二阶常微分方程的解法及其应用.

目录1 引言 (1)2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1)2.1 特征方程法 (1)2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2)2.1.2 特征根有重根的情形 (2)2.2 常数变异法 (4)2.3 拉普拉斯变化法 (5)3 常微分方程的简单应用 (6)3.1 特征方程法 (7)3.2 常数变异法 (9)3.3 拉普拉斯变化法 (10)4 总结及意义 (11)参考文献 (12)二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。

应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIALEQUATION AND ITS APPLICATIONAbstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect.Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。

人所共知，常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。

常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。

常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。

二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。

关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此.二阶常系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。

而本文正是在这一背景下对于二阶常系数常微分方程的解法和应用做出研究。

2 二阶常系数常微分方程的几种解法通常来说，纵观二阶常系数常微分方程的解法来看，其中比较有代表性的是特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种解法，因为篇幅和个人能力有限，本文则选取这三种具备代表性的解法进行分析。

2.1特征方程法所谓特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方程等等。

求微分方程220d x dxp qx dt dt++=的通解.解 特征方程02=++q p λλ的根21,λλ,(1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解12,t t e e λλ,故通解为1212tt x c e c e λλ=+（21,c c 为任意常数）.(2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状1112tt x c e c te λλ=+（21,c c 为任意常数）.(3)若这两个根为共轭复根z a bi =±,则该方程的通解具有形状12(sin cos )atx e c bt c bt =+（21,c c 为任意常数）.数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据. 2.1.1 特征根是两个实根的情形设12,λλ是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解12,t t e e λλ,我们指出这两个解在a t b ≤≤上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实上,这时2.1.2 特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则众所周知'(1)111()()()0,k F F F λλλ-====()1()0k F λ≠,先设10λ=,即特征方程有因子k λ,于是1n k a -+==1k n k a λ--++10n n a a x -+++=变为111n k n kn d yd a a dxdx---++1,,k t -,而且它们是线性无关的个线性无关的解21,,,k t t t -.如果这个注意到 1)(1(1)2!t m m m m e y y λλ-⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，1)t n b y e λλ++,0n b y ++=,,n b 仍为常数而相应的特征方程为1n b b μ-+++直接计算易得1)1t L λ+⎤⎡=⎣⎦()G μ,,2,,k ,2.2常数变易法常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解。

数变易法中，将常数C 换成()X U 就可以得到非齐次线性方程的通解。

它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。

它是连接解 方程22()d x dxp qx f t dt dt ++=对应齐次方程为220d x dxp qx dt dt++=,其特征方程为02=++q p λλ.由于方程22()d x dxp qx f t dt dt++=的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解.若λ为上面方程的实根,则tx e λ=是方程220d x dxp qx dt dt++=的解.由常数变易法设22()d x dxp qx f t dt dt++=的一个解为*()t x c t e λ=,代入原方程并化简得"'()(2)()()t c t p c t e f t λλ-++=, 这是关于 '()c t 的一阶线性微分方程,其一个特解为()(2)()()()p tp tc t e ef t dt dt λλ-++⎡⎤=⎣⎦⎰⎰,从而得上面方程的一个特解为*(2)()(())t p t p t x e e e f t dt dt λλλ-++⎡⎤=⎣⎦⎰⎰. 若λ为上面方程的复根,我们可以设,,a bi a b R λ=+∈且0b ≠，则*sin at x e bt=是方程22()d x dxp qx f t dt dt++=的解，根据常数变易法可设其一个特解为*()sin atx c t e bt =，与情形1的解法类似得方程22()d x dxp qx f t dt dt++=的一个特解为(2)(2)*2()sin sin .sin p a p a t at e f t e btdtx e bt dt bt-++=⎰⎰由于*x 是特解,则积分常量可以都取零. 2.3拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是工程数学中常用的一种积分变换法，又名拉氏转换法。

拉氏变换法是一个线性变换法，可将一个有引数实数)0(≥t t 的函数转换为一个因数为复数s 的函数。

有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。

拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。

在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。

这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。

常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯变换法进行求解，这往往比较简单。

由积分()()0stF s e f t dt -+∞=⎰. 所定义的确定于复平面（Re σ>）上的复变数s 的函数()F s ,称为函数()f t 的拉普拉斯变换,我们称()f t 为原函数,而()F s 称为像函数.拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面s 的代数方程.通过一些代数运算,一般地再利用拉普拉斯变换表,即可求出微分方程的解.方法十分简单方便,为工程技术工作者所普遍采用.当然,方法本身有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数.求解方程 2'22,(1)(1)0t d x dxx e x x dt dt-++===.解 先使1t τ=-，将问题化为2(1)'22,(0)(0)0t d x dxx e x x dt dt--++===, 再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到211()2()()1s X s sX s X s s e++=⋅+, 因此311()(1)X s s e=⋅+, 查拉普拉斯变换表可得211()2x e τττ--=,从而21()(1)2tx t t e -=-,这就是所要求的解.当然,求解二阶或者更高阶的常微分方程的方法还有很多,这里我们不能一一列出.然而我们利用上面的一些结论就可以解决下面的几个物理问题了。