微分方程在电气中的应用

电气工程案例在大学数学教学中的应用研究

2018年7月-8月

一、一阶微分方程

当电路中的储能元件(电容C和电感L)的数目仅有一个，而电阻R的数目可以不论，由于描述这种电路性状的是一阶微分方程，故称为一阶电路，一阶电路可分为RC(电阻电容)电路和RL(电阻电感)电路。

从产生电路响应的原因来讲，响应可以是由独立电源的激励，即输入引起的；或者是由储能元件的初始状态引起的；也可以是由独立电源和储能元件的初始状态共同作用下产生的。

因此，按激励和响应的因果关系可划分为如下3种类型的响应。

(1)零输入响应——电路中没有电源的激励，即输入为0，响应是由初始时刻储能元件的中储存的电磁能量所产生的。

(2)零状态响应——储能元件的初始状态为0，仅由电源激励所引起的响应。

(3)全响应——由电源的输入激励与储能元件的初始能量共同作用下所产生的响应。

接下来，我们分别考虑RC电路的零输入响应和零状态响应两个案例在一阶微分方程教学中的应用。

1、一阶可分离变量微分方程(一阶齐次线性微分方程)

RC电路的零输入响应(RC zero-input response)

如上图(a)所示的电路中，换路前的电路是由电压源和电容C连接而成，电容电压()=，其中表示换路前的瞬间；在时，将开关从位置1改接到位置2，于是电容C将通过电阻R放电，如图(c)所示，电容C的电压由它的初始值开始，随着时间的增长而逐渐减少，最后趋近于零。在该放电过程中电容C初始储存的电场能量，通过电阻R全总转换为热能发散出去。此时电路中的响应仅由电容C的初始状态引起，故为零输入响应。

为定量分析电容电压和电流的变化规律需要确立微分方程。根据上图(b)中的电流和电压的参考方向，应用基尔霍夫定律列出电压方程

；

；

，；

在和两个电路变量中，选取作为求解对象，应用上述一组关系，建立关于

的一阶可分离变量的微分方程如下

上述方程的本质是基尔霍夫定律，是放电过程中必须遵循的约束。根据上述给定的初始条件可唯一地确定的变化规律。

求解过程如下，首先将含有变量和变量的表达式分别置于等式的两端

对上式等号两边同时进行积分可得

因此可得

其中=为积分常数，由所给出的初始条件来确定。

令,则

所以

这样得出了满足微分方程及其初始条件的解为

求出后，电路中其它零输入响应可通过计算求得

放电电流

电阻电压

2、一阶非齐次线性微分方程

RC电路的零状态响应(RC zero-state response)

如上图所示，在开关S合闸前，电容器C未经充电，即，电路处于零状态。

设在时开关S闭合。在直流电压源的激励下，通过电阻R对电容C 进行充电，显然，电容电压将从0值开始被充电到电源电压值终止。这个过程被称为零状态响应。我们考虑电容电压的变化规律。

根据基尔霍夫定律和元件的电压电流关系式确立微分方程，开关S闭合后，

RC回路的基尔霍夫定律方程式为

，

电阻R和电容C的电压电流关系式

，

将上式联立，即可确立以为未知函数的一阶非齐次线性微分方程

其解即零状态响应，反映了充电过程中电容电压的变化规律。

上述微分方程的通解可以分解为两个分量的叠加，即

其中，是非齐次方程的特解，是非齐次方程

所对应的齐次方程的通解。

结合数学工具和电路的物理内容，由于上述两个分量在电路中均具有特定的物理含义，从而可以比较方便求解出来。

应该满足非齐次方程

上式方程等号右边的函数是电路中的输入激励，又称强制函数，显然是在输入的强制作用下建立起来的，故特解可称为强制分量，它与强制函数或输入波形有关。如果等号右边的强制函数是恒定直流电源或正弦周期电源，或者说是在直流激励或正弦激励情况下，为满足上述方程，也应该是直流量或同频率的正弦量。由于是在直流或正弦交流激励下最终建立起来(即处稳态时)的量，因此，又称为稳态分量或稳态响应。

由上述分析表明，应是的稳态值，即。电容C在恒定电压作用下，最终必定充电至电源电压，把代入至方程，显然也是适合的。

高等数学中的微分方程知识告诉我们，是非齐次方程所

对应的齐次方程的通解，上式等号右边为0，表明通解描写

的是电路中外施激励为零时的变化规律。在电路理论中，由于反映的是外施激励为零、电路处自由状态时的变化规律，故又称为的自由分量。

显然，应具有如下指数形式

其中为特定的积分常数，因此通解的表示式为

由初始条件可以确定常数。

令,则

所以

这样可得出既适合一阶非齐次线性微分方程又满足其初

始条件的解

式中通常被称为电路的时间常数。

二、二阶微分方程

1、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶电路的零输入响应

二阶电路是含有两个独立储能元件的电路，RLC串联电路是典型的二阶电路，如下图所示。在开关S闭合前，电容器C已充了电，电感线圈L中没有电流，即电路的初始状态为，。

在开关S闭合后发生的电磁过程中，将会有储能元件电感L和电容C之间的电磁能量转换，但由于耗能元件电阻R的存在，致使能量不断消耗，最终，电路中的储能越来越少，直至为0，电磁过程结束。

参考上图所示，可列出回路基尔霍夫方程式如下

其中电阻R、电感L和电容C的电压电流表示式如下

，

，

代入上述基尔霍夫方程式，可得到如下二阶常系数齐次线性微分方程及初始条件为

上述二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程为

特征根为