是)32sin(π-=x y☆已知两个单位向量→→b a 、满足()03>-=+→→→→λλλb a b a ，求当→→⋅b a 最小时→→b a 与的夹角3π☆直线0=++C By Ax 的一个方向向量为);,(A B a -=→直线0=++C By Ax 的一个垂直向量为);,(B A b =→点()000,y x P 到直线0=++C By Ax 的距离公式如何推导？☆在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( A )☆给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB→上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 2☆在ABC ∆中，,,b a ==且0>⋅b a ，则ABC ∆是________钝角三角形☆设c b a ,,是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①()()0=⋅-⋅b a c c b a ；②b a b a -<-；③()()b a c a c b ⋅-⋅不与c 垂直；④()()22492323b a b a b a -=-+中，是真命题的有________ ②④☆ ()22222222222222cos ;sin ),sin(sin cos cos sin cos sin cos sin b a bb a a x b a x x b a b a bxba a xb a x b x a +=+=++=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+ϕϕϕϕϕ其中☆如图，用向量方法在ABC ∆内求一点P ，使222CP BP AP ++的值最小答案:()()()2222222222333AC AB AC AB ++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+=++☆ 如图AB OM //，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OB y OA x OP +=，则x 的取值范围是________ ，当21-=x 时，y 的取值范围是________ 答案：()⎪⎭⎫⎝⎛∞-23,21;0,☆ 当不共线时，P 、A 、B 三点共线的等价条件是存在实数μλ、，使1=++=μλμλ且OB OA OP ☆ 求178cos 174cos 172cos17cos ππππ（了解不要求多练）答案：161☆设向量，，=1，∙=21-，向量-与向量-的夹角为︒60（ A ）A 2 B3 C 2D1☆已知O 为平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足=2++λ()λ∈(0，∞+),则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的（ B ）A 重心B 外心C 垂心D 内心 ☆已知≠满足：对于任意t ∈R,-≥，则（ C ）A a ⊥eB a ⊥(a -e )C e ⊥(a -e )D (a +e )⊥(a -e )☆a ，b ，c 均为单位向量，且a ∙b =0，(a -c )∙(b -c )≤0，-b +的最大值（ B ）A 2-1 B 1 C 2 D 2☆已知平面上直线L 的方向向量e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45，35，点O (0,0)和A (1，－2)在L 上的射影分别是O 1和A 1，则O 1A 1→＝λe ，其中λ等于( D )A.115 B ．－115 C ．2 D ．－2☆在四边形ABCD 中，AB ==(1,1)+3,则四边形ABCD 的面积为________。

3☆在直角三角形ABC 中，已知斜边BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ去何值时∙的值最大？并求出这个最大值。

答案：平行 0☆设O 点在∆ABC 内部，且有OA +2OB +3OC =0,则∆ABC 的面积与∆AOC 的面积比为________ 3☆平面直角坐标系中，A （-3,4），B(0，m)，m>0.点C 在AOB ∠的角平分线上且OC=3，求点C 坐标。

☆已知124y y 6x -x 22=++，则4y -3x =μ的最大值和最小值分别是？ 42,-8☆在锐角三角形ABC 中，求证：nC tanA tanB ta tanC tanB tanA =++ ☆在锐角三角形ABC 中，求证：33nC tanAtanBta ≥。