一阶线性微分方程
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一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
12.4一阶线性微分方程
x 解得 z x ( C ), 故原伯努利方程的同解为 2 4 x y x ( C )2 . 2
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
高数-一阶线性微分方程
(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2
一阶线性微分方程
高等数学之——
8.3 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程的概念 二.一阶线性微分方程的解法
一、一阶线性微分方程的概念
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数及其导数都是一次的，则称其为
一阶线性微分方程.其标准式为：
d y P(x)y Q(x) dx
.
A.
A.是
B.否
四、小结
1.一阶线性齐次微分方程 dy P(x) y 0
dx
通解： y Ce P（x）dx
2.一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) , Q(x) 0
dx
通解：
y
e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)
dx
dx
C
只看等式右端不能下结论，要变形为标准式.
例如： 3x2 5 y 0
y 3 x2
5
是一阶线性非齐次微分方程
二、一阶线性齐次微分方程的解法
1.一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
(2) 1 dy P(x)dx y
2.解法
分离变量法
两边积分 通解
ln | y | P ( x)dx C1 | y | e P ( x )dx C1 y eC1 e P ( x )dx
则通解为
y
e 1dx
3x
e
1dx
dx
C
ex 3
xe
x
dx
C
ex 3 xd (ex ) C
8.3 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程的概念 二.一阶线性微分方程的解法
一、一阶线性微分方程的概念
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数及其导数都是一次的，则称其为
一阶线性微分方程.其标准式为：
d y P(x)y Q(x) dx
.
A.
A.是
B.否
四、小结
1.一阶线性齐次微分方程 dy P(x) y 0
dx
通解： y Ce P（x）dx
2.一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) , Q(x) 0
dx
通解：
y
e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)
dx
dx
C
只看等式右端不能下结论，要变形为标准式.
例如： 3x2 5 y 0
y 3 x2
5
是一阶线性非齐次微分方程
二、一阶线性齐次微分方程的解法
1.一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
(2) 1 dy P(x)dx y
2.解法
分离变量法
两边积分 通解
ln | y | P ( x)dx C1 | y | e P ( x )dx C1 y eC1 e P ( x )dx
则通解为
y
e 1dx
3x
e
1dx
dx
C
ex 3
xe
x
dx
C
ex 3 xd (ex ) C
第三节一阶线性微分方程
对应齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx
注: 将齐次方程通解中的常数变易为待定函数的 方法称为常数变易法
实质: 未知函数的变量替换.
新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x)
y e P( x)dx [ Q( x) e P( x)dxdx C ]
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x) e P( x)dxdx
2.解法
两端除以yn , 得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
作变量替换: z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x),
dx
求出通解后, 将 z y1n代入即得
y1n e (1n)P( x)dx[ Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C]
三、小 结
1.线性齐次方程
变量分离法
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx 常数变易法
3.伯努利方程 令 y1n z
变量替换
解法未知的方程 解法已知的方程的方法 (1)常数变易法; (2)变量替换; (3)改变变量的属性
习题12.3
1（4）（5）（6） 2（2）3（1）4（2）
*此变量替换由莱布尼兹于1696年给出
例5 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
解 n 1 , 方程两端除以y n，得
2 1 dy 4 y x2 . y dx x
令 z y , 2 dz 4 z x2 ,
dx x
解得
z
x 2
x 2
C
,
即通解为 y x4 x C 2 . 2
dy
注: 将齐次方程通解中的常数变易为待定函数的 方法称为常数变易法
实质: 未知函数的变量替换.
新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x)
y e P( x)dx [ Q( x) e P( x)dxdx C ]
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x) e P( x)dxdx
2.解法
两端除以yn , 得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
作变量替换: z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x),
dx
求出通解后, 将 z y1n代入即得
y1n e (1n)P( x)dx[ Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C]
三、小 结
1.线性齐次方程
变量分离法
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx 常数变易法
3.伯努利方程 令 y1n z
变量替换
解法未知的方程 解法已知的方程的方法 (1)常数变易法; (2)变量替换; (3)改变变量的属性
习题12.3
1（4）（5）（6） 2（2）3（1）4（2）
*此变量替换由莱布尼兹于1696年给出
例5 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
解 n 1 , 方程两端除以y n，得
2 1 dy 4 y x2 . y dx x
令 z y , 2 dz 4 z x2 ,
dx x
解得
z
x 2
x 2
C
,
即通解为 y x4 x C 2 . 2
dy
第四节 一阶线性微分方程
ln | x + y + 1 |= y + ln | C |,
通解为
x = Ce − y − 1.
y
小结
1.一阶线性齐次微分方程 一阶线性齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 3.伯努利方程 伯努利方程
令 y1−n = z;
思考与练习
判别下列方程类型: 判别下列方程类型 dy dy (1) x + y = xy dx dx dy (2) x =y (ln y − ln x) dx 提示: 提示 y −1 dx 可分离 dy = 变量方程 y x dy y y = ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 一阶线性非 − y =− dx 2x 2 齐次方程 2 dx 1 y 一阶线性非 − x = − 齐次方程 dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x
∫ P ( x ) dx + y(e ∫ P ( x )dx )′ = 0, y′e
∫ P ( x )dx )′ = 0, ( ye
故通解为
∫ P ( x ) dx = C , ye
− P( x )dx
∫ y = Ce
.
dy + P(x) y = Q(x) 2. 解非齐次方程 dx −∫ P( x) d x 常数变易法: 用常数变易法 作变换 y(x) = u(x) e ,则 −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x + P(x) u e = Q(x) u′ e − P(x) u e
所求通解为
ye
x y
=C
可化为一阶线性的微分方程 -------伯努利方程 伯努利方程
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
x
2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2
C
2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)d
x
Q(
x
)
e
P
(
x
)
d
x
d
x
C
即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e
P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u
2(x
3
1)2
C
3
4
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微 Q( x ) dx
关于未知函数 y 及 其导数 y 是一次的.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性齐次微分方程.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性非齐次微分方程.
例如
dy y x2 , dx dy y 2 xy 3, dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt dy cos y 1, 非线性的. dx
Q
解
0
x
x 3 y, y dx ( x y )
3 2
2
两边求导得 y y 3 x ,
dx dx
P
y f ( x)
o x x y e C 3 x 2e dx Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x 0 0, 得 C 6,
齐次方程通解 非齐次方程一个特解
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye
1 dx x
sin x 1 dx x e dx C x
e
ln x
sin x ln x e dx C x
dx (tan y ) x sin 2 y , dy
x e ln cos y [ sin 2 y e ln cos y dy C ]
2 sin y cos y cos y dy C cos y cos y [C 2 cos y].
Q( x ) e P ( x ) d x d x C 2. 公式中的不定积分不再加C . ye
关于未知函数 y 及 其导数 y 是一次的.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性齐次微分方程.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性非齐次微分方程.
例如
dy y x2 , dx dy y 2 xy 3, dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt dy cos y 1, 非线性的. dx
Q
解
0
x
x 3 y, y dx ( x y )
3 2
2
两边求导得 y y 3 x ,
dx dx
P
y f ( x)
o x x y e C 3 x 2e dx Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x 0 0, 得 C 6,
齐次方程通解 非齐次方程一个特解
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye
1 dx x
sin x 1 dx x e dx C x
e
ln x
sin x ln x e dx C x
dx (tan y ) x sin 2 y , dy
x e ln cos y [ sin 2 y e ln cos y dy C ]
2 sin y cos y cos y dy C cos y cos y [C 2 cos y].
Q( x ) e P ( x ) d x d x C 2. 公式中的不定积分不再加C . ye
三种形式的一阶线性微分方程
三种形式的一阶线性微分方程一阶线性微分方程是一种十分常见的数学模型，它可以用来描述物理学、化学、生物学、经济学等不同领域的现象。
一般来说，一阶线性微分方程可以分为三种形式：常数项、单变量和多变量。
常数项常数项一阶线性微分方程是由如下形式构成的：du/dt + c_1u = c_2其中，c_1和c_2是常量，u是未知函数。
这种微分方程用来描述某一个量在时间上的变化，可以用来描述物理学、生物学、化学等多个领域的现象。
例如，在化学反应中，可以用常数项一阶线性微分方程来描述某物质在反应过程中的变化。
单变量单变量一阶线性微分方程可以用如下的形式表示：du/dt + c_1u + f(t) = 0其中，c_1是常数，f(t)是t的函数，u是未知函数。
这一类微分方程可以用来描述某个量在时间上受到外部力引起的变化，而这个外部力可以是化学反应、物理过程、生物进化等等。
它们可以用来模拟许多实际中的现象，比如物质在特定温度和压强下扩散的速度，物质在特定条件下经历反应时的变化，动物在自然环境中的生态系统改变等等。
多变量多变量一阶线性微分方程的一般形式为：du/dt + c_1u + f(t,u) = 0其中，c_1是常数，f(t,u)是两个变量的函数，u是未知函数。
这类微分方程可以用来描述某些量在时间上受外部力和其他量的影响而发生变化。
它们可以用来模拟复杂多变的系统，比如矩阵方程组，用来解决物理系统、生物系统、经济系统等的问题。
总结一阶线性微分方程有三种形式：常数项、单变量和多变量，它们可以用来描述物理学、化学、生物学、经济学等多个领域的现象，并可以用来模拟实际中的场景，进而帮助我们解决实际中的问题。
一阶线性微分方程
dx 等，都不是线性方程.
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:
1.先求 dy P(x) y 0 (2) 的通解： dx
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce P(x)dx，
dx x y3 1 x y2， 即 dy y y
dx 1 x y2 , dy y
(7)
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是
一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性
非齐次方程
dx P( y)x Q( y)
(8)
dy
的通解公式为
x e P( y)dy[ Q( y)e P( y)dydy C]
P(t
) dt dt
C
e
k dt
m[
g ge
k dt
m dt
C
k t
e m (g
kt
em dt
C)
e
kt m
(
mg
kt
em
C)
mg
kt
Ce m .
k
k
故得通解为
v
mg
kt
Ce m .
k
注意方程(10)也可分离变量为
dv = dt ， mg kv m
1 cos
x
sec
x
cos
xdx
C
1 cos
x
dx
C
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:
1.先求 dy P(x) y 0 (2) 的通解： dx
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce P(x)dx，
dx x y3 1 x y2， 即 dy y y
dx 1 x y2 , dy y
(7)
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是
一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性
非齐次方程
dx P( y)x Q( y)
(8)
dy
的通解公式为
x e P( y)dy[ Q( y)e P( y)dydy C]
P(t
) dt dt
C
e
k dt
m[
g ge
k dt
m dt
C
k t
e m (g
kt
em dt
C)
e
kt m
(
mg
kt
em
C)
mg
kt
Ce m .
k
k
故得通解为
v
mg
kt
Ce m .
k
注意方程(10)也可分离变量为
dv = dt ， mg kv m
1 cos
x
sec
x
cos
xdx
C
1 cos
x
dx
C
一阶线性微分方程.ppt
2
令 z y1(1) y2 ,
则 dz 2 y dy , dx dx
dz 2xz xex2 ,
z
e
2
xdx
[
xe
x2
e
2
xdx
dx
C
]
dx
所求通解为 y2 ex2 ( x2 C ). 2
2.
dy dx
1 x sin2 ( xy)
y; x
解 令 z xy, 则 dz y x dy ,
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx ;
3.伯努利方程 令 y1n z;
思考题
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
讨论
dy y
Q( x) y
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、dy dx
y cot x 5e cos x
,
y x
4；
2
2、 dy dx
一阶线性微分方程
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例1 解方程
解: 先解
dy 2y 0 ,即 dx x 1
dy 2dx y x 1
齐次方程
dx x x
dy dx
1 2x
y
x2 2
线性微分方 程
dx
1
x
y
2
线性微分方
dy 2y
2程
(5) ( y ln x 2) y dx x dy d y 2 y ln x y2 伯努利
dx x x
方程
伯努利(1654 – 1705)
( 雅各布第一 ·伯努利 )
瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 年提出了著名的伯努利方程, 1713年出 版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史 上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
dy y
P
(
x)dx,
ln y P(x)dx C1,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.非齐次线性方程
dy P( x) y Q( x). dx
讨论
dy y
Q( x) y
一阶线性微分方程
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
3 2 u ( x 1) 2 C 3
例6 求一阶线性方程通解 dy sin x y cos x e dx cos xdx 解：齐次方程通解： y Ce
注：
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
例 求方程
dy 4 y x y ( y 0, x 0) 的通解。 dx x
解：这是伯努利方程 ，其中
则
课堂练习题:求
解:由标准形式知
的特解
则 通解 由
得
所求特解为:
内容小结
一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
1 dx e x dx
1 dx x
dy 1 2 y x 的通解 例2 求一阶线性方程 dx x
解：
1 P( x) , Q( x) x 2 x
P( x)d x P( x)d x [ Q( x)e dx C ]
则通解为
ye
即：
1 2 x xdx C x( x C ) 2
例如
dy y x 2 , dx x sin t t 2 , dx dt
线性的;
yy 2 xy 3,
y cos y 1,
非线性的.
1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为
dy P( x) y 0 dx
(使用分离变量法)
ln y P( x)d x ln C
三、一阶线性微分方程
定义3 如果方程中未知函数的导数（微分） 的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导 数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为 一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程
ye
P ( x ) dx
Ce
P ( x ) dx dx C ] 通解公式 [ Q( x )e
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x )e
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
C 0
通过齐次线性方程的通解去求对应非齐次 线性方程的通解的方法称为 常数变易法.
P ( x ) dx
,
右边
dx C , 所以 u x Q x e 代回,得非齐次方程的通解
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
Q xe
P ( x ) dx
dx C
一阶线性非齐次微分方程 两种解法： dy 套用公式 P( x) y Q( x) 常数变易法 dx 的通解为:
1 1 8 4 x C 代回原变量，得 y x 8 4 1
故所求方程的通解为
y
8x
x C1
8
伯努利方程的一般形式：
dy dx 变 解法： 形 P x y Q x y
y
n
n
n 0,1
1 n
dy dx
P x y
Q x
n
作变量代换 令 z y 原方程变为
dz dx
1 n
则 ，
dz dx
1 n y
dy dx
1 n P x z 1 n Q x
1 n
-----关于新变量的一阶线性方程 求出通解后，将 z y 代回即得.
例4 求方程
解 两端除以
P ( x ) dx
Ce
P ( x ) dx dx C ] 通解公式 [ Q( x )e
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x )e
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
C 0
通过齐次线性方程的通解去求对应非齐次 线性方程的通解的方法称为 常数变易法.
P ( x ) dx
,
右边
dx C , 所以 u x Q x e 代回,得非齐次方程的通解
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
Q xe
P ( x ) dx
dx C
一阶线性非齐次微分方程 两种解法： dy 套用公式 P( x) y Q( x) 常数变易法 dx 的通解为:
1 1 8 4 x C 代回原变量，得 y x 8 4 1
故所求方程的通解为
y
8x
x C1
8
伯努利方程的一般形式：
dy dx 变 解法： 形 P x y Q x y
y
n
n
n 0,1
1 n
dy dx
P x y
Q x
n
作变量代换 令 z y 原方程变为
dz dx
1 n
则 ，
dz dx
1 n y
dy dx
1 n P x z 1 n Q x
1 n
-----关于新变量的一阶线性方程 求出通解后，将 z y 代回即得.
例4 求方程
解 两端除以
一阶线性微分方程的标准形式.
1 cos x C .
x
例3、求方程(1 y2 ) ydx 2(2xy2 1)dy 0的通解。
解 dx 4y x 2 dy 1 y2 y(1 y2 )
x
e
4 1
y y2
dy
[
4y
2 e 1 y2 dydy c]
y(1 y 2 )
(1
1 y2
)2
(2
ln
y
y2
c)
例4 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
f (0) ln 2 c ln 2
则f ( x) ln 2 e2x
例2 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
两端除以yn，得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).
解
x
f ( x)dx
( x3 y)2 ,
0
y
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( yex )' 0
c 故 yex c 其中 为任意常数。
即方程（1.3.3）的通解为 y cex
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一般地，对方程
y' p(x)y 0
两端同乘以 exp( p(x)dx) 后得
y'exp( p(x)dx) p(x)y exp( p(x)dx) 0
即
( y exp( p(x)dx))' 0
u'(x) g(x) exp( g(x)dx)
u(x) c g(x) exp( g(x)dx)dx
整理得通解为：
y exp( p(x)dx) C g(x) exp( p(x)dx)dx
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线性微分方程解的性质:
1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。 2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。 3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍
g(x)
y(x0 ) y0
x
x
s
的解为
y
y0
exp(
p( )d )
x0
g (s) exp
x0
p( )d ds
x0
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例：2.1.3
设 f (x)是以 2 为周期的周期函数，a是正常
数，求微分方程 dy ay f (x)的2周期解。
dx
解：齐次方程 dy ay 0 的通解为 y ceax
整理得通解为
y c exp( p(x)dx)
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二、 线性非齐次方程
1.积分因子法
两种解法
给方程两边乘以函数 exp( p(x)dx) ，使左边
变成一个函数的导数，
[ y p(x) y]exp( p(x)dx) g(x) exp( p(x)dx)
整理得：
[ y exp( p(x)dx)] g(x) exp( p(x)dx)
为非齐次方程的解。 4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。 5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程
的通解之和是非齐次方程的通解。
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初值问题
dy dx
p(x)
y
0
y(x0 ) y0
x
的解为
y
y0 exp(
p(x)dx)
x0
初值问题
dy
dx
p(x)y
LR
将初始条件 i(0) 0代入得: C E
R
故当开关闭合后，电路中的电流强度为：
i(t) E [1 exp( R t)]
R
L
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例2 湖泊的污染 设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流 入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀 的水的流出的速率是1000立方米每小时, 求该厂排污 1年时, 湖泊水中盐酸的含量. 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x(t),
2
代入初值条件得 y 1 (x x3)
2
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四、 线性微分方程的应用举例
例1：RL串联电路由电阻、电感、 电源组成的串联电路，求开 E 关闭合后电路中的电流强度 i(t).
R i i(t)
L
解：当电路中电流为i(t ) 时，在R上的电压降为Ri (t ) 在电感上的电压降为 L di(t) dt 由Kirchhoff回路电压定律知：
沿着任一闭合回路的电压降的代数和为零。
我们得到电流 i(t) 所满足的微分方程为：
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L di(t) Ri(t) E
dt
取开关闭合时刻为0，则
i(0)
0 又 ip (t)
E R
是方程特解，求得齐次方程通解为t
因此,得到通解: i(t) C exp( R t) E
积分得通解：
y exp( p(x)dx) C g(x) exp( p(x)dx)dx
exp( p(x)dx) 称为方程的积分因子。
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2.常数变易法 思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为 函数，代入原方程后确定出该方程的通解。 先求（2.1.1）对应的齐次方程的通解为：
dx
方程 dy ay f (x) 的通解为 dx
y ceax x ea(xs) f (s)ds 0
为了使 y以 2 为周期，须满足
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cea(x2 ) x2 ea(x2 s) f (s)ds ceax x ea(xs) f (s)ds.
0
0
整理得
c(1 e2a ) 0x2 ea(2 s) f (s)ds 0xeas f (s)ds
故 x(t) 3080 [4000 0.02t 4000( 4000 )50].
51
4000 0.02t
x(8760) 223824(kg).
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谢谢观看！ 2020
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（1.3.2）
为线性齐次方程。 求解思想：
将（1.3.2)进行变形，将方程左端整理成某 一个函数的导数，再进行积分求解。
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例1.3.1 求线性齐次方程
y' y 0
的通解。
（1.3.3）
解：对于（1.3.3）的两端乘以 e x 得
y'ex yex 0
由于( yex )' y'ex yex 故（1.3.3）等价于
f (x)以 2 为周期 （令s 2 t ）
0x2 ea(2 s) f (s)ds x2 eas f (s)ds 0xeas f (s)ds
c
1
1 e2 a
0 eas f (s)ds
2
将c 代入得
y
1 e2a 1
02
ea(sx)
f
(s)ds
0xea(sx)
f
(s)ds
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二、 Bernoulli方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
yn d y P(x)y1n Q(x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn d y
dx
dx
dz (1 n) P(x) z (1 n) Q(x) (线性方程) dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
考虑 [t,t t] 内湖泊中盐酸的变化.
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x(t t) x(t) 20 3.08t 1000 t
x(t)
4000000 20t
因此有 dx 100x 61.6, x(0) 0.
dt 400000 2t
该方程有积分因子
(t) exp(
100 dt) (4000 0.02t)50
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§1.3 线性方程
定义
一阶微分方程
y ' p(x) y g(x)
（1.3.1）
若关于未知函数 y 和 y '是线性的，称为线性方程。
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一、 线性齐次方程
若 y ' p(x) y g(x) 中 g(x) 0 时，称
y' p(x)y 0
y c exp( p(x)dx)
再把通解表达式中的常数C换成一个待定函数u(x) 。
即令 y u(x) exp( p(x)dx)
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y ' u '(x)exp( p(x)dx) u(x) exp( p(x)dx)( p(x))
将 y和 y ' 代入 y' p(x) y g(x) 得
400000 2t
两边同乘以 (t) 后,整理得
d [x(4000 0.02t)50] 61.6(4000 0.02t)50 dt
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积分得
(4000 0.02t)50 x 3080 (400 0.02t)51 C 51
利用初始条件得
C 3080 (4000)51 51
一阶微分方程
微分方程课程的一个主要问题是求解， 即把微分 方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来， 但对一般的微分方程是无法求解的，如对一般的 二元函数 f (x, y) ，我们无法求出一阶微分方程
y f (x, y)
（1）
的解，但是对某些特殊类型的方程，我们可设法转 化为已解决的问题进行求解。
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例1.3.5求初值问题
dy y x2 ，y(1) 1 的解。 dx 2x 2y 解：方程两边同乘以2y后得 2 y dy y2 x2
dx x
令 z y2 代入得 dz z x2 dx x
通解为 z Cx 1 x3
2
将 z y2 代入得 y2 Cx 1 x3