一阶微分方程的解法

dx
y
解 分离变量 ydy x2dx,
两端积分 ydy x2dx,
1 2
y2

1 3
x3

C1
即
y2

2 3
x3

2C1
y 2 2 x3 c为方程的通解 （C = 2C1) 3
例6.6 求微分方程 xydy + dx =y 2dx + ydy 的通解
解
分离变量
ydy y2 1
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
我们先讨论 一阶齐次线性微分方程的解法
设 y C(x)e P(x)dx 是非齐次方程的通解
把它代入非齐次方程，由此来确定待定 函数C（x）. 这时
y C(x)eP(x)dx C(x)[P(x)]eP(x)dx ,
将y和y代入原方程得C(x)eP(x)dx Q(x),
两边积分得 C(x) Q(x)e P(x)dxdx C,
解一 将原方程变形为 y (tan x) y sec x
（1）先求对应齐次方程 y (tan x) y 0 的通解.
y Ce P(x)dx Ce tan xdx Celn cosx C cos x
（2）把 C 换成 C(x) ，即设 y C(x) cosx
令 v0
得 t 20 50(s) 0.4
s 500(m)
二、基本概念
1. 微分方程的定义
特点
x
可不出现
y
y′，y″，……y (n)
定义1 含有自变量、未知函数及未知函数的导数
(或微分)的方程，叫做微分方程.
未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程.
2. 微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶 数，称为微分方程的阶
y x x0 y0
如例1
dy ex dx
y exdx 即 y ex C, （通解）
其中 x 0时, y 2（初始条件）
求得C 1,
所求曲线方程为 y ex 1. （特解）
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt 是微分
方程d 2 dt
s(0) 0; s(0) 20.
（1）式两边积分得： v

ds dt

0.4t
c1
两边再积分得： s 0.2t 2 c1t c2
将 s(0) 0; s(0) 20. 代入以上两式得：
c1 20, c2 0
v 0.4t 20, s 0.2t 2 20t
3. 微分方程的解
定义2 如果一个函数代入微分方程后，方程两端 恒等，则称此函数为微分方程的解。
（1）通解：如果微分方程的解中含有任意常数， 且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相 同，这样的解叫做微分方程的通解。 （2）特解：在通解中，给任意常数以确定的值 而得到的解称为特解。
（3）初始条件：用来确定通解中任意常数的条件
第六章 常微分方程
6.1 一阶微分方程的解法
引言：微分方程的应用（人口增长、自动 控制、市场控制、力学、电学） 6.1.1 微分方程的基本概念 一、两个实例
例 1 已知一曲线上任一点 P(x, y) 处的切线的斜
率为 e x ,且该一曲线通过点(0,2),求该曲线的
方程.
解 设所求曲线为 y y( x)
（3）把它代入方程，化简后得：C(x) sec2 x
两边积分，得 C(x) tan x C
（4）把C(x）代入，即得原方程的通解是：
y (tan x C) cosx
解二 我们也可以直接利用通解公式求解，此时
P(x) tan x , Q(x) sec x ，得通解
y
线性齐次方程
dy P( x) y 0. dx
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y

dy y


P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解 式的基础上来求解非齐次线性方程式的通解， 即把齐次线性方程的通解式中的C看作是x的 函数C（x）.
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y


e

P(
x ) dx
[
Q(x)e P(x)dxdx C]
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例 求微分方程 (cosx) y (sin x) y 1的通解.
dx x
x2
P(x) 2 , x
Q(x)

x x2
1
,
y


e

2 x
dx


x x2
1

e
2 x
dx
dx

C

e2ln x

x x2
1

e
2
ln
x
dx

C


1 x2

1 2
x2

x C .
把初始条件 y(1) = 0 代入上式，得C = 1/2

e P( x)dx

Q(
xFra Baidu biblioteke
P(
x ) dx
dx

C


e tan xdx

sec
xe

tan
xdx
dx

C

(tan x C) cosx
例6.9 求微分方程 x2dy+(2xy –x+1)dx= 0 满足初始
条件y(1) = 0的特解
解
dy 2 y x 1

1 dx, x 1
两端积分

ydy y2 1


1 dx, x 1

d ( y2 1)
y2 1

2
1 d (x 1), x 1
ln( y2 1) ln( x 1)2 ln C
故方程的通解为 y2 1 C(x 1)2
例6.7 求微分方程 (1 ex ) yy ex
满足初始条
件y（0）= 1的特解
解
分离变量
ydy

ex 1 ex
dx,
两端积分 1 y2 ln(1 ex ) C 2
由初始条件y（0）= 1，得 C 1 ln 2 2
故所求的特解为
y2 2 ln(1 ex ) 1 2 ln 2
6.1.3 常数变易法
一阶线性微分方程的标准形式:
x
2

k
2
x

0的解.
解

dx dt

kC1
sin
kt

kC2
cos
kt ,
d2 dt
x
2

k
2C1
cos
kt

k
2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原
方程,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
故所求方程的特解为
y

1 2

1 x

1 2x2
.
补充：求微分方程(y 2- 6 x)dy + 2ydx = 0的通解
（y为自变量）
解 dx 3 x y dy y 2
P( y) 3 , Q(y) y ,
y
2
x

e
3 dy y



y 2

e
3 y
dy
dy

C

e3ln y y e3ln ydy C
2

y3 y y3dy C
2


y 3
1 2y

C
.
故所求方程的通解为
x y2 Cy3. 2
判定下列等式是否微分方程？如果是，指出 它的阶数。
(1) y′+ 2xy = e x (2) y″- 5 y′= 2 x 2- x +1 (3) 2 y″- 3(y′)3 + 5y = 8x (4) y 2- x +1 = 0 (5) (sinx) ′= cosx (6) y″= 0 (7) (y′) 4 = e x – y
g( y)dy f (x)dx 的形式，
则该微分方程称为可分离变量的微分方程
两边积分，得
g( y)dy f ( x)dx
设函数G( y)和F ( x) 分别为 g( y) 和 f ( x)的原函数,
则微分方程的通解为：
G( y) F(x) C
例6.5 求解微分方程 dy x 2 的通解。
曲线上任意点的坐标为(x , y)，则
dy 2x dx
例6.3 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶，
制动时列车获得加速度m/s. 问开始制动后多长
时间列车才能停住，在这段时间内列车行驶了多
少路程？
解 设列车开始制动的时刻为t=0，制动t 秒行驶了s米后停止，由导数的力学意义， 列车制动阶段运动规律的函数 s s(t) 应满 足 s(t) 0.4 (1) S(t)还应满足
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
4. 指出微分方程的阶、通解或特解 练习：P.153 1. 2.
一阶微分方程的一般形式为 F（x，y， y′ ）=0
下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程 及解法
6.1.2 分离变量法
如果一个一阶微分方程 F（x，y， y′ ）=0可化为