常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法
摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解.
关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法
The Solution of Linear Differential Equation
with Constant Coefficients
Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically.
Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation.
前言
为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解.
1. 预备知识
1.1复值函数与复值解
如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ϕψ=+与它对应,其中
()t ϕ和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ϕ,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义
lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ϕψ→→→=+.
如果0
0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ϕ,()t ψ在0
t
连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极限0
00()()lim
t t z t z t t t →--存在,就称()z t 在0t 有导数（可微）.且记此极限为0()
dz t dt
或者'0()z t .
显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ϕ,()t ψ在0t 处有导数,且
000()()()
dz t d t d t i
dt dt dt
ϕψ=+. 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数,就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数.对于高阶导数可以类似地定义.
设1()z t ,2()z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数,c 是复值常数,容易验证下列等式成立：
[]1212()()()()dz t dz t d
z t z t dt dt dt
+=+, []11()()dz t d
cz t c dt dt
=, []121221
()()()()()()dz t dz t d
z t z t z t z t dt dt dt
⋅=⋅+. 在讨论常系数线性微分方程时,函数Kt e 将起着重要的作用,这里K 是复值常数.我们现在给出它的定义,并且讨论它的简单性质.
设K i αβ=+是任一复数,这里α,β是实数,而t 为变量,我们定义
()(cos sin )Kt i t t e e e t i t αβαββ+==+.
由上述定义立即推得
1
cos ()2i t i t t e e βββ-=+,
1
sin ()2i t i t t e e i
βββ-=-.
如果以K i αβ=-表示复数K i αβ=+的共轭复数.那么容易证明
Kt Kt e e =.
此外,函数Kt e 还有下面重要性质： (1)1212()K K t K t K t e e e +=⋅；
(2)Kt
Kt de Ke dt =,其中t 为实变量； (3)n Kt
n Kt n d e K e dt
=. 综上所述,可以得出一个简单的结论,就是实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似,而复指数函数具有与实指数函数完全类似的性质.这可以帮助我们记忆上面的结果.
首先写出后面将用到的两个线性微分方程
1111()()
()()n n n n n n d x d x
dx
a t a t a t x f t dt dt
dt
---++++=, (1) 和
1111()()
()0n n n n n n d x d x
dx
a t a t a t x dt dt
dt
---++++=, (2) 现在我们引进线性微分方程的复值解的定义.定义于区间a t b ≤≤上的实变量复值函数()x z t =称为(1)的复值解,如果
1111
()()
()
()()
()()()n n n n n n d z t d z t dz t a t a t a t z t f t dt dt
dt
---+++= 对于a t b ≤≤恒成立.
定理1 如果方程(2)中所有系数()i a t (1,2,
,)i n =都是实值函数,而
()()()x z t t i t ϕψ==+是方程的复值解,则()z t 的实部()t ϕ、虚部()t ψ和共轭复值函数()z t 也都是方程(2)的解.
定理2 若方程
1111()()
()()()n n n n n n d x d x
dx
a t a t a t x u t iv t dt dt
dt
---+++=+ 有复值解()()x U t iV t =+,这里()i a t (1,2,,)i n =及()u t ,()v t 都是实函数,那么这个解的
实部()U t 和虚部()V t 分别是方程
1111()()
()()n n n n n n d x d x
dx
a t a t a t x u t dt dt
dt
---+++=
和
1111()()
()()n n n n n n d x d x
dx
a t a t a t x v t dt dt
dt
---+++= 的解.
1.2常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
设齐次线性微分方程中所有系数都是常数,即方程有如下形状
[]1111()()
()0n n n n n n d x d x
dx
L x a t a t a t x dt dt
dt
---≡++
+=, (3) 其中12,,,n a a a 为常数.我们称(3)为n 阶常系数齐次线性微分方程.正如前面所指出的,
它的求解问题可以归结为代数方程求根问题,现在就来具体讨论方程(3)的通解,只需求出它的基本解组.下面介绍求(3)的基本解组的欧拉待定指数函数法（又称为特征根法）.
回顾一阶常系数齐次线性微分方程
0dx
at dt
+=, 我们知道它有形如at x e -=的解,且它的通解就是at x ce -=.这启示我们对于方程(3)也去试求指数函数形式的解
t x e λ=, (4) 其中λ是待定系数,可以是实的,也可以是复的.
注意到
1111n t n t
t
t
t n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt
λλλλλ---⎡⎤≡++
+⎣⎦
111()()n n t t n n a a a e F e λλλλλλ--=++
++≡,
其中111()n n n n F a a a λλλλ--≡++++是λ的n 次多项式.易知, (4)为方程(3)的解的充
要条件是λ是代数方程
111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++
++= (5)
的根.因此,方程(5)将起着预示方程(3)的解的特性的作用,我们称它为方程(3)的特征方程,它的根就称为特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论.
(1)特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ特征方程(5)的n 个彼此不相等的根,则相应地方程(3)有如下n 个
解：
12,,
,n t t t e e e λλλ. (6)
我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关,从而组成方程的基本解组.事实上,这时
121
2
1
2
1211112()n n
n
t
t
t
t
t t n t
t
t
n n n n e e e e e e W t e e e λλλλλλλλλλλλλλλ---=
1212()11
1
121
1
1
n n t
n n n n e λλλλλλλλλ++
+---=,
而最后一个行列式是著名的范德蒙德行列式,它等于
1()i j j i n
λλ≤≤≤-∏
.由于假设i j
λλ≠（当i j ≠）,故此行列式不等于零,从而()0W t ≠,于是解组(6)线性无关,这就是所要证明的.
如果(1,2,,)i i n λ=均为实数,则(6)是方程(3)的n 个线性无关的实值解,而方程(3)
的通解可表示为
1212n t t t n x c e c e c e λλλ=++
+,
其中12,,n c c c 为任意常数.
如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭地出现.设
1i λαβ=+是一特征根,则2i λαβ=-也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程(3)有两个复值解
()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ+=+, ()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ-=-.
根据定理8,它们的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±,我们可求得方程(3)的两个实值解
cos t e t αβ , sin t e t αβ.
(2)特征根有重根的情形
设特征方程有k 重根1λλ=.则如所周知
'1()1111()()()0,()0k k F F F F λλλλ-==
==≠.
如果10λ=,易得(3)的k 个线性无关解211,,,
k t t t -.
如果10λ≠,我们作变量变换1t x ye λ=,可将(3)化为
[]1111
10n n n n n n d y d y
dy
L y b b b y dt dt
dx
---≡++
+=, (7) 其中12,,,n b b b 仍为常数,而相应的特征方程为
111()0n n n n G b b b μμμμ--≡++
++=. (8)
从而求得对应于特征方程(5)的1k 重根1λ,方程(3)有1k 个解 1111112,,,,t t t k t e te t e t e λλλλ-. (9)
同样,假设特征方程(5)的其他根23,,,m λλλ的重数依次为23,,
,m k k k ；1i k ≥（单根j
λ相当于1j k =）,而且12,m j i k k k n λλ++
+=≠（当i j ≠）则方程(3)对应地有解
222221212,,,,,,,,,.m m m m m t t t k t t t t k t e te t e t e e te t e t e λλλλλλλλ--⎧⎪
⎨⎪⎩
(10)
我们可以证明(9)和(10)全体n 个解构成方程(3)的基本解组.
对于特征方程有复重根的情况,譬如假设i λαβ=+是k 重特征根,则i λαβ=-也是k 重特征根,仿情况(1)一样处理,我们将得到方程(3)的2k 个实值解
2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,
,sin .
t t t k t t
t
t
k t
e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--
例1 求方程440d x
x dt
-=的通解.
解 特征方程410λ-=的根为12341,1,,i i λλλλ==-==-.有两个实根和两个复根,均是单根,故方程的通解为
1234cos sin t t x c e c e c t c t -=+++,
这里1234,,,c c c c 是任意常数.
例2 求解方程424220d x d x
x dt dt
++=.
解 特征方程42210λλ++=,或22(1)0λ+=,即特征根i λ=±是重根.因此,方程有四个实值解
cos ,cos ,sin ,sin t t t t t t ,
故通解为
1234()cos ()sin x c c t t c c t t =+++,
其中1234,,,c c c c 为任意常数.
形状为
1
1111
0n n n
n n n n n d y d y dy
x a x a x
a y dx dx dx
----+++= (11) 的方程称为欧拉方程,这里12,,,n a a a 为常数.此方程可以通过变量变换化为常系数齐
次线性微分方程
111
10n n n n n n d y d y
dy
b b b y dt dt
dx
---+++=, (12) 其中12,,,n b b b 是常数,因而可用上述讨论的方法求出(12)的通解,再代回原来的变量
（注意：ln t x =）就可求得方程(11)的通解.
由上述推演过程我们知道方程(12)有形如t y e λ=的解,从而方程(11)有形如y x λ
=的解,因此可以直接求欧拉方程的形如K y x =的解.以K y x =代入(11)并约去因子K x ,就得到确定K 的代数方程 1(1)
(1)(1)
(2)0n K K K n a K K K n a --++--++
+= , (13)
可以证明这正是(12)的特征方程.因此,方程(13)的m 重实根0K K =,对应于方程(11)的
m 个解
000021,ln ,ln ,,ln K K K K m x x x x x x x -,
而方程(13)的m 重复根K i αβ=+,对应于方程(11)的个2m 实值解
11
cos(ln ),ln cos(ln ),,ln cos(ln ),sin(ln ),ln sin(ln ),
,ln
sin(ln ).
m m x x x x x x x x x x x x x x x x ααααα
α
ββββββ--
例3 求解方程22
20d y dy
x
x y dx dx
-+=. 解 寻找方程的形式解K y x =,得到确定K 的方程(1)10K K K --+=,或
212(1)0,1K K K -===.因此,方程的通解为12(ln )y c c x x =+,其中12,c c 是任意常数.
2.非齐次线性微分方程的解法
现在讨论常系数非齐次线性微分方程
[]111
1()n n n n n n d x d x
dx
L x a a a x f t dt dt
dt
---≡++
++= (14) 的求解问题,这里1,2,,n a a a 是常数,而()f t 为连续函数.
2.1比较系数法
类型Ⅰ
设1011()()m m t m m f t b t b t b t b e λ--=++++,其中λ及(0,1,
,)i b i m =为实常数,那么方
程(14)有形如
1011()m m t m m x B t B t B t B e λ--=++++ (15)
的特解,其中k 为特征方程()0F λ=的根λ的重数(单根相当于1k =；当λ不是特征根时,取0k =),而01,,
,m B B B 是待定常数,可以通过比较系数法来确定.
1) 如果0λ=,则此时
101()m m m f t b t b t b -=++
+.
现在再分两种情形讨论.
(a) 在 0λ=不是特征根的情形,即(0)0F ≠,因而0n a ≠,这时取0k =,以
101m m m x B t B t B -=++
+代入方程(14),并比较t 额的同次幂的系数,得到常数
01,,,m B B B 必须满足的方程
001011,211022,
,
(1)(1),n
n n n n m n n B a b B a mB a b
B a m B a m m B a b B a b ---=⎧⎪+=⎪⎪
+-+-=⎨⎪⎪+=⎪⎩ (16)
注意到0n a ≠,这些待定常数01,,,m B B B 可以从方程组(16)唯一地逐个确定出来.
(b) 在0λ=是k 重特征根的情形,即'(1)(0)(0)0k F F F -====,而()0k F ≠,也就
是110,0n n n k n k a a a a --+-==
==≠.这时相应地,方程(14)将为
111()n n k n k
n n k d x d x d x
a a f t dt dt dt
---+++=. (17) 令k k d x
z dt
=,则方程(17)化为 111()n k n k n k n k
n k d x d x
a a z f t dt dt
-------+++=, (18)
对方程(18)来说,由于0,0n k a λ-≠=已不是它的特征根.因此,由1)知它有形如
101m m m z B t B t B -=++
+的特解,因而方程(17)有特解x 满足
1
01k m m m k d x z B t B t B dt
-=+++.
这表明x 是t 的m k +次多项式,其中t 的幂次1k ≤-的项带有任意常数.但因我们只需要知道一个特解就够了.我们特别地取这些任意常数均为零,于是我们得到方程(17) (或方程(14))的一个特解
101()k m m m x t t t γγγ-=++
+,
这里01,,,m γγγ是已确定了的常数.
2) 如果0λ≠,则此时可像4.2.2做法一样,作变量变换 t x ye λ=,将方程(14)化为
111
01n n m n n m n n d y d y
dy
A A A y b t b dt dt
dt
---++++=++, (19)
其中12,,,n A A A 是常数.而且特征方程(5)的根λ对应于方程(19)的特征方程的零根,并
且重数也相同.因此,利用上面的结果就有如下结论：
在λ不是特征方程(5)的根的情形,方程(14)有特解101()m m t m x B t B t B e λ-=++
+；
在λ是特征方程(5)的k 重根的情形,方程(14)有特解
101()k m m t m x t B t B t B e λ-=++
+.
例4 求323233(5)t d x d x dx
x e t dt dt dt
-+++=-的通解.
解 特征方程323331(1)0λλλλ+++=+=有三重根1,2,31λ=-,对应齐次方程的通解为2123()t x c c t c t e -=++,且方程有形状为3()t x t A Bt e -=+的特解,将它代入方程得
(624)(5)t t A Bt e e t --+=-,
比较系数求得51,624A B =-=.从而31
(20)24
t x t t e -=-.故方程的通解为
231231
()(20)24
t t x c c t c t e t t e --=+++-,
其中123,,c c c 为任意常数.
类型Ⅱ
设[]()()cos ()sin t f t A t t B t t e αββ=+,其中,αβ为常数,而(),()A t B t 是带实系数的t 的多项式,其中一个的次数为m ,而另一个的次数不超过m ,那么我们有如下结论：方程(14)有形如
[]()cos ()sin k t x t P t t Q t t e αββ=+ (20) 的特解,这里k 为特征方程()0F λ=的根i αβ+的重数,而(),()P t Q t 均为待定的带实系数的次数不高于m 的t 的多项式,可以通过比较系数的方法来确定.
例5 求方程2244cos 2d x dx
x t dt dt
++=的通解.
解 特征方程2440λλ++=有重根122λλ==-,因此,对应的齐次线性微分方程的通解为
212()t x c c t e -=+,
其中12,c c 为任意常数.现求非其次线性微分方程的一个特解.因为2i ±不是特征根,我们求形如cos2sin 2x A t B t =+的特解,将它代入原方程并化简得到
8cos28sin 2cos2B t A t t -=,
比较同类项系数得10,8A B ==,从而1
sin 28
x t =,因此原方程的通解为
2121
()sin 28
t x c c t e t -=++.
2.2拉普拉斯变换法
常系数线性微分方程(组)还可以应用拉普拉斯变换法进行求解,这往往比较简便. 由积分
0()()st F s e f t dt +∞
-=⎰
所定义的确定于复平面(Re s σ>)上的复变数s 的函数()F s ,称为函数()f t 的拉普拉斯变换,其中()f t 于0t ≥有定义,且满足不等式
()t f t Me α<,
这里,M σ为某两个正常数.我们将称()f t 原函数,而()F s 称为像函数.
设给定微分方程
111()n n n n n d x d x
a a x f t dt dt
--+++= (14)
及初始条件
''(1)(1)000(0),(0),
,(0)n n x x x x x x --===,
其中1,2,,n a a a 是常数,而()f t 连续且满足原函数的条件.
注意,如果()x t 是方程(14)的任意解,则()x t 及其各阶导数()()(1,2,,)k x t k n =均是
原函数.记
[][]0
()*()(),
()*()().
st st F s f t e f t dt X s x t e x t dt +∞
-+∞
-=≡=≡⎰⎰
那么,按原函数微分性质有
'
0*()(),x t sX s x ⎡⎤=-⎣⎦
()12'
(1)000*()(),n n n n n x t s X s s x s x x ---⎡⎤=----⎣⎦
于是,对方程(14)两端施行拉普拉斯变换,并利用线性性质就得到
[]12'(2)(1)
0000123'
(2)100010()()()()(),
n n n n n n n n n n n s X s s x s x sx x a s X s s x s x x a sX s x a X s F s -------------⎡⎤+---⎣
⎦+
+-+=
即
1112110
23'(1)1200()()
()()(),
n n n n n n n n n n s a s s a X s F s s a s a x s a s a x x --------++
+=+++++++
+
+
或
()()()()A s X s F s B s =+,
其中(),()A s B s 和()F s 都是已知多项式,由此
()()
()()
F s B s X s A s +=
,
这就是方程(14)的满足所给初始条件的解()x t 的像函数.而()x t 可直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式计算求得.
例6 求解方程''''2,(1)(1)0t x x x e x x -++===. 解 先令1t τ=-,将问题化为
'''(1)'2,(0)(0)0x x x e x x τ-+++===,
再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到
211()2()()1s X s sX s X s s e
++=
⋅+, 因此
3
11
()(1)X s s e
=
⋅+. 查拉普拉斯变换表可得
211
()2
x e τττ--=,
从而
21
()(1)2
t x t t e -=-,
这就是所要求的解.
结束语
本文主要讨论常系数线性微分方程的解法，其中主要有常数变易法，比较系数法和拉普拉斯法，并举例加以说明.另外还有其它很多种方法，由于篇幅限制在这里就不再多做介绍,最后希望可以通过本文让我们对常系数微分方程的求解有更深的了解.
参考文献
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