常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的一般解法
如何将常系数线性微分方程与其他领域的知识进行交叉融 合，如人工智能、大数据等，是一个值得探索的方向。
复杂系统建模
随着对复杂系统的研究深入，如何建立更精确的数学模型 ，并求解这些模型，是未来研究的重要挑战。
应用拓展
随着科技的发展，常系数线性微分方程的应用领域也在不 断拓展，如何将其应用于新领域并解决实际问题，是一个 具有挑战性的任务。
二阶常系数线性微分方程
01
方程形式
y'' + p*y' + q*y = r
特征根法
根据特征方程的根的性质，将方程 化为标准形式，然后求解
03
02
解法
通过特征根法或公式法求解
公式法
根据特征方程的根，利用公式求解 通解
04
高阶常系数线性微分方程
方程形式
y(n) + a1*y(n-1) + a2*y(n-2) + ... + an*y = 0
是已知函数的线性组合。
齐次方程的解在求解非齐次方程时也经常用到，因为非齐次项
03
可以通过与齐次方程的解进行运算来消去。
非齐次方程的求解
01
非齐次方程是常系数线性微分 方程的一种常见形式，其解法 相对复杂。
02
非齐次方程的解可以通过常数 变易法或待定系数法求解，其 解的形式通常是已知函数的线 性组合加上一个特解。
常系数线性微分方程的一 般解法
• 引言 • 常系数线性微分方程的解法 • 举例说明 • 总结与展望
01
引言
微分方程的定义与重要性
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的数学工具，广泛应用于物 理、工程、经济等领域。
常系数线性微分方程组解法
dy (1) dx = 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz = 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得 式得
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = 2 + , 两边求导得， 两边求导得， dx 2 dx dx
原方程组的通解为
1 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e x 2 , z = ( C + C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x求导的运算 , dx
例如， 例如， y
(n)
+ a1 y ( n 1 ) + L + a n 1 y ′ + a n y = f ( x )
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 类似解代数方程组消去一个未知数 消去 x
(1) ( 2) × D :
x D3 y = et , ( D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３) ３ (４) ４ (５) ５
( 2) ( 3) × D :
即
( D + D + 1) y = e
二、常系数线性微分方程组的解法
步骤: 步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 解此高阶微分方程, 函数. 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数． 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
代入(1)式并化简 把(3), (4)代入 式并化简 得 代入 式并化简,
常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程常系数线性微分方程是微分方程中一类重要的特殊形式，其特点是方程中的系数是常数。
本文将介绍常系数线性微分方程的定义、求解方法以及相关性质。
一、常系数线性微分方程的定义常系数线性微分方程又称为齐次线性微分方程，其一般形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=0\]其中，n为方程的阶数，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数。
二、常系数线性微分方程的求解方法1. 特征方程法通过设定方程的解为\(y=e^{mx}\)，将其代入原方程中，得到特征方程：\[a_nm^n+a_{n-1}m^{n-1}+...+a_1m+a_0=0\]解特征方程，可得到n个不同的解，分别是\(m_1, m_2,..., m_n\)。
则原方程的通解为：\[y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+...+c_ne^{m_nx}\]其中，\(c_1, c_2,..., c_n\)为常数。
2. 变量分离法对于一些特殊的常系数线性微分方程，可以通过变量转换将其化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
三、常系数线性微分方程的性质1. 零解的存在唯一性对于常系数线性微分方程，其零解必然存在且唯一。
2. 齐次性质如果y1(x)是常系数线性微分方程的一个解，那么ky1(x)（k为常数）也是该微分方程的解。
3. 叠加性质如果y1(x)和y2(x)分别是常系数线性微分方程的解，那么y(x)=y1(x)+y2(x)也是该微分方程的解。
4. 线性性质设y1(x)和y2(x)分别是齐次常系数线性微分方程的两个解，c1和c2为常数，则c1y1(x)+c2y2(x)也是该微分方程的解。
总结：常系数线性微分方程作为微分方程中的重要形式，在工程、物理学以及其他科学领域中具有广泛的应用。
求解常系数线性微分方程的方法多种多样，特征方程法和变量分离法是常用的求解方法。
同时，常系数线性微分方程满足一系列重要性质，这些性质使得我们可以更加灵活地利用微分方程进行问题的建模和求解。
第四章__§4.2_常系数线性微分方程的解法.
一 复值函数与复值解
二 常系数齐次方程与欧拉方程 三 非齐线性方程与比较系数法 四 质点振动（了解）
一、复值函数与复值解
1、复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍 求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）. 说明： 一阶常系数齐线性方程
x ax 0 有通解 x ce ; t 有通解 x x 0 x ce .
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：
其中，是待定常数, 可实也可复.
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
若 (t )与 (t )在a t b上可微, 则称z (t )在 a t b上可微, 且z (t )的导数为
z ' (t ) ' (t ) i ' (t )
复值函数的求导法则与实函数求导法则相同
e 2 t e n t
易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：
e 1t
W [e , e ,, e ]
1t 2t nt
1e
1t
2 e
2 t
n e
n t
n 1 1t 1 e
1 2t n 1 n t n e 2 n e
1
把它代入方程(4.19)得
xe ,
t
(4.20)
L[e ] ( a1
n
t
n1
an1 an )e 0
常微分方程课件：4_2常系数齐次线性微分方程的解法
█ 常系数齐次线性微分方程
本节先讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 L[x]=0 … … (1)
下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定指数函数法(特征根法).
试求形如x=eλt的解,λ∈C为待定常数.将 x=eλt代入L[x]=0得 L[eλt]=(λn+a1λn-1+…+an-1λ+an)eλt=0. 显然,x=eλt是(1)的解等价于F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.
]
(dn y dtn
b1
dn1 y d t n1
b n1
dy dt
bn y)e1t
L1[ y]e1t .
因此方程(1)可化为 L1[y]=0 … … (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是
G(μ)≡ μ n+b1 μ n-1+…+bn-1 μ +bn=0.
的复值解. 性质
定理1 设a1(t),…,an(t)均为实函数,z(t)=
φ(t)+iψ(t)是(4.2)的复值解,那么Re{z(t)}=
φ(t),Im{z(t)}=ψ(t)及 z(t)=φ(t)-iψ(t)都
是(4.2)的解.
定理2 设x=z(t)=φ(t)+iψ(t)是 L[x]=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,…n)均为实函数,那么 x=Re{z(t)}=φ(t) 是L[x]=u(t)的解, x=Im{z(t)}=ψ(t)是L[x]=v(t)的解.
ekt≡e αt(cos β t+isin βt).
(或者用 ekt (kt)n 来定义)
微分方程中的常系数齐次线性方程求解
微分方程中的常系数齐次线性方程求解在微积分学中，常系数齐次线性方程是一类常见的微分方程。
它们的解可以通过一定的方法得到。
在本文中，我们将介绍如何求解常系数齐次线性方程。
一、什么是常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程是指形如y″+ay′+by=0的微分方程，其中a和b为常数。
它们的特点是方程中的未知函数及其导数的系数都是常数。
二、求解常系数齐次线性方程的方法1. 特征方程法特征方程法是求解常系数齐次线性方程的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）写出微分方程的特征方程，特征方程就是对应的代数方程。
对于y″+ay′+by=0，其特征方程为r²+ar+b=0。
（2）解特征方程，求得特征根。
设特征根为r₁和r₂，则特征方程的解为r₁和r₂。
根的个数和重根的情况会影响方程的解形式。
（3）根据特征根求解原方程的解。
当r₁和r₂为不同的实根时，原方程的通解可以表示为y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)，其中C₁和C₂为常数。
当r₁和r₂为不同的复数根时，通解可以表示为y=e^(αx)(C₁cos(βx)+C₂sin(βx))，其中α为实部，β为虚部。
2. 代入法代入法也是一种常用的求解常系数齐次线性方程的方法。
具体步骤如下：（1）设定未知函数的形式。
根据方程的阶数，设定未知函数的形式，如y=e^(mx)。
（2）将未知函数及其导数带入微分方程，消去常数，得到相应的代数方程。
（3）解代数方程，得到未知函数的表达式。
根据代数方程的解，确定未知函数的形式。
（4）确定未知函数的常数。
根据给定的初始条件，确定未知函数中的常数值。
3. 傅里叶级数法对于特定的边界条件，常系数齐次线性方程还可以通过傅里叶级数法进行求解。
该方法主要适用于周期性边界条件的问题。
三、实例分析为了更好地理解求解常系数齐次线性方程的方法，我们来看一个具体的实例。
例题：求解方程y″+3y′+2y=0.解法：首先写出特征方程r²+3r+2=0，解得特征根r₁=-1，r₂=-2.特征根不相等，所以方程的通解为y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)。
常微分方程解法大全
常微分方程解法大全在数学和物理学中，常微分方程是一个重要而广泛应用的概念。
常微分方程描述连续的变化，解决了许多实际问题和科学领域中的模型。
解常微分方程可以揭示系统的行为并预测未来情况。
在本文中，我们将探讨常微分方程的各种解法，包括常见的常系数线性微分方程、变速微分方程、欧拉方程等各类形式。
常系数线性微分方程一阶线性微分方程对于形如 $\\frac{dy}{dt} + ay = f(t)$ 的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
首先找到积分因子 $I(t) = e^{\\int a dt}$，然后将方程乘以积分因子得到$e^{\\int a dt}\\frac{dy}{dt} + ae^{\\int a dt}y = e^{\\int a dt}f(t)$，进而写成$\\frac{d}{dt}(e^{\\int a dt}y) = e^{\\int a dt}f(t)$。
对两边积分即可得到 $y = e^{-\\int a dt}\\int e^{\\int a dt}f(t)dt + Ce^{-\\int a dt}$。
高阶线性微分方程对于形如 $y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \\ldots + a_1y'(t) + a_0y(t) =f(t)$ 的 n 阶线性微分方程，可以利用特征根法求解。
首先找到特征方程$\\lambda^n + a_{n-1}\\lambda^{n-1} + \\ldots + a_1\\lambda + a_0 = 0$ 的根$\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n$，然后通解可表示为 $y(t) = c_1e^{\\lambda_1t} + \\ldots + c_ne^{\\lambda_nt} + y_p(t)$，其中y p(t)为特解。
变速微分方程变速微分方程描述的是系统参数随时间变化的情况，通常包含随时间变化的系数。
常系数线性微分方程组的解法
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
常微分方程中的常系数线性方程及其解法
常微分方程中的常系数线性方程及其解法常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是一种数学模型，用于描述时间或空间上量的变化规律。
常微分方程中的常系数线性方程是ODE中一个重要的类别，其解法具有一定的规律性和普适性。
本文将就常微分方程中的常系数线性方程及其解法做简要介绍。
一、常系数线性方程的定义常系数线性方程是指其系数不随自变量t的变化而改变的线性方程。
一般写为：$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=f(t)$$其中a的值为常数，f(t)为已知函数，y(t)为未知函数，方程中最高阶导数的阶数为n。
n阶常系数线性方程也称为n阶齐次线性方程；当f(t)≠0时，称其为n阶非齐次线性方程。
二、常系数线性方程的解法对于一般形式的常系数线性方程，我们常用特征根的方法来求解。
具体来说，先考虑对应的齐次线性方程$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=0$$设y(t)=e^{rt}，则有$$r^ne^{rt}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rt}+...+a_1re^{rt}+a_0e^{rt}=0$$整理得到$$(r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0)e^{rt}=0$$根据指数函数的性质得到$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$求解方程$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$可得到n个特征根，设其为$r_1,r_2,...,r_n$。
则对于齐次线性方程，其通解为$$y(t)=c_1e^{r_1 t}+c_2e^{r_2 t}+...+c_ne^{r_n t}$$其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。
4.2常系数线性微分方程的解法
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
第二步: 计算方程(4.19)相应的解
(a) 对每一个实单根 k , 方程有解 ekt ; (b) 对每一个 m 1重实根k ,方程有m个解;
ekt , tekt , t 2ekt ,, t m1ekt ;
(
A(2) 0
A1(2)t
A t )e (2) k2 1 2t k2 1
(
A(m) 0
A1(m)t
A t )e (m) km 1 mt km 1
0
P1(t)e1t P2 (t)e2t Pm (t)emt 0
(4.27)
假定多项式 Pm (t) 至少有一个系数不为零，则 Pm (t)
不恒为零，
dnx
d n1x
d k1 x
dt n a1 dt n1 ank1 dt k1 0
显然 1, t, t 2 ,, t k11 是方程的 k1 个线性无关的解，
方程(4.19)有 k1 重零特征根
方程恰有 k1 个线性无关的解 1, t, t 2 ,, t k11
II. 设 1 0 是 k1 重特征根
L[e(1)t ] L[e te1t ]
e1t L1[e t ] e(1)tG( )
F( 1) G()
F ( j) (1) 0, j 1,2,, k1 1 F (k1) (1) 0,
dF
j ( d
j
1 )
dG j () d j
,
j 1,2,, k1
(4.19)的 k1重特征根 1
k1, k2 ,, km 重数 k1 k2 km n, ki 1
I. 设 1 0 是 k1 重特征根
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
常系数线性微分方程的一般解法
初始条件法
根据微分方程和初始条件 ，确定通解中的任意常数 ，从而得到满足初始条件 的特解。
积分因式法
通过对方程进行适当的变 换，使其成为易于积分的 形式，然后求解通解。
05 微分方程的特解
特解的定义与性质
总结词
特解是满足微分方程的特定函数，具有 与原方程不同的形式。
VS
详细描述
特解是微分方程的一个解，它具有与原方 程不同的形式，但满足原方程的约束条件 。特解通常用于求解微分方程时，通过将 特解代入原方程来求解未知数。
二阶常系数线性微分方程
总结词
二阶常系数线性微分方程是形如 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)) 的方程，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。
详细描述
二阶常系数线性微分方程的一般形式为 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t))，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。解这个方程可以得到 (y(t)) 的通解。
间的变化性微分方程在机械振动分析中有着广泛的应用，例如分 析弹簧振荡器、单摆等的振动规律。
电路分析
在电路分析中，微分方程被用来描述电流、电压随时间的变化规 律，以及电路元件的响应特性。
控制工程
在控制工程中，微分方程被用来描述系统的动态特性，以及系统 对输入信号的响应。
在经济中的应用
供需模型
微分方程可以用来描述商品价格 随时间的变化规律，以及供需关 系对价格的影响。
投资回报分析
在投资领域，微分方程可以用来 描述投资回报随时间的变化规律， 以及风险因素对投资回报的影响。
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程常系数线性微分方程是微积分学中的重要内容之一。
在这篇文章中，我们将探讨常系数线性微分方程的定义、解析解的求法以及应用领域。
一、常系数线性微分方程的定义常系数线性微分方程可以写成形如：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=f(x)\]其中，\(y^{(n)}\)表示y对x的n阶导数，\(a_n, a_{n-1}, ..., a_1,a_0\)为常数，f(x)为已知函数。
二、解析解的求法对于形如上述的常系数线性微分方程，我们可以借助特征根法求解。
具体步骤如下：1. 首先，我们将微分方程中的导数表示转化为特征方程的根表示。
设解为\(y=e^{rx}\)，则微分方程可以表示为\(a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0\)的特征根问题。
2. 解特征根问题，求得方程的特征根。
这一步需要借助代数方法或者传统解法（如求解一元高次方程），将特征方程的根求得。
3. 根据特征根的实部、虚部的不同情况，可以推导出不同的解的形式。
当特征根是实数时，解的形式可以表示为\(y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+...+c_ne^{r_nx}\)，其中\(c_1, c_2, ..., c_n\)为常数；当特征根是共轭复数对时，解的形式可以表示为\(y=e^{px}(c_1\cos qx + c_2\sin qx)\)，其中\(p\)为实部，\(q\)为虚部，\(c_1, c_2\)为常数。
4. 根据已知条件，可以确定具体的常数值，从而得到微分方程的解析解。
三、应用领域常系数线性微分方程广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
以下是一些常见应用的例子：1. 机械振动：通过建立质点在弹簧系统中的运动方程，可以使用常系数线性微分方程描述机械振动的行为。
2. 电路分析：电路中的电流和电势满足欧姆定律和基尔霍夫定律，可以通过常系数线性微分方程建立电路的运行模型。
常系数线性微分方程的一种解法
常系数线性微分方程的一种解法
1 什么是常系数线性微分方程
常系数线性微分方程（Linear Differential Equations with Constant Coefficients，简称CDC）是一组具有一个恒定系数的线性
微分方程的集合，常见的方程包括以x'、x''等做函数的一阶和二阶常
微分方程。
它们是复杂的非线性微分方程的十分常见的一种特殊情形。
2 解常系数线性微分方程
解常系数线性微分方程的方法有很多，但是最流行的方法是
Fourier-Laplace转换方法（FLT），又被称为伯努利解法（Berno’s Method）。
该方法既简单又有效，使用Fourier-Laplace转换来计算CDC。
3 FLT的解法
该解法的基本原理是将线性常系数微分方程用原函数（response）和导数函数（derivatives of the response）的相关谱的形式表达，
再通过上述相关谱的Fourier-Laplace变换表，求解相应函数的解。
4 步骤
该方法的计算步骤主要有：
（1）以常数系数n次方的微分方程的原函数为基础，构造以洛必
达函数、初值条件和边界条件为准则的相关谱；
（2）计算对应导数函数；
（3）使用Laplace变换关系，经过规范化，求出响应函数的分析表达式；
（4）应用Fourier变换关系，最终求解原微分方程的解。
5 特点
Fourier-Laplace解法的最大特点在于解决常系数线性微分方程精度高，而且结果是准确易懂的；另外，该方法对初值条件和边界条件容易处理，也可以用于求解高阶线性微分方程。
常系数线性微分方程组的解法
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明：由上面讨论知，每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩，・阵…・，,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关， de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2，…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的，则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵，且①
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解，其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的简介
常系数线性微分方程是微分方程的一种形式，其特点是方程中的未知函数和其导数都是一次的，且系 数是常数。
这种类型的微分方程在解决实际问题中非常有用，因为它们能够描述许多自然现象和系统的动态行为 。
解法的历史背景和发展
早期解法
在17世纪，数学家开始研究常系数线性微分方程的解法，如牛顿 和莱布尼茨等。
经济学问题
根据经济学原理和经济数据，建立微分方程 描述经济系统的变化趋势。
几何问题
通过几何图形和空间关系，建立微分方程描 述物体的运动轨迹。
生物学问题
根据生物学原理和实验数据，建立微分方程 描述生物种群的增长规律。
常系数线性微分方程的一般形式
y'' + p*y' + q*y = f(x)
其中，y''表示y的二阶导数，p和q是常数，f(x)是x的函数。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更容易求解的形式。
详细描述
首先，选择一个新的变量代换，将微分方程 中的未知函数表示为这个新变量的函数。然 后，将这个新变量的函数代入微分方程，得 到一个更容易求解的方程。最后，对方程进 行求解，得到未知函数的通解。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 一个更简单的方程，从而求解。
数值解法
对于难以解析求解的方程，可以采 用数值方法进行近似求解，如欧拉
法、龙格-库塔法等。
A
B
C
D
人工智能算法
结合人工智能技术，如神经网络、遗传算 法等，可以提供新的求解思路和方法。
自适应算法
根据问题的具体情况，采用自适应算法可 以更好地控制求解精度和计算量。
42常系数线性微分方程的解法
为什么？
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例2 求方程 y(4) 6y(3) 15y 18y 10y 0 的通解
解：(复单根)特征方程为：
4 63 152 18 10 0
特征根 对应的基本解组
1 1 i,2 1 i,3 2 i,4 2 i
, t k1 e 1 1 t , t k2 1e2t
, t km e 1 mt
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对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。
要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]
dnx dt n
z2
(t)]
dz1(t) dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dz2 (t) dt
dz dt
[c
z1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
乘积性
dz dt [z1(t) z2 (t)]
dz1(t dt
)
z2
(t
)
z1
(t
)
dz2 (t dt
)
注意：同实值函数的微分运算法则一样。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法在微积分学中，常系数线性微分方程是一类重要的微分方程，其形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0\]其中，\(y^{(n)}\) 表示 \(y\) 的 \(n\) 阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) 是常数系数。
解常系数线性微分方程有多种方法，下面将介绍其中两种常见的解法：特征根法和常数变易法。
一、特征根法特征根法是解常系数线性微分方程的一种常用方法。
它的基本思想是假设解具有指数形式：\[y = e^{rx}\]其中，\(r\) 是待定的常数。
代入微分方程得：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_1re^{rx} +a_0e^{rx} = 0\]化简后得：\[e^{rx}(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0) = 0\]由指数函数的性质可知，对于任意 \(x\)，\(e^{rx} \neq 0\)，因此上式成立等价于：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0 = 0\]这个方程被称为特征方程。
解特征方程，求得所有的根 \(r_1, r_2, \ldots, r_n\)。
根据根的个数和重数，我们可以得到不同类型的解：1. 根为实数如果根 \(r\) 是实数，那么相应的解为：\[y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots + C_ne^{r_nx}\]其中，\(C_1, C_2, \ldots, C_n\) 是待定常数。
2. 根为复数如果根 \(r\) 是复数，那么相应的解为：\[y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))\]其中，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是复数的实部和虚部，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是待定常数。
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常系数线性微分方程的解法摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解.关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法The Solution of Linear Differential Equationwith Constant CoefficientsAbstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically.Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation.前言为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解.1. 预备知识1.1复值函数与复值解如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ϕψ=+与它对应,其中()t ϕ和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ϕ,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ϕψ→→→=+.如果00lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ϕ,()t ψ在0t连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极限000()()limt t z t z t t t →--存在,就称()z t 在0t 有导数（可微）.且记此极限为0()dz t dt或者'0()z t .显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ϕ,()t ψ在0t 处有导数,且000()()()dz t d t d t idt dt dtϕψ=+. 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数,就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数.对于高阶导数可以类似地定义.设1()z t ,2()z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数,c 是复值常数,容易验证下列等式成立：[]1212()()()()dz t dz t dz t z t dt dt dt+=+, []11()()dz t dcz t c dt dt=, []121221()()()()()()dz t dz t dz t z t z t z t dt dt dt⋅=⋅+. 在讨论常系数线性微分方程时,函数Kt e 将起着重要的作用,这里K 是复值常数.我们现在给出它的定义,并且讨论它的简单性质.设K i αβ=+是任一复数,这里α,β是实数,而t 为变量,我们定义()(cos sin )Kt i t t e e e t i t αβαββ+==+.由上述定义立即推得1cos ()2i t i t t e e βββ-=+,1sin ()2i t i t t e e iβββ-=-.如果以K i αβ=-表示复数K i αβ=+的共轭复数.那么容易证明Kt Kt e e =.此外,函数Kt e 还有下面重要性质： (1)1212()K K t K t K t e e e +=⋅；(2)KtKt de Ke dt =,其中t 为实变量； (3)n Ktn Kt n d e K e dt=. 综上所述,可以得出一个简单的结论,就是实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似,而复指数函数具有与实指数函数完全类似的性质.这可以帮助我们记忆上面的结果.首先写出后面将用到的两个线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x f t dt dtdt---++++=, (1) 和1111()()()0n n n n n n d x d xdxa t a t a t x dt dtdt---++++=, (2) 现在我们引进线性微分方程的复值解的定义.定义于区间a t b ≤≤上的实变量复值函数()x z t =称为(1)的复值解,如果1111()()()()()()()()n n n n n n d z t d z t dz t a t a t a t z t f t dt dtdt---+++= 对于a t b ≤≤恒成立.定理1 如果方程(2)中所有系数()i a t (1,2,,)i n =都是实值函数,而()()()x z t t i t ϕψ==+是方程的复值解,则()z t 的实部()t ϕ、虚部()t ψ和共轭复值函数()z t 也都是方程(2)的解.定理2 若方程1111()()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x u t iv t dt dtdt---+++=+ 有复值解()()x U t iV t =+,这里()i a t (1,2,,)i n =及()u t ,()v t 都是实函数,那么这个解的实部()U t 和虚部()V t 分别是方程1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x u t dt dtdt---+++=和1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x v t dt dtdt---+++= 的解.1.2常系数齐次线性微分方程和欧拉方程设齐次线性微分方程中所有系数都是常数,即方程有如下形状[]1111()()()0n n n n n n d x d xdxL x a t a t a t x dt dtdt---≡+++=, (3) 其中12,,,n a a a 为常数.我们称(3)为n 阶常系数齐次线性微分方程.正如前面所指出的,它的求解问题可以归结为代数方程求根问题,现在就来具体讨论方程(3)的通解,只需求出它的基本解组.下面介绍求(3)的基本解组的欧拉待定指数函数法（又称为特征根法）.回顾一阶常系数齐次线性微分方程0dxat dt+=, 我们知道它有形如at x e -=的解,且它的通解就是at x ce -=.这启示我们对于方程(3)也去试求指数函数形式的解t x e λ=, (4) 其中λ是待定系数,可以是实的,也可以是复的.注意到1111n t n tttt n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dtλλλλλ---⎡⎤≡+++⎣⎦111()()n n t t n n a a a e F e λλλλλλ--=++++≡,其中111()n n n n F a a a λλλλ--≡++++是λ的n 次多项式.易知, (4)为方程(3)的解的充要条件是λ是代数方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= (5)的根.因此,方程(5)将起着预示方程(3)的解的特性的作用,我们称它为方程(3)的特征方程,它的根就称为特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论.(1)特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ特征方程(5)的n 个彼此不相等的根,则相应地方程(3)有如下n 个解：12,,,n t t t e e e λλλ. (6)我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关,从而组成方程的基本解组.事实上,这时1212121211112()n nnttttt t n tttn n n n e e e e e e W t e e e λλλλλλλλλλλλλλλ---=1212()11112111n n tn n n n e λλλλλλλλλ+++---=,而最后一个行列式是著名的范德蒙德行列式,它等于1()i j j i nλλ≤≤≤-∏.由于假设i jλλ≠（当i j ≠）,故此行列式不等于零,从而()0W t ≠,于是解组(6)线性无关,这就是所要证明的.如果(1,2,,)i i n λ=均为实数,则(6)是方程(3)的n 个线性无关的实值解,而方程(3)的通解可表示为1212n t t t n x c e c e c e λλλ=+++,其中12,,n c c c 为任意常数.如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭地出现.设1i λαβ=+是一特征根,则2i λαβ=-也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程(3)有两个复值解()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ+=+, ()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ-=-.根据定理8,它们的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±,我们可求得方程(3)的两个实值解cos t e t αβ , sin t e t αβ.(2)特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1λλ=.则如所周知'1()1111()()()0,()0k k F F F F λλλλ-====≠.如果10λ=,易得(3)的k 个线性无关解211,,,k t t t -.如果10λ≠,我们作变量变换1t x ye λ=,可将(3)化为[]111110n n n n n n d y d ydyL y b b b y dt dtdx---≡+++=, (7) 其中12,,,n b b b 仍为常数,而相应的特征方程为111()0n n n n G b b b μμμμ--≡++++=. (8)从而求得对应于特征方程(5)的1k 重根1λ,方程(3)有1k 个解 1111112,,,,t t t k t e te t e t e λλλλ-. (9)同样,假设特征方程(5)的其他根23,,,m λλλ的重数依次为23,,,m k k k ；1i k ≥（单根jλ相当于1j k =）,而且12,m j i k k k n λλ+++=≠（当i j ≠）则方程(3)对应地有解222221212,,,,,,,,,.m m m m m t t t k t t t t k t e te t e t e e te t e t e λλλλλλλλ--⎧⎪⎨⎪⎩(10)我们可以证明(9)和(10)全体n 个解构成方程(3)的基本解组.对于特征方程有复重根的情况,譬如假设i λαβ=+是k 重特征根,则i λαβ=-也是k 重特征根,仿情况(1)一样处理,我们将得到方程(3)的2k 个实值解2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t tttk te t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--例1 求方程440d xx dt-=的通解.解 特征方程410λ-=的根为12341,1,,i i λλλλ==-==-.有两个实根和两个复根,均是单根,故方程的通解为1234cos sin t t x c e c e c t c t -=+++,这里1234,,,c c c c 是任意常数.例2 求解方程424220d x d xx dt dt++=.解 特征方程42210λλ++=,或22(1)0λ+=,即特征根i λ=±是重根.因此,方程有四个实值解cos ,cos ,sin ,sin t t t t t t ,故通解为1234()cos ()sin x c c t t c c t t =+++,其中1234,,,c c c c 为任意常数.形状为111110n n nn n n n n d y d y dyx a x a xa y dx dx dx----+++= (11) 的方程称为欧拉方程,这里12,,,n a a a 为常数.此方程可以通过变量变换化为常系数齐次线性微分方程11110n n n n n n d y d ydyb b b y dt dtdx---+++=, (12) 其中12,,,n b b b 是常数,因而可用上述讨论的方法求出(12)的通解,再代回原来的变量（注意：ln t x =）就可求得方程(11)的通解.由上述推演过程我们知道方程(12)有形如t y e λ=的解,从而方程(11)有形如y x λ=的解,因此可以直接求欧拉方程的形如K y x =的解.以K y x =代入(11)并约去因子K x ,就得到确定K 的代数方程 1(1)(1)(1)(2)0n K K K n a K K K n a --++--+++= , (13)可以证明这正是(12)的特征方程.因此,方程(13)的m 重实根0K K =,对应于方程(11)的m 个解000021,ln ,ln ,,ln K K K K m x x x x x x x -,而方程(13)的m 重复根K i αβ=+,对应于方程(11)的个2m 实值解11cos(ln ),ln cos(ln ),,ln cos(ln ),sin(ln ),ln sin(ln ),,lnsin(ln ).m m x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααββββββ--例3 求解方程2220d y dyxx y dx dx-+=. 解 寻找方程的形式解K y x =,得到确定K 的方程(1)10K K K --+=,或212(1)0,1K K K -===.因此,方程的通解为12(ln )y c c x x =+,其中12,c c 是任意常数.2.非齐次线性微分方程的解法现在讨论常系数非齐次线性微分方程[]1111()n n n n n n d x d xdxL x a a a x f t dt dtdt---≡++++= (14) 的求解问题,这里1,2,,n a a a 是常数,而()f t 为连续函数.2.1比较系数法类型Ⅰ设1011()()m m t m m f t b t b t b t b e λ--=++++,其中λ及(0,1,,)i b i m =为实常数,那么方程(14)有形如1011()m m t m m x B t B t B t B e λ--=++++ (15)的特解,其中k 为特征方程()0F λ=的根λ的重数(单根相当于1k =；当λ不是特征根时,取0k =),而01,,,m B B B 是待定常数,可以通过比较系数法来确定.1) 如果0λ=,则此时101()m m m f t b t b t b -=+++.现在再分两种情形讨论.(a) 在 0λ=不是特征根的情形,即(0)0F ≠,因而0n a ≠,这时取0k =,以101m m m x B t B t B -=+++代入方程(14),并比较t 额的同次幂的系数,得到常数01,,,m B B B 必须满足的方程001011,211022,,(1)(1),nn n n n m n n B a b B a mB a bB a m B a m m B a b B a b ---=⎧⎪+=⎪⎪+-+-=⎨⎪⎪+=⎪⎩ (16)注意到0n a ≠,这些待定常数01,,,m B B B 可以从方程组(16)唯一地逐个确定出来.(b) 在0λ=是k 重特征根的情形,即'(1)(0)(0)0k F F F -====,而()0k F ≠,也就是110,0n n n k n k a a a a --+-====≠.这时相应地,方程(14)将为111()n n k n kn n k d x d x d xa a f t dt dt dt---+++=. (17) 令k k d xz dt=,则方程(17)化为 111()n k n k n k n kn k d x d xa a z f t dt dt-------+++=, (18)对方程(18)来说,由于0,0n k a λ-≠=已不是它的特征根.因此,由1)知它有形如101m m m z B t B t B -=+++的特解,因而方程(17)有特解x 满足101k m m m k d x z B t B t B dt-=+++.这表明x 是t 的m k +次多项式,其中t 的幂次1k ≤-的项带有任意常数.但因我们只需要知道一个特解就够了.我们特别地取这些任意常数均为零,于是我们得到方程(17) (或方程(14))的一个特解101()k m m m x t t t γγγ-=+++,这里01,,,m γγγ是已确定了的常数.2) 如果0λ≠,则此时可像4.2.2做法一样,作变量变换 t x ye λ=,将方程(14)化为11101n n m n n m n n d y d ydyA A A y b t b dt dtdt---++++=++, (19)其中12,,,n A A A 是常数.而且特征方程(5)的根λ对应于方程(19)的特征方程的零根,并且重数也相同.因此,利用上面的结果就有如下结论：在λ不是特征方程(5)的根的情形,方程(14)有特解101()m m t m x B t B t B e λ-=+++；在λ是特征方程(5)的k 重根的情形,方程(14)有特解101()k m m t m x t B t B t B e λ-=+++.例4 求323233(5)t d x d x dxx e t dt dt dt-+++=-的通解.解 特征方程323331(1)0λλλλ+++=+=有三重根1,2,31λ=-,对应齐次方程的通解为2123()t x c c t c t e -=++,且方程有形状为3()t x t A Bt e -=+的特解,将它代入方程得(624)(5)t t A Bt e e t --+=-,比较系数求得51,624A B =-=.从而31(20)24t x t t e -=-.故方程的通解为231231()(20)24t t x c c t c t e t t e --=+++-,其中123,,c c c 为任意常数.类型Ⅱ设[]()()cos ()sin t f t A t t B t t e αββ=+,其中,αβ为常数,而(),()A t B t 是带实系数的t 的多项式,其中一个的次数为m ,而另一个的次数不超过m ,那么我们有如下结论：方程(14)有形如[]()cos ()sin k t x t P t t Q t t e αββ=+ (20) 的特解,这里k 为特征方程()0F λ=的根i αβ+的重数,而(),()P t Q t 均为待定的带实系数的次数不高于m 的t 的多项式,可以通过比较系数的方法来确定.例5 求方程2244cos 2d x dxx t dt dt++=的通解.解 特征方程2440λλ++=有重根122λλ==-,因此,对应的齐次线性微分方程的通解为212()t x c c t e -=+,其中12,c c 为任意常数.现求非其次线性微分方程的一个特解.因为2i ±不是特征根,我们求形如cos2sin 2x A t B t =+的特解,将它代入原方程并化简得到8cos28sin 2cos2B t A t t -=,比较同类项系数得10,8A B ==,从而1sin 28x t =,因此原方程的通解为2121()sin 28t x c c t e t -=++.2.2拉普拉斯变换法常系数线性微分方程(组)还可以应用拉普拉斯变换法进行求解,这往往比较简便. 由积分0()()st F s e f t dt +∞-=⎰所定义的确定于复平面(Re s σ>)上的复变数s 的函数()F s ,称为函数()f t 的拉普拉斯变换,其中()f t 于0t ≥有定义,且满足不等式()t f t Me α<,这里,M σ为某两个正常数.我们将称()f t 原函数,而()F s 称为像函数.设给定微分方程111()n n n n n d x d xa a x f t dt dt--+++= (14)及初始条件''(1)(1)000(0),(0),,(0)n n x x x x x x --===,其中1,2,,n a a a 是常数,而()f t 连续且满足原函数的条件.注意,如果()x t 是方程(14)的任意解,则()x t 及其各阶导数()()(1,2,,)k x t k n =均是原函数.记[][]0()*()(),()*()().st st F s f t e f t dt X s x t e x t dt +∞-+∞-=≡=≡⎰⎰那么,按原函数微分性质有'0*()(),x t sX s x ⎡⎤=-⎣⎦()12'(1)000*()(),n n n n n x t s X s s x s x x ---⎡⎤=----⎣⎦于是,对方程(14)两端施行拉普拉斯变换,并利用线性性质就得到[]12'(2)(1)0000123'(2)100010()()()()(),n n n n n n n n n n n s X s s x s x sx x a s X s s x s x x a sX s x a X s F s -------------⎡⎤+---⎣⎦++-+=即111211023'(1)1200()()()()(),n n n n n n n n n n s a s s a X s F s s a s a x s a s a x x --------+++=+++++++++或()()()()A s X s F s B s =+,其中(),()A s B s 和()F s 都是已知多项式,由此()()()()F s B s X s A s +=,这就是方程(14)的满足所给初始条件的解()x t 的像函数.而()x t 可直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式计算求得.例6 求解方程''''2,(1)(1)0t x x x e x x -++===. 解 先令1t τ=-,将问题化为'''(1)'2,(0)(0)0x x x e x x τ-+++===,再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到211()2()()1s X s sX s X s s e++=⋅+, 因此311()(1)X s s e=⋅+. 查拉普拉斯变换表可得211()2x e τττ--=,从而21()(1)2t x t t e -=-,这就是所要求的解.结束语本文主要讨论常系数线性微分方程的解法，其中主要有常数变易法，比较系数法和拉普拉斯法，并举例加以说明.另外还有其它很多种方法，由于篇幅限制在这里就不再多做介绍,最后希望可以通过本文让我们对常系数微分方程的求解有更深的了解.参考文献[1]胡健伟,汤怀民.微分方程数值方法[M].科学出版社,1999. [2]尤秉礼.常微分方程补充教程[M].人民教育出版社,1981. [3]丁同仁,李承治.常微分方程[M].高等教育出版社,1985. [4]张鸿林译.常微分方程手册[M].科学出版社,1977.[5]中山大学数学力学系常微分方程组.常微分方程第三版[M].高等教育出版社,2006.。