一阶线性微分方程及其解法.
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x2
2
y e e
C1 x 2
, y e e C
C1 x 2
,
y Ce 为所求通解.
例2
dy x e y 的通解. 求微分方程 dx
分离变量
两端积分
解
dy x e d x, y
dy x e y dx
ln y e C1 ,
x
ex
y e e ,
C1 e x
y e e ,
二、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式：
y f ( x , y ) (1)
若方程（1）可以写成如下形式： g ( y)dy f ( x)dx (1.2) 则称方程（1）为可分离变量的微分方程. 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
1 当g( y ) 0时， dy (1.2) h( x ) d x g ( y)
2
y 这是齐次方程， 令 u ,即 y xu x
故 代入得：
dy du ux dx dx
du u2 ux dx u 1
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 du u
1 dx x
u ln|u| ln|x| ln|c
2 当 g ( y0 ) 0时， y y0也是方程(1)的解.
注: 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y ) 0情形.
dy 例1 求微分方程 2 xy 的通解. dx
解
dy 分离变量 2 x d x, y dy 2 x d x, 两端积分 y
ln y x C1 ,
dx dx
du 1 u2 dx
解得 arctan u x C ,
代回 u x y, 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为 y tan( x C ) x .
dy 1 求 的通解. dx x y
令u x y
求xy y y ln xy的通解.
0
x
f (u)为可微函数， 求f ( x)
两边求导得:
f ( x) 1 f ( x)
y 1 y
dy 1 y dx
变量分离
dy dx 1 y
注意:这里隐藏一个初始条件
f (0) 0
Байду номын сангаас
变量代换是解方程的一种常用的手段 利用变量代换求微分方程的解 dy 2 求 ( x y ) 的通解. 例6 dx dy du 解 令 x y u, 1 代入原方程
dM 解 v dt kM , (k 0) dM kdt 变量分离 M
两端积分 即 又
dM 0) (这里显然有 dt
ln M kt lnt
M Ce
kt
M |t 0 M 0
故
M0 C
kt
故,衰变规律为
M M 0e
练习
12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程
这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程； 然后，利用分离变量法求得
1 1 du dx (u ) u x
dy dy xy 例1 求方程 y x 的通解 dx dx
2 2
dy y 解 原方程化为 dx xy x 2
2
y dy x ,即 y dx 1 x
C
C1 e x
y Ce 为所求通解. (C为任意常数).
注意到:当C=0时即y=0也是方程的解
应用:
衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成 其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未 衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程 中铀含量M(t)随t的变化规律
令u xy
二、齐次方程
形如 或
dy y f 的一阶微分方程称为齐次方程 dx x
x dx f dy y
解法：
y dy y 针对齐次方程 ，作变量代换 u x dx x dy du 即 y xu ，则 dx u x dx 将其代入原式，得： du u u u u ，即 du dx dx x
代入整理后，有
du 1 u 2 dx 2 xu
分离变量，则有
u 1 du dx 2 1 u 2x
1 2 1 2 1 2
两边积分，得 ( ) ln(1 u 2 ) ( ) ln x ( ) ln c 即
cx(1 u 2 ) 1
c( x2 y 2 ) x2
代入上式，于是所求方程的通解为
y y x
变量分离 两端积分 即 又
dy 1 d x, y x
ln | y | ln | x | ln | C |
ln | xy | ln | C |
xy C
x 2时，y 3， 故C 6 即所求曲线方程为： xy 6
练习:12.2第3题
f ( x) x f (u )du
y 故所求通解为： ln|y| c x
书上还有一个例子，自己可以练习练习
求微分方程 ( x2 y2 )dx 2xydy，满足初始条件 y
解： 方程可化为：
y 1 ( )2 dy x y x y dx 2 xy 2( ) x
2 2
x 1
0
的特解
它是齐次方程。令
y u x
把初始条件
y
x 1
0 代入上式，求出
c 1
，故所求方程的特解为
y x x
2 2
x 1 e y ydx y x dy 0 例3 求方程 的通解
解：这是一个齐次方程。先将方程变形为
x 1 e y dx 1 x 0 dy y
dy g( y ) h( x ) d x
(1.3) 变量分离
两端积分
1 设函数G ( y ) 和 H ( x ) 是依次为 和 h( x ) 的原函数, g ( y)
则 G( y ) H ( x ) C
(C为任意常数).
(1.4)
可以验证: (1.4)式为微分方程 (1) 的(隐式)通解.
2
y e e
C1 x 2
, y e e C
C1 x 2
,
y Ce 为所求通解.
例2
dy x e y 的通解. 求微分方程 dx
分离变量
两端积分
解
dy x e d x, y
dy x e y dx
ln y e C1 ,
x
ex
y e e ,
C1 e x
y e e ,
二、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式：
y f ( x , y ) (1)
若方程（1）可以写成如下形式： g ( y)dy f ( x)dx (1.2) 则称方程（1）为可分离变量的微分方程. 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
1 当g( y ) 0时， dy (1.2) h( x ) d x g ( y)
2
y 这是齐次方程， 令 u ,即 y xu x
故 代入得：
dy du ux dx dx
du u2 ux dx u 1
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 du u
1 dx x
u ln|u| ln|x| ln|c
2 当 g ( y0 ) 0时， y y0也是方程(1)的解.
注: 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y ) 0情形.
dy 例1 求微分方程 2 xy 的通解. dx
解
dy 分离变量 2 x d x, y dy 2 x d x, 两端积分 y
ln y x C1 ,
dx dx
du 1 u2 dx
解得 arctan u x C ,
代回 u x y, 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为 y tan( x C ) x .
dy 1 求 的通解. dx x y
令u x y
求xy y y ln xy的通解.
0
x
f (u)为可微函数， 求f ( x)
两边求导得:
f ( x) 1 f ( x)
y 1 y
dy 1 y dx
变量分离
dy dx 1 y
注意:这里隐藏一个初始条件
f (0) 0
Байду номын сангаас
变量代换是解方程的一种常用的手段 利用变量代换求微分方程的解 dy 2 求 ( x y ) 的通解. 例6 dx dy du 解 令 x y u, 1 代入原方程
dM 解 v dt kM , (k 0) dM kdt 变量分离 M
两端积分 即 又
dM 0) (这里显然有 dt
ln M kt lnt
M Ce
kt
M |t 0 M 0
故
M0 C
kt
故,衰变规律为
M M 0e
练习
12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程
这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程； 然后，利用分离变量法求得
1 1 du dx (u ) u x
dy dy xy 例1 求方程 y x 的通解 dx dx
2 2
dy y 解 原方程化为 dx xy x 2
2
y dy x ,即 y dx 1 x
C
C1 e x
y Ce 为所求通解. (C为任意常数).
注意到:当C=0时即y=0也是方程的解
应用:
衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成 其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未 衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程 中铀含量M(t)随t的变化规律
令u xy
二、齐次方程
形如 或
dy y f 的一阶微分方程称为齐次方程 dx x
x dx f dy y
解法：
y dy y 针对齐次方程 ，作变量代换 u x dx x dy du 即 y xu ，则 dx u x dx 将其代入原式，得： du u u u u ，即 du dx dx x
代入整理后，有
du 1 u 2 dx 2 xu
分离变量，则有
u 1 du dx 2 1 u 2x
1 2 1 2 1 2
两边积分，得 ( ) ln(1 u 2 ) ( ) ln x ( ) ln c 即
cx(1 u 2 ) 1
c( x2 y 2 ) x2
代入上式，于是所求方程的通解为
y y x
变量分离 两端积分 即 又
dy 1 d x, y x
ln | y | ln | x | ln | C |
ln | xy | ln | C |
xy C
x 2时，y 3， 故C 6 即所求曲线方程为： xy 6
练习:12.2第3题
f ( x) x f (u )du
y 故所求通解为： ln|y| c x
书上还有一个例子，自己可以练习练习
求微分方程 ( x2 y2 )dx 2xydy，满足初始条件 y
解： 方程可化为：
y 1 ( )2 dy x y x y dx 2 xy 2( ) x
2 2
x 1
0
的特解
它是齐次方程。令
y u x
把初始条件
y
x 1
0 代入上式，求出
c 1
，故所求方程的特解为
y x x
2 2
x 1 e y ydx y x dy 0 例3 求方程 的通解
解：这是一个齐次方程。先将方程变形为
x 1 e y dx 1 x 0 dy y
dy g( y ) h( x ) d x
(1.3) 变量分离
两端积分
1 设函数G ( y ) 和 H ( x ) 是依次为 和 h( x ) 的原函数, g ( y)
则 G( y ) H ( x ) C
(C为任意常数).
(1.4)
可以验证: (1.4)式为微分方程 (1) 的(隐式)通解.