微分方程在电气中的应用
微分方程应用
微分方程应用
微分方程是数学中的一个重要概念，它在自然科学、工程技术以
及经济管理等领域具有广泛的应用。微分方程描述了变量之间的关系，可以用来研究系统的变化规律和预测未来的发展趋势。本文将从不同
领域的案例出发，介绍微分方程的应用，以期展示其生动、全面和有
指导意义的特点。
在物理学领域，微分方程被广泛运用于对运动规律的研究。例如，牛顿第二定律可以被表示为一个微分方程：F=ma，其中F是作用在物
体上的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。通过解这个微分方程，我们可以预测物体的运动轨迹和速度变化。这对于设计机械、规划运
输等方面具有重要的指导意义。
在生物学领域，微分方程可以用来描述种群数量的变化规律。以
生态学为例，我们可以建立一个生态系统的微分方程模型来研究物种
之间的相互作用和种群的变动。通过求解这些微分方程，我们可以了
解物种数量的变化趋势，探索生态系统中的稳定性与动态平衡。这对
于生物多样性保护和生态环境管理具有重要意义。
在工程技术领域，微分方程常常用于分析和设计控制系统。例如，在电路分析中，我们可以利用微分方程来描述电流和电压之间的关系。通过解这些微分方程，我们能够计算出电路中电流和电压的变化情况，从而对电路进行设计和优化。这对于电子工程、通讯工程等领域的发
展具有重要的推动作用。
在经济学领域，微分方程可以用来研究市场供需和价格变动等经济现象。以经济增长模型为例，我们可以建立一个微分方程来描述经济变量的变化规律。通过求解这个微分方程，我们可以预测经济增长的趋势和影响因素，从而制定相应的经济政策和调控措施。这对于实现经济的可持续发展和社会的稳定具有重要意义。
常微分方程的应用
常微分方程的应用
常微分方程（ODE）是描述自然现象和工程问题的基础数学模型之一。以下是一些常见的应用：
1. 建模运动：ODE可以用来描述物体的运动，如自由落体、弹性碰撞、摆动和滑动等。这对于建立机械系统的动力学模型和探索弹性和阻尼的影响非常重要。
2. 人口动态：ODE可以用来描述人口数量的变化和年龄分布的变化，以便探索人口增长和衰退的原因和影响。
3. 经济学：ODE可以用来描述通货膨胀、经济增长和利率变化等经济现象，以便制定政策和预测未来趋势。
4. 电路工程：ODE可以用来描述电路中电压、电流和电感等基本变量的变化，以便设计和优化电路系统。
5. 生物学：ODE可以用来描述生物体内的代谢过程、免疫系统和神经传递等基本现象，以便了解生物过程的本质和预测疾病的发生。
总之，ODE是描述自然和工程系统中时间变化的标准工具，它们被广泛应用于各个学科领域。
plecs 微分环节
plecs 微分环节
Plecs微分环节是电力电子系统中的一个重要组成部分，它可以用于模拟电路中的微分方程。在电力电子系统中，微分方程通常用于描述电路中的动态行为，例如电感、电容和电阻等元件的响应。Plecs微分环节可以帮助工程师更好地理解电路的动态行为，并优化电路的性能。
Plecs微分环节的主要功能是模拟微分方程。在电力电子系统中，微分方程通常用于描述电路中的动态行为。例如，当电路中的电容充电或放电时，电容的电压会随时间变化而变化。这种变化可以用微分方程来描述。Plecs微分环节可以帮助工程师更好地理解电路的动态行为，并优化电路的性能。
Plecs微分环节的另一个重要功能是帮助工程师设计控制系统。在电力电子系统中，控制系统通常用于控制电路中的电压和电流。Plecs微分环节可以帮助工程师设计控制系统，并优化控制系统的性能。例如，当电路中的电容充电或放电时，控制系统可以通过调整电路中的电压和电流来控制电容的电压。Plecs微分环节可以帮助工程师设计这样的控制系统，并优化控制系统的性能。
Plecs微分环节是电力电子系统中的一个重要组成部分。它可以帮助工程师更好地理解电路的动态行为，并优化电路的性能。此外，它还可以帮助工程师设计控制系统，并优化控制系统的性能。因此，Plecs微分环节在电力电子系统的设计和优化中起着重要的作用。
微分方程应用举例
1 t RC
U C E (1 e
)
[例2] 如图所示，已知 E=20V，C=0.5F ，L= 1.6H,．先将开关K拨向A，R=4.8Ω.先将开关K拨 向A,使电容充电，当达到稳定状态后再将开关K 拨向B．设开关K刚开始拨向B的时间 t=0，求 t>0时的电压 Uc（t）． 解 设在t时刻通过R的电压为 UR , 通过L的电压为
解得 UC C1e
5 t 2
C2e
1 t 2
(2),
(3).
dUC 5 C1e dt 2
5 t 2
1 C2e 2
1 t 2
将初始条件代入(2)、(3)式，得方程组
C1 C2 20 C1 5 . 解得 , 5 1 C 25 C C 0 2 1 2 2 2
微分方程在电路 分析方面的应用
李怀强 张华桥 韩磊 李书浩
[例1] 设RC 充电电路如图所示，若在合闸前， 电容器上的电压 U C 0 ，求合闸后电压U C 的变 化规律．
解 由回路电压定律，得
dU C d (CU C ) dq C , 从而，有 i dt dt dt dq dU C , U R iR R RC dt dt dUc UC E RC , dt UC |t 0 0
U R UC E ,
电路微分方程
电路微分方程
电路微分方程是电子工程领域中的一个重要概念。它已经成为电子系统的一个基础性概念，它的研究使电子元件能够准确地表示并分析电路系统的运动状态，从而提高电子系统的性能。
电路微分方程是一种描述任何电路的分析工具。它是将电路的性能与时间变化的参数结合起来，从而用微分方程的形式来表达这些参数。与模拟电路系统相比，数字电路系统由于其特殊性，因此不适合用微分方程来表示。因此，电路微分方程也可以被称为模拟电路的微分方程。
电路微分方程的形式是受信号的特性影响的，因此它可以有效地应用于模拟信号的分析。电路微分方程的形式可以很容易地计算，这使得它比其他数学分析方式更容易使用。电路微分方程可用于描述不同类型的电路系统，比如高通滤波器、低通滤波器、乘法器、反相器等。
电路微分方程主要通过三个方面来实现分析：信号分析，信号时间响应分析以及稳定性分析。信号分析是指分析电路系统处理信号的功能。信号时间响应分析是指检查电路系统处理输入信号的输出信号的时间变化过程。稳定性分析是检查电路系统是否具有稳定性。
电路微分方程的研究为电子领域的工程应用带来了非常大的帮助。它可以用来准确地分析电路的运动状态，并且可以提高电子系统的性能。电路微分方程的研究也使得现代电子系统可以更好地实现小型化、高效化和高效率化。
准备分析电路微分方程时，应该着重于研究电路的功能，确定电路的结构，然后根据电路的特性构造微分方程模型，最后运用微分方程求解电路中参数或者电路的行为。
电路微分方程的研究在很大程度上改变了电路系统的分析和设计，是电子领域中的重要概念和工具，对现代电子产品的运行性能产生了显著的影响。正是由于电路微分方程的研究，才使得电子系统功能更加全面，更加稳定。
微分方程稳态解
微分方程稳态解
【最新版】
目录
1.微分方程稳态解的定义与概念
2.微分方程稳态解的求解方法
3.微分方程稳态解的应用实例
4.微分方程稳态解的意义与重要性
正文
一、微分方程稳态解的定义与概念
微分方程稳态解是指在微分方程中，当系统的输入信号发生改变时，输出信号会相应地产生一个稳态响应，这个稳态响应被称为微分方程的稳态解。在数学和物理学中，微分方程稳态解通常用来描述系统的稳定性和动态性能。
二、微分方程稳态解的求解方法
求解微分方程稳态解的方法有很多，常见的有以下几种：
1.矩阵指数法：适用于线性时不变系统，通过求解矩阵指数方程，可以得到系统的稳态解。
2.矩阵对数法：适用于线性时变系统，通过求解矩阵对数方程，可以得到系统的稳态解。
3.频域分析法：适用于线性时不变系统，通过绘制系统的频域图像，可以直观地观察系统的稳定性和稳态解。
4.极点配置法：适用于非线性系统，通过分析系统的极点配置，可以判断系统的稳定性和求解稳态解。
三、微分方程稳态解的应用实例
微分方程稳态解在实际应用中有广泛的应用，例如：
1.电气工程中，通过求解微分方程稳态解，可以分析电力系统的稳定性和动态性能。
2.机械工程中，通过求解微分方程稳态解，可以分析机构的稳定性和运动性能。
3.生物学中，通过求解微分方程稳态解，可以研究生态系统的稳定性和生物种群动态。
四、微分方程稳态解的意义与重要性
微分方程稳态解在理论研究和实际应用中具有重要的意义，它有助于我们理解和预测系统的稳定性和动态性能。
微分方程相关基本知识(电路用)
16
2. 线性非齐次方程 dyP(x)yQ(x). dx
常数变易法：作变换 yu(x)eP(x)dx
y u (x )e P (x ) d x u (x )[ P (x )e ] P (x ) d x ,
将y和y代入原方程 u(x得 )eP(x)dxQ(x),
积分得 u (x)Q (x)eP(x)dxdxC ,
1.定义 形 如dy f( y)的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 作变量代换 u y , 即yxu, x
dyuxdu,
dx
dx
代入原式得 uxduf(u), dx
分离变量得
du dx f(u)u x
,两边积分即得通解.
注意：须将u代回.
11
例3 求 方 程 d yy3tayn的 通 解 . d x x x
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本 书中只讨论常微分方程，如下例：
yxy, 一阶 y2y3yex, 二阶
(t2x)dtxdx0, 一阶
3
定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的解. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
所以原方程的通解为:
y e P (x )d x [Q (x )eP (x )d x d x C ]
微分方程应用举例
L23 )C2
Um C
(
2L
C
L23 )C1
(R C
RL 2 )C2
0
解得
C1
1
Um C
(R C
RL2 )
C2
1
Um C
( L2 3
2L )
C
( R RL 2 )2 2 ( 2L L2 2 )2
C
C
变形 i2 Asin(t )
A C12 C22
arctan C2
C1
负载R上的电流 i2 Asin(t )
di2 dt
R C
i2
Um C
sin t
三阶常系数线性非齐次常微分方程。
需要消去i1，只保留i2
解
L2
d 3i2 dt 3
RL
d 2i2 dt 2
2L C
di2 dt
R C
i2
Um C
sin t
所对应其次方程的特征方程为
L2r3 RLr2 2L r R 0 CC
由于特征方程的三个特征根的实部均为负值，因此其次方程的通解是指数 衰减的，所对应的那部分电流将很快消失掉（即瞬态电流）。
非齐次方程特解对应的那部分电流才是主要部分（稳态电流）。 故下面只求此特解。
求特解
L2
d 3i2 dt 3
RL
微分方程与电路分析
微分方程与电路分析
电路分析是电子技术中的基础课程，也是理解和解决实际电路问题
的重要工具。而微分方程作为应用数学的一部分，具有描述系统动态
行为的能力，能够应用于电路分析中。
一、电路分析的基本原理
电路分析的基本原理是基于欧姆定律、基尔霍夫定律和恩斯特定律。欧姆定律表示电流与电压之间的关系，基尔霍夫定律表示节点电流和
回路电压之间的关系，而恩斯特定律则描述电流和电压的变化率。
基于这些基本原理，可以建立关于电路中电流和电压的微分方程模型，从而实现电路的分析和求解。
二、微分方程在电路分析中的应用
1. RC电路
RC电路是由电容器和电阻器构成的，通过电压和电流的关系可以
得到RC电路的微分方程。
假设电容器的电压为Vc(t)，电阻器的电流为I(t)，电容器的电容量
为C，电阻器的电阻为R，根据欧姆定律和恩斯特定律可以得到以下微分方程：
RC * dVc(t)/dt + Vc(t) = E(t)
其中，E(t)为外部电源电压，dVc(t)/dt表示电容器电压的变化率。
2. RL电路
RL电路是由电感器和电阻器构成的，同样可以通过电流和电压的
关系得到RL电路的微分方程。
假设电感器的电流为I(t)，电感器的电感为L，电阻器的电流为I(t)，电阻器的电阻为R，则根据欧姆定律和恩斯特定律可以得到以下微分
方程：
L * dI(t)/dt + R * I(t) = E(t)
其中，E(t)为外部电源电压，dI(t)/dt表示电感器电流的变化率。
3. RLC电路
RLC电路是由电容器、电感器和电阻器构成的，可以综合考虑电容
和电感对电路的影响。
微分方程在物理学和工程学中的应用案例
微分方程在物理学和工程学中的应用案例
微分方程是数学中的一个重要分支，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
本文将介绍一些微分方程在物理学和工程学中的应用案例，展示微分方程的重要性和实际价值。
1. 流体力学中的Navier-Stokes方程
流体力学是研究流体运动规律的学科，而Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程。该方程是一个偏微分方程，包含了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒等方面的信息。通过求解Navier-Stokes方程，可以研究流体的流动特性，如流速、压力分布等。这对于设计飞机、汽车和水利工程等领域非常重要。
2. 电路中的RC电路方程
在电路中，RC电路是一种常见的电路结构，它由电阻（R）和电容（C）组成。RC电路方程是描述电路中电压和电流关系的微分方程。通过求解RC电路方程，
可以分析电路中电压和电流的变化规律，预测电路的响应和性能。这对于电子设备的设计和故障诊断具有重要意义。
3. 热传导方程在热学中的应用
热传导是研究热量传递和温度分布的学科，热传导方程是描述热传导过程的微
分方程。通过求解热传导方程，可以分析材料的热传导性能，预测温度分布和热量传递速率。这对于热工设备的设计和优化具有重要意义，如锅炉、换热器等。
4. 力学中的运动方程
力学是研究物体运动规律的学科，运动方程是描述物体运动的微分方程。牛顿
第二定律是力学中的基本方程，它描述了物体的质量、加速度和受力之间的关系。通过求解运动方程，可以研究物体的运动轨迹、速度和加速度等特性。这对于机械设计、航天工程等领域非常重要。
电子与电气工程中的数学方法与模型
电子与电气工程中的数学方法与模型引言：
电子与电气工程是一个广泛而复杂的领域，涉及到电力系统、电子设备、通信技术等多个方面。在这个领域中，数学方法与模型的运用至关重要。本文将探讨电子与电气工程中常用的数学方法与模型，并介绍它们在实际应用中的重要性。
1. 微分方程与电路分析：
微分方程是电子与电气工程中常用的数学工具之一。通过建立电路的微分方程模型，可以分析电路的稳态和暂态响应。例如，对于一个简单的RLC电路，可以通过建立电流和电压之间的微分方程，来研究电路中的电流和电压随时间的变化。这种分析方法对于电路设计、故障诊断和性能优化都非常重要。
2. 矩阵与信号处理：
矩阵在电子与电气工程中有着广泛的应用。在信号处理领域，矩阵可以用来表示信号的变换和滤波操作。例如，傅里叶变换和离散余弦变换等都可以通过矩阵运算来实现。此外，矩阵也被广泛用于解决线性方程组和最小二乘问题，这在电力系统和通信系统中都有重要的应用。
3. 概率与统计：
概率与统计方法在电子与电气工程中用于分析和建模随机变量和随机过程。例如，在通信系统中，噪声是一个不可避免的因素，而概率与统计方法可以用来描述和分析信号在噪声环境下的传输和接收性能。此外，概率与统计方法还可以用于可靠性分析和电力系统的负荷预测等方面。
4. 优化与控制：
优化与控制方法在电子与电气工程中被广泛应用于系统设计和性能优化。例如，在电力系统中，优化方法可以用来确定最佳的发电和输电策略，以提高系统的效率和稳定性。在控制系统中，优化与控制方法可以用来设计控制器，以实现对系统的精确控制和稳定性。
微积分在电工学中的几种常见应用
微积分在电工学中的几种常见应用
微积分在电工学中的应用十分广泛，它可以帮助我们更好地理解电工学中的一些基本概念，并且可以帮助我们更好地解决一些复杂的问题。
首先，微积分可以用来计算电路中的电流和电压。电路中的电流和电压是由电路中的电阻、电容和电感等元件决定的，而这些元件的参数又是由电路中的电压和电流决定的，因此，要计算电路中的电流和电压，就必须使用微积分。
其次，微积分可以用来计算电路中的功率。电路中的功率是由电路中的电压和电流决定的，因此，要计算电路中的功率，就必须使用微积分。
此外，微积分还可以用来计算电路中的电磁场。电磁场是由电路中的电流和电压决定的，
因此，要计算电路中的电磁场，就必须使用微积分。
最后，微积分还可以用来计算电路中的电磁辐射。电磁辐射是由电路中的电流和电压决定的，因此，要计算电路中的电磁辐射，就必须使用微积分。
总之，微积分在电工学中的应用十分广泛，它可以帮助我们更好地理解电工学中的一些基本概念，并且可以帮助我们更好地解决一些复杂的问题。
电力系统频率微分方程
电力系统频率微分方程
电力系统频率微分方程是描述电力系统中频率变化的数学方程。电力系统的频率是指电网中电压和电流的周期性变化的频率。频率的稳定性对于电力系统的正常运行至关重要。频率微分方程可以用来描述电力系统中频率的变化规律。
在电力系统中，频率的变化主要由负荷的变化和发电机的控制引起。当负荷增加时，电力系统的频率会下降；当负荷减少时，电力系统的频率会上升。发电机的控制可以通过调整输入功率来改变电力系统的频率。频率微分方程可以用来描述这种频率变化的关系。
假设电力系统中只有一个发电机和一个负荷，那么频率微分方程可以写成如下形式：
df/dt = (1/M) * (Pm - Pe - D * (f - f0))
其中，f是频率，t是时间，M是发电机的转动惯量，Pm是发电机的输入功率，Pe是负荷消耗的功率，D是频率衰减系数，f0是额定频率。
这个微分方程的含义是，频率的变化率等于发电机输入功率与负荷消耗功率之差再减去频率衰减的效应。当发电机输入功率大于负荷消耗功率时，频率会上升；当发电机输入功率小于负荷消耗功率时，频率会下降。频率的变化率与频率的偏差成正比，频率偏离额定频率越大，变化率就越大。
通过对频率微分方程的求解，可以得到电力系统中频率随时间的变化规律。这对于电力系统的运行和控制具有重要意义。通过控制发电机的输入功率，可以使频率保持在额定值附近，确保电力系统的稳定运行。
电力系统频率微分方程是描述电力系统中频率变化的数学方程。它可以帮助我们理解电力系统中频率的变化规律，并为电力系统的运行和控制提供重要参考。
微分方程电流暂态解和稳态解
微分方程电流暂态解和稳态解
微分方程在电路理论中有着重要的应用，特别是在描述电路中的电流暂态和稳态解时。电流暂态解描述的是电路中电流随时间变化的过程，而稳态解描述的是电路中电流达到稳定状态后的解。本文将讨论微分方程在描述电路中电流暂态解和稳态解时的应用。
首先，让我们考虑一个简单的电路，由电阻R、电感L和电容C 组成。当在电路中施加一个电压V(t)时，根据基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律，可以得到描述电路中电流i(t)随时间变化的微分方程。这个微分方程通常是一个线性常系数微分方程，可以通过不同的方法求解。
对于电流暂态解，我们需要解微分方程得到i(t)的表达式。在电路中，电感和电容会导致电流的暂态行为，因此我们需要考虑电感和电容的影响。通过求解微分方程，我们可以得到电流随时间的变化规律，从而了解电路中电流的暂态行为。
而对于电流稳态解，我们需要找到微分方程的稳态解。在稳态下，电路中的电流和电压不再随时间变化，因此微分方程的解也将是一个稳定的函数。通过求解微分方程得到稳态解，我们可以了解
电路中电流的稳定状态。
总之，微分方程在描述电路中电流暂态解和稳态解时起着关键作用。通过求解微分方程，我们可以了解电路中电流随时间变化的行为，以及电路中电流的稳定状态。这对于电路设计和分析来说是非常重要的。
微分方程在电路中的简单应用
和谐与统一的美
——浅谈微分方程的解与电路的响应
11123766 齐梦雨前言：
如果说数学和物理解释了世界，机械和电气点亮了世界，那么通信则像一扇窗一样呈现了世界。建立在数学和物理学基础上的通信技术，像一阵光，以难以置信的速度发展着，前进着，它让从前的世界变成了另一个世界，它让未来变得更加难以预见，值得期待。
如果说17世纪和18世纪是数学和物理学的世纪，那么21世纪乃至可以预见的未来，将会是通信的世纪，信息时代将会是通信技术的时代。
任何前沿科技都是建立在理论基础上的，通信技术也不例外。最基础的通信技术和数学中的微分方程密切相关。本文我们将会看到，通信技术在工程中的应用，是如何建立在数学基础之上的，而我们也将看到，他们之间“无意”中产生的惊人的一致性和相互契合。
关键词：
一阶电路二阶电路电路的激励与响应零状态零输入一阶微分方程二阶微分方程微分方程的通解与特解
一、电路响应的数学理论基础
首先，我们先看两个简单的电路图：
I、
II
在通信技术中，这是两个最简单最基础的电路图，其中第一个称作RC 电路（电阻+电容），第二个称为RL 电路（电阻+电感）。 在第一个电路中，
0 ,i ≥=+t U u dt du RC C C （α） 其中Ui 为输入电压。其中i =dt
du C C
而第二个电路中，
0 ,0u i
L ≥=+t dt d R L （β）其中Ui 为输入电压。其中L U i =dt
d L
而一个最简单也是最基础的问题，就是求电路的响应。如果抽象成数学问题的话，就是求这两个微分方程的解。所以，必须掌握一阶微分方程的求解方法。下面简单介绍一下一阶微分方程的解法：
振荡电路微分方程
振荡电路微分方程
振荡电路是指能够产生持续振荡的电路，如LC振荡器或RC振荡器。其中，微分方程用于描述振荡电路中电压或电流随时间变化的关系。
以简单的LC振荡器为例，其中包含一个电感L和一个电容C。假设电感L的电流为I(t)，电容C的电压为V(t)。根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律，可以得到以下微分方程：L * d^2(I(t))/dt^2 + (1/C) * I(t) = 0
这是一个二阶常微分方程，描述了电感电流对时间的二阶导数和电容电压的关系。该方程表示了电感感应的自感和电容的贮能之间的交互作用。
对于其他类型的振荡电路，如RC振荡器，也可以得到相应的微分方程，但具体形式会根据电路的结构和元件的特性而有所不同。
微分方程是分析和研究振荡电路行为的重要工具。通过求解微分方程，可以获得电路中电压、电流随时间的变化规律，进而了解振荡频率、幅值等重要的振荡特性。
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电气工程案例在大学数学教学中的应用研究
2018年7月-8月
一、一阶微分方程
当电路中的储能元件(电容C和电感L)的数目仅有一个，而电阻R的数目可以不论，由于描述这种电路性状的是一阶微分方程，故称为一阶电路，一阶电路可分为RC(电阻电容)电路和RL(电阻电感)电路。
从产生电路响应的原因来讲，响应可以是由独立电源的激励，即输入引起的；或者是由储能元件的初始状态引起的；也可以是由独立电源和储能元件的初始状态共同作用下产生的。
因此，按激励和响应的因果关系可划分为如下3种类型的响应。
(1)零输入响应——电路中没有电源的激励，即输入为0，响应是由初始时刻储能元件的中储存的电磁能量所产生的。
(2)零状态响应——储能元件的初始状态为0，仅由电源激励所引起的响应。
(3)全响应——由电源的输入激励与储能元件的初始能量共同作用下所产生的响应。
接下来，我们分别考虑RC电路的零输入响应和零状态响应两个案例在一阶微分方程教学中的应用。
1、一阶可分离变量微分方程(一阶齐次线性微分方程)
RC电路的零输入响应(RC zero-input response)
如上图(a)所示的电路中，换路前的电路是由电压源和电容C连接而成，电容电压()=，其中表示换路前的瞬间；在时，将开关从位置1改接到位置2，于是电容C将通过电阻R放电，如图(c)所示，电容C的电压由它的初始值开始，随着时间的增长而逐渐减少，最后趋近于零。在该放电过程中电容C初始储存的电场能量，通过电阻R全总转换为热能发散出去。此时电路中的响应仅由电容C的初始状态引起，故为零输入响应。
为定量分析电容电压和电流的变化规律需要确立微分方程。根据上图(b)中的电流和电压的参考方向，应用基尔霍夫定律列出电压方程
；
；
，；
在和两个电路变量中，选取作为求解对象，应用上述一组关系，建立关于
的一阶可分离变量的微分方程如下
上述方程的本质是基尔霍夫定律，是放电过程中必须遵循的约束。根据上述给定的初始条件可唯一地确定的变化规律。
求解过程如下，首先将含有变量和变量的表达式分别置于等式的两端
对上式等号两边同时进行积分可得
因此可得
其中=为积分常数，由所给出的初始条件来确定。
令,则
所以
这样得出了满足微分方程及其初始条件的解为
求出后，电路中其它零输入响应可通过计算求得
放电电流
电阻电压
2、一阶非齐次线性微分方程
RC电路的零状态响应(RC zero-state response)
如上图所示，在开关S合闸前，电容器C未经充电，即，电路处于零状态。
设在时开关S闭合。在直流电压源的激励下，通过电阻R对电容C 进行充电，显然，电容电压将从0值开始被充电到电源电压值终止。这个过程被称为零状态响应。我们考虑电容电压的变化规律。
根据基尔霍夫定律和元件的电压电流关系式确立微分方程，开关S闭合后，
RC回路的基尔霍夫定律方程式为
，
电阻R和电容C的电压电流关系式
，
将上式联立，即可确立以为未知函数的一阶非齐次线性微分方程
其解即零状态响应，反映了充电过程中电容电压的变化规律。
上述微分方程的通解可以分解为两个分量的叠加，即
其中，是非齐次方程的特解，是非齐次方程
所对应的齐次方程的通解。
结合数学工具和电路的物理内容，由于上述两个分量在电路中均具有特定的物理含义，从而可以比较方便求解出来。
应该满足非齐次方程
上式方程等号右边的函数是电路中的输入激励，又称强制函数，显然是在输入的强制作用下建立起来的，故特解可称为强制分量，它与强制函数或输入波形有关。如果等号右边的强制函数是恒定直流电源或正弦周期电源，或者说是在直流激励或正弦激励情况下，为满足上述方程，也应该是直流量或同频率的正弦量。由于是在直流或正弦交流激励下最终建立起来(即处稳态时)的量，因此，又称为稳态分量或稳态响应。
由上述分析表明，应是的稳态值，即。电容C在恒定电压作用下，最终必定充电至电源电压，把代入至方程，显然也是适合的。
高等数学中的微分方程知识告诉我们，是非齐次方程所
对应的齐次方程的通解，上式等号右边为0，表明通解描写
的是电路中外施激励为零时的变化规律。在电路理论中，由于反映的是外施激励为零、电路处自由状态时的变化规律，故又称为的自由分量。
显然，应具有如下指数形式
其中为特定的积分常数，因此通解的表示式为
由初始条件可以确定常数。
令,则
所以
这样可得出既适合一阶非齐次线性微分方程又满足其初
始条件的解
式中通常被称为电路的时间常数。
二、二阶微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶电路的零输入响应
二阶电路是含有两个独立储能元件的电路，RLC串联电路是典型的二阶电路，如下图所示。在开关S闭合前，电容器C已充了电，电感线圈L中没有电流，即电路的初始状态为，。
在开关S闭合后发生的电磁过程中，将会有储能元件电感L和电容C之间的电磁能量转换，但由于耗能元件电阻R的存在，致使能量不断消耗，最终，电路中的储能越来越少，直至为0，电磁过程结束。
参考上图所示，可列出回路基尔霍夫方程式如下
其中电阻R、电感L和电容C的电压电流表示式如下
，
，
代入上述基尔霍夫方程式，可得到如下二阶常系数齐次线性微分方程及初始条件为
上述二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程为
特征根为