一阶微分方程解法

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一阶微分方程解法

y x0 4
的特解.
解分离变量, 得 sinydy sinxdx
cos y cosx
两边积分,得 ln c o sy ln c o s x ln c
于是原方程的通解为 c o sy c c o sx
3
又将初始条件
y x0 4
代入通解中, 得 c
2 2
故满足初始条件的特解为 cosy 2cosx
12
将 y与y’代入方程, 并整理, 得 c'(x) ex
两端积分, 得 c(x)ex c
故原方程的通解为 y = ex + c (x+1)2
例8 求方程 sin2y + xcoty dy = dx 的通解及满足初始条件 y|x=1 = π / 2 的特解.
解将方程改写为 dx xcot y sin2 y
dx
解将方程恒等变形为 dy y ln y
dx x x
令uy, 即yux 则得 dy x du u
x
dx dx
7
代入原方程,
得
du x
u
ulnu
dx
分离变量, 得
du dx u(ln u 1) x
两端积分, 得 ln (ln u 1 ) ln x ln c
即 lnucx1 将 u y代入上式 , 并化简得方程的通解为
x
y xecx1
8
三. 一阶线性微分方程形如 y’+ pxy = q(x)的方程,称为一阶线性微分方程. 若 qx = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程若 qx ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x) 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解方程 y’+ pxy = 0 是变量可分离的方程, 其通解为

一阶微分方程的解法

一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。

例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。

二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。

对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。

设y = vx，其中v是未知函数。

将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。

将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。

将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。

进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。

三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。

对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。

设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。

对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。

左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。

对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。

四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。

例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。

然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。

最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。

一阶微分方程解法

一阶微分方程解法在数学的世界中，微分方程是一个非常重要的领域，它在物理、工程、经济等众多学科中都有着广泛的应用。

一阶微分方程作为微分方程的基础类型之一，掌握其解法对于深入理解和解决更复杂的问题具有关键意义。

一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中＄P(x)＄和＄Q(x)＄是已知的关于＄x$ 的函数，＄y'＄表示＄y$ 对＄x$ 的导数。

接下来，我们将介绍几种常见的一阶微分方程的解法。

一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成＄g(y)dy ＝ f(x)dx$ 的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。

这种类型方程的解法相对简单，只需要分别对等式两边进行积分即可。

例如，考虑方程＄y' ＝ 2xy$，将其变形为＄＼frac{dy}｛y} ＝2xdx$。

然后，对两边积分：＄＼int\frac{dy}｛y} ＝＼int 2xdx$，得到＄＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$（＄C$ 为常数），进而可以得到＄y ＝＼pm e^｛x^2 ＋ C} ＝ Ce^｛x^2}＄（＄C ＝＼pm e^C$）。

二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。

我们可以使用积分因子法来求解。

首先，求出积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。

然后，将原方程两边乘以积分因子，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄可以发现等式左边是＄（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＄，所以对上式两边积分可得：＄e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int Q(x)e^｛＼int P(x)dx}dx ＋ C$最后，解出＄y$ 即可。

例如，对于方程＄y' ＋ 2y ＝ 3e^｛－2x}＄，这里＄P(x) ＝ 2$，＄＼int P(x)dx ＝ 2x$，积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛2x}＄。

一阶微分方程解法

解法概述
01
一阶微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、积分因子法等。
02
分离变量法适用于可以将方程改写为$frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$形式的方程。
03
常数变易法适用于形如$frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$的线性方程，通过设定一个合适的常数变易，将方程转化为易于求解的形式。
06
可降阶的高阶微分方程解法
可降阶的高阶微分方程的概念
定义
可降阶的高阶微分方程是指可以通过适当的变换，将其化为较低阶的微分方程进行求解的一类高阶微分方程。
分类
可降阶的高阶微分方程主要包括y''=f(x)型、y''=f(x,y')型和y''=f(y,y')型三种类型。
可降阶的高阶微分方程的解法
01
y''=f(x)型的解法
通过积分将二阶微分方程化为一阶微分方程进行求解。
02
y''=f(x,y')型的解法
通过适当的变量代换，将原方程化为关于新变量的一阶微分方程进行求
解。
03
y''=f(y,y')型的解法
令y'=p，将原方程化为关于y和p的一阶微分方程组进行求解。
可降阶的高阶微分方程的应用举例
常数变易法的步骤
第一步
观察原方程，确定需要变易的常数及其形式。
第二步
引入新的变量，将原方程中的常数替换为相应的函数，得到新方程。
第三步
求解新方程，得到通解或特解。
第四步
将通解或特解中的新变量还原为原方程的常数，得到原方程的解。

一阶微分方程的解法

一阶微分方程的解法
一阶微分方程的通解形式为：
$${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$$。

其中$P(x)$和$Q(x)$是已知函数。

解法有以下几种：
1. 变量分离法：将 $dy$ 和 $dx$ 分离到方程两边，然后积分得到$y$ 的通解。

2. 齐次方程法：当 $Q(x)=0$ 时，方程被称为齐次方程。

通过将$y$ 转化为 $u=\frac{y}{x}$ 的方式，将齐次方程转化为分离变量的形式，然后积分得到 $u$ 的通解，再将 $u$ 转化为 $y$。

3.一阶线性非齐次方程法：对于一阶线性非齐次方程，可以通过求解齐次方程的解和特解的方式得到通解。

4. 一阶恰当方程法：对于一个形如 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 的微分方程，如果 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial
N}{\partial x}$，那么该方程就是恰当方程。

此时，可以通过求解方程的积分因子，将恰当方程变为恰好可积分的形式，然后求解得到通解。

5.变系数线性微分方程法：如果$P(x)$或$Q(x)$是$x$的函数，那么可以通过变量代换将其转化为常数系数的线性微分方程，然后采用常数系数线性微分方程的解法求解得到通解。

这些解法都有其适用的场合，具体应根据问题的特点来选择相应的方法。

高等数学8.3.一阶线性微分方程的解法

dt L L
i|t00．
方程 di R i Em sinw t 为非齐次线性方程，由其通中解公式，得
dt L L
i(t)e PP((tt))ddtt (
Q(t)e PP((tt))ddtt
dtC)
e
RRddtt LL
(
Emm
s in w
t
e
RRddtt LL
两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC，
方程的通解为
这就是齐次线性方程和通解
yC(x2)．
（积分中不再加任意常数）．
非齐次线性方程的解法：将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数u(x)，把
y u(x) e P(x)dx
设想成非齐次线性方程的通解．代入非齐次线性方程求得
uln |u1|xC． yln |xy1|C，
或
xC 1ey y1 (C 1 e C )．
§8.3一阶线性微分方程的解法
一、线性方程
线性方程、齐次线性方程的解法非齐次线性方程的解法
一、一阶微分线性方程
线性方程：
下列方程各是什么类型方程？
方程 dy P(x)y Q(x) dx
叫做一阶线性微分方程．
(1) 3x25x5y0； (2) dy 10xy ；
dx
如果Q(x)0 ，则方程称为齐
R 2 w 2 L2
经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化为已知其求解方法的方程．
例 5 解方程dy 1 ． dx x y
解令xyu，则原方程化为
du 11 ，即 du u 1 ．
dx u
dx u
分离变量，得
u du dx， u 1
两端积分得以uxy代入上式，得

一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。

其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。

在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。

一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。

这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。

具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以将它改写为$$dy=f(x,y)dx$$然后对两边同时积分，得到$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$其中C为常数。

这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。

举个例子，考虑方程$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$我们将它改写为$$\frac{dy}{y}=x^2dx$$然后对两边同时积分，得到$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$最终解为$$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$其中C为常数。

二、齐次方程如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那么这个方程就是齐次方程。

对于这类方程，我们可以利用变量替换来把它转化为分离变量的形式。

具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。

因此，$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$将其带入原方程，得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$将u视为自变量，x视为函数，可转化为$$\frac{dx}{du}=\frac{1}{f(u)-u}$$然后对两边同时积分，得到$$x=\int \frac{1}{f(u)-u}du+C$$最后将u替换成y/x即可。

一阶线性微分方程及其解法

二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 应用微分方程解决实际问题的步骤 1. 分析问题设出所求未知函数,确定初始条件。分析问题,设出所求未知函数确定初始条件设出所求未知函数确定初始条件。 2. 建立微分方程。建立微分方程。 3. 确定方程类型求其通解. 确定方程类型,求其通解求其通解 4. 代入初始条件求特解. 代入初始条件求特解
Q( x ) = 3 x
= e x 3 ∫ xe x dx + C
= ex
x
( ( 3∫ xde
∫ dx dx + C ∫ 3x e
) + C)
= e x 3( xe x ∫ e x dx ) + C
= ex =e
x x x
( ( 3( xe ( 3( xe
+ ex ) + C +e
例5 求过原点平且在点 x,y) 处的切线斜率等于 (
3x + y 的曲线方程。的曲线方程。
解设所求曲线方程为 y = f ( x ) , 则依题有 y =0, x =0 从而即 y′ y = 3 x 则通解为 y = e
y′ = 3 x + y
其中 P ( x ) = 1 ,
∫ dx
y = Ce
∫ P( x)dx
例2 解
2 . 求 y′ y = 0 的通解 x
2 P( x) = 则通解 x
y = Ce
=
∫ P( x)dx
2 ∫ dx Ce x
= Ce = Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程） dy + P ( x ) y = Q( x ) 1）一般式） dx 2）解法常数变易法） 3）通解公式）

一阶微分方程解法

一阶微分方程解法微分方程（differential equation）是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。

它是描述物理、化学、生物、经济等问题的数学模型，对于研究和解决实际问题有着重要意义。

一阶微分方程（first-order differential equation）是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程。

本文将介绍一些一阶微分方程的常见解法方法。

一、可分离变量法（Separable Variables Method）可分离变量法是一种常见的解一阶微分方程的方法。

对于形如dy/dx = f(x)g(y)的分离变量方程，我们可以将其重新排列为g(y)dy =f(x)dx，并进行变量分离的积分求解。

具体步骤如下：1. 将方程重新排列为g(y)dy = f(x)dx；2. 对两边同时积分，得到∫g(y)dy = ∫f(x)dx；3. 对左右两边的积分进行求解，得到方程的通解。

二、线性微分方程的求解方法线性微分方程（linear differential equation）是指未知函数和其导数出现在线性组合中的微分方程。

对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性微分方程，我们可以利用常数变易法（Method of Variation of Parameters）解得其通解。

具体步骤如下：1. 假设原方程的通解为y = u(x)y1(x)，其中y1(x)为已知的齐次方程的解，u(x)为待定的函数；2. 根据常数变易法，将u(x)代入方程中，并得到u(x)满足的方程；3. 求解u(x)满足的方程，并代入通解表达式中，得到方程的通解。

三、恰当微分方程的求解方法恰当微分方程（exact differential equation）是指存在一个原函数F(x, y)，使得该方程可以写成dF(x, y) = 0的形式。

对于形如M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0的一阶微分方程，我们可以利用其恰当条件进行求解。

一阶常微分方程公式

一阶常微分方程公式常微分方程是研究自变量和未知函数之间的关系的数学分支。

其中，一阶常微分方程是指未知函数的导数只涉及到一阶的微分方程。

一阶常微分方程的一般形式可以表示为：dy/dx = f(x)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。

这个方程描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。

一阶常微分方程可以通过不同的方法求解。

下面将介绍几种常用的求解方法。

1. 可分离变量法可分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法之一。

对于可以写成dy/dx = g(x)h(y)形式的方程，我们可以将其变换为h(y)dy = g(x)dx的形式，然后对方程两边进行积分求解。

2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，我们可以通过变量代换y = vx将其转化为可分离变量的形式，然后进行求解。

3. 线性方程法线性方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是已知函数。

对于这种方程，我们可以通过积分因子的方法将其转化为可分离变量的形式，然后进行求解。

4. 变量替换法对于一些特殊形式的一阶常微分方程，可以通过适当的变量替换将其转化为已知的一阶常微分方程，然后进行求解。

5. 恰当方程法对于形如M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的方程，如果存在一个函数u(x,y)，使得∂u/∂x = M(x,y)和∂u/∂y = N(x,y)，则该方程称为恰当方程。

对于恰当方程，我们可以通过求解关于u的方程来得到原方程的解。

6. 数值解法如果无法通过解析的方法求解一阶常微分方程，我们可以通过数值计算的方法得到其近似解。

常用的数值解法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。

总结起来，一阶常微分方程是描述未知函数导数与自变量之间关系的数学方程。

通过可分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、恰当方程法和数值解法等方法，我们可以求解一阶常微分方程并获得其解析或数值解。

一阶微分方程解法

一阶微分方程解法在数学的领域中，一阶微分方程是一个重要的研究对象，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。

那么，什么是一阶微分方程呢？简单来说，一阶微分方程就是指方程中只含有一阶导数的微分方程。

一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中$y'＄表示$y$对$x$的一阶导数，＄P(x)＄和$Q(x)＄是关于$x$的已知函数。

接下来，我们就来探讨一下一阶微分方程的常见解法。

一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成$g(y)y' ＝ f(x)＄的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。

对于这种类型的方程，我们可以通过将变量分离，然后两边积分来求解。

具体的求解步骤如下：首先，将方程变形为$＼frac{g(y)｝｛y'｝＝ f(x)＄。

然后，将两边分别积分：＄＼int ＼frac{g(y)｝｛y'｝dx ＝＼intf(x)dx$。

最后，经过积分运算，求出$y$的表达式。

例如，对于方程$y' ＝ 2xy$，我们可以将其变形为$＼frac{dy}｛y} ＝ 2xdx$，然后两边积分得到$＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$，进而得到$y ＝ Ce^｛x^2}＄（其中$C$为常数）。

二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如$y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。

对于这种类型的方程，我们可以使用积分因子法来求解。

首先，求出积分因子$＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。

然后，将原方程两边同时乘以积分因子$＼mu(x)＄，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄此时，左边可以变形为$（ye^｛＼int P(x)dx}）＇＄。

于是，原方程就变成了$（ye^｛＼int P(x)dx}）＇＝ Q(x)e^｛＼int P(x)dx}＄。

一阶微分方程解法

在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一阶微分方程可以用来描述系统的动态特性，
以及如何通过调节输入来控制系统的输出。
航空航天
02
在航空航天领域，一阶微分方程可以用来描述飞行器的运动规
律，以及各种因素对飞行器性能的影响。
机械工程
03
在机械工程中，一阶微分方程可以用来描述机器的运动规律，
以及机器的能耗和效率等特性。
积分因子的一阶微分方程解法
总结词
通过引入积分因子，将微分方程转化为关于积分因子的常微分方程进行求解。
VS
详细描述
积分因子的一阶微分方程形如 M(x)y'+N(x)y=0M(x)y'+N(x)y=0M(x)y' +N(x)y=0，通过引入积分因子 μ(x)，可以将它转化为 μ(x)M(x)y'+μ'(x)M(x)+μ(x)N(x)y=0mu(x )M(x)y'+mu'(x)M(x)+mu(x)N(x)y=0μ(x) M(x)y'+μ'(x)M(x)+mu(x)N(x)y=0，从而求解。
不定常数变元的微分方程
定义
不定常数变元的微分方程是指包含有不定常数变元的微分方程。
解法
不定常数变元的微分方程可以通过积分和代数方法求解。
举例
y' = x + c，其中c为不定常数，可以通过代数方法求解。
02 一阶微分方程的解法
线性微分方程的解法
线性微分方程的解法通常包括分离变量法、变量代换法、常数变易法等。
y' = 2xy，通过令z = y/x，可以将其转化为关于z的代数方程。

一阶微分方程解法及应用

26
再由初始条件，得C2 0．即小船的航行曲线为
x
１ kaht
2
１ ka
2t
3
，
2
3
y at ．
或消去参数 t ，得
x k (3h y2 2 y3 ) ． 6a
2024/2/7
高等数学习题课
27
三、课外练习题
1．求下列方程的通解：
1) 2xyd x (x2 y2 ) d y 0；
提示: (1) 原方程化为
令u=xy,得
du dx
u ln u x
(分离变量方程)
2024/2/7
高等数学习题课
10
(2) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
化方程为 d y 3( x 1)2 y2 d x 2y ( x 1) 令 t = x – 1 , 则 dy dy dt dy dx dt dx dt d y 3 t 2 y2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut
2024/2/7
高等数学习题课
4
例2 求解方程 y d x ( x2 4x)d y 0 ．
解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离
变量，得
dy y
dx 4x x2
，
因
dx 4x x2
1 4
1 x
1 4
x
d
x，
两边积分，得
ln | y | 1 (ln | x | ln | 4 x |) ln C ， 4
sin u
x
2024/2/7
高等数学习题课
6
两边积分，得
ln | sin u | ln | x | ln C ，
将u
y x
代入，有

一阶线性微分方程的解法

一阶线性微分方程的解法在数学中，一阶线性微分方程是指形如$y'+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数。

这种微分方程的解法方法非常多样，这篇文章将会介绍三种较为常见的解法方法。

方法一：分离变量法分离变量法是解一阶微分方程最基础的方法，它的核心思想是将微分方程中的未知函数和自变量分别放到方程两侧，并将所有包含未知函数的项移到一侧，包含自变量的项移到另一侧，然后对方程两侧进行积分即可得到解。

例如，对于微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，我们可以将其改写为$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$，然后将$y$和$q(x)$的项分别移到方程两侧，得到$\frac{dy}{dx}=q(x)-p(x)y$。

然后对两侧同时积分，得到$$y=\frac{1}{p(x)}\left[c+\int p(x)q(x)dx\right]$$ 其中$c$是积分常数。

需要注意的是，上式中$p(x)$不能为零，否则分母为零无法得到有意义的解。

此外，在$y$的通解中，$c$是任意常数，可以通过初始条件来确定。

方法二：常数变易法常数变易法是一种适用于非齐次线性微分方程的解法方法。

它的思想是假设未知函数$y$可以表示为其对应的齐次方程的通解$y_c$和一个特解$y_p$的和，即$y=y_c+y_p$，然后通过对$y_p$的猜测来求解$y_p$，并将其代入原方程。

对于一阶非齐次线性微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，对应的齐次方程是$y'+p(x)y=0$，它的通解为$y_c=ce^{-\int p(x)dx}$。

我们假设特解的形式为$y_p=u(x)e^{-\int p(x)dx}$，其中$u(x)$是待求函数。

将$y_p$带入原方程，得到$$u'(x)=q(x)e^{\int p(x)dx}$$ 我们可以通过对$u'(x)$进行积分来求出$u(x)$，从而求出特解$y_p$，最终方程的通解即为$y_c+y_p$。

一阶微分方程的解法

原方程的通解为 y tan( x C ) x .
思考题
方程
2 y(t )
x 0
t 2 y 2 ( t ) dt xy( x )

是否为齐次方程?
思考题解答
方程两边同时对
2 2
x 求导:
y y y 1 , x x
2
2 y x y y xy, xy x y y,
解此齐次微分方程得通解为：
ln( ) 2 arctan C
2 2
再将 x 2, y 3代入上式，得原方程的 y 3 通解为 ln[( x 2) ( y 3) ] 2 arctan C x2 (C为任意常数)
dx dX , dy dY
ah bk c 0, (2) dY aX bY ah bk c (1) 令: f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1 a1h b1k c1 0,
(1) a b a1 b1 0, (2)有唯一一组解(h,k).
dy ax by c 方程可化为 f ( ), dx (ax by ) c1
则
dy 1 dz ( a ), dx b dx
令 z ax by,
可分离变量.
dz dy 1 dz zc ab ， ( a) f ( ). dx dx b dx z c1
dy 2 xy 的通解. 例1 求微分方程 dx
解分离变量 dy 2 xdx ,
y
两端积分
2
dy y 2 xdx ,
x2
ln y x C1 y ce 为所求通解.
注1 求解过程中左边对数未取绝对值的解释；

一阶常微分方程

一阶常微分方程微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

其中，一阶常微分方程是最简单的微分方程形式之一。

本文将介绍一阶常微分方程的定义、解法和应用。

一、定义一阶常微分方程是指未知函数的导数与自变量的函数关系式，通常表示为dy/dx=f(x)，其中dy/dx表示函数y关于自变量x的导数，f(x)表示已知的函数。

二、解法解一阶常微分方程的方法有多种，常用的包括分离变量法、齐次法和一阶线性微分方程解法等。

1. 分离变量法分离变量法是解一阶常微分方程的基本方法之一。

首先将方程分离成形如dy/g(y)=dx/f(x)的形式，然后进行变量分离和积分，得到y的解析解。

2. 齐次法齐次法适用于形如dy/dx=f(y/x)的齐次方程。

通过引入新变量u=y/x，将一阶常微分方程化为一阶可分离变量方程，然后再进行变量分离和积分。

3. 一阶线性微分方程解法一阶线性微分方程是指形如dy/dx+a(x)y=b(x)的方程。

通过利用一阶线性微分方程的特点，可以使用积分因子或者直接应用公式求解。

三、应用一阶常微分方程在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。

1. 物理学中的应用一阶常微分方程在描述物理过程中的变化规律上起到了重要的作用。

例如，在力学中，牛顿第二定律可以通过一阶常微分方程进行描述；在电路中，RC电路的电压衰减也可以用一阶常微分方程来模拟。

2. 生态学中的应用生态系统中的各种现象和变化过程也可以通过一阶常微分方程进行描述和预测。

例如，物种的数量随时间的变化、种群的增长与环境的关系等，都可以通过一阶常微分方程来建模和分析。

3. 经济学中的应用经济学中的市场供需关系、物价变化等经济现象都可以通过一阶常微分方程进行建模。

通过对这些微分方程的求解，可以预测经济的发展趋势和进行经济政策的研究与决策。

总结一阶常微分方程作为微分方程中的基础概念，具有重要的理论和实际应用价值。

通过对一阶常微分方程的定义、解法和应用进行学习和掌握，可以更好地理解和应用微分方程，进一步推动科学技术的发展和应用。

一阶线性微分方程及其解法

例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程： (1) 3 y 2 y x 2（是） (2) ( y )3 xy sin(2x 1)
(3) y y 2 x 2 (5) y y y x
(4) dy 1 y sin x 2 （是） dx x
(6) y x sin y x 2 1
二、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式：
y f ( x, y)
(1)
若方程（1）可以写成如下形式：
g( y)dy f (x)dx (1.2)
则称方程（1）为可分离变量的微分方程.
解法设函数g( y)和 f ( x) 是连续的,
1 当g( y) 0时，
(1.2) d y h(x) d x g( y)

1 x

ex x

x
d
x

C

1 e x d x C 1 e x C .
x
x
由 y x1 0 得
C 1, 2
因此方程满足初始条件的特解为
11 1 y
2 x 2x2
(讲)求以下方程在 y |x1 e 下的特解
(x ln y)dy y ln ydx 0
原方程可化为： dx 1 x 1 dy y ln y y
dx
y e P(x)d x[ Q(x)e P(x)d x d x C]
（2）一阶线性非齐次微分方程
1）一般式
dy P( x) y Q( x) dx
2）解法常数变易法
3）通解公式
y e P( x)dx[
Q(
x
)e