一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
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四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
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2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
一阶微分方程一阶线性
通解为： y Ce P ( x )dx Ce
即 y Cx e 。
2 1 x
(
2x x
2
1 x
) dx 2
Ce
ln x 2
1 x
，
将初始条件 y
x 1
e 代入通解，得 C 1 ，
1 x
故所求特解为 y x 2 e 。
3
4.2
一阶微分方程
（二）一阶线性非齐次方程的解法
7
4.2
一阶微分方程
方法 2（用通解公式法）
1 sin x 1 sin x y y ， P ( x ) ， Q( x ) ， x x x x
ye
1 dx x
sin x [ e x
1 dx x
dx C ]
1 sin x 1 [ x dx C ] [ cos x C ]. x x x
xe
1 dy y
[ y e
3
1 dy y
1 3 dy C ] y[ y C ] ， 3
9
1 4 故原方程的通解为 x y Cy 。 3
4.2
一阶微分方程
例 4．设可导函数 f ( x ) 满足方程
x
0
f (t )dt x t f ( x t )dt ，求 f ( x ) 。
P ( x ) dx
是①的解。
P ( x ) dx P ( x ) dx y C ( x )e C ( x ) P ( x )e 代入方程①，则有
C ( x )e
P ( x ) dx
C ( x ) P ( x )e
第七章 第4节 一阶线性微分方程
y x ,
2
y,
2
dz dx
4 x
z x ,
2
4 x x 解得 z x C , 即 y x C . 2 2
2
17
例3
1.
用适当的变量代换解下列微分方程:
2 yy 2 xy xe
2 x
2
;
解
y xy
1 ( 1 )
a 2 x C ( ln x) 2
将 z y 1 代入 , 得原方程通解:
a 2 y x C ( ln x) 1 2
16
例 2 求方程
dy dx
1 2
4 x
y x
2
y 的通解.
4 x
2
解 两端除以 y ，得
令 z
1 dy y dx
Q (x) y
dx 为 v ( x ), ln y v ( x )
P ( x ) dx ,
.
4
即 y e
v( x)
e
P ( x ) dx
.
P ( x ) dx
非齐方程通解形式 y u ( x ) e
与齐方程通解相比: C u ( x )
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
2
13
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy dx P ( x ) y Q( x ) y
n
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法，这是个啥玩意儿？别着急，听我给你慢慢道来。
咱们来聊聊微分方程。
微分方程是一类关于未知函数的方程，它包含一个或多个导数。
而一阶线性微分方程，就是指只有一个自变量的微分方程，且这个自变量的导数是线性的。
听起来有点复杂？别急，咱们用个例子来解释一下。
假设有个问题，说小明每天走的距离是前一天的2倍加1米，那么这个问题就可以用一阶线性微分方程来描述。
这里的自变量就是时间t,而小明每天走的距离就是我们要求的未知函数y。
根据题意，我们可以得到这样一个方程：y(t) = 2y(t-1) + 1这就是一阶线性微分方程的一个例子。
现在我们来聊聊解法。
解微分方程的目的，就是要找到一个公式，把未知函数y和自变量t之间的关系表示出来。
而一阶线性微分方程的解法其实很简单，只需要用到一个叫做“递推关系”的东西。
所谓递推关系，就是指一个式子和它前面几个式子的差值是一个常数。
对于一阶线性微分方程来说，它的递推关系就是：dy/dt = 2dy/(t-1) + 1这个式子告诉我们，当我们知道了t时刻的y值，以及它前面t-1时刻的y值时，我们就可以用这个式子算出t时刻的y值。
而且这个式子还有一个很神奇的性质，就是它的左边是一个关于y的一阶线性微分方程，右边是一个关于y的一阶常系数线性微分方程。
这意味着，我们可以用同样的方法去求解这个递推关系中的每一个式子。
那么问题来了，我们怎么求解这个递推关系呢？其实方法很简单，就是用“累加法”。
具体来说，我们先令t=0,求出初始条件；然后再令t=1,求出第一个y值；接着再令t=2,求出第二个y值；以此类推，直到求出我们需要的所有y值。
这里的关键是要找到一个合适的初始条件，让递推关系能够顺利进行下去。
有时候这个初始条件并不好找，但是只要我们多试几次，总会找到一个合适的答案。
好了，今天关于一阶线性微分方程及其解法就给大家讲到这里啦！希望大家能够理解并掌握这个知识点。
一阶线性微分方程及其解法
形如
dy dx
f
y x
的一阶微分方程称为齐次方程
或
dx dy
f
x
y
解法：
针对齐次方程
dy dx
y x
，作变量代换
u
y x
即
y
xu
，则
dy dx
u
x
du dx
将其代入原式，得：
u
du dx
u
，即
du u u
dx
x
这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程；
然后，利用分离变量法求得
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1
1 u
du
1 dx x
u ln|u| ln|x| ln|c
故所求通解为： y ln|y| c x
书上还有一个例子，自己可以练习练习
求微分方程 (x2 y2 )dx 2xydy，满足初始条件 y x1 0
1 du 1 dx
(u) u
x
例1 求方程 y2 x2 dy xy dy 的通解 dx dx
y 2
解
原方程化为
dy dx
y2 xy x2
,即
dy dx
x y 1
x
这是齐次方程， 令 u y ,即 y xu x
故 代入得：
dy u x du
dx
dx
u x du u2 dx u 1
解： 方程可化为：
它是齐次方程。令
dy
x2
y2
1 ( y)2 x
d
代入整理后，有 du 1 u2
dx 2xu
分离变量，则有
u
1
一阶线性微分方程的概念与解的结构
x 2
x 2
于是，有
12 2 C (x ) e d x e C , 2
x
x
因此，原方程的通解为
x y C ( x ) e C e e . x 2 x 2
解法二
运用通解公式求解．
1 1 x y y e , 2 2
将所给的方程改写成下列形式：
设所给线性非齐次方程的通解为
1 y C( x) . x
将 y 及 y代入该方程，得
1 1 (x C ) cos x , x x
于是，有
C ( x ) cos x d x sin x C .
因此，原方程的通解为
1 C1 y (sin x C ) sin x . x x x
C ( x ) y Q ( x ), 1
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得 Q (x ) C (x ) d x C , y 1 代入 y = C (x)y1 中，得 Q (x ) y Cy d x . 1 y 1 y 1 容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 y P ( x ) y Q ( x ),
若 Q (x)
0，则方程成为
y P ( x ) y 0 ,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分
方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程 y P ( x ) y 0 是可分离变量方程. 分离变量，得 dy P(x)dx, y 两边积分，得
则
1 1 x P ( x ) ,Q ( x ) e , 2 2
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和常数变易法等。
本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。
分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。
它的步骤是将方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。
例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。
然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中C为积分常数。
最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。
当方程为dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。
同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分常数。
然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。
当方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。
这样，原方程就变成了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。
接下来，我们可以使用分离变量法或者其他已知的解法来求解这个方程。
常数变易法是解特殊形式的一阶线性微分方程的方法之一。
当方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)e^(∫P(x)dx)时，我们可以通过将y的解表达形式设为y = u(x)*v(x)来解方程。
其中，u(x)为待定函数，而v(x)为一个满足dv(x)/dx = e^(∫P(x)dx)的函数。
一阶线性微分方程及其解法
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 应用微分方程解决实际问题的步骤 1. 分析问题 设出所求未知函数,确定初始条件。 分析问题,设出所求未知函数 确定初始条件 设出所求未知函数 确定初始条件。 2. 建立微分方程。 建立微分方程。 3. 确定方程类型 求其通解. 确定方程类型,求其通解 求其通解 4. 代入初始条件求特解. 代入初始条件求特解
Q( x ) = 3 x
= e x 3 ∫ xe x dx + C
= ex
x
( ( 3∫ xde
∫ dx dx + C ∫ 3x e
) + C)
= e x 3( xe x ∫ e x dx ) + C
= ex =e
x x x
( ( 3( xe ( 3( xe
+ ex ) + C +e
例5 求过原点平且在点 x,y) 处的切线斜率等于 (
3x + y 的曲线方程。 的曲线方程。
解 设所求曲线方程为 y = f ( x ) , 则依题有 y =0, x =0 从而 即 y′ y = 3 x 则通解为 y = e
y′ = 3 x + y
其中 P ( x ) = 1 ,
∫ dx
y = Ce
∫ P( x)dx
例2 解
2 . 求 y′ y = 0 的通解 x
2 P( x) = 则通解 x
y = Ce
=
∫ P( x)dx
2 ∫ dx Ce x
= Ce = Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程 ） dy + P ( x ) y = Q( x ) 1）一般式 ） dx 2）解法 常数变易法 ） 3）通解公式 ）
一阶齐次线性微分方程的解法
一阶线性微分方程解的结构如下：
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。
一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。
线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。
扩展资料：
形如（记为式1）的方程称为一阶线性微分方程。
其特点是它关于未知函数y及其一阶导数是一次方程。
这里假设，是x的连续函数。
若，式1变为（记为式2）称为一阶齐线性方程。
如果不恒为0，式1称为一阶非齐线性方程，式2也称为对应于式1的齐线性方程。
式2是变量分离方程，它的通解为，这里C是任意常数。
常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程。
最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。
求解一阶线性微分方程的方法
求解一阶线性微分方程的方法对于一阶线性微分方程，
)()(x q y x p dx
dy =+有如下的一般求解方法（摘自普林斯顿大学微积分读本）：1将包含y 的部分放在左边，包含x 的部分放在右边，然后两边除以dy/dx 的系数得到一个标准形式的方程
)()(x q y x p dx
dy =+2两边乘积分因子，我们称其为f(x)，它由
积分因子⎰=dx
x p e x f )()(给出，这里不需要为指数上的积分+C ，左边变为))((y x f dx
d ，其中f(x)为积分因子，用这个新的左边重写方程()()()()()()()()()p x dx
p x dx p x dx p x dx p x dx dy e e p x y e q x dx
d e y e q x dx ⎰⎰⎰+=⎰⎰=3两边积分，这次必须在右边+C
()()()()()()=()dx C p x dx p x dx p x dx p x dx d e y e q x dx
e y q x e ⎰⎰=⎰⎰+⎰4两边再除以积分因子f(x)来解出y.
()()()()=()dx C
1
(()dx C)p x dx p x dx p x dx p x dx e y q x e y q x e e ⎰⎰+⎰=+⎰⎰⎰。
5.2(3)一阶线性微分方程及全微分方程
−1
五、1、( x − y ) 2 = −2 x + C ； 1 2、 y = 1 − sin x − ； x+C 3、 2 xy − sin( 2 xy ) = 4 x + C . 2(1 − e − x ) , 0 ≤ x ≤ 1 六、 y − y( x ) = . −x 2(e − 1)e , x > 1
令 y = xu;
− P( x)dx
令 y = u( x)e ∫
;
令 y1−n = z;
思考题
cos y 的通解. 求微分方程 y′ = 的通解 cos y sin 2 y − x sin y
思考题解答
dx cos y sin 2 y − x sin y = sin 2 y − x tan y , = dy cos y dx ∴ + (tan y ) ⋅ x = sin 2 y , dy
将 z = xy 代回,
所求通解为 2 xy − sin( 2 xy ) = 4 x + C .
dy 1 3. ; = dx x + y
dy du 解 令 x + y = u, 则 = − 1, dx dx du 1 −1= , 代入原式 dx u 分离变量法得 u − ln( u + 1) = x + C ,
∂P ∂Q . 全微分方程⇔ = ∂y ∂x
2.解法: 2.解法: 解法
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0 全微分方程
应用曲线积分与路径无关. 应用曲线积分与路径无关
x
∂P ∂Q Q = ∂y ∂x
y y0
通解为
y
u(x, y) = ∫ P(x, y0 )dx + ∫ Q(x, y)dy
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
x
2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2
C
2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)d
x
Q(
x
)
e
P
(
x
)
d
x
d
x
C
即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e
P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u
2(x
3
1)2
C
3
4
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
第四节 一阶线性微分方程第五节
2
2
2
dx
习题 7-4 // P315: 1(1,2,8), 2(4).
1.设函数 f ( x )在[0, π]上连续 , 且 ∫ f ( x )dx = 0,
π
∫0
π
7F f ( x ) cos xdx = 0, 试证 : 在(0, π )内至少存在
0
两个不同的点 ξ1 , ξ 2 , 使f (ξ1 ) = f (ξ 2 ).
7F
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、y ( n ) = f ( x )型
解法：逐次积分法.
( 3) 求方程 y = sin x 的通解. 例1
解
方程两端分别逐次积分, 得 :
y ( 2) = ∫ sin xdx = − cos x + C1
y′ = ∫ ( − cos x + C1 )dx = − sin x + C1 x + C 2 y = ∫ ( − sin x + C1 x + C 2 )dx
∴ u′( x ) = Q( x )e ∫ P ( x )dx
积分得 u( x ) = ∫ Q( x )e ∫
P ( x )dx
dx + C ,
− P ( x )dx dx + C )e ∫ ,
∴ 非齐次方程的解为y = ( ∫ Q( x )e ∫
P ( x )dx
y = ( ∫ Q( x )e ∴ 非齐次方程的解为
dx + C )e
− ∫ P ( x )dx
.
P ( x )dx dy − ∫ P ( x )dx ∫ = + ( ( ) ) . y Q x e dx C e + P ( x ) y = Q( x ), ∫ dx 1 sin x 的通解. 例1 求方程 y′ + y = x x 1 sin x 解法1. P ( x ) = , Q ( x ) = , x x 1 1 sin x ∫ x dx − ∫ x dx ⋅e y = ∫ dx + C e x sin x ln x dx + C e − ln x = ∫ ⋅e x
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法在数学的领域中，一阶线性微分方程是一类非常重要的方程，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下一阶线性微分方程及其解法。
首先，我们来明确一下一阶线性微分方程的定义。
一阶线性微分方程的一般形式是：＼y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼其中，＼（P(x)＼）和\（Q(x)＼）是已知的关于\（x\）的函数，＼（y'＼）表示\（y\）对\（x\）的导数。
为了求解一阶线性微分方程，我们需要用到一个重要的工具——积分因子。
积分因子的作用就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开求解方程的大门。
那么，什么是积分因子呢？积分因子\（＼mu(x)＼）是一个函数，使得方程两边同乘以\（＼mu(x)＼）后，方程左边可以化为某个函数的全导数。
对于一阶线性微分方程\（y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼），其积分因子为\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＼）。
接下来，我们看看具体的求解步骤。
第一步，先计算出积分因子\（＼mu(x)＼）。
第二步，将原方程两边同时乘以积分因子\（＼mu(x)＼），得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ e^｛＼int P(x)dx}P(x)y ＝ e^｛＼intP(x)dx}Q(x)＼这时，方程左边可以化为\（（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＼）。
第三步，对等式两边进行积分，得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C\第四步，最后解出\（y\）：＼y ＝ e^｛＼int P(x)dx}（＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C)＼为了更好地理解这个求解过程，我们通过一个具体的例子来演示一下。
假设我们要求解方程\（y' ＋ 2xy ＝ 2x\）。
首先，＼（P(x) ＝ 2x\），所以积分因子\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int2xdx} ＝ e^｛x^2}＼）。
一阶线性微分方程及其解法[2]
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重复是学习之母——弗莱格
世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最 珍贵，最容易被人忽视，而又最令人后悔的就是时间 －－－－高尔基
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因此方程满足初始条件的特解为
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
解 (1) = 0 = f (0,0)
(2)
(3)
xy
则
lim
r 0
w r
=
lim
r 0
x2 + y2
r
( y=x)
( y=x)
？
例2
证令 则
故函数在点 (0, 0) 处连续 ; 同理
下面证明： 令
可微 . 则
注 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 而非必要条件.
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
的极值.
在点(1,0) 处
为极小值;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2) 处 在点(3,0) 处 在点(3,2) 处
不是极值; 不是极值;
为极大值.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例
解 画草图如右 两曲线的交点 选 为积分变量 面积元素
y
o
x
注：
，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定
点P0时，都有f(P) A
求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换； 重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹 逼准则；换元；利用公式和运算法则）
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注: 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y ) 0情形.
例1 求微分方程
解 分离变量
dy dx
2 xy 的通解.
dy y
2 x d x,
两端积分
2
dy y
2 x d x,
y e
C1
ln y x C1 ,
y Ce
x
2
e
x
2
,
y e
C1
C
e
x
2
,
为所求通解.
1
u 1 u
2
du
2
1 2x
dx
1 1
( ) ln (1 u ) ( ) ln x ( ) ln c 2 2 2
c x (1 u ) 1
2
代入上式，于是所求方程的通解为
c(x y ) x
2 2
2
把初始条件
y
c 1 代入上式，求出 ，故所求方程的特解为 y 2 x 2 x
u x
du dx
u
u 1
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 du u
x
1
dx
u ln | u | ln | x | ln | c
故所求通解为：
y x
ln | y | c
书上还有一个例子，自己可以练习练习
dM M
kdt
ln M kt ln t
M Ce
kt
M |t 0 M
0
故
M
0
C
故,衰变规律为
M M 0e
kt
练习
12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程
y
变量分离 两端积分 即 又
y x
dy y 1 x d x,
ln | y | ln | x | ln | C |
二、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式：
y f ( x , y ) (1 )
若方程（1）可以写成如下形式：
g ( y ) dy f ( x ) dx (1 . 2 )
则称方程（1）为可分离变量的微分方程. 解法
设函数
g( y)和 f ( x) 是
连续的,
(1.3)
1 当 g ( y ) 0时， dy (1.2) h( x ) d x g ( y)
P(x) 2 x
dy dx 2 x y x 1 x
2
2
2
,
其中
, Q(x)
2 x dx
x 1 x
则通解为
2 x dx
y e
x 1 x
2
e
dx C
e
2 ln x
( x 1 ) dx
1 2
C
1 x
C x
(2)
一阶线性微分方程的分类
Q ( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
分方程。
当
Q(x) 0
时，方程（1）称为一阶线性非齐次
微分方程。
求解法: 1. 常数变易法
1º 齐次线性方程：
分离变量：
dy y
dy y
dy dx
P( x) y 0
( 2.2)
P ( x ) d x,
x 1
0
例3 求方程
1 e
x y
ydx y x dy 0
的通解
解：这是一个齐次方程。先将方程变形为
1 e
x y
dx 1 x 0 dy y
令u
x y
,即
x f dy y dx
解法： 针对齐次方程 即
y xu
dy
y dx x
，作变量代换 u
y x
，则
du dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdy dx
u x
du dx
du dx
将其代入原式，得：
u
u ，即
u u
x
这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程； 然后，利用分离变量法求得
P( x)d x
的通解为：
ye
[ Q( x)e
P( x)d x
d x C]
（2）一阶线性非齐次微分方程
dy
1）一般式
P(x)y Q(x)
dx
2）解法 常数变易法 3）通解公式
ye
P ( x ) dx
[ Q( x )e
e
P ( x ) dx
dx C ]
解
求 y
P(x)
1 x
1 x
y x
,
1 x
2
的通解.
2
Q ( x ) x 则通解为 ,
dx
y e
e
1 x
ln x
x
3
x
2
e
1 x
dx
dx C
2
e
ln x
dx C
x
x
3
dx C C x
1 4
练习 求 x dy ( 2 xy x 1)dx 0 满足 y x 1 0 的特解. 解 原方程变形为
衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成 其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未 衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程 中铀含量M(t)随t的变化规律
解
v
dM dt
kM , (k 0)
(这里显然有
dM dt
0)
变量分离 两端积分 即 又
x
的通解.
解法1（常数变易法） 1 1 x 原方程变形为 : y y e 2 2 对应的齐次方程为 ：
y 1 2 y 0
Ce 1 2 dx Ce 1 2 x
得通解为
y Ce
P ( x ) dx
设原方程的解为
y C ( x)e
1 2
x
从而
y C ( x ) e
1 2
x
1 1 2 C ( x)e 2
x
代入原方程得
1 C ( x ) e 2
x
1 1 2 C ( x)e 2
x
1 1 2 C ( x)e 2
x
1 2 e
x
化简得
C ( x )
1 2 e
x
x 2 C
两边积分，得 所以，原方程的通解 解法2（用公式法）
C (x) e
1 y C ( x)e 2
P ( x ) d x,
ln y P ( x ) d x ln C ,
齐次线性方程的通解为：y Ce P ( x ) d x .
2º非齐次线性方程：
变易
dy dx
P ( x ) y Q( x ).
将 C C ( x ) ( 待定)
作变换
dy dx
dy 1 y
1 y
dx
变量分离
注意:这里隐藏一个初始条件
f (0) 0
变量代换是解方程的一种常用的手段 利用变量代换求微分方程的解 例6
解
求 dy dx
dy dx
du dx 1 u
2
( x y ) 的通解.
2
令 x y u,
du dx
1
代入原方程
解得 arctan u x C ,
求微分方程 ( x
2
y ) d x 2 x y d y，满足初始条件 y
2
x 1
0
的特解
解： 方程可化为：
dy dx
x y
2
2
1 ( 2(
y x y x
) )
2
2 xy
它是齐次方程。令
u
y x
du dx 1 u 2 xu
2
代入整理后，有 分离变量，则有 两边积分，得 即
2
2 1 x x C 2 x 2
所以，原方程通解为
：y e
y
x c
五、小结
本节主要内容是：
x f 或 1．齐次方程 dy y y 2．齐次方程的解法：关键是令 u ，从而 x
dy
y f dx x
dx
y xu
，则
dy dx
u x
du dx
，代入原方程后，
原方程转化为可分离变量方程去求解；
代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为
y tan( x C ) x .
求
dy dx
1 x y
的通解.
令u x y
求xy y y ln xy的通解.
令u xy
二、齐次方程
形如 或
dy y f 的一阶微分方程称为齐次方程 dx x
ln | ( x ) | 时，绝对值符号可不写
即 e P ( x ) dx
e
ln | ( x )|
e
ln ( x )
(x)